安徽省巢湖市无为三中_学年高二数学上学期期中试卷(含解析)【含答案】
2022-2023学年安徽省芜湖市普通高中高二年级上册学期期中联考数学试题【含答案】
2022-2023学年安徽省芜湖市普通高中高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．已知向量，，若，则（ ）()2,5,4a =-()6,0,b x =a b ⊥ x =A ．3B ．－3C ．12D ．－12A【分析】由 得 ，由空间向量垂直的坐标表示计算即可.a b ⊥ 0a b ⋅=【详解】 ，a b ⊥ 0a b ∴⋅=265040x ∴-⨯+⨯+⨯=3x ∴=故选：A.2．过点且与直线垂直的直线的方程是（ ）()2,1A :2430l x y -+=A ．B ．20x y -=250x y +-=C ．D ．230x y --=240x y +-=B【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可求解.【详解】由题意可知，设所求直线的方程为，420x y m ++=将点代入直线方程中，得，解得，()2,1A 420x y m ++=42210m ⨯+⨯+=10m =-所以所求直线的方程为，即.42100x y +-=250x y +-=故选：B.3．圆关于直线l ：对称的圆的方程为（ ）()()22122x y -+=+20x y +-=A ．B ．()()22412x y -+-=()()22412x y +++=C ．D ．()()22412x y -++=()()22412x y ++-=A【分析】首先求出圆的圆心坐标与半径，再设圆心关于直线()()22122x y -+=+()1,2-对称的点的坐标为，即可得到方程组，求出、，即可得到圆心坐标，从而:20+-=l x y (),a b a b求出对称圆的方程；【详解】解：圆的圆心为，半径关于直线()()22122x y -+=+()1,2-r =()1,2-对称的点的坐标为，:20+-=l x y (),a b 则，解得，即圆关于直线对称的圆的圆()2111122022b a a b +⎧⨯-=-⎪⎪-⎨+-⎪+-=⎪⎩41a b =⎧⎨=⎩()()22122x y -+=+:20+-=l x y 心为，半径()4,1r =所以对称圆的方程为；()()22412x y -+-=故选：A4．直线分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆上，则面积20x y ++=()2222x y -+=ABP 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．[]2,6[]4,8[]28,[]4,6A【分析】底边为定值，求出点P 到距离的范围即可求出面积的取值范围.ABABABP 【详解】圆心到直线距离，所以点P 到距离即高的范围()2,020x y ++=d AB h，又可求得，所以面积的取值范围为.AB =ABP 12S AB h =⋅[]2,6故选：A.5．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，13把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，若图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）ABC DB【分析】建立平面直角坐标系，求出直线AB 的方程，利用点到直线距离公式进行求解.【详解】如图，以鼻尖所在位置为原点O ，中庭下边界为x 轴，垂直中庭下边界为y 轴，建立平面直角坐标系，则，13,4,,222A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭直线，整理为，:AB 142312422x y --=---702x y -+=原点O=故选：B6．已知点A ，B 分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C 上一点P 向x 轴作垂2222:1(0)x y C a b a b +=>>线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C 的离心率为（ ）1F AB OP ∥A ．B ．CD 1412C【分析】根据题意可得，，，再根据列式求解即可(,0)A a (0,)B b 2(,b P c a -//AB OP 【详解】由已知得：，，(,0)A a (0,)B b 2(,)b Pc a -所以，(,)AB a b =- 2(,)b OPc a =- 由得：AB OP ∥//AB OP所以2b a b ca -⋅=-⋅所以b c=由得：222a b c =+a所以c e a ==故选：C7．在正三棱锥中，，且，M ，N 分别为A BCD -90BAC BAD CAD ∠=∠=∠=︒1AB AC AD ===BC ，AD 的中点，则直线AM 和CN 夹角的余弦值为（ ）．A B C ．D ．B【分析】由题意可得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为,,AB AC AD A ,,AB AC AD 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解,,x y z【详解】因为，90BAC BAD CAD ∠=∠=∠=︒所以两两垂直，,,AB AC AD 所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，A ,,AB AC AD ,,x y z 因为，1AB AC AD ===所以,(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C D 因为M ，N 分别为BC ，AD 的中点，所以，111,,0,0,0,222M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，111,,0,0,1,222AM CN ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设直线AM 和CN 所成的角为，则θ,cos cos ,AM θ= 所以直线AM 和CN故选：B8．已知正方体的棱长为分别是棱､的中点，点为底面四边形1111ABCD A B C D -2,E F ､1AA 11A D P 内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ）ABCD 1D P BEF PA ．2BCD ．B【分析】取的中点，连接，易证平面，平面，从而得到BC G 11,,G D G AD A 1//AD BEF 1//GD BEF 平面平面，即可得到的轨迹为线段，再求其长度即可.1//AD G BEF P AG 【详解】取的中点，连接，如图所示：BC G 11,,G D G AD A分别是棱､的中点，所以，E F ､1AA 11A D 1//EF AD 又因为平面，平面，所以平面.EF ⊂BEF 1AD ⊄BEF 1//AD BEF 因为，，所以四边形为平行四边形，1//FD BG 1=FD BG 1FBGD 所以.1//FB GD 又因为平面，平面，所以平面.FB ⊂BEF 1GD ⊄BEF 1//GD BEF 因为，所以平面平面.111GD AD D = 1//AD G BEF 因为点为底面四边形内（包括边界）的一动点，直线与平面无公共点，P ABCD 1D P BEF所以的轨迹为线段P AG =故选：B二、多选题9．已知向量，，，则（ ）()1,1,0a =-()1,0,1b =-()2,3,1c =-A ．B ．6a b -= ()()26a b b c +⋅+=C ．D ．()5a b c +⊥ ()//a b c-BCD【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标运算一一计算可得.【详解】解：因为，，()1,1,0a =-()1,0,1b =-所以，所以，故A 错误；()2,1,1a b -=--a -= 因为，，所以，故B 正确；()21,1,2a b +=-- ()=1,3,2b c +- ()()26a b b c +⋅+= 因为，所以，故C 正确；()5=4,1,5a b +-- ()()()5=421351=0a b c +⋅-⨯+-⨯-+⨯ 因为，，所以，所以，故D 正确.()=3,3,0b c -- ()1,1,0a =- 3b c a -=- ()//a b c - 故选：BCD10．圆和圆的交点为A ，B ，则有（ ）221:20x y x O +-=222:240O x y x y ++-=A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．公共弦AB 所在直线的方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆上一动点，则P 到直线AB 1O 1+AD【分析】对于AB ，两圆方程相减消去二次项可求得公共弦AB 所在直线的方程，对于C ，求出圆心到公共弦的距离，然后利用弦心距，弦和半径的关系可求出公共弦的长，对于D ，点1(1,0)O d r P 到直线AB 距离的最大值为d r+【详解】由与作差可得，2220x y x +-=22240x y x y ++-=440x y -=即公共弦AB 所在直线的方程为，故A 正确，B 错误；0x y -=对于C ，圆心到直线的距离为的半径，1(1,0)O 0x y -=d ==1O1r =所以，故C 错误；AB ==对于D ，点P 为圆上一动点，则点P 到直线AB 距离的最大值为，故D 正确.1O 1d r +=故选：AD.11．设椭圆的左、右焦点分别为，，P 是C 上的动点，则（ ）22:132x y C +=1F 2F A ．B ．C 12PF PF +=C ．D ．C 上有且只有4个点P ，使得是直角三角12PF F △12PF F △形ACD【分析】根据椭圆的方程求得的值，结合椭圆的定义，离心率的定义和椭圆的几何性质，逐,,a b c 项判定，即可求解.【详解】由题意，椭圆，可得，22:132x y C +=1a b c ===根据椭圆的定义，可得A正确；122PF PF a +==根据离心率的定义，可得椭圆的离心率为B 不正确；c e a ==由椭圆的几何性质，可得最大值为，所以C 正确；12PF F S 1211222S F F b =⋅⨯=⨯=因为以为直径的圆的方程为，12F F 221x y +=联立方程组，整理得，即方程组无解，22221132x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩23x =-所以以点为直角顶点的不存在；P 12PF F △过作的垂线，交椭圆于两点，此时可得直角和；1F x C 12,P P 112PF F 212PF F 过作的垂线，交椭圆于两点，此时可得直角和，2F x C 34,P P 312P F F △412P F F综上可得，椭圆上有且仅有个点使得为直角三角形，所以D 正确.412PF F △故选：ACD.12．在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），1111ABCD AB C D -1AB AD ==12AA =P 1BD 则下列结论正确的有（ ）A ．当为中点时，为锐角P 1BD APC ∠B ．存在点，使得平面P 1BD ⊥APC C ．的最小值AP PC+D ．顶点到平面B APC ABD【分析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，当为中点时，D ()101BP BD λλ=≤≤P 1BD 根据判断得符号即可判断A ；当平面，则cos PA PCAPC PA PC⋅∠=⋅cos APC ∠1BD ⊥APC ，则有，求出，即可判断B ；当时，11,BD AP BD CP ⊥⊥1100BD AP BD CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ λ11,BD AP BD CP ⊥⊥取得最小值，结合B 即可判断C ；利用向量法求出点到平面的距离，分析即可判AP PC+B APC 断D.【详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，D 设，()101BP BD λλ=≤≤则，()()()()11,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,2A B C D则，故，()11,1,2BD =--()1,,2BP BD λλλλ==--则，()()()0,1,0,,2,1,2AP AB BP λλλλλλ=+=+--=--，()()()1,0,0,,21,,2CP CB BP λλλλλλ=+=+--=--对于A ，当为中点时，P 1BD 则，，11,,122AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 11,,122CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 则，，11,,122PA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 11,,122PC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 所以，1cos 03PA PC APC PA PC ⋅∠==>⋅所以为锐角，故A 正确；APC ∠当平面，1BD ⊥APC 因为平面，所以，,AP CP ⊂APC 11,BD AP BD CP ⊥⊥则，解得，11140140BD AP BD CP λλλλλλ⎧⋅=+-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ 16λ=故存在点，使得平面，故B 正确；P 1BD ⊥APC 对于C ，当时，取得最小值，11,BD AP BD CP ⊥⊥AP PC +由B 得，此时，16λ=则，，151,,663AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 511,,663CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 即的最小值为C 错误；AP PC +对于D ，，()()0,1,0,1,1,0AB AC =-设平面的法向量，APC (),,n x y z =则有，()0120n AC x y n AP x z λλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩可取，()2,2,21n λλλ-则点到平面的距离为B APC cos ,AB n AB AB n n ⋅⋅==当时，点到平面的距离为0，0λ=BAPC 当时，01λ<≤，==≤当且仅当时，取等号，12λ=所以点到平面，故D 正确.B APC 故选：ABD.三、填空题13．在线段上运动，已知，则的取值范围是_______.()P x y ，AB ()()2452A B -，，，11y x ++15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】表示线段上的点与连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可11y x ++AB ()11C －，－【详解】表示线段上的点与连线的斜率，11y x ++AB ()11C －，－因为4(1)52(1)1,2(1)35(1)6AC BC k k -----====-----所以由图可知的取值范围是．11y x ++15,63⎡⎤-⎢⎣⎦故15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦14．已知四棱柱的底面是正方形，底面边长和侧棱长均为2，1111ABCD A B C D -ABCD ，则对角线的长为________．1160A AB A AD ∠=∠=︒1AC【分析】由向量的方法计算，将表示成，平方即可.1AC 11AC AB AD AA =++ 【详解】由题可知四棱柱为平行六面体，，1111ABCD A B C D -11AC AB AD AA =++所以22222111()AC AB AD AA AB AD AA =++=+++ 11222AB AD AB AA AD AA ⋅+⋅+⋅ ，444222cos 60222cos 60=+++⨯⨯+⨯⨯= 20所以1||AC =故答案为.15．已知圆与圆相交于A ，B 两点，则______.22:4O x y +=22:30C x y x +--=sin AOB ∠=【分析】由题知直线的方程为中，AB 10x -=AOB 利用余弦定理并结合同角三角函数关系求解即可.【详解】解：因为圆与圆相交于A ，B 两点，22:4O x y +=22:30C x y x +--=所以直线的方程为：，即，AB ()()2222340xy x y x --+--+=10x -=所以圆心到弦的距离为，()0,0O AB 12d =所以弦AB ==所以在中，，由余弦定理得，AOB 2OA OB ==44157cos 2228AOB +-∠==-⨯⨯所以sin AOB ∠===16．如图，在正方体中，M 为线段的中点，N 为线段上的动点，则直线1111ABCD A B C D -1A D 1CD 与MN 所成角的正弦值的最小值为________．1C D【分析】建立空间直角坐标系，利用向量坐标表示出，夹角的余弦值，再求出直线与MN 1C D 1C D 直线所成角正弦值的最小值．MN【详解】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，D 则，0，，，,则，(1M 1)()()10,2,2,0,2,0C C ()()10,0,0,0,0,1D D 1(0,2,2)C D =--因为为线段上的动点，N 1CD 所以不妨设，则得，，，()101CN CD λλ=≤≤(0N 22λ-+2)λ所以，(1,22,21)MN =--+-λλ则，1cos ,MN C =[0λ∈，所以1]23338,6422λ⎛⎫⎡⎤-+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故当最大值1MN C，1cos ，MN C D最小1sin ，MN C D所以直线与直线．1C D MN 故答案为.四、解答题17．已知空间向量．(2,3,1),(3,0,1),(,6,2)a b c x =-=-=-(1)若，求a c∥||c (2)若，求实数k 的值．()(2)ka b a b +⊥-(1)(2)2033【分析】（1）根据向量的共线，列出比例式，可得答案；（2）求出向量的坐标，根据可得数量积为0，即得关于k 的方程，,2ka b a b +-()(2)ka b a b +⊥- 解得答案.【详解】（1）由题意知，(2,3,1),(,6,2)a c x =-=- ∵，∴，解得：，a c∥62231x -==-4x =-故，故(4,6,2)c =--||c === （2）因为，(2,3,)(3,0,1)(23,3,1)ka b k k k k k k +=-+-=--+，2(4,6,2)(3,0,1)(7,6,1)a b -=---=-由得()(2)ka b a b +⊥- ()(2)0ka b a b +⋅-= 即，解得．7(23)1810k k k -+++=2033k =18．已知圆及直线．()()22:1225C x y -+-=()()():21174R l m x m y m m +++=+∈(1)证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交；(2)求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程．(1)证明见解析(2)250x y --=【分析】（1）根据直线过定点，而该点在圆内，即可求解，()3,1（2）由时，圆心到直线的距离最大，进而可求最短的弦长以及直线方程.l CM ⊥l 【详解】（1）将直线的方程变形为，令，解得，即l ()()2740x y m x y +-++-=274x y x y +=⎧⎨+=⎩31x y =⎧⎨=⎩直线过定点．因为，所以点在圆内部．所以不论m 为何实数，l ()3,1()()223112525-+-=<()3,1直线与圆恒相交．l （2）（1）的结论知直线过定点，且当直线时，此时圆心到直线的距离最大，进而l ()3,1M l CM ⊥l被圆所截的弦长最短，故l AB=从而此时AB ===此时,直线方程为，即12AB CMk k =-=AB 12(3)y x -=-250x y --=19．已知点，动点P 满足：|PA|=2|PB|．()()3,0,3,0A B -(1)若点P 的轨迹为曲线，求此曲线的方程；C (2)若点Q 在直线l 1: x+y+3=0上，直线l 2经过点Q 且与曲线只有一个公共点M ，求|QM|的最小C 值．(1);(2) ．()22516x y -+=4【详解】(1)设点P 的坐标为(x ，y )(x －5)2＋y 2＝16，即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |，当CQ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ ||QM |＝4.20．在四棱锥中，，平P ABCD -,90,90,,22PA PB BAD PAD AB CD AD AB CD ∠∠======∥面平面.PBD ⊥PAD (1)证明：平面；PB ⊥PAD(2)求二面角的正弦值.B PC A --(1)证明见解析【分析】（1）作根据面面垂直的性质可得平面，则，根据题意AE PD ⊥⊥AE PBD AE PB ⊥平面，则，利用线面垂直判定定理可证平面；（2）AD PA AD AB ⊥⎫⇒⎬⊥⎭AD ⊥PAB AD PB ⊥PB ⊥PAD 建系，利用空间向量求二面角，根据先求余弦值，再求正弦值．cos =cos ,m nθ【详解】（1）作于点，平面平面，平面平面AE PD ⊥E PBD ⊥PAD PBD PAD PD =∴平面，平面，则⊥AE PBD PB ⊂PBD AE PB ⊥又,AD PA AD AB⊥⊥，平面PA AB A = AD ⊥PAB 平面，则AB ⊂PAB AD PB ⊥，AE PB ⊥AD AE A ⋂=平面PB ⊥PAD（2）取中点为，则由，得AB O PA PB =PO AB ⊥又平面，得，所以平面AD ⊥PAB AD PO ⊥PO ⊥ABCD以为原点，方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则O ,,OB OC OP,,x y z O xyz -()()()()1,0,0,0,2,0,0,0,1,1,0,0B C P A -设平面的法向量为BPC ()()(),,,1,0,1,1,2,0m a b c PB BC ==-=-则，则00m PB m BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 020a c a b -=⎧⎨-+=⎩今，则1b =()2,1,2m =设平面的法向量为APC ()()(),,,1,2,0,1,0,1n x y z AC AP ===则，则00n AC n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 200x y x z +=⎧⎨+=⎩令，则1y =()2,1,2n =-故1 cos,9m nm nm n⋅==⋅故二面角B PC A --=21．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，且离心()2222:10x yC a ba b+=>>1F2F()A．(1)求C的方程；(2)直线交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：()0y kx k=≠M，，N，四点共圆．1F2F(1)2212xy+=(2)证明见解析【分析】（1）根据顶点与离心率的公式求解即可；（2）设点，，则点，再联立直线与椭圆的方程，进而求()00,E x yx>()00,F x y--()0y kx k=≠得，再求得直线AE，AF的方程得到，0x=y=M⎛⎝，根据可得，同理证明即可N⎛⎝110F M F N⋅=11F M F N⊥22F M FN⊥【详解】（1）由题意知，，，所以C的方程为．aca⎧=⎪⎨=⎪⎩22a=21b=1c=2212xy+=（2）证明：设点（不妨设，则点，()00,E x y 00x >()00,F x y --由，消去y 得，所以2212y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩22212x k=+0x =0y =所以直线AE 的方程为．y x =+因为直线AE 与y 轴交于点M ，令得0x=y =即点，同理可得点．M ⎛ ⎝N⎛ ⎝所以，，1F M ⎛= ⎝ 1F N ⎛= ⎝ 所以，所以，同理．()2211112021F M F k k N +==-⋅+11F M F N ⊥22F M F N ⊥则以MN 为直径的圆恒过焦点，，即M ，，N ，四点共圆．1F 2F 1F 2F 综上所述，M ，，N ，四点共圆．1F 2F 22．如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，PABCD ABCD Rt PAD △1AB BC ==，，，与相交于点，现沿着将其折成四BC AD ∥AB AD⊥PA PD ==PA PD ⊥PC AD O AD 棱锥（如图2）．P ABCD -(1)当侧面底面时，求点到平面的距离；PAD ⊥ABCD B PCD (2)在（1）的条件下，线段上是否存在一点，使得二面角PD Q Q AC D --在，求出的值；若不存在，请说明理由．PQQD(2)存在；12PQ QD =【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到平面的距离.B PCD （2）设，求得点坐标，利用二面角的余弦值列方程，求得，进而求得PQ PD λ= Q Q AC D --λ.PQQD 【详解】（1）∵，∴．PA PD ⊥PA PD ==2AD =如下图所示，连接，则,AC AC CD ==所以，222,AC CD AD AC CD +=⊥所以，APD ACD ≅ 结合折叠前后图形的关系可知，故四边形为正方形，,PO AD CO AD ⊥⊥ABCO ∴，即为的中点，∴，∴．1AO =O AD PO AD ⊥1PO =∵侧面底面，侧面底面，PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =∴平面，PO ⊥ABCD 易知，，两两垂直．PO AD OC 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，O OC x OD y OP z 建立空间直角坐标系，如下图所示，则，，，，，()0,0,1P ()0,1,0A -()1,1,0B -()1,0,0C ()0,1,0D ∴，，．()1,1,1PB =--()1,0,1CP =- ()0,1,1PD =- 设平面的法向量为，PCD (),,u x y z =则，取，得，，00u CP x z u PD y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-=⎩1z =1x =1y =则为平面的一个法向量，()1,1,1u =PCD 则点到平面的距离B PCD PB u d u ⋅==（2）假设存在满足题意的点，且（）．Q PQ PD λ=01λ≤<∵，∴，()0,1,1PD =-()0,,PQ OQ OP λλ=-=-∴，()0,,1OQ λλ=- ∴．()0,,1Q λλ-设平面的法向量为，CAQ ()111,,m x y z = 又∵，，()1,1,0AC = ()0,1,1AQ λλ=+- ∴，()()11110110m AC x y m AQ y z λλ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++-=⎪⎩ 取，则，，11z λ=+11y λ=-11x λ=-取为平面的一个法向量．()1,1,1m λλλ=--+ CAQ 易知平面的一个法向量为，CAD ()0,0,1n = ∵二面角，Q AC D --∴，cos ,m n m n m n ⋅===⋅ 化简，得，231030λλ-+=解得或（舍去）．13λ=3λ=∴线段上存在满足题意的点，且．PD Q 12PQ QD =。
2023-2024学年安徽省皖中联考高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省皖中联考高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y ＝﹣cos45°的倾斜角为（ ） A ．0°B ．90°C ．135°D ．不存在2．已知向量a →=(−3，m ，−1)，b →=(n ，−2，1)，若a →∥b →，则（ ） A ．mn ＝1B ．mn ＝﹣1C ．m ﹣n ＝1D ．n ﹣m ＝13．已知A ，B 分别为椭圆E ：x 26+y 2m 2=1(0＜m ＜√6)的左、右顶点，点C 在E 上，若△ABC 是一内角为120°的等腰三角形，则m ＝（ ） A ．√22B ．1C ．√2D ．24．关于圆x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0有四个命题：①点A （1，﹣3）在圆内；②点B （2，3）在圆上；③圆心为（﹣1，0）；④圆的半径为3．若只有一个假命题，则该命题是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④5．如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，若AB ＝2A 1B 1，点M 在BD 1上，且BM ＝3D 1M ，则CM →=（ ）A ．34AA 1→+38AB →−58AD →B ．34AA 1→+34AB →−58AD →C ．34AA 1→−34AB →−58AD →D ．34AA 1→−38AB →+58AD →6．点P （﹣1，2）到直线l ：（m +1）x +（m ﹣2）y +1﹣2m ＝0（m ∈R ）的最大距离为（ ） A ．2√2B ．√5C ．2D ．√27．在如图所示的结构对称的实验装置中，底面框架ABCD 是边长为2的正方形，两等腰三角形框架ADE ，BCF 的腰长均为√3，EF ∥框架ABCD 所在的平面，EF ＝1，活动弹子M ，N 分别在EF ，AC 上移动，M ，N 之间用有弹性的细线连接，且3MF =√2AN 始终成立，则当MN 的长度取得最小值时，MF ＝（ ）A ．12B ．1017C ．2134D ．11178．若圆C 1：x 2+（y ﹣a ）2﹣4x ﹣5＝0与圆C 2：x 2+（y +b ）2﹣4x +3＝0相切，则√a 2+b 2的最小值为（ ）A ．√22B ．√2C ．2D ．2√2二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分） 9．已知A （0，1），B （﹣2，0），C （1，﹣1），则（ ） A ．直线AB 的方程为x ﹣2y +2＝0 B ．点A 到直线BC 的距离为√102C ．△ABC 为等腰直角三角形D ．△ABC 的面积为5 10．已知曲线C ：x 21−m+y 22+m=1为椭圆，则（ ）A ．﹣2＜m ＜1B ．若C 的焦点在x 轴上，则C 的焦距为2√−2m −1C ．若C 的焦点在x 轴上，则C 的短轴长取值范围为(0，√62) D ．若C 的焦点在y 轴上，则C 的离心率为√2m+12+m11．已知圆O ：x 2+y 2＝4内有一点P(1，12)，过点P 的直线l 与圆O 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作圆O 的切线l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点Q ，则（ ）A ．当l 在两坐标轴上截距相等时，l 的方程为2x +2y ﹣3＝0或x ﹣2y ＝0B ．点Q 的轨迹方程为2x +y ﹣8＝0C ．当|OQ |＝4时，点Q 的坐标为(125，165)或（4，0） D ．当|OQ |＝4时，直线l 的方程为3x +4y ﹣5＝0或x ＝112．已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AA 1＝2，点P ，Q 分别满足A 1P →=λAB →+μAD →−AA 1→，λ，μ∈[0，1]，CQ →=m CC 1→，m ∈[0，1]．甲、乙、丙、丁四名同学利用《空间向量与立体几何》这一章的知识对其进行研究，各自得出一个结论： 甲：当m =12时，存在λ，μ，使得A 1P →⊥QP →；乙：当m =12时，存在λ，μ，使得|A 1P →|+|PQ →|=2√3；丙：当m =78时，满足D 1P →⊥A 1Q →的λ，μ的关系为λ＝μ；丁：当m =116时，满足A 1P →⊥QP →的点P 围成区域的面积为π2．其中得出错误结论的同学有（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．小明研究一张坐标纸中四点A （﹣4，m ），B （1，0），C （3，0），D （2，n ）的关系时，发现直线AB 与CD 的方向向量互相垂直，则mn ＝ ．14．两平行直线3x ﹣ay +6＝0与x ﹣2y ﹣3＝0之间的距离为 ．15．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长均相等，∠ACC 1＝2∠A 1AB ＝120°，E ，F 分别为B 1C 1，A 1C 1的中点，则异面直线BE 与CF 所成角的余弦值为 ．16．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过y 轴上的点A 与F 2的直线与C交于点B ，且B 不在线段AF 2上，∠AF 1B ＝90°，2|AF 2|＝3|BF 2|，则C 的离心率为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC 的边AB 上的高所在的直线方程为2x +y ﹣3＝0，角C 的平分线所在的直线方程为x +y ﹣4＝0，E （0，﹣1）为边AC 的中点． （1）求边AB 所在的直线方程； （2）求点B 的坐标．18．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝2，P A ＝3，2PM →=MB →，PN →=ND →，PH →=14PA →．（1）证明：C ，M ，H ，N 四点共面； （2）求点P 到平面MNC 的距离．19．（12分）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为等边三角形，AB ＝2，M ，N 分别为BC ，AC 1的中点． （1）证明：MN ∥平面A 1BC 1；（2）若三棱锥A 1﹣ABC 1的体积为2√33，求平面ABC 1与平面A 1BC 1夹角的余弦值．20．（12分）在一公园内有一如图所示的绿化空地，∠AOB ＝120°，OA ，OB 为两条甬路（宽度忽略不计，均视作直线），在点E 处建一个八角亭，点E 到直线OA 的距离为50√311m ，到直线OB 的距离为(10√3+25√311)m ，过E 再修一条直线型的甬路（宽度忽略不计），与直线OA ，OB 分别交于M ，N 两点，其中OM ＝30m ，现建立如图所示的平面直角坐标系，请解决下面问题： （1）求M ，N 之间两路的长；（2）在△OMN 内部选一点F ，建一个可自动旋转的喷头，喷洒区域是一个以喷头F 为圆心的圆形，喷洒的水不能喷到△OMN 的外面，求喷洒区域的最大面积，并求此时圆F 的方程．21．（12分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠DAB ＝60°，M ，N 分别为BC ，CD 的中点，将△MNC 沿MN 折起，使点C 到点P 的位置，AP =√6． （1）证明：平面APN ⊥平面PMN ；（2）若Q 为线段AB 上一点，求PQ 与平面APM 所成角的正弦值的最大值．22．（12分）已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b2=1(a ＞b ＞0)经过P(3a ，a 2)，Q(−32，−1)两点．（1）求C 的方程；（2）设A 为C 的上顶点，过点B （0，﹣4）且斜率为k 的直线与C 相交于E ，F 两点，且点E 在点F 的下方，点M 在线段EF 上，若∠AMF ＝2∠ABM ，证明：|BE |•|MF |＝|BF |•|EM |．2023-2024学年安徽省皖中联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y ＝﹣cos45°的倾斜角为（ ） A ．0°B ．90°C ．135°D ．不存在解：因为cos45°=−√22，所以直线y ＝﹣cos45°就是y =−√22，平行于x 轴，因此直线y ＝﹣cos45°的倾斜角为0°． 故选：A ．2．已知向量a →=(−3，m ，−1)，b →=(n ，−2，1)，若a →∥b →，则（ ） A ．mn ＝1B ．mn ＝﹣1C ．m ﹣n ＝1D ．n ﹣m ＝1解：a →=(−3，m ，−1)，b →=(n ，−2，1)， 由a →∥b →，得−3n=m −2=−11，解得m ＝2，n ＝3，所以n ﹣m ＝1． 故选：D ．3．已知A ，B 分别为椭圆E ：x 26+y 2m 2=1(0＜m ＜√6)的左、右顶点，点C 在E 上，若△ABC 是一内角为120°的等腰三角形，则m ＝（ ） A ．√22B ．1C ．√2D ．2解：A ，B 分别为椭圆E ：x 26+y 2m 2=1(0＜m ＜√6)的左、右顶点，点C 在E 上，若△ABC 是一内角为120°的等腰三角形，由椭圆的对称性可知，C 为E 的上或下顶点，且∠ACB ＝120°， 如图所示．不妨设C 为E 的上顶点，所以√6m=tan60°=√3，则m =√2．故选：C ．4．关于圆x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0有四个命题：①点A （1，﹣3）在圆内；②点B （2，3）在圆上；③圆心为（﹣1，0）；④圆的半径为3．若只有一个假命题，则该命题是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④解：若②③正确，则圆的半径r =√(−1−2)2+(3−0)2=3√2，可知圆方程为（x +1）2+y 2＝18， 由（1+1）2+（﹣3）2＜18，可知点A （1，﹣3）在圆内，①正确，而④的结论错误，符合题意； 若③④正确，则圆的方程为（x +1）2+y 2＝9，此时点B （2，3）不在圆上且点A （1，﹣3）在圆外，①②都错误，不合题意；其他两个条件的组合无法确定圆的方程，不能对剩余命题判断真伪，所以只有④是假命题． 故选：D ．5．如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，若AB ＝2A 1B 1，点M 在BD 1上，且BM ＝3D 1M ，则CM →=（ ）A ．34AA 1→+38AB →−58AD →B ．34AA 1→+34AB →−58AD →C ．34AA 1→−34AB →−58AD →D ．34AA 1→−38AB →+58AD →解：BD 1→=AD 1→−AB →=AA 1→+12AD →−AB →， 又因为BM ＝3D 1M ，所以BM →=34BD 1→=34AA 1→+38AD →−34AB →，所以CM →=BM →−BC →=BM →−AD →=34AA 1→+38AD →−34AB →−AD →=34AA 1→−34AB →−58AD →．故选：C ．6．点P （﹣1，2）到直线l ：（m +1）x +（m ﹣2）y +1﹣2m ＝0（m ∈R ）的最大距离为（ ） A ．2√2B ．√5C ．2D ．√2解：直线l 的方程（m +1）x +（m ﹣2）y +1﹣2m ＝0（m ∈R ） 可化为（x +y ﹣2）m +（x ﹣2y +1）＝0，由{x +y −2=0，x −2y +1=0，解得{x =1，y =1，则直线l 恒过定点Q （1，1），所以点P （﹣1，2）到直线l 的最大距离为√(−1−1)2+(2−1)2=√5． 故选：B ．7．在如图所示的结构对称的实验装置中，底面框架ABCD 是边长为2的正方形，两等腰三角形框架ADE ，BCF 的腰长均为√3，EF ∥框架ABCD 所在的平面，EF ＝1，活动弹子M ，N 分别在EF ，AC 上移动，M ，N 之间用有弹性的细线连接，且3MF =√2AN 始终成立，则当MN 的长度取得最小值时，MF ＝（ ）A ．12B ．1017C ．2134D ．1117解：取BC ，AD 的中点分别为H ，G ，连接GH ，与AC 交于点O ， 则GH ⊥BC ，连接FH ，EG ，则FH ⊥BC ，又GH ∩FH ＝H ，所以BC ⊥平面EFHG ，又BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面EFHG ．以O 为坐标原点，过O 作平行于AD 的直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，在平面EFHG 内过O 作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系．设MF ＝m （0≤m ≤1），则AN =3√22m ，在等腰三角形BCF 中，FH =√3−1=√2， 易知梯形EFHG 为等腰梯形，过F 作FQ ⊥GH ， 则FQ =√(√2)2−(2−12)2=√72，则M(0，12−m ，√72)，N(1−32m ，32m −1，0)， 则MN →=(1−32m ，52m −32，−√72)，所以|MN →|=√(1−32m)2+(52m −32)2+74=√172m 2−212m +5=√172(m −2134)2+239136， 当m =2134时，|MN →|取得最小值． 故选：C ．8．若圆C 1：x 2+（y ﹣a ）2﹣4x ﹣5＝0与圆C 2：x 2+（y +b ）2﹣4x +3＝0相切，则√a 2+b 2的最小值为（ ）A ．√22B ．√2C ．2D ．2√2解：由题得圆C 1：(x −2)2+(y −a)2=9，圆C 2：（x ﹣2）2+（y +b ）2＝1． 当圆C 1与圆C 2外切时，√(2−2)2+(a +b)2=4，所以（a +b ）2＝16，又a 2+b 2≥2(a+b2)2=8，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立， 所以√a 2+b 2≥2√2；当圆C 1与圆C 2内切时，√(2−2)2+(a +b)2=2，所以（a +b ）2＝4，又a 2+b 2≥2(a+b2)2=2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，所以√a 2+b 2≥√2． 故√a 2+b 2的最小值为√2． 故选：B ．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分） 9．已知A （0，1），B （﹣2，0），C （1，﹣1），则（ ） A ．直线AB 的方程为x ﹣2y +2＝0 B ．点A 到直线BC 的距离为√102C ．△ABC 为等腰直角三角形D ．△ABC 的面积为5解：对于A ：因为A （0，1），B （﹣2，0）， 所以，直线AB 的方程为x −2+y 1=1，整理得x ﹣2y +2＝0，A 项正确；对于B ：因为B （﹣2，0），C （1，﹣1），所以，直线BC 的斜率为k =−1−01−(−2)=−13，所以直线BC 的方程为y =−13(x +2)，即x +3y +2＝0， 则点A 到直线BC 的距离为d =√1+3=√102，B 项正确；对于C ：易知k AB =0−1−2−0=12，k AC =−1−11−0=−2， 则k AB •k AC ＝﹣1，即AB ⊥AC ，所以∠BAC ＝90°，又|AB|=√(0−1)2+(−2−0)2=√5，|AC|=√(−1−1)2+(1−0)2=√5，所以|AB |＝|AC |， 所以△ABC 为等腰直角三角形，C 项正确；对于D ：由上述可知，△ABC 的面积为12×√5×√5=52，D 项错误．故选：ABC ． 10．已知曲线C ：x 21−m+y 22+m=1为椭圆，则（ ）A ．﹣2＜m ＜1B ．若C 的焦点在x 轴上，则C 的焦距为2√−2m −1C ．若C 的焦点在x 轴上，则C 的短轴长取值范围为(0，√62)D ．若C 的焦点在y 轴上，则C 的离心率为√2m+12+m解：对A 选项，由题意可知{1−m ＞02+m ＞01−m ≠2+m，解得−2＜m ＜−12或−12＜m ＜1，故A 选项错误；对B 选项，当C 的焦点在x 轴上时，c =√a 2−b 2=√1−m −(2+m)=√−2m −1，所以C 的焦距为2√−2m −1，故B 选项正确；对C 选项，当C 的焦点在x 轴上时，1﹣m ＞2+m ＞0，所以−2＜m ＜−12，则0＜m +2＜32， 所以0＜2√m +2＜√6，则C 的短轴长的取值范围是(0，√6)，故C 选项错误； 对D 选项，当C 的焦点在y 轴上时，c =√a 2−b 2=√2+m −(1−m)=√2m +1， 所以C 的离心率为e =√2m+1√2+m=√2m+12+m ，故D 选项正确．故选：BD ．11．已知圆O ：x 2+y 2＝4内有一点P(1，12)，过点P 的直线l 与圆O 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作圆O的切线l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点Q ，则（ ）A ．当l 在两坐标轴上截距相等时，l 的方程为2x +2y ﹣3＝0或x ﹣2y ＝0B ．点Q 的轨迹方程为2x +y ﹣8＝0C ．当|OQ |＝4时，点Q 的坐标为(125，165)或（4，0） D ．当|OQ |＝4时，直线l 的方程为3x +4y ﹣5＝0或x ＝1解：当l 过原点时，直线l 的方程为x ﹣2y ＝0，此时AB 为圆O 的一条直径， 过A ，B 分别作圆O 的切线l 1，l 2，则l 1∥l 2，不满足题意，当l 不过原点时，设直线l 的方程为xa+y a=1，将P(1，12)代入解得a =32，此时l 的方程为2x +2y ﹣3＝0，A 项错误； 设Q （x 0，y 0），连接OA ，OB ，则OA ⊥AQ ，OB ⊥BQ ， 所以以OQ 为直径的圆的方程为x （x ﹣x 0）+y （y ﹣y 0）＝0，即x 2+y 2﹣x 0x ﹣y 0y ＝0，与x 2+y 2＝4相减得直线l 的方程为x 0x +y 0y ﹣4＝0， 又P(1，12)在直线l 上，则x 0+12y 0−4=0，所以2x 0+y 0﹣8＝0， 因此点Q 的轨迹方程为2x +y ﹣8＝0，B 项正确； 当|OQ |＝4时，点Q 在圆x 2+y 2＝16上，联立{x 2+y 2=162x +y −8=0，解得x =125或x ＝4，所以点Q 的坐标为(125，165)或（4，0），C 项正确；设AB 与OQ 的交点为D ，由图可知△AOD ～△QOA ，所以|OA||OQ|=|OD||OA|，即|OA |2＝|OQ |•|OD |，所以|OD |＝1， 当直线l 的斜率不存在时，x ＝1满足题意， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y −12=k(x −1)， 即kx −y +12−k =0，由|12−k|√k 2+1=1，得k =−34，所以直线l 的方程为3x +4y ﹣5＝0，D 项正确． 故选：BCD ．12．已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AA 1＝2，点P ，Q 分别满足A 1P →=λAB →+μAD →−AA 1→，λ，μ∈[0，1]，CQ →=m CC 1→，m ∈[0，1]．甲、乙、丙、丁四名同学利用《空间向量与立体几何》这一章的知识对其进行研究，各自得出一个结论： 甲：当m =12时，存在λ，μ，使得A 1P →⊥QP →；乙：当m =12时，存在λ，μ，使得|A 1P →|+|PQ →|=2√3；丙：当m =78时，满足D 1P →⊥A 1Q →的λ，μ的关系为λ＝μ；丁：当m =116时，满足A 1P →⊥QP →的点P 围成区域的面积为π2．其中得出错误结论的同学有（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解：以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系．由A 1P →=λAB →+μAD →−AA 1→=AP →−AA 1→，λ，μ∈[0，1]，得AP →=λAB →+μAD →，λ，μ∈[0，1]，所以点P 为底面ABCD 内一点（包含边界）， 则A 1（0，0，2），Q （1，1，2m ），D 1（0，1，2）， 设P （x ，y ，0）（0≤x ≤1，0≤y ≤1）．对于甲同学，当m =12时，Q(1，1，1)，A 1P →=(x ，y ，−2)，QP →=(x −1，y −1，−1)， 若A 1P →⊥QP →，故得(x −12)2+(y −12)2=−32，显然方程无解，则点P 不存在，所以不存在λ，μ，使得A 1P →⊥QP →，故甲说法错误；对于乙同学，当m =12时，Q （1，1，1），点A 1关于平面ABCD 的对称点为A '，则A '（0，0，﹣2），连接A 'Q ，A 'P ， 则A 'P ＝A 1P ，所以|A 1P →|+|PQ →|=A′P +PQ ≥|A′Q →|=√11，所以存在点P ，使得|A 1P →|+|PQ →|=2√3，所以存在λ，μ，使得|A 1P →|+|PQ →|=2√3，故乙说法正确；对于丙同学，当m =78时，Q(1，1，74)，D 1P →=(x ，y −1，−2)，A 1Q →=(1，1，−14)由D 1P →⊥A 1Q →，得x +y −1+(−2)×(−14)=0，即x +y =12(0≤x ≤1，0≤y ≤1)， 所以点P 的轨迹为△ABD 中平行于边BD 的中位线，当P 为该中位线的中点时，λ＝μ， 当P 不为该中位线的中点时，λ≠μ，故丙说法错误；对于丁同学，当m =116时，Q(1，1，18)，A 1P →=(x ，y ，−2)，QP →=(x −1，y −1，−18)，由A 1P →⊥QP →，整理得(x −12)2+(y −12)2=14，所以点P 的轨迹为正方形ABCD 的内切圆，其区域的面积为(12)2π=14π，故丁说法错误．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．小明研究一张坐标纸中四点A （﹣4，m ），B （1，0），C （3，0），D （2，n ）的关系时，发现直线AB 与CD 的方向向量互相垂直，则mn ＝ ﹣5 ．解：由于四点A （﹣4，m ），B （1，0），C （3，0），D （2，n ）的关系时， 直线AB 与CD 的方向向量互相垂直， 由题意可知m−0−4−1⋅0−n3−2=−1，整理得mn ＝﹣5． 故答案为：﹣5．14．两平行直线3x ﹣ay +6＝0与x ﹣2y ﹣3＝0之间的距离为 √5 ． 解：由两直线3x ﹣ay +6＝0与x ﹣2y ﹣3＝0平行可知a ＝6， 所以直线3x ﹣6y +6＝0，即x ﹣2y +2＝0， 所以两直线之间的距离d =|2−(−3)|√1+(−2)=√5．故答案为：√5．15．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长均相等，∠ACC 1＝2∠A 1AB ＝120°，E ，F 分别为B 1C 1，A 1C 1的中点，则异面直线BE 与CF 所成角的余弦值为√156．解：设三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长均为1，AB →=a →，AC →=b →，AA 1→=c →， 由∠ACC 1＝2∠A 1AB ＝120°，得∠A 1AC ＝∠A 1AB ＝60°， ∴a →⋅b →=1×1×cos60°=12，b →⋅c →=12，a →⋅c →=12，又CF →=c →−12b →，BE →=BB 1→+B 1E →=BB 1→+12BC →=BB 1→+12(AC →−AB →)=c →+12(b →−a →)， ∴BE →⋅CF →=[c →+12(b →−a →)]•(c →−12b →)=c →2−12a →⋅c →−14b →2+14a →⋅b →=58，又|CF →|=√(c →−12b →)2=√32，|BE →|=√[c →+12(b →−a →)]2=√52，∴cos ＜BE →，CF →＞=BE →⋅CF→|BE →|⋅|CF →|=√156，故异面直线BE 与CF 所成角的余弦值为√156． 16．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过y 轴上的点A 与F 2的直线与C交于点B ，且B 不在线段AF 2上，∠AF 1B ＝90°，2|AF 2|＝3|BF 2|，则C 的离心率为 √55． 解：如图，设|BF 2|＝2m ， 则|AF 2|＝3m ．由椭圆的定义可知|BF 1|＝2a ﹣2m ，因为点A 在y 轴上，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点， 所以|AF 1|＝|AF 2|＝3m ， 由∠AF 1B ＝90°，得（2a ﹣2m ）2+（3m ）2＝（5m ）2， 则2a ﹣2m ＝4m ，所以a ＝3m ，由cos ∠AF 2F 1＝﹣cos ∠BF 2F 1， 得c 3m=−4c 2+4m 2−16m 22×2c×2m，整理得9m 2＝5c 2， 则m =√53c ，所以a =3m =√5c ， 故e =c a =√55． 故答案为：√55．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC 的边AB 上的高所在的直线方程为2x +y ﹣3＝0，角C 的平分线所在的直线方程为x +y ﹣4＝0，E （0，﹣1）为边AC 的中点． （1）求边AB 所在的直线方程； （2）求点B 的坐标．解：（1）由{2x +y −3=0x +y −4=0，解得{x =−1y =5；所以点C 的坐标为（﹣1，5），又E （0，﹣1）为边AC 的中点，所以A （1，﹣7）， 又边AB 上的高所在的直线方程为2x +y ﹣3＝0， 其斜率为﹣2，所以直线AB 的斜率为12，所以边AB 所在的直线方程为y +7=12(x −1)， 即x ﹣2y ﹣15＝0．（2）设A （1，﹣7）关于直线方程x +y ﹣4＝0对称的点为A 1（a ，b ），则{b+7a−1⋅(−1)=−1a+12+b−72−4=0，解得a ＝11，b ＝3，则A 1（11，3），又角C 的平分线所在的直线方程为x +y ﹣4＝0， 所以点A 1在直线BC 上， 所以直线BC 的方程为y−35−3=x−11−1−11，即x +6y ﹣29＝0，联立{x −2y −15=0x +6y −29=0，解得{x =372y =74；故点B 的坐标为(372，74)． 18．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝2，P A ＝3，2PM →=MB →，PN →=ND →，PH →=14PA →．（1）证明：C ，M ，H ，N 四点共面； （2）求点P 到平面MNC 的距离．（1）证明：因为P A ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥AD ，P A ⊥AB ，又四边形ABCD 为正方形，所以AB ⊥AD ．建立如图的空间直角坐标系A ﹣xyz ，可得A （0，0，0），C （2，2，0），P （0，0，3）， 由2PM →=MB →，PN →=ND →，PH →=14PA →， 得PM PB=13，PN PD =12，PH PA=14，则H （0，0，94），M （23，0，2），N （0，1，32），所以CH →=(−2，−2，94)，CM →=(−43，−2，2)，CN →=(−2，−1，32)，设CH →=λCM →+μCN →，则{ −2=−43λ−2μ−2=−2λ−μ94=2λ+32μ，解得λ=34，μ=12，所以CH →=34CM →+12CN →，故C ，M ，H ，N 四点共面．（2）解：设平面MNC 的法向量为m →=(a ，b ，c)， 由{CM →⋅m →=0CN →⋅n →=0，可得{−43a −2b +2c =0−2a −b +32c =0，取a ＝3，则m →=(3，6，8)，由H （0，0，94），P （0，0，3），可得HP →=(0，0，34)，所以点P 到平面MNC 的距离d =|HP →⋅m →||m →|=|8×34|√3+6+8=6√109109．19．（12分）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为等边三角形，AB ＝2，M ，N 分别为BC ，AC 1的中点． （1）证明：MN ∥平面A 1BC 1； （2）若三棱锥A 1﹣ABC 1的体积为2√33，求平面ABC 1与平面A 1BC 1夹角的余弦值．解：（1）证明：连接AM ，则AM ⊥BC ，以M 为坐标原点，MA ，MB 所在直线分别为x ，y 轴，以过M 与BB 1平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝a ，则M(0，0，0)，B(0，1，0)，A 1(√3，0，a)，N(√32，−12，12a)，因为MN →=(√32，−12，12a)，BA 1→=(√3，−1，a)，所以MN →=12BA 1→，所以MN ∥A 1B ， 因为MN ⊄平面A 1BC 1，A 1B ⊂平面A 1BC 1， 所以MN ∥平面A 1BC 1．（2）过点C 1作C 1D ⊥A 1B 1，垂足为D ，易知C 1D =√3， 因为平面A 1B 1C 1⊥平面ABB 1A 1， 所以C 1D ⊥平面ABB 1A 1，由V 三棱锥A 1−ABC 1=V 三棱锥C 1−ABA 1，得13×12AA 1×AB ×C 1D =2√33， 即13×12AA 1×2×√3=2√33，所以AA 1＝2， 则C 1(0，−1，2)，A(√3，0，0)，AC 1→=(−√3，−1，2)，BC 1→=(0，−2，2)，A 1C 1→=(−√3，−1，0)．设平面ABC 1的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)， 由{AC 1→⋅m →=−√3x 1−y 1+2z 1=0BC 1→⋅m →=−2y 1+2z 1=0，令y 1＝1，得m →=(√33，1，1)，设平面A 1BC 1的法向量为n →=(x 2，y 2，z 2)，由{A 1C 1→⋅n →=−√3x 2−y 2=0BC 1→⋅n →=−2y 2+2z 2=0，令y 2＝1，则n →=(−√33，1，1)，所以cos〈m →，n →〉=−13+1+173=57，故平面ABC 1与平面A 1BC 1夹角的余弦值为57．20．（12分）在一公园内有一如图所示的绿化空地，∠AOB ＝120°，OA ，OB 为两条甬路（宽度忽略不计，均视作直线），在点E 处建一个八角亭，点E 到直线OA 的距离为50√311m ，到直线OB 的距离为(10√3+25√311)m ，过E 再修一条直线型的甬路（宽度忽略不计），与直线OA ，OB 分别交于M ，N 两点，其中OM ＝30m ，现建立如图所示的平面直角坐标系，请解决下面问题： （1）求M ，N 之间两路的长；（2）在△OMN 内部选一点F ，建一个可自动旋转的喷头，喷洒区域是一个以喷头F 为圆心的圆形，喷洒的水不能喷到△OMN 的外面，求喷洒区域的最大面积，并求此时圆F 的方程．解：（1）因为∠AOB ＝120°，且直线OB 的斜率为tan120°=−√3， 所以直线OB 的方程为y =−√3x ， 由点E 到直线OA 的距离为50√311m ，设点E （a ，50√311），a ＞0， 由题意知|√3a+50√311|√3+1=√3a+50√3112=10√3+25√311，解得a ＝20，所以E(20，50√311)，又M （30，0），则直线ME 的斜率为k ME =−5√311， 所以MN 的方程为y =−5√311(x −30)， 由{y =−√3x y =−5√311(x −30)，解得{x =−25y =25√3； 所以点N(−25，25√3)，所以M ，N 之间甬路的长为|MN |=√(30+25)2+(0−25√3)2=70m ． （2）由（1）知，|ON|=√(−25)2+(25√3)2=50， 当喷洒区域面积最大时，圆F 与直线OA ，OB ，MN 均相切，易知△OMN 的内切圆F 的圆心在∠AOB 的平分线上， 即在直线y =√3x 上，设圆心F(a ，√3a)(a ＞0)，则半径r =√3a ， 由12|OM|×|ON|sin120°=12(|OM|+|ON|+|MN|)×√3a ，得12×30×50×√32=12×(30+50+70)×√3a ，解得a ＝5，因此喷洒区域的最大面积S ＝πr 2＝75πm 2． 所以圆心F(5，5√3)，半径r =5√3，所以圆F 的方程为(x −5)2+(y −5√3)2=75．21．（12分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠DAB ＝60°，M ，N 分别为BC ，CD 的中点，将△MNC 沿MN 折起，使点C 到点P 的位置，AP =√6． （1）证明：平面APN ⊥平面PMN ；（2）若Q 为线段AB 上一点，求PQ 与平面APM 所成角的正弦值的最大值．（1）证明：连接AC ，BD ，AC 与MN 交于点O ，连接OP ， 则AC ⊥BD ，又M ，N 分别为BC ，CD 的中点，所以MN ∥BD ， 则AC ⊥MN ，因为MN ⊥OA ，MN ⊥OP ，OA ∩OP ＝O ， 所以MN ⊥平面APO ，又AP ⊂平面APO ，所以MN ⊥AP ， 在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠DAB ＝60°，则在△ADN 中，由余弦定理得AN =√AD 2+DN 2−2AD ⋅DNcos120°=√4+1−2×2×1×(−12)=√7，因为PN ＝CN ＝1，所以AP 2+PN 2＝AN 2， 则AP ⊥PN ，又PN ∩MN ＝N ，所以AP ⊥平面PMN ，因为AP ⊂平面APN ，所以平面APN ⊥平面PMN ．（2）解：以O 为原点，以OA ，OM 所在直线分别为x ，y 轴，过O 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(3√32，0，0)，B(√32，1，0)，M(0，12，0)． 由（1）可知，平面APO ⊥平面ABCD ，易知P(√36，0，√63) 所以AM →=(−3√32，12，0)，AP →=(−4√33，0，√63)，AB →=(−√3，1，0)． 设平面APM 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{AM →⋅m →=0，AP →⋅m →=0，即{−3√32x +12y =0，−4√33x +√63z =0， 令x ＝1，则m →=(1，3√3，2√2)．设AQ →=λAB →=(−√3λ，λ，0)(0≤λ≤1)，则PQ →=AQ →−AP →=(4√33−√3λ，λ，−√63)， 设PQ 与平面APM 所成角为θ，显然当λ＝0时，sin θ＝0，不满足题意，所以0＜λ≤1，所以1λ≥1， 所以sin θ＝|cos ＜PQ →，m →＞|=2√3λ6√4λ−8λ+6=√33√6(1λ−23)2+43， 所以当1λ=1，即λ＝1时，sin θ取得最大值为√66． 22．（12分）已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)经过P(3a ，a 2)，Q(−32，−1)两点． （1）求C 的方程； （2）设A 为C 的上顶点，过点B （0，﹣4）且斜率为k 的直线与C 相交于E ，F 两点，且点E 在点F的下方，点M 在线段EF 上，若∠AMF ＝2∠ABM ，证明：|BE |•|MF |＝|BF |•|EM |． 解：（1）因为椭圆C 经过P(3a ，a 2)，Q(−32，−1)两点，所以{14+9a 2b 2=11a 2+94b 2=1， 解得a 2＝4，b 2＝3或a 2=43，b 2=9（舍去），则C 的方程为y 24+x 23=1；（2）证明：由（1）知A （0，2），不妨设直线EF 的方程为y ＝kx ﹣4，E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），M （x 0，y 0），联立{y 24+x 23=1y =kx −4，消去y 并整理得（3k 2+4）x 2﹣24kx +36＝0，此时Δ＝（﹣24k ）2﹣4（3k 2+4）•36＝144（k 2﹣4）＞0，解得k 2＞4，由韦达定理得x 1+x 2=24k3k 2+4，x 1x 2=363k 2+4，因为∠AMF ＝2∠ABM ，所以2∠ABM ＝∠ABM +∠BAM ，即∠ABM ＝∠BAM ，则|AM |＝|BM |，所以点M 在线段AB 的垂直平分线y ＝﹣1上，此时y 0＝﹣1．易知|BE||BF|=x 1x 2， 不妨设EM →=λMF →，可得（x 0﹣x 1，y 0﹣y 1）＝λ（x 2﹣x 0，y 2﹣y 0），即x 0﹣x 1＝λ（x 2﹣x 0），①因为点M （x 0，y 0）在直线EF 上，所以y 0＝kx 0﹣4，则x 0=3k =7224k =2×363k 2+424k 3k 2+4=2x 1x2x 1+x 2，所以x 0（x 1+x 2）＝2x 1x 2， 即x 2x 0﹣x 1x 2＝x 1x 2﹣x 1x 0， 整理得x 0−x 1=x1x 2(x 2−x 0)，②联立①②，可得λ=x1x 2， 所以EM →=x1x 2MF →， 可得|EM||MF|=x 1x 2，则|BE||BF|=x 1x 2=|EM||MF|， 故|BE |•|MF |＝|BF |•|EM |．。
安徽省巢湖市无为三中高二数学上学期期中试卷(含解析)
2014-2015学年安徽省巢湖市无为三中高二（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形2．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（）A． 3 B． 4 C． 5 D． 63．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（） A． 16π B． 20π C． 24π D． 32π4．将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（）A．平行 B．垂直C．相交成60°角 D．异面且成60°角5．对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n6．将边长为a的正方形沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A． 6a3 B． 12a3 C．a3 D．a37．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．其中真命题的个数为（）A． 3 B． 2 C． 1 D． 08．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10，12）内的频数为（）A． 18 B． 36 C． 54 D． 729．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．则x+y的值为（）A． 7 B． 8 C． 9 D． 1010．执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）A．﹣1 B． C． D． 4二、填空题：（每题5分，共25分）11．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取名学生．12．一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积．13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD1与BD所成的角是．14．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm．15．如图，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是．（要求：把可能的图的序号都填上）三、解答题：（共75分）16．（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．17．如图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F．求证：四边形BCFE是梯形．18．一盒中装有各色球12只，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球；从中随机取出1球．求：（1）取出的1球是红球或黑球的概率；（2）取出的1球是红球或黑球或白球的概率．19．已知正方形ABCD的边长是13，平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都为13，M、N分别是PA、BD上的点且PM：MA=BN：ND=5：8，如图．（1）求证：直线MN∥平面PBC；（2）求线段MN的长．20．随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题某汽车销售公司作了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x 与所支出的总费用y（万元）有如下的数据资料：使用年限x 2 3 4 5 6总费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0若由资料，知y对x呈线性相关关系．试求：线性回归方程=x+的回归直线．=，=﹣．21．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=．（Ⅰ）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；（Ⅱ）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．2014-2015学年安徽省巢湖市无为三中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形考点：平面图形的直观图．专题：计算题；转化思想．分析：由图形和A′O′=通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边BC=B'C'，AO⊥BC，且AO=，故三角形为正三角形．解答：解：由图形知，在原△ABC中，AO⊥BC，∵A′O′=∴AO=∵B′O′=C′O′=1∴BC=2∴AB=AC=2∴△ABC为正三角形．故选A点评：本题考查了平面图形的直观图的画法及其先关性质，把握好直观图与原图形的关系，是个基础题．2．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（）A． 3 B． 4 C． 5 D． 6考点：平面的基本性质及推论．专题：计算题．分析：根据平行六面体的结构特征和公理2的推论进行判断，即找出与AB和CC1平行或相交的棱．解答：解：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件．故选C．点评：本题考查了平行六面体的结构特征和公理2的推论的应用，找出与AB和CC1平行或相交的棱即可，考查了空间想象能力．3．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（） A． 16π B． 20π C． 24π D． 32π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；综合题．分析：先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．解答：解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴球的半径为，球的表面积是24π，故选C．点评：本题考查学生空间想象能力，四棱柱的体积，球的表面积，容易疏忽的地方是几何体的体对角线是外接球的直径，导致出错．4．将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（）A．平行 B．垂直C．相交成60°角 D．异面且成60°角考点：异面直线的判定．专题：探究型．分析：以AB所在平面为底面，将右侧正方形折起为右边的平面，因为DE∥AB，所以∠CDE 即为直线AB，CD所成的角，在△CDE中求解即可．解答：解：如图，直线AB，CD异面．因为DE∥AB，所以∠CDE即为直线AB，CD所成的角，因为△CDE为等腰直角三角形，故∠CDE=60°故选D．点评：本题以图形的折叠为载体，考查平面图形向空间图形的转化，考查折叠问题、异面直线的判断及异面直线所成的角，考查空间想象能力和运算能力．5．对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n考点：命题的真假判断与应用．专题：阅读型；空间位置关系与距离．分析：由线面的位置关系，即可判断A；由空间直线与直线的位置关系，即可判断B；运用线面平行的性质定理，即可判断C；由线面平行的性质和直线与直线的位置关系，即可判断D．解答：解：对于A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，则n∥α或n与α相交，故A 错；对于B．如果m⊂α，n与α相交，则m，n是相交或异面直线，故B错；对于C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，由线面平行的性质定理，可得m∥n，故C对；对于D．如果m∥α，n∥α，m，n共面，则m∥n或m，n相交，故D错．故选C．点评：本题考查空间直线与直线的位置关系和直线与平面的位置关系，考查线面平行的判定定理和性质定理及运用，考查空间想象能力，属于基础题和易错题．6．将边长为a的正方形沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A． 6a3 B． 12a3 C．a3 D．a3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先利用几何体的边与边的关系求出AE=CE=，DE=BE=，进一步证明AC⊥平面DEB，最后利用V D﹣ABC=V C﹣DEB+V A﹣DEB，求出几何体的体积．解答：解：依题意：先画出几何体边长为a的正方形折叠后，使得BD=a，取AC的中点E，根据三角形中边的关系，求得：AE=CE=，DE=BE=由于AC⊥DE，AC⊥BEAC⊥平面DEB所以：V D﹣ABC=V C﹣DEB+V A﹣DEB=2×=故选：D点评：本题考查的知识要点：平面图形与立体图形的转化，锥体的体积公式的应用．7．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．其中真命题的个数为（）A． 3 B． 2 C． 1 D． 0考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．分析：根据空间中平面平行的判定方法，平面平行的性质定理，线面平行的性质定理，我们逐一对已知中的三个命题进行判断，即可得到答案．解答：解：①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l、m，故①错误；②中l与m也可能异面，故②错误；③中⇒l∥m，同理l∥n，则m∥n，故③正确．故选C点评：本题考查的知识点是平面与平面之间人位置关系判断，及空间中直线与平面之间的位置关系判断，熟练掌握空间中线面之间关系判定的方法和性质定理是解答本题的关键．8．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10，12）内的频数为（）A． 18 B． 36 C． 54 D． 72考点：频率分布直方图．专题：计算题；阅读型．分析：从直方图得出数据落在[10，12）外的频率后，再根据所求频率和为1求出落在[10，12）外的频率，再由频率=，计算频数即得．解答：解：观察直方图易得数据落在[10，12）的频率=（0.02+0.05+0.15+0.19）×2=0.82；数据落在[10，12）外的频率=1﹣0.82=0.18；∴样本数落在[10，12）内的频数为200×0.18=36，故选：B．点评：本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，同时考查频率、频数的关系：频率=．9．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．则x+y的值为（）A． 7 B． 8 C． 9 D． 10考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：计算题．分析：利用平均数求出x的值，中位数求出y的值，解答即可．解答：解：由茎叶图可知甲班学生的总分为70×2+80×3+90×2+（8+9+5+x+0+6+2）=590+x，又甲班学生的平均分是85，总分又等于85×7=595．所以x=5乙班学生成绩的中位数是80+y=83，得y=3．∴x+y=8．故选B．点评：本题考查数据的平均数公式与茎叶图，考查计算能力，基础题．10．执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）A．﹣1 B． C． D． 4考点：循环结构．专题：计算题．分析：直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当i=9＜9，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可．解答：解：第1次判断后循环，S=﹣1，i=2，第2次判断后循环，S=，i=3，第3次判断后循环，S=，i=4，第4次判断后循环，S=4，i=5，第5次判断后循环，S=﹣1，i=6，第6次判断后循环，S=，i=7，第7次判断后循环，S=，i=8，第8次判断后循环，S=4，i=9，第9次判断不满足9＜8，推出循环，输出4．故选D．点评：本题考查循环框图的作用，正确计算循环变量的数值，是解题的关键，考查计算能力．二、填空题：（每题5分，共25分）11．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取15 名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比，做出高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人数．解答：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，∴高二在总体中所占的比例是=，∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，∴要从高二抽取，故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题．12．一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积24．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图可判断几何体是一个一个正三棱柱，底面边长为4，高为2，再根据几何体求解面积．解答：解：三视图如图所示：根据三视图可判断几何体是一个一个正三棱柱，底面边长为2，高为2，∴表面积：3×4×2+2××（4）2=24+8；故答案为：24+8；点评：本题考查了空间几何体的三视图，性质，面积公式，属于中档题．13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD1与BD所成的角是60°．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：通过平移直线作出异面直线AD1与BD所成的角，在三角形中即可求得．解答：解：如图，连结BC1、BD和DC1，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AB=D1C1，AB∥D1C1，可知AD1∥BC1，所以∠DBC1就是异面直线AD1与BD所成角，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1、BD和DC1是其三个面上的对角线，它们相等．所以△DBC1是正三角形，∠DBC1=60°故异面直线AD1与BD所成角的大小为60°．故答案为60°．点评：本题考查异面直线所成的角及其求法，解决该类题目的基本思路是化空间角为平面角．14．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 4 cm．考点：组合几何体的面积、体积问题．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．解答：解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×，解得r=4．故答案为：4点评：本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力，是基础题．15．如图，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是②③．（要求：把可能的图的序号都填上）考点：简单空间图形的三视图．专题：作图题；压轴题．分析：由三视图的定义研究四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，由于线是由点确定的，故研究四边形的四个顶点在三个投影面上的射影，再将其连接即可得到三个视图的形状，按此规则对题设中所给的四图形进行判断即可．解答：解：因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影．四边形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如图②所示；四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在面ADD1A1上的射影显然是一条线段，如图③所示．故②③正确故答案为②③点评：本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则来作出三个视图的能力，三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．本题是根据三视图投影规则来选择正确的视图，三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视三、解答题：（共75分）16．（12分）（2014秋•湘潭期末）（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；图表型．分析：由已知中底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，我们可计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积公式，即可得到答案．解答：解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S，则由三角形相似得r=1 （2分）∴，∴．（6分）点评：本题考查的知识点是圆柱的表面积，其中根据已知条件，求出圆柱的底面半径，是解答本题的关键．17．如图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F．求证：四边形BCFE是梯形．考点：直线与平面平行的性质；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：证明BC∥平面PAD，可得BC∥EF，再证明BC≠EF，即可得出结论．解答：证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD．∵平面BCFE∩平面PAD=EF，∴BC∥EF．∵AD=BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四边形BCFE是梯形．点评：本题考查直线与平面平行的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．18．一盒中装有各色球12只，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球；从中随机取出1球．求：（1）取出的1球是红球或黑球的概率；（2）取出的1球是红球或黑球或白球的概率．考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球，满足条件的事件是取出的球是红球或黑球，根据古典概型和互斥事件的概率公式得到结果．（2）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球，满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球，根据古典概型公式得到结果．解答：解：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果；满足条件的事件是取出的球是红球或黑球共有9种结果，∴概率为．（2）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果；满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球共有11种结果，∴概率为．即取出的1球是红球或黑球的概率为；取出的1球是红球或黑球或白球的概率为．点评：理解古典概型的特征，试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题．19．已知正方形ABCD的边长是13，平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都为13，M、N分别是PA、BD上的点且PM：MA=BN：ND=5：8，如图．（1）求证：直线MN∥平面PBC；（2）求线段MN的长．考点：直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连结AN并延长和BC交于E点，由条件证明MN∥PE，再利用直线和平面平行的判定定理证明MN∥平面PBC．（2）由于△PBC是边长为13的等边三角形，利用余弦定理求得PE的值，根据△AMN 与△APE的相似比为，可得MN=PE的值．解答：（1）证明：连结AN并延长和BC交于E点，由PM：MA=BN：ND=5：8，可得EN：NA=BN：ND=MP：MA=5：8，即=，∴MN∥PE，而MN⊄平面PBC，PE⊂面PBC，∴MN∥平面PBC．（2）解：由于△PBC是边长为13的等边三角形，余弦定理求得PE2=PB2+BE2﹣2PB•EBcos60°=132+﹣2×13××=，∴PE=．由于△AMN 与△APE的相似比为，∴MN=PE=7．点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，余弦定理，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．20．随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题某汽车销售公司作了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x 与所支出的总费用y（万元）有如下的数据资料：使用年限x 2 3 4 5 6总费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0若由资料，知y对x呈线性相关关系．试求：线性回归方程=x+的回归直线．=，=﹣．考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：把数据代入公式，利用最小二乘法求回归方程的系数，可得回归直线方程；解答：解：=（2+3+4+5+6）=4，=（2.2+3.8+5.5+6.5+7.0）=5，=90，=112.3，∴==1.23；∴=﹣=5﹣1.23×4=0.08．∴线性回归方程=1.23x+0.08．点评：本题考查了线性回归直线方程的求法及利用回归方程估计预报变量，解答此类问题的关键是利用公式求回归方程的系数，计算要细心．21．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=．（Ⅰ）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；（Ⅱ）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．考点：平面与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由四棱柱的性质可得四边形BB1D1D为平行四边形，故有BD和B1D1平行且相等，可得 BD∥平面CB1D1．同理可证，A1B∥平面CB1D1．而BD和A1B是平面A1BD内的两条相交直线，利用两个平面平行的判定定理可得平面A1BD∥平面CD1B1 ．（Ⅱ）由题意可得A1O为三棱柱ABD﹣A1B1D1的高，由勾股定理可得A1O=的值，再根据三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积V=S△ABD•A1O，运算求得结果．解答：解：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=，由棱柱的性质可得BB1和DD1平行且相等，故四边形BB1D1D为平行四边形，故有BD和B1D1平行且相等．而BD不在平面CB1D1内，而B1D1在平面CB1D1内，∴BD∥平面CB1D1．同理可证，A1BCD1为平行四边形，A1B∥平面CB1D1．而BD和A1B是平面A1BD内的两条相交直线，故有平面A1BD∥平面CD1B1 ．（Ⅱ）由题意可得A1O为三棱柱ABD﹣A1B1D1的高．三角形A1AO中，由勾股定理可得A 1O===1，∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积V=S△ABD•A1O=•A1O=×1=1．点评：本题主要考查棱柱的性质，两个平面平行的判定定理的应用，求三棱柱的体积，属于中档题．。
安徽高二高中数学期中考试带答案解析
安徽高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，若，则是函数的极值点.因为在处的导数值，所以是的极值点.以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确2.函数f(x)＝x－sin x的大致图象可能是 ( )．A．B．C．D．3.若，且，则的最大值为( )．A．1B．2C．3D．44.某车队准备从甲、乙等7辆车中选派4辆参加救援物资的运输工作，并按出发顺序前后排成一队．要求甲、乙至少有一辆参加，且若甲、乙同时参加，则它们出发时不能相邻，那么不同的排法种数为 ( )．A．360B．520C．600D．7205.一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人按先前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向数轴的正方向，以1步的距离为1个单位长度．用表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记则下列结论错误的是（）A．B．C．D．6.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形有对角线数f(n+1)为( )．A．f(n)+n+1B．f(n)+n C．f(n)+n-1D．f(n)+n-27.已知e为自然对数的底数,设函数,则( )．A．当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B．当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值C．当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D．当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值8.若函数内单调递增，则实数a的取值范围是( )．A．B．C．D．9.已知数列是等比数列，且，则的值为（）A．B．C．D．10.已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于( )．A．B．C．D．11.已知定义域为（0，+∞），为的导函数，且满足，则不等式的解集是( )．A．B．C．D．12.已知函数在恰有两个不同的零点，则下列结论正确的是( )．A．B．C．D．二、填空题1.观察下列等式:,,,,由以上等式推测:对于,若则=______2.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
安徽高二高中数学期中考试带答案解析
安徽高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .2.若复数满足，其中为虚数单位，则__________．3.若正实数，满足，则的最小值是．4.在矩形中，对角线与相邻两边所成的角为，，则有.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体中，对角线与相邻三个面所成的角为，，，则__________．二、选择题1.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．2.若集合（是虚数单位），，则等于（）A．B．C．D．3.执行下图的程序框图，若输入的分别为，则输出的（）A．B．C．D．4.下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是（）A．B．C．D．5.设，，，…，，，则（）A．B．C．D．6.对命题“正三角形的内切圆内切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的（）A．一条中线上的点，但不是重心B．一条垂线上的点，但不是垂心C．一条角平分线上的点，但不是内心D．中心7.设，且（，，均为正数），由综合法得的取值范围是（）A．B．C．D．8.如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据，根据表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，则下列结论错误的是（）A. 产品的生产能耗与产量呈正相关B. 的取值必定是3.15C. 回归直线一定过D. 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨9.将正奇数1,3,5,7，…，排成五列（如表），按此表的排列规律，89所在的位置是（）A．第一列B．第二列C．第三列D．第四列10.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，若点到抛物线焦点的距离为3，则等于（）A．B．C．D．11.经过椭圆的一个焦点作倾斜角为的直线，交椭圆于，两点，设为坐标原点，则等于（）A．B．C．或D．12.设，是两个实数，给出下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能推出：“，中至少有一个大于1”的条件是（）A．②③B．①②③C．③D．③④⑤三、解答题1.已知复平面内点、对应的复数分别是，，其中，设对应的复数为.（Ⅰ）求复数；（Ⅱ）若复数对应的点在直线上，求的值.2.已知，求证：。
安徽高二高中数学期中考试带答案解析
安徽高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.从个同类产品（其中个是正品，个是次品）中任意抽取个，下列事件中概率最大的是（）A．个都是正品B．至少有个是次品C．至少有个是正品D．个都是次品2.两个事件对立是这两个事件互斥的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.命题：“若，则”的逆否命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则4.若10把钥匙中只有1把能打开某锁，某人逐把试探开锁，则恰好在第3次能将该锁打开的概率为（）A．B．C．D．5.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）A． B．C． D．6.在下列各数中，最大的数是（）A．B．C．D．7.椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则△的面积为（）A．B．C．D．8.如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①；②∠BAC＝60°；③三棱锥D—ABC是正三棱锥；④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④9. 设，，，（其中）的离心率分别为，则（ ）．A ．B ．C ．D ．大小不确定10.程序框图如图：[如果上述程序运行的结果是S=1320，那么判断框中应填人（ ） A ．K<10？ B ．K 10？ C ．K<11？D ．K 11？二、填空题1.若a ＝(3x ，－5，4)与b ＝(x ，2x ，－2)之间夹角为钝角，则x 的取值范围为 ．2. 设是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，为坐标原点，则____________3.一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为 。
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安徽高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.集合（其中i为虚数单位），，且，则实数的值为A．B．C．或D．2.下面使用类比推理正确的是A．“若,则”类比出“若,则”B．“若”类比出“”C．“若” 类比出“（）”D．“” 类比出“”3.是定义在上的增函数,则不等式的解集是A．B．C．D．4.人的年龄与人体脂肪含量的百分数的回归方程为，如果某人岁，那么这个人的脂肪含量A．一定B．在附近的可能性比较大C．无任何参考数据D．以上解释都无道理5.定义集合A、B的一种运算：，若，，则中的所有元素数字之和为A．9 B．14 C．18 D．216.数列，…前100项的和等于A．B．C．D．7.若下框图所给程序运行的结果为S=90，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是A．？B．？C．？D． ?8.在下列图象中，二次函数与指数函数的图像只可能是9.．将正奇数按下表排列： 1 35 7 911 13 15 17………则199在A．第11行B．第12行C．第10列D．第11列10.已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，，等式恒成立.若数列{}满足，且=，则的值为A．4016B．4017C．4018D．4019二、填空题1.若，则 .2.某航空公司规定，乘机所携带行李的重量（）与其运费（元）由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为 .3.已知定义在复数集C上的函数f(x)满足，则 .4.给出下列命题(1) 实数的共轭复数一定是实数;(2) 满足的复数对应点的轨迹是椭圆;(3)对于任意复数，；(4) 对于任意整数,；其中正确命题的序号是 .5.，，，，…以此类推，第个等式为 .三、解答题1.（本题12分）已知函数是定义在R上的偶函数, 当时, ，（1）求函数的解析式；（2）求的值；（3）若，求实数的值.2.（本题12分）某学校高三年级有学生1000名，经调查研究,其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B类同学），现用分层抽样方法（按 A类、B类分二层）从该年级的学生中共抽查100名同学，如果以身高达165cm作为达标的标准,对抽取的100名学生,得到以下列联表:体育锻炼与身高达标2×2列联表（1）完成上表;（2）请问有多大的把握认为体育锻炼与身高达标有关系（K2值精确到0．01）?参考公式:K2=,参考数据:P（K2≥k0）0．400．250．150．100．050．0253.（本题12分）研究问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，有如下解法：解：由，令，则，所以不等式的解集为．参考上述解法，已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集．4.（本题12分）某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图一所示；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二所示（利润与投资单位：万元）.（1）分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？5.（本题13分）已知数列和满足：，，其中为实数，为正整数.（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；6.（本题14分）已知函数R）.（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；（2）在（1）条件下，求函数的单调区间和极值；（3）当，且时，证明：安徽高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.集合（其中i为虚数单位），，且，则实数的值为A．B．C．或D．【答案】B【解析】略2.下面使用类比推理正确的是A．“若,则”类比出“若,则”B．“若”类比出“”C．“若” 类比出“（）”D．“” 类比出“”【答案】C【解析】略3.是定义在上的增函数,则不等式的解集是A．B．C．D．【答案】D【解析】略4.人的年龄与人体脂肪含量的百分数的回归方程为，如果某人岁，那么这个人的脂肪含量A．一定B．在附近的可能性比较大C．无任何参考数据D．以上解释都无道理【答案】B【解析】略5.定义集合A、B的一种运算：，若，，则中的所有元素数字之和为A．9 B．14 C．18 D．21【答案】B【解析】略6.数列，…前100项的和等于A．B．C．D．【答案】A【解析】略7.若下框图所给程序运行的结果为S=90，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是A．？B．？C．？D． ?【答案】D【解析】略8.在下列图象中，二次函数与指数函数的图像只可能是【答案】A【解析】略9.．将正奇数按下表排列： 1 35 7 911 13 15 17………则199在A．第11行B．第12行C．第10列D．第11列【答案】C【解析】略10.已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，，等式恒成立.若数列{}满足，且=，则的值为A．4016B．4017C．4018D．4019【答案】D【解析】略二、填空题1.若，则 .【答案】80【解析】略2.某航空公司规定，乘机所携带行李的重量（）与其运费（元）由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为 .【答案】19【解析】略3.已知定义在复数集C上的函数f(x)满足，则 .【答案】3【解析】略4.给出下列命题(1) 实数的共轭复数一定是实数;(2) 满足的复数对应点的轨迹是椭圆;(3)对于任意复数，；(4) 对于任意整数,；其中正确命题的序号是 .【答案】【解析】略5.，，，，…以此类推，第个等式为 .【答案】【解析】略三、解答题1.（本题12分）已知函数是定义在R上的偶函数, 当时, ，（1）求函数的解析式；（2）求的值；（3）若，求实数的值.【答案】解：（1）当时，有又是定义在R上的偶函数，所求函数的解析式是（2），（3）当时，由得，当时，由得，综上可得所求实数的值为【解析】略2.（本题12分）某学校高三年级有学生1000名，经调查研究,其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B类同学），现用分层抽样方法（按 A类、B类分二层）从该年级的学生中共抽查100名同学，如果以身高达165cm作为达标的标准,对抽取的100名学生,得到以下列联表:体育锻炼与身高达标2×2列联表身高达标身高不达标总计（1）完成上表;（2）请问有多大的把握认为体育锻炼与身高达标有关系（K2值精确到0．01）?参考公式:K2=,参考数据:【答案】解：（1）（2）K=1．33故有75℅把握认为体育锻炼与身高达标有关系．-----12分【解析】略3.（本题12分）研究问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，有如下解法：解：由，令，则，所以不等式的解集为．参考上述解法，已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集．【答案】解: 由于不等式的解集为，则方程=0的根分别为-2,-1,2,3．由,得,因此,方程的根为:∴不等式的解集:．【解析】略4.（本题12分）某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图一所示；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二所示（利润与投资单位：万元）.（1）分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？【答案】解：（1）设投资为x万元，A、B两产品获得的利润分别为f(x)、g(x)万元，由题意，f(x)=又由图知f(1.8)="0.45, " g(4)="2.5; " 解得∴f(x)=（2）设对B产品投资x万元，对A产品投资（10－x）万元，记企业获取的利润为y万元，则y=设∴当也即时，y取最大值答：对B产品投资万元，对A产品投资万元时，可获最大利润万元【解析】略5.（本题13分）已知数列和满足：，，其中为实数，为正整数. （Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；【答案】解：（1）证明；假设存在一个实数，使是等比数列，则有，即矛盾。
安徽高二高中数学期中考试带答案解析
安徽高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.直线的倾斜角为（）A．B．C．D．2.若两个球的表面积之比为,则这两个球的体积之比为（）A．B．C．D．3.已知是异面直线，直线∥直线，那么与()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线4.设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A．若,,则B．若,,则C．若,,则D．若,,则5.已知直线与垂直，则是（）A．1或3B．1或5C．1或4D．1或26.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A．B．C．D．7.在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是（）A．B．C．D．8.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是（）A．B．C．D．9.直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．10.在空间中,过点作平面的垂线,垂足为,记.设是两个不同的平面,对空间任意一点,,恒有,则（）A．平面与平面垂直B．平面与平面所成的(锐)二面角为C．平面与平面平行D．平面与平面所成的(锐)二面角为二、填空题1.直线与两坐标轴围成的三角形面积等于__________.2.若点位于曲线与所围成的封闭区域, 则的最小值为________.3.已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，则球心到截面的距离为________。
4.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，EF=，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为____________.5.多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，是正方体的其余四个顶点中的一个，则到平面的距离可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7以上结论正确的为______________。
安徽高二高中数学期中考试带答案解析
安徽高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.直线的倾斜角为（）A．B．C．D．2.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．3.直线与的距离是（）A．B．C．D．4.过点且方向向量为的直线方程为（）A．B．C．D．5.已知实数满足约束条件，若目标函数的最大值为7，则的最小值为（）A．3B．4C．7D．126.在梯形中，，将梯形绕所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．7.将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则与点重合的点的坐标是（）A．B．C．D．8.若异面直线分别在平面和内，且，则直线（）A．与相交B．与都不相交C．至少与之一相交D．至多与之一相交9.已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若垂直与同一平面，则平行B．若平行于同一平面，则平行C．若不平行，则内不存在与平行的直线D．若不平行，则不可能垂直与同一平面10.在三棱柱，各棱长相等，侧棱垂直与底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是（）A．B．C．D．11.一个的长方体能装卸8个半径为1的小球和一个半径为2的大球，则的最小值为（）A．B．C．D．812.平行六面体中，与平面交于点，则是的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心二、填空题1.设直线过点，且横截距与纵截距相等，则直线的方程为．2.若直线不经过第二象限，则实数的取值范围是．3.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则．4.在三棱锥中，已知，则三棱锥外接球的表面积为．三、解答题1.已知直线，与直线．（1）若，求的值；（2）若，求的值。
2.已知点，点在线段垂直平分线上，求（1）线段垂直平分线方程；（2）取得最小值时点的坐标．3.如图，正方体中，是线段上一点．（1）证明：平面；（2）若二面角的余弦值为，判断点在线段上位置，并说明理由．4.如图，是圆台上底面圆的直径，是圆上不同于的一点，是下底面圆上一点，过的截面垂直与下底面，为的中点，又．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．5.如图，在正四棱锥中，，分别是棱的中点，平面平面．（1）证明：平面；（2）求异面直线与夹角的余弦值．6.如图，已知四棱台上，下底面分别是边长为3和6的正方形．且底面，点分别在棱上．（1）点是的中点，证明：；（2）若平面，二面角的正切值为，求四面体的体积．安徽高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.直线的倾斜角为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】直线的斜率为，倾斜角为，则，．故选D．【考点】直线的倾斜角．2.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】该几何体是一个正方体在两个角处挖去两个相同的四分之一圆柱，．【考点】三视图，几何体的体积．3.直线与的距离是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直线方程化为，所以距离为．【考点】平行间的距离．4.过点且方向向量为的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】只有A中直线的方向向量为，故选A．（也可以写出直线方程为，化简为）【考点】直线的方向向量．5.已知实数满足约束条件，若目标函数的最大值为7，则的最小值为（）A．3B．4C．7D．12【答案】C【解析】作出约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，当把直线向上平移时增大，当直线过点时，取最大值，所以，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为7，故选C．【考点】简单的线性规划问题，基本不等式．6.在梯形中，，将梯形绕所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，故选C．【考点】旋转体的体积．7.将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则与点重合的点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】折叠后的对应点的连线相互平行，，，因此与点重合的点为，故选A．【考点】折叠问题．8.若异面直线分别在平面和内，且，则直线（）A．与相交B．与都不相交C．至少与之一相交D．至多与之一相交【答案】C【解析】与直线可能都相交，可能一条与相交，另一条与平行，如果与都不相交，则都与平行，从而它们也平行，与题设矛盾，因此只有正确，故选C．【考点】空间两直线的位置关系．9.已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若垂直与同一平面，则平行B．若平行于同一平面，则平行C．若不平行，则内不存在与平行的直线D．若不平行，则不可能垂直与同一平面【答案】D【解析】若垂直与同一平面，则可能平行也可能相交，A错；若平行于同一平面，则平行、相交、异面都有可能，B错；若相交时，则内与交线平行的直线与平行，C错；则垂直与同一平面，则与平行，D正确，故选D．【考点】面面、线面、线线间的位置关系．10.在三棱柱，各棱长相等，侧棱垂直与底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，是的中点，连接，则，而三棱柱的侧面与底面垂直，因此有侧面，即是与平面所成的角，设棱长为，则，，，，故选C．【考点】直线与平面所成的角．11.一个的长方体能装卸8个半径为1的小球和一个半径为2的大球，则的最小值为（）A．B．C．D．8【答案】B【解析】在的面上放4个小球，在在上面放一个大球，4个小球每个都与相邻两个相切，大球与四个小球都相切，记4个小球的球心依次为，大球球心为，则为正四棱锥，底面边长为2，侧棱长为3，其高为，对应上面再放4个小球，因此的最小值为，故选B．【考点】长方体与球．12.平行六面体中，与平面交于点，则是的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【答案】A【解析】设，则是与的交点，即与的交点是的中点，同理与的交点是的中点，因此是的重心，故选A．【考点】三角形的五心，直线与平面的交点作法（公理2）．【名师点睛】空间元素是通过平面来实现的，作直线与平面的交点，首先是过直线找一个平面与已知平面相交，这条直线与交线（在同一平面内）的交点就是直线与平面的交点．二、填空题1.设直线过点，且横截距与纵截距相等，则直线的方程为．【答案】或【解析】截距为0时，，方程为，即，截距不为0时，设方程为，则，方程为，即，所求直线方程为或．【考点】直线方程．2.若直线不经过第二象限，则实数的取值范围是．【答案】【解析】直线过定点，斜率为，，则直线不经过第二象限时，有．【考点】直线的斜率．3.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则．【答案】4【解析】，．【考点】棱柱的体积．【名师点睛】1．解答与几何体的体积有关的问题时，根据相应的体积公式，从落实公式中的有关变量入手去解决问题，例如对于正棱锥，主要研究高、斜高和边心距组成的直角三角形以及高、侧棱和外接圆的半径组成的直角三角形；对于正棱台，主要研究高、斜高和边心距组成的直角梯形．2．求几何体的体积时，若给定的几何体是规则的柱体、锥体或台体，可直接利用公式求解；若给定的几何体不能直接利用公式得出，常用转换法、分割法、补形法等求解．4.在三棱锥中，已知，则三棱锥外接球的表面积为．【答案】【解析】设中点为，由于，则点到点的距离相等，因此是三棱锥外接球的直径，由题意，是等边三角形，，所以，．【考点】几何体与外接球，球的表面积．【名师点睛】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的．三、解答题1.已知直线，与直线．（1）若，求的值；（2）若，求的值。
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安徽高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.不等式（1－）（3+）>0的解集是A. (－3,1) B (－∞,－3)∪(1,+∞)C. (－1,3)D. (－∞,－1)∪(3,+∞)2.已知数列的通项公式是：，则的值为A． 2B．C．D．3.如果实数，则下列各式正确的是A．B．C．D．4.在△ABC中，已知,则B等于A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°5.已知数列的通项公式是，那么这个数列是A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列6.已知实数，且,则下列关系式正确的是A．B．C．D．7.已知实数，则的最小值是A． 18B． 6C． 2D．28.在线性约束条件下,目标函数的最小值是.A． 9B．2C．3D．49.等比数列的前n项的和为，若成等差数列，则的值是A．B．C．D．10.已知实数满足，则有A．最大值3+2B．最小值3+2C．最大值4D．最小值411.在△ABC中，三边成等差数列，B=300，三角形ABC的面积为，则的值是A．1+B．2+C．3+D．,若，12.已知等差数列数列前n的和为Sn,,，则的值是A． 2009B． 2010C．0D．2010×2011二、填空题1.不等式的解集是2.在三角形ＡＢＣ中，若，则的最大值是 .3.关于的不等式的解集是Ｒ，则实数的取值范围是 .4.已知等差数列的首项及公差都是整数，且前项和为，若，则数列的通项公式是 ________.三、解答题1.（本小题满分12分）已知数列是等比数列，首项.（1）求数列的通项公式（2）若数列是等差数列，且求数列的通项公式及前项和.2.（本小题满分12分）在△ABC中，角A,B,C 的对边分别是，已知（1）求角B的大小（2）求三角形ABC的面积。
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安徽高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若是虚数单位，复数满足，则（）A．B．C．D．2.已知函数的导函数为，且满足，则（）A．B．C．D．3.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．中至少有两个偶数B．中至少有两个偶数或都是奇数C．都是奇数D．都是偶数4.已知函数有极值，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．5.函数的图像大致为（）A．B．C．D．6.已知复数为虚数单位）为实数，则的值为（）A．B．C．D．7.用数学归纳法证明时，由到时，等式左边应添加的式子是（）A．B．C．D．8.设，若函数有大于零的极值点，则（）A．B．C．D．9.如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第个图形用了根火柴，第个图形用了根火柴，第个图形用了根火柴, ……，则第个图形用的火柴根数为（）A．B．C．D．10.物体以的速度在一直线上运动，物体在直线上，且在物体的正前方处，同时以的的速度与同向运动，出发后物体追上物体所用的时间为（）A．B．C．D．11.已知直线与曲线相切，则（）A．B．C．D．12.定义在上的偶函数的导函数为.若对任意的实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题1.已知函数，则的值等于．2.定义在上的可导函数，已知的图象如图，则的递减区间是．3.如图，在平面直角坐标系中将直线与直线及轴所围成的图形绕轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积.据此类推：如图，将曲线与直线所围成的图形绕轴旋转一周得一个旋转体，则该旋转体的体积．三、解答题1.已知为实数，且函数.（1）求导函数；（2）若，求函数在上的最大值、最小值.2.已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.3.已知函数.（1）若，求函数的图象在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调区间.4.已知.（1）当时，试比较与的大小关系；（2）猜想与的大小关系，并给出证明.5.若函数对任意，都有. 则称函数是“以为界的类斜率函数”.（1）试判断函数是否为“以为界的类斜率函数”；（2）若实数，且函数是“以为界的类斜率函数”，求实数的取值范围.安徽高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.若是虚数单位，复数满足，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知，，.故选B.【考点】 1、复数的运算；2、复数的摸的求法.2.已知函数的导函数为，且满足，则（）A．B．C．D．【答案】 C【解析】因为，所以，时，可解得，，故选C.【考点】函数的求导法则及自然对数求导.3.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．中至少有两个偶数B．中至少有两个偶数或都是奇数C．都是奇数D．都是偶数【答案】B【解析】根据命题与命题内涵的互补性知，“自然数中恰有一个偶数”的假设应为“中至少有两个偶数或都是奇数”，故选B.【考点】数学归纳法与命题的否定.4.已知函数有极值，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以其导函数，又因为有极值，所以有解，，，故选A.【考点】利用导数研究函数的极值.5.函数的图像大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】排除，又因为，所以得上递增，得上递减，因此时函数有极大值,排除,故选A.【考点】 1、函数的图象和性质；2、利用导数研究函数的极值及单调性.6.已知复数为虚数单位）为实数，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为为实数，所以，=，由定积分的几何意义知，的值为以原点为圆心，以为半径的圆的面积的四分之一，即是，所以的值为，故选A.【考点】1、复数的概念；2、定积分的几何意义.7.用数学归纳法证明时，由到时，等式左边应添加的式子是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据等式左边先增后减，由于时左边，时，左边，比较两式，增加的式子为，故选B.【考点】数学归纳法的应用.8.设，若函数有大于零的极值点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，令得，，故选C.【考点】1、利用导数研究函数的极值；2、方程有解求参数范围问题.9.如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第个图形用了根火柴，第个图形用了根火柴，第个图形用了根火柴, ……，则第个图形用的火柴根数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】第个图形需要火柴的根数为，第个图形需要火柴的根数为，第个图形需要火柴的根数为，…,第个图形需要火柴的根数为，所以第个图形需要火柴的根数为，故选D.【考点】1，归纳推理；2、等差数列求和公式.【方法点睛】本题主要考查归纳推理，属于难题.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：（1）数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；（2）形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.10.物体以的速度在一直线上运动，物体在直线上，且在物体的正前方处，同时以的的速度与同向运动，出发后物体追上物体所用的时间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】物体在秒内行驶的路程为，物体在秒内行驶的路程为，，所以，故选C.【考点】定积分的物理意义.11.已知直线与曲线相切，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设切点，则，因为直线与曲线相切，所以，进而，故选D.【考点】利用导数研究曲线的切线方程.【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及方程，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：（1）已知切点求斜率,即求该点处的导数；（2）己知斜率求切点即解方程；（3）已知切线过某点（不是切点）求切点, 设出切点利用.12.定义在上的偶函数的导函数为.若对任意的实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设则，当时，因为，所以，因此在上递减，又因为是偶函数，所以是偶函数，所以在递减，由已知可得即是，所以，可得或，故选B.【考点】1、函数的奇偶性、函数的单调性；2、函数的求导法则及构造函数解不等式.【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性奇偶性以及函数的求导法则、构造函数解不等式，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；本题通过对进行变形，构造出函数再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.二、填空题1.已知函数，则的值等于．【答案】【解析】由题意，因为，所以，于是，由导数的定义知，，故答案为.【考点】导数的定义.2.定义在上的可导函数，已知的图象如图，则的递减区间是．【答案】【解析】由的图象可知，当时，，此时，，所以的减区间是，故答案为.【考点】利用导数研究函数的单调性.3.如图，在平面直角坐标系中将直线与直线及轴所围成的图形绕轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积.据此类推：如图，将曲线与直线所围成的图形绕轴旋转一周得一个旋转体，则该旋转体的体积．【答案】【解析】由类比推理知，，故答案为.【考点】类比推理及定积分的应用.【方法点睛】本题主要考查类比推理及定积分的应用，属于中档题.类比推理是根据两个对象有一部分属性类似推出两个对象其他属性也类似的一种推理方法，对科学发现有至关重要的意义，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物的相识性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）.三、解答题1.已知为实数，且函数.（1）求导函数；（2）若，求函数在上的最大值、最小值.【答案】（1）；（2），.【解析】试题分析: （1）将函数函数展开，利用幂函数求导法则求导即可；（2）由解得值，再求出另外一个极值点，比较两个极值和端点的函数值的大小即可求得函数在上的最大值、最小值.试题解析：（1）由，得.（2）因为,所以,，令，则或，又，在在上的最大值、最小值分别为,.【考点】1、函数的求导法则；2、利用导数求函数的最值.2.已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）有得极大值，无极小值；（2）.【解析】（1）当时，，求出单调区间后即可判断出的极值；（2）首先分离参数得得,令，根据函数的图象和性质可求得的取值范围为.试题解析：（1）当时，，当时，，当时，，在上递增；在上递减.当时，取得极大值，无极小值.（2）由，得,令，，时，当时在上递增，在上递减.，又当时，，当时，所以，若函数有两个零点，的取值范围为.【考点】1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究函数的单调性及函数零点问题.3.已知函数.（1）若，求函数的图象在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调区间.【答案】（1）；（2）①当时，函数的单调递增区间是，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，当时，函数的单调递增区间是和，的单调递减区间是，当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.【解析】（1）先对求导，则切线斜率为，再利用点斜式求切线方程即可；（2）分三种情况：，，，，分别利用求出各自的单调增区间和单调减区间. 试题解析：（1）当时，，，函数的图象在点处的切线方程为.（2）由题知，函数的定义域为，，令，解得,①当时，恒成立，则函数的单调递增区间是.②当，即时，在区间和上；在区间上，故函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.③当，即时，在区间和上，；在区间上，故函数的单调递增区间是和，的单调递减区间是.④当，即时，在区间上，在区间上，故函数的单调递增区间是，单调递减区间是.【考点】1、利用导数求曲线的切线方程；2、利用导数研究函数的单调性.4.已知.（1）当时，试比较与的大小关系；（2）猜想与的大小关系，并给出证明.【答案】（1），，；（2），证明见解析.【解析】（1）分别算出的值直接比较大小即可；（2）先由，，猜想，再用数学归纳法证明即可.试题解析：（1）当时，；当时，；当时，.（2）由（1）猜想，下面用数学归纳法给出证明. ①当时，不等式显然成立.②假设当，时不等式成立，即，那么，当时，，因为，所以.由①、②可知，对一切，都有成立.【考点】归纳推理及数学归纳法证明不等式.5.若函数对任意，都有. 则称函数是“以为界的类斜率函数”.（1）试判断函数是否为“以为界的类斜率函数”；（2）若实数，且函数是“以为界的类斜率函数”，求实数的取值范围.【答案】（1）是以为界的类斜率函数；（2）.【解析】（1）函数符合对任意，都有这一性质，可判定是“以为界的类斜率函数”；（2）函数是“以为界的类斜率函数可得到实数的取值范围.在上是减函数，进而恒成立，即可得到实数的取值范围.试题解析：（1）对任意，,“是以为界的类斜率函数”.（2）又，在上是增函数，不妨设，则，，即.设，则等价于函数在上是减函数，即，恒成立.即，，又在上单调递减，而，又，.【考点】1、利用导数研究函数的单调性、求函数的最值；2、不等式恒成立问题求参数范围.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立（即可）或恒成（即可）；②数形结合；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题（2）是利用方法①求得的范围的.。
安徽高二高中数学期中考试带答案解析
安徽高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.用反证法证明命题“三角形的三个内角至多有一个钝角”时，假设的内容应为（）A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角2.复数的值是（）A．B． 0C． 1D． i3.复数的值为（）A．B．C．D．4.已知函数，则（）A．B．C．D．5.函数的图象上一点处的切线的斜率为（）A．B．C．D．6.用数学归纳法证明（）时，从“到”左边需增乘的代数式为（）A．B．C．D．7.函数的图象如图所示，若，则等于（）A．B．C．0D．8.若函数在上可导，且，则（）A．B．C．D．无法确定9.若函数的导函数在区间上是减函数，则函数在区间上的图象可能是（）A. B. C. D.10.设是上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集是（）A．B．C．D．二、填空题1.的值是 .2.如果复数为纯虚数，那么实数a的值为 .3.直线是曲线的一条切线，则实数= .4.设，,,，…，, ，则 .5.下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：设第个图有条线段，则．三、解答题1.已知是全不相等的正实数，证明：.2.一边长为的正方形铁片，铁片的四角各截去一个边长为的小正方形，然后做成一个无盖方盒.（Ⅰ）试把方盒的体积表示为的函数；（Ⅱ）多大时，方盒的体积最大？3.已知数列满足：，（Ⅰ）计算的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.4.已知函数（I）若是的极值点，求的极值；（Ⅱ）若函数是上的单调递增函数，求实数的取值范围.5.已知函数（I）讨论函数的单调性；（Ⅱ）当时，求函数在区间上的最值.6.设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线.(Ⅰ) 求的值；（Ⅱ）求曲线和直线所围成的封闭图形的面积；（Ⅲ）设函数，若方程有三个不相等的实根，求的取值范围.安徽高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.用反证法证明命题“三角形的三个内角至多有一个钝角”时，假设的内容应为（）A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角【答案】B【解析】解：因为用反证法证明命题“三角形的三个内角至多有一个钝角”时，对结论加以否定即可，即为假设至少有两个钝角2.复数的值是（）A．B． 0C． 1D． i【答案】B【解析】解：因为，故选B3.复数的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：因为选C4.已知函数，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：因为，故选 D5.函数的图象上一点处的切线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：因为，故选D6.用数学归纳法证明（）时，从“到”左边需增乘的代数式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为由题意可知，当n=k时，等式表示的为当n=k+1时，则表示为等式左边需乘以，选B7.函数的图象如图所示，若，则等于（）A．B．C．0D．【答案】C【解析】解：因为由图像可知，在【0,2】上的定积分可以分为【0，】和【，2】而第一段的积分表示的为面积，第二段的积分表示的为面积的相反数，因此面积相等，一正一负，这样最后结果为8.若函数在上可导，且，则（）A．B．C．D．无法确定【答案】C【解析】解：因为这样函数在（0,4）递减，（4，+）递增，因此比较大小，代入解析式可得f(0)>f(6)9.若函数的导函数在区间上是减函数，则函数在区间上的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：∵函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是减函数，∴对任意的a＜x′＜x″＜b，有f′（a）>f′（x′）>f′（x″）>f′（b），∴B满足上述条件10.设是上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，即[f（x）g（x）]'＞0故F（x）在x＜0时递增，又∵F（x）=f（x）g（x）是R上的奇函数，∴F（x）的图象关于原点对称，所以F（x）在x＞0时也是增函数．∵f（2）g（2）=0，∴f（-2）g（-2）=0．即F（-2）=0且F（2）=0所以F（x）＞0的解集为：x＜-2或0＜x＜2．二、填空题1.的值是 .【答案】e-2-2【解析】解：因为由微积分基本定理可知2.如果复数为纯虚数，那么实数a的值为 .【答案】-2【解析】解：因为，则有3.直线是曲线的一条切线，则实数= .【答案】ln2-1【解析】解：因为4.设，,,，…，, ，则 .【答案】cosx【解析】解：可见导数为周期为4的重复出现，2012=4*503,则cosx5.下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：设第个图有条线段，则．【答案】2n-1.【解析】解：第一个图上有1，第二图有3，第三个图有7，第四个图有15，则发现瑰丽，利用累加法可求解得到=2n-1.三、解答题1.已知是全不相等的正实数，证明：.【答案】证明：要证明只需证明 4分8分又全不相等，命题得证.【解析】本试题主要考查了不等式的证明，利用分析法和综合法结合来证明。
安徽高二高中数学期中考试带答案解析
安徽高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若A，B，当取最小值时，的值等于（）A．B．C．D．2.空间四边形中，，，则<>的值是（）A．B．C．－D．3.下列说法中正确的是（）A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“”与“”不等价C．“,则全为”的逆否命题是“若全不为, 则”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真4.已知条件，条件，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（）A．B．C．D．6.某纺织厂的一个车间有技术工人名（），编号分别为1、2、3、……、，有台（）织布机，编号分别为1、2、3、……、，定义记号：若第名工人操作了第号织布机，规定，否则，则等式的实际意义是（）A．第4名工人操作了3台织布机；B．第4名工人操作了台织布机；C．第3名工人操作了4台织布机；D．第3名工人操作了台织布机.7.定义的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是（）（1）（2）（3）（4）（A）（B）A. B.C. D.8.已知，且为虚数单位，则的最小值是 ( )A．.B．.C．.D．.9.直线与抛物线所围成的图形面积等于（）A．1B．C．D．10.函数的单调递减区间是. （）A．(–1, 2)B．(–∞, –1)与(1, +∞)C．(–∞, –2)与(0, +∞)D．(–2，0)11.方程x3－6x2+9x－10=0的实根个数是 ( )A．3B．2C．1D．012.已知为偶函数，则a+b= （）A．-6B．-12C．4D．-4二、填空题1.若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则______________2.根据条件：a、b、c满足，且a+b+c=0，下列推理正确的是（填上序号）①，②，③，④3.若命题“不成立”是真命题，则实数的取值范围是_______。
安徽高二高中数学期中考试带答案解析
安徽高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.直线的倾斜角和斜率分别是（）A．B．，不存在C．D．，不存在2.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，如图，若，那么原的面积是（）A．B．C．D．3.下列叙述中正确的个数是（）①若且，则；②三点确定一个平面；③若直线，则直线与能够确定一个平面；④若且，则．A．1B．2C．3D．44.在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（）5.已知过点和的直线与直线平行，则的值为（）A．0B．-8C．2D．106.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．D．7.一个正方体的展开图如图所示，为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A．B．C．与所成的角为D．与相交8.已知两条相交直线，平面，则与平面的位置关系是（）A．平面B．平面C．平面D．与平面相交，或平面9.对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是（）A．相离B．相切C．相交D．无法判断10.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．11.与圆相切，且在两坐标上的截距相等的直线有（）A．1条B．2条C．4条D．6条12.将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则与点重合的点的坐标是（）A．B．C．D．二、填空题1.直线的倾斜角的范围是．（为任意实数）2.若直线不经过第二象限，则实数的取值范围是．3.已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，，则球的体积与三棱锥体积之比是．4.设是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是．①若，则②，则③若，则④若，则5.（本小题满分12分）光线自点射到点后被轴反射．（1）求反射光线所在的直线的方程；（2）求过点且与入射光线垂直的直线方程．（请用直线的一般方程表达解题结果）6.如图，已知三棱柱中，底面，分别是棱的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积．三、解答题1.在正方体中，是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：．2.已知三角形的三个顶点是．（1）求边上的高所在直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程3.在四棱锥中，底面是矩形，平面，，以的中点为球心，为直径的球面交于点，交于点．（1）求证：直线平面；（2）求证：平面平面．4.已知半径为5的圆的圆心在轴正半轴上，且与直线相切．（1）求圆的方程；（2）过点，且方向向量为的直线与圆相交于两点，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．安徽高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.直线的倾斜角和斜率分别是（）A．B．，不存在C．D．，不存在【答案】B【解析】直线与垂直，其倾斜角为90°，斜率不存在．故选B．【考点】直线与斜率与倾斜角．2.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，如图，若，那么原的面积是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在直观图中，在原图形中，，．故选D．【考点】斜二测直观图．3.下列叙述中正确的个数是（）①若且，则；②三点确定一个平面；③若直线，则直线与能够确定一个平面；④若且，则．A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由公理2知①正确；当三点共线，不能确定一个平面，②错误；由公理3的推论2知③正确；由公理1知④正确，因此有3个命题正确．故选C．【考点】平面的性质（三个公理及三个推论）．4.在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（）【答案】C【解析】直线中是斜率，直线中是纵截距，只有C符合．故选C．【考点】直线的方程．5.已知过点和的直线与直线平行，则的值为（）A．0B．-8C．2D．10【答案】B【解析】由题意，解得．故选C．【考点】两直线平行，直线的斜率．6.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】该三视图是四棱锥的三视图，直观图如下，面底面，尺寸如三视图，．故选B．【考点】三视图，棱锥的体积．7.一个正方体的展开图如图所示，为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A．B．C．与所成的角为D．与相交【答案】C【解析】把展开图还原为立体图形，如下图正方体，可见与是异面直线，它们甩成的角为60°．【考点】多面体的展开图，两直线的位置关系．8.已知两条相交直线，平面，则与平面的位置关系是（）A．平面B．平面C．平面D．与平面相交，或平面【答案】D【解析】直线显然不可能在平面内，平行与相交都有可能，故选D．【考点】直线与平面的位置关系．9.对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是（）A．相离B．相切C．相交D．无法判断【答案】C【解析】直线过定点，又，即点在圆内，因此直线与圆一定相交，故选C．【考点】直线与圆的位置关系．【名师点睛】直线与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系有三种:相切、相交、相离．（2）判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法①代数法:把直线方程与圆的方程联立方程组，消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式Δ=b2-4ac②几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系:d<r⇔相交，d=r⇔相切，d>r⇔相离．10.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，由题意，解得，所以圆锥的高为，．故选A．【考点】圆锥的侧面展开图，圆锥的体积．11.与圆相切，且在两坐标上的截距相等的直线有（）A．1条B．2条C．4条D．6条【答案】C【解析】截距不为0时，设直线方程为，即，由，得，截距为0时，设直线方程为，即，由，得，因此截距相等的切线有4条．故选C．【考点】直线与圆的位置关系．【名师点睛】直线方程有多种形式，在解题时要注意各种形式的局限性，截距式方程和点斜式方程不能表示斜率纱存在的情况，截距式方程不能表示至少有一个截距为0的情况，两点式方程不能表示已知两点的连线与坐标轴平行的情况，在用这些方程解题时要分类讨论（或说明），只有一般式可能表示任何情形的直线方程．12.将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则与点重合的点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】折叠后的对应点的连线相互平行，，，因此与点重合的点为，故选A．【考点】折叠问题．【名师点睛】折叠问题与光线反射问题在数学上都是轴对称问题，反射问题中入射角和反射角相等，它们分别是入射光线和反射光线与法线的夹角，折叠问题中对应的点关于折叠线对称，折叠线是对称轴．二、填空题1.直线的倾斜角的范围是．（为任意实数）【答案】【解析】设倾斜角为，，当时，，当时，，故填．【考点】直线的倾斜角．2.若直线不经过第二象限，则实数的取值范围是．【答案】【解析】直线过定点，斜率为，，则直线不经过第二象限时，有．【考点】直线的斜率．3.已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，，则球的体积与三棱锥体积之比是．【答案】【解析】由题意，，，，故填．【考点】几何体的体积．【名师点睛】1．解答与几何体的体积有关的问题时，根据相应的体积公式，从落实公式中的有关变量入手去解决问题，例如对于正棱锥，主要研究高、斜高和边心距组成的直角三角形以及高、侧棱和外接圆的半径组成的直角三角形;对于正棱台，主要研究高、斜高和边心距组成的直角梯形．2．求几何体的体积时，若给定的几何体是规则的柱体、锥体或台体，可直接利用公式求解;若给定的几何体不能直接利用公式得出，常用转换法、分割法、补形法等求解．4.设是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是．①若，则②，则③若，则④若，则【答案】①②③【解析】由，过作平面与交于直线，则，又，所以，从而，①正确；由得，又，所以，②正确；由得，又所以，③正确；教室里桌脚所在直线与教室四面的墙面都是平行的，可见④错误．故填①②③．【考点】线线、线面的位置关系．【名师点睛】空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，空间直线与平面的位置关系包含直线在平面内，线面相交与线面平行三种，空间平面与平面有两种位置关系：平行和相交，另外线面与面面也有垂直（相交的特例）关系的判定，在判断位置关系时相交主要用平面的公理，而平行与垂直主要是判定定理与性质定理的应用，同时要注意线线、线面、面面关系之间的转化．5.（本小题满分12分）光线自点射到点后被轴反射．（1）求反射光线所在的直线的方程；（2）求过点且与入射光线垂直的直线方程．（请用直线的一般方程表达解题结果）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）反射光线过点，而由物理学知识知反射角与入射角相等，因此反射光线与入射光线的斜率相反（注意直线的倾斜角不是入射角、反射角）；（2）入射光线就是过点和点的直线，斜率易求（（1）已求得），根据垂直的直线的斜率乘积为－1可得所求直线的斜率．试题解析：（1）设，则，所以，直线方程为，即．（2）设所求直线的斜率为，则，，直线方程为，即．【考点】直线方程，两直线垂直．6.如图，已知三棱柱中，底面，分别是棱的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．【解析】（1）要证线面垂直，就是要证线线垂直，题中，是中点，则有，而底面，又有，这样由线面垂直的判定定理可得；（2）要证平面，就是要在平面内找到一条与平行的直线，为此可把沿向上平移到点，由于是的中点，这时点平移到的中点处，因此辅助线作法为取的中点，证明即可；（3）由（1）（2）知平面，因此通过换底有．试题解析：（1）证明：因为三棱柱中，底面，又因为平面，所以．因为是中点，所以．因为，所以面；（2）证明：取的中点，连结，因为分别是棱中点，所以，，又因为，所以，所以四边形是平行四边形．所以，因为平面，平面，所以平面；（3）由（2）知平面，所以【考点】线面垂直，线面平行，多面体的体积．【名师点睛】1．判断或证明线面平行的常用方法:（1）利用线面平行的定义（无公共点）;（2）利用线面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α）;（3）利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）;（4）利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β）．2．证明直线和平面垂直的常用方法:（1）利用判定定理;（2）利用面面垂直的性质定理;（3）利用结论:直线a∥直线b，a⊥平面α⇒b⊥α;（4）利用结论:直线a⊥直线α，α∥平面β⇒a⊥β．三、解答题1.在正方体中，是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：．【答案】证明见解析．【解析】（1）要证平面，就是要证与平面内的一条直线垂直，为此观察过的平面与平面相交的情况，可知平面与平面交于直线（是与的交点），如果平面，则一定有，反之也成立，而这个线线平行由中位线定理可得；（2）要证，一般要证明线面垂直，正方体中可证平面，因此结论得证．试题解析：证明：（1）连结，设，则点是中点．点是的中点，，平面平面，平面．（2）在正方体中，平面，所以，，又，所以平面，所以．【考点】线面平行的判定，线面垂直的性质．2.已知三角形的三个顶点是．（1）求边上的高所在直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程【答案】（1）；（2）．【解析】（1）BC边的高所在直线就是与BC垂直且过点A的直线，（2）求出BC边的中点坐标即可．试题解析：（1），，直线方程为，即；（2）设中点为则，，，，AE方程为，即．【考点】直线方程，两直线垂直，中点坐标公式．3.在四棱锥中，底面是矩形，平面，，以的中点为球心，为直径的球面交于点，交于点．（1）求证：直线平面；（2）求证：平面平面．【答案】证明见解析．【解析】（1）要证直线平面，就是要证与平面内的两条相交直线垂直，由题意是球的直径，是球面上的点，因此，已知平面，因此是直线在平面上的射影，而，因此（可由线面垂直证得），结论证得；（2）要证平面平面，就要线面垂直，同样点是球面上的点，因此，即，而由（1）的结论平面，又有，从而证得平面，于是得面面垂直．试题解析：证明：（1）因为以为直径的球面交于点，又平面，面，，矩形，平面，面，又，直线平面．（2）直线平面，面，以为直径的球面交于点，面，面，平面平面．【考点】线面垂直，面面垂直．4.已知半径为5的圆的圆心在轴正半轴上，且与直线相切．（1）求圆的方程；（2）过点，且方向向量为的直线与圆相交于两点，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，．【解析】（1）关键是求圆心坐标，设圆心为，由圆心到切线的距离等于圆的半径可得；（2）由方向向量可设直线方程为，利用圆心到直线直线的距离小于圆的半径可求得的范围；（3）直线垂直平分弦，说明且过圆心，由此求得，要注意（2）中的范围．试题解析：（1）设圆心为，由于圆与直线相切，且半径为5，所以，即，因为，故，故所求圆的方程是；（2）由题意，直线，即与圆相交．∴，即，∴或．所以实数的取舍范围是．（3）设符合条件的实数存在，由（2）得，则直线的斜率为，的方程为，即，由于垂直平分弦，故圆心必在上，所以，解得，由于，故存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．【考点】圆的方程，直线与圆的位置关系．【名师点睛】直线与圆的位置关系有两种判定方法:代数法与几何法．由于几何法一般比代数法计算量小，简便快捷，所以更容易被人接受．同时，由于它们的几何性质非常明显，所以利用数形结合，并充分考虑有关性质会使问题处理起来更加方便．。
安徽高二高中数学期中考试带答案解析
安徽高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数的实部是（ ）A ．2B ．1C ．D ．2.下列命题中正确的是( )A ．类比推理是一般到特殊的推理B ．演绎推理的结论一定是正确的C ．合情推理的结论一定是正确的D ．演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定是正确的3.下列命题中的假命题是( ) A ． B ． C ．D ．4.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中（ ） A ．大前提错误 B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确5.由一组样本数据（x 1,y 1）,（x 2,y 2），…（x n ，y n ）得到的回归直线，那么下面说法不正确的是（ ）A ．直线必经过点（，）B ．直线至少经过点（x 1,y 1）,（x 2,y 2）, …（x n ，y n ）中的一个点C ．直线的斜率为D ．直线和各点（x 1,y 1），（）, …（x n ，y n ）的偏差和是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差和中最小的直线6.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ）A ．若K 2的观测值为k=6.635,在犯错误的概率不超过的前提下认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病;B ．由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过的前提下认为吸烟与患肺病有关系，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病;[C ．若从统计量中求出在犯错误的概率不超过的前提下认为吸烟与 患肺病有关系，是指有1% 的可能性使得判断出现错误;D ．以上三种说法都不正确.7.右图给出的是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）A．B．C．D．8.有下列说法:①在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适.②相关指数R2来刻画回归的效果, R2值越大, 说明模型的拟合效果越好.③比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越小的模型,拟合效果越好.其中正确命题的个数是（）A．0B．3C．2D．19.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设不都是偶数B．假设都不是偶数C．假设至多有一个是偶数D．假设至多有两个是偶数10.已知，，猜想f(x)的表达式为（）A．B．C．D．二、填空题1.设复数，，若为纯虚数，则实数___________2.函数f(x)=2x2-lnx的单调增区间为___________3.设计一个解一元二次不等式过程的流程图（如图所示）,其中①处应填___________。
安徽高二高中数学期中考试带答案解析
安徽高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合则P∩Q=( )A．B．C．D．2.方程的实数解所在的区间是 ( )A．B．C．D．3.当时，下面的程序段输出的结果是（）IF THENelsePRINT yA. B. C. D.4.名工人某天生产同一零件，生产的件数是设其平均数为,中位数为,众数为，则有( )A．B．C．D．5.从个同类产品（其中个是正品，个是次品）中任意抽取个的必然事件是（）A．3个都是正品B．至少有个是次品C．个都是次品D．至少有个是正品6.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：807 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 789据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．0.35B．0.25C．0.20D．0.157.设原命题：若a+b≥2，则a,b中至少有一个不小于1．则原命题与其逆命题的真假情况是（）A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题8.设，则对任意实数a,b,a+b0是的（）A．充要条件B．充要不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件二、填空题1.函数的定义域是．2.程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S＝132，那么判断框中应填入 .3.取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于的概率应为 .4.全称命题“，有一个正因数”的否定是．5.如图，该程序框图所输出的结果是．6.设函数的定义域为D，如果对于任意的，存在唯一的，使（c为常数）成立，则称函数在D上的均值为c.下列五个函数：①②③④⑤满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号是．三、解答题1.给定两个命题,：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果为真，为假，求实数的取值范围．2.一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为b吨.经市场调查后得到如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量S（吨）与电视广告每天的播放量n（次）的关系可用如图所示的程序框图来体现.（1）试写出该产品每天的销售量S（吨）关于电视广告每天的播放量n（次）的函数关系式；（2）要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90％，则每天电视广告的播放量至少需多少次？3.某种产品的广告费支出与销售额(单位：万元）之间有如下对应数据:（1）求回归直线方程；（2）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？（3）在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率. （参考数据：参考公式：线性回归方程系数：，）4.为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如图所示：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185cm的概率；(3)从样本中身高在180～190cm的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm的概率．5.已知关于的二次函数（1）设集合和分别从集合和中随机取一个数作为和，求函数在区间上是增函数的概率.（2）设点（a,b）是区域内的随机点，求函数在区间上是增函数的概率．6.设函数（）．（1）讨论的奇偶性；（2）当时，求的单调区间；（3）若对恒成立，求实数的取值范围．安徽高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.设集合则P∩Q=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由可，故选B.【考点】集合的运算2.方程的实数解所在的区间是 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则，可知在和单调递增，在单调递减，且，，，故函数的零点在，选C.【考点】1.利用导函数求函数的单调性；2.函数的零点3.当时，下面的程序段输出的结果是（）IF THENelsePRINT yA. B. C. D.【答案】D【解析】当时，由程序段可知，得，故D.【考点】程序设计4.名工人某天生产同一零件，生产的件数是设其平均数为,中位数为,众数为，则有( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由,排序后得，故中位数为，众数，故，故选D.【考点】数据的平均数、中位数、众数的概念5.从个同类产品（其中个是正品，个是次品）中任意抽取个的必然事件是（）A．3个都是正品B．至少有个是次品C．个都是次品D．至少有个是正品【答案】D【解析】由于个同类产品中个是正品，个是次品，故任意抽取3个时最少有一个是正品，故选D.【考点】必然事件的概念6.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：807 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 789据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15【答案】B【解析】由20组随机数可知恰有两次命中的有191，271，932，812，393共五组，故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为,故选B.【考点】古典概率的求法7.设原命题：若a+b≥2，则a,b中至少有一个不小于1．则原命题与其逆命题的真假情况是（）A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题【答案】A【解析】因为原命题：若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1的逆否命题为：若a，b都小于1，则a+b＜2显然为真，所以原命题为真；原命题：若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1的逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则a+b≥2，是假命题，举反例为a＝1.2，b＝0.3，选A.【考点】1.四种命题的关系；2.命题真假的判断8.设，则对任意实数a,b,a+b0是的（）A．充要条件B．充要不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由是奇函数.∴f（x）为增函数.∵a+b≥0，⇒a≥-b，∴f（a）≥f（-b），∴f（a）≥-f（b），∴f（a）+f（b）≥0，反之也成立，∴“a+b≥0”是“f（a）+f（b）≥0”的充要条件，选A.【考点】1.利用函数的导数判断函数的单调性；2.充要条件二、填空题1.函数的定义域是．【答案】【解析】由得，故所求函数定义域为.【考点】函数定义域的求法2.程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S＝132，那么判断框中应填入 .【答案】【解析】由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是12，以后所乘的数依次减少1，由于132=11×12，故循环两次，故判断框中应填.【考点】1.循环结构；2.判断框中判断条件的确定3.取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于的概率应为 .【答案】【解析】记“两段绳子的长都不小于1m”为事件A，∵绳子的总长为4米，而剪得两段绳子的长都不小于1m，∴如图所示，只能在中间2m的部分剪断，才能使剪出的两段符合条件，根据几何概型的概率公式，可得事件A发生的概率 P（A）.【考点】几何概型及其计算公式4.全称命题“，有一个正因数”的否定是．【答案】没有正因数【解析】由全称命题和特称命题的关系可知，全称命题“，有一个正因数”的否定为特称命题“没有正因数”.【考点】全称命题和特称命题的关系5.如图，该程序框图所输出的结果是 ．【答案】64【解析】根据算法流程图可知第一次运行，；第二次运行，；依此类推：，解得此时故当n=64时，S ＜-5.【考点】考查直到型循环结构. 6.设函数的定义域为D ，如果对于任意的，存在唯一的，使（c 为常数）成立，则称函数在D 上的均值为c.下列五个函数：①②③④⑤满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号是 ． 【答案】②③⑤【解析】对于函数①y=4sinx ，明显不成立，因为y=4sinx 是R 上的周期函数，存在无穷个的x 2∈D ，使成立．故不满足条件；对于函数②y=x 3，取任意的x 1∈R ，,可以得到唯一的x 2∈D ．故满足条件；对于函数③y=lgx ，定义域为x ＞0，值域为R 且单调，显然必存在唯一的x 2∈D ，使成立．故成立；对于函数④y=2x 定义域为R ，值域为y ＞0．对于x 1=3，f （x 1）=8．要使成立，则f （x 2）=-4，不成立；对于函数⑤y=2x-1定义域为任意实数，取任意的x 1∈R ，,解得x 2=3-x 1，可以得到唯一的x 2∈R ．故成立，故答案为：②③⑤.【考点】考查均值不等式在函数中的应用三、解答题1.给定两个命题,：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果为真，为假，求实数的取值范围．【答案】【解析】根据二次函数恒成立的充要条件，我们可以求出命题p 为真时，实数a 的取值范围，根据二次函数有实根的充要条件，我们可以求出命题q 为真时，实数a 的取值范围，然后根据p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则命题p ，q 中一个为真一个为假，分类讨论后，即可得到实数a 的取值范围． 试题解析：命题：对任意实数都有恒成立3分命题：关于的方程有实数根 即 5分为真，为假，有且只有一个正确 7分如果P正确，且q不正确，则； 9分如果q正确，且P不正确，则． 11分所以实数的取值范围为． 12分【考点】1.复合命题的真假；2.函数恒成立问题．2.一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为b吨.经市场调查后得到如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量S（吨）与电视广告每天的播放量n（次）的关系可用如图所示的程序框图来体现.（1）试写出该产品每天的销售量S（吨）关于电视广告每天的播放量n（次）的函数关系式；（2）要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90％，则每天电视广告的播放量至少需多少次？【答案】（1）；（2）至少需4次（0≤i≤n，）根据循环体可得【解析】（1）设电视广告播放量为每天i次时，该产品的销售量为si；再用数列中的累加法求得sn（2）“要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%”根据（1）则有，或通过验证得到结果．试题解析：(1)解：设电视广告播放量为每天i次时，该产品的销售量为于是当时，5分所以，该产品每天销售量S（吨）与电视广告播放量n（次/天）的函数关系式为7分（2）由题意，有所以，要使该产品的销售量比不做电视广告时的销售量增加90％，则每天广告的播放量至少需4次. 12分【考点】1.考查函数模型的建立和应用；2.程序框图；3.累加法和指数不等式的解法3.某种产品的广告费支出与销售额(单位：万元）之间有如下对应数据:（1）求回归直线方程；（2）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？（3）在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率. （参考数据：参考公式：线性回归方程系数：，）【答案】（1）（2）销售收入大约为82.5万元（3）【解析】（1）首先求出x，y的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，根据样本中心点满足线性回归方程，代入已知数据求出a的值，写出线性回归方程．（2）当自变量取10时，把10代入线性回归方程，求出销售额的预报值，这是一个估计数字，它与真实值之间有误差．（3）利用列举法计算基本事件数及事件发生的概率 .本题考查回归分析的初步应用，考查求线性回归方程，考查预报y的值，是一个综合题目，解此类题，关键是理解线性回归分析意义，这种题目是新课标的大纲要求掌握的题型，是一个典型的题目，在近年的高考中频率有增高的趋势，此类题运算量大，解题时要严谨防止运算出错.试题解析：（1）解：，[2分]又已知，于是可得：， [4分]因此，所求回归直线方程为： [6分]（2）解:根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，(万元) 即这种产品的销售收入大约为82.5万元. [9分]（3）解：30基本事件：（40，50），（40，70），（60，50），（60，70），（50，70）共10个两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5：（60，50） [12分]所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率为[14分]【考点】1.回归分析的初步应用；2.列举法计算基本事件数及事件发生的概率4.为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如图所示：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185cm的概率；(3)从样本中身高在180～190cm的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm的概率．【答案】（1）400（2）0.5（3）【解析】（1）由频率分步直方图知样本中男生人数为2+5+13+14+2+4，全校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，知道每个个体被抽到的概率是0.1，得到分层抽样比例为10%估计全校男生人数．（2）由图可知样本中身高在170～185cm 之间的学生有14+13+4+3+1，样本容量为70，得到样本中学生身高在170～185cm 之间的频率．用样本的频率来估计总体中学生身高在170～180cm 之间的概率．（3）由题意知本题是一个古典概型，通过列举法看出试验发生包含的所有事件数，再从这些事件中找出满足条件的事件数，根据古典概型公式，得到结果．试题解析：（1）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10％，估计全校男生人数为400. 2分(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm 的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm 之间的频率f ＝＝0.5，故由f 估计该校学生身高在170～185 cm 的概率P 1＝0.5 6分(3)样本中身高在180～185 cm 的男生有4人，设其编号为①，②，③，④， 样本中身高在185～190 cm 的男生有2人，设其编号为⑤，⑥， 从上述6人中任取2人的树状图为：故从样本中身高在180～190cm 之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15 10分 至少有1人身高在185～190cm 的可能结果数为9 12分 因此，所求概率P 2＝＝. 14分【考点】1.频率分布直方图；2.频率与概率的关系；3.古典概型的求法5.已知关于的二次函数 （1）设集合和分别从集合和中随机取一个数作为和，求函数在区间上是增函数的概率.（2）设点（a,b ）是区域内的随机点，求函数在区间上是增函数的概率．【答案】(1) (2)【解析】（1）分a=1，2，3，4，5 这五种情况来研究a ＞0，且的取法共有16种，而所有的取法共有6×6="36" 种，从而求得所求事件的概率．（2）由条件可得，实验的所有结果构成的区域Q 的面积S △OMN =×8×8=32,满足条件的区域A 的面积为S △POM =,故所求的事件的概率为试题解析：（1）函数的图象的对称轴为要使函数在区间上为增函数，当且仅当且即3分若则 若则 若则 若则 若则满足条件的事件包含基本事件的个数是2+3+3+4+4=16.所求事件的概率为7分（2）由（1）知当且仅当且时，函数在区间上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为构成所求事件的区域为右图阴影部分. 10分由得交点坐标为所求事件的概率为 14分【考点】1.等可能事件的概率；2.函数单调性的判断与证明；3.简单线性规划6.设函数（）．（1）讨论的奇偶性；（2）当时，求的单调区间；（3）若对恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)当a=0时，f（x）为偶函数；当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数；(2)（）为减区间，[）为增区间；(3)【解析】（1）当a=0时，f（x）为偶函数；当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数；（2）a=1时，f（x）=x2+|x-1|=，再进行配方，利用函数的图象，确定函数的单调区间；（3）f （x）=x2+|x-a|＜10对x∈（-1，3）恒成立，等价于x2-10＜x-a＜10-x2，分离参数可得,对x∈（-1，3）恒成立，从而可求实数a的取值范围．试题解析：（1）若a=0时，f（x）为偶函数，若a0时，f（x）为非奇非偶函数 3分得f（x）:（）为减区间，[）为增区间 7分（3）f（x）=+|x-a|<10对恒成立，-10<x-a<10 -14分【考点】1.函数的单调性及单调区间；2.函数奇偶性的判断；3.函数恒成立问题。
安徽高二高中数学期中考试带答案解析
安徽高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合，则=A ．B ．C ．D ．2.直线x+y+1=0与圆的位置关系是 A ．相交B ．相离C ．相切D ．不能确定3.设则以下不等式中不恒成立的是A ．B ．C ．D ．4.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是A ．B ．4C ．D ．25.已知函数,则的值域是 A ．B ．C ．D ．6.定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列,仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数: ①; ②; ③; ④.则其中是“保等比数列函数”的的序号为 A ．①② B ．③④C ．①③D ．②④7.设CD 是△ABC 的边AB 上的高，且满足，则( ) A ．B ．或 C ．或D ．或8.等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，＝－2013，，则＝A ．－2012B ．2013C ．2012D ．－20139.已知函数，，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是( )A．(0，2)B．(0，8)C．(2，8)D．(－∞，0)二、填空题1.将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于 .2.设为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为 .3.已知数列是非零等差数列，又组成一个等比数列的前三项，则的值是 .4.给定下列命题：①半径为2，圆心角的弧度数为的扇形的面积为；②若、为锐角，，，则；③若、是△的两个内角，且，则；④若分别是△的三个内角所对边的长，，则△一定是钝角三角形．其中真命题的序号是．5.已知两条直线 ::y="m" 和:y=(m>0),直线与函数的图像从左至右相交于点A,B , 直线与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a 和b .当m 变化时，的最小值为 .三、解答题1.实数是分别从集合A={1，2，3，4}中随机抽取的元素，集合B=（1）写出使的所有实数对（2）求随机抽取的与的值满足且的概率.2.已知：是的内角，分别是其对边长，向量，，.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若求的长.3.如图，在四棱锥中，，，且，E是PC 的中点．（1）证明:；（2）证明:；4.已知（1）若p >1时，解关于x的不等式；（2）若对时恒成立，求p的范围.5.在一个特定时段内，以点E为中心的7n mile以内海域被设为警戒水域.点E正北55n mile处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40 n mile的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东 (其中，)且与点A相距10n mile的位置C．（I）求该船的行驶速度（单位：n mile /h）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.6.已知数列满足，证明:,()安徽高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.设集合，则=A．B．C．D．【答案】B【解析】．【考点】分式不等式的解法，集合的交运算．点评：分式不等式的解法，移项化简使一侧为零，然后x的系数化成正值，再利用数轴穿根法求解.要注意集合的交集是两个集合的公共元素组成的集合.2.直线x+y+1=0与圆的位置关系是A．相交B．相离C．相切D．不能确定【答案】C【解析】试题分析:因为圆心Ｃ(1,0),半径为,则圆心Ｃ到直线x+y+1=0的距离为,所以直线与圆相切．【考点】直线与圆的位置关系，圆的标准方程．点评：设圆心到直线的距离为d,则d>r,直线与圆相离；d=r，直线与圆相切；d<r，直线与圆相交.3.设则以下不等式中不恒成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】对于Ａ：．对于Ｂ：，显然不等式,所以不恒成立.对于Ｃ：.对于Ｄ：当时，显然；当时，所以恒成立．【考点】基本不等式的性质，作差法判断值的大小．点评：掌握基本不等式的成立的条件：a>0,b>0，则;直接比较两个数大小不易比较时，可考虑作差法比较.4.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是A．B．4C．D．2【答案】B【解析】作出不等式的可行域如图所示，因为Ａ(2,4),C(2,0),所以此三角形的面积为.【考点】简单的线性规划．点评：正确作出可行域是解决此类问题的关键,要根据直线定界，特殊点定域的原则确定公共区域.5.已知函数,则的值域是A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,可利用三角函数线或正余弦函数的图像，确定其值域为．【考点】三角函数的图像及性质．点评：本小题关键是正确作出f(x)的图像或利用三角函数线这两个辅助工具，数形结合解决此问题，而前提是正确掌握基本的正余弦函数的图像与三角函数线是解决此类问题的关键.6.定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列,仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数: ①; ②; ③; ④.则其中是“保等比数列函数”的的序号为A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】C【解析】设等比数列公比为q,首项为a,则①,所以数列是等比数列，因而1为“保等比数列函数”．②,,显然不一定是等比数列.③一定是等比数列，所以数列是等比数列，因而为“保等比数列函数”． ④不是常数.所以其中是“保等比数列函数”的的序号为①③.【考点】新情景情况下分析问题解决问题的能力，等比数列的定义，及等比数列的通项公式．点评：新情景，新定义是高考经常设置的题型，这种题型新而不难，但关键是正确理解题意，搞清其成立条件，再具有扎实的基础知识，这种题型不难解决.7.设CD 是△ABC 的边AB 上的高，且满足，则( ) A ．B ．或 C ．或D ．或【答案】C 【解析】,,故应选C.【考点】同角三角函数的基本关系式，三角诱导公式． 点评：解本小题的关键是利用, 从而得到.8.等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，＝－2013，，则＝A ．－2012B ．2013C ．2012D ．－2013【答案】D【解析】因为S n 是等差数列的前n 项和，所以也为等差数列，其首项为-2013,公差2d=,所以.【考点】等差数列的通项公式，前n 项和公式，等差数列的定义． 点评：知道等差数列的前n 项和公式是,从而可判断出也为等差数列是解决此题的关键.9.已知函数，，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是( ) A ．(0，2) B ．(0，8)C ．(2，8)D ．(－∞，0)【答案】C【解析】当m≤0时，显然不成立,当m=0时，因f （0）=1＞0, 当m ＞0时，若,即时结论显然成立；若时，只要△=4（4-m ）2-8m=4（m-8）（m-2）＜0即可，即4＜m ＜8,则0＜m ＜8,故选B ．【考点】一元二次函数，一元二次不等式，一元二次方程之间的关系，以及分析问题解决问题的能力. 点评：解本小题的突破口是因为g(x)=mx 显然对任一实数x 不可能恒为正数,所以应按和分类研究，g(x)的取值，进而判断出f(x)的取值，从而找到解决此问题的途径.二、填空题1.将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于 .【答案】60【解析】由，得n=60.【考点】频率分布直方图．点评：根据频率等于频数比样本容量求解即可.2.设为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为 .【答案】【解析】由于与在方向上的投影相同,所以．【考点】向量投影的定义以及向量的数量积定义．点评：解本小题的关键是确定在向量上的投影为：，从而可得,问题得解. 3.已知数列是非零等差数列，又组成一个等比数列的前三项，则的值是 .【答案】1或.【解析】因为数列是非零等差数列，又组成一个等比数列的前三项，所以．所以==.【考点】等差数列的通项公式及等比数列的中项．点评：从方程的角度分析和解决问题也是研究数列的思维策略，本小题根据.组成一个等比数列的前三项,可得a1与d的关键，从而an可用d表示，然后中涉及到的各项都可以用d表示，从而问题得解.4.给定下列命题：①半径为2，圆心角的弧度数为的扇形的面积为；②若、为锐角，，，则；③若、是△的两个内角，且，则；④若分别是△的三个内角所对边的长，，则△一定是钝角三角形．其中真命题的序号是．【答案】②③④【解析】①,因而此项错.②，，故此命题正确.③因为sinA<sinB,由正弦定理可知a<b，即BC<AC,故此命题正确.④因为,由余弦定理可知,所以C为钝角，因而△一定是钝角三角形.故正确的命题有②③④.【考点】角度与弧度的关系，扇形的面积公式，正弦定理，余弦定理，两角和的正切公式，以及给值求角等．点评：掌握基本公式和定理是解决小知识点聚集题目的关键.再解给值求角的题目时，要注意对角的范围根据需要进行压缩分析，从而准确求出对应角的值，不然易产生多解情况.5.已知两条直线 ::y="m" 和:y=(m>0),直线与函数的图像从左至右相交于点A,B , 直线与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a 和b .当m 变化时，的最小值为 .【答案】【解析】依题意,同理，,线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a，b，∴设,则,所以当时，所以的最小值.【考点】两条直线的位置关系，交点问题，对数函数的图像，指数函数的图像以及性质，函数最值等问题．点评：解本小题的关键是得到,然后关键是的最小值再根据指数函数的单调性即可解决.三、解答题1.实数是分别从集合A={1，2，3，4}中随机抽取的元素，集合B=（1）写出使的所有实数对（2）求随机抽取的与的值满足且的概率.【答案】（1）（2,1）（3,1）（3,2）（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）；（2）P=。
安徽高二高中数学期中考试带答案解析
安徽高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.设曲线在点处的切线方程为，则实数的值为 .2.已知，观察下列各式：类比得：，则___________．3.在二项式的展开式中，存在着系数之比为5：7的相邻两项，则指数的最小值为__________．4.已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的取值范围是__________．二、选择题1.函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内有极小值点( )A．1个B．2个C．3个D．4个2.已知命题有的三角形是等腰三角形，则（）A．有的三角形不是等腰三角形B．有的三角形是不等腰三角形C．所有的三角形都不是等腰三角形D．所有的三角形都是等腰三角形3.已知命题在上单调递增，，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.正三棱柱体积为，则其表面积最小时，底面边长为（）A．B．C．D．5.若且，则和的值满足（）A．和中至少有一个小于2B．和都小于2C．和都大于2D．不确定6.合肥一中高一年级开展研学旅行活动，高一1、2、3、4、5五个班级，分别从西安、扬州、皖南这三条线路中选一条开展研学活动，每条路线至少有一个班参加，且1、2两个班级不选同一条线路，则共有（）种不同的选法.A．72B．108C．114D．1247.已知是上的可导函数，其导函数为，若对任意实数，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．三、解答题1.已知命题对，都有，命题，使得，如果“”是真命题，且“”是假命题，求实数的取值范围.2.设均为正数，且，证明：.3.已知，复数.（1）若是纯虚数，求的值；（2）当为何值时，对应的点在直线上？4.已知函数在处有极大值.（1）求实数的值；（2）若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围.5.已知函数.（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（2）若函数在上的最小值为3，求实数的值.6.已知函数.（1）若曲线与直线相切于点，求点的坐标；（2）当时，证明：当时，.安徽高二高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.设曲线在点处的切线方程为，则实数的值为 .【答案】3【解析】y=ax﹣ln（x+1）的导数，由在点（0，0）处的切线方程为y=2x，得，则a=3．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．2.已知，观察下列各式：类比得：，则___________．【答案】【解析】根据题意，对给出的等式变形可得：类比有，所以有．【考点】类比推理．3.在二项式的展开式中，存在着系数之比为5：7的相邻两项，则指数的最小值为__________．【答案】11【解析】二项式的展开式中，存在系数之比为5:7的相邻两项，∴，∴，∴，当k=5时,n min=11，故答案为：11.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.4.已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】曲线上存在点,.函数在上单调递增.下面证明.假设,则,不满足.同理假设,则不满足.综上可得:.令函数,化为 .令 ,.,函数在单调递增..的取值范围是.所以A选项是正确的.二、选择题1.函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内有极小值点( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点【考点】函数导数与极值单调性2.已知命题有的三角形是等腰三角形，则（）A．有的三角形不是等腰三角形B．有的三角形是不等腰三角形C．所有的三角形都不是等腰三角形D．所有的三角形都是等腰三角形【答案】C【解析】根据特称命题的否定为全称命题，故有命题有的三角形是等腰三角形，所有的三角形都不是等腰三角形，故选C.3.已知命题在上单调递增，，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立.因为,所以.因为，故是的充分不必要条件，故选A.4.正三棱柱体积为，则其表面积最小时，底面边长为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设底面边长为,高为，则，则表面积为则，令可得，即，故选D.5.若且，则和的值满足（）A．和中至少有一个小于2B．和都小于2C．和都大于2D．不确定【答案】A【解析】假设和同时成立.因为x＞0，y＞0，所以1+x≥2y，且1+y≥2x，两式相加得1+x+1+y≥2(x+y)，即x+y≤2，这与x+y＞2相矛盾，因此1+xy与1+yx中至少有一个小于2.故选A.6.合肥一中高一年级开展研学旅行活动，高一1、2、3、4、5五个班级，分别从西安、扬州、皖南这三条线路中选一条开展研学活动，每条路线至少有一个班参加，且1、2两个班级不选同一条线路，则共有（）种不同的选法.A．72B．108C．114D．124【答案】C【解析】五个班级选三条路线，且每条路线至少有一个班参加的方式有两种，三条路线的人数个1，1，3和1，2，2.当1，1，3时，即有三个班级选择同一路线，有;当1，2，2时，即有一条路是一个班级，其余两条个两个班级，有,共有42+72=114中，故选C.点睛：“分组分配”问题的一般思路是先分组再分配，尤其在遇见平均分组时要注意避免重复，当出现特殊元素时，一般有两个方法，优先考虑或先淡化再减去不满足的.7.已知是上的可导函数，其导函数为，若对任意实数，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则，∵，∴g′(x)<0，即g(x)为减函数，∵y=f(x)−1为奇函数，∴f(0)−1=0，即f(0)=1,g(0)=1，则不等式等价，即g(x)<g(0)，解得x>0，∴不等式的解集为(0,+∞)，故选：D.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，一般：（1）条件含有，就构造；（2）若，就构造；（3），就构造；（4）若，就构造等便于给出导数时联想构造函数.三、解答题1.已知命题对，都有，命题，使得，如果“”是真命题，且“”是假命题，求实数的取值范围.【答案】或.【解析】先求出命题P与命题q为真命题的等价条件，由复合命题真值表得：若p∨q为真，p∧q为假，命题P，q一真一假，确定实数m的取值范围．试题解析：∵，∴真时，.∵，∴真时，或，又“”是真命题，且“”是假命题，所以一真一假，∴或，∴或.2.设均为正数，且，证明：.【答案】详见解析.【解析】通过基本不等式可知，，,利用即可证明.试题解析：证明：因为，，，故，即，所以.3.已知，复数.（1）若是纯虚数，求的值；（2）当为何值时，对应的点在直线上？【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）当为纯虚数时，则有解出即可；（2）由于z对应的点在直线x+y+3=0上，可得即可得.试题解析：（1）当为纯虚数时，则有，解得，∴当时，为纯虚数；（2）当对应的点在直线上时，则有，即，解得或，∴当或时，对应的点在直线上.4.已知函数在处有极大值.（1）求实数的值；（2）若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求导，结合在处有极大值，即可求的值；（2）令，根据单调性确定的取值范围即可.试题解析：（1），由已知，∴，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴在处有极小值，舍.∴.（2）由（1）知，令，则，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，要使方程有三个不同的实根，则，解得.点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.5.已知函数.（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（2）若函数在上的最小值为3，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出原函数的导函数，由导函数在大于等于0恒成立得到x-2a≥0在恒成立，分离变量后即可得到的取值范围；（3）由原函数的导函数等于0求出导函数的零点，由零点对定义域分段，然后根据原函数的极值点与给出的区间端点值得大小关系分析原函数在区间上的单调性，由单调性求得原函数在上的最小值，由最小值等于3解得的值．试题解析：（1），由已知，即，∴，∴，∴.（2）当，即时，，，∴在上单调递增，∴，∴舍；当，即时，，∴在上单调递减；，，∴在上单调递增，∴，∴舍；当，即时，，，∴在上单调递减，∴，∴；综上，.6.已知函数.（1）若曲线与直线相切于点，求点的坐标；（2）当时，证明：当时，.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）设点的坐标为，，由题意列出方程组，能求出点P的坐标．（2）设函数，，设，，则，由此利用分类讨论和导数性质即能证明.试题解析：（1）设点的坐标为，，由题意知，解得，所以，从而点的坐标为.（2）设函数，，设，，则，当时，因为，所以，所以，所以在区间上单调递增，所以；当时，令，则，所以；，.所以，由①②可知：时，有，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，，所以，从而有当时，.点睛：导数在不等式问题中的应用问题的常见类型及解题策略(1)利用导数证明不等式。
安徽高二高中数学期中考试带答案解析
安徽高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设命题：“，”，则为（）A．，B．，C．，D．，2.执行如下图所示程序框图，若输出的，则①处填入的条件可以是（）A．B．C．D．3.函数的单调递增区间为（）A．和B．C．和D．4.若，则与的大小关系为（）A．B．C．D．5.设、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则（）A．1B．3C．3或7D．1或96.设，，是虚数单位，则“，”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7.已知复数，在复平面内对应的点关于直线对称，，则（）A．B．C．D．8.已知，，，则下列三个数，，（）A．都大于6B．至少有一个不大于6C．都小于6D．至少有一个不小于69.函数的零点个数为（）A．0B．1C．2D．310.过抛物线（）的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，若，则（）A．B．C．2D．311.将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为（）A．731B．809C．852D．89112.已知数列满足，，，则（）A．B．C．D．3二、填空题1.复数的共轭复数__________．2.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于__________．3.函数的最大值为__________．4.已知结论：在正中，若是边的中点，是的重心，则.若把该结论推广到空间中，则有如下结论：在棱长都相等的四面体中，若的中心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，则__________．三、解答题1.已知是虚数单位，复数，若，求实数，的值.2.已知，，且，试用分析法证明不等式成立.3.已知命题：函数在上单调递增；命题：关于的方程有解.若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.4.某手机生产企业为了解消费者对某款手机功能的认同情况，通过销售部随机抽取50名购买该款手机的消费者，并发出问卷调查（满分50分），该问卷只有30份给予回复，这30份的评分如下：（Ⅰ）完成下面的茎叶图，并求16名男消费者评分的中位数与14名女消费者评分的平均值；（Ⅱ）若大于40分为“满意”，否则为“不满意”，完成上面的列联表，并判断是否有的把握认为消费者对该款手机的“满意度”与性别有关.参考公式：，其中参考数据：5.已知函数.（Ⅰ）当时，求的极值；（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围.6.已知椭圆：（）的焦距为，点在上.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点在上，点的轨迹为曲线，过原点作直线与曲线交于、两点，点，证明：为定值，并求出定值.安徽高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.设命题：“，”，则为（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】由题意得，命题：“，”，则为，，故选A.2.执行如下图所示程序框图，若输出的，则①处填入的条件可以是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】第一次循环得到：，不输出；第二次循环得到：，不输出；第三次循环得到：，不输出；第四次循环得到：，退出循环；因此判断框中的条件为：，故选B.3.函数的单调递增区间为（）A．和B．C．和D．【答案】C【解析】由题意得，，令，故选C.4.若，则与的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，，又因为，则，故选B.5.设、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则（）A．1B．3C．3或7D．1或9【答案】C【解析】由双曲线的定义得，,又因为，则. 3或7，故选C.6.设，，是虚数单位，则“，”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当，时，成立，故充分性成立，但当时，则不一定有：，，故必要性不成立故选A.7.已知复数，在复平面内对应的点关于直线对称，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，复数，在复平面内对应的点关于直线对称，，则，故选D.8.已知，，，则下列三个数，，（）A．都大于6B．至少有一个不大于6C．都小于6D．至少有一个不小于6【答案】D【解析】假设3个数，，都小于6，则利用基本不等式可得，，这与假设矛盾，故假设不成立，即3个数，，至少有一个不小于6，故选D.点睛：本题考查反证法，考查进行简单的合情推理，属于中档题，正确运用反证法是关键.9.函数的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】由题意得，则在和上单调递增，在单调递减，即，因此函数有两个零点，故选C.10.过抛物线（）的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，若，则（ ）A ．B ．C ．2D ．3【答案】D【解析】抛物线y 2=2px(p>0)的焦点坐标为，∵直线倾斜角为， ∴直线的方程为：.设直线与抛物线的交点为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)， ∴|AF|=x 1+,|BF|=x 2+，联立方程组,消去y 并整理,得12x 2−20px+3p 2=0， 解得x 1= ,x 2=，∴|AF|:|BF|=3:1， 故选：D.点睛：本题重点考查了抛物线的几何性质，方程，直线与抛物线的位置关系等知识，属于中档题.11.将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为（ ）A ．731B ．809C ．852D ．891【答案】B【解析】由题意得，前20行共有正奇数1+3+5+…+39=202=400个， 则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数， 所以这个数是2×405−1=809. 故选：B12.已知数列满足，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．3【答案】A【解析】由题意，对进行变形，得则，即4个一循环，那么，故选A.点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，根据递推关系求出数列的循环是解决问题的关键.二、填空题1.复数的共轭复数__________．【答案】【解析】由题意得，，则2.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于__________． 【答案】【解析】由题意得，顶点坐标为，渐近线方程为，则顶点坐标为的距离为3.函数的最大值为__________．【答案】【解析】由题意得，的定义域为，则，即在上单调递增，在上单调递减，在上有最大值，即4.已知结论：在正中，若是边的中点，是的重心，则.若把该结论推广到空间中，则有如下结论：在棱长都相等的四面体中，若的中心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，则__________．【答案】3【解析】推广到空间，则有结论：“3”．设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=，可求得r即OM=，所以AO=AM-OM=，所以 3故答案为：3点睛：本题考查类比推理、几何体的结构特征、体积法等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．三、解答题1.已知是虚数单位，复数，若，求实数，的值.【答案】【解析】对复数进行化简得，再将代人到中，即可利用复数相等的条件列出关于a,b的二元一次方程组，解方程组求出a,b的值，即可完成解答.试题解析：.将代入得，即.由复数相等的定义可知，.2.已知，，且，试用分析法证明不等式成立.【答案】见解析【解析】本题要用分析法证明，即根据结论一步一步往前推，由于，，且，则，从结论出发，要证，只需要证明，即证明或，进而根据已知条件证得结论.试题解析：要证，只需证，只需证，只需证，即证或，而由，可得显然成立，所以不等式成立.3.已知命题：函数在上单调递增；命题：关于的方程有解.若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.【答案】.【解析】命题p：函数在上单调递增，利用一次函数的单调性可得或;命题q：关于x的方程有实根，可得，解得;若“p或q”为真，“p且q”为假，可得p与q必然一真一假．分类讨论解出即可．试题解析：由已知得，在上单调递增.若为真命题，则，，或；若为真命题，，，.为真命题，为假命题，、一真一假，当真假时，或，即；当假真时，，即.故.点睛：本题考查了一次函数的单调性、一元二次方程由实数根与判别式的关系、复合命题的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．4.某手机生产企业为了解消费者对某款手机功能的认同情况，通过销售部随机抽取50名购买该款手机的消费者，并发出问卷调查（满分50分），该问卷只有30份给予回复，这30份的评分如下：（Ⅰ）完成下面的茎叶图，并求16名男消费者评分的中位数与14名女消费者评分的平均值；（Ⅱ）若大于40分为“满意”，否则为“不满意”，完成上面的列联表，并判断是否有的把握认为消费者对该款手机的“满意度”与性别有关.参考公式：，其中参考数据：【答案】（1）见解析（2）没有的把握【解析】（Ⅰ）由茎叶图可得到16名男消费者的中位数，同理可求出女消费者评分的平均值，根据所给的数据可得列联表；（Ⅱ）根据列联表求出,，所以没有的把握认为消费者对该款手机的“满意度”与性别有关.试题解析：（Ⅰ）茎叶图如图.由图可知男消费者评分的中位数是45.5，女消费者评分的平均值为.（Ⅱ）列联表如图，，所以没有的把握认为消费者对该款手机的“满意度”与性别有关.点睛：本题考查了古典概型，列联表，独立性检验的方法等知识，考查了学生处理数据和运算求解的能力.5.已知函数.（Ⅰ）当时，求的极值；（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）极大值，无极小值.（2）【解析】（Ⅰ）当时，先由函数的解析式求出定义域，再利用导数研究函数的单调性，根据单调性求出函数的极值；（Ⅱ）由恒成立，即恒成立，令，再分，进行讨论，从而得出实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）当时，，则，因为，所以当时，；当时，.所以在处取得极大值，无极小值.（Ⅱ）恒成立，即恒成立，令，则，当时，，①当时，，所以，满足题意；②当时，，所以必存在一个区间使得，所以，这与题意矛盾，所以不成立.综上可知.6.已知椭圆：（）的焦距为，点在上.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点在上，点的轨迹为曲线，过原点作直线与曲线交于、两点，点，证明：为定值，并求出定值.【答案】（1）（2）3【解析】（Ⅰ）由题意知：c=，根据椭圆定义可求得a，根据b2=a2-c2可得b；（Ⅱ）分直线的斜率为0，不为0两种情况进行讨论：当直线的斜率为0时直接按照向量数量积运算即可；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为：，，．联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的一元二次方程，由韦达定理及向量数量积公式代入运算可得结论；试题解析：（Ⅰ）由已知得，解得，椭圆的方程为.（Ⅱ）由条件可得，曲线的方程为.当直线的斜率不存在时，不妨设，，则，，；当直线的斜率存在时，设其方程为，可设点，，则，，，把点代入曲线的方程得，.综上可知，.点睛：本题考查椭圆方程、直线方程及其位置关系，直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，考查向量的数量积运算，考查学生解决问题的能力．。
安徽高二高中数学期中考试带答案解析
安徽高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.命题，则的否定形式是（）A．，则B．，则C．，则D．，则2.在中，角的对边分别为，若，，则（）A．1B．C．D．3.已知数列中，，，则此数列的前10项和（）A．140B．120C．80D．604.命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．5.设点，其中，满足的点的个数为（）A．10B．9C．3D．无数个6.已知是等比数列的前三项，则该数列第四项的值是（）A．-27B．12C．D．7.已知实数满足不等式组若的最大值为1，则正数的值为（）A．B．1C．2D．48.由命题“存在，使”是假命题，得的取值范围是，则实数的值是（）A．2B．C．1D．9.当时，不等式恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．10.在中，，为角的平分线，，，则的长是（）A．B．或2C．1或2D．11.设命题；命题.若是非的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12.若锐角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.在中，，，且，则的面积为__________．2.已知命题：“，使”为真命题，则的取值范围是__________．3.已知公差不为零的等差数列的前8项和为8，且，则的通项公式__________．4.在中，角的对边分别为，，则__________．三、解答题1.（1）设数列满足且，求的通项公式；（2）数列的前项和，求数列的通项公式.2.已知命题，；命题：关于的不等式的解集为.若为真，为假，求实数的取值范围.3.在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.4.如图所示，一辆汽车从市出发沿海岸一条直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在市南偏东30°方向距市的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件送给这辆汽车的司机.问快艇至少以多大的速度，以什么样的航向行驶才能最快把稿件送到司机手中？5.已知函数的最低点为.（1）求不等式的解集；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.安徽高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.命题，则的否定形式是（）A．，则B．，则C．，则D．，则【答案】D【解析】在变命题的否定形式的时候，要注意把全称命题改成特称命题，本题中需要改动两处：一处是全称量词“任意”改成存在量词“存在”，另外一处把“大于等于”改成相反方面“小于”.所以本题应该选D.【考点】命题的否定形式.2.在中，角的对边分别为，若，，则（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】由正弦定理，故选D.3.已知数列中，，，则此数列的前10项和（）A．140B．120C．80D．60【答案】B【解析】是公差为的等差数列，，故选B.4.命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为命题“”为真命题，所以又时，所以因为时，必成立，反之时，不一定成立，因此选C．【考点】充分必要关系5.设点，其中，满足的点的个数为（）A．10B．9C．3D．无数个【答案】A【解析】作的平面区域，如图所示，由图知，符合要求的点的个数为，故选A.6.已知是等比数列的前三项，则该数列第四项的值是（）【答案】D【解析】成等比数列，，或，又时，，故舍去，该数列第四项为，故选D.7.已知实数满足不等式组若的最大值为1，则正数的值为（）A．B．1C．2D．4【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示，是可行域内的点与定点连线的斜率，由图可见，点与点的连线的斜率最大，由，解得时，取最大值，解得，故选D.【方法点晴】本题主要考查可行域、含参数的约束条件，属于中档题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.8.由命题“存在，使”是假命题，得的取值范围是，则实数的值是（）A．2B．C．1D．【答案】C【解析】命题“存在，使”是假命题，对任意的，有，为真命题，，又当时，取得最小值，的取值范围是，故选C.9.当时，不等式恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由时，恒成立得对任意恒成立，即当时，取得最大值，的取值范围是，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.10.在中，，为角的平分线，，，则的长是（）【答案】A【解析】如图，由已知条件可得，，，解得，故选A.11.设命题；命题.若是非的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得或或；由，得非或是非的必要不充分条件，或或，，解得，符合题意，故选D.12.若锐角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】不妨设，则由三角形内角的度数成等差数列，得，又，，由，，知，解得，，，即的取值范围是，故选C.【方法点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.解答本题的关键是根据（3）将最大边与最小边长度之比转化为正弦的比，在根据恒等变换利用三角函数的有界性求解.二、填空题1.在中，，，且，则的面积为__________．【答案】【解析】，又，，故答案为.2.已知命题：“，使”为真命题，则的取值范围是__________．【答案】【解析】依题意，函数开口向上，且对称轴为，在上单调递增，故.3.已知公差不为零的等差数列的前8项和为8，且，则的通项公式__________．【答案】【解析】设等差数列的公差为，可得，解得，故答案为.【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系.4.在中，角的对边分别为，，则__________．【答案】【解析】在中，，设可得的值分别为，再由正弦定理得：，故答案为.三、解答题1.（1）设数列满足且，求的通项公式；（2）数列的前项和，求数列的通项公式.【答案】(1) (2)【解析】（1）由可得为等差数列，于是，从而可得结果；（2）当时，直接由前项和求首项，当大于等于时，由求解即可得结果.试题解析：（1）∵，∴数列是公差为1的等差数列，∴.∴.（2）当时，；当时，.∴【方法点睛】本题主要考查等差数列的定义及通项公式、数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于中档题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.2.已知命题，；命题：关于的不等式的解集为.若为真，为假，求实数的取值范围.【答案】【解析】化简命题可得，化简命题可得，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.试题解析：“，”等价于“存在正数使成立”.∵，∴当时，取最小值2，∴，即.因此为真命题时，.对于命题，因为关于的不等式的解集为，所以或解得，因此为真命题时，.又∵为真，为假，∴与一真一假.若真假，则解得；若假真，则解得.综上所述，若为真，为假，则实数的取值范围是.3.在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.【答案】(1) (2) 时，取最大值【解析】（1）由，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得，从而可得结果；（2）根据正弦定理可得，利用三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）在中，由以及正弦定理得.，，∴.∵，∴.（2）∵，，由正弦定理得，∴，.∴.又∵，∴时，取最大值.4.如图所示，一辆汽车从市出发沿海岸一条直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在市南偏东30°方向距市的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件送给这辆汽车的司机.问快艇至少以多大的速度，以什么样的航向行驶才能最快把稿件送到司机手中？【答案】快艇至少以的速度，以北偏东60°的方向（与垂直）航行才能最快把稿件送达司机手中【解析】（1）画出示意图，设快艇以的速度从处出发，沿方向，小时后与汽车在处相遇，由余弦定理得，配方后，利用二次函数的性质可得时，，从而可得结果.试题解析：如图所示，设快艇以的速度从处出发，沿方向，小时后与汽车在处相遇.在中，，，，，由余弦定理，∴，整理得：.当时，，∴.∴快艇至少以的速度行驶时才能最快把稿件送到司机手中.当时，在中，，，，∴，∴.故快艇至少以的速度，以北偏东60°的方向（与垂直）航行才能最快把稿件送达司机手中.5.已知函数的最低点为.（1）求不等式的解集；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】（1）根据函数的最低点为，得到对称轴与最小值，列方程组求出，，即可求得函数解析式，然后利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）由由，可得，分别求出与的最大值与最小值，利用不等式恒成立可得结果.试题解析：（1）依题意，得，①，②由①②解得，，.∴.则原不等式可化为，解得或.故不等式的解集为.（2）由，得，即，则，即.∵，∴的最小值是.的最大值是.∴，即.故实数的取值范围是.。
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2014-2015学年安徽省巢湖市无为三中高二（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形2．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（）A． 3 B． 4 C． 5 D． 63．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（） A． 16π B． 20π C． 24π D． 32π4．将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（）A．平行 B．垂直C．相交成60°角 D．异面且成60°角5．对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n6．将边长为a的正方形沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A． 6a3 B． 12a3 C．a3 D．a37．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．其中真命题的个数为（）A． 3 B． 2 C． 1 D． 08．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10，12）内的频数为（）A． 18 B． 36 C． 54 D． 729．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．则x+y的值为（）A． 7 B． 8 C． 9 D． 1010．执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）A．﹣1 B． C． D． 4二、填空题：（每题5分，共25分）11．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取名学生．12．一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积．13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD1与BD所成的角是．14．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm．15．如图，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是．（要求：把可能的图的序号都填上）三、解答题：（共75分）16．（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．17．如图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F．求证：四边形BCFE是梯形．18．一盒中装有各色球12只，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球；从中随机取出1球．求：（1）取出的1球是红球或黑球的概率；（2）取出的1球是红球或黑球或白球的概率．19．已知正方形ABCD的边长是13，平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都为13，M、N分别是PA、BD上的点且PM：MA=BN：ND=5：8，如图．（1）求证：直线MN∥平面PBC；（2）求线段MN的长．20．随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题某汽车销售公司作了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x 与所支出的总费用y（万元）有如下的数据资料：使用年限x 2 3 4 5 6总费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0若由资料，知y对x呈线性相关关系．试求：线性回归方程=x+的回归直线．=，=﹣．21．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=．（Ⅰ）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；（Ⅱ）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．2014-2015学年安徽省巢湖市无为三中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形考点：平面图形的直观图．专题：计算题；转化思想．分析：由图形和A′O′=通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边BC=B'C'，AO⊥BC，且AO=，故三角形为正三角形．解答：解：由图形知，在原△ABC中，AO⊥BC，∵A′O′=∴AO=∵B′O′=C′O′=1∴BC=2∴AB=AC=2∴△ABC为正三角形．故选A点评：本题考查了平面图形的直观图的画法及其先关性质，把握好直观图与原图形的关系，是个基础题．2．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（）A． 3 B． 4 C． 5 D． 6考点：平面的基本性质及推论．专题：计算题．分析：根据平行六面体的结构特征和公理2的推论进行判断，即找出与AB和CC1平行或相交的棱．解答：解：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件．故选C．点评：本题考查了平行六面体的结构特征和公理2的推论的应用，找出与AB和CC1平行或相交的棱即可，考查了空间想象能力．3．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（） A． 16π B． 20π C． 24π D． 32π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；综合题．分析：先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．解答：解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴球的半径为，球的表面积是24π，故选C．点评：本题考查学生空间想象能力，四棱柱的体积，球的表面积，容易疏忽的地方是几何体的体对角线是外接球的直径，导致出错．4．将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（）A．平行 B．垂直C．相交成60°角 D．异面且成60°角考点：异面直线的判定．专题：探究型．分析：以AB所在平面为底面，将右侧正方形折起为右边的平面，因为DE∥AB，所以∠CDE 即为直线AB，CD所成的角，在△CDE中求解即可．解答：解：如图，直线AB，CD异面．因为DE∥AB，所以∠CDE即为直线AB，CD所成的角，因为△CDE为等腰直角三角形，故∠CDE=60°故选D．点评：本题以图形的折叠为载体，考查平面图形向空间图形的转化，考查折叠问题、异面直线的判断及异面直线所成的角，考查空间想象能力和运算能力．5．对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n考点：命题的真假判断与应用．专题：阅读型；空间位置关系与距离．分析：由线面的位置关系，即可判断A；由空间直线与直线的位置关系，即可判断B；运用线面平行的性质定理，即可判断C；由线面平行的性质和直线与直线的位置关系，即可判断D．解答：解：对于A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，则n∥α或n与α相交，故A 错；对于B．如果m⊂α，n与α相交，则m，n是相交或异面直线，故B错；对于C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，由线面平行的性质定理，可得m∥n，故C对；对于D．如果m∥α，n∥α，m，n共面，则m∥n或m，n相交，故D错．故选C．点评：本题考查空间直线与直线的位置关系和直线与平面的位置关系，考查线面平行的判定定理和性质定理及运用，考查空间想象能力，属于基础题和易错题．6．将边长为a的正方形沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A． 6a3 B． 12a3 C．a3 D．a3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先利用几何体的边与边的关系求出AE=CE=，DE=BE=，进一步证明AC⊥平面DEB，最后利用V D﹣ABC=V C﹣DEB+V A﹣DEB，求出几何体的体积．解答：解：依题意：先画出几何体边长为a的正方形折叠后，使得BD=a，取AC的中点E，根据三角形中边的关系，求得：AE=CE=，DE=BE=由于AC⊥DE，AC⊥BEAC⊥平面DEB所以：V D﹣ABC=V C﹣DEB+V A﹣DEB=2×=故选：D点评：本题考查的知识要点：平面图形与立体图形的转化，锥体的体积公式的应用．7．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．其中真命题的个数为（）A． 3 B． 2 C． 1 D． 0考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．分析：根据空间中平面平行的判定方法，平面平行的性质定理，线面平行的性质定理，我们逐一对已知中的三个命题进行判断，即可得到答案．解答：解：①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l、m，故①错误；②中l与m也可能异面，故②错误；③中⇒l∥m，同理l∥n，则m∥n，故③正确．故选C点评：本题考查的知识点是平面与平面之间人位置关系判断，及空间中直线与平面之间的位置关系判断，熟练掌握空间中线面之间关系判定的方法和性质定理是解答本题的关键．8．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10，12）内的频数为（）A． 18 B． 36 C． 54 D． 72考点：频率分布直方图．专题：计算题；阅读型．分析：从直方图得出数据落在[10，12）外的频率后，再根据所求频率和为1求出落在[10，12）外的频率，再由频率=，计算频数即得．解答：解：观察直方图易得数据落在[10，12）的频率=（0.02+0.05+0.15+0.19）×2=0.82；数据落在[10，12）外的频率=1﹣0.82=0.18；∴样本数落在[10，12）内的频数为200×0.18=36，故选：B．点评：本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，同时考查频率、频数的关系：频率=．9．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．则x+y的值为（）A． 7 B． 8 C． 9 D． 10考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：计算题．分析：利用平均数求出x的值，中位数求出y的值，解答即可．解答：解：由茎叶图可知甲班学生的总分为70×2+80×3+90×2+（8+9+5+x+0+6+2）=590+x，又甲班学生的平均分是85，总分又等于85×7=595．所以x=5乙班学生成绩的中位数是80+y=83，得y=3．∴x+y=8．故选B．点评：本题考查数据的平均数公式与茎叶图，考查计算能力，基础题．10．执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）A．﹣1 B． C． D． 4考点：循环结构．专题：计算题．分析：直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当i=9＜9，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可．解答：解：第1次判断后循环，S=﹣1，i=2，第2次判断后循环，S=，i=3，第3次判断后循环，S=，i=4，第4次判断后循环，S=4，i=5，第5次判断后循环，S=﹣1，i=6，第6次判断后循环，S=，i=7，第7次判断后循环，S=，i=8，第8次判断后循环，S=4，i=9，第9次判断不满足9＜8，推出循环，输出4．故选D．点评：本题考查循环框图的作用，正确计算循环变量的数值，是解题的关键，考查计算能力．二、填空题：（每题5分，共25分）11．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取15 名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比，做出高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人数．解答：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，∴高二在总体中所占的比例是=，∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，∴要从高二抽取，故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题．12．一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积24．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图可判断几何体是一个一个正三棱柱，底面边长为4，高为2，再根据几何体求解面积．解答：解：三视图如图所示：根据三视图可判断几何体是一个一个正三棱柱，底面边长为2，高为2，∴表面积：3×4×2+2××（4）2=24+8；故答案为：24+8；点评：本题考查了空间几何体的三视图，性质，面积公式，属于中档题．13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD1与BD所成的角是60°．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：通过平移直线作出异面直线AD1与BD所成的角，在三角形中即可求得．解答：解：如图，连结BC1、BD和DC1，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AB=D1C1，AB∥D1C1，可知AD1∥BC1，所以∠DBC1就是异面直线AD1与BD所成角，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1、BD和DC1是其三个面上的对角线，它们相等．所以△DBC1是正三角形，∠DBC1=60°故异面直线AD1与BD所成角的大小为60°．故答案为60°．点评：本题考查异面直线所成的角及其求法，解决该类题目的基本思路是化空间角为平面角．14．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 4 cm．考点：组合几何体的面积、体积问题．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．解答：解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×，解得r=4．故答案为：4点评：本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力，是基础题．15．如图，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是②③．（要求：把可能的图的序号都填上）考点：简单空间图形的三视图．专题：作图题；压轴题．分析：由三视图的定义研究四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，由于线是由点确定的，故研究四边形的四个顶点在三个投影面上的射影，再将其连接即可得到三个视图的形状，按此规则对题设中所给的四图形进行判断即可．解答：解：因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影．四边形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如图②所示；四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在面ADD1A1上的射影显然是一条线段，如图③所示．故②③正确故答案为②③点评：本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则来作出三个视图的能力，三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．本题是根据三视图投影规则来选择正确的视图，三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视三、解答题：（共75分）16．（12分）（2014秋•湘潭期末）（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；图表型．分析：由已知中底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，我们可计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积公式，即可得到答案．解答：解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S，则由三角形相似得r=1 （2分）∴，∴．（6分）点评：本题考查的知识点是圆柱的表面积，其中根据已知条件，求出圆柱的底面半径，是解答本题的关键．17．如图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F．求证：四边形BCFE是梯形．考点：直线与平面平行的性质；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：证明BC∥平面PAD，可得BC∥EF，再证明BC≠EF，即可得出结论．解答：证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD．∵平面BCFE∩平面PAD=EF，∴BC∥EF．∵AD=BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四边形BCFE是梯形．点评：本题考查直线与平面平行的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．18．一盒中装有各色球12只，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球；从中随机取出1球．求：（1）取出的1球是红球或黑球的概率；（2）取出的1球是红球或黑球或白球的概率．考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球，满足条件的事件是取出的球是红球或黑球，根据古典概型和互斥事件的概率公式得到结果．（2）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球，满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球，根据古典概型公式得到结果．解答：解：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果；满足条件的事件是取出的球是红球或黑球共有9种结果，∴概率为．（2）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果；满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球共有11种结果，∴概率为．即取出的1球是红球或黑球的概率为；取出的1球是红球或黑球或白球的概率为．点评：理解古典概型的特征，试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题．19．已知正方形ABCD的边长是13，平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都为13，M、N分别是PA、BD上的点且PM：MA=BN：ND=5：8，如图．（1）求证：直线MN∥平面PBC；（2）求线段MN的长．考点：直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连结AN并延长和BC交于E点，由条件证明MN∥PE，再利用直线和平面平行的判定定理证明MN∥平面PBC．（2）由于△PBC是边长为13的等边三角形，利用余弦定理求得PE的值，根据△AMN 与△APE的相似比为，可得MN=PE的值．解答：（1）证明：连结AN并延长和BC交于E点，由PM：MA=BN：ND=5：8，可得EN：NA=BN：ND=MP：MA=5：8，即=，∴MN∥PE，而MN⊄平面PBC，PE⊂面PBC，∴MN∥平面PBC．（2）解：由于△PBC是边长为13的等边三角形，余弦定理求得PE2=PB2+BE2﹣2PB•EBcos60°=132+﹣2×13××=，∴PE=．由于△AMN 与△APE的相似比为，∴MN=PE=7．点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，余弦定理，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．20．随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题某汽车销售公司作了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x 与所支出的总费用y（万元）有如下的数据资料：使用年限x 2 3 4 5 6总费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0若由资料，知y对x呈线性相关关系．试求：线性回归方程=x+的回归直线．=，=﹣．考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：把数据代入公式，利用最小二乘法求回归方程的系数，可得回归直线方程；解答：解：=（2+3+4+5+6）=4，=（2.2+3.8+5.5+6.5+7.0）=5，=90，=112.3，∴==1.23；∴=﹣=5﹣1.23×4=0.08．∴线性回归方程=1.23x+0.08．点评：本题考查了线性回归直线方程的求法及利用回归方程估计预报变量，解答此类问题的关键是利用公式求回归方程的系数，计算要细心．21．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=．（Ⅰ）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；（Ⅱ）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．考点：平面与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由四棱柱的性质可得四边形BB1D1D为平行四边形，故有BD和B1D1平行且相等，可得 BD∥平面CB1D1．同理可证，A1B∥平面CB1D1．而BD和A1B是平面A1BD内的两条相交直线，利用两个平面平行的判定定理可得平面A1BD∥平面CD1B1 ．（Ⅱ）由题意可得A1O为三棱柱ABD﹣A1B1D1的高，由勾股定理可得A1O=的值，再根据三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积V=S△ABD•A1O，运算求得结果．解答：解：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=，由棱柱的性质可得BB1和DD1平行且相等，故四边形BB1D1D为平行四边形，故有BD和B1D1平行且相等．而BD不在平面CB1D1内，而B1D1在平面CB1D1内，∴BD∥平面CB1D1．同理可证，A1BCD1为平行四边形，A1B∥平面CB1D1．而BD和A1B是平面A1BD内的两条相交直线，故有平面A1BD∥平面CD1B1 ．（Ⅱ）由题意可得A1O为三棱柱ABD﹣A1B1D1的高．三角形A1AO中，由勾股定理可得A 1O===1，∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积V=S△ABD•A1O=•A1O=×1=1．点评：本题主要考查棱柱的性质，两个平面平行的判定定理的应用，求三棱柱的体积，属于中档题．。