新高一数学衔接课程课件第三讲：因式分解与十字相乘
分解因式-十字相乘法》ppt课件[1]_2
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因式分解 两个一次二项式相乘的积
一个二次三项式
反过来，得
一个二次三项式
十字相乘法
“十字相乘法”是乘法公式： (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的反 向运算，它适用于分解二次三 项式。 例1、把 x2＋6x－7分解因式
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
1、8x2-22x+15 2、14a2-29a-15 3、4m2+7mn-36n2
2 4、10(y+1) -
将下列多项式因式分解
(1)x2+6xy-16y2 （5）（a+b）2-4(a+b)+3
(2)x2-11xy+24y2
(3)x2y2-7xy-18
（6） x4-3x3 -28x2
(7） (8) 2x2-7x+3 5x2+6xy-8y2
将下列各式用十字相乘法进行因式分解
(1)X2-7x+12 (2)x2-4x-12 (3)x2+8x+12
(4)x2-11x-12
(5)x2+13x+12
(6)x2-x-12
例2、把 解因式
例3、把 分解因式
4 2 y -7y -18
分
2 2 x -9xy+14y
例4、把 6x2-23x+10 分解因式 十字相乘法的要领是：“头尾 分解，交叉相乘，求和凑中，观 察试验”。
分析：先把(x+1)和(x+4)组合计算，再把
(x+2)(x+3)组合计算就和例6方法一样
初高中衔接十字相乘法
二次项系数为1的十字相乘法
1、形如： x2 ( p q)x pq型
【例 1】把下列各式因式分解： (1) x2 7x 6 (2) x2 13x 36
说明：此例可以看出，常数项为正数时， 应分解为两个同号因数，它们的符号与一 次项系数的符号相同。
二次项系数为1的十字相乘法
暗线本作业
暗线作业： 1.把下列各式分分解因式:
(1)2x2 15x 7
(2)3a2 8a 4
(3)5x2 7x 6
(4)6 y 11y 10
(5)x2 7xy 12y2
(6)x4 7x2 18
(7)4m2 8mn 3n2
(8)(2a b)2 14(2a b) 48
(1)12x2 5x 2 (2) 2x2 5x 3 (3) 3x2 8x 3
二次项系数不为1的十字相乘法
2、形如： ax2 bx c型
【例 5】把下列各式因式分解： (1） x4 10x2 9 (2） 5x2 6xy 8 y2
(3) ( p q)x pq型
【例 2】把下列各式因式分解：
(1) x2 5x 24
(2) x2 2x 15
说明：此例可以看出，常数项为负数时， 应分解为两个异号的因数，其中绝对值较 大的因数与一次项系数的符号相同。
二次项系数为1的十字相乘法
1、形如： x2 ( p q)x pq型
【例 3】把下列各式因式分解： (1) x2 xy 6 y2 (2) (x2 x)2 8(x2 x) 12
说明：（1）中将y看成是x的系数，以x为 主元进行分解；（2）用整体思想或者用换 元法。
高一数学衔接班第3课——因式分解
（初升高）高一数学衔接班第3讲——因式分解一、学习目标：1、掌握因式分解的常用方法：乘法公式法（立方和及立方差公式）、分组分解法、十字相乘法2、了解换元、添项拆项分解因式的方法。
3、能够灵活运用上述方法进行因式分解变形。
二、学习重点：分解因式的常见方法三、课程精讲： 1、知识回顾：（1）a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）； （2）a 2±2ab ＋b 2＝（a±b ）2 2、新知探秘：如何将8＋3x 分解因式呢？知识点一：运用乘法公式法（立方和立方差公式） a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）；a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2）.两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方之和与它们积的差（和）。
例1. 用立方和或立方差公式分解下列各多项式：（1）38x +（2）30.12527b -思路导航：（1）中，382=，（2）中3330.1250.5,27(3)b b ==解：（1）333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+ （2）333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++点津：（1）在运用立方和（差）公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；（2）在运用立方和（差）公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号。
例2. 因式分解：34381a b b -思路导航：原式中多项式为两项式，观察有公因式3b ，应先提取公因式，再进一步分解；解：3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++.仿练：76 a ab -思路导航：原式中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看作是3232()()a b -或2323()()a b -。
初高中衔接专题三：十字相乘法分解因式
初高中衔接专题三：十字相乘法分解因式在数学方法中,十字相乘法是较常用的方法，其应用也很广泛，常用于多项多的整理变型、因式分解、解一元二次方程及画一元二次函数图像等数学内容。
例1、因式分解。
分析：因为7x + (-8x) =-x解：原式=（x+7）（x-8）例2、因式分解。
分析：因为-2x+（-8x）=-10x解：原式=（x-2）（x-8）例3、因式分解。
分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。
因为9y + 10y=19y解：原式=（2y+3）（3y+5）例4、因式分解。
分析：因为21x + (-18x)=3x解：原式=（2x+3）（7x-9）练习1．分解因式：(1)x2-x-2 (2)x2+x-2 (3)x2-x-56 (4)x2-15x+56(5) x2+12x-13 (6)x2-11x+30 (7)x2-3x-18 (8)-x2+2x+8 2.把下列各式分解因式：(1) 2273x x-+ (2) 2675x x-- (3) 12x2-2x-4(4)22157x x++ (5) 2384a a-+ (6) 2576x x+- (7) 261110y y--(8) 10x2+x-3 (9) -5x2-4x+12 (10)-6x2+25x-14 (11) -3x2+2x+163.把下列各式分解因式：（1）672+-xx（2）36132++xx（2）（3）2452-+xx（4）1522--xx4：把下列各因式分解：（1）25122+-xx（2）22865yxyx-+（3）3762--xx（4）2215268yxyx-+5. 十字相乘法专项练习题(1) a2－7a+6；(2)8x2+6x－35；(3)18x2－21x+5；(4) 20－9y－20y2；(5)2x2+3x+1；(6)2y2+y－6；(7)6x2－13x+6；(8)3a2－7a－6；(9)6x2－11x+3；(10)4m2+8m+3；(11)10x2－21x+2；(12)8m2－22m+15；(13)4n2+4n－15；(14)6a2+a－35；(15)5x2－8x－13；(16)4x2+15x+9；(17)15x2+x－2；(18)6y2+19y+10；。
十字交叉法因式分解(PPT)
演讲人
十字交叉法因式分解其实就是通过乘法的运算公式去进行的因式分解。下面我们一起来 了解一下。
1、因式分解：我们在学习一元二次方程的时候，最常用的一种方法其实就是因式分解 了。因为因式分解的计算过程比较简单，我们只需要根据公式去计算出结果就好。因式 分解有很多的方法，而十字交叉就是其中之一。
2、十字交叉法：十字相乘是解一元二次方程最简单的一个方法。因为我们只需要将式 子分解成一种乘法公式的式子来直接求出结果。我们分解了之后，会形成一个新的式子， 而我们的计算结果其实就已经是藏在了式子里面了。
3、一元二次方程：我们在学习一元二次方程的时候，会学习如何分解一元二次方程。 一元二次方程的分解我们就会用到十字交叉，但是十字交叉的使用是分情况的。如果我 们分解的
时候，计算量比较大，并且还不一定可以出结果的时候，可以去试一试公式法。
所以，十字交叉法因式分解在很多时候确实是会给我们带来一个简便的计算， 但不是所有的
因式分解(十字相乘)精选教学PPT课件
2
执教者：励银权
由多项式乘法法则可知，若（x +a）(x + b) = x2 + px + q ，则p = a + b, q = ab; 反之， x2 + px + q = （x +a）(x + b) ，要将多项式 x2 + px + q进行分解，关键是找到两个数a,b 使a + b = p, ab = q ，对多项式x2 – 3x + 2， 有p = --3, q = 2 ，此时(--1) + (--2) = -- 3， ( --1) (--2) = 2,则a = -- 2 ，b = -- 1, 所以 x2 – 3x + 2可分解成(x – 1)(x—2)， x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x—2) 。
问题3：为了式子x2 + p x -- 18可以因式分解（在 整数范围内），p可以取哪些整数？试尽可能多地写 出 p的可能取值。
p可能取值的个数有什么规律？
问题4：为了式子x2 + 7x + q 可以因式分解（在 整数范围内）q可以取哪些整数？试尽可能多地写 出？p的可能取值。
q可能取值的个数有什么规律？
x 2 x 20 --1
（ 2 ）根据表格，还可以得出如下结论： 同 号，a , b 当q是正数时，应分解成的两个因数，a,b___ p 相同； 的符号与______
①
异 号，a , 当q是负数时，应分解成的两个因数，a,b____ p
中绝对值较大的因数的符号与______ 相同；
b
因式分解：
问题1：如果所给的式子是
多项式
补充：《分解因式-十字相乘法》ppt课件共17页
分解因式的方法之三 ----十字相乘法
因式分解的方法
一、提公因式法； 二、公式法； 三、十字相乘法； 四、换元法； 五、分组分解法； 六、拆项、添项法； 七、配方法； 八、待定系数法。
Thank you
“拆两头，凑中间”
请大家记住公式
十字相乘法公式：
x 2 ( a b )x a ( b x a )x (b )
将下列各数表示成两个整数的积的形式
（1）6= 2×3 或 (-2)×(-3)或1×6或(-1) ×(-6) （2）-6= 1× (-6)或-1×6或2× (-3)或3× (-2)
∴1
2
一次项系数 十字交叉线
解： 原 (x式 1)x(2)1
(1).因式分解竖直写; (2).交叉相乘验中项; (3).横向写出两因式;
利用十字交叉线来分解 系数，把二次三项式分 解因式的方法叫做十字
相乘法。
十字相乘分解因式的一般步骤:
（1）把二次项系数和常数项分别分解因数 （2）尝试十字图，使经过十字交叉线相乘后所得 的数的和为一次项系数 （3）确定合适的十字图并写出因式分解的结果。 （4）检验。
（6）-24= 1×(- 24)或(-1)×24或2× (-12)或(-2)× 12或 3×(-8)或(-3)× 8或4×(-6)或(-4)× 6
将下列各式用十字相乘法进行因式分解
(1)X2-7x+12 (4)x2-11x-12
(2)x2-4x-12 (3)x2+8x+12 (5)x2+13x+12 (6)x2-x-12
3.在用十字相乘法分解因式时，因为常数项的 分解因数有多种情况，所以通常要经过多次的 尝试才能确定采用哪组分解来进行分解因式。
分解因式十字相乘法ppt课件
把x2+3x+2分解因式
分析∵ (+1) ×(+2)＝＋2
(+1)＋(+2)＝+3
x
1
∴x
2
常数项 一次项系数 十字穿插线
解： 原 (x式 1)x(2)
口诀
利用十字穿插线来分解系数，把二次三项式分解因 式的方法叫做十字相乘法。
(1).因式分解竖直写; (2).穿插相乘验中项; (3).横向写出两因式;
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次三项式因式分解来自两个一次二项式相乘的积
假如二次三项式x2+px+q中的常数项 系数q能分解成两个因数a、b的积，而 且一次项系数p又恰好等于a+b，那么 x2+px+q就可以进展如上的因式分解。
试一试
将以下式子因式分解
(1)x2+3x-4
〔7〕〔a+b〕2-4(a+b)+3
(2)x2-3x-4
〔8〕 x4-3x3 -28x2
(3)x2+6xy-16y2 (9) 2x2-7x+3
(4)x2-11xy+24y2 (10) 5x2+6xy-8y2
(5)x2y2-7xy-18
(6)x4+13x2+36
〔4〕-12= 1× (-12)或(-1)×12或2×(- 6)或(-2)× 6或 3×(-4) 或(-3)× 4
〔5〕24= 1× 24或(-1)×(-24)或2× 12或(-2)× (-12) 或 3×8或(-3)× (-8)或4× 6或(-4)× (-6)