优化方案高中数学(文)高考总复习一轮用书-第7章概率1节课时话页训练苏教版

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高考总复习优化设计一轮用书文科数学配北师版课时规范练53 随机事件的概率

课时规范练53 随机事件的概率基础巩固组1.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是310,那么概率为710的事件是( ) A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡 C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡答案:A2.(2021安徽芜湖期末)抛掷一枚质地均匀的骰子,记事件A 为“向上的点数为1或4”,事件B 为“向上的点数为奇数”,则下列说法正确的是( ) A.A 与B 互斥 B.A 与B 对立 C.P (A+B )=23 D.P (A+B )=13答案:C解析:事件A 与B 不互斥,当向上点数为1时,两者同时发生,故事件A 与B 也不对立. 事件A+B 表示向上点数为1,3,4,5之一,所以P (A+B )=46=23.故选C .3.抽查10件产品,设事件A 为“至少有2件次品”,则事件A 的对立事件为( ) A.至多有2件次品 B.至多有1件次品 C.至多有2件正品 D.至少有2件正品答案:B4.如果事件A 与B 是互斥事件,且事件A ∪B 发生的概率是0.64,事件B 发生的概率是事件A 发生的概率的3倍,则事件A 发生的概率为( ) A.0.64 B.0.36 C.0.16 D.0.84答案:C解析:设P (A )=x ,则P (B )=3x ,因为事件A 与B 是互斥事件,所以P (A ∪B )=P (A )+P (B )=x+3x=0.64,解得x=0.16.故选C .5.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为17,都是白子的概率为1235.则从中任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为( ) A .17B .1235C .1735D.1答案:C解析:设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ,“从中取出2粒都是白子”为事件B ,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ,则C=A ∪B ,且事件A 与B 互斥.所以P (C )=P (A )+P (B )=17+1235=1735,即任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为1735.故选C . 6.若随机事件A ,B 互斥,A ,B 发生的概率均不等于0,且P (A )=2-a ,P (B )=4a-5,则实数a 的取值范围是 . 答案:54,43解析:由题意可知{0<P (A )<1,0<P (B )<1,P (A )+P (B )≤1,则{0<2-a <1,0<4a -5<1,3a -3≤1,解得{1<a <2,54<a <32,a ≤43,故54<a ≤43. 7.已知随机事件A ,B 发生的概率满足条件P (A ∪B )=34,某人猜测事件A ∩B 发生,则此人猜测正确的概率为 . 答案:14解析:因为事件A ∩B 与事件A ∪B 是对立事件,所以P (A ∩B )=1-P (A ∪B )=1-34=14.8.根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率是0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率是0.3,设各车主购买保险相互独立.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中一种的概率; (2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.解:记A 表示事件“该车主购买甲种保险”,B 表示事件“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”,C 表示事件“该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种”,D 表示事件“该车主甲、乙两种保险都不购买”.(1)由题意得P (A )=0.5,P (B )=0.3,又C=A ∪B , 所以P (C )=P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.5+0.3=0.8. (2)因为D 与C 是对立事件, 所以P (D )=1-P (C )=1-0.8=0.2.9.从A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2,现随机抽取100位从A 地到火车站的人进行调查,调查结果如下.(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.解:(1)共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),用频率估计概率,可得所求概率为0.44.(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率分布如下表:(3)记事件A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;记事件B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.用频率估计概率及由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2),故甲应选择L1;P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1),故乙应选择L2.综合提升组10.(2021浙江高三专题练习)下列命题中是真命题的是()A.事件A发生的概率P(A)等于事件A发生的频率f n(A)B.一枚质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是16,说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点C.掷两枚质地均匀的硬币,事件A为“一枚正面朝上,一枚反面朝上”,事件B为“两枚都是正面朝上”,则P(A)=2P(B)D.对于两个事件A,B,若P(A∪B)=P(A)+P(B),则事件A与事件B互斥答案:C解析:频率与试验次数有关,总在概率附近摆动,故选项A错误;概率是指这件事发生的可能性,故选项B错误;P(A)=24=12,P(B)=12×12=14,所以P(A)=2P(B),故选项C正确;在几何概型中选项D 中的结论不成立.故选C .11.在一次班级聚会上,某班到会的女同学比男同学多6人,从这些同学中随机挑选一人表演节目.若选到女同学的概率为23,则这班参加聚会的同学的人数为 . 答案:18解析:设该班到会的女同学有x 人,则该班到会的共有(2x-6)人,所以x2x -6=23,解得x=12,故该班参加聚会的同学有18人.12.(2020天津,13)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 . 答案:1623解析:甲、乙两球都落入盒子的概率为12×13=16,设事件A=“甲、乙两球至少一个落入盒子”,则对立事件为A =“甲、乙两球都未落入盒子”,P (A )=(1-12)×(1-13)=12×23=13,则P (A )=1-P (A )=23.13.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命(单位:小时),现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如图:甲品牌乙品牌(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率. 解:(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5+20100=14,用频率估计概率,可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)根据频数分布图可得寿命不低于200小时的两种品牌产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命不低于200小时的产品是甲品牌的频率是75145=1529.据此估计已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529.创新应用组14.把一枚骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为a ,第二次出现的点数为b ,向量m =(a ,b ),n =(1,2),则向量m 与向量n 不共线的概率是( ) A .16 B .1112C .112D .118答案:B解析:若m 与n 共线,则2a-b=0,而(a ,b )的可能情况有6×6=36(种).符合2a=b 的有(1,2),(2,4),(3,6),共3种.故共线的概率是336=112,从而不共线的概率是1-112=1112.15.下面是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与污染程度对应表.某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差,第二天返回(往返共两天).(1)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(只写出结论,不要求证明)(2)求此人到达该市当日空气质量优良的概率;(3)求此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率.解:(1)从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.(2)设A i表示事件“此人于2月i日到达该市”(i=1,2,…,13).根据题意,P(A i)=1,且13A i∩A j=∅(i≠j,j=1,2,…,13).设B为事件“此人到达当日空气优良”,则B=A1∪A2∪A3∪A7∪.A12∪A13.所以P(B)=P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13)=613(3)设“此人出差期间空气质量至少有一天为中度或重度污染”为事件A,即“此人出差期间空气质量指数至少有一天大于150,且小于300”,由题意可知P(A)=P(A4∪A5∪A6∪A7∪.A8∪A9∪A10∪A11)=P(A4)+P(A5)+P(A6)+P(A7)+P(A8)+P(A9)+P(A10)+P(A11)=813。

高考数学文优化方案一轮复习第8第七抛物线苏教江苏专用-PPT精品

＋1＋y1y2＜0.② 又 x＝y42，于是不等式②等价于
y421·y422＋y1y2－(y421＋y422)＋1＜0
⇔y11y622＋y1y2－14[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1＜0，③ 由①式，不等式③等价于 m2－6m＋1＜4t2，④ 对任意实数 t,4t2 的最小值为 0，所以不等式④ 对于一切 t 成立等价于 m2－6m＋1＜0，即 3－2 2 ＜m＜3＋2 2.
【名师点评】利用抛物线定义解题时应特别注意应用“斜直转换”，即将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离互相转换，同时常结合对称性变换．
互动探究 1 将本例中 A(3,2)改为 A(3，130)，求 PA＋PF 的最小值及此时 P 点的坐标．
解：可判断 A(3，130)在抛物线 y2＝2x 的外部，由定义可知 PA＋PF≥AF＝265，此时 P(2,2)．
则该点到抛物线的焦点 F 的距离 PF＝x0＋p2(焦半径公式)，这一公式的直接运用会为我们求解有关到焦点或准线的距离的问题带来方便．
在求过焦点的弦长时，经常将其转化为两端点到准线的距离之和，再用根与系数关系求解，有时也把点到准线的距离转化为点到焦点的距离进行求解．
例1 已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PA＋PF的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．【思路分析】利用定义将求PA＋PF的最小值转化为PA＋d的问题．
【解】将 x＝3 代入抛物线方程 y2＝2x，得 y＝± 6.
∵ 6>2，∴A 在抛物线内部．设抛物线上点 P 到准线 l： x＝－12的距离为 d，由定义知 PA＋PF＝PA＋d.
当 PA⊥l 时，PA＋d 最小，最小值为72，即 PA＋PF 的最小值为72，此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2＝2x，得 x＝2. ∴点 P 坐标为(2,2)．

(江苏专版)高考数学一轮复习第七章不等式 7.2 线性规划讲义-人教版高三全册数学试题

§7.2线性规划考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 2017线性规划求目标函数最优解 A9题5分填空题★★☆分析解读考查线性规划的试题难度一般中等偏下,复习时试题难度不要拔高.五年高考考点线性规划1.(2017课标全国Ⅰ文改编,7,5分)设x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为.答案 32.(2017课标全国Ⅲ文改编,5,5分)设x,y满足约束条件则z=x-y的取值X围是.答案[-3,2]3.(2016某某改编,4,5分)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是.答案104.(2016课标全国Ⅱ,14,5分)若x,y满足约束条件则z=x-2y的最小值为.答案-55.(2016某某理改编,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+5y的最小值为.答案 66.(2016课标全国Ⅰ,16,5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.答案216 0007.(2016某某理改编,3,5分)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=.答案38.(2016改编,7,5分)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为.答案79.(2016课标全国Ⅲ,13,5分)设x,y满足约束条件则z=2x+3y-5的最小值为.答案-1010.(2015某某改编,6,5分)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a=.答案 211.(2015课标Ⅰ,15,5分)若x,y满足约束条件则的最大值为.答案 312.(2015改编,2,5分)若x,y满足则z=x+2y的最大值为.答案 213.(2015某某改编,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为.答案1814.(2015某某改编,4,5分)若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为.答案-715.(2015某某,14,4分)若实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是.答案 316.(2014某某改编,3,5分)若变量x,y满足约束条件,且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=.答案 617.(2014某某改编,5,5分)x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解,则实数a的值为.答案2或-118.(2014某某,13,5分)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值X围是.答案19.(2014某某,14,5分)若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最小值为-6,则k=.答案-220.(2014课标Ⅰ改编,9,5分)不等式组的解集记为D.有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中的真命题是.答案p1,p221.(2013某某,9,5分)抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x+2y的取值X围是.答案教师用书专用(22—27)22.(2013某某理,13,5分)若点(x,y)位于曲线y=|x-1|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值为.答案-423.(2013某某理,13,5分)给定区域D:令点集T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点},则T中的点共确定条不同的直线.答案 624.(2013某某理改编,9,5分)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足||=||=·=2,则点集{P|=λ+μ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是.答案425.(2013某某理,13,4分)设z=kx+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k=.答案 226.(2013课标全国Ⅱ理改编,9,5分)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=.答案27.(2016某某,16,13分)某化肥厂生产甲、乙两种混某某料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:原料A B C肥料甲 4 8 3乙 5 5 10现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.解析(1)由已知,x,y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域如图1所示:图1(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.图2解方程组得点M的坐标为(20,24).所以z max=2×20+3×24=112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点线性规划1.(2018某某姜堰中学高三期中)已知x,y满足不等式组则(x+1)2+y2的最大值为.答案2.(2018某某某某高三期中检测)若变量x,y满足且x+2y≥a恒成立,则a的最大值为.答案-43.(2018某某如东高级中学高三学情检测)函数y=log2x的图象上存在点(x,y),满足约束条件则实数m的最大值为.答案 14.(2017某某某某师X大学附中期中,7)若实数x,y满足条件则z=3x-4y的最大值是.答案-15.(2017某某某某、某某一模,6)已知实数x,y满足则的最小值是.答案6.(2017某某某某期末,7)设不等式组表示的平面区域为M,若直线y=kx-2上存在M内的点,则实数k的取值X围是.答案[2,5]7.(2016某某清江中学周练,8)若不等式组表示的平面区域的面积为12,则实数a的值为.答案8B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:15分时间:10分钟)填空题(每小题5分,共15分)1.(2017某某某某暑期调研,13)已知点P是△ABC内一点(不包括边界),且=m+n,m,n∈R,则(m-2)2+(n-2)2的取值X围是.答案2.(2017某某某某中学模拟,13)已知实数x,y满足若不等式a(x2+y2)≥(x+y)2恒成立,则实数a 的最小值是.答案3.(2017某某中学高三月考,9)已知点P(x,y)满足则点Q(x+y,y)构成的图形的面积为.答案 2C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 二元一次不等式(组)表示的平面区域的判断方法及平面区域应用1.若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是.答案方法2 简单规划问题的求解方法及实际应用2.变量x,y满足(1)设z=,求z的最小值;(2)设z=x2+y2,求z的取值X围.解析由约束条件作出(x,y)的可行域如图所示.由解得A.由解得C(1,1).由解得B(5,2).(1)∵z==,∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知z min=k OB=.(2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离d的平方,结合图形可知,d min=|OC|=,d max=|OB|=. ∴2≤z≤29.。

高考数学文优化方案一轮复习第第七函数的图象及函数与方程苏教江苏专用-资料.ppt

思考感悟
1．函数y＝f(x)的图象关于原点对称与函数y ＝f(x)和y＝－f(－x)的图象关于原点对称一致吗？
提示：函数y＝f(x)的图象关于原点对称是指函数y＝f(x)自身的图象关于原点对称，而函数y＝f(x)和y＝－f(－x)的图象关于原点对称是指这两种函数各有自己的图象，但是这两种函数的图象关于原点对称．
课前热身 1．为了得到函数y＝2x－3的图象，只需把函数y ＝2x的图象上所有的点向________平移 ________个单位长度．答案：右 3 2．函数 y＝1－x－1 1的图象是________．
答案：②
3.
设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5] 时， f(x)的图象如图，则不等式f(x)＜0的解集是________．答案：{x|－2＜x＜0或2＜x≤5}
【思路分析】由对数函数、二次函数的有关性质判断．
【解析】对于①、②由对数函数图象得|ba|＞1，而抛物线对称轴|－2ba|＜12，∴|ba|＜1，∴①②不正确；对于③中对称轴－2ba＜－12，则|ba|＞1，而对数底数|ba|＜1，∴③不成立．而④中，－2ba ＞－12，∴|ba|＜1，又对数函数的底数|ba|＜1.
相同．又 y＝sin|x|为偶函数，其图象关于 y 轴
对称，如图③.
(4)首先作出y＝log2x的图象C1，然后将C1向左平移1个单位长度，得到y＝log2(x＋1)的图象C2，再把C2在x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，即为所求图象C3：y＝|log2(x＋1)|，如图④(实线部分)．
例1 作出下列函数的图象． (1)y＝2x＋1－1；(2)y＝xx＋＋23； (3)y＝sin|x|；(4)y＝|log2(x＋1)|.

优化方案高考总复习数学理科苏教版 (江苏专用)(课件)选修系列第一节

AB E 是 AC 的中点，ED 交 AB 的延长线于 F，求证： AC DF ＝ . AF
【思路分析】
先证明 △ ABD∽△ CAD ，再证明
BD △ FBD∽△FDA.用过渡可证结，AD⊥ BC，∴∠ ADB＝∠ ADC ＝∠ BAC＝ 90° ， ∴∠ 1＋∠ 2＝ 90° ，∠ 2＋∠ C＝ 90° ， AB BD ∴∠ 1＝∠ C，∴△ ABD∽△ CAD，∴ ＝ . AC AD 又∵ E 是 AC 的中点，∴ DE＝ EC，∴∠ 3＝∠ C. 又∵∠ 3＝∠ 4，∠ 1＝∠ C，∴∠ 1＝∠ 4， BD DF 又有∠ F＝∠ F，∴△ FBD∽△ FDA，∴ ＝， AD AF AB DF ∴ ＝ . AC AF
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直切线．于这条半径的直线是圆的_____ (6)相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分相等．成两段的积_____ (7)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的比例中项．线段的___________ (8)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，两切线长相等；圆心和这点的连线平分两切线的夹角．
由相交弦定理，得EM· EN＝EA· EB，且EM ＝EN， ∴EM2＝EA· EB，又∵AE∶ED＝FE∶EB， ∴EM2＝ED· EF.
3．(2010年高考北京卷)如图，⊙O的弦ED， CB的延长线交于点A.若BD⊥AE，AB＝4， BC＝2，AD＝3，求DE，CE的长．解：由割线定理可知： AD· AE＝AB· AC. ∵AD＝3，AB＝4， BC＝2，AC＝4＋2＝6，
课前热身 1.(2011年南通调研)如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE＝AC，DE交AB于点F.求证： △PDF∽△POC. 证明：∵AE＝AC，∠CDE＝∠AOC，又∠CDE＝∠P＋∠PFD， ∠AOC＝∠P＋∠OCP，从而∠PFD＝∠OCP. 在△PFD与△POC中， ∠P＝∠P，∠PFD＝∠OCP，故△PDF∽△POC.

优化方案高中数学(文)高考总复习一轮用书-第6章统计1节课时活页训练苏教版

1．从2010名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2010人中剔除10人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率为________．答案：5020102．某地区要对编号为000001～100000的学生进行一项调查，拟采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中学生的编号由关系式a n ＝13＋160n (n ∈A )给出，则集合A ＝________.解析：由13＋160n ≤100000，又n 为自然数，所以n ∈N *且n ≤624. 答案：{n |n ∈N *，n ≤624}3．一个田径队，有男运动员56人，女运动员42人，比赛后，立即用分层抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为28的样本进行尿样兴奋剂检查，则其中男运动员应抽取________人．解析：由2856＋42＝27，∴56×27＝16(人)．答案：164．一个总体中有100个个体，随机编号0,1,2，…，99，依从小到大的编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是________．解析：由题意知：m ＝8，k ＝8，则m ＋k ＝16，也就是第8组的个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.答案：765．(2009年高考广东卷)某单位200名职工的的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．解析：由系统抽样知第1组抽出的号码为2，则第8组抽出的号码为2＋5×7＝37；当用分层抽样抽取，则40岁以下年龄段应抽取12×40＝20(名)．答案：37 206．设甲、乙、丙三个加工厂共生产玩具6000件，其中甲厂生产了1440件．现采用分层抽样的方法从三个加工厂抽取一个容量为500件的样本进行质量检测，则应从甲厂抽取________件玩具．解析：抽样比为5006000＝112，所以从甲厂抽取112×1440＝120(件)．答案：1207．一个工厂生产了24000件某种产品，它们来自甲、乙、丙3条生产线，现采用分层抽样的方法对这批产品进行抽样检查．已知从甲、乙、丙3条生产线依次抽取的产品个数恰好组成一个等差数列，且知这批产品中甲生产线生产的产品数量是6000件，则这批产品中丙生产线生产的产品数量是________件．解析：由甲生产线共生产了6000件，而总体共有24000件，故每个个体被抽到的概率为600024000＝14，因此甲生产线共抽到了6000×14＝1500(件)，而乙、丙两生产线共可抽取18000×14＝4500(件)，设丙抽取了n 件，则乙抽取了4500－n 件，由三者成等差数列可得：2(4500－n )＝1500＋n ⇒n ＝2500，即丙抽取了2500件样品，而由于每个个体被抽取的概率均相等为14，故丙生产线共生产了2500N ＝14⇒N ＝10000件．答案：100008．某工厂有甲、乙、丙、丁四类产品的数量成等比数列，共计3000件，现要用分层抽样的方法从中抽取150件进行质量检测，其中乙、丁两类产品抽取的总数为100件，则甲类产品共有__________件．解析：设甲、乙、丙、丁四类产品抽取的数量分别为a ，aq ，aq 2，aq 3，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋aq ＋aq 2＋aq 3＝150aq ＋aq 3＝100，解得q ＝2，a ＝10.在150件样品中，满足甲占的比例为10150＝115，所以3000件产品中，甲的产品数为3000×115＝200(件)．答案：2009．某企业三月中旬生产A 、B 、C 三种产品共3000件，根据分层统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10件，根据以上信息，可得C 的产品数量是________件．解析：设C 产品的数量为x ，则A 产品有1700－x ，C 产品的样本容量为a ，则A 产品样本容量为10＋a ，由分层抽样概念得：1700－x a ＋10＝x a ＝1300130，∴x ＝800.答案：80010．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出了5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多多少人？解：设执“不喜欢”态度的同学为x 人，则执“一般”态度的为(12＋x )人，由于每位同学被抽到的可能性相同，故1x ＝312＋x，解得x ＝6.故每位同学被抽到的可能性为16，“喜欢”摄影的同学共5÷16＝30(人)，全班总人数为30＋6＋(12＋6)＝54(人)，故全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多30－542＝3(人)．11．某学校为了解某年高考语文课的考试成绩，对1200名学生进行抽样调查，其中文科300名考生，理科600名考生，艺术类200名考生，体育类70名考生，外语类30名考生，如果要抽120名考生作为调查分析对象，则按科目分别应抽多少考生？解：由题意知，总体是由差异明显的几部分组成，因此应用分层抽样方法．从1200名考生中抽取120个作成绩调查，其样本容量和总体容量的比值为1∶10，由于各科目考试人数不同，为了更准确地了解情况，可采用分层抽样的方法，抽样时每层所抽人数仍按1∶10分配，即分别为30人，60人，20人，7人，3人．12．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n 的样本．如果采用系统抽样法和分层抽样法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n .解：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n 36，抽取工程师n 36×6＝n 6(人)，抽取技术员n 36×12＝n 3(人)，抽取技工n 36×18＝n 2(人)．所以n 应是6的倍数，36的约数即n ＝6,12,18,36；当样本容量为(n ＋1)时，在总体中剔除1人后还剩35人，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量为6.。

优化方案高中数学(文)高考总复习一轮用书-第7章概率1节随堂即时巩固练习苏教版

1．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级品)的概率为________．解析：记抽验的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而抽验产品是正品(甲级品)的概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.答案：0.922．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30,0.10，则此射手在一次射击中不够8环的概率为________．解析：射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.答案：0.403．从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为________．解析：从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表的所有可能为：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，满足题意的有：甲乙、甲丙、甲丁，所以概率为P ＝36＝12.答案：124．(2010年佛山第二次质检)从一个信箱中任取一封信，记一封信的重量为ξ(单位：克)，如果P (ξ<10)＝0.3，P (10≤ξ≤30)＝0.4，则P (ξ>30)＝________.解析：P (ξ>30)＝1－P (ξ<10)－P (10≤ξ≤30)＝1－0.3－0.4＝0.3. 答案：0.35．某种电子元件在某一时刻是否接通的可能性是相同的，有3个这样的电子元件，则出现至少有一个接通的概率为________．解析：设电子元件接通记为1，没有接通记为0.又设A 表示“3个电子元件至少有一个接通”，显然A 表示“3个电子元件都没有接通”，Ω表示“3个电子元件的状态”，则Ω＝{(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1,1)(0,0,0)}．Ω由8个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的，A ＝{(0,0,0)}，事件A 由1个基本事件组成，因此P (A )＝18，∵P (A )＋P (A )＝1，∴P (A )＝1－P (A )＝1－18＝78.答案：786．(2010年南京调研)某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率．解：从图中可以看出，3个球队共有20名队员，(1)记“随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件A ，则P (A )＝3＋5＋420＝35.故随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队的概率为35.(2)记“随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件B ，则P (B )＝1－P (B )＝1－220＝910.故随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队的概率为910.。

优化方案高中数学(文)高考总复习一轮用书-第7章概率3节随堂即时巩固练习苏教版

1．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为________．解析：利用几何概型知识，结合线性规划可求出答案，如图．|x －y |<12⇔－12<x －y <12，x ∈(0,1)，y ∈(0,1)，设阴影部分的区域面积为d ，可知d ＝34，整个正方形的面积为D ，可知D ＝1，则所求概率P ＝d D ＝34.答案：342．在等腰直角三角形ABC 中，若M 是斜边AB 上的点，则AM 小于AC 的概率为________．解析：可用相应线段长度之比来度量，易知P ＝a 2a ＝22. 答案：223．(2009年高考山东卷)在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________．解析：当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为13.答案：134．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________．解析：如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为13. 答案：135．(原创题)向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则△PBC 的面积小于S 2的概率为________．解析：∵S △PBC <12S △ABC ，∴h ′<h 2(其中h ′为△PBC 中BC 边上的高，h 为△ABC 中BC 边上的高)，设DE 为△ABC 的中位线，则点P 应在梯形BCED 内(如图阴影部分)，∴P ＝S 梯形BCED S △ABC ＝34. 答案：34。

优化方案高中数学(文)高考总复习一轮用书-第5章算法1节课时活页训练苏教版

1．(2010年温州调研)如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为s＝720，则在判断框中应填入的关于k的判断条件是__________．解析：s＝10×9×8,10≥8,9≥8,8≥8，判断条件为“是”时进入循环体，7≥8判断条件为“否”，跳出循环，输出s.答案：k≥82．若R＝8，则下列流程图的运行结果为______．答案：43．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则x的可能值的个数为________．解析：y ＝⎩⎨⎧ x 2 x ≤2，2x －3 2<x ≤5，1x x >5.x ≤2时，x 2＝x ，∴x ＝0或x ＝1；2<x ≤5时，2x －3＝x ，∴x ＝3；x >5时，1x ＝x ，∴x ＝－1或x ＝1(都舍去)．所以共有3个可取值．答案：34．如图，该程序运行后输出的结果为________．解析：A ＝1≤9，“是”，则S ＝0＋1，A 变为2；A ＝2≤9，“是”，则S ＝0＋1＋2，A 变为3；…；A ＝9≤9，“是”，则S ＝0＋1＋…＋9，A 变为10；A ＝10≤9，“否”，则输出S ＝45.答案：455．已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填____．解析：a＝1时进入循环，此时b＝21＝2；a＝2时再进入循环，此时b＝22＝4；a＝3时再进入循环，此时b＝24＝16，∴a＝4时应跳出循环，∴循环满足的条件为a≤3，∴填3.答案：36．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是________．解析：A＝1≤M，“是”，则S＝2×1＋1＝3，A变为2；A＝2≤M，“是”，则S＝2×3＋1＝7，A变为3；A＝3≤M，“是”，则S＝2×7＋1＝15，A变为4；A＝4≤M，“是”，则S＝2×15＋1＝31，A变为5；A＝5≤M，“是”，则S＝2×31＋1＝63，A变为6；A＝6≤M，“否”，则跳出循环，故填5.答案：57．(2009年高考广东卷改编)某篮球队6名主力队员在最近三场比队员i 12345 6三分球个数a1a2a3a4a5a6序框图，则图中判断框应填______，输出的s＝______.(注：框图中的赋值符号“←”也可以写成“＝”或“：＝”)解析：由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故判断框应填i ≤6或i <7，输出s 为a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6.答案：i <7 (或i ≤6) ∑i ＝16a i8．(2009年高考上海卷)某算法的程序框图如图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是________．解析：由程序框图的条件结构知：x >1时，y ＝x －2；x ≤1时，y ＝2x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x ≤1)，x －2 (x >1). 答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1x －2，x >1 9．某流程如图所示，现输入如下四个函数①f (x )＝x 2；②f (x )＝1x ；③f (x )＝ln x ；④f (x )＝sin x .则输入函数与输出函数为同一函数的是 .解析：由程序框图易知只需函数为奇函数且存在零点时，输出与输入函数必是同一函数，分析上述四个函数，易知只有y ＝sin x 满足条件．答案：④10．如图所示的算法中，令a ＝tan θ，b ＝sin θ，c ＝cos θ，若在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪－π4<θ<3π4，θ≠0，π4，π2中，给θ取一个值，输出的结果是sin θ，求θ值所在的范围．解：由框图知，要输出a 、b 、c 中最大的，当θ∈(π2，34π)时，sin θ最大．∴θ值所在的范围为(π2，34π)．11．画出计算1＋12＋13＋…＋19＋110值的一个算法的流程图．解：12．到银行办理个人异地汇款(不超过100万元)时，银行要收取一定的手续费．汇款额不超过100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5000元，按汇款额的1%收取；超过5000元，一律收取50元手续费．设计算法求汇款额为x 元时，银行收取的手续费y 元，只画出流程图．解：要计算手续费，首先要建立汇款数与手续费之间的函数关系式，依题意知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (0<x ≤100)，x ×0.01 (100<x ≤5000)，50 (5000<x ≤1000000).流程图如下图所示．。

优化方案高中数学(文)高考总复习一轮用书-第2章函数7节巩固练习苏教版

1．命题甲：已知函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称．命题乙：函数f (1＋x )与函数f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称．则甲、乙命题正确的是__________．解析：可举实例说明如f (x )＝2x ，依次作出函数f (1＋x )与函数f (1－x )的图象判断．答案：甲2．(2010年济南市高三模拟考试)函数y ＝x |x |·a x (a >1)的图象的基本形状是__________．解析：先去绝对值将已知函数写成分段函数形式，再作图象即可，函数解析式：y ＝⎩⎨⎧ax (x >0)－ax (x <0)，由指数函数图象易知①正确．答案：①3．已知函数f (x )＝(15)x －log 3x ，若x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值为__________(正负情况)．解析：分别作y ＝(15)x 与y ＝log 3x 的图象，如图可知，当0<x 1<x 0时，(15)x 1>log 3x 1，∴f (x 1)>0.答案：正值4．(2009年高考安徽卷改编)设a <b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )的图象可能是__________．解析：∵x >b 时，y >0.由数轴穿根法，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有③正确．答案：③5．(原创题)已知当x ≥0时，函数y＝x 2与函数y ＝2x 的图象如图所示，则当x ≤0时，不等式2x ·x 2≥1的解集是__________．解析：在2x ·x 2≥1中，令x ＝－t ，由x ≤0得t ≥0，∴2－t ·(－t )2≥1，即t 2≥2t ，由所给图象得2≤t ≤4，∴2≤－x ≤4，解得－4≤x ≤－2.答案：－4≤x ≤－26．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧．(2,5]∈，3－，1,2]－[∈，－32x x x x(1)画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间．解：(1)函数f (x )的图象如图所示．,(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[-1,0]，[2,5]．。

优化方案高中数学(文)高考总复习一轮用书-第4章解析几何1节随堂即时巩固练习苏教版

1．已知θ∈R ，则直线x sin θ－3y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是________．解析：k ＝33sin θ，∵θ∈R ，∴k ∈[－33，33]，∴倾斜角α∈[0°，30°]∪[150°，180°)．答案：[0°，30°]∪[150°，180°)2．已知直线l 1的方程是ax －y ＋b ＝0，l 2的方程是bx －y －a ＝0(ab ≠0，a ≠b )，则下列各示意图形中，正确的是________．解析：k l 1＝a ，l 1与y 轴的交点为(0，b )，k l 2＝b ，l 2与y 轴的交点为(0，－a )，可知④对．答案：④3．直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该点的坐标是________________________________________________________________________．解析：mx －y ＋2m ＋1＝0⇒m (x ＋2)＋(1－y )＝0，∴x ＝－2时，y ＝1，即过定点(－2,1)．答案：(－2,1)4．(2008年高考浙江卷)已知a >0，若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝________.解析：由k AB ＝k BC ，即a 2＋a 1＝a 3－a 21，可得a (a 2－2a －1)＝0，即a ＝1±2或a ＝0，又a >0，故a ＝1＋ 2.答案：1＋ 25．(原创题)若点A (ab ，a ＋b )在第一象限内，则直线bx ＋ay －ab ＝0不经过第________象限．解析：点A 在第一象限内，∴ab >0且a ＋b >0，即a >0，b >0，由bx ＋ay －ab ＝0⇒y ＝－a b x ＋b ，∴－a b <0，y 轴的交点为(0，b )，∴直线不过第三象限．答案：三6．求过点P (2,3)，且满足下列条件的直线方程：(1)倾斜角等于直线x －3y ＋4＝0的倾斜角的二倍的直线方程；(2)在两坐标轴上截距相等的直线方程．解：(1)由题意，可知tan α＝13，k ＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－19＝34， y －3＝34(x －2)，所以所求直线的方程为：3x －4y ＋6＝0.(2)当直线过原点时方程为：y ＝32x ，当直线不过原点时方程为：x 5＋y 5＝1，故所求直线的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.。

优化方案高中数学(文)高考总复习一轮用书-第4章解析几何2节课时活页训练苏教版

1．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为______________．解析：k PQ ＝4－21－3＝－1，PQ 的中点为(3＋12，2＋42)，即(2,3)， ∴k l ＝1，∴直线l 的方程为y －3＝(x －2)，即x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝02．若三条直线l 1：x ＋y ＝7，l 2：3x －y ＝5，l 3：2x ＋y ＋c ＝0不能围成三角形，则c 的值为________．解析：由l 1，l 2，l 3的方程可知l 1，l 2，l 3不平行，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7，3x －y ＝5，解得交点(3,4)，代入l 3的方程得c ＝－10.答案：－103．已知两条直线l 1：ax ＋by ＋c ＝0，直线l 2：mx ＋ny ＋p ＝0，则an ＝bm 是直线l 1∥l 2的________条件．解析：∵l 1∥l 2⇒an －bm ＝0，且an －bm ＝0⇒/ l 1∥l 2.答案：必要不充分4．过点P (1,2)作直线l ，使直线l 与点M (2,3)和点N (4，－5)距离相等，则直线l 的方程为________________．解析：直线l 为与MN 平行或经过MN 的中点的直线，当l 与MN 平行时，斜率为－4，故直线方程为y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0；当l 经过MN 的中点时，MN 的中点为(3，－1)，直线l 的斜率为－32，故直线方程为y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0.答案：3x ＋2y －7＝0或4x ＋y －6＝05．已知直线l 经过点(12，2)，其横截距与纵截距分别为a 、b (a 、b 均为正数)，则使a ＋b ≥c 恒成立的c 的取值范围为________．解析：设直线方程为x a ＋y b ＝1，∴12a ＋2b ＝1，a ＋b ＝(a ＋b )·(12a ＋2b )＝52＋b 2a ＋2a b ≥92，故c ≤92.答案：(－∞，92]6．(2010年苏南四市调研)若函数y ＝ax ＋8与y ＝－12x ＋b 的图象关于直线y ＝x 对称，则a ＋b ＝________.解析：直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－12x ＋b 为同一直线，故得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝4，所以a ＋b ＝2.答案：27．如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是______．解析：分别求点P 关于直线x ＋y ＝4及y 轴的对称点，为P 1(4,2)、P 2(－2，0)，由物理知识知，光线所经路程即为P 1P 2＝210.答案：2108．设a 、b 、c 、分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是______．解析：由b sin A －a sin B ＝0知，两直线垂直．答案：垂直9．(2010年江苏常州模拟)已知0<k <4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为______．解析：l1：k (x －2)－2y ＋8＝0过定点(2,4)，l 2：k 2(y －4)＝4－2x 也过定点(2,4)，如图，A (0,4－k )，B (2k 2＋2,0)，S ＝12×2k 2×4＋(4－k ＋4)×2×12＝4k 2－k ＋8.当k ＝18时，S 取得最小值．答案：1810．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线方程为y ＝0，若点B 坐标为(1,2)，求点A 和C 的坐标．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，得A (－1,0)．又B (1,2)，∴k AB ＝1. ∵x 轴是∠A 的平分线，∴k AC ＝－1.AC 直线方程y ＝－(x ＋1)．又BC 方程为：y －2＝－2(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－(x ＋1)，y －2＝－2(x －1)，得C (5，－6)． 11．在直线l ：3x －y －1＝0上求点P 和Q ，使得：(1)P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大；(2)Q 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小．解：(1)如图所示，设点B 关于l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )，则k BB ′·k l ＝－1，即3·b －4a ＝－1.∴a ＋3b －12＝0.①又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且在直线l 上，∴3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②解①②得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0. 解⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5. 即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)．(2)如图所示，设C 关于l 的对称点为C ′，求出C ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245. ∴AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，AC ′和l 交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267，故Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267. 12．(2010年济南模拟)已知n 条直线l 1：x －y ＋C 1＝0，C 1＝2，l 2：x －y ＋C 2＝0，l 3：x －y ＋C 3＝0，…，l n ：x －y ＋C n ＝0(其中C 1<C 2<C 3<…C n )，在这n 条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n .(1)求C n ；(2)求x －y ＋C n ＝0与x 轴、y 轴围成图形的面积；(3)求x －y ＋C n －1＝0与x －y ＋C n ＝0及x 轴、y 轴围成的图形的面积．解：(1)原点O 到l 1的距离d 1为1，原点O 到l 2的距离d 2为1＋2，…，原点O 到l n 的距离d n 为1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2.∵C n ＝2d n ，∴C n ＝2n (n ＋1)2. (2)设直线l n ：x －y ＋C n ＝0交x 轴于M ，交y 轴于N ，则S △OMN ＝12|OM |·|ON |＝12C n 2＝n 2(n ＋1)24. (3)所围成的图形是等腰梯形，由(2)知S n ＝n 2(n ＋1)24，则有S n －1＝(n －1)2·n 24. ∴S n －S n －1＝n 2(n ＋1)24－(n －1)2·n 24＝n 3， ∴所求面积为n 3.。

2024年高考总复习优化设计一轮用书数学配北师版(适用于新教材)解答题专项六概率与统计中的综合问题

解答题专项六概率与统计中的综合问题解答题专项练《素养分级练》P3961.(2022·河北张家口三模)港珠澳大桥桥隧全长55千米,桥面为双向六车道高速公路,设计速度为100千米/小时,限制速度为90~120千米/小时,通车后由桥上监控显示每辆车行车和通关时间的频率分布直方图如图所示:(1)估计车辆通过港珠澳大桥的平均时间t (单位:分钟)(精确到0.1);(2)以(1)中的平均时间t 作为μ,车辆通过港珠澳大桥的时间X 近似服从正态分布N (μ,36),任意取通过大桥的1 000辆汽车,求所用时间少于39.5分钟的车辆大致数目(精确到整数).附:若X~N (μ,σ2),则P (μ-σ<X ≤μ+σ)≈0.682 6,P (μ-2σ<X ≤μ+2σ)≈0.954 4.解:(1)由频率分布直方图可得t =32.5×0.015+37.5×0.18+42.5×0.27+47.5×0.3+52.5×0.2+57.5×0.035≈45.5(分钟). (2)由题知X~N (45.5,36),所以P (X<39.5)=P (X<μ-σ)=12[1-P (μ-σ<X ≤μ+σ)]=0.158 7,所以1 000×0.158 7≈159,故所用时间少于39.5分钟的车辆大致数目为159.2.一场科普知识竞答比赛由笔试和抢答两部分组成,若笔试和抢答满分均为100分,其中5名选手的成绩如下表所示:对于这5名选手,根据表中的数据,试解答下列两个小题:(1)求y 关于x 的线性回归方程;(2)现要从笔试成绩在90分或90分以上的选手中选出2名参加一项活动,以ξ表示选中的选手中笔试和抢答成绩的平均分高于90分的人数,求随机变量ξ的分布列及数学期望E (ξ). 附:b ^=∑i=1n(x i -x )(y i -y )∑i=1n(x i -x )2,a ^=y −b ^x .解:(1)x =87+90+91+92+955=91, y =86+89+89+92+945=90,∑i=15(x i -x )2=(-4)2+(-1)2+02+12+42=34,∑i=15(x i -x )(y i -y )=(-4)×(-4)+(-1)×(-1)+0×(-1)+1×2+4×4=35,所以b ^=3534,a ^=y −b ^x =90-3534×91=-12534,故线性回归方程为y ^=3534x-12534. (2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2.因为笔试成绩在90分或90分以上的选手有S 2,S 3,S 4,S 5,共4人,他们笔试和抢答的成绩平均分分别为89.5,90,92,94.5,平均分高于90分的有2人,所以P (ξ=0)=C 22C 42=16;P (ξ=1)=C 21C 21C 42=23;P (ξ=2)=C 22C 42=16,故ξ的分布列为所以E (ξ)=0×16+1×23+2×16=1. 3.(2023·湖北襄阳高三检测)为落实教育部的双减政策,义务教育阶段充分开展课后特色服务.某校初中部的篮球特色课深受学生喜爱,该校期末将进行篮球定点投篮测试,规则为:每人至多投3次,先在M 处投一次三分球,投进得3分,未投进不得分,以后均在N 处投两分球,每投进一次得2分,未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试,并终止投篮.甲、乙两位同学为了通过测试,进行了五轮投篮训练,每人每轮在M 处和N 处各投10次,根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如下图表:甲乙若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.(1)已知该校有300名学生的投篮水平与甲同学相当,求这300名学生通过测试人数的数学期望; (2)在甲、乙两位同学均通过测试的条件下,求甲得分比乙得分高的概率. 解:(1)甲同学两分球投篮命中的概率为510+410+310+610+7105=0.5,甲同学三分球投篮命中的概率为110+0+110+210+1105=0.1,设甲同学累计得分为X ,则P (X=4)=0.9×0.5×0.5=0.225,P (X=5)=0.1×0.5+0.1×0.5×0.5=0.075,则P (X ≥4)=P (X=4)+P (X=5)=0.3,所以甲同学通过测试的概率为0.3.设这300名学生通过测试的人数为Y ,由题设Y~B (300,0.3),所以E (Y )=300×0.3=90. (2)乙同学两分球投篮命中率为210+410+310+510+6105=0.4,乙同学三分球投篮命中率为110+210+310+110+3105=0.2.设乙同学累计得分为Y ,则P (Y=4)=0.8×0.4×0.4=0.128,P (Y=5)=0.2×0.4+0.2×0.6×0.4=0.128. 设“甲得分比乙得分高”为事件A ,“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件B ,则P (AB )=P (X=5)·P (Y=4)=0.075×0.128=0.009 6,P (B )=[P (X=4)+P (X=5)]·[P (Y=4)+P (Y=5)]=0.076 8,由条件概率公式可得P (A|B )=P (AB )P (B )=0.009 60.076 8=18.4.(2022·山东潍坊三模)盲盒,是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子,具有随机性.因其独有的新鲜性、刺激性及社交属性而深受各个年龄段人们的喜爱.已知M 系列盲盒共有12个款式,一批盲盒中,每个盲盒随机装有一个款式,甲同学已经买到3个不同款,乙、丙同学分别已经买到m 个不同款,已知三个同学各自新购买一个盲盒,且相互之间无影响,他们同时买到各自的不同款的概率为13. (1)求m ;(2)设X 表示三个同学中各买到自己不同款的总人数,求X 的分布列和数学期望. 解:(1)由题意三个同学同时买到各自的不同款的概率为912×12-m12×12-m 12=13,解得m=20或4,因为0<m ≤12,所以m=4.(2)由题意知X 的所有可能取值为0,1,2,3, P (X=0)=312×412×412=136;P (X=1)=912×412×412+312×812×412×2=736; P (X=2)=912×812×412×2+312×812×812=49; P (X=3)=13. 其分布列为所以数学期望E (X )=0×136+1×736+2×49+3×13=2512. 5.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:(1)是否可以认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?(2)从该地的人群中任选一人,A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B 表示事件“选到的人患有该疾病”,P (B |A )|A )P (B |A )的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.(ⅰ)证明:R=P (A |B )(A |B )P (A |B );(ⅱ)利用该调查数据,给出P (A|B ),P (A|B )的估计值,并利用(ⅰ)的结果给出R 的估计值. 附:χ2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ).解: (1)由题意可知,n=200,所以χ2=n (ad -b c )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )=200×(40×90-10×60)2100×100×50×150=24>6.635,所以我们有99%的把握可以推断患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.(2)(ⅰ)证明:R=P (B |A )P (B |A )P (B |A )P (B |A )=P (B |A )·(B |A )P (B |A )=P (AB )P (A )P (AB )P (A )·P (AB )P (A )P (AB )P (A )=(A B )P (AB )·P (AB )=P (AB )P (B )P (AB )P (B )(A B )P (B )P (AB )P (B )=P (A |B )·(A |B )P (A |B ).(ⅱ)P (A|B )=P (AB )P (B )=n (AB )n (B )=40100=0.4,P (A|B )=AB )P (B )=AB )n (B )=10100=0.1, 同理P (A|B )=(AB )P (B )=(AB )n (B )=90100=0.9,P (A |B )=P (AB )P (B )=n (AB )n (B )=60100=0.6,所以R=P (A |B )·(A |B )P (A |B )=0.4×0.90.6×0.1=6. 所以指标R 的估计值为6.6.(2022·江西鹰潭二模)为迎接北京冬季奥运会,某市对全体高中学生举行了一次关于冬季奥运会相关知识的测试.统计人员从全市高中学生中随机抽取200名学生成绩作为样本进行统计,测试满分为100分,统计后发现所有学生的测试成绩都在区间[40,100]内,并制成如下所示的频率分布直方图.(1)估计这200名学生的平均成绩(同一组中的数据用该区间的中点值为代表);(2)在这200名学生中用分层随机抽样的方法从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]的三组中抽取了10人,再从这10人中随机抽取3人,记X 为3人中成绩在[80,90)的人数,求X 的分布列和数学期望;(3)规定成绩在[90,100]的为A 等级,成绩在[70,90)的为B 等级,其他为C 等级.以样本估计总体,用频率代替概率,从所有参加测试的同学中随机抽取10人,其中获得B 等级的人数恰为k (k ≤10)人的概率为P ,当k 为何值时P 的值最大? 解:(1)这200名学生的平均成绩为(45×0.005+55×0.02+65×0.025+75×0.03+85×0.015+95×0.005)×10=69.5(分). (2)由[70,80),[80,90),[90,100]的三组频率之比为0.3∶0.15∶0.05=6∶3∶1,从[70,80),[80,90),[90,100]中分别抽取6人,3人,1人,X 所有可能取值为0,1,2,3,则P (X=0)=C 73C 103=724,P (X=1)=C 72C 31C 103=2140,P (X=2)=C 71C 32C 103=740,P (X=3)=C 33C 103=1120. 故X 的分布列为X123P7242140 740 1120故E (X )=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910. (3)依题意,B 等级的概率为(0.03+0.015)×10=0.45,且k~B (10,0.45),所以P (k )=C 10k 0.45k (1-0.45)10-k,而{P (k )≥P (k -1),P (k )≥P (k +1),则{C 10k 0.45k (1-0.45)10-k ≥C 10k -10.45k -1(1-0.45)10-k+1,C 10k 0.45k (1-0.45)10-k ≥C 10k+10.45k+1(1-0.45)10-k -1,即{10-k+1k×0.45≥0.55,0.55≥0.45×10-(k+1)+1k+1,解得7920≤k ≤9920, 因为k ∈N *,所以k=4.。