北京四中2018届高三上期中考试文科数学答案

北京四中2017-2018学年第一学期高三期中考试文科数学答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.三、解答题共6小题，共80分. 15. （本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S , 12(*)n n a a n +=∈N ，且2a 是2S 与1的等差中项. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列1{}na 的前n 项和为n T ,且对*n ∀∈N ,n T λ<恒成立,求实数λ的最小值. 解：（Ⅰ）因为 12(*)n n a a n +=∈N , 所以 21211123S a a a a a =+=+=. ………………1分因为 2a 是2S 与1的等差中项, 所以 2221a S =+, 即112231a a ⨯=+.所以 11a =. ……3分 所以{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列.所以 11122n n n a --=⨯=. ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：111()2n n a -=.所以111a =, 1111(*)2n nn a a +=⋅∈N . 所以 1{}na 是以1为首项, 12为公比的等比数列. ………………9分所以 数列1{}n a 的前n 项和11122(1)1212n n nT -==--. ………………11分 因为 102n >，所以 12(1)22n n T =-<.若2b <，当22log ()2n b>-时，n T b >. 所以 若对*n ∀∈N ,n T λ<恒成立，则2λ≥.所以 实数λ的最小值为2. ………………13分16. 在锐角△ABC 中，已知5b =，sin A =ABC S ∆=.（1）求c 的值； （2）求sin C 的值.解：（I）由1sin 24ABC S bc A ∆== …....……..….…2分可得，6c = ……………..….….4分（II ）由锐角△ABC中sin A =可得3cos 4A = …………...…….....6分由余弦定理可得：22232cos 253660164a b c bc A =+-⨯=+-⨯=， ..….….8分有：4a = …….. ….…….9分由正弦定理：sin sin c aC A=， ………....…….10分即6sin 4sin 4c AC a=== ..............13分 17.已知函数()sin )sin f x x x x =-,x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.解： ()cos21f x x x +-12cos 2)12x x =+-π2sin(2)16x =+-. （Ⅰ）()f x 的最小正周期为2ππ.2T == 令222,262k x k k πππππ-++≤+≤+∈Z ，解得36k x k ππππ-+≤≤+，所以函数()f x 的单调增区间为[,],36k k k ππππ-+∈Z . （Ⅱ）因为04x π≤≤，所以22663x πππ≤+≤，所以1sin(2x )126π≤+≤ ，于是 12sin(2)26x π≤+≤ ，所以0()1f x ≤≤.当且仅当0x =时 ()f x 取最小值min ()(0)0f x f == 当且仅当262x ππ+=，即6x π=时最大值max ()()16f x f π==.18.已知函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值； （Ⅱ）当1a =时，试问曲线()y f x =与直线y =2x -3是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}|0x x >，21()af x xx'=+． 又曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直， 所以(1)12f a '=+=，即1a =．（Ⅱ）当1a =时，1()ln f x x x=-，[)1,x ∈+∞． 令1()ln 23g x x x x=--+．2211(21)(1)()2x x g x x x x +-'=+-=-． 当1x >时，()0g x '<，()g x 在(1,)+∞单调递减； 当时，，()g x 在(1,)+∞单调递增．又(1)0g =，所以()g x 在(1,)+∞恒负．因此，曲线与直线仅有一个公共点，公共点为．19.已知函数x a x a x x f ln )2()(2++-= (a 为实常数). （Ⅰ）若，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数在[1,e]上的单调性；（III ）若存在[]1,e x ∈，使得()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围. 解:(1)时，，0)1('=f ，所求切线方程为y =1. …………3分⑵()()()xx a x x a x a x x a a x x f 1222)2(2)(2'--=++-=++-= []e x ,1∈ 当12≤a即2≤a 时， []e x ,1∈，0)('≥x f ，此时，)(x f 在[]e ,1上单调增； 当e a<<21即e a 22<<时， ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,1a x 时，0)('<x f ，)(x f ⎪⎭⎫⎝⎛2,1a 上单调减； ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e a x ,2时，0)('>x f ，)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛e a ,2上单调增； 当e a≥2即e a 2≥时， []e x ,1∈，0)('≤x f ，此时，)(x f 在[]e ,1上单调减； …………8分⑶ 方法一：当2≤a 时，)(x f 在[]e ,1上单调增，∴)(x f 的最小值为1)1(--=a f 21≤≤-∴a 当e a 22<<时， )(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,1a 上单调减，在⎪⎭⎫⎝⎛e a ,2上单调增 ∴)(x f 的最小值为⎪⎭⎫⎝⎛--=+--=142ln 2ln 4)2(2a a a a a a a a f3e22e 0ln1,1 1.2242a a a <<∴<<<+<+ 0142ln )2(<⎪⎭⎫⎝⎛--=∴a a a a f ，e a 22<<∴当e a 2≥时， )(x f 在[]e ,1上单调减，∴)(x f 的最小值为()a e a e e f ++-=2)(22-=a )(x f 2-=a x x x f ln 2)(2-=1222-->≥e ee e a 0)(<∴ef ,e a 2≥∴ 综上，1-≥a ………14分 方法二：不等式0)(≤x f ，可化为．∵, ∴且等号不能同时取，所以，即，因而（）令（），又，当时，，，从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数， 故的最小值为，所以a 的取值范围是．………14分20. （本小题共14分）已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12， 且点（1，32）在该椭圆上.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，若AOB ∆的面积为726，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程.解：（I ）设椭圆C 的方程为22221,(0)x y a b a b+=>>，由题意可得 21==a c e ,又222c b a +=，所以2243a b =……………2分 因为椭圆C 经过（1，32），代入椭圆方程有 14349122=+a a解得2=a ……………4分x x x x a 2)ln (2-≥-],1[e x ∈x x ≤≤1ln x x <ln 0ln >-x x xx xx a ln 22--≥],1[e x ∈xx xx x g ln 2)(2--=],1[e x ∈2)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x g --+-='],1[e x ∈1ln ,01≤≥-x x 0ln 22>-+x x 0)(≥'x g )(x g ],1[e )(x g 1)1(-=g ),1[+∞-所以1c = ，2413b =-=故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 （Ⅱ）解法一：当直线l x ⊥轴时，计算得到：33(1,),(1,)22A B ---，1113||||13222AOB S AB OF ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意. ……………6分当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+,0≠k由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得 2222(34)84120k x k x k +++-= …………7分 显然0∆>成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则21228,34k x x k +=-+ 212241234k x x k -⋅=+ ……………8分 又2212221221221)()()()(||x x k x x y y x x AB -+-=-+-==== ……………9分 即22212(1)||3434k AB k k+==++ 又圆O的半径r ==……………10分所以221112(1)||22347AOBk S AB r k ∆+=⋅⋅=⋅==+……………11分 化简，得4217180k k +-=，即22(1)(1718)0k k -+=，解得2212181,17k k ==-（舍） ……………12分所以，2r ==，故圆O 的方程为：2212x y +=. ……………14分（Ⅱ）解法二：设直线l 的方程为 1x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得 22(43)690t y ty +--= ……………7分因为0∆>恒成立，设1122(,),(,)A x y B x y ， 则12122269,4343t y y y y t t +=⋅=-++ ……………8分所以12||y y -=== ……………9分所以11221||||2437AOBS FO y y t ∆=⋅⋅-==+化简得到4218170t t --=，即0)1)(1718(22=-+t t ， 解得211,t =221718t =-（舍） …………11分 又圆O的半径为r ==……………12分所以2r ==，故圆O 的方程为：2212x y += ……………14分.。