点的运动直角坐标法运动方程与速度加速度

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速度与加速度的直角坐标表示法

2
d2z dt 2
2
cos(a
，i)
ax
， cos(a
，j)
ay
， cos(a
，k)
az
a
a
a
例4-3
曲柄连杆机构在工程中有非常广泛的应用，这种机构能将转动转换为平动，如压气机、往复式水泵、锻压机等；或将平动转换为转动，如蒸汽机、内燃机等。如图4-12所示的曲柄连杆机构中，曲柄 OA以匀
v dr dx i dy j dz k dt dt dt dt
但速度矢量也可表示为
v vxi vy j vzk
式中： vx， vy ， vz —— v在坐标轴 x ， y ， z 上
的投影。
由此我们得到，用直角坐标表示的速度为
vx
dx
dt
vy
dy
dt
vz
dz dt
这就表明：动点的速度在各坐标轴上的投影，分别等于动点的各对
瞬间的位置为
x OC CB r cos l cos
式中， t 。由直角三角形OAC 及 ACB 得到
r sin l sin 或 sin r sin
l
于是
cos
1
r l
2
sin
2
因此滑块 B 的运动方程为
x r cost l
1
r l
2
sin
2
t
以 0 和代入上式，可知滑块的行程或冲程为 2r 。
应坐标对于时间的一阶导数。
速度的大小及方向余弦为
v
vx2
v
2 y
vz2
dx dt
2
dy dt
2
dz dt
2

理论力学——运动学

v2

n
加速度a的大小：
a
aτ + a n
2
2
dv 2 v 2 2 ( ) ( ) dt
加速度和主法线所夹的锐角的正切：
tan
aτ an
4、直角坐标于自然坐标之间的关系：
ds 2 dx 2 dy 2 dz 2 v ( ) ( ) ( ) ( ) dt dt dt dt
2
2
九、刚体的基本运动
1、刚体的平动
（1）刚体平动的定义刚体运动时，若其上任一直线始终保持与它的初始
位置平行，则称刚体作平行移动，简称为平动或移动。 (2) 平动刚体的运动特点
刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；同一瞬时，
各点的速度相同，加速度也相同。
刚体平动判别：P169题三图，P176题五图，题七图
点加的速度
i + y j + z k vx
a vx i + v y j + vz k xi + yj + zk
ax v x x ay v y y az v z z
3、自然法
用自然法描述的运动方程：
s பைடு நூலகம் f (t )
a 2 a x a y a z a an
1
2
2
2
2
2

a 2 a v2
2
5、匀速、匀变速公式
（1）
aτ＝常数，
v v0 aτ t
（ 2）v=常数，
1 2 s s0 v0t aτ t 2 2 v 2 v0 2a ( s s0 )
平面运动。

动力学第一章节

4
R 50cm, L 100cm, l 25cm
R 50cm, L 100cm, l 75cm
P 点的运动轨迹
5
问题:如果已知点的运动轨迹和点速度的大小随
时间的变化规律,如何确定点的加速度?
v
M
列车沿铁路行驶
若将列车视为质点其运动轨迹已知。
问题:质点M沿椭圆轨道
匀速率运动,如何确定其加速度的大小和方向?
x p R cos l L2 R 2 sin 2 L R y p ( L l ) sin L
O

2、P点的速度和加速度
pi y p j v v px i v py j x
p i p j a a px i a py j x y
例：半径为 R 的车轮在地面上纯滚动，轮心速度
的大小为 u (常量). 求车轮接触地面的点的加速度.
解: 建立M点的运动方程
x R( sin ) y R(1 cos )
R u
u (1 cos ) vx x u sin vy y
sin u ax x cos u ay y
m 2 s
二、直角坐标形式：
Fx m x Fy m y Fz m z
2 2 2 2 2 2 解： v x y z s R C const.
2 2 2 R 2 a x y z
a at an
, an at s
2 s

10
2 2 2 s s C R 2 an a R
7
主法线

点的运动及刚体的简单运动

4.3.3曲率
因为 d d d d 1 ds d ds ds
方向同 n
所以 n d
ds
4.3.4点的速度
v dr dr ds ds v
dt ds dt dt
4.3.5点的加速度 a dv dv v d
dt dt dt
代入
d d ds v n
dt ds dt
则
a
l2 a2 2al cos 2t
cos(v, j) vy (l a) cost v l2 a2 2al cos 2t
已知：OC AC BC l , MC a , t。
求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
加速度
ax vx x l a 2 cost ay vy y l a2 sin t
加速度
dv d2 r
a
v r
dt dt 2
单位 m/s2
矢端曲线
速度矢径矢端曲线切线
加速度速度矢端曲线切线
4.2 用直角坐标法研究点的运动
4.2.1 运动方程
x x(t) y y(t) z z(t)
直角坐标与矢径坐标之间的关系
r (t) x t i y(t) j z(t)k
4.2.2 点的速度
① 啮合条件
R11 vA vB R22
② 传动比
i12
1 2
R2 R1
z2 z1
4.5.2 带轮传动
r11 vA vA vB vB r22
i12
1 2
r2 r1
4.6 以矢量表示角速度和角加速度以矢积表示点的速度和加速度
4.6.1角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
大小作用线沿轴线
4.1.2 点的速度

理论力学-点的运动学

6.1 点的运动方程.速度和加速度
图6-3
6.1 点的运动方程轨迹的参数方程，在时间
t赋予不同数值时，将依次得到每一瞬时点的坐标x,y,z的相
应数值，根据这些数值就可描绘出点的运动轨迹。从运动方
程中消去参数t
当矢径的原点与直角坐标系的原点重合时，将有式（6-4）
当点M运动时，其弧坐标s随时间不断变化，是时间t的单 s=f(t) 6-5
6.1 点的运动方程.速度和加速度
式(6-5)表示点沿已知轨迹的运动规律，称为以弧坐标表
示的点的运动方程
s=f(t )
位置便可唯一确定。这种利用点的运动轨迹建立弧坐标，并
利用弧坐标来描述和分析点的运动的方法称为自然法。在点
的运动轨迹为已知的情况下，采用自然法描述点的运动较为
理论力学
运动学-点的运动学
分析物体的运动时，习惯上从最简单物体的运动开始，即先研究点的运动，这是本章学习的重点。点的运动学主要研究点在空间中的位置随时间变化的规律，它既是研究一般物体运动的基础，又具有独立的应用意义。
6.1 点的运动方程.速度和加速度
6.1.1 点的运动方程
若点M做直线运动，利用点的坐标x来确定点在空间的
t 0
t0 t dt
式（6-6
t瞬时的速度，用v
(6-6)
v
=
•
r
6.1 点的运动方程.速度和加速度
6.1.3 点的加速度
设点M 在瞬时t的速度为v，经过时间间隔Δt后，点的位
置到达M ′时的速度为v ′，如图6-6所示。速度矢的变化量
Δv =v′－v，定义速度矢的变化量Δv与相应的时间间隔Δt
的比值为点的平均加速度，记为a。当Δt→0

第五章点的运动

的一阶导数，动点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数或其矢径对时间的二阶导数。即
r dr v lim t 0 t dt
dv d 2 r a 2 dt dt
(5.2)
y
x1 O
M y1 x
图5.3
第二节用直角坐标表示法确定点的位置、速度、加速度
dv v a a a dt
2 2 2 n
2
2
全加速度的方向为
| a | tan an
式中，β为a与an所夹的锐角，如图所示。加速度的单位为m/s2。
O

an

at
a
【例7.1】滑道摇杆机构由滑道摆杆 BC，滑块A和曲柄OA组
v a* t
平均加速度a*是矢量，其方向与Δv相同。当Δt→０时，平均加速度a*趋近于一极限值，这个极限值就是点在瞬时 t的加速度a。有
v a lim a* lim t 0 t 0 t
可把Δv分解为反映速度大小变化的Δvτ和反映速度方向变化的Δvn，在MC上找点 B，使MB=MA=v ，连接AB，则ＡＢ为 Δvn ， BC为 Δvτ ；其中， Δvτ=v1-v 表示速度大小的改变量，而Δvn 表示速度方向的改变量。由△ABC可得到Δv=Δvτ+Δvn，如图所示。
的变化率。因为Δvτ=Δv=v1=v是一代数量，所以aτ的大小为
v v dv a lim lim t 0 t t 0 t dt
v lim 趋近于 t 0 t Δvτ 的极限方向，而与轨迹在 M点的切线方向相重合，故 aτ 称为
由图可知，当Δt→0时，v1趋近于v，Δφ→０,
(
2．点的速度速度是表示点运动的快慢和方向的物理量。

第五章点的运动

ax

dvx dt

d2x dt 2
x
ay

dv y dt

d2 y dt 2

y
az

dvz dt

d2z dt 2
z
• 加速度的大小：
a
(
d2 dt
x
2
)2

d2 y ( dt 2
)2

d2z ( dt 2
)2
• 加速度的方向余弦：
cos(a, i) ax a
cos(a, j) ay a
第二篇运动学
引言
• 静力学主要研究作用在物体上力系的平衡条件
• 物体的运动规律不仅与受力情况有关而且与物体的惯性和物体原来的运动状态有关
运动学是什么？
• 运动学是研究物体运动几何性质的科学
研究物体运动的轨迹、运动方程、速度和加速度。研究对象：点、刚体。
研究物体的机械运动时，必须选另一物体作为参考体，与参考体固连的坐标系称为参考系
所以：
v2 80
an 32
即： ρ = 2.5 （m)
例
半径为r的轮子沿直线纯滚（不滑动），轮
转角=t( 为常量）,求轮上任一点的运动方程、
速度和加速度以及点运动轨迹的曲率半径。
解：取轮一点与地接触，开始时该点与直角坐标轴原点重合
v
v
2 x

v
2 y

r
2 2 cost
a
a
2 x

a
2 y
4R 2
, tan ay cot 2t
ax
例: 摇杆摆动后带动滑块沿水平导槽滑动, 摇杆摆动

理论力学第五章——点的运动

'
'
当Δt 0， Δv/Δt的极限称为点在瞬时t的加速度：
v dv d 2 x a lim 2 x t 0 t dt dt
5.1 点的直线运动
已知加速度或速度方程，采用积分法求运动方程，积分常数由运动初始条件决定。 dv a dv adt dt v t dv adt
由于
dτ dτ ds dτ ds v n dt dt ds ds dt
所以
dv v a τ n dt
2
5.4 自然法
4 点的切向加速度和法向加速度
dv v a τ n dt
上式表明加速度矢量a是由两个分矢量组成：分矢量at 的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它表明速度代数值随时间的变化率；分矢量 an的方向永远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。
2 t 2
2
at tan | | 0.25 an
2
5.4 自然法
全加速度为aτ和an的矢量和
a at an
全加速度的大小和方向由下列二式决Leabharlann ：大小：a at an
2
2
方向：
at an cos(a ,t ) , cos(a ,n ) a a
5.4 自然法
如果动点的切向加速度的代数值保持不变，则动点的运动称为匀变速曲线运动。现在来求它的运动规律。 at c
dτ τ j 1 lim lim n n ds s 0 s s 0 s
t"
5.4 自然法
3 点的速度
r s ds v lim lim t 0 t t 0 t dt

理论力学重难点及相应题解

运动学部分：一、点的运动学重点难点分析1．重点：点的运动的基本概念（速度与加速度，切向加速度和法向加速度的物理意义等）；选择坐标系，建立运动方程，求速度、加速度。

求点的运动轨迹。

2．难点：运动方程的建立。

解题指导：1．第一类问题（求导）：建立运动方程然后求导。

若已知点的运动轨迹，且方程易于写出时，一般用自然法，否则用直角坐标法。

根据点的运动性质选取相应的坐标系，对于自然法要确定坐标原点和正向。

不管用哪种方法，注意将点置于一般位置，而不能置于特殊位置。

根据运动条件和几何关系把点的坐标表示为与时间有关的几何参数的函数，即可得点的运动方程。

2．第二类问题（积分）：由加速度和初始条件求运动方程，即积分并确定积分常数。

二、刚体的简单运动重点难点分析：1．重点：刚体平移、定轴转动基本概念；刚体运动方程，刚体上任一点的速度和加速度。

2．难点：曲线平移。

解题指导：首先正确判断刚体运动的性质。

其后的分析与点的运动分析一样分两类问题进行。

建立刚体运动方程时，应将刚体置于一般位置。

三、点的合成运动（重要）重点难点分析：1．重点：动点和动系的选择；三种运动的分析。

速度合成与加速度合成定理的运用。

2．难点：动点和动系的选择。

解题指导：1．动点的选择、动系的确定和三种运动的分析常常是同时进行的，不可能按顺序完全分开。

2．常见的运动学问题中动点和动系的选择大致可分以下五类：（1）两个（或多个）不坟大小的物体独立运动，（如飞机、海上的船舶等）对该类问题，可根据情况任选一个物体为动点，而将动系建立在另一个物体上。

由于不考虑物体的大小，因此动系（刚体）与物体（点）只在一个点上连接，可视为铰接，建立的是平移动坐标系。

（2）一个小物体（点）相对一个大物体（刚体）运动，此时选小物体为动点，动系建立在大物体上。

（3）两个物体通过接触而产生运动关系。

其中一个物体的接触只发生在一个点上，而另一个物体的接触只发生在一条线上。

选动点为前一物体的接触点，动系则建立在后一物体上。

理论力学—点的运动学

k
a axi ay j azk
1.2 直角坐标法
ax
dvx dt
d2x dt 2
,
ay
dvy dt
d2y dt 2
, az
dvz dt
d2z dt 2
⒉ 大小和方向
大小
a
方向
a2x a2y a2z
d2x dt 2
2
d2y dt 2
2
d2z dt 2
2
cos(ai)
ax
, cos(aj)
⒈ 平均速度
v r t
⒉ t 时刻的速度
v
lim
r
dr
•
r
t0 t dt
M´ M
三.加速度
速度矢端曲线---速度端图
1.1 矢量法
⒈ 平均加速度 a* v
a
t
⒉ t 时刻的加速度
v
v
a
lim
v
dv
d
2r
••
r
v’
a’
t0 t dt dt 2
1.2 直角坐标法
一.运动方程及轨迹方程
⒈ 运动方程 ⒉ 轨迹方程
⑷ 判断下列运动是否可能出现,若能出现判断是什么运动?
(加速运动)
(不可能)
(匀速曲线运动) (不可能或改作直线加速运动)
(不可能)
(减速曲线运动)
(不可能或改作直线减速运动)
⑸ 证明
d
dt
是沿着主法线方向,即
d
dt
。
证明:
1
d( )
dt
0
d
dt
d
dt
0
2 ddt 0

速度与加速度的直角坐标法

求滑块B的
运动方程速度加速度解∶坐标系
r sin l sin
r2 2 cos 1 ( ) sin l
dx v r (sin t dt 1 r sin 2 t ) 2 l dv a r 2 (cos t dt r cos 2 t ) l
7-4 速度与加速度的直角坐标法

向径速度加速度
应用举例
向径 1、动点M

z M O z
– 的向径为 r – 直角坐标为 x,y,z – 单位向量为 i
k
i
x
y
r
,j,k
j
x
y
2、向径和直角坐标
r xi yj zk

z M
k
x
O
r
y
zห้องสมุดไป่ตู้
v
y
i
j
x
速度
– 沿M点轨迹
切线方向。 – 是向径对时间的一阶导数
dq 2 v v ( ) , q x , y , z dt
2 q
ix vq cos( v , iq ) i v y q x, y, z iz
方向余弦∶
i j k
vq 叫做v 在q坐标轴上 v vxi vy j vz k 的投影，q x , y , z dq k vq dt , q x, y, z
r 2 2 x r cos t l 1 ( ) sin t l
螺旋线运动
已知点的运动方程
求∶点的运动轨迹
点的速度点的加速度
Z
然后回到母线上，转一周，增加h

点的运动学

x
(i )
请注意 : 直角坐标轴的单位矢量 i , j , k 是常矢量.
a x x a a y y a z z
2 2 2 x y z
§ 6 – 3 点的运动的自然坐标描述
弧坐标和自然轴系:
在点M的运动轨迹(道)上任选一点O, 并规定在O的某一侧为正向, 则点的位置可由弧长 S 来确定. S 的正负及大小便称作点M的弧坐标. 当M点运动时, 它是时间的单值连续函数. 即 S = S ( t ) . (+) O M S = S(t) (-) 轨道曲线上任意一点处的切线, 主法线和副法线构成的正交坐标系称为曲线在此点的自然轴系, 这三个轴称为自然轴. 自然轴系是沿曲线而变动的游动的正交坐标系.
B y
M
A
M 点的坐标:

O
x 2 R cos2 t
R x O1
y 2 R cost sint R sin 2t
v x x 4 R cost sint 2R sin 2t v y y 2R cos 2t
t
C
v
x 2 y 2 2R
cos a , i
y
B
以O2 为原点建立弧坐标S = O2 B
M点运动方程: S = R· = 2Rt 2t R 2t O2
v s 2R
x
a t 0 s s2 an 42 R R
例二. 某一点的运动轨迹为平面曲线, 其速度在铅垂方向的投影始终是常量 C. 求证: 任意时刻点的加速度大小为: v3 a 其中, 为点所在曲线处的曲率 . 半径 C
(M) O
t 2
a x r 2 sint x

点的运动

第五章点的运动学本章将研究点的运动，包括点的运动方程、运动轨迹、速度、加速度等。

点的运动学也是研究刚体运动的基础。

第一节点的运动方程点在取定的坐标系中位置坐标随时间连续变化的规律称为点的运动方程。

点在空间运动的路径称为轨迹。

在某一参考体上建立不同的参考系，点的运动方程有不同的形式。

一、矢量法设点作空间曲线运动，在某一瞬时t ，动点为M，如图5-1所示。

选取参考体上某固定点O为坐标原点，自点O向动点M作矢量r，称r为点M相对于原点O的矢径。

当动点M运动时，矢径r随时间而变化，并且是时间的单值连续函数，即(5-1)上式称为矢量形式表示的点的运动方程。

显然，矢径r的矢端曲线就是动点的运动轨迹。

图5-1二、直角坐标法过点O建立固定的直角坐标系Oxyz，则动点M在任意瞬时的空间位置也可以用它的三个直角坐标x , y , z表示，如图5-1所示。

由于矢径的原点和直角坐标系的原点重合，矢径r可表为(5-2)式中i , j , k 分别为沿三根坐标轴的单位矢量。

坐标x , y , z也是时间的单值连续函数，即(5-3)式(5-3)称为点的直角坐标形式的运动方程，也是点的轨迹的参数方程。

三、自然法当动点相对于所选的参考系的轨迹已知时，可以沿此轨迹确定动点的位置。

在轨迹上任取固定点O 作为原点，选定沿轨迹量取弧长的正负方向，则动点的位置可用弧坐标s 来确定。

如图5-2所示。

动点沿轨迹运动时，弧长s 是时间的单值连续函数(5-4)上式称为点用自然法描述的运动方程。

图5-2以上三种形式的运动方程在使用上各有所侧重。

矢量形式的运动方程常用于公式推导；直角坐标形式的运动方程常用于轨迹未知或轨迹较复杂的情况；当轨迹已知为圆或圆弧时，用自然法则较为方便。

第二节点的速度和加速度动点运动的快慢和方向用速度表示，速度的变化情况则用加速度表示。

下面给出在各坐标系下，速度、加速度的数学表达式。

一、用矢量法表示点的速度和加速度如动点矢量形式的运动方程为r=r(t) ，则动点的速度定义为（5-5）即动点的速度等于动点的矢径r对时间的一阶导数。

(完整版)理论力学点的运动

O
从瞬时 t 到 t +△t ，动点位置由M改变到M′，其矢径分别为r和r′。在时间间隔△t内，r 之变化量为
r r r(t t) r(t) MM r
它表示在△t时间内动点矢径之改变，称为动点在△t时间内的位移。
第一章点的运动
§1-2 用矢量法表示点的速度和加速度
2. 速度
比值
MM r r r
第一章点的运动
§1-1 确定点的运动的基本方法·点的运动方程
1. 自然法
（1）、定义：以动点的运动轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点位置的方法称为自然法。
（2）、运动方程：设动点M 沿已知轨迹曲线运动，在轨迹
曲线上任选一定点O作为量取弧长的起点，并规定由原点O向
一方量得的弧长取正值，向另一方量得的弧长取负值。这种
带有正负值的弧长OM 称为动点的弧坐标，用s表示。点在轨
迹上的位置可由弧坐标s完全确定。 s
（＋）
（－） O
M
第一章点的运动
§1-1 确定点的运动的基本方法·点的运动方程自然法
当点M沿已知轨迹运动时，弧坐标s随时间而变，并可表示为时间t的单值连续函数，即
s f (t)
（－） O
s M
（＋）
x f1(t), y f2 (t), z f3(t)
x
r
kj iO
y
这一组方程称为点M的直角坐标形式的运动方程。
M
z y
x
若函数f1， f2 ， f3都是已知的，则动点M 对应于任一瞬间 t 的位置即可完全确定。
在运动方程的三个式子中消去t 即得直角坐标形式的轨迹方程。
第一章点的运动
§1-1 确定点的运动的基本方法·点的运动方程

速度、加速度分量表示式

JLU 物理与光电工程学院第一章质点力学之§1.2速度、加速度分量表示式JLU 物理与光电工程学院§1.2 速度、加速度分量表示式一、直角坐标系：kz j y i x r r r r r++=1. 速度:k v j v i v k z j y i xk dt dz j dt dy i dtdx dt r d v z y x r rr r &r&r &r r r r r ++=++=++==y v z v xv y z x &&&===,,分量式:222||z y xv v &&&r++==大小:方向余弦:vv vv vv zy x===γβαcos ,cos ,cosJLU 物理与光电工程学院2. 加速度:k z j y i x k dt dv j dt dv i dt dv dt v d a z y x r &&r &&r &&rr r r r ++=++==ka j a i a z y x rr r ++=⎪⎩⎪⎨⎧===z a y a xa z y x &&&&&&222||z y x a a &&&&&&r ++==分量式:大小:方向余弦:cos ,cos ,cos y x za a a a a aαβγ===JLU 物理与光电工程学院P7:例题1. 求椭圆规尺上M点的轨道方程、速度和加速度解: 1)选择参照系,坐标系12222=+ayb x 消去参数θ得轨道方程:θθθθ&&&&sin cos a yb x−==速度分量:c b a yb a y xx B B B B −=+−=+===θθθ&&&sin )(cos )(0,0θθsin )(b a c+=∴&)(sin )(sin ,cot )(sin )(cos b a ac b a ac y g b a bcb a bc x +−=+−=+=+=θθθθθ&&θθcos sin a y b x ==2)写出M 点的坐标y xc B Or AM (x ,y )b a θJLU 物理与光电工程学院θ22222cot g b a ba c y x v M ++=+=&&⎪⎩⎪⎨⎧=+−=++−=+−=0sin 1)(sin )(csc )(csc )(22222yb a bc b a c b a bc b a bc x &&&&&θθθθθ3224221)(xb ac b y x a a M +=+==&&&r 小结:1) 参照系，坐标系（立场和方法）2）已知r =r (t ), 求v , a 3) 已知a, v , 求运动r=r (t )JLU 物理与光电工程学院二、平面极标系：当质点作平面运动时，可用直角坐标系，但有时选平面极坐标方便。

问题如果已知点的运动轨迹，如何确定点的速度和加速度

利用直角坐标法不用知道动点的轨迹，应用广泛。

问题:如果已知点的运动轨迹，如何确定点的速度和加速度?
arc coordinate of a directed curve)
道路转弯中的力学问题
刚体平移(平动)实例注意平行四边
形机构的识
别。

思考题：哪个刚体做平移？
()()
(rotation about a fixed
(axis of rotation)。

刚体定轴转动的运动学特
、刚体定轴转动的运动方程
s &&s 422ω+=+=r a a a t n v
a t a n
ωr v=
速度、总加速度、切向加速度、法向加速度都与半径成正比。

θ与半径无关。

α
r a t =22ωr r v a n ==22tan ω
αωαθ===r r a a n t 2422
α
ω+=+=r a a a t n
12
t t a a=
如果照图中的方向转动轮子，大家看看哪个笼子会被打开、哪个笼子
会被关上。

蛇和猫开,企鹅被关住了.蛇和猫开,企鹅被关住了.
θ
cos
θ
sin
θ
2−
cos
(1)对时间
s&
=
5.0 (２)对时间t取导
s&&
=。

§2、速度、加速度的分量表达式

§2、速度、加速度的分量表达式上一次课，我们为了将运动的一些特征能直接的表示出来，而定义了速度和加速度，22;dt r d dt v d a dt r d v =≡≡ 。

在一般情况下它们往往都是时间t 的函数。

何谓定义呢？定义它本身不是可以用什么方法或者数学手段加以证明得到的，而是根据实际需要常常用到而定义下来的名称和概念。

例如过两点成一条直线……。

由于速度和加速度都是矢量，因此都可以将它们表示成分量的形式。

这次课将准备讨论速度、加速度在各种坐标系中的表达式。

一、直角坐标系——直角坐标系又称笛卡儿坐标系在直角坐标系中，质点的位置矢径可以写成为：........z k y j x i r ++= （1）根据速度的定义可知dtr d v ≡将（1）代入，则有 1、速度： z y x v k v j v i dt dz k dt dy j dt dx i z k y j x i dt d dt r d v ++=++=++==...........................................)(于是，我们比较上面的等式，就可得到速度在直角坐标系中的分量表达式为：z dtdz v y dt dy v x dt dx v z y x ======;;可见速度沿三直角坐标轴的分量（即分速度）就等于其相应的坐标对时间t 的一阶导数。

速度的大小：222z y x v v v v v ++== 速度的方向就用方向余弦来表示：vv k v v v j v v v i v z y y ===),cos(;),cos(;),cos( 。

同理，我们由加速度的定义不难得到它的分量表达式。

2、加速度根据加速度的定义：zy x z y x a k a j a i dt dv k dt dv j dt dv i dt z d k y d j x d i dt dz k dy j dx i dt d dt v d a ++=++=++=++==2222)(比较这些恒等式可得加速度的直角坐标分量表达式：z dt z d v dv a y dt y d v dt dv a x dtx d v dt dv a z t z y y y x x x ============222222 于是可得加速度的大小为：222z y x a a a a a ++== 加速度的方向用方向余弦表示。

[精品]掌握用自然坐标法求点的速度加速度的方法步骤

方法二：直角坐标法 ①列动点的运动方程。建立直角坐标系Oxy，如图所示。图示几何关系：x=Rsin2φ y=Rcos2φ y 故点M的运动方程为 O' x=Rsin2ωt a 2 a y=Rcos2ωt O ②求点的速度。 vx= dx/dt = 2Rωcos2ωt vy= dy/dt =-2Rωsin2ωt A 点M速度的大小为： v =√vx2+vy2 = 2Rω 速度的方向余弦： cos（v，i）= vx/v= cos2ωt=cos2φ
3、匀变速直线运动 an=0，a = aτ=dv/dt=常量。若已知点的运动的初始条件，当t=0时，s= s0，v= v0，则积分可得 v = v0 + at s = s0+ v0t +at² /2 由上式消去t 可得 v 2= v0 2+2a（s-s0） 4、匀变速曲线运动 an= v2/ρ， aτ=dv/dt=常量。若已知点的运动的初始条件，当t=0时，s= s0，v= v0，则积分可得 v = v0 +aτt s = s0+ v0t +aτt² /2 由上式消去t可得 v2= v02+2aτ（s-s0）
例3：如图a所示：杆AB的A端铰接固定，环M将AB杆与半径为R的固定圆环套在一起，AB与垂线之夹角为 φ=ωt，求套环M的运动方程、速度、加速度。方法一：自然坐标法 ①分析动点的运动、建立弧坐标轴。动点套环M的轨迹为沿固定圆环的圆周运动。以圆环上的O′点为弧坐标原点，顺时针为弧坐标正向，建立弧坐标轴。 ②列动点的运动方程。图示几何关系：s = R（2φ）故有： s= 2Rωt
③求点的速度、加速度。由v = ds/dt得 v = d（2Rωt）/dt=2Rω 速度v的方向沿该点的切线方向，且指向运动的一方。由an = v2/ρ，aτ=dv/dt得 aτ=dv/dt=0，an = v2/ρ=4Rω2 即点M的全加速度为：a=an=4Rω2 a的方向即 an的方向，自M点半径指向圆心。（套环M沿固定圆环作匀速圆周运动。）