高考理科数学第一轮复习第九章立体几何 9.5两个平面垂直

B
a O
β A
α
β a
α B
a O
β A α
l
β a
α 9.5两个平面垂直
【教学目标】
掌握两平面垂直的判定和性质，并用以解决有关问题. 【知识梳理】
1．定义
两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 2．两个平面垂直的判定和性质 类别
语言表述 图 示
字母表示 应 用
判 定
根据定义．证明两平面所成的二面角是直二面角．
∠AOB 是二面角
α-a -β的平面角，且
∠AOB =90︒，则α⊥β
证 两
平 面
垂 直
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． ⎭
⎬⎫
⊥⊂βαa a ⇒α⊥β 性 质
如果两个平面垂直，那么它们所成二面角的平面角是直角．
α⊥β，∠AOB 是二面
角α-a -β的平面角，
则∠AOB =90︒
证两条直线垂直
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫
⊥⊂=⊥l a a l αβαβα ⇒a ⊥β
证直线和平面垂直
重要提示
1．两个平面垂直的性质定理，即：“如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面”是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P 作平面α的垂线，通常是先作(找)一个过点P 并且和α垂直的平面β，设β α=l ，在β内作直线a ⊥l ，则a ⊥α．
2．三种垂直关系的证明
(1)线线垂直的证明 ①利用“两条平行直线中的一条和第三条直线垂直，那么另一条也和第三条直线垂直”； ②利用“线面垂直的定义”，即由“线面垂直⇒线线垂直”； ③利用“三垂线定理或三垂线定理的逆定理”． (2)线面垂直的证明
①利用“线面垂直的判定定理”，即由“线线垂直⇒线面垂直”； ②利用“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面”； ③利用“面面垂直的性质定理”，即由“面面垂直⇒线面垂直”；
④利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面”. (3)面面垂直的证明
①利用“面面垂直的定义”，即证“两平面所成的二面角是直二面角； ②利用“面面垂直的判定定理”，即由“线面垂直⇒面面垂直”. 【点击双基】
1、 在三棱锥A -BCD 中，若AD ⊥BC,BD ⊥AD,⊿BCD 是锐角三角形，那么必有……（）
A 、平面ABD ⊥平面ADC
B 、平面ABD ⊥平面ABC
C
B E H A
S
m
A P
n B
α
a
γ β C 、平面ADC ⊥平面BCD D 、平面ABC ⊥平面BCD 2、直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB=900,AC=AA 1=a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是（ ）
A 、a
B 、 2 a
C 、
2
2
a D 、 3 a 3、设两个平面α、β，直线l ，下列三个条件：① l ⊥α; ② l ∥β;③α⊥β,若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的个数是（ ）
A 、3
B 、2
C 、 1
D 、 0
4、在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成的二面角A 1-BD -A 的正切值为 。

5、夹在互相垂直的两个平面之间长为2a 的线段＆这两个平面所成的角分别是450和300，过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线，则两垂足间的距离为 。

【典例剖析】
例1．如果β⊥α，γ⊥α，β γ=a ，那么a ⊥α．
证明：如图，设β α=m ，γ α=n ， 在平面α内任取一点P (P ∉m ,P ∉n )， 过P 作P A ⊥m 于A ，作PB ⊥n 于B ， ∵α⊥β，α⊥γ，∴P A ⊥β，PB ⊥γ．
∵β γ=a ，∴a ⊂β，a ⊂γ，∴P A ⊥a ，PB ⊥a ．
P A 、PB 是平面α内的两条相交直线．∴a ⊥平面α．
【例2书】如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠SSB=∠ASC=600,
∠BSC=900,求证：平面ABC ⊥平面BSC 。

【例3书】如图，在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ， （1） 求证：AB ⊥BC;
（2） 若设二面角S-BC-A 为450，SA=BC,求两面角S -SC -B 的大小。

【例4书】已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若过面对角线AB 1与另一面对角线BC 1平行的平面交上底面A 1B 1C 1的一边A1C1于点D ， （1） 确定D 的位置，并证明你的结论； （2） 证明：平面AB 1D ⊥平面AA 1D ;
（3） 若AB ：AA 1= 2 ,求平面AB 1D 与平面AB 1A 1所成的角的大小。

补：例5．由一点S 引不共面的三条射线SA 、SB 、SC ，设∠ASB =α，∠BSC =β，∠ASC =γ，
A B
O C S C 1 A 1B C A B 1
其中α，β，γ均为锐角，则平面ASB ⊥平面BSC 的充要条件是
cos α⋅cos β=cos γ． 证明：必要性．
如图(1), 过点A 作AD ⊥SB 于D .
∵平面ASB ⊥平面BSC , ∴AD ⊥平面BSC ．
过D 作DE ⊥SC 于E ，连AE ，则AE ⊥SC ． 在Rt △ADS 中，cos α=SA SD ；在Rt △DES 中，cos β=SD SE ；
在Rt △AES 中，cos γ=SA
SE
，由此可得
cos α⋅cos β=SA SD ⋅SD SE =SA
SE
=cos γ． 必要性得证．
充分性．如图2，过点A 作AA 1⊥SB 于A 1，过点A 1作A 1C 1⊥SC 于C 1.
在Rt △AA 1S 中，cos α=SA SA
1； 在Rt △A 1C 1S 中，cos β=1
1SA SC
;
∵cos γ=cos α⋅cos β=SA SA 1⋅11SA SC =SA SC 1
, ∴SC 1=SA ⋅cos γ． 过A 作AC 1'⊥SC ，垂足为C 1'，
在Rt △AC 1'S 中，SC 1'=SA ⋅cos γ．
由此得SC 1'=SC 1，即C 1'与C 1重合，故SC ⊥AC 1．
而SC ⊥A 1C 1，且AC 1 A 1C 1=C 1，∴SC ⊥平面AA 1C 1，∴SC ⊥AA 1．
又∵SB ⊥AA 1，SB SC =S ，∴AA 1⊥平面BSC ，
而AA 1⊂平面ASB ，∴平面ASB ⊥平面BSC ．充分性得证． 【知识方法总结】
1. 证面面垂直一般先从现有的直线中找平面的垂线；否则用作辅助线解决之，要过平面外一点P 作平面α的垂线，通常是先作(找)一个过点P 并且和α垂直的平面β，设β α=l ，在β内作直线a ⊥l ，则a ⊥α．
2.注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化条件和转化应用。

【作业】 优化设计
A (1)
γ
β α E S D A
B
C (2) β γ α C 1'
C 1 S A 1 A
B C。