最新弹塑性波与冲击动力学-第二章

弹塑性波与冲击动力学-第二章2-1材料坐标和空间坐标的连续介质力学的基本出发点之一，不是从微观角度考虑物体的真实材料结构，而是从宏观角度将物体视为连续粒子系统，也就是说，将物体视为一组连续粒子。

每个粒子在空间中占据一定的空间位置，不同的粒子在不同的时间占据不同的空间位置。

配置:在给定时间内粒子在物体中的位置排列。

如何描述粒子运动？定义坐标系(1)粒子命名(为了区分不同的粒子)，例如，xi(a，b，c) (2)描述了xi被粒子占据的空间位置。

I=1，一维；在连续介质力学中，经常使用两种观点和方法来研究介质的运动:拉格朗日法和欧拉法。

相应地，当研究杆的运动时，应该首先选择坐标系。

一般来说，有两种坐标系:拉格朗日坐标(即物质坐标，用介质粒子流来检验)和欧拉坐标(即空间坐标，用固定的空间位置来检验)。

拉格朗日描述(方法):当介质中的固定粒子观察物质的运动时，研究的是给定粒子上各种物理量随时间的变化，以及这些量从一个粒子到另一个粒子的变化。

这种描述介质运动的方法称为拉格朗日描述法，也称为按需法。

欧拉描述(方法):观察物质在固定空间点的运动。

所研究的是在给定空间点不同时间到达该点的不同粒子的各种物理量随时间的变化，以及这些物理量从一个空间点变化到另一个空间点时的变化。

这种描述介质运动的方法称为欧拉描述法，也称为局部法。

拉格朗日坐标:为了识别运动物体的粒子，一组数字(a，b，c)被用作其标记，不同的粒子由不同的数字(a，b，c)表示。

这组数字(a，b，c)被称为拉格朗日坐标(或物质坐标、卫星坐标)。

拉格朗日记法:t=t0位置，欧拉坐标:为了表示物体粒子在不同时间移动到空间中的一个位置，该位置由一组固定在空间中的坐标表示。

这组坐标称为欧拉坐标(或空间坐标)。

两种方法的例子如下:城市公共交通部门使用两种方法来计算乘客量:①在每辆公共汽车上设置一个记录器来记录在不同时间(站)上下车的乘客数量(采用拉格朗日法，即跟随体法)；(2)在每个车站设置一个记录仪，记录不同时间进出车站的车辆数量(欧拉法，即当地法)。

以长杆中的一维运动为例:质点名称(质点在参考时间的空间位置坐标):任意时间质点t在空间的x位置:x，质点的物理意义x:质点在参考时间t0在参考空间坐标系中的位置坐标。

参考时间可以是t0=0或其他合适的时间；参考空间坐标系可以与用于描述运动的空间坐标系相同或不同，选择原则取决于研究的便利性。

表达式1:介质的运动可以表示为粒子x在不同时间t 占据不同的空间位置x，即x是x和t (2-1-1)的函数。

如果x是固定的，上面的表达式给出了粒子x如何随时间移动；如果T是固定的，上面的公式给出了每个粒子在特定时间占据的空间位置。

一般来说，在给定的时刻，一个粒子只能占据一个空间位置，一个空间位置只能有一个粒子。

表达式2:相反，只要运动是连续的和单值的，则(2-1-1)可以转化为(2-1-2 ),也就是说，x是x和t的函数。

(2-1-1)和(2-1-2)是描述一维长杆中介质运动的两种形式，这两种形式是可以互换的。

在一维中，物理量ψ可以用拉格朗日方法表示为粒子x和时间t的函数:ψ = f (x，t)。

自变量x是拉格朗日坐标(材料坐标)。

使用欧拉方法，物理量ψ可以表示为空间坐标x和时间t的函数:ψ = f (x，t)。

自变量x是欧拉坐标(空间坐标)。

显然，对于相同的物理量ψ，有ψ= f(x，t) = f (x，t) (2-1-3)，描述相同的物理量ψ既可以用物质坐标来描述，也可以用空间坐标来描述，而且两者也可以相互转换。

(1)材料坐标系中描述的物理量空间坐标系中描述的物理量用(2-1-2)、(2-1-3)表示，其中(2-1-4) (2)空间坐标系中描述的物理量材料坐标系中描述的物理量由(2-1-1)、(2-1-3)等式=是表示(2-1-5)，，，2-2时间导数和波速三种导数:空间导数(欧拉导数)物质导数(拉格朗日导数或跟随体导数)波速与波导数两种波速:空间波速(欧拉波速)物质波速(拉格朗日波速)，空间导数(欧拉导数):在给定的空间位置x，物理量ψ对时间t的变化率，即(2-2-1)物质导数(拉格朗日导数或卫星导数):对于给定的粒子x，观察物理量ψ的变化率对于(2-2-2)应用复合函数求导数的联系规则，有，质点x的空间位置随时间的物质导数，即质点x的速度，(2-2-3)，(2-2-4)，，，，，当物理量ψ为质点速度，(2-2-4)成为质点加速度的表达式:(2-2-5) (2-2-4)，方程右侧的第一项通常称为局部变化率，在稳态场中明显为零；第二项称为迁移率变化率，在均匀场中为零。

相应地，(2-2-5)，方程右侧的第一项通常称为局部加速度，第二项称为迁移加速度。

·材料波速(拉格朗日波速):观察应力波在材料坐标中的传播，设定在时间t，当波前传播到粒子x时，表示波前在材料坐标中的传播规律，那么材料波速(拉格朗日波速)可以表示为:(2-2-6)空间波速(欧拉波速):观察应力波在空间坐标中的传播，设定在时间t，当波前传播到空间点x时，为了表达波前在空间坐标中的传播规律，空间波速(欧拉波速)可以表示为:(2-2-7)物质波速和空间波速都描述了同一应力波的传播速度，但是由于所选坐标不同，它们的值不一定相同，除非波前前面的介质是静止的并且没有变形。

，用波导数:观察物理量ψ随时间t随波前的变化率。

根据不同的坐标系，有两种表达式，即:(2-2-8)在空间坐标系中，(2-2-9) (2-2-9)在物质坐标系中，物理量ψ作为粒子的空间位置x，表达式转化为:(2-2-10)。

假设根据定义，粒子x在初始时间的空间位置被定义为x，当粒子在某个时间到达空间位置x时，位移为u。

因此，很明显，x和x在一维长杆中的相关性，ε是工程应变。

那么(2-2-10)可以简化为:(2-2-11)，并且可以看出，只有当初始质点速度和初始应变为零时，空间波速和材料波速才是相同的。

关于空间波速和物质波速之间的关系，由于变形(运动)前粒子的空间位置通常被作为物质坐标，如果波阵面在物质坐标中的传播速度是c，当考虑物质坐标本身的变形(运动)时，相对于波阵面前粒子的相对空间波速应该是。

这相当于流体力学中的局部声速。

考虑到粒子本身也在以速度v运动，空间坐标中波前的绝对空间波速度显然是(如果左手波是右手波，则是右手波)，这是公式的物理意义。

由2-3材料坐标描述的杆中纵波的控制方程2-3-1基本上假定(1)平横截面的假定，即杆的横截面假定在变形时保持平的，并且只有沿横截面均匀分布的轴向应力。

根据这个假设，每个运动参数(位移、质点速度、应力等。

)仅是x和t的函数，因此应力波传播的问题被简化为一维问题。

然而，只有当长杆的横向尺寸与应力波的波长相比非常小时，这个假设才近似有效。

(2)忽略横向惯性效应。

也就是说，忽略了杆中粒子横向运动的惯性效应，忽略了杆中粒子横向膨胀或收缩对动能的贡献。

这个假设实际上与第一个假设不可分割。

粒子的横向运动将导致动能横向耗散，并降低X方向的动能，从而导致X方向的应力波波前弯曲。

如果忽略横向惯性效应，总和等于零，因此处于单向应力状态，并且由于没有横向能量耗散，应力波波前不会弯曲并保持平面状态。

(3)应力只是应变的单一值函数。

对于应变率无关理论，材料的本构关系可以写成(2-3-1)的假设似乎只适用于弹性变形范围(低应变率)或近似适用于对应变率不敏感的弹塑性材料。

然而，可以认为材料在一定的应变率范围内近似具有唯一的动态应力-应变关系，这种关系在形式上与应变率无关，但与静态应力-应变关系不同，因为它在一定意义上考虑了应变率的影响。

应变率无关理论在工程应用中具有非常重要的应用价值。

，2-3-2控制方程位移连续方程或质量守恒方程——运动学条件；运动方程或动量守恒方程——动力条件；能量守恒方程或材料本构关系(物理性质方程)。

(1)用位移连续性方程研究一维等截面均匀杆中微元的纵向运动。

以棒变形前(t0=0时)粒子的空间位置为物质坐标，棒轴为X轴，以微量元素dX为研究对象。

棒的原始横截面积为A0，原始密度为ρ0。

当t=t1时，微型元件的两个截面分别移动到空间位置x和x+dx时，x截面的位移为。

根据位移的连续条件，它是一个连续函数，包括:，位移的连续方程(或ε和v的相容方程):(2-3-2)，(2)动量守恒方程如图所示。

根据牛顿第二定律，作用在微元体两部分上的作用力之差应等于微元体的质量和加速度的乘积，即引入了工程应力，(2-3-3)这是动量守恒方程(或σ和v的相容方程)。

(3)能量守恒方程或材料本构关系(物理性质方程)由于应力波传播速度快，当应力波通过微元体时，微元体不能与相邻的微元体和周围介质进行热交换，因此可以认为是遵循能量守恒关系的绝热过程。

由(2-3-1)给出的材料的本构关系实际上是在绝热过程中得到的，因此没有必要列出另一个能量守恒方程。

从方程(2-3-1)到(2-3-3)，可以形成变量σ、ε和V的封闭控制方程:(2-3-4)，(1)对于以ε和V为未知变量的连续可微的控制方程组，用(2-3-6)将连续波速(2-3-5)代入(2-3-3)得到(2-3-7)，上述方程和位移连续方程(2-3-2)共同构成以ε和V为未知变量的控制方程组，即(2-3-8)，(2)由方程(2-3-1)可以得到σ和V为未知变量的控制方程(3)由于ε和速度v是位移u的一阶导数，即(2-3-7)，所以可以得到以u 为未知变量的二阶偏微分方程(2-3-11)，一维应力纵波的控制方程以不同的形式表示:2-4特征线与特征线的协调关系控制方程波前参数σ、ε、v和你等。

X、t变化规律。

然而，从这些偏微分方程中获得解析解并不容易。

对于一维波传播的基本方程，除了弹性波是线性方程外，一般都是非线性的。

因此，大多数实际问题只能用一些近似的数值方法来解决。

特征线法是求解波传播问题最重要的方法之一，具有重要的应用价值，因为它是求解双典型线性偏微分方程的主要方法之一，可以将求解两个独立变量的偏微分方程问题转化为求解特征线的常微分方程问题。

根据偏微分方程理论，对于任何二阶偏微分方程:系数A、B、C、D、E和g，都独立于u依赖于x和t，则该方程是二阶线性偏微分方程。

当它也与U相关时，方程是非线性的。

当G=0时，它是齐次方程。

根据方程解的特点，根据判别式△=B2-4AC的值可分为三种类型:(1)当△ 0时，称为双曲方程，其自变量平面有两条实特征线。

前面的波动方程(2-3-11)是双曲线。

什么是特征线？它可以用不同但等价的方法来定义。

物理上，特征线是(X-t)平面上受扰波前的传播路径。

图中每个点的斜率是扰动波的传播速度，其中符号分别对应于右侧和左侧的传播速度。

在数学意义上:(1)方向导数法(由Curant和Friedrichs提出)(2)不定线法方向导数法:如果某个二阶偏微分方程或等价的一阶偏微分方程组的线性组合可以转换成在独立变量平面上只包含某条曲线γ的方向导数的形式，则曲线γ是方程(或方程组)的特征线，曲线各点的斜率dX/dt称为特征线的特征方向。