第七章轴向拉伸与压缩案例
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第七章 轴向拉伸和压缩
轴向拉伸和压缩
例1
3 A 3
试求等直杆指定截面的轴力。 试求等直杆指定截面的轴力。
30kN B 2 20kN 2 C FN 1 D ∑Fx= 0 FN1 + 20 = 0 FN1= -20kN 1 1 D 于1-1截面处 将杆截开， 将杆截开，取右 段为分离体， 段为分离体，设 为正值。 轴力 为正值。 则 20kN
20kN
轴向拉伸和压缩
3 A 3
30kN B
2 20kN 2 C 20kN C
1 1 D
20kN
FN 2
20kN D
于2-2截面 处将杆截开， 处将杆截开， 取右段为分离 体，设轴力为 正值。 正值。则
∑Fx= 0
-FN2 +20- 20 = 0 FN2= 0
轴向拉伸和压缩
3 A 3 FN3
30kN B 30kN B
FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F
∴ FN 1 = 2 F , FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F
轴力图如下图示
O
A FA
B FB 5F
C FC
D FD
FN
2F
F x 3F
轴向拉伸和压缩
例 杆受力如图所示。试画出杆的轴力图。 杆受力如图所示。试画出杆的轴力图。
30kN 30kN 20kN
∆FR K ∆A
∆FR dFR p = lim = ∆A → 0 ∆A dA
是一个矢量，通常情况下， 总应力p是一个矢量，通常情况下，它既不与截面垂 直，也不与截面相切。 也不与截面相切。 为了研究问题时方便起见， 为了研究问题时方便起见，习惯上常将它分解为与截 面垂直的分量σ和与截面相切的分量τ。
轴向拉伸与压缩
m
P
m
N N P
F
x
0
N P0
NP
二 轴 向 拉 压 杆 的 内 力 与 轴 力 图
（3）轴力的符号规定 轴力的正负号：轴力以拉为正，以压为负。 也可以说，若轴力方向背离截面为正；指向截面 为负。 N N F F +
同一位臵处左、右侧截面上 内力分量必须具有相同的正负 号。
（二）轴力图 二 轴力图——表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。 轴 向 （1）集中外力多于两个时，分段用截面法求轴力， 拉 作轴力图。 压 （ 2 ）轴力图中：横坐标代表横截面位臵，纵轴代 杆 表轴力大小。标出轴力值及正负号（一般：正值画 的 内 上方，负值画下方）。 力 （3）轴力只与外力有关，截面形状变化不会改 与 轴 变轴力大小。 力 图
E tg
θ
P
细长杆受拉会变长变细，
受压会变短变粗
长短的变化，沿轴线方向，称为 纵向变形 粗细的变化，与轴线垂直，称为 横向变形
P
L+L L
d-d d
d1
F
d
F l l1
横向变形
绝对变形 横向正应变
d d1 - d d d
规定，△l和△d伸长为正，缩短为负；ε和ε1 的正负号分别与△l和△d一致。因此规定：拉应 变为正，压应变为负。
（二）轴向拉压杆横截面上的正应力 研究方法：
三 轴 向 拉 压 杆 的 应 力
实验观察
作出假设
理论分析
实验验证
F
F
结论：横截面上应力为均匀分布，以表示。
F
即
N A
三 轴 向 拉 压 杆 的 强 度 与 变 形
工程力学-第7章-轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽 车 学 院
7
Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽
斜拉桥承受拉力的钢缆 车 学 院
8
Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽 车 学 院9来自 7-1轴向拉压杆横截面上的应力
胡克定律
车
学
院
工程力学
17
轴向拉压的变形分析
P
P
A 细长杆受拉会变长变细，
P
B 受压会变短变粗
C 长短的变化，沿轴线方向， 称为纵向变形
l+Dl l
d-Dd d
D 粗细的变化，与轴线垂直，
称为横向变形
P
P
P
7-3轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
工程力学
Guang Zhou Auto College
变形量的代数和：
汽
车
Δ
l
＝
FNi li FNi ADlEADA＋i
＝Dl AD DlDE DlEB Dl
FNDElDE ＋ FNEBlEB ＋ FNBClBC
BC
学
Ec AAD
Ec ADE
Es AEB
Es ABC
＝1.2106 m 0.6106 m 0.285106 m 0.428106 m
广
承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的
州
应用非常广泛。
汽
由汽缸、活塞、连
杆所组成的机构中，不
车
仅连接汽缸缸体和汽缸
盖的螺栓承受轴向拉力，
学
带动活塞运动的连杆由
7
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工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽
斜拉桥承受拉力的钢缆 车 学 院
8
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第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽 车 学 院9来自 7-1轴向拉压杆横截面上的应力
胡克定律
车
学
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17
轴向拉压的变形分析
P
P
A 细长杆受拉会变长变细，
P
B 受压会变短变粗
C 长短的变化，沿轴线方向， 称为纵向变形
l+Dl l
d-Dd d
D 粗细的变化，与轴线垂直，
称为横向变形
P
P
P
7-3轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
工程力学
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变形量的代数和：
汽
车
Δ
l
＝
FNi li FNi ADlEADA＋i
＝Dl AD DlDE DlEB Dl
FNDElDE ＋ FNEBlEB ＋ FNBClBC
BC
学
Ec AAD
Ec ADE
Es AEB
Es ABC
＝1.2106 m 0.6106 m 0.285106 m 0.428106 m
广
承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的
州
应用非常广泛。
汽
由汽缸、活塞、连
杆所组成的机构中，不
车
仅连接汽缸缸体和汽缸
盖的螺栓承受轴向拉力，
学
带动活塞运动的连杆由
《建筑力学》_李前程__第七章_轴向拉伸与压缩
解:
Fl 3 wC1 3EI
wC 2
wB
wC 2
ql 4 128EI
ql 3 48EI
l 2
7ql4 384EI
wC
wC1
wC 2
Fl 3 3EI
7ql 4 384EI
=
wC1
F
+
wB
C
B
wC 2
B
l 2
B
q
l 2
3
解: 1.确定梁的约束力
FA
FB
ql 2
q
2.建立梁的弯矩方程
A
B
M (x) ql x 1 qx2 22
x
3.建立梁的挠曲线近似微分方程
FA
l
FB
d2w dx2
M (x) EI
1 EI
1 2
qlx
1 2
qx
2
4.对微分方程一次积分，得转角方程:
dw dx
第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
二、挠曲线近似微分方程的积分
d2w dx2
M x
EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度 EI 为一常量。
上式积分一次得转角方程:
dw dx
1 EI
M x dx C
再积分一次，得挠度方程:
w
1 EI
M xdx
A
建筑力学课件：第7章拉伸和压缩
得杆内的最大应力为：
A
s max
FN max A
（7-3）
此最大轴力所在横截面称为危险截面，由此式算
得的正应力即危险截面上的正应力，称为最大工
作应力。
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拉伸和压缩
13
例题 7-1 一横截面面积 A=400mm2 的等直
杆，其受力如图所示。试求此杆的最大工作应力。
解：此杆的最大轴力为：
于它所在的截面。正应力的量纲为 力 长度2。在
国际单位制中，应力的单位为帕斯卡(Pascal)，其
中文代号是帕，国际代号是Pa (1 Pa 1 N/m2 ) 。
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拉伸和压缩
6
由于应力在截面上的变化规律还不知道，所 以无法求出。解决此问题的常用方法是，以杆件 在受力变形后表面上的变形情况为根据，由表及 里地作出内部变形情况的几何假设，再根据分布 内力与变形间的物性关系，得到应力在截面上的 变化规律，然后再通过静力学中求合力的概念得 到以内力表示应力的公式。
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拉伸和压缩
3
§7-1 横截面上的应力
在第6章中已讨论过轴向拉伸、压缩杆件横截面 上的内力——轴力FN。显然，它是横截面上法向分 布内力的合力。
F
F
F
FN
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拉伸和压缩
4
要判断一根杆件是否会因强度不足而破坏，还 必须联系杆件横截面的几何尺寸、分布内力的变化 规律找出分布内力在各点处的集度——应力。杆件 横截面上一点处法向分布内力的集度称为正应力，以符号s 表示。 Nhomakorabeam
A FN
C
m
定义：法向分布内力的集度—
mm截面 C点处的正应力s 为：
工程力学.轴向拉伸压缩 PPT课件
上海应用技术学院
4. 剪切强度条件
(合力)
由剪断试验测定剪断时的载荷Fb，
F
得材料的剪切极限切应力 t b ：
m
tb
Fb AS
考虑安全因数，得剪切许用切应力 [t ]：
24
m F (合力)
[t
]
tb
n
常用材料的剪切许用切应 力可查阅有关资料。
∴ 剪切强度条件
t
FS AS
[t ]
由剪切强度条件可进行三种类型的剪切强度计算。
F1
F2
l1
l2
l3
Dl Dl1 Dl2 Dl1 3.6 105 2.0 105 4.0 105 2.4 105 m 0.024mm
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§8–8 简单拉压静不定问题
13
一、静定与静不定问题
静定问题： 未知力数 ≤ 静力平衡方程数
静不定问题(超静定问题)： 未知力数 > 静力平衡方程数
钢与合金钢 铝合金
铜
铸铁 木(顺纹)
E(GPa) 200~220 70~72 100~120 80~160 8~12
0.25~0.33 0.26~0.34 0.33~0.35 0.23~0.27
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例9 变截面杆受力如图示。已知 F1= 50 kN， F2= 20 kN，l1 = 9 120 mm，l2 = l3 = 100 mm，A1 = A2 = 500 mm2， A3= 250 mm2， E = 200 GPa。 试求各段杆的变形及杆的总变形。
未知力数 – 静力平衡方程数 = 静不定问题的次数(阶数) 此时仅由静力平衡方程不能求解全部未知量，必须建立补充方 程，与静力平衡方程联立求解。
七-轴向拉伸与压缩
EE
0.2 名义屈服极限
o
图
o
0.2%
名义屈服极限：
对于在拉伸过程中没有明显屈服阶段的材料，通常规定以产生 0.2％的 塑性应变所对应的应力作为屈服极限，称之为名义屈服极限，用 σ0.2来 表示。
Ⅳ、铸铁拉伸时的力学性能
b
o
图
没有明显的直线段，拉断时的应力较低；没有屈服和 颈缩现象；拉断前应变很小，伸长率很小；
任意两个横截面间各条纵线的伸长相同。
3、理论分析
（1）几何分析
所有小元素体（小方 格）变形一样。
x
u x
l l
y
z
v y
w z
0
Δx Δx +Δu
（2）物理分析
根据物理学知识，当变形为弹 性时，变形与力成正比。
结论：横截面上只有 ，且
均匀分布。
各纤维变 形相同
各纤维所受 内力相等
横截面上 的内力均 匀分布
2 2
FN2
3KN
2C
注：不论外力如何，轴力都画为正方向； 若求出的轴力为负，说明是压力。
(3) 作轴力图
FN /KN 2
O
x
3 思考：3-3截面的轴力如何？
几点说明：
(1)不能在外力作用处截取截面。 (2)截面内力不一定等于其附近作用的外力。 (3)轴力与截面尺寸无关。 (4)轴力不能完全描述杆的受力强度。
2. 低碳钢拉伸的四个阶段：
（1）弹性阶段（oab段）
变形是弹性的，卸载时变形可完全恢复；
Pe
b a
Oa段 —— 直线段，应力应变成线性关系
E ——胡克定律
O
E —— 材料的弹性模量(直线段的斜率)
建筑力学7轴向拉伸和压缩
三、低碳钢试件的应力--应变曲线(--图)
450 （MPa）
350
250
s
200
e
p
150
100
p e s
50
o
p
0.05
t
e
b b
0.15
1、弹性阶段（ oa 段）
oa 段为直线段， a 点对应的应力
称为比例极限，用 表示。 P
正应力和正应变成线性正比关系，
即遵循胡克定律， E
弹性模量E 和 的关系：
二、
工 程 实 例
• 桁架结构计算简图中，各杆均为二力杆：拉杆或压杆
上弦杆 （压杆）
腹杆 （压或
拉）
A
P
P
B
P
P
P
下弦杆 （拉杆）
§7–2 直杆横截面上的正应力
内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。 求内力的一般方法是截面法。
1. 截面法的基本步骤： ① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用
求极值内力
危险截面判断
强度计算（强度校核、截 面设计、承载力验算）
§7－5 材料在拉伸和压缩时的力学性能
一、试验条件及试验仪器
1、试验条件：常温(20℃)；静载（及 其缓慢地加载）；标准试件。
2、试验仪器：万能材料试验机
二、低碳钢试件的拉伸图(P-- L图)
DL PL
DL
P
EA
L
EA E
试样变形集中到某一局部区域，由于该区 域横截面的收缩，形成了“颈缩”现 象最后在“颈缩”处被拉断。
代表材料强度性能的主要指标：
第七章 轴向拉伸与压缩
2
轴力引起的正应力 —— ： 在横截面上均布 应力的单位是帕斯卡，简称帕
1Pa 1N / m 3 6 9 1KPa 10 Pa,1MPa 10 Pa,1GPa 10 Pa
应力正负规定：轴力为正号（拉伸）时，应力为正，为拉应力 轴力为负号（压缩）时，应力为负，为压应力
作图示杆件的轴力图，并求1-1、 2-2、3-3截面的应力。
d
F
F
解： 杆件横截面 上的正应力为: 材料的许 用应力为:
4F 4 20103 N 2 2 D d 2 0.015m 2 0.020m
D
145106 Pa 145MPa
235106 Pa 156106 Pa 156MPa ns 1.5
低碳钢拉伸时的机械性质
比例极限 P 和弹性模量E
E
b
e
p s
E反映材料对弹性变形 抵抗的能力 弹性极限 e
p
e
卸载后不产生塑性变形 的最大应力。 对于低碳钢
应力-应变曲线
p e
b
e
p s
屈服极限 s 将下屈服点对应的应力 定义为屈服极限，应力 达到屈服极限时，材料 将产生塑性变形。是衡 量材料强度的指标。 强度极限 b 当应力达到强度极限时, 受拉杆件出现颈缩并 随
试件加工和试验条件等参照GB228-76《金属拉力试验 法》
拉伸压缩试验机
一、低碳钢拉伸试验
第Ⅰ阶段：弹性变形阶段 第Ⅱ阶段：屈服或流动阶段 屈服或流动：低碳钢似乎失 去了对变形的抵抗能力，外 力不需增加，变形却继续增 加。出现滑移线。 第Ⅲ阶段：强化阶段 抵抗变形的能力增强
轴力引起的正应力 —— ： 在横截面上均布 应力的单位是帕斯卡，简称帕
1Pa 1N / m 3 6 9 1KPa 10 Pa,1MPa 10 Pa,1GPa 10 Pa
应力正负规定：轴力为正号（拉伸）时，应力为正，为拉应力 轴力为负号（压缩）时，应力为负，为压应力
作图示杆件的轴力图，并求1-1、 2-2、3-3截面的应力。
d
F
F
解： 杆件横截面 上的正应力为: 材料的许 用应力为:
4F 4 20103 N 2 2 D d 2 0.015m 2 0.020m
D
145106 Pa 145MPa
235106 Pa 156106 Pa 156MPa ns 1.5
低碳钢拉伸时的机械性质
比例极限 P 和弹性模量E
E
b
e
p s
E反映材料对弹性变形 抵抗的能力 弹性极限 e
p
e
卸载后不产生塑性变形 的最大应力。 对于低碳钢
应力-应变曲线
p e
b
e
p s
屈服极限 s 将下屈服点对应的应力 定义为屈服极限，应力 达到屈服极限时，材料 将产生塑性变形。是衡 量材料强度的指标。 强度极限 b 当应力达到强度极限时, 受拉杆件出现颈缩并 随
试件加工和试验条件等参照GB228-76《金属拉力试验 法》
拉伸压缩试验机
一、低碳钢拉伸试验
第Ⅰ阶段：弹性变形阶段 第Ⅱ阶段：屈服或流动阶段 屈服或流动：低碳钢似乎失 去了对变形的抵抗能力，外 力不需增加，变形却继续增 加。出现滑移线。 第Ⅲ阶段：强化阶段 抵抗变形的能力增强
高职材料力学1—轴向拉伸与压缩
1.1 轴向拉伸与压缩的概念与实例
力学模型如图
F
F
轴向拉伸, 对应的力称为拉力。
F
F
轴向压缩, 对应的力称为压力。
1.2 轴向拉伸或压缩时的内力
1.2.1 内力及轴力 内力指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间 分布内力系的合成（附加内力）。
要求截面上的内力，一般采用截面法，其基本步骤 如下：
的正应力为：
d2
s1
FN1 A1
4 2.0104
0.0202
6.37 107 Pa
63.7
MPa
同理，得 BC 段内任一横截面 2-2 上的正应力为：
s2
FN2 A2
4 (3.0104 )
0.0302
4.24107 Pa
42.4 MPa
是压应力
1.4 轴向拉伸或压缩时的变形
直杆在轴向拉力作用下，将引起轴向尺寸的增大和 横向尺寸的缩小。反之，在轴向压力作用下，将引 起轴向的缩短和横向的增大。
1.3 横截面上的应力 结论
F
F
(1)各纤维的伸长相同, 所以它们所受的力也相同。
(2)平面假设:变形前为平面的横截面，变形后仍保 持为平面且仍垂直于轴线。
1.3 横截面上的应力
推导公式 由结论可知, 在横截面上作用着均匀分布的正应力。
F
}s
FN
s FN
(2.1)
A
式中, FN为轴力, A 为杆的横截面面积。s的符号与轴
横向增大，所以'和的符号是相反的。'和的关
系可以写成
说明P18:表1-1.
例 图所示杆系由两根钢杆1和2组成。已知杆端铰接，两杆与
铅垂线均成＝30º的角度，长度均为l＝2 m，直径均为d＝25
轴向拉伸与压缩的概念与实例
2.2.5 拉(压)杆横截面上的应力
当等直杆受几个轴向外力作用时, 由轴力图求出最大轴 力FN,max, 进一步可求得杆内的最大正应力为
σ max
=
FN,max A
最大轴力所在的截面称为危险截面, 危险截面上的正应 力称为最大工作应力。
例: 如图所示右端固定的阶梯形圆截面杆, 同时承受轴向载荷F1 与F2作用。试计算杆的轴力与横截面上的正应力。已知F1= 20 kN, F2= 50 kN杆件AB段与BC段的直径分别为d1=20 mm与d2=30 mm。
2.应力计算
AB段内任一横截面1-1上的正应力为： d2
σ1
=
FN1 A1
=
4× 2.0×104
π × 0.0202
= 6.37 ×107 Pa
= 63.7
MPa
同理, 得 BC 段内任一横截面 2-2 上的正应力为：
σ2
=
FN 2 A2
=
4× (−3.0×104 )
π × 0.0302
=
−4.24×107 Pa
现在求与横截面成a角的任一斜截面k－k上的应力。
k
F
F
α
k
2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
k
F
F
α
k
设直杆的轴向拉力为F, 横截面面积为A, 由公式(2.1), 横截面上的正应力为
σ = FN = F
AA
设与横截面成α角的斜截面k-k的面积为Aα, Aα与A之间
的关系应为
Aα
=
A
cosα
2.2.5 拉(压)杆横截面上的应力
推导公式 由结论可知, 在横截面上作用着均匀分布的正应力。
电子课件-《汽车机械基础(第二版)》-B24-1409 模块七 材料力学基础 课题二 拉伸与压缩
A
2．选择杆件截面尺寸
A N
[ ]
3．决定承载能力 N [ ]A
模块七 材料力学基础
一、填空题 1.受轴向拉伸或压缩的杆件，其受力特点是： ；基变形特点是：
。
2.构件在外力作用下，
称为应力；如果拉（压）杆的应力垂直横截
面，则该应力称为 ；应力的国际单位制为 。
3.拉（压）杆的原长L、变形后的长度L1和绝对变形 三者之间的关系式为
图7-2-2 拉伸（压缩）变形
模块七 材料力学基础
2．内力 对于所研究的构件来说，其他构件作用于其上的力均为外力。
构件受到外力作用而变形时，构件内部相连两部分的相互作用力称为 内力。内力的大小及其在构件内的分布方式会影响构件的强度、刚度 和稳定性，所以，正确分析内力是解决构件强度、刚度和稳定性问题 的基础。求解构件内力一般采取截面法。
LL（7-2-3）
对于拉杆， 为正值；对于压杆， 为负值。 为一无量纲的 量，通常用百有关拉伸或压缩的强度条件的应用
为了保证拉（压）杆不致因强度不够而破坏，必须 使其工作应力不超过材料的许用应力，即：
N [ ]
A
（7-2-4）
1．校核强度
N [ ]
；杆件的相对变形 的计算式为
。
模块七 材料力学基础
二、选择题 1．如图7-2-8所示三杆件尺寸、形状、材料均相同，所受载荷P的大小及方向也
都相同，只是作用点不同，则三根直杆的内力及变形情况为：（ ）。 A．三根直杆的内力相同 B．三根直杆的变形相同 C．三根直杆的内力及变形均各不相同
图7-2-8 杆件受力比较
模块七 材料力学基础
3．截面法求杆件的轴力
如图7-2-3所示，用截面假象地把杆件分成两 部分，以显示并确定内力的方法称为截面法。截 面法是杆件基本变形中求内力的普遍方法。截面 法求内力的步骤如下：
2．选择杆件截面尺寸
A N
[ ]
3．决定承载能力 N [ ]A
模块七 材料力学基础
一、填空题 1.受轴向拉伸或压缩的杆件，其受力特点是： ；基变形特点是：
。
2.构件在外力作用下，
称为应力；如果拉（压）杆的应力垂直横截
面，则该应力称为 ；应力的国际单位制为 。
3.拉（压）杆的原长L、变形后的长度L1和绝对变形 三者之间的关系式为
图7-2-2 拉伸（压缩）变形
模块七 材料力学基础
2．内力 对于所研究的构件来说，其他构件作用于其上的力均为外力。
构件受到外力作用而变形时，构件内部相连两部分的相互作用力称为 内力。内力的大小及其在构件内的分布方式会影响构件的强度、刚度 和稳定性，所以，正确分析内力是解决构件强度、刚度和稳定性问题 的基础。求解构件内力一般采取截面法。
LL（7-2-3）
对于拉杆， 为正值；对于压杆， 为负值。 为一无量纲的 量，通常用百有关拉伸或压缩的强度条件的应用
为了保证拉（压）杆不致因强度不够而破坏，必须 使其工作应力不超过材料的许用应力，即：
N [ ]
A
（7-2-4）
1．校核强度
N [ ]
；杆件的相对变形 的计算式为
。
模块七 材料力学基础
二、选择题 1．如图7-2-8所示三杆件尺寸、形状、材料均相同，所受载荷P的大小及方向也
都相同，只是作用点不同，则三根直杆的内力及变形情况为：（ ）。 A．三根直杆的内力相同 B．三根直杆的变形相同 C．三根直杆的内力及变形均各不相同
图7-2-8 杆件受力比较
模块七 材料力学基础
3．截面法求杆件的轴力
如图7-2-3所示，用截面假象地把杆件分成两 部分，以显示并确定内力的方法称为截面法。截 面法是杆件基本变形中求内力的普遍方法。截面 法求内力的步骤如下：
上海交大材料力学轴向拉伸与压缩精品文档
即纵截面上的应力为零，因此在纵截面不会破坏。
4、当 13 4 5,c 5o s2 ,s2 in 1 ,
2
2,
2 135 45
4
5
材料力学
拉伸与压缩/斜截面上的应力
5、剪应力互等定理
135
2
135
拉伸与压缩/斜截面上的应力
O 1B
C
3
4F
3F
1
3
m
ax 3
2F A
D 2F
4、分段求 max
1
FN1 2A
3F, 2A
3
FN3 A
2F A
5、求 max
（在CD段）
max12maxFA （在CD段与杆轴 成45°的斜面上）
材料力学
三、 拉（压）时的强度计算
F
F
2F
F
2F
F
e
轴向拉伸和弯曲变形
材料力学
拉伸与压缩时横截面上的应力
应力—分布内力在截面内一点的密集程度
1
F
F
1
F
FdFAdA
应力的合力=该截面上的内力
确定应力的分布是静不定问题
材料力学
拉伸与压缩/横截面上的内力和应力 研究方法：
实验观察
作出假设
理论分析
实验验证
1、实验观察
F
a a b b
3、横向变形 泊松比
b1
横向的绝对变形
bb1b
横向的相对变形（横向线变形）
b
材料力学
b
b
拉伸与压缩/轴向拉（压）时的变形
实验证明：
第7章轴向拉伸和压缩
第 7章
轴向拉伸和压缩
§7-1 概 述
F F F F
外力特点：外力合力的作用线与杆轴线重合 变形特点：杆件沿轴向伸长或缩短，沿横 向缩小或增大。
§7-2 轴力及轴力图
一、轴力的计算
F F m F
m FN
------轴 力
由平衡条件，FN = F
规定：FN 以拉为正，以压为负。
二、轴力图
m
F
F
m F FN:
一、容许应力和安全因数
脆性材料——材料发生断裂即为破坏。 塑性材料——材料发生屈服即认为不能再用（破坏)。
极限应力——材料破坏时的应力ζu 。
ζs (或ζ0.2)（塑性材料） ζu = ζb （脆性材料）
n——安全因数（＞1）
[ζ ]= ζu / n
[σ]---容许应力
塑性材料： [ζ]= ζs / n 脆性材料： [ζ]= ζb / n
△lAD ; 2. B截面的轴向位移；3. 最大线应变εmax。
D
d2
CF
l3
3
F2
B
d1
A
F1
l2
l1
35 ＋ 10 20 ＋
-
FN(kN)
解: 1、求杆的总变形：
FN 1l1 20 103 0.3 -3 l1 = = = 0.162 10 m 9 2 EA1 210 10 0.015 / 4
例
图示一小吊车架，受小车重力F =18.4kN作用。拉杆AB 的横截面为圆形，直径d=15mm 。试求当吊车在图示 位置时，AB杆横截面上的应力。
A
C
B
解：1、求AB杆的轴力
M C 18.4 0.6 = 0, FN = = 18.4 kN 0 1.2 sin 30
轴向拉伸和压缩
§7-1 概 述
F F F F
外力特点：外力合力的作用线与杆轴线重合 变形特点：杆件沿轴向伸长或缩短，沿横 向缩小或增大。
§7-2 轴力及轴力图
一、轴力的计算
F F m F
m FN
------轴 力
由平衡条件，FN = F
规定：FN 以拉为正，以压为负。
二、轴力图
m
F
F
m F FN:
一、容许应力和安全因数
脆性材料——材料发生断裂即为破坏。 塑性材料——材料发生屈服即认为不能再用（破坏)。
极限应力——材料破坏时的应力ζu 。
ζs (或ζ0.2)（塑性材料） ζu = ζb （脆性材料）
n——安全因数（＞1）
[ζ ]= ζu / n
[σ]---容许应力
塑性材料： [ζ]= ζs / n 脆性材料： [ζ]= ζb / n
△lAD ; 2. B截面的轴向位移；3. 最大线应变εmax。
D
d2
CF
l3
3
F2
B
d1
A
F1
l2
l1
35 ＋ 10 20 ＋
-
FN(kN)
解: 1、求杆的总变形：
FN 1l1 20 103 0.3 -3 l1 = = = 0.162 10 m 9 2 EA1 210 10 0.015 / 4
例
图示一小吊车架，受小车重力F =18.4kN作用。拉杆AB 的横截面为圆形，直径d=15mm 。试求当吊车在图示 位置时，AB杆横截面上的应力。
A
C
B
解：1、求AB杆的轴力
M C 18.4 0.6 = 0, FN = = 18.4 kN 0 1.2 sin 30
第7章轴向拉伸和压缩7拉伸和压缩ppt课件-PPT精选文档
第7章 轴 向 拉 伸 和 压 缩
7.1 拉伸和压缩 7.2 拉（压）杆横截面上的内力 7.3 轴力图 7.4 轴向拉伸与压缩时的应力 7.5 拉（压）杆斜截面上的应力 7.6 轴向拉伸（压缩）时的弹性变形、变形能 7.7 材料拉伸时的力学性能 7.8 材料压缩时的力学性质 7.9 拉伸（压缩）杆件的强度计算 7.10 应力集中 7.11 拉压超静定问题
三类分析的综合
力学分析 几何分析 物理分析
几何分析 物理分析 力学分析
物理分析 力学分析 几何分析
1. 力学分析 研究构件中的各个力学要素（包括外 力和内力；包括力和力偶矩）之间的关系。 2. 物理分析 研究材料的力学性能，研究构件的力 学要素（有时还包括热学要素）与几何要 素之间的关系。 荷载与变形量之间的关系 构件内部应力与应变之间的关系 温度变化与应力、变形量之间的关系
P
P A B
2P C D
(a)
(c)
NBC
(d)
NCD
同理：求得BC、CD、段的轴力分别为：
N B C P P0
N C D P P 2 P 2 P
（2） 轴力图如图（e）所示。
P
A
P
B
2P
C D
N
2P
(e)
P
x
在轴力图中，突变值=集中载荷
例2-1 等截面直杆受力如图a所示， P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，试绘制该杆 P P 的轴力图。 1 2 解 （1）求支座反力 设支反力为R如b图
(a)
A P 1 B P 2 C D P 3
kN
90 60
(f)
x
30
轴力是内力，它与外力有关，但又 不同于外力。
7.1 拉伸和压缩 7.2 拉（压）杆横截面上的内力 7.3 轴力图 7.4 轴向拉伸与压缩时的应力 7.5 拉（压）杆斜截面上的应力 7.6 轴向拉伸（压缩）时的弹性变形、变形能 7.7 材料拉伸时的力学性能 7.8 材料压缩时的力学性质 7.9 拉伸（压缩）杆件的强度计算 7.10 应力集中 7.11 拉压超静定问题
三类分析的综合
力学分析 几何分析 物理分析
几何分析 物理分析 力学分析
物理分析 力学分析 几何分析
1. 力学分析 研究构件中的各个力学要素（包括外 力和内力；包括力和力偶矩）之间的关系。 2. 物理分析 研究材料的力学性能，研究构件的力 学要素（有时还包括热学要素）与几何要 素之间的关系。 荷载与变形量之间的关系 构件内部应力与应变之间的关系 温度变化与应力、变形量之间的关系
P
P A B
2P C D
(a)
(c)
NBC
(d)
NCD
同理：求得BC、CD、段的轴力分别为：
N B C P P0
N C D P P 2 P 2 P
（2） 轴力图如图（e）所示。
P
A
P
B
2P
C D
N
2P
(e)
P
x
在轴力图中，突变值=集中载荷
例2-1 等截面直杆受力如图a所示， P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，试绘制该杆 P P 的轴力图。 1 2 解 （1）求支座反力 设支反力为R如b图
(a)
A P 1 B P 2 C D P 3
kN
90 60
(f)
x
30
轴力是内力，它与外力有关，但又 不同于外力。
轴向拉伸和压缩—轴向拉伸和压缩的概念与实例(建筑力学)
第七章 轴向拉伸与压缩
Hale Waihona Puke 轴向拉伸与压缩学习目标：
1. 弄清轴向拉（压）杆的受力特点和变形特点。 2. 应用截面法熟练计算轴向拉（压）杆的内力；并能正确 绘出轴力图。 3. 熟练掌握轴向拉（压）杆横截面上的正应力计算公式， 并能计算拉（压）杆的变形。 4.了解低碳钢和铸铁的σ-ε曲线，明确塑性材料和脆性材料 的力学性质及差别。 5. 会根据轴向拉（压）杆的强度条件进行强度计算。
重点：
轴向拉（压）杆的内力计算；轴向拉（压）杆横截面上的 应力计算及其强度条件在工程实际中的应用。
轴向拉伸与压缩
第一节 轴向拉伸和压缩的概念
在工程实际中经常遇到承受轴向拉伸和压缩的杆件。
轴向拉伸与压缩
受力特点：作用杆件上的外力（或外力合力）的作用线与 杆轴线重合。
变形特点：是纵向伸长或缩短。 这种变形形式称为轴向拉伸或压缩。 这类构件称为轴向拉（压）杆。
第7章 轴向拉伸、压缩与剪切
A A
σ=
FN A
σ
东北大学秦皇岛分校
工程力学—材料力学 工程力学 材料力学
第七章轴向拉伸、压缩与剪切 第七章轴向拉伸、
【例7.3】 已知等截面直杆横截面面积 =500mm2，受轴向力 】 已知等截面直杆横截面面积A 作用如图所示，已知 作用如图所示，已知F1=10KN， F2=20KN， F3=20KN，试求 ， ， ， 直杆各段的轴力和应力。 直杆各段的轴力程力学 材料力学
第七章轴向拉伸、压缩与剪切 第七章轴向拉伸、
杆件的轴向拉伸和压缩的力学模型 杆件的轴向拉伸和压缩的力学模型
ur F
轴向拉伸，对应的力称为拉力。 轴向拉伸，对应的力称为拉力。
ur F
ur F
轴向压缩，对应的力称为压力。 轴向压缩，对应的力称为压力。
ur F
东北大学秦皇岛分校
FN 10KN
50KN 20KN
x
5KN
东北大学秦皇岛分校
工程力学—材料力学 工程力学 材料力学
第七章轴向拉伸、压缩与剪切 第七章轴向拉伸、
§7.3 拉（压）杆的应力 一、问题提出
根据轴力不能判断杆件是否有足够的强度。 根据轴力不能判断杆件是否有足够的强度。 P P 轴力大小 拉杆强度的相关因素 杆件横截面面积 东北大学秦皇岛分校 P P
东北大学秦皇岛分校
FN 1 = FRA = 10 KN
工程力学—材料力学 工程力学 材料力学
第七章轴向拉伸、压缩与剪切 第七章轴向拉伸、
BC段：沿任意截面2-2将杆截开，受力如图： 段 沿任意截面2 将杆截开，受力如图：
2 FRA 40KN 55KN 25KN 2 C 20KN
A
B
D
2 FN2 x
σ=
FN A
σ
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第七章轴向拉伸、压缩与剪切 第七章轴向拉伸、
【例7.3】 已知等截面直杆横截面面积 =500mm2，受轴向力 】 已知等截面直杆横截面面积A 作用如图所示，已知 作用如图所示，已知F1=10KN， F2=20KN， F3=20KN，试求 ， ， ， 直杆各段的轴力和应力。 直杆各段的轴力程力学 材料力学
第七章轴向拉伸、压缩与剪切 第七章轴向拉伸、
杆件的轴向拉伸和压缩的力学模型 杆件的轴向拉伸和压缩的力学模型
ur F
轴向拉伸，对应的力称为拉力。 轴向拉伸，对应的力称为拉力。
ur F
ur F
轴向压缩，对应的力称为压力。 轴向压缩，对应的力称为压力。
ur F
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FN 10KN
50KN 20KN
x
5KN
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第七章轴向拉伸、压缩与剪切 第七章轴向拉伸、
§7.3 拉（压）杆的应力 一、问题提出
根据轴力不能判断杆件是否有足够的强度。 根据轴力不能判断杆件是否有足够的强度。 P P 轴力大小 拉杆强度的相关因素 杆件横截面面积 东北大学秦皇岛分校 P P
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FN 1 = FRA = 10 KN
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第七章轴向拉伸、压缩与剪切 第七章轴向拉伸、
BC段：沿任意截面2-2将杆截开，受力如图： 段 沿任意截面2 将杆截开，受力如图：
2 FRA 40KN 55KN 25KN 2 C 20KN
A
B
D
2 FN2 x
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④强度校核与结论：
max
RA
131MPa 170 MPa
此杆满足强度要求，是安全的。
例 图示结构中①杆是直径为32mm的圆杆， ②杆为2×No.5槽
钢。材料均为Q235钢，E=210GPa。求该拖架的许用荷载 [F] 。
A 1.8m ① C ② 2.4m B F
解：1、计算各杆上的轴力
确定安全系数要兼顾经济与安全，考虑以下几方面： ① 理论与实际差别 ：材料非均质连续性、超载、加工制造 不准确性、工作条件与实验条件差异、计算模型理想化 ②足够的安全储备 ：构件与结构的重要性、塑性材料n小、 脆性材料n大。
安全系数的取值：安全系数是由多种因素决定的。各种材料 在不同工作条件下的安全系数或许用应力，可从有关规范或 设计手册中查到。在一般静载下，对于塑件材料通常取为 1.5～2.2；对于脆性材料通常取为3.0 ～ 5.0，甚至更大。
1 [ F ]1 [ ] A1 57.9kN 1.67
4、确定许用荷载
[ F ] min{[F ]1 ， [ F ]2} [ F ]1 57.9kN
§7-4
轴向拉伸或压缩时的变形
一、纵向变形及线应变
P
L
P
L1
FX 0 ： FN 1 cos FN 2 0 FN 1 sin F 0 FY 0 ： FN 1 1.67F FN 2 1.33F
FN 1
FN 2
B
F
2、按AB杆进行强度计算
3、按BC杆进行强度计算
[ F ]2 1 [ ] A2 125 kN 1.33
二、许用应力和安全系数
1、许用应力 1）材料的标准强度：屈服极限、抗拉强度等。 2）材料的极限应力 u ：
①塑性材料：
σ s σ 0.2
②脆性材料：
σ bc
3）材料的许用应力：材料安全工作条件下所允许承担的最大应力， 记为
u / n
2、安全因数----标准强度与许用应力的比值，是构件工作 的安全储备。
第七章
轴向拉伸与压缩
轴向拉伸和压缩
§7-1
§7-2 §7-3 §7-4 §7-5
轴向拉伸和压缩的概念及实例
直杆轴向拉伸（压缩）时横截面上的正应力 许用应力 · 强度条件 轴向拉伸或压缩时的变形 材料拉伸、压缩时的力学性质
§7-1
轴向拉伸和压缩的概念及实例
1、受力特点：外力或其合力 的作用线沿杆轴
q
钢拉杆
8.5m
解：① 整体平衡求支反力
q
HA 钢拉杆
RA RB
8.5m
X 0 HA 0 mB 0 RA 19.5kN
② 局部平衡求轴力：
mC 0 N 26.3kN
q HC
③应力：
max
N 4P A d2
RC
HA N
4 26.3 103 MPa 2 131 3.14 0.016
变形前
b
d b´ d´ P
受载后
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。
1 F
1 1
2
2
F
2
1
2
F
FN
拉应力为正， 压应力为负。
F
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
FN
max
FN max A
FN：横截面上的轴力 FN A A：横截面面积
对于等直杆
当有多段轴力时，最大轴力所对应的截面-----危险截面。 危险截面上的正应力----最大工作应力
145106 Pa 145MPa
235106 Pa 156106 Pa 156MPa ns 1.5
s
可见，工作应力小于许用应力，说明杆件能够安全工作。
例 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集 度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用 应力[]=170M Pa。试校核刚拉杆的强度。
1. 定义：由外力引起的内力集度。
2. 应力的表示： 垂直于截面的应力称为“正应力”
应力特征 ：
（1）必须明确截面及点的位置； FN （2）是矢量，正应力： 拉为正。
M
（3）单位：Pa(帕)和MPa(兆帕)
1MPa=106Pa
二、拉（压）杆横截面上的应力
1. 变形规律试验及平面假设：
a c P a´ c´
F
F
2、变形特点：主要变形 为轴向伸长或缩短
3、轴向荷载（外力）：作用 线沿杆件轴线的荷载
F
F F F
轴向拉伸
轴向压缩
§7-2 直杆轴向拉伸（压缩）时横截面上的 正应力
问题提出：
P P P P
1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 2. 强度：①内力在截面分布集度应力；
②材料承受荷载的能力。
一、应力的概念
FN kN
§7-3
许用应力 · 强度条件
u
n
[σ]----许用应力 σu---- 极限应力 n----安全因数
一、拉（压）杆的强度条件
强度条件
max
FN，max A
根据强度条件可进行强度计算： ①强度校核 (判断构件是否破坏) max N max A ②设计截面 (构件截面多大时，才不会破坏) min [ ] ③求许可载荷 (构件最大承载能力) Fmax £ A [s ]
例 作图示杆件的轴力图，并求1-1、2-2、3-3截 面的应力。
1 f 30 60kN 1
2 f 20 40kN 2 60 + 20
3 f 35 30kN 50kN
解：FN 1 0 FN 2 60kN FN 3 50kN
3
1
50
FN 1 0 A1
FN 2 60 103 4 2 191MPa 3 2 A2 (20 10 ) FN 3 50 103 4 3 52MPa 3 2 A3 (35 10 )
例 图示空心圆截面杆，外径D＝20mm，内径d＝15mm，承受 轴向荷载F＝20kN作用，材料的屈服应力σs＝235MPa，安全因 数n=1.5。试校核杆的强度。
d
F
F
D
解：杆件横截面上 的正应力为: 材料的许 用应力为:
4F 4 20103 N 2 2 D d 2 0.015m 2 0.020m
max
RA
131MPa 170 MPa
此杆满足强度要求，是安全的。
例 图示结构中①杆是直径为32mm的圆杆， ②杆为2×No.5槽
钢。材料均为Q235钢，E=210GPa。求该拖架的许用荷载 [F] 。
A 1.8m ① C ② 2.4m B F
解：1、计算各杆上的轴力
确定安全系数要兼顾经济与安全，考虑以下几方面： ① 理论与实际差别 ：材料非均质连续性、超载、加工制造 不准确性、工作条件与实验条件差异、计算模型理想化 ②足够的安全储备 ：构件与结构的重要性、塑性材料n小、 脆性材料n大。
安全系数的取值：安全系数是由多种因素决定的。各种材料 在不同工作条件下的安全系数或许用应力，可从有关规范或 设计手册中查到。在一般静载下，对于塑件材料通常取为 1.5～2.2；对于脆性材料通常取为3.0 ～ 5.0，甚至更大。
1 [ F ]1 [ ] A1 57.9kN 1.67
4、确定许用荷载
[ F ] min{[F ]1 ， [ F ]2} [ F ]1 57.9kN
§7-4
轴向拉伸或压缩时的变形
一、纵向变形及线应变
P
L
P
L1
FX 0 ： FN 1 cos FN 2 0 FN 1 sin F 0 FY 0 ： FN 1 1.67F FN 2 1.33F
FN 1
FN 2
B
F
2、按AB杆进行强度计算
3、按BC杆进行强度计算
[ F ]2 1 [ ] A2 125 kN 1.33
二、许用应力和安全系数
1、许用应力 1）材料的标准强度：屈服极限、抗拉强度等。 2）材料的极限应力 u ：
①塑性材料：
σ s σ 0.2
②脆性材料：
σ bc
3）材料的许用应力：材料安全工作条件下所允许承担的最大应力， 记为
u / n
2、安全因数----标准强度与许用应力的比值，是构件工作 的安全储备。
第七章
轴向拉伸与压缩
轴向拉伸和压缩
§7-1
§7-2 §7-3 §7-4 §7-5
轴向拉伸和压缩的概念及实例
直杆轴向拉伸（压缩）时横截面上的正应力 许用应力 · 强度条件 轴向拉伸或压缩时的变形 材料拉伸、压缩时的力学性质
§7-1
轴向拉伸和压缩的概念及实例
1、受力特点：外力或其合力 的作用线沿杆轴
q
钢拉杆
8.5m
解：① 整体平衡求支反力
q
HA 钢拉杆
RA RB
8.5m
X 0 HA 0 mB 0 RA 19.5kN
② 局部平衡求轴力：
mC 0 N 26.3kN
q HC
③应力：
max
N 4P A d2
RC
HA N
4 26.3 103 MPa 2 131 3.14 0.016
变形前
b
d b´ d´ P
受载后
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。
1 F
1 1
2
2
F
2
1
2
F
FN
拉应力为正， 压应力为负。
F
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
FN
max
FN max A
FN：横截面上的轴力 FN A A：横截面面积
对于等直杆
当有多段轴力时，最大轴力所对应的截面-----危险截面。 危险截面上的正应力----最大工作应力
145106 Pa 145MPa
235106 Pa 156106 Pa 156MPa ns 1.5
s
可见，工作应力小于许用应力，说明杆件能够安全工作。
例 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集 度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用 应力[]=170M Pa。试校核刚拉杆的强度。
1. 定义：由外力引起的内力集度。
2. 应力的表示： 垂直于截面的应力称为“正应力”
应力特征 ：
（1）必须明确截面及点的位置； FN （2）是矢量，正应力： 拉为正。
M
（3）单位：Pa(帕)和MPa(兆帕)
1MPa=106Pa
二、拉（压）杆横截面上的应力
1. 变形规律试验及平面假设：
a c P a´ c´
F
F
2、变形特点：主要变形 为轴向伸长或缩短
3、轴向荷载（外力）：作用 线沿杆件轴线的荷载
F
F F F
轴向拉伸
轴向压缩
§7-2 直杆轴向拉伸（压缩）时横截面上的 正应力
问题提出：
P P P P
1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 2. 强度：①内力在截面分布集度应力；
②材料承受荷载的能力。
一、应力的概念
FN kN
§7-3
许用应力 · 强度条件
u
n
[σ]----许用应力 σu---- 极限应力 n----安全因数
一、拉（压）杆的强度条件
强度条件
max
FN，max A
根据强度条件可进行强度计算： ①强度校核 (判断构件是否破坏) max N max A ②设计截面 (构件截面多大时，才不会破坏) min [ ] ③求许可载荷 (构件最大承载能力) Fmax £ A [s ]
例 作图示杆件的轴力图，并求1-1、2-2、3-3截 面的应力。
1 f 30 60kN 1
2 f 20 40kN 2 60 + 20
3 f 35 30kN 50kN
解：FN 1 0 FN 2 60kN FN 3 50kN
3
1
50
FN 1 0 A1
FN 2 60 103 4 2 191MPa 3 2 A2 (20 10 ) FN 3 50 103 4 3 52MPa 3 2 A3 (35 10 )
例 图示空心圆截面杆，外径D＝20mm，内径d＝15mm，承受 轴向荷载F＝20kN作用，材料的屈服应力σs＝235MPa，安全因 数n=1.5。试校核杆的强度。
d
F
F
D
解：杆件横截面上 的正应力为: 材料的许 用应力为:
4F 4 20103 N 2 2 D d 2 0.015m 2 0.020m