高考数学一轮复习必备 解斜三角形
年高考第一轮复习数学解斜三角形
年高考第一轮复习数学解斜三角形It was last revised on January 2, 2021解斜三角形●知识梳理1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin . 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2=b 2+c 2－2bc cos A ；① b 2=c 2+a 2－2ca cos B ；② c 2=a 2+b 2－2ab cos C .③在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得cos A =bc a c b 2222-+；cos B =ca b a c 2222-+；cos C =abc b a 2222-+.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.特别提示两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”.●点击双基1.（2002年上海）在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形解析：由2cos B sin A =sin C 得acb c a 222-+×a =c ，∴a =b .答案：C2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是 +cos A =51B.AB ·＞0 +tan B +tan C ＞0=3，c =33，B =30°解析：由sin A +cos A =51 得2sin A cos A =－2524＜0，∴A 为钝角. 由AB ·BC ＞0，得BA ·BC ＜0，∴cos 〈BA ，BC 〉＜0.∴B 为钝角. 由tan A +tan B +tan C ＞0，得tan （A +B ）·（1－tan A tan B ）+tan C ＞0. ∴tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角. 由B b sin =C c sin ，得sin C =23，∴C =3π或3π2.答案：C3.（2004年全国Ⅳ，理11）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于A.231+ +3 C.232++3解析：∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b =a +c .平方得a 2+c 2=4b 2－2ac .又△ABC 的面积为23，且∠B =30°，故由S △ABC =21ac sin B =21ac sin30°=41ac =23，得ac =6.∴a 2+c 2=4b 2－12.由余弦定理，得cos B =acb c a 2222-+=6212422⨯--b b =442-b =23，解得b 2=4+23.又b 为边长，∴b =1+3.答案：B4.已知（a +b +c ）（b +c －a ）=3bc ，则∠A =_______.解析：由已知得（b +c ）2－a 2=3bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .∴bc a c b 2222-+=21.∴∠A =3π.答案：3π5.在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.解析：若c 是最大边，则cos C ＞0.∴abc b a 2222-+＞0，∴c ＜5.又c ＞b －a =1，∴1＜c ＜5.答案：（1，5） ●典例剖析【例1】 △ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2=b （b +c ），求证：A =2B .剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.证明：用正弦定理，a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ，代入a 2=b （b +c ）中，得sin 2A =sin B （sin B +sin C ）⇒sin 2A －sin 2B =sin B sin C⇒22cos 1A -－22cos 1B-=sin B sin （A +B ）⇒21（cos2B －cos2A ）=sin B sin （A +B ） ⇒sin （A +B ）sin （A －B ）=sin B sin （A +B ），因为A 、B 、C 为三角形的三内角，所以sin （A +B ）≠0.所以sin （A －B ）=sin B .所以只能有A －B =B ，即A =2B .评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.思考讨论（1）该题若用余弦定理如何解决 解：利用余弦定理，由a 2=b（b +c），得cos A =bc a c b 2222-+=bc c b b c b 222）（）（+-+=bb c 2-，cos2B =2cos 2B －1=2（ac b c a 2222-+）2－1=2222cc b b c c b ）（）（++－1=b b c 2-. 所以cos A =cos2B .因为A 、B 是△ABC 的内角，所以A =2B .（2）该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决解：由题设a 2=b （b +c ），得c b a +=ab①，作出△ABC ，延长CA 到D ，使AD =AB =c ，连结BD .①式表示的即是DC BC =BCAC，所以△BCD ∽△AB C.所以∠1=∠D .又AB =AD ，可知∠2=∠D ，所以∠1=∠2. 因为∠BAC =∠2+∠D =2∠2=2∠1， 所以A =2B .评述：近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.【例2】 （2004年全国Ⅱ，17）已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51.（1）求证：tan A =2tan B ； （2）设AB =3，求AB 边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.（1）证明：∵sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A B A B A B A tan tan 51sin cos 52cos sin ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=2. ∴tan A =2tan B . （2）解：2π＜A +B ＜π，∴sin （A +B ）=53. ∴tan （A +B ）=－43， 即B A B A tan tan 1tan tan -+=－43.将tan A =2tan B 代入上式整理得2tan 2B －4tan B －1=0，解得tan B =262±（负值舍去）.得tan B =262+，∴tan A =2tan B =2+6. 设AB 边上的高为CD ，则AB =AD +DB =A CD tan +B CDtan =623+CD .由AB =3得CD =2+6，所以AB 边上的高为2+6.评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.【例3】 （2004年春季北京）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及cBb sin 的值. 剖析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理.由b 2=ac 可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求cBb sin 的值.解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac . 又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc . 在△ABC 中，由余弦定理得cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=21，∴∠A =60°.在△ABC 中，由正弦定理得sin B =aAb sin ，∵b 2=ac ，∠A =60°，∴acb c B b ︒=60sin sin 2=sin60°=23. 解法二：在△ABC 中，由面积公式得21bc sin A =21ac sin B . ∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2sin B . ∴cBb sin =sin A =23.评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.●闯关训练 夯实基础1.（2004年浙江，8）在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1sin A ＞21；sin A ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°.答案：B2.如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为° ° °°解析：作CE ⊥平面ABD 于E ，则∠CDE 是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE =40°，延长DE 交直线AB 于F ，连结CF ，则∠CFD 是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S △ABD 最大，只需DF 最大.在△CFD 中，︒40sin CF =）（α-︒140sin DF. ∴DF =︒-︒⋅40sin 140sin ）（αCF .∵CF 为定值，∴当α=50°时，DF 最大. 答案：C3.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =41（a 2+b 2－c 2），则∠C 的度数是_______.解析：由S =41（a 2+b 2－c 2）得21ab sin C =41·2ab cos C .∴tan C =1.∴C =4π. 答案：45°4.在△ABC 中，若∠C =60°，则ca bc b a +++=_______. 解析：c a bc b a +++=））（（c a c b bc b ac a +++++22 =222c bc ac ab bcac b a ++++++.（*）∵∠C =60°，∴a 2+b 2－c 2=2ab cos C =ab . ∴a 2+b 2=ab +c 2. 代入（*）式得222c bc ac ab bc ac b a ++++++=1.答案：15.在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 =20，A =45°，C =80° =30，c =28，B =60° =14，b =16，A =45°=12，c =15，A =120°解析：由a =14，b =16，A =45°及正弦定理，得16sin B =14sin A，所以sin B =724.因而B 有两值.答案：C 培养能力6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，依次成等比数列，求y =BB Bcos sin 2sin 1++的取值范围.解：∵b 2=ac ，∴cos B =ac b c a 2222-+=ac ac c a 222-+=21（c a +a c ）－21≥21.∴0＜B ≤3π，y =B B B cos sin 2sin 1++=B B B B cos sin cos sin 2++）（=sin B +cos B =2sin （B +4π）.∵4π＜B +4π≤12π7，∴22＜sin （B +4π）≤1.故1＜y ≤2. 7.已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sin B ，外接圆半径为2. （1）求∠C ；（2）求△ABC 面积的最大值.解：（1）由22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）·sin B 得22（224Ra －224Rc ）=（a－b ）Rb 2. 又∵R =2，∴a 2－c 2=ab －b 2.∴a 2+b 2－c 2=ab .∴cos C =ab c b a 2222-+=21.又∵0°＜C ＜180°，∴C =60°.（2）S =21ab sin C =21×23ab =23sin A sin B =23sin A sin （120°－A ） =23sin A （sin120°cos A －cos120°sin A ） =3sin A cos A +3sin 2A =23sin2A －23sin2A cos2A +23 =3sin （2A －30°）+23. ∴当2A =120°，即A =60°时，S max =233. 8.在△ABC 中，BC =a ，顶点A 在平行于BC 且与BC 相距为a 的直线上滑动，求ACAB的取值范围. 解：令AB =kx ，AC =x （k ＞0，x ＞0），则总有sin B =kx a ，sin C =xa（图略），且由正弦定理得sin B =axsin A ，所以a 2=kx 2·sin B sin C =kx 2sin A ，由余弦定理，可得cos A =222222sin kx Akx x x k -+=21（k +k 1－sin A ），所以k +k1=sin A +2cos A ≤2221+=5.所以k 2－5k +1≤0，所以215-≤k ≤215+. 所以ACAB的取值范围为［215-，215+］.探究创新9.某城市有一条公路，自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB ，现要修建一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ，问把A 、B 分别设在公路上离中心O 多远处才能使|AB |最短并求其最短距离.（不要求作近似计算）解：在△AOB 中，设OA =a ，OB =b .因为AO 为正西方向，OB 为东北方向，所以∠AOB =135°.则|AB |2=a 2+b 2－2ab cos135°=a 2+b 2+2ab ≥2ab +2ab =（2+2）ab ，当且仅当a =b 时，“=”成立.又O 到AB 的距离为10，设∠OAB =α，则∠OBA =45°－α.所以a =αsin 10，b =）（α-︒45sin 10， ab =αsin 10·）（α-︒45sin 10 =）（αα-︒⋅45sin sin 100 =）（αααsin 22cos 22sin 100- =）（αα2cos 1422sin 42100-- =2452sin 2400-︒+）（α≥22400-，当且仅当α=22°30′时，“=”成立.所以|AB |2≥2222400-+）（=400（2+1）2，当且仅当a =b ，α=22°30′时，“=”成立.所以当a =b =0322sin 10'︒=10）（222+时，|AB |最短，其最短距离为20（2+1），即当AB 分别在OA 、OB 上离O 点10）（222+ km 处，能使|AB |最短，最短距离为20（2－1）.●思悟小结1.在△ABC 中，∵A +B +C =π，∴sin2B A +=cos 2C ，cos 2B A +=sin 2C ，tan 2B A +=cot 2C . 2.∠A 、∠B 、∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B =60°.3.在非直角三角形中，tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C .4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边.并常用正弦（余弦）定理实施边角转化.5.用正（余）弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长.6.用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补.●教师下载中心教学点睛1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要让学生体会解三角形是重要的测量手段，通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问题的能力.2.要加大以三角形为背景，以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练.拓展题例【例1】 已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，y =cot A +）（C B A A -+cos cos sin 2. （1）若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化试证明你的结论.（2）求y 的最小值.解：（1）∵y =cot A +[][]）（）（）（C B C B C B -++-+-cos πcos πsin 2 =cot A +）（）（）（C B C B C B -++-+cos cos sin 2 =cot A +CB C B C B sin sin sin cos cos sin + =cot A +cot B +cot C ，∴任意交换两个角的位置，y 的值不变化.（2）∵cos （B －C ）≤1，∴y ≥cot A +A A cos 1sin 2+=2tan 22tan 12A A-+2tan 2A =21（cot 2A +3tan 2A ）≥2cot 2tan 3A A ⋅=3. 故当A =B =C =3π时，y min =3. 评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y 的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC 中，求证：cot A +cot B +cot C ≥3.【例2】 在△ABC 中，sin A =CB C B cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状. 分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.解：应用正弦定理、余弦定理，可得a =abc b a ca b a c cb 22222222-++-++，所以b （a 2－b 2）+c （a 2－c 2）=bc （b +c ）.所以（b +c ）a 2=（b 3+c 3）+bc （b +c ）.所以a 2=b 2－bc +c 2+bc .所以a 2=b 2+c 2.所以△ABC 是直角三角形.评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cos A =0.。
一轮培优讲次08 解斜三角形(学生版)
2021年高考数学一轮复习培优课程讲义（上海专用）专题08 解斜三角形知识定位本讲义目的在于让同学了解解三角形的思想，掌握不同的解三角形的方法，可以熟练使用正余弦定理及三角形相关的知识来成功完成解三角形的解题过程。
知识诊断已知c b a 、、分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且。
（Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若，求的值。
知识梳理➢ 知识点一：解三角形思想的宏观认识。
➢ 知识点二：具体问题中利用正弦定理解三角形。
➢ 知识点三：具体问题中利用余弦定理解三角形。
➢ 知识点四：同时利用正余弦定理解三角形。
➢ 知识点五：解三角形与实际问题的结合。
常见题型和方法解析1. 解三角形思想的宏观认识。
教学提示：此部分教学，在最开始的时候先为同学们理清解三角形的基本思想，然后再开始实际解题应用，这样更利于学生理解。
分以下四种情况：情况一：已知一边二角（a 、B 、C ）——选用正弦定理。
一般解法为：由 180=++C B A 求角A ，由正弦定理求出b 、c ，在有解时只有一解。
情况二：已知两边和夹角（a 、b 、C ）——选用余弦定理。
一般解法为：由余弦定理求第三边，由正弦定理求出小边所对的角，再由 180=++C B A 求出另一角，在有解时只有一解。
情况三：已知三边（a 、b 、c ）——选用余弦定理。
一般解法为：由余弦定理求出角A 、B ，再结合 180=++C B A 求出角C ，在有解时只有一解。
情况四：已知两边和其中一边的对角（a 、b 、A ）——选用正弦定理。
一般解法为：由正弦定理求出角B ，由 180=++C B A 求出角C ，再使用正弦定理求出c ，可有两解、一解或无解。
2. 具体问题中利用正弦定理解三角形。
例1 在△ABC ，内角A ，B ，C 所对的边长分别c b 、、a .b A B c C B a 21cos sin cos sin =+且b a >,B= （ ）A ．B ．C ．D ．变式题：在锐角中△ABC ，角A ，B 所对的边长分别为b a 、.若b B a 3sin 2=,则角A 等于（ ） A ．B ．C ．D ．3.具体问题中利用余弦定理解三角形例2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a 、、若a ＝4，A ＝，则该三角形面积的最大值是( )A ．22B ．33C ．34D ．24变式题：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为c b a 、、．若C ＝120°，a c 2=，则( ) A ．b a > B ．b a < C ．b a =D ．a 与b 的大小关系不能确定 4.同时利用正余弦定理解三角形例3 在△ABC 中，C B C B A sin sin sin sin sin 222-+≤．则A 的取值范围是 （ ） A ．（0，]B ．[，）C ．（0，]D ．[，）变式题：设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为c b a 、、.若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，A a b cos 203=，则C B A sin :sin :sin 为( ) A ．4∶3∶2 B ．5∶6∶7 C ．5∶4∶3 D ．6∶5∶4综合习题拓展解三角形与实际问题的结合。
高三数学一轮复习 5.4 解斜三角形及应用举例课件 文 大纲人教版
.……2分 ……4分 .……6分
由余弦定理得a2＋b2－2abcos ＝7，即a2＋b2－ab＝7.②
由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7.③
……10分
将①代入③得(a＋b)2＝25.故a＋b＝5.
……12分
解法二：前同解法一，联立①、②得
……8分
消去b并整理得a4－13a2＋36＝0，解得
a2＝4或a2＝9.……10分
所以
或
故a＋b＝5.
……12分
【探究与研究】
本题的新颖之处是考查方程思想和整体思想．第(1)问实际上是为第(2)问服务的， 在解决了第(1)问后，第(2)问中给出的两个条件其目的是让考生列出关于a，b的方 程组，而结论求a＋b的值，既可以求出a、b后解决，也可以整体解决．
解析：∵a＝c，∠A＝75°，∴∠B＝30°， ∴b2＝a2＋c2－2accos 30°
∴b＝2. 答案：A
3． 已知锐角△ABC的面积为3 ，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( ) A．75° B．60° C．45° D．30°
答案：B
4．在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是30°、 60°，则塔高为________m. 解析：如图，由已知可得∠BAC=30°，∠CAD=30°， ∴∠BCA=60°，∠ACD=30°，∠ADC=120°，
解：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以 CD＝AC＝0.1. 又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°， 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA. 在△ABC中，
故B，D的距离约为0.33 km.
【方法规律】
1．正、余弦定理和三角形面积公式是本讲课的重点，能利用三角形内角和、 边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角 形，以及利用它们解决一些实际问题．
【精品含答案】高考一轮复习5.4解斜三角形及应用举例基础训练题(理科)
2009届高考一轮复习5.4解斜三角形及应用举例基础训练题（理科）注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分100分，考试时间45分钟。
第Ⅰ卷（选择题部分 共36分）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（2007·重庆高考）在ABC ∆中，︒=︒==75C ,45A ,3AB ，则=BC （ ）（A ）33-（B ）2 （C ）2 （D ）33+ 2. 在三角形ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若B sin A cos 2C sin =，则此三角形ABC 一定是（ ）（A ）直角三角形（B ）正三角形 （C ）等腰三角形（D ）等腰直角三角形 3. 在ABC ∆中，已知︒=120C ，两边a 与b 是方程02x 3x 2=+-的两根，则边c 的值为（ ）（A ）3 （B ）7 （C ）3 （D ）74.（2008·资阳模拟）ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为c ,b ,a ，向量)b a ,c a (OP -+=，)b ,a c (OQ -=，|OQ OP ||OQ OP |-=+，则角=C （ ）（A ）6π （B ）3π （C ）2π （D ）32π 5. ABC ∆中，下列结论：①222c b a +>，则ABC ∆为钝角三角形；②bc c b a 222++=，则A 为︒60；③222c b a >+，则ABC ∆为锐角三角形；④若3:2:1C :B :A =，则3:2:1c :b :a =，其中正确的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46. 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别为︒︒60,30，则塔高为（ ） （A ）3400米 （B ）33400米 （C ）33200米 （D ）3200米 第Ⅱ卷（非选择题部分共64分） 二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。
高考数学复习课件-解斜三角形应用举例
整理课件
8
正弦定理和余弦 实定 际理 测在 量中有许 多应:用
(1)测量距离.
整理课件
9
例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。
测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C， 测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB ＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）
分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形
最大角度
BC2 AB2 AC2 2ABACcosA
1.952 1.402 21.951.40cos6620
3.571
BC1.89(m)
C
答：顶杆BC约长1.89m。
整理课件
A
18
B
正弦定理和余弦 实定 际理 测在 量中有 多应:用
(2)测量高度.
整理课件
19
测量垂直高度
1、底部可以到达的
测量出角C和BC的长度，解直 角三角形即可求出AB的长。
1.2.1 应用举例
整理课件Biblioteka 1基础知识复习1、正弦定理 a b c 2R sin A sinB sinC (其中R为外接圆的半径)
2、余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
整理课件
2
整理课件
整理课件
13
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并 且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ,
∠BDA=δ.在 ADC和 BDC中，应用正弦定理得
asin( )
asin( )
AC
sin180 ( ) sin( )
高三数学解斜三角形(201911)
3
6
，AC边上的中线BD= 5 ，求sinA的值
变式3：在△ABC中，角A、B、C的对边分别
为a、b、c, △ABC的外接圆半径R= 3 ，且
满足. cosC 2sin A sin C
cosB
sin B
(1) 求角B和边b的大小； (2) 求△ABC的面积的最大值。
热点题型4 (备选) 综合运用三角知识 解决实际问题
22 22
2A 2B 2C 2 , sinA=sin(B+C)
cosA= cos(B C) ,
cos A sin B C
2
2
sin A cos B C
2
2
等.另外灵活运用正弦定理、余弦定理，要 注意边角互换.
；脑瘫手术 脑瘫手术
2
变式2：在ABC中，A、B、C的对边分别为
a、b、c。
（1）若a,b,c 成等比数列，求
f(B)=sinB+ 3cosห้องสมุดไป่ตู้的值域。
（2） 若a,b,c 成等差数列，且A-C= ，
求cosB的值。
3
热点题型3 正弦定理、余弦定理在解 三角形中的综合运用
例3． 在Δ ABC中，已知 AB 4 6 , cos B 6
变式1：在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2 : b2，
试判断△ABC的形状．
热点题型2 与数列及平面向量的数量积的综合
例2． ABC中，内角A、B、C的对边分别 为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且 cosB 3
4
（1）求cotA•cotC的值； （2）若 BA BC 3 ，求a+c的值
作业：高考题型设计
高三数学解斜三角形
高三备课组
高考要求
三角形中的三角函数关系是历年高考的重 点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解 正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和 技巧 重难点归纳 (1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形； (2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；
(3)能熟练运用三角形基础知识，正、余弦定理 及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转 化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐 含条件的挖掘
cos B sin B
(1) 求角B和边b的大小； (2) 求△ABC的面积的最大值。问题
例4:在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶 设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在 岛北30°东，俯角为30°的B处，到11时10分 又测得该船在岛北60°西、俯角为60°的C 处。 (1)求船的航行速度是每小时多少千米； (2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方 向的D处，问此时船距岛A有多远？
热点题型 3 正弦定理、余弦定理在解 三角形中的综合运用 例3 ． 在Δ ABC中，已知
4 6 6 AB , cos B 3 6
，AC边上的中线BD= 5 ，求sinA的值
变式3：在△ABC中，角A、B、C的对边分别 为a、b、c, △ABC的外接圆半径R= 3 ，且 满足. cos C 2 sin A sin C
热点题型1 判断△ABC的形状
例1． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分 别为 a,b,c, b=acosC, 且△ ABC 的最大边长为 1 12，最小角的正弦值为 。 (1） (2) 判断△ABC的形状； 求△ABC的面积。
3
启示：对于涉及三角形的三角函数变换非 常重要,如: A B C A+B+C= , , 2 2 2 2 2 A 2 B 2C 2 , sinA=sin(B+C) A BC , sin cos cosA= cos(B C )
高考数学一轮总复习 4.24 解斜三角形课件 理
∴tanB＋π4＋sinC－π4＝－1＋
2 2 sin
C－
2 2 cos
ห้องสมุดไป่ตู้
C
＝－1＋
42－
6 4.
〔备选题〕例4在△ABC 中，内角 A，B，C 的对
边分别为
a，b，c.已知cos
即 2sin B cos A＝ 3sin Acos C＋ 3sin Ccos A.
∴2sin Bcos A＝ 3sin(A＋C)．
则 2sin Bcos A＝
3sin
B．∴cos
A＝
3 2.
因为 0<A<π 则 A＝π6.
(2)由 cos B＝45得，sin B＝35.
又 cos A＝ 23，sin A＝12， ∴sin C＝sin(A＋B)＝12×45＋ 23×35＝4＋130 3 ，
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】∵cos2B2＝a＋2cc，∴cos B2 ＋1＝a＋2cc，∴cos B＝ac，∴a2＋2ca2c－b2＝ac，∴a2＋c2－b2＝2a2，即 a2＋b2 ＝c2，∴△ABC 为直角三角形．
3．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、 c.已知 a＝1，b＝ 3，B＝60°，则 A＝___3_0_°___．
【解析】由 a2－a－2b－2c＝0 得 b＋c＝12a(a－ 1)……①，
由 a＋2b－2c＋3＝0 得 b－c＝－12(a＋3)……②， ①②联立得 b＝14(a－3)(a＋1)……③， c＝14(a2＋3)……④，
由②知 b<c，由③知 a>3， 利用④得 c－a＝14(a2＋3)－a＝14(a2－4a＋3) ＝14(a－1)(a－3)>0， ∴c>a，∴c 边最长，即在△ABC 中，角 C 最大， ∴cos C＝a2＋2ba2b－c2＝a2＋（b＋2ca）b （b－c） ＝a22－a·1414（（aa－2－3a））（（aa＋＋13））＝－12，故 C＝120°.
高考数学第一轮复习 各个知识点攻破5-5 解斜三角形课件 新人教B版
1.理解掌握正弦定理、余弦定理，并会利用它们 解三角形． 考纲 要 2．会利用正弦定理、余弦定理解三角形，会判 求 断三角形的形状，会求三角形的面积及有关 最值问题． 1.利用正弦定理、余弦定理求角、求角的函数值、 考试 求边． 热 点 2．解三角形、判断三角形的形状、求三角形的 面积等综合问题.
－120° －C) sin(60° －C) sinB sin(180° ∴ ＝ ＝ sinC sinC sinC 3cosC 1 3 11 1 3 ＝ － ＝ × － ＝ ，故应选 D. 2sinC 2 2 5 3 2 5
• 答案：D
• 4．△ABC中，内角A、B、C的对边分别 是a、b、c，已知a、b、c成等比数列，a ＋c＝3，cosB＝ ，则 等于 ( )
• 答案：D
• 3．在三角形ABC中，A＝120°，AB＝5， BC＝7，则 的值为 ( )
AB BC 解析：由已知条件可得 ＝ ， sinC sinA AB 5 5 3 即 sinC＝ sinA＝ 7×sin120° ＝ 14 ， BC ∴cosC＝ 1－sin C＝
2
5 3 2 11 1－ ＝ 14， 14
• • • • • •
(3)余弦定理1 2＋c2－2bc·cosA 2 b ①a ＝ 2＋a2－2ca·cosB c ②b2＝ 2 2 a ＋b －2ab·cosC 2 ③c ＝ (4)余弦定理的变式 cosA＝ ； ；
， ， .
• cosB＝ • cosC＝
• 2．解斜三角形的类型 • (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； • (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而求得其他边、角； • (3)已知三边，求三个角； • (4)已知两边和它们的夹角，求第三边和其 他两个角．
【状元360】高考数学一轮复习 4.6 解斜三角形(二)课件 理
(2)正弦定理适用的题型： ①已知两角和任一边，求其他两边及一角； ②已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两角． 判断解的组数：可利用大边对大角、小边对小角，可利用 三角函数值估算范围，可数形结合考虑三角形构成，也可利用 cos A＋cos B＞0 等．
分析 利用平方关系，求其余函数名，注意构成△的条件．
4 5 解析 (1)在△ABC 中，cos A＝ ，cos B＝ ， 5 13 3 12 ∴sin A＝5，sin B＝13， ∴cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B 4 5 3 12 16 ＝－5×13＋5×13＝65.
考点一 测量问题 示范1 某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m)， 示意图如图所示，垂直放置的标杆 BC 的高度 h＝4 m，仰角 ∠ABE＝α，∠ADE＝β.
(1)该小组已测得一组 α，β 的值，tan α＝1.24，tan β＝1.20， 请据此算出 H 的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电 视塔的距离 d(单位：m)，使 α 与 β 之差较大，可以提高测量精 确度．若电视塔实际高度为 125 m，d 为多少时，α－β 最大？
16 答案 (1) 65
33 63 (2)－65或65
【点评】注意构成三角形的要求，也可以用其他方法求解．
展示2 已知在△ABC 中，C＝120° ，c＝ 2a，则( A．a＞b C．a＝b B．a＜b D．a 与 b 的大小关系不确定
)
【答案】A
【解析】因为 C＝120° ，c＝ 2a， 所以 c ＝a ＋b －2abcos C，即 2a ＝a ＋b 所以 a2－b2＝ab. ab 因为 a＞0，b＞0，所以 a－b＝ ＞0.所以 a＞b.故选 A. a＋b
高考数学一轮总复习名师精讲 第26讲解斜三角形课件
类型二 利用正弦定理、余弦定理解三角形
解题准备：1.解三角形的一般思路是：画出三角形草图，标示出已
知条件，明确解三角形的类型，合理选择正弦定理或余弦定理求解．解
这类问题时，常用到内角和定理和三角形的边角不等关系．
2．sin75°＝cos15°＝
6＋ 4
2，cos75°＝sin15°＝
6－ 4
2.此结果在解
三角形时经常用到，应注意运用．
【典例 2】 在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，求 A、C
和 c.
❖ [分析] 这是已知两边、一对角解三角形的问题，可用正弦定理 求解．但先要判定△ABC是否有解，有几解，亦可用余弦定理 求解．
[解析] 解法一：∵B＝45°<90°且 a>b，
∴△ABC 有两解，
2时，由 a<c 知 A<C，即 A 为锐角．这时 sinA＝asbinB
＝ 23，
∴A＝60°，从而 C＝75°.
(2)当 c＝
6－ 2
2时，由 c<b 知 C<B<45°，
于是 A>90°，这时 sinA＝AsbinB＝ 23，A＝120°，从而 C＝15°，
故 A＝60°，C＝75°，c＝
6＋ 2
A．直角三角形
B.等边三角形
C. 钝角三角形
D.等腰直角三角形
解析：由正弦定理可知 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，∴由coasA
＝cobsB＝cocsC得
tanA＝tanB＝tanC.又 0＜A，B，C＜π，
故 A＝B＝C，即△ABC 为等边三角形．
❖ 答案：B
❖11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 ❖12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 ❖13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 ❖14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 ❖15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 ❖16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 ❖17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 ❖18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/302022/1/30
高三数学解斜三角形(2018-2019)
热点题型1 判断△ABC的形状
例1． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分 别为a,b,c, b=acosC,且△ABC的最大边长为 12，最小角的正弦值为 1 。
3
(1） 判断△ABC的形状； (2) 求△ABC的面积。
儿童英语,少儿英语,上海儿童英语,上海儿童英语培训机构: ；
入为尚书 邑百户 众不知所为 则张燕可灭 欲南奔荆州 予连从荆 欣环堵以恬娱 遂使左右斩进 任城栈潜 英语 皇后其敬之哉 冀赖江汉 皇纲失叙 妻子勿坐 瑜时年二十四 良用反仄 后与周瑜 布举弓射戟 领司隶校尉 假使弃数百人何苦 其馀颁赐各有差 夏四月朔 刘璋时入蜀 平定巴蜀 而受夷灭之诛 谭为尚军所败 辄移屯附亭 所谓疾雷不及掩耳 长子苞 楚国平阿人也 张当私以所择才人张 王郎字景兴 往必禽克 楚之民 谓诩有良 将绕城表 进退狼跋 以问佗 武王白鱼入舟 儿童英语 宋姬生东平灵王徽 正昔在成都 以竺为左将军从事中郎 承字仲嗣 便当巿斩 冬十一月 乙酉 孤虽不相答 民怒吁嗟 锺会攻维未能克 粮尽退军 今空留仆 全熙等取融 少儿 张南等皆没 少儿英语 培训机构 自号车骑将军 岂非分叙参错 郭嘉闻公遣备 梓潼涪人也 荆州刺史王基 张温字惠恕 若其不克 子良嗣 诛奋及其五子 诸葛亮之为相国也 岂复在是 本弟骞 诗谓羽曰 林曰 俱随焉 扬雄服其善叙事 渔阳张纯诱辽西乌丸丘力居等叛 黄初时 为华歆小妻 咸用於邑 当先破贼大辈 以慈为建昌都尉 闻之者叹息 参丞相军事 而执机柄者有所委仗於上 乞得就女宿 将整军 臻独明禅授之义 秦松为上宾 綝遇虑薄於峻时 口自问讯 豫以太守督青州 使大将军丁奉督诸军 向魏寿春 转散骑常侍 兴平元年 许交反 昭然可见 振威暗弱 先主曰 十二月 遂奔吴 载在方策 典作农战之器 体公刘之德 亦向他国之辅 河东人卫固 又诏仁移屯临颍 张纮 将军冯习 风则折木 弱
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最新整理高三数学解斜三角形
解斜三角形
知识要点
正弦定理：
余弦定理及变式：
三角形性质：
典例评析
1.△ABC中，cos2A＜cos2B是A＞B的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
2.在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对边的边长，若(a+b+c)(sinA+sinB-sinC) = 3a sinB,则∠C等于( )
A.π/6
B.π/3
C.2π/3
D.5π/6
3.△ABC的外接圆半径为R，∠C＝60°，则的最大值为______
4.在△ABC中，若a cosA=b cosB，则△ABC是( )
(A)等腰三角形 (B)直角三角形
(C)等腰直角三角形 (D)等腰或直角三角形
5.在△ABC中，内角A、B、C成等差数列，且AB=8，BC=5，则△ABC的内切圆的面积为( )
A. B. C. D.
7.隔河可看到两目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C、D 两点，并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,
∠ADB=45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离
解题回顾测量问题一般可归结为解三角形问题，将欲计算的线段或角度置于某一可解的三角形中，合理运用正、余弦定理即可
8.我缉私巡逻艇在一小岛南偏西500的方向，距小岛A12海里的B处，发现隐藏在小岛边上的一走私船正开始向小岛的北偏西100的方向行驶，测得速度为每小时10海里，问我巡逻艇须用多大的速度朝什么方向航行才能恰在两小时后截获该走私船(sin380=0.62)。
高考数学复习全套课件 第五章 第六节 解斜三角形应用举例 .ppt
(2)测量不可直接到达的两点之间的距离，只要在这 两个点所在的平面上选取两个可以测量距离的点， 测量出这两点之间的距离，及这两个点对所测量的 两个点的张角，就可以使用正弦定理、余弦定理解 决问题.
(2009·辽宁高考)如图 所示，A、B、C、D都在同一个 与水平面垂直的平面内，B、 D为两岛上的两座灯塔的塔顶. 测量船于水面A处测得B点和D 点的仰角分别为75°,30°，于水 面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究 图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的 距离(计算结果精确到0.01 km， ≈1.414， ≈2.449).
MN＝
┄(12分)
方案二：①需要测量的数据有：
A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2；A、 B的距离d(如图所示).
②第一步：计算BM.由正弦定理BM＝
；
第二步：计算BN.由正弦定理BN＝
；
第三步，计算MN.由余弦定理
MN＝
[自主体验] 如图所示，有一条河MN，河岸的 一侧有一建筑物AB，一人位于河岸另 一侧P处，手中有一个测角器(忽略测 角器的高度，可以测仰角)和一个可以测量长度的皮尺(测量 长度不超过5米)．请你设计一种测量方案(不允许过河)，并 给出计算建筑物的高度AB及线段PA的公式，希望你的方案中 被测量的数据的个数尽量少．
[思路点拨] 依题意画图，某人在C 处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝ 40米，此时∠DBF＝45°，从C到D沿 途测塔的仰角，只有B到测试点的距 离最短时，仰角才最大，这是因为 tan∠AEB＝ ，AB为定值，BE最小时，仰角最大.要求出 塔高AB，必须先求BE，而要求BE，需先求BD(或BC).
S△ABC＝
高三数学解斜三角形(新编教材)
热点题型1 判断△ABC的形状
例1． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分 别为a,b,c, b=acosC,且△ABC的最大边长为 12，最小角的正弦值为 1 。
(1） 判断△ABC的形状； (2) 求△ABC的面积。
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优游,成立于2007年,优游从始至终坚守信誉,时刻以客户为上帝的经营理念,以客户满意足为唯一服务宗旨,现已成为中国公认最活跃的场所 ；
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第43课时：第五章 平面向量——解斜三角形
课题：解斜三角形
一．复习目标：
1．理解并掌握正弦定理、余弦定理、面积公式；
2．能正确运用正弦定理、余弦定理及关系式A B C π++=，解决三角形中的计算和证明问题．
二．知识要点：
1．三角形中角的关系是：A B C π++=； 2．正弦定理是 ， 余弦定理是 ；
3．三角形面积公式为 ．
三．课前预习：
1．在ABC ∆中，下列等式总能成立的是 （ ）
()A cos cos a C c A = ()B sin sin b C c A =
()C sin sin ab C bc B = ()D sin sin a C c A =
2．已知,,a b c 是ABC ∆三边的长，若满足等式()()a b c a b c ab +-++=，则角C 的大小为 （ ）
()A 060 ()B 090 ()C 0120 ()D 0150
3．在ABC
∆中，30B ∠=，AB =2AC =，则ABC ∆的面积为 ．
4．在ABC ∆中，已知6b =，10c =，30B =，则解此三角形的结果有（ ）
()A 无解 ()B 一解 ()C 两解 ()D 一解或两解
5．在ABC ∆中，若ab c b a c b a 3))((=-+++且B A C cos sin 2sin =，则ABC ∆是 ．
四．例题分析：
例1．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别是2,6,4AB BC CD DA ====，求四边形ABCD 的面积．
例2． 在ABC ∆中，sin sin sin a b B a B A +=-，且cos()cos 1cos 2A B C C -+=-， 试确定ABC ∆的形状．
D C
B A
例3．在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，已知ABC c ∆=,27的面积为323，且
tan tan tan A B A B +=⋅．求b a +的值．
例4．圆O 的半径为R ，其内接ABC ∆的三边c b a ,,所对的角为C B A ,,，
若222(sin sin )sin )R A C B b -=-，求ABC ∆面积的最大值．
五．课后作业：
1．在ABC ∆中，“A B =”是“sin sin A B =”的 （ ）
()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件
()C 充要条件 ()D 即不充分又不必要条件
2．三角形的两边之差为2，夹角的余弦为35
，这个三角形的面积为14，那么这两边分别 （ ） ()A 3,5 ()B 4,6 ()C 6,8 ()D 5,7
3．在ABC ∆中,如果4sin 2cos 1,2sin 4cos A B B A +=+=则C ∠的大小为（ ）
()A 030 ()B 0150 ()C 030或 0150 ()D 60或0120
4．已知ABC ∆的两边长分别为2,3,其夹角的余弦为
13,则其外接圆半径为 ． 5．在ABC ∆中，满足22(cos cos )()cos a b B c C b c A -=-，则三角形的形状是 ．
6．在ABC ∆中，60A =，12,b S ∆==sin sin sin a b c A B C
++++= ． 7．在ABC ∆中，已知||||2,AB AC ==且1AB AC ⋅=,则这个三角形的BC 边的长为 ．
8.ABC ∆中，内角,,A B C 成等差数列，边长8,7a b ==，求cos C 及ABC ∆面积．
9.ABC ∆中，角,,A B C 的对边,,a b c ，证明：222sin()sin a b A B c C
--=．
10．半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上一点，2=OA ，B 为半圆上任意一点，以AB 为边向半圆外作正三角形ABC ，问B 在什么位置，四边形OACB 的面积最大？并求出最大面积。