1.4.1全称量词与存在量词练习题
1.4.1-1.4.3_全称量词与存在量词
例5 写出下列命题的否定，并判断它们的真假： 1）p:任意两个等边三角形都是相似的； 解：┐p:存在两个等边三角形，它们不相似。 假
2）p:x R,x2 +2x+2=0；
2 x R , x 2x 2 0 解：┐p：
真
练习: P26 A组
作业: P27 B组
谢 谢大家！
再见
1.4.1 全 称 量 词
想一想？
下列语句是命题吗？ 1 ）与）， 3 2）与4）之间有什么关系？ 1) x 3 2)2 x 1 是整数 3)对所有的 x R, x 3 4)对任意一个 x Z , 2 x 1是整数
短语“所有的”“任意一个” 在逻辑中通常叫做 全称量词．用符号“ ”表示。 含有全称量词的命题，叫做全称命题。
读作“任意x属于M，有P(x)成立”。
例题分析
例1 判断下列全称命题的真假. ⑴所有的素数都是奇数； ⑵ x∈R， x2+1≥1 ； ⑶对每一个无理数x，x2也是无理数； ⑷每个指数函数都是单调函数. 假 真 假 真
1.4.2 存 在 量 词
想一想？
下列语句是命题吗？ 1 ）与）， 3 2 ）与4 ）之间 有什么关系？ 1)2 x 1 3； 2) x能被2和3整除； 3)存在一个 x R, 使2 x 1 3； 4)至少有一个x Z , x能被2和3整除。
x M,p(x)
3)x R , x 2 x 1 0
2
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从形式看，全称命题的否定是特称命题。
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论 全称命题 它的否定
p : x M,p(x)
p : x M,p(x)
1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词
引入1 对于命题p,q，命题p∧q，p∨q，﹁p的 含义分别如何？这些命题与p,q的真假关系如何？ p∧q：用联结词“且”把命题p和命题q联结起来得 到的命题，当且仅当p,q都是真命题时，p∧q为真 命题. p∨q：用联结词“或”把命题p和命题q联结起来得 到的命题，当且仅当p,q都是假命题时，p∨q为假 命题.
世纪金榜第16页自主学习
(3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数。
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做
全称量词，并用符号“ ”表示
含有全称量词的命题，
叫做全称命题。
常见的全称量词还有 “一切” “每一个” “任给” “所有的”等
全称命题举例：
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命题：对任意的n∈Z，2n+1是奇数； 所有的正方形都是矩形。
全称命题符号记法：
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立 ” 可用符号简记为：
x M ， p(x),
读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。
判断全称命题真假
要判定全称命题“ x∈M,p(x) ”是真命题，
需要对集合M中每个元素x, 证明p(x)成立； 如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不 成立，那么这个全称命题就是假命题.
同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同， 可能有不同的表述方法：
命 题
全称命题 x M , p所有的x∈M，p(x)成立 ①存在x0∈M，使p(x0)成立 ②对一切x∈M，p(x)成立 ②至少有一个x0∈M，使
表 述
③对每一个x∈M，p(x)成 立
f x x2 2x 2 x 12 1 1, 即{m|m≥1}.
课时作业22：1.4.1 全称量词~1.4.2 存在量词
§1.4全称量词与存在量词1．4.1全称量词1．4.2存在量词一、选择题1．下列说法正确的个数是()①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题；②命题“∀x∈R，x2＋2<0”是全称命题；③命题“∃x0∈R，x20＋4x0＋4≤0”是特称命题．A．0 B．1 C．2 D．3考点全称命题与特称命题的综合问题题点全称命题与特称命题的辨析答案 C解析只有②③正确．2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x0，使x20≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x0，使1x0>2考点特称命题的真假判断题点特称命题的真假判断答案 B3．已知命题p：∀x∈R,2x2－2x＋1≤0，命题q：∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2，则下列判断正确的是()①“p且q”是真命题；②“p 或q ”是真命题；③q 是假命题；④“非p ”是真命题．A ．①④B ．②③C ．③④D ．②④考点 含有一个量词的命题题点 含有一个量词的命题的真假判断答案 D解析 由题意知p 假q 真．故②④正确．4．已知命题“∃x 0∈R ，x 20＋ax 0－4a <0”是真命题，则实数a 的取值范围为() A ．a <－16或a >0 B ．a ≤－16或a ≥0C ．－16<a <0D ．－16≤a ≤0考点 特称命题题点 由命题的真假求参数范围答案 A解析 由题意知Δ＝a 2＋16a >0，即a <－16或a >0.5．下列命题是真命题的是( )A ．∀x ∈R ，x 3≥xB ．∃x 0∈R ，x 20＋1<2x 0C ．∀xy >0，x －y ≥2xyD ．∃x 0，y 0∈R ，sin(x 0＋y 0)＝sin x 0－sin y 0考点 含有一个量词的命题题点 含有一个量词的命题的真假判断答案 D6．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，cos x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32考点 全称命题的真假判断题点 恒成立求参数的范围答案 B7．下列全称命题中真命题的个数为( )①负数没有对数；②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A．1 B．2 C．3 D．4考点全称命题与特称命题的综合问题题点全称命题与特称命题的真假判断答案 C解析①②③为真命题；当x＝y＝0时，x2＋|y|＝0，④为假命题．8．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤5考点全称命题题点由命题的真假求参数范围答案 C解析当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈[1,2]．又y＝x2在[1,2]上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4⇏a≥5，a≥5⇒a≥4，故选C.二、填空题9．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成特称命题为_____________．考点特称命题题点特称命题的符号书写答案∃x0<0，(1＋x0)(1－9x0)2>010．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5<0是________命题(填“全称”或“特称”)，它是________命题．(填“真”或“假”)考点特称命题题点特称命题的真假判断答案特称假11．命题p ：∃x 0∈[0，π]，使sin ⎝⎛⎭⎫x 0＋π3<a ，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为________． 考点 特称命题题点 由命题的真假求参数范围答案 ⎝⎛⎭⎫－32，＋∞ 解析 由0≤x ≤π，得π3≤x ＋π3≤4π3， 所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1. 而命题p 为真命题，所以a >－32. 三、解答题12．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．(1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x >0；(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2；(3)∃T 0∈R ，|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |；(4)∃x 0∈R ，x 20＋1<0.考点 全称命题与特称命题的综合问题题点 全称命题与特称命题的真假判断解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)中，∵a x >0(a >0，且a ≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)中，当x 1＝0，x 2＝π时，x 1<x 2，但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)中，y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个最小正周期，∴命题(3)是真命题．(4)中，对∀x ∈R ，x 2＋1>0，∴命题(4)是假命题．13．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，求实数a 的取值范围．考点 简单逻辑联结词的综合应用题点 由含量词的复合命题的真假求参数的范围解 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e,4]．14．有下列四个命题：p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫120x <⎝⎛⎭⎫130x ；p 2：∃x 0∈(0,1)，12log x 0>13log x 0；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x >12log x ；p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x <13log x . 其中为真命题的是________．考点 全称命题与特称命题的综合应用题点 全称命题与特称命题的真假判断答案 p 2，p 4解析 因为幂函数y ＝x α(α>0)在(0，＋∞)上是增函数，所以命题p 1是假命题；因为对数函数y ＝log a x (0<a <1)在定义域上是减函数，所以当x ∈(0,1)时，0<log x 12<log x 13，所以0<121log x <131log x ，即12log x >13log x ，所以命题p 2是真命题；因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，所以有0<y <1，当x ∈(0,1]时，y ＝12log x ≥0，当x ∈(1，＋∞)时，y ＝12log x <0，所以命题p 3是假命题；因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在⎝⎛⎭⎫0，13上单调递减，所以有0<y <1，而函数y ＝13log x 在⎝⎛⎭⎫0，13上的函数值y >1，所以命题p 4是真命题． 15．已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，若命题“对于函数f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立”为真命题，求实数x 的取值范围． 考点 全称命题题点 由命题的真假求参数范围解 易知f (t )∈⎣⎡⎦⎤12，3.由题意知，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4＝(x －2)m ＋(x －2)2，则g (m )>0对任意m ∈⎣⎡⎦⎤12，3恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫12>0，g (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12(x －2)＋(x －2)2>0，3(x －2)＋(x －2)2>0，解得x >2或x <－1.故实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).。
人教新课标版(A)高二选修1-1 1.4.1全称量词与存在量词同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 1.4.1 全称量词与存在量词同步练习题【基础演练】题型一：全称量词与存在量词短语“对所有的”，“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示，短语“存在一个”，“至少有一个”，在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示，请根据以上知识解决以下1~4题。
1. 用符号“∀”、 “∃”表达下列命题。
（1）实数都能写成小数形式；（2）凸n 边形的外角和都等于2π；（3）任一个实数乘-1都等于它的相反数；（4）存在实数x ，使得23x x >；（5）对任意角a ，都有1cos sin 22=+a a2. 把下列命题写成含有量词的命题。
（1）余弦定理；（2）正弦定理。
3. 试用不同的全称量词表达命题“四边形x 的内角和为360°”。
4. 试用不同的存在量词表达命题“存在实数x 使得x x =2成立”。
题型二：全称命题与特使命题含有全称量词的命题叫全称命题，可用符号简记为“)(,x P M x ∈∀”，含有存在量词的命题叫特称命题，可用符号简记为“)(,x P M x ∈∃”,请根据以上知识解决以下5~7题。
5.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假。
（1）对数函数都是单调函数；（2）至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；（3）{}是无理数︱x x x ∈∀，2x 是无理数。
（4） {}Z x x x ∈∈∃︱,0log 2>x6. 判断下列语句是不是全称命题或者特称命题，如果是，用量词符号表达出来：（1）中国的所有江河都流入太平洋；（2）0不能作除数（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数。
（4）每一个向量都有方向吗？7. 判断下列命题的真假：（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x,y ）都对应一点P ；（2）存在一个函数，既是偶函又是奇函数；（3）每一条线段的长充考取有用正有理数表示：（4）存在一个实数，使等式082=++x x 成立。
课时作业10：1．4.1 全称量词~1．4.2 存在量词
§1.4全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词一、选择题1.下列命题：①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0，都等于0.其中全称命题的个数是()A.1B.2C.3D.42.下列命题中特称命题的个数是()①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|sin x|≤1.A.0B.1C.2D.33.下列全称命题中真命题的个数为()①负数没有对数；②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A.1B.2C.3D.44.给出以下命题：①∀x∈R，有x4>x2；②∃α∈R，使得sin 3α＝3sin α；③∃a∈R，对∀x∈R，使得x2＋2x＋a<0.其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.35.已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x1满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列命题中为假命题的是()A.∃x0∈R，f(x0)≤f(x1)B.∃x 0∈R ，f (x 0)≥f (x 1)C.∀x ∈R ，f (x )≤f (x 1)D.∀x ∈R ，f (x )≥f (x 1)6.已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋ax 0＋a <0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是( )A.[0,4]B.(0,4)C.(－∞，0)∪(4，＋∞)D.(－∞，0]∪[4，＋∞)7.下面四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为( )A.3B.2C.1D.0二、填空题8.给出下列四个命题：①a ⊥b ⇔a ·b ＝0；②矩形都不是梯形；③∃x ，y ∈R ，x 2＋y 2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________.9.若∀x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是单调减函数，则a 的取值范围是______________.10.若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________. 三、解答题11.已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围.12.若∀x ∈R ，函数f (x )＝mx 2＋x －m －a 的图象和x 轴恒有公共点，求实数a 的取值范围.13.若∃x 0∈R ，使cos 2x 0＋2sin x 0＋a ＝0，求实数a 的取值范围.答案精析1.C2.B3.C4.B5.C [∵x 1是方程2ax ＋b ＝0的解，∴x 1＝－b 2a， 又∵a >0，∴f (x 1)是y ＝f (x )的最小值，∴f (x )≥f (x 1)恒成立.]6.A [∵p 是假命题，∴∀x ∈R ，x 2＋ax ＋a ≥0恒成立，∴Δ＝a 2－4a ≤0，∴0≤a ≤4.]7.D [x 2－3x ＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题.∵当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题.对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题.4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，∴④为假命题.∴①②③④均为假命题.]8.①②④解析 ①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”.9.(－2，－1)∪(1，2)解析 ∵f (x )＝(a 2－1)x 是减函数，∴0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，∴a ∈(－2，－1)∪(1，2).10.1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意知，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1.11.解 由“p 且q ”是真命题，知p 为真命题，q 也为真命题.若p 为真命题，则a ≤x 2对于x ∈[1,2]恒成立，所以a ≤1.若q 为真命题，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，所以Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2.综上，实数a 的取值范围为a ≤－2或a ＝1.12.解 (1)当m ＝0时，f (x )＝x －a 与x 轴恒有公共点，所以a ∈R .(2)当m ≠0时，二次函数f (x )＝mx 2＋x －m －a 的图象和x 轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m (m ＋a )≥0恒成立，即4m 2＋4am ＋1≥0恒成立.又4m 2＋4am ＋1≥0是一个关于m 的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ′＝(4a )2－16≤0，解得－1≤a ≤1.综上所述，当m ＝0时，a ∈R ；当m ≠0时，a ∈[－1,1].13.解 依题意，若∃x 0∈R ，使cos 2x 0＋2sin x 0＋a ＝0，则得a ＝－cos 2x 0－2sin x 0＝2sin 2x 0－2sin x 0－1＝2(sin x 0－12)2－32， 令t ＝sin x 0，则a ＝2(t －12)2－32，－1≤t ≤1. 由于函数a (t )在－1≤t ≤12上单调递减， 在12＜t ≤1上单调递增， 所以当t ＝12时，取最小值a ＝－32； 当t ＝－1时，取最大值a ＝3.所以－32≤a ≤3. 故当－32≤a ≤3时满足条件， 所以a 的取值范围是[－32，3].。
1.4.1全称量词与存在量词
特称命题
新知导学 存在一个 ”、“____________ 至少有一个 ”在逻辑中通 4．短语“__________ 常叫做存在量词，并用符号“______ ∃ ”表示，含有存在量词的
命题，叫做__________ 特称命题 ．
5 ．特称命题的表述形式：存在 M 中的一个 x 0 ，使 p ( x 0 ) 成 ∃x0∈M，p(x0) ． 立，可简记为，________________
[方法规律总结 ] 首先依据语句中所含量词或语句的含义
确定是全称命题还是特称命题，再运用相应量词符号表示．
将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示． (1)整数中1最小； (2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<1)至少存在一个负根；
(3)对于某些实数x，有2x＋1>0；
(4)若l⊥α，则直线l垂直于平面α内任一直线．
பைடு நூலகம்
[解析] (1)∀x∈Z，x≥1. (2)∃x0<0，ax2 0＋2x0＋1＝0(a<1)． (3)∃x0∈R,2x0＋1>0. (4)若 l⊥α，则∀a⊂α，l⊥α.
利用全称命题与特称命题求参数的取值范围
若全称命题“对任意 x∈[－1，＋∞)，x2－2ax ＋2≥a 恒成立”是真命题，求实数 a 的取值范围．
1.判断一个语句是全称命题还是特称命
(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全 称命题或特称命题． (2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的
命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．
2．当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质． 3．一个全称(或特称)命题往往有多种不同的表述方法，有 时可能会省略全称(存在)量词，应结合具体问题多加体会．
课时作业10：1.4.1—2 全称量词与存在量词
1.4.1—2 全称量词与存在量词A组1.已知命题p:∀x∈R,cos x≤1,则()A.p:∃x∈R,cos x≥1B.p:∀x∈R,cos x≥1C.p:∃x∈R,cos x>1D.p:∀x∈R,cos x>12.下列命题中的假命题是()A.∃x∈R,lg x=0B.∃x∈R,tan x=1C.∀x∈R,x3>0D.∀x∈R,2x>03.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是()A.存在一个α,使tan(90°-α)=tan αB.存在实数x0,使sin x0=C.对一切α,sin(180°-α)=sin αD.sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β4.下列说法中,正确的个数是()①存在一个实数x,使-2x2+x-4=0;②所有的质数都是奇数;③在同一平面中斜率相等且不重合的两条直线都平行;④至少存在一个正整数,能被5和7整除.A.1B.2C.3D.45.已知命题p:∀x∈R,x2+2x-a>0.若p为真命题,则实数a的取值范围是()A.a>-1B.a<-1C.a≥-1D.a≤-16.命题p:存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根,则“p”形式的命题是.7.给出下列四个命题:①a⊥b⇔a·b=0;②矩形不是梯形;③∃x,y∈R,x2+y2≤1;④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于-1.其中全称命题是.8.已知命题p:“∀x∈,sin x+cos x>m”为真命题,则m的取值范围是.9.判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:(1)三角形的内角和为180°;(2)每个二次函数的图象都开口向下;(3)存在一个四边形不是平行四边形.10.已知命题p:∃x0∈R,使a+2x0+a<0,若命题 p是假命题,求实数a的取值范围.B组1.若函数f(x)=x2+(a∈R),则下列结论正确的是()A.∀a∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函数B.∀a∈R, f(x)在(0,+∞)上是减函数C.∃a∈R,f(x)是偶函数D.∃a∈R,f(x)是奇函数2.已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是()A.∃x∈R,f(x)≤f(x0)B.∃x∈R,f(x)≥f(x0)C.∀x∈R,f(x)≤f(x0)D.∀x∈R,f(x)≥f(x0)3.若命题r(x):sin x+cos x>m,s(x):x2+mx+1>0,如果对∀x∈R,r(x)为假命题且s(x)为真命题,则实数m的取值范围是.4.写出下列命题的否定,并判断真假.(1)p:∀x∈R,x2-x+≥0;(2)q:∃x0∈R,+2x0+2≤0.5.若命题“对任意实数x,2x>m(x2+1)”是真命题,求实数m的取值范围.6.已知命题p:∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0成立,命题q:∃x0∈R,a-2ax0-3>0不成立,若p假q真,求实数a的取值范围.答案A组1. 【答案】C2. 【解析】对于C,当x=-1时,x3=-1<0,故C为假命题.【答案】C3.【解析】只有A,B两个选项中的命题是特称命题.因为|sin x|≤1,所以sin x0=不成立,故B中命题为假命题,又因为当α=45°时,tan(90°-α)=tan α,故A中命题为真命题.【答案】A4. 【解析】①方程-2x2+x-4=0无解,故①不正确;②2是质数,但不是奇数,故②不正确;③正确;④35能被5和7整除.故④正确.【答案】B5. 【解析】依题意不等式x2+2x-a>0对x∈R恒成立,所以必有Δ=4+4a<0,解得a<-1.【答案】B6. 【答案】对任意实数m,方程x2+mx+1=0没有实数根7. 【答案】①②④8. 【解析】设f(x)=sin x+cos x,x∈,则由已知得m<f(x)min.∵f(x)=sin x+cos x,∴f(x)=sin .又∵0≤x≤,∴≤x+,∴≤sin≤1,∴f(x)min=1.∴m的取值范围是m<1.【答案】(-∞,1)9. 【解析】(1)是全称命题且为真命题.命题的否定:三角形的内角和不全为180°,即存在一个三角形其内角和不等于180°.(2)是全称命题且为假命题.命题的否定:存在一个二次函数的图象开口不向下.(3)是特称命题且为真命题.命题的否定:所有的四边形都是平行四边形.【答案】由于p是假命题,则p是真命题.即不等式ax2+2x+a<0有实数解,(1)当a=0时,不等式为2x<0,符合题意;(2)当a<0时,抛物线y=ax2+2x+a开口向下,符合题意;(3)当a>0时,应满足Δ=4-4a2>0.所以0<a<1.综上可知,实数a的取值范围是a<1.B组1. 【解析】对于f(x)=x2+,当a=0时,f(x)=x2是偶函数,所以C项正确.【答案】C2. 【解析】当a>0时,函数f(x)=ax2+bx+c的图象为开口向上的抛物线,若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则x0=-为抛物线顶点的横坐标,f(x)min=f(x0),故对于∀x∈R,f(x)≥f(x0)成立,从而选项A,B,D为真命题,选项C为假命题.【答案】C3.【解析】因为sin x+cos x=sin ∈[-1,1],所以如果对∀x∈R,r(x)为假命题,即对∀x∈R,不等式sin x+cos x>m不恒成立,则m≥-1;又对∀x∈R,s(x)为真命题,即对∀x∈R,不等式x2+mx+1>0恒成立,所以Δ=m2-4<0,即-2<m<2; 故对于∀x∈R,r(x)为假命题且s(x)为真命题,应有≤m<2.【答案】-1≤m<24. 【答案】(1)命题的否定为:∃x0∈R,-x0+<0,是一个假命题.(2)命题的否定是:∀x∈R,x2+2x+2>0,是一个真命题.5. 【解析】由题意知,不等式2x>m(x2+1)恒成立,即不等式mx2-2x+m<0恒成立.(1)当m=0时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立,不合题意.(2)当m≠0时,要使不等式mx2-2x+m<0恒成立,则解得m<-1.综上可知,所求实数m的取值范围是(-∞,-1).【答案】因为命题p:∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0是假命题,所以命题p:∃x0∈R,+(a-1)x0+1<0是真命题,则Δ=(a-1)2-4>0,即(a-1)2>4,故a-1<-2或a-1>2,即a<-1或a>3.因为命题q:∃x0∈R,a-2ax0-3>0不成立,所以命题q:∀x∈R,ax2-2ax-3≤0成立,当a=0时,-3<0成立;当a<0时,必须Δ=(-2a)2+12a≤0,即a2+3a≤0,解得-3≤a<0,故-3≤a≤0.综上所述,-3≤a<-1.所以实数a的取值范围是[-3,-1)。
(经典)1.4.1全称量词与存在量词
全称命题：其公式为“所有S是P”。 全称命题，可以用全称量词，也可以用
“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来 表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如 “人类是有智慧的。”
特称命题 :其公式为“有的S是P”。 特称命题使用存在量词，如“有些”、
特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立.
简记为:x M ,p(x) 读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”。
例1 判断下列命题的真假： （1）所有的的素数都是奇数； （2） x∈R，x2+1≥1； （3）对每一个无理数x，x2也是无理数。 （4）有一个实数x，使x2+2x+3=0; （5）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （6）有些整数只有两个正因数.
小结： 一些常用词语的否定：
原词语 等于 大于(>) 小于(<) 是
都是
否定词语 不等于 不大于 不小于
（ ） （≥）
否
不都是
原词语 否定词语
任意的
某个
任意两个
某两个
所有的
某些
至多有一 至少有一
个
个
至少有 一个也
两个
没有
注意：“≥”的意义是“＞或＝”．
如：判断命题4≥3的真假
“或”,“且”, “非”称为逻辑联结词.含有 逻辑联结词的命题称为复合命题,不含逻辑联 结词的命题称为简单命题.
①所有的x∈A，p(x)成立 ②至少有一个x∈A，使
表 ②对一切x∈A,p(x)成立 p(x)成立
述 ③对每一个x∈A,p(x)成
方立
法
④任选一个x∈A,p(x)成 立
(经典)1.4.1全称量词与存在量词
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
注:
全真为真,有假即假.
“且”的理解：相似于集合中“交集”的概念，两个
件必须同时满足；
概念：
一般的，用连接词“或”把命题p和命题q联结起来， 就得到一个新命题，记作：p∨q，读作“p或q”.
命题p∨q真假性的判断：
（1）当p、q都是真命题时, p∨q是真命题； （2）当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，
例2 指出下述推理过程的逻辑上的错误: 第一步：设a=b，则有a2=ab 第二步：等式两边都减去b2，
得a2-b2=ab-b2
第三步：因式分解得 (a+b)(a-b)=b(a-b) 第四步：等式两边都除以a-b得，a+b=b
第五步：由a=b代人得，2b=b 第六步：两边都除以b得，2=1
回顾反思
例 已知p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的 负根；q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根， 若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围.
补充练习：
1.已知p:若x2+y2=0,则x,y全为0，则┑p 为
2.已知U=R，A U,BU,命题
p：a∈AUB，则┑p为( )
A.aA
C.a A∩B
p∨q是真命题. （3）当p、q都是假命题时, p∨q是假命题；
p
q
p∨q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
一真必真
注: “或”的理解：相似于集合中“并集”的概念，两个
件至少有一个满足时为真；
课时作业3：1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词
1.4.1～1.4.2 全称量词与存在量词一、选择题1．下列命题中全称命题的个数为( )①平行四边形的对角线互相平分 ②梯形有两边平行 ③存在一个菱形，它的四条边不相等A ．0B ．1C ．2D ．32．下列特称命题中真命题的个数是( )①∃x ∈R ，x ≤0 ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数 ③∃x ∈{x |x 是整数}，x 2是整数A ．0B ．1C ．2D ．33．下列4个命题p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫13xp 2：∃x ∈(0,1)，log 12x >log 13x p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x >log 12x p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x <log 13x 其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 44．下列语句是特称命题的是( )A ．整数n 是2和5的倍数B ．存在整数n ，使n 能被11整除C ．若3x －7＝0，则x ＝73D ．∀x ∈M ，p (x )5．下列命题中，是真命题且是全称命题的是( )A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0B ．菱形的两条对角线相等C ．∃x ，x 2＝xD ．对数函数在定义域上是单调函数6．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立．．．．的是( ) A ．a ＋b >2abB ．(a －b )＋1a －b≥2C ．a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋caD ．|a －b |≤|a －c |＋|c －b |7．已知命题“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，那么下列说法： ①M 的元素都不是P 的元素；②M 中有不属于P 的元素；③M 中有P 的元素；④M 中元素不都是P 的元素．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值是( )A ．1B ．－1C ．0D ．29．命题“末位是0的整数，可以被5整除”________全称命题．(填“是”或“不是”)10．命题“存在实数x ，y ，使得x ＋y >1”，用符号表示为________； (用符号表示)．11．下列命题中真命题为________，假命题为________．①末位是0的整数，可以被2整除 ②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ③正四面体中两侧面的夹角相等 ④有的实数是无限不循环小数 ⑤有些三角形不是等腰三角形 ⑥所有的菱形都是正方形12．若方程log 2(ax 2－2x ＋2)＝2在⎣⎡⎦⎤12，2内有解，求实数a 的取值范围．答案1．[答案] C[解析] ①②是全称命题，③是特称命题．2．[答案] D[解析] ①②③都是真命题．3．[答案] D[解析] 考查指数函数、对数函数图像和性质．选D.4．[答案] B5．[答案] D[解析] A 中含有全称量词“任意的”，因为a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0；故是假命题．B 、D 在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B 是假命题，C 是特称命题，故选D.6．[答案] B[解析] 本题考查有关均值不等式成立的条件问题，对于B 项当a －b <0时有－(a －b )＋1－(a －b )≥2，所以(a －b )＋1a －b≤－2. 7．[答案] B[解析] 结合韦恩图可知②④正确．8．[答案] A[解析] (2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4，所以(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3)(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3)＝(2＋3)4(－2＋3)4＝(－1)4＝1.这是一个恒成立问题，属于全称命题，即当x ∈R 时，恒有原式成立，所以不妨采用赋值法解之．9． [答案] 是[解析] 所有末位为0的整数都可以被5整除．10． [答案] ∃x ，y ∈R ，x ＋y >1；[解析] 注意练习符号∃、∀、綈、∧、∨等，11．[答案] ①②③④⑤ ⑥12．[解析] 方程log 2(ax 2－2x ＋2)＝2在⎣⎡⎦⎤12，2内有解．即方程ax 2－2x ＋2＝4在⎣⎡⎦⎤12，2内有解．即ax 2－2x －2＝0在⎣⎡⎦⎤12，2内有解．方程ax 2－2x －2＝0可化为a ＝2x ＋2x 2＝2x 2＋2x＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋122－12 令t ＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋122－12，当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，t ∈⎣⎡⎦⎤32，12. ∴要使原方程在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2内有解，a ∈⎣⎡⎦⎤32，12.。
课时作业23：1.4.1 全称量词~1.4.2 存在量词
1.4.1 全称量词~1.4.2 存在量词一、选择题1．下列命题：①至少有一个x 0，使x 20＋2x 0＋1＝0成立；②对任意的x ，都有x 2＋2x ＋1＝0成立；③对任意的x ，都有x 2＋2x ＋1＝0不成立；④存在x 0使x 20＋2x 0＋1＝0成立．其中，全称命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．02．下列命题不是“∃x ∈R ，x 2＞3”的表述方法的是( )A ．有一个x ∈R ，使x 2＞3B ．对有些x ∈R ，使x 2＞3C ．任选一个x ∈R ，使x 2＞3D ．至少有一个x ∈R ，使x 2＞33．命题“某些平行四边形是矩形”的否定是( )A ．某些平行四边形不是矩形B ．所有平行四边形都是矩形C ．每一个平行四边形都不是矩形D ．以上都不对4．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)5．已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，2x 0＜3x 0，命题q ：∀x ∈(0，π2)，cos x ＜1，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(¬q )C ．(¬p )∧qD ．p ∧(¬q )二、填空题6．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定是________．7．已知命题：“∃x 0∈[1,2]，使x 20＋2x 0＋a ≥0”为真命题，则实数a 的取值范围是______．8．下列4个命题：p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，(12)x 0＜(13)x 0； p 2：∃x 0∈(0,1)，log 12x 0＞log 13x 0；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，(12)x ＞log 12x ； p 4：∀x ∈(0，13)，(12)x ＜log 13x . 其中的真命题是________．三、解答题9．写出下列命题的否定(1)p ：一切分数都是有理数；(2)q ：有些三角形是锐角三角形；(3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝x 0＋2；(4)s ：∀x ∈R ,2x ＋4≥0.10．判断下列命题的真假：(1)若a ＞0且a ≠1，则∃x 0∈R ，ax 0＞0；(2)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>12； (3)∃x 0，y 0∈N ，使2x 0＋y 0＝3.11．关于x 的函数y ＝x 2－(a ＋1)x ＋2a 对于任意a ∈[－1,1]的值都有y ＞0，求实数x 的取值范围．参考答案一、选择题1．【答案】B【解析】 ②③含有全称量词，是全称命题．2．【答案】 C【解析】 选项C 中“任选一个”是全称量词，没有“∃”的含义．3．【答案】 C【解析】 特称命题的否定先把存在量词变成全称量词，再否定结论．4．【答案】 C【解析】 f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a (a >0)，∵2ax 0＋b ＝0，∴x 0＝－b 2a . 当x ＝x 0时，函数f (x )取得最小值，∴∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)．从而A ，B ，D 为真命题，C 为假命题．5．【答案】 C【解析】 当x 0＜0时，2x 0＞3x 0，∴不存在x 0∈(－∞，0)使得2x 0＜3x 0成立，即p 为假命题，显然∀x ∈(0，π2)，恒有cos x ＜1，∴命题q 为真，∴(¬p )∧q 是真命题．二、填空题6．【答案】 过平面外一点与已知平面平行的直线中，有些直线是不在同一平面内的7．【答案】 [－8，＋∞)【解析】 当x ∈[1,2]时，x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1是增函数，所 以3≤x 2＋2x ≤8，由题意有a ＋8≥0，∴a ≥－8.8．【答案】 p 2、p 4【解析】 当x ∈(0，＋∞)时，(12)x ＞(13)x ，故p 1错误；取x 0＝12，则log 12x 0＝1，log 13x 0＝log 32＜1，故p 2正确；取x 0＝18，则0＜(12)x 0＜1，log 12x 0＝log 1218＝3，即(12)x 0＜log 12x 0，故p 3错误；当x ∈(0，13)时，(12)x ＜1，而log 13x ＞1，所以(12)x ＜log 13x ，故p 4正确． 三、解答题9．解：(1)¬p ：有些分数不是有理数；(2)¬q ：所有的三角形都不是锐角三角形；(3)¬r ：∀x ∈R ，x 2＋x ≠x ＋2；(4)¬s ：∃x 0∈R ,2x 0＋4＜0.10．解：(1)∵a >0，∴当x ＝1时，a x ＝a >0，成立，∴(1)为真命题．(2)∵x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34>12， ∴x 2－x ＋1>12恒成立，(2)是真命题． (3)当x 0＝0，y 0＝3时，2x 0＋y 0＝3满足题意，∴(3)是真命题．11．解：设f (a )＝x 2－(a ＋1)x ＋2a ，则有f (a )＝(2－x )a ＋x 2－x ，a ∈[－1,1]，∵a ∈[－1,1]时，y ＝f (a )＞0恒成立，则(1)当x ＝2时，f (a )＝2＞0显然成立；(2)当x ≠2时，由f (a )＞0在a ∈[－1,1]上恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＞0，f (1)＞0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2＞0，x 2－2x ＋2＞0，解之得x ＞2或x ＜－ 2. 综上可得：x ＞2或x ＜－ 2.。
1.4.1(2)全称量词与存在量词
x N , x 1;
4
假命题
存在量词
思考:下列语句是命题吗? (1)与 (3), (2)与 (4)之间有什么 关系? (1)2x+1=3; (2)x能被2和3整除; (3)存在一个x0∈R, 使2x0+1=3; (4)至少有一个x0∈Z, x0能被2和3整除.
短语“存在一个”“至少有一个” 在逻辑 中通常叫做存在量词．用符号“ ”表示. 含有存在量词的命题，叫做特称命题.
(1) x R, x x
2
(2) x R, x x
2
(3) x Q, x 8 0
2
(4)
x R, x 2 0
2
回顾反思
• 要判断一个存在性命题为真，只要在给定的 集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要 判断一个存在性命题为假，必须对在给定集 合的每一个元素x，使命题p(x)为假.
• 要判断一个全称命题为真，必须对在给定集 合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判 断一个全称命题为假时，只要在给定的集合 中找到一个元素x，使命题p(x)为假.
1.判断下列全称命题的真假： ①末位是o的整数，可以被5整除； ②线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等； ③负数的平方是正数； ④梯形的对角线相等. 2.判断下列特称命题的真假： ①有些实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有些菱形是正方形.
2
2）x R, x 1 1;
2
3）对每一个无理数x，x 也是无理数.假命题
• 要判断一个全称命题为真，必须对在给定集 合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判 断一个全称命题为假时，只要在给定的集合 中找到一个元素x，使命题p(x)为假.
上课1.4全称量词与存在量词(第一二课时)-1
典例讲评
例1
写出下列全称命题的否定：
（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数
﹁
p：存在一个能被3整除的整数不
是奇数;
典例讲评
例1
写出下列全称命题的否定：
（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆
﹁
p：存在一个四边形，其四个顶点下列全称命题的否定：
2的个位数字不等于3. （3 ）p ： x∈Z， x
探究（二）：特称命题的否定
思考1：你能写出下列命题的否定吗？ （1）本节课里有一个人在打瞌睡； （2）有些实数的绝对值是正数； （3）某些平行四边形是菱形； （4） x0∈R，x02＋1＜0; （1）本节课里所有的人都没有瞌睡； （2）所有实数的绝对值都不是正数； （3）每一个平行四边形都不是菱形； （4） x∈R，x2＋1≥0.
特称命题符号记法：
通常，将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表示， 变量x的取值范围用M表示，那么，
特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ”可用符号简记为：
x0 M，p( x0 ),
读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”。
练习：用符号表示下列命题，并判断真假 1）有的平行四边形是菱形； 2）有一个素数不是奇数。 3) 有一个实数x0，使x02+2x0+3=0；
思考2：从全称命题与特称命题的类型分 析，上述命题与它们的否定在形式上有 什么变化？ 特称命题的否定都变成了全称命题. 思考3：一般地，对于含有一个量词的特 称命题p： x0∈M，p(x0)，它的否定﹁p 是什么形式的命题 ？ p： x0∈M，p(x0) （特称命题） ﹁ p： x∈M，﹁p(x) （全称命题）
全称命题 含有全称量 词的命题 含有存在量 特称命题 词的命题
1.4.1 1.4.2全称量词与存在量词
1.4.1 1.4.2全称量词与存在量词班级 姓名 学习时间：一、学习目标1、通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．2、了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．3、了解含有一个量词命题的否定及其写法.二、主线问题问题1; 下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？（1）2x ＋１是整数；(2) x ＞３；(3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行；（5）2013年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A 版的教科书；（6）所有有中国国籍的人都是黄种人；（7）对所有的x ∈Ｒ, x ＞３；（8）对任意一个x ∈Ｚ，2x ＋１是整数.问题2 ：命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）之间有什么关系?命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）有些不同，它们用到 “ ”“ ” 这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做 ，用符号“∀”表示 全称量词 ： 日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，表示个体域里的所有个体。
全称命题： 含有全称量词的命题，叫做 。
通常将含有变量x 的语句用p （x ），q （x ），r （x ），……表示，变量x 的取值范围用M 表示.全称命题“对M 中任意一个x ，都有p （x ）成立”可用符号简记为 ，读做“对任意x 属于M ，有p （x ）成立”.问题3 ： 刚才在判断命题（5）－（8）的真假的时候，我们还得出这样一些命题：（5），存在个别高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A 版的教科书；（6），存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．（7），存在一个（个别、某些）实数x （如x ＝2），使x ≤３．（至少有一个x ∈Ｒ, x ≤３）（8），不存在某个x ∈Ｚ使2x ＋１不是整数．这些命题用到了“ ”“ ”这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分的词叫做 .并用符号“∃”表示.存在量词：日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“有一些”“至少有一个”，“至多有一个”等词统称为存在量词，表示个体域里有的个体。
1.4.1 全称量词与存在量词达标过关训练
1.4.1 全称量词与存在量词一、选择题1.下列命题中是全称命题的是()A.圆有内接四边形B.∃x，使x2－4＝0C.有一个数列，既是等差数列，又是等比数列D.存在一个函数，既是偶函数，又是奇函数答案：A2.(2019·莆田一中月考)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A.∀x∈R，f(－x)≠f(x)B.∀x∈R，f(－x)≠－f(x)C.∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)D.∃x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)答案：C3.(2019·成都石室期末)“∀x∈R，x2－bx＋1>0成立”是“b∈[0,1]”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：“∀x∈R，x2－bx＋1>0”是真命题，则b2－4<0，∴－2<b<2，由b∈[0,1]⇒b∈(－2,2)，反之不成立.∴“∀x∈R，x2－bx＋1>0成立”是“b∈[0,1]”的必要不充分条件，故选B.答案：B4.(2019·云南曲靖月考)有四个关于三角函数的命题：p1：∃x∈R，sin2x2＋cos 2x2＝12；p2：∃x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y；p 3：∀x ∈[0，π]， 1－cos 2x 2＝sin x ； p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2.其中的假命题是( )A.p 1，p 4B.p 2，p 4C.p 1，p 3D.p 2，p 3解析：对任意x ∈R ，均有sin 2x 2＋cos 2x 2＝1而不是12，故p 1为假命题.当x ，y ，x －y 有一个为2k π(k ∈Z )时，sin x －sin y ＝sin(x －y )成立，故p 2是真命题.∵cos 2x ＝1－2sin 2x ，∴1－cos 2x 2＝1－1＋2sin 2x 2＝sin 2x . 又x ∈[0，π]时，sin x ≥0，∴对任意x ∈[0，π]，均有1－cos 2x 2＝sin x ，因此p 3是真命题.当sin x ＝cos y ，即sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－y 时，x ＝2k π＋π2－y 或x ＝2k π＋π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－y (k ∈Z )，即x ＋y ＝2k π＋π2或x ＝2k π＋π2＋y (k ∈Z )，故p 4为假命题.综上分析知，p 1，p 4是假命题.答案：A5.(2019·内蒙古北重三中调研)已知函数f (x )＝e |x －1|，则下列说法错误的是( )A.∃x 0∈R ，f (1＋x 0)≠f (1－x 0)B.∀x ∈R ，f (x )≥1C.函数f (x ＋1)是偶函数D.∀x ∈R ，f (x )≥x解析：f (x )＝e |x －1|的图象关于x ＝1对称，A 错，故选A.答案：A二、填空题6.下列四个命题：①∀n ∈R ，n 2≥n ；②∀n ∈R ，n 2<n ；③∀n ∈R ，∃m ∈R ，m 2<n ；④∃n ∈R ，∀m ∈R ，m ·n ＝m .其中真命题的序号是 .解析：①②是假命题，③中的n <0时，m 不存在，④中存在n ＝1时，∀m ∈R ，m ·n ＝m .答案：④7.(2019·福建永泰二中期末)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋a ≤0是真命题，则实数a 的取值范围是 .解析：命题p 为真命题，则Δ＝4－4a ≥0，所以a ≤1，则实数a 的取值范围是(－∞，1].答案：(－∞，1]8.(2019·江阳期中)已知命题p ：“∀x ∈R ，log 2(x 2＋x ＋a )>0恒成立”，命题q ：“∃x 0∈[－2,2]，使得2a ≤2x 0”，若命题p ∧q 为真命题，则实数a 的取值范围为 .解析：若命题p 为真命题，则x 2＋x ＋a >1恒成立，即Δ＝1－4(a －1)<0，∴a >45.若q 为真命题，则∃x 0∈[－2,2]，使得a ≤x 0，∴a ≤2，若p ∧q 为真命题，∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤45，2. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤45，2 三、解答题9.判断下列命题是不是全称命题或特称命题，若是，试将其改写成含有符号“∀”或“∃”的形式，并判断其真假.(1)有一个实数x 0，使得函数f (x 0)＝x 0＋4x 0的值为2； (2)所有实数α都满足sin 2α＋cos 2α＝1.解：(1)是特称命题，可改写成：∃x 0∈R ，对于函数f (x )＝x ＋4x ，有f (x 0)＝2，该命题是假命题，因为f (x )的值域是(－∞，－4]∪[4，＋∞).(2)是全称命题，可改写成：∀α∈R ，有sin 2α＋cos 2α＝1，该命题是真命题.10.命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围.解：设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.又∵函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，∴3－2a >1，∴a <1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假.(1)若p 真q 假，则⎩⎨⎧ －2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2；(2)若p 假q 真，则⎩⎨⎧ a ≤－2或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[1,2).。
1.4.1_全称量词与存在量词
短语”存在一个””至少有一个”在
逻辑上通常叫做存在量词,并用符号” ”
表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题.
常见的存在量词还有”有些””有 一个””有的””对某个”等.
例如,命题: 有的平行四边形是菱形; 有一个素数不是奇数; 有的向量方向不定; 存在一个函数,既是偶函数又是奇函数; 有一些实数不能取对数.
全称量词与存在量词
全称量词
思考?
下列语句是命题吗?(1)与(3)之间,(2)(4)之间有 什么关系?
(1) x f 3 ;(2)2 Nhomakorabea+1是整数;
(3)对所有的 x R, x f 3;
(4)对任意一个 x Z, 2x+1是整数.
短语”对所有的””对任意一 个”在逻辑中通常叫做全称量词,
并用符号 “ ”表示.含有全称
量词的命题,叫做全称命题,.
常见的全称量词还有:
“对所有的”,”对任意一个”,”对一 切”,”对每一个”,”任给”,”所有的” 等.
通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。
符号
全称命题”对M中任意一个x有 p(x)成立”可用符号简记为
x M , p(x)
读作”对任意x属于M,有p(x)成 立”.
例1判断下列全称命题的真假:
(1)所有的素数是奇数;
x (2) x R, 2 1 1;
(3)对每一个无理数x, x2 也是无理数.
存在量词
思考?
下列语句是命题吗?(1)与(3),,(2)与(4)之 间有什么关系?
(1)2x+1=3; (2)X能被2和3整除; (3)存在一个x∈ R,使2x+1=3; (4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.
1.4.1全称量词与存在量词
§1.4全称量词与存在量词一、选择题1.下列命题中是全称命题的是（ ） A.圆有内切四边形B.>C.<D.若三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形为直角三角形 2.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是（ ） A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少一个实数x ，使20x ≤ C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x ，使12x >3.设A 、B 为两个集合，下列四个命题： ①A B x A ⊄⇔∀∈，有x B ∈ ②A B A B ⊄⇔=∅ ③A B B A ⊄⇔⊄④A B x A ⊄⇔∃∈，使得x B ∉其中真命题的是（ ） A. ①③B. ①④C. ②③D. ①②③4.命题“∃数列{}n a 、{}n b 既是等差数列又是等比数列”（ ） A.是特称命题并且是真命题 B.是全称命题并且是假命题 C.是特称命题并且是假命题D.是全称命题并且是真命题5.下列命题中是假命题的是（ ）A.x R ∀∈, 120x ->B.*x N ∀∈，2(1)0x -> C.x R ∃∈，210x +≥D.x R ∀∈，tan 2x =二、填空题6.令2():210p x ax x ++>，若“x R ∀∈，()p x ”是真命题，则实数a 的取值范围是 。
7.给出以下命题：①x R ∀∈，有42x x > ②R α∃∈，使得s i n 33s i n αα= ③a R ∃∈，x R ∀∈，使得220x x a ++< ④0x ∀<，都有x x > ⑤已知}{2A aa n ==，}{3B b b n ==，*n N ∀∈，都有A B =∅ ，其中假命题的序号为 。
三、解答题8.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用量词符号“∀”“ ∃”表达，再判断真假。
（1）对数函数都是单调函数（2）至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除 （3）若一个数是无理数，则这个数的平方也是无理数 （4）存在一个整数x ，使得log 20x >9.（1）试用不同的表述写出全称命题“矩形都是平行四边形” （两种以上） （2）设2():q x x x =，试用不同的表述写出特称命题“x R ∃∈，()q x ”（两种以上）10.若():sin cos r x x x m +>，2():10s x x m x ++>，如果x R ∀∈，()r x 为假命题且()s x 为真命题，求实数m 的取值范围。
1.4.1全称量词、存在量词
工具
第一章 常用逻辑用语
栏目导引
判断下列命题的真假： (1)∀x∈R，x2＋2x＋1>0； (2)∃x0∈R，|x0|≤0； (3)∀x∈N*，log2x>0； π (4)∃x0∈R，sin x0＝2.
工具
第一章 常用逻辑用语
栏目导引
小结：
1、全称量词、全称命题的定义。 2、全称命题的符号记法。 3、判断全称命题真假性的方法。 4、存在量词、特称命题的定义。 5、特称命题的符号记法。 6、判断特称命题真假性的方法。
工具
第一章 常用逻辑用语
栏目导引
1．全称量词和全称命题 全称量词 所有的 、 任意一个、 一切 任给 . 、
(2)为特称命题．
(3)不是命题．
(4)为全称命题． (5)为特称命题．
工具
第一章 常用逻辑用语
栏目导引
将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示，并判断 真假． (1)实数的平方是非负数； (2)整数中1最小； (3)方程ax2＋2x＋1＝0(a<1)至少存在一个负根； (4)对于某些实数x，有2x＋1>0；
栏目导引
1.判断下列语句是全称命题还是特称命题： (1)没有一个实数α，tan α无意义． (2)存在一条直线其斜率不存在． (3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径吗？ (4)圆外切四边形，其对角互补．
(5)有的指数函数不是单调函数．
工具
第一章 常用逻辑用语
栏目导引
解析： (1)为全称命题．
x M，p( x),
读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。
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一、选择题
1．下列全称命题中真命题的个数是（ ）
①末位是0的整数，可以被2整除；
②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
③正四面体中两侧面的夹角相等；
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．下列存在性命题中假命题的个数是（ ）
①有的实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有的菱形是正方形；
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．下列命题为存在性命题的是（ ）
A ．偶函数的图象关于y 轴对称
B ．正四棱柱都是平行六面体
C ．不相交的两条直线是平行直线
D ．有很多实数不小于3
4． 下列命题中为全称命题的是（ ）
A.圆内接三角形中有等腰三角形
B.存在一个实数与它的相反数的和不为0
C.矩形都有外接圆
D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行
5．下列命题中，真命题的是（ ）
A.一元二次方程都有两个实数根
B.一切实数都有算术根
C.有些直线没有倾斜角
D.存在体积相等的球和正方体
6． 命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为（ ）
A. 所有自然数的平方都不是正数
B. 有的自然数的平方是正数
C. 至少有一个自然数的平方是正数
D. 至少有一个自然数的平方不是正数
7． 命题“存在一个三角形，内角和不等于1800”的否定为（ ）
A ．存在一个三角形，内角和等于1800
B ．所有三角形，内角和都等于1800
C ．所有三角形，内角和都不等于1800
D ．很多三角形，内角和不等于1800
8． “22
0a b +≠”的含义是（ ）
A ．,a b 不全为0
B ． ,a b 全不为0
C ．,a b 至少有一个为0
D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0
9. 命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是（ ）
A ．存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根；
B ．不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根；
C ．对任意的实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根；
D ．至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根；
10. “至多四个”的否定为 （ ）
A ．至少有四个
B ．至少有五个
C ．有四个
D ．有五个
二、填空题
11．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是___________________ ；
12．命题“∀x ∈R ，x 2－x+3>0”的否定是______________；
13．将“勾股定理”改写为含有量词的形式是；
14．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是；否命题是；
三、解答题
15．用符号“∀”与“∃”表示含有量词的命题
（1）实数的平方大于等于0
（2）存在一对实数，使2x＋3y＋3>0成立
16．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出全称量词和存在量词
（1）有的集合没有真子集；
（2）三角形中两边之和大于第三边；新课标第一网
17．写出下列命题的否定：
（1）存在实数x是方程5x-12＝0的根；
（2）对于任意实数x，存在实数y，使x＋y>0；
18. 用全称量词和存在量词符号“∀”、“∃”翻译下列命题，并写出它们的否定：
（1）若2x>4，则x>2；
（2）若m≥0，则x2＋x－m＝0有实数根；
19. 已知a、b为实数，若x2+a x+b≤0 有非空解集，则a2－4b≥0。
用全称量词和存在量词符号“∀”、“∃”写出该命题的原命题、逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假。