第6讲工程问题

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小学六年级数学讲义：工程问题

工程问题知识点1：工程问题：由两个或两个以上单位(或人)，共同去完成一件工作或一项工程，计算需要完成任务的时间，这一类应用题叫做“工程问题”。

题目中没有给出具体的总工程量，通常用单位“1”表示(即整体思想)，并用“1÷工作时间”推算工作效率，用一个分数单位1n⎛⎫⎪⎝⎭表示。

基本数量关系与一般工作问题完全相同，即总工程量÷工作效率＝工作时间；总工程量÷工作时间＝工作效率知识点2：工程问题中的“牛吃草”问题工程问题中的“牛吃草”问题是工程问题的特殊形式，即题目条件里面有变量。

所以解答此类问题首先应该将工程问题中的条件与“牛吃草”中的“原有草量”、“新生长的草量”和“牛吃草”一一对应，而关键是确定工程问题里面的两个不变量，仿照“牛吃草”问题即：原有量和增加率。

所以类似的基本数量关系式有：增加率＝(台(人)数×时间－台(人)数×时间)÷时间差；原有量＝(台(人)数－增加率×1)×时间台(人)数＝原有量÷时间＋增加率×1；时间＝原有量÷(台(人)数－增加率×1)通常把“牛吃草”的速度即减少的速度设为“1”份。

知识点3：解题的思考方法：解答工程问题时一定要认真审题，弄明白是完成全部工程，还是该工程的部分(即它的几分之几)？有几个人或单位参加工作？他们完成这项工程各自需要多少时间？推得各自的工效是几分之一？他们是同时开始、同时结束工作的，还是有先有后的？具体要求什么等等。

因为工程问题的条件可用多种形式提出，有的不以“工程”命题，有的与其他类型的题目结合，这样，工程问题的题目就复杂起来。

但复杂是可以向简单转化的，通过一定的手段，使其变为若干个基本题，解题的基本思路与方法是不变的。

因此，只要抓住工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，细心分析，就能找到解题的途径、步骤和方法。

例1(基础)原计划由一支工程队修建一座公园，预计需要1年零6个月；现在为了加紧完工，又调来了两支工程队，已知两只工程队的工作效率相同，那么需要多久才能完工？(提高、尖子)原计划一个工程队铺设一条水管需要18天，开工6天之后抽调走工程队中23的人数去做其他的工作，那么一共需要多少天才能建成这座大桥？(基础)批改一批考卷，李老师单独做需要12小时，王老师和李老师一起批改，需要8小时，那王老师单独批改这份考卷需要多少时间？(提高、尖子)有一批书，小明9天可装订34，小丽20天可装订56，现小明和小丽合作共装订了6天，余下的由小丽来装订，问：装订完这批书共用多少天？例3(基础、提高)满一个水池的水，同时开①、②、③号阀门需要15小时；同时开①、③、⑤号阀门需要10小时；同时开①、③、④号阀门需要12小时；同时开②、④、⑤号阀门需要8小时。

(完整word版)六年级奥数《工程问题》讲义

工程问题工程问题是将一般的工作问题分数化,换句话说从分率的角度研究工作总量、工作时间（完成丁作总量所需的时间）、工作效率（，单位时间内完成的工作於）三者之间关系的问题•它的特点是将工作总量看成单位“1”,用分率表示工作效率，对做工的问题进行分析解答.T•程问题的三个基本数址关系式是：工作效率X工作时间=工作总量. 工作总就十工作时间=工作效率. 工作总量一工作效率=丁作时间.V —件工程，甲、乙合做需6天完成，乙.丙合做需9天完成•甲、丙合做需15天完成•现在甲.乙、丙三人合做需要多少天完成？分析先求出三人合做一天完成这件工程的几分之几•再求三人合做需要多少天完成.解1+ [（¥ + + +需）十2]= 5 天）.答甲、乙.丙三人合做需要5器天完成.冷＜2卩一项工作，甲、乙合做要12天完成•若甲先做3天后，再由乙工作8天，共完成这件工作的卷如果这件工作由甲、乙单独做•甲需要多少天？乙需要多少天？分析把甲先做3天后再由乙工作8天共完成这件工作的立•看作甲、乙合作3天再由乙单砂做5天“完成这件T作的寻•又这件工作甲、乙台做要12夭完成"则甲、乙合做1天完成这件工作的越3天完成这件工作的备x 3 =与前述进行比较知•乙5 天完成这件工作的5 1 1———■12 4 6-解乙单独完成这件工作的天数「壬（辛*5）=30（天儿甲单独完成这件匸作的天数士 1 -=-（吉一点）=20（天）.答这件工作由甲、乙单独做•甲需要20夭，乙需宴30天.亠（】）做一件工程•甲独做需要12小时完成，乙独做需要］8小时兀成■甲、乙合做1小时肩，然后由甲工作1小时，再由乙工作］小时两人如此交替工作'完成任务还需多少时间？<2）加工一批零件'甲、乙两人合做］小时势完成了这批零件的器乙、丙两人接着生产1小时•又完成了為甲、丙又合做2小时，完成了剩下的任务.甲•乙、丙三人合做■还妄多少小时完成？'?晅»有—水池，装有甲、乙两个注水管.下面装有丙管放水■池空时•单开卬管5分钟可注满.单开乙管10分钟可注满；水池装潢水肩.单开丙管15分钟可将水放完.如果在池空时•将甲、乙、丙三管齐开分钟启关闭乙管*还要多少分钟可注满水池？分析三管齐开2分钟肩的T作量是1 —（辛+吉一吉）x2.*［1_（言+壽_養餐2］斗（吉一吉）="分九答2分钟后关闭乙管.还妄4分钟可注满水池.密一份穡件.甲单独打字需6小时完成•乙单独打字需K）小时完成.现在甲单独打若干小时后•因有事由乙接着打完，共用了7小时.那么甲打字用了多少小时？分析乙7小时共打字盖幻=岳送样就差—磊=磊的稿件.因此甲每小时比乙多打全部稿件的吉一霁=磊*磊*点=4号（小时人*答甲打字用了4寺小时2再单独做4夭•还剩下这项工程的着没有完成，求甲、乙两队工作效卒之比.（2）甲、乙两项工程分别由一*二队来完成.在晴天•一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需姜15天卡在雨天”一队的工作效率要下降40%•二队的工作效率耍下降10%.结果两队同时完成这两项工程•那么•在施工的日子卑•雨天有多少天？g；有卬、乙两项工程•张师傅单独完成甲丁程需寰9天，单独完成乙1 [程需要12天；王师傅单独完成甲工程需要3天. E独完成乙H 程需要15天.如果两人合作完成这两项丁程.最少需要多少天？分折由题目条件知，王师傅擅长做甲工程，所以让王师傅先做甲丁程，张师傅先做乙工程.等王师傅做完甲工程再和张师傅做乙工程.解3+（】_誇）+（吉+養）=3十5 = 8（天》.答两人合作完成这两项工程，堆少需要8天.0 <34某地要修筑-条公路，甲丁•程队单独干需要io天完成，乙工程队单独干需要15天完成*如果两队合作*他们的工作效率就要降低■甲队只能完成原来的壬，乙队只能完成原来的壽.现在if划8天完成这项工程，且要求两队合作天数尽可能少*那么两队要合作多少天？分析根据题意•甲、乙及甲.乙合做的工作效率分别为霁、1 tJL 1 4 1 9 7运及10X J +l5X l0 =50*此3种情况中乙的效率最低，甲、乙合做的效率最高，要使甲、乙合作天数尽可能的少.则必须甲尽可能地多做.如果全是甲做怡天可完成磊X8 =磊=£的工作虽尚有*的匚作没有完成■这部分工作要由甲、乙合做比甲多做的部分来完成.* （1~]^x8h（io x f+n x w~^）1 2=1■十韵=5（天〉.答两队要合作5天.(1) 一项工程•甲、乙合做全工程的晋^剩下的由甲单独完成. 甲一共做了10.5天”这项工程由甲单独做需要15天，如果由乙单独做•需要多少天？(2) 师徒三人合作承包一项工程显天能够全部完成.已知师傅单•独做所需的夭数与两个徒弟合作做所需的天数相等宇而师傅与乙徒第合作做所需的天数的2倍与甲徒弟单独做完所需的天数相等•那么甲徒弟单独做，完成这项丁程需要多少天？乙徒弟单独做,完成这项工程需要多少天？练习题1 完成一项工作"噩耍甲队干5天，乙队干6天•或者甲队干7 天•乙臥干2天.如果甲.乙两队独立完成该工程各需多少天？O 一个水池•甲.乙两个水管同时打开击小时可以灌满水池：若甲管打开8小时后关闭+然后打幵乙管，再工作3小时也可以灌满水池.问：甲管先工作2小时后关闭,乙管再工作儿小时可以港满全水池？3 一件工作甲5小时完成了吉”乙£小时完成了剩下的一半，余T的部分由甲、乙合作，还需要多少小时？O 甲、乙合作完战一项工作，由于配合得好舟甲的工作效率比单独做时提高壽■乙的工作效率比单独做时提高+•甲.乙合作6小时完成了这项任务.如果甲单独做需羹H小时，那么乙单独做需要多少小时？5某工程如果由第一、二、三小队合干，需12天才能完成；由第一.三、五小队合干，需7天才能完成*由第二、四.五小队合干•需圧天才能完成*曲第一、三、四小队合干•需42天才能完成■那么这五个小队一起合干，需要多少天才能完成这项工程？0 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作•甲T：地的「作绘是乙工地工作址的L5倍.上午去甲工地的人数是去乙匚地人数的3倍■下午这批工人中有召的人去甲工地•其他工人到乙工地.到傍晚时•甲工地的工作已做完农乙工地的工作还需4名工人再做1天・那么，这批工人有多少人？。

小升初数学讲义之——工程问题

小升初——工程问题工程问题是小学的重点题型，也是初中数学的常见问题。

掌握工作时间、工作总量、工作效率之间的关系，并熟练转化工作方式，利用适合的解题方法如假设法、比例关系等解决工程问题是重点！一、组合工程问题在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。

1.一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成。

这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用了14天。

这件工作由甲先做了几天？2.甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。

中途甲因事停工3天，因此，两人共用了10天才完成。

如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？3.一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合作7天，这样才完成全工程的一半，已知甲、乙工作效率的比是3：2，如果这件工作由乙单独做，需要多少天才能完成？4.甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具，因为甲有事，由乙、丙合作2天体情况是：甲、乙两人合作6天完成了工程的13，以后三人合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动完成余下工程的14报酬，甲、乙、丙各得多少元？5.有12头羊14天可以吃完12亩草，13头羊44天可以吃完22亩草，问多少头羊60天可以吃完50亩草?6.原计划18个人植树，按计划工作了2小时后，有3个人被抽走了，于是剩下的人每小时比原计划多种1棵树，还是按期完成了任务.原计划每人每小时植______棵树.7.一项工程，甲做10天乙做20天完成，甲做15天乙做12也能完成。

现乙先做4天，问甲还要多少天完成？8.一部书稿，甲单独打字要14小时完成，乙单独打字要20小时完成。

如果先由甲打1小时，然后由乙接替甲打1小时，再由甲接替乙打1小时，……两人如此交替工作。

工程问题应用题

三年级第二学期第6讲简单工程问题应用题班级_____ 学号_______ 姓名_________ 评价_____例1、修一条长30千米的水渠，计划15天完工，由于采用先进设备，结果提前5天就完成了全部任务，实际每天修多少千米？试一试1：一个修路队要筑一条长2100米的公路，前5天平均每天修240米，余下的任务要求3天完成，平均每天要修多少米？例2、一个筑路队铺一条铁路，原计划每天铺3千米，20千米铺完，实际每天比原计划多铺1千米，实际多少天铺完了这段铁路？试一试2：新华机床厂计划生产1080台机床，已经生产了5天，平均每天生产72台，剩下的每天生产80台，再用多少天就能完成任务？例3：某化工厂采用新技术后，每天用原料14吨，这样，原来7天用的原料，现在可以用10天，这个厂现在比过去每天节约多少吨原料？试一试3：张明家原来每月用水20吨，使用节水龙头后，原来一年用的水，现在可以多用3个月，现在每个月用水多少吨？课堂练习：1、一个工厂原来造一台机器要用144小时，改进技术后，只用90小时就可以生产一台，原来制造50台机器的时间现在可以造多少台？2、服装厂要加工756套服装，原计划每人每天做3套，18人可以按时完成。

如果21人来加工，可以提前几天完成？3．一个修路队修5000米的公路，前2天修了1700米，剩下的3天修完．前2天平均每天修多少米？后3天平均每天修多少米？回家作业：1、一个修路队要修路726米，5天已经修了285米．剩下的如果每天修63米，还要用多少天？2、一个编筐专业户计划用28天编一些筐，结果28天编了242个筐，比原计划多编了18个筐，原计划每天编多少个筐？3．打字员要打一份83页的文稿，前3天打了20页，剩下的要在一星期完成，平均每天要打多少页？。

工程问题教案(多应用)

教案工程问题教案一、教学目标1.让学生了解工程问题的基本概念和特点，掌握解决工程问题的基本方法。

2.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.培养学生的团队协作能力和沟通能力。

二、教学内容1.工程问题的定义和特点2.解决工程问题的基本方法3.工程问题的案例分析4.工程问题的讨论和总结三、教学步骤1.引入工程问题的概念，让学生了解工程问题的定义和特点。

2.讲解解决工程问题的基本方法，如分析问题、设计解决方案、实施解决方案等。

3.通过案例分析，让学生了解工程问题的实际应用，并引导学生运用所学知识解决实际问题。

4.组织学生进行小组讨论，让学生就工程问题进行深入探讨，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

5.对学生的讨论进行总结，归纳出解决工程问题的有效方法，并给出建议。

四、教学评价1.通过课堂问答、作业和考试等方式，评估学生对工程问题概念和解决方法的理解和掌握程度。

2.通过小组讨论和案例分析，评估学生的团队协作能力和沟通能力。

3.收集学生的反馈意见，对教学方法和教学内容进行改进和优化。

五、教学资源1.教材：提供工程问题的相关教材，供学生学习和参考。

2.案例：提供工程问题的实际案例，供学生分析和讨论。

3.网络资源：提供相关的网络资源，供学生进行深入学习和研究。

六、教学建议1.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的主动性和积极性。

2.引导学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的实践能力。

3.注重培养学生的团队协作能力和沟通能力，提高学生的综合素质。

4.及时给予学生反馈和指导，帮助学生解决问题和提高能力。

5.不断更新教学资源和方法，提高教学效果和质量。

七、教学反思通过本教案的实施，教师可以反思自己的教学方法和教学内容，评估学生的学习效果和能力提升，从而不断改进和优化教学，提高教学质量。

同时，教师也可以通过与学生的互动和沟通，了解学生的学习需求和问题，更好地满足学生的学习需求，促进学生的全面发展。

重点关注的细节：解决工程问题的基本方法解决工程问题的基本方法是本教案的核心内容，它直接关系到学生能否掌握解决工程问题的能力。

工程问题(讲义)-2022-2023学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义(通用版,教师版)

温馨提示：图片放大更清晰修一段路，如果由甲单独修需要用9小时能修完，甲每小时能修这段路的( )。

答案：1 9解析：根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”即可求得甲每小时修这段路的分率。

假设工作总量为11÷9＝19小升初数学通用版《工程问题》精准讲练所以，甲每小时能修这段路的19。

为了喜迎新年，赶制一批彩旗，张师傅单独制作需要15小时完成，刘师傅单独制作需要10小时完成，两人合作制作需要6小时完成。

( )答案：√解析：根据题意可知，一批彩旗是单位“1”，根据工程问题的公式：工作效率＝工作总量÷工作时间，据此即可求出张师傅和刘师傅的工作效率，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，用1除以张师傅和刘师傅的效率和即可求出合作需要多长时间，再判断。

1÷15＝1 151÷10＝1 101÷（115＋110）＝1÷1 6＝6（小时）两人合作制作需要6小时完成，原题说法正确。

故答案为：√每年3月12日是植树节，今年甲乙两队计划种100棵树，甲队独种需要2天，乙队独种需要5天，两队合种共要几天？列式错误的是（）。

A．10011()25÷+B．100÷（100÷2＋100÷5）C．111()25÷+D．100÷[100×（1125+）]答案：A解析：若把这项工作看作单位“1”，则甲队工作效率和乙队工作效率已知，据此进行逐项分析，即可得出结论。

A．把这项工作看作是单位“1”，甲队工作效率为12，乙队工作效率为15；根据“工作时间＝工作量÷工作效率”，即可求出两队合种几天能种完，可知A错误，C正确；B．用计划种树的总棵数分别除以甲、乙两队独种的天数，得出两队每天种的棵数，再用100除以两队每天种的棵数之和，即可得两队合种共要几天，可知B正确；D．把这项工作看作是单位“1”，甲队工作效率为12，乙队工作效率为15，用计划种树的总棵数乘两队的效率和，得出两队每天种的棵数和，再用除法计算，即可得两队合种共要几天，可知D正确。

六年级寒假班第6讲工程问题

9、某项工作先由甲单独做 45 天之后，再由乙单独做 18
天可以完成，如果甲乙两人合作可 30 天完成。现由甲先单独做 20 天，然后再由乙来单独完成，还需要多少天？【解析】 38 天甲 15 天的工作量，乙只需 12 天可完成。
v甲 : v乙 4 : 5
v甲
2 1 1 2 38 （天） 135 54
抵消. 则剩余部分有：甲 0.8乙乙 0.6甲乙 2甲，若设甲的工作效率为 1，则乙的工作效率为 2；对应总工作量为： 5甲 4.8乙 5 1 4.8 2 14.6 ，
则乙单独做需要14.6 2 7.3 小时.
16、一项工程，乙单独做要17 天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流的做法多用半天完工。甲单独做需要几天？【解析】 8.5 显然按照甲、乙的顺序，需要整数组（甲、乙）以及甲做 1 天；若按照乙、甲的顺序，需要整数组（乙、甲）以及乙做 1 天&甲做半天； 1 则有甲乙甲甲 2乙，可见，甲的效率是乙的 2 倍， 2 若乙单独需要 17 天，则甲需要 8.5 天.
成，需付工程款 2700 元；如果由甲、乙、丁共同工作，40 天可以完成，需付工程款 2800 元；如果由乙、丙、丁共同
工作， 36 天可以完成，需付工程款 2880 元；如果由甲、丙、丁共同工作， 30 天可以完成，需付工程款 2700 元。现决定将工程承包给某一工程队，确保工程要在100 天以内完成，且支付的工程款尽量的少，那么应该将工程交给哪一个工程队，支付的工程款是多少元？【解析】 ⑴ 甲、乙、丙、丁的工效和是： 1 1 1 1 13 ( ) 3 ； 45 40 36 30 360 13 1 1 甲的工效是：； 360 36 120 13 1 1 乙的工效是：； 360 30 360 13 1 1 丙的工效是：； 360 40 90 13 1 1 丁的工效是：． 360 45 72 可见甲、乙、丙、丁完成工程需要的时间分别为 120 天、

华罗庚学校数学课本(6年级下册)第06讲最大与最小问题

第六讲最大与最小问题先看一个简单的问题：妈妈让小明给客人烧水沏茶.洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟，小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟.为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？这个题目，取材于华罗庚教授1965年发表的《统筹方法平话》.开水壶不洗，不能烧开水，因而洗开水壶是烧开水的先决条件；没开水、没茶叶、不洗壶杯则不能泡茶，这些又是泡茶的先决条件.因此我们可以列出它们的相互关系图从上图中很容易看出，最省时间的办法是：先洗开水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，在等待水开的过程中，可以完成洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，这样仅用16分钟就能沏茶了，这是没有“窝工”的最合理的安排，用最少的时间完成了工作.像这样，研究某种量（或几种量）在一定条件下取得最大值或最小值的问题，我们称为最大与最小问题.在日常生活、科学研究和生产实践中，存在大量的最大与最小问题.如，把一些物资从一个地方运到另一个地方，怎样运才能使路程尽可能短，运费最省；一项（或多项）工作，如何安排调配，才能使工期最短、效率最高等等，都是最大与最小问题.这里贯穿了一种统筹的数学思想-最优化原则.概括起来就是：要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果.这一原则在生产、科学研究及日常生活中有广泛的应用.一、数、式、方程（组）中的最大最小问题例1把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？分析与解答这要考虑到一些隐含着的限制条件，可以这样思考：①要使14拆成的自然数的乘积最大，所拆成的数的个数要尽可能多，多一个可以多乘一次，但1不应出现，因为1与任何数的积仍为原数.②拆出的加数不要超过4，例如5，它还可以拆成2和3，而2×3＞5，所以加数大于4的数还要继续拆小.③由于4=2+2，又4=2×2，因此拆出的加数中可以不出现4.④拆出的加数中2的个数不能多于两个.例如拆成三个2，不如拆成两个3.因为三个2的积为8，两个3的积为9，这就是说，应尽可能多拆出3.因为14=3×4+2，所以把14拆成3、3、3、3、2时，积为3×3×3×3×2=162最大.对最大与最小问题一要注意变化规律，即弄清思路，又要注意限制条件，对于字母则要根据其特点进行讨论分析.例2已知p·q-1=x，其中p、q为质数且均小于1000，x是奇数，那么x的最大值是____.分析与解答由p·q-1=x，x为奇数可知，q·p=x+1是偶数又因为p、q为质数，所以p、q中必有一个为偶质数2.不妨设p=2.为了使x尽可能大，只须取q为最大的三位质数997.这时x达到最大值：2×997-1=1993.方程中有参数和其他条件，也可能出现最大或最小问题.的根为自然数，则最小自然数a=____.分析与解答由原方程可得例4求同时满足a+b＋c＝6，2a-b＋c=3，且b≥c≥0的a的最大值及最小值.分析既然是求a的最大值及最小值，就要想办法将b及c用a的代数式表示出来，再根据b≥c≥0来求.求b及c可将a＋b＋c＝6，2a-b+c=3看作含b、c的二元一次方程组二、统筹方法中教学思想方法的初步应用在开始引例中引用了华罗庚教授《统筹方法平话》中的例子，统筹方法是生产建设和企业管理中合理安排工作的一种科学方法，它对于进行合理调度、加快工作进展、提高工作效率、保证工作质量是十分有效的，所用数学思想是朴素而精彩的.例55个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟.如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，使所有人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值.分析这是我们经常遇到而不去思考的问题，其中却有着丰富的数学思想.5个人排队一共有5×4×3×2×1=120种顺序，要把所有情形的时间总和都计算出来加以比较，就太繁琐了.凭直觉，应该把打水时间少的人排在前面所费的总时间会省些.试用“逐步调整”法求解.解：首先证明要使所用总时间最省，应该把打水时间需1分钟的人排在第一位置.假如第一位置的人打水时间要a分钟（其中2≤a≤5），而打水需1分钟的人排在第b位（其中2≤b≤5），我们将这两个人位置交换，其他三人位置不动.这样调整以后第b位后面的人排队和打水所费时间与调整前相同，并且前b个人打水所费时间也未受影响，但第二位至第b位的人排队等候的时间都减少了（a-1）分钟，这说明调整后五个人排队和打水时间的总和减少了.换言之，要使所费时间最省，就要把打水需1分钟的人排在第一位置.其次，根据同样的道理，再将打水需2分钟的人调整到第二位置；将打水需3、4、5分钟的人逐次调整到三、四、五位.所以，将五人按照打水所需时间由少到多的顺序排队，所费的总时间最省，得出5人排队和打水时间总和的最小值是：1×5＋2×4＋3×3＋4×2＋5×1=35（分钟）.本题所用的逐步调整法是一个很朴素的数学思想，它使我们思考问题过程简化，更有趣味.例6一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管，当打开4个进水管时需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？分析本题没给出排水管的排水速度，因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系，才能确定至少要打开多少个进水管.解：本题是具有实际意义的工程问题，因没给出注水速度和排水速度，故需引入参数.设每个进水管1小时注水量为a，排水管1小时排水量为b，根据水池的容量不变，我们得方程（4a-b）×5=（2a-b）×15，化简，得：4a-b=6a-3b，即a=b.这就是说，每个进水管1小时的注水量等于排水管1小时的排水量.再设2小时注满水池需要打开x个进水管，根据水池的容量列方程，得（xa-a）×2＝（2a-a）×15，化简，得 2ax-2a=15a，即 2xa=17a.（a≠0）所以x=8.5因此至少要打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满.注意：x=8.5，这里若开8个水管达不到2小时内将水池注满的要求；开8.5个水管不切实际.因此至少开9个进水管才行.例7在一条公路上，每隔100千米有一个仓库，共5个.一号仓库存货10吨，二号仓库存货20吨，五号仓库存货40吨，三、四号仓库空着.现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要0.8元运费，那么最少要花多少运费？分析与解答由于运费是以每吨货物运输1千米为单位（即吨·千米）计量的，因此要使运费最省，就要把所有货物运往离货物最多的仓库适当近的地方集中.我们依次计算以一、二、…、五号仓库为集中点所需的运费：0.8×（20×100+40×400）=14400（元），0.8×（10×100+40×300）=10400（元），0.8×（100×200+20×100+40×200）=9600（元），0.8×（10×300+20×200+40×100）=8800（元），0.8×（10×400＋20×300）=8000（元）.因此，把所有货物集中到五号仓库所需的运费最少，运费为8000元.说明：①由例7的枚举解法中我们可以看出，如果某处货物的重量大于或等于货物总重量的一半，那么，把货物往此处集中花的运费是最少（或最少之一）的.这可以叫做“小往大处靠”原则.可以解释如下.把各个仓库用A1，A2，…，A n表示，A i中的货物重量为m i，把所有货物集中到A i的运输吨·千米数为a i（它与集中货物到A 所需的运输费用成正比），货物总重量为M（=m1＋m2＋…＋m n）.a1相比较，把货物集中到A i（2≤i≤n）的运输吨·千米数a i所增加的至少是m1·A1A i，所减少的至多是（m2＋m3+…+m n）·A1A i，这里A1A i 表示A1与A i之间的距离.∴a i≥a1.这说明了“小往大处靠”原则是正确的.处靠”原则不成立.例如.在例7中一、二、五号仓库中的存货如果分别为30吨、10吨、30吨，那么容易知道把货物集中到二号仓库运费最少.例8若干箱货物总重19.5吨，每箱重量不超过353千克，今有载重量为1.5吨的汽车，至少需要几辆，才能把这些箱货物一次全部运走？分析与解答如果认为19.5÷1.5=13，因此只需13辆汽车就可以把这些箱货物一次全部运走，这就把题意理解错了.因为货物是整箱装的，每辆汽车不一定都能满载.请先看一个反例，它说明甚至15辆车都不一定能一次运完.例如这批货物共装有65只箱子，其中64箱的重量都是301千克（不超过353千克），另一箱的重量是236千克，那么总重量为301×64+236=19500（千克）.恰好符合总重为19.5吨的要求由于301×5=1505（千克）即5只重量为301千克的箱子的总和超过1.5吨，因此，每辆汽车最多只能装4只重量为301千克的箱子，15辆汽车最多只能装4×15＝60（只）重量为301千克的箱子，这样，必然有4只重量为301千克的箱子无法再装运了.既然15辆汽车无论如何无法一次运完上例中的65只箱子，那么16辆汽车能不能一次运完这些货物呢？答案是肯定的.事实上，301×4+236＝1440（千克），不超过1.5吨，这就是说，第16辆汽车可以装余下的4只重量为301千克的箱子和1只重量为236千克的箱子.所以，16辆汽车可以一次运完这些箱货物.问题到这里仍然没有彻底解决.因为每箱货物的重量只要求不超过353千克，除此别无具体数量的限制，所以我们还应该对于一般情况（上例仅是一种特殊情况）来验证16辆汽车确实能一次运完全部箱子.首先让12辆汽车装货刚刚超过1.5吨，即若取下最后装的一只箱子就不超过1.5吨，再从这12辆汽车上把每辆车最后装的那只箱子卸下来，并把这12只箱子分别装上另外3辆空车，每车4箱，由于每车4箱总重量不超过4×353＝1412（千克）.因此也不超过1.5吨.这时，12＋3＝15辆车就装完原来前12辆车上全部货物，总重量超过1.5×12=18（吨）.而且每辆车载重不超过1.5吨，于是，剩下来装车的箱子总重量不足19.5-18＝1.5（吨），可以把它们全部装在第16辆车上运走.三、最短的路线（几何中的最大最小问题）例9 下图，直线l表示一条公路，A、B表示公路同一侧的两个村子，现在要在公路l上修建一个汽车站，问这个汽车站建在哪一点时，A村与B村到汽车站的距离之和最短？分析与解答如果A、B两个村子在公路l的两侧，问题就简单了，只要把A、B两点连接起来，与公路l的交点就是建站的地方，因为两点之间，线段最短.A、B两村在公路l的同侧的情形，我们用“对称”的方法来解决，先求出A点关于l的对称点A＇，连结A＇B与l交点于C点，则C点就是汽车站应建的那个点.为什么AC＋BC是距离最短呢？我们假设不选C点，而选择C外的一点C＇，显然有AC＋CB=A＇C＋CB=A＇B，AC＇+C＇B=A＇C＇+C＇B.根据“连接两点的线中直线段最短”，有 A＇C＇＋C＇B＞A＇B，所以选择C点能使AC＋CB距离最短.利用这种对称原理可以解决很多复杂的问题.例10 设牧马营地在M，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回营地.问：怎样的放牧路程最短？分析与解答依题意，每一条放牧路线都是一个三角形的三条边，我们设法把这条路线变成两个固定点之间的连线.根据“对称”原理，设草地的边线是l1，河流的岸线是l2（下图）.令M关于l1、l2的对称点分别是M1、M2连结MM，分别交l1、l2于A、B，则路线M→B→A→M就是最短路线，读者可自己证明其路线最短.几何中的最大与最小问题很多，待学习一些知识后，将有很多有趣的最大与最小的问题等待你去解决.习题六且不大于2，则n的最大值是____.2.赵师傅要加工某项工程五个相互无关的部件急需的5个零件，如果加工零件A、B、C、D、E所需时间分别是5分钟、3分钟、7分钟、4分钟、6分钟.问应该按照什么次序加工，使工程各部件组装所需要的总时间最少？这个时间是多少？3.下图，小明住在甲村，奶奶住在乙村，星期天小明去看奶奶，先在北山坡打一捆草，又在南山坡砍一捆柴给奶奶送去.请问：小明应选择怎样的路线使路程最短？4.某车场每天有4辆汽车经过A1、A2、A3、A4、A5、A6六个点组织循环运输（如图）.在A1点装货，需6个工人；在A2点卸货，需4个工人；在A3点装货，需8个工人；在A4点卸货，需5个工人；在A5点装货需3个工人；在A6点卸货，需4个工人.若每个点固定工人太多，会造成人力浪费，我们可以让装卸工人跟车走.这样有人跟车，有人固定，问最少要安排多少名装卸工人？DAAN习题六解答1.510.2.65分钟.加工顺序为B、D、A、E、C.3.如下图，用“对称”方法找出甲＇和乙＇，连接甲＇乙＇后交北山坡于A，交南山坡于B.小明应在A处打草，在B处砍柴.4.22名.。

完整版)小学六年级工程问题讲解

完整版)小学六年级工程问题讲解小学六年级工程问题讲解工程问题是与工程建造有关的数学问题，包括行路、水管注水等。

常用的数量关系式有：工作量=工作效率×工作时间。

工作时间=工作量÷工作效率。

工作效率=工作量÷工作时间。

工作量表示工作的多少，可以是全部工作量，一般用数1表示。

工作效率表示干工作的快慢，单位时间的选取根据题目需要，可以是天、时、分、秒等。

工作效率的单位是“工作量/天”、“工作量/时”等，但一般不写单位。

题型讲解：例1：甲队需100天完成某项工程，乙队需150天完成。

甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？解析：以全部工程量为单位1.甲队单独干需100天，甲的工作效率为1/100，乙队单独干需150天，乙的工作效率为1/150.甲、乙两队合干50天，完成的工作量为50(1/100+1/150)=5/6，剩下的工作量为1/6，乙队单独干还需150×(1/6)/(1-5/6)=150天。

例2：甲、乙两队合做某项工程，中途甲队退出转做新的工程，乙队又做了18天才完成任务。

如果甲单独做需36天，乙单独做需45天，问甲队干了多少天？解析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。

乙队单独做45天，18天后完成了5/9的工作量，剩下的工作量为4/9，甲、乙两队合做需36×(4/9)/(1-4/9)=24天，甲队干了24-18=6天。

例3：甲、乙、丙三队一起干某项工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。

因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。

问甲队实际工作了几天？解析：乙、丙两队自始至终工作了6天，完成的工作量为6(1/15+1/20)=7/10，剩下的工作量为3/10，甲队实际工作了10×(3/10)/(1-3/10)=6天。

例4：XXX独做20时完成一批零件，XXX独做30时完成。

第六讲工程问题

第六讲工程问题工程问题的一般关系式：工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作时间＝工作效率工作总量÷工作效率＝工作时间经典例题：两人合作工程问题：例1. 一项工程，由甲、乙、丙三队单独完成分别需要15天、20天、25天。

（1）甲、乙合作这项工程，多少天可以完成？（2）先由甲做3天，剩下的工程，丙还要多少天完成？例2.一项工程，甲、乙两队合作要18天完成，如果甲队先做3天后，再由乙队做8天，共完成这项工程的518，如果这项工程由甲队单独完成，需要多少天完成任务？例3. 某项工程甲单独做需32天，乙单独做需40天，开始甲、乙一起做了若干天，中途甲调离，乙又做了22天才完成。

问甲干了多少天？例4.一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成，这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到结束共用了14天。

这件工作由甲先做了多少天？例5. 一项工程，甲单独做要8天完成，乙单独做要10天完成。

现在要求6天完成，甲、乙至少要合作几天？- 1 -例6. 修一条路，甲每天修8小时，5天完成，乙队每天修10小时，6天完成，两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？例7. 加工一批零件，王师傅单独做需50小时，小李单独做需75小时，已知每小时王师傅比小李多做18个。

如果小李的工作效率提高50％，而王师傅每小时比原来多做12个，那么两人合作加工这批零件的35，需多少时间？多人合作工程问题：例8.单独完成一项工程，甲队需要24天，乙队需要30天。

现在甲、乙两队合作4天，丙队加入进来，又经过7天完成全部工程。

如果一开始三队合作，多少天可以完成全部工程？例9. 一件工作，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙合作6天可以完成，丙、丁合作12天可以完成。

那么甲、丁合作多少天可以完成？例10. 一项工作，甲、乙、丙3人合作6小时可以完成。

如果甲工作6小时后，乙、丙合作2小时，可以完成这项工作的23；如果甲、乙合作3小时后，丙做6小时，也可- 2 -以完成这项工作的23。

(完整版)小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全

比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。

第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。

由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。

下面我们介绍另外几种方法。

1.“通分子”。

如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。

2.化为小数。

这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。

但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。

3.先约分，后比较。

有时已知分数不是最简分数，可以先约分。

4.根据倒数比较大小。

5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。

小学六年级数学培优

第一讲：等差数列求和【知识点拨】1.数列的第一项叫首项，最后一项叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。

2.计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和=（首项+末项）*项数除以2第n项=首项+公差*（n-1）项数=（末项-首项）除以公差+1例一、等差数列7、10、13、16…97、100各数的和是多少？练习1.想一想，该怎样计算方便？21+24+27+30+……+992.求所有被6除余数是1的三位数的和。

3,.有一列数：29、36、43、50…这列数共有25个数，这个数列所有的数的和是多少？4.有一堆木材叠堆在一起，一共是20层，第一层有12根，第二层有13根，……下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？5.有一个仲，一点钟敲一下，两点钟敲两下，……十二点钟敲12下，分针指向6敲1下，这个钟一昼夜敲多少下？6.下面的算式按一定的规律排列，这些算式中第二十个算式的得数是多少？3+8、4+11、5+14、6+17…7.试求200—300之间所有7的倍数的和。

8.试求100—200之间能被9整除的所有自然数的和。

9.200—500之间能被8整除的所有自然数之和是10.自然数1、2、3、…排成一组，规定第n组含有n个自然数，即（1）、（2，3）、（4,5,6）、（7、8、9、10）、（11，12…）（1）试问第十组的第一个数是几？（2）试求第十组中所有自然数的和。

（3）试问100这个数位于哪一组中？是第几个数？第二讲：方程与解方程【知识点拨】1、等式的性质（1）等式两边同时加（减）去同一个数或式，结果仍相等。

（2）等式两边同时乘（除）以同一个不为零的数或式，结果仍相等：2，方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。

例题1：解方程 6X+2X+17X—X= 48练习：解方程1. 5x +3x -4x +7x =22 2. 7x +11 x -9 x=453. 12 x=10 x +64. 5 x +3 x =4 x +125. 10 x = 6 x + 166 . 2（x – 2）+3（4 x -1）=9（x -1）+77. 5 （x +2）=2（x+ 3）+10 8. 3 x÷15 =19. 3（x -3）+8= 6（x +1）- 1610. 5 x ÷8 =10 11. 7 x ÷12= 14 12. 7x÷12=1413.7+x÷2+2x=42*3 14.5x+3-x÷3+3x=8 15.2x-3-3x÷2+5x=816.(x-23)*4÷5=12 17.(x+45) ÷3=x÷2 18.(x÷24) ÷2+3+30=50当堂测试解方程1. 6x-3x+19x-8x=282. 8x=5x+123. 2(x+2)=3(x-3)+104. 5x÷13=255. 6x+3-x÷2-3x=86. (x+1) ÷2=(2x-3) ÷3计算1. 176+ 177+ 178+ 179+1802. 83+88+93+…+2081.体育馆的东区共有30排座位，层梯形，第一排有10个座位，第二排有11个座位，……这个体育馆东区共有多少个座位？2.有一串数，第一个数是10，以后每个数比前一个数大5，最后一个数是90，这串数连加的和是多少？3.有一个电影院有18排座位，第1排的座位有24个，从第2排起，每排座位都比前1排多1个，这个电影院共有多少个座位？4.仓库里堆放一批粗细均匀的圆木，最下一层放10根，每向上一层就减少1根，最上面一层放了5根，这批圆木有多少棵？第三讲列方程列解应用题【知识点拨】列方程解应用题步骤：审题（关键是找出题目中等量关系式）-----恰当设未知数-----列方程-----解方程----作答列方程解应用题关键：用未知数把等量关系式表示出来；列方程解应用题难点：找出题目中暗含的等量关系式。

五年级下册数学试题- 第六讲工程问题初步(无答案)全国通用

五年级第六讲工程问题初步◆温故知新：1. 计算有关工程的工作总量、工作时间、工作效率的问题叫做工程问题。

2.一条地铁线有15千米长，工程队每个月可以修3千米，修好整条地铁需要个月。

总长度15千米叫做这个工程问题的工作总量，5个月即为工作时间，而工程队每个月修3千米就叫做工作效率。

3.工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作时间＝工作效率工作总量÷工作效率＝工作时间4.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量。

5.当多人合作的时候，单位时间内完成的工作总量就是这些人工作量的总和，那么多人合作时的“总工效”就是他们的“工效和”。

6.工程问题中的工作量都可以看做是对应总工作量“1”份的分率，通过对应的数量和分率，我们也可以求出总工作量所对应的具体数量。

◆练一练1.张师傅要完成120个零件，他预计6小时完成。

那么，张师傅的工作效率是多少？2.按照第一题中张师傅的效率，3小时后，他做完了多少个零件？完成了全部工作的几分之几？3.李师傅要完成一批零件，他预计6个小时完成了整个工作。

则以这批零件的总量为单位“1”，李师傅的工作效率是多少？如果李师傅工作了2个小时，那么他完成了全部工作的几分之几？4.明明用了10小时完成了写大字的作业，那么明明3个小时能完成作业的几分之几？如果这时他写好了30个大字，那么它总共要写多少个大字？5.一项工程，平均每天完成14，完成这项工程需要多少天？◆例题展示例题1 一项工程，由甲单独做需要10天，由乙单独做需要15天，甲、乙两人合作，多少天可以完成这项工程？练习1 （1）一项工程，由甲单独做需要21天，由乙单独做需要28天，甲、乙合作，多少天可以完成这项工程？（2）一项工程，由甲单独做需要10天，乙单独做所用时间是甲的45。

甲、乙两人合作，多少天可以完成这项工程？（3）一项工程，由甲单独做需要10天，乙的效率是甲的56。

甲、乙两人合作，多少天可以完成这项工程？例题2 一项工程，由甲单独做需要10天，乙单独做需要15天。

六年级数学拓展讲义第6讲——工程问题

第六讲——工程问题工作效率（工效）在单位时间内完成的工程量占工程总量的几分之几。

是一个率，其意义相当于速度。

工作时间（工时）：指工作时间，一般以天，小时等为单位。

工作总量（工程量）：一般在题目中都不告诉我们，通常情况下我们把其看为单位“1”。

工作效率×工作时间=工作总量1、师徒二人共同加工一批零件，师傅每小时加工9个，徒弟每小时加工5个，完成任务时，徒弟比师傅少加工120个，这批零件共有多少个？【解析】师傅一小时比徒弟多加工9-5=4个，所以现在多加工120个需要120÷4=30小时，这批零件共有（9+5）×30=420个零件。

2、一件工程甲乙合作需要6天完成，乙丙合作需要9天完成，甲丙合作需要15天完成，现在甲乙丙三人合作需要多少天完成？【解析】由题意知：甲+乙=1/6，乙+丙=1/9，甲+丙=1/15，2（甲+乙+丙）=1/6+1/9+1/15=31/90，甲+乙+丙=31/180所以三人合作完成需要1÷31/180=25531天。

3、一个水池，地下水从四壁渗入，每小时渗入的水量是固定的，当这个水池水满时，打开A 管，8小时可以将水池排空，打开B管10小时可以将水排空，打开C管12小时可以将水排空，如果打开AB两管，4小时可以将水排空，那么打开BC 两管，多少小时可以将水池排空需要多少时间？【解析】设这个水池的容量为“1”A管每小时的排水量为：1/8+每小时渗水量B管每小时的排水量为：1/10+每小时渗水量AB两管同时开每小时的排水量为：1/4+每小时渗水量因此每小时的渗水量为:1/4-(1/8+1/10)=1/40打开BC两管，将水池排空需要1÷（1/10+1/12-1/40）=4.8小时。

（1/20+1/30）×14=7/6＞1造成这样的原因是把甲乙停的时间也算进去了，甲122小时可以进水1/20×122=1/8由此乙管多算的进水量为7/6-1/8-1=1/24，所以乙管停开的时间为1/24÷1/30=5/4小时。

小学奥数─工程问题分类讲解

小学奥数─工程问题分类讲解工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具.工程问题是把工作总量看成单位“1"的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。

在教学中,让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。

一．工程问题的基本概念定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。

工作总量：一般抽象成单位“1”工作效率:单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率;二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；③学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系,发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法,不断地开拓解题思路．三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”,抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；（1）工程问题中常出现单独做,几人合作或轮流做,分析时一定要学会分段处理;（2）根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；（3）工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．例题精讲一、周期性工程问题【例 1】一件工程,甲单独做要6小时，乙单独做要10小时，如果接甲、乙、甲、乙．．．顺序交替工作,每次1小时,那么需要多长时间完成？【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答【解析】甲1小时完成整个工程的16，乙1小时完成整个工程的110，交替干活时两个小时完成整个工程的11461015+=，甲、乙各干3小时后完成整个工程的443155⨯=,还剩下15，甲再干1小时完成整个工程的16，还剩下130,乙花13小时即20分钟即可完成．所以需要7小时20分钟来完成整个工程．【答案】7小时20分钟【巩固】一项工程，甲单独完成需l2小时,乙单独完成需15小时。

数学【暑期精英强化课程】第2册PD第06讲牛吃草和工程问题(上)教师版

第六讲牛吃草和工程问题（上）1、掌握较复杂牛吃草问题的解题方法；2、掌握较复杂工程问题的解题方法；3、用数学解决生活实际，激发学生学习数学的兴趣。

“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间。

难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定。

解决“牛吃草”问题的主要依据：（1）草的每天生长量不变；（2）每头牛每天的食草量不变；（3）草的总量＝草场原有的草量＋新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值，新生的草量＝每天生长量×天数。

同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可归纳为：（1）定1头牛1天吃草量为“1”；（2）草生长速度＝（对应牛头数×较多天数-对应牛头数×较少天数）÷（较多天数－较少天数）；（3）原来的草量＝对应牛的头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；（4）吃的天数＝原来的草量÷（牛的头数－草的生长速度）；（5）牛的头数＝原来的草量÷吃的天数＋草的生长速度。

“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题。

某牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天．在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，可供多少头牛吃6天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么2000平方米的牧场上16－8＝8天生长的草量为18×16－27×8＝72，即每天生长的草量为72÷8＝9。

那么2000平方米的牧场上原有草量为：（18－9）×16＝144。

则6000平方米的牧场每天生长的草量为9×（6000÷2000）＝27；原有草量为：144×（6000÷2000）＝432。

26新人教版六年级数学上册《工程问题》(省级公开课教学设计)

共1学时1教学内容义务教育教科书·数学·六年级上册第42－43页。

2教学目标1.结合具体情境，理解工程问题中的数量关系，学会分析问题。

2.认识工程问题的结构特点，掌握它的数量关系和解题思路，并能正确解答简单的工程问题。

3.在学习的过程中，体会知识间的内在联系，提高发现、提出问题及分析、解决问题的能力。

3设计理念《课标（2011年版）》的课程目标指出：“学生能体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。

”随着《课标（2011年版）》的颁布，人教版小学数学教材进行了新一轮修订，“工程问题”作为新的内容再次出现在小学数学的课本上。

根据课标的要求，本次“工程问题”的教学重点在于通过例题中实际问题的解决，形成发现、提出问题以及分析、解决问题的一般性能力。

因此，在设计本课时，从实例出发，让学生通过猜想——尝试——验证等方法解决问题，从而找到这一问题背后的数学模型，并把这一模型应用于其他情境中。

4教材分析工程问题安排在分数除法这一单元的最后，是新教材新增的一类实际问题，是对过去简单的工程问题的拓展。

教材在这里编排了工程问题的教学，并不是要求学生解决形形色色的工程问题，而是要借此让学生经历自主探究、解决问题的过程，掌握用假设、验证等方法解决问题的基本策略，让学生体会模型思想。

5学情分析在中年级，学生已经掌握了工作总量、工作时间和工作效率之间的数量关系。

根据前测，可以看出学生对于解决有具体数据的工作问题掌握得是比较好的。

但是，由于学生对分数的深刻认识还不够，部分学生可能一下子理解不了用分数表示工作效率这一知识，即把工作总量看作“1”时，工作效率是工作时间的倒数的道理。

6重点难点重点：分析工程问题中的数量关系，能正确解答简单的工程问题。

解决措施：通过表格，教师进行对比引导，学生小组交流讨论。

难点：理解工程问题中的数量关系，掌握工程问题的一般解法。