(13)1.3.2杨辉三角学案(13)

合集下载

高中数学人教B版选修2-3《1.3.2杨辉三角》教学设计

《杨辉三角》教学设计一、教材分析《杨辉三角》是高中数学新课标人教B版选修2-3教材第1.3.2节的内容。

本节课是在学生学习了两个计数原理、组合及组合数的性质后，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。

“杨辉三角”的内涵实际上就是二项式系数的性质，其内容丰富，值得学生深入探讨。

对于杨辉三角所蕴含的规律，学生不难发现，而难点就在于如何把学生通过观察发现的规律进行归纳，进而推理论证，揭示其数学本质。

本节课利用了转化和化归的数学思想，把对观察得到的规律的证明化归为组合数性质的应用上。

从知识发生发展过程的角度上看，学生可以从直观上很好地观察发现杨辉三角中蕴含的数字规律，但对于高二的学生，他们思考问题的思维已经不仅仅满足于“知其然”，他们更渴望的是“知其所以然”，在老师适当的点拨下，学生能很自然地联系到上位知识，即组合数的性质与二项式系数的联系，通过师生合作完成知识发展过程的探究，这符合学生的认知规律，也体现了互助学习的价值观教育。

二、学情分析对于高二的学生来说，他们已经具备了比较理性的思考，对发现的规律能够尝试证明。

同时学生已掌握了组合及组合数的性质，这是突破本节课难点的基础。

本节课授课班级为普通班，在数学科的学习特点是个体存在较大差距，但学习积极性都很高。

另外，该班设有合作基层小组①，即小组内拥有稳定的成员，他们之间相互支持、鼓励和帮助，小组内部及小组之间有了一定的解决问题的能力，但对于本节课的难点——证明规律，学生还需要在老师的指导下共同完成。

三、教学目标：本节课让学生掌握二项展开式中的二项式系数的基本性质及其推导方法；通过对杨辉三角中蕴含的数字规律的初步探究，培养学生发现问题、提出问题、经过分析——猜想——证明以后解决问题的能力，激励学生自主创新；通过从不同的角度观察杨辉三角，培养学生要从多角度看问题的意识，提高学生解决实际问题的能力，在学习中鼓励学生在学习中学会交流、合作，培养学生团结协作的精神，同时，通过杨辉三角，了解中华优秀传统文化中的数学成就，体会其中的数学文化，培养学生的爱国情感。

高二数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案新人教A版选修2-3

高中数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案基础梳理1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n＋1＝C r－1n＋C r n．2．二项式系数的性质3．赋值法的应用．设f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a n x n.(1)a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a n＝f(1)．(2)a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)n a n＝f(－1)．(3)a0＋a2＋a4＋a6＋…＝f（1）＋f（－1）2．(4)a1＋a3＋a5＋a7＋…＝f（1）－f（－1）2．(5)a0＝f(0)．☞想一想：设(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a0＋a1＋a2＋…＋a8的值为1．自测自评1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)100的展开式的各项系数之和为(C)A．199 B．2100－1 C．2101－1 D．21002．在(1＋x)n(n∈N＋)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝(C)A．8 B．9 C．10 D．11解析：由题意(1＋x)n展开式中，x5的系数就是第6项的二项式系数，因为只有它是二项式系数中最大的，所以n＝10. 故选C.3．设(x＋2)(2x＋3)10＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(B)A．0 B．1 C．6 D．15解析：令x＝－1，则1＝a0＋a1＋a2＋…＋a11，故选B.对二项式定理理解不透致误【典例】设n∈N*，则C1n＋C2n6＋C3n62＋…＋C n n6n－1＝________．解析：原式＝16(C1n6＋C2n62＋C3n63＋…＋C n n6n)＝16(C0n＋C1n6＋C2n62＋C3n63＋…＋C n n6n－1)＝16[(1＋6)n－1]＝16(7n－1)．【易错剖析】由于对二项式定理理解不透，误认为C1n＋C2n6＋C3n62＋…＋C n n6n－1＝(1＋6)n－1＝7n－1，导致结果错误．基础巩固1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是(C)A．n，n＋1B．n－1，nC．n＋1，n＋2D．n＋2，n＋32．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n(n∈N*)，若a0＋a1＋…＋a n ＝30，则n等于(C)A．5 B．3 C．4 D．7解析：令x＝1得a0＋a1＋…＋a n＝2＋22＋…＋2n＝30得n＝4.3．关于(a－b)10的说法，错误的是(C)A．展开式中的二项式系数之和是1 024B．展开式的第6项的二项式系数最大C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小解析：由二项式系数的性质知，C010＋C110＋C210＋…＋C1010＝210＝1 024.∴A正确．又二项式系数最大的项为C 510，是展开式的第6项．∴B 正确．又由通项T r ＋1＝C r 10a10－r (－b )r ＝(－1)r C r 10a10－rb r 知，第6项的系数－C 510最小．∴D 正确．4．下图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为________．1 3 3 5 6 5 7 11 11 7 9 18 22 18 9 … … … … … …解析：由1，3，5，7，9，…，可知它们成等差数列，所以a n ＝2n －1. 答案：2n －1 能力提升5．若(1＋a )＋(1＋a )2＋(1＋a )3＋… ＋(1＋a )n ＝b 0＋b 1a ＋b 2a 2＋… ＋b n a n，且b 0＋b 1＋b 2＋… ＋b n ＝30，则自然数n 的值为(C )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：令a ＝1，得b 0＋b 1＋b 2＋…＋b n ＝2＋22＋ (2)＝2（2n－1）2－1＝2n ＋1－2，又b 0＋b 1＋b 2＋…＋b n ＝30，∴2n ＋1－2＝30，解得n ＝4.6．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝(B )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：由题知a ＝C m 2m ，b ＝C m ＋12m ＋1，所以13C m 2m ＝7C m ＋12m ＋1，即＝13×（2m ）！m ！m ！＝7×（2m ＋1）！（m ＋1）！m ！，解得m ＝6，故选B.7．若⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n 的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n 的展开式的二项式的二项系数之和为64，∴2n＝64，∴n ＝6，由二项式定理的通项公式可知，Tr ＋1＝C r n·(2x )6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝26－r (－1)r ·C r 6·x3－r. 当r ＝3时，展开式的常数项23(－1)3·C 36＝－160.8．若⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 3n展开式的各项系数之和为32，则n ＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．解析：依题意得2n＝32，∴n ＝5， ∵T r ＋1＝C r5(x 2)5－r·⎝⎛⎭⎫1x 3r＝C r 5x 10－5x.令10－5r＝0，得r＝2，∴常数项为T3＝C25＝10.答案：5 109．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．解析：由题意知，C n n＋C n－1n＋C n－2n＝121，即C0n＋C1n＋C2n＝121，所以1＋n＋n（n－1）2＝121，即n2＋n－240＝0，解得：n＝15或－16(舍去)．所以在(1＋3x)n展开式中二项式系数最大的项是第8、9两项，且T8＝C715(3x)7＝C71537x7，T9＝C815(3x)8＝C81538x8.10．(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除(n∈N*)；(2)求S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数．(1)证明：1＋2＋22＋…＋25n－1＝25n－12－1＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝C0n×31n＋C1n31n－1＋…＋C n－1n×31＋C nn－1＝31(C0n×31n－1＋C1n×31n－2＋…＋C n－1n)，显然上式括号内为整数，故原式能被31整除．(2)解析：S＝C127＋C227＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C09×99－C19×98＋…＋C89×9－C99－1＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89)－2＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89－1)＋7，显然上式括号内的数是正整数．故S除以9的余数是7.。

学案8：1.3.2　杨辉三角

1.3.2 杨辉三角三点剖析一、有关系数和的问题例1 设（23-x ）100=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 100x 100，求下列各式的值：（1）a 0；（2）a 1+a 2+…+a 100；（3）a 1+a 3+a 5+…+a 99；（4）（a 0+a 2+…+a 100）2-（a 1+a 3+…+a 99）2.温馨提示本题采用了赋值法求各项系数之和.一般地，若f （x ）=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ，则f （x ）展开式各项系数之和为f （1），奇数项系数之和为a 0+a 2+a 4+…=2)1()1(-+f f ，偶数项系数之和为a 1+a 3+a 5+…=2)1()1(-+f f . 二、系数最大项问题例2 已知在（x -213x ）n 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大.（1）求n ；（2）求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项.温馨提示注意“系数”与“二项式系数”在概念上的区别，否则会得出“系数最大的项为T 4，而系数最小的项为T 1和T 7”的错误结论.一系列数的大小比较问题，其数学模型就是数列中各项的大小比较问题，而数列{a n }的各项大小排队方法无外乎单调性法、作差法、作商法等.本题用了作商与1比较的方法.三、二项式定理性质的综合应用例3 试证明下列组合恒等式：（1）C m m +1C m m ++2C m m ++…+2C m m =121C m m ++；（2）若a n 为等差数列，d 为公差，求证：a 10C n+a 21C n +…+a n +1C n n =（2a 1+nd ）2n -1.温馨提示（1）不要误写为12C m m +；（2）不要误写为（2a 1+nd ）·2n ，像C m m 改写成11C m m +-后出现的连锁反应一样.各个击破类题演练1设（2x-1）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，求：（1）a0+a1+a2+a3+a4；（2）|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|；（3）a1+a3+a5；（4）（a0+a2+a4）2-（a1+a3+a5）2.变式提升1求（1+2x+x2）10（1-x）5展开式中各项系数的和.类题演练2（1+2x）n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.变式提升2求（2+x ）10展开式系数最大的项.类题演练 3设（a +b ）20的展开式的第4r 项的系数与第r +2项的系数相等，求r 的值.变式提升 3（1）求1C n +22C n +32C n +…+C n n n 的值；（2）求1C n +22C n +32C n +…+ 12C n n n 的值.参考答案三点剖析一、有关系数和的问题例1 解：（1）由（23-x ）100展开式中的常数项为0100C ·2100，即a 0=2100，或令x =0，则展开式可化为a 0=2100.（2）令x =1，可得a 0+a 1+a 2+…+a 100=（23-）100，①∴a 1+a 2+…+a 100=（23-）100-2100.（3）令x =-1，可得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 100=（2+3）100.②与x =1所得到的①联立相减可得， a 1+a 3+…+a 99=2)32()32(100100+--. （4）原式=［（a 0+a 2+…+a 100）+（a 1+a 3+…+a 99）］［（a 0+a 2+…+a 100）-（a 1+a 3+…+a 99）］ =（a 0+a 1+a 2+…+a 100）（a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 98-a 99+a 100）=（2-3）100（2+3）100=1.例2 解：（1）因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以n 是偶数，第6项即为中间项， ∴2n +1=6，得n =10. （2）展开式的通项是T r +1=r C 10（-1）r ·2-r ·630rx -，系数的绝对值是rC 10·2-r ，若它最大则 ⎪⎩⎪⎨⎧•≥•≥•+---+-+-)1(11010)1(110102222r r r r r r r r C C C C ， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-+⇒211,21101rr r r ⇒38≤r ≤311. ∵r ∈N *，∴r =3，∴系数绝对值最大的项是第4项，即310C -·2-3·92x =.系数最大的项应在项数为奇数的项之内，即r 取偶数0，2，4，6，8时，各项系数分别为010C 2915x -=1，210C ·2-2=445.410C ·2-4=8105，610C ·2-6=32105，810C ·2-n =25645， ∴系数最大的项是第5项，即8105313x . 例3 思路分析：（1）将C m m 写成11C m m ++后，连续使用组合数性质：1C r n -+11C r n --=C r n 可得结果.（2）本质上是一个求和问题，用“逆序求和”思想可得结果.解：（1）C m m +1C m m ++…+2C m m +=11++m m C +1C m m ++m m C 2++…+2C m m=12++m m C +m m C 2++…+2C m m =…=121C m m ++.（2）令S =a 10C n +a 21C n +…+a n +1C n n .则S =a n +1C n n +a n 1C n n -+…+a 10C n .∵C k n =C n k n -，∴将以上两式相加，得2S =0C n （a 1+a n +1）+1C n （a 2+a n ）+…+C n n （a n +1+a 1）.又∵{a n }是等差数列，∴a 1+a n +1=a 2+a n=a 3+a n -1=…=a n +1+a 1.∴2S =（a 1+a n +1）（0C n +1C n +…+C nn ），∴2S =（2a 1+nd ）·2n ，∴S =（2a 1+nd ）·2n -1.各个击破类题演练 1解：设f （x ）=（2x -1）5=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 5x 5，则f （1）=a 0+a 1+a 2+…+a 5=1，f （-1）=a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5=（-3）5=-243.（1）∵a 5=25=32，∴a 0+a 1+a 2+a 3+a 4=f （1）-32=-31.（2）|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 5|=-a 0+a 1-a 2+a 3-a 4+a 5=-f （-1）=243.（3）∵f （1）-f （-1）=2（a 1+a 3+a 5），∴a 1+a 3+a 5=2244=122. （4）（a 0+a 2+a 4）2-（a 1+a 3+a 5）2=（a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5）（a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5）=f （1）×f （-1）=-243.变式提升 1解：（1+2x +x 2）10（1-x ）5=（1+x ）20·（1-x ）5=（020C +120C x +220C x 2+…+2020C x 20）［05C +15C （-x ）1+…+55C （-x ）5］ =A 0+A 1x +A 2x 2+A 3x 3+…+A 25x 25，对于x 取任意给定的数，等式左右两边的值总相等，令x =1，则0=A 0+A 1+A 2+A 3+…+A 25，∴展开式中各项系数的和为0.类题演练 2解：根据已知条件可求出n ，再根据n 的奇偶性，确定出二项式系数最大的项. T 6=5C n （2x ）5，T 7=6C n （2x ）6，依题意有5C n 25=6C n ·26⇒n =8.∴（1+2x ）8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5=48C ·（2x ）4=1 120x 4.设第r +1项系数最大，则有11881188C'2'C 2,C'2'C 2,r r r r --++⎧•≥•⎪⎨•≥•⎪⎩ ∴r =5，或r =6（∵r ∈{0，1，2，…，8}）.∴系数最大的项为T 6=1 792x 5，T 7=1 792x 6.变式提升 2解：设第r +1项的系数最大，则有 ⎪⎩⎪⎨⎧•≥••≥•++--,2'2',2'2'11881188r r r r C C C C即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧•-+≥•-•--≥•-----,2)!9()!1(!102)!10(!!10,2)!11()!1(!102)!10(!!109101110r r r r r r r r r r r r 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥--≥.11102,1121r r r r ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤,38,311r r ∴r =3时，T 4=310C ·27·x 3为所求的系数最大的项.类题演练 3解：设（a +b ）20的展开式的第4r 项系数为4120C r -，第r +2项系数为4120C r +，依题意得4120C r -=4120C r +，∴4r -1=r +1，或4r -1+r +1=20.解得r =32（舍去），r =4. ∴r =4即为所求.变式提升 3解：（1）设原式为S ，则S =00C n +11C n +22C n +33C n +…+（n -1）1C n n -+n C n n . 将上式倒序写出并考虑到C r n =C n r n -，得S =0C n n +（n -1）1C n +（n -2）2C n +…+11C n n - +0C n n ，两式相加并考虑到n +0=（n -1）+1=（n -2）+2=…=1+（n -1）=0+n =n ，得2S =n （0C n +1C n +2C n +3C n +…+C n n）=n ·2n ， ∴1C n +22C n +33C n +…+n C n n=n ·2n -1. （2）原式可写成S =1C n +2C n 21+3C n 22+…+C n n2n -1，考虑（1+2）n =0n C +1n C 21+2C n 22+3C n 23+…+C n n2n ，显然有2S =1C n 21+2C n 22+3C n 23+…+C n n2n =3n -1，于是S =213-n .。

《1.3.2 杨辉三角与二项式系数性质》导学案

高一数学必修2-3 1.3--02《1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质》导学案编撰崔先湖姓名班级组名 .【学习目标】1. 1掌握二项式系数的性质2利用二项式定理求有关系数的和【学习重点】如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题【学习难点】如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题【学法指导】自主学习与合作学习相结合。

【导学学过程】一教材导读探究任务一：杨辉三角问题1：在n b a )(+展开式中，当n ＝1，2，3，…时，各项的二项式系数有何规律？()1b a +()2b a + ()3b a + ()4b a + ()5b a +()6b a +新知1：上述二项式系数表叫做“杨辉三角”，表中二项式系数关系是探究任务二二项式系数的性质问题2：设函数()rn C r f =，函数的定义域是，函数图象有何性质？（以n ＝6为例）新知2：二项式系数的性质⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是2nr =.练习1① 在(a ＋b)6展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( ) A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项② 若()n b a +的展开式中，第三项的二项式系数与第五项的二项式系数相等，则n ＝ .反思：为什么二项式系数有对称性？⑵ 增减性与最大值：从图象得知，中间项的二项式系数最，左边二项式系数逐渐，右边二项式系数逐渐 .当n 是偶数时，中间项共有项，是第项，它的二项式系数是，取得最大值；当n 是奇数时，中间项共有项，分别是第项和第项，它的二项式系数分别是和，二项式系数都取得最大值.练习：n b a )(+的各二项式系数的最大值是⑶ 各二项式系数的和：在n b a )(+展开式中，若1==b a ，则可得到 =+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++nn r n n n C C C C 10即 =+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++nn r n n n C C C C 21二、题型导航题型一、单调性的应用【例1】求()1012x +的展开式中系数最大的项．变式1：在二项式(x-1)11的展开式中, ⑴ 求二项式系数最大的系数的项； ⑵ 求项系数最小的项和最大的项.解题总结题型二、二项式系数和的问题【例2】．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的变式2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：（1）127a a a +++；（2）1357a a a a +++；（3）017||||||a a a +++.解题总结题型三对称性的应用【例3】设二项式()*33312N n x x∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的展开式中第7项的系数与倒数第7项的系数之比为1:6.（1）求n（2）展开式中有多少项的系数是有理数，并求出。

人教高中数学选修2-3第一章132杨辉三角教学设计

1.3.2杨辉三角周兰英【教学目标】知识与技能：1、使学生了解杨辉及杨辉三角的有关历史，掌握杨辉三角的基本性质；2、探索杨辉三角中行、列数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质之间联系，并能归纳这些数字规律；3、会用数学归纳法及问题情景法证明发现的数字规律.方法与过程：1、培养学生独立思考与相互交流结合的意识，使学生基本掌握“观察——分析——猜想——证明”的科学研究方法；2、利用简短的视频放映，向同学们简要介绍杨辉三角历史，提高同学们学习数学的乐趣，增强民族自豪感;3、通过练习以及杨辉三角与纵横路线图，杨辉三角与弹子游戏，培养学生形成知识间相互联系的意识，并形成探究知识、建构知识的研究型学习习惯，为进一步学习作好准备.情感、态度与价值观：1、了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国主义精神．2、在知识的应用中，培养学生数学应用和科学研究的意识和能力，以及乐于探索、勇于创新的科学精神.【教学重点、难点】重点：杨辉三角的性质的发现难点：引导学生发现杨辉三角中的行、列的数字规律【教学方法与教学手段】引导探索——合作交流——发现计算机辅助教学【教学过程】复习回顾简要回顾二项式定理，通项以及二项式系数相关概念.一．本节知识点1.杨辉三角：(a+b)1 …………………………………………………1 1(a+b)2………………………………………………1 2 1(a+b)3……………………………………………1 3 3 1(a+b)4…………………………………………1 4 6 4 1(a+b)5………………………………………1 5 10 10 5 1(a+b)6………………………………………1 6 15 20 15 6 1第行 1 (1)第行1 (1)杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？（至少两点）2.二项式系数的性质（用式子表示）（1）（对称性）（2）当为偶数时，最大；当为奇数时，最大（增减性与最大值）（3）（各二项式系数的和）二、简单介绍杨辉——古代数学家的杰出代表杨辉，杭州钱塘人. 中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多. 其中《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界.“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．三．例题精选例1.证明：在展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.例2.已知.求变式：，则________________________.思路：赋值法四、介绍杨辉三角的一些数字规律1. 2.3. 4.五、杨辉三角与纵横路线图“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A 处走到B处(只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？六、杨辉三角与弹子游戏如图的弹子游戏，小球(黑色) 向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。

河北省承德市高中数学第一章计数原理 1.3.2“杨辉三

(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2016的值．
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2015的值．
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2016|的值．
答案
牛刀小试1.C 2. C 3. B 4. 8 5. 80
A．5B．6C．7D．8
2．(2015·新课标Ⅰ理，10)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()
A．10 B．20 C．30 D．60
3．(2014·秦安县西川中学高二期中)已知(1＋2x)n的展开式中所有系数之和等于729，那么这个展开式中x3项的系数是()
A．56B．160C．80D．180
三与杨辉三角有关的问题
例3如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于()
A．144B．146
C．164D．461二项式系数与项的系数的区分
跟踪训练3如图所示，满足：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似杨辉三角，将第n(n≥2)行的第m个数记作a(n，m)，则a(100,2)＝________.
2.新知识学习
1．表一称作______________．
2．从表一可以看出：
(1)二项展开式中第k(1≤k≤n＋1)项的系数恰为组合数C .
(2)在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数__________，即C ＝__________，C ＝__________，C ＝__________，…，C ＝__________.
(5)C ＋C ＋C ＋…＋C ＝__________．
(6)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C ＋C ＋C ＋…＝_________________________＝__________.

高中数学_1.3.2杨辉三角教学设计学情分析教材分析课后反思

《杨辉三角》教学设计1 教材分析《杨辉三角》是人教B版普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3第一章1.3.2节的内容，是学生学习了二项式定理后进一步学习二项式系数性质的课例.杨辉三角的数字规律揭示了二项式系数的若干性质，蕴含着丰富的数学规律和重要的数学思想方法.是一个很好的探究学习的课例.“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，除杨辉外，贾宪、朱世杰、华罗庚对杨辉三角都有深入的研究.应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激发学生的民族自豪感.本节内容以前面学习的二项式定理为基础，运用特殊到一般的数学思想方法进行思考，发现规律，形成证明思路. 这一过程不仅有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识.研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位.2 学情分析【知识基础】在此之前，学生学习了计数原理、排列组合、二项式定理的有关知识.【能力基础】高二学生有能力进行教师引导下的小组合作探究学习.【方法基础】在此之前，学生已经学习了推理与证明，对于归纳、猜想、验证、证明的思想方法较为灵活的使用.【难点预测】二项式系数性质的发现以及将其公式化的过程.3 目标分析【知识与技能目标】了解杨辉三角的历史，掌握二项式系数的基本性质；【过程与方法目标】通过“自主发现性质、证明性质、运用性质”的学习过程，掌握二项式系数的一些性质，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力,体会归纳推理、赋值法等重要数学思想方法；【情感、态度与价值观目标】渗透爱国主义教育，培养学生独立思考、交流讨论、汇总见解的能力.激发学生的探究渴望.4 教学重难点【教学重点】二项式系数的性质及其应用.【教学难点】杨辉三角的基本性质的探索和发现.5 教法学法观察、探究、发现、合作交流.6 教学过程6.1 复习引入1、二项式定理：________________________________________________；通项：；二项式系数：______________________________________________；[来源:Zxxk.Cm]2、n )1(x +=________________________________________________；【师生活动】教师提问，学生齐答，师班互动.【设计意图】通过复习上节课所学，导入新课，为后面探究新知做好准备.6.2 品读历史1、列出n)(b a +的展开式中当n 取1,2,3,4，5,6......时的二项式系数表. 0)(b a + (1)1)(b a + …………………………………… 1 12)(b a + ………………………………… 1 2 13)(b a +……………………………………1 3 3 14)(b a +………………………………1 4 6 4 15)(b a +………………………… 1 5 10 10 5 16)(b a +………………………1 6 15 20 15 6 1 7)(b a +…………………1 7 21 35 35 21 7 1……………………………n b a )(+…………0n C 1n C2n C …………………………… n n C2、杨辉三角的历史杨辉，南宋数学家，于1261年著《详解九章算法》，在其中详细列出了这样一张图表，并且指出这个方法出于我国11世纪数学家贾宪的著作《黄帝九章算法细草》.在欧洲一般认为这是帕斯卡（Pascal ）于1654年发现的，称这个图形为“帕斯卡三角”.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年，也说明了古代中华民族就在数学上有着辉煌的成就.【师生活动】师生共同列出n )(b a +展开式当n 取1,2,3,4，5,6……时的二项式系数表.【设计意图】动手列表，品读历史，培养学生的爱国情感，激发学生的探究热情.6.3 探究性质1、问题：观察杨辉三角你能发现哪些数量关系？由此得到二项式系数具有哪些性质？【师生活动】学生小组合作学习，教师适时点拨.【设计意图】通过对杨辉三角多角度的观察，引导发现其规律，培养学生的观察力，特殊到一般的归纳猜想能力.2、展示探究结果性质1 对称性性质2 递推性性质3 二项式系数和12 ………………………………………………… 1 122 …………………………………………………1 2 132 ………………………………………………1 3 3 142 ……………………………………………1 4 6 4 1 52 …………………………………………1 5 10 10 5 1 62 ………………………………………1 6 15 20 15 6 1性质4 二项式系数最大：通过比较r n C 与1-r n C 的大小得出.深入探究性质 ➢二项式系数横行排列所得数与11的方幂的关系111 ………………………………………………… 1 1211 …………………………………………………1 2 1311 ………………………………………………1 3 3 1411 ……………………………………………1 4 6 4 1 511 …………………………………………1 5 10 10 5 1 611 ………………………………………1 6 15 20 15 6 1教师升华 1 4 6 4 1× 1 1_____________________________1 4 6 4 11 4 6 4 1_____________________________1 5 10 10 5 1➢二项式系数与斐波那契数列的关系1 123 5 8 ……______________________________________1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1斐波那契数列简介著名的兔子繁殖问题：如果有一对小兔，每一个月都生下一对小兔，而所生下的每一对小兔在出生后的第三个月也都生下一对小兔.那么，由一对兔子开始，满一年时一共可以繁殖成多少对兔子？兔子对数1,1,2,3,5,8,13,21,……组成的数列就是著名的斐波那契数列，此数列在自然界中的出现是如此地频繁，请同学们观察下列花瓣数目：学生会惊奇的发现确实组成斐波那契数列.➢杨辉三角中，任一列前n 个数之和规律是什么？证明你的结论？ 1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1【师生活动】教师从其他观察角度引导学生发现.【设计意图】让学生深入体会杨辉三角的奥妙无穷，激发学生的学习热情.6.4 应用性质6.4.1 杨辉三角在数学中的应用例1 已知nx )1(2-展开式的各项二项式系数和等于512，求展开式中二项式系数最大的项.【师生活动】学生独立完成,选择一名同学投影展示问题解决过程.【设计意图】二项式系数性质及二项展开式通项公式的灵活应用.例2 填空：设0177888)13(a x a x a x a x ++++=- ，则（1）=+++178a a a ______________;（2）=+-+-+-+-012345678a a a a a a a a a ______________;（3）=++++02468a a a a a ______________.【师生活动】学生思考,回答.【设计意图】一方面注意区分二项式系数和以及各项系数和，另一方面会应用赋值法解决问题.6.4.1 杨辉三角在实际生活中的应用➢杨辉三角与高尔顿板在游艺场，可以看到如图的弹球游戏，小球(黑色) 向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。

人民教育A版选修2-3 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质导学案导学案

1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》导学案制作朱春梅高二数学组 2016-05-23【学习目标】1.了解杨辉三角，并能有它解决简单的二项式系数问题.2.了解二项式系数的性质并能简单应用.3.掌握“赋值法”并会灵活应用.【重点难点】重点：二项式系数性质的应用.难点：杨辉三角的特点.【预习导航】1.计算展开式的二次项系数填入下表1.你能发现什么规律？2.通过查资料认识“杨辉三角”.3.复习二项式定理与二项式系数.探究活动一：“杨辉三角”1）．“杨辉三角”的来历.2）.你能从“杨辉三角”中发现什么规律吗？探究活动二：函数角度下的二项式系数探究活动三：二项式系数的性质1）.2）.3）.()nb a+【应用训练】例1 证明：在()nb a + 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．例2 已知nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-23的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x 的一次项系数．变式：()nx 21+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.【课堂巩固练习】1.n nn n n n C C C C 1321242-++++ 等于（） 2.()9b a +的展开式中，二项式系数的最大值为____________.3.若()n b a +的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n=_________.4.已知二项式 nx x ⎪⎭⎫⎝⎛+212的展开式中，前三项的二项式系数和是56.求：（1）n 的值；（2）求展开式中的常数项.【总结概括】本节课的收获：【课后作业】习题1.3 P37A 组第8题 B 组第 1题nA 3.13.-n B 213.-nC 123.-n D。

【高二】高二数学“杨辉三角”与二项式系数的性质导学案

【高二】高二数学“杨辉三角”与二项式系数的性质导学案
第13时
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质(一)
学习目标
掌握二项式系数的性质.培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力.
学习过程
一、学前准备
复习：（本P37B2）求证：
.
二、新导学
◆探究新知（预习教材P29～P31，找出疑惑之处）
问题1：计算展开式的二项式系数并填入下表：
展开式的二项式系数
1
2
3
4
5
6
◆应用示例
例1．（本P34例3）试证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
◆反馈练习
1. （本P35练1）填空：
（1）的各二项式系数的最大值是；
（2） ;
(3) .
2. （本P35练2）证明（是偶数）.
三、当堂检测
1. （本P40A(7)）的展开式中，系数最大的项是第项.
2.已知为正偶数，且的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是 .
3.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（）.
A.-7
B.7
C.-28
D.28
2.（本P35练3）写出从1到10的二项式系数表.
后作业
1．（本P37A7）利用杨辉三角，画出函数
的图象.
2. （本P37A8）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数.
3.已知在的展开式中，第6项为常数项.（1）求；（2）求含的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.
感谢您的阅读，祝您生活愉快。

学案9：1.3.2　杨辉三角

1.3.2 杨辉三角学习目标1.使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律.(难点)2.掌握二项式系数的性质及其应用.(重点)3.掌握“赋值法”并会灵活运用. 基础·初探教材整理1 杨辉三角杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是，与这两个1等距离的项的系数 .(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的，即 . 预先自测1.如图是一个类似杨辉三角的图形，则第n 行的首尾两个数均为________.1 3 3 5 6 5 7 11 11 7 9 18 22 18 92.如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14与第15个数之比为2∶3.1 1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1……教材整理2 二项式系数的性质1.每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和.2.每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等.3.如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项T n2＋1的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项T n ＋12与T n ＋12＋1的二项式系数相等且最大.4.二项展开式的二项式系数的和等于2n . 预习自测1.已知(a ＋b )n 展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 等于________.2.已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于________.3.(2x－1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为________.合作探究类型1 与“杨辉三角”有关的问题例1如图，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为S n，求S19的值.名师指导“杨辉三角”问题解决的一般方法观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察.如表所示：跟踪训练1.如图所示，满足如下条件：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似“杨辉三角”.则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________.类型2 求展开式的系数和例2设(1－2x)2 017＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 017·x2 017(x∈R).(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 017的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 017的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 017|的值.名师指导1.解决二项式系数和问题思维流程.2.“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值.一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.跟踪训练2.若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6.探究共研型探究点二项式系数性质的应用探究1根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？探究2计算C k nC k－1n，并说明你得到的结论.探究3二项式系数何时取得最大值？例3已知f(x)＝(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.名师指导1.求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.2.求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得. 跟踪训练 3.已知(a 2＋1)n展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值. 课堂检测 1.(1＋x )2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是( )A.n ，n ＋1B.n －1，nC.n ＋1，n ＋2D.n ＋2，n ＋32.已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n 的值等于( )A.64B.32C.63D.313.若(x ＋3y )n 的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________.4.已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________.5.在⎝⎛⎭⎫x －2x 28的展开式中， (1)求系数的绝对值最大的项； (2)求二项式系数最大的项； (3)求系数最大的项； (4)求系数最小的项.参考答案基础·初探教材整理1 杨辉三角 (1)1 相等(2)和 C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n预先自测1.【答案】 2n －1【解析】由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以a n ＝2n －1. 2.【答案】 34【解析】设第n 行从左到右第14与第15个数之比为2∶3，则3C 13n ＝2C 14n，即3n ！13！(n －13)！＝2n ！14！(n －14)！，解得n ＝34.教材整理2 二项式系数的性质 1. 1 它“肩上”两个数的和 2. “等距离” 4. 2n 预习自测 1.【答案】 8【解析】因为只有第5项的二项式系数最大，所以n2＋1＝5，所以n ＝8.2.【答案】 5【解析】二项式系数之和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ＝32，所以n ＝5.3.【答案】 1－3102【解析】因为(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，再令x ＝－1，得310＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10，两式相减，可得a 1＋a 3＋…＋a 9＝1－3102.合作探究类型1 与“杨辉三角”有关的问题例1 解：S 19＝(C 22＋C 12)＋(C 23＋C 13)＋(C 24＋C 14)＋…＋(C 210＋C 110)＋C 211＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋…＋C 210＋C 211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C 312＝(2＋10)×92＋220＝274. 跟踪训练1.【答案】 46 n 2－n ＋22【解析】由图表可知第10行的第2个数为：(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第n 行的第2个数为：[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋1＝n (n －1)2＋1＝n 2－n ＋22.类型2 求展开式的系数和例2 解：(1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝(－1)2 017＝－1.① (2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 017＝32 017.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＝－1－32 017， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017＝－1－32 0172.(3)∵T r ＋1＝C r 2 017(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2 017·(2x )r，∴a 2k －1＜0(k ∈N ＋)，a 2k ＞0(k ∈N ). ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 017| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 017＝32 017. 跟踪训练2.解：(1)令x ＝0，则a 0＝－1；令x ＝1，得a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128，① 所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝129.(2)令x ＝－1，得－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7，② 由①－②得2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝128－(－4)7， ∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝8 256.(3)由①＋②得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝128＋(－4)7， ∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－8 128.探究共研型探究点二项式系数性质的应用探究1 【提示】对称性，因为C m n ＝C n －mn，也可以从f (r )＝C r n 的图象中得到.探究2 【提示】 C k nC k －1n＝n －k ＋1k .当k <n ＋12时，C k nC k －1n >1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k >n ＋12时，二项式系数逐渐减小.探究3 【提示】当n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项12Cn n，12Cn n+ 相等，且同时取得最大值. 例3 解：令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n ＝992. ∴(2n )2－2n －992＝0， ∴(2n ＋31)(2n －32)＝0，∴2n ＝－31(舍去)或2n ＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是 T 3＝C 25(23x )3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(23x )2(3x 2)3＝270223x .(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r ·23x (5＋2r ).假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3，∴⎩⎨⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4. ∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 4523x (3x 2)4＝405x 263. 跟踪训练3.解：由⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5，得T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫165x 25－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝⎝⎛⎭⎫1655－r ·C r 52052rx -，令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0，所以r ＝4，常数项T 5＝C 45×165＝16. 又(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于2n ，由此得到2n ＝16，n ＝4.所以(a 2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T 3＝C 24a 4＝54，所以a ＝± 3.课堂检测 1.【答案】 C【解析】该展开式共2n ＋2项，中间两项为第n ＋1项与第n ＋2项，所以第n ＋1项与第n ＋2项为二项式系数最大的项. 2.【答案】 B【解析】 C 0n ＋2C 1n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729， ∴n ＝6，∴C 16＋C 36＋C 56＝32.3.【答案】 5【解析】 (7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n 中x＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5. 4.【答案】 1【解析】 (a －x )5展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5a5－r x r ，令r ＝2，得a 2＝(－1)2C 25a 3＝80，解得a ＝2，即(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.5.解：T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝⎛⎭⎫－2x 2r ＝(－1)r C r 82r 524r x -. (1)设第r ＋1项系数的绝对值最大.则⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，∴⎩⎨⎧18－r ≥2r ＋1，2r ≥19－r .解得5≤r ≤6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项. (2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项. 所以T 5＝C 48·24·2024x-＝1 120x －6.(3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正.则系数最大的项为T 7＝C 68·26·x－11＝1 792x－11.(4)系数最小的项为T 6＝(－1)5C 58·25172x-x －172＝－1 792172x -.。

学案5：1.3.2 杨辉三角

1.3.2杨辉三角课时目标1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用．知识链接1．二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？2．根据杨辉三角的第1个规律，同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？3．二项式系数何时取得最大值？预习导引1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数；(2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的，即C r n＋1＝＋. 2．二项式系数的性质对称性在(a＋b)n展开式中，与首末两端“ ”的两个二项式系数相等，即C m n＝增减性与最大值增减性：当k＜n＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当k＞n＋12时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数2Cnn，最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数12Cnn-，12Cnn+相等，且同时取得最大值各二项式系数的和①C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝②C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝探究一与杨辉三角有关的问题解决与杨辉三角有关的问题一般方法是观察法，观察时可以横看、竖看、斜看等多角度观察，找出数据之间的关系．由特殊到一般推出对应规律，用数学式子表达出来，并进行简单说明所得规律的正确性．例1.如图所示，在杨辉三角中，第n条和第(n＋1)条细斜线上各数之和与第(n＋2)条细斜线上各数之和的关系如何？证明结论．思路分析：此题可先从特殊行得出结论，然后再证明其一般性，如令n＝2，去探究第2条和第3条细斜线上各数之和与第4条细斜线上各数之和的关系．x）100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列各式的值：变式1.设（23（1）a0;（2）a1+a2+…+a100;（3）a1+a3+a5+…+a99;（4）（a0+a2+…+a100）2-（a1+a3+…+a99）2.探究二求展开式的各项系数之和赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项．一般地，对于多项式f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，各项系数和为f (1)．奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]，a 0＝f (0)．例2.已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.思路分析：本题考查求二项展开式系数和问题，常用赋值法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值．变式2.已知在（x -213x ）n 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大.（1）求n ;（2）求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项.探究三求系数最大的项解决此类问题首先要注意区分“二项式系数最大”“展开式系数最大”及“最大项”．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．而求展开式中系数最大项需根据各项系数的正、负变化情况，采用列不等式(组)的方法求解，在系数均为正数的前提下，只需比较相邻两个系数的大小，即设第(r ＋1)项的系数最大，则⎩⎪⎨⎪⎧T r ＋1的系数≥T r 的系数，T r ＋1的系数≥T r ＋2的系数．例3.已知(3x ＋x )2n 的展开式的系数和比(3x －1)n 的展开式的系数和大992.(1)求在⎝⎛⎭⎫2x －1x 2n 的展开式中，二项式系数最大的项；(2)求在⎝⎛⎭⎫2x －1x 2n 的展开式中，系数的绝对值最大的项．思路分析：首先根据题目条件确定n 值，(1)中根据指数的奇偶性确定所求的项，(2)列出不等式组求解．变式3.试证明下列组合恒等式：（1）C mm +1C mm ++2C mm ++…+2C mm =121C m m ++;（2）若a n 为等差数列，d 为公差，求证：a 10C n +a 21C n +…+a n +1C n n =（2a 1+nd ）2n -1.强化训练答案1．在(1＋x )2n (n ∈N +)的展开式中，系数最大的项是( )A ．第n2＋1项B ．第n 项C ．第n ＋1项D ．第n 项与第n ＋1项2．(x －1x)10的展开式中，系数最大的项是( )A ．第3项B ．第6项C ．第3、6项D ．第5、7项3．若(1－2x )2 009＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 009x 2 009(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 00922 009的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－24．5310被8除的余数是( )A ．1B ．2C ．3D ．75．已知n ∈N +，则1＋3C 1n ＋32C 2n ＋…＋3n C n n 等于( )A ．3nB ．2nC ．4nD ．5n6．满足C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＋C n －2n ＋C n n>1 000的最小偶数n 为( )A．8 B．10 C．12 D．147．在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是第________项．8．如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第______行中从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3.9．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，若a1＋a2＋a3＋…＋a n－1＝29－n，则n＝________.10．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a3＋a5＋a7；(2)a0＋a2＋a4＋a6；(3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.参考答案知识链接1.答：不是．二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第一行只有一个数．实际上二项式系数表中的第n行与杨辉三角中的第n＋1行对应数值相等．，也可以从f(r)＝C r n的图象得到．2.答：对称性，因为C m n＝C n－mn3.答：当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项的二项式系数12C n n -，12Cn n+相等，且同时取得最大值．预习引导相等和 C r －1n ＋C r n 等距离 C n －mn2n 2n －1例1.解：第n 条和第(n ＋1)条细斜线上各数之和等于第(n ＋2)条细斜线上各数之和．证明如下：第n 条细斜线上各数之和为C 0n －1＋C 1n －2＋C 2n －3＋C 3n －4＋C 4n －5＋…，第(n ＋1)条细斜线上各数之和为C 0n ＋C 1n －1＋C 2n －2＋C 3n －3＋C 4n －4＋C 5n －5＋…，故这两条细斜线上各数之和为(C 0n －1＋C 1n －2＋C 2n －3＋C 3n －4＋C 4n －5＋…)＋(C 0n ＋C 1n －1＋C 2n －2＋C 3n －3＋C 4n －4＋C 5n －5＋…) ＝C 0n ＋(C 0n －1＋C 1n －1)＋(C 1n －2＋C 2n －2)＋(C 2n －3＋C 3n －3)＋(C 3n －4＋C 4n －4)＋…＝C 0n ＋1＋C 1n ＋C 2n －1＋C 3n －2＋C 4n －3＋….等式右边正好是第(n ＋2)条细斜线上各数之和，所以第n 条和第(n ＋1)条细斜线上各数之和与第(n ＋2)条细斜线上各数之和相等．变式1.解：（1）由（23-x ）100展开式中的常数项为0100C ·2100,即a 0=2100,或令x =0,则展开式可化为a 0=2100.（2）令x =1，可得a 0+a 1+a 2+…+a 100=（23-）100,① ∴a 1+a 2+…+a 100=（23-）100-2100. （3）令x =-1,可得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 100=（2+3）100.② 与x =1所得到的①联立相减可得，a 1+a 3+…+a 99=2)32()32(100100+--.（4）原式=［（a 0+a 2+…+a 100）+（a 1+a 3+…+a 99）］［（a 0+a 2+…+a 100）-（a 1+a 3+…+a 99）］ =（a 0+a 1+a 2+…+a 100）（a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 98-a 99+a 100） =（2-3）100（2+3）100=1.例2.解：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1，①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37，② (1)因为a 0＝C 07＝1，所以由①得，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－1－1＝－2.(2)由(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)由(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)因为(1－2x )7展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)．所以由(2)，(3)即可得其值为1 093－(－1 094)＝2 187.变式2.解：（1）因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以n 是偶数，第6项即为中间项，∴2n+1=6,得n =10. （2）展开式的通项是T r +1=10C r （-1）r ·2-r ·630r x-,系数的绝对值是10C r·2-r ,若它最大则1(1)10101(1)1010C 2C 2C 2C 2rrr r r r r r -+-+---+⎧•≥•⎪⎨≥•⎪⎩，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-+⇒211,21101rr r r ⇒38≤r ≤311.∵r ∈N +,∴r =3,∴系数绝对值最大的项是第4项，即310C -·2-3·92x =.系数最大的项应在项数为奇数的项之内，即r 取偶数0，2，4，6，8时，各项系数分别为010C =1，210C ·2-2=445.410C ·2-4=8105,610C ·2-6=32105,810C ·2-n =25645, ∴系数最大的项是第5项，即8105313x . 例3.解：由题意得22n －2n ＝992，解得n ＝5.(1)⎝⎛⎭⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，该项为T 6＝C 510·(2x )5·⎝⎛⎭⎫－1x 5＝－8 064. (2)设第(r ＋1)项的系数的绝对值最大，则T r ＋1＝C r 10·(2x )10－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 10·210－r ·x 10－2r，所以⎩⎪⎨⎪⎧C r 10·210－r ≥C r －110·210－r ＋1，C r 10·210－r ≥C r ＋110·210－r －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ C r 10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110，即⎩⎪⎨⎪⎧11－r ≥2r ，2(r ＋1)≥10－r . 2915x -解得83≤r ≤113.因为0≤r ≤10，且r ∈N ，所以r ＝3. 故系数的绝对值最大的项是第4项．该项为T 4＝C 310(2x )7⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－15 360x 4. 变式3.解：（1）C mm +1C mm ++…+2C mm + =11C m m +++1C mm ++2C mm ++…+2C mm =12C m m +++2C mm ++…+2C mm =…=121C m m ++. （2）令S =a 10C n +a 21C n +…+a n +1C nn . 则S =a n +1C nn +a n 1C n n -+…+a 10C n . ∵C kn =C n k n-,∴将以上两式相加，得2S =0C n （a 1+a n +1）+1C n （a 2+a n ）+…+C nn （a n +1+a 1）. 又∵{a n }是等差数列， ∴a 1+a n +1 =a 2+a n =a 3+a n -1 =…=a n +1+a 1.∴2S =（a 1+a n +1）（0C n +1C n +…+C nn ）, ∴2S =（2a 1+nd ）·2n , ∴S =（2a 1+nd ）·2n -1. 强化训练答案 1．【答案】C【解析】[因为2n 为偶数，且x 的系数为1，∴系数最大的项即为二项式系数最大的项且为中间一项，即第(n ＋1)项．] 2．【答案】D【解析】[根据二项展开式中系数的关系，注意到第6项的系数为－C 510，实际上最小，所以系数最大的项为第5、7项．] 3．【答案】C【解析】[本题主要考查赋值法在二项展开式中的应用，令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝12，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 00922 009＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 00922 009＝－1.]4．【答案】A【解析】[5310＝(56－3)10＝5610＋C 110569×(－3)＋C 210568×(－3)2＋…＋C 91056×(－3)9＋(－3)10.∴5310被8除的余数等于310被8除的余数．又310＝95＝(8＋1)5＝85＋C 1584＋…＋C 45×8＋1.∴所求余数为1.] 5．【答案】C【解析】[1＋3C 1n ＋32C 2n ＋…＋3n C n n ＝C 0n ＋C 1n 31＋C 2n ·32＋…＋C n n 3n ＝(1＋3)n ＝4n .]6．【答案】C【解析】[∵2n －1>1 000，∴n ≥11(n ∈N +)．] 7．【答案】6【解析】由题意，第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，∴C 3n ＝C 7n ，由组合数的性质，得n ＝10.∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项． 8．【答案】34【解析】假设满足条件的是第n 行，则从左至右第14个数和第15个数分别是C 13n ，C 14n，由题意可知C 13nC 14n ＝23，解之得n ＝34.9．【答案】4【解析】令x ＝1，解a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝2n ＋1－2；令x ＝0，得a 0＝n ，又a n ＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n ＋1－2－n －1＝29－n ，所以2n ＋1＝32，所以n ＝4.10．解：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1. ①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(2)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(3)∵(1－2x )7展开式中，a 0、a 2、a 4、a 6都大于零，而a 1、a 3、a 5、a 7都小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)，∴由(1)、(2)即可得其值为2 187.。

高中数学第一章计数原理 1.3.2 杨辉三角教案新人教B版3新人教B版数学教案

例2.已知展开式的各项二项式系数和等于1024，求展开式中含的项
杨辉三角
教学过程设计
教材处理
师生活动
三、随堂练习
1.填空：设则
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
2.求
3. 展开式的所有奇数项的系数和等于1024，求展开式中二项式系数最大项。
4.求展开式的各项系数和。
教学过程设计
教学
目标
1.掌握二项式系数的性质。
2.会求二项式系数和。
重点
难点
重点：理解杨辉三角的意义，掌握二项式系数的性质并会应用。
难点：二项式系数性质的应用。
教法
尝试、变式、互动
教具
教学过程设计
教材处理
师生活动
一、复习巩固
二项式系数性质
1.。
2.。
3.。
4.。
二、新知探究
例1.证明在的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和。
教材处理
师生活动
8.用二项式定理证明：
（1）能被整除；
（2）能被100整除。
附加.设，则
`
板书设计：
教学日记：
教学过程设计
教材处理
师生活动
5. 填空：
（1）已知那么；
（2）当n为偶数时，展开式中，二项式系数最大项是第项；
当n为奇数时，展开式中，二项式系数最大项是第项；
展开式中的含的奇次项系数的和。
7. 已知的展开式中，只有第6项的系数最大，求展开式中的常数项。

人教A版数学2-3选修1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质导学案设计

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质课前预习学案一、预习目标借助“杨辉三角”数表，掌握二项式系数的对称性，增减性与最大值。

二、预习内容1、二项式定理：________________________________________________；二项式系数：______________________________________________；2、( 1+x) n =________________________________________________；练一练：把( a+b) n （n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P 37的表格。

想一想：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？画一画：当n=6时，作出函数f （r ）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。

课内探究学案一、学习目标①了解“杨辉三角”的特征，让学生偿试并发现二项式系数规律；②通过探究，掌握二项式系数的性质，并能用它计算和证明一些简单的问题；二、学习重难点：学习重点：二项式系数的性质及其应用；学习难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。

三、学习过程（一）、杨辉三角的来历及规律问题1：根据( a+b) n （n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数表，你能发现什么规律？问题2：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？对于( a+b) n 展开式的二项式系数0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ，从函数角度看，r n C 可看成是以r 为自变量的函数f(r)，其定义域是{0，1，2，…，n}，令f(r)= r n C ，定义域为{0，1，2，…，n}问题3：当n=6时，作出函数f （r ）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。

（二）二项式系数的重要性质1、对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。

1.3.2杨辉三角学案

§1.3.2杨辉三角编制：王礼堂 2013.2.28班级：；姓名：学号：一、课前新知初探（1）学习目标学习目标：掌握二项式系数的性质，并会简单应用。

重点：理解杨辉三角的意义，掌握二项式系数的性质并会应用；难点：二项式系数的性质的应用。

（2）自主预习二项式系数的性质：1、在杨辉三角中每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的。

此性质反映了组合数的下列性质0n C = 。

n n C = 。

1m n C += 。

2、每一行中，与首末两端“ ”的两个数相等，此性质反映了组合数的性质 m n C = 。

3、如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项的二项式系数最大；如果n 是奇数，那么其展开式中间两项与的二项式系数相等且最大。

4、二项展开式的二项式系数的和等于，即012r n n n n n n C C C C C ++++++= ，且奇数项的二项式系数和偶数项的二项式系数和。

特别提醒：1、奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数相等。

当n 为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n 为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同。

2、系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致。

二、课堂互动探究（1）课堂提问二项式定理的展开式及其通项公式（2）典例剖析例1、证明0242n n n n n n C C C C ++++= （n 是偶数）变式训练：已知7270127(12)...x a a x a x a x -=++++.求：（1）127...a a a +++；（2）1357a a a a +++；（3）0246a a a a +++；（4）0127...a a a a ++++例2、已知331nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，只有第6项的系数最大，求展开式中的常数项。

学案6：1.3.2　杨辉三角

1.3.2 杨辉三角学习目标1.了解杨辉三角的特点．2.理解二项式系数的性质及证明．3.掌握二项式系数的性质及其应用．新知提炼二项式系数的性质(杨辉三角)(1)每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和．即：C 0n ＝，C n n ＝，C m n ＋1＝．(2)每一行中，的两个数相等．即：C m n ＝C n －m n. (3)如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式的二项式系数最大；如果n 是奇数，那么其展开式中间两项T n ＋12与T n ＋12＋1的二项式系数．(4)二项展开式的二项式系数的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .自我尝试1．判断(对的打“√”，错的打“×”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )(2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的．( )(3)二项式展开式的二项式系数和为C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n .( )2．已知(1＋2x )n 的展开式中所有系数之和等于729，那么这个展开式中x 3项的系数是( ) A ．56 B ．160 C ．80D ．1803．在(1＋x )n (n ∈N ＋)的二项展开式中，若只有x 5的系数最大，则n 等于( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．114．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为________．讲练互动探究点1 与杨辉三角有关的问题例1 (1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是()A．第6行B．第7行C．第8行D．第9行(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于()A．144 B．146C．164 D．461方法归纳解决与杨辉三角有关的问题的一般思路跟踪训练如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右第14个数与第15个数的比为2∶3.探究点2求展开式的各项系数之和例2设(1－2x)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018·x2 018(x∈R)．(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 018的值； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017的值； (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 018|的值．方法归纳二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N ＋)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N ＋)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.跟踪训练1.已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝( ) A ．32 B ．1 C ．－243D ．1或－2432．已知(1－2x ＋3x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14，试求： (1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14； (2)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.探究点3 二项式系数的最值问题例3 在(3x －2y )20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项．方法归纳(1)二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大． ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第r ＋1项最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1，A r ≥A r ＋1，解出r ，即得出系数的最大项．跟踪训练求(1－2x )8的展开式中系数最小的项．素养提升1．杨辉三角直观地给出了二项式系数的性质，有关杨辉三角的问题，要从横看、竖看、隔行看、连续看等多角度找出数据与组合数的关系规律．2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握． 3．求展开式中系数的最大值问题．在系数均为正的前提下，求它们的最大值只需比较相邻两个的大小，根据通项公式正确地列出不等式(组)即可．即设第r ＋1项的系数最大，则⎩⎪⎨⎪⎧T r ＋1的系数≥T r 的系数T r ＋1的系数≥T r ＋2的系数. 失误防范1．区分开二项式系数与项的系数．2．求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中r ∈{0，1，2，…，n }的范围．当堂检测1．设(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，当a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝126时，n 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．82．(x 3＋2x )7的展开式的第4项的系数是________．3．在(a ＋a )n 的展开式中，若奇数项的系数和是512，则第8项是________．参考答案新知提炼二项式系数的性质(杨辉三角)(1)1 1 C m －1n ＋C m n(2)与首末两端“等距离” (3)中间一项T n 2＋1 相等且最大(4) 2n 自我尝试1．【答案】(1)√ (2)× (3)× 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】2n －1 讲练互动探究点1 与杨辉三角有关的问题例1 【答案】(1)B (2)C【解析】 (1)由题意，第6行为1 6 15 20 15 6 1，第7行为1 7 21 35 35 21 7 1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．(2)由题干图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第15项是C 29，第16项是C 19.所以S (16)＝C 12＋C 22＋C 13＋C 23＋…＋C 19＋C 29 ＝(C 12＋C 13＋…＋C 19)＋(C 22＋C 23＋…＋C 29) ＝(C 22＋C 12＋C 13＋…＋C 19－C 22)＋(C 33＋C 23＋…＋C 29) ＝C 210＋C 310－1＝164.跟踪训练【答案】34【解析】设第n 行，则C 13nC 14n ＝23，解得n ＝34.探究点2 求展开式的各项系数之和例2 解：(1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 018＝(－1)2 018＝1.① (2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 017＋a 2 018＝32 018.② 与①式联立，①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＝1－32 018，所以a 1＋a 3＋…＋a 2 017＝1－32 0182.(3)T r ＋1＝C r 2 018(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2 018(2x )r，所以a 2k －1<0，a 2k >0(k ∈N ＋)．所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 018| ＝a 0－a 1＋a 2－…－a 2 017＋a 2 018＝32 018(令x ＝－1)．跟踪训练 1.【答案】B【解析】展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5·a 5－r ·x r，令r ＝2，则a 2＝(－1)2C 25·a 3＝80，即a ＝2，故(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 5＝1.2．已知(1－2x ＋3x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14，试求： (1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14； (2)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.解：(1)在已知等式中令x ＝1，则得 a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 13＋a 14＝27＝128.① (2)在已知等式中令x ＝－1，则得 a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 13＋a 14＝67.② ①－②得2(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13)＝27－67＝－279 808. 因此，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝－139 904. 探究点3 二项式系数的最值问题例3 解：(1)二项式系数最大的项是第11项．T 11＝C 1020·310·(－2)10x 10·y 10＝C 1020·610x 10y 10.(2)设系数绝对值最大的项是第r ＋1项，于是⎩⎪⎨⎪⎧C r 20·320－r ·2r ≥C r ＋120·319－r ·2r ＋1C r 20·320－r ·2r ≥C r －120·321－r ·2r －1 化简得⎩⎪⎨⎪⎧3（r ＋1）≥2（20－r ）2（21－r ）≥3r ，解之得725≤r ≤825.因为r ∈N ，所以r ＝8，即T 9＝C 820·312·28x 12y 8是系数绝对值最大的项．(3)由于系数为正的项为奇数项，故可设第2r －1项系数最大(r ∈N ＋)，于是⎩⎪⎨⎪⎧C 2r －220·322－2r ·22r －2≥C 2r －420·324－2r ·22r －4C 2r －220·322－2r ·22r －2≥C 2r 20·320－2r ·22r ，化简得⎩⎪⎨⎪⎧10r 2＋143r －1077≤010r 2＋163r －924≥0，解之得r ＝5，即第2×5－1＝9项系数最大．T 9＝C 820·312·28x 12y 8.跟踪训练解：设(1－2x )8中第r ＋1项的系数的绝对值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 82r ≥C r －182r －1C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，所以5≤r ≤6. 因为r ∈{0，1，2，…，8}，所以r ＝5，r ＝6.所以T 6＝C 58(－2x )5＝－1 792x 5. T 7＝C 68(－2x )6＝1 792x 6，所以系数最小的项为T 6＝－1 792x 5. 当堂检测 1．【答案】B【解析】令x ＝1，得2＋22＋…＋2n ＝126，所以n ＝6. 2．【答案】280【解析】第4项的系数C 3723＝280.3．【答案】120a 6a【解析】(a ＋a )n 的展开式中的奇数项的系数与奇数项的二项式系数相等，则有C 0n ＋C 2n ＋…＝2n －1，故2n －1＝512，n ＝10，故T 7＋1＝C 710a 3(a )7＝120a6a .。