2014.1怀柔区第一学期初三数学期末试题及答案
怀柔区2014第一学期初三数学期末答案
怀柔区2013—2014学年第一学期初三期末质量检测数学试题答案及评分参考一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分）解：原式=1222⨯………………………………………………3分 = 132+- …………………………………………………………4分=72…………………………………………………………………5分14．（本小题满分5分）解：y=x 2-4x+3= x 2-4x+4-4+3…………………………………………………………………1分 = x 2-4x+4-1…………………………………………………………………2分 =(x-2)2-1…………………………………………………………………3分 ∴抛物线的对称轴为x=2; ……………………………………………………4分 顶点坐标为（2,-1）…………………………………………………………5分 15. （本小题满分5分）证明：在ABC Δ中，AC AB =，CD BD =，∴BC AD ⊥，……………………………………………………2分 ∵AB CE ⊥，∴︒=∠=∠90CEB ADB ，………………………………………3分 又∵B ∠=B ∠……………………………………………………4分∴CBE ABD ΔΔ∽．………………………………………………5分 16. （本小题满分5分）解:过点C 作CD ⊥AB 于D. …………………………………1分AEDABC30°45°在Rt △ACD 中，∵∠A=30°，AC=32∴CD=3，………………………………2分 ∴AD=AC ×cosA=32×23=3……………3分 在Rt △BCD 中，∠B=45°，则BD=CD=3，……4分 ∴AB=AD+BD=3+3…………………………………5分 17. （本小题满分5分） 解：（1）树状图：…………………………3分（2）列表法：所有可能的结果如图所示，………………………………………………4分 每个结果发生的可能性都相同，其中出现颜色相同的结果有5个. 所以，两次摸出的球颜色相同的概率为95．………………………………5分 18. （本小题满分5分）解： (1)将点A (m ，2)代入一次函数y 1＝x ＋1 得2＝m ＋1，解得m ＝1．即点A 的坐标为(1，2)．………………………………1分将A (1，2)代入反比例函数y 2＝k x.解得k ＝2．……2分 ∴反比例函数的表达式为y 2＝2x．……………………3分 (2)当0＜x ＜1时，y 1＜y 2；当x ＝1时，y 1＝y 2；当x ＞1时，y 1＞y 2．…………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（本小题满分5分）解：作DE⊥AB，垂足为E，DE即为D到AB的距离………………………………1分又∵∠C=90°，AD平分∠CAB，∴DE=DC在△ABC中∵∠C=90°，AB=10，AC=6，∴BC=8，设CD=x，则DE=CD=x，BD=8-x，∵∠DCE=∠DEA=90°，AD为公共边，DE=CD ∴△ACD≌△AED（HL），∴AE= AC =6，∴BE=4，在Rt△BED中，∵DE2+EB2=DB2，即x2+42=(8-x)2，………………3分解得：x=3. ……………………4分∴D到AB的距离是3…………5分（其它利用相似三角形的性质、三角函数定义、面积法相应给分）20. （本小题满分5分）（1）证明：∵∠1=∠C，∠C=∠P∴∠1=∠P………1分∴CB∥PD；………………………………………2分（2）解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵CD⊥AB，∴=，∴∠P=∠CAB，…………………………3分∵sin∠P=35，∴sin∠CAB=35，………………………4分即=35，∵A B=5，∴BC=3．……………………………5分（其它方法对应给分）21. （本小题满分5分）（1）证明：连接OE…………………………………………1分∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°.∵OB=OE，∴∠OEB=∠C =60°，∴OE∥AC.∵EF⊥AC，∴∠EFC=90°.∴∠OEF=∠EFC=90°.∴OE⊥EF，∵⊙O与BC边相交于点E，∴E点在圆上.∴EF是⊙O的切线…………………………………………2分(2) 连接DF, DE.∵DF是⊙O的切线，∴∠ADF=∠BDF=90°…………………3分设⊙O的半径为r，则BD=2r，∵AB=4，∴AD=4-2r，∵BD=2r，∠B=60°，∴∵∠BDE=30°，∠BDF=90°.∴∠EDF=60°，∵DF、EF分别是⊙O的切线，∴在Rt△ADF中，∵∠A=60°，EDC B AC图1B图2C图3B∴tan ∠DFA=AD DF ==4分 解得43r =.∴⊙O 的半径是43………………………………5分22. （本小题满分5分）解：（1）∵S △PBQ =21PB ·BQ , PB=AB －AP =18－2x ，BQ=x ， ∴y =21（18－2x ）x ，即y =－x 2+9x （0<x ≤4）; ………………………2分 画出函数图像………………………3分 （2）由（1）得：y =－x 2+9x =－(x －29）2 +481, ∴顶点坐标为（29,481）………………………4分 ∴当0<x ≤29时，y 随x 的增大而增大， ∵x 的取值范围是0<x ≤4，∴当x =4时，y 最大值=20，即△PBQ 的最大面积是20cm 2. ……………………5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（本小题满分7分）（1）∠APC =∠ACB ，∠ACP =∠B ，或AP ACAC AB=…………2分 （2）如图，延长AB 到点D ，使BD=BC, ………3分 ∵∠A =∠A ，AC 2=AB (AB+BC )，∴△ACB ∽△ADC ．…………………………5分∴∠ACB =∠D ，∵BC=BD ，∴ ∠BCD =∠D ， 在△ACD 中，∵∠ACB +∠BCD +∠D +∠A =180°， ∴3∠D +60°=180°，∴∠D =40°∴∠B =80°…………7分 24.（（本小题满分7分）（1）证明：∵△ABC 、△AMN 是等边三角形，∴AB=AC ，AM=AN ，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN ，QPDC BA∴△BAM ≌△CAN （SAS ），………………………………1分 ∴∠ABC=∠ACN ．………………………………2分（2）结论∠ABC=∠ACN 仍成立．………………………………3分 理由如下：∵△ABC 、△AMN 是等边三角形，∴AB=AC ，AM=AN ， ∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN ，∴△BAM ≌△CAN （SAS ），………………………………4分 ∴∠ABC=∠ACN ．………………………………5分 （3）∠ABC=∠ACN ．理由如下：∵BA=BC ，MA=MN ，顶角∠ABC=∠AMN ，∴底角∠BAC=∠MAN ，∴△ABC ∽△AMN ，……………………6分 ∴=，又∵∠BAM=∠BAC ﹣∠MAC ，∠CAN=∠MAN ﹣∠MAC ，∴∠BAM=∠CAN ，∴△BAM ∽△CAN ，∴∠ABC=∠ACN ．………………………………7分 25. （本小题满分8分）（1）解：∵抛物线的顶点为（4,1）， ∴设抛物线解析式为2(4)1y a x =-+.∵抛物线经过点C （6，0），∴20(64)1a =-+.∴14a =-. ∴2211(4)12-344y x x x =--+=-+. 所以抛物线的解析式为212-34y x x =-+………………………………3分(2) 补全图形、判断直线BD 与⊙C 相离. ………………………………4分 证明：令21(4)+14x --=0，则12x =，26x =. ∴B 点坐标（2，0）. 又∵抛物线交y 轴于点A ，∴A 点坐标为（0，-3），∴AB ==设⊙C 与对称轴l 相切于点F ，则⊙C 的半径CF=2， 作CE ⊥BD 于点E ，则∠BEC=∠AOB=90°. ∵90ABD ∠=︒，∴90CBE ABO ∠=︒-∠. 又∵90BAO ABO ∠=︒-∠，∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ∆∽BEC ∆，∴CE BC OB AB=.∴2CE =，∴2CE =>.∴直线BD 与⊙C 相离 ………………………………6分 (3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q . ∵A （0，-3），C （6，0）.∴直线AC 解析式为132y x =-.设P 点坐标为（m ，21234m m -+-）， 则Q 点的坐标为（m ，132m -）.∴PQ=21234m m -+--(132m -)=21342m m -+.∵22113327()6(3)24244PAC PAQ PCQ S S S m m m ∆∆∆=+=⨯-+⨯=--+,∴当3m =时，PAC ∆的面积最大为274.………………………………7分∵当3m =时，21234m m -+-=34∴P 点坐标为（3，34）. ………………………………8分综上：P 点的位置是（3，34），PAC ∆的最大面积是274。
北京市怀柔区2014届九年级上期末考试数学试题及答案
D
C
Q
A
P
B
y
20
18
16 14
12
10
8
6 4
2
x
O 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
画出函数的图像； （2）求△PBQ 面积的最大值.
五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）
23．理解与应用
小明在学习相似三角形时，在北京市义务教育课程改革实验教材第 17 册书，第 37 页遇 到这样一道题： 如图 1，在△ABC 中，P 是边 AB 上的一点，联结 CP. 要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是____________，或_________. 请回答：
（1）小明补充的条件是____________________，或_________________. （2）请你参考上面的图形和结论，探究、解答下面的问题：
如图 2，在△ABC 中，∠A=60°，AC 2= AB2+AB.BC.
求∠B 的度数．
A
A
P
B
图1
C
C
B
图2
24.（1）如图 1，在等边△ABC 中，点 M 是边 BC 上的任意一点（不含端点 B、C），联结 AM，以 AM 为边作等边△AMN，联结 CN．求证：∠ABC=∠ACN．
【类比探究】 （2）如图 2，在等边△ABC 中，点 M 是边 BC 延长线上的任意一点（不含端点 C），其
它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN 还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图 3，在等腰△ABC 中，BA=BC，点 M 是边 BC 上的任意一点（不含端点 B、
2014-2015学年北京市怀柔区初三上学期期末数学试题(含答案)
9．分解因式： 9a2b b3
．
10．已知两圆的半径分别为 2cm 和 4cm，它们的圆心距为 6cm，
则这两个圆的位置关系是
．
11．若函数 y m-2 的图象在其所在的每一象限内，函数值y随 x
自变量x的增大而减小，则m的取值范围是
．
12．在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的位置如右图所示，
14．（本小题满分 5 分） 解：y=x2-4x+5
= x2-4x+4+11 分 =(x-2)2+1.……………………………………………………………3 分 ∴抛物线的对称轴为 x=2. ……………………………………………4 分 顶点坐标为（2，1）.…………………………………………………5 分 15. （本小题满分 5 分） 解：由（1）得：x≤3. ……………………………………………………2 分 由（2）得：x>-1.……………………………………………………4 分 ∴不等式组的解集为 -1<x≤3.………………………………………5 分 16．（本小题满分 5 分）
B． 3
C． 3
D． 4
A
C
5
5
4
3
5．将抛物线 y＝ (x －1)2 +3 向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位后
所得抛物线的表达式为
A．y＝ (x －2)2 B．y＝x2 C．y＝x2 +6 D．y＝ (x －2)2 +6
6. 在某一时刻，测得一根高为 1.2m 的木棍的影长为 2m，同时测得一根
题号
9
10
答 案 a(3a b)(3a b)
外切
5
6
2014-2015学年北京市怀柔区九年级(上)期末数学试卷与答案
14． （5 分）已知抛物线 y=x2﹣4x+5，求出它的对称轴和顶点坐标． 15． （5 分）解不等式组： ．
16． （5 分）已知 x2+4x﹣5=0，求代数式 2（x+1） （x﹣1）﹣（x﹣2）2 的值． 17． （5 分）如图，一根电线杆的接线柱部分 AB 在阳光下的投影 CD 的长为 1 米， 太阳光线与地面的夹角∠ACD=60°．求接线柱 AB 的长．
24． （7 分）对于点 E 和四边形 ABCD，给出如下定义：在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E（点 E 不与 A、B 重合） ，分别连接 ED、EC，可以把四边形 ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，则称 E 为四边形 ABCD 边 AB 上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们称 E 为四边形 ABCD 边 AB 上 的“强相似点”． （1）如图 1，在四边形 ABCD 中，A、B、C、D 四点均在正方形网格（网格中每 个小正方形的边长为 1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，点 E 是 AB 边 上一点，∠DEC=45°，试判断点 E 是否是四边形 ABCD 边 AB 上的相似点，并 证明你的结论正确； （2）如图 2，在矩形 ABCD 中，AB=8，AD=3． ①在 AB 边上是否存在点 E，使点 E 为四边形 ABCD 边 AB 上的“强相似点”．若存 在，有几个？试在图 2 中画出所有强相似点； ②在①所画图形的基础上求 AE 的长．
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A．1
B．
C．2
D．
8． （4 分）如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，动点 P 从 A 点出发，按 A→B→C 的方向在 AB 和 BC 上移动，记 PA=x，点 D 到直线 PA 的距离为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ）
2014-2015学年北京市怀柔区初三上学期期末数学试题(含答案)
怀柔区2014—2015学年度第一学期初三期末质量检测一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．12-的倒数是 A. 12 B. 2 C. 12- D. 2-2．2014年上半年，怀柔国税局累计入库消费税11000多万元，，将11000用科学记数法表示应为A ．41.110⨯B ．31.110⨯C ．31110⨯D ．50.1110⨯ 3．如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，且∠BOC=100°， 则∠A 的度数为A ．40°B ． 50°C ． 80°D ．100°4．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若sin A =35，则cos B 的是 A ．45B ．35C ．34D ． 435．将抛物线y ＝ (x －1)2 +3向右平移1个单位，再向上平移3个单位后 所得抛物线的表达式为A ．y ＝ (x －2)2B ．y ＝x 2C ．y ＝x 2 +6D ．y ＝(x －2)2 +66. 在某一时刻，测得一根高为1.2m 的木棍的影长为2m ，同时测得一根 旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为A ．15mB ．1253m C． 60 m D ．24m 7．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ，AC ＝3， 则CD 的长为 A ．1 B ．32 C ．2 D ．52CBA DCBA8. 如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，动点P 从A 点出发， 按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动，记PA =x ，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的函数图象大致是yyyyDC B A二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式：239a b b -= ．10．已知两圆的半径分别为2cm 和4cm ，它们的圆心距为6cm ，则这两个圆的位置关系是． 11．若函数-2m y x=的图象在其所在的每一象限内，函数值y 随 自变量x 的增大而减小，则m 的取值范围是 ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的位置如右图所示， 点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2），延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ，延长C 1B 1交x 轴于 点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1，…按这样的规律进行下去， 第1个正方形的面积为 ； 第n 个正方形的面积为 ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：(0113tan 302()2-︒+-+． 14．已知抛物线y=x 2-4x+5，求出它的对称轴和顶点坐标.15．解不等式组:()11,22-xx ìïï-ïíïïïî≤1＜3.16. 已知2450x x +-=，求代数式()()()221-1--2x x x +的值． 17．如图，一根电线杆的接线柱部分AB 在阳光下的投影CD 的长为1米，太阳光线与地面的夹角∠ACD=60°. 求接线柱AB 的长.18. 已知：抛物线222(2)1y x m x m =-++-与x 轴有两个交点.PEDCBACBA（1）求m 的取值范围；（2）当m 为非正整数时，关于x 的一元二次方程222(2)10x m x m -++-=有整数根，求m 的值.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，∠ADB ＝105°，sin BDC ∠=，AD ＝4． 求DC 的长．20．在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别． （1）随机从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是多少？（2）随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求两次取出的都是白色球的概率．21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC （顶点是网格线的交点）．（1）将△ABC 绕点B 顺时针旋转90°得到△A’BC ’,请画出△A’BC ’,并求BA 边旋转到B A’’位置时所扫过图形的面积； （2）请在网格中画出一个格点△A”B”C”，使△A”B”C”∽△ABC ，且相似比不为1．22．如图，在⊙O 中，直径AB 交弦ED 于点G ，EG=DG ，⊙O 的切线BC 交DO 的延长线于点C ，F 是DC 与⊙O 的交点， 连结AF ．（1）求证：DE ∥BC ；（2）若OD=1，CF=14，求AF 的长．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =++经过点CBAAA （-1，a ），B （3，a ），且最小值为-4. （1）求抛物线表达式及a 的值；（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为D ，点P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图像G （包含A ，B 两点）. 若直线DP 与图像G 有两个公共点，结合函数图像，求点P 纵坐标t 的取值范围.24.对于点E 和四边形ABCD ，给出如下定义：在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 不与A 、B 重合），分别连接ED 、EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，则称E 为四边形ABCD 边AB 上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们称E 为四边形ABCD 边AB 上的“强相似点”．（1）如图1，在四边形ABCD 中，A 、B 、C 、D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上， 点E 是AB 边上一点，∠DEC =45°，试判断点E 是否是四边形ABCD 边AB 上的相似点，并证明你的结论正确； （2）如图2，在矩形ABCD 中，AB=8，AD=3.①在AB 边上是否存在点E ，使点E 为四边形ABCD 边AB 上的“强相似点”．若存在，有几个？试在图2中画出所有强相似点； ②在①所画图形的基础上求AE 的长.25．在△ABC 中，∠A=30°，，将△ABC 绕点B 顺时针旋转α（0°<α<90°），得到△DBE ，其中点A 的对应点是点D ，点C 的对应点是点E ，AC 、DE 相交于点F ，连接BF.DA BC图2（1）如图1，若α=60°，线段BA绕点B旋转α得到线段BD.请补全△DBE，并直接写出∠AFB的度数；（2）如图2，若α=90°，求∠AFB的度数和BF的长；（3）如图3，若旋转α（0°<α<90°），请直接写出∠AFB的度数及BF的长（用含α的代数式表示）.怀柔区2014—2015学年第一学期初三期末质量检测数学试题答案及评分参考一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分）解：原式=312+-+…………………………………………4分1+=1 .…………………………………………………………5分 14．（本小题满分5分） 解：y=x 2-4x+5= x 2-4x+4+11分=(x-2)2+1.……………………………………………………………3分∴抛物线的对称轴为x=2. ……………………………………………4分 顶点坐标为（2，1）.…………………………………………………5分 15. （本小题满分5分）解：由（1）得：x ≤3. ……………………………………………………2分 由（2）得：x >-1.……………………………………………………4分 ∴不等式组的解集为 -1<x ≤3.………………………………………5分 16．（本小题满分5分）解：原式=()()222-1--44x x x +………………………………… 2分 = 222-2-+4-4x x x=2+4-6x x .……………………………………………………3分∵2450x x +-=245x x ∴+=. ………………………………………………………4分∴原式=2+4-6x x =-1. ………………………………………………5分17. （本小题满分5分）解：过B 作BE ∥CD 交AB 于E 点， ∵太阳光线与地面的夹角∠ACD=60°，∴∠AEB=60°，………………………………………2分 ∵太阳光线AC ∥BD, 又BE ∥CD,∴四边形ACDB 是平行四边形…………………………………4分 ∴CD=BE=1，在△AEB 中，∵∠ABE=90°，BE=1，∠AEB=60°， ∴AB=1×tan60°,…………………………………5分 所以接线柱AB. 18. （本小题满分5分）解：（1）令y=0，则222(2)10x m x m -++-=依题意，得224(2)-410m m +-（） ， 解得 54m-， ∴ m 的取值范围是54m-. ………………………………………2分 （2）∵m 为非正整数，∴ m=-1或m=0.当m=-1时，022=-x x ，解得x=0或x=2. …………………3分 当m=0时，2410x x --=，解得22x x ==，不符合题意. ……………………4分 ∴m 的值是-1. ………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（本小题满分5分）解:过点D 作DE ⊥AB 于E. …………………………………1分 在Rt △ADE 中，∵∠A=30°，∠AED=90°，∴∠ADE=60°， ∵AD=4 ∴DE=2，…………………………………2分 ∵∠ADB ＝105°，∠ADE=60°，∴∠EDB=45°，∵DE=2，∴在Rt △ADE 中，BD=………………………3分在Rt △BCD中，∵sin BDC ∠=∴∠BDC=60°，∵BD=，…………………………5分 20．（本小题满分5分） 解：（1）取出黄球的概率是13；………………………………………2分 （2）画树状图得：……………3分如图所有可能出现的结果有9个，………………………………………4分 每个结果发生的可能性都相同，其中出现两次白色球的结果有1个. 所以，P （两次取出白色球）=19．…………………………………5分 21. （本小题满分5分）解：（1）如图：△A ’BC ’即为所求；…………2分BA 旋转到B A’’所扫过图形的面积：S=2901313=3693604n R πππ⨯=.……………3分 （2）如图：△A”B”C”即为所求．……………5分22. （本小题满分5分） （1）证明：∵ BC 为⊙O 的切线，AB 为直径, ∴ ∠ABC = 90°. ∵ AB 平分弦DE , ∴ ∠A GE= 90°.∴ DE ∥BC . …………………………………2分 （2）连接DB ，AD.∵AB 是⊙O 的直径，黄白黑黄白黑黑白黄黄白黑开始ECBAA'C''B''A''C'ABC∴∠ADB = 90°.∵DE∥BC,∴△DGO∽△CBO∴OD OG CO OB=,∵OD = 1,CF=14；∴OC=54,∴1=514OG∴OG=45,………………3分∴AG=15.∵∠ADB=∠AGD= 90°，∴△A DG∽△ADB，∴AD2=AG.AB,∵AG=15，AB=2.∴DF为⊙O直径,∴∠FAD = 90°,∵DF=2，∴.……………………………5分（其它方法对应给分）五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分，）23．（本小题满分7分）解：（1）∵抛物线经过A(-1,a)，B（3，a）,∴抛物线的对称轴x=1，又∵最小值为-4,∴顶点坐标C（1，-4）.∴抛物线表达式为y=2（x-1）2-4即抛物线表达式y=2x2-4x-2.……………………………2分把A（-1，a）代入y=2x2-4x-2，解得a=4.∴a的值为4.……………………………3分（2）∵D点与C点关于y轴对称,∴D点坐标为（-1，-4）由（1）知：B（3，4）设直线DB的表达式为y=kx+b把D(-1,-4)，B（3，4）代入：y=kx+b∴4=344k bk+⎧⎨-=-+⎩. 解得k=22b⎧⎨=-⎩.∴直线BD的表达式为：y=2x2-.……………………5分设P（1，t），把P（1，t）代入y=2x2-解得t=0.又∵抛物线的顶点坐标C（1，-4）.∴t=-4.∴-4<t≤0……………………………7分24.（本小题满分7分）解：（1）∵∠A=∠B=∠DEC=45°，∴∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠CEB=135°∴∠ADE =∠CEB ， ∴△ADE ∽△BCE ，∴点E 是四边形ABCD 边AB 上的相似点．………………………3分（2）①如图：强相似点有两个，点E ’,E ’’即是四边形ABCD 边AB 上的两个强相似点. ……………………………5分 ②设AE ’=x,则BE ’=8-x,∵△AD E ’∽△BC E ’， ∴383xx -=，解得4x =± ∴AE 的长为4……………………………7分 25．（本小题满分8分）（1）补全图形如图所示，∠AFB=60°；……………2分 （2）解：连接AD ，∵∠BAC=∠BDE=30°∠1=∠2∴∠AFD=∠ABD=90°∴A 、B 、F 、D 在以AB 为直径的圆上，∴∠AFB=∠ADB=45°………………………4分在△ABF 中，∠FAB=30°，∠AFB=45°，AB=可解得.…………………………6分 （注：此题其它解法对应给分）（3）∠AFB=90°-12α…………………………7分sin(90-2）…………………………8分参考解法：∵∠A=∠D=30°， ∠1=∠2. ∴∠AFD=∠ABD=α， 过B 作BM ⊥AC 于M ， 过B 作BN ⊥DE 于N ， 由ABCS=DBES和AC=DE ， 可得BM=BN ，∴FB 平分∠AFE ，∴∠AFB=∠EFB=180-2O α=90°-12α，在Rt △ABM 中可得：在Rt △BMF 中，由sin ∠AFB=BMBF，ABCDEF得：BF=sin sin(90-2AFB BM ∠=） .语文园地一学习目标（一）知识与技能：能具体明白地描写生活中观察到的景物或者由此引发的联想。
2014-2015学年北京市怀柔区初三上学期期末数学试题(含答案)
怀柔区2014—2015学年度第一学期初三期末质量检测一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．12-的倒数是 A. 12 B. 2 C. 12- D. 2-2．2014年上半年，怀柔国税局累计入库消费税11000多万元，，将11000用科学记数法表示应为A ．41.110⨯B ．31.110⨯C ．31110⨯D ．50.1110⨯ 3．如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，且∠BOC=100°， 则∠A 的度数为A ．40°B ． 50°C ． 80°D ．100°4．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若sin A =35，则cos B 的是 A ．45B ．35C ．34D ． 435．将抛物线y ＝ (x －1)2 +3向右平移1个单位，再向上平移3个单位后 所得抛物线的表达式为A ．y ＝ (x －2)2B ．y ＝x 2C ．y ＝x 2 +6D ．y ＝(x －2)2 +66. 在某一时刻，测得一根高为1.2m 的木棍的影长为2m ，同时测得一根 旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为A ．15mB ．1253m C． 60 m D ．24m 7．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ，AC ＝3， 则CD 的长为 A ．1 B ．32 C ．2 D ．52CBA DCBA8. 如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，动点P 从A 点出发， 按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动，记PA =x ，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的函数图象大致是yyyyDC B A二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式：239a b b -= ．10．已知两圆的半径分别为2cm 和4cm ，它们的圆心距为6cm ，则这两个圆的位置关系是． 11．若函数-2m y x=的图象在其所在的每一象限内，函数值y 随 自变量x 的增大而减小，则m 的取值范围是 ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的位置如右图所示， 点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2），延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ，延长C 1B 1交x 轴于 点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1，…按这样的规律进行下去， 第1个正方形的面积为 ； 第n 个正方形的面积为 ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：(0113tan 302()2-︒+-+． 14．已知抛物线y=x 2-4x+5，求出它的对称轴和顶点坐标.15．解不等式组:()11,22-xx ìïï-ïíïïïî≤1＜3.16. 已知2450x x +-=，求代数式()()()221-1--2x x x +的值． 17．如图，一根电线杆的接线柱部分AB 在阳光下的投影CD 的长为1米，太阳光线与地面的夹角∠ACD=60°. 求接线柱AB 的长.18. 已知：抛物线222(2)1y x m x m =-++-与x 轴有两个交点.PEDCBACBA（1）求m 的取值范围；（2）当m 为非正整数时，关于x 的一元二次方程222(2)10x m x m -++-=有整数根，求m 的值.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，∠ADB ＝105°，sin BDC ∠=，AD ＝4． 求DC 的长．20．在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别． （1）随机从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是多少？（2）随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求两次取出的都是白色球的概率．21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC （顶点是网格线的交点）．（1）将△ABC 绕点B 顺时针旋转90°得到△A’BC ’,请画出△A’BC ’,并求BA 边旋转到B A’’位置时所扫过图形的面积； （2）请在网格中画出一个格点△A”B”C”，使△A”B”C”∽△ABC ，且相似比不为1．22．如图，在⊙O 中，直径AB 交弦ED 于点G ，EG=DG ，⊙O 的切线BC 交DO 的延长线于点C ，F 是DC 与⊙O 的交点， 连结AF ．（1）求证：DE ∥BC ；（2）若OD=1，CF=14，求AF 的长．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =++经过点CBAAA （-1，a ），B （3，a ），且最小值为-4. （1）求抛物线表达式及a 的值；（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为D ，点P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图像G （包含A ，B 两点）. 若直线DP 与图像G 有两个公共点，结合函数图像，求点P 纵坐标t 的取值范围.24.对于点E 和四边形ABCD ，给出如下定义：在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 不与A 、B 重合），分别连接ED 、EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，则称E 为四边形ABCD 边AB 上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们称E 为四边形ABCD 边AB 上的“强相似点”．（1）如图1，在四边形ABCD 中，A 、B 、C 、D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上， 点E 是AB 边上一点，∠DEC =45°，试判断点E 是否是四边形ABCD 边AB 上的相似点，并证明你的结论正确； （2）如图2，在矩形ABCD 中，AB=8，AD=3.①在AB 边上是否存在点E ，使点E 为四边形ABCD 边AB 上的“强相似点”．若存在，有几个？试在图2中画出所有强相似点； ②在①所画图形的基础上求AE 的长.25．在△ABC 中，∠A=30°，，将△ABC 绕点B 顺时针旋转α（0°<α<90°），得到△DBE ，其中点A 的对应点是点D ，点C 的对应点是点E ，AC 、DE 相交于点F ，连接BF.DA BC图2（1）如图1，若α=60°，线段BA绕点B旋转α得到线段BD.请补全△DBE，并直接写出∠AFB的度数；（2）如图2，若α=90°，求∠AFB的度数和BF的长；（3）如图3，若旋转α（0°<α<90°），请直接写出∠AFB的度数及BF的长（用含α的代数式表示）.怀柔区2014—2015学年第一学期初三期末质量检测数学试题答案及评分参考一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分）解：原式=312+-+…………………………………………4分1+=1 .…………………………………………………………5分 14．（本小题满分5分） 解：y=x 2-4x+5= x 2-4x+4+11分=(x-2)2+1.……………………………………………………………3分∴抛物线的对称轴为x=2. ……………………………………………4分 顶点坐标为（2，1）.…………………………………………………5分 15. （本小题满分5分）解：由（1）得：x ≤3. ……………………………………………………2分 由（2）得：x >-1.……………………………………………………4分 ∴不等式组的解集为 -1<x ≤3.………………………………………5分 16．（本小题满分5分）解：原式=()()222-1--44x x x +………………………………… 2分 = 222-2-+4-4x x x=2+4-6x x .……………………………………………………3分∵2450x x +-=245x x ∴+=. ………………………………………………………4分∴原式=2+4-6x x =-1. ………………………………………………5分17. （本小题满分5分）解：过B 作BE ∥CD 交AB 于E 点， ∵太阳光线与地面的夹角∠ACD=60°，∴∠AEB=60°，………………………………………2分 ∵太阳光线AC ∥BD, 又BE ∥CD,∴四边形ACDB 是平行四边形…………………………………4分 ∴CD=BE=1，在△AEB 中，∵∠ABE=90°，BE=1，∠AEB=60°， ∴AB=1×tan60°,…………………………………5分 所以接线柱AB. 18. （本小题满分5分）解：（1）令y=0，则222(2)10x m x m -++-=依题意，得224(2)-410m m +-（） ， 解得 54m-， ∴ m 的取值范围是54m-. ………………………………………2分 （2）∵m 为非正整数，∴ m=-1或m=0.当m=-1时，022=-x x ，解得x=0或x=2. …………………3分 当m=0时，2410x x --=，解得22x x ==，不符合题意. ……………………4分 ∴m 的值是-1. ………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（本小题满分5分）解:过点D 作DE ⊥AB 于E. …………………………………1分 在Rt △ADE 中，∵∠A=30°，∠AED=90°，∴∠ADE=60°， ∵AD=4 ∴DE=2，…………………………………2分 ∵∠ADB ＝105°，∠ADE=60°，∴∠EDB=45°，∵DE=2，∴在Rt △ADE 中，BD=………………………3分在Rt △BCD中，∵sin BDC ∠=∴∠BDC=60°，∵BD=，…………………………5分 20．（本小题满分5分） 解：（1）取出黄球的概率是13；………………………………………2分 （2）画树状图得：……………3分如图所有可能出现的结果有9个，………………………………………4分 每个结果发生的可能性都相同，其中出现两次白色球的结果有1个. 所以，P （两次取出白色球）=19．…………………………………5分 21. （本小题满分5分）解：（1）如图：△A ’BC ’即为所求；…………2分BA 旋转到B A’’所扫过图形的面积：S=2901313=3693604n R πππ⨯=.……………3分 （2）如图：△A”B”C”即为所求．……………5分22. （本小题满分5分） （1）证明：∵ BC 为⊙O 的切线，AB 为直径, ∴ ∠ABC = 90°. ∵ AB 平分弦DE , ∴ ∠A GE= 90°.∴ DE ∥BC . …………………………………2分 （2）连接DB ，AD.∵AB 是⊙O 的直径，黄白黑黄白黑黑白黄黄白黑开始ECBAA'C''B''A''C'ABC∴∠ADB = 90°.∵DE∥BC,∴△DGO∽△CBO∴OD OG CO OB=,∵OD = 1,CF=14；∴OC=54,∴1=514OG∴OG=45,………………3分∴AG=15.∵∠ADB=∠AGD= 90°，∴△A DG∽△ADB，∴AD2=AG.AB,∵AG=15，AB=2.∴DF为⊙O直径,∴∠FAD = 90°,∵DF=2，∴.……………………………5分（其它方法对应给分）五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分，）23．（本小题满分7分）解：（1）∵抛物线经过A(-1,a)，B（3，a）,∴抛物线的对称轴x=1，又∵最小值为-4,∴顶点坐标C（1，-4）.∴抛物线表达式为y=2（x-1）2-4即抛物线表达式y=2x2-4x-2.……………………………2分把A（-1，a）代入y=2x2-4x-2，解得a=4.∴a的值为4.……………………………3分（2）∵D点与C点关于y轴对称,∴D点坐标为（-1，-4）由（1）知：B（3，4）设直线DB的表达式为y=kx+b把D(-1,-4)，B（3，4）代入：y=kx+b∴4=344k bk+⎧⎨-=-+⎩. 解得k=22b⎧⎨=-⎩.∴直线BD的表达式为：y=2x2-.……………………5分设P（1，t），把P（1，t）代入y=2x2-解得t=0.又∵抛物线的顶点坐标C（1，-4）.∴t=-4.∴-4<t≤0……………………………7分24.（本小题满分7分）解：（1）∵∠A=∠B=∠DEC=45°，∴∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠CEB=135°∴∠ADE =∠CEB ， ∴△ADE ∽△BCE ，∴点E 是四边形ABCD 边AB 上的相似点．………………………3分（2）①如图：强相似点有两个，点E ’,E ’’即是四边形ABCD 边AB 上的两个强相似点. ……………………………5分 ②设AE ’=x,则BE ’=8-x,∵△AD E ’∽△BC E ’， ∴383xx -=，解得4x =± ∴AE 的长为4……………………………7分 25．（本小题满分8分）（1）补全图形如图所示，∠AFB=60°；……………2分 （2）解：连接AD ，∵∠BAC=∠BDE=30°∠1=∠2∴∠AFD=∠ABD=90°∴A 、B 、F 、D 在以AB 为直径的圆上，∴∠AFB=∠ADB=45°………………………4分在△ABF 中，∠FAB=30°，∠AFB=45°，AB=可解得.…………………………6分 （注：此题其它解法对应给分）（3）∠AFB=90°-12α…………………………7分sin(90-2）…………………………8分参考解法：∵∠A=∠D=30°， ∠1=∠2. ∴∠AFD=∠ABD=α， 过B 作BM ⊥AC 于M ， 过B 作BN ⊥DE 于N ， 由ABCS=DBES和AC=DE ， 可得BM=BN ，∴FB 平分∠AFE ，∴∠AFB=∠EFB=180-2O α=90°-12α，在Rt △ABM 中可得：在Rt △BMF 中，由sin ∠AFB=BMBF，ABCDEF得：BF=sin sin(90-2AFB BM ∠=） .西。
2014-2015学年北京市怀柔区初三上学期期末数学试题(含答案)
怀柔区2014—2015学年度第一学期初三期末质量检测一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．12-的倒数是 A. 12 B. 2 C. 12- D. 2-2．2014年上半年，怀柔国税局累计入库消费税11000多万元，，将11000用科学记数法表示应为A ．41.110⨯B ．31.110⨯C ．31110⨯D ．50.1110⨯ 3．如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，且∠BOC=100°， 则∠A 的度数为A ．40°B ． 50°C ． 80°D ．100°4．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若sin A =35，则cos B 的是 A ．45B ．35C ．34D ． 435．将抛物线y ＝ (x －1)2 +3向右平移1个单位，再向上平移3个单位后 所得抛物线的表达式为A ．y ＝ (x －2)2B ．y ＝x 2C ．y ＝x 2 +6D ．y ＝(x －2)2 +66. 在某一时刻，测得一根高为1.2m 的木棍的影长为2m ，同时测得一根 旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为A ．15mB ．1253m C． 60 m D ．24m 7．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ，AC ＝3， 则CD 的长为 A ．1 B ．32 C ．2 D ．52CBA DCBA8. 如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，动点P 从A 点出发， 按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动，记PA =x ，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的函数图象大致是yyyyDC B A二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式：239a b b -= ．10．已知两圆的半径分别为2cm 和4cm ，它们的圆心距为6cm ，则这两个圆的位置关系是． 11．若函数-2m y x=的图象在其所在的每一象限内，函数值y 随 自变量x 的增大而减小，则m 的取值范围是 ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的位置如右图所示， 点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2），延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ，延长C 1B 1交x 轴于 点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1，…按这样的规律进行下去， 第1个正方形的面积为 ； 第n 个正方形的面积为 ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：(0113tan 302()2-︒+-+． 14．已知抛物线y=x 2-4x+5，求出它的对称轴和顶点坐标.15．解不等式组:()11,22-xx ìïï-ïíïïïî≤1＜3.16. 已知2450x x +-=，求代数式()()()221-1--2x x x +的值． 17．如图，一根电线杆的接线柱部分AB 在阳光下的投影CD 的长为1米，太阳光线与地面的夹角∠ACD=60°. 求接线柱AB 的长.18. 已知：抛物线222(2)1y x m x m =-++-与x 轴有两个交点.PEDCBACBA（1）求m 的取值范围；（2）当m 为非正整数时，关于x 的一元二次方程222(2)10x m x m -++-=有整数根，求m 的值.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，∠ADB ＝105°，sin BDC ∠=，AD ＝4． 求DC 的长．20．在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别． （1）随机从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是多少？（2）随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求两次取出的都是白色球的概率．21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC （顶点是网格线的交点）．（1）将△ABC 绕点B 顺时针旋转90°得到△A’BC ’,请画出△A’BC ’,并求BA 边旋转到B A’’位置时所扫过图形的面积； （2）请在网格中画出一个格点△A”B”C”，使△A”B”C”∽△ABC ，且相似比不为1．22．如图，在⊙O 中，直径AB 交弦ED 于点G ，EG=DG ，⊙O 的切线BC 交DO 的延长线于点C ，F 是DC 与⊙O 的交点， 连结AF ．（1）求证：DE ∥BC ；（2）若OD=1，CF=14，求AF 的长．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =++经过点CBAAA （-1，a ），B （3，a ），且最小值为-4. （1）求抛物线表达式及a 的值；（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为D ，点P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图像G （包含A ，B 两点）. 若直线DP 与图像G 有两个公共点，结合函数图像，求点P 纵坐标t 的取值范围.24.对于点E 和四边形ABCD ，给出如下定义：在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 不与A 、B 重合），分别连接ED 、EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，则称E 为四边形ABCD 边AB 上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们称E 为四边形ABCD 边AB 上的“强相似点”．（1）如图1，在四边形ABCD 中，A 、B 、C 、D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上， 点E 是AB 边上一点，∠DEC =45°，试判断点E 是否是四边形ABCD 边AB 上的相似点，并证明你的结论正确； （2）如图2，在矩形ABCD 中，AB=8，AD=3.①在AB 边上是否存在点E ，使点E 为四边形ABCD 边AB 上的“强相似点”．若存在，有几个？试在图2中画出所有强相似点； ②在①所画图形的基础上求AE 的长.25．在△ABC 中，∠A=30°，，将△ABC 绕点B 顺时针旋转α（0°<α<90°），得到△DBE ，其中点A 的对应点是点D ，点C 的对应点是点E ，AC 、DE 相交于点F ，连接BF.DA BC图2（1）如图1，若α=60°，线段BA绕点B旋转α得到线段BD.请补全△DBE，并直接写出∠AFB的度数；（2）如图2，若α=90°，求∠AFB的度数和BF的长；（3）如图3，若旋转α（0°<α<90°），请直接写出∠AFB的度数及BF的长（用含α的代数式表示）.怀柔区2014—2015学年第一学期初三期末质量检测数学试题答案及评分参考一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分）解：原式=312+-+…………………………………………4分1+=1 .…………………………………………………………5分 14．（本小题满分5分） 解：y=x 2-4x+5= x 2-4x+4+11分=(x-2)2+1.……………………………………………………………3分∴抛物线的对称轴为x=2. ……………………………………………4分 顶点坐标为（2，1）.…………………………………………………5分 15. （本小题满分5分）解：由（1）得：x ≤3. ……………………………………………………2分 由（2）得：x >-1.……………………………………………………4分 ∴不等式组的解集为 -1<x ≤3.………………………………………5分 16．（本小题满分5分）解：原式=()()222-1--44x x x +………………………………… 2分 = 222-2-+4-4x x x=2+4-6x x .……………………………………………………3分∵2450x x +-=245x x ∴+=. ………………………………………………………4分∴原式=2+4-6x x =-1. ………………………………………………5分17. （本小题满分5分）解：过B 作BE ∥CD 交AB 于E 点， ∵太阳光线与地面的夹角∠ACD=60°，∴∠AEB=60°，………………………………………2分 ∵太阳光线AC ∥BD, 又BE ∥CD,∴四边形ACDB 是平行四边形…………………………………4分 ∴CD=BE=1，在△AEB 中，∵∠ABE=90°，BE=1，∠AEB=60°， ∴AB=1×tan60°,…………………………………5分 所以接线柱AB. 18. （本小题满分5分）解：（1）令y=0，则222(2)10x m x m -++-=依题意，得224(2)-410m m +-（） ， 解得 54m-， ∴ m 的取值范围是54m-. ………………………………………2分 （2）∵m 为非正整数，∴ m=-1或m=0.当m=-1时，022=-x x ，解得x=0或x=2. …………………3分 当m=0时，2410x x --=，解得22x x ==，不符合题意. ……………………4分 ∴m 的值是-1. ………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（本小题满分5分）解:过点D 作DE ⊥AB 于E. …………………………………1分 在Rt △ADE 中，∵∠A=30°，∠AED=90°，∴∠ADE=60°， ∵AD=4 ∴DE=2，…………………………………2分 ∵∠ADB ＝105°，∠ADE=60°，∴∠EDB=45°，∵DE=2，∴在Rt △ADE 中，BD=………………………3分在Rt △BCD中，∵sin BDC ∠=∴∠BDC=60°，∵BD=，…………………………5分 20．（本小题满分5分） 解：（1）取出黄球的概率是13；………………………………………2分 （2）画树状图得：……………3分如图所有可能出现的结果有9个，………………………………………4分 每个结果发生的可能性都相同，其中出现两次白色球的结果有1个. 所以，P （两次取出白色球）=19．…………………………………5分 21. （本小题满分5分）解：（1）如图：△A ’BC ’即为所求；…………2分BA 旋转到B A’’所扫过图形的面积：S=2901313=3693604n R πππ⨯=.……………3分 （2）如图：△A”B”C”即为所求．……………5分22. （本小题满分5分） （1）证明：∵ BC 为⊙O 的切线，AB 为直径, ∴ ∠ABC = 90°. ∵ AB 平分弦DE , ∴ ∠A GE= 90°.∴ DE ∥BC . …………………………………2分 （2）连接DB ，AD.∵AB 是⊙O 的直径，黄白黑黄白黑黑白黄黄白黑开始ECBAA'C''B''A''C'ABC∴∠ADB = 90°.∵DE∥BC,∴△DGO∽△CBO∴OD OG CO OB=,∵OD = 1,CF=14；∴OC=54,∴1=514OG∴OG=45,………………3分∴AG=15.∵∠ADB=∠AGD= 90°，∴△A DG∽△ADB，∴AD2=AG.AB,∵AG=15，AB=2.∴DF为⊙O直径,∴∠FAD = 90°,∵DF=2，∴.……………………………5分（其它方法对应给分）五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分，）23．（本小题满分7分）解：（1）∵抛物线经过A(-1,a)，B（3，a）,∴抛物线的对称轴x=1，又∵最小值为-4,∴顶点坐标C（1，-4）.∴抛物线表达式为y=2（x-1）2-4即抛物线表达式y=2x2-4x-2.……………………………2分把A（-1，a）代入y=2x2-4x-2，解得a=4.∴a的值为4.……………………………3分（2）∵D点与C点关于y轴对称,∴D点坐标为（-1，-4）由（1）知：B（3，4）设直线DB的表达式为y=kx+b把D(-1,-4)，B（3，4）代入：y=kx+b∴4=344k bk+⎧⎨-=-+⎩. 解得k=22b⎧⎨=-⎩.∴直线BD的表达式为：y=2x2-.……………………5分设P（1，t），把P（1，t）代入y=2x2-解得t=0.又∵抛物线的顶点坐标C（1，-4）.∴t=-4.∴-4<t≤0……………………………7分24.（本小题满分7分）解：（1）∵∠A=∠B=∠DEC=45°，∴∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠CEB=135°∴∠ADE =∠CEB ， ∴△ADE ∽△BCE ，∴点E 是四边形ABCD 边AB 上的相似点．………………………3分（2）①如图：强相似点有两个，点E ’,E ’’即是四边形ABCD 边AB 上的两个强相似点. ……………………………5分 ②设AE ’=x,则BE ’=8-x,∵△AD E ’∽△BC E ’， ∴383xx -=，解得4x =± ∴AE 的长为4……………………………7分 25．（本小题满分8分）（1）补全图形如图所示，∠AFB=60°；……………2分 （2）解：连接AD ，∵∠BAC=∠BDE=30°∠1=∠2∴∠AFD=∠ABD=90°∴A 、B 、F 、D 在以AB 为直径的圆上，∴∠AFB=∠ADB=45°………………………4分在△ABF 中，∠FAB=30°，∠AFB=45°，AB=可解得.…………………………6分 （注：此题其它解法对应给分）（3）∠AFB=90°-12α…………………………7分sin(90-2）…………………………8分参考解法：∵∠A=∠D=30°， ∠1=∠2. ∴∠AFD=∠ABD=α， 过B 作BM ⊥AC 于M ， 过B 作BN ⊥DE 于N ， 由ABCS=DBES和AC=DE ， 可得BM=BN ，∴FB 平分∠AFE ，∴∠AFB=∠EFB=180-2O α=90°-12α，在Rt △ABM 中可得：在Rt △BMF 中，由sin ∠AFB=BMBF，ABCDEF得：BF=sin sin(90-2AFB BM ∠=） .第二课时（三）学习第九自然段①朗读。
2014-2015学年北京市怀柔区初三上学期期末数学试题(含答案)
125 m 3
C． 60 m
D． 24 m
7．如图，在△ABC 中，D 为 AC 边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝ 6 ，AC＝3， 则 CD 的长为 A．1
3 B． 2
C．2
5 D． 2
A
C D B
1
8. 如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，动点 P 从 A 点出发， 按 A→B→C 的方向在 AB 和 BC 上移动，记 PA=x，点 D 到
x
， B （3，a） ，且最小值为-4. A （-1，a ） （1）求抛物线表达式及 a 的值； （2）设抛物线顶点 C 关于 y 轴的对称点为 D， 点 P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在 A，B 之间的部分为图像 G（包含 A，B 两点）. 若直线 DP 与图像 G 有两个公共点， 结合函数图像，求点 P 纵坐标 t 的取值范围.
a(3a b)(3a b)
3 5 ( )2n2 2
三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．（本小题满分 5 分） 解：原式= 3
3 1 2 2 3 …………………………………………4 分 3
= 3 1 2 3 = 3 3 1 .…………………………………………………………5 分 14．（本小题满分 5 分） 解：y=x2-4x+5 = x2-4x+4+11 分 =(x-2)2+1.……………………………………………………………3 分 ∴抛物线的对称轴为 x=2. ……………………………………………4 分 顶点坐标为（2，1）.…………………………………………………5 分 15. （本小题满分 5 分） 解：由（1）得：x≤3. ……………………………………………………2 分 由（2）得：x>-1.……………………………………………………4 分 ∴不等式组的解集为 -1<x≤3.………………………………………5 分 16．（本小题满分 5 分） 解：原式= 2 x -1 - x -4 x + 4 ………………………………… 2 分 = 2 x 2 -2-x 2 +4x-4 = x 2 +4x -6 .……………………………………………………3 分
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怀柔区 2014—2015 学年第一学期初三期末质量检测 数学试题答案及评分参考
一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的．
5
题号
1
2
3
4
答案 D
A
B
B
二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）
得到△DBE，其中点 A 的对应点是点 D，点 C 的对应点是点 E，AC、DE 相交于点 F， 连接 BF.
C
D
C
D
C
D
F
4
F
A
B
A
B
A B
（1）如图 1，若 =60°接写出∠AFB 的度数；
（2）如图 2，若 =90°，求∠AFB 的度数和 BF 的长； （3）如图 3，若旋转 （0°< <90°），请直接写出∠AFB 的
6
17. （本小题满分 5 分） 解：过 B 作 BE∥CD 交 AB 于 E 点， ∵太阳光线与地面的夹角∠ACD=60°， ∴∠AEB=60°，………………………………………2 分 ∵太阳光线 AC∥BD,
又 BE∥CD, ∴四边形 ACDB 是平行四边形…………………………………4 分 ∴CD=BE=1，
求 m 的值. 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分）
B
19．如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝30°，∠C＝90°，
∠ADB＝105°， sin BDC 3 ，AD＝4．
2
A
C D
求 DC 的长．
20．在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．
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A E B
m
5 ， 4 5 . ………………………………………2 分 4
∴ m 的取值范围是 m
（2）∵m 为非正整数，∴ m=-1 或 m=0. 当 m=-1 时， x 2 x 0 ，解得 x=0 或 x=2. …………………3 分
2
当 m=0 时， x 4 x 1 0 ，
2
解得 x 2 5或x 2 5 ，不符合题意. ……………………4 分 ∴m 的值是-1. ………………………………………5 分
四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．（本小题满分 5 分） 解:过点 D 作 DE⊥AB 于 E. …………………………………1 分 在 Rt△ADE 中，∵∠A=30°，∠AED=90°，∴∠ADE=60°， ∵AD=4 ∴DE=2，…………………………………2 分 ∵∠ADB＝105° ，∠ADE=60°，∴∠EDB=45°，
x
， B （3，a） ，且最小值为-4. A （-1，a ） （1）求抛物线表达式及 a 的值； （2）设抛物线顶点 C 关于 y 轴的对称点为 D， 点 P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在 A，B 之间的部分为图像 G（包含 A，B 两点）. 若直线 DP 与图像 G 有两个公共点， 结合函数图像，求点 P 纵坐标 t 的取值范围.
A B
2
C
D
18. 已知：抛物线 y x 2 2(m 2) x m2 1 与 x 轴有两个交点.
2
（1）求 m 的取值范围； （2）当 m 为非正整数时，关于 x 的一元二次方程 x 2 2(m 2) x m2 1 0 有整数根， 求 m 的值. 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝30° ，∠C＝90° ， ∠ADB＝105° ， sin BDC 求 DC 的长． 20．在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别． （1）随机从箱子里取出 1 个球，则取出黄球的概率是多少？ （2）随机从箱子里取出 1 个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法 表示出所有可能出现的结果，并求两次取出的都是白色球的概率． 21．如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网 格线的交点） ． （1）将△ABC 绕点 B 顺时针旋转 90°得到△A’BC ’,请画 出△A’BC ’,并求 BA 边旋转到 B A’’位置时所扫过图形的面积； （2）请在网格中画出一个格点△A”B”C”，使△A”B”C”∽△ABC， 且相似比不为 1． 22．如图，在⊙O 中，直径 AB 交弦 ED 于点 G，EG=DG，⊙O 的 切线 BC 交 DO 的延长线于点 C，F 是 DC 与⊙O 的交点， 连结 AF． （1）求证：DE∥BC； （2）若 OD=1，CF=
北京市怀柔区九年级数学上册期末质量试题有答案【精选】.doc
1怀柔区第一学期初三期末质量检测数 学 试 卷第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1. 北京电影学院落户，怀柔一期工程建设进展顺利，一期工程建筑面积为178800平方米，建设内容有教学行政办公、图书馆、各类实习用房、学生及教工宿舍、食堂用房等，预计将于2019年投入使用. 将178800用科学记数法表示应为A ．1.788×104B ．1.788×105C ．1.788×106D ．1.788×107 2.若将抛物线y = －122先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是 A ．2)3(212-+-=x y B ．2)3(212---=x y C ．2)3(2-+=x y D. 2)3(212++-=x y 3.在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，则tan A 的值为 A ．34B ．43C ．53D ．54 4. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB,AC 上的点，且DE ∥BC ，若AD =4，BD =8，AE =2，则CE 的长为A ．2B ．4C ．6D ．85. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC =100°）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒6. 网球单打比赛场地宽度为8米，长度在球网的两侧各为12米，球网高度为0.9米（如图AB 的高度）.中网比赛中，某运动员退出场地在距球网14米的D 点处接球，设计打出直线．．穿越球，使球落在对方底线上C 处，用刁钻的落点牵制对方.在这次进攻过程中，为保证战术成功，该运动员击球点高度至EDC BA第4题图 第5题图2少为A. 1.65米B. 1.75米C.1.85米D. 1.95米 7. 某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O ，再任意找出圆O 的一条直径标记为AB （如图1），测量出AB =4分米；②将圆环进行翻折使点B 落在圆心O 的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C 、D （如图2）；③用一细橡胶棒连接C 、D 两点（如图3）； ④计算出橡胶棒CD 的长度.A ．22 分米B ．23分米C ．32 分米D ．33分米8．如图1，⊙O 过正方形ABCD 的顶点A 、D 且与边BC 相切于点E ，分别交AB 、DC 于点M 、N .动点P 在⊙O 或正方形ABCD 的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动.设运动的时间为，圆心O与P 点的距离为y ，图2记录了一段时间里y 与的函数关系，在这段时间里P 点的运动路径为 A.从D点出发，沿弧DA →弧AM →线段BM →线段BC B.从B 点出发，沿线段BC →线段CN →弧ND →弧DAC.从A 点出发，沿弧AM →线段BM →线段BC →线段CND.从C 点出发，沿线段CN →弧ND →弧DA →线段AB第8题图1第8题图2二、填空题(本题共16分，每小题2分)9．分解因式：33-62+3=_________．10．若△ABC ∽△DEF ，且对应边BC 与EF 的比为1∶3，则△ABC 与△DEF 的面积比等于 . 11. 有一个反比例函数的图象，在第二象限内函数值随着自变量的值增大而增大，这个函数的表达式可能是（写出一个即可）： ．12．抛物线y =2(+1)2+3 的顶点坐标是 .13．把二次函数y =2-4+5化成y=a (-h )2+的形式为__________________．14. 数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度.小泽同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了.他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）.室内测量组到教室内窗台旁，在点E 处测得旗杆顶部A 的仰角α为45°，旗杆底部B 的俯角β为60°. 室外测量组测得BF 的长度为5米.则旗杆AB =______米.15.1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮.草皮种植面积为米2.16. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：4请回答：这样做的依据是 ．三、解答题(本题共68分，第20、21题每小题6分，第26-28题每小题7分，其余每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.计算：4sin45°-8+(3-1)0+|-2|.18.如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，BC ＝4，AC ＝8，CD=2．求证：△BCD ∽△ACB .19. 如图，在△ABC 中，tan A =4，∠B =45°，AB =14. 求BC 的长. 20.在平面直角坐标系Oy中，直线3+-=x y 与双曲线ky =相交于点A (m ，2). (1)求反比例函数的表达式； (2)画出直线和双曲线的示意图；(3)若P 是坐标轴上一点，且满足P A =OA . 直接写出点P 的坐标．21.一个二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标y (2)求m 的值；(3)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； (4)根据图象，写出当y ＜0时，的取值范围.22. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，点M 在BA 的延长线上，MD 切⊙O 于点D ，过点B 作BN ⊥MD 于点C ，连接AD 并延长，交BN 于点N ． (1)求证：AB =BN ；(2)若⊙O 半径的长为3，cosB =52，求MA 的长． 第18题图 第19题图5DB23.数学课上老师提出了下面的问题： 在正方形ABCD 对角线BD 上取一点F ，使51=D B DF . 小明的做法如下：如图① 应用尺规作图作出边AD 的中点M ; ② 应用尺规作图作出MD 的中点E ; ③ 连接EC ，交BD 于点F . 所以F 点就是所求作的点.请你判断小明的做法是否正确，并说明理由.24. 已知：如图，在四边形ABCD 中，BD 是一条对角线，∠DBC =30°， ∠DBA =45°，∠C =70°.若DC =a ，AB=b , 请写出求tan ∠ADB 的思路. （不用写出计算结果．．．．．．．．）25.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC =90°，点E 是BC ，过点E 作AE 的垂线交直线CD 于点F .已知AD =4cm ，CD =2cm ，BC =5cm ，设BE 的长为 cm ，CF 的长为y cm.变化而变化的规律进行探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了与y 的几组值，如下表：((2)建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；6CB(3)结合画出的函数图象，解决问题 当BE =CF 时，BE 的长度约为 cm.26.在平面直角坐标系Oy 中，直线l n x y +-=2与抛物线3242---=m mx mx y 相交于点A（2-,7）. (1)求m 、n 的值；(2)过点A 作AB ∥轴交抛物线于点B ，设抛物线 与轴交于点C 、D (点C 在点D 的左侧)，求△BCD 的面积；(3)点E （t ,0）为轴上一个动点，过点E 作平行于y 轴的直线与直线l 和抛物线分别交于点P 、Q .当点P 在点Q 上方时，求线段PQ 的最大值.27. 在等腰△ABC 中，AB =AC ，将线段BA 绕点B 顺时针旋转到BD ，使BD ⊥AC 于H ，连结AD 并延长交BC 的延长线于点P . (1)依题意补全图形；(2)若∠BAC =2α，求∠BDA 的大小（用含α的式子表示）；(3)小明作了点D 关于直线BC 的对称点点E ，从而用等式表示线段DP 与BC 之间的数量关系.请你用小明的思路补全图形并证明线段DP 与BC 之间的数量关系.28.在平面直角坐标系Oy 中，点P 的横坐标为，纵坐标为2，满足这样条件的点称为“关系点”.7(1)在点A (1,2)、B (2,1)、M (21，1)、N (1，21)中， 是“关系点”的 ；(2)⊙O 的半径为1，若在⊙O 上存在“关系点”P ， 求点P 坐标；(3)点C 的坐标为(3，0)，若在⊙C 上有且只有．．．．一个．．“关系点”P ，且“关系点”P 的横坐标满足 -2≤≤2.请直接写出⊙C 的半径r 的取值范围．第一学期期末初三质量检测数学试卷评分标准一、选择题(本题共16分，每小题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一9.3(-1)2. 10.19. 11.答案不唯一，<0即可. 12.(﹣1，3). 13.y =(-2)2+1. 14. 5+53. 15. 16.圆的定义，直径的定义，直径所对的圆周角为90°，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.三、解答题(本题共68分，第20、21题每小题6分，第26-28题每小题7分，其余每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 解原式=4×22-22+1+2 …………………………………………………………………… 4分 =3 ………………………………………………………………………………………5分18.证明：∵BC ＝4，AC ＝8，CD =2.…………………………1分∴BC CD AC BC =………………………………………3分 又∵∠C =∠π258C …………………………………………………………………………4分∴ △BCD ∽△ACB ……………………………………………………………………5分19.解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，如图. ………………………………………………1分 ∵在Rt △CDA 中，tan A =AD CD = 43设CD =3，AD =4. ……………………………………………………………………………2分 ∵在Rt △CDB 中，∠B =45° ∴tan B =DB CD = 1,sin B =BC CD =22,……………………………………………………………3分 ∵CD =3. ∴BD =3，BC =2·3=32. 又∵AB =AD+BD =14， ∴4+3=14，解得=2.…………………………………………………………………………4分∴BC =62. ……………………………………………………………………………………5分 20.解：(1)∵直线3+-=x y 与双曲线xky =相交于点A （m ，2）. ∴ A （1，2）………………………………………1分 ∴xy 2=…………………………………………2分 (2)如图…………………………………………………………4分(3)P (0，4)或P (2，0) …………………………………………6分 21.解：(1)设这个二次函数的表达式为2()y a x h k =-+. 依题意可知，顶点为（-1，2），………………………1分 ∴ ()212++=x a y .∵图象过点（1，0）， ∴()21102++=a .∴12a =-. ∴这个二次函数的表达式为9()21212++-=x y …………2分 (2)25-=m .………………………………………………3分 (3)如图…………………………………………………………………………………………5分 (4)<-3或>1..…………………………………………………………………………………6分 22.(1)证明：连接OD ，…………………………1分 ∵MD 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥MD ， ∵BN ⊥MC ，∴OD ∥BN ，…………………………………2分 ∴∠ADO =∠N ，∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ADO ，∴∠OAD =∠N ， ∴AB =BN ；………………………………………………………………………………………3分 (2)解：由(1)OD ∥BN ，∴∠MOD =∠B ，………………………………………………………………………………4分 ∴cos ∠MOD =cosB =52， 在Rt △MOD 中，cos ∠MOD ==OMOD， ∵OD =OA ，MO =MA +OA =3+MA ，∴AM +33=52，∴MA =4.5………………………………………………………………………………………5分 23.解：正确. ………………………………………………………………………………………1分 理由如下： 由做法可知M 为AD 的中点，E 为MD 的中点， ∴AD DE =41. …………………………………………………………2分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=BC ，ED ∥BC . ………………………………………………3分 ∴△DEF ∽△BFC ∴BC DE =BFDF ………………………………………………………..4分 ∵AD =BC10D∴BF DF =BC DE =41∴BD DF =51………………………………………………………………………………………5分 24.解 (1)过D 点作DE ⊥BC 于点E ，可知△CDE 和△DEB 都是直角三角形；……………1分 (2)由∠C =70°，可知sin ∠C 的值，在Rt △CDE 中，由sin ∠C 和DC =a ，可求DE 的长；……………………………………………………………………………………………2分 (3)在Rt △DEB 中,由∠DBC =30°，DE 的长，可求BD 的长………………………………3分 (4)过A 点作AF ⊥BD 于点F ， 可知△DF A 和△AFB 都是直角三角形； ………………4分(5)在Rt △AFB 中,由∠DBA =45°，AB =b ，可求AF 和BF 的长； (6)由DB 、BF 的长，可知DF 的长； (7)在Rt △DF A 中,由DFFA ，可求tan ∠ADB . ………………5分 25.解：(1)1.5……………………………………… ..1分 (2)如图……………………………………………4分(3)0.7(0.6~0.8均可以) .………………………….5分 . 26. 解：(1)m =1………………………………………………………………………………………1分 n =3………………………………………………………………………………………………2分 (2)由(1)知抛物线表达式为y =2-4-5 令y =0得，2-4-5=0.解得1=-1，2=5，……………………………………………………………………………3分∴抛物线y =2-4-5与轴得两个交点C 、D 的坐标分别为C (-1，0)，D (5，0) ∴CD =6.∵A (2-,7)，AB ∥轴交抛物线于点B ，根据抛物线的轴对称性，可知B (6，7)………4分∴S △BCD =21.……………………………………………………………………………………5分(3) 据题意，可知P (t ，-2 t +3)，Q ( t ，t 2-4 t -5), 由2-4-5=-2+3得直线y =-2+3与抛物线y = 2-4-5的两个交点坐标分别为(-2,7)和(4,-5) ……………………………………………………………………………………………6分11∵点P 在点Q 上方∴-2＜t ＜5, ∴PQ = -t 2+2 t +8=-( t -2) 2+9∵a =-1∴PQ 的最大值为9.……………………………………………………………………………7分 27.解：(1)如图……………………………………………1分 (2) ∵∠BAC =2α，∠AHB =90°∴∠ABH =90°-2α …………………………………………………………………………… 2分 ∵BA =BD∴∠BDA =45°+α………………………………………………………………………………3分(3)补全图形，如图………………4分证明过程如下：∵D 关于BC 的对称点为E ，且DE 交BP 于G∴DE ⊥BP ，DG =GE ，∠DBP =∠EBP ，BD =BE ；…………………………………………5分 ∵AB=AC ，∠BAC=2α∴∠ABC=90°-α由(2)知∠ABH =90°-2α∠DBP =90°-α-（90°-2α）=α∴∠DBP =∠EBP =α∴∠BDE =2α∵AB =BD∴△ABC ≌△BDE ………………………………………………………………………………6分 ∴BC =DE∴∠DPB =∠ADB -∠DBP =45°+α-α=45°∴DP DG =21, ∴DPDE =2, ∴DP BC =2,12∴BC =2DP .………………………………………………………………………………7分 28.解：(1)A 、M . ……………………………………………………………………………………2分(2)过点P 作PG ⊥轴于点G …………………………………………………………………3分 设P （，2）∵OG 2+PG 2=OP 2 ………………………………………………………………………………4分 ∴2+42=1∴52=1 ∴2=51∴=55± ∴P (55，552)或P (55-，552-)……………………………………………………5分(3)r =556或 4117≤<r …………………………………………………………7分。
【精品】北京市怀柔区九年级上册期末考试数学试题(有答案)
北京市怀柔区九年级上学期期末考试数学试题一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．北京电影学院落户，怀柔一期工程建设进展顺利，一期工程建筑面积为178800平方米，建设内容有教学行政办公、图书馆、各类实习用房、学生及教工宿舍、食堂用房等，预计将于2019年投入使用．将178800用科学记数法表示应为（）A．1.788×104B．1.788×105C．1.788×106D．1.788×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：178800用科学记数法表示应为1.788×105，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．若将抛物线y=﹣2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）A．y=﹣（+3）2﹣2B．y=﹣（﹣3）2﹣2C．y=（+3）2﹣2D．y=﹣（+3）2+2【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．【解答】解：抛物线y=﹣2的顶点坐标为（0，0），先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣2），所以，平移后的抛物线的解析式为y=﹣（+3）2﹣2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则tanA的值为（）A．B．C．D．【分析】根据锐角的正切等于对边比邻边解答．【解答】解：如图，tanA==．故选B．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．4．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC，若AD=4，BD=8，AE=2，则CE的长为（）A．2B．4C．6D．8【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题；【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∴=，∴EC=4，故选：B．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°，则∠A的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得∠BOC=2∠A，进而可得答案．【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°，∴∠A=∠B0C=50°．故选：B．【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是准确把握圆周角定理即可．6．网球单打比赛场地宽度为8米，长度在球网的两侧各为12米，球网高度为0.9米（如图AB的高度）．中网比赛中，某运动员退出场地在距球网14米的D点处接球，设计打出直线穿越球，使球落在对方底线上C处，用刁钻的落点牵制对方．在这次进攻过程中，为保证战术成功，该运动员击球点高度至少为（）A．1.65米B．1.75米C．1.85米D．1.95米【分析】根据AB∥DE知△ABC∽△EDC，据此可得=，将有关数据代入计算即可．【解答】解：由题意知AB∥DE，则△ABC∽△EDC，∴=，即=，解得：ED=1.95，故选：D．【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．7．某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O，再任意找出圆O的一条直径标记为AB（如图1），测量出AB=4分米；②将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C、D（如图2）；③用一细橡胶棒连接C、D两点（如图3）；④计算出橡胶棒CD的长度．小明计算橡胶棒CD的长度为（）A．2分米B．2分米C．3分米D．3分米【分析】连接OC．根据垂径定理和勾股定理求解即可．【解答】解：连接OC，作OE⊥CD，如图3，∵AB=4分米，∴OC=2分米，∵将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，∴OE=分米，在Rt△OCE中，CE=分米，∴CD=2分米；故选：B．【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．8．如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E，分别交AB、DC于点M、N．动点P在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动．设运动的时间为，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与的函数关系，在这段时间里P 点的运动路径为（）A．从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BCB．从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DAC．从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CND．从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB【分析】结合图1分别画出A、B、C、D四种函数图象，即可判断．【解答】解：根据画出的函数的图象，C符合，故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别画出函数的图象是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．分解因式：33﹣62+3= 3（﹣1）2．【分析】此题是分解因式中综合性题目，应从提出3这个公因式后，再利用完全平方公式进一步因式分解．【解答】解：33﹣62+3，=3•2﹣3•2+3，=3（2﹣2+1），=3（﹣1）2．【点评】本题考查了提取公因式法与公式法因式分解，应注意找准公因式，提取公因式后因注意能否继续因式分解，此题容易分解因式不彻底．10．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比等于1：9 ．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出△ABC与△DEF的面积比．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比是1：3，∴△ABC与△DEF的面积比等于12：32=1：9．故答案为1：9．【点评】熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方．11．有一个反比例函数的图象，在第二象限内函数值随着自变量的值增大而增大，这个函数的表达式可能是（写出一个即可）：y=﹣．【分析】首先根据反比例函数的性质可得＜0，再写一个符合条件的数即可．【解答】解：∵反比例函数y=（是常数，≠0），在其图象所在的每一个象限内，y的值随着的值的增大而增大，∴＜0，∴y=﹣．故答案为：y=﹣．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握对于反比例函数y=（是常数，≠0），当＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量的增大而减小；当＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量增大而增大．12．抛物线y=2（+1）2+3的顶点坐标为（﹣1，3）．【分析】抛物线y=a（﹣h）2+，顶点坐标是（h，），直接根据抛物线y=2（+1）2+3写出顶点坐标则可．【解答】解：顶点坐标是（﹣1，3）．【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．13．将y=2﹣4+5化成y=a（﹣h）2+的形式y=（﹣2）2+1 ．【分析】化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：∵y=2﹣4+5，∴y=2﹣4+4+1，∴y=（﹣2）2+1．故答案为y=（﹣2）2+1．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=a2+b+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（﹣h）2+；（3）交点式（与轴）：y=a（﹣1）（﹣2）．14．数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小泽同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）．室内测量组到教室内窗台旁，在点E处测得旗杆顶部A的仰角α为45°，旗杆底部B的俯角β为60°．室外测量组测得BF的长度为5米．则旗杆AB= （5+5）米．【分析】根据题意直接得出AN的长，进而得出BN的长，即可得出答案．【解答】解：如图所示：由题意可得，EN=BF=5m，∵α为45°，∴AN=EN=5m，tan60°==，解得：BN=5，则旗杆AB=AN+BN=（5+5）m．故答案为：（5+5）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．15．在学校的花园里有一如图所示的花坛，它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮．草皮种植面积为米2．【分析】根据等边三角形的性质和弧长公式即可得到结论．【解答】解：草皮种植面积==πm2，故答案为：π．【点评】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，正确的识别图形是解题的关键．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：已知：如图1，△OAB．求作：⊙O，使⊙O与△OAB的边AB相切．小明的作法如下：如图2，①取线段OB的中点M；以M为圆心，MO为半径作⊙M，与边AB交于点C；②以O为圆心，OC为半径作⊙O；所以，⊙O就是所求作的圆．请回答：这样做的依据是圆的定义、直径所对的圆周角为90°，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【分析】由作图步骤，根据“圆的定义、直径所对的圆周角为90°，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”可得答案．【解答】解：①取线段OB的中点M；以M为圆心，MO为半径作⊙M，则根据圆的定义知OB 为⊙M的直径；由直径所对圆周角为直角知OC⊥AB；②以O为圆心，OC为半径作⊙O；由经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线知⊙O就是所求作的圆；综上，这样做的依据是：圆的定义、直径所对的圆周角为90°，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．故答案为：圆的定义、直径所对的圆周角为90°，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质及切线的判定和性质．三、解答题（本题共68分，第20、21题每小题5分，第26-28题每小题5分，其余每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：4sin45°﹣+（﹣1）0+|﹣2|．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式=4×﹣2+1+2=2﹣2+3=3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（5分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC=4，AC=8，CD=2．求证：△BCD∽△ACB．【分析】根据两边成比例夹角相等的两三角形相似即可判断．【解答】证明：∵BC=4，AC=8，CD=2，∴=，又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用数形结合的思想思考问题；19．（5分）如图，在△ABC中，tanA=，∠B=45°，AB=14．求BC的长．【分析】作CD⊥AB于D，如图，先在Rt△CDA中利用tanA的定义可计算．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图，∵在Rt△CDA中，tanA=，设CD=3，AD=4，∵在Rt△CDB中，∠B=45°∴tanB==1，sinB=，∵CD=3．∴BD=3，BC=•3=3．又∵AB=AD+BD=14，∴4+3=14，解得=2，∴BC=6．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解决此类问题的关键．20．（6分）在平面直角坐标系Oy中，直线y=+3与双曲线y=相交于点A（m，2）．（1）求反比例函数的表达式；（2）画出直线和双曲线的示意图；（3）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA．直接写出点P的坐标．【分析】（1）理由待定系数法即可解决问题；（2）利用描点法画出函数图象即可；（3）图中P、P′即为满足条件的点P，写出坐标即可；【解答】解：（1）∵直线y=+3与双曲线y=相交于点A（m，2）．∴A （﹣1，2），y=﹣． （2）函数图象如图所示．（3）观察图象可知满足条件的点P 坐标为（0，4）或（﹣2，0）．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．21．（6分）一个二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标y 的对应值如下表：（2）求m 的值；（3）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （4）根据图象，写出当y ＜0时，的取值范围．【分析】（1）先确定出顶点坐标，再设顶点式解析式为y=a （+1）2+2，然后将点（1，0）代入求出a 的值，从而得解；（2）将=2代入函数解析式计算即可得解；（3）根据二次函数图象的画法作出图象即可；（4）根据函数图象，写出轴上方部分的的取值范围即可．【解答】解：（1）由图表可知抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），所以，设这个二次函数的表达式为y=a（+1）2+2，∵图象过点（1，0），∴a（1+1）2+2=0，∴a=﹣，∴这个二次函数的表达式为y=﹣（+1）2+2；（2）=2时，m=﹣（2+1）2+2=﹣；（3）函数图象如图所示；（4）y＜0时，＜﹣3或＞1．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，读懂题目信息，从表格中判断出顶点坐标是解题的关键．22．（5分）如图，已知AB是⊙O的直径，点M在BA的延长线上，MD切⊙O于点D，过点B 作BN⊥MD于点C，连接AD并延长，交BN于点N．（1）求证：AB=BN；（2）若⊙O半径的长为3，cosB=，求MA的长．【分析】（1）本题可连接OD，由MD切⊙O于点D，得到OD⊥MD，由于BN⊥MC，得到OD∥BN，得出∠ADO=∠N，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；（2）由（1）知，OD∥BN，得到∠MOD=∠B，根据三角函数的定义即可得到结果．【解答】（1）证明：连接OD，∵MD切⊙O于点D，∴OD⊥MD，∵BN⊥MC，∴OD∥BN，∴∠ADO=∠N，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠N，∴AB=BN；（2）由（1）OD∥BN，∴∠MOD=∠B，∴cos∠MOD=cosB=，在Rt△MOD中，cos∠MOD═，∵OD=OA，MO=MA+OA=3+MA，∴，∴MA=4.5．【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形性质以及等边三角形的判定等知识点，正确的画出辅助线是解题的关键．23．（5分）数学课上老师提出了下面的问题：在正方形ABCD对角线BD上取一点F，使．小明的作法如下：如图①应用尺规作图作出边AD的中点M；②应用尺规作图作出MD的中点E；③连接EC，交BD于点F．所以F点就是所求作的点．请你判断小明的作法是否正确，并说明理由．【分析】根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：正确．理由如下：由做法可知M为AD的中点， E为MD的中点，∴∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，ED∥BC，∴△DEF∽△BFC∴∵AD=BC∴∴．【点评】此题考查作图问题，关键是根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质解答．24．（5分）已知：如图，在四边形ABCD中，BD是一条对角线，∠DBC=30°，∠DBA=45°，∠C=70°．若DC=a，AB=b，请写出求tan∠ADB的思路．（不用写出计算结果）【分析】作DE⊥BC于点E、AF⊥BD于点F，Rt△CDF中可得DE=CDsinC=asin70°，Rt△BDE中可得BD=2DE=2asin30°，在由AF=BF=AB=b，据此得出DF、AF的长，从而得出答案．【解答】解：如图，（1）过D点作DE⊥BC于点E，可知△CDE和△DEB都是直角三角形；（2）由∠C=70°，可知sin∠C的值，在Rt△CDE中，由sin∠C和DC=a，可求DE的长；（3）在Rt△DEB中，由∠DBC=30°，DE的长，可求BD的长；（4）过A点作AF⊥BD于点F，可知△DFA和△AFB都是直角三角形；（5）在Rt△AFB中，由∠DBA=45°，AB=b，可求AF和BF的长；（6）由DB、BF的长，可知DF的长；（7）在Rt△DFA中，由可求tan∠ADB．【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据题意构建直角三角形、熟练掌握三角函数的运用．25．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，点E是BC边上一动点，联结AE，过点E作AE的垂线交直线CD于点F．已知AD=4cm，CD=2cm，BC=5cm，设BE的长为cm，CF的长为ycm．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量的变化而变化的规律进行探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了与y的几组值，如下表：（2）建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BE=CF时，BE的长度约为0.6～0.8 cm．【分析】根据题意作图测量即可，第（3）问构造直线y=与所画图象求交点即可．【解答】解：（1）根据题意作图测量可得y=1.5故答案为：1.5（2）根据题意作图得（3）根据题意，所画图象于直线y=交点即为所求数值．故测量数据在0.6～0.8之间．故答案为：0.6～0.8【点评】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了函数图象的画法和将数据条件转化为函数图象的思想．解答关键是标准作图、数形结合．26．（7分）在平面直角坐标系Oy中，直线l：y=﹣2+n与抛物线y=m2﹣4m﹣2m﹣3相交于点A（﹣2，7）．（1）求m、n的值；（2）过点A作AB∥轴交抛物线于点B，设抛物线与轴交于点C、D（点C在点D的左侧），求△BCD的面积；（3）点E（t，0）为轴上一个动点，过点E作平行于y轴的直线与直线l和抛物线分别交于点P、Q．当点P在点Q上方时，求线段PQ的最大值．【分析】（1）把点A的坐标分别代入直线和抛物线解析式求得m、n的值即可；（2）利用抛物线解析式求得点C、D的坐标，结合抛物线的对称性和三角形的面积公式解答；（3）P（t，﹣2t+3），Q（ t，t2﹣4t﹣5），由2﹣4﹣5=﹣2+3得直线y=﹣2+3与抛物线y=2﹣4﹣5的两个交点坐标分别为（﹣2，7）和（4，﹣5），由两点间的距离公式和二次函数最值的求法解答．【解答】解：（1）把A（﹣2，7）代入y=﹣2+n，得7=4+n，解得n=3．把把A（﹣2，7）代入y=m2﹣4m﹣2m﹣3，得7=4m+8m﹣2m﹣3，解得m=1．综上所述，m=1，n=3；（2）由（1）知抛物线表达式为y=2﹣4﹣5令y=0得，2﹣4﹣5=0．解得1=﹣1，2=5，∴抛物线y=2﹣4﹣5与轴得两个交点C、D的坐标分别为C（﹣1，0），D（5，0）∴CD=6．∵A（﹣2，7），AB∥轴交抛物线于点B，根据抛物线的轴对称性，可知B（6，7）∵S△BCD=21；（3）据题意，可知P（t，﹣2t+3），Q（ t，t2﹣4t﹣5），由2﹣4﹣5=﹣2+3得直线y=﹣2+3与抛物线y=2﹣4﹣5的两个交点坐标分别为（﹣2，7）和（4，﹣5）∵点P在点Q上方∴﹣2＜t＜5，∴PQ=﹣t2+2t+8=﹣（ t﹣1）2+9∵a=﹣1∴PQ的最大值为9．【点评】考查了二次函数综合题，利用待定系数法求一次函数、二次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法以及三角形的面积公式等知识点进行解答，另外注意二次函数图象的性质在解题过程中的应用，难度不是很大．27．（7分）在等腰△ABC中，AB=AC，将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P．（1）依题意补全图形；（2）若∠BAC=2α，求∠BDA的大小（用含α的式子表示）；（3）小明作了点D关于直线BC的对称点点E，从而用等式表示线段DP与BC之间的数量关系．请你用小明的思路补全图形并证明线段DP与BC之间的数量关系．【分析】（1）依据将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC 的延长线于点P，进行作图；（2）依据∠BAC=2α，∠AHB=90°，可得∠ABH=90°﹣2α，依据BA=BD，即可得到∠BDA=45°+α；（3）依据D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G，可得DE⊥BP，DG=GE，∠DBP=∠EBP，BD=BE，再判定△ABC≌△BDE，可得BC=DE，进而得到∠DPB=∠ADB﹣∠DBP=45°+α﹣α=45°，据此可得BC=DP．【解答】解：（1）如图：（2）∵∠BAC=2α，∠AHB=90°，∴∠ABH=90°﹣2α，∵BA=BD，∴∠BDA=45°+α；（3）补全图形，如图：证明过程如下：∵D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G，∴DE⊥BP，DG=GE，∠DBP=∠EBP，BD=BE，∵AB=AC，∠BAC=2α，∴∠ABC=90°﹣α，由（2）知∠ABH=90°﹣2α，∠DBP=90°﹣α﹣（90°﹣2α）=α，∴∠DBP=∠EBP=α，∴∠BDE=2α，∵AB=BD，∴△ABC≌△BDE，∴BC=DE，∴∠DPB=∠ADB﹣∠DBP=45°+α﹣α=45°，∴=，∴=，∴=，∴BC=DP．【点评】本题主要考查了利用旋转变换以及轴对称变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．28．（7分）在平面直角坐标系Oy中，点P的横坐标为，纵坐标为2，满足这样条件的点称为“关系点”．（1）在点A（1，2）、B（2，1）、M（，1）、N（1，）中，是“关系点”的A，M ；（2）⊙O的半径为1，若在⊙O上存在“关系点”P，求点P坐标；（3）点C的坐标为（3，0），若在⊙C上有且只有一个“关系点”P，且“关系点”P的横坐标满足﹣2≤≤2．请直接写出⊙C的半径r的取值范围．【分析】（1）先判断出直线y=2上的点是“关系点”，再将点A，B，M，N的坐标代入判断即可得出结论；（2）构造直角三角形，即可得出结论；（3）先判断出满足条件的点的特点，再利用三角函数和平面坐标系中两点间的距离公式即可得出结论．【解答】解：（1）设点P的纵坐标为y，则y=2，∴点P在直线y=2上，即：直线y=2上的点称为“关系点”，当=1时，y=2×1=1，∴点A是“关系点”，当=2时，y=2×2=4≠1，∴点B不是“关系点”，当=时，y=2×=1，∴点M是“关系点”，∴点A，M是“关系点”，故答案为：A，M；（2）如图1，过点P作PG⊥轴于点G，设P（，2）∵OG2+PG2=OP2∴2+42=1∴52=1∴2=∴=∴P（，）或P（﹣，﹣）；（3）如图2，由（1）知，点P在直线y=2上，∵﹣2≤≤2，即：点（2，4）为B，（﹣2，﹣4）为A，过B作BE⊥轴于E，∴OE=2，BE=4，在Rt△BOE中，根据勾股定理得，OB==2，∴sin∠BOE===，①当⊙C与线段AB相切时，切点记作D，连接CD，∵C（3，0），∴OC=3，在Rt△COD中，sin∠COD=，∴，∴CD=，②当以点C为圆心的圆刚好过点B时，与线段的另一个交点记作F，⊙C的半径BC==，当以点C为圆心的圆刚好过点A时，⊙C的半径AC==，∵在⊙C上有且只有一个“关系点”P，∴点P和点D重合时，满足条件，点P在线段AF上时，满足条件（包括点A，不包括点F），∴t=或＜r≤．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了新定义“关系点”的理解掌握，直线解析式的确定，圆的切线的性质，勾股定理，锐角三角函数，理解和应用新定义是解本题的关键．。
北京市怀柔区九年级上册期末考试数学试题(有答案)【精编】.docx
北京市怀柔区九年级上学期期末考试数学试题一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．北京电影学院落户，怀柔一期工程建设进展顺利，一期工程建筑面积为178800平方米，建设内容有教学行政办公、图书馆、各类实习用房、学生及教工宿舍、食堂用房等，预计将于2019年投入使用．将178800用科学记数法表示应为（）A．1.788×104B．1.788×105C．1.788×106D．1.788×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：178800用科学记数法表示应为1.788×105，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．若将抛物线y=﹣2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）A．y=﹣（+3）2﹣2B．y=﹣（﹣3）2﹣2C．y=（+3）2﹣2D．y=﹣（+3）2+2【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．【解答】解：抛物线y=﹣2的顶点坐标为（0，0），先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣2），所以，平移后的抛物线的解析式为y=﹣（+3）2﹣2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则tanA的值为（）A．B．C．D．【分析】根据锐角的正切等于对边比邻边解答．【解答】解：如图，tanA==．故选B．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．4．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC，若AD=4，BD=8，AE=2，则CE的长为（）A．2B．4C．6D．8【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题；【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∴=，∴EC=4，故选：B．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°，则∠A的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得∠BOC=2∠A，进而可得答案．【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°，∴∠A=∠B0C=50°．故选：B．【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是准确把握圆周角定理即可．6．网球单打比赛场地宽度为8米，长度在球网的两侧各为12米，球网高度为0.9米（如图AB的高度）．中网比赛中，某运动员退出场地在距球网14米的D点处接球，设计打出直线穿越球，使球落在对方底线上C处，用刁钻的落点牵制对方．在这次进攻过程中，为保证战术成功，该运动员击球点高度至少为（）A．1.65米B．1.75米C．1.85米D．1.95米【分析】根据AB∥DE知△ABC∽△EDC，据此可得=，将有关数据代入计算即可．【解答】解：由题意知AB∥DE，则△ABC∽△EDC，∴=，即=，解得：ED=1.95，故选：D．【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．7．某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O，再任意找出圆O的一条直径标记为AB（如图1），测量出AB=4分米；②将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C、D（如图2）；③用一细橡胶棒连接C、D两点（如图3）；④计算出橡胶棒CD的长度．小明计算橡胶棒CD的长度为（）A．2分米B．2分米C．3分米D．3分米【分析】连接OC．根据垂径定理和勾股定理求解即可．【解答】解：连接OC，作OE⊥CD，如图3，∵AB=4分米，∴OC=2分米，∵将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，∴OE=分米，在Rt△OCE中，CE=分米，∴CD=2分米；故选：B．【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．8．如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E，分别交AB、DC于点M、N．动点P在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动．设运动的时间为，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与的函数关系，在这段时间里P点的运动路径为（）A．从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BCB．从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DAC．从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CND．从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB【分析】结合图1分别画出A、B、C、D四种函数图象，即可判断．【解答】解：根据画出的函数的图象，C符合，故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别画出函数的图象是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．分解因式：33﹣62+3= 3（﹣1）2．【分析】此题是分解因式中综合性题目，应从提出3这个公因式后，再利用完全平方公式进一步因式分解．【解答】解：33﹣62+3，=3•2﹣3•2+3，=3（2﹣2+1），=3（﹣1）2．【点评】本题考查了提取公因式法与公式法因式分解，应注意找准公因式，提取公因式后因注意能否继续因式分解，此题容易分解因式不彻底．10．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比等于1：9 ．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出△ABC与△DEF的面积比．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比是1：3，∴△ABC与△DEF的面积比等于12：32=1：9．故答案为1：9．【点评】熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方．11．有一个反比例函数的图象，在第二象限内函数值随着自变量的值增大而增大，这个函数的表达式可能是（写出一个即可）：y=﹣．【分析】首先根据反比例函数的性质可得＜0，再写一个符合条件的数即可．【解答】解：∵反比例函数y=（是常数，≠0），在其图象所在的每一个象限内，y的值随着的值的增大而增大，∴＜0，∴y=﹣．故答案为：y=﹣．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握对于反比例函数y=（是常数，≠0），当＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量的增大而减小；当＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量增大而增大．12．抛物线y=2（+1）2+3的顶点坐标为（﹣1，3）．【分析】抛物线y=a（﹣h）2+，顶点坐标是（h，），直接根据抛物线y=2（+1）2+3写出顶点坐标则可．【解答】解：顶点坐标是（﹣1，3）．【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．13．将y=2﹣4+5化成y=a（﹣h）2+的形式y=（﹣2）2+1 ．【分析】化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：∵y=2﹣4+5，∴y=2﹣4+4+1，∴y=（﹣2）2+1．故答案为y=（﹣2）2+1．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=a2+b+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（﹣h）2+；（3）交点式（与轴）：y=a（﹣1）（﹣2）．14．数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小泽同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）．室内测量组到教室内窗台旁，在点E处测得旗杆顶部A的仰角α为45°，旗杆底部B的俯角β为60°．室外测量组测得BF的长度为5米．则旗杆AB= （5+5）米．【分析】根据题意直接得出AN的长，进而得出BN的长，即可得出答案．【解答】解：如图所示：由题意可得，EN=BF=5m，∵α为45°，∴AN=EN=5m，tan60°==，解得：BN=5，则旗杆AB=AN+BN=（5+5）m．故答案为：（5+5）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．15．在学校的花园里有一如图所示的花坛，它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮．草皮种植面积为米2．【分析】根据等边三角形的性质和弧长公式即可得到结论．【解答】解：草皮种植面积==πm2，故答案为：π．【点评】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，正确的识别图形是解题的关键．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：已知：如图1，△OAB．求作：⊙O，使⊙O与△OAB的边AB相切．小明的作法如下：如图2，①取线段OB的中点M；以M为圆心，MO为半径作⊙M，与边AB交于点C；②以O 为圆心，OC为半径作⊙O；所以，⊙O就是所求作的圆．请回答：这样做的依据是圆的定义、直径所对的圆周角为90°，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【分析】由作图步骤，根据“圆的定义、直径所对的圆周角为90°，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”可得答案．【解答】解：①取线段OB的中点M；以M为圆心，MO为半径作⊙M，则根据圆的定义知OB 为⊙M的直径；由直径所对圆周角为直角知OC⊥AB；②以O为圆心，OC为半径作⊙O；由经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线知⊙O就是所求作的圆；综上，这样做的依据是：圆的定义、直径所对的圆周角为90°，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．故答案为：圆的定义、直径所对的圆周角为90°，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质及切线的判定和性质．三、解答题（本题共68分，第20、21题每小题5分，第26-28题每小题5分，其余每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：4sin45°﹣+（﹣1）0+|﹣2|．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式=4×﹣2+1+2=2﹣2+3=3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（5分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC=4，AC=8，CD=2．求证：△BCD∽△ACB．【分析】根据两边成比例夹角相等的两三角形相似即可判断．【解答】证明：∵BC=4，AC=8，CD=2，∴=，又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用数形结合的思想思考问题；19．（5分）如图，在△ABC中，tanA=，∠B=45°，AB=14．求BC的长．【分析】作CD⊥AB于D，如图，先在Rt△CDA中利用tanA的定义可计算．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图，∵在Rt△CDA中，tanA=，设CD=3，AD=4，∵在Rt△CDB中，∠B=45°∴tanB==1，sinB=，∵CD=3．∴BD=3，BC=•3=3．又∵AB=AD+BD=14，∴4+3=14，解得=2，∴BC=6．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解决此类问题的关键．20．（6分）在平面直角坐标系Oy中，直线y=+3与双曲线y=相交于点A（m，2）．（1）求反比例函数的表达式；（2）画出直线和双曲线的示意图；（3）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA．直接写出点P的坐标．【分析】（1）理由待定系数法即可解决问题；（2）利用描点法画出函数图象即可；（3）图中P、P′即为满足条件的点P，写出坐标即可；【解答】解：（1）∵直线y=+3与双曲线y=相交于点A（m，2）．∴A（﹣1，2），y=﹣．（2）函数图象如图所示．（3）观察图象可知满足条件的点P坐标为（0，4）或（﹣2，0）．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．21．（6分）一个二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标y的对应值如下表：﹣﹣（2）求m的值；（3）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（4）根据图象，写出当y＜0时，的取值范围．【分析】（1）先确定出顶点坐标，再设顶点式解析式为y=a（+1）2+2，然后将点（1，0）代入求出a的值，从而得解；（2）将=2代入函数解析式计算即可得解；（3）根据二次函数图象的画法作出图象即可；（4）根据函数图象，写出轴上方部分的的取值范围即可．【解答】解：（1）由图表可知抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），所以，设这个二次函数的表达式为y=a（+1）2+2，∵图象过点（1，0），∴a（1+1）2+2=0，∴a=﹣，∴这个二次函数的表达式为y=﹣（+1）2+2；（2）=2时，m=﹣（2+1）2+2=﹣；（3）函数图象如图所示；（4）y＜0时，＜﹣3或＞1．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，读懂题目信息，从表格中判断出顶点坐标是解题的关键．22．（5分）如图，已知AB是⊙O的直径，点M在BA的延长线上，MD切⊙O于点D，过点B作BN⊥MD于点C，连接AD并延长，交BN于点N．（1）求证：AB=BN；（2）若⊙O半径的长为3，cosB=，求MA的长．【分析】（1）本题可连接OD，由MD切⊙O于点D，得到OD⊥MD，由于BN⊥MC，得到OD∥BN，得出∠ADO=∠N，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；（2）由（1）知，OD∥BN，得到∠MOD=∠B，根据三角函数的定义即可得到结果．【解答】（1）证明：连接OD，∵MD切⊙O于点D，∴OD⊥MD，∵BN⊥MC，∴OD∥BN，∴∠ADO=∠N，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠N，∴AB=BN；（2）由（1）OD∥BN，∴∠MOD=∠B，∴cos∠MOD=cosB=，在Rt△MOD中，cos∠MOD═，∵OD=OA，MO=MA+OA=3+MA，∴，∴MA=4.5．【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形性质以及等边三角形的判定等知识点，正确的画出辅助线是解题的关键．23．（5分）数学课上老师提出了下面的问题：在正方形ABCD对角线BD上取一点F，使．小明的作法如下：如图①应用尺规作图作出边AD的中点M；②应用尺规作图作出MD的中点E；③连接EC，交BD于点F．所以F点就是所求作的点．请你判断小明的作法是否正确，并说明理由．【分析】根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：正确．理由如下：由做法可知M为AD的中点， E为MD的中点，∴∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，ED∥BC，∴△DEF∽△BFC∴∵AD=BC∴∴．【点评】此题考查作图问题，关键是根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质解答．24．（5分）已知：如图，在四边形ABCD中，BD是一条对角线，∠DBC=30°，∠DBA=45°，∠C=70°．若DC=a，AB=b，请写出求tan∠ADB的思路．（不用写出计算结果）【分析】作DE⊥BC于点E、AF⊥BD于点F，Rt△CDF中可得DE=CDsinC=asin70°，Rt△BDE 中可得BD=2DE=2asin30°，在由AF=BF=AB=b，据此得出DF、AF的长，从而得出答案．【解答】解：如图，（1）过D点作DE⊥BC于点E，可知△CDE和△DEB都是直角三角形；（2）由∠C=70°，可知sin∠C的值，在Rt△CDE中，由sin∠C和DC=a，可求DE的长；（3）在Rt△DEB中，由∠DBC=30°，DE的长，可求BD的长；（4）过A点作AF⊥BD于点F，可知△DFA和△AFB都是直角三角形；（5）在Rt△AFB中，由∠DBA=45°，AB=b，可求AF和BF的长；（6）由DB、BF的长，可知DF的长；（7）在Rt△DFA中，由可求tan∠ADB．【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据题意构建直角三角形、熟练掌握三角函数的运用．25．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，点E是BC边上一动点，联结AE，过点E作AE的垂线交直线CD于点F．已知AD=4cm，CD=2cm，BC=5cm，设BE的长为cm，CF的长为ycm．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量的变化而变化的规律进行探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了与y的几组值，如下表：（2）建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BE=CF时，BE的长度约为0.6～0.8 cm．【分析】根据题意作图测量即可，第（3）问构造直线y=与所画图象求交点即可．【解答】解：（1）根据题意作图测量可得y=1.5故答案为：1.5（2）根据题意作图得（3）根据题意，所画图象于直线y=交点即为所求数值．故测量数据在0.6～0.8之间．故答案为：0.6～0.8【点评】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了函数图象的画法和将数据条件转化为函数图象的思想．解答关键是标准作图、数形结合．26．（7分）在平面直角坐标系Oy中，直线l：y=﹣2+n与抛物线y=m2﹣4m﹣2m﹣3相交于点A（﹣2，7）．（1）求m、n的值；（2）过点A作AB∥轴交抛物线于点B，设抛物线与轴交于点C、D（点C在点D的左侧），求△BCD的面积；（3）点E（t，0）为轴上一个动点，过点E作平行于y轴的直线与直线l和抛物线分别交于点P、Q．当点P在点Q上方时，求线段PQ的最大值．【分析】（1）把点A的坐标分别代入直线和抛物线解析式求得m、n的值即可；（2）利用抛物线解析式求得点C、D的坐标，结合抛物线的对称性和三角形的面积公式解答；（3）P（t，﹣2t+3），Q（ t，t2﹣4t﹣5），由2﹣4﹣5=﹣2+3得直线y=﹣2+3与抛物线y=2﹣4﹣5的两个交点坐标分别为（﹣2，7）和（4，﹣5），由两点间的距离公式和二次函数最值的求法解答．【解答】解：（1）把A（﹣2，7）代入y=﹣2+n，得7=4+n，解得n=3．把把A（﹣2，7）代入y=m2﹣4m﹣2m﹣3，得7=4m+8m﹣2m﹣3，解得m=1．综上所述，m=1，n=3；（2）由（1）知抛物线表达式为y=2﹣4﹣5令y=0得，2﹣4﹣5=0．解得1=﹣1，2=5，∴抛物线y=2﹣4﹣5与轴得两个交点C、D的坐标分别为C（﹣1，0），D（5，0）∴CD=6．∵A（﹣2，7），AB∥轴交抛物线于点B，根据抛物线的轴对称性，可知B（6，7）∵S△BCD=21；（3）据题意，可知P（t，﹣2t+3），Q（ t，t2﹣4t﹣5），由2﹣4﹣5=﹣2+3得直线y=﹣2+3与抛物线y=2﹣4﹣5的两个交点坐标分别为（﹣2，7）和（4，﹣5）∵点P在点Q上方∴﹣2＜t＜5，∴PQ=﹣t2+2t+8=﹣（ t﹣1）2+9∵a=﹣1∴PQ的最大值为9．【点评】考查了二次函数综合题，利用待定系数法求一次函数、二次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法以及三角形的面积公式等知识点进行解答，另外注意二次函数图象的性质在解题过程中的应用，难度不是很大．27．（7分）在等腰△ABC中，AB=AC，将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P．（1）依题意补全图形；（2）若∠BAC=2α，求∠BDA的大小（用含α的式子表示）；（3）小明作了点D关于直线BC的对称点点E，从而用等式表示线段DP与BC之间的数量关系．请你用小明的思路补全图形并证明线段DP与BC之间的数量关系．【分析】（1）依据将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P，进行作图；（2）依据∠BAC=2α，∠AHB=90°，可得∠ABH=90°﹣2α，依据BA=BD，即可得到∠BDA=45°+α；（3）依据D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G，可得DE⊥BP，DG=GE，∠DBP=∠EBP，BD=BE，再判定△ABC≌△BDE，可得BC=DE，进而得到∠DPB=∠ADB﹣∠DBP=45°+α﹣α=45°，据此可得BC=DP．【解答】解：（1）如图：（2）∵∠BAC=2α，∠AHB=90°，∴∠ABH=90°﹣2α，∵BA=BD，∴∠BDA=45°+α；（3）补全图形，如图：证明过程如下：∵D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G，∴DE⊥BP，DG=GE，∠DBP=∠EBP，BD=BE，∵AB=AC，∠BAC=2α，∴∠ABC=90°﹣α，由（2）知∠ABH=90°﹣2α，∠DBP=90°﹣α﹣（90°﹣2α）=α，∴∠DBP=∠EBP=α，∴∠BDE=2α，∵AB=BD，∴△ABC≌△BDE，∴BC=DE，∴∠DPB=∠ADB﹣∠DBP=45°+α﹣α=45°，∴=，∴=，∴=，∴BC=DP．【点评】本题主要考查了利用旋转变换以及轴对称变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．28．（7分）在平面直角坐标系Oy中，点P的横坐标为，纵坐标为2，满足这样条件的点称为“关系点”．（1）在点A（1，2）、B（2，1）、M（，1）、N（1，）中，是“关系点”的A，M ；（2）⊙O的半径为1，若在⊙O上存在“关系点”P，求点P坐标；（3）点C的坐标为（3，0），若在⊙C上有且只有一个“关系点”P，且“关系点”P的横坐标满足﹣2≤≤2．请直接写出⊙C的半径r的取值范围．【分析】（1）先判断出直线y=2上的点是“关系点”，再将点A，B，M，N的坐标代入判断即可得出结论；（2）构造直角三角形，即可得出结论；（3）先判断出满足条件的点的特点，再利用三角函数和平面坐标系中两点间的距离公式即可得出结论．【解答】解：（1）设点P的纵坐标为y，则y=2，∴点P在直线y=2上，即：直线y=2上的点称为“关系点”，当=1时，y=2×1=1，∴点A是“关系点”，当=2时，y=2×2=4≠1，∴点B不是“关系点”，当=时，y=2×=1，∴点M是“关系点”，∴点A，M是“关系点”，故答案为：A，M；（2）如图1，过点P作PG⊥轴于点G，设P（，2）∵OG2+PG2=OP2∴2+42=1∴52=1∴2=∴=∴P（，）或P（﹣，﹣）；（3）如图2，由（1）知，点P在直线y=2上，∵﹣2≤≤2，即：点（2，4）为B，（﹣2，﹣4）为A，过B作BE⊥轴于E，∴OE=2，BE=4，在Rt△BOE中，根据勾股定理得，OB==2，∴sin∠BOE===，①当⊙C与线段AB相切时，切点记作D，连接CD，∵C（3，0），∴OC=3，在Rt△COD中，sin∠COD=，∴，∴CD=，②当以点C为圆心的圆刚好过点B时，与线段的另一个交点记作F，⊙C的半径BC==，当以点C为圆心的圆刚好过点A时，⊙C的半径AC==，∵在⊙C上有且只有一个“关系点”P，∴点P和点D重合时，满足条件，点P在线段AF上时，满足条件（包括点A，不包括点F），∴t=或＜r≤．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了新定义“关系点”的理解掌握，直线解析式的确定，圆的切线的性质，勾股定理，锐角三角函数，理解和应用新定义是解本题的关键．。
北京市怀柔区九年级数学上册期末质量试题有答案【最新】
怀柔区第一学期初三期末质量检测数 学 试 卷第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1. 北京电影学院落户，怀柔一期工程建设进展顺利，一期工程建筑面积为178800平方米，建设内容有教学行政办公、图书馆、各类实习用房、学生及教工宿舍、食堂用房等，预计将于2019年投入使用. 将178800用科学记数法表示应为A ．1.788×104B ．1.788×105C ．1.788×106D ．1.788×107 2.若将抛物线y = －122先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是 A ．2)3(212-+-=x y B ．2)3(212---=x y C ．2)3(2-+=x y D. 2)3(212++-=x y 3.在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，则tan A 的值为 A ．34B ．43C ．53D ．54 4. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB,AC 上的点，且DE ∥BC ，若AD =4，BD =8，AE =2，则CE 的长为A ．2B ．4C ．6D ．85. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC =100° ）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒6. 网球单打比赛场地宽度为8米，长度在球网的两侧各为12米，球网高度为0.9米（如图AB 的高度）.中网比赛中，某运动员退出场地在距球网14米的D 点处接球，设计打出直线．．穿越球，使球落在对方底线上C 处，用刁钻的落点牵制对方.在这次进攻过程中，为保证战术成功，该运动员击球点高度至少为EDC BA第4题图 第5题图A. 1.65米B. 1.75米C.1.85米D. 1.95米 7. 某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O ，再任意找出圆O 的一条直径标记为AB （如图1），测量出AB =4分米；②将圆环进行翻折使点B 落在圆心O 的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C 、D （如图2）；③用一细橡胶棒连接C 、D 两点（如图3）； ④计算出橡胶棒CD 的长度.A ．22 分米B ．23分米C ．32 分米D ．33分米8．如图1，⊙O 过正方形ABCD 的顶点A 、D 且与边BC 相切于点E ，分别交AB 、DC 于点M 、N .动点P 在⊙O 或正方形ABCD 的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动.设运动的时间为，圆心O 与P 点的距离为y ，图2记录了一段时间里y 与的函数关系，在这段时间里P 点的运动路径为 A.从D点出发，沿弧DA →弧AM →线段BM →线段BC B.从B 点出发，沿线段BC →线段CN →弧ND →弧DAC.从A 点出发，沿弧AM →线段BM →线段BC →线段CND.从C 点出发，沿线段CN →弧ND →弧DA →线段AB二、填空题(本题共16分，每小题2分)9．分解因式：33-62+3=_________．第8题图1第8题图210．若△ABC ∽△DEF ，且对应边BC 与EF 的比为1∶3，则△ABC 与△DEF 的面积比等于 . 11. 有一个反比例函数的图象，在第二象限内函数值随着自变量的值增大而增大，这个函数的表达式可能是（写出一个即可）： ．12．抛物线y =2(+1)2+3 的顶点坐标是 .13．把二次函数y =2-4+5化成y=a (-h )2+的形式为__________________．14. 数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度.小泽同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了.他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）.室内测量组到教室内窗台旁，在点E 处测得旗杆顶部A 的仰角α为45°，旗杆底部B 的俯角β为60°. 室外测量组测得BF 的长度为5米.则旗杆AB =______米.15.1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮.草皮种植面积为米2.16. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：三、解答题(本题共68分，第20、21题每小题6分，第26-28题每小题7分，其余每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.计算：4sin45°-8+(3-1)0+|-2|.18.如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，BC ＝4，AC ＝8，CD=2．求证：△BCD ∽△ACB .19. 如图，在△ABC 中，tan A =4，∠B =45°，AB =14. 求BC 的长. 20.在平面直角坐标系Oy 中，直线3+-=x y 与双曲线ky =相交于点A (m ，2). (1)求反比例函数的表达式； (2)画出直线和双曲线的示意图；(3)若P 是坐标轴上一点，且满足P A =OA . 直接写出点P 的坐标．21.一个二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标y (2)求m 的值；(3)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； (4)根据图象，写出当y ＜0时，的取值范围.22. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，点M 在BA 的延长线上，MD切⊙O 于点D ，过点B 作BN ⊥MD 于点C ，连接AD 并延长，交BN 于点N ． (1)求证：AB =BN ；(2)若⊙O 半径的长为3，cosB =52，求MA 的长．第18题图 第19题图DB23.数学课上老师提出了下面的问题： 在正方形ABCD 对角线BD 上取一点F ，使51=D B DF . 小明的做法如下：如图① 应用尺规作图作出边AD 的中点M ; ② 应用尺规作图作出MD 的中点E ; ③ 连接EC ，交BD 于点F . 所以F 点就是所求作的点.请你判断小明的做法是否正确，并说明理由.24. 已知：如图，在四边形ABCD 中，BD 是一条对角线，∠DBC =30°， ∠DBA =45°，∠C =70°.若DC =a ，AB=b , 请写出求tan ∠ADB 的思路. （不用写出计算结果．．．．．．．．）25.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC =90°，点E 是BC ，过点E 作AE 的垂线交直线CD 于点F .已知AD =4cm ，CD =2cm ，BC =5cm ，设BE 的长为 cm ，CF 的长为y cm.小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量的变化而变化的规律进行探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了与y 的几组值，如下表：((2)建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(3)结合画出的函数图象，解决问题 当BE =CF 时，BE 的长度约为 cm.B 26.在平面直角坐标系Oy 中，直线l n x y +-=2与抛物线3242---=m mx mx y 相交于点A（2-,7）. (1)求m 、n 的值；(2)过点A 作AB ∥轴交抛物线于点B ，设抛物线 与轴交于点C 、D (点C 在点D 的左侧)，求△BCD 的面积；(3)点E （t ,0）为轴上一个动点，过点E 作平行于y 轴的直线与直线l 和抛物线分别交于点P 、Q .当点P 在点Q 上方时，求线段PQ 的最大值.27. 在等腰△ABC 中，AB =AC ，将线段BA 绕点B 顺时针旋转到BD ，使BD ⊥AC 于H ，连结AD 并延长交BC 的延长线于点P . (1)依题意补全图形；(2)若∠BAC =2α，求∠BDA 的大小（用含α的式子表示）；(3)小明作了点D 关于直线BC 的对称点点E ，从而用等式表示线段DP 与BC 之间的数量关系.请你用小明的思路补全图形并证明线段DP 与BC 之间的数量关系.28.在平面直角坐标系Oy 中，点P 的横坐标为，纵坐标为2，满足这样条件的点称为“关系点”.(1)在点A (1,2)、B (2,1)、M (21，1)、N (1，21)中， 是“关系点”的 ；(2)⊙O 的半径为1，若在⊙O 上存在“关系点”P ， 求点P 坐标；(3)点C 的坐标为(3，0)，若在⊙C 上有且只有．．．．一个．．“关系点”P ，且“关系点”P 的横坐标满足-2≤≤2.请直接写出⊙C 的半径r 的取值范围．第一学期期末初三质量检测数学试卷评分标准一、选择题(本题共16分，每小题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个9.3(-1)2. 10.19. 11.答案不唯一，<0即可. 12.(﹣1，3). 13.y =(-2)2+1. 14. 5+53. 15. 16.圆的定义，直径的定义，直径所对的圆周角为90°，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.三、解答题(本题共68分，第20、21题每小题6分，第26-28题每小题7分，其余每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 解原式=4×22-22+1+2 …………………………………………………………………… 4分 =3 ………………………………………………………………………………………5分18.证明：∵BC ＝4，AC ＝8，CD =2.…………………………1分∴BC CD AC BC =………………………………………3分 又∵∠C =∠C …………………………………………………………………………4分∴ △BCD ∽△ACB ……………………………………………………………………5分19.解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，如图. ………………………………………………1分 ∵在Rt △CDA 中，tan A =AD CD = 43设CD =3，AD =4. ……………………………………………………………………………2分 ∵在Rt △CDB 中，∠B =45°π25∴tan B =DB CD = 1,sin B =BCCD =22,……………………………………………………………3分∵CD =3. ∴BD =3，BC =2·3=32. 又∵AB =AD+BD =14， ∴4+3=14，解得=2.…………………………………………………………………………4分∴BC =62. ……………………………………………………………………………………5分 20.解：(1)∵直线3+-=x y 与双曲线xky =相交于点A （m ，2）. ∴ A （1，2）………………………………………1分∴xy 2=…………………………………………2分 (2)如图…………………………………………………………4分(3)P (0，4)或P (2，0) …………………………………………6分 21.解：(1)设这个二次函数的表达式为2()y a x h k =-+. 依题意可知，顶点为（-1，2），………………………1分 ∴ ()212++=x a y .∵图象过点（1，0）， ∴()21102++=a .∴12a =-. ∴这个二次函数的表达式为()21212++-=x y …………2分 (2)25-=m .………………………………………………3分 (3)如图…………………………………………………………………………………………5分 (4)<-3或>1..…………………………………………………………………………………6分 22.(1)证明：连接OD ，…………………………1分 ∵MD 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥MD ， ∵BN ⊥MC ，D∴OD ∥BN ，…………………………………2分 ∴∠ADO =∠N ，∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ADO ，∴∠OAD =∠N ，∴AB =BN ；………………………………………………………………………………………3分 (2)解：由(1)OD ∥BN ，∴∠MOD =∠B ，………………………………………………………………………………4分 ∴cos ∠MOD =cosB =52， 在Rt △MOD 中，cos ∠MOD ==OMOD， ∵OD =OA ，MO =MA +OA =3+MA ，∴AM 33=52，∴MA =4.5………………………………………………………………………………………5分 23.解：正确. ………………………………………………………………………………………1分 理由如下： 由做法可知M 为AD 的中点，E 为MD 的中点， ∴AD DE =41. …………………………………………………………2分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=BC ，ED ∥BC . ………………………………………………3分 ∴△DEF ∽△BFC ∴BC DE =BF DF ………………………………………………………..4分 ∵AD =BC ∴BF DF =BC DE =41∴BD DF =51………………………………………………………………………………………5分 24.解 (1)过D 点作DE ⊥BC 于点E ，可知△CDE 和△DEB 都是直角三角形；……………1分 (2)由∠C =70°，可知sin ∠C 的值，在Rt △CDE 中，由sin ∠C 和DC =a ，可求DE 的长；……………………………………………………………………………………………2分 (3)在Rt △DEB 中,由∠DBC =30°，DE 的长，可求BD 的长………………………………3分 (4)过A 点作AF ⊥BD 于点F ， 可知△DF A 和△AFB 都是直角三角形； ………………4分(5)在Rt△AFB中,由∠DBA=45°，AB=b，可求AF和BF的长；(6)由DB、BF的长，可知DF的长；(7)在Rt△DF A中,由DFFA，可求tan∠ADB. ………………5分25.解：(1)1.5……………………………………… ..1分(2)如图……………………………………………4分(3)0.7(0.6~0.8均可以) .………………………….5分.26.解：(1)m=1………………………………………………………………………………………1分n=3………………………………………………………………………………………………2分(2)由(1)知抛物线表达式为y=2-4-5令y=0得，2-4-5=0.解得1=-1，2=5，……………………………………………………………………………3分∴抛物线y=2-4-5与轴得两个交点C、D的坐标分别为C(-1，0)，D(5，0)∴CD=6.∵A(2-,7)，AB∥轴交抛物线于点B，根据抛物线的轴对称性，可知B(6，7)………4分∴S△BCD=21.……………………………………………………………………………………5分(3) 据题意，可知P(t，-2 t+3)，Q( t，t2-4 t-5),由2-4-5=-2+3得直线y=-2+3与抛物线y= 2-4-5的两个交点坐标分别为(-2,7)和(4,-5) ……………………………………………………………………………………………6分∵点P在点Q上方∴-2＜t＜5, ∴PQ= -t2+2 t+8=-( t-2) 2+9∵a=-1∴PQ的最大值为9.……………………………………………………………………………7分27.解：(1)如图……………………………………………1分(2) ∵∠BAC=2α，∠AHB=90°∴∠ABH=90°-2α…………………………………………………………………………… 2分∵BA=BD∴∠BDA=45°+α………………………………………………………………………………3分(3)补全图形，如图………………4分证明过程如下：∵D 关于BC 的对称点为E ，且DE 交BP 于G∴DE ⊥BP ，DG =GE ，∠DBP =∠EBP ，BD =BE ；…………………………………………5分 ∵AB=AC ，∠BAC=2α∴∠ABC=90°-α由(2)知∠ABH =90°-2α∠DBP =90°-α-（90°-2α）=α∴∠DBP =∠EBP =α∴∠BDE =2α∵AB =BD ∴△ABC ≌△BDE ………………………………………………………………………………6分 ∴BC =DE∴∠DPB =∠ADB -∠DBP =45°+α-α=45°∴DP DG =21, ∴DPDE =2, ∴DP BC =2, ∴BC =2DP .………………………………………………………………………………7分 28.解：(1)A 、M . ……………………………………………………………………………………2分(2)过点P 作PG ⊥轴于点G …………………………………………………………………3分 设P （，2）∵OG 2+PG 2=OP 2 ………………………………………………………………………………4分 ∴2+42=1∴52=1∴2=51 ∴=55∴P (55，552)或P (55-，552-)……………………………………………………5分 (3)r =556或 4117≤<r …………………………………………………………7分。
北京市怀柔区九年级上学期期末考试数学试题
怀柔区—第一学期初三期末质量检测数 学 试 卷学校 姓名 准考证号 考生须知 1．本试卷共4页，共五道大题，25道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．3的相反数是（ ）A. －3B. 3C. 31-D. 312．中国旅游研究院最近发布报告称，中国出境旅游人数8200万人次，8200万用科学计数法表示为( )A.82×106B.8.2×106C.8.2×107D. 8.2×1083.把抛物线2y x =-向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的表达式（ ）A ．2(1)3y x =--+B ．2(1)3y x =-++C ．2(1)3y x =---D ．2(1)3y x =-+-．4．如图，在△ABC 中，∠C=900，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 5．在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cosB 的值为（ ） A ．12B ．22C ．32D 36．如图，已知⊙O 的直径AB ⊥弦CD 于点E ，下列结论中一定正确的是（ ） A ．AE ＝OE B ．CE ＝DEC ．OE ＝12CE D ．∠AOC ＝60°6题图 5题图 4题图O x y 4 4 Ox y 4 4 B Ox y 4 4 COxy4 4 DOBA C D ABEF7．从1～9这九个自然数中任取一个，是2的倍数的概率是( ) A ．92 B ．94 C ．95 D ．328. 如图，点C 、D 是以线段AB 为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E 、F 分别是线段CD 、AB 上的动点，设AF=x ，AE 2－FE 2=y ，则能表示y 与x 的函数关系的图象是（ ）二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．分解因式：x 3﹣x= ．10．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，且BO=BC ，则BAC ∠= .11. 如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)经原点和点（-2，0），则2a -3b 0.(填＞、＜或＝)12.如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC=60°．若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A→B→A 方向运动，设运动时间为t(秒)(0≤t＜3)，连结EF ，当t 值为________秒时，△BEF 是直角三角形． 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：8345sin 2201310+--︒-⎪⎭⎫⎝⎛14．已知30x y -=，求)(2222y x yxy x yx -⋅+-+的值． 15．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点(2,0)A -，与反比例函数在第一象限内的图象交于点(2,)B n ，连结BO ，若S 4AOB ∆=．求该反比例函数的解析式和直线AB 的解析式.16．已知反比例函数y ＝ k x的图象与二次函数y ＝ax 2＋x －1的8题图10题图 O x y -2 11题图 FE O A CB 12题图图象相交于点A （2，2） (1)求a 的值；(2)反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点，请说明理由.17.如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点D 在AC 上，连结BD 并延长与CE 交于点E ．(1)求证：△ABD ∽△CED;(2)若AB ＝6，AD ＝2CD ，求BE 的长．18． 如图，⊙O 的直径AB 长为6，弦AC 长为2，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，求四边形ADBC 的面积.四、解答题（本题共20分， 每小题5分）19.某学生参加社会实践活动，在景点P 处测得景点B 位于南偏东45︒方向，然后沿北偏东60︒方向走100米到达景点A ，此时测得景点B 正好位于景点A 的正南方向，求景点A 与景点B 之间的距离．20．如图①，AB 为⊙O 的直径，AD 与⊙O 相切于点A ,DE 与⊙O 相切于点E ，点C 为DE 延长线上一点，且CE=CB ． (1)求证：BC 为⊙O 的切线；(2)如图②，连接AE,AE 的延长线与BC 的延长线交于点G ．若2,52==AD AB , 求线段BC 和EG 的长．21．小赵销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，月内销售单价不变，每19题图20题图①20题图②· 18题图 A B CO D ADE BF C 17题图24题图①24题图②O A BMNPOA B MNP CD EF月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：10500y x =-+．(1)设小赵每月获得利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求出最大利润.(2)如果小赵想要每月获得的利润不低于2000元，那么如何制定销售单价才可以实现这一目标？22. 操作与实践： (1)在图①中，以线段m 为一边画菱形，要求菱形的顶点均在格点上.（画出所有符合条件的菱形）（4分）(2)在图②中，平移a 、b 、c 中的两条线段，使它们与线段n 构成以n 为一边的等腰直角三角形.（画一个即可）（1分）五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3的顶点为M （2，－1），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，其中点B 的坐标为（3，0）. (1)求该抛物线的解析式；(2)设经过点C 的直线与该抛物线的另一个交点为D ，且直线CD 和直线CA 关于直线BC 对称，求直线CD 的解析式；(3)在该抛物线的对称轴上存在点P ，满足PM 2＋PB 2＋PC 2＝35，求点P 的坐标.24.已知，如图①，∠MON=60°，点A 、B 为射线OM 、ON 上的动点（点A 、B 不与点O 重合），且AB=34，在∠MON 的内部、△AOB 的外部有一点P ，且AP=BP ，∠APB=120°.(1)求AP 的长；(2)求证：点P 在∠MON 的平分线上；(3)如图②，点C ，D ，E ，F 分别是四边形AOBP的边AO ，OB ，BP ，PA 的中点，连接CD ，DE ，EF ， FC ，OP. ①当AB ⊥OP 时，请直接．．写出四边形CDEF 的周长；②若四边形CDEF 的周长用t 表示，请直接．．写出t 的取值范围．25. 已知：如图，把矩形OCBA 放置于直角坐标系中，OC=3,BC=2,取AB 的中点M ，连结MC ，把△MBC 沿x 轴的负方向平移OC 的长度后得到△DAO. (1)直接写出点D 的坐标；(2)已知点B 与点D 在经过原点的抛物线上，点P 在第22题图① 22题图②一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连结OP.①若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，试求出点P的坐标；②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得TO 的值最大.若存在，求出T点坐标；若不存在，请说明理由.TB怀柔区—第一学期初三期末质量检测数学试卷答案及评分参考题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 ACBCBBB C题号9 10 1112 答案 x （x+1）（x ﹣1）30＞ 1或1.75或2.25注：三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13． 解：=1-2×22-3+22……………………………………………………………4分 =1-2-3+22=2-2 ……………………………………………………………………5分14．解：)(2222y x y xy x yx -⋅+-+)()(22y x y x yx -⋅-+=……………………………………………………………1分 2x yx y+=-． ……………………………………………………………3分 当30x y -=时，3x y =． ……………………………………………………………4分原式677322y y y y y y +===-． ……………………………………………………………5分15． 解：由(2,0)A -，得 2OA =．∵点(2,)B n 在第一象限内，4AOB S ∆=．∴142OA n ⋅=．∴4n =． ······················ 1分 ∴点B 的坐标是(2,4)． 设该反比例函数的解析式为(0)ay a x=≠． …………………………………2分 将点B 的坐标代入，得 42a=， ∴8a =．∴反比例函数的解析式为：8y x=． ·················· 3分 设直线AB 的解析式为(0)y kx b k =+≠．将点A ，B 的坐标分别代入，得 20,2 4.k b k b -+=⎧⎨+=⎩············· 4分解得 1,2.k b =⎧⎨=⎩∴直线AB 的解析式为2y x =+． ·················· 5分16． 解：(1)∵反比例函数y ＝ k x的图象与二次函数y ＝ax 2＋x －1的图象相交于点（2，2）∴代入得2=4a+2-1…………………………………1分解得a=41.…………………………………2分 (2) 反比例函数的图象经过二次函数图象的顶点,理由如下：∵反比例函数y ＝ kx的图象过点（2，2）∴代入得2=2k，解得k=4. ……………………………3分 由(1)可知二次函数的解析式分别为y ＝41x 2＋x －1计算可得二次函数y ＝41x 2＋x －1的顶点坐标为（-2，-2） (4)分∵x=-2时，y=24-=-2. ………………………5分 ∴反比例函数的图象经过二次函数图象的顶点. 17．(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC ＝∠ACB ＝60°．∠ACF ＝120°．∵ CE 是外角平分线， ∴ ∠ACE ＝60°． ∴∠BAC ＝∠ACE ． (1)分 又∵ ∠ADB ＝∠CDE ， (2)分∴ △ABD∽△CED． ………………………3分（2）解：作BM⊥AC 于点M ，AC ＝AB ＝6． ∴ AM ＝CM ＝3，BM ＝AB·sin60°＝33．∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4，MD＝1．ADEC M· 18题图ABC OD 在Rt△BDM中，BD ＝22BM MD +＝27． ………………………4分由（1）△ABD∽△CED得，BD ADED CD=，272=，∴ ED 7 BE ＝BD ＋ED ＝37分18． 解：∵AB 是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°. …………………………1分 在Rt△ABC 中，AB=6， AC= 2，∴BC=AB 2－AC 2=62－22= 4 2 …………2分 ∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠DAC=∠BCD ∴AD ⌒=DB ⌒， ∴AD=BD…………3分∴在Rt△ABD 中，AD=BD= 22AB=3 2 …………4分∴四边形ADBC 的面积=S△ABC+S△ABD=12 AC·BC+12 AD·BD=12 ×2×4 2 +12×(3 2 )2=9+4 2 …………5分 四、解答题（本题共20分， 每小题5分）19. 解：过P 作PD⊥AB，垂足为D ，………………1分 则AB=AB+BD,∴∠A=60。
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怀柔区2013—2014学年度第一学期初三期末质量检测数 学 试 卷 2014. 1一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．在Rt △ABC 中，∠C =90°，若sin A ＝12，则∠A 的度数是 A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．两个相似三角形周长的比是2:3，则它们的面积比是 A ． 2:3 B ． 3:2 C ．4:9 D ．9:4 3．如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，且∠A ＝50°， 则∠BOC 的度数为A ．40°B ． 50°C ． 80°D ．100°4．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且 DE ∥BC ， 若AD =5， DB =3，DE=4， 则BC 等于 A ．125 B ．154 C ．203 D ．3255．下列事件中，为必然事件的是A ．购买一张彩票，一定中奖．B ．一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球．C ．抛掷一枚硬币，正面向上．D ．打开电视，正在播放广告．6．将抛物线y ＝ (x －1)2 +3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的 解析式为2222A ．S= 2 B ． 2＜S ＜4 C ．S = 4 D ．S ＞4A第7题图A E D CBOFEDCBA45°30°CBA8．如图，正方形ABCD 中，AB ＝8cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别从B ，C 两点同时出发，以 1cm/s 的速度沿BC ，CD 运动，到点C ，D 时停止运动． 设运动时间为t (s )，△OEF 的面积为S (cm 2)， 则S (cm 2)与t (s )的函数关系可用图象表示为二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．Rt △ABC 中，∠C ＝90°,若AB ＝5，AC ＝4，则∠A 的正切值为_________.10．抛物线21y x =+的最小值是 ．11．已知扇形的半径为4㎝，圆心角为120°，则此扇形的弧长是 ㎝. 12．如图，圆心B 在y 轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y 轴的正半轴交于点A （0，1）.过点P （0，－7）的 直线l 与⊙B 相交于C 、D 两点，则弦CD 长的所有可能的 整数值有_______个；它们是 .三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：sin302cos 45︒︒-︒．14．已知抛物线y=x 2-4x+3，求出它的对称轴和顶点坐标.15.如图，在ABC Δ中，AC AB =，CD BD =，AB CE ⊥于E .求证：CBE ABD ΔΔ∽．16.如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=32， 求AB 的长.17. 一只不透明的袋子中装有2个白球和一个红球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录下颜色后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出一个球，请用树状图或列表的方法列出所有可能的结果，求出两次摸出的球颜色相同的概率．A ．D ．AEByx468101214161820218．如图，一次函数y 1＝x ＋1的图象与反比例函数y 2＝k x(k 为常数，且k ≠0)的图象都经过点A (m ，2)． (1)求点A 的坐标及反比例函数的表达式；(2)结合图象直接比较：当x ＞0时，y 1与y 2的大小．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图：在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠CAB交BC 于点D ，AB=10，AC =6，求D 到AB 的距离.20．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，∠1=∠C ， （1）求证：CB ∥PD ； （2）若AB=5，sin ∠P=35，求BC 的长．21．已知：△ABC 是边长为4的等边三角形，点O 在边AB 上， ⊙O 过点B 且分别与边AB ，BC 相交于点D ，E ， EF ⊥AC ，垂足为F.（1）求证：直线EF 是⊙O 的切线；（2）当直线DF 与⊙O 相切时，求⊙O 的半径.22．如图，矩形ABCD 的两边长AB =18cm ，AD =4cm ，点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动．设运动时间为x 秒， △PBQ 的面积为y （cm 2）.（1）求y 关于x 的函数关系式，并在右图中画出函数的图像； （2）求△PBQ 面积的最大值.DCBAQPDC BA图1B图2C图3B五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．理解与应用小明在学习相似三角形时，在北京市义务教育课程改革实验教材第17册书，第37页遇到这样一道题： 如图1，在△ABC 中，P 是边AB 上的一点，联结CP.要使△ACP ∽△ABC ，还需要补充的一个条件是____________，或_________. 请回答：（1）小明补充的条件是____________________，或_________________. （2）请你参考上面的图形和结论，探究、解答下面的问题：如图2，在△ABC 中，∠A =60°，AC 2= AB 2+AB.BC . 求∠B 的度数．24.（1）如图1，在等边△ABC 中，点M 是边BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），联结AM ，以AM为边作等边△AMN ，联结CN ．求证：∠ABC=∠ACN ． 【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC 中，点M 是边BC 延长线上的任意一点（不含端点C ），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN 还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC 中，BA=BC ，点M 是边BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），联结AM ，以AM 为边作等腰△AMN ，使顶角∠AMN=∠ABC ．联结CN ．试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由．ABC图2图1PCBA25.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交y轴于点A，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知C点坐标为（6，0）.（1）求此抛物线的解析式；（2）联结AB，过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与抛物线的对称轴l 相切，先补全图形，再判断直线BD与⊙C的位置关系并加以证明；∆（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间.问：当点P运动到什么位置时，PAC∆的最大面积.的面积最大？求出PAC备用图DABC30°45°怀柔区2013—2014学年第一学期初三期末质量检测数学试题答案及评分参考一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分）解：原式=122+ ………………………………………………3分 = 132+ …………………………………………………………4分=72…………………………………………………………………5分14．（本小题满分5分）解：y=x 2-4x+3= x 2-4x+4-4+3…………………………………………………………………1分 = x 2-4x+4-1…………………………………………………………………2分 =(x-2)2-1…………………………………………………………………3分 ∴抛物线的对称轴为x=2; ……………………………………………………4分 顶点坐标为（2,-1）…………………………………………………………5分 15. （本小题满分5分）证明：在ABC Δ中，AC AB =，CD BD =，∴BC AD ⊥，……………………………………………………2分 ∵AB CE ⊥，∴︒=∠=∠90CEB ADB ，………………………………………3分 又∵B ∠=B ∠……………………………………………………4分∴CBE ABD ΔΔ∽．………………………………………………5分 16. （本小题满分5分）解:过点C 作CD ⊥AB 于D. …………………………………1分在Rt △ACD 中，∵∠A=30°，AC=32 ∴CD=3，………………………………2分ACE∴AD=AC ×cosA=32×23=3……………3分 在Rt △BCD 中，∠B=45°，则BD=CD=3，……4分 ∴AB=AD+BD=3+3…………………………………5分 17. （本小题满分5分） 解：（1）树状图：…………………………3分（2）列表法：所有可能的结果如图所示，………………………………………………4分 每个结果发生的可能性都相同，其中出现颜色相同的结果有5个. 所以，两次摸出的球颜色相同的概率为95．………………………………5分 18. （本小题满分5分）解： (1)将点A (m ，2)代入一次函数y 1＝x ＋1 得2＝m ＋1，解得m ＝1．即点A 的坐标为(1，2)．………………………………1分将A (1，2)代入反比例函数y 2＝k x.解得k ＝2．……2分 ∴反比例函数的表达式为y 2＝2x．……………………3分 (2)当0＜x ＜1时，y 1＜y 2；当x ＝1时，y 1＝y 2；当x ＞1时，y 1＞y 2．…………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（本小题满分5分）解：作DE ⊥AB ，垂足为E ，DE 即为D 到AB 的距离………………………………1分EA又∵∠C =90°，AD 平分∠CAB ，∴DE=DC在△ABC 中∵∠C =90°，AB=10，AC =6，∴BC=8，设CD=x ， 则DE=CD=x ，BD=8-x ，∵∠DCE=∠DEA=90°，AD 为公共边， DE=CD ∴△ACD ≌△AED （HL ），∴AE = AC =6，∴BE=4，在Rt △BED 中，∵DE 2+EB 2=DB 2，即x 2+42=(8-x)2，………………3分 解得：x=3. ……………………4分 ∴ D 到AB 的距离是3…………5分（其它利用相似三角形的性质、三角函数定义、面积法相应给分） 20. （本小题满分5分）（1）证明：∵∠1=∠C ，∠C=∠P ∴∠1=∠P ………1分∴CB ∥PD ；………………………………………2分 （2）解：连接AC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，又∵CD ⊥AB ， ∴=，∴∠P=∠CAB ，…………………………3分∵sin ∠P=35，∴sin ∠CAB=35，………………………4分 即=35，∵A B=5，∴BC=3．……………………………5分 （其它方法对应给分） 21. （本小题满分5分）（1）证明：连接OE …………………………………………1分 ∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°. ∵OB=OE ，∴∠OEB=∠C =60°，∴OE ∥AC.∵EF ⊥AC ，∴∠EFC=90°.∴∠OEF=∠EFC=90°. ∴ OE ⊥EF ， ∵⊙O 与BC 边相交于点E ，∴E 点在圆上.∴EF 是⊙O 的切线…………………………………………2分 (2) 连接DF, DE.∵DF 是⊙O 的切线，∴∠ADF=∠BDF=90°…………………3分 设⊙O 的半径为r ，则BD=2r ，∵AB=4，∴AD=4-2r ，∵BD=2r ，∠B=60°，∴r,∵∠BDE=30°，∠BDF=90°. ∴∠EDF=60°，∵DF 、EF分别是⊙O 的切线， ∴r, 在Rt △ADF 中，∵∠A=60°，∴tan ∠DFA=3AD DF ==………………………………4分 解得43r =.∴⊙O 的半径是43………………………………5分22. （本小题满分5分）C图1B图2图3Byx46810121416182024681012141618202解：（1）∵S △PBQ =21PB ·BQ , PB=AB －AP =18－2x ，BQ=x ， ∴y =21（18－2x ）x ，即y =－x 2+9x （0<x ≤4）; ………………………2分 画出函数图像………………………3分（2）由（1）得：y =－x 2+9x =－(x －29）2 +481,∴顶点坐标为（29,481）………………………4分∴当0<x ≤29时，y 随x 的增大而增大，∵x 的取值范围是0<x ≤4，∴当x =4时，y 最大值=20，即△PBQ 的最大面积是20cm 2. ……………………5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（本小题满分7分）（1）∠APC =∠ACB ，∠ACP =∠B ，或AP ACAC AB…………2分 （2）如图，延长AB 到点D ，使BD=BC, ………3分 ∵∠A =∠A ，AC 2=AB (AB+BC )，∴△ACB ∽△ADC ．…………………………5分∴∠ACB =∠D ，∵BC=BD ，∴ ∠BCD =∠D ， 在△ACD 中，∵∠ACB +∠BCD +∠D +∠A =180°， ∴3∠D +60°=180°，∴∠D =40°∴∠B =80°…………7分 24.（（本小题满分7分）（1）证明：∵△ABC 、△AMN 是等边三角形，∴AB=AC ，AM=AN ，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN ， ∴△BAM ≌△CAN （SAS ），………………………………1分 ∴∠ABC=∠ACN ．………………………………2分（2）结论∠ABC=∠ACN 仍成立．………………………………3分 理由如下：∵△ABC 、△AMN 是等边三角形，∴AB=AC ，AM=AN ，QPDC BA∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN ，∴△BAM ≌△CAN （SAS ），………………………………4分 ∴∠ABC=∠ACN ．………………………………5分 （3）∠ABC=∠ACN ．理由如下：∵BA=BC ，MA=MN ，顶角∠ABC=∠AMN ，∴底角∠BAC=∠MAN ，∴△ABC ∽△AMN ，……………………6分 ∴=，又∵∠BAM=∠BAC ﹣∠MAC ，∠CAN=∠MAN ﹣∠MAC ，∴∠BAM=∠CAN ，∴△BAM ∽△CAN ，∴∠ABC=∠ACN ．………………………………7分 25. （本小题满分8分）（1）解：∵抛物线的顶点为（4,1）， ∴设抛物线解析式为2(4)1y a x =-+.∵抛物线经过点C （6，0），∴20(64)1a =-+.∴14a =-. ∴2211(4)12-344y x x x =--+=-+. 所以抛物线的解析式为212-34y x x =-+………………………………3分(2) 补全图形、判断直线BD 与⊙C 相离. ………………………………4分 证明：令21(4)+14x --=0，则12x =，26x =. ∴B 点坐标（2，0）. 又∵抛物线交y 轴于点A ，∴A 点坐标为（0，-3），∴AB ==设⊙C 与对称轴l 相切于点F ，则⊙C 的半径CF=2， 作CE ⊥BD 于点E ，则∠BEC=∠AOB=90°. ∵90ABD ∠=︒，∴90CBE ABO ∠=︒-∠. 又∵90BAO ABO ∠=︒-∠，∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ∆∽BEC ∆，∴CEBC OB AB=.∴2CE =，∴2CE =>. ∴直线BD 与⊙C 相离 ………………………………6分 (3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q .11∵A （0，-3），C （6，0）.∴直线AC 解析式为132y x =-. 设P 点坐标为（m ，21234m m -+-）， 则Q 点的坐标为（m ，132m -）. ∴PQ=21234m m -+--(132m -)=21342m m -+. ∵22113327()6(3)24244PAC PAQ PCQ S S S m m m ∆∆∆=+=⨯-+⨯=--+, ∴当3m =时，PAC ∆的面积最大为274.………………………………7分 ∵当3m =时，21234m m -+-=34∴P 点坐标为（3，34）. ………………………………8分 综上：P 点的位置是（3，34），PAC ∆的最大面积是274。