全国名校高考数学优质试题汇编(附详解)专题空间点、直线、平面之间的位置关系
空间平面的概念
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
◎思考题 2
用两张全等的矩形纸，按下列各图所示的两个
平面的位置进行摆放．
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题型三 三种语言的相互转换 例 3 用符号表示下列语句，并画出图形． (1)三个平面 α、β、γ 相交于一点 P，且平面 α 与平面 β 交于 PA，平面 α 与平面 γ 交于 PB，平面 β 与平面 γ 交于 PC； (2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD， 平面 ABC 与平面 ADC 交于 AC； (3)直线 a 和 b 相交于平面 α 内一点 M.
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2 ．一个平面把空间分成几部分？两个平面把空间分成几部 分？
答：因为平面是无限延展的，一个平面把空间分成两部分，而 两个平面相交时，把空间分成四部分，平行时，把空间分成三部分．
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3． “线段 AB 在平面 α 内，直线 AB 不全在平面 α 内”这一 说法是否正确？为什么？
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全国名校高考数学优质复习学案、专题汇编（附详解）
2 ．1
空间点、直线、平面之间的位置 关系 2 ．1. 1 空间平面的概念
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要点 1 平面的特征 “平面”是平的，它无厚度，可以无限延展． 要点 2 平面的表示 平面通常用希腊字母 α，β ，γ 等表示，如平面 α、平面 β、 平面 γ 等，也可以用代表平行四边形的四个顶点，或者相对的两 个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如平面 ABCD、平 面 AC、平面 BD，还可以用平面内不共线的三点的字母表示，如 平面 ABC.
空间点,直线,平面的位置关系试题(含答案)2
空间角和距离一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线m 与平面α间距离为d ，那么到m 与α距离都等于2d 的点的集合是（ ）A ．一个平面B ．一条直线C ．两条直线D ．空集 2．异面直线a 、b 所成的角为θ，a 、b 与平面α都平行，b ⊥平面β，则直线a与平面β所成的角（ ）A ．与θ相等B ．与θ互余C ．与θ互补 D ．与θ不能相等．3．在正方体ABCD —A 'B 'C 'D '中，BC '与截面BB 'D 'D 所成的角为（ ） A ．3πB ．4π C ．6πD ．arctan24．在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D是EF 的中点，现在沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S －EFG中必有（ ）A ．SG ⊥△EFG 所在平面B ．SD ⊥△EFG 所在平面C ．GF ⊥△SEF 所在平面D ．GD ⊥△SEF 所在平面 5．有一山坡，它的倾斜角为30°，山坡上有一条小路与斜坡底线成45°角，某人沿这条小路向上走了200米，则他升高了（ ）A ．1002米 B ．502米 C ．256米D ．506米6．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小为 （ ）A ．arccos33 B ．arccos 31 C ．2π D ．32π7．正四面体A —BCD 中E 、F 分别是棱BC 和AD 之中点，则EF 和AB 所成的角 （ ） A ．45︒ B ．60︒ C．90︒D ．30︒8．把∠A =60°，边长为a 的菱形ABCD 沿对角线BD 折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离为（ ）A ．43aB ．43 a C ．23 aD ．46 a9．若正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成的角为α，则下列各等式中成立的是（ ）A ．0＜α＜6πB ．6π＜α＜4πC ．4π＜α＜3πD ．3π＜α＜2π10．已知A （1，1，1），B （－1，0 ，4），C （2 ，－2，3），则〈AB ，CA〉的大小为（ ）A ．6πB ．65π C ．3πD ．32π二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．从平面α外一点P 引斜线段PA 和PB ，它们与α分别成45︒和30︒角，则∠APB 的最大值是______最小值是_______12．∆ABC 中∠ACB=90︒，PA ⊥平面ABC ，PA=2，AC=2 3 ，则平面PBC 与平面PAC ，平面ABC 所成的二角的大小分别是______、_________．13．在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，90=∠ABC，30=∠BAC，ＢＣ＝５，又ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝ＡＣ，则点Ｐ到平面ＡＢＣ的距离是 ．14．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为 ． 三、解答题（共计76分）15．（本小题满分12分）已知SA ⊥平面ABC ，SA=AB ，AB ⊥BC ，SB=BC ，E 是SC 的中点，DE ⊥SC 交AC 于D ． （1） 求证：SC ⊥面BDE ；（2）求二面角E —BD —C 的大小．16．（本小题满分12分）如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM⊥交1AA 于点M，1BB PN ⊥交1CC 于点N．(1) 求证：MN CC ⊥1； (2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFEEF DF EFDFDE∠⋅-+=cos 2222．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．17．（本小题满分12分）如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=3．（1）求证BC SC；（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．18．（本小题满分12分）在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90︒,AD=DC=1AB=a,(如图一)将△ADC 沿AC折起，使2D到D'．记面AC D'为α,面ABC为β．面BC D'为γ．（1）若二面角α-AC-β为直二面角（如图二），求二面角β-BC-γ的大小;（2）若二面角α-AC-β为60︒（如图三），求三棱锥D'-ABC的体积．19．（本小题满分14分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点．（1）求证AM//平面BDE；（2）求二面角A-DF-B的大小；（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60︒．20．（本题满分14分）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若a=)BNCM=<a．20(<（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小；（3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小．参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．750 ,150 12．900 ,300 13．35 14．π32三、解答题（本大题共6题，共76分）15．(12分) （1）证明：（1）∵SB=BC E 是SC 的中点 ∴BE ⊥SC ∵DE ⊥SC ∴SC ⊥面BDE（2）解：由（1）SC ⊥BD ∵SA ⊥面ABC ∴SA ⊥BD ∴BD ⊥面SAC ∴∠EDC 为二面角E-BD-C 的平面角设SA=AB=a,则SB=BC=a2．,2,a SC SBC Rt =∆∴中在,30,0=∠∆∴DCESAC Rt 中在60,=∠∆∴EDC DEC Rt 中在．16．(12分) (1) 证：MNCC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ； (2)解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACCB BCCA ACCB BCCA ABBS S S S S ⋅-+=，其中α为 平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角．∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP ∠,在PMN ∆中，cos 2222⇒∠⋅-+=MNP MN PN MNPNPMMNPCC MN CC PN CCMN CC PN CCPM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222， 由于111111111,,BB PM S CCMN S CCPN S A ABBA ACCB BCC⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACCB BCCA ACCB BCCA ABBS S S S S ⋅-+=．17．(12分) （1）证法一：如，∵底面ABCD 是正方形， ∴BC ⊥DC ．∵SD ⊥底面ABCD ，∴DC 是SC 在平面ABCD 上的射影， 由三垂线定理得BC ⊥SC ．证法二：如图1，∵底面ABCD 是正方形， ∴BC ⊥DC ．∵SD ⊥底面ABCD ，∴SD ⊥BC ，又DC ∩SD=D ，∴BC ⊥平面SDC ，∴BC ⊥SC ．（2）解：如图2，过点S 作直线,//AD l l ∴在面ASD 上，∵底面ABCD 为正方形，l BC AD l ∴∴,////在面BSC 上，l ∴为面ASD 与面BSC 的交线．l ∴,,,,SC l SD l SC BC AD SD ⊥⊥∴⊥⊥∴∠CSD 为面ASD 与面BSC 所成二面角的平面角．（以下同解法一） （3）解1：如图2，∵SD=AD=1，∠SDA=90°， ∴△SDA 是等腰直角三角形．又M 是斜边SA 的中点，∴DM ⊥SA ．∵BA ⊥AD ，BA ⊥SD ，AD ∩SD=D ，∴BA ⊥面ASD ，SA 是SB 在面ASD 上的射影．由三垂线定理得DM ⊥SB ．∴异面直线DM 与SB 所成的角为90°．图1图2解2：如图3，取AB 中点P ，连结MP ，DP ．在△ABS 中，由中位线定理得 MP//SB ，DMP ∠∴是异面直线DM 与SB 所成的角．2321==SB MP，又,25)21(1,222=+==DP DM∴在△DMP 中，有DP 2=MP 2+DM 2，︒=∠∴90DMP∴异面直线DM 与SB 所成的角为90°．18．(12分) 解：（1）在直角梯形ABCD 中， 由已知∆DAC 为等腰直角三角形， ∴45,2=∠=CAB a AC , 过C 作CH ⊥AB ，由AB=2a ，可推得 AC=BC=.2a∴ AC ⊥BC ．取 AC 的中点E ，连结ED '，则 ED '⊥AC 又 ∵ 二面角β--AC a 为直二面角，∴ED '⊥β 又 ∵ ⊂BC 平面β ∴ BC ⊥E D ' ∴ BC ⊥a ，而a C D ⊂'，∴ BC ⊥C D ' ∴ CAD '∠为二面角γβ--BC 的平面角．由于45='∠CAD ， ∴二面角γβ--BC 为 45．（2）取AC 的中点E ，连结E D '，再过D '作β⊥'O D ，垂足为O ，连结OE ．∵ AC ⊥E D '， ∴ AC ⊥OE ∴ EOD '∠为二面角β--ACa 的平面角， ∴ EO D '∠60=． 在OE D Rt '∆中，aACE D 2221=='，∴O D S V ABC ABC D '⋅=∆-'31O D BC AC '⋅⋅⨯=2131a a a 462261⨯⨯⨯=.1263a =19．（14分）解法一: (1)记AC 与BD 的交点为O,连接OE, ∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，图3ACEF 是矩形，∴四边形AOEM 是平行四边形， ∴AM ∥OE ．∵⊂OE平面BDE ，⊄AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDE ．(2)在平面AFD 中过A 作AS ⊥DF 于S ，连结BS ，∵AB ⊥AF ， AB ⊥AD ， ,A AF AD = ∴AB ⊥平面ADF ，∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影，由三垂线定理得BS ⊥DF ．∴∠BSA 是二面角A —DF —B 的平面角． 在RtΔASB 中，,2,36==AB AS∴,60,3tan ︒=∠=∠ASB ASB∴二面角A —DF —B 的大小为60º．（3）设CP=t （0≤t≤2）,作PQ ⊥AB 于Q ，则PQ ∥AD ， ∵PQ ⊥AB ，PQ ⊥AF ，A AFAB = ，∴PQ ⊥平面ABF ，⊂QE平面ABF ，∴PQ ⊥QF ．在RtΔPQF 中，∠FPQ=60º，PF=2PQ ． ∵ΔPAQ 为等腰直角三角形，∴).2(22t PQ -=又∵ΔPAF 为直角三角形，∴1)2(2+-=t PF，∴).2(2221)2(2t t -⋅=+-所以t=1或t=3(舍去),即点P是AC 的中点．解法二： （1）建立如图所示的空间直角坐标系． 设NBD AC = ，连接NE ， 则点N 、E 的坐标分别是（)0,22,22、（0,0,1）,∴)1,22,22(--=NE, 又点A 、M 的坐标分别是)0,2,2(,（)1,22,22∴AM =（)1,22,22--∴AMNE =且NE与AM 不共线，∴NE ∥AM ．又∵⊂NE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDF ．（2）∵AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF ,A AD = ∴AB ⊥平面ADF ．∴AB)0,0,2(-=为平面DAF 的法向量．∵DBNE ⋅=（)1,22,22--·)0,2,2(-=0， ∴NFNE⋅=（)1,22,22--·)0,2,2(=0得DBNE ⊥，NFNE⋅，∴NE 为平面BDF 的法向量．∴cos<>⋅NE AB =21∴AB 与NE 的夹角是60º．即所求二面角A —DF —B的大小是60º． （3）设P(t,t,0)(0≤t≤2)得PF),1,2,2(t t --=∴BC =（2，0，0）又∵PF 和BC 所成的角是60º．∴21)2()2(2)2(60cos 22⋅+-+-⋅-=︒t t t解得22=t 或223=t （舍去），即点P 是AC 的中点．20．(14分) 解：（1）作MP ∥AB 交BC 于点P NQ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且MP =NQ，即MNQP 是平行四边形∴MN =PQ由已知a BN CM ==，1===BE AB CB∴2==BF AC 又21a CP =，21a BQ =，即2a BQ CP ==∴MN=PQ =22)1(BQCP +-=22)2()21(a a +-=21)22(2+-a )20(<<a（2）由（Ⅰ），MN=21)22(2+-a ,所以，当22=a 时，MN=22即M 、N 分别移动到AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22．（3）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，∵ANAM =，BNBM=，G 为MN的中点 ∴AG⊥MN，BG ⊥MN，∠A G B即为二面角α的平面角,又AG =BG 46=，所以，由余弦定理有314646214646cos 22-=⋅⋅-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α, 故所求二面角⎪⎭⎫⎝⎛-=31arccos α。
2024届高考数学立体几何专项练——(3)空间点、直线、平面之间的位置关系
2024届高考数学立体几何专项练——（3）空间点、直线、平面之间的位置关系1.已知平面α，β，γ两两垂直，直线a ，b ，c 满足a α⊂，b β⊂，c γ⊂，则直线a ，b ，c 不可能满足以下哪种关系()A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面2.如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，棱1AA ，1BB 的夹角为π3，2AB =，则棱1AA ，1CC 的夹角为()A.π3B.π4C.2π3D.π23.在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为()A.π2B.π3C.π4D.π64.已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，1AA ⊥平面ABC ，则异面直线1A B ，1AC 所成角的余弦值为() A.14B.64C.104D.1545.在正四面体ABCD 中,已知,E F 分别是,AB CD 上的点(不含端点),则()A.不存在,E F ,使得EF CD ⊥ B.存在E ,使得DE CD⊥C.存在E ,使得DE ⊥平面ABC D.存在,E F ,使得平面CDE ⊥平面ABF6.下列结论中不正确的是()A.若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点B.若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C.若点A 既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于b ，且点A 在b 上D.任意两条直线不能确定一个平面7.若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值()A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于58.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD △为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则()A.BM EN =，且直线BM ，EN 是相交直线B.BM EN ≠，且直线BM ，EN 是相交直线C.BM EN =，且直线BM ，EN 是异面直线D.BM EN ≠，且直线BM ，EN 是异面直线9.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M ，N 分别为11111,,,BC CC A D C D 的中点，则直线EF ，MN 所成角的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π210.（多选）若a ，b ，c 表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，则下列命题正确的有()A.若//a b ，//b c ，则//a cB.若a γ⊥，b γ⊥，则//a bC.//a γ，//b γ，则//a bD.若a b ⊥，b c ⊥，则a c⊥11.（多选）已知正方体1111ABCD A B C D -，则()A.直线1BC 与1DA 所成的角为90︒B.直线1BC 与1CA 所成的角为90︒C.直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45︒D.直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒12.（多选）将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，下列四个结论中正确的是()A.AC BD⊥B.ACD △是等边二角形C.直线AB 与平面BCD 所成的角是60°D.AB 与CD 所成的角为60°13.若一个角两边和另一个角两边分别平行，一个角为45°，则另一个角为_________.14.已知α与β是两个不重合的平面，则下列推理正确个数是__________.①,,,A l A B l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂；②,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒⋂=；③,l A l A αα⊄∈⇒∉；④,A l l A αα∈⊂⇒∈.15.正方体1111ABCD A B C D -中，M 是AB 的中点，则1DB 与CM 所成角的余弦值为___________.16.,αβ是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m n ⊥，②αβ⊥，③m β⊥，④n α⊥.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_______________.17.如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有__________(填序号).18.已知E，F，G，H分别是三棱锥A BCD-棱AB，BC，CD，DA的中点，AC与BD 所成角为60°，且2==，则EG=____________.AC BD答案以及解析1.答案：B解析：设l αβ=I ，且l 与a ，b 均不重合，假设////a b c ，由//a b 可得//a β，//b α，又l αβ=I ，可知//a l ，//b l ，又////a b c ，可得//c l ，因为α，β，γ两两互相垂直，所以l 与γ相交，即l 与c 相交或异面，若l 与a 或b 重合，同理可得l 与c 相交或异面，可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行.故选B.2.答案：D解析：如图，分别延长1AA ，1BB ，1CC ，1DD 交于点P ，连接AC .在正四棱台1111ABCD A B C D -中，棱1AA ，1BB 的夹角为π3，2AB =，所以PAB △是边长为2的等边三角形，所以2PA PC ==.又22AC =，所以222AC PA PC =+，所以PA PC ⊥，所以棱1AA ，1CC 的夹角为π2，故选D.3.答案：D解析：如图，记正方体的棱长为a ，则1111112AD C B AC B D a ====，所以1122B P PC a ==，221162BP B P B B a =+=，在1BC P △中，由余弦定理得22211113cos 22PB C B PC PBC PB C B +-∠==⋅，所以1π6PBC ∠=.又因为11//AD BC ，所以1PBC ∠即为直线PB 与1AD 所成的角，所以直线PB 与1AD 所成的角为π6.故选D.解析：如图，设F 是线段BC 的中点，连接1AC 交1AC 于点N ，连接NF ，AF ，由题意知，四边形11ACC A 为正方形，∴N 是1AC 的中点，1//NF A B ∴，ANF ∴∠是异面直线1A B ，1AC 所成的角或其补角，1AA ⊥ 平面ABC ，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，1122AC A B ∴==，3AF =，1122AN AC ∴==，1122NF A B ==，222(2)(2)(3)1cos 4222ANF +-∴∠==⨯⨯，∴异面直线1A B ，1AC 所成角的余弦值为14.故选A.5.答案：D解析：为了方便解题，将正四面体ABCD 放入正方体中，如图所示.连接,HG OD ，对于选项A ，取,E F 分别为,AB CD 的中点，则易知EF CD ⊥，所以选项A 不正确；对于选项B ，在正方体中，易知CD ⊥平面ABHG ，因为过点D 且与平面ABHG 平行的平面不经过点E ，所以不存在E ，使得DE CD ⊥，故选项B 不正确；对于选项C ，在正方体中，易证OD ⊥平面ABC ，所以不存在E ，使得DE ⊥平面ABC ，故选项C 不正确；对于选项D ，设OD 与平面ABC 的交点为K ，连接CK ，只要令平面CDK 与AB 的交点为E 即可得平面CDE ⊥平面ABF ，故选项D 正确.解析：由基本事实3可知，如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们相交于过这一点的一条直线，有无数个公共点，因此选项A 正确；选项B 正确；选项C 符合基本事实3，因此选项C 正确；若两条直线平行或相交，则可以确定一个平面，因此选项D 错误.7.答案：B解析：当3n =时，显然成立，排除C ，D ；当4n =时（正四面体）也满足，排除A ，故选B.8.答案：B解析：如图，连接BD ，BE .N 为正方形ABCD 的中心，N BD ∴∈.又M 是ED 的中点，M ED ∴∈，M ∴，N ∈平面BED .∴由图知BM 与EN 相交.设ED DC a ==，则2BD a =，2EB a =.在EBD △中，由中线定理得()22222124EN ED EB BD a ⎡⎤=+-=⎣⎦，EN a ∴=.又72BM a =，BM EN ∴≠.故选B.9.答案：C 解析：略10.答案：AB解析：A 项，空间中线线平行有传递性，如图1，故A 项正确；B 项，如图2，故B 项正确；C 项，如图3，故C 项错误；D 项，如图4，故D 项错误.11.答案：ABD解析：A 项，如图，易证11//A D B C ，显然11BC B C ⊥，所以11BC DA ⊥，故A 项正确；B 项，因为11BC B C ⊥，111BC A B ⊥，所以1BC ⊥平面11A B CD ，从而11BC CA ⊥，故B 项正确；C 项，如图，设1111A C BD O = ，则111C O B D ⊥，11C O BB ⊥，所以1C O ⊥平面11BB D D ，从而1C BO ∠即为直线1BC 与平面11BB D D 所成的角，易证11A BC △为正三角形，O 为11A C 的中点，所以130C BO ∠=︒，故C 项错误；D 项，显然1C BC ∠即为直线1BC 与平面ABCD 所成的角，且145C BC ∠=︒，故D 项正确.12.答案：ABD解析：设正方形的边长为1，取BD 的中点O ，连接OA ，CO ，可得OC BD ⊥，OA BD ⊥，OC OA O = ，BD ∴⊥平面AOC .AC ⊂ 平面AOC ，BD AC ∴⊥，A 正确.正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，即平面ABD ⊥平面BCD .OC BD ⊥ ，平面ABD 平面BCD BD =，OC ∴⊥平面ABD ，同理OA ⊥平面BCD ，OC OA ∴⊥.在Rt OAC △中，22OC OA ==，221AC OA OC ∴=+=，故ACD △为等边三角形，故B 正确.OA ⊥ 平面BCD ，ABO ∴∠为直线AB 与平面BCD 所成的角，而45ABO ∠=︒，故C错误.过点D 作//DE AB 且DE AB =，连接CE ，OE ，则CDE ∠或其补角为AB 与CD 所成的角.在ODE △中，1DE =，22OD =，3π4EDO ∠=，由余弦定理得2223π52cos42OE OD DE OD DE =++⋅⋅=.易知CO ⊥平面ABD ，OE ⊂平面ABD ，CO OE ∴⊥.在Rt COE △中，2223CE OE OC =+=.又1DE CD ==，由余弦定理得2221cos 22CD DE CE CDE CD DE +-∠==-⋅，120CDE ∴∠=︒，即AB 与CD 所成的角为60°，故D正确.故选ABD.13.答案：45°或135°解析：若一个角两边和另一个角两边分别平行，则这两个角相等或互补，由一个角为45°，则另一个角为45°或135°.14.答案：3解析：由基本事实2知，①正确；由基本事实3知，②正确；若l A α⋂=，显然有,l A l α⊂∈/，但是A α∈，③错误；④正确.15.答案：1515解析：将正方体1111ABCD A B C D -补成一个长方体，连接1111,,//CE ME DB CE ，所以1MCE ∠是异面直线1DB 与CM 所成角(或其补角)，设正方体的棱长为a .在三角形1MCE 中，11513,3,22CM a CE a ME a ===，那么222151331544cos 155232a a a MCE a a+-∠==⨯⨯.16.答案：若②③④则①或若①③④则②解析：若①m n ⊥，②αβ⊥，③m β⊥成立，则n 与α可能平行也可能相交，也可能n α⊂，即④n α⊥不一定成立；若①m n ⊥，②αβ⊥，④n α⊥成立，则m 与β可能平行也可能相交，也可能m β⊂，即③m β⊥不一定成立.若①m n ⊥，③m β⊥，④n α⊥成立，则②αβ⊥成立.若②αβ⊥，③m β⊥，④n α⊥成立，则①m n ⊥成立.17.答案：②④解析：如题干图①中，直线//GH MN ；题干图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；题干图③中，连接MG(图略)，//GM HN ，因此，GH 与MN 共面；题干图④中G ，M ，N 三点共面，但H ∉平面GMN ，所以GH 与MN 异面.18.答案：1或3解析：因为E ，F ，G ，H 分别是三棱锥A BCD -棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，所以EF 为ABC △的中位线，故//EF AC 且12EF AC =，同理GH 为ACD △的中位线，故//GH AC 且12GH AC =，所以EF 平行且等于GH ，所以四边形EFGH 是平行四边形且112EF AC ==，同理//FG BD 且112FG BD ==，因为AC 与BD 所成角为60°，所以60EFG ∠=︒或120°，当60EFG ∠=︒时，1EG =.当120EFG ∠=︒时，3EG =.。
空间中直线与平面的位置关系
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
【思路分析】 无公共点．
(1)由 α∥β，a⊂α，b⊂β，可知直线 a，b
(2)直线与直线可能平行、相交或异面．
高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
全国名校高考数学优质复习学案、专题汇编（附详解）
2 ．1. 3 空间中直线与平面的位置关系 2 ．1. 4 平面与平面之间的位置关系
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
要点 1 直线与平面的位置关系 (1)直线在平面内——有无数个公共点； (2)直线与平面相交——有且只有一个公共点； (3)直线与平面平行——没有公共点． 直线与平面相交或平行的情况，统称为直线在平面外．
答：a 与 b 平行或异面，如下图所示．
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2．如果平面 α 与平面 β 平行，直线 a⊂α ，直线 b⊂β ，那 么 a 与 b 的位置关系是什么？
答：a 与 b 平行或异面，如下图所示．
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3 ．如何用图形语言及符号语言表示直线和平面与平面和平 面的各种位置关系？
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【思路分析】
结合直线与平面的位置关系的定义求解．
【解析】 对于①，∵直线 l 虽与平面α内无数条直线平行， 但 l 有可能在平面 α 内，∴l 不一定平行于 α.故①是错误的． 对于②，∵直线 a 在平面 α 外包括两种情况：a∥α 和 a 与 α 相交，∴a 和 α 不一定平行．故②是错误的．
③若 a、b 异面，a∥α ，则 b 与 α 的关系是________．
【答案】 b∥α 或 b⊂α 或 b 与 α 相交
2023高考数学复习专项训练《空间中直线与平面的位置关系》(含解析)
2023高考数学复习专项训练《空间中直线与平面的位置关系》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α//β②若m//α，m//β，则α//β③若m//α，n//α，则m//n④若m⊥α.n⊥α，则m//n上述命题中，所有真命题的序号是()A. ①④B. ②③C. ①③D. ②④2.（5分）直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，下列命题正确的是：A. l与l1，l2都不相交B. l与l1，l2都相交C. l至多与l1，l2中的一条相交D. l至少与l1，l2中的一条相交3.（5分）已知α、β是不同的平面，m、n是不同的直线，则下列命题不正确的是()A. 若m⊥α，m//n，n⊂β，则α⊥βB. 若m//α，α∩β=n，，则m//nC. 若m//n，m⊥α，则n⊥αD. 若m⊥α，m⊥β，则α//β4.（5分）已知两条直线m、n，两个平面α、β，给出下面四个命题：①m//n，m⊥α⇒n⊥α①α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n①m//n，m//α⇒n//α①α//β，m//n，m⊥α，⇒m⊥β其中正确命题的序号是()A. ①①B. ①①C. ①①D. ①①5.（5分）已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件中能推出α//β的是()①存在一条直线m，m⊥α，m⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线m，n，m⊂α，n⊂β，m//β，n//α；④存在两条异面直线m，n，m⊂α，n⊂β，m//β，n//α．A. ①①B. ①①C. ①①D. ①①6.（5分）棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是()A. 平行B. 相交C. 平行或相交D. 不相交7.（5分）若α，β是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题错误的是()A. 若m⊂α，l∩α=A，且A∉m，则l与m不共面B. 若m，l是异面直线，l//α，m//α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥αC. 若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l//β，m//β，则α//βD. 若l//α，m//β，α//β，则l//m8.（5分）已知平面α⊥平面β，α∩β=n，直线l⊂α，直线m⊂β，则下列说法正确的个数是()①若l⊥n，l⊥m，则l⊥β；②若l//n，则l//β；③若m⊥n，l⊥m，则m⊥α．A. 0B. 1C. 2D. 39.（5分）已知a，b为两条不同直线，α、β为两个不同平面.下列命题中正确的是()A. 若a//α，b//α，则a与b共面B. 若a⊥α，α//β，则a⊥βC. 若a⊥α，α⊥β，则a//βD. 若α//b，β//b，则α//β10.（5分）若直线l平行于平面α，则()A. α内所有直线与l平行B. 在α内不存在直线与l垂直C. α内存在唯一的直线与l平行D. α内存在无数条直线与l成60°角11.（5分）在空间中，设l是一条直线，α，β是两个不同的平面．下列结论正确的是()A. 若l//α，l//β，则α//βB. 若l⊥α，l⊥β，则α//βC. 若l//α，α//β，则l//βD. 若l//α，α⊥β，则l⊥β12.（5分）直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）设l，m，n是空间三条不同的直线，α，β是空间两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若l与m异面，m//n，则l与n异面；②若l//α，α//β，则l//β；③若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l⊥m；④若m//α，m//n，则n//α．其中正确命题的序号有 ______ .(请将你认为正确命题的序号都填上)14.（5分）作直线a、b和平面α，则下列小组内两个事件互为对立事件的有 ______组(请填写个数).A组：“a//b”和“a⊥b”；B组：“a、b为异面直线”和“a⊥b”；C组：“a//α或a⊂α”和“a与α相交”．15.（5分）已知关于空间两条不同直线m，n，两个不同平面α，β，有下列四个命题：①若m//α且n//α，则m//n；②若m⊥β且m⊥n，则n//β；③若m⊥α且m//β，则α⊥β；④若n⊂α且m不垂直于α，则m不垂直于n.其中正确命题的序号为______．16.（5分）若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为______.(写出所有真命题的序号)①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．17.（5分）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为√3，那么P到平面ABC的距离为________．三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）如图，四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AB=BC=1AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC2与BE交于O点，G是线段OF上一点．(1)求证：AP//平面BEF；(2)求证：GH//平面PAD.19.（12分）用符号语表示图中点、直线、平面的位置关系.20.（12分）如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为√29，设这条最短路线与CC1的交点为N，求：(I)该三棱柱的侧面展开图的对角线长(II)PC和NC的长(III)平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示)21.（12分）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1D1的中点．判断直线MN与平面BB1D1D的位置关系，并说明理由．22.（12分）如图，在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F=2BF。
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题10：立体几何3(空间线面关系)带详细答案
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题10：立体几何（空间线面关系）（一）空间线面的平行与垂直选择题1．（2014•广东文）若空间中四条两两不同的直线1l ，2l ，3l ，4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是( ) A ．14l l ⊥B ．14//l lC ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】根据空间直线平行或垂直的性质即可得到结论．【解答】解：在正方体中，若AB 所在的直线为2l ，CD 所在的直线为3l ，AE 所在的直线为1l ， 若GD 所在的直线为4l ，此时14//l l ， 若BD 所在的直线为4l ，此时14l l ⊥， 故1l 与4l 的位置关系不确定， 故选：D ．【点评】本题主要考查空间直线平行或垂直的位置关系的判断，比较基础．2．（2014•广东理）若空间中四条两两不同的直线1l ，2l ，3l ，4l ，满足12l l ⊥，23l l ⊥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是( ) A ．14l l ⊥B ．14//l lC ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，1l ∴与4l 的位置关系不确定．【解答】解：12l l ⊥，23l l ⊥，1l ∴与3l 的位置关系不确定， 又43l l ⊥，1l ∴与4l 的位置关系不确定． 故A 、B 、C 错误． 故选：D ．【点评】本题考查了空间直线的垂直关系的判定，考查了学生的空间想象能力，在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面．3．（2014•辽宁文理）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( ) A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】A ．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B ．运用线面垂直的性质，即可判断；C ．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D ．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解答】解：A ．若//m α，//n α，则m ，n 相交或平行或异面，故A 错；B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥，故B 正确；C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故C 错；D ．若//m α，m n ⊥，则//n α或n α⊂或n α⊥，故D 错．故选：B ．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．4．（2014•浙江文）设m 、n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则( ) A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥ B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥ C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥ D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论． 【解答】解：A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥或m α⊂或//m α，故A 错误．B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥或m α⊂或//m α，故B 错误．C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥，正确．D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥或m α⊂或//m α，故D 错误．故选：C ．【点评】本题主要考查空间直线，平面之间的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理． 5．（2015•北京理）设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂，“//m β “是“//αβ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件；面面平行的判定定理【分析】//m β并得不到//αβ，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而//αβ，并且m α⊂，显然能得到//m β，这样即可找出正确选项．【解答】解：m α⊂，//m β得不到//αβ，因为α，β可能相交，只要m 和α，β的交线平行即可得到//m β；//αβ，m α⊂，m ∴和β没有公共点，//m β∴，即//αβ能得到//m β；∴ “//m β”是“//αβ”的必要不充分条件．故选：B ．【点评】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．6．（2015•福建理）若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件；直线与平面平行与垂直关系 【分析】利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可．【解答】解：l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”可能“//l α”也可能l α⊂， 反之，“//l α”一定有“l m ⊥”，所以l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的必要而不充分条件． 故选：B ．【点评】本题考查空间直线与平面垂直与平行关系的应用，充要条件的判断，基本知识的考查． 7．（2015•广东理）若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( ) A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5【考点】棱锥的结构特征【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，三个点在圆上，一个点是圆心，圆上的点到圆心的距离都相等，则不成立；n 大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若4n >，由于任三点不共线，当5n =时，考虑四个点构成的正四面体， 第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心， 且球的半径不等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合， 但显然球的半径不等于棱长，故不成立； 同理5n >，不成立． 故选：B ．【点评】本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题．8．（2015•广东文）若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A ．l 与1l ，2l 都不相交 B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】可以画出图形来说明l 与1l ，2l 的位置关系，从而可判断出A ，B ，C 是错误的，而对于D ，可假设不正确，这样l 便和1l ，2l 都不相交，这样可推出和1l ，2l 异面矛盾，这样便说明D 正确． 【解答】解：A ．l 与1l ，2l 可以相交，如图：∴该选项错误；B ．l 可以和1l ，2l 中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C ．l 可以和1l ，2l 都相交，如下图：，∴该选项错误；D ．“l 至少与1l ，2l 中的一条相交”正确，假如l 和1l ，2l 都不相交； l 和1l ，2l 都共面； l ∴和1l ，2l 都平行；12//l l ∴，1l 和2l 共面，这样便不符合已知的1l 和2l 异面；∴该选项正确．故选：D ．【点评】考查异面直线的概念，在直接说明一个命题正确困难的时候，可说明它的反面不正确． 9．（2015•湖北文）1l ，2l 表示空间中的两条直线，若1:p l ，2l 是异面直线，1:q l ，2l 不相交，则( ) A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【考点】空间直线的位置关系【分析】根据充分条件和必要条件的定义结婚空间直线的位置关系，进行判断即可． 【解答】解：若1l ，2l 是异面直线，则1l ，2l 不相交，即充分性成立， 若1l ，2l 不相交，则1l ，2l 可能是平行或异面直线，即必要性不成立， 故p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件， 故选：A ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线的位置关系是解决本题的关键． 10．（2015•浙江文）设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，( ) A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】A 根据线面垂直的判定定理得出A 正确；B 根据面面垂直的性质判断B 错误；C 根据面面平行的判断定理得出C 错误；D 根据面面平行的性质判断D 错误．【解答】解：对于A ，l β⊥，且l α⊂，根据线面垂直的判定定理，得αβ⊥，A ∴正确； 对于B ，当αβ⊥，l α⊂，m β⊂时，l 与m 可能平行，也可能垂直，B ∴错误； 对于C ，当//l β，且l α⊂时，α与β可能平行，也可能相交，C ∴错误； 对于D ，当//αβ，且l α⊂，m β⊂时，l 与m 可能平行，也可能异面，D ∴错误． 故选：A ．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应用问题，是基础题目．11．（2015•安徽理）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行 C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．【解答】解：对于A ，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，例如墙角的三个平面；故A 错误；对于B ，若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行．相交或者异面；故B 错误； 对于C ，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C 错误；对于D ，若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D 正确； 故选：D ．【点评】本题考查了空间线面关系的判断；用到了面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理．12．（2016•浙江文理）已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足//m α，n β⊥，则() A ．//m lB ．//m nC ．n l ⊥D ．m n ⊥【考点】直线与平面垂直【分析】由已知条件推导出l β⊂，再由n β⊥，推导出n l ⊥．【解答】解：互相垂直的平面α，β交于直线l ，直线m ，n 满足//m α， //m β∴或m β⊂或m 与β相交，l β⊂， n β⊥， n l ∴⊥．故选：C ．【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 13．（2016•上海文）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为BC 、1BB 的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是( )A ．直线1AAB ．直线11A BC ．直线11A DD ．直线11B C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A ，B ，C 的直线都和直线EF 异面，而由图形即可看出直线11B C 和直线相交，从而便可得出正确选项．【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线1AA ，11A B ，11A D 都和直线EF 为异面直线； 11B C 和EF 在同一平面内，且这两直线不平行；∴直线11B C 和直线EF 相交，即选项D 正确．故选：D ．【点评】考查异面直线的概念及判断，平行直线和相交直线的概念及判断，并熟悉正方体的图形形状． 14．（2016•山东文理）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件; 空间位置关系【分析】直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交” ⇒ “平面α和平面β相交”，反之不成立．【解答】解：直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交” ⇒ “平面α和平面β相交”， 反之不成立．∴ “直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选：A ．【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．15．（2017•新课标Ⅰ文）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．【考点】直线与平面平行【分析】利用线面平行判定定理可知B 、C 、D 均不满足题意，从而可得答案． 【解答】解：对于选项B ，由于//AB MQ ，结合线面平行判定定理可知B 不满足题意； 对于选项C ，由于//AB MQ ，结合线面平行判定定理可知C 不满足题意； 对于选项D ，由于//AB NQ ，结合线面平行判定定理可知D 不满足题意； 所以选项A 满足题意， 故选：A ．【点评】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（2017•新课标Ⅲ文）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则( ) A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】法一：连1B C ，推导出11BC B C ⊥，111A B BC ⊥，从而1BC ⊥平面11A ECB ，由此得到11A E BC ⊥． 法二：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． 【解答】解：法一：连1B C ，由题意得11BC B C ⊥， 11A B ⊥平面11B BCC ，且1BC ⊂平面11B BCC ，111A B BC ∴⊥， 1111A B B C B =，1BC ∴⊥平面11A ECB ， 1A E ⊂平面11A ECB ， 11A E BC ∴⊥．故选：C ．法二：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则1(2A ，0，2)，(0E ，1，0)，(2B ，2，0)，(0D ，0，0)，1(0C ，2，2)，(2A ，0，0)，(0C ，2，0)， 1(2A E =-，1，2)-，1(0DC =，2，2)，(2BD =-，2-，0)， 1(2BC =-，0，2)，(2AC =-，2，0)，112A E DC =-，12A E BD =，110A E BC =，16A E AC =， 11A E BC ∴⊥．故选：C ．【点评】本题考查线线垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 17．（2018•浙江）已知平面α，直线m ，n 满足m α⊂/，n α⊂，则“//m n ”是“//m α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件【分析】根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：m α⊂/，n α⊂，∴当//m n 时，//m α成立，即充分性成立，当//m n不一定成立，即必要性不成立，mα时，//则“//mα”的充分不必要条件．m n”是“//故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面平行的定义和性质是解决本题的关键，是基础题．αβ的充要条件是()18．（2019新课标Ⅱ文理）设α，β为两个平面，则//A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面【考点】；充分条件、必要条件、充要条件；空间位置关系【分析】充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论αβ；【解答】解：对于A，α内有无数条直线与β平行，αβ或//αβ；对于B，α内有两条相交直线与β平行，//αβ；对于C，α，β平行于同一条直线，αβ或//αβ．对于D，α，β垂直于同一平面，αβ或//故选：B．【点评】本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题．19．（2019•新课标Ⅲ文理）如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD∆为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM EN=，且直线BM，EN是相交直线B．BM EN≠，且直线BM，EN是相交直线C．BM EN=，且直线BM，EN是异面直线D．BM EN≠，且直线BM，EN是异面直线【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】推导出BM是BDE∆中BD边上的中线，从而直线BM，EN是∆中DE边上的中线，EN是BDE相交直线，设DE a≠．=，则BD，BE=，从而BM EN【解答】解：点N为正方形ABCD的中心，ECD∆为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，BM ∴⊂平面BDE ，EN ⊂平面BDE ，BM 是BDE ∆中DE 边上的中线，EN 是BDE ∆中BD 边上的中线，∴直线BM ，EN 是相交直线，设DE a =，则BD =，BE =，BM ∴=，EN a =， BM EN ∴≠，故选：B ．【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．20．（2019•上海）已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( )A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】利用面面垂直的性质．画图判定【解答】解：如图1，可得a 、b 、c 可能两两垂直； 如图2，可得a 、b 、c 可能两两相交； 如图3，可得a 、b 、c 可能两两异面；故选：B ．【点评】本题考查面面垂直的性质，属于基础题．填空题1．（2016•新课标Ⅱ理）α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥． ③如果//αβ，m α⊂，那么//m β．④如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题是 ②③④ （填序号）【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案． 【解答】解：①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，不能得出αβ⊥，故错误；②如果//n α，则存在直线l α⊂，使//n l ，由m α⊥，可得m l ⊥，那么m n ⊥．故正确； ③如果//αβ，m α⊂，那么m 与β无公共点，则//m β．故正确④如果//m n ，//αβ，那么m ，n 与α所成的角和m ，n 与β所成的角均相等．故正确； 故答案为：②③④【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档． 2．（2019北京文理科12）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l m ⊥；②//m α；③l α⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 若l α⊥，l m ⊥，则//m α ．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】由l ，m 是平面α外的两条不同直线，利用线面平行的判定定理得若l α⊥，l m ⊥，则//m α． 【解答】解：由l ，m 是平面α外的两条不同直线，知： 由线面平行的判定定理得： 若l α⊥，l m ⊥，则//m α．故答案为：若l α⊥，l m ⊥，则//m α．【点评】本题考查满足条件的真命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．（二）空间线面所成的角1．（2014•新课标Ⅱ理）直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A ．110B ．25C D 【考点】异面直线及其所成的角【分析】画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值． 【解答】解：直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，如图：BC 的中点为O ，连结ON ，//1112MN B C OB ==，则0MN B 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是ANO ∠，1BC CA CC ==，设12BC CA CC ===，1CO ∴=，AO =AN MB ==在ANO ∆中，由余弦定理可得：222cos2AN NO AO ANO AN NO +-∠===故选：C ．【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．2．（2014•大纲版文）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为()A ．16B C ．13D 【考点】异面直线及其所成的角【分析】由E 为AB 的中点，可取AD 中点F ，连接EF ，则CEF ∠为异面直线CE 与BD 所成角，设出正四面体的棱长，求出CEF ∆的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE 与BD 所成角的余弦值． 【解答】解：如图，取AD 中点F ，连接EF ，CF ，E 为AB 的中点，//EF DB ∴，则CEF ∠为异面直线BD 与CE 所成的角，ABCD 为正四面体，E ，F 分别为AB ，AD 的中点， CE CF ∴=．设正四面体的棱长为2a ， 则EF a =，CE CF =．在CEF ∆中，由余弦定理得：2222cos 2CE EF CF CEF CE EF +-∠===故选：B ．【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．3．（2014•大纲版理）已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )A ．14B C D ．12【考点】异面直线及其所成的角【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB 与CD 所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．【解答】解：如图，过A 点做AE l ⊥，使BE β⊥，垂足为E ，过点A 做//AF CD ，过点E 做EF AE ⊥，连接BF ， AE l ⊥ 90EAC ∴∠=︒ //CD AF又135ACD ∠=︒ 45FAC ∴∠=︒ 45EAF ∴∠=︒在Rt BEA ∆中，设AE a =，则2AB a =，BE =， 在Rt AEF ∆中，则EF a =，AF =， 在Rt BEF ∆中，则2BF a =，∴异面直线AB 与CD 所成的角即是BAF ∠，222cos 2AB AF BF BAF AB AF +-∴∠===． 故选：B ．【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题．4．（2014•四川理）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是( )A．，1] B．1] C．]3D．[3，1] 【考点】直线与平面所成的角【分析】由题意可得：直线OP 于平面1A BD 所成的角α的取值范围是111[,][,]22AOA C OA ππ∠∠．再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出．【解答】解：由题意可得：直线OP 于平面1A BD 所成的角α的取值范围是111[,][,]22AOA C OA ππ∠∠．不妨取2AB =．在1Rt AOA ∆中，111sin AA AOA AO ∠===111111sin sin(2)sin 22sin cos 2C OA AOA AOA AOA AOA π∠=-∠=∠=∠∠==>， sin12π=．sin α∴的取值范围是． 故选：B ．【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题．5．（2015•浙江理）如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成△A CD '，所成二面角A CDB '--的平面角为α，则( )A ．A DB α∠'…B ．A DB α∠'…C ．ACB α∠'…D ．ACB α∠'…【考点】二面角的平面角及求法【分析】解：画出图形，分AC BC =，AC BC ≠两种情况讨论即可． 【解答】解：①当AC BC =时，A DB α∠'=； ②当AC BC ≠时，如图，点A '投影在AE 上，AOE α=∠'，连结AA '，易得ADA AOA ∠'<∠'，A DB AOE ∴∠'>∠'，即A DB α∠'>综上所述，A DB α∠'…， 故选：B ．【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．6．（2016•新课标Ⅰ文理）平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α⋂平面ABCD m =，α⋂平面11ABB A n =，则m 、n 所成角的正弦值为( )A B C D ．13【考点】异面直线及其所成的角【分析】画出图形，判断出m 、n 所成角，求解即可．【解答】解：如图：//α平面11CB D ，α⋂平面ABCD m =，α⋂平面11ABA B n =， 可知：1//n CD ，11//m B D ，△11CB D 是正三角形．m 、n 所成角就是1160CD B ∠=︒．则m 、n ． 故选：A ．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（2017•新课标Ⅱ理）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为( )ABCD【考点】异面直线及其所成的角【分析】【解法一】设M 、N 、P 分别为AB ，1BB 和11B C 的中点，得出1AB 、1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC 、MQ ，MP 和MNP ∠的余弦值即可． 【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁． 【解答】解：【解法一】如图所示，设M 、N 、P 分别为AB ，1BB 和11B C 的中点， 则1AB 、1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角 （因异面直线所成角为(0,])2π，可知112MN AB ==，112NP BC ==； 作BC 中点Q ，则PQM ∆为直角三角形； 1PQ =，12MQ AC =， ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠ 141221()2=+-⨯⨯⨯-7=，AC ∴=MQ ∴=在MQP ∆中，2MP =； 在PMN ∆中，由余弦定理得222222cos 2MN NP PMMNP MN NP+-+-∠===； 又异面直线所成角的范围是(0，]2π，1AB ∴与1BC． 【解法二】如图所示，补成四棱柱1111ABCD A B C D -，求1BC D ∠即可；1BC =，BD =1C D =∴22211BC BD C D +=，190DBC ∴∠=︒，1cos BC D ∴∠==故选：C ．【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．8．（2017•浙江）如图，已知正四面体D ABC -（所有棱长均相等的三棱锥），P 、Q 、R 分别为AB 、BC 、CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D PR Q --，D PQ R --，D QR P --的平面角为α、β、γ，则( )A ．γαβ<<B ．αγβ<<C ．αβγ<<D ．βγα<<【考点】二面角的平面角及求法【分析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面ABC ∆的中心为O ．不妨设3OP =．则(0O ，0，0)，(0P ，3-，0)，(0C ，6，0)，(0D ，0，，Q ，(R -，利用法向量的夹角公式即可得出二面角．解法二：如图所示，连接OP ，OQ ，OR ，过点O 分别作垂线：OE PR ⊥，OF PQ ⊥，OG QR ⊥，垂足分别为E ，F ，G ，连接DE ，DF ，DG ．．可得tan OD OE α=．tan OD OF β=，tan ODOGγ=．由已知可得：OE OG OF >>．即可得出．【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面ABC ∆的中心为O ．不妨设3OP =．则(0O ，0，0)，(0P ，3-，0)，(0C ，6，0)，(0D ，0，，B 3-，0)．Q ，(R -，(PR =-，(0PD =，3，，(3PQ =6，0)，(3,0)QR =--，(QD =-．设平面PDR 的法向量为(n x =，y ，)z ，则00n PR n PD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得3030y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，可得(6,21)n =-，取平面ABC 的法向量(0m =，0，1)． 则cos ,||||15m n m n m n <>==，取α=同理可得：β=γ=>>．αγβ∴<<．解法二：如图所示，连接OP ，OQ ，OR ，过点O 分别作垂线：OE PR ⊥，OF PQ ⊥，OG QR ⊥，垂足分别为E ，F ，G ，连接DE ，DF ，DG ．设OD h =． 则tan ODOEα=． 同理可得：tan OD OF β=，tan ODOGγ=． 由已知可得：OE OG OF >>．tan tan tan αγβ∴<<，α，β，γ为锐角． αγβ∴<<．故选：B ．【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．9．（2018•浙江）已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点）．设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则()A ．123θθθ剟B ．321θθθ剟C ．132θθθ剟D ．231θθθ剟【考点】棱锥的结构特征；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法 【分析】作出三个角，表示出三个角的正弦或正切值，根据三角函数的单调性即可得出三个角的大小．【解答】解：由题意可知S 在底面ABCD 的射影为正方形ABCD 的中心． 过E 作//EF BC ，交CD 于F ，过底面ABCD 的中心O 作ON EF ⊥交EF 于N ， 连接SN ，取AB 中点M ，连接SM ，OM ，OE ，则EN OM =， 则1SEN θ=∠，2SEO θ=∠，3SMO θ=∠． 显然，1θ，2θ，3θ均为锐角． 1tan SN SN NE OM θ==，3tan SOOMθ=，SN SO …， 13θθ∴…，又3sin SO SM θ=，2sin SOSEθ=，SE SM …， 32θθ∴…．故选：D ．【点评】本题考查了空间角的计算，三角函数的应用，属于中档题．10．（2018•新课标Ⅰ理）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A B C D 【考点】直线与平面所成的角【分析】利用正方体棱的关系，判断平面α所成的角都相等的位置，然后求解α截此正方体所得截面面积的最大值．【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，，α截此正方体所得截面最大值为：26． 故选：A ．【点评】本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算能力，有一定的难度． 11．（2018•新课标Ⅰ文）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为( )A ．8B ．C ．D ．【考点】直线与平面所成的角【分析】画出图形，利用已知条件求出长方体的高，然后求解长方体的体积即可． 【解答】解：长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==， 1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，即130AC B ∠=︒，可得1tan30ABBC ==︒可得1BB ==．所以该长方体的体积为：22⨯⨯= 故选：C ．【点评】本题考查长方体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查计算能力．12．（2018•新课标Ⅱ文）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( )A B C D 【考点】异面直线及其所成的角。
2025版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业四十一空间点直线平面的位置关系
课时作业(四十一) 空间点、直线、平面的位置关系一、单项选择题1．若l 1、l 2为异面直线，直线l 3∥l 1，则l 3与l 2的位置关系是( ) A ．相交B ．异面C ．平行D ．异面或相交2．[2024·山东郯城一中月考]若直线a ，b 是异面直线，且a ∥α，则直线b 与平面α的位置关系是( )A ．b ⊂αB ．b ∥αC ．b 与α相交D ．以上都有可能3．[2024·河南开封模拟]在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的全部面对角线中，所在直线与直线A 1B 互为异面直线且所成角为60°的面对角线的条数为( )A ．2B ．4C ．6D ．84．若∠AOB ＝∠A ′O ′B ′，OA ∥O ′A ′，且OA 与O ′A ′的方向相同，则OB 与O ′B ′( )A ．肯定平行且方向相同B ．肯定平行且方向相反C ．肯定不平行D ．不肯定平行5．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D ，BC 的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．无法确定6．如图，在下列四个正方体中，A ，B ，C ，D 分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A ，B ，C ，D 四点共面的是( )7.[2024·河南扶沟二中期末]如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，若AA 1＝AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1C ，AB 所成角的大小是( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π28．[2024·江西南昌期末]在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，假如直线EF 与GH 相交于点M ，那么( )A．点M肯定在直线AC上B．点M肯定在直线BD上C．点M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D.点M既不在直线AC上，也不在直线BD上9．(实力题)设a，b是异面直线，那么( )A．必定存在唯一的一个平面，同时平行于a，bB．必定存在唯一的一个平面，同时垂直于a，bC．过直线a存在唯一的一个平面平行于直线bD．过直线a存在唯一的一个平面垂直于直线b10.(实力题)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为线段BD上随意一点(包括端点)，则肯定有( )A．PC1与AA1异面B．PC1与AA1相交C．PC1与平面AB1D1平行D．PC1与平面AB1D1相交二、多项选择题11.如图，是正方体的平面绽开图，则在这个正方体中：以下四个命题中，正确的是( ) A．BM与ED平行B．CN与BM成60°角C．CN与BE是异面直线D．DM与BN是异面直线12.(实力题)[2024·山东潍坊一中模拟]如图所示，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，SD＝AB，则下列选项中两异面直线所成夹角大于45°的是( ) A．BC与SD B．AB与SCC．SB与AD D．AC与SB三、填空题13．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．则四边形EFGH是________．14．(实力题)[2024·河南商丘一中学期末]已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为正方形且AB ＝2，AA 1＝4，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值为________．四、解答题15．[2024·广东韶关期末]如图，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是AB ，AA 1的中点．(1)求直线B 1E 与直线C 1D 1所成角的正切值； (2)求三棱锥D B 1EF 的体积． 优生选做题16．[2024·山东聊城模拟]已知某圆锥的侧面积等于底面的3倍，直线l 是底面所在平面内的一条直线，则该直线l 与母线所成的角的余弦值的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤223，1 17．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、AA 1的中点．求证：(1)CE 、D 1F 、DA 三线共点；(2)直线BC 和直线D 1F 是异面直线．课时作业（四十一）空间点、直线、平面的位置关系1．解析：∵l1、l2为异面直线，∴直线l1与l2所成角为锐角或直角，∵l3∥l1，∴直线l3与l2所成角为锐角或直角，由此可得：l3与l2不平行，即直线l3与l2的位置关系为相交或异面．答案：D2．解析：在长方体ABCDA1B1C1D1中，平面ABCD视为平面α，直线A1B1为直线a，点E，F分别为棱AA1，DD1的中点，如图，明显有a∥α，当直线b为直线AD时，直线a，b是异面直线，此时b⊂α；因EF∥AD，AD⊂平面α，EF⊄平面α，则EF∥α，当直线b为直线EF时，直线a，b 是异面直线，此时，b∥α；当直线b为直线CC1时，直线a，b是异面直线，此时，b与α相交，所以直线b与平面α可能平行，可能相交，也可能在平面内．故选D.答案：D3．解析：如图，易知△A1BC1为等边三角形，所以∠BA1C1＝60°，又AC∥A1C1，所以异面直线AC 与A1B的夹角为60°，符合题设．同理，面对角线B1C，B1D1，AD1也满意题意，所以满意条件的面对角线共4条．故选B.答案：B4．解析：如图，若∠AOB＝∠A′O′B′，OA∥O′A′，且OA与O′A′的方向相同，OB与O′B′不肯定平行．故选D.答案：D5．解析：如图所示：连接D1C，由题意得D1C∩C1D＝E，因为D1C∥A1B，所以D1，C，A1，B共面，所以直线D1C，A1B，EF共面，因为EF∩D1C＝E，所以直线A1B与直线EF的位置关系是相交，故选A.答案：A6．解析：由正方体性质，选项A，B，C中，A，B，C，D四点明显不共面．对于D选项，如图取E，F为正方体所在棱的中点，依次连接ADCEBF，易知ADCEBF为平面正六边形，所以A，B，C，D四点共面．故选D.答案：D7．解析：如图所示，连接B1C，∵A1B1∥AB，∴∠B1A1C即为异面直线A1C，AB所成角，∵AA1＝AC＝BC＝1，∴A1C＝2，B1C＝2，又AC⊥BC，∴AB＝A1B1＝2，在△B1A1C中，∵A1B1＝A1C＝B1C＝2，∴△B1A1C是正三角形，∴∠B 1A 1C ＝π3.故选C. 答案：C 8．解析：如图，空间四边形ABCD ，因为EF ⊂平面ABC ，GH ⊂平面ACD ，所以点M ∈平面ABC ，且M ∈平面ACD ，而平面ABC ∩平面ACD ＝AC ， 所以点M ∈直线AC .因为AC 与BD 为异面直线，所以M ∈/直线BD . 答案：A9．解析：A 选项，存在平面，同时平行于a ，b ，但不唯一，如图，a ，b 是异面直线，存在平面α，β同时平行于a ，b ，A 错误；B 选项，假设存在唯一的一个平面，同时垂直于a ，b ，则可推出a ∥b ，明显这与a ，b 是异面直线冲突，故B 错误；C 选项，首先证明这样的平面存在，如图，a ，b 为异面直线，过直线b 作一个平面β，交直线a 于点F ，过点F 作直线c 平行于b ， 直线a ，c 确定平面α，所以平面α与直线b 平行，故这样的平面存在， 接下来证明唯一性，假设过直线a 存在另一平面γ，平行于直线b ， 则有α∩γ＝a ，由线面平行的性质可知，过直线b 的平面χ交γ于直线d ，则b ∥d ∥c ，且a 与d 相交，则a ，d 确定平面γ，由于c ∥d ，所以a ，c 确定的平面与a ，d 确定的平面为同一平面，即α与γ重合，证毕．C 正确．D 选项，假设过直线a 存在唯一的一个平面垂直于b ，则可推出a ⊥b ，由已知可知a ，b 是异面直线，但不肯定垂直，故这样的平面可能不存在，所以D 不肯定正确．故选C. 答案：C 10．解析：连接AC 、A 1C 1，因为AA 1∥CC 1且AA 1＝CC 1，所以，四边形AA 1C 1C 为平行四边形， 当P 为AC 、BD 的交点时，PC 1与AA 1相交，当P 不为AC 、BD 的交点时，PC 1与AA 1异面，AB 选项都不肯定成立；连接BC 1、C 1D ，因为AB ∥C 1D 1且AB ＝C 1D 1，故四边形ABC 1D 1为平行四边形， ∴BC 1∥AD 1，∵BC 1⊄平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，∴BC 1∥平面AB 1D 1， 同理可证C 1D ∥平面AB 1D 1，因为BC 1∩C 1D ＝C 1，BC 1、C 1D ⊂平面BC 1D ，∴平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，∵PC 1⊂平面BC 1D ，∴PC 1∥平面AB 1D 1，C 选项肯定满意，D 选项肯定不满意． 故选C. 答案：C 11．解析：正方体的直观图如图所示：很明显，BM 与ED 不平行，A 错误；连接AN ，AC ，易知△ACN 是等边三角形，CN 与BM 的夹角即为∠ANC ＝60°，B 正确； 很明显，CN ∥BE ，C 错误； DM 与BN 是异面直线，D 正确． 故选BD. 答案：BD12．解析：对于A ，因为SD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以SD ⊥BC ，则BC 与SD 所成角的大小为90°，A 项符合．对于B ，因为底面ABCD 是正方形，所以AB ∥CD ，则AB 与SC 所成的角为∠SCD ＝45°，B 项不符合．对于C ，因为AD ∥BC ，所以SB 与AD 所成的角为∠SBC ，由题知tan∠SBC ＝SC BC＝2>1，所以∠SBC >45°，C 项符合．对于D ，因为SD ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以SD ⊥AC .因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD . 又因为SD ∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面SBD .因为SB ⊂平面SBD ，所以AC ⊥SB ，则AC 与SB 所成角的大小为90°，D 项符合．故选ACD.答案：ACD 13．解析：如图，依据中位线性质可知：EH ∥FG 且EH ＝FG ＝12BD ，所以四边形EFGH 是平行四边形． 答案：平行四边形14．解析：取A 1B 1中点F ，连接AE 、EF 、AF ，则EF ∥B 1C 1，又BC ∥B 1C 1，则BC ∥EF ，则∠AEF 为异面直线AE 与BC 所成的角或其补角， 又△AEF 中，EF ⊥AF ，EF ＝2，AF ＝17，则AE ＝21， 则cos∠AEF ＝221＝22121则异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值为22121.答案：2212115．解析：（1）在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，有AB ∥C 1D 1， 所以∠B 1EB 即为直线B 1E 与直线C 1D 1所成角， 在Rt△B 1EB 中，易知BE ＝1，BB 1＝2， 所以tan∠B 1EB ＝BB 1BE＝2， 所以直线B 1E 与直线C 1D 1所成角的正切值为2. （2）在正方形ABB 1A 1中， 有＝－S △AEF －－＝32，又DA ⊥平面ABB 1A 1. 所以＝13××DA ＝1，即三棱锥D B 1EF 的体积为1. 16．解析：设底面圆的半径为r ，母线长为R ，因为圆锥的侧面积等于底面的3倍，所以12·2πr ·R ＝3πr 2，即R ＝3r ，因为直线与直线所成角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以当直线l 与底面圆相切时，直线l 与母线所成角最大为π2，则该直线l 与母线所成的角的余弦值的最小值为cos π2＝0；当直线l 过底面圆的圆心时，由线面角的定义可知，此时直线l与母线所成角最小，则该直线l 与母线所成的角的余弦值的最大值为OC AC ＝r R ＝13，即该直线l与母线所成的角的余弦值的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13.故选A. 答案：A 17．证明：（1）分别延长D 1F ，DA ，交于点P ， ∵P ∈DA ，DA ⊂平面ABCD ， ∴P ∈平面ABCD .∵F 是AA 1的中点，FA ∥D 1D ， ∴A 是DP 的中点， 连接CP ，∵AB ∥DC ，∴CP ，AB 的交点为线段AB 的中点，即为E ， ∴CE ，D 1F ，DA 三线共点于P .（2）假如直线BC 和直线D 1F 不是异面直线，则存在一个平面α，使得BC ⊂α，D 1F ⊂α，由于在正方体中AD ∥BC ，BC ⊂α，AD ⊄α， 因此AD ∥α，又因为AD ⊂平面ADD 1A 1，且平面ADD 1A 1∩α＝D 1F ，故AD ∥D 1F ，在正方形ADD 1A 1中，明显AD ，D 1F 不平行，故冲突，因此假设不成立，即直线BC和直线D1F是异面直线．。
专题5 空间点、直线、平面的位置关系【高考文科数学】立体几何 含答案
第二讲空间点、直线、平面的位置关系1．点、线、面的位置关系(1)公理1 ∵A∈α，B∈α，∴AB⊂α.(2)公理2 ∵A，B，C三点不共线，∴A，B，C确定一个平面．(3)公理3 ∵P∈α，且P∈β，∴α∩β＝l，且P∈l.三个推论：①过两条相交直线有且只有一个平面．②过两条平行直线有且只有一个平面．③过一条直线和直线外一点有且只有一个平面．(4)公理4 ∵a∥c，b∥c，∴a∥b.(5)等角定理∵OA∥O1A1，OB∥O1B1，∴∠AOB＝∠A1O1B1或∠AOB＋∠A1O1B1＝180°.2．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理∵a⊄α，b⊂α，a∥b，∴a∥α.(2)线面平行的性质定理∵a∥α，a⊂β，α∩β＝b，∴a∥b.(3)面面平行的判定定理∵a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α，∴α∥β.(4)面面平行的性质定理∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b.3．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理∵m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n，∴l⊥α.(2)线面垂直的性质定理∵a⊥α，b⊥α，∴a∥b.(3)面面垂直的判定定理∵a⊂β，a⊥α，∴α⊥β.(4)面面垂直的性质定理∵α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，∴a⊥β.1． (2013·安徽)在下列命题中，不是公理的是( )A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案 A解析B、C、D选项是公理．2． (2013·广东)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案 D解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误；故D正确．3． (2013·课标全国Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l答案 D解析假设α∥β，由m⊥平面α，n⊥平面β，则m∥n，这与已知m，n为异面直线矛盾，么α与β相交，设交线为l1，则l1⊥m，l1⊥n，在直线m上任取一点作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面，所以l1∥l.4． (2012·安徽)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析当α⊥β时，由于α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，由面面垂直的性质定理知，b⊥α.又∵a⊂α，∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件．而当a⊂α且a∥m时，∵b⊥m，∴b⊥a.而此时平面α与平面β不一定垂直，∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件，故选A.5． (2013·浙江)在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ(A)．设α、β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，Q 1＝f β[f α(P )]，Q 2＝f α[f β(P )]，恒有PQ 1＝PQ 2，则( ) A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60° 答案 A解析 本题关键是理解B ＝f π(A )的含义． 若平面α与平面β不垂直．在其中一个平面α上取一点P .则PQ 1≠PQ 2. 所以平面α与平面β垂直，故选A.题型一 空间点、线、面的位置关系例1 对于四面体ABCD ，下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是△BCD 三条高线的交点；③若分别作△ABC 和△ABD 的边AB 上的高，则这两条高的垂足重合；④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．审题破题 可以画出四面体ABCD 的直观图，根据图形分析点、线、面的位置关系． 答案 ①④⑤解析 若AB 与CD 共面，ABCD 就成了平面图形，故①对； 若垂足为△BCD 高线的交点，必推出对棱垂直，故②错； 只有当以AB 为底的三角形是等腰三角形时，垂足才能重合， 故③错；设垂足为O ，过O 作OE ⊥CD 于E ，连接AE ，则OE <AE .∴S △COD ＝12CD ·OE <S △ACD＝12CD ·AE . 同理可得S △ABD >S △BOD ，S △ABC >S △BOC ， ∴S △ACD ＋S △ABC ＋S △ABD >S △BCD .故④对．如图，点E 、F 、G 、H 、M 、N 为各边中点，这样可得到▱EFGH 和 ▱ENGM 它们的对角线EG 和FH 互相平分，EG 和MN 也互相平分． 因此，三条线段EG ，FH ，MN 交于一点，故⑤对．反思归纳 准确画出相应的几何体，结合该几何体来研究各命题的真假．若判定一个命题为假，只需举一反例(特殊状态、特殊位置、特殊图形)即可．有时用反证法来判断也可以．变式训练1 (1)给出下列关于互不相同的直线m，n，l和平面α、β的四个命题：①m⊂α，l∩α＝A，A∉m，则l与m不共面；②l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β；④若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m.其中假命题的序号是__________．答案④解析命题①可用反证法证明成立；命题②利用线面平行的性质，过l、m分别作平面γ、δ交平面α于l′，n′，易知n⊥l′，n⊥m′且m′，n′相交，故n⊥α；命题③即为面面平行的判定定理；命题④中l，m可以平行、相交，也可以异面．(2)若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则下列命题中假命题的序号是________．①过点P有且仅有一条直线与l，m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l，m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l，m都异面．答案①③④解析可以利用模型进行判断．题型二平行关系与垂直关系例2在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F 分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.(1)求证：平面EFG∥平面PMA；(2)求证：平面EFG⊥平面PDC；(3)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．审题破题(1)证明EG、FG都平行于平面PMA.(2)证明GF⊥平面PDC.(3)设MA为1，从而其他边的长度都可表示，问题可求解．(1)证明∵E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，∴EG∥PM，GF∥BC.又∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD，∴GF∥AD.∵EG、GF在平面PMA外，PM、AD在平面PMA内，∴EG ∥平面PMA ，GF ∥平面PMA . 又∵EG 、GF 都在平面EFG 内且相交， ∴平面EFG ∥平面PMA .(2)证明 由已知MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ， ∴PD ⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC . ∵四边形ABCD 为正方形，∴BC ⊥DC . 又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PDC .在△PBC 中，∵G 、F 分别为PB 、PC 的中点， ∴GF ∥BC ，∴GF ⊥平面PDC .又GF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PDC .(3)解 ∵PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，不妨设MA ＝1，则PD ＝AD ＝2. ∵DA ⊥平面MAB ，且PD ∥MA ，∴DA 即为点P 到平面MAB 的距离，∴V P －MAB ∶V P －ABCD ＝13S △MAB ·DA ∶13S 正方形ABCD ·PD＝S △MAB ∶S 正方形ABCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2∶(2×2)＝1∶4. 反思归纳 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可，l ⊥α，a ⊂α⇒l ⊥a .变式训练2 (2013·北京)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD .E 和F 分别为CD 、PC 的中点．求证：(1)PA ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面PAD ； (3)平面BEF ⊥平面PCD .证明 (1)平面PAD ∩平面ABCD ＝AD . 又平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA ⊥AD .(2)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点， ∴AB ∥DE ，且AB ＝DE .∴ABED 为平行四边形．∴BE ∥AD . 又∵BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴BE ∥平面PAD .(3)∵AB ⊥AD ，且四边形ABED 为平行四边形． ∴BE ⊥CD ，AD ⊥CD .由(1)知PA ⊥底面ABCD ，则PA ⊥CD ， ∴CD ⊥平面PAD ，从而CD ⊥PD ， 又E 、F 分别为CD 、CP 的中点， ∴EF ∥PD ，故CD ⊥EF .由EF ，BE 在平面BEF 内，且EF ∩BE ＝E ， ∴CD ⊥平面BEF . ∴平面BEF ⊥平面PCD . 题型三 空间线面关系的综合问题例3 如图所示，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ，F 为CE 上的点，且BF⊥平面ACE .(1)求证：AE ⊥BE ；(2)设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE . 审题破题 (1)通过线面垂直证明线线垂直．(2)这是一道探索性问题，先确定点N 的位置，再进行证明．要注意解题的方向性，通过寻找到的条件，证明MN ∥平面DAE 成立． (1)证明 ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ， ∵AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BC . 又∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ， ∴AE ⊥BF ，∵BC ∩BF ＝B ，∴AE ⊥平面BCE ， 又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .(2)解 在△ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在△BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC于N 点，连接MN ，则由比例关系易得CN ＝13CE .∵MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，同理，GN ∥平面ADE .又∵GN ∩MG ＝G ， ∴平面MGN ∥平面ADE .又MN ⊂平面MGN ，∴MN ∥平面ADE .∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点．反思归纳 解决探究某些点或线的存在性问题，一般方法是先研究特殊点(中点、三等分点等)、特殊位置(平行或垂直)，再证明其符合要求，一般来说是与平行有关的探索性问题常常寻找三角形的中位线或平行四边形．变式训练3 (2013·浙江)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，PA ＝3，∠ABC ＝120°.G 为线段PC 上的点．(1)证明：BD ⊥平面APC ；(2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成角的正切值； (1)证明 设点O 为AC 、BD 的交点．由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 是线段AC 的中垂线． 所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC .又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥BD ，且AC ∩PA ＝A . 所以BD ⊥平面APC .(2)解 连接OG .由(1)可知OD ⊥平面APC ， 则DG 在平面APC 内的射影为OG ， 所以∠OGD 是DG 与平面APC 所成的角．由题意得OG ＝12PA ＝32.在△ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝2 3. 所以OC ＝12AC ＝ 3.在Rt △OCD 中，OD ＝CD 2－OC 2＝2.在Rt △OGD 中，tan ∠OGD ＝OD OG ＝433.所以DG 与平面APC 所成角的正切值为433.典例 (12分)如图，在△ABC 中，∠B ＝π2，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD .(1)当棱锥A ′－PBCD 的体积最大时，求PA 的长．(2)若点P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点，求证：A ′B ⊥DE . 规范解答(1)解 令PA ＝x (0<x <2)，则A ′P ＝PD ＝x ，BP ＝2－x .因为A ′P ⊥PD ，且平面A ′PD ⊥平面PBCD ，故A ′P ⊥平面PBCD .所以V A ′－PBCD ＝13Sh＝16(2－x )(2＋x )x ＝16(4x －x 3)． 令f (x )＝16(4x －x 3)，[4分] 由f ′(x )＝16(4－3x 2)＝0，得x ＝233(负值舍去)．[5分]当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，233时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫233，2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． [7分]所以当x ＝233时，f (x )取得最大值．故当V A ′－PBCD 最大时，PA ＝233.[8分](2)证明 设F 为A ′B 的中点，如图所示，连接PF ，FE ，则有EF 綊12BC ，PD 綊12BC . [10分]所以EF 綊PD .所以四边形EFPD 为平行四边形．所以DE ∥PF . 又A ′P ＝PB ，所以PF ⊥A ′B ，故DE ⊥A ′B .[12分]评分细则 (1)从已知条件得到A ′P ⊥平面PBCD ，得2分；(2)f (x )的单调区间写成闭区间不扣分；少一个区间扣1分；(3)辅助线没有按要求画出或实虚错误扣1分．阅卷老师提醒(1)解决折叠问题的关键是搞清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口．(2)把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决．1．关于直线a、b、c，以及平面M、N，给出下列命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若a∥M，b⊥M，则a⊥b；③若a∥b，b∥M，则a∥M；④若a⊥M，a∥N，则M⊥N.其中正确命题的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析①中a与b可以相交或平行或异面，故①错．③中a可能在平面M内，故③错，故选C.2．下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.正确的命题是( ) A．①③B．②③C．①④D．②④答案 C解析②平面α与β可能相交，③中m与n可以是相交直线或异面直线．故②③错，选C.3． (2012·四川)下列命题正确的是( )A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案 C解析A错误，如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等，但两条母线相交；B错误，△ABC的三个顶点中，A、B在α的同侧，而点C在α的另一侧，且AB平行于α，此时可有A、B、C三点到平面α距离相等，但两平面相交；D错误，如教室中两个相邻墙面都与地面垂直，但这两个面相交，故选C.4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案 D解析由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD.在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD.又因为AB⊥AD，AD∩DC＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC.5．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N 是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面垂直D．异面不垂直答案 C解析易证ON在平面A1ADD1上的射影与AM垂直，进而可证得ON⊥AM.6．若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.其中正确的有________．答案②③解析正方体中一个对角面和一个侧面都与底面垂直，但这两个面不垂直，故命题①不正确；若α⊥γ，在平面α内作平面α与平面γ的交线的垂线m，根据面面垂直的性质定理，m⊥γ，又β∥γ，故m⊥β，这样平面α过平面β的一条垂直，故α⊥β，命题②正确；过直线l作平面δ交平面α于直线n，根据线面平行的性质定理，l∥n，又l⊥β，故n⊥β，这样平面α就过平面β的一条垂线，故α⊥β，故命题③正确．专题限时规范训练一、选择题1．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线答案 D解析由直线a与B确定的平面与β有唯一交线．故存在唯一与a平行的直线．2．设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是 ( ) A．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βB．若m∥α，m∥n，则n∥αC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β答案 D解析选项A中的直线m、n可能不相交；选项B中直线n可能在平面α内；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面．故选D.3．下列命题中错误的是( ) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案 D解析两个平面α，β垂直时，设交线为l，则在平面α内与l平行的直线都平行于平面β，故A正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故C正确；两个平面α，β垂直时，平面α内与交线平行的直线与β平行，故D错误．4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱AB上的动点，则直线A1D与直线C1E所成的角等于( ) A．60°B．90°C．30°D．随点E的位置而变化答案 B解析在正方体中，显然有A1D⊥AB，A1D⊥AD1，所以A 1D ⊥面AD 1C 1B ，又C 1E ⊂面AD 1C 1B ，故A 1D ⊥C 1E .故选B.5． 如图，若Ω是长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EB 1F －HC 1G 所得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是()A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台答案 D解析 A 中，∵EH ∥A 1D 1，∴EH ∥BC ， ∴EH ∥平面BCC 1B 1.又过EH 的平面EFGH 与平面BCC 1B 1交于FG ， ∴EH ∥FG .故A 成立．B 中，易得四边形EFGH 为平行四边形， ∵BC ⊥平面ABB 1A 1， ∴BC ⊥EF ，即FG ⊥EF .∴四边形EFGH 为矩形．故B 正确．C 中可将Ω看作以A 1EFBA 和D 1DCGH 为上下底面，以AD 为高的棱柱．故C 正确． 6． 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，AC ∩EF ＝G .现在沿AE 、EF 、FA把这个正方形折成一个四面体，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为P ，则在四面体P －AEF 中必有 ()A ．AP ⊥△PEF 所在平面B ．AG ⊥△PEF 所在平面C ．EP ⊥△AEF 所在平面D ．PG ⊥△AEF 所在平面答案 A解析 在折叠过程中，AB ⊥BE ，AD ⊥DF 保持不变． ∴⎭⎪⎬⎪⎫AP ⊥PEAP ⊥PF PE ∩PF ＝P ⇒AP ⊥面PEF . 7． 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由平面与平面垂直的判定定理知，如果m 为平面α内的一条直线，m ⊥β，则α⊥β，反过来则不一定．所以“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件． 8． 已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列命题：①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ③若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α；④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β. 其中真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 A解析 ①②③不成立，故选A. 二、填空题9． 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于______．答案2解析 由于在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2， ∴AC ＝2 2.又E 为AD 的中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ， 平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 的中点，∴EF ＝12AC ＝ 2.10．如图所示，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H 分别为DE ，AF 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成正四面体PDEF (点A 、B 、C 重合后记为P )，则四面体中异面直线PG 与DH 所成角的余弦值为________．答案 23解析 折成的正四面体如图所示，连接HE ，取HE 的中点K ，连接GK ，PK ，则GK ∥DH ，故∠PGK 即为所求的异面直线所成角或其补角．设这个正四面体的棱长为2，在△PGK 中，PG＝3，GK ＝32，PK ＝ 12＋⎝⎛⎭⎪⎫322＝72， 故cos ∠PGK ＝32＋⎝⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×3×32＝23. 即异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值是23.11．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：①PA ∥平面MOB ； ②MO ∥平面PAC ； ③OC ⊥平面PAC ； ④平面PAC ⊥平面PBC .其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)． 答案 ②④解析 ①错误，PA ⊂平面MOB ；②正确；③错误，否则，有OC ⊥AC ，这与BC ⊥AC 矛盾；④正确，因为BC ⊥平面PAC .12．已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．答案 33解析 如图，作PM ⊥面ABC ，设PA ＝a ，则AB ＝2a ，CM ＝63a ，PM ＝33a . 设球的半径为R ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫33a －R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a 2＝R 2，将R ＝3代入上式，解得a ＝2，所以d ＝3－233＝33.三、解答题13．(2013·江苏)如图，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .证明 (1)由AS ＝AB ，AF ⊥SB 知F 为SB 的中点， 则EF ∥AB ，FG ∥BC ，又EF ∩FG ＝F ，因此平面EFG ∥平面ABC . (2)由平面SAB ⊥平面SBC ，且AF ⊥SB ， 知AF ⊥平面SBC ，则AF ⊥BC .又BC ⊥AB ，AF ∩AB ＝A ，则BC ⊥平面SAB ， 又SA ⊂平面SAB ，因此BC ⊥SA .14．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC .(1)求证：平面AB 1C 1⊥平面AC 1；(2)若AB 1⊥A 1C ，求线段AC ⊥AA 1长度之比；(3)若D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，试确定点E 的位置；若不存在，请说明理由． (1)证明 由于ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以B 1C 1⊥CC 1.又因为AC ⊥BC ，所以B 1C 1⊥A 1C 1， 又CC 1∩A 1C 1＝C 1，所以B 1C 1⊥平面AC 1.由于B 1C 1⊂平面AB 1C 1，从而平面AB 1C 1⊥平面AC 1. (2)解 由(1)知，B 1C 1⊥A 1C .所以，若AB 1⊥A 1C ，则可得：A 1C ⊥平面AB 1C 1， 从而A 1C ⊥AC 1.由于ACC 1A 1是矩形，故AC 与AA 1长度之比为1∶1.(3)解点E位于AB的中点时，能使DE∥平面AB1C1. 设F是BB1的中点，连接DF、EF、DE.则易证：平面DEF∥平面AB1C1，从而DE∥平面AB1C1.。
2017年全国高考数学试题分类汇编考点30空间点直线平面之间的位置关系
考点32 空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.(2017年全国丙卷·文科·T10)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC【命题意图】本题考查直线间的位置关系,考查学生的空间想象能力和推理能力.【试题解析】选C.根据三垂线逆定理,平面内的线垂直平面的斜线,那也垂直于斜线所在平面内的射影.A,若A1E⊥DC1,那么D1E⊥DC1,显然不成立.B,若A1E⊥BD,那么BD⊥AE,显然不成立.C,若A1E⊥BC1,那么BC1⊥B1C成立,反过来BC1⊥B1C,也能推出A1E⊥BC1.D,若A1E⊥AC,那么AE⊥AC,显然不成立.2.(2017年全国甲卷理科·T10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC＝120°,AB＝2,BC＝CC1＝1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. B. D.【命题意图】线线的位置关系和余弦定理的知识.通过求角的余弦值考查了学生的线与线的位置关系的判断以及运算求解能力.【试题解析】选C.补成四棱柱ABCD -A1B1C1D1,如图所示,连接BD,DC1,则所求角为∠BC1D,因为BC1＝,BD＝,C1D＝AB1＝因此,cos ∠BC 1D ＝错误！未找到引用源。
＝5. 【误区警示】本题易对两异面直线AB 1与BC 1所成角找不准导致计算错误.3.(2017年全国乙卷文科·T6)如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB 与平面MNQ 不平行的是 ( )【命题意图】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力,属容易题. 【试题解析】选A.由B ,AB ∥MQ ,则直线AB ∥平面MNQ ;由C ,AB ∥MQ ,则直线AB ∥平面MNQ ;由D ,AB ∥NQ ,则直线AB ∥平面MNQ.A 不满足,故选A.【反思总结】证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面.4.(2017年浙江高考·T9)如图,已知正四面体D-ABC (所有棱长均相等的三棱锥),P ,Q ,R 分别为AB ,BC ,CA 上的点,AP ＝PB ,BQ QC ＝CRRA＝2,分别记二面角D-PR-Q , D-PQ-R ,D-QR-P 的平面角为α,β,γ,则 ( )A.γ＜α＜βB.α＜γ＜βC.α＜β＜γD.β＜γ＜α【试题解析】选B.如图1,过点D 作DO ⊥平面ABC ,垂足为点O ,再过点O 分别作PQ ,QR ,RP 的垂线段,垂足分别为点F ,G ,E ,则tan α＝DO OE ,tan β＝DO OF ,tan γ＝DOOG,将底面的平面图展开如图2所示,以P 为原点建立平面直角坐标系,不妨设A (-1,0),则B (1,0),C (0,因为AP ＝PB ,BQ QC ＝CRRA＝2,所以Q 1,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,R 2,33⎛- ⎝⎭,则l RP :y ＝-2x ,l PQ :y ＝2x ,l RQ:y ＝3x ＋9,根据点到直线的距离公式,知OE ＝21,OF ＝,OG ＝13,所以OE ＞OG ＞OF ,tan α＜tan γ＜tan β,又显然α,β,γ为锐角,所以α＜γ＜β.二、填空题5.(2017年全国丙卷·理科·T16)a ,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ,b 都垂直,斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转,有下列结论: ①当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成30°角; ②当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成60°角; ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°; ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°;其中正确的是 .(填写所有正确结论的编号) 【命题意图】本题考查学生空间想象能力.【试题解析】由题意得,AC ⊥BC ,不妨假设等腰直角三角形ABC 的腰长为1,以C 为坐标原点,过点C 且垂直于平面ABC 的直线为x 轴,CB 所在直线为y 轴,CA 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系如图:则各点坐标分别为A(0,0,1)，C(0,0,0),因为直线a,b都垂直于AC,不妨设直线a的方向向量为a＝(1,0,0),直线b的方向向量为b＝(0,1,0),因为斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,所以可设点B的坐标为(cosθ,sinθ,0),则AB＝(cosθ,sinθ,-1),设直线a与直线AB的夹角为α,直线b与直线AB的夹角为β,则cosα＝|cos＜a,AB＞|＝a ABa AB⋅⋅＝＝,cosβ＝|cos＜b,＞|＝b ABb AB⋅⋅＝＝.①,当直线AB与a成60°角时,有cosα＝＝12,解得|cosθ|＝2,所以|sinθ|＝2,此时AB与b的夹角β的余弦值为cosβ＝＝12,所以AB与b的夹角为60°.故①错误.②由①分析得AB与b的夹角为60°,故②正确.③直线AB与a所成角的余弦值为cosα＝,当cosα越大时,角α就越小,而的最大值为＝,即cosα的最大值为2,α的最小值为45°,即直线AB与a所成角的最小值为45°,故③正确.④,直线AB与a所成角的余弦值为cosα＝,当cosα越小时,角α就越大,而的最小值为0,cosα的最小值为0,α的最大值为90°,即直线AB与α所成角的最大值为90°,故④错误.故本题正确答案为②③.答案:②③三、简答题6.(2017年全国丙卷·文科·T19)(12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD＝CD.(1)证明:AC⊥BD.(2)已知△ACD是直角三角形,AB＝BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.【试题解析】(1)取AC的中点O,连接OD,OB因为AD＝CD,O为AC中点,所以AC⊥OD,又因为△ABC是正三角形,所以AC⊥OB,又因为OB∩OD＝O,所以AC⊥平面OBD,因为BD⊂平面OBD,所以AC⊥BD.(2)设AD＝CD＝2,因为△ACD为直角三角形,所以AC＝2,又因为△ABC为正三角形,所以AB＝AC＝2,因为AB＝BD,所以BD＝2,所以△ABD≌△DBC,所以AE＝CE,又因为AE⊥EC,所以AE＝CE＝2,在△ABD中,设DE＝x,根据余弦定理可得:cos∠ADB＝2222AD BDAD BD AB+-⨯⨯＝2222AD BDAD DE AE+-⨯⨯即＝24422xx+-⨯⨯,解得x＝,所以点E为BD的中点,即V D-ACE＝V B-ACE,所以四面体ABCE和四面体ACDE体积的比为1∶1.7.(2017年全国丙卷·理科·T19)(12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD＝∠CBD,AB＝BD.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC.(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.【试题解析】(1)取AC中点O,连接OD,OB.由∠ABD＝∠CBD,AB＝BC＝BD知△ABD≌△CBD,所以CD＝AD.由已知可得△ADC为等腰直角三角形,D为直角顶点,则OD ⊥AC ,设正△ABC 边长为a , 则OD ＝12AC ＝12a ,OB＝2a ,BD ＝a ,所以OD 2＋OB 2＝BD 2,即OD ⊥OB.又OB ∩AC ＝O ,所以OD ⊥平面ABC , 又OD ⊂平面ACD ,所以平面ACD ⊥平面ABC.(2)以OA ,OB ,OD 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,由(1)得当E 为BD 中点时,平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分,故可得A ,0,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,D 0,0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,C ,0,02a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,E 0,,44a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, 则AE＝24a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,AD ＝,0,22aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 设平面ADE 的一个法向量为n 1＝()111,,x y z ,则1100n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111024022a ax z a a x z ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩令z 1＝1,则x 1＝1,y 1＝2,所以n 1＝1,,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 同理可得平面AEC 的一个法向量n 2＝(0,-,所以cos ＜n 1,n 2＞＝1212||||n n n n＝7. 因为二面角D-AE-C 的平面角为锐角, 所以二面角D-AE-C的余弦值为.8.(2017年全国甲卷理科·T19)(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB＝BC＝错误！未找到引用源。
全国名校高考数学优质试题汇编(附详解)专题直线、平面垂直的判定与性质
直线、平面垂直的判定与性质A组基础题组1.若平面α⊥平面β,平面α∩平面β=直线l,则 ( )A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直2.设a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则a⊥b的一个充分条件为( )A.a⊥c,b⊥cB.α⊥β,a⊂α,b⊂βC.a⊥α,b∥αD.a⊥α,b⊥α3.(2017课标全国Ⅲ文,10,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( )A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC4.已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,则下列判断中正确的是( )A.AB⊥PCB.AC⊥平面PBDC.BC⊥平面PABD.平面PBC⊥平面PDC5.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β;②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n;③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β;④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题为( )A.②③④B.①②③C.①③④D.①②④6.如图,∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,则△ABC,△PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线是;与AP垂直的直线是.7.(2017云南11校跨区调研)已知m,n是两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,有下列四个命题:①若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n;②若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;③若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β; ④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n.其中所有正确命题的序号是.8.α,β是两个平面,AB,CD是两条线段,已知α∩β=EF,AB⊥α于B,CD⊥α于D,若增加一个条件,就能得出BD⊥EF,现有下列条件:①AC⊥β; ②AC与α,β所成的角相等;③AC与CD在β内的射影在同一条直线上; ④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是.9.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PA⊥BD;(2)求证:平面BDE⊥平面PAC;(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.10.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD.(1)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由;(2)证明:平面PAB⊥平面PBD.B组提升题组1.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1与DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为.2.(2018福建泉州一模)如图,一张A4纸的长、宽分别为2a、2a,A,B,C,D分别是其四条边的中点.现将其沿图中虚线折起,使得P1,P2,P3,P4四点重合为一点P,从而得到一个多面体.下列关于该多面体的命题,正确的是.(写出所有正确命题的序号)①该多面体是三棱锥;②平面BAD⊥平面BCD;③平面BAC⊥平面ACD;④该多面体外接球的表面积为5πa2.3.(2017云南昆明教学质量检测)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知侧棱CC1⊥底面ABC,M为BC的中点,AC=AB=3,BC=2,CC1=.(1)证明:B1C⊥平面AMC1;(2)求点A1到平面AMC1的距离.4.如图①,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC的中点,AE⊥BD于点E(不同于点D),延长AE 交BC于F,将△ABD沿BD折起,得到三棱锥A1-BCD,如图②所示.(1)若M是FC的中点,求证:DM∥平面A1EF;(2)求证:BD⊥A1F;(3)若平面A1BD⊥平面BCD,试判断直线A1B与直线CD是否垂直,并说明理由.答案精解精析A组基础题组1.D 对于A,垂直于平面β的平面与平面α平行或相交,故A错;对于B,垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内,故B错;对于C,垂直于平面β的平面与直线l平行或相交,故C错;易知D正确.2.C 对于选项A,若a⊥c,b⊥c,则直线a与b可能异面,可能平行,也可能相交,所以A项不符合题意;对于选项B,若α⊥β,a⊂α,b⊂β,则直线a与b可能异面,可能平行,也可能相交,所以B项不符合题意;对于选项C,若a⊥α,b∥α,则a⊥b,所以C项符合题意;对于选项D,易知a∥b,所以D项不符合题意,故选C.3.C ∵A1B1⊥平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,∴A1B1⊥BC1,又BC1⊥B1C,且B1C∩A1B1=B1,∴BC1⊥平面A1B1CD,又A1E⊂平面A1B1CD,∴BC1⊥A1E.故选C.4.C 由题意画出几何体的图形,如图.∵AB∥CD,CD不垂直于PC,∴AB⊥PC不正确;设BD交AC于O,连接PO,易知AC不垂直于PO,所以AC⊥平面PBD不正确;因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,因为BC⊥AB,且PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,C项正确;易知D项不正确,故选C.5.A ①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β不一定成立,故错误;②如果n∥α,则存在直线l⊂α,使n∥l,由m⊥α,可得m⊥l,那么m⊥n,故正确;③如果α∥β,m⊂α,那么m与β无公共点,则m∥β,故正确;④如果m∥n,α∥β,那么m,n与α所成的角和m,n与β所成的角均相等,故正确.6.答案AB,BC,AC;AB解析∵PC⊥平面ABC,∴PC垂直于直线AB,BC,AC.∵AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,∴AB⊥平面PAC,∴AB⊥AP,故与AP垂直的直线是AB.7.答案②④解析对于①,当两个平面互相垂直时,分别位于这两个平面内的两条直线未必垂直,因此①不正确.对于②,依据结论“由空间一点向一个二面角的两个半平面(或半平面所在平面)引垂线,这两条垂线的夹角与这个二面角的平面角相等或互补”可知②正确.对于③,分别与两条平行直线平行的两个平面未必平行,因此③不正确.对于④,由n∥β得在平面β内必存在直线n1平行于直线n,由m⊥α,α∥β得m⊥β,所以m⊥n1,又n1∥n,因此有m⊥n,④正确.综上所述,所有正确命题的序号是②④.8.答案①③解析由题意得,AB∥CD,所以A,B,C,D四点共面,对于①,因为AC⊥β,EF⊂β,所以AC⊥EF,又因为AB⊥α,EF⊂α,所以AB⊥EF,因为AB∩AC=A,所以EF⊥平面ABDC,又因为BD⊂平面ABDC,所以BD⊥EF,故①正确.对于②,由①可知,若BD⊥EF成立,则有EF⊥平面ABDC,则有EF⊥AC成立,而AC与α,β所成角相等是无法得到EF⊥AC的,故②错误.对于③,由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知EF⊥AC,由①可知③正确.对于④,参照②的分析过程可知④错误.9.解析(1)证明:因为PA⊥AB,PA⊥BC,所以PA⊥平面ABC.又因为BD⊂平面ABC,所以PA⊥BD.(2)证明:因为AB=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC.由(1)知,PA⊥BD,所以BD⊥平面PAC.所以平面BDE⊥平面PAC.(3)因为PA∥平面BDE,平面PAC∩平面BDE=DE,所以PA∥DE.因为D为AC的中点,。
高考真题与模拟训练 专题15 点、直线、平面之间的位置关系(解析版)
专题15 点、直线、平面之间的位置关系第一部分真题分类1．（2021·P 为11B D 的中点，则直线与1AD 所成的角为（）A B3CD 【答案】D 【解析】PB ，因为所以1PBC ∠或其补角为直线1AD 所成的角，平面1111D C B A ，所以11BB PC ⊥，又，1111BB B D B ⋂=，1，所以，设正方体棱长为2，则111112BC PC D B ===，2，所以16PBC π∠=.故选：D 2．（2021·1，M ，N分别是1A D ，1DB 的中点，则（）A B 垂直，直线//MN 平面B ．直线1A D 与直线1D B平行，直线MN ⊥平面11BDD B C B 相交，直线平面ABCDD B 异面，直线平面11BDD B 【答案】A 【解析】1，在正方体M 是1A D 的中点，所以M 为1AD 中点，又N B 的中点，所以MN ⊄平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，//平面ABCD .因为AB 不垂直BD ，所以MN 不垂直BD 则MN 不垂直平面11BDD B ，所以选项B,D 不正确；1中，⊥平面，所以1AB A D ⊥，A ，所以1A D ⊥⊂平面是异面直线，所以选项C 错误，选项A 正确.故选：A.3．（2019·为正方形ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则A EN ，且直线B ，且直线,BM EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线D ，且直线,BM EN 是异面直线【答案】B 【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ．， 平面平面ABCD ．，EO ∴⊥平面ABCDMFB 与2，易知12EO ON EN ===，5,2MF BF BM ==∴=．BM EN ∴≠，故选B ．4．（2019·AC 所成角为所成角为β角为γ，则A B C ．,βαγα<<D ．,αβγβ<<【答案】B【解析】方法1AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE VG ，过作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则B.方法2C 的平面角为γ'（显然γ'=γ）B.方法3ABC 为正四面体，B.5．（2021·全国高考真题）如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】BC ，对于A ，如图（1AC ，则//MN AC ，POC （或其补角）为异面直线在直角三角形OPC ，2OC =，1CP =，故tan 2POC ∠==，A 错误.对于B ，如图（2）所示，取NT PQ ，OQ PQ MN ⊥，由正方体SBCM NADT -可得SN ⊥平面ANDT ANDT ，N ，故平面SNTM ，又MN ⊂平面SNTM ，OQ MN ⊥，而OQ PQ Q = ，所以MN ⊥OPQ ，而PO ⊂，故MN OP ⊥，故B 正确.对于C ，如图（3），连接BD ，则//BD MN ，由B 故OP MN ⊥，故C 正确.对于D ，如图（4），取AD 的中点Q ，AB 的中点K ，PC ，故//PQ AC ，故QPO 或其补角为异面直线,PO MN 所成的角，因为正方体的棱长为25PO ==，D 错误.故选：BC.6．（2020·全国高考真题（理））设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.②12p p ∧③④34p p ⌝∨⌝【答案】①③④，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为若3l 与1l 相交，则交点与2l 的交点，即3l α⊂，命题1p 为真命题；，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，，空间中两条直线相交、平行或异面，4，若直线m ⊥m 垂直于平面 直线l ⊂平面，m ⊥直线l ，.综上可知，，为真命题，，为假命题，4为真命题，3为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④.7．（2019·北京高考真题（理））已知l ，m 外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m；②m ；③l 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m 或如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.正确；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.8．（2021·BCD ，中点.（1；（21在棱AD 上，2DE EA =，且二面角.【答案】(1)详见解析(2) 6【解析】（1）因为AB=AD,O 为BD 中点，所以AO⊥BD因为平面 平面平面ABD⊥平面BCD ，AO ⊂平面ABD ，因此AO⊥平面BCD ，BCD ，所以AO⊥CD(2)作EF⊥BD 于F, 作FM⊥BC 于M,连FM 因为AO⊥平面BCD ，所以AO⊥BD, AO⊥CD所以因此EF⊥平面BCD ，即EF⊥BC因为FM⊥BC ，FM EF F =I ,所以BC⊥平面EFM ，即BC⊥MEEMF E-BC-D 的平面角OD ,OCD 为正三角形,所以BCD 为直角三角形因为2DE EA =,111(1223FM BF ∴==+=从而AO ⊥Q 平面BCD,9．（2020·海南高考真题）如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，QB PB 与平面QCD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）证明：在正方形ABCD 中，//AD BC ，平面PBC ，平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，平面PAD ，平面PAD 所以//AD l ，因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，所以⊥平面ABCD ，所以因为CD PD D= ⊥平面（2，因为1PD AD ==，则有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)D C A P B ，,0,1)，则有(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DC DQ m PB ===- ，因为QB 2，所以有QCD 的法向量为(,,)n x y z = ，，则1z =-，所以平面根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与PB 310．（2020·全国高考真题（理））如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1） N 分别为111AA为中点，则BC AM ⊥ 侧面1BC BB ∴⊥1MN BC⊥M ，,MN AM ⊂∴BC ⊥又 11B C ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，//平面ABC又 11B C ⊂平面11EB C F ⋂EF BC⊥平面1A AMN∴EF ⊂平面⊥平面1A AMN（2NP//平面，平面AONP ⋂平面∴根据三棱柱上下底面平行，平面ABC AM =，面平面1111A B C A N=∴ON 是平行四边形设ABC 边长是6m (0m >)AP ，O 为的中心，且111A B C △边长为∴16sin 603=⨯⨯︒=mEF∴=∴3m1截取1B Q EP m ==，故2QN m=B ∴四边形∴1//B E PQ由（1⊥平面1A AMNQPN 为1B E QPN ，根据勾股定理可得：1B E 与平面1A AMN 第二部分模拟训练一、单选题1l ，m ，给出下列命题：①若//αβ，则m ；②若//l m ，则//l m ；④若l m ⊥，则//αβ.其中正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B，所以l m ⊥，故正确；对于②：因为//l m α，所以m β⊂，所以l 与m 可能平行或异面，故错误；对于④：因为l m ⊥，α，所以//αβ不一定成立，故错误；故选：B.2n 为两条直线，A α，B α，C //m α，//αβD α，【答案】C【解析】A n ，A 正确；B ，则n α⊥，又，则平面内存在直线//c n ，所以c α⊥B 正确；C //m α，,αβ可能相交，可能平行，C 错；D α，，则,αβ的法向量平行，所以D 正确．故选：C ．3l 上两个不重合的点A ､B l 做平面A ､B 到平面α的距A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】C【解析】（1AB 与l异面时，则只有一种情况；（2）当直线与l 平行时，则有无数种情况，平面可以绕着l转动；（3过线段.故选：C.4，，n γβ= ，则A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】如图所示，设平面11ABB A 为α，平面11BCC B 为11ACC A ，直线l 为m ，n .平面l γ⊄，，又l β⊂，n βγ= ，所以//l n ，所以，m ⊂平面α，n α⊄，，又n β⊂.故//l m是//n m 的充要条件.故选：C.5．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方，得两堑堵．邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的直观图，侧棱PA ⊥ABCD ，且2PA =，AB AD =，则堑堵的体积为（）A ．8B ．12C ．16D ．18【答案】A，且2PA =，连接AC ，又AB AD =，故底面的正方形，所以阳马的体积为(20116233V =⨯⨯=依故选：A ．6．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，E ，F ，G 分别为AD上的点，AE ED=11(4)D G GCλλ=≥G EF C--，ABCD．与λ有关【答案】B于M点，过MN点，可知MN CE BC<<CD,MN EF⊥，EF GN∴⊥，面ABCD作于点，GPM，，则又β45>，故选：B二、填空题7．在空间中，过A 点作平面B ，记作：下四个命题：①，则存在点②，则存在点()()αβf P f P =.③，则不存在点其中所有真命题的序号是______.【答案】②③ ④，所以误；②，当点P l αβ∈=⋂③，. 因为//αβ，所以④恒，则Q ，则12PPP Q 故答案为：②③ ④841的点在侧面11AA B B 则BCM 面的最小值为______．1D Q QN ，1B N 质可得Q ，N ，1B ，1D 四点共面．ABCD 内的射影为AC ，在平面11ADD A 内的射DP ，由要使1⊥CP D M ，则点M 必须在平面11D QNB 内．又点M 在平面11AA B B 内，所以点M 在两个平面的交线上，即1∈M B N ．时，BM9中，PA ⊥2AP =，点M 是矩形ABCD 内（含边界）的动点，1PM 4π.记点M 的轨迹长度，则tan α=______.3【解析】如图1ABCD ，所以即为直线PM，2所以如图2,点M位于矩形ABCD内的以点A为圆心，2为半径的圆上，的轨迹为2.因为1AB=，则EF.。
15-空间点、直线、平面之间的位置关系-五年(2018-2022)高考数学真题按知识点分类汇编
五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编15-空间点、直线、平面之间的位置关系（含解析）一、单选题1．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知正三棱柱1111,ABC A B C AC AA -=，E ，F 分别是棱11,BC A C 上的点．记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，二面角F BC A --的平面角为γ，则（ ）A ．αβγ≤≤B ．βαγ≤≤C ．βγα≤≤D ．αγβ≤≤2．（2021·全国·统考高考真题）在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π63．（2020·山东·统考高考真题）已知正方体1111ABCD A B C D -（如图所示），则下列结论正确的是（ ）A ．11//BD A AB ．11//BD A DC ．11BD A C ⊥D ．111BD AC ⊥4．（2019·全国·高考真题）设α，β为两个平面，则//αβ的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面5．（2018·全国·高考真题）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A ．22B ．32C ．52D ．72二、多选题6．（2022·全国·统考高考真题）已知正方体1111ABCD A B C D -，则（ ） A ．直线1BC 与1DA 所成的角为90︒ B ．直线1BC 与1CA 所成的角为90︒ C ．直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45︒D ．直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒7．（2021·全国·统考高考真题）如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题8．（2020·全国·统考高考真题）设有下列四个命题： p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________. ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝9．（2019·北京·高考真题）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．四、解答题10．（2021·浙江·统考高考真题）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120,1,4,15ABC AB BC PA ∠=︒===，M ，N 分别为,BC PC 的中点，,PD DC PM MD ⊥⊥.（1）证明：AB PM ⊥；（2）求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值.11．（2021·北京·统考高考真题）如图：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 中点，11B C 与平面CDE 交于点F ．（1）求证：F 为11B C 的中点；（2）点M 是棱11A B 上一点，且二面角M FC E --5111A M A B 的值．12．（2020·全国·统考高考真题）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．13．（2020·北京·统考高考真题）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．14．（2020·全国·统考高考真题）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥； （2）点1C 在平面AEF 内．15．（2019·全国·高考真题）图1是由矩形,ADEB Rt ABC ∆和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1,2AB BE BF ===， 60FBC ∠=，将其沿,AB BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明图2中的,,,A C G D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积.参考答案：1．A【分析】先用几何法表示出αβγ，，，再根据边长关系即可比较大小．【详解】如图所示，过点F 作FP AC ⊥于P ，过P 作PM BC ⊥于M ，连接PE ，则EFP α=∠，FEP β=∠，FMP γ=∠， tan 1PE PE FP AB α==≤，tan 1FP ABPE PEβ==≥，tan tan FP FP PM PE γβ=≥=， 所以αβγ≤≤， 故选：A ． 2．D【分析】平移直线1AD 至1BC ，将直线PB 与1AD 所成的角转化为PB 与1BC 所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接11,,BC PC PB ，因为1AD ∥1BC ， 所以1PBC ∠或其补角为直线PB 与1AD 所成的角，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB PC ⊥，又111PC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=， 所以1PC ⊥平面1PBB ，所以1PC PB ⊥， 设正方体棱长为2，则1111122,22BC PC D B ===1111sin 2PC PBC BC ∠==，所以16PBC π∠=. 故选：D 3．D【分析】根据异面直线的定义，垂直关系的转化，判断选项.【详解】A.11//AA BB ，1BB 与1BD 相交，所以1BD 与1AA 异面，故A 错误； B.1BD 与平面11ADD A 相交，且11D A D ∉，所以1BD 与1A D 异面，故B 错误； C.四边形11A BCD 是矩形，不是菱形，所以对角线1BD 与1A C 不垂直，故C 错误； D.连结11B D ，1111B D A C ⊥，111BB AC ⊥，1111B D BB B ⋂=，所以11A C ⊥平面11BB D ，所以111AC BD ⊥，故D 正确.故选：D 4．B【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误． 5．C【分析】利用正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，将问题转化为求共面直线AB 与AE 所成角的正切值，在ABE ∆中进行计算即可.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠， 设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以5BE a =， 则55tan BE a EAB AB ∠===.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值. 6．ABD【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接1B C 、1BC ，因为11//DA B C ，所以直线1BC 与1B C 所成的角即为直线1BC 与1DA 所成的角，因为四边形11BB C C 为正方形，则1B C ⊥1BC ，故直线1BC 与1DA 所成的角为90︒，A 正确；连接1A C ，因为11A B ⊥平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，则111A B BC ⊥， 因为1B C ⊥1BC ，1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，又1AC ⊂平面11A B C ，所以11BC CA ⊥，故B 正确； 连接11A C ，设1111AC B D O =，连接BO ，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，1C O ⊂平面1111D C B A ，则11C O B B ⊥， 因为111C O B D ⊥，1111B D B B B ⋂=，所以1C O ⊥平面11BB D D ， 所以1C BO ∠为直线1BC 与平面11BB D D 所成的角，设正方体棱长为1，则12C O =12BC =1111sin 2C O C BO BC ∠==，所以，直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为30，故C 错误；因为1C C ⊥平面ABCD ，所以1C BC ∠为直线1BC 与平面ABCD 所成的角，易得145C BC ∠=，故D 正确. 故选：ABD 7．BC【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC 的正误，平移直线MN 构造所考虑的线线角后可判断AD 的正误.【详解】设正方体的棱长为2，对于A ，如图（1）所示，连接AC ，则//MN AC ， 故POC ∠（或其补角）为异面直线,OP MN 所成的角， 在直角三角形OPC ，2OC =，1CP =，故12tan 22POC ∠==， 故MN OP ⊥不成立，故A 错误.对于B ，如图（2）所示，取NT 的中点为Q ，连接PQ ，OQ ，则OQ NT ⊥，PQ MN ⊥， 由正方体SBCM NADT -可得SN ⊥平面ANDT ，而OQ ⊂平面ANDT ， 故SN OQ ⊥，而SNMN N =，故OQ ⊥平面SNTM ，又MN ⊂平面SNTM ，OQ MN ⊥，而OQPQ Q =，所以MN ⊥平面OPQ ，而PO ⊂平面OPQ ，故MN OP ⊥，故B 正确.对于C ，如图（3），连接BD ，则//BD MN ，由B 的判断可得OP BD ⊥， 故OP MN ⊥，故C 正确.对于D ，如图（4），取AD 的中点Q ，AB 的中点K ，连接,,,,AC PQ OQ PK OK ， 则//AC MN ，因为DP PC =，故//PQ AC ，故//PQ MN ，所以QPO ∠或其补角为异面直线,PO MN 所成的角，因为正方体的棱长为2，故122PQ AC ==22123OQ AO AQ ++=22415PO PK OK ++222QO PQ OP <+，故QPO ∠不是直角，故,PO MN 不垂直，故D 错误. 故选：BC. 8．①③④【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α； 若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内， 同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个， 命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面， 命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α， 则m 垂直于平面α内所有直线， 直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ， 命题4p 为真命题. 综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题， 23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.9．如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m 或如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α. 【分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确； （2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.正确；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力. 10．（1）证明见解析；（2）156． 【分析】（1）要证AB PM ⊥，可证DC PM ⊥，由题意可得，PD DC ⊥，易证DM DC ⊥，从而DC ⊥平面PDM ，即有DC PM ⊥，从而得证；（2）取AD 中点E ，根据题意可知，,,ME DM PM 两两垂直，所以以点M 为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量AN 和平面PDM 的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．【详解】（1）在DCM △中，1DC =，2CM =，60DCM ∠=，由余弦定理可得3DM =， 所以222DM DC CM +=，∴DM DC ⊥．由题意DC PD ⊥且PD DM D ⋂=，DC ∴⊥平面PDM ，而PM ⊂平面PDM ，所以DC PM ⊥，又//AB DC ，所以AB PM ⊥．（2）由PM MD ⊥，AB PM ⊥，而AB 与DM 相交，所以PM ⊥平面ABCD ，因为7AM =，所以22PM =，取AD 中点E ，连接ME ，则,,ME DM PM 两两垂直，以点M 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,则(3,2,0),(0,0,22),(3,0,0)A P D -,(0,0,0),(3,1,0)M C - 又N 为PC 中点，所以31335,,2,,,22222N AN ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由（1）得CD ⊥平面PDM ，所以平面PDM 的一个法向量(0,1,0)n =从而直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值为5||152sin 6||2725244AN n AN n θ⋅===++‖．【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明AB PM ⊥，可以考虑DC PM ⊥， 题中与DC 有垂直关系的直线较多，易证DC ⊥平面PDM ，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出．11．（1）证明见解析；（2）11112A M A B =．【分析】(1)首先将平面CDE 进行扩展，然后结合所得的平面与直线11B C 的交点即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数λ的值.【详解】(1)如图所示，取11B C 的中点F'，连结,','DE EF F C ， 由于1111ABCD A B C D -为正方体，,'E F 为中点，故'EF CD ， 从而,',,E F C D 四点共面，即平面CDE 即平面'CDEF ， 据此可得：直线11B C 交平面CDE 于点F'，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F 与点F'重合， 即点F 为11B C 中点.(2)以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD 方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，不妨设正方体的棱长为2，设()11101A MA B λλ=≤≤， 则：()()()()2,2,2,0,2,0,1,2,2,1,0,2M C F E λ，从而：()()()2,22,2,1,0,2,0,2,0MC CF FE λ=---==-， 设平面MCF 的法向量为：()111,,m x y z =，则： ()111112222020m MC x y z m CF x z λ⎧⋅=-+--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令11z =-可得：12,,11m λ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭， 设平面CFE 的法向量为：()222,,n x y z =，则： 2222020n FE y n CF x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令11z =-可得：()2,0,1n =-，从而：215,5,51m n m n λ⎛⎫⋅==+= ⎪-⎝，则：,5cos m n m n m n⋅+===⨯，整理可得：()2114λ-=，故12λ=（32λ=舍去）.【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.12．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）方法一:连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）方法一：以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值.【详解】（1）［方法一］【最优解】：利用平面基本事实的推论在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，如图1所示.在长方体1111ABCD A B C D -中，//,BF CG BF CG =，所以四边形BCGF 为平行四边形，则//,BC FG BC FG =，而,//BC AD BC AD =，所以//,AD FG AD FG =，所以四边形DAFG 为平行四边形，即有//AF DG ，同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG ∴，1//C E AF ∴，因此点1C 在平面AEF 内. ［方法二］：空间向量共线定理以11111,,C D C B C C 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图2所示． 设11111,,3C D a C B b C C c ===，则1(0,0,0),(,0,2),(0,,),(,,3)C E a c F b c A a b c ．所以1(,0,2),(,0,2)C E a c FA a c ==．故1C E FA =．所以1AF C E ∥，点1C 在平面AEF 内． ［方法三］：平面向量基本定理同方法二建系，并得1(0,0,0),(,0,2),(0,,),(,,3)C E a c F b c A a b c ， 所以111(,0,2),(0,,),(,,3)C E a c C F b c C A a b c ===．故111C A C E C F =+．所以点1C 在平面AEF 内． ［方法四］：根据题意，如图3，设11111,2,3A D a A B b A A c ===．在平面11A B BA 内，因为12BF FB =，所以1111133B F B B A A ==．延长AF 交11A B 于G ，AF ⊂平面AEF ，11A B ⊂平面1111D C B A ．11,G AF G A B ∈∈，所以∈G 平面,AEF G ∈平面1111D C B A ①．延长AE 交11A D 于H ，同理H ∈平面,AEF H ∈平面1111D C B A ②． 由①②得，平面AEF ⋂平面1111A B C D GH =．连接11,,GH GC HC ，根据相似三角形知识可得11,2GB b D H a ==． 在11Rt C B G 中，221C G a b =+ 同理，在11Rt C D H 中，2212C H a b =+如图4，在1Rt A GH 中，223GH a b =+． 所以11GH C G C H =+，即G ，1C ，H 三点共线． 因为GH平面AEF ，所以1C ⊂平面AEF ，得证．［方法五］：如图5，连接11,,DF EB DB ，则四边形1DEB F 为平行四边形，设1DB 与EF 相交于点O ，则O 为1,EF DB 的中点．联结1AC ，由长方体知识知，体对角线交于一点，且为它们的中点，即11AC B D O =，则1AC 经过点O ，故点1C 在平面AEF 内．（2）［方法一］【最优解】：坐标法以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，如图2.则()2,1,3A 、()12,1,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F ，()0,1,1AE =--，()2,0,2AF =--，()10,1,2A E =-，()12,0,1A F =-， 设平面AEF 的一个法向量为()111,,m x y z =，由00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()1,1,1m =-，设平面1A EF 的一个法向量为()222,,n x y z =，由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()1,4,2n =，37cos ,7321m n m n m n⋅<>===⨯⋅， 设二面角1A EF A --的平面角为θ，则7cos 7θ=，242sin 1cos 7θθ∴=-=. 因此，二面角1A EF A --的正弦值为427. ［方法二］：定义法在AEF △中，2,22,516AE AF EF ===+即222AE EF AF +=，所以AE EF ⊥．在1A EF 中，115A E A F ==6，设,EF AF 的中点分别为M ，N ，连接11,,A M MN A N ，则1,A M EF MN EF ⊥⊥，所以1A MN ∠为二面角1A EF A --的平面角． 在1A MN 中，221112145MN A M A F MF A N ==-==所以1175722cos 7214222A MN +-∠==-⨯⨯，则1142sin 177A MN ∠=-=．［方法三］：向量法由题意得112,8,5,6AE AF AF AE EF === 由于222AE EF AF +=，所以AE EF ⊥．如图7，在平面1A EF 内作1A G EF ⊥，垂足为G ， 则EA 与1GA 的夹角即为二面角1A EF A --的大小．由11AA AE EG GA =++，得22221111222AA AE EG GA AE EG EG GA AE GA =++++⋅⋅+⋅． 其中，1614EG AG ==11AE GA ⋅=，1cos ,7AE GA 〉〈=． 所以二面角1A EF A --42． ［方法四］：三面角公式由题易得，112,22,6,5,5EA FA FE EA FA ===所以2222221111(2)(5)310cos 2225EA EA AA AEA EA EA +-+--∠==⋅⋅．222222(2)(6)(22)cos 0,sin 12226EA EF AF AEF AEF EA EF +-+-∠===∠=⋅⋅．22222211111(5)(6)(5)3070cos 2256EA EF A F A EF A EF EA EF +-+-∠===∠=⋅⋅设θ为二面角1A EF A --的平面角，由二面角的三个面角公式，得111cos cos cos 107cos sin sin 770AEA AEF A EF AEF A EF θ∠-∠⋅∠--===∠⋅∠，所以42sin 7θ=．【整体点评】（1）方法一：通过证明直线1//C E AF ，根据平面的基本事实二的推论即可证出，思路直接，简单明了，是通性通法，也是最优解；方法二：利用空间向量基本定理证明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事实三通过证明三点共线说明点在平面内；方法五：利用平面的基本事实以及平行四边形的对角线和长方体的体对角线互相平分即可证出．（2）方法一：利用建立空间直角坐标系，由两个平面的法向量的夹角和二面角的关系求出；方法二：利用二面角的定义结合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的两个向量夹角和二面角的关系即可求出，为最优解；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出． 13．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）23.【分析】（Ⅰ）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；（Ⅱ）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解 . 【详解】（Ⅰ）[方法一]：几何法 如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =， 11//AB C D ∴且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ， 1BC ⊄平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；[方法二]:空间向量坐标法以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D 、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE =，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，由100n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-.又∵向量()12,0,2BC =,()1·2201220BC n =⨯+⨯+⨯-=, 又1BC ⊄平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ； （Ⅱ）[方法一]：几何法延长1CC 到F ，使得1C F BE =，连接EF ，交11B C 于G ， 又∵1//C F BE ，∴四边形1BEFC 为平行四边形，∴1//BC EF ， 又∵11//BC AD ,∴1//AD EF ,所以平面1AD E 即平面1AD FE , 连接1D G ，作11C H D G ⊥,垂足为H ,连接FH ,∵1FC ⊥平面1111D C B A ,1D G ⊂平面1111D C B A ,∴11FC D G ⊥， 又∵111FC C H C ⋂=,∴直线1D G ⊥平面1C FH , 又∵直线1D G ⊂平面1D GF ,∴平面1D GF ⊥平面1C FH ,∴1C 在平面1D GF 中的射影在直线FH 上,∴直线FH 为直线1FC 在平面1D GF 中的射影，∠1C FH 为直线1FC 与平面1D GF 所成的角，根据直线1//FC 直线1AA ，可知∠1C FH 为直线1AA 与平面1AD G 所成的角.设正方体的棱长为2，则111C G C F ==,15DG ∴155C H ==,∴223155FH ⎛⎫=+=⎪⎝⎭, ∴112sin 3C H C FH FH ∠==, 即直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23.[方法二]：向量法接续（I)的向量方法，求得平面平面1AD E 的法向量()2,1,2n =-， 又∵()10,0,2AA =,∴11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅， ∴直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23. [方法三]：几何法+体积法如图，设11B C 的中点为F ，延长111,,A B AE D F ，易证三线交于一点P ． 因为111,BB AA EF AD ∥∥，所以直线1AA 与平面1AD E 所成的角，即直线1B E 与平面PEF 所成的角． 设正方体的棱长为2，在PEF 中，易得5,2PE PF EF === 可得32PEFS=． 由11B PEF P B EF V V --=三棱锥三棱锥，得113111123232B H ⨯⋅=⨯⨯⨯⨯，整理得123B H =．所以1112sin 3B H B EH B E ∠==． 所以直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23．[方法四]：纯体积法设正方体的棱长为2，点1A 到平面1AED 的距离为h ， 在1AED △中，115,22,3AE AD D E ===，22211115cos 2235D E AE AD AED D E AE +-∠===⋅⨯⨯，所以125sin AED ∠=，易得13AED S =．由1111E AA D A AED V V --=，得111111133AD A AED SA B S h ⋅=⋅，解得43h =， 设直线1AA 与平面1AED 所成的角为θ，所以12sin 3h AA θ==． 【整体点评】（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明；（II ）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论证，不失为一种优美的方法.14．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据正方形性质得AC BD ⊥，根据长方体性质得1AC BB ⊥,进而可证AC ⊥平面11BB D D ,即得结果；（2）只需证明1//EC AF 即可，在1CC 上取点M 使得12CM MC =,再通过平行四边形性质进行证明即可.【详解】（1）因为长方体1111ABCD A B C D -,所以1BB ⊥平面ABCD ∴1AC BB ⊥, 因为长方体1111,ABCD A B C D AB BC -=,所以四边形ABCD 为正方形AC BD ∴⊥ 因为11,BB BD B BB BD =⊂、平面11BB D D ,因此AC ⊥平面11BB D D ,因为EF ⊂平面11BB D D ,所以AC EF ⊥；（2）在1CC 上取点M 使得12CM MC =,连,DM MF ,因为111112,//,=D E ED DD CC DD CC =,所以11,//,ED MC ED MC = 所以四边形1DMC E 为平行四边形，1//DM EC ∴因为//,=,MF DA MF DA 所以M F A D 、、、四点共面，所以四边形MFAD 为平行四边形， 1//,//DM AF EC AF ∴∴，所以1E C A F 、、、四点共面，因此1C 在平面AEF 内【点睛】本题考查线面垂直判定定理、线线平行判定，考查基本分析论证能力，属中档题. 15．(1)见详解；(2)4.【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED ，Rt ABC 和菱形BFGC 内部的夹角，所以//AD BE ，//BF CG 依然成立，又因E 和F 粘在一起，所以得证.因为AB 是平面BCGE 垂线，所以易证.(2) 欲求四边形ACGD 的面积，需求出CG 所对应的高，然后乘以CG 即可． 【详解】(1)证：//AD BE ，//BF CG ，又因为E 和F 粘在一起.∴//AD CG ，A ，C ，G ，D 四点共面.又,AB BE AB BC ⊥⊥.AB ∴⊥平面BCGE ，AB ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCGE ，得证.(2)取CG 的中点M ，连结,EM DM .因为//AB DE ，AB ⊥平面BCGE ，所以DE ⊥平面BCGE ，故DE CG ⊥，由已知，四边形BCGE 是菱形，且60EBC ∠=得EM CG ⊥，故CG ⊥平面DEM ． 因此DM CG ⊥．在Rt DEM △中，DE=1，3EM =2DM =．所以四边形ACGD的面积为4.【点睛】很新颖的立体几何考题．首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的．再者粘合后的多面体不是直棱柱，最后将求四边形ACGD的面积考查考生的空间想象能力.。
十年高考理科数学真题 专题八 立体几何 二十三 空间中点、直线、平面之间的位置关系及答案-优质
专题八 立体几何第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系2019年1.（2019全国Ⅲ理8）如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线2.（2019全国Ⅱ理7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面3.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．4.（2019北京理12）已知l ，m 是平面a 外的两条不同直线.给出下列三个论断:①l m ⊥； ②m a P ； ③l a ⊥以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题: ______.2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A B C D2．(2018全国卷Ⅱ)在长方体1111-ABCD A B C D 中，1==AB BC ，1=AA 线1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B ．6C ．5D ．23．(2018浙江)已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m ∥n ”是“m ∥α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2018浙江)已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则A ．123θθθ≤≤B ．321θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．231θθθ≤≤ 5．(2017新课标Ⅱ)已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=o ，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．2B ．5C ．5D ．36．（2017浙江）如图，已知正四面体D ABC -（所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CR QC RA==，分别记二面角D PR Q --，D PQ R --，D QR P --的平面角为α，β，γ，则RQ PAB CDA．γ<α<βB．α<γ<βC．α<β<γD．β<γ<α7．（2016年全国I）平面α过正方体1111ABCD A B C D-的顶点A，α∥平面11CB D，αI平面ABCD=m，αI平面11ABB A=n，则m，n所成角的正弦值为A．32B．22C．33D．138．（2015福建）若,l m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l m⊥”是“l∥α”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（2015浙江）如图，已知ABC∆，D是AB的中点，沿直线CD将ACD∆翻折成A CD'∆，所成二面角A CD B'--的平面角为α，则10．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l，满足122334,,l l l l l l⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A．14l l⊥B．14//l l C．14,l l既不垂直也不平行D．14,l l的位置关系不确定11．（2014浙江）设,m n是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥B ．若//m β，βα⊥则m α⊥C ．若,,m n n ββα⊥⊥⊥则m α⊥D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥12．（2014辽宁）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥13．（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角）．若15AB m =，25AC m =，30BCM ∠=︒则tan θ的最大值ABCD 14．（2014四川）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A1A． B．C ．D ． 15．（2013新课标Ⅱ）已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足,l m l n ⊥⊥，,l l αβ⊄⊄，则A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l16．（2013广东）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面,下列命题中正确的是A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥17．（2012浙江）设l 是直线，,αβ是两个不同的平面A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β, l ∥α，则l ⊥β18．（2012浙江）已知矩形ABCD ，1AB =，BC =将ABD ∆沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直19．（2011浙江）下列命题中错误．．的是A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβI ，那么l γ⊥平面D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 20．（2010山东）在空间，下列命题正确的是A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行二、填空题21．(2018全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为_____．22．（2016年全国II ）α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题：①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥．②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥．③如果a β∥，m α⊂，那么m β∥．④如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．其中正确的命题有 ．(填写所有正确命题的编号）23．（2015浙江）如图，三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是 ．24．（2015四川）如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，,E F 分别为,AB BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则θcos 的最大值为_________．25．（2017新课标Ⅲ）a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最小值为60°；其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)三、解答题26．（2018江苏）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111AB B C ⊥．D 11B 1A 1DC B A求证：(1)AB ∥平面11A B C ； (2)平面11ABB A ⊥平面1A BC ．27．（2018浙江）如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=o ，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．C 1B 1A 1C BA(1)证明：1AB ⊥平面111A B C ；(2)求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．28．（2017浙江）如图，已知四棱锥P ABCD -，PAD ∆是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：CE ∥平面PAB ；（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．ED C B AP29．（2017江苏）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）AD ⊥AC ．F AB C DE30．（2017山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是»DF的中点． （Ⅰ）设P 是»CE上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小； （Ⅱ）当3AB =，2AD =，求二面角E AG C --的大小．31．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．32．（2016全国I ）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，2AF FD =，90AFD ∠=o，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60o ．（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；（II ）求二面角E BC A --的余弦值．33．（2016全国II ）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将ΔDEF 沿EF 折到ΔD EF '的位置，10OD '=．（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ；（II ）求二面角B D A C '--的正弦值．34．（2016全国III ）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC P ，=3AB AD AC ==，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =， N 为PC 的中点．（Ⅰ）证明MN P 平面PAB ；（Ⅱ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．PABDCNM35．（2014山东）如图，四棱锥P ABCD-中，AP PCD⊥平面，AD BC∥，1,,2AB BC AD E F==分别为线段,AD PC的中点.（Ⅰ）求证：AP BEF∥平面；（Ⅱ）求证：BE PAC⊥平面.36．(2014江苏)如图，在三棱锥ABCP-中，D，E，F分别为棱ABACPC,,的中点．已知ACPA⊥，,6=PA.5,8==DFBCPAFDE求证：（Ⅰ）直线PA∥平面DEF；（Ⅱ）平面BDE⊥平面ABC．37．（2014新课标Ⅱ）如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D AE C--为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E ACD-的体积．38．（2014天津）如图四棱锥P ABCD-的底面ABCD是平行四边形，2BA BD==，2AD=,5PA PD==E,F分别是棱AD,PC的中点．（Ⅰ）证明: EF∥平面PAB；（Ⅱ）若二面角P AD B--为60°，（ⅰ）证明：平面PBC⊥平面ABCD（ⅱ）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．PCDBF39．（2013浙江）如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥面ABCD，2AB BC==，7AD CD==，3PA=120ABC∠=o，G为线段PC上的点．PDABG（Ⅰ）证明：BD⊥面APC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求PGGC的值．40．（2013辽宁）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．（Ⅰ）求证：BC PAC⊥平面；（Ⅱ）设Q为PA的中点，G为AOC∆的重心，求证：QG∥平面PBC．41．（2012江苏）如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，1111A B AC=，D E，分别是棱1BC CC，上的点（点D不同于点C），且AD DE F⊥，为11B C的中点．DF1BC1B1求证：（Ⅰ）平面ADE⊥平面11BCC B；（Ⅱ）直线1//A F平面ADE．42．(2012广东)如图所示，在四棱锥P ABCD-中，AB⊥平面PAD，//,AB CD PD AD=，E是PB中点，F是DC上的点，且12DF AB=，PH为PAD∆中AD边上的高．（Ⅰ）证明：PH ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）若1,1PH AD FC ===，求三棱锥E BCF -的体积；（Ⅲ）证明：EF ⊥平面PAB ．43．（2011江苏）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD =，BAD ∠=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点．C求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面PCD ； （Ⅱ）平面BEF ⊥平面PAD ．44．（2011广东）如图在椎体P ABCD -中，ABCD是边长为1的棱形，且DAB ∠=60︒，PA PD ==2PB =，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．（Ⅰ）证明：AD ⊥平面DEF ；（Ⅱ）求二面角P AD B --的余弦值．45．（2010天津）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是正方形，FA ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，CD =1，AD =，∠BAD ＝∠CDA ＝45°．FBCDEA（Ⅰ）求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值； （Ⅱ）证明CD ⊥平面ABF ； （Ⅲ）求二面角B EF A --的正切值．46．（2010浙江）如图，在平行四边形ABCD 中，AB =2BC ，∠ABC =120°．E 为线段AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A DE '，使平面A DE '⊥平面BCD ，F 为线段A C '的中点．MFD ABCA'E（Ⅰ）求证：BF ∥平面A DE '；（Ⅱ）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A DE '所成角的余弦值．专题八 立体几何第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系答案部分2019年1.解析 如图所示，联结BE ，BD .因为点N 为正方形ABCD 的中心，ECD △为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，所以BM ⊂平面BDE ，EN ⊂平面BDE ，因为BM 是BDE △中DE 边上的中线，EN 是BDE △中BD 边上的中线，直线BM ，EN 是相交直线，设DE a =，则2BD a =，2235244BE a a a =+=，所以6BM a=，223144EN a a a=+=，所以BM EN≠．故选B．2.解析：对于A，α内有无数条直线与β平行，则α与β相交或βα∥，排除；对于B，α内有两条相交直线与β平行，则βα∥；对于C，α，β平行于同一条直线，则α与β相交或βα∥，排除；对于D，α，β垂直于同一平面，则α与β相交或βα∥，排除．故选B．3.证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.4.解析：由l，m是平面α外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得： 若l l m α⊥⊥，，则m αP ． 由线面平行、垂直的性质定理得m αP ，l α⊥，则l m ⊥.2010-2018年1．A 【解析】记该正方体为''''-ABCD A B C D ，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱'A A ，''A B ，''A D 与平面α所成的角都相等，如图，连接'AB ，'AD ，''B D ，因为三棱锥'''-A AB D 是正三棱锥，所以'A A ，''A B ，''A D 与平面''AB D 所成的角都相等，分别取''C D ，''B C ，'BB ，AB ，AD ，'DD 的中点E ，F ，G ，H ，I ，J ，连接EF ，FG ．GH ，IH ，IJ ，IE ，易得E ，F ，G ，H ，I ，J 六点共面，平面EFGHIJ 与平面''AB D 平行，且截正方体所得截面的面积最大，又2======EF FG GH IH IJ JE，所以该正六边形的面积为26=α，故选A ． 2．C 【解析】解法一 如图，F 1E 1FD 1A 1B 1C 1E CD AB补上一相同的长方体1111-CDEF C D E F ，连接1DE ，11B E ． 易知11∥AD DE ，则11∠B DE 为异面直线1AD 与1DB 所成角． 因为在长方体1111-ABCD A B C D 中，1==AB BC，1=AA所以12===DE，1==DB11===B E ，在11∆B DE中，由余弦定理，得11cos ∠==B DE ， 即异面直线1AD 与1DB所成角的余弦值为5，故选C ． 解法二 以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知(0,0,0)D ，(1,0,0)A，1D，1(1B ，所以1(1=-u u u u r AD，1(1,1=u u u u rDB ，则由向量夹角公式，得111111cos,5||||⋅<>===u u u u r u u u u ru u u u r u u u u ru u u u u r u u u u rAD DBAD DBAD DB，即异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为5，故选C．3．A【解析】若mα⊄，nα⊂，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α．若m∥α，mα⊄，nα⊂，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A．4．D【解析】由题意知四棱锥S ABCD-为正四棱锥，如图，E MSODCBA连接BD，记AC BD O=I，连接SO，则SO⊥平面ABCD，取AB的中点M，连接SM，OM，OE，易得AB SM⊥，则2SEOθ=∠，3SMOθ=∠，易知32θθ≥．因为OM∥BC，BC AB⊥，SM AB⊥，所以3θ也为OM与平面SAB所成的角，即BC与平面SAB所成的角，再根据最小角定理知，31θθ≤，所以231θθθ≤≤，故选D．5．C【解析】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，异面直线1AB与1BC所成角为11B AD∠B1A1D1C1DCB A11B D===1AD =1AB ，∴22211111111cos 2AB AD B D B AD AB AD +-∠===⨯⨯．选C ． 6．B 【解析】设O 为三角形ABC 中心，底面如图2，过O 作OE RP ⊥，OF PQ ⊥，OG RQ ⊥，由题意可知tan DO OE α=，tan OD OF β=，tan ODOGγ=， GF EODC BAPQR图1 图2由图2所示，以P 为原点建立直角坐标系，不妨设2AB =，则(1,0)A -，(1,0)B，C，O ，∵AP PB =，2BQ CR QC RA==，∴1(,33Q，2(3R -，则直线RP的方程为y x =，直线PQ的方程为y =，直线RQ的方程为39y x =+，根据点到直线的距离公式，知21OE =39OF =，13OG =，∴OF OG OE <<，tan tan tan αγβ<<， 因为α，β，γ为锐角，所以αγβ<<．选B7．A 【解析】因为过点A 的平面α与平面11CB D 平行，平面ABCD ∥平面1111A B C D ，所以m ∥11B D ∥BD ，又1A B ∥平面11CB D ，所以n ∥1A B ，则BD 与1A B 所成的角为所求角，所以m ，nA ．8．B 【解析】由“m α⊥且l m ⊥”推出“l α⊂或l α∥”，但由“m α⊥且l α∥”可推出“l m ⊥”，所以“l m ⊥”是“l α∥”的必要而不充分条件，故选B ． 9．B 【解析】解法一 设ADC θ∠=，2AB =，则由题意知1AD BD A D '===．在空间图形中，连结A B '，设A B '=t ．在ΔA DB '中，2222222112cos 22112A D DB A B t t A DB A D DB ''+-+--'∠==='⨯⨯⨯．过A '作A N DC '⊥，过B 作BM DC ⊥，垂足分别为N M 、． 过N 作//NP MB ，使四边形BPNM 为平行四边形，则NP DC ⊥，连结,A P BP '，则A NP '∠就是二面角A CD B '--的平面角，所以A NP α'∠=． 在ΔRt A ND '中，cos cos DN A D A DC θ''=∠=，sin sin A N A D A DC θ'''=∠=． 同理，sin BM PN θ==，cos DM θ=，故2cos BP MN θ==． 显然BP ⊥平面A NP '，故BP A P '⊥．在ΔRt A BP '中，222222(2cos )4cos A P A B BP t t θθ''=-=-=-．在ΔA NP '中，222cos cos 2A N NP A P A NP A N NPα''+-'=∠='⨯22222sin sin (4cos )2sin t θθθθ+--==222222222cos 2cos 2sin 2sin sin t t θθθθθ+--=+ 2221cos cos sin sin A DB θθθ'=∠+， 所以2221cos cos cos cos cos sin sin A DB A DB A DB θαθθ'''-∠=∠+-∠ 2222221sin cos cos cos (1cos )0sin sin sin A DB A DB θθθθθθ-''=∠+=+∠≥，所以cos cos A DB α'∠≥（当2πθ=时取等号），因为α，[0,]A DB π'∠∈，而cos y x =在[0,]π上为递减函数， 所以A DB α'∠≤，故选B ．解法二 若CA CB ≠，则当απ=时，A CB π'∠<，排除D ； 当0α=时，0A CB '∠>，0A DB '∠>，排除A 、C ，故选B ．10．D 【解析】利用正方体模型可以看出，1l 与4l 的位置关系不确定．选D ．11．C 【解析】选项,,A B D 中m 均可能与平面α平行、垂直、斜交或在平面α内，故选C ． 12．B 【解析】对于选项A ，若//,//,m n αα，则m 与n 可能相交、平行或异面，A 错误；显然选项B 正确；对于选项C ，若m α⊥，m n ⊥，则n α⊂或//n α，C 错误；对于选项D ，若//m α，m n ⊥，则//n α或n α⊂或n 与α相交，D 错误．故选B ． 13．D 【解析】作PH BC ⊥，垂足为H ，设PH x =，则CH =，由余弦定理AH =1tan tan (0)PHPAH AHxθ=∠==>，故当1125x =时，tan θ取得最大值，最大值为9． 14．B 【解析】直线OP 与平面1A BD 所成的角为α的取值范围是1112AOA C OA π∠→→∠，由于1sin AOA ∠=11sin 2C OA ∠==>，sin 12π= 所以sin α的取值范围是． 15．D 【解析】作正方形模型，α为后平面，β为左侧面可知D 正确．16．D 【解析】A 中,m n 可能平行、垂直、也可能为异面；B 中,m n 还可能为异面；C 中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立，选D ．17．B 【解析】利用排除法可得选项B 是正确的，∵l ∥α，l ⊥β，则αβ．如选项A ：l ∥α，l ∥β时，α⊥β或α∥β；选项C ：若α⊥β，l ⊥α，l ∥β或l β⊂；选项D ：若α⊥β, l ⊥α，l ∥β或l ⊥β．18．B 【解析】过点A 作AE BD ⊥，若存在某个位置，使得AC BD ⊥，则BD ⊥面ACE ，从而有BD CE ⊥，计算可得BD 与CE 不垂直，则A 不正确；当翻折到AC CD ⊥时，因为BC CD ⊥，所以CD ⊥面ABC ，从而可得AB CD ⊥；若AD BC ⊥，因为BC CD ⊥，所以BC ⊥面ACD ，从而可得BC AC ⊥，而1AB BC =<=，所以这样的位置不存在，故C 不正确；同理，D 也不正确，故选B ．19．D 【解析】对于D ，若平面α⊥平面β，则平面α内的某些直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其余选项易知均是正确的． 20．D 【解析】D 两平行直线的平行投影不一定重合，故A 错；由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可知B 、C 均错误，故选D ． 21．【解析】如图所示，S'SAB设S 在底面的射影为S '，连接AS '，SS '．SAB ∆的面积为2211sin 22SA SB ASB SA SA ⋅⋅⋅∠=⋅==， ∴280SA =，SA =．∵SA 与底面所成的角为45o ，∴45SAS '∠=o，cos 452AS SA '=⋅==o∴底面周长2l AS π'=⋅=，∴圆锥的侧面积为12⨯=．22．②③④【解析】对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA'为直线m，CD为直线n,ABCD所在的平面为α．ABC D''所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但αβ⊥不成立．命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l n∥，由mα⊥，有m l⊥，从知m n⊥结论正确．由平面与平面平行的定义知命题③正确．由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确．23．78【解析】如图连接ND，取ND的中点E，连接,ME CE，则//ME AN．则异面直线AN，CM所成的角为EMC∠，由题意可知1CN=，22AN=，∴2ME=．又22CM=，22DN=，2NE=，∴3CE=，则2227cos282222CM EM CECMECM EM+-∠===⨯⨯⨯．24．25【解析】AB为x轴，AD为y轴，AQ为z轴建立坐标系，设正方形边长为2．2cos,55mθ=+令[]2()(0,2)525f m mm=∈+22(2)105252525()m mmmf m-⨯-+-+'=[]0,2,()0m f m'∈∴<Qmax2()(0)5f m f==，即max2cos5θ=．25．②③【解析】如图BDEF 为底面圆的内接正方形，设1AC BC ==，则AB AD AE AF FB FE ED BD ========即侧面均为等边三角形，∵AC ⊥底面BDEF ，FEDCBA假设a FB ∥，由题意b BD ∥，当直线AB 与a 成60°角时，由图可知AB 与b 成60°角，所以①错，②正确；假设a EB ∥，可知③正确，④错．所以正确为②③． 26．【证明】(1)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB ∥11A B ．因为AB ⊄平面11A B C ，11A B ⊂平面11A B C ， 所以AB ∥平面11A B C ．D 1C 1B 1A 1DCBA(2)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，四边形11ABB A 为平行四边形． 又因为1AA AB =，所以四边形11ABB A 为菱形， 因此1AB ⊥1A B ．又因为1AB ⊥11B C ，BC ∥11B C ， 所以1AB ⊥BC ．又因为1A B I BC =B ，1A B ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ， 所以1AB ⊥平面1A BC ．因为1AB ⊂平面11ABB A ， 所以平面11ABB A ⊥平面1A BC ．27．【解析】(1)由2AB =，14AA =，12BB =，1AA AB ⊥，1BB AB ⊥得111AB A B ==，所以2221111A B AB AA +=．故111AB A B ⊥．由2BC =，12BB =，11CC =，1BB BC ⊥，1CC BC ⊥得11B C =由2AB BC ==，120ABC ∠=o得AC =由1CC AC ⊥，得1AC =2221111AB B C AC +=，故111AB B C ⊥．因此1AB ⊥平面111A B C ．(2)如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连结AD ．DABCA 1B 1C 1由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB ， 由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB ， 所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角．由11B C =11A B =，11AC得111cos C A B ∠=，111sin C A B ∠=，所以1C D，故111sin 13C D C AD AC ∠==． 因此，直线1AC 与平面1ABB所成的角的正弦值是13． 方法二 (1)如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -．A由题意知各点坐标如下：(0,A ，(1,0,0)B，1(0,A ，1(1,0,2)B，1C ，因此1(1AB =u u u r，11(12)A B =-u u u u r，113)AC =-u u u u r ， 由1110AB A B ⋅=u u u r u u u u r得111AB A B ⊥． 由1110AB AC ⋅=u u u r u u u u r得111AB AC ⊥． 所以1AB ⊥平面111A B C ．(2)设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ．由(1)可知1AC =u u u u r，AB =u u u r ，1(0,0,2)BB =u u u r，设平面1ABB 的法向量=()x,y,z n ．由100AB BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n，即020x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可取(=n ．所以111||sin |cos ,|13||||AC AC AC θ⋅=<>==⋅u u u u ru u u u r u u u u r n n n ． 因此，直线1AC 与平面1ABB所成的角的正弦值是13． 28．【解析】（Ⅰ）如图，设P A 中点为F ，连结EF ，FB ．DA因为E ，F 分别为PD ，P A 中点，所以EF ∥AD 且12EF AD =， 又因为BC ∥AD ，12BC AD =，所以 EF ∥BC 且EF =BC ，即四边形BCEF 为平行四边形，所以CE ∥BF ， 因此CE ∥平面P AB ．（Ⅱ）分别取BC ，AD 的中点为M ，N ．连结PN 交EF 于点Q ，连结MQ ． 因为E ，F ，N 分别是PD ，P A ，AD 的中点，所以Q 为EF 中点， 在平行四边形BCEF 中，MQ ∥CE ． 由PAD ∆为等腰直角三角形得 PN ⊥AD ．由DC ⊥AD ，N 是AD 的中点得 BN ⊥AD ．所以AD ⊥平面PBN ，由BC ∥AD 得BC ⊥平面PBN ， 那么，平面PBC ⊥平面PBN ．过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，连结MH ．MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角． 设CD =1．在PCD ∆中，由PC =2，CD =1，PD CE在△PBN 中，由PN =BN =1，PB 得14QH =，在Rt MQH ∆中，14QH =，MQ ，所以sin QMH ∠=，所以，直线CE 与平面PBC 29．【解析】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB AD ⊥，EF AD ⊥，所以EF AB ∥．又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD I 平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD ．因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD ．又AB AD ⊥，BC AB B =I ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC ， 又因为AC ⊂平面ABC ， 所以AD AC ⊥．30．【解析】（Ⅰ）因为AP BE ⊥，AB BE ⊥，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB AP A =I ，所以BE ⊥平面ABP ， 又BP ⊂平面ABP ，所以BE BP ⊥，又120EBC ∠=︒， 因此30CBP ∠=︒ （Ⅱ）解法一：取»EC的中点H ，连接EH ，GH ，CH ． 因为120EBC ∠=︒， 所以四边形BEHC 为菱形，所以223213AE GE AC GC ====+=． 取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC ． 则EM AG ⊥，CM AG ⊥， 所以EMC ∠为所求二面角的平面角．又1AM =，所以13123EM CM ==-=． 在BEC ∆中，由于120EBC ∠=︒，由余弦定理得22222222cos12012EC =+-⨯⨯⨯︒=， 所以23EC =，因此EMC ∆为等边三角形， 故所求的角为60︒． 解法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得(0,0,3)A (2,0,0)E，G，(C -，故(2,0,3)AE =-u u u r，AG =u u u r ，(2,0,3)CG =u u u r，设111(,,)m x y z =是平面AEG 的一个法向量．由00m AE m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r可得1111230,0,x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取12z =，可得平面AEG的一个法向量(3,2)=m ． 设222(,,)n x y z =是平面ACG 的一个法向量．由00n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r可得22220,230,x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 取22z =-，可得平面ACG的一个法向量(3,2)n =-． 所以1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅．因此所求的角为60︒．31．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处．因为AC =40AM =．所以30MN ==，从而3sin 4MAC ∠=． 记AM 与水平的交点为1P ，过1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足， 则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =， 从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，1O 是正棱台的两底面中心． 由正棱台的定义，1OO ⊥平面 EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1OO ⊥EG ． 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，1OO ⊥11E G ． 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处．过G 作GK ⊥11E G ，K 为垂足， 则GK =1OO =32． 因为EG = 14，11E G = 62，所以1KG =6214242-=，从而222211 243240GG KG GK =+=+=． 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-．在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=． 于是sin sin()sin()sin cos cos sin NEG αβαβαβαβ=π--=+=+∠42473(35)525255=⨯+-⨯=． 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则 22P Q ⊥平面EFGH ，故22P Q =12，从而 2EP =2220sin P NEGQ =∠．答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)32．【解析】（Ⅰ）由已知可得AF DF ⊥，AF FE ⊥，所以AF ⊥平面EFDC ．又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC ．（Ⅱ）过D 作DG EF ⊥，垂足为G ，由（Ⅰ）知DG ⊥平面ABEF ．以G 为坐标原点，GF u u u r 的方向为x 轴正方向，||GF uuu r为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．由（Ⅰ）知DFE ∠为二面角D AF E --的平面角，故60DFE ∠=o，则2DF =，DG =，可得(1,4,0)A ，(3,4,0)B -，(3,0,0)E -，D ．由已知，AB EF ∥，所以AB ∥平面EFDC ．又平面ABCD I 平面EFDC DC =，故AB CD ∥，CD EF ∥．由BE AF ∥，可得BE ⊥平面EFDC ，所以CEF ∠为二面角C BE F --的平面角，60CEF ∠=o．从而可得(C -．所以EC =u u u r ，(0,4,0)EB =u u u r，(3,AC =--u u u r ，(4,0,0)AB =-u u u r．设(),,n x y z =r是平面BCE 的法向量，则C 00n n ⎧⋅E =⎪⎨⋅EB =⎪⎩u u u r r u u ur r，即040x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，所以可取(3,0,n =r．设m r 是平面CD AB 的法向量，则C 0m m ⎧⋅A =⎪⎨⋅AB =⎪⎩u u u r r u u u rr ，同理可取()4m =r．则cos ,19n m n m n m ⋅==-r r r rr r ．故二面角C E-B -A 的余弦值为21919-．33．【解析】（I ）证明：∵54AE CF ==， ∴AE CFAD CD=，∴EF AC ∥． ∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥，∴EF BD ⊥， ∴EF DH ⊥，∴EF D H '⊥． ∵6AC =，∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =， ∴1AEOH OD AO=⋅=，∴3DH D H '==， ∴222'OD OH D H '=+，∴'D H OH ⊥． 又∵OH EF H =I ，∴'D H ⊥面ABCD ．（Ⅱ）建立如图坐标系H xyz -．()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，， ()430AB =uu u r ，，，()'133AD =-uuur ，，，()060AC =uuu r，，， 设面'ABD 法向量()1n x y z =，，u r，由1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u u r得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴()1345n =-u r ，，． 同理可得面'AD C 的法向量()2301n =u u r，，， ∴12129575cos 5210n n n n θ⋅+===⋅u r u u ru r u u r ，∴295sin θ=． 34．【解析】（Ⅰ）由已知得232==AD AM ， 取BP 的中点T ，连接TN AT ,． 由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN ． 又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //．因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB ．（Ⅱ）取BC 的中点E ，连结AE ，由AC AB =得BC AE ⊥，从而AD AE ⊥， 且5)2(2222=-=-=BC AB BE AB AE ． 以A 为坐标原点，AE u u u r的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，由题意知，)4,0,0(P ，)0,2,0(M ，)0,2,5(C ，)2,1,25(N ， (0,2,4)PM =-u u u u r ，)2,1,25(-=，)2,1,25(=．设(,,)x y z =r n 为平面PMN 的法向量，则00PM PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u r r u u u rn n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0225042z y x z x ， 可取(0,2,1)n =r，于是||85|cos ,|||||n AN n AN n AN ⋅<>==r u u u rr u u u r r u u u r ．35．【解析】（Ⅰ）设AC BE O =I ，连结OF ，EC ，由于E 为AD 的中点，1,//2AB BC AD AD BC ==， 所以//,AE BC AE AB BC ==,因此四边形ABCE 为菱形，所以O 为AC 的中点，又F 为PC 的中点， 因此在PAC ∆中，可得//AP OF ．又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF ．（Ⅱ）由题意知，//,ED BC ED BC =，所以四边形BCDE 为平行四边形， 因此//BE CD ．又AP ⊥平面PCD ，所以AP CD ⊥，因此AP BE ⊥． 因为四边形ABCE 为菱形，所以BE AC ⊥．又AP AC A =I ，AP ，AC ⊂平面P AC ，所以BE ⊥平面PAC ． 36．【解析】（Ⅰ）∵D E ，为PC AC ，中点，∴DE ∥P A ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，∴P A ∥平面DEF （Ⅱ）∵D E ，为PC AC ，中点，∴132DE PA == ∵E F ，为AC AB ，中点，∴142EF BC == ∴222DE EF DF +=，∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥ ∵AC EF E =I ，∴DE ⊥平面ABC∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC ． 37．【解析】（Ⅰ）连接BD 交AC 于点O ，连结EO ．因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB ．EO ⊂平面AEC,PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC ．（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB u u u r的方向为x 轴的正方向，AP u u u r 为单位长，建立空间直角坐标系A xyz -，则D 1),2E 1)2AE =u u ur ． 设(,0,0)(0)b m m f ，则(c m (AC m =u u u r．设1(,,)n x y z =为平面ACE 的法向量，则110,0,n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r u u u r 即0,10,2mx y z ⎧+=+=，可取1n m =-． 又2(1,0,0)n =为平面DAE 的法向量，由题设121cos ,2n n =12=，解得32m =． 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥EACD -的高为12．三棱锥E ACD -的体积113132228V =⨯⨯=． 38．【解析】（Ⅰ）证明：如图取PB 中点M ，连接MF ，AM ．因为F 为PC 中点，故MF//BC 且MF=12BC ．由已知有BC//AD ，BC=AD ．又由于E 为AD 中点， 因而MF//AE 且MF=AE ，故四边形AMFE 为平行四边形， 所以EF//AM ，又AM ⊂平面PAB ，而EF ⊄平面PAB ， 所以EF//平面PAB ．（Ⅱ）（i ）证明：连接PE ，BE ．因为PA=PD ，BA=BD ，而E 为AD 中点，故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P-AD-B 的平面角．在三角形PAD 中，由2,AD PA PD ===PE=2．在三角形ABD 中，由BA BD ==，可解得BE=1．在三角形PEB 中，PE=2，BE=1，60PEB ∠=o ，由余弦定理，可解得90PBE ∠=o ，即BE ⊥PB ，又BC//AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC ．又BE ⊂平面ABCD ， 所以平面PBC ⊥平面ABCD ．（ii ）连接BF ，由（i ）知BE ⊥平面PBC ．所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角，由，∠ABP 为直角，而MB=12，可得，故，又BE=1，故在直角三角形EBF 中，sin BE EFB EF ∠==所以直线EF 与平面PBC 39．【解析】（Ⅰ）设点O 为AC ，BD 的交点，由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 是线段AC 的中垂线． 所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC ．又因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥BD ．所以BD ⊥平面APC ．（Ⅱ）连结OG ．由(1)可知OD ⊥平面APC ，则DG 在平面APC 内的射影为OG ，所以∠OGD 是DG 与平面APC 所成的角．由题意得OG ＝12P A在△ABC 中，AC ＝所以OC ＝12AC在直角△OCD 中，OD 2．在直角△OGD 中，tan ∠OGD ＝3OD OG =．所以DG 与平面APC 所成的角的正切值为3． （Ⅲ）连结OG ．因为PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ，所以PC ⊥OG ．在直角△P AC 中，得PC所以GC ＝5AC OC PC ⋅=．从而PG ， 所以32PG GC =． 40．【解析】（Ⅰ）由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC ．由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC ，又PA∩AC=A,PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， 所以BC ⊥平面PAC ．（Ⅱ）连OG 并延长交AC 与M ，链接QM ，QO ．由G 为∆AOC 的重心，得M 为AC 中点， 由G 为PA 中点，得QM//PC ． 又O 为AB 中点，得OM//BC ． 因为QM∩MO=M,QM ⊂平面QMO ． 所以QG//平面PBC ．41．【解析】（Ⅰ）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥平面ABC,又AD ⊂平面ABC ,所以1CC AD ⊥，又因为AD 1,,DE CC ⊥DE ⊂平面11BCC B ，1CC ,DE E ⋂=所以AD ⊥平面11BCC B ,又AD ⊂平面ADE,所以平面ADE ⊥平面11BCC B ．（Ⅱ）因为1111A B AC =，F 为11C B 的中点，所以111A F B C ⊥．因为1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ，所以1CC 1.A F ⊥又因为1CC ，11B C ⊂平面11BCC B ，1CC ⋂111B C C =，所以1A F ⊥平面11BCC B ，所以1//A F AD ．又AD ⊂平面ADE ，1A F ⊄平面ADE ，所以1//A F 平面ADE ． 42．【解析】（Ⅰ）AB ⊥平面PAD ，PH ⊂面PAD PH AB ⇒⊥又,PH AD AD AB A PH ⊥=⇒⊥I 面ABCD （Ⅱ）E 是PB 中点⇒点E 到面BCF 的距离1122h PH ==三棱锥E BCF -的体积1111113326212BCF V S h FC AD h ∆=⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯= （Ⅲ）取PA 的中点为G ，连接,DG EG ，PD AD DG PA =⇒⊥，又AB ⊥平面PAD ⇒面PAD ⊥面PAB DG ⇒⊥面PAB ， 点,E G 是棱,PB PA 的中点11//,//////22EG AB DF AB EG DF DG EF ⇒⇒⇒，得：EF ⊥平面PAB ．43．【证明】：（Ⅰ）在△PAD 中，因为E 、F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF//PD ．又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF//平面PCD ．（Ⅱ）连结DB ，因为AB=AD ，∠BAD=60°，所以△ABD 为正三角形，因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD=AD ，所以BF ⊥平面PAD ．又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD ．44．【解析】法一：（Ⅰ）证明：取AD 中点G ，连接PG ，BG ，BD ．因PA=PD ，有PG AD ⊥，在ABD ∆中，1,60AB AD DAB ==∠=︒，有ABD ∆为等边 三角形，因此,BG AD BG PG G ⊥⋂=， 所以AD ⊥平面PBG ,.AD PB AD GB ⇒⊥⊥又PB//EF ，得AD EF ⊥，而DE//GB 得AD ⊥DE ，又FE DE E ⋂=， 所以AD ⊥平面DEF ．（Ⅱ）,PG AD BG AD ⊥⊥Q ，PGB ∴∠为二面角P —AD —B 的平面角，在2227,4Rt PAG PG PA AG ∆=-=中在sin 60Rt ABG BG AB ∆⋅o中,=222734cos 27PG BG PB PGB PG BG +-+-∴∠===-⋅法二：（Ⅰ）取AD 中点为G ，因为,.PA PD PG AD =⊥又,60,AB AD DAB ABD =∠=︒∆为等边三角形，因此，BG AD ⊥， 从而AD ⊥平面PBG ．延长BG 到O 且使得PO ⊥OB ，又PO ⊂平面PBG ，PO ⊥AD ，,AD OB G ⋂=所以PO ⊥平面ABCD ．以O 为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB ，OP 分别为x 轴，z 轴，平行于AD 的直线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系． 设11(0,0,),(,0,0),(,,0),(,,0).22P m G n A n D n -则||||sin60GB AB =︒=u u u r uu u rQ11(((,0),(,).2222n m B n Cn E n F ∴++++ 由于(0,1,0),(()2242n mAD DE FE ===+-u u u r u u u r u u u r 得0,0,,,AD DE AD FE AD DE AD FE DE FE E ⋅=⋅=⊥⊥⋂=u u u r u u u r u u u r u u u rAD ∴⊥平面DEF ．（Ⅱ）1(,,),()22PA n m PB n m =--=+-u u u r u u u r Q22,1,2m m n ====解之得 取平面ABD 的法向量1(0,0,1),n =- 设平面PAD 的法向量2(,,)n a b c =由220,0,0,0,2222b bPA n a c PD n c ⋅=--=⋅=+-=u u u r u u u r 得由得取2(1,0,2n =12cos ,7n n -∴<>==- 45．【解析】（Ⅰ）因为四边形ADEF 是正方形，所以FA //ED ．故CED ∠为异面直线CE与AF 所成的角．因为FA ⊥平面ABCD ，所以FA ⊥CD ．故ED ⊥CD ． 在Rt △CDE 中，CD =1，ED=CE故cos CED ∠=ED CE=3．所以异面直线CE 和AF． （Ⅱ）证明：过点B 作BG //CD ,交AD 于点G ，则45BGA CDA ∠=∠=o．由45BAD ∠=o ,可得BG ⊥AB ,从而CD ⊥AB ,又CD ⊥FA ,FA ⋂AB =A ,所以CD ⊥平面ABF ．(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得AG，即G 为AD 的中点．取EF 的中点N ，连接GN ，则GN ⊥EF ,因为BC //AD ,所以BC //EF ．过点N 作NM ⊥EF ，交BC 于M ，则GNM ∠为二面角B -EF -A 的平面角．。
文科数学高考真题分类汇编 空间中点、直线、平面之间的位置关系答案
从而CH⊥平面 C1 DE ，故CH的长即为C到平面 C1 DE 的距离，
由已知可得CE=1，C1C=4，所以C1E =
17 ，故 CH = 4 17 . 17
从而点C到平面
C1
DE
的距离为
4 17 17
.
3.解析：对于 A， 内有无数条直线与 平行，则 与 相交或∥ ，排除； 对于 B， 内有两条相交直线与 平行，则∥ ； 对于 C， ， 平行于同一条直线，则 与 相交或∥ ，排除；
取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG．
因为 G ， F 分别为PA ， PB的中点，则FG∥AB，且FG= 1 AB． 2
因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，
所以CE∥AB，且CE= 1 AB． 2
所以FG∥CE，且FG=CE．
所以四边形CEGF为平行四边形， 所以CF∥EG．
因为CF 平面PAE，EG 平面PAE，
所以CF∥平面PAE．
9.解析 （Ⅰ）连接 BD，易知 AC BD = H ，BH = DH .又由 BG = PG ，故 GH ∥PD ， 又因为 GH 平面 PAD ， PD 平面 PAD，所以 GH ∥平面PAD . （Ⅱ）取棱 PC 的中点 N ，连接 DN .依题意，得 DN ⊥ PC，又因为平面 PAC ⊥ 平面 PCD ，平面 PAC 平面 PCD = PC ，所以 DN ⊥平面 PAC ，又 PA 平面 PAC ，故 DN ⊥ PA .又已知 PA ⊥ CD ， CD DN = D，所以 PA ⊥平面 PCD . （Ⅲ）连接 AN ，由（Ⅱ）中 DN ⊥平面PAC ，可知 DAN 为直线 AD 与平面 PAC 所
则 AC ⊥ 平面POD, BC ⊥ 平面POE,
2024届高考数学学业水平测试复习专题七第25讲空间点直线平面之间的位置关系课件
第25讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
1．四个公理 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的 所有点都在这个平面内． 推理模式： AB∈ ∈αα⇒AB⊂α.如图所示：或者：因为 A∈α， B∈α，所以 AB⊂α 公理1的作用：①判定直线是否在平面内； ②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面．
公理 3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
推理模式：
A，B，C不共线 A，B，C∈α ⇒α 与 β 重合． A，B，C∈β
或者：因为 A，B，C 不共线，所以存在唯一的平面 α，使得 A， B，C∈α. 推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共 点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．
推理模式： AA∈ ∈αβ⇒A∈l＝α∩β.如图所示： 或者：因为 A∈α，A∈β，所以 α∩β＝l，A∈l. 公理2的作用：①判断两个平面是否相交及交线位置； ②判断点是否在线上． 今后所说的两个平面(或两条直线)，如无特殊说明，均指不同 的平面(直线)．
2．(2023·广东模拟)已知空间三条直线l，m，n，若l与m垂直， l与n垂直，则( ) A．m与n异面 B．m与n相交 C．m与n平行 D．m与n平行、相交、异面均有可能 D 因为m⊥l，n⊥l，所以m与n既可以相交，也可以异面，还 可以平行． 故选D.
3．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，
公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行． 2．直线与直线的位置关系 (1)共面直线平 相行 交直 直线 线 (2)异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．
备考2020年高考数学一轮复习：39 空间点、直线、平面之间的位置关系
备考2020年高考数学一轮复习：39 空间点、直线、平面之间的位置关系一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足：a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系（）A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面2．（2分）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线3．（2分）已知直线l是平面a的斜线，则a内不存在与l（）A．相交的直线B．平行的直线C．异面的直线D．垂直的直线4．（2分）下列命题中为真命题的是（）①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若a⊥α，b⊥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥b，则b//α；④若a∥α，a⊥b，则b⊥α.A．①②B．①②③C．②③④D．①②④5．（2分）直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1中点为M，BC中点为N，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与MN所成角的余弦值为（）A．1B．−45C．−34D．06．（2分）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M,N分别是棱B1C1,C1C的中点，则异面直线BD1与MN所成的角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．（2分）在正四棱锥P−ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成的角为C2，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为（）A．90∘B．C2C．45∘D．30∘8．（2分）如图，正四面体A−BCD中，P是棱CD上的动点，设CP=tCD（t∈(0,1)），记AP与BC所成角为α，AP与BD所成角为β，则（）A．α≥βB．α≤βC．当t∈(0,12]时，α≥βD．当t∈(0,12]时，α≤β9．（2分）设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么（）A．直线l不平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点D．直线l与直线m不垂直10．（2分）已知某四面体的六条棱长分别为3，3，2，2，2，2，则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为（）A．0B．79C．0或79D．以上都不对11．（2分）已知a、b、c是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若a//b，b⊥γ，则a⊥γB．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γC．若a⊥α，b⊥α，则a⊥bD．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c12．（2分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖膈，在鳖膈A-BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB=BC=CD ，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为（ ） A ．√23B ．√34C ．√33D ．√24二、填空题(共5题；共5分)13．（1分）如图所示，已知平面 α∩ 平面 β=l ， EA ⊥α ，垂足为 A ， EB ⊥β ，垂足为B ，直线 a ⊂β , a ⊥AB ，则直线 a 与直线 l 的位置关系是 .14．（1分）在正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中， M,N 分别为棱 AD,D 1D 的中点，则异面直线 MN与 AC 所成的角大小为 ．15．（1分）如图所示的几何体 ABCDEF 中， ABCD 是平行四边形且 AE//CF ，六个顶点任意两点连线能组成异面直线的对数是 ．16．（1分）已知直线l 1:y=3x+1,l 2:kx-2y-3=0，若l 1∥l 2,则k= ．17．（1分）若m ，n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为 ．①m//n m ⊥α} ⇒n ⊥α；②m ⊥αn ⊥α} ⇒m ∥n ；③m ⊥αn//α} ⇒m ⊥n ；④m//αm ⊥n} ⇒n ⊥α. 三、解答题(共4题；共25分)18．（10分）A 是 △BCD 平面外的一点，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，（1）（5分）求证：直线EF 与BD 是异面直线；（2）（5分）若 AC ⊥BD ， AC =BD ，求EF 与BD 所成的角．19．（5分）如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．20．（5分）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和D1C1的中点，P，Q分别为EF和BD的中点，对角线A1C与平面EFDB交于H点，求证：P，H，Q三点共线.21．（5分）如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：AA1，BB1，CC1交于一点.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：如图1，可得a、b、c可能两两垂直；如图2，可得a、b、c可能两两相交；如图3，可得a、b、c可能两两异面；故答案为：B．【分析】利用面面垂直的性质定理结合线面之间的位置关系，用线线平行，线线垂直，线线相交，异面直线的判定方法找出直线a、b、c不可能满足的关系。
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空间点、直线、平面之间的位置关系
A组基础题组
1.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定( )
A.与a,b都相交
B.只能与a,b中的一条相交
C.至少与a,b中的一条相交
D.与a,b都平行
2.已知空间中有三条线段AB,BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是( )
A.AB∥CD
B.AB与CD异面
C.AB与CD相交
D.AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
3.(优质试题河北唐山3月模拟)已知P是△ABC所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,若MN=BC=4,PA=4,则异面直线PA与MN所成角的大小是( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
4.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是( )
A.直线AC
B.直线AB
C.直线CD
D.直线BC
5.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面又与CC1共面的棱有
条.
7.如图为正方体表面展开图的一种,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的有对.
8.已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且异面直线AB与CD所成的角为60°,点M,N
分别是BC,AD的中点,则异面直线AB和MN所成的角为.
9.已知空间四边形ABCD中,E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边BC、CD的中点.
(1)求证:BC与AD是异面直线;
(2)求证:EG与FH相交.
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中:
(1)求AC与A1D所成角的大小;
(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.
B组提升题
组
1.(优质试题河南百校联盟质检)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是DD1、AB的中点,平面B1EF交棱AD于点P,则PE=( )
A. B. C. D.
2.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;
②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;
③直线AB与a所成角的最小值为45°;
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)
3.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知
∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.
(1)求三棱锥P-ABC的体积;
(2)求异面直线BC与AD所成角的余弦值.
4.如图所示,平面四边形ADEF所在的平面与梯形ABCD所在的平面垂直,AD⊥CD,AD⊥ED,AF∥DE,AB∥CD,CD=2AB=2AD=2ED=xAF.
(1)若四点F、B、C、E共面,AB=a,求x的值;
(2)求证:平面CBE⊥平面EDB.
答案精解精析
A组基础题组
1.C 若c与a,b都不相交,则c与a,b都平行,此时a∥b,与a,b异面矛盾.
2.D 若三条线段共面,则直线AB与CD相交或平行;若三条线段不共面,则直线AB与CD是异面直线.
3.A 取AC的中点O,连接OM,ON,则ON∥AP,ON=AP,OM∥BC,OM=BC,所以异面直线PA与MN所成的角为∠ONM(或其补角),在△ONM中,OM=2,ON=2,MN=4,由勾股定理的逆定理得OM⊥ON,则∠ONM=30°.故选A.
4.C 由题意知,D∈l,l⊂β,所以D∈β,
又D∈AB,所以D∈平面ABC,
所以点D在平面ABC与平面β的交线上.
又C∈平面ABC,C∈β,
所以点C在平面ABC与平面β的交线上,
所以平面ABC∩平面β=CD.
5.C 取BC的中点Q,连接QN,AQ,易知BM∥QN,则∠ANQ(或其补角)即为所求,
设BC=CA=CC1=2,
则AQ=,AN=,QN=,
∴cos∠ANQ=-
===,
故选C.
6.答案 5
解析与AB和CC 1都相交的棱有BC;与AB相交且与CC1平行的棱有AA1,BB1;与AB平行且与CC1相交的棱有CD,C1D1.故符合条件的有5条.
7.答案 3
解析将展开图还原为正方体,如图所示,
显然,AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB与EF相交,CD与GH相交,CD与EF平行,故互为异面直线的有3对.
8.答案60°或30°
解析如图,取AC的中点P,连接PM,PN,
则PM∥AB,且PM=AB,PN∥CD,且PN=CD,所以∠MPN(或其补角)为异面直线AB 与CD所成的角,则∠MPN=60°或∠MPN=120°.
因为PM∥AB,所以∠PMN(或其补角)是异面直线AB与MN所成的角.
①若∠MPN=60°,
因为AB=CD,所以PM=PN,
则△PMN是等边三角形,所以∠PMN=60°,
即AB与MN所成的角为60°.
②若∠MPN=120°,则易知△PMN是等腰三角形,所以∠PMN=30°,即AB与MN所成的角为30°.
综上,异面直线AB和MN所成的角为60°或30°.
9.证明(1)假设BC与AD共面,不妨设它们所共平面为α,则B,C,A,D∈α, 所以四边形ABCD为平面图形,这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾,所以BC 与AD是异面直线.
(2)如图,连接AC,BD,EF,FG,GH,EH,则EF∥AC,HG∥AC,因此EF∥HG,同
理,EH∥FG,则四边形EFGH为平行四边形.又EG、FH是平行四边形EFGH的对角线,则EG与FH相交.
10.解析(1)如图所示,连接B 1C,AB1,。