人教版高中数学选修2-2《复数及其运算》课后练习含答案

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【人教版】数学选修2-2《复数及其运算》名师讲义(含答案)

复数及其运算主讲教师：纪荣强北京四中数学教师引入复数这一部分概念较多，如何才能避免混淆，把握本质？听纪老师慢慢道来！重难点易错点解析题一：复数(1)(z i i i =⋅+为虚数单位)在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限题二：若复数z 满足(34)|43|i z i -=+,则z 的虚部为（）A ．4-B ．45-C ．4D ．45金题精讲题一：把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1z i =+，则(1)z z +⋅=（）A ．3-iB ．3+iC ．1+3iD ．3题二：复数212i i-=+（） A ．i B ．-i C ．4355i -- D ．4355i -+题三：i 为虚数单位，则20111()1i i+-= ．题四：设i 是虚数单位，复数12ai i+-为纯虚数，则实数a 为（） A ．2 B ．-2 C ．1-2 D ．12题五：（1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=（）A ．2i -B ．i -C ．iD ．2i（2）a 为正实数，i 为虚数单位，||2a i i+=，则=a （）A ．2BCD ．1题六：已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z ．学习提醒“复杂”的“数”复数及其运算讲义参考答案重难点易错点解析题一：B 题二：D金题精讲题一：A 题二：A题三：i 题四：A题五：（1）B；（2）B 题六：4+2i。

高中数学 3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义课后习题新人教A版选修2-2

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义课时演练·促提升A组1.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i,故z对应的点为(-1,-3),在第三象限.答案:C2.已知复数z满足z+i-3=3-i,则z等于()A.0B.2iC.6D.6-2i解析:z=3-i-(i-3)=6-2i.答案:D3.若复数z1=a-i,z2=-4+b i,z1-z2=6+i,z1+z2+z3=1(a,b∈R),则z3为()A.-1-5iB.-1+5iC.3-4iD.3+3i解析:∵z1-z2=(a-i)-(-4+b i)=a+4-(1+b)i=6+i,∴a=2,b=-2,∴z3=1-z1-z2=1-2+i+4+2i=3+3i.故选D.答案:D4.若复平面上的▱ABCD中,对应复数6+8i,对应复数为-4+6i,则对应的复数是()A.-1-7iB.2+14iC.1+7iD.2-14i解析:设对应的复数分别为z1与z2,则有于是2z2=2+14i,z2=1+7i,故对应的复数是-1-7i.答案:A5.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:根据复数加(减)法的几何意义知,以为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形OAB为直角三角形.答案:B6.计算(-1+2i)+(i+i2)-|1+2i|=.解析:原式=-1+2i+(i-1)-=-2+3i-=-(2+)+3i.答案:-(2+)+3i7.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a=.解析:z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i=(a2-a-2)+(a2+a-6)i(a∈R)为纯虚数,所以解得a=-1.答案:-18.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).若z1-z2=13-2i,求z1,z2.解:∵z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i,又z1-z2=13-2i,∴(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i.∴解得∴z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,z2=[4×(-1)-2×2]-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.9.在复平面内A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.(1)求对应的复数;(2)判断△ABC的形状;(3)求△ABC的面积.解:(1)对应的复数为2+i-1=1+i,对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i,对应的复数为-1+2i-1=-2+2i.(2)∵||=,||=,||==2,∴||2+||2=||2,∴△ABC为直角三角形.(3)S△ABC=×2=2.B组1.复数z=x+y i(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为()A.2B.4C.4D.16解析:∵复数z=x+y i(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,∴|x+(y-4)i|=|(x+2)+y i|,化简得x+2y=3.∴2x+4y≥2=2=2=4,当且仅当x=2y=时,等号成立.答案:C2.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:设复数z与复平面内的点Z相对应,由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3及|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等,由三角形外心的定义可知,点Z即为△ABC的外心.答案:A3.设纯虚数z满足|z-1-i|=3,则z=.解析:∵z为纯虚数,∴设z=b i(b∈R,且b≠0).由|z-1-i|=3,得|-1+(b-1)i|=3.∴1+(b-1)2=9.∴b-1=±2.∴b=1±2.答案:(1±2)i4.已知复数z=x+y i(x,y∈R),且|z-2|=,则的最大值为.解析:∵z=x+y i(x,y∈R),且|z-2|=,∴(x-2)2+y2=3.由图可知.答案:5.已知复平面内的A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,其中θ∈(0,π),设对应的复数是z.(1)求复数z;(2)若复数z对应的点P在直线y=x上,求θ的值.解:(1)∵点A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,∴点A,B的坐标分别是A(sin2θ,1),B(-cos2θ,cos 2θ),∴=(-cos2θ,cos 2θ)-(sin2θ,1)=(-cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)= (-1,-2sin2θ).∴对应的复数z=-1+(-2sin2θ)i.(2)由(1)知点P的坐标是,代入y=x,得-2sin2θ=-,即sin2θ=,∴sin θ=±.又θ∈(0,π),∴sin θ=,∴θ=.6.若z∈C,且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.解:设z=x+y i,x,y∈R,由|z+2-2i|=1,得|z-(-2+2i)|=1,表示以(-2,2)为圆心,1为半径的圆,如图所示,则|z-2-2i|=表示圆上的点与定点(2,2)的距离,由数形结合得|z-2-2i|的最小值为3.7.设z1=1+2a i,z2=a-i,a∈R,A={z||z-z1|<},B={z||z-z2|≤2},已知A∩B=⌀,求a的取值范围.解:因为z1=1+2a i,z2=a-i,|z-z1|<,即|z-(1+2a i)|<,|z-z2|≤2,即|z-(a-i)|≤2,由复数减法及模的几何意义知,集合A是以 (1,2a)为圆心,为半径的圆的内部的点对应的复数,集合B是以(a,-1)为圆心,2为半径的圆周及其内部的点所对应的复数,若A∩B=⌀,则两圆圆心距大于或等于半径和,即≥3,解得a≤-2或a≥.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

人教a版数学【选修2-2】练习：3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义(含答案)

选修2-2 第三章 3.2 3.2.1一、选择题1．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( ) A ．1＋i B ．2＋i C ．3 D ．－2－i[答案] D[解析] ∵z 1＋z 2＝(2＋b i)＋(a ＋i) ＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0，b ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴a ＋b i ＝－2－i.2．已知|z |＝4，且z ＋2i 是实数，则复数z ＝( ) A ．23－2i B ．－23－2i C ．±23－2i D ．23±2i[答案] C[解析] ∵z ＋2i 是实数，可设z ＝a －2i(a ∈R )，由|z |＝4得a 2＋4＝16， ∴a 2＝12，∴a ＝±23， ∴z ＝±23－2i.3．(2014·浙江台州中学期中)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] z 是纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ＋1≠0，⇔x ＝1，故选A.4．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( ) A ．－2 B ．4 C ．3 D ．－4[答案] B[解析] z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.5．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．－1[答案] D[解析] z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i. ∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上， ∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.6．▱ABCD 中，点A 、B 、C 分别对应复数4＋i 、3＋4i 、3－5i ，则点D 对应的复数是( ) A ．2－3i B ．4＋8i C ．4－8i D ．1＋4i[答案] C[解析] AB →对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i ＝－1＋3i ，设点D 对应的复数为z ，则DC →对应的复数为(3－5i)－z . 由平行四边形法则知AB →＝DC →， ∴－1＋3i ＝(3－5i)－z ，∴z ＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i ＝4－8i.故应选C. 二、填空题7．在复平面内，若OA →、OB →对应的复数分别为7＋i 、3－2i ，则 |AB →|＝________. [答案] 5[解析] |AB →|对应的复数为3－2i －(7＋i)＝－4－3i ，所以|AB →|＝(－4)2＋(－3)2＝5. 8．(2014·揭阳一中期中)已知向量OA →和向量OC →对应的复数分别为3＋4i 和2－i ，则向量AC →对应的复数为________．[答案] －1－5i[解析] ∵AC →＝OC →－OA →，∴AC →对应复数为(2－i)－(3＋4i)＝－1－5i.9．在复平面内，O 是原点，O A →、O C →、A B →对应的复数分别为－2＋i 、3＋2i 、1＋5i ，那么B C →对应的复数为________________．[答案] 4－4i[解析] B C →＝O C →－O B →＝O C →－(O A →＋A B →) ＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i) ＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i＝4－4i. 三、解答题10．已知平行四边形ABCD 中，A B →与A C →对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点．(1)求A D →对应的复数； (2)求D B →对应的复数； (3)求△APB 的面积．[分析] 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得A D →，D B →对应的复数，先求出向量P A →、P B →对应的复数，通过平面向量的数量积求△APB 的面积．[解析] (1)由于ABCD 是平行四边形，所以A C →＝A B →＋A D →，于是A D →＝A C →－A B →，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ，即A D →对应的复数是－2＋2i.(2)由于D B →＝A B →－A D →，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即D B →对应的复数是5.(3)由于P A →＝12C A →＝－12A C →＝⎝⎛⎭⎫－12，－2， PB →＝12D B →＝⎝⎛⎭⎫52，0，于是P A →·P B →＝－54，而|P A →|＝172，|PB →|＝52，所以172·52·cos ∠APB ＝－54，因此cos ∠APB ＝－1717，故sin ∠APB ＝41717，故S △APB ＝12|P A →||PB →|sin ∠APB＝12×172×52×41717＝52. 即△APB 的面积为52.[点评] (1)根据复数加减法运算的几何意义可以把复数的加减法运算转化为向量的坐标运算．(2)复数加减法运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．一、选择题11．已知复数z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，则复数z ＝z 1－z 2在复平面内对应的点Z 位于复平面内的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] ∵z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，∴z ＝z 1－z 2＝3＋2i －(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i ＝2＋5i.∴点Z 位于复平面内的第一象限．故应选A.12．若复数(a 2－4a ＋3)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．3 C ．1或3 D ．－1[答案] B[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋3＝0，a －1≠0.∴a ＝3.13．(2014·新乡、许昌、平顶山调研)复数z 1、z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m 、λ、θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－916，1]C ．[－916，7]D ． [916，1][答案] C[解析] ∵z 1＝z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ. ∴λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4(sin θ－38)2－916，∵sin θ∈[－1,1]，∴λ∈[－916，7]．二、填空题14．在复平面内，z ＝cos10＋isin10的对应点在第________象限． [答案] 三[解析] ∵3π<10<7π2，∴cos10<0，sin10<0，∴z 的对应点在第三象限．15．若|z －1|＝|z ＋1|，则|z －1|的最小值是________________． [答案] 1[解析] 解法一：设z ＝a ＋b i ，(a ，b ∈R )，则|(a －1)＋b i|＝|(a ＋1)＋b i|. ∴(a －1)2＋b 2＝(a ＋1)2＋b 2，即a ＝0，∴z ＝b i ，b ∈R ，∴|z －1|m i n ＝|b i －1|m i n ＝(－1)2＋b 2，故当b ＝0时，|z －1|的最小值为1. 解法二∵|z －1|＝|z ＋1|，∴z 的轨迹为以(1,0)，(－1,0)为端点的线段的垂直平分线，即y 轴，|z －1|表示，y 轴上的点到(1,0)的距离，所以最小值为1.三、解答题16．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，求z 1、z 2.[解析] z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又因为z ＝13－2i ，且x 、y ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.*17.已知关于t 的方程t 2＋2t ＋2xy ＋(t ＋x －y )i ＝0(x 、y ∈R )，求使该方程有实根的点(x ，y )的轨迹方程．[解析] 设原方程的一个实根为t ＝t 0，则有(t 20＋2t 0＋2xy )＋(t 0＋x －y )i ＝0.根据复数相等的充要条件有⎩⎪⎨⎪⎧t 20＋2t 0＋2xy ＝0， ①t 0＋x －y ＝0， ② 把②代入①中消去t 0，得(y －x )2＋2(y －x )＋2xy ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故所求点的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.[点评] 因为t 0为实数，故根据复数相等的充要条件让实部与虚部分别为0，而要求的是点(x ，y )的轨迹方程，故应用代入消元法将t 0消去整理即可．。

2019人教版高中数学选修2-2《复数及其运算》课后练习含答案

2019人教版精品教学资料·高中选修数学复数及其运算课后练习题一：在复平面内，复数103i i+对应的点的坐标为（） A ．(1, 3) B ．(3, 1) C ．(-1, 3) D ．(3, -1)题二：当23<m <1时,复数z m m i =-+-()()321在复平面上对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限a 的值是．题四：若复数i z +=1（i 为虚数单位) z -是z 的共轭复数，则2z +z -2的虚部为（）．A ．0B ．-1C ．1D ．-2题五：复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是（）（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i题六：若12iz i +=，则复数z =（）A ．i -2-B ．i -2+C ． i 2-D ．i 2+题七：复数z 满足i i i z +=-2)(，则z =（）A ．i --1B ．i -1C ．i 31+-D ．i 21-题八：若复数z 满足(2)117(z i i i -=+为虚数单位)，则z 为（）A ．3+5iB ．3－5iC ．－3+5iD ．－ 3－5i题九：复数11i =+（）A ．1122i - B ．1122i + C ．1i - D ．1i +题十：1+2i +32i +…+1000999i =_____．题十一：已知复数z 与(z +2)2-8i 均是纯虚数，则z = ．题十二：复数a +bi 与c +di （a ，b ，c ，d ∈R ）的积是纯虚数的充要条件是（）A ． 0=-bd acB ．0=+bc adC ．00=+≠-bc ad bd ac 且D ．00≠+=-bc ad bd ac 且题十三：解方程1||2=-i z z （z 为复数）．题十四：已知复数z 1满足(1+i )z 1=－1+5i ， z 2=a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若21z z -<|z 1|，求a 的取值范围．题十五：已知复数z 1=3+4i , z 2=t +i , 且12z z ⋅是实数,则实数t =( )A ．34 B ．43 C ．-43 D ．-34题十六：若1+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（）A ．2,3b c ==B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=复数及其运算课后练习参考答案题一： A ．详解：i i i i i i i i i i i 3110301091030)3)(3()3(1031022+=+=--=-+-=+，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A ．题二： D ．详解：考查复数的有关概念,不等式的性质等知识．当23<m <1时,得3m -2>0, m -1<0, 故复数z 对应的点位于第四象限.题三：详解：因为1122||||z z z z ==a= （先化简再求模也可以做）题四： A ．详解：因为i z+=1，所以i z -=1，所以022)1()1(2222=-=-++=+i i i i z z ．题五： D ．详解：i i i i i i i i z +-=+--+-+-=++-=1555)2)(2()2)(3(23，所以其共轭复数为i z --=1．题六： D ．详解：12i z i+=()221222211i i i i i i i ++-+====---，所以2z i =+．题七： B ．详解：2()21i z i ii z i i i +-=+⇔=+=-．题八： A ．详解:i i i i i i i i z5352515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=．故选A ．题九： A ．详解：11111(1)(1)222i i i i i i --===-++-．题十： -500-500i ．详解：法1：原式=(1+2i -3-4i )+(5+6i -7-8i )+…+(997+998i -999-1000i ) =250(-2-2i )=-500-500i法2：设 S ＝1+2i +32i +…+1000999i ，则iS ＝i +22i +33i +…+999999i +10001000i ， ∴(1-i )S ＝1+i +2i +…+999i -10001000i =10001100010001i i--=-- ∴10005005001Si i-==--- 题十一： -2i ．详解：设z =ai , a ∈R ，则(z +2)2-8i = 4-a 2+(4a -8)i∵(z +2)2-8i 均是纯虚数 ∴4-a 2=0且4a -8≠0，解得a =-2．题十二： D ．详解：∵复数a +bi 与c +di （a ，b ，c ，d ∈R ）的积是纯虚数，（a +bi ）（c +di ）=ac -bd +（ad +bc ）i ，∴ac -bd =0且ad +bc ≠0题十三： z =i 或i z 31-=．详解：设z =x +yi （x ，y ∈R ），则1)(222=--+yi x i y x 即1)2(22=--+xi y y x ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+⇔01222x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧-==⇔3110或y x ∴z =i 或i z31-=．题十四： 1<a <7．详解：由题意得 z 1=i i ++-151=2+3i ，于是21z z -=i a 24+-=4)4(2+-a ，1z =13．4)4(2+-a <13，得a 2－8a +7<0，1<a <7．题十五： A ．详解：12z z ⋅=(3+4i )(t -i ) =(3t +4)+(4t -3)i∵12z z ⋅是实数 ∴4t -3=0，故t =34．题十六： D ．详解：因为i 21+是实系数方程的一个复数根，所以i 21-也是方程的根，则b i i -==-++22121，c i i ==-+3)21)(21(，所以解得2-=b ，3=c ，选D ．。

[精品]新人教A版选修2-2高中数学3.2.2 复数代数形式的乘除运算过关习题和答案

选修2-2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算一、选择题1．(2010·安徽理，1)i 是虚数单位，i3＋3i＝( )A.14－312i B.14＋312i C.12＋36i D.12－36i [答案] B [解析]i 3＋3i ＝i(3－3i)(3＋3i)(3－3i)＝3＋3i 12＝14＋312i ，故选B.2．在复平面内，复数z ＝i(1＋2i)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] B[解析] 考查复数的运算．z ＝－2＋i ，对应点位于第二象限，∴选B.3．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于( ) A ．2i B ．i C ．－i D ．－2i [答案] D[解析] 本小题主要考查复数的运算．设z ＝b i(b ∈R )，则z ＋21－i ＝2＋b i 1－i ＝2－b 2＋b ＋22i ，∴b ＋22＝0，∴b ＝－2，∴z ＝－2i ，故选D.4．i 是虚数单位，若1＋7i2－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则乘积ab 的值是( )A ．－15B ．－3C ．3D ．15 [答案] B[解析] 本题考查复数的概念及其简单运算． 1＋7i 2－i ＝(1＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝－5＋15i5＝－1＋3i ＝a ＋b i ， ∴a ＝－1，b ＝3，∴ab ＝－3.5．设z 是复数，a (z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，a (i)＝( )A ．8B ．6C ．4D ．2 [答案] C[解析] 考查阅读理解能力和复数的概念与运算． ∵a (z )表示使z n ＝1的最小正整数n .又使i n ＝1成立的最小正整数n ＝4，∴a (i)＝4. 6．已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则5iz＝( )A ．2－iB ．2＋iC ．－2－iD ．－2＋i [答案] A[解析] 考查复数的运算．z ＝－1＋2i ，则5i －1＋2i ＝5i(－1－2i)(－1＋2i)(－1－2i)＝10－5i 5＝2－i.7．设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3是实数，则( ) A ．b 2＝3a 2 B ．a 2＝3b 2 C ．b 2＝9a 2 D ．a 2＝9b 2 [答案] A[解析] 本小题主要考查复数的运算． (a ＋b i)3＝a 3＋3a 2b i －3ab 2－b 3i ＝a 3－3ab 2＋(3a 2b －b 3)i ， ∴3a 2b －b 3＝0，∴3a 2＝b 2，故选A.8．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则z z等于( )A ．iB ．－iC ．±1D ．±i [答案] D[解析] 本题主要考查复数的运算．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，由z ＋z ＝4，z z＝8得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4a 2＋b 2＝8∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝±2∴z ＝2＋2i ，z ＝2－2i 或z ＝2－2i ，z ＝2＋2i ，z z＝2－2i2＋2i＝－i 或zz ＝2＋2i2－2i ＝i.∴z z＝±i，故选D.9．(2010·新课标全国理，2)已知复数z ＝3＋i (1－3i)2，z －是z 的共轭复数，则z ·z －＝( )A.14 B.12C ．1D ．2 [答案] A[解析] ∵z ＝3＋i (1－3i)2＝3＋i 1－23i －3＝3＋i－2－23i ＝3＋i －2(1＋3i)＝(3＋i)(1－3i)－2×(1＋3)＝3－3i ＋i ＋3－8＝23－2i －8＝3－i －4，∴z －＝3＋i －4，∴z ·z －＝|z |2＝14，故选A.10．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( )A ．3－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．1－3i [答案] A[解析] 由定义得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ＝z (1＋i)＝4＋2i ∴z ＝4＋2i 1＋i ＝3－i.故应选A. 二、填空题11.1＋i 1－i 表示为a ＋b i(a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________. [答案] 1[解析] 本小题考查复数的除法运算． ∵1＋i 1－i ＝(1＋i)22＝i ，∴a ＝0，b ＝1. 因此a ＋b ＝1.12．若复数z 满足z ＝i(2－z )(i 是虚数单位)，则z ＝________. [答案] 1＋i[解析] 本题主要考查复数的运算． ∵z ＝i(2－z )，∴z ＝2i 1＋i＝1＋i.13．关于x 的不等式mx 2－nx ＋p >0(m 、n 、p ∈R )的解集为(－1,2)，则复数m ＋p i 所对应的点位于原复平面内的第________象限．[答案] 二[解析] ∵mx 2－nx ＋p >0(m 、n 、p ∈R )的解集为(－1，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <0(－1)＋2＝nm (－1)×2＝p m，即m <0，p >0.故复数m ＋p i 所对应的点位于复平面内的第二象限．14．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．[答案] 83[解析] 设z 1z 2＝b i(b ∈R 且b ≠0)，∴z 1＝b i(z 2)，即a ＋2i ＝b i(3－4i)＝4b ＋3b i.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b2＝3b⇒a ＝83.三、解答题 15．计算：(1)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21＋i 2000＋1＋i 3－i ； (2)1＋i n ＋i 2n ＋…＋i 2000n (n ∈N )．[解析] (1)原式＝－23＋i －i(－23＋i)＋(－i)100＋1＋i 3－i＝i ＋1＋15＋25i ＝65＋75i.(2)当n ＝4k (k ∈N )时，原式＝1＋1＋…＋1 2001＝2001. 当n ≠4k (k ∈N )时，原式＝1－i 2001n 1－i n ＝1－i 2000n ·i n 1－i n ＝1－i n 1－i n＝1.16．已知复数z ＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i，ω＝z ＋a i(a ∈R )，当⎪⎪⎪⎪⎪⎪ωz ≤2时，求a 的取值范围． [解析] z ＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i＝(2＋4i)－(1＋3i)i ＝1＋i i ＝－i(1＋i)1＝1－i∵ω＝z ＋ai ＝1－i ＋ai ＝1＋(a －1)i∴ωz ＝1＋(a －1)i 1－i ＝[1＋(a －1)i](1＋i)2＝2－a ＋a i2∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪ωz ＝(2－a )2＋a 22≤ 2∴a 2－2a －2≤0，∴1－3≤a ≤1＋ 3 故a 的取值范围是[1－3，1＋3]．17．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b ，c ∈R )． (1)求b ，c 的值；(2)试证明1－i 也是方程的根．[解析] (1)∵1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根 ∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0 即b ＋c ＋(2＋b )i ＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝02＋b ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2.(2)由(1)知方程为x 2－2x ＋2＝0 把1－i 代入方程左边得左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立 ∴1－i 也是方程的根．18．已知ω＝z ＋i(z ∈C )，z －2z ＋2是纯虚数，又|ω＋1|2＋|ω－1|2＝16，求ω.[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )∴z －2z ＋2＝(a －2)＋b i (a ＋2)＋b i ＝(a 2＋b 2－4)＋4b i (a ＋2)2＋b 2由z －2z ＋2是纯虚数得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4b ≠0①∴|ω＋1|2＋|ω－1|2＝|z ＋i ＋1|2＋|z ＋i －1|2 ＝|a ＋b i ＋i ＋1|2＋|a ＋b i ＋i －1|2＝|(a ＋1)＋(b ＋1)i|2＋|(a －1)2＋(b ＋1)i|2 ＝(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(a －1)2＋(b ＋1)2 ＝2(a 2＋b 2)＋4＋4b ＝8＋4＋4b ＝12＋4b ＝16， ∴b ＝1，将b＝1代入①得a＝± 3. ∴z＝±3＋i，ω＝±3＋2i.。

2014-2015学年高中数学人教A版选修2-2 复数课后作业含答案

§3.1 数系的扩充和复数的概念3．1.1 数系的扩充和复数的概念一、基础过关1． “复数a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数”是“a ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．下列命题正确的是( )A ．若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数B ．若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋iC ．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1D ．两个虚数不能比较大小3．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( )A ．2－2iB ．－5＋5iC ．2＋iD ．5＋5i 4．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为( )A ．12B ．2C ．0D ．15．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1二、能力提升6．若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )A ．2k π－π4(k ∈Z )B ．2k π＋π4(k ∈Z )C ．2k π±π4(k ∈Z )D ．k 2π＋π4(k ∈Z )7．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝______，n ＝______. 8．给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根．则其中正确命题的个数为________．9．已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________. 10．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．11．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值．12．设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1<z 2，求实数m 的取值范围．三、探究与拓展13．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，如何求自然数m ，n 的值？3.1.2 复数的几何意义一、基础过关1．复数z ＝3＋i 3对应的点在复平面第几象限( )A ．一B ．二C ．三D ．四2．当0<m <1时，z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 ( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i4．已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，当a ＝0时，复平面内的点z 的轨迹是( )A ．实轴B ．虚轴C ．原点D ．原点和虚轴5．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3IC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i6．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________．二、能力提升7．若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．复数z ＝icos θ，θ∈[0,2π)的几何表示是( )A ．虚轴B ．虚轴除去原点C ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(0,1)，(0，－1)D ．C 中线段PQ ，但应除去原点9．复数z ＝log 123＋ilog 3 12对应的点位于复平面内的第______象限．10．若复数z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，则复平面上与z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________． 11．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则|z |＝______.12．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：（1）位于第四象限；（2）位于x 轴负半轴上；（3）在上半平面(含实轴)．13．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，求复数z .三、探究与拓展14．（1）满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆（2）已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx的最大值为________．§3.2 复数代数形式的四则运算3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义一、基础过关1．若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i 2．复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i 4．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )A ．1＋iB ．2＋IC ．3D ．－2－i 5．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i6．计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i)＋(－2 010＋2011i)．二、能力提升7．若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P ，Q ，则向量PQ →对应的复数是____．8．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________． 9．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________．10．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．12．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．三、探究与拓展13．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.（1）求AB →，BC →，AC →对应的复数；（2）判断△ABC 的形状；（3）求△ABC 的面积．3.2.2 复数代数形式的乘除运算一、基础过关 1．复数－i ＋1i等于( )A ．－2iB ．12I C ．0D ．2i 2． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7等于( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i3．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－14．在复平面内，复数i1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于 ( )A ．34B ．43C ．－43D ．－346．若z ＝1＋2ii，则复数z 等于( )A ．－2－iB ．－2＋IC ．2－iD ．2＋i二、能力提升7．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________． 8．复数2i－1＋3i的虚部是________．9．已知z 是纯虚数，z ＋21－i 是实数，那么z=________．10．计算：（1）2＋2i (1－i )2＋(21＋i)2 010；（2）(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．11．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.12．已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i ，求z .探究与拓展13．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c 为实数)．（1）求b ，c 的值；（2）试说明1－i 也是方程的根吗？习题课一、基础过关1．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( )A ．15iB ．15C ．－15iD ．－152．复数2＋i1－2i的共轭复数是( )A ．－35iB ．35I C ．－iD ．i3．若(m 2－5m ＋4)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为( )A ．1B ．0或2C ．2D ．04．设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3是实数，则( )A ．b 2＝3a 2B ．a 2＝3b 2C ．b 2＝9a 2D ．a 2＝9b 2 5．设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D ．126．复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD →|等于( )A ．5B ．13C ．15D ．17二、能力提升7．已知复数z ＝2－i1－i ，其中i 是虚数单位，则|z |＝________.8．已知(a －i)2＝2i ，那么实数a ＝________.9．设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是________．10．已知a ∈R ，则z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？11．设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．12．在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2＋i.（1）如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →对应的复数；（2）如果（1）中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．三、探究与拓展13．是否存在复数z ，使其满足z ·z ＋2i z ＝3＋a i ？如果存在，求实数a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．章末检测一、选择题1． i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )A ．i ∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈SD ．2i∈S2． z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3． i 是虚数单位，复数3＋i1－i等于( )A ．1＋2iB ．2＋4iC ．－1－2iD ．2－i 4．已知a 是实数，a －i1＋i是纯虚数，则a 等于( )A ．1B ．－1C ． 2D ．－ 2 5．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于( )A ．－2＋iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋2i 6． (1＋i)20－(1－i)20的值是( )A ．－1 024B ．1 024C ．0D ．1 024i7． i 是虚数单位，若1＋7i2－i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则ab 的值是( )A ．－15B ．3C ．－3D ．158．若z 1＝(x －2)＋y i 与z 2＝3x ＋i(x ，y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．无数个二、填空题10．复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________． 11．给出下面四个命题：①0比－i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④如果让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中真命题的个数是________．12．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是______． 13．下列说法中正确的序号是________．①若(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ∈R ，y ∈∁C R ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y1＝－(3－y )；②2＋i>1＋i ； ③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在； ⑤若z ＝1i ，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限．三、解答题14．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时，（1）z 是实数？（2）z 是纯虚数？15．已知复数z 1＝1－i ，z 1·z 2＋z 1＝2＋2i ，求复数z 2.16．计算：（1）(2＋2i )4(1－3i )5；（2）(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.17．实数m 为何值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 对应的点在：（1）x 轴上方；（2）直线x ＋y ＋5＝0上．18．已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2.（1）求复数z ；（2）设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．19．设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1是实数，且－1≤z 2≤1.（1）求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围；（2）若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数．复数参考答案第一节1．A 2．D 3．A 4．D 5．A 6．B 7．2 ±2 8．1 9．－110．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0，所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．11．解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2. 所以实数x ，y 的值分别为12，2.12．解由于z 1<z 2，m ∈R ，∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，m ＝1或m ＝－2.当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0， m ＝1或m ＝4，∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2. ∴z 1<z 2时，实数m 的取值为m ＝1.13．解因为log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0， ①log 12(m ＋n )>－1， ② 由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1；当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾，综上可得m ＝0，n ＝1.第二节1．D 2．D 3．C 4．B 5．A 6．2<k <6或－6<k <－2 7．B 8．C 9．三 10．2 5 11．212．解 (1)要使点位于第四象限，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0m 2＋3m －28<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5－7<m <4，∴－7<m <3. (2)要使点位于x 轴负半轴上，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0m 2＋3m －28＝0，∴⎩⎨⎧3<m <5m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4. (3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m 2＋3m －28≥0，解得m ≥4或m ≤－7.13．解根据题意可画图形如图所示：设点Z 的坐标为(a ，b )， ∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°， ∴a ＝－1，b ＝3，即点Z 的坐标为(－1，3)， ∴z ＝－1＋3i. 14．(1)C(2) 3第三节1．D 2．B 3．C 4．D 5．B6．解原式＝(1－2＋3－4＋…－2 008＋2 009－2 010)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 009－2 010＋2 011)i ＝－1 005＋1 005i. 7．3＋i 8.115＋3i 9．110．解 ∵z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，∴z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i ＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i.∵z 1＋z 2为虚数，∴m 2－2m －15≠0且m ≠－2，解得m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R )． 11．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ，设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ， ∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．12．解方法一设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )，则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)． ∴AC 中点为⎝⎛⎭⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.方法二设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ，由于AD →＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.13．解 (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i ， (2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2， ∴△ABC 为直角三角形． (3)S △ABC ＝12×2×22＝2.第四节1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 6．D 7．1 8．－129．－2i10．解 (1)2＋2i(1－i )2＋(21＋i )2 010＝2＋2i －2i＋(22i ) 1 005＝i(1＋i)＋(1i )1 005＝－1＋i ＋(－i)1 005＝－1＋i －i ＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i. 11．解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1z 2＝(2－i)·(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ， ∵z 1z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i. 12．解 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.又z ·z －3i z ＝101－3i，∴a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝10(1＋3i )10，∴a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3. ∴z ＝－1，或z ＝－1－3i.13．解 (1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根，∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2.∴b 、c 的值为b ＝－2，c ＝2. (2)方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根．第五节1．B 2．C 3．D 4．A 5．A 6．B 8．－1 9．410．解由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，因此，复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2 (x ≥3)．∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为y ＝－x ＋2 (x ≥3)．11．解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝(3－i )(2－i )5＝1－i.因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i. 所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得a ＝－3，b ＝4.即实数a ，b 的值分别是－3,4.12．解 (1)设所求向量OB →对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B 的坐标为(a ，b )．已知A (2,1)，由对称性可知a ＝2，b ＝－1. 所以OB →对应的复数为z 1＝2－i.(2)设所求点C 对应的复数为z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则C (c ，d )．由(1)，得B (2，－1)．由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1. 故点C 对应的复数为z 2＝－2－i.13．解设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则原条件等式可化为x 2＋y 2＋2i(x －y i)＝3＋a i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2y ＝3，2x ＝a .消去x ，得y 2＋2y ＋a 24－3＝0. 所以当Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫a 24－3＝16－a 2≥0，即－4≤a ≤4时，复数z 存在．故存在满足条件的复数z ，且实数a 的取值范围为－4≤a ≤4.章末检测答案1．B 2．A 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．B 10．(3,4) 11．0 12．(1，5) 13．⑤14．解 (1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数．15．解因为z 1＝1－i ，所以z 1＝1＋i ，所以z 1·z 2＝2＋2i －z 1＝2＋2i －(1＋i)＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 1·z 2＝1＋i ，得(1－i)(a ＋b i)＝1＋i ，所以(a ＋b )＋(b －a )i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1b －a ＝1，解得a ＝0，b ＝1，所以z 2＝i.16．解 (1)原式＝16(1＋i )4(1－3i )4(1－3i )＝16(2i )2(－2－23i )2(1－3i )＝－644(1＋3i )2(1－3i )＝－16(1＋3i )×4 ＝－41＋3i＝－1＋3i. (2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i. 17．解 (1)若z 对应的点在x 轴上方，则m 2－2m －15>0，解得m <－3或m >5.(2)复数z 对应的点为(m 2＋5m ＋6，m 2－2m －15)， ∵z 对应的点在直线 x ＋y ＋5＝0上，∴(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，整理得2m 2＋3m －4＝0，。

人教a版数学【选修2-2】备选练习：3.2.2复数代数形式的乘除运算(含答案)

选修2-2 第三章 3.2 3.2.21．(2012·湖南文)复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( )A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i [答案] A[解析] z ＝i(i ＋1)＝－1＋i 的共轭复数是z －＝－1－i.2．若复数(1＋b i)(2＋i)是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b ＝( )A ．－2B ．－12 C.12D ．2 [答案] D[解析] (1＋b i)(2＋i)＝2－b ＋(2b ＋1)i ，∵此复数为纯虚数，∴b ＝2.3．(2013·安徽理，1)设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i [答案] A[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由z ·z i ＋2＝2z ，得(x 2＋y 2)i ＋2＝2(x ＋y i)＝2x ＋2y i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝2y ，2＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴z ＝1＋i ，故选A. 4．对于n 个复数z 1、z 2、…、z n ，如果存在n 个不全为零的实数k 1、k 2、…、k n ，使得k 1z 1＋k 2z 2＋…＋k n z n ＝0，就称z 1、z 2、…、z n 线性相关．若要说明复数z 1＝1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝－2线性相关，那么可取{k 1，k 2，k 3}＝________.(只要写出满足条件的一组值即可)[答案] {1,2，32}或{2,4,3}等 [解析] 由k 1z 1＋k 2z 2＋k 3z 3＝0得k 1(1＋2i)＋k 2(1－i)＋k 3(－2)＝0，即(k 1＋k 2－2k 3)＋(2k 1－k 2)i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋k 2－2k 3＝0，2k 1－k 2＝0. ∴k 1k 2k 3＝32. 故填{1,2，32}或{2,4,3}等．5．设关于x 的方程是x 2－(tan θ＋i)x －(2＋i)＝0.(1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根；(2)证明：对任意θ≠k π＋π2(k ∈Z )，方程无纯虚数根． [解析] (1)设实数根是a ，则a 2－(tan θ＋i)a －(2＋i)＝0，即a 2－a tan θ－2－(a ＋1)i ＝0，∵a 、tan θ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a tan θ－2＝0，a ＋1＝0； ∴a ＝－1，且tan θ＝1，又0<θ<π2，∴θ＝π4. (2)若方程存在纯虚数根，设为b i(b ∈R ，b ≠0)，则(b i)2－(tan θ＋i)b i －(2＋i)＝0，化简整理得－b 2＋b －2－(b tan θ＋1)i ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－b 2＋b －2＝0b tan θ＋1＝0此方程组无实数解， ∴对任意θ≠k π＋π2(k ∈Z )，方程无纯虚数根． 6．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c ∈R )．(1)求b 、c 的值；(2)试证明1－i 也是方程的根．[解析] (1)∵1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即b ＋c ＋(2＋b )i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝02＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2. (2)由(1)知方程为x 2－2x ＋2＝0，把1－i 代入方程左边得左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立∴1－i 也是方程的根．。

人教a版数学【选修2-2】备选练习：3.2.1复数代数形式的加减运算(含答案)

选修2-2 第三章 3.2 3.2.11．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根，则这个实根以及实数k 的值分别为__________________________和__________________________．[答案] ⎩⎨⎧ x 0＝2，k ＝－22，或⎩⎨⎧ x 0＝－2，k ＝2 2.[解析] 方程的实根必然适合方程，设x ＝x 0为方程的实根，代入整理后得a ＋b i ＝0的形式，由复数相等的充要条件，可得关于x 0和k 的方程组，通过解方程组可得x 及k 的值．2．已知a ∈R ，z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？[分析] 根据复数与复平面上点的对应关系知，复数z 对应的点在第几象限，与复数z 的实部与虚部的符号有关，所以本题的关键是判断(a 2－2a ＋4)与－(a 2－2a ＋2)的符号．求复数z 对应点的轨迹问题，首先把z 表示成z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )的形式，然后寻求x 、y 之间的关系，但要注意参数限定的条件．[解析] 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，复数z 的虚部为负数，因此，复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)，消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2(x ≥3)．∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．[点评] 对于求复数z 的轨迹方程问题，关键是要设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，利用复数相等的充要条件转化为动点(x ，y )关于a 的参数方程，在消去参数a 时，注意观察到a 2－2a 是一个整体，这样可以简化消参数的过程．3．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋m m ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．[解析] 因为z 1＝m 2＋m m ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，所以z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i ＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i. 因为z 1＋z 2是虚数，所以m 2－2m －15≠0且m ≠－2.所以m ≠5且m ≠－3且m ≠－2.所以m 的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2，5)∪(5，＋∞)．4．已知z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β－isin β且z 1－z 2＝513＋1213i ，求cos(α＋β)的值． [解析] ∵z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β－isin β，∴z 1－z 2＝(cos α－cos β)＋i(sin α＋sin β)＝513＋1213i ， ∴⎩⎨⎧ cos α－cos β＝513 ①sin α＋sin β＝1213② ①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1，即cos(α＋β)＝12. 5．设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，且4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝33＋i ，又ω＝sin θ－icos θ，求z 的值和|z －ω|的取值范围．[解析] ∵4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝33＋i ，∴6a ＋2b i ＝33＋i ，∴⎩⎨⎧ 6a ＝33，2b ＝1，∴⎩⎨⎧ a ＝32，b ＝12.∴z ＝32＋12i ， ∴z －ω＝⎝⎛⎭⎫32＋12i －(sin θ－icos θ) ＝⎝⎛⎭⎫32－sin θ＋⎝⎛⎭⎫12＋cos θi ∴|z －ω|＝⎝⎛⎭⎫32－sin θ2＋⎝⎛⎭⎫12＋cos θ2 ＝2－3sin θ＋cos θ＝2－2⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ ＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， ∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6≤1， ∴0≤2－2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6≤4 ∴0≤|z －ω|≤2，故所求得z ＝32＋12i ， |z －ω|的取值范围是[0,2]．。

高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：3.2 复数代数形式的四则运算3.2.2 Word版含答案.docx

3.2.2 复数代数形式的乘除运算[学习目标]1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算．2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 3．理解共轭复数的概念． [知识链接]写出下列各小题的计算结果： (1)(a ±b )2＝________； (2)(3a ＋2b )(3a －2b )________； (3)(3a ＋2b )(－a －3b )________． (4)(x －y )÷(x ＋y )________．答案 (1)a 2±2ab ＋b 2 (2)9a 2－4b 2 (3)－3a 2－11ab －6b 2 (4)x －y [预习导引] 1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. 2．复数乘法的运算律对任意复数z 1、z 2、z 3∈C ，有如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i. 4．复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i.要点一复数乘除法的运算例1 计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2. 解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i 2＝4－(－1)＝5； (2)(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝1＋4i ＋4i 2＝－3＋4i.规律方法 (1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．(2)像3＋4i 和3－4i 这样的两个复数叫做互为共轭复数，其形态特征为a ＋b i 和a －b i ，其数值特征为(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2.跟踪演练1 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； (2)(3＋4i)(3－4i)； (3)(1＋i)2.解 (1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i ；(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25； (3)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i. 例2 计算：(1)(1＋2i)÷(3－4i)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i. 解 (1)(1＋2i)÷(3－4i)＝1＋2i 3－4i ＝(1＋2i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝－5＋10i 25＝－15＋25i ；(2)原式＝⎣⎡⎦⎤(1＋i )226＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.规律方法复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．跟踪演练2 计算：(1)7＋i 3＋4i ；(2)(－1＋i )(2＋i )－i .解 (1)7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25－25i25＝1－i ；(2)(－1＋i )(2＋i )－i ＝－3＋i －i ＝(－3＋i )·i－i·i ＝－1－3i.要点二共轭复数及其应用例3 已知复数z 满足：z ·z ＋2i z ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和．解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ，即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－2b ＝82a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝1， ∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.规律方法本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点．跟踪演练3 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z . 解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1. ①因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数，所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.②由①②联立，解得⎩⎨⎧a ＝45，b ＝35，或⎩⎨⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i ，或z ＝－45＋35i.1．复数－i ＋1i 等于( )A ．－2iB ．12iC ．0D ．2i答案 A解析－i ＋1i ＝－i －i 2i＝－2i ，选A.2．(2013·江西)已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( ) A ．－2i B ．2i C ．－4i D ．4i答案 C解析本题考查复数的四则运算以及集合的基本运算．因为M ∩N ＝{4}，所以z i ＝4，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z i ＝－b ＋a i ，由z i ＝4，利用复数相等，得a ＝0，b ＝－4.故选C. 3．若复数z ＝1＋i ，i 为虚数单位，则(1＋z )z 等于( ) A ．1＋3iB ．3＋3iC ．3－iD ．3答案 A解析 (1＋z )·z ＝(2＋i)·(1＋i)＝(2×1－1)＋(2＋1)i ＝1＋3i.4．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B ．43C ．－43D ．－34答案 A解析 ∵z 2＝t ＋i ，∴z 2＝t －i. z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i ，又∵z 1·z 2∈R ，∴4t －3＝0，∴t ＝34.5．复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析因为z ＝2－i 2＋i＝(2－i )25＝3－4i5，故复数z 对应的点在第四象限，选D.1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化． 2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题． 3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化.一、基础达标1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．－iB ．iC ．－1D ．1答案 A 解析 z ＝1i＝－i.2．i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i答案 A解析 1i ＝－i ，1i 3＝i ，1i 5＝－i ，1i 7＝i ，∴1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝0.3．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝－1，b ＝－1 D ．a ＝1，b ＝－1答案 D解析 ∵(a ＋i)i ＝－1＋a i ＝b ＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1a ＝1.4．在复平面内，复数i1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B 解析i 1＋i＋(1＋3i)2＝12＋12i ＋(－2＋23i)＝－32＋⎝⎛⎭⎫23＋12i ，对应点⎝⎛⎭⎫－32，23＋12在第二象限．5．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．答案 1解析由i(z ＋1)＝－3＋2i 得到z ＝－3＋2ii －1＝2＋3i －1＝1＋3i.6．复数2i－1＋3i 的虚部是________．答案－12解析原式＝2i (－1－3i )1＋3＝23－2i 4＝32－12i ，∴虚部为－12.7．计算：(1)2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2010；(2)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．解 (1)2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2010＝2＋2i －2i ＋⎝⎛⎭⎫22i 1005＝i(1＋i)＋⎝⎛⎭⎫1i 1005＝－1＋i ＋(－i)1005＝－1＋i －i ＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i. 二、能力提升8．(2013·新课标)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i答案 A解析因为复数z 满足z (1－i)＝2i ，所以z ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i.9．(2013·山东)若复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．5＋i D ．5－i 答案 D解析由(z －3)(2－i)＝5，得z ＝52－i ＋3＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋3＝5(2＋i )5＋3＝2＋i ＋3＝5＋i.所以z ＝5－i ，选D.10．已知z 是纯虚数，z ＋21－i 是实数，那么z 等于________．答案－2i解析设z ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，则z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝(b i ＋2)(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2－b ＋(b ＋2)i 2＝2－b 2＋b ＋22i是实数，所以b ＋2＝0，b ＝－2，所以z ＝－2i.11．(2013·山东聊城期中)已知复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i(a ，b ∈R )，求a＋b 的值．解由z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，得z ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝1－i ，又z 2＋az ＋b ＝1＋i ，∴(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ， ∴(a ＋b )＋(－2－a )i ＝1＋i ，∴a ＋b ＝1.12．已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i ，求z .解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i. 又z ·z －3i z ＝101－3i，∴a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝10(1＋3i )10，∴a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3. ∴z ＝－1，或z ＝－1－3i. 三、探究与创新13．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c 为实数)． (1)求b ，c 的值；(2)试说明1－i 也是方程的根吗？解 (1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2.∴b 、c 的值为b ＝－2，c ＝2. (2)方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根．。

人教版高中数学选修2-2《3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义》

3
i= = -i -i ==1 1 i
44
22
解：
=(i-1-i+1)+(i-1-i+1)+…(i-1-i+1) =0+0+…+0 =0
随堂练习
填空
1. 已知 z C , z+i-3=3-i，z的值为( 6-2i 2.复数的加、减可以按照（向量）的加减来进行． )
选择
1、设O是原点，向量OA,OB 对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量BA 对应的复数是( D )
回顾旧知
上一节，我们主要讲了什么？
实数系
扩充到
复数系
我们依照这种思想，进一步讨论复数系中的运算问题.
新课导入
我们知道实数有加、减法等运算，且有运算律. 加法交换律：a+b=b+a;
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).
那么复数应怎样进行加、减运算呢？
3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义
(5 - 6i) + (-2 - i) - (3 + 4i) = (5 - 2 - 3) + (-6 -1- 4)i = -11i
计算
解:
注意
通过此例我们可以看到代数形式的加、减法，形式上与多项式的加、减法是类似的.
例题2
计算
提示
i1+i2+i3+…+i 2004
ii = =-1 -1
22
i i = -i -i
注意
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作(a+bi)-(c+di).

高中数学选修2-2讲义：第三章 2 1 复数的加法与减法含答案

3.2复数的运算3．2.1 复数的加法与减法已知复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．问题3：利用问题1的结果试说明复数加法满足交换律．提示：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ， z 2＋z 1＝(c ＋d i)＋(a ＋b i)＝(c ＋a )＋(d ＋b )i ， ∴z 1＋z 2＝z 2＋z 1.复数的加法与减法 (1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ， z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. (2)加法运算律：设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1， (z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3).如图1OZ ，2OZ 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应．问题1：试写出1OZ ，2OZ 及1OZ ＋2OZ ，1OZ －2OZ 的坐标．提示：1OZ ＝(a ，b )，2OZ ＝(c ，d )，1OZ ＋2OZ ＝(a ＋c ，b ＋d )，1OZ －2OZ ＝(a －c ，b －d )．问题2：向量1OZ ＋2OZ ，1OZ －2OZ 对应的复数分别是什么？提示：向量1OZ ＋2OZ 对应的复数是a ＋c ＋(b ＋d )i ，也就是z 1＋z 2，向量1OZ －2OZ 对应的复数是a －c ＋(b －d )i ，也就是z 1－z 2.若复数z 1，z 2对应的向量分别为1OZ ，2OZOZ1．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．2．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数，例如(3－2i)＋2i ＝3.[例1] 计算(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 013－2 014i)． [思路点拨] 根据复数加、减运算的法则进行运算． [精解详析] (1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i ＝－5＋20i.[对应学生用书P54](2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2011－2012＋2 013)＋(－2＋3－4＋5－…－2012＋2 013－2 014)i ＝1 007－1 008i.[一点通] 复数的加法运算类似于多项式的合并同类项，首先正确确定各个复数的实部、虚部，再将所有实部和虚部分别求和，最后将实部和作为实部，虚部和作为虚部，写出复数的代数形式，注意减法要将减数的实部、虚部变为相反数进行求和．1．实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－1解析：由题意得x ＋y ＋(x －y )i ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴xy ＝1. 答案：A2．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i ； (2)原式＝5i －(4＋i)＝－4＋4i.3．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，求复数a ＋b i. 解：z 1＋z 2＝(2＋b i)＋(a ＋i) ＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0，b ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴a ＋b i ＝－2－i.[例2] 已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数及AD 的长．[思路点拨]z D －z A ＝z C －z B →z D →|z D －z A |[精解详析] 设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，则AD 对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC 对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i.由已知知AD ＝BC ，∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2，y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.即D 点对应的复数为3＋5i. |AD |＝|z D －z A |＝|2＋2i|＝2 2. [一点通](1)根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算． (2)利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．4．已知复平面内的平面向量OA ，AB 表示的复数分别是－2＋i,3＋2i ，则向量OB 所表示的复数的模为( )A. 5B.13C.10D.26解析：OB ＝OA ＋AB ，∴向量OB 对应的复数是(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i ，且|1＋3i|＝1＋9＝10.答案：C5．复平面内三点A 、B 、C ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA 对应的复数为1＋2i ，向量BC 对应的复数为3－i ，求点C 对应的复数．解：∵BA 对应的复数为1＋2i ，BC 对应的复数为3－i ， ∴AC ＝BC －BA 对应的复数为 (3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又∵OC ＝OA ＋AC ，∴C 点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.1．根据复数加法的几何意义知，两个复数对应向量的和所对应的复数就是这两个复数的和．2．求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则．1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( ) A ．－1＋i B ．1－i C ．iD ．－i解析：原式＝(1－2)＋(－1－1＋3)i ＝－1＋i. 答案：A2．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：z ＝z 2－z 1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z 对应的点为(－1，－3)，在第三象限．答案：C3．在复平面内，向量AB ，AC 对应的复数分别为－1－8i ，－2－3i ，则BC 对应的复数为( )A ．－1－5iB ．－1＋5iC ．－3＋11iD ．1－5i解析：BC ＝AC －AB ＝(－2－3i)－(－1－8i)＝－1＋5i. 答案：B4．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．4 2D ．16解析：由|z －4i|＝|z ＋2|得|x ＋(y －4)i|＝|x ＋2＋y i|，∴x 2＋(y －4)2＝(x ＋2)2＋y 2，即x ＋2y ＝3，∴2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥2 2x ＋2y ＝2 23＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时，2x ＋4y 取得最小值4 2.[对应课时跟踪训练(十九)]答案：C5．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________.解析：z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.答案：－16．若复数z 满足z －1＝cos θ＋isin θ，则|z |的最大值为________．解析：∵z －1＝cos θ＋isin θ，∴z ＝(1＋cos θ)＋isin θ， ∴|z |＝(1＋cos θ)2＋sin 2θ＝2(1＋cos θ)≤2×2＝2. 答案：27．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，设z ＝z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.解：z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又∵z ＝13－2i ，且x ，y ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.8．在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求向量AB ，AC ，BC 对应的复数； (2)判断△ABC 的形状．解：(1)由题意知，复平面内A ，B ，C 三点坐标分别为(1,0)，(2,1)，(－1,2)，AB ＝OB －OA ＝(2,1)－(1,0)＝(1,1)，AC＝OC－OA＝(－1,2)－(1,0)＝(－2,2)，BC＝OC－OB＝(－1,2)－(2,1)＝(－3,1)，所以AB，AC，BC对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.(2)因为|BC|2＝10，|AC|2＝8，|AB|2＝2，所以有|BC|2＝|AC|2＋|AB|2，所以△ABC为直角三角形．。

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3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义[学习目标]1．熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则．2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题． [知识链接]在小学我们学习过实数的加减运算，上一节我们把实数系扩充到了复数系．那么，复数如何进行加减运算？两个复数的和差是个什么数，它的值唯一确定吗？复数加减法的几何意义是什么？这就是本节我们要研究的问题．[预习导引]1．复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.(2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加减法的几何意义如图，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，向量OZ →与复数z 1＋z 2对应，向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2对应．要点一复数加减法的运算例1 (1)计算(2＋4i)＋(3－4i)； (2)计算(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i)．解 (1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i ＝5.(2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i ＝－2＋2i.规律方法复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i 看作字母，类比多项式加减中的合并同类项．跟踪演练1 计算：(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)； (2)1＋(i ＋i 2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．解 (1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i ＝－11i. (2)原式＝1＋(i －1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i) ＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i ＝－2＋i. 要点二复数加减法的几何意义例2 复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．解设复数z 1，z 2，z 3在复平面内所对应的点分别为A ，B ，C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，如图．则AD →＝OD →－OA →＝(x ，y )－(1,2)＝(x －1，y －2)． BC →＝OC →－OB →＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)． ∵AD →＝BC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝1y －2＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1，故点D 对应的复数为2－i.规律方法复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用．跟踪演练2 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i. 求：(1)AO →表示的复数； (2)对角线CA →表示的复数； (3)对角线OB →表示的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以对角线CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为对角线OB →＝OA →＋OC →，所以对角线OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 要点三复数加减法的综合应用例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.解法一设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1， ∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1， ① (a －c )2＋(b －d )2＝1 ②由①②得2ac ＋2bd ＝1， ∴|z 1＋z 2|＝(a ＋c )2＋(b ＋d )2 ＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝ 3. 法二设O 为坐标原点，z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点分别为A ，B ，C . ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，∴△OAB 是边长为1的正三角形，∴四边形OACB 是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z 1＋z 2|是菱形的较长的对角线OC 的长， ∴|z 1＋z 2|＝|OC →|＝|OA →|2＋|AC →|2－2|OA →||AC →|cos120°＝ 3. 规律方法 (1)设出复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x ，y 满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用． (2)在复平面内，z 1，z 2对应的点为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB ：①为平行四边形；②若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；③若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；④若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形．跟踪演练3 本例中，若条件变成|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝ 2.求|z 1－z 2|.解由|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，知z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z 1－z 2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z 1－z 2|＝ 2.1．若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( ) A ．0 B ．2i C ．6 D ．6－2i答案 D解析 z ＝3－i －(i －3)＝6－2i.2．复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 i ＋i 2＝－1＋i ，对应的点在第二象限．3．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，则BC →表示的复数为( ) A ．2＋8i B ．－6－6i C ．4－4i D ．－4＋2i 答案 C解析 BC →＝OC →－OB →＝OC →－(AB →＋OA →)＝(4，－4)． ∴BC →表示的复数为4－4i.4．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点在( ) A ．实轴上 B ．虚轴上 C ．第一象限 D ．第二象限答案 B解析 ∵|z －1|＝|z ＋1|，∴点Z 到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z 在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．5．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________. 答案－1解析 z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.一、基础达标1．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( )A ．0 B.32＋52iC ．52－52iD ．52－32i答案 C解析 z 1＋z 2＝⎝⎛⎭⎫2＋12－⎝⎛⎭⎫12＋2i ＝52－52i. 2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( ) A ．1＋i B ．1＋3i C ．－1－i D ．－1－3i答案 B解析 z ＝4＋i －(3－2i)＝1＋3i.3．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( ) A ．2 B ．2＋2i C ．4＋2i D ．4－2i答案 C4．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( ) A ．1＋i B ．2＋i C ．3 D ．－2－i答案 D解析由⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1，∴a ＋b i ＝－2－i.5．若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是________．解析 ∵P (－1,0)，Q (2,1)，∴PQ →＝(3,1)，∴PQ →对应的复数为3＋i.6．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________．答案 1解析由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴．|z －1|表示z 对应的点与(1,0)的距离．∴|z －1|min ＝1. 7．计算：(1)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)； (2)⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i . (3)已知z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋2i ，求z 1＋z 2，z 1－z 2. 解 (1)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i) ＝－7i ＋5－9＋8i ＋3－2i＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i. (2)⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ＝13＋12i ＋2－i －43＋32i ＝⎝⎛⎭⎫13＋2－43＋⎝⎛⎭⎫12－1＋32i ＝1＋i. (3)z 1＋z 2＝2＋3i ＋(－1＋2i)＝1＋5i ， z 1－z 2＝2＋3i －(－1＋2i)＝3＋i. 二、能力提升8．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( ) A ．－3i B ．3i C ．±3i D ．4i答案 B解析设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则z ＋3i ＝a ＋b i ＋3i ＝a ＋(b ＋3)i 为纯虚数， ∴a ＝0，b ＋3≠0，又|b |＝3，∴b ＝3，z ＝3i.9．复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作▱ABCD ，则|BD →|等于( ) A ．5 B ．13 C ．15 D ．17答案 B设D (x ，y )，F 为▱ABCD 的对角线的交点，则点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，32，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝4，y ＋0＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.所以点D 对应的复数为z ＝3＋3i ，所以BD →＝OD →－OB →＝(3,3)－(1,0)＝(2,3)，所以|BD →|＝13.10．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________．答案115＋3i 解析设这个复数为x ＋y i(x ，y ∈R ) ∴x ＋y i ＋x 2＋y 2＝5＋3i ，∴⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝5y ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝115y ＝3，∴x ＋y i ＝115＋3i.11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ，设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ， ∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．12．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．解法一设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)． ∴AC 中点为⎝⎛⎭⎫32，2，BD 中点为⎝⎛⎭⎫x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎨⎧32＝x 22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.法二设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ，由于AD →＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i. 三、探究与创新13．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB →，BC →，AC →对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积．解 (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ， BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i ， (2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形． (3)S △ABC ＝12×2×22＝2.。

高中数学复数及其运算课后练习新人教版选修22

复数及其运算课后练习复平面内，复数103i i +对应的点的坐标为（）A ．(1, 3)B ．(3, 1)C ．(1, 3)D ．(3, 1)当23<m<1时,复数在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限复数222aia i -+的模为2，则实数a 的值是．若复数i z +=1（i 为虚数单位) z -是z 的共轭复数，则2z +z -2的虚部为（）．A ．0B ． 1C ．1D ． 2复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是（）（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i若12iz i +=，则复数z =（）A ．i -2-B ．i -2+C ．i 2-D ．i 2+复数z 满足i i i z +=-2)(，则z =（）A ．i --1B ．i -1C ．i 31+-D ．i 21-若复数z 满足(2)117(z i i i -=+为虚数单位)，则z 为（）A ．3+5iB ．3－5iC ．－3+5iD ．－3－5i复数11i =+（）A ．1122i - B ．1122i+ C ．1i - D ．1i +1+2i+32i +…+1000999i =_____．已知复数z 与(z +2)28i 均是纯虚数，则z = ．复数a+bi 与c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）的积是纯虚数的充要条件是（）A ．0=-bd acB ．0=+bc adC ．00=+≠-bc ad bd ac 且D ．00≠+=-bc ad bd ac 且解方程1||2=-i z z （z 为复数）．已知复数z1满足(1+i)z1=－1+5i ， z2=a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若21z z -<|z1|，求a 的取值范围．已知复数z1=3+4i, z2=t+i, 且12z z ⋅是实数,则实数t=( ) A ．34 B ．43 C ．-43 D ．-34若12i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（）A ．2,3b c ==B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=复数及其运算课后练习参考答案A ．详解：i i i i i i i i i i i 3110301091030)3)(3()3(1031022+=+=--=-+-=+，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A ．D ．详解：考查复数的有关概念,不等式的性质等知识．当23<m<1时,得3m 2>0, m 1<0,故复数z 对应的点位于第四象限.3详解：因为1122||||z z z z =222424a a +=+，得a=3（先化简再求模也可以做）A ．详解：因为i z +=1，所以i z -=1，所以022)1()1(2222=-=-++=+i i i i z z ．D ．详解：iii i i i i i z +-=+--+-+-=++-=1555)2)(2()2)(3(23，所以其共轭复数为i z --=1．D ．详解：12i z i +=()221222211i i i i i ii ++-+====---，所以2z i =+．B ．详解：2()21iz i i i z i ii +-=+⇔=+=-．A ．详解:iii i i i i i z 5352515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=．故选A ．A ．详解：11111(1)(1)222iiii i i --===-++-．-500-500i ．详解：法1：原式=(1+2i -3-4i)+(5+6i -7-8i)+…+(997+998i -999-1000i) =250(-2-2i)=-500-500i法2：设 S ＝1+2i+32i +…+1000999i ，则iS ＝i+22i +33i +…+999999i +10001000i ，∴(1-i)S ＝1+i+2i +…+999i -10001000i =10001100010001i i --=--∴10005005001S ii -==---2i ．详解：设z=ai, a ∈R ，则(z +2)28i = 4a2+(4a 8)i∵(z +2)28i 均是纯虚数 ∴4a2=0且4a 8≠0，解得a=2．D ．详解：∵复数a+bi 与c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）的积是纯虚数，（a+bi ）（c+di ）=ac bd+（ad+bc ）i ，∴ac bd=0且ad+bc ≠0z=i 或iz 31-=．详解：设z=x+yi （x ，y ∈R ），则1)(222=--+yi x i y x即1)2(22=--+xi y y x ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+⇔01222x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧-==⇔3110或y x∴z=i 或iz 31-=．1<a<7．详解：由题意得 z1=i i++-151=2+3i ，于是21z z -=i a 24+-=4)4(2+-a ，1z =13．4)4(2+-a <13，得a2－8a+7<0，1<a<7．A ．详解：12z z ⋅=(3+4i)(t i)=(3t+4)+(4t 3)i∵12z z ⋅是实数 ∴4t 3=0，故t=34．D ．详解：因为i 21+是实系数方程的一个复数根，所以i 21-也是方程的根，则b i i -==-++22121，c i i ==-+3)21)(21(，所以解得2-=b ，3=c ，选D ．。

高中数学人教B版选修2-2《复数概念》课时习题含答案

《复数的概念》40分钟课时习题含答案一、单选题1．22,13,i i i i --中是虚数的有（）个A ．1B ．2C ．3D ．42．复数21i -的虚部为（）A ．1B ．1-C ．2iD ．23．若复数z ＝a ＋i 的实部与虚部相等，则实数a ＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．24．以2i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( )A ．2－2iB ．2＋iC D 5．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab =0”是“复数a −bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1或2D ．-17．下列说法正确的是（）A ．如果两个复数的实部的差与虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B ．ai 是纯虚数(a ∈R)C ．如果复数x +yi (x,y ∈R)是实数，则x =0且y =0D ．复数a +bi (a,b ∈R)不是实数8．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为( )A.12B ．2C ．0D ．1 9．以复数)(24R m mi ∈+-的实部为首项。

虚部系数为公差的等差数列，当且仅当n=10时，其前n 项和最小，则m 的取值范围是（）A 512>m B.38512≤<m C.38512<≤m D.38512<<m二、填空题10．已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________.11．设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1<z 2，则实数m 的取值范围为．12．=--=θθθ是纯虚数，则若复数)2cos 1(2sin i z三、解答题13．已知复数z ＝＋(a 2－5a －6)i (a ∈R)．实数a 取什么值时，z 是(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？参考答案一、选择题1．C【解析】22,13,1i i i i --=-中是虚数的有2,13i i i --三个，选C. 2．D【解析】复数2112i i -=-+的虚部为2,选D.3．B【解析】由于复数z ＝a ＋i 的实部与虚部分别为,1a ，故由题设可得1a =，应选答案B ． 4．A【解析】∵2i 2＋2i 2的实部为－2，∴所求复数为2－2i.5．B【解析】ab ＝0时，a ＝0或b ＝0，复数a －bi 为纯虚数时，a ＝0且b≠0，那么“ab ＝0”是“复数a －bi 为纯虚数”的必要不充分条件，故选B.6．B【解析】由得12a =或，且101a a -≠≠得，2a ∴=．7．A【解析】两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部的差与虚部的差都为0，故A 正确；B 中当a ＝0时，ai 是实数0；C 中x ＋yi 是实数，只需y ＝0就可以了；D 中当b ＝0时，复数a ＋bi 为实数.8．D[解析] 由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y ＝20＝1. 9．D【解析】由题意，等差数列{}n a 的首项241-=a ，公差d=m,由当且仅当n=10时其前n 项和最小，知01024,09241110>+-=<+-=m a m a 。

2020年人教A版选修2-2课后练习(14)(有答案解析)

2020年人教A版选修2-2课后练习（14）一、解答题（本大题共9小题，共108.0分）1.计算：(1)(2+4i)+(3−4i)；(2)5−(3+2i)(3)(−3−4i)+(2+i)−(1−5i)；(4)(2−i)−(2+3i)+4i．2.如图的向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是z，试作出下列运算的结果对应的向量：(1)z+1；(2)z−i；(3)z+(−2+i)．3.计算：(1)(6−5i)+(3+2i)；(2)5i−(2+2i)；(3)(23+i)+(1−23i)−(12+34i)；(4)(0.5+1.3i)−(1.2+0.7i)+(1−0.4i)．4. 在复平面内，复数6+5i ，−3+4i 对应的向量分别是OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中O 是原点，求向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数．5. 已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1+3i ，−i ，2+i ，求点D 对应的复数．6. 计算：(1)(−8−7i)(−3i)；(2)(4−3i)(−5−4i)；(3)(−12+√32i)(1+i)； (4)(√32i −12)(−12+√32i)7. 计算：(1)2i 2−i ；(2)2+i 7+4i ；(3)1(2−i)2；(4)5(4+i)2i(2+i)2．8.已知−3+2i是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，求实数p、q的值．9.利用公式a2+b2=(a+bi)(a−bi)，把下列各式分解成一次因式的积：(1)x2+4；(2)a4−b4．-------- 答案与解析 --------1.答案：解：(1)原式=5，(2)原式=2−2i ．(3)原式=−2+2i ．(4)原式=0．解析：利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：解：(1)设复数1对应的向量为OA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则z +1对应的向量为OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， (2)设−i 对应的向量为OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则z −i 对应的向量为OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， (3)设−2+i 对应的向量为OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则z +(−2+i)对应的向量为OZ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．作出以上三个向量如图：解析：分别画出复数1，−i ，−2+i 对应的向量，再由向量加法的平行四边形法则作图．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查向量的加法运算，是基础题． 3.答案：解：(1)(6−5i)+(3+2i)=9−3i ；(2)5i −(2+2i)=−2+3i ；(3)(23+i)+(1−23i)−(12+34i)=(23+1−12)+(1−23−34)i =76−512i ；(4)(0.5+1.3i)−(1.2+0.7i)+(1−0.4i)=(0.5−1.2+1)+(1.3−0.7−0.4)i =0.3+0.2i ．解析：直接利用实部加实部，虚部加虚部得答案．本题考查了复数代数形式的加法运算，是基础的计算题．4.答案：解：复数6+5i ，−3+4i 对应的向量分别是OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,5)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4)−(6,5)=(−9,−1)，BA⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(9,1)． ∴向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数分别为−9−i ，9+i ．解析：由已知求得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再由向量减法的坐标运算求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，则答案可求．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查向量减法的坐标运算，是基础题． 5.答案：解：复平面内A 、B 、C 对应的点坐标分别为(1,3)，(0,−1)，(2,1)，设D 的坐标(x,y)，由于AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(x −1,y −3)=(2,2)，∴x −1=2，y −3=2，解得x =3，y =5．故D (3,5)，则点D 对应的复数为：3+5i ．解析：设D 的坐标(x,y)，由于AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得(x −1,y −3)=(2,2)，求出x ，y 的值，即可得到点D 对应的复数．本题考查复数与复平面内对应点之间的关系，两个向量相等时坐标间的关系，得到(x −1,y −3)=(2,2)是解题的关键．6.答案：解：(1)原式=24i −21；(2)原式=−20−12+15i −16i =−32−i ．(3)原式=−12−√32+√3−12i. (4)原式=14−34−√34i ×2=−12−√32i.解析：利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：解：(1)2i 2−i =2i(2+i)(2−i)(2+i)=−2+4i 4+1=−25+45i ； (2)2+i 7+4i=(2+i)(7−4i)(7+4i)(7−4i)=18−i 49+16=1865−165i ； (3)1(2−i)2=13−4i =3+4i (3−4i)(3+4i)=3+4i 9+16=325+425i ；(4)5(4+i)2i(2+i)2=5(15+8i)i(3+4i)=75+40i −4+3i =(75+40i)(−4−3i)(−4+3i)(−4−3i)=−180−385i 16+9=−365−775i.解析：(1)分子分母同乘以2+i ，化简运算可得结果；(2)分子分母同乘以7−4i ，化简计算可得结果；(3)先运用完全平方公式，再乘以分母的共轭复数，计算可得结果；(4)先由完全平方公式，再乘以分母的共轭复数，计算可得所求结果．本题考查复数的乘除运算，考查化简运算能力，是一道基本题．8.答案：解：∵−3+2i 方程2x 2+px +q =0的一个根，∴2(−3+2i)2+p(−3+2i)+q =0，即(10−3p +q)+(2p −24)i =0．∴{10−3p +q =02p −24=0，解得{p =12q =26.解析：把−3+2i 代入方程2x 2+px +q =0的一个根，化简根据复数相等即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9.答案：解：(1)x 2+4=x 2+22=(x +2i)(x −2i)；(2)a 4−b 4=(a 2+b 2)(a 2−b 2)=(a +bi)(a −bi)(a +b)(a −b)．解析：(1)可令a =x ，b =2，代入可得所求结论；(2)首先运用平方差公式，再由已知公式，可得所求结论．本题考查复数范围内的因式分解问题，考查公式法的运用，化简运算能力，是一道基础题．。

数学选修2-2教材基础第五章21复数的加法与减法Word版含答案高考

§2 复数的四则运算2.1 复数的加法与减法随着虚数的产生,数系得到了进一步的扩充.同时,随着科学和技术的进步,逐步建立起来的复变数函数理论在应用于堤坝渗水的问题、建立巨大水电站时所提供的理论依据中越来越需要进行大量的加、减、乘、除、乘方、开方运算.早在1747年,法国著名的数学家达兰贝尔指出,如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是a+bi 的形式(a 、b 都是实数).他开创了复数四则运算的先河.高手支招1细品教材一、复数的加法1.复数的加法法则设z 1=a+bi,z 2=c+di 是任意两个复数,复数的加法按照以下法则进行:z 1+z 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.两个复数和仍是一个复数,其实部为a+c,虚部为b+d.因此,两复数相加就是将两个复数的实部相加作为和的实部,虚部相加作为和的虚部.【示例1】计算(7+5i)+(2+3i).思路分析:实部相加作为和的实部,虚部相加作为和的虚部.解:(7+5i)+(2+3i)=(7+2)+(5+3)i=9+8i.【示例2】计算:①(-2+3i)+(5-i);②(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b ∈R ).思路分析:直接运用复数的加减运算法则进行计算.解:①原式=(-2+5)+(3-1)i=3+2i.②原式=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i.2.复数加法的交换律、结合律对任何z 1,z 2,z 3∈C ,复数运算律如下:(1)交换律:z 1+z 2=z 2+z 1.证明:设z 1=a 1+b 1i,z 2=a 2+b 2i.则:z 1+z 2=(a 1+b 1i)+(a 2+b 2i)=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i,而z 2+z 1=(a 2+b 2i)+(a 1+b 1i)=(a 2+a 1)+(b 2+b 1)i,由a 1+a 2=a 2+a 1,b 1+b 2=b 2+b 1及复数相等的定义得:(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i=(a 2+a 1)+(b 2+b 1)i,∴z 1+z 2=z 2+z 1.(2)结合律:(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3).证明:设z 1=a 1+b 1i,z 2=a 2+b 2i,z 3=a 3+b 3i.(z 1+z 2)+z 3=［(a 1+b 1i)+(a 2+b 2i)］+(a 3+b 3i)=a 1+b 1i+a 2+b 2i+a 3+b 3i=(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)iz 1+(z 2+z 3)=(a 1+b 1i)+［(a 2+b 2i)+(a 3+b 3i)］=a 1+b 1i+a 2+b 2i+a 3+b 3i=(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i,∴(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3).状元笔记因为复数可以用向量表示,而向量的加法遵循平行四边形法则,所以复数的加法遵循平行四边形法则.3.复数加法的几何意义复数用向量表示以后,如果复数对应的向量不在同一直线上,那么这些复数的加法就可按向量加法的平行四边形法则来进行.设1OZ 及2OZ 分别与复数a+bi,c+di 对应,且1OZ 、2OZ 不在同一直线上,以1OZ 及2OZ 为两条相邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2,画x 轴的垂线PZ 1、QZ 2及RZ,并且画Z 1S ⊥RS.于是,点Z 的坐标是(a+c,b+d)，这说明OZ 就是复数(a+c)+(b+d)i 对应的向量. 由此可知,求两个复数的和,可以先画出与这两个复数对应的向量1OZ 、2OZ ,如果1OZ 、2OZ 不在同一直线上,再以这两个向量为两条邻边作平行四边形,那么与这个平行四边形的对角线OZ 所表示的向量OZ 对应的复数,就是所求两个复数的和.如果两个复数对应的向量在同一直线上,则画一条直线,平移2OZ ,使2OZ 的起点与1OZ 的终点Z 1重合,就得向量OZ ,OZ 对应的复数就表示复数z 1与复数z 2的和.【示例】已知复数z 满足z+|z|=2+8i,求复数z.思路分析:常规解法为设出z=a+bi(a,b ∈R ),代入等式后,可利用复数相等的充要条件求出a 、b.也可以将复数从实部与虚部角度来理解,即将方程化为:z=(2-|z|)+8i,则其实部为2-|z|，虚部为8,然后利用复数求模运算求得|z|.解法1: 将z=a+bi(a,b ∈R )代入等式,得a+bi+22b a +=2+8i,∴⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==++,8,15,8,222b a b b a a 解得∴z=-15+8i. 解法2:将方程化为:z=(2-|z|)+8i,∵|z|∈R ,∴2-|z|是z 的实部,于是,|z|=228|)|2(+-z ,即|z|2=68-4|z|+|z|2,∴|z|=17,∴z=(2-|z|)+8i=(2-17)+8i=-15+8i.二、复数的减法1.复数的减法法则设z 1=a+bi,z 2=c+di 是任意两个复数,复数的减法按照以下法则进行:z 1-z 2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.证明:根据复数的加法法则和复数相等的定义,有c+x=a,d+y=b,即x=a-c,y=b-d,∴(x+yi)=(a-c)+(b-d)i,∴(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.两个复数差仍是一个复数,其实部为a-c,虚部为b-d.因此,两复数相减就是将两个复数的实部相减作为差的实部,虚部相减作为差的虚部.【示例】计算(1-3i)-(2+5i).思路分析:实部相减作为差的实部,虚部相减作为差的虚部.解:(1-3i)-(2+5i)=(1-2)+(-3-5)i=-1-8i.状元笔记复数z 1-z 2所对应的向量，实质上就是从复数z 2所对应的点指向复数z 1所对应点的向量;而两复数z 1与z 2差的模就是这两个复数所对应的两点之间的距离.两复数的加法和减法的几何意义均可用平行四边形法则来表达.2.复数减法的几何意义复数减法的运算同样适应向量的平行四边形法则和三角形法则.设OZ 与复数a+bi 对应,1OZ 与复数c+di 对应,如图以OZ 为一条对角线,1OZ 为一边画平行四边形,那么这个平行四边形的另一边2OZ 所表示的向量就与复数(a-c)+(b-d)i 对应.这是因为Z Z 1与2OZ 平行且相等,所以向量Z Z 1也与这个差对应,实际上,两个复数差z-z 1(即OZ -Z Z 1)与连结两个终点,并指向被减数的向量对应,这是复数减法的几何意义.【示例】已知z-|z|=-1+i,求复数z.思路分析:设z=x+yi(x,y ∈R )将原复数方程转化为实数方程问题.解:设z=x+yi(x,y ∈R ),由题意,得x+yi-22y x +=-1+i,即(x-22y x +)+yi=-1+i,根据复数相等的定义得: ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-,1,122y y x x 解得⎩⎨⎧==,1,0y x ∴z=i. 高手支招2基础整理本节内容主要阐述了复数的四则运算中的加法运算、减法运算,复数加减法的几何意义.本节的知识结构如下:。