广西南宁市2017_2018学年高二数学下学期第一次月考试题文-含答案 师生通用

广西南宁市第三中学2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题
文
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；每小题仅有一个答案是正确的，请
选出正确答案。

）
1．已知集合{}
{
}
2
21,30A x x B x x x =-<<=-<，那么A B = （ ） A. {}
23x x -<< B. {}
01x x <<
C. {
}
20x x -<<
D. {
}
13x x <<
2．已知i 是虚数单位，则复数2
1i
=+（ ）
A. 2i -
B. 2i
C. 1i -
D. 1i +
3．某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图。

已知该市的各月 最低气温与最高气温具有较好的线性关系， 则根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A. 最低气温与最高气温为正相关
B. 10月的最高气温不低于5月的最高气温
C. 月温差（最高气温减最低气温）的 最大值出现在1月
D. 最低气温低于0℃的月份有4个
4．已知曲线()3
2
2f x x ax =-+在点()()
1,1f 处切线的倾斜角为34
π
，则a 等于（ ）
A. 2
B. 2-
C. 3
D. 1-
5．在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边长，1cos b c
A c
++=，则三角形的形状为（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形
C. 正三角形
D. 直角三角形
6．设实数,x y 满足不等式组2
2 0
y x y x y +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，则4y x +的取值范围是（ ）
A. 10,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
B. 10,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C. 10,
2⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D. 10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
7．设R b a ∈,，则“22b a >”是“033>>b a ”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．如图所示，程序框图的输出值S =（ ）
A ．15
B ．22
C ．24
D ．28
第8题图 第9题图
9．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm 3
A. 6+
3
2
π B. 62
3
π+
C. 4+
32
π D. 4+
23
π 10．已知函数()f x 对一切实数,a b 满足()()()f
a b f a f b
+=⋅,且()12f =,若()()()
()
2
*221n f n f n a n N f n ⎡⎤+⎣⎦=∈-,则数列{}n a 的前n 项和为( )
A. n
B. 2n
C. 4n
D. 8n
11．已知双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >），过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、
B 两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. 31,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
B. ()1,2
C. 3,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
D. ()2,+∞
12．已知函数3ln ,1()1,1x
x f x x x x ⎧≥⎪
=⎨⎪-+<⎩
，若关于x 的方程()f x k =有三个不同的实根，则实数k
的取值范围是（ ）
A. (],0-∞
B. 1(0,)e
C. 1(,)e
-∞
D. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知等差数列{}n a 的678a a a ++=9，则前13项的和为_____________.
14．若θ为锐角，sin θ=
sin 4πθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭__________． 15．设数列{}n a 的前n 项和为S n ，已知S n =2n －a n （n∈N +），通过计算数列的前四项，猜想
n a =___.
16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()10f =，
()()
2
0(0)xf x f x x x ->>'，则不等
式()0xf x >的解集是__________．
三、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余小题各12分，共70分）
17．（本题10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，满足()cos 2cos 0c B a b C ++= （1）求角C ；
（2）若c =ABC ∆面积的最大值.
18．（本题12分）已知等差数列{}n a 中,n S 是数列{}n a 的前n 项和,且255,35.a S == （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设数列1n S n ⎧
⎫
⎨⎬-⎩⎭
的前n 项和为n T ,求n T .
19．（本题12分）某小学为迎接校运动会的到来，在三年级招募了16名男志愿者和14名女志愿者．调查发现，男、女志愿者中分别各有10人和6人喜欢运动，其余人员不喜欢运动．
（1）根据以上数据完成2×2列联表，并说明是否有95%的把握认为性别与喜欢运动有关；
（2）如果喜欢运动的女志愿者中恰有4人懂得医疗救护，现从喜欢运动的女志愿者中抽取2名负责处理应急事件，求抽出的2名志愿者都懂得医疗救护的概率.
附：K2＝
()
()()()()
2
n ad bc
a b c d a c b d
-
++++
，
20．（本题12分）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，6AB =，BC =
AC =D 为线段AB 上的点，且2AD DB =，PD AC ⊥.
（1）求证：PD ⊥平面ABC ； （2）若4
PAB π
∠=，求点B 到平面PAC 的距离.
21．（本题12分）在平面直角坐标系xOy 中,动点P 到两点())
,
的距离之和等于
4,设动点P 的轨迹为曲线C ,直线L 过点(1,0)E -且与曲线C 交于A ,B 两点. （1）求曲线C 的方程;
（2）ΔAOB 的面积是否存在最大值?若存在,求此时ΔAOB 的面积,若不存在说明理由.
22．（本题12分）已知函数()x x
f x e
=
. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）证明：12ln x x e ex
>-.
南宁三中2017~2018学年度下学期高二月考（一）文科数学试题答案
1．A 【解析】∵{}{}{}
21,03,23A x x B x x A B x x =-<<=<<∴=-<< ，故选：A 。

2．C 【解析】
()()()
212
1111i i i i i -==-++-，选C. 3．D 【解析】由图可以看出，当最低气温较大时，最高气温也较大，故A 正确；10月份的最高气温大于20C ︒，而5月份的最高气温为不超过20C ︒，故B 正确；从各月的温差看，1月份的温差最大，故C 正确；而最低气温低于0C ︒的月份是1，2，4三月份，故D 错，选D.
4．A 【解析】因为()2
32f x x ax '=-，所以()132f a '=-，由已知得321a -=-，解得2a =，
故选A.
5．D 【解析】∵1cos b c A c ++=，∴cos b
A c =，即
2222b c a b b c c +-=，去分母得：222b c a +- 22b =，即222a b c +=，则ABC ∆为直角三角形，故选D.
6．B 【解析】作出不等式的可行域，如图所示：
4
y
x +可以看作阴影部分内的点(x,y)与定点P(-4,0)连线的斜率， 由图可知，AP 的斜率最大，()201(
)4042
max y x -==+--， x 轴上的点与P 连线斜率最小为0，所以
10,42y x ⎡⎤
∈⎢⎥+⎣⎦
. 故选B. 7．B 【解析】若330a b >>，则0a b >>，有220a b >>；若22
a b >，当2,1a b =-=时，
38a =-
31b <=，所以“22a b >”是“330a b >>”的必要不充分条件.
8．C 【解析】由程序框图，得：200,1<==S i ；203,3<==S i ；208,5<==S i ；
7,15i S ==
20<；2024,9>==S i ；结束循环，输出S 值；故选C ．
9．A 【解析】根据三视图可知几何体是组合体：左边是直三棱柱、右边是半个圆柱，且三棱
柱的底面是等腰直角三角形：直角边是2，高是3，圆柱的底面圆半径是1，母线长是3，∴几何体的体积2113223136222
V ππ=
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+，本题选择A 选项. 10．C 【解析】由()()()()12f a b f a f b f +=⋅=，，得()()()2
11112f f f +=⋅=，
()()()321212f f f +=⋅=，…，()*2n f n n N =∈，，所以()()()2
221n f n f n a f n ⎡⎤+⎣
⎦==-
2221
2242n n
n -+=，所以数列{}n a 的前n 项和为4n ．选C ．
11．D 【解析】AB 是双曲线通径， 22b AB a =，由题意2b a c a
+<，即2
222
a a
c b c a +<=-，
2220c ac a -->，即220e e -->，解得2e >（1e <-舍去），故选D ．
12．B 【解析】由题意得当1x ≥时，2
1ln ()x
f x x
-'=
，所以当1x e ≤≤时，()0f x '≥；当x e > 时，()0f x '<，所以()f x 在[)1,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以当x e =时，
()f x 取得极大值1
()f e e
=，又(1)0f =，当1x >时，
ln ()0x f x x
=>，当1x <时，函数3()1f x x =-+为
减函数，作出()f x 的图象如图所示，所以当1
0k e
<<时，
()f x k =有3个不同的实数根，故选B.
13．39【解析】由等差数列的性质知678739a a a a ++==，73a =，所以
1371313339
S a ==⨯=． 14
．
10因为θ
为锐角，sin 5θ=，
所以cos 5θ=，sin sin cos 44ππθθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭ cos sin
4
π
θ-
=
. 15．121
2
n n --【解析】当1n =时，112a a =-，解得11a =，当2n =时，1224a a a +=-，解
得232a =
，当3n =时，12336a a a a ++=-，解得32
2
7
a =，当4n =时，
123448a a a a a +++=-，解得43215a =.故可猜想121
2
n n n a --=.
16．()(),11,-∞-⋃+∞【解析】
()()
2
'0(0)xf x f x x x
->> ，设函数()(),f x g x x =
()'g x =
()()
()2
'0,xf x f x g x x ->∴的单调递增区间为()()()()0,,f x f x g x x
x
--+∞-=
=
--
()g x =，()g x ∴单调递减区间为()()()(),0,10,10.10f g g -∞=∴=-= ，所以当
1x <-时，()0g x >，当10x -<<时，()0g x <；当01x <<时，()0g x <；当1
x >时，()0g x >，因为不等式()0xf x >的解集等价于()0g x >，所以当1x <-或1x >时，
()0g x >，不等式()0xf x >的解集{|1x x <-或1}x >，故答案为{|1x x <-或1}x >.
17．【解析】（1）由已知得:()sin cos 2sin sin cos 0C B A B C ++=，
则sin cos sin cos 2sin cos 0C B B C A C ++=
∴()sin 2sin cos 0B C A C ++=，则sin 2sin cos 0A A C += ∵sin 0A >，∴1cos 2C =-
，∵()0,C π∈，∴23
C π
= （2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：22
323a b ab ab ab ab =++≥+=
∴1ab ≤，当1a b ==
时取等号，∴11sin 122ABC S ab C ∆=
≤⨯=
∴ABC ∆
18．【解析】(1)设等差数列的首项为1a ,公差为d ,因为255,35.
a s ==
得13 2a d =⎧⎨
=⎩, ∴数列{}n a 的通项公式是*21,n a n n N =+∈.
(2)13,21n a a n ==+ ,()()
13212
2
n n n a a n n S +++∴=
=
=2
2n n +,
2
11
n S n n n ∴
=-+=()11111
n n n n =-++, 12111
111n n T S S S ∴=++⋅⋅⋅+---
=1111
112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-
+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
=1111n n n -=++. 19．【解析】(1)
由已知数据可得，
k ＝2
30108-6616141614
⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）≈1.1575<3.841，因此，没有95%的把握认为性别与喜欢运动有关．
(2)喜欢运动的女志愿者有6人，分别设为A ，B ，C ，D ，E ，F ，其中A ，B ，C ，D 懂得医疗救护，则从这6人中任取2人的情况有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，
C )，(B ，
D )，(B ，
E )，(B ，
F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15
种，
其中两人都懂得医疗救护的情况有(
A ，
B )，
(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(
B ，D )，(
C ，
D )，共6种．
设“抽出的2名志愿者都懂得医疗救护”为事件A ，则P (A )
＝615＝2
5
． 20．【解析】（1）证明：连接CD ，据题知4, 2.AD BD ==
222,90,AC BC AB ACB +=∴∠= cos ABC ∠=
=
22212228CD ABC ∴=+-⨯⨯∠=CD ∴=
222CD AD AC ∴+=,则CD AB ⊥.
又因为PAB ABC ⊥平面平面，所以,,CD PAB CD PD ⊥∴⊥平面
因为PD AC ⊥，,AC CD 都在平面ABC 内，所以PD ⊥平面ABC ； （2）,4
PAB π
∠=
4,PD AD ∴=
=PA ∴=
Rt PCD PC ∴∆==在中，
PAC ∴∆
是等腰三角形，,PAC S B PAC d ∆∴=可求得到平面的距离为
B PA
C P ABC V V --=由，11,33PAC ABC S d S P
D ∆∆∴⨯=⨯=3.ABC PAC
S PD
d S ∆∆⨯∴= 3B PAC 故点到平面的距离为
21．【解析】 (1)由椭圆的定义可知，点P 的轨迹是椭圆
设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b +=>>,
由题意可得c =2a =，则1b =
所以椭圆的方程为2
2 1.4x y +=
(2)设直线:1l x my =-
()22
4230m y my +--=， 22412480m m ∆=++>，12224m y y m +=
+，12
23
4
y y m ⋅=-+
∴2112
12AOB
S OE y y =-==,
令t t =
≥则(
)1
,g t t t t =+≥
∵(
))
,g t ∞+在为增函数
∴(
)g t ≥
∴)0AOB S m ≤=等号成立
，则max ()AOB S = 22．【解析】（1）由题意可得()1'x
x
f x e -=
，令()'0f x =，得1x =. 当(),1x ∈-∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，函数()f x 单调递减.
一份耕耘，一份收获
功夫不负有心人 所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞，()f x 的单调递减区间为()1,+∞.
（2）要证12ln x x e ex >-成立，只需证2ln x x x x e e
>-成立. 令()ln g x x x =，则()'1ln g x x =+，令()'1ln 0g x x =+=，则1x e =
， 当10,x e ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()'0g x >， 所以()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()11g x g e e ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭， 又由（1）可得在()0,+∞上()()max 11f x f e ==
， 所以max
21x x e e e ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以不等式得证.。