集合论大作业

合集下载

集合论总复习习题

• 解：a) 可构成2101个子集 b) 有2100个子集元素为奇数 c) 不能有102个元素的子集
2
作业讲评 P86 3-1.(10)
(10)设S = {a1, a2, ..., a8}, 由B17 和B31所表示的S的子集各是什么? 应如何表示子集{a1, a8} ,{a2, a6 ,a7}和
• (1) Show that R is an equivalence relation.
• (2) Compute A/R
∵即⑴a证 +ab：, =bRb是+S，a自则反<∴，a,对<ba>称,b>，AR传<a递,b 的>
∴ R自反
⑵令<a, b>R <c, d>，即a+d=b+c
∴ c + b= d + a ∴<c, d>R<a, b> ∴ R对称
<<2,1>, <2,1>>, <<2,1>, <3,2>>, <<2,1>, <4,3>>,
<<3,1>, <3,1>>, <<3,1>, <4,2>>，
<<4,1>, <4,1>>}
20
作业讲评
• Let S = {1,2,3,4} and let A = SS. Define the following relation R on A: <a,b>R<c,d> if and only if a+d=b+c.

哈工大集合论习题

第一章习题1.写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。

2.下列命题中哪些是真的，哪些为假3设有n 个集合12,,,n A A A 且121n A A A A ⊆⊆⊆⊆，试证： 12n A A A === 4.设{,{}}S φφ=，试求2S5.设S 恰有n 个元素，证明2S 有2n 个元素。

6.设A 、B 是集合，证明:(\)()\A B B A B B B φ=⇔=7.设A 、B 是集合，试证A B A B φ=⇔=∆8. 设A 、B 、C 是集合，证明：()()A B C A B C ∆∆=∆∆9.设A 、B 、C 为集合，证明$)($\A B C A B C =10.设A ，B ，C 为集合，证明：()(\)A B C A C B C =11.设A,B,C 为集合，证明： ()(\)A B C A C B C =12.设A,B,C 都是集合，若A B A C =且A B B C =，试证B=C 。

13.设A,B,C 为集合，试证：(\)A B C A B C B =14.设X Y Z ⊆⊆，证明(\)Z Y X X Z Y =15.下列命题是否成立（1）(\)A B C A B C =（2）(\)()\A B C A B C =（3）\()()\A B C A B B =16．下列命题哪个为真a)对任何集合A,B,C ，若A B B C =，则A=C 。

b)设A,B,C 为任何集合，若A B A C =，则B=C 。

c)对任何集合A,B ，222A B A B =。

d)对任何集合A,B ，222A BA B =。

e)对任何集合A,B ，\22\2A B A B =。

f)对任何集合A,B ，222A B A B ∆=∆。

17．设R,S,T 是任何三个集合，试证：（1）()()S T S T S T ∆=∆；（2）()()()R S T R S R T ∆⊇∆∆；（3）()()()()()R S R T R S T R S R T ∆∆⊆∆⊆∆∆；（4）()()()R S T R S R T ∆⊇∆18．设A 为任一集，{}I B ξξ∈为任一集族（I φ≠），证明：()()I I A B A B ξξξξ∈∈= 19．填空：设A,B 是两个集合。

离散数学集合论部分形成性考核书面作业2答案

离散数学集合论部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。

本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业。

一、填空题1．设集合{1,2,3},{1,2}==，则P(A)-P(B )= {{3}, {1,2,3}, {1, 3 },A B{2,3}} ，A⨯B= {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>} ．2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为1024 ．3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系，∈∈R⋂x∈>且=且y<{BA,,}yxAyBx则R的有序对集合为{<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>}，<3, 3>．4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系R＝}yyx∈=>x∈<,,x,2{ByA那么R－1＝{<6，3>，<8，4>}5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}，则R具有的性质是反自反性，反对称性．6．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={<a, a >, <b, b>, <b, c>, <c, d>}，若在R中再增加两个元素<c, b>, <d, c>，则新得到的关系就具有对称性．7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有 2 个．8．设A={1, 2}上的二元关系为R={<x, y>|x∈A，y∈A, x+y =10}，则R的自反闭包为{<1, 1>, <2, 2>} ．9．设R是集合A上的等价关系，且1 , 2 , 3是A中的元素，则R中至少包含<1, 1>, <2, 2>, <3, 3> 等元素．10．设集合A={1, 2}，B={a, b}，那么集合A到B的双射函数是{<1, a >, <2, b >}，或{<1, b >, <2, a >}二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．若集合A = {1，2，3}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<1, 2>}，则(1) R是自反的关系；(2) R是对称的关系．(1) R 不是自反关系，因为没有有序对<3,3>. (2) R 不是对称关系，因为没有有序对<2,1>2．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，判断结论：“R -11、R 1∪R 2、R 1∩R 2是自反的” 是否成立？并说明理由．解：成立．因为R 1和R 2是A 上的自反关系，即I A ⊆R 1，I A ⊆R 2。

集合论作业

9
§3 关系的特性
1. 设 A＝{1, 2, 3}, 定义 A 上的二元关系如下: R＝{1, 1, 2, 2}, S＝{1, 1, 1, 2, 2, 1}, T＝{1, 2, 1, 3}, U＝{1, 3, 1, 2, 2, 1}.
试说明 R, S, T, U 是否是 A 上的对称关系和反对称关系.
2. 在 R2 平面上画出下述关系的关系图, 判断每一关系成立哪些性质. (1) R1＝{x, y | x＝y}. (2) R3＝{x, y | | x |≤1 且| y |≥1}.
3. 设 A＝{1, 2, 3, 4}, 确定下列关系是否是自反的, 反自反的, 对称的, 反对称的或传递的.
.
5
单元测试题（一）
一、单项选择题
1. 若集合 A＝{a, b, c}, 为空集合, 则下列表示正确的是( )
(A) {a}A
(B) {a}A
2. 对任意集合 S, S∪＝S, 满足(
(C) aA )
(D) A
(A) 幂等律
(B) 零一律
(C) 同一律
(D) 互补律
3. 设 S1＝, S2＝{}, S3＝P({}), S4＝P(), 以下命题为假的是( )
3. 找出由关系图所确定的关系并且给出它的关系矩阵.
f d e
b
c
a
7
§2 关系的运算
1. 设 A＝{1, 2, 3, 4}, R＝{1, 2, 2, 4, 3, 4, 4, 4}, S＝{1, 3, 2, 4, 4, 2, 4, 3}. (1) 求出 R∪S, R∩S, R－S, R1. (2) 求出 dom (R), ran (R), dom (R∩S), ran (R∩S).

第1-4-5章集合论(含答案)

求 A 的子集{3，4，5}和{1，2，3}，的上界，下界，上确界和下确界。
答案：{3，4，5}：上界：1，3；上确界：3；下界：无；下确界：无； {1，2，3}：上界：1；上确界：1；下界：4；下确界：4。 10、设 A={1,2,3,4,5},A 上偏序关系 R={〈1，2〉，〈3，2〉，〈4，1〉，〈4，2〉，〈4，3〉，〈3，5〉，〈4，5〉}∪IA; (1)作出偏序关系 R 的哈斯图 (2)令 B={1,2,3,5}，求 B 的最大，最小元，极大、极小元，上界，下确界，下界，下确界。答案：.(1)偏序关系 R 的哈斯图为
6
12、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到 B 的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y2｝，求 R 和 R-1 的集合表示和关系矩阵表示。
答：（1）R={<1,1>,<4,2>} (2) R 1 ={<1,1>,<2,4>}
3
1 1 4、设集合 A a, b, c, d 上的二元关系 R 的关系矩阵为 M R 0 0
矩阵，并画出 R， r ( R), s( R), t ( R) 的关系图。
0 0 0 0
0 1 0 0
0 1 ,求 r ( R), s( R), t ( R) 的关系 0 1
16、设|X|=n，|Y|=m 则（1）从 X 到 Y 有（2）当 n , m 满足 n=m
时，存在双射有
17、在 0（（4））之间写上正确的符号。 (1) = (2) (3) (4) 18、若集合 S 的基数|S|=5，则 S 的幂集的基数|P(S)|=（ 32 ）。 2 2 19、设 P={x|(x+1) 4 且 x R},Q={x|5 x +16 且 x R},则下列命题哪个正确（ (1) Q P (2) Q P (3) P Q (4) P=Q 20、判断下列命题哪几个为正确？( ) 答：（2），（4） (1) {Ф}∈{Ф,{{Ф}}} (2) {Ф} {Ф,{{Ф}}} (4) Ф {Ф} (5) {a,b}∈{a,b,{a},{b}} 21．设 A={1， 2， 3， 4}， A 上关系图如右图所示， 2 R = 。 (3) Ф∈{{Ф}}

集合论、图论重要习题100

例：1、设A,B是两个集合,B≠¢,试证:若A×B=B×B, 则A=B。

2、设A,B,C,D是任意四个集合，证明：（A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)3、某班30名学生中学英语有7人，学日语有5人，这两科都选有3人，问两科都不选的有多少人？(|AC∩BC|+|A∪B|=30, |AC∩BC|=21人)4、令N={1,2,3,…}，S:N→N，则(1)∀n∈N,S(n)=n+1,Ｓ称为自然数集N上的后继函数。

(2)S(1)=1,∀n∈N,S(n)=n-1,n≥2,Ｓ称为自然数集N 上的前仆函数。

5、设f:N×N →N,f((x,y))=xy。

则（1）说明f是否是单射、满射或双射？（2）求f(N×{1}),f-1({0})。

(1,4)≠(2,2),f((1,4))=f((2,2))=4；∀y∈N,f((1,y))=1·y=y,任一元都有原象；[f不是单射,f是满射]f(N×{1})={n·1|n ∈N}=N；f-1({0})={(x,y)|xy=0}={N×{0}}⋃{{0}×N}。

6、设R、I、N是实数、整数、自然数集合，下面定义映射f1,f2,f3,f4,f5,f6，试确定它们的性质。

（0 ∈N）（1）f1:R→R,f1(x)=2x；（2）f2:I→N,f2(x)=|x|；f1单射，不是满射。

f2不是单射，满射。

（3）f3:N→N,f3(n)=n(mod3)；（4）f4:N→N×N,f4(n)=(n,n+1)；f3不是单射，不是满射；f4单射，不是满射。

（5）f5:R→R,f5(x)=x+2；（6）f6:R→R,f6(x)=x2,x≥0,f6(x)=-2,x<0；f5是双射(单射,满射)；f6不是单射,不是满射。

7、证明：在52个正整数中，必有两个整数，使得这两个整数之和或差能被100整除。

离散数学集合论部分形成性考核书面作业9

本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业。

要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2018年11月7日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。

并在03任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，完成并上交任课教师。

一、填空题1．设集合{1,2,3},{1,2}==，则P(A)-P(B )={{3}, {1,2,3}, {1, 3 },A B{2,3}}，A⨯B={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>}．2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为1024．3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系，∈R⋂x∈>y且=且∈<{B,,xAyAyBx}则R的有序对集合为{<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>}，<3, 3>．4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系R＝}yyx∈=<>∈x,,x,2{ByA那么R－1＝{<6，3>，<8，4>}5．设集合A=｛a,b,c,d｝，A上的二元关系R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}，则R具有的性质是反自反性，反对称性．6．设集合A=｛a,b,c,d｝，A上的二元关系R={<a, a>, <b, b>, <b, c>, <c, d>}，若在R中再增加两个元素<c, b>, <d, c>，则新得到的关系就具有对称性．7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有2个．8．设A={1,2}上的二元关系为R={<x,y>|x∈A，y∈A,x+y=10}，则R的自反闭包为{<1,1>,<2,2>}．9．设R是集合A上的等价关系，且1 , 2 , 3是A中的元素，则R中至少包含<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>等元素．10．设集合A={1, 2}，B={a, b}，那么集合A到B的双射函数是{<1, a >, <2, b >}，或{<1, b >, <2, a >}二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．若集合A = {1，2，3}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<1, 2>}，则(1) R是自反的关系； (2) R是对称的关系．(1)R不是自反关系，因为没有有序对<3,3>.(2)R不是对称关系，因为没有有序对<2,1>2．如果R1和R2是A上的自反关系，判断结论：“R-11、R1∪R2、R1∩R2是自反的”是否成立？并说明理由．解：成立．因为R1和R2是A上的自反关系，即I A⊆R1，I A⊆R2。

离散数学集合论哈工大答案

Z \ (Y \ X ) X ( Z \ Y ) 。
反之， x X ( Z \ Y ) ，则 x X 或 x Z \ Y 。若 x X ，则由 X Y Z 有 x Y , x Z ，故 x Y \ X ，因此 x Z \ (Y \ X ) 。若 x Z \ Y ，则 x Z 但 x Y ，故 x Y \ X ，因此 x Z \ (Y \ X ) 。从而
1
解： 2S { ,{ },{{ }},{ ,{ }}} 7.设 S 恰有 n 个元素，证明 2S 有 2n 个元素。证明：（1）当 n＝0 时， S , 2 S { }, 2S 1 20 ，命题成立。（2）假设当 n k ( k 0, k N ) 时命题成立，即 2 S 2k （ S k 时）。那么对于 S1 （ S1 k 1 ）， 2S1 中的元素可分为两类，一类为不包含 S1 中某一元素 x 的集合，另一类为包含 x 的集合。显然，这两类元素个数均为 2k 。因而 2 S1 2k 1 ，亦即命题在 n k 1 时也成立。由（1）、（2），可证得命题在 n N 时均成立。
S T ( S T ) ( S T ) 。
反之，因为 ( S T ) ( S T ) ，故
教材习题解答
第一章集合及其运算
P8 习题 3. 写出方程 x 2 2 x 1 0 的根所构成的集合。解： x 2 2 x 1 0 的根为 x 1 ，故所求集合为 {1} 4.下列命题中哪些是真的，哪些为假 a)对每个集 A， A ；b)对每个集 A， A ； c)对每个集 A， A { A} ；d)对每个集 A， A A ； e)对每个集 A， A A ；f)对每个集 A， A { A} ； g)对每个集 A， A 2 A ；h)对每个集 A， A 2 A ； i)对每个集 A， { A} 2 A ；j)对每个集 A， { A} 2 A ； k)对每个集 A， 2 A ；l)对每个集 A， 2 A ； m)对每个集 A， A { A} ；n) { } ； o) {} 中没有任何元素；p)若 A B ，则 2 A 2 B q)对任何集 A， A {x | x A} ；r)对任何集 A， {x | x A} { y | y A} ； s)对任何集 A，y A y {x | x A} ； t)对任何集 A， {x | x A} { A | A A} ；答案：假真真假真假真假真假真真假假假真真真真真 5.设有 n 个集合 A1 , A2 , , An 且 A1 A2 An A1 ，试证： A1 A2 An 证明：由 A1 A2 A4 An A1 ，可得 A1 A2 且 A2 A1 ，故 A1 A2 。同理可得： A1 A3 A4 An 因此 A1 A2 A3 An 6.设 S { ,{ }} ，试求 2S ？

数学集合作业及答案

数学集合作业及答案数学集合论部分形成性考核书面作业要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第11周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。

并在03任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，完成并上交任课教师。

一、填空题1．设集合{1,2,3},{1,2}==，则P(A)-P(B )= {{3}，{1,3}，{2,3}，A B{1,2,3}} ，A⨯B= {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3.2>} ．2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ．3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系，则R的有序对集合为 {<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>}，<3,3> ．4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系R＝}x∈yxy=<>∈{B,,2,Ayx那么R－1＝ {<6,3>,<8,4>}5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}，则R具有的性质是没有任何性质．6．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={<a, a >, <b, b>, <b, c>, <c, d>}，若在R中再增加两个元素{<c,b>,<d,c>} ，则新得到的关系就具有对称性．7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有 2 个．8．设A={1, 2}上的二元关系为R={<x, y>|x∈A，y∈A, x+y =10}，则R的自反闭包为 {<1,1>,<2,2>} ．9．设R 是集合A 上的等价关系，且1 , 2 , 3是A 中的元素，则R 中至少包含 <1,1>,<2,2>,<3,3> 等元素．10．设集合A ={1, 2}，B ={a , b }，那么集合A 到B 的双射函数是 {<1, a >, <2, b >}或{<1, b >, <2, a >} ．二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．若集合A = {1，2，3}上的二元关系R ={<1, 1>，<2, 2>，<1, 2>}，则 (1) R 是自反的关系； (2) R 是对称的关系．（1）错误。

集合论练习题

3、设R和S定义在P上，P是所有人的集合。定义在P 是所有人的集合。 R={<x,y>|x,y∈ R={<x,y>|x,y∈P∧x是y的父亲}；的父亲} S={<x,y>|x,y∈ S={<x,y>|x,y∈P∧x是y的母亲}；的母亲} c RºR表示的关系是表示的关系是: ºR表示的关系是表示的关系是: ⑴RºR表示的关系是: A: ；⑵ S ºR表示的关系是: B: ； c 表示的关系是： ⑶ SºR 表示的关系是：C：；关系{<x,y>|x,y∈ 的外祖母}的关系表达式是: ⑷关系{<x,y>|x,y∈P∧y是x的外祖母}的关系表达式是: D: ；关系{<x,y>|x,y∈ 的祖母}的关系表达式是： ⑸ 关系{<x,y>|x,y∈P∧x是y的祖母}的关系表达式是： E：。供选择的答案：供选择的答案： A，B，C：① {<x,y>|x,y∈P∧x是y的丈亲}； {<x,y>|x,y∈ 的丈亲} {<x,y>|x,y∈ 的孙子或孙女} ② {<x,y>|x,y∈P∧x是y的孙子或孙女}；③ ∅； {<x,y>|x,y∈ 的祖父} ④ {<x,y>|x,y∈P∧x是y的祖父}； {<x,y>|x,y∈ 的祖母} ⑤{<x,y>|x,y∈P∧x是y的祖母} D，E：⑥ScºS；⑦RºS；⑧ScºSc； ⑨SºR ºS； RºS；
计算题
1、设F、G是整数集Z上的关系，其定义为：是整数集Z上的关系，其定义为： F＝{<x,y>｜x,y∈Z∧x+3y=12} {<x,y>｜x,y∈ G＝{<x,y>｜x,y∈Z∧y=x2+1} {<x,y>｜x,y∈ 求：Fc，FºG，GºF。 FºG，GºF。 2、已知A＝{a,b,c,d,e}，A上的关系R定义为：已知A {a,b,c,d,e}，上的关系R定义为： R＝{<a,b>，<b,a>，<a,c>，<b,d>，<d,a>， {<a,b>，<b,a>，<a,c>，<b,d>，<d,a>， <e,e>，<e,c>，<e,d>}， <e,e>，<e,c>，<e,d>}，求：r(R)，s(R)，t(R)。 r(R)，s(R)，t(R)。

离散数学集合论综合练习作业辅导

离散数学集合论综合练习作业辅导(10春)一、单项选择题A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )．A．{a，{ a }}∈A B．{ a }⊆AC．{2}∈A D．∅∈A正确答案：BA={a，b，{1，2 }}，B={1，2}，则（）．A．B⊂ A B．A⊂ BC．B∉A D．B∈ A正确答案：D注意：这两个题是重点，大家一定要掌握，还有灵活运用。

3．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．A．{{1}, {a}} B．{∅,{1}, {a}}C．{∅,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }}正确答案：C注意：若A是n元集，则幂集P(A )有2 n个元素．当n=1时，A的幂集是什么？4．设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={<a , b>⎢a , b∈A , 且a =b }，则R具有的性质为（）．A．不是自反的B．不是对称的C．反自反的D．传递的正确答案：D要求大家能熟练地写出二元关系R的集合表达式，并能判别R具有的性质．5．设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<4 , 4>}，S = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<3 , 2>，<4 , 4>}，则S是R的（）闭包．A．自反B．传递C．对称D．以上都不对正确答案：C定义：A上包含R的自反（对称、传递）关系，叫做R的自反（对称、传递）闭包。

6．设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系的哈斯图如右图所示，若A的子集B = {3 , 4 , 5}，则元素3为B的（）．A．下界B．最大下界C．最小上界D．以上答案都不对5正确答案：C二、填空题1．设集合A = {1，2，3，4，5 }，B = {1，2，3}，R 从A 到B 的二元关系，R ={<a , b >⎢a ∈A ，b ∈B 且2≤a + b ≤4}则R 的有序对集合表示式为．应该填写：R = {<1 , 1>，<1 , 2>，<1 , 3>，<2 , 1>，<2 , 2>，<3 , 1>}注意：若把二元关系R 的条件2≤a + b ≤4改为a ≤b ，大家一定要会做．2．设集合A ={1, 2, 3, 4 }，B ={6, 8, 12}， A 到B 的二元关系R ＝},,2,{B y A x x y y x ∈∈=><那么1-R ＝应该填写：{<6，3>，<8，4>}设集合A =｛a , b , c , d ｝，A 上的二元关系R ={<a , b >, , , <c , d >}，则二元关系R 具有的性质是．应该填写：反自反的注意：若A 和R 的元素减少了，大家要会判别．设集合A =｛a , b , c , d ｝，A 上的二元关系R ={<a , a >, , , <c , d >}，若在R 中再增加两个元素，则新得到的关系就具有对称性．应该填写：<c , b >, <d , c >注意：第3，4题是重点，我们不仅要熟练掌握，尤其是A 和R 的元素都减少的情况，而且如果新得到的关系具有自反性，那么应该增加哪两个元素呢？5．设R 是集合A 上的等价关系，且1 , 2 , 3是A 中的元素，则R 中至少包含等元素．应该填写：<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>因为等价关系一定是自反的、对称的、传递的，由于二元关系R 是自反的，所以它至少包含<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>等元素．A ={1, 2}，B ={a , b }，那么集合A 到B 的双射函数是．应该填写：{<1, a >, <2, b >}，{<1, b >, <2, a >}注意：第6题也是重点，我们要熟练掌握．三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）R 1和R 2是A 上的自反关系，判断结论：“11-R 、R 1∪R 2、R 1⋂R 2是自反的” 是否成立？并说明理由．解：结论成立．因为R 1和R 2是A 上的自反关系，即I A ⊆R 1，I A ⊆R 2．由逆关系定义和I A ⊆R 1，得I A ⊆11-R ；由I A ⊆R 1，I A ⊆R 2，得I A ⊆ R 1∪R 2，I A ⊆ R 1⋂R 2．所以，11-R 、R 1∪R 2、R 1⋂R 2是自反的．R ，S 是集合A 上的对称关系，判断R ∩S 是否具有对称性，并说明理由．解：结论成立．因为∀x ，y ∈A ，若<x , y >∈R ，则<y , x >∈R ；若<x , y >∈S ，则<y , x >∈S ．于是，若<x , y >∈R ∩S 则<x , y >∈R 且<x , y >∈S ，即 <y , x >∈R 且<y , x >∈S 也即<y , x >∈ R ∩S ，所以R ∩S 是对称的．注意：第1，2题是重点，我们不仅要熟练掌握，而且，如果把这两个题目改成证明题，大家也一定要掌握．例如，设R ，S 是集合A 上的对称关系，则R ∩S 也是对称关系．证明：因为∀x ，y ∈A ，若<x , y >∈R ，则<y , x >∈R ；若<x , y >∈S ，则<y , x >∈S ．于是，若<x , y >∈R ∩S 则<x , y >∈R 且<x , y >∈S ，即 <y , x >∈R 且<y , x >∈S 也即<y , x >∈ R ∩S ，所以R ∩S 是对称关系．3．设集合A ={1, 2, 3, 4}，B ={2, 4, 6, 8}，判断下列关系f 是否构成函数f ：A →B ，并说明理由．(1) f ={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}； (2) f ={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>}；(3) f ={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}．解：(1) f 不能构成函数．因为A 中的元素3在f 中没有出现．(2) f 不能构成函数．因为A 中的元素4在f 中没有出现．(3) f 可以构成函数．因为f 的定义域就是A ，且A 中的每一个元素都有B 中的唯一一个元素与其对应，满足函数定义的条件．注意：第3题也是重点，我们要熟练掌握，这样当遇到集合A ，B 中的元素比较少时，也能正确判断并说明理由．四、计算题A ＝{{a , b }, c , d }，B ={a , b , {c , d }}，求(1) B ⋂A ； (2) A ⋃B ； (3) A －B ； (4)B ⨯A ．解：（1）B ⋂ A ={{a , b , {c , d }⋂{a , b }, c , d }}= ∅（2）A ⋃B ={{a , b }, c , d }⋃{a , b , {c , d }}={ a , b , {a , b }, c , d , {c , d }}（3）A －B = {{a , b }, c , d }-{a , b , {c , d }}＝{{a , b }, c , d }（4）A ⨯ B ={{a , b }, c , d }⨯{a , b , {c , d }}={<{a , b }, a >, <{a , b }, b >, <{a , b }, {c ,d }>, < c , a >, < c , b >, < c , {c , d }>, < d , a >, < d , b >, < d , {c , d }>}注意：第1题也是重点，我们要熟练掌握．想一想：如果设集合A = {a , {b }, c }，B ={a , b , {c }, c } ，求（A ∪B ）－A ，A －（A∩B ）或（A ∪B ）－（A ∩B ）。

集合论答案

一、填空 20%（每空2分）1、2n ；2100；2、{< 1 , 2 > , < 2 , 4 > , <3 , 3 > , < 1，3 >，<2,4> ,<4,2>}、{< 1 , 4 > , < 2 , 2 > }；3、29；4、{< 1 , 1 > , < 2 , 2 > , <3 , 3 > ；5、{<a,b>,<a,d>,<a,e>,<b,d>,<b,e>,<a,c>,<a,f>,<a,g>,<c,f>,<c,g>}； 6、反自反性、对称性、传递性； 7、双射；满射。

二、选择三、Warshall 算法 15% 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000000010100000100000011R M=i 1时，R M [1,1]=1, A =R M=i 2时，M[1,2]=M[4,2]=1A=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000001010100000100001011=i 3时，A 的第三列全为0，故A 不变=i 4时，M[1,4]=M[2,4]=M[4,4]=1A=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000001010100000101001011 =i 5时，M[3,5]=1 ，这时 A=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000001010100000101001011所以t (R)={<1,1>, <1,2>,<1,4>,<2,2>,<2,4>,<3,5>,<4,2>,<4,4>} 。

四、 5%证明：对称性：0,,,**>>∈++<∈+∈+∀ac R di c bi a C di c C bi a 且 R bi a di c ca >∈++<∴>⇒,,0。

集合论习题答案

P3 习题1.1.1 解：⑴{2,3,5,7,11,13,17,19}；⑵{e,v,n,i,g}；⑶{－3,2}；⑷{－1}；⑸{2,271i+-,271i--}；⑹Φ⑺共14项，前四项为极小因式：不能再分解为其它因式的因式：{①x+1，②x1，③x2+x+1，④x2x+1，①②x21，①③x3+2x2+2x+1，①④x3+1，②③x3－1，②④x3－2x2+2x－1，③④x4+x2+1，①②③x4+x3x+1，①②④x4－x3+x－1，①③④x5+x4+x3+x2+x+1，②③④x5x4+x3x2+x1)}1.1.2 解⑴{x | x I+ , x<80}；⑵{x | x I且n I使x=2n+1}；⑶{x | x I且n I使x=5n}；⑷{(x,y)| x,y R , x2+y2<1}；⑸{(,)| ,R, >1}；⑹{ax+b=0| a,b R且a0}。

P5 习题。

1.2.1 答：为真的有：⑵、⑷、⑻、⑽，其余为假。

1.2.2 答：为真的有：⑴、⑷，其余为假。

1.2.3 解：A=，B={0}，C={…,4,2,0,2,4…}，D={2,4}，E={…,4,2,0,2,4…}，F={2,4}，G=，H={…,4,2,0,2,4…}。

∴C=E=H，D=F，A=G。

1.2.4 答：四个全为真。

证明：⑴例A={a} , B={a,A}⑵例B={A} , C={A , B}⑶例A={}⑷例A={a} , B={a,A} , ∴2B={ , {a} , {A} , B} ※1.2.5 解⑴幂集{} ；幂集的幂集{,{}}$⑵幂集{,{},{a},{,a}}；幂集的幂集零元素子集{,单元素子集{} , {{}} , {{a}} , {{,a}},双元素子集{,{}} , {,{a}} , {,{,a}} , {{},{a}} , {{},{,a}} , {{a},{,a}} ,三元素子集{,{},{a}} , {,{},{,a}} , {,{a},{,a}} , {{},{a},{,a}}}，四元素子集{,{},{a},{,a}} 。

集合论-第三四章习题

3.3无穷集合基数的比较例：教室里人多还是椅子多？不用数完人再数椅子，然后比较。只要看一下教室里是否有空座即可。实际上，这就是利用一一对应的概念。用A表示教室里人的集合，B表示教室里椅子的集合；若教室里有空座，则说明A与B之间没有建立起一个一一对应，而与B的一个真子集B1建立了一个一一对应。于是说|A|<|B|。下面给出基数大小的定义，它提供了比较两个无穷集合大小的基础。一、定义定义1 设A、B为任意两个集合，则 (1) 若存在从Ａ到Ｂ的单射，则称Ａ的基数小于或等于Ｂ的基数，记为|A|≤|B|； (2) 若存在从Ａ到Ｂ的单射，但不存在一一对应，则称Ａ的基数小于Ｂ的基数，记为|A|<|B|。显然，这个定义是比较两个有限集合元素个数多少概念的推广。
例7 是否存在一个偏序关系≤，使得(X,≤)中有唯一的极大元素，但没有最大元素？若有请给出一个具体例子；若没有，请证明之。例8 设R是X上的偏序关系，证明：
R是X上的全序关系X×X=R∪R-1。
例9设(A,≤)是偏序集,a∈A,f(a)={x|x∈A,x≤a},
证明：f:A→2A是一个单射，且当a≤b时，有
但对于无穷集合来说，元素的“个数”这个概念是没有意义的。因为按通常的理解它是指一个有限数，而不是无限数。至于一个无限数比另一个无限数大，更是不可思意的了。但凭着我们的直觉与前面的定理可知，这种说法是符合我们的看法的，只不过是现在说不清楚，之所以说不清楚，是因为这里面有几个概念未加定义。
于是，我们下面就要把有限集合个数的概念推广，使它对无穷集合也有精确的定义，这就是无穷集合基数的概念；然后确定比较两个集合基数大小的方法。 3.1基数的本质由于我们已经定义了有限集合的基数的概念，即集合中所含元素的个数，现在便从此进行分析和推广。有限集合的基数是一个具体的数，可是这个数又是什么呢？实际上，数只是一个抽象的概念，给一个具体的数只不过是对这个概念的一种符号表示。例如：对于“5”这个数。世界上有“5”这个事物吗？没有。有的只是具体的5个事物，如5个人，5只笔，5张桌子等等，而这个“5”无非就是一个符号，它表明具有5个事物所形成的集合的共性。它们的共性就是它们相互对等，即它们的元素之间可以建立起一一对应。于是， “5”这个符号就是赋给每个含有五个元素的集合的一个记号，即若与含有五个元素的集对等，则都赋以相同的记号“5”。实际上，这就是“5”的本质。

10秋作业2（02任务）：集合论部分概念及

10秋作业2（02任务）：集合论部分概念及离散数学作业2集合论部分概念及性质单项选择题1．若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A．{a，{a}}∈A B．{1，2}?A C．{a}?A D．?∈A 解因为a∈A，所以{a}?A答 C2．若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A．A?B，且A∈B B．B?A，且A∈BC．A?B，且A?B D．A?B，且A∈B解因为1∈B，2∈B，{1，2}∈B，A={1，2}所以A?B，且A∈B答 A3．若集合A＝{ a，{a}}，则下列表述正确的是( )．A．{a}?A B．{{{a}}}?A C．{a，{a}}∈A D．?∈A 解因为a∈A，所以{a}?A答 A4．设集合A={a}，则A的幂集为( )．A．{{a}} B．{a，{a}} C．{?，{a}} D．{?，a} 解A的⼦集为?、{a}，所以P(A) = {?，{a}}答 C5．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．A．{{1}, {a}} B．{?,{1}, {a}}C．{{1}, {a}, {1, a }} D．{?,{1}, {a}, {1, a }}解A的⼦集为?、{1}、{a}、{1, a }，所以P(A) = {?,{1}, {a}, {1, a }}答 D6．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．A．1024 B．10 C．100 D．1解|A| = 10，所以|P(A)| = 210 = 1024答 A7．集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={|x+y=10且x, y∈A}，则R 的性质为（）．A．⾃反的B．对称的C．传递且对称的D．反⾃反且传递的解R = {<2，8>，<3，7>，<4，6>，<5，5>，<6，4>，<7，3>，<8，2>} 易见，若∈R，则∈R，所以R是对称的．答 B8．集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={|x=y且x, y∈A}，则R的性质为（）．A．不是⾃反的B．不是对称的C．传递的D．反⾃反解R = {<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>} ＝I A是A上的恒等关系，是⾃反的、对称的、传递的。

集合论测试答案

1. 集合X={<1,2>, <3,4>, <5,6>,… }，R={<<x 1,y 1>,<x 2,y 2>>|x 1+y 2 = x 2+y 1} 。

1、证明R 是X 上的等价关系。

2、求出X 关于R 的商集。

1、证明：（1）自反性：y x y x X y x +=+>∈<∀由于,,自反R Ry x y x >>∈<><<∴,,,（2）对称性：X y x X y x >∈<∀>∈<∀2211,,,时当R y x y x >>∈<><<2211,,, 21121221y x y x y x y x +=++=+也即即有对称性故R R y x y x >>∈<><<1122,,,（3）传递性：X y x Xy x X y x >∈<∀>∈<∀>∈<∀332211,,,,时且当R y x y x R y x y x >>∈<><<>>∈<><<33222211,,,,,,⎩⎨⎧+=++=+)2()1(23321221y x y x y x y x 即23123221)2()1(y x y x y x y x +++=++++即1331y x y x +=+有传递性故R R y x y x >>∈<><<3311,,,由（1）（2）（3）知：R 是X 上的先等价关系。

2、X/R=}]2,1{[R ><2. 设集合A={ a ,b , c , d }上关系R={< a, b > , , , < c , d >} 要求 1、写出R 的关系矩阵和关系图。

数理逻辑与集合论前两章作业答案

第一章命题逻辑的基本概念作业1.1判断下列语句是否是命题，并对命题确定其真值：(1)火星上有生命存在.(2)12是质数。

(3)香山比华山高。

(4)x+y=2。

(5)这盆茉莉花真香！(6)结果对吗？(7)这句话是错的。

(8)假如明天是星期天，那么学校放假。

解答：(1)“火星上有生命存在”是命题，但现在不能确定其真值；(2)“12是质数”是命题，其真值为假；(3)“香山比华山高”是命题，其真值为假；(4)“x+y=2”不是命题，因为含有公认是变量的东西，从而不具有确定的真值；(5)“这盆茉莉花真香！”是感叹句，因而不是命题；(6)“结果对吗？”是疑问句，因而不是命题；(7)“这句话是错的”是语义悖论，因而不是命题；(8)“假如明天是星期天，那么学校放假”是命题，其真值为真。

点评：实际上，确定一个具体命题的真值不是数理逻辑研究的内容，但是不能说一个命题没有真值。

作业1.2令p表示今天很冷，q表示正在下雪，将下列命题符号化：(1)如果正在下雪，那么今天很冷。

(2)今天很冷当且仅当正在下雪。

(3)正在下雪的必要条件是今天很冷。

用自然语言叙述下列公式：¬(p∧q)¬p∨¬q p→q¬p∨q¬¬p¬p↔q解答：(1)“如果…那么…”是典型的表蕴涵的连词，因此句子“如果正在下雪，那么今天很冷”符号化为q→p；(2)“当且仅当”是典型的表等价的连词，因此句子“今天很冷当且仅当正在下雪”符号化为p↔q；(3)“正在下雪的必要条件是今天很冷”相当于“只有今天很冷，（才）正在下雪”，也即“如果正在下雪，那么意味着今天很冷”，因此应该符号化为q→p。

对于公式的自然语言叙述，我们有：(1)公式¬(p∧q)的自然语言叙述可以是：“并非今天很冷且正在下雪”；(2)公式¬p∨¬q的自然语言叙述可以是：“并非今天很冷或者并非正在下雪”，或者“今天不很冷或者没有正在下雪”；(3)公式p→q的自然语言叙述可以是：“如果今天很冷，那么正在下雪”；(4)公式¬p∨q的自然语言叙述可以是：“今天不很冷或者正在下雪”；(5)公式¬¬p的自然语言叙述可以是：“并非今天不很冷”；(6)公式¬p↔q的自然语言叙述可以是：“今天不很冷当且仅当正在下雪”。

离散数学集合论练习题

离散数学集合论练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN集合论练习题一、选择题1．设B = { {2}, 3, 4, 2}，那么下列命题中错误的是（）．A ．{2}∈B B ．{2, {2}, 3, 4}BC ．{2}BD ．{2, {2}}B2．若集合A ={a ，b ，{ 1，2 }}，B ={ 1，2}，则（）．A ．B ⊂ A ，且B ∈A B ．B ∈ A ，但B ⊄AC ．B ⊂ A ，但B ∉AD ．B ⊄ A ，且B ∉A3．设集合A = {1, a }，则P (A ) = ( )．A ．{{1}, {a }}B ．{∅,{1}, {a }}C ．{∅,{1}, {a }, {1, a }}D ．{{1}, {a }, {1, a }}4.已知A ⊕B ={1,2,3}, A ⊕C ={2,3,4},若2∈ B,则（）A ． 1∈CB ．2∈C C ．3∈CD ．4∈C5. 下列选项中错误的是( )A ． ∅⊆∅B ． ∅∈∅C ． {}∅⊆∅D ．{}∅∈∅6. 下列命题中不正确的是（）A ． x ∈{x }-{{x }}B ．{}{}{{}}x x x ⊆-C ．{}A x x =⋃,则x ∈A 且x A ⊆D ． A B A B -=∅⇔=7. A , B 是集合，P (A ),P (B )为其幂集，且A B ⋂=∅，则()()P A P B ⋂=( )A ． ∅B ． {}∅C ． {{}}∅D ．{,{}}∅∅8. 空集∅的幂集()P ∅的基数是( )A ． 0B ．1C ．3D ．49．设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={<a , b>⎢a , b∈A , 且a +b = 8}，则R具有的性质为（）．A．自反的 B．对称的C．对称和传递的 D．反自反和传递的10.设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<4 , 4>}，S = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<3 , 2>，<4 , 4>}，则S是R的（）闭包．A．自反 B．传递 C．对称 D．以上都不对11. 设A={1，2，3，4}，下列关系中为等价关系。