勾股定理(3)-

合集下载

勾股定理的三个公式

勾股定理的三个公式
1.勾股定理的三个公式是a=k（m²+n²），b=2kmn，c=k（m
²+n²）。

2.勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直
角边的平方和等于斜边的平方。

中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

3.勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法
最多的定理之一。

勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

4.勾股数有：
1、能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数。

2、记住常见的勾股数可以提高解题速度，如
3、
4、5；6、8、10；
5、12、13；7、24、25等。

3、用含字母的代数式表示n组勾股数：（n为正整数）；（n 为正整数）；（m>n,m，n为正整数）。

经验内容仅供参考，如果您需解决具体。

八年级数学下册教学课件《勾股定理》(第3课时)

3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C
点，则点C即为表示 13 的点.
l B 13 2
3
O 0
1
A•
2 3 C4
也可以使OA=2， AB=3，同样可
以求出C点.
探究新知
17.1 勾股定理
方法点拨
利用勾股定理表示无理数的方法: （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正数的直角三角形的斜边. （2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.
解：如图所示，有8条.
一个点一个点地找，不要漏解.
巩固练习
17.1 勾股定理
如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三角形的长分别为 2 、2、10 .
解：如图所示. A C
B
探究新知
17.1 勾股定理
知识点 4 利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度
如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长.
能力提升题
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 5、10、13,求这个三
角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格
（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即 △ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
探究新知
17.1 勾股定理
问题2 长为 13 的线段是直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？
13 ?
13 ?
13 ?
1

勾股定理

一、勾股定理基础知识点：１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c=⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a a b b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在A B C ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a cb =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c为三边的三角形是锐角三角形；cba HG FEDCBAbacbac cabcab a bcc baED CBA②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

七年级数学勾股定理(三) 教案人教版

三、学习过程
(一)课堂引入
勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试。
(二)例习题分析
例1（阅读教材P74页探究1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。
（精确到1米）
五回顾总结本节知识点你有哪些收获?有哪些困难?说出来我们一起分享,一起克服!!
相信我们123/125班是最棒的!永不放弃,永往直前,加油!!!
五阳煤矿中学八年级数学（教）学案
课题勾股定理（三）来自班级某某组别一、学习目标
1．会用勾股定理解决简单的实际问题。
2．树立数形结合的思想。
二、重点、难点
1．重点：勾股定理的应用。
2．难点：实际问题向数学问题的转化。
3．难点的突破方法：
数形结合，从实际问题中抽象出几何图形，通过画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，通过优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；通过深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性。
例2（阅读教材P75页探究2）通过进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形三边的关系：保证一边不变，其它两边的变化。
本题分析：⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。
⑵在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD。则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC。
⑶进一步探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD。
(三)、课堂练习
1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。

2023年人教版八年级下册数学第十七章勾股定理第3课时勾股定理(3)

·数学
10.(人教8下P29)已知一个三角形工件尺寸(单位：mm)如图，求高l的长(结果保留根号).
解：过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝l， ∵AB＝AC＝88 mm，BC＝64 mm， ∴AD是BC的垂直平分线，
∴BD＝12BC＝32 mm. 在Rt△ABD中，AD＝ AB2－BD2＝ 882－322＝ 8 105(mm)，即高l的长为8 105 mm.
AC＝4，则AB＝ BC2＋AC2＝ 32＋42 ＝5， ∴S阴影部分＝AB2－12BC·AC＝52－12×3×4＝19.
·数学 5.【例1】(人教8下P27)如图，在数轴上作出表示 13的点. 解：如图，点A即为表示 13的点.
答案图小结:利用勾股定理画出数轴上的无理数点.
·数学 9.(人教8下P27、北师8上P39)如图，在数轴上作出表示 17 的点. 解
解：过A点作AD⊥BC于点D，由题意知∠ABD＝90°－60°＝30°，∠ACD＝45°， ∴AB＝2AD，CD＝AD，由勾股定理得BD＝ 3AD， ∵BC＝2.4 km＝2 400 m，∴ 3AD＋AD＝2 400，解得AD＝1 200( 3－1)≈876＞800，故该公路不会穿过纪念园.
·数学
2.(跨学科融合)如图，为防控新冠疫情，学校大门入口的正上方A处装有测温仪，测温仪离地面的距离AB＝2.3米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温.当身高为1.7 米的学生CD正对门缓慢走到离门0.8米处时(即BC＝DE＝0.8 米)，测温仪自动显示体温，此时人头顶到测温仪的距离AD 为 1 米.
答案图
·数学 6.【例2】(人教8下P28)已知带孔的长方形零件尺寸(单位： mm)如图，求两孔中心的距离.
解：根据题意得AC＝51－21＝30(mm)， BC＝61－21＝40(mm)，所以AB＝ AC2＋BC2＝ 302＋402＝ 50(mm)，即两孔中心的距离是50 mm.

17.1.3勾股定理应用2(数轴上表示无理数)

A
B
D
B
∴点C即为表示 13 的点
A
0
1
2

3 C 4
你能画出斜边为
的直角三角形吗？ 5
5
2
1
1、在数轴上表示 —
5
的点吗？
数学海螺图：
利用勾股定理作出长为
1,
2,
3,
4,
5 的线段.
17
1
1
2
3 4 5
6
2、在数轴上画出表示
的点 17 的点 20
3、在数轴上画出表示
小结：
•说说你的本节课的收获？
35154545232312312345探索规律在数轴上表示的数右边的数总比左边的351535115
17.1勾股定理（3）
---在数轴上画出无理数
勾股定理（gou-gu theorem)
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
符号语言：
a
c
∵Rt△ABC中，∠C=90°
b
∴ a b c
2 2
如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为 DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你 B 能求出CE的长吗？
D
10-x
A
E
6
x C
2.矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8， BC=10，求折痕AE的长。Aຫໍສະໝຸດ D EBF
C
3.RtΔABC中,AB比BC多2,AC=6, 如图折叠,使C落到AB上的E处, 求CD的长度, C
C
B D A
3、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米） G A

初中八年级数学课件勾股定理第3课时

人教版初中数学八年级下册
第十八章勾股定理 18.1 勾股定理第3课时
情境引入
复习回顾:
1.已知直角三角形ABC的三边为a、b、c ， ∠C＝ 90°，则 a、b、c 三
者之间的关系是
；
2.若一个直角三角形两条直角边长是3和2，那么第三条边长是
；
3.
叫做无理数.
情境引入
探究一：数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
尝试应用
4. 已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积.
解：∵AB=AC=10，BC=16，AD⊥BC ∴BD=CD= 1 BC=8
2
∴AD= AB2 BD2 = 102 82 =6 ∴这个等腰三角形的面积为 1 ×16×6=48．
2
学习体会
1.本节课你又那些收获？ 2.预习时的疑难问题解决了吗？你还有那些疑惑？ 3.你认为本节还有哪些需要注意的地方？
分析引导：（1）你能画出长为 2 的线段吗？怎么画？说说你的画法.
（2）长是 13
的线段怎么画？是由直角边长为_____和______整数组成
的直角三角形的斜边？
（3）怎样在数轴上画出表示 13 的点？
①在数轴上找到点A，使OA=3， ②过A点作直线L垂直于OA，在L上截取AB=2， ③以O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴于点C，点C即为表示 13 的点.
当堂达标
1．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高
为
．
2 ．长为
的线段是直角边长为正整数
，
角三角形的26斜边.
的直
3 ．如图所示，在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则在网格上的

勾股定理基础知识点

知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。

勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。

（2）勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边（3）理解勾股定理的一些变式（在三角形ABC 中，∠C=90°）： c 2=a 2+b 2，a2=c 2-b 2， b 2=c 2-a 2 ， c 2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。

图（1）中，所以。

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。

图（2）中，所以。

方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。

c a b =+22a cb =-22b c a =-22在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。

，所以。

知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题；知识点四：勾股数满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么当k＞0时，ka，kb，kc同样也是勾股数组）常见勾股数：①3、4、5；②5、12、13；口诀：5月12记一生（13）③8、15、17；口诀：八月十五在一起（17）④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41；⑦6、8、10；⑧9；12；15；⑨15、20、25.知识点五：勾股树知识点六：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为：a、b、c，且满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

(完整版)勾股定理知识点+对应类型

第二章勾股定理、平方根专题第一节勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段二、平方根：（11——19的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。

人教版八年级数学下《勾股定理第3课时：用勾股定理在数轴上表示无理数》精品教学课件

能画出长为 13的线段，就能在数轴上画出表示 13的点.
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
探究
步骤：
1 在数轴上找到点A，使OA=3；
2 作直线l⊥OA，在l上取一点B，使AB=2；
3 以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
13 3
数轴交于C点，则点C即为表示 13的点.
l
正整数的角三角形的斜边； 2 以原点为圆心，以无理数斜边为半径画弧与数轴
存在交点，弧与数轴的交点即为表示无理数的点.
原点左边的点表示负无理数，原点右边的点表示正无理数.
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
拓展
利用勾股定理可以作出这样一幅美丽的“海螺型” 图案，它被选为第七届国际数学教育大会的会徽.
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
复习回顾
勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别 b
c
为a，b，斜边长为c，那么a²b²c². a
变求斜边：c a2 b2 形求直角边：a c2 b2 ，b c2 a2
已知两边可求第三边
利用勾股定理还能解决哪些问题呢？
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
随堂练习 2.如图，O为数轴原点，A、B两点分别对应3、3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，OC长为半
径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 7 .
3 2 1 O 1 2M3
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
随堂练习
3.如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△BAC的斜边AC为直角边，画第二个等腰 Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE.依此类推，则第2018个

勾3股4定理公式大全

勾3股4定理公式大全【原创实用版】目录1.勾股定理的概述2.勾股定理的公式3.勾股定理的证明方法4.勾股定理的应用实例正文1.勾股定理的概述勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是一个关于直角三角形的数学定理。

它指出：在直角三角形中，直角边上的两个边（勾）的平方和等于斜边（股）的平方。

即 a + b = c。

这个定理在我国古代称为“勾三股四定理”，其中 a、b、c 分别代表直角三角形的三条边，a 和 b 为直角边，c 为斜边。

2.勾股定理的公式勾股定理的公式如下：a +b = c其中，a、b 为直角边，c 为斜边。

该公式描述了直角三角形的一个重要性质，即直角边上的两个边（勾）的平方和等于斜边（股）的平方。

3.勾股定理的证明方法勾股定理的证明方法有很多，如几何证明、代数证明、相似三角形证明等。

以下介绍一种简单的几何证明方法：假设有一个直角三角形 ABC，其中∠C = 90°，AC 为一条直角边，BC 为另一条直角边，AB 为斜边。

作 CD⊥AB 于 D，连接 AD、BD。

则有：AD + BD = AB因为∠C = 90°，所以∠ADC + ∠BDA = 90°。

根据三角形内角和定理，得到∠ADC + ∠BDA + ∠C = 180°，即∠ADC + ∠BDA = 90°。

因此，三角形 ADC 与三角形 BDA 都是直角三角形。

根据直角三角形的性质，有：AD = AC - CDBD = BC - CD将上述两式代入 AD + BD = AB，得到：AC - CD + BC - CD = AB即：AC + BC = AB这就证明了勾股定理。

4.勾股定理的应用实例勾股定理在实际生活和科学研究中有广泛的应用。

例如，在测量建筑物的高度、计算三角形的面积、解决几何问题等方面都会用到勾股定理。

勾股定理详解与经典例题解析

勾股定理(基础)学习目标1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．要点梳理要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式：，，．要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．要点三、勾股定理的作用1．已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2．用于解决带有平方关系的证明问题；3．与勾股定理有关的面积计算；4．勾股定理在实际生活中的应用．典型例题类型一、勾股定理的直接应用1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．（1）若＝5，＝12，求；（2）若＝26，＝24，求．【变式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．（1）已知＝6，＝10，求；（2）已知，＝32，求、．类型二、与勾股定理有关的证明2、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，试说明．【变式】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（）A．AC2B．BD2C．BC2D．DE2类型三、与勾股定理有关的线段长3、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）A．3B．4C．5D．6类型四、与勾股定理有关的面积计算4、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A．6B．5C．11D．16类型五、利用勾股定理解决实际问题5、一圆形饭盒，底面半径为8，高为12，若往里面放双筷子（精细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？巩固练习一．选择题1．在△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝15，则△ABC的面积等于（）A．108B．90C．180D．542．若直角三角形的三边长分别为2，4，，则的值可能有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是()A．12米B．10米C．8米D．6米4．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则的值为()A．8B．4C．6D．无法计算5．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于()A．4B．6 C．8D．56．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为()A．150B．200C．225D．无法计算二．填空题7．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4，乙往南走了3，此时甲、乙两人相距____．8．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______米路，却踩伤了花草．9．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．10．如图，有两棵树，一棵高8，另一棵高2，两树相距8，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______．11．如图，直线经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线的距离分别是6、8，则正方形的边长是______．12．如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽2．4m，高3．2m，长15m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积是m2．三．解答题13．如图四边形ABCD的周长为42，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，求BC的长．14．已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的长．勾股定理逆定理(基础)学习目标1．理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3. 理解勾股数的含义；4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.要点梳理要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；典型例题类型一、勾股定理的逆定理1、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．（1）＝7，＝24，＝25；（2）＝，＝1，＝；（3），，()；【变式】一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（）A．20:15:12B．3:4:5C．5:4:3D．10:8:2类型二、勾股定理逆定理的应用例3、已知：为的三边且满足，试判断的形状.例：4、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？巩固练习一.选择题1．在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（）．A. 9，12，15B．3，4，5C．1.4，4.8,5D．4，7，52. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）．A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CF、EF D．GH、AB、CD3. 下列说法：（1）在△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；（2）若△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2；（3）在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C=90°；（4）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为．其中说法正确的有（）．A．4个B．3个C．2个D．1个4．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是()．A．1∶1∶2B．1∶3∶4C．9∶25∶26D．25∶144∶1695．已知三角形的三边长为(其中)，则此三角形()．A．一定是等边三角形B．一定是等腰三角形C．一定是直角三角形D．形状无法确定6．三角形的三边长分别为、、（都是正整数），则这个三角形是（）．A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定二.填空题7．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．8．已知两条线段的长分别为11和60，当第三条线段的长为时，这3条线段能组成一个直角三角形（要求三边长均为整数）．9. 已知,则由此为边的三角形是三角形.10．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是_____．11．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60，则它的面积为．12．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．三.解答题13．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝，求证：AF⊥FE．14．观察下列各式：，，，，…，你有没有发现其中的规律?请用含的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．15．在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?。

【初二】第三章勾股定理讲义

勾股定理1.1 勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

1.2勾股定理的证明：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即 222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。

1.4勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。

【例1】下列说法正确的是（）A. 若a b c ，，是ABC ∆的三边，则222a b c +=B. 若a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c +=C. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c +=D. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=【例2】若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为（）CABcb aDCGFE Hcb a cba ED CBA【例3】一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为．在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．【例4】直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定【例5】三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5 C【例6】如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍【例7】在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒，（1）如果34a b ==，，则c =_______；（2）如果68a b ==，，则c =_______；（3）如果512a b ==，，则c =________；（4）如果1520a b ==，，则c =________.(5)若c ＝41，a ＝40，则b ＝______； (6)若∠A ＝30°，a ＝1，则c ＝______；(7)若∠A ＝45°，a ＝1，则b ＝______．【例8】如图所示，在ABC ∆中，三边a b c ，，的大小关系是（）A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b a c <<【例9】如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．【例10】已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，•如果8cm AB =，10cm BC =，EC 的长为．【例11】一个矩形的抽屉长为24cm ，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是．【例12】如图，将一根30㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和24㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？CBA“路”4m3m【例13】将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外边的长度为cm h ，则h 的取值范围为（）【例14】如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是576和676，那么最小的正方形的面积为（）【例15】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．(1)若a ∶b ＝3∶4，c ＝75cm ，求a 、b ； (2)若a ∶c ＝15∶17，b ＝24，求△ABC 的面积； (3)若c －a ＝4，b ＝16，求a 、c ； (4)若a 、b 、c 为连续整数，求a ＋b ＋c ．2 勾股定理的逆定理【例1】分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10；(2)5、12、13；(3)8、15、17； (4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号)【例2】下列线段不能组成直角三角形的是( )．A ．a ＝6，b ＝8，c ＝10B ．3,2,1===c b aC ．43,1,45===c b a D ．6,3,2===c b a【例3】已知ABC △的三边长分别为5，13，12，则ABC △的面积为（）A ．30B ．60C ．78D ．不能确定【例4】在ABC △中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，①若a 2＋b 2＞c 2，则∠c 为____________； ②若a 2＋b 2＝c 2，则∠c 为____________； ③若a 2＋b 2＜c 2，则∠c 为____________．【例5】若ABC △中，()()2b a b a c -+=，则B ∠=____________；【例6】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的ABC△是______三角形．【例7】下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．A ．1∶1∶2B ．1∶3∶4C ．9∶25∶26D ．25∶144∶169【例8】已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m (其中m 2＝2n ＋1)，则此三角形( )．A ．一定是等边三角B ．一定是等腰三角形C ．一定是直角三角D ．形状无法确定【例9】若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以22a a a -+、、为边的三角形的面积为______．【例10】 ABC △的两边a b ，分别为512，，另一边c 为奇数，且a b c ++是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______．【例11】如图，ABC △中，90C ∠=︒，330AC B =∠=︒，，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（）A ．B ．C ．D ．7【例12】如图，在△ABC 中，已知AB =AC =2a ，∠ABC =15°，CD 是腰AB 上的高，求CD 的长．DCBA【例13】如图所示，已知∠1=∠2，AD =BD =4，CE ⊥AD ，2CE =AC ，那么CD 的长是（）【例14】如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长．【例15】如图，在ABC △中，CD AB ⊥于D ，9435AC BC DB ===，，．（1）求CD AD ，的值；（2）判断ABC △的形状，并说明理由．【例16】已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积．【例17】如图所示，在四边形ABCD 中，已知：AB ：BC ：CD ：DA =2：2：3：1，且∠B =90°，求∠DAB 的度数．【例18】如图，已知CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC =BE ，AE =BD ．（1）试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并说明你的结论；（2）若AC =5，BD =12，求CE 的长．【例19】阅读理解题：（1）如图所示，在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，且PBCA21EBDCADCBAABDCD CBACDBE AA12AD BC =．求证：90BAC ∠=︒（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．（3）直接运用这个结论解答下列题目：一个三角形一边长为5，这边上的中线长为，另两边之和为7，求这个三角形的面积．【例20】已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝CB 41，求证：AF ⊥FE ．【例21】已知∠MAN ，AC 平分∠MAN ．（1）在图1中，若∠MAN =120°，∠ABC =∠ADC =90°，求证：AB +AD =AC ；（2）在图2中，若∠MAN =120°，∠ABC +∠ADC =180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；BCDN AM MAND CB【例22】在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?． 1.等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．2.如图，一根高8米的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端A 触地处到旗杆CB A底部B 的距离为6米，则折断点C 到旗杆底部B 的距离为3.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于．4. Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则222AB AC BC ++的值为( )．5.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，AD ＝20，则CD 的长为．6.在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，则该三角形为（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 7.如图，已知正方形ABED 与正方形BCFE ，现从A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有（）A ．10B ．12C ．14D ．168.如图，在Rt ABC △中，已知，90ACB ∠=︒，15B ∠=︒，AB 边的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于D ，且13BD =，则AC 的长是．9. 如图所示，在ABC △中，::3:4:5AB BC CA =，且周长为36，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，BPQ △的面积为（）2cm ．10. 如图所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ，AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积．DCBAFECBDAE DBC AQCA。

勾股定理简单算法

勾股定理简单算法1. 什么是勾股定理？勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

即a²+b²=c²，其中a、b为直角边，c为斜边。

2. 勾股定理的应用勾股定理在几何学和物理学中都有广泛的应用。

在几何学中，勾股定理可以用来计算三角形的边长和角度。

在物理学中，勾股定理可以用来计算物体的速度、加速度和力等。

3. 勾股定理的简单算法勾股定理的简单算法是通过枚举直角边的长度来计算斜边的长度。

具体步骤如下：（1）输入直角边a和b的长度；（2）计算a²和b²的和；（3）对和开平方，得到斜边c的长度。

4. 勾股定理的优化算法勾股定理的优化算法是通过减少计算量来提高计算效率。

具体步骤如下：（1）判断a和b哪个较大，将较大的值作为斜边c的长度；（2）计算斜边c的平方，即c²=a²+b²；（3）对c²开平方，得到斜边c的长度。

5. 勾股定理的应用举例（1）计算三角形的面积已知直角三角形的两条直角边a和b，求其面积S。

解：根据勾股定理可知，斜边c的长度为c=√(a²+b²)。

因此，三角形的面积为S=1/2ab=1/2ab/2=ab/4。

（2）计算物体的速度已知物体在平面上的运动速度v和加速度a，求物体在t秒后的速度v'。

解：根据物理学中的公式v'=v+at可知，物体在t秒后的速度为v'=v+at。

（3）计算物体的力已知物体的质量m和加速度a，求物体所受的力F。

解：根据牛顿第二定律F=ma可知，物体所受的力为F=ma。

6. 总结勾股定理是一种非常重要的数学定理，其应用广泛。

通过简单算法和优化算法，可以快速计算直角三角形的斜边长度。

在实际应用中，勾股定理可以用来计算三角形的面积、物体的速度和力等。

勾股定理全章知识点总结大全

勾股定理全章知识点总结大全一．基础知识点：1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC∆中，90∠=︒，则c=，Cb，a）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C 为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC 为锐角三角形）。

（定理中a，b，c及222+=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如a b c若三角形三边长a，b，c满足222+=，那么以a，b，c为三边的三角形是直a c b角三角形，但是b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：，4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD 2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 6：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；9,12,15；8,15,17；9,40,41；12,16,20等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）二、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

勾股定理知识点归纳和题型归类

勾股定理知识点归纳和题型归类勾股定理作为数学中的一条基本定理，是数学中的重要知识点。

它描述了直角三角形三条边之间的关系，充分利用了勾股定理可以解决很多与直角三角形相关的问题。

下面将对勾股定理的知识点进行归纳，并对常见的勾股定理题型进行分类。

一、知识点归纳：1.勾股定理的表述：直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。

2.勾股定理的符号表示：对于直角三角形ABC，设斜边为c，两直角边分别为a和b，可以表示为：$a^2+b^2=c^2$。

3.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边满足$a^2+b^2=c^2$，其中a、b、c为三角形的边长，那么这个三角形一定是直角三角形。

4.勾股定理的证明方法：勾股定理有多种不同的证明方法，比如平方构造法和几何法。

5.勾股定理的推广应用：勾股定理不仅适用于直角三角形，还可以推广应用到其他类型的几何形状中。

二、题型归类：根据勾股定理的应用不同场景，常见的题型可以归类为以下几种：1.求边长问题：(1)已知两边求第三边：已知直角三角形两直角边的长度，求斜边的长度。

(2)已知一边求另一边：已知直角三角形一边和斜边的长度，求另一边的长度。

(3)已知斜边和一边求另一边：已知直角三角形一边和斜边的长度，求未知边的长度。

2.求角度问题：(1)已知两边求夹角：已知直角三角形两直角边的长度，求两直角边之间的夹角。

(2)已知斜边和一边求夹角：已知直角三角形一边和斜边的长度，求斜边与该边之间的夹角。

3.判断问题：(1)判断是否为直角三角形：已知三角形的三边长度，判断是否为直角三角形。

4.应用问题：(1)三角形的面积问题：已知直角三角形的两个直角边的长度，求其面积。

(2)其他几何问题：如斜边长为x的直角三角形，边的长度与斜边比为1：4，求边的长度。

以上是一些常见的勾股定理题型，通过不同的题目训练可以更好地掌握勾股定理的应用和解题思路。

在解题的过程中，需要根据问题的具体要求，合理运用勾股定理的知识，灵活运用数学方法，进行推导和计算，以得到准确的结果。

第十七章勾股定理第一节《勾股定理(3)》教学设计

17.1 勾股定理（ 3）一、教课目知与技术1．利用勾股定理，能在数上找到表示无理数的点．2．一步学将化直角三角形的数学模型，?并能用勾股定理解决的．程与方法1．在数上找表示地理数的的程，?展学生灵巧勾股定理解决的能力．2．在用勾股定理解决的程中，体解决的策略，?展学生的手操作能力和新精神．3．在解决的程中，学会与人合作，?并能与别人沟通思程和果，形成反省的意．感情、度与价1．在用勾股定理找数上表示无理数点的程中，?体勾股定理的重要作用，并从中得成功的体，战胜困的意志，成立自信心．2．在解决的程中，?形成事求是的度以及行疑和独立思虑的．二、教课重、点要点：在数上找表示， 2 ， 3 ， 5 ，⋯⋯的表示无理数的点．点利用勾股定理找直角三角形中度无理数的段．三、教课准多媒体件四、教课方法分，合五、教课程(一 )复回，引入新复勾股定理的内容。

本研究勾股定理的合用。

思虑：在八年上册中我曾通画获得：斜和一条直角相等的两个直角三角形全等 .学了勾股定理后，你能明一？先画出形，再写出已知、求.研究：我知道数上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数上表示出 2 的点？13的点呢？意：上一，我利用勾股定理能够解决生活中的许多．在初一我只好找到数上的一些表示有理数的点，而于象 2 ， 3 ，⋯⋯的无理数的数点却找不到，学了勾股定理后，我把 2 ，3，⋯⋯能够当直角三角形的斜，只需找到 2 ，3的段就能够，勾股定理的又一次获得用．生行：学生小沟通教可指学生找象 2 ， 3 ，⋯⋯的包括在直角三角形中的段．此活，教要点关注：①学生可否找到含 2 ，13 的段所在的直角三角形；②学生能否有战胜困的勇气和的意志；③学生可否极主地沟通合作．：因为在数上表示13 的点到原点的距离13 ，所以只需画出13 的段即可．我不如先来画出 2 的段．生： 2 的段是直角都 1 的直角三角形的斜．：13 的段可否是直角正整数的直角三角形的斜呢？生： c= 13，两直角 a，b，依据勾股定理 a2+b2 =c2即 a2+b2=13．若a，b 正整数， ? 13 必分解两个平方数的和，即 13=4+9，a2=4，b2 =9，a=2，b=3． ?所以13 的段是直角2， 3 的直角三角形的斜．师：下边就请同学们在数轴上画出表示13 的点．生：步骤以下：1．在数轴上找到点 A ，使 OA=3.2．作直线 L 垂直于 OA ，在 L 上取一点B，使 AB=2.3．以原点 O 为圆心、以 OB 为半径作弧，弧与数轴交于点 C，则点 C 即为表示13的点．(二)新课教授例 1、飞机在空中水平飞翔，某一时辰恰好飞到一个男孩头顶正上方4800 米处，过了 10 秒后，飞机距离这个男孩头顶 5 000 米，飞机每小时飞翔多少千米？剖析：依据题意，能够画出图， A 点表示男孩头顶的地点， C、 B?点是两个时辰飞机的地点，∠ C 是直角，能够用勾股定理来解决这个问题．解：依据题意，得Rt△ABC 中，∠ C=90°，AB=5 000米， AC=4 800米．由勾股定理，得 AB 2=AC 2+BC2．即 5 0002=BC2+4 8002，所以 BC=1 400 米．飞机飞翔 1 400米用了 10 秒，那么它 1 小时飞翔的距离为 1 400 ×6×60=50 400 米=504 千米，即飞机飞翔的速度为 504 千米 /时．评注：这是一个实质应用问题，经过剖析，问题转变为已知两边求直角三角形等三边的问题，这虽是一个一元二次方程的问题，学生可试试用学过的知识来解决．同时注意，在本题中儿童是静止不动的．例 2、如右图所示，某人在 B 处经过平面镜看见在 B 正上方 5 米处的 A 物体， ?已知物体A 到平面镜的距离为6 米，向B 点到物体A的像 A′的距离是多少？剖析：本题要用到勾股定理，轴对称及物理上的光的反射知识．解：如例 2 图，由题意知△ ABA′是直角三角形，由轴对称及平面镜成像可知：AA′ =2× 6=12米， AB=5 米；A′B=AA′3 / 8所以 A′B=13米，即 B 点到物体 A 的像 A′的距离为 13 米．评注：本题是以光的反射为背景，波及到勾股定理、轴对称等知识．因而可知，数学是物理的基础．例 3、在沉静的湖面上，有一棵水草，它超出水面 3 分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草挪动的水平距离为 6 分米， ?问这里的水深是多少？解：依据题意，获得右图，此中 D 是无风时水草的最高点， BC 为湖面，AB? 是一阵风吹过水草的地点，CD=3 分米， CB=6 分米， AD=AB ，BC⊥AD ．所以在 Rt△ACB 中， AB 2=AC 2+BC2，即（ AC+3）2=AC 2+62，AC2+6AC+9=AC 2+36.6AC=27 ， AC=4.5 ，所以这里的水深为 4.5 分米．评注：在几何计算题中，方程的思想十分重要．设计企图：让学生进一步领会勾股定理在生活中的应用的宽泛性，同时经历勾股定理在物理中的应用，由此可知数学是物理的基础，方程的思想是解决数学识题的重要思想．师生行为：先由学生独立思虑，达成，后在小组内议论解决，教师可深入到学生的议论中去，对不一样层次的学生赐予指导．在此活动中，教师应要点关注：② 学生能否自主达成上边三个例题；②学生能否有综合应用数学知识的意识，特别是学生能否有在解决数学问题过程中应用方程的思想．例 4、练习：在数轴上作出表示17 的点．解：17 是两直角边为 4 和 1 的直角三角形的斜边，所以，在数轴上画出表示17 的点以下列图：设计企图：进一步稳固在数轴上找表示无理数的点的方法，熟习勾股定理的应用．师生行为：由学生独立思虑达成，教师巡视．此活动中，教师应要点关注：（ 1）生可否踊跃主动地思虑问题；（2）可否找到斜边为17 ，此外两个角直边为整数的直角三角形．例 5 已知：如图，∠ B=∠D=90°，∠ A=60°，AB=4 ，CD=2。

勾股定理三条边的公式

勾股定理三条边的公式
勾股定理是数学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中的关系。

勾股定理有三个公式，它们分别是：
1. a² = b² + c²
2. b² = a² - c²
3. c² = a² - b²
这三个公式中，a、b、c分别代表直角三角形的三条边，其中a为斜边，b、c为直角边。

这三个公式是勾股定理的不同表述，它们之间是等价的。

以第一个公式为例，它的意思是直角三角形中斜边的平方等于直角边的平方和。

这个公式可以用来求解直角三角形中未知的边长，只需要已知两条边的长度，就可以通过勾股定理求出第三条边的长度。

第二个和第三个公式则是将第一个公式中的某一条边表示为其他两条边的函数形式。

这样做的好处是，在一些特定的问题中，可以更方便地使用这些公式。

除了上述三个公式以外，勾股定理还有其他形式的表述，比如三角函数形式、向量形式等。

这些表述方式在不同的数学领域和问题中都有着广泛的应用，比如在物理学、工程学、计算机科学等领域中都有着重要的作用。

总之，勾股定理是数学中的一个经典定理，它有着多种不同
的表述方式和应用场景。

掌握这个定理，不仅可以帮助我们更好地理解直角三角形的性质，还可以在实际问题中提供有效的解决方法。

勾股定理开方口诀表

勾股定理开方口诀表一、勾股定理简介勾股定理是数学中的一条重要定理，它描述了直角三角形中三边之间的关系。

勾股定理的数学表达式为：c² = a² + b²，其中c表示斜边的长度，a和b表示两个直角边的长度。

二、勾股定理的应用勾股定理在实际生活中有着广泛的应用。

下面将介绍勾股定理在几个常见领域的具体应用。

1. 工程测量在测量工程中，勾股定理可以用来计算难以直接测量的距离。

例如，在建筑工地上，如果需要测量一条河流的宽度，可以通过在河岸两侧测量两段距离，再利用勾股定理计算出河流的宽度。

2. 导航定位在导航定位上，勾股定理可以用来计算两个坐标点之间的直线距离。

例如，当我们在使用地图导航时，导航软件会根据我们的起点和终点坐标，利用勾股定理计算出最短的行驶距离。

3. 航空航天在航空航天领域，勾股定理可以用来计算航空器的飞行距离。

飞机、火箭等航空器在飞行时，可以利用勾股定理计算出飞行的水平距离。

4. 三角测量勾股定理在三角测量中起着重要作用。

例如，在测量山体高度时，可以利用勾股定理计算出斜边的长度，从而得到山体的高度。

三、勾股定理开方口诀表为了方便记忆和应用勾股定理，我们可以使用开方口诀表。

下面是勾股定理开方口诀表：1. 3-4-5当直角边长度依次为3、4时，斜边的长度为5。

2. 5-12-13当直角边长度依次为5、12时，斜边的长度为13。

3. 8-15-17当直角边长度依次为8、15时，斜边的长度为17。

4. 7-24-25当直角边长度依次为7、24时，斜边的长度为25。

5. 9-40-41当直角边长度依次为9、40时，斜边的长度为41。

通过这个口诀表，我们可以快速计算出直角三角形中的边长，从而应用勾股定理解决实际问题。

四、勾股定理的推广勾股定理不仅适用于直角三角形，还可以推广到其他类型的三角形。

例如，对于任意三角形ABC，如果边长满足a² + b² = c²，则称该三角形为直角三角形。