论求解一阶微分方程的积分因子法

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一阶与二阶微分方程的解法与应用

一阶与二阶微分方程的解法与应用微分方程是数学中的重要内容，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

本文将重点介绍一阶和二阶微分方程的解法以及其在实际应用中的重要性。

一、一阶微分方程的解法一阶微分方程是指涉及一阶导数的方程。

常见的一阶微分方程形式多种多样，例如求解形如dy/dx = f(x)的微分方程可以使用分离变量法。

具体步骤如下：1. 将方程表达式中的dy和dx分离，形成f(x)dx = dy；2. 对方程两边同时积分，得到∫f(x)dx = ∫dy；3. 求出右边的积分得到y的表达式，即可得到原方程的解。

除了分离变量法，还有其他一阶微分方程的求解方法，例如齐次微分方程的解法、一阶线性微分方程的解法等。

齐次微分方程可以通过引入新的变量转化为分离变量的形式，而一阶线性微分方程可以利用积分因子法求解。

二、二阶微分方程的解法二阶微分方程涉及到二阶导数的方程。

解二阶微分方程的方法较为复杂，但常见的二阶线性齐次微分方程可以使用特征方程法进行求解。

具体步骤如下：1. 将方程形如d²y/dx² + p(x)dy/dx + q(x)y = 0转化为特征方程r² + pr + q = 0；2. 求解特征方程，得到两个特征根r₁和r₂；3. 根据特征根的情况，分为三种情况进行求解：a. 当r₁和r₂为不相等的实数时，方程的通解为y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)；b. 当r₁和r₂为复数共轭时，方程的通解为y = e^(ax)(C₁cos(bx) + C₂sin(bx))；c. 当r₁和r₂为相等的实数时，方程的通解为y = C₁e^(r₁x) +C₂xe^(r₁x)，其中C₁、C₂为常数。

三、微分方程在实际应用中的重要性微分方程在实际应用中具有广泛的重要性，以下列举几个典型的应用领域：1. 物理学中的应用：微分方程可用于描述物理系统的运动规律，例如牛顿第二定律的微分方程形式为F = ma，其中a是加速度，F是力，m是质量。

一阶微分方程三类积分因子的计算

ａ
ａ
，
则
方程（）２为恰当方程，连续可微函数（）， ≠Ｏ叫做方程（）１的积分因子．
利用积分因子，以对一阶微分方程的求解进行统一处理，对一个具体的方程，可但如何求出它的积分因子，一般的方法是要解一个一阶偏微分方程，是非常麻烦的，于特殊的情况，可以简便地得出积分因那对却
ＮＯ．Ｖｏ．３３１２
Ｊｎ．２００２ｕ
一
阶微分方程三类积分因子的计算
高正晖
（阳师范学院数学系，湖南衡阳衡４１０）２０８
摘要给出了一阶微分方程Ｍ（。）ｘＮ（。）ｙ．有Ｘｙｄ＋Ｘｙｄ＝０具
３下Ｍ
一
ｄｚ
０～
一
一
６２（十
６
一［ｘ２３（＋）３ｙ］一３２＋ｘ［＋）（ｙ－ｘ＋ｘ２－ｙ－２－）ｙ（ｘ－）］
ｂ — ａ — ｂ（＋）Ｙ］ “ ［２ＭＮｘ［２＋一（ｘ＋）２十ｘ］（ｘ十）（ｘ— ａ）ｘｂ一２ｘ）２ｂｙ＋ｙ（ｙａ（ “一２ｂ— １令，）
维普资讯
第２３卷第３期
２００２年６月
衡阳师范学院学报（自然科学）
ＪｕｎｌｆＨｅｇａｇＮｏｍａｉｒｉ（ｔｒｌｃｅｃ）ｏｒａｏｎｙｎｒｌＵｎｖｓｔＮａｕａｉｎｅｅｙＳ

2.2-线性微分方程(积分因子法)

s
x Q(s)ex P(t)dt ds
x0
(3)
二伯努利(Bernoulli )方程
形如 dy p(x) y Q(x) yn n 0,1是常数 dx
的方程,称为伯努利方程. 这里P(x), Q(x)为x的连续函数。
解法: 10 引入变量变换 z y1n ,方程变为
dz (1 n)P(x)z (1 n)Q(x) dx 20 求以上线性方程的通解
§2.2 线性微分方程与积分因子法
一阶线性微分方程的一般形式为
a(x) dy b(x) y c(x) dx
在a(x) 0的区间上可写成 dy P(x) y Q(x) (1)L L 标准形式 dx
这里假设P(x), Q(x)在考虑的区间上是 x的连续函数若Q(x) 0,则(1)变为
dy P(x) y 0 (2)L L 齐次线性方程 dx
若Q(x) 0,则(1)称为非齐次线性方程。
一一阶线性微分方程的解法-----积分因子法
dy P(x) y Q(x) (1) dx
求解思想：方程两边乘一个函数，使得左边变成一个函数的导数
y e p(x)dx ( Q(x)e p(x)dxdx c)
(3)
注: (i) 求(1)的通解可直接用公式(3) (ii) 课本用的是常数变易法，方程整理的形式不同
解: 原方程不是未知函数 y的线性方程，但将它改写为
dx 2x y2
dy y
即
dx 2 x ，
故其通解为 x e p( y)dy ( Q( y)e p( y)dydy c)
e
2 y
dy
(
(
y)e
2 y
dy
dy
c)

一阶常微分方程解法总结

v 2dv 2u - v u ，令 t = v ，有 dv = tdu + udt ，代入得到 t + u dt = 2 - t ，化简 = = du u - 2v 1 - 2 v u du 1 - 2t u
得到，
du 1 - 2t d (1 - t + t 2 ) ln(1 - t + t 2 ) = dt = ln u = +C ，有 u 2 - 2t + 2t 2 2(1 - t + t 2 ) 2
2 2
y x dy = 2 dx 两边积分得到 2 1- y x -1
ln x 2 - 1 + ln y 2 - 1 = ln C
2 2
(C ¹ 0) ，所以有 ( x 2 - 1)( y 2 - 1) = C
(C ¹ 0) ；
当 ( x - 1)( y - 1) = 0 时，也是原方程的解；综上所述，原方程的解为 ( x - 1)( y - 1) = C
¶M ¶N j ( x ) dx ¶y ¶x = j ( x) ，原方程有只与 x 有关的积分因子，且为 µ ( x, y ) = e ò ①当且仅当， N
两边同乘以 µ ( x, y ) ，化为恰当方程，下同(4)。
¶M ¶N f ( y ) dy ¶y ¶x = f ( y ) ，原方程有只与 y 有关的积分因子，且为 µ ( x, y ) = e ò ②当且仅当， -M
-n
du + (1 - n) P( x)u = (1 - n)Q( x) ，下 dx
dy y = 6 - xy 2 dx x
-1 -2
解：令 u = y ，有 du = - y dy ，代入得到有 µ ( x) = e ò

积分因子法

积分因子法
积分因子法是一种求解一阶微分方程的方法。

在一阶微分方程中，如果其形式为y' + p(x)y = q(x)，其中p(x) 和q(x) 为已知函数，那么可以通过积分因子法来求解。

首先，需要找到一个函数u(x)，使得乘上它后可以使得y' u(x) + p(x) y u(x) 变为一个可积的形式，即可以变成(yu(x))' = q(x)u(x)。

如果找到了这样的一个函数u(x)，那么可以将原方程两边同时乘以u(x)，得到y' u(x) + p(x) y u(x) = q(x) u(x)。

接下来，对等式两边同时进行积分，得到y(x)u(x) = ∫q(x)u(x)dx + C，其中C 是一个常数。

最后，将y(x) 的表达式解出即可，即y(x) = (1/u(x)) * (∫q(x)u(x)dx + C)。

通过这种方法求解一阶微分方程时，需要注意选择合适的积分因子u(x)，并进行正确的求导和积分操作。

一阶偏微分方程求解方法

VS
举例2
求解一阶偏微分方程时，遇到边界条件为 y'(0)=1，y'(1)=2的情况，可以通过有限差分法进行处理。
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THANKS
03
3. 求解参数方程
通过求解参数方程，得到 (t = x^2/2 + C) ，其中 (C) 是常数。
02
2. 建立参数方程
根据参数 (t) 的定义，建立参数方程 (u'(x) = x + t) 。
04
4. 求得原方程的解
将 (t) 关于 (x) 的表达式代入原方程，得到原方程的解 (u(x) = x^2/2 + C) 。
04 参数法
适用条件
适用于具有特定形式的一阶偏微分方程，如形如 (u'(x) = f(x, u(x))) 的方程。
适用于已知函数 (f(x, u)) 的情况，且在某些特定点上，方程的解 (u(x)) 可以表示为参数 (x) 的函数。
求解步骤
1. 确定参数
选择一个参数 (t) ，使得方程的解 (u(x)) 可以表示为 (t) 的函数。
乘积或商。
03 偏微分方程中的未知函数可以表示为某种周期函数的乘积或商。
求解步骤
01
1. 将偏微分方程中的未知函数表示为多个函数的乘积
或商。
02 2. 将每个函数分别求解，得到每个函数的解。
03
3. 将所有函数的解组合起来，得到偏微分方程的解。
举例说明
考虑一阶偏微分方程 $$ frac{partial u}{partial x} + u = f(x) $$ 其中 $u = u(x)$ 是未知函数，$f(x)$ 是已知函数。
(e^{int f(x) dx} y' = f(x) e^{int f(x) dx})

一类典型微分方程积分因子的求法

）Ｐ＋ｘＱ— Ｃ，＂ｆ）一２Ｃ
例求方程
２Ｐ一，（，＝２ｚ再由ｘＰ＋ＹＱ＝，）Ｚ’ ）ｚｘＰ，＇（两边关于戈求导可得Ｐ＝厂（一ｍＰ — ｘ）ｘ
ＹＱ， “ 于是
积分因子，并求其通解．
ＰｌｎｍｉｓｗｔｐｉａｏｓｔｏｙｏａｈＡｐｌｔｎｏＮｕｍｅｃｌＡｎｙｉ．ＪＩｓ．ｌｉｃｉｉｒａａ８８．ｎｔｌ
［］ＪＣｕｈｒＴｅＮｍｒａＡａｓｆｒｉｒＤｆｒｎａ１．．Ｂｔｅ，ｈｕｅｃｎｌｉｏＯｄａｉｅｔｌｃｉｌｙｓｎｙｅｉ
文章编号：０８—１０（０１０１０４２２１）２—０７ｏ２４一２
一
类典型微分方程积分因子的求法①
沈浮，王金山，王鹏
（放军炮兵学院数学教研室。安徽合肥２０３）解３０１
摘
一
要：讨论了一阶微分方程有形如＝（
＝ｙ
若方程Ｐ＋ｄｘ２Ｃ；ｙ＝ｏ）一 ’ 一 … ｙｙ — Ｊ—ｕ）Ｐ）＝（
满足ｙＰ一Ｑ＝，）和（
＝
＋ｙ的函数．定理２若方程（）满足条件：Ｐ＋ｒＱ＝１ｎ
推论２若方程（）满足条件＂＋ｙＱ：１－ＰＸ｜ｋ非零常数）和（ｊ为｝（ｋ＋ｃＰ）＝Ｃ＋则方程（）Ｑ，１有积分因子
，一ｙＶ一

一阶线性微分方程通解公式

一阶线性微分方程通解公式引言在微积分中，线性微分方程是一种非常重要的方程形式。

一阶线性微分方程是指关于未知函数及其导数的一阶方程，且方程可以写成如下形式：$$\\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$其中，P(x)和Q(x)分别是给定的函数。

解一阶线性微分方程的通解公式可以帮助我们找到方程的所有解。

解一阶线性微分方程的通解公式我们使用常数变易法来解一阶线性微分方程。

假设方程的解为y(x)，且y(x)的导数为$\\frac{dy}{dx}$，则通解公式可表示为：$$y(x) = \\frac{1}{\\mu(x)} \\left(\\int \\mu(x)Q(x)dx + C\\right)$$其中，$\\mu(x)$是一个称为积分因子的函数，C是一个任意常数。

求解积分因子为了求解积分因子$\\mu(x)$，我们需要满足以下条件：1.积分因子$\\mu(x)$是一个非零函数，即$\\mu(x) \ eq 0$。

2.方程$\\mu(x)\\left(\\frac{dy}{dx} + P(x)y\\right) = \\mu(x)Q(x)$是一个恰当微分方程。

为满足第二个条件，我们引入一个新的函数M(x,y)，使得$\\frac{\\partial M}{\\partial x} = \\frac{\\partial}{\\partial y}[\\mu(x)\\left(\\frac{dy}{dx} +P(x)y\\right)]$。

利用偏导数的性质，我们可以得到：$$\\frac{\\partial M}{\\partial x} = \\mu'(x)\\left(\\frac{dy}{dx} +P(x)y\\right) + \\mu(x)\\left(\\frac{d}{dx}\\frac{dy}{dx} + P'(x)y +P(x)\\frac{dy}{dx}\\right)$$化简上式，并与$\\frac{\\partial M}{\\partial x} = \\frac{\\partial}{\\partial y}[\\mu(x)\\left(\\frac{dy}{dx} + P(x)y\\right)]$进行对比，得到：$$\\mu'(x)\\left(\\frac{dy}{dx} + P(x)y\\right) +\\mu(x)\\left(\\frac{d}{dx}\\frac{dy}{dx} + P'(x)y + P(x)\\frac{dy}{dx}\\right) = \\frac{d}{dx}[\\mu(x)\\left(\\frac{dy}{dx} + P(x)y\\right)]$$对以上公式重新整理，得到：$$\\mu'(x)\\frac{dy}{dx} + \\mu(x)\\frac{d^2y}{dx^2} + \\mu(x)P'(x)y =\\mu'(x)\\frac{dy}{dx} + \\mu(x)P(x)\\frac{dy}{dx} + \\mu(x)P'(x)y$$ 进一步简化，得到：$$\\mu(x)\\frac{d^2y}{dx^2} = \\mu(x)P(x)\\frac{dy}{dx}$$根据以上结果，我们可以得到一个关于$\\mu(x)$的常微分方程：$$\\frac{d^2\\mu(x)}{dx^2} = P(x)\\frac{d\\mu(x)}{dx}$$求解上述常微分方程，找到$\\mu(x)$后，我们就可以利用通解公式求解一阶线性微分方程的解。

一阶常微分方程解法总结

章一阶微分方程的解法的小结⑴、可分离变量的方程： ①、形如d^ = f (x)g(y) dx当g(y) =o 时，得到型f(x)dx ，两边积分即可得到结果;g(y)当g( °) = °时，则y(x)二o 也是方程的解。

例 1.1、巴=xydxdy解：当y = 0时，有xdx ，两边积分得到 yy =0显然是原方程的解；综上所述，原方程的解为y 二Ge^ (G 为常数)②、形如 M (x)N(y)dx P(x)Q(y)dy =0当 P(x)N(y)= 0 dy ，两边积分可得结果；P(x) N(y)当N(y °) = 0时，y 二y °为原方程的解，当 P(x °) = 0时，x = x °为原方程的解。

2 2例「2、x(y -1)dx y(x -1)dy=0解：当 (x 2 -1)(y 2-1) =0时，有Jdy =¥ dx 两边积分得到 1 - y x -1o222Inx —1+1 ny —1=1 nC (C^O)，所以有(x -1)(y -1) =C (C^0)；当(x - 1)(y -0 =0时，也是原方程的解；综上所述，原方程的解为(x 2-1)( y 2-1) =C (C 为常数)。

⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如dy = g (―)dx x(C 为常数)所以y ^C j e 2(C i 为非零常数且G = _e C)解法：令u=‘ ，则dy=xduudx，代入得到为变量可分离方程，得到x dx解：令u = x - y -2，贝U dy = dx -du ，代入得到1一史二口，有 udu=-7dx dx u所以齐—7x ・C (C 为常数)，把 u代入得到2"x 一 y -2) Tx=C (C 为常例 2.2、dydx 2x - y 1 x _2y 1解：由丿 2x—y+"0得到、x_2y +1 =01 x =3 1 y =- -3，令 u = x +1 3，有」1v = y 一一dy = dv y ，代入得到 dx =du dv 2u-vdu u-2v 1 _2 v u dt dv 二t d u u d t ，代入得到 t u一 du口，化简得到，1 -2tduu 2 - 2t 2t2d(1 -t t )22(1 -t t )2有 lnu= — I +t)+c (C 为常数)，所以有f(u,x,C) =0 (C 为常数)再把u 代入得到fd,x,C)=0 (C 为常数)。

一阶常微分方程积分因子解法

井冈山大学学报(自然科学版) 6 文章编号：1674-8085(2019)06-0006-05一阶常微分方程积分因子解法胡彦霞（华北电力大学数理学院,北京 102206）摘要：利用积分因子求解常微分方程是解方程常用的有效方法，在理论和实践中有着重要地位。

惯常的积分因子解法主要讨论两种特殊情况，一种是求只显含自变量的积分因子，另一种是求只显含未知变量的积分因子。

本文在未限定变量的条件下，探讨并总结了常微分方程积分因子解法，文中结果拓展总结了求常微分方程积分因子的相关结论与方法。

关键词：一阶常微分方程；积分因子；微分算子；一阶拟齐次方程中图分类号：O172.1 文献标识码：A DOI:10.3969/j.issn.1674-8085.2019.06.002FURTHER DISCUSSION ON THE METHODS FOR OBTAINING INTEGRATING FACTORS OF THE FIRST ORDER ORDINARYDIFFERENTIAL EQUATIONSHU Yan-xia(School of Mathematics and Physics ，North China Electric Power University ，Beijing 102206, China)Abstract: Using integrating factors to solve ordinary differential equations is an effective method used to solve equations, which plays an important role in theory and practice. Usually, there are two cases of considering to obtain integrating factors of ordinary differential equations. In one case, integrating factors with the independent variable are considered. In the other case, integrating factors with the dependent variable are considered. In the paper, the method to obtain integrating factors of the first order ordinary differential equations is considered in the case of unqualified variables. The sufficient conditions of the existence of integrating factors of the equations are shown, and the methods for obtaining the integrating factors are given. The results in this paper extend and summarize the relevant conclusions and methods of obtaining integrating factors of ordinary differential equations.Key words: first order ordinary differential equation; integrating factor; differential operator; first order quasi-homogeneous equation0 引言在求解一阶常微分方程时，积分因子方法是一种常用的有效方法，思路简单且计算量较小。

求解一阶线性微分方程的方法

求解一阶线性微分方程的方法对于一阶线性微分方程，
)()(x q y x p dx
dy =+有如下的一般求解方法（摘自普林斯顿大学微积分读本）：1将包含y 的部分放在左边，包含x 的部分放在右边，然后两边除以dy/dx 的系数得到一个标准形式的方程
)()(x q y x p dx
dy =+2两边乘积分因子，我们称其为f(x)，它由
积分因子⎰=dx
x p e x f )()(给出，这里不需要为指数上的积分+C ，左边变为))((y x f dx
d ，其中f(x)为积分因子，用这个新的左边重写方程()()()()()()()()()p x dx
p x dx p x dx p x dx p x dx dy e e p x y e q x dx
d e y e q x dx ⎰⎰⎰+=⎰⎰=3两边积分，这次必须在右边+C
()()()()()()=()dx C p x dx p x dx p x dx p x dx d e y e q x dx
e y q x e ⎰⎰=⎰⎰+⎰4两边再除以积分因子f(x)来解出y.
()()()()=()dx C
1
(()dx C)p x dx p x dx p x dx p x dx e y q x e y q x e e ⎰⎰+⎰=+⎰⎰⎰。

关于一阶常微分方程积分因子的求法

关于一阶常微分方程积分因子的求法摘要目前关于一阶常微分方程积分因子的求解方法介绍比较零散，一般的教科书中大都局限在一些简单的情况，如公式法一般只给出含有x或y的一元函数的积分因子的情形，很少涉及到二元的情况，对积分因子的求法并没有一个系统全面的总结，故积分因子的求法有广阔的研究空间.一阶常微分方程灵活多变，有多种不同的方程类型，因而可针对不同类型的方程，研究与其适应的求解方法. 本课题将根据积分因子的定义及性质，通过不同的分类方法，在原有求积分因子方法的基础上，对多种求法进行加深和扩充，系统地总结出一些较为规律的求解方法：观察法、公式法和分组法，给出这些方法的使用条件，并对方法的可行性进行证明，结合具体问题进行分析讨论，通过对这三种方法的研究，解决了某些一阶常微分方程的求解问题.关键词一阶，积分因子，全微分方程，观察，公式，分组，通解The Solution about First Order DifferentialEquation of Intergral FactorABSTRACTAt present about first order differential equations solving method of integral factor is introduced, the comparison scattered in general mostly confined to a textbook, such as some simple formula general give only contain x or y unary function of integral factor of the situation, rarely involve the condition of dual integral factor of sapce and no system, so overall summary of integral factor of sapce has broad research space. A flexible and order ordinary differential equations, and there are many different types of the equation, thus the equation of different types, with the solving method to study. This topic will be based on the definition and properties of integral factor, through different classification method andway of integrating factors in original for the foundation, on the various sapce for deepening and expanded, systematically summarizes some relatively regular solution: observation, formula and grouping law, given these methods using conditions, and feasibility of the method is proved that combined with concrete problems are discussed, based on the three methods to study and resolve some of the first order differential equation problem solving.KEYWORDS first-order,Integral factor, observation,formula,grouping,general solution.目录1 引言 (1)2 几种变系数齐次线性方程的求解方法 (1)2.1 降阶法 (1)2.2 常系数化法 (8)2.3 幂级数法 (17)2.4 恰当方程法 (20)3 结束语 (23)4 致谢语 (23)参考文献 (24)1 引言常微分方程是数学科学联系实际的主要桥梁之一。

【免费下载】有关一阶线性微分方程积分因子的解法

有关一阶线性微分方程积分因子的解法摘要：当一阶线性微分方程不是恰当微分方程或不存在只含有一个未知数的积分因子时，微分方程的积分因子不易求得. 本文给出了三种特殊形式的积分因子并证明了这三种积分因子存在的充分必要条件.关键词：偏导数；偏微分方程；线性微分方程；积分因子一引言对于一阶微分方程，(1)0),(),(=+dy y x Q dx y x P 若存在连续可微的函数，使得，则方程 (1)0),(≠y x u 0),(),(),(),(=+dy y x Q y x u dx y x P y x u 为一阶恰当微分方程，即存在函数，使),(y x v ,(2)),(),(),(),(),(y x dv dy y x Q y x u dx y x P y x u =+且称非零函数为方程(1)的积分因子．),(y x u 若找到方程(1)的积分因子，就设法求得式(2)的一个原函数，从而是),(y x v c y x v =),(方程(1)的通解．引理1 设,,在单连通区域内连续且有连续一阶偏导数，且),(y x P ),(y x Q ),(y x u G ,则函数为（1）的积分因子的充分必要条件是0),(≠y x u ),(y x u，(3)u x Q y P y u P x u Q⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂-∂∂式（3）是一个以为未知数函数的一阶线性偏微分方程，通常情况下，要想通过具),(y x u 体求解方程(3)而求得积分因子是比较困难的．但某些特殊情况下，不难求得(3)的),(y x u 一个特解，而作为积分因子．文献[1]给出了结论，方程(1)有只与有关的积分因),(y x u x 子的充分必要条件是，这里仅为的函数.方程⎰=dxx e x u )()(ϕ)(1x Q x Q y P ϕ=⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂-)(x ϕx(1)有只与有关的积分因子的充分必要条件是y ⎰=dyy e y u )()(ϕ,)()(1y P x Q y P ϕ=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂-这里仅为的函数.)(y ϕy 当微分方程不存在只与或有关的积分因子，用此方法无法求解.本文给出 3 种只x y 依赖,形式的积分因子存在的充分必要条件，这有助于积分因)(,b a b a y x y x +))()((y g x f u 子的求解.二一阶微分方程积分因子的解法定理1 方程（1）有一个只依赖形式的积分因子的充分必要条件是b a y x , (4))()(11b a b a y x f ybP x aQ x Q y P y x =-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂-此时是方程 (1) 的一个积分因子,（是的一个原函数）.)(),(ba y xF e y x u =)(t F )(t f 证明必要性，设是方程（1）的一个积分因子，则)(),(b a y x F ey x u =,.))((1)(b a b a y x F y ax y x f e xub a -=∂∂))((1)(a b b a y x F x by y x f e y u b a -=∂∂代入式 ,可得u x Q y P y u P x u Q⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂-∂∂= ))(())((1)(1)(---b abay x F b aba y x F ybx y x f Peybx y x f Qeb a b a )(b a y x F e x Q y P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂消去,并化简可得)(ba y xF e ,即(4)式成立..)()(11b a b a y x f ybP x aQ x Q y P y x =-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂-充分性，若式（4）成立，则，整理得01)(=⎪⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛y P x Q y x y bP xaQ y x f b a b a ,则有0)(=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛y P x Q y bP xaQ y x f y x b a b a. (5)0)()(11=⎪⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂---y P x Q P y bx y x f Q y ax y x f b a b a b a b a 设是的一个原函数,式（5）两边同乘以,则式)(t F )(t f )(),(ba y xF e y x u =u x Q y P y u P x u Q⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂-∂∂成立.即是方程（1）的一个积分因子. 证毕)(),(b a y x F ey x u =定理2 方程（1）有一个只依赖形式的积分因子的充分必要条件)(b a y x + . (6))()(111ba b a y x f P by Q ax xQ y P +=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂---此时是方程（1）的一个积分因子（是的一个原函数）.)(),(b a y x F ey x u +=)(t F )(t f 证明必要性，设是方程(1)的一个积分因子，则)(),(b ay xF e y x u +=,.1)()(-++=∂∂a b a y x F ax y x f e xub a 1)()(-++=∂∂b b a y x F by y x f e y u b a 代入式,可得u x Q y P y u P x u Q⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂-∂∂)(1)(1)()()(b a b ab ay x F b b a y xF a b a y xF ex Q y P by y x f Pe ax y x f Qe +-+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+-+消去,整理可得)(b ay xF e +,即(6)式成立..)()(111ba b a y x f P by Q ax xQ y P +=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂---充分性，若(6)式成立，则整理可得下式. (7)xQy P Pby Qax y x f b a b a ∂∂-∂∂=-+--))((11设是的一个原函数,式(7)两边乘以，则(3)式成立.即)(t F )(t f )(),(b ay xF e y x u +=是方程(1)的一个积分因子.证毕.)(),(b ay xF e y x u +=定理3 若方程(1)中,在内连续且有连续偏导数,，且满足),(y x P ),(y x Q D y P ∂∂xQ∂∂,. 则方程(1)存在形如积分因子的充要条件是 xQy P ∂∂≠∂∂D y x ∈),())()((y g x f u，(8)))()((y g x f yg Pfx f Qg xQy P Φ=∂∂-∂∂∂∂-∂∂并且积分因子由下式确定),(y x u ,.(9)dzz e y x u ⎰=Φ)(),()()(y g x f z =(9)中由(8)给出.)(z Φ证明必要性，设,是方程(1)的积分因子，,)(),(z y x u ϕ=)()(y g x f z =xQy P ∂∂=∂∂ϕϕ.D y x ∈),(即得，从而整理得ϕϕϕϕxNQ y g x f z y P P x f y g z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂)()(,yg Pfx f Qg x Qy P z x Q y P y g Pf x f Qg z ∂∂-∂∂∂∂-∂∂= ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫∂∂-∂∂= ⎝⎛⎪⎪⎭⎫∂∂-∂∂∂∂ϕϕϕϕ1取，则有ϕϕ)()(z z '=Φ，，可得(8).)(z yg Pfx f Qg xQy P Φ=∂∂-∂∂∂∂-∂∂)()(y g x f z =充分性，若,,)(z yg Pfx f Qg xQy P Φ=∂∂-∂∂∂∂-∂∂)()(y g x f z =令,.则⎰=Φdzz e y x u )(),()()(y g x f z = =∂∂+∂∂=∂∂y P u P y u y uP )(+∂∂Φ⎰ΦP y zz e dz z )()(yP e dz z ∂∂⎰Φ)(,⎢⎣⎡⎥⎦⎤∂∂+∂∂Φ⎰=Φy P fP y g z e dzz )()(,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂Φ⎰=∂∂Φx Q gQ x f z e x uQ dz z )()()(所以 .从而(9)为积分因子.0)()()()(=⎢⎢⎣⎡ ⎝⎛ ⎝⎛⎥⎦⎤⎪⎭⎫∂∂-∂∂+⎪⎭⎫∂∂-∂∂Φ⎰=∂∂-∂∂Φx Q y P x f Qg y g Pf z e x uQ y uP dz z 三应用举例例1 解方程. （10）dx xy ydy x xdy ydx 22-=+解方程（10）可化为，此时,0)()(22=-++dy y x x dx xy y 2),(xy y y x P +=，则,，y x x y x Q 2),(-=xy y P 21+=∂∂xy xQ 21-=∂∂所以不存在只与或有关的积分因子．由于x y ，)1()1(14)(11xy b xy a y x xy y bP x aQ x Q y P y x b a ba +--=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂-取,,则有.3=a 3=b )(64(133331y x f y x y bP x aQ x Q y P y x ba =-=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂-则根据定理1，方程（10）有只依赖于形式的积分因子.于是方程（10）有积分因子33y x .33),(y x y x u =例2 求解方程. （11）ydx xdy dx y x 22)33(22-=+解方程（11）可化为令,,02)233(22=-++xdy dx y y x y y x y x P 233),(22++=,x y x Q 2),(-=则,，所以不存在只与或有关的积分因子．由26+=∂∂y y P 2-=∂∂xQx y ，)233(21)46()(221111y y x by ax y P by Q ax x Q y P b a b a +++-+=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂----取，，则有2=a 2=b.)(1)(2222111y x f y x P by Q ax x Q y P b a +=+-=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂---根据定理2,方程（11）有只依赖于形式的积分因子.设，求得原函数22y x +1)(--=t t f .于是方程（11）有积分因子，进而可求得其通解为Int t f -=)(122)(),(-+=y x y x u .c xy x =+-1arctan 例3 求解方程. (12)0)3()6(322=+-++dy xy x dx y yx 解 ,,则226y yx P +=xy x Q +-=33,,可得y x y P 262+=∂∂y x xQ +-=∂∂29.x y xQ y P --=∂∂-∂∂215取,.则有x x f =)(2)(y y g =xy y yx y xy x y x dydg Pfdx df Qg xQ y P 2)6()3(1522232+-+-+=-∂∂-∂∂ yx 21-=从而由定理知方程有积分因子 .yx y x u 21),(-=文章虽给出了一些以特殊积分因子解线性微分方程的方法，但是在学习中依然存在许多其它特殊的积分因子用以上方法难以解决，还需要继续探索．参考文献：[1] 石瑞青，闫晓红，郭红建，等．常微分方程全程导学及习题全解[M]．北京：中国时代经济出版社，2009．[2] 赵临龙．常微分方程研究新论[M]．西安：西安地图出版社，2000．[3] 刘许成.复合型积分因子的存在定理及应用[j].阜阳师范学院学报.2003,20(6)39-41[4] 高正辉.一阶微分方程三类积分因子的计算[J].衡阳师范学院学报(自然科学版),2002(3)[5] 东北师范大学数学系.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1982.35-48Method of Solution Integrating Factor of Linear First-order DifferentialEquationAbstract: As for linear first-order differential equation and it will not exist if it has only one unknown number of integrating factor. So the differential equation will be difficult to solve. This thesis gives three particular forms of integrating factors which proves the sufficient and necessary condition of existence.Keywords:Partial derivative, Partial differential equation, linear differential equation, integrating factor。

一阶微分方程解法

一阶微分方程解法在数学的领域中，一阶微分方程是一个重要的研究对象，它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。

那么，什么是一阶微分方程呢？简单来说，一阶微分方程就是指方程中只含有一阶导数的微分方程。

一阶微分方程的一般形式可以表示为：＄y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄，其中$y'＄表示$y$对$x$的一阶导数，＄P(x)＄和$Q(x)＄是关于$x$的已知函数。

接下来，我们就来探讨一下一阶微分方程的常见解法。

一、可分离变量的一阶微分方程如果一阶微分方程可以写成$g(y)y' ＝ f(x)＄的形式，那么我们就称它为可分离变量的一阶微分方程。

对于这种类型的方程，我们可以通过将变量分离，然后两边积分来求解。

具体的求解步骤如下：首先，将方程变形为$＼frac{g(y)｝｛y'｝＝ f(x)＄。

然后，将两边分别积分：＄＼int ＼frac{g(y)｝｛y'｝dx ＝＼intf(x)dx$。

最后，经过积分运算，求出$y$的表达式。

例如，对于方程$y' ＝ 2xy$，我们可以将其变形为$＼frac{dy}｛y} ＝ 2xdx$，然后两边积分得到$＼ln|y| ＝ x^2 ＋ C$，进而得到$y ＝ Ce^｛x^2}＄（其中$C$为常数）。

二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程是形如$y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程。

对于这种类型的方程，我们可以使用积分因子法来求解。

首先，求出积分因子$＼mu(x) ＝ e^｛＼int P(x)dx}＄。

然后，将原方程两边同时乘以积分因子$＼mu(x)＄，得到：＄e^｛＼int P(x)dx}y' ＋ P(x)e^｛＼int P(x)dx}y ＝ Q(x)e^｛＼intP(x)dx}＄此时，左边可以变形为$（ye^｛＼int P(x)dx}）＇＄。

于是，原方程就变成了$（ye^｛＼int P(x)dx}）＇＝ Q(x)e^｛＼int P(x)dx}＄。

一阶微分方程三类积分因子的计算

（令“＝２，ｂ＝１）
一（２ｘ十ｙ）３（ｚ一２ｙ）十：ｃｙ（ｙ２—４ｘ２）
５—（２ｘ辈ｙ蔫［－（２并ｘ焘券ｙ器‰ｘｙ一一（２ｘ＋ｙ）［（２ｚ＋ｙ）２（２ｙ—ｚ）＋ｘｙ（２ｘ—ｙ）］
ａＮａＭ
熹ｂＭ一要ａＮ一＋）
一志２ｘ＋ｙ刈２ｚ州＋ｖ）２（２一ｚ）＋（２ｚ—ｖ）］一——一一Ｊ¨ｚ１＿ｙ７
１．卢（ｚ，ｙ）＝Ｆ（ｎｚ十６ｙ），２．Ｐ（ｚ，ｙ）＝Ｇ（ｚｙ）．３．户（ｚ，ｙ）＝ｅｘｐＦｆｆ（ｚ）如＋Ｊ’ｇ（ｙ）出］三种形式的积分因子的
充要条件．
关键词恰当方程；积分因子
中图分类号：０１７５
文献标识码：Ａ
文章编号：１００２－－０７３Ｘ（２００２）０３一００５２一０４
一阶微分方程Ｍ（ｚ，ｙ）ｄｚ＋Ｎ（ｚ，ｙ）ｄｙ：Ｏ（１）当百ａＭ一百ａＮ时，称方程（１）为恰当方程。对于恰当方
Ｇ（ｘｙ）Ｍ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｇ（ｘｙ）Ｎ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝０
即
ｚｚ－，！ｖ－－（ｘｙ２一ｙ）ｄｘ＋击‘ｚ≯，３，一３ｘ）ｄｙ２ｏ
（ｙ－－Ｚ去）出＋（Ｐ３Ｖｙ）ｄｙ２。舛ｚ＋斑ｙ－土。ｄｚ一专ｄｙ＝ｏ
得全微分方程ｄ（ｘｙ—ｌｎｘｙ３）＝０所以．得方稗的诵锶．ｚｖ—ｌｎｘｖ３＝Ｃ
３．具有形为ｐ（ｘ。ｙ）＝ｅｘＰｉｌｌ（ｘＩ出＋ｆｇ（ｙ）ｄｙ］积分因子的条件命题３一阶微分方程Ｍ（ｚ，ｙ）如＋Ｎ（ｚ，３，）出一ｏ，具有形为Ｐ（ｚ，ｊ，）一ｅｘｐ［ｆｆ（ｚ）出＋Ｊ－ｇ（ｙ）出］积
第２３卷第３期２００２年６月
衡阳师范学院学报（自然科学）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｅｎｇｙａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）
ＮＯ．３Ｖ０１．２３ＪＵＢ．２００２

微分方程积分因子的求法

微分方程积分因子的求法罗伟东【摘要】利用积分因子，可以对一个一阶微分方程的求解进行统一处理。

因此，如何求解积分因子就成为解一阶微分方程的一个重点了。

但对于一个具体的方程，如何求出它的积分因子呢，一般的方法是解一个一阶偏微分方程，不过那是比较不容易的。

但是，对于某些特殊的情况，却可以简单地得出积分因子。

通过查找我们发现，在大多数《常微分方程》的教材中都只给出了只与x 或y 有关的积分因子的求法，但这是不够的。

所以我们在这里来讨论一下关于求解()x y αβμ和()m n ax by μ+这两类积分因子的充要条件及部分例题，由此我们就可以得到形式相近的积分因子。

如：通过x y μ=+，可以得到x y μ=-的积分因子。

如此举一反三，力求使得求积分因子的问题变的简便易行。

同时，还对积分因子的求法进行了推广，总结出几类方程积分因子的求法。

【关键字】微分方程，积分因子，求解方法【目录】引言 (1)目录 (2)一、()x y αβμ和()m n ax by μ+两类积分因子§ 1、与()x y αβμ有关的积分因子 (3)§ 2、与()m n ax by μ+有关的积分因子 (4)二、微分方程积分因子求法的推广§ 1、满足条件()P Q P Qf x y x y∂∂-=-∂∂的积分因子求法 (7)§ 2、方程1123422(3)36330m m m m x mx y xy dx y x y x y dy +-⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子 (10)§ 3、方程13()30m m m x m x y x dx x dy -⎡⎤+++=⎣⎦积分因子 (12)§ 4、方程1(4)4450m m m m x mx y y dx x x y dy -⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子 (13)参考文献 (15)一、()x y αβμ和()m n axby μ+两类积分因子引言：微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言。

用积分因子求一阶常微分方程的讨论

（．ＴａｈｎｎｅｅｒｈＤｐｒｅｔｔｅＡａｅｙｏｏｅｔｄｉｉｒｔｎＢｉｎ０６０，ｈｎ；１ｅｃｉｇａｄＲｓａｅａｔｎ，ＳａｃｄｍｆｒｓｙＡｍｎｓａｏ，ｅｉｇ１２０ＣｉｃｍｔＦｒｔｉｊａ
２ｅｏｇａｇＦｒｓｙＶｃｔｎＴｃｎｃｌｏｌｅｕａｊｎ，ｅｌ￣ｉｇ１７１，Ｃｉａ．Ｈｉｎｊｎｏｔａａｏ —ｅｈｉａＣｌｇ，ＭｄｎｉｇＨｉｎａ５０ｌｉｅｒｉｅａｏｎ１ｈ）ｎ
用变量分离法的地方都可以用积分因子法。因此，对非全微分方程，寻求积分因子就显得十分重要。本文仅对积分因子的一些性质和如何寻求积分因子的问题进行探讨、总结和研究。
１预备知识
对于任意一个一阶常微分方程是否为恰当方程，有如下的一个判定定理。
条件是：
（
Ｏｙ
一（
Ｏｘ
，
且当条件满足时，程的通解为：方
“ ，（ＹｘＹｄ＋Ｊ（。）ｙ＝Ｃ）＝Ｊｇ（，）ｘ，ｄＮＹ，
收稿日期：２１ — ３一ｌ０１０５
作者简介：胡淑荣（９３，女，黑龙江牡丹江人，副教授，硕士，主要从事数学教学与研究。１６一）
第３期
胡淑荣，岳培鹏：用积分因子求一阶常微分方程的讨论
８９
定理１设Ｍ（，）ＮｘＹ在某个单连通区域Ｄ内有一阶连续的偏导数，ｘＹ，（，）则方程为恰当方程的充要
ｔｔｎｆｅｅｔｌｅｕｔｏ．ｏｓａｄｄｉｒｎｉｑａｉｎｓｆａＫｅｒｓ：ｄｆｅｅｔｌｅｕａｉｎ；ｉｔｇａｉｇｆｃｏ；ｇｎｒｌｓｌｔｏｙｗｏｄｉｒｎｉｑｔｏｆａｎｅｒｔｎａｔｒｅｅａｏｕｉｎ

一阶微分方程解法

一阶微分方程解法在数学的世界中，微分方程是一个非常重要的领域，它在物理、工程、经济等众多学科中都有着广泛的应用。

一阶微分方程作为微分方程的基础类型之一，掌握其解法对于深入理解和解决更复杂的问题具有关键意义。

一阶微分方程的一般形式可以表示为：＄y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄，其中＄P(x)＄和＄Q(x)＄是已知的关于＄x$ 的函数，＄y'＄表示＄y$ 对＄x$ 的导数。

接下来，我们将介绍几种常见的一阶微分方程的解法。

一、可分离变量的一阶微分方程如果一阶微分方程可以写成＄g(y)dy ＝ f(x)dx$ 的形式，那么我们就称它为可分离变量的一阶微分方程。

这种类型方程的解法相对简单，只需要分别对等式两边进行积分即可。

例如，考虑方程＄y' ＝ 2xy$，将其变形为＄＼frac{dy}｛y} ＝2xdx$。

然后，对两边积分：＄＼int\frac{dy}｛y} ＝＼int 2xdx$，得到＄＼ln|y| ＝ x^2 ＋ C$（＄C$ 为常数），进而可以得到＄y ＝＼pm e^｛x^2 ＋ C} ＝ Ce^｛x^2}＄（＄C ＝＼pm e^C$）。

二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程是形如＄y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程。

我们可以使用积分因子法来求解。

首先，求出积分因子＄＼mu(x) ＝ e^｛＼int P(x)dx}＄。

然后，将原方程两边乘以积分因子，得到：＄e^｛＼int P(x)dx}y' ＋ P(x)e^｛＼int P(x)dx}y ＝ Q(x)e^｛＼intP(x)dx}＄可以发现等式左边是＄（e^｛＼int P(x)dx}y)＇＄，所以对上式两边积分可得：＄e^｛＼int P(x)dx}y ＝＼int Q(x)e^｛＼int P(x)dx}dx ＋ C$最后，解出＄y$ 即可。

例如，对于方程＄y' ＋ 2y ＝ 3e^｛－2x}＄，这里＄P(x) ＝ 2$，＄＼int P(x)dx ＝ 2x$，积分因子＄＼mu(x) ＝ e^｛2x}＄。

一阶微分方程的类型及其解法

一阶微分方程的类型及其解法
一、一阶微分方程
一阶微分方程（ODE）是指具有一个未知函数及其反问因子的微分
方程。

它可以用来求解解析方程，研究它们的解的性质以及求解复杂
的物理问题。

一阶微分方程可以分为常微分方程、拟齐次线性微分方
程和非线性微分方程三大类。

二、解法
（1）常微分方程可以用积分因子分离变量法、限制变量法及特征
积分法等解法进行求解。

（2）拟齐次线性微分方程的解可用积分系数、分步求积法、可积
方程法等解法得到。

（3）非线性微分方程的解可用近似法（也称为等价线性化法），
极限积分法，pictctc函数法，水平法，积分矩阵法，置换法等解决。

三、总结
一阶微分方程是数学中常见的重要类型，它包括常微分方程、拟
齐次线性微分方程和非线性微分方程。

它可以用来求解解析方程，研
究它们的解的性质以及求解复杂的物理问题。

三类微分方程分别有各
自的求解解法，诸如常微分方程可用积分因子分离变量法、限制变量
法及特征积分法等解法进行求解，拟齐次线性微分方程可用积分系数、
分步求积法、可积方程法等解法得到，而非线性微分方程则可用各种近似法，极限积分法，pictctc函数法等解决。

一阶线性微分方程及伯努利介绍

一阶线性微分方程及伯努利介绍为了解如何求解一阶线性微分方程，首先需要了解伯努利方程。

伯努利方程是一类形如dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n的微分方程，其中n ≠ 0, 1、当n = 0时，该方程即为一阶线性微分方程。

伯努利方程具有一些特定的性质，使得可以通过变换将其转化为一阶线性微分方程。

具体而言，对于伯努利方程dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n，可以通过以下变换将其转化为一阶线性微分方程。

令v = y^(1-n)，则dy/dx = (1-n)v'/v。

将此变换代入伯努利方程中，得到(1-n)v'/v + P(x)v^(1-n) = Q(x)。

整理得到v'/v + P(x)v^(-n) - Q(x) = 0，这是一阶线性微分方程。

因此，通过变换v = y^(1-n)，可以将伯努利方程转化为一阶线性微分方程。

对于一阶线性微分方程dy/dx + P(x)y = Q(x)，可以使用积分因子法求解。

积分因子是一个函数μ(x)，满足μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y =μ(x)Q(x)。

这样，对于乘以μ(x)后的方程就可以应用乘积法则，得到(d(μ(x)y)/dx = μ(x)Q(x))。

进一步积分得到μ(x)y =∫μ(x)Q(x)dx + C，其中C是常数。

因此，y = 1/μ(x) *(∫μ(x)Q(x)dx + C)。

要求积分因子μ(x)1. 将方程变为标准形式dy/dx + P(x)y = Q(x)。

2. 计算μ(x) = e^(∫P(x)dx)。

需要注意的是，在实际求解过程中，可能会遇到分母为0的情况。

此时，应当考虑特殊解。

另外，一些方程可能无法精确求解，需要通过数值方法近似求解。

总结起来，一阶线性微分方程是常见的微分方程形式，通过积分因子法可以求解。

伯努利方程是一类特殊的一阶微分方程，通过变换可以将其转化为一阶线性微分方程，从而求解。

对于一阶线性微分方程，积分因子法是常用的求解方法之一，可用于将方程转化为容易求解的形式。