高三数学一轮复习精品学案：§13.5 复数

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2011版高三数学一轮精品复习学案：数系的扩充与复数的引入

高三数学一轮精品复习:数系的扩充与复数的引入【考纲知识梳理】1、复数的有关概念（1）复数的概念形如a+bi(a,b ∈R)的数叫做复数，其中a,b 分别是它的实部和虚部。

若b=0,则a+bi 为实数，若b ≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b ≠0，则a+bi 为纯虚数。

（2）复数相等：a+bi=c+di ⇔a=c 且b=d(a,b,c,d ∈R).（3）共轭复数：a+bi 与c+di 共轭⇔a=c ，b=-d(a,b,c,d ∈R).。

（4）复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。

X 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。

（5）复数的模向量OZ 的模r 叫做复数z=a+bi 的模，记叙|z|或|a+bi|，即2、复数的几何意义（1）复数z=a+bi ←−−−→一一对应复平面内的点Z （a,b ）(a,b ∈R); （2）复数z=a+bi ←−−−→一一对应平面向量OZ （a,b ∈R ）。

3、复数的运算（1）复数的加、减、乘、除运算法则:设z 1=a+bi,z 2=c+di(a,b,c,d ∈R),则①加法：z 1+ z 2=（a+bi ）+（c+di ）=(a+c)+(b+d)i;②减法：z 1- z 2=（a+bi ）-（c+di ）=(a-c)+(b-d)i;③乘法：z 1· z 2=( a+bi )·(c+di )=(ac-bd)+(ad+bc)i; ④除法：1222()()()()(0)()()z a bi a bi c di ac bd bc ad i c di z c di c di c di c d ++-++-===+≠++-+ (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何1z 、2z 、3z ∈C ，有1z +2z =2z +1z ，（1z +2z ）+3z =1z +（2z +3z ）。

2020年高三数学第一轮复习教案-复数-数系的扩充与复数的引入

3．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
4．复数的模
→ 向量OZ的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作
|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2.
【知识必备】
知识点二复数的几何意义
1．复数 z＝a＋bi 2．复数 z＝a＋bi(a，b∈R)
复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)．
→ 平面向量OZ.
【知识必备】
知识点三复数的运算 1．复数的加、减、乘、除运算法则设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：zz12＝ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝acc2＋＋db2d＋bcc2＋－da2di(c＋di≠0)．
对应的复数．
→→→ (4)复数减法的几何意义：复数 z1－z2 是OZ1－OZ2＝Z2Z1所对应的
复数．
【典型例题】
【典型例题】
【典型例题】
【典型例题】
【典题演练】
【典题演练】
【典题演练】
9.
-1
【作业】
完成课时作业（六十一）
再见
【知识必备】
知识点三复数的运算
2．复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3∈C，有 z1 ＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
【知识必备】

新人教版高考数学一轮复习复数

D.4
( A )
22
2.(2023·济南模拟)复数z=2-i5(其中i为虚数单位)的共轭复数为 ( B )
A.2-i
B.2+i
C.1
D.3
【解析】因为 z=2-i5=2-i4+1=2-i,所以=2+i.
23
3.(2022·南通模拟)已知复数z与(z+2)2+8i都是纯虚数,则z=
A.2
B.-2
11
2.(结论1)已知i是虚数单位,则复数z=i2 023+i(i-1)在复平面内对应的点位于( C )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】因为z=i2 023+i(i-1)=-i-1-i=-1-2i,
所以复数z在复平面内对应的点是(-1,-2),位于第三象限.
12
3.(结论2)(多选题)设z1,z2是复数,则下列命题中的真命题是
不满足z1-z2是纯虚数,所以必要性不成立,所以“z1-z2是纯虚数”是“z1,z2互为共轭复
数”的既不充分也不必要条件.
20
【方法提炼】——自主完善,老师指导
解决复数概念问题的常用方法
(1)求一个复数的实部与虚部,只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R),
a
b
则该复数的实部为___,虚部为___.
[典例3](1)(2022·全国甲卷)若z=1+i.则|iz+3|= ( D )
A.4 5
B.4 2
C.2 5
D.2 2
【解析】因为 z=1+i,所以 iz+3=i 1 + i +3 1-i =2-2i,

高三一轮复习教案-复数

第1课时数系的扩充与复数的引入知识回顾1. 复数的概念：形如)R b ,a (bi a ∈+的数叫做_______,其中i 叫做___________，(i 2=-1) a 与b 分别叫做复数a+bi 的______部和_______部。

复数通常用字母_____来表示。

________________叫做复数的代数形式。

全体复数所成的集合叫做________集。

用字母________来表示。

2. 复数a+bi=c+di 的充要条件是：____________________. 特例a+bi=0⇔_______________.3. 对于复数a+bi ，当且仅当___________时，它是实数；当且仅当__________时，它是纯虚数。

4. 复数的几何表示：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________,x 轴叫做________轴，y 轴叫做_______轴.实轴上的点都表示______数；除原点外，虚轴上的点都表示__________数。

5. 复数的模：向量的模，叫做复数 z=a+bi 的模，即=+=bi a z ________________.6. 共轭复数：当两个复数实部______,虚部_____________时，这两个复数叫做共轭复数。

z=a+bi 的共轭复数记作_____________.虚部不为零的两个共轭复数也叫做____________. 性质：2222b a z zz z +===⋅，a z z 2=+； ()()22b a bi a bi a +=++7. 复数加、减法法则：(a+bi)+(c+di)=__________________. (a+bi)-(c+di)=__________________. 基础训练1．i 是虚数单位，234234i i i i +++ = ____________. 23482348i i i i i +++++= ____________.2. 若i b i i a -=⋅-)2(，其中,,a b R i ∈是虚数单位，则22a b +等于． 3．设复数121,2()z i z x i x R =+=+∈，若12z z 为实数，则x 等于． 4．若cos sin (z i i θθ=+是虚数单位），则使21z =-的θ值可能是． 5．22)1(1)1(1i ii i -+++-等于______________. 例题例1．已知：复数z =)()65()67(22R a i a a a a ∈--++-，试求实数a 分别取什么值时，复数z 分别为：⑴实数；⑵虚数；⑶纯虚数；⑷复数z 在复平面上对应的点在x 轴上方；例2.计算下列各题： ⑴()31i - ⑵3123ii ++ ⑶)125)(1()32)(32(i i i i ---+ ⑷iii i 2332)11(6-++-+练习:1.（07全国Ⅰ）设a 是实数，且1i1i 2a +++是实数，则a = .A 12.B 1.C 32.D 22.（07全国Ⅱ）设复数z 满足12ii z+=，则z = .A 2i -+.B 2i -- .C 2i -.D 2i +3.（07北京）()221i =+4.（07福建）复数21(1i)+等于.A12.B 12-.C1i 2.D 1i 2-5.（07安徽）若a=，则a 等于.A.B.C .D -6. (07天津)是虚数单位，32i 1i=- .A 1i +.B 1i -+ .C 1i -.D 1i --7.（07四川）复数311i i i++-的值是 .A 0 .B 1 .C 1- .D i8.（07江西）化简224(1)ii ++的结果是 .A 2i +.B 2i -+.C 2i -.D 2i --9.（07湖南）复数22i 1+i ⎛⎫⎪⎝⎭等于.A 4i .B 4i -.C 2i.D 2i -10.（07湖北）复数i z a b a b =+∈R ，，，且0b ≠，若24z bz -是实数，则有序实数对()a b ，可以是（写出一个有序实数对即可）11.(07上海，9)对于非零实数a 、b ，以下四个命题都成立： ① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a 、b ，仍然成立的命题的所有序号是12.（07重庆）复数322ii +的虚部为 13.（07浙江）已知复数11i z =-，121i z z =+，则复数2z =14.（06上海）若复数z 同时满足z －z ＝2i ，z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝ 15.（06浙江）已知11mni i=-+，其中m 、n 是实数，i 是虚数单位，则m ni += .A 12i + .B 12i - .C 2i + .D 2i -16.（06湖北）设x 、y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y += 17.（06福建）设,,,a b c R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是（）.A 0ad bc -= .B 0ac bd -= .C 0ac bd += .D 0ad bc +=18.（06江西）已知复数z 满足)33i z i =，则z ＝.A 32 .B 34 .C 32 .D 34 19.（06全国Ⅰ）如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =.A 1 .B 1- .C .D历届高考中的“复数”试题精选（自我检测）一、选择题：(每小题5分，计70分)1．(2008广东文)已知0<a<2，复数z=a+i （i 是虚数单位），则z 的取值范围是（）A ．(1,3) B. (1,5) C. ( 1,3) D.(1,5)2.（2006北京理）在复平面内，复数1ii+对应的点位于（）（A ）第一象限 (B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．(2008辽宁理) 复数11212i i +-+-的虚部是（） A ．15iB ．15C ．15i -D ．15-4．（2005广东）若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则22b a +=（）A ．0B ．2C ．25D ．55．(2008全国Ⅰ卷理)设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（）A ．2B ．1C ．0D ．1-6．（2007湖南理）复数22i 1+i ⎛⎫⎪⎝⎭等于（）A ．4iB ．4i -C ．2iD ．2i -7．（2005福建理科）复数iz -=11的共轭复数是（）A ．i 2121+ B ．i 2121- C ．i -1 D ．i +18.（2007全国Ⅱ理）设复数z 满足i z2i1=+，则z =（） (A) -2+i(B) -2-i(C) 2-i(D) 2+i9.（2007全国Ⅰ理）设a 是实数，且211ii a +++是实数，则a ＝（）（A ）21 （B ）1 （C ）23（D ）210.（2006四川理）复数3)i 1(-的虚部为（）（A ）3. （B ）－3. （C ）2 （D ）－211.（2006浙江理）已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11（）(A)1+2i (B) 1-2i (C) 2 —i (D)i 2+12．(2005天津理科)若复数iia 213++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（）（A ）-2 (B)4 (C) -6 (D)613.(2004浙江理科) 已知复数i t z i z +=+=21,43,且21z z ⋅是实数,则实数t=（）(A) 43 (B) 34 (C) --34 (D) --4314．（2004辽宁）设复数z 满足=+=+-|1|,11z i zz则（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．2二、填空题：（每小题5分，计20分）15．（2008北京理）已知2()2a i i -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ．16.（2007重庆理）复数322ii+的虚部为________.17.(2006上海文)若复数z 满足(2)(1)z m m i =-++(i 为虚数单位)为纯虚数,其中m R ∈。

高考数学一轮总复习复数的运算与复数方程的解法与复数函数的性质

高考数学一轮总复习复数的运算与复数方程的解法与复数函数的性质复数是数学中的一个重要概念，它包括实部和虚部。

在高考数学中，复数的运算、复数方程的解法以及复数函数的性质都是经常出现的考点。

本文将对这三个内容进行详细的讲解。

一、复数的运算复数的运算主要包括加减法、乘法和除法。

复数的加减法就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。

例如，(2+3i)+(4+5i)=6+8i，(4-2i)-(3+5i)=1-7i。

复数的乘法是将实部与实部相乘然后减去虚部与虚部相乘。

例如，(2+3i)*(4+5i)=7+22i，(4-2i)*(3+5i)=26+10i。

复数的除法需要将分母有理化，将分子与分母乘以共轭复数，再进行简化。

例如，(2+3i)/(4+5i)=(23-2i)/41。

二、复数方程的解法复数方程是指方程中含有未知数的复数解的方程。

对于一元一次复数方程a+bi=0，解析解为x=-b/a。

对于一元二次复数方程ax^2+bx+c=0，可以使用求根公式进行求解。

其中，根的公式为x1,x2=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

若b^2-4ac>0，则方程有两个不相等的实根；若b^2-4ac=0，则方程有两个相等的实根；若b^2-4ac<0，则方程有两个共轭复数根。

三、复数函数的性质复数函数是指函数自变量或者函数取值是复数的函数。

复数函数的性质主要包括奇偶性、周期性和双曲线。

对于函数f(x)，若f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。

对于周期性，复数函数f(x)的周期是指存在常数T>0，使得f(x+T)=f(x)成立。

对于双曲线，复数函数f(x)的双曲线是指将复平面看作坐标平面后，函数的图像在复平面上的表示为双曲线。

总结：高考数学中关于复数的运算、复数方程的解法以及复数函数的性质都是需要掌握的重要知识点。

掌握了复数的运算规则，能够灵活运用加减法、乘法和除法进行计算。

【恒心】高考数学(理科)一轮复习突破课件012005-复数

2．复数的几何意义
一一对应 Z(a，b) (a，b∈R)． (1)复数 z＝a＋bi←——————― →复平面内的点__________ → (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应 ←-------------― → 平面向量OZ.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (a＋c)＋(b＋d)i ； ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝_______________ (a－c)＋(b－d)i ； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝_______________ (ac－bd)＋(ad＋bc)i ； ③乘法：z1· z2＝(a＋bi)· (c＋di)＝___________________ z1 a＋bi a＋bic－di ac＋bd bc－ad ④除法：＝＝＝＋ 2 2 i(c ＋ z2 c＋di c＋dic－di c2＋d2 c ＋d di≠0)． (2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3∈C， z1＋(z2＋z3)． z2＋z1 ，(z1＋z2)＋z3＝____________ 有 z1＋z2＝________
(6)(2013· 福建卷改编)已知复数 z 的共复轭复数 z ＝1＋2i，则 z 在复平面内对应的点位于第三象限．( )
3．对复数四则运算的理解
1 (7)(教材习题改编) ＝－i.( ) i (8)(2013· 浙江卷改编) (－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.(
)
两点提醒两条性质一是在实数范围内无 (1) i4n＝1，i4n＋1＝i，解的方程在复数范围内都 i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，有解，且方程的根成对出 in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0 现，如(1)； (各式中 n∈N)．二是两个虚数不能比 1＋i 2 (2)(1± i) ＝± 2i，＝ i，较大小，如(2)． 1－i

2025届高考数学一轮复习——复数讲义

2025届高考数学一轮复习——复数讲义【高考考情分析】复数是高考的必考内容，多出现在选择题中，近几年多选题、填空题形式也有考查，试题较为简单，属于送分题，主要考查复数的概念和复数的四则运算.【基础知识复习】1.复数的有关概念（1）复数相等：i i a b c d a c +=+⇔=且b d =(,,,)a b c d ∈R .（2）共轭复数：i a b +与i c d +共轭a c ⇔=且b d =-(,,,)a b c d ∈R .（3）复数的模：复数i(,)z a b a b =+∈R 对应的向量OZ 的模叫做z 的模，记作||z 或|i |a b +，即|||i |z a b =+=2.复数的几何意义（1）复数i(,)z a b a b −−−−→=+∈←−−−−R 一一对应复平面内的点(,)Z a b . （2）复数i(,)z a b a b −−−−→=+∈←−−−−R 一一对应平面向量((0,0),(,))OZ O Z a b . 3.复数的加、减、乘、除运算法则设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R ，则（1）加法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++；（2）减法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-；（3）乘法：12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd bc ad ⋅=+⋅+=-++；（4）除法：122222i (i)(i)i(i 0)i (i)(i)z a b a b c d ac bd bc ad c d z c d c d c d c d c d++-+-===++≠++-++. 4.复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何123,,z z z ∈C ，有1221z z z z +=+，123123()()z z z z z z ++=++.5.复数加、减法的几何意义（1）复数加法的几何意义若复数12,z z 对应的向量12,OZ OZ 不共线，则复数12z z +是以12,OZ OZ 为两邻边的平行四边形的对角线OZ 所对应的复数.（2）复数减法的几何意义复数12z z -是1221OZ OZ Z Z -=所对应的复数.6.复数乘法的运算律：对于任意123z z z ∈C ，，，有交换律：1221z z z z =；结合律：123123()()z z z z z z =；乘法对加法的分配律：1231213()z z z z z z z +=+.【重点难点复习】1.复数的模的运算性质（1）1212z z z z ⋅=⋅；（2）()112220z z z z z =≠；（3）()11n n z z n *=∈N .2.共轭复数的相关运算（1）z z z =⇔为实数，0z z +=且0z z ≠⇔为纯虚数；（2）2222||||zz z z a b ===+；（3）2z z a +=，2i z z b -=；（4）1212z z z z ±=±，1212z z z z ⋅=⋅，()112220z z z z z ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 【基本方法与技能复习】求解复数相关问题的技巧（1）复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数概念有关的问题时，需先把所给复数化为i()a b a b +∈，R 的形式，再根据题意列方程（组）求解.（2）求复数的模时，直接根据复数的模的公式和性质进行计算.（3）复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重要的方法.（4）在复数的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，把含有虚数单位i 的项看作一类同类项，不含i 的项看作另一类同类项；除法运算则需要分母实数化，解题中注意要把i 的幂化成最简形式.（5）由于复数、点、向量之间存在一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.【典型例题复习】1i =+，则z =( ) A.1i -- B.1i -+C.1i -D.1i + 2.【2024年新课标Ⅰ卷】已知1i z =--，则||z =( )3.【2023年新课标Ⅰ卷】已知1i 22i z -=+，则z z -=( ) A.i - B.i C.0 D.14.【2023年新课标Ⅰ卷】在复平面内，(13i)(3i)+-对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.【2022年新高考Ⅰ卷】若()i 11z -=，则z z +=( )A.-2B.-1C.1D.26.【2022年新高考Ⅰ卷】(22i)(12i)+-=( )A.24i -+B.24i --C.62i +D.62i - 答案以及解析1.答案：C1i =+，所以(1)(1i)z z =-+，即1i i z z z =-+-，即i 1i z =+，所以1i (1i)(i)1i i i(i)z ++-===--，故选C.1=+=11i 11i (1i)(1i)22z --==-+-11i 22=+=所以z =21i 1i=-+，故选C. 2.答案：C解析：|||1i |z =--==3.答案：A解析：因为1i(1i)(1i)2i1i22i2(1i)(1i)42z----====-++-，所以1i2z=，即iz z-=-.故选A.4.答案：A解析：(13i)(3i)3i9i368i+-=-++=+，在复平面内对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限，故选A.5.答案：D解析：因为i(1)1z-=，所以111iiz=-=+，所以1iz=-，所以(1i)(1i)2z z+=++-=.故选D.6.答案：D解析：(22i)(12i)24i2i462i+-=-++=-，故选D.。

高考数学一轮总复习复数的几何意义与共轭复数

高考数学一轮总复习复数的几何意义与共轭复数高考数学一轮总复习：复数的几何意义与共轭复数复数是数学中一个重要的概念，对于高考数学来说，复数的几何意义和共轭复数是重要的知识点。

本文将介绍复数的概念、复数的几何意义以及共轭复数，并探讨它们在高考数学中的应用。

一、复数的概念复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2 = -1。

复数包括实数和纯虚数，实部为零时为纯虚数。

二、复数的几何意义复数可以用平面上的点来表示，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标。

例如，复数2+3i对应平面上的一个点，其横坐标为2，纵坐标为3，可以表示为(2,3)。

利用这种表示方法，我们可以将复数的加法、减法、乘法和除法转化为平面上点的运算。

两个复数的加法相当于将它们对应的点进行平移，减法相当于对点进行反向平移，乘法相当于对点进行旋转和缩放，除法相当于对点进行旋转和缩放再取倒数。

三、共轭复数给定复数z=a+bi，其共轭复数z*=a-bi。

共轭复数与原复数在平面上关于实轴对称，即对应的两个点关于实轴对称。

共轭复数有以下性质：1. 两个复数的和的共轭等于它们的共轭的和，即(z+w)* = z* + w*2. 两个复数的差的共轭等于它们的共轭的差，即(z-w)* = z* - w*3. 两个复数的积的共轭等于它们的共轭的积，即(zw)* = z*w*4. 一个复数的共轭的共轭等于它本身，即(z*)* = z共轭复数在复数的除法和复数方程的求解中起到重要的作用，能简化计算过程。

四、复数在高考数学中的应用1. 解方程：利用复数的概念和运算，我们可以解决一些在实数范围内无解的方程。

例如，方程x^2+1=0在实数范围内无解，但引入复数后，可得到两个解：x=±i。

2. 平面几何：复数可以表示平面上的点，通过复数的运算，可以进行平面几何的计算。

例如，两点间的距离可以用它们对应的复数表示，并使用模的概念计算。

高考数学一轮复习复数教案

山东省泰安市肥城市第三中学高考数学一轮复习复数教案教学内容学习指导即时感悟学习目标：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义学习重点：复数的代数形式的加减乘除运算及其意义学习难点：加、减运算的几何意义，除法运算明确目标一．复习引入：1、虚数单位i 的性质：2、数的分类，确定复数z ＝a ＋bi 是实数、虚数、纯虚数的条件是：3、a+bi=c+di _______________________4.复习课本102-111页，画出本节的概念、知识点，在有疑问的地方作出标记。

并写出复数代数形式的运算：（1）加法：（2）减法：（3）乘法：（4）除法：二自主合作探究：1．已知a 是实数，a ＋i1－i是纯虚数，则a 等于A ．－1B ．1 C. 2D ．－ 22．若复数z ＝2－i ，则z －＋10z＝A ．2－iB ．2＋iC ．4＋2iD ．6＋3i3．复数1＋2i 2＋i1－i2等于回顾知识了解新知引入新知A.52B ．－52C.52iD ．－52i4．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，1＋i 2i，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个三当堂达标1.设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22 2.已知复数z ＝5i1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 3.若3＋b i 1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.4.。

已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝________.5.。

计算：(1)－1＋i2＋ii3；(2)1＋2i2＋31－i2＋i；(3)1－i 1＋i2＋1＋i 1－i2；(4)1－3i3＋i2. 6.．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点： (1)位于第四象限； (2)位于实轴负半轴上； (3)在上半平面(含实轴)．四总结提升：五拓展﹒延伸：1.已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．2．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( ) A ．1－2i 或－1＋2i B ．1＋2i 或－1－2iC ．－7－24iD ．7＋24i5.设z ＝(2t 2 ＋5t －3)－(t 2＋2t ＋2)i(t ∈R)则 A. z 对应的点在第一象限 B. z 一定不为纯虚数 C. z 对应的点在实轴下方 D. z 一定为实数 6．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，则复数z =_________________.总结：除法运算的运算步骤7.已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，复数z 2的虚部为2，且z 1z 2为实数，求z 2及|z 2|.答案合作探究 BDBB当堂达标D 5 3 -2I5. -1-3I51+53I -1 -41-I 43 6.（1）-7﹤m ﹤3 (2)m=4 (3)m ≥4或m ≤-7拓展延伸1. 2﹤a ﹤6 B 3 a=-2 b=4 C -1+i 3 Z 2=4+2i知识的理解与应用：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

新课标人教版高三数学第一轮复习全套教学案

新课标人教版高三数学第一轮复习全套教学案引言本教学案旨在帮助高三学生进行数学第一轮复，以应对新课标人教版高考数学考试。

以下是教学案的详细内容。

目标1. 复并巩固高三数学的核心知识点。

2. 提供高质量的练题和解析，以帮助学生熟悉考试形式和题型，提高解题能力。

3. 培养学生的数学思维和分析能力，以便他们能够在考试中灵活应用知识。

教学内容教学内容主要包括以下部分：1. 数系与代数- 实数与复数- 集合与命题- 数列与数列极限- 等差数列与等比数列2. 函数与方程- 函数与方程基本概念- 一次函数与二次函数- 指数与对数- 三角函数与三角方程3. 解析几何与向量- 平面与空间几何- 二次曲线与常平面- 直线与平面的位置关系- 向量与向量运算4. 概率与统计- 随机事件与概率- 离散型随机变量与连续型随机变量- 统计与抽样调查- 相关与回归分析教学方法为了最有效地进行数学复，我们将采用以下教学方法：1. 系统性研究：按照教学内容的顺序进行研究，逐步巩固知识点。

2. 理论与实践相结合：注重理论知识的讲解，并提供大量的练题和解析，以帮助学生巩固理论知识并提高解题能力。

3. 互动教学：鼓励学生积极参与课堂讨论和提问，激发学生的研究兴趣和数学思维。

4. 小组合作研究：安排学生进行小组合作研究，提倡彼此讨论和合作解题，培养学生的团队合作精神和交流能力。

教学评估为了评估学生的研究效果和掌握程度，我们将采用以下评估方法：1. 阶段性测试：安排定期的阶段性测试，检验学生对各个知识点的理解和掌握情况。

2. 作业批改：及时批改学生的作业，给予针对性的指导和建议。

3. 课堂互动评估：评估学生在课堂上的积极参与程度和表现。

4. 模拟考试：进行模拟考试，让学生体验真实考试环境，以便他们熟悉考试形式和提高应试能力。

结语通过本教学案的实施，相信学生们在第一轮数学复习中将取得良好的成绩。

希望学生们能够认真学习、勤于练习，并与老师和同学们积极合作，共同进步。

高三数学一轮复习精品学案3：§13.5 复数

§13.5 复数1.主要考查的方向有两个，一是复数的概念及运算，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数的运算；二是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标），复数与方程的综合问题等.偶有与其它知识综合的简单题，以考查复数的运算居多． 2.备考重点：理解有关概念是基础，掌握复数代数的四则运算法则是关键，熟、快、准是得分的保障.知识清单1．复数的有关概念及性质1．虚数单位为i ，规定：i 2＝-1，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算律仍然成立． 2．复数的概念形如：a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部． ①当b ＝0时，复数a ＋b i 为实数； ②当b ≠0时，复数a ＋b i 为虚数；③当a ＝0且b ≠0时，复数a ＋b i 为纯虚数． 3.复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )⇔ a ＝c 且b ＝d ，特别地，a ＋b i ＝0⇔ a ＝b ＝0.4.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z 的共轭复数记作．5. 复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或||a ＋b i .即||z ＝||a ＋b i ＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )． 2．复数的几何意义①z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与复平面上的点Z (a ，b )、平面向量OZ →都可建立一一对应的关系(其中Oz是坐标原点)．②复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数． 3.复数的四则运算①复数的加、减、乘、除的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 (1)z 1±z 2＝(a ±c )＋(b ±d )i ； (2)z 1·z 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (3)z 1z 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i (z 2≠0)． ②.重点难点突破考点1 复数的有关概念及性质 1-1 复数是纯虚数，则实数的值为（） A ． B ． C ． D ．或1-2 设复数（其中i 为虚数单位），则复数的实部为__________ ，虚部为__________．领悟技法（1）中的负号易忽略.（2）对于复数m ＋n i ，如果m ，n ∈C (或没有明确界定m ，n ∈R )，则不可想当然地判定m ，n ∈R .(3)对于a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件，只注意了a ＝0而漏掉了b ≠0. 触类旁通变式一已知复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数（） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．2变式二已知i 为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（） A B C D 考点2 复数的几何意义22|z |||zz z ==52z i=-z 2i 1=-21a ii++i a =a R ∈2ia i-+22z a i =+236112-1 当时，复数在平面上对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2-2 已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 领悟技法复数的几何意义(1) (其中a ，b ∈R )．(2)||z 表示复数z 对应的点与原点的距离．(3)||z 1－z 2表示两点的距离，即表示复数z 1与z 2对应的点的距离．触类旁通变式一已知复数在复平面上对应的点为，则（） A ．B ．C ．D ．是纯虚数变式二复数（其中为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点3 复数的代数运算 3-1 复数(i 为虚数单位)的共轭复数是（） A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i 3-2 设，则（）A. B. C. D.领悟技法：复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把换成－1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．触类旁通(3)(1)i z m m =++-m (31)-，(13)-，(1,)∞+(3)∞--，i 2i变式一已知复数，其中为虚数单位，则（） A.B. D.2 变式二若复数满足，其中i 是虚数单位，则的实部为________．易错试题常警惕易错典例：已知复数（为虚数单位），则复数的共轭复数的虚部为（） A ． B ．C ．D ．易错分析：（Ⅰ）共轭复数的概念不清；（Ⅱ）分式中分母实数化过程中，分子分母同乘分母的共轭复数出错．温馨提醒：1.在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z ∈C 时，不是总成立的：(1)(z m )n ＝z mn (m ，n 为分数)；(2)若z m ＝z n ，则m ＝n (z ≠1)；(3)若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0. 2.注意利用共轭复数的性质，将转化为||z 2，即复数的模的运算，常能使解题简捷．学科素养提升之思想方法篇数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

高三数学一轮复习优质课件1：13.5 复数

2．记住以下结论，可提高运算速度 (1)(1±i)2＝±2i；(2)11＋－ii＝i；(3)11－＋ii＝－i； 3．熟知“in”的周期性． in 的周期性 i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(n∈N＋)．
对点训练复数 z 满足(z－3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则
第十三章推理与证明、算法、复数
13.5 复数
[考情展望] 以客观题的形式考查复数的有关概念、复数相等的充要条件及复数代数形式的运算．有时与集合、充分必要条件等知识结合命题，考查对复数基本概念的理解．
一、复数的有关概念
1．定义：
形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a 叫做实__部__，
z 的共轭复数 z 为( )
A．2＋i
B．2－i
C．5＋i
D．5－i
【答案】 D
考向三复数及其运算的几何意义例 3 如图，平行四边形 OABC，顶点 O、A、C 分别表示 0,3＋2i，－2＋4i，试求：
(1)A→O对应的复数，B→C对应的复数； (2)C→A对应的复数．
【解答】 (1)A→O＝－O→A， ∴A→O对应的复数为－3－2i. ∵B→C＝A→O，∴B→C对应的复数为－3－2i. (2)C→A＝O→A－O→C， ∴C→A对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
规律方法 1 1.复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(不等式)组即可．
2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数 z，然后利用复数模的定义求解．
考向二复数的代数运算
例 2 (1)设复数 z 满足(z－2i)(2－i)＝5，则 z＝( )

人教版高三数学一轮复习精品课件4：13.5 复数

【答案】 D
4．若 a， b∈R， i为虚数单位，且 (a＋i)i＝b＋i，则
()
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝－1，b＝－1
D．a＝1，b＝－1
【解析】 (a＋i)i＝－1＋ai＝b＋i，故应有a＝1，b＝
－1.
【答案】 D
5．(2012·天津高考)i是虚数单位，复数73－＋ii＝(
(2)(2012·课标全国卷)下面是关于复数z＝
2 －1＋i
的四个
命题：
p1：|z|＝2； p2：z2＝2i；
p3：z的共轭复数为1＋i； p4：z的虚部为－1. 其中的真命题为( )
A．p2，p3 C．p2，p4 【思路点拨】性”；
B．p1，p2 D．p3，p4 (1) 分别验证 “ 充分性 ” 和 “ 必要
13.5 复数
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中 a ， b 分别是它的实部和虚部．若 __b_＝__0____ ，则 a ＋ bi 为实数，若__b_≠_0____，则a＋bi为虚数，若__a_＝__0_且__b_≠_0___，则a ＋bi为纯虚数．
1．(人教A版教材习题改编)在复平面内，复数6＋5i，－ 2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋8i
B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i
【解析】 ∵A(6，5)，B(－2，3)，
∴线段AB的中点C(2，4)，则点C对应的复数为z＝2＋
4i.
【答案】 C
(2)把复数z化成m＋ni(m，n∈R)的形式，然后根据复数的相关概念判断命题是否正确．

高三数学一轮复习优质学案：§13.5 复数

1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的________，b 叫做复数z 的________．(i 为虚数单位) (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔________(a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔________(a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作________或________，即|z |＝|a ＋b i|＝________(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点________及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝____________，Z 1Z 2→＝________.『思考辨析』判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．()(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)中，虚部为b i.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．()(4)原点是实轴与虚轴的交点．()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．()1．(2016·全国乙卷)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于() A．－3 B．－2 C．2 D．32．(2015·课标全国Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z 等于( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i3．(2016·黄山一模)设i 是虚数单位，若z ＝cos θ＋isin θ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则θ位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4．(教材改编)在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4iD ．－3－4i5．i 2 011＋i 2 012＋i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016＋i 2 017＝________.题型一复数的概念例1 (1)(2015·福建)若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( ) A ．3，－2 B ．3,2 C ．3，－3D ．－1,4(2)若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件(3)(2016·天津)i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________．引申探究1．将本例(1)中方程左边改为(1＋i)(2－3i)，求a ，b 的值．2．将本例(3)中的条件“(1＋i)z ＝2”改为“(1＋i)3z ＝2”，求z 的实部．思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．(1)已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为( ) A ．1 B ．i C.25D ．0(2)已知复数z 满足z 2＝－4，若z 的虚部大于0，则z ＝________. 题型二复数的运算命题点1 复数的乘法运算例2 (1)(2016·四川)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2等于( ) A ．0 B ．2 C ．2iD ．2＋2i(2)(2016·全国乙卷)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2(3)(2015·课标全国Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2命题点2 复数的除法运算例3 (1)(2016·全国丙卷)若z ＝1＋2i ，则4i z z －1等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i (2)(2016·北京)复数1＋2i2－i 等于( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i (3)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i ＝________. 命题点3 复数的综合运算例4 (1)(2016·山东)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2iD ．－1－2i (2)(2016·全国丙卷)若z ＝4＋3i ，则z |z |等于( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35i D.45－35i(3)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45C ．4D.45思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答．(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．(1)(2015·山东)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i为虚数单位，则z 等于( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－iD ．－1＋i(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝________. (3)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 017＝________. 题型三复数的几何意义例5 (1)△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( ) A ．内心 B ．垂心 C ．重心D ．外心(2)如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →、BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数．思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．27．解决复数问题的实数化思想典例(12分)已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xy i＝4－6i，求x，y.思想方法指导(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．(2)本题求解的关键是先把x、y用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解，这是常用的数学方法．(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解．规范解答：提醒：完成作业第十三章§13.5答案精析基础知识自主学习知识梳理1．(1)实部虚部 (2)b ＝0 b ≠0 a ＝0且b ≠0 (3)a ＝c 且b ＝d (4)a ＝c ，b ＝－d (5)|a ＋b i| |z | a 2＋b 22．Z (a ，b )3．(1)(a ±c )＋(b ±d )i (ac －bd )＋(bc ＋ad )iac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i (2)OZ 1→＋OZ 2→ OZ 2→－OZ 1→思考辨析(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√考点自测1．A 2.C 3.B 4.D 5.1题型分类深度剖析例1 (1)A (2)A (3)1引申探究1．解 (1＋i)(2－3i)＝2＋3－i ＝5－i ＝a ＋b i ，所以a ＝5，b ＝－1.2．解 z ＝2(1＋i )3＝2－2＋2i＝－12－12i ，∴z 的实部为－12.跟踪训练1 (1)A (2)2i例2 (1)C (2)B (3)B例3 (1)C (2)A (3)－1＋i例4 (1)B (2)D (3)D跟踪训练2 (1)A (2)i(3)22＋(22＋1)i 例5 (1)D(2)解 ①AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. ②CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →， ∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.跟踪训练3 解设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， ∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．思想与方法系列典例解设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则y ＝a －b i ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2，『3分』代入原式，得(2a )2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，『5分』根据复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，－3(a 2＋b 2)＝－6，『7分』解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1 或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1.『9分』故所求复数为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋i ，y ＝1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－i ，y ＝1＋i 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋i ，y ＝－1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.『12分』。

高中数学一轮复习讲义(复数)学生

课题：复数学校寄语：世界上没有任何东西可以取代坚持。

所以，只要你坚持，你就可以成为一个伟大的传奇！而，此刻，全世界都在等待你成为伟大传奇的成功故事！亲，我们的课程即将开始，你，准备好了吗？知识点一、复数的概念(1)复数的概念：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫复数，i 称为虚数单位,规定21i =-；其中a ，b 分别是它的________和________．特殊的：当且仅当_________，则bi a +为实数；当且仅当_________，则bi a +为虚数；当_______且_______，则bi a +为纯虚数.(2)复数相等：bi a +＝di c +⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：bi a +与di c +共轭⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )．z 为z 的共轭复数．【典型例题】【例1】已知i 是虚数单位，复数11z i i=+-，则复数z 的虚部是（） A ．12- B ．32 C ．32- D ．2【例2】已知复数21iz =-+，则（） A ．||2z =B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为﹣1D ．z 的共轭复数为1+i【例3】设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为．【举一反三】1.设i 是虚数单位，则复数32i i-( ) A.i B.3i C.i. D.3i 2.设复数z 满足11zz+-=i ，则|z|=( ) A.1 B.2 C.3 D.23.若复数z 满足232i z z +=-，其中i 为虚数单位，则z =（）. A ．12i + B ．12i - C ．12i -+ D ．12i --知识点二、复数的集合意义1.复数的几何意义(1) 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．______叫做实轴，______叫做虚轴．实轴上的点表示________；虚轴上的点（除原点外）都表示________． (2)复数bia z +=复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．___________．(3)复数的模：向量OZ →的长度叫做复数bi a z +=的模，记作________或__________，即||||bi a z +=＝________________.【典型例题】【例1】在复平面内，复数2(2)i -对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例2】设i 是虚数单位，若复数522zii，则z（）A B C ．3 D ．5 【例3】设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（）.A. 1B.【举一反三】1.设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.i 是虚数单位，复数k iz i-=在复平面内对应的点在第三象限，则实数k 的范围是（） A ．0k ≥ B ．0k > C ．0k ≤ D ．0k < 3．复数z 满足i z i -=+3)2(，则||z 等于（） A ．1 B ．2 C ．2 D ．4知识三、复数的运算1.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=，则①加法：)()(21di c bi a z z +++=+＝______________； ②减法：)()(21di c bi a z z +-+=-＝________________； ③乘法：)()(21di c bi a z z +⋅+=⋅＝________________； ④除法：)()()()(21di c di c di c bi a di c bi a z z -⋅+-⋅+=++==_____________)0(≠+di c ． (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何C z z z ∈321、、，有21z z +＝________， 321)(z z z ++＝__________________. (3)复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任何C z z z ∈321、、，有=⋅21z z _______,()=⋅⋅321z z z __________,()=+321z z z ____________.【典型例题】【例1】设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 【例2】若12i z =+，则4i1zz =-（）.A.1B.1-C.iD.i -【例3】已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若()()1i 1i b a +-=，则a b的值为_______.【举一反三】1.如果复数()()221mi m i i +++为纯虚数，则实数m 的值为（）A.0B.1C.－１D.0或１ 2.设复数a +bi （a ，b ∈R ）的模为3，则（a +bi ）（abi ）=________. 3.若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．【课堂巩固】1. 已知复数z 满足()1323i z i +=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限,,a b ad bc c d=-，若21,2,z i i =，则复数z 对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3. 若复数z 满足(1)z i i =-，则||z =（） A ．1 B ．2 C ．2 D ．3 4. 若复数z 满足()122z i +=，则z 的虚部为（）A ．45-B ．45C ．45i -D ．45i5. 设复数1z i =+（i 为虚数单位），则22i z+=（） A ．1i + B ．1i - C ．1i -- D ．1i -+ 6. 设复数21z i=--（i 为虚数单位），z 的共轭复数为z ，则i z ⋅在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7. 知复数i1i a +-为纯虚数，那么实数a =（）A.1-B.12-C.1D.128. 已知复数z 的共轭复数有z ，且满足()()2232z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部为（） A ．613-B ．613C ．1713-D ．1713 9. 已知互异的复数a,b 满足ab ≠0，集合{a,b}={2a ,2b },则a b += .【课后练习】正确率：1．已知复数z 满足()25i z -=,则z =（）A ．2i +B ．2i -C ．2i --D ．2i -+ 2．复数2z i =-在复平面对应的点在第几象限（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知i 为虚数单位，则复数=+ii12（） A ．i +1 B ．i -1 C ．i +-1 D ．i --14．已知2a ib i i+=+（,a b R ∈），其中i 为虚数单位，则a b +=（） A ．1 B ．1 C ．2 D ．35．设复数z 满足()()2i 2i 5z --=，则z =（）A ．1i +B ．1i -C ．12i +D ．12i - 6．若复数z 满足(1)z i i =-，则||z =（） A ．1 B 2 C ．2 D 37．设复数1z i =+（i 为虚数单位），则22i z+=（） A ．1i + B ．1i - C ．1i -- D ．1i -+8．已知复数i1i a +-为纯虚数，那么实数a =（）A.1-B.12-C.1D.129．已知复数21a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =（） A ．2 B ．1 C ．0 D ．2 10．已知复数142iz i i+=-+，则复数的模z 为（）A ．4B ．5C ．6D ．711．在复平面内，复数2iz i -=对应的点位于（） 12．i 是虚数单位，复数)(1R a iia ∈+-的实部与虚部相等，则a 等于（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．213．设i 是虚数单位，若复数()621ia a R i ++∈-是纯虚数，则a =（）A ．4B ．3C ．2D ．114．设复数2(2)z i =-，则z 的共轭复数为（）A ．34i +B ．34i -C ．54i -D ．54i + 15．若复数z 满足（33+i ）z=3i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（） A ．i 2323- B ．i 2323+ C ．i 4343- D ．i 4343+ 16．复数122ii+-=（） A ．1i - B ．1i + C ．i - D ．i17．设i 是虚数单位，则11ii+=-（）A ．1B ．1-C ．iD ．i -18．若复数2()12bib R i-∈+的实部与虚部互为相反数，则b =（）B. 23C. 23- D. 219．已知复数z 满足(3)13z i i -=-，则z =（） A ．3i -- B ．3i -+ C ．6i -- D ．6i +20．若复数z 满足111z i i=-+-，则z 的虚部为（） A ．12i - B ．12- C ．12i D ．。