湘教版高中数学必修一集合文字素材(1)
高一数学课件：1.1.1《集合》(湘教必修1)
例2:已知集合A={-1 , a} , 集合B={1 , |a|},若A∩B
是单元素集合,则实数a的范围为 a≥0且a≠1
a≠1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a=|a|
例3.已知集合 S {x |1 x 7}, A {x | 2 x 5}
B {x | 3 x 7} ,求:
(1)(CS A) (CS B); (3)(CS A) (CS B);
集 A B。
两个相等的非空集合 它们的元素完全相同
① A(非空集合) ②若A B，B C 则 A C ③n元素集的真
子集数是2n－1个
集合与集合的关系(运算关系)
交集
并集
补集
定 A∩B={x|x∈A A∪B={x|x∈ SA={x|x∈S 义 且x ∈ B} A或x ∈ B} 且x∈A}
① A∩A=A
集合的有关概念
1、集合与元素
x是集合A的元素则记作x∈A，若元素x不是
集合A的元素则记作x A。
2、集合的分类 有限集、无限集、
空集
。
3、集合元素的特性 确定性、互异性、无序性
4、集合的表示方法
列举法、描述法 {x | p(x) }、图示法 5、常见数集及符号
N、N*(N+)、Z、Q、R、{x|x=2n,n∈Z}、 {x|x=2n+1,n∈Z}、 RQ
(2)CS (A B) (4)CS ( A B)
例4.已知A {x | x2 ax 12 0},
B {x | x2 bx b2 28 0} 且A CR B {2}, 求a, b的值.
例5.已知A {x | x2 3x 2 0}, B {x | ax 2 0} 若A B A,求实数a的值.
① 0 {0,1} ② 0∈{0,1} ③ ∈{0} ④ {0} ⑤ {0} {0,1} ⑥ {0} {0}
2021-2022学年新教材湘教版高中数学必修第一册第一章集合与逻辑知识点考点重点题型归纳总结
第一章集合与逻辑1.1集合 (1)1.1.1集合 (1)第一课时集合与元素 (1)第二课时表示集合的方法 (5)1.1.2子集和补集 (9)1.1.3集合的交与并 (14)1.2常用逻辑用语 (19)1.2.1命题 (19)1.2.2充分条件和必要条件 (22)1.2.3全称量词和存在量词 (27)1.1集合1.1.1集合第一课时集合与元素知识点一元素与集合的相关概念1．集合：把一些对象放在一起考虑时，这些对象组成了一个集合或集．通常用大写拉丁字母表示，如A，B，…表示集合．2．元素：这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素．通常用小写拉丁字母表示，如a，b…表示元素．3．集合中元素的三个基本属性只作描述性说明．2．集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．1．集合中的元素只能是数、点、代数式吗？提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等．2．某班所有的高个子男生能否构成一个集合？提示：某班所有的高个子男生不能构成集合，因为高个子男生没有明确的标准．知识点二元素与集合的关系表达集合和它的元素之间的归属关系的符号是∈.(1)属于：若S是一个集合，a是S的一个元素，记作“a∈S”，读作：“a属于S”；(2)不属于：若a不是S的元素，记作a∉S(或a S)读作“a不属于S”．1．元素与集合之间有第三种关系吗？提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种关系．2．符号“∈”“∉”的左边可以是集合吗？提示：“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不可以是集合．知识点三常见的数集及符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋Z Q RN与N＋有何区别？提示：N是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集＋多一个元素0.合，所以N比N＋知识点四集合的分类1．有限集：元素个数有限的集合(或有穷集)． 2．无限集：元素无限多的集合叫无限集(或无穷集)． 3．空集：没有元素的集合叫空集．记作∅，空集也是有限集．集合的概念[例1] (多选)判断下列每组对象，能组成一个集合的是( ) A ．某校高一年级成绩优秀的学生 B ．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C ．不小于3的自然数D ．2018年第23届冬季奥运会金牌获得者[解析] A 中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能组成一个集合；B 、C 、D 中的对象都满足确定性，所以能组成集合．[答案] BCD判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．元素与集合的关系[例2] (1)(多选)由不超过5的实数组成集合A ，a ＝2＋3，则( ) A ．a ∈A B ．a 2∈A C.1a ∈AD ．a ＋1∈A(2)若集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________． [解析] (1)a ＝2＋3＜4＋4＝4＜5，所以a ∈A .a ＋1＜4＋4＋1＝5，所以a ＋1∈A ，a 2＝(2)2＋22×3＋(3)2＝5＋26＞5，所以a 2∉A ，1a ＝12＋3＝3－2（2＋3）（3－2）＝3－2＜5，所以1a ∈A .(2)由题意可得：x为自然数，所以63－x可以为2，3，6，因此x的值为2，1，0.因此A中元素有2，1，0.[答案](1)ACD(2)2，1，0判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：①使用前提：集合中的元素是直接给出的；②判断方法：首先明确集合由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可；(2)推理法：①使用前提：对于某些不便直接表示的集合；②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．元素特性的应用[例3]________．[解析]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.[答案]－1[母题探究]1．(变条件)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a 的值．解：因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝2或a＝－ 2.经检验符合元素的互异性．2．(变条件)本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？解：因为A中有两个元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1.3．(变条件)已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．解：由a∈A可知，当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1.当a＝a2时，a＝0或a＝1(舍去)．综上可知，a＝0.根据集合中元素的特性求值的三个步骤第二课时表示集合的方法知识点一列举法把集合中的元素一一列举出来，并用大括号“{}”括起来表示集合的方法叫作列举法．用列举法表示集合的注意点(1)元素与元素之间需用“，”隔开；(2)集合中的元素必须是确定的；(3)不必考虑元素出现的前后顺序，但不能重复．知识点二描述法把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合，这种表示方法叫作描述法．用描述法表示集合的注意点(1)写清楚集合中的代表元素，如数或点等；(2)说明该集合中元素的共同属性，如满足的方程、不等式、函数或几何图形等；(3)所有描述的内容都要写在大括号内，用于描述内容的语言力求简洁、准确；(4)“{}”有“所有”“全体”的含义，因此自然数集可以表示为{x|x为自然数}或N，但不能表示为{x|x为所有自然数}或{N}．知识点三区间的相关概念1．区间的概念及记法设a，b是两个实数，且a<b，我们规定：定义名称符号数轴表示{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a≤x<b}左闭右开区间[a，b){x|a<x≤b}左开右闭区间(a，b]2．无穷大实数集R可以表示为(－∞，＋∞)，符号“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．3．特殊区间的表示定义区间数轴表示{x|x≥a}[a，＋∞){x|x>a}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|x<b}(－∞，b)理解区间概念时的注意点(1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开；(2)区间表示实数集的三个原则：连续的数集，左端点必须小于右端点，开或闭不能混淆；(3)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数，以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小括号．用列举法表示集合[例1] 用列举法表示下列集合： (1)方程x 2－1＝0的解组成的集合； (2)单词“see ”中的字母组成的集合； (3)所有正整数组成的集合；(4)直线y ＝x 与y ＝2x －1的交点组成的集合．[解] (1)方程x 2－1＝0的解为x ＝－1或x ＝1，所求集合用列举法表示为{－1，1}．(2)单词“see ”中有两个互不相同的字母，分别为“s ”“e ”，所求集合用列举法表示为{s ，e}．(3)正整数有1，2，3，…，所求集合用列举法表示为{1，2，3，…}． (4)方程组⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2x －1的解是⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，所求集合用列举法表示为{(1，1)}．列举法表示集合的步骤及注意点分清元素 列举法表示集合，要分清是数集还是点集书写集合列元素时要做到不重复、不遗漏[提醒] 二元方程组的解集、函数的图象、点形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2，3)，(5，－1)}．用描述法表示集合[例2](1)函数y ＝－x 的图象上的点组成的集合； (2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合； (3)不等式x －2＜3的解组成的集合． [解] (1){(x ，y )|y ＝－x }．(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合用描述法表示为{x ∈R ||x |＞3}．(3)不等式x－2＜3的解是x＜5，则不等式x－2＜3的解组成的集合用描述法表示为{x|x＜5}．描述法表示集合的2个步骤用区间表示集合[例3](链接教科书第5页例5)用区间表示下列集合：(1){x|x＞－1}＝________；(2){x|2＜x≤5}＝________；(3){x|x≤－3}＝________；(4){x|2≤x≤4}＝________．[解析](1)集合{x|x＞－1}可用开区间表示为(－1，＋∞)；(2)集合{x|2＜x≤5}可用半开半闭区间表示为(2，5]；(3)集合{x|x≤－3}可用半开半闭区间表示为(－∞，－3]；(4)集合{x|2≤x≤4}可用闭区间表示为[2，4]．[答案](1)(－1，＋∞)(2)(2，5](3)(－∞，－3](4)[2，4]用区间表示数集的方法(1)区间左端点值小于右端点值；(2)区间两端点之间用“，”隔开；(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．1.1.2子集和补集知识点一子集1．韦恩图(Venn图)用平面上封闭曲线的内部表示集合．如图，这类表示两集合间关系的示意图叫作韦恩图(即Venn图)．2．子集3．两个集合相等4．真子集定义：如果A⊆B但A≠B，就说A是B的真子集．集合间关系的性质(1)空集包含于任一集合，是任一集合的子集；(2)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A；(3)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；若A B，B⊆C，则A C.1．符号“∈”与“⊆”有什么区别？提示：①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N.②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1，2，3}⊆{3，2，1}．③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合．2．∅与0，{0}，{∅}有何区别？提示：∅与0∅与{0}∅与{∅}相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合；0是实数∅不含任何元素；{0}含一个元素0∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅关系0∉∅∅{0}∅{∅}知识点二补集1．全集：如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合U的元素和子集，就可以约定集合U叫作全集(或基本集)．2．补集定义若A是全集U的子集，U中不属于A的元素组成的子集，叫作A的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言1．补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．2．补集的性质(1)若A⊆U，则①∁U A⊆U；②∁U(∁U A)＝A；③(∁U U)＝∅；④∁U∅＝U.(2)已知A⊆U，B⊆U，相关结论如下：①若A⊆B，则∁U A⊇∁U B；②若∁U A⊇∁U B，则A⊆B.特别地，若A＝B，则∁U A＝∁U B；反之，若∁U A＝∁U B，则A＝B.集合间关系的判断[例1]指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}；(5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}．[解](1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A B.(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N＋，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.(5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，因为任意n∈Z，n＝2×(－n)＋3n∈A，所以A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}＝Z，因为任意n∈Z，n＝4n－3n∈B，所以B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}＝Z，所以A＝B＝Z.判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系；(2)集合元素特征法：先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系．一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系；(3)数形结合法：利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法．确定有限集合的子集、真子集及其个数[例2](1)集合M＝{1，2，3}的真子集个数是()A．6 B．7C．8 D．9(2)满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}的集合M有________个．[解析](1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个元素的真子集为∅，含有1个元素的真子集有3个{1}，{2}，{3}，含有2个元素的真子集有{1，2}，{1，3}和{2，3}，共有7个真子集，故选B.(2)由题意可得{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；含有四个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；含有五个元素：{1，2，3，4，5}．故满足题意的集合M共有7个．[答案](1)B(2)7求集合子集、真子集个数的3个步骤补集的求法[例3](1)∁U M＝()A．U B．{1，3，5}C．{3，5，6} D．{2，4，6}(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－2或x＞2}，则∁U A＝________．[解析](1)因为U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，由补集的定义，可知∁U M＝{3，5，6}．(2)如图，在数轴上表示出集合A，可知∁U A＝{x|－2≤x≤2}．[答案](1)C(2){x|－2≤x≤2}求集合补集的2种方法(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．由集合间的关系求参数值(范围) [例4]已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1<x<m}(m>1)，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．[解析]由于B⊆A，结合数轴分析可知，m≤4，又m>1，所以1<m≤4.[答案](1，4][母题探究]1．(变条件)本例若将“B＝{x|1<x<m}(m>1)”改为“B＝{x|1<x<m}”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？解：若m≤1，则B＝∅，满足B⊆A.若m>1，则由例题解析可知1<m≤4.综上可知实数m的取值范围是(－∞，4]．2．(变条件)本例若将“B＝{x|1<x<m}(m>1)”改为“B＝{x|2m－1<x<m＋1}”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？解：因为B ⊆A ，①当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.②当B ≠∅时，有⎩⎨⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上得实数m 的取值范围为[－1，＋∞)．3．(变条件)本例若将集合A ，B 分别改为A ＝{－1，3，2m －1}，B ＝{3，m 2}，其他条件不变，则实数m 的值又是什么？解：因为B ⊆A ，所以m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，所以m ＝1，当m ＝1时，A ＝{－1，3，1}，B ＝{3，1}满足B ⊆A .所以m 的值为1.由集合间的包含关系求参数的方法(1)当集合为不连续数集时，常根据集合间包含关系的意义，建立方程(组)求解，此时应注意分类讨论；(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．[注意] (1)不能忽视集合为∅的情形；(2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论．1.1.3 集合的交与并知识点一 两个集合的交两个集合交运算的性质A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝A⇔A⊆B.知识点二两个集合的并两个集合并运算的性质A∪B＝B∪A；A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝A⇔B⊆A.对并集、交集概念的再理解(1)A∪B、A∩B都是一个集合；(2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x∉B”；“x∈B，但x∉A”；“x∈A，且x∈B”；(3)交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素．集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？提示：不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和．交集的运算[例1](1)A∩B＝()A．∅B．{2}C．{0}D．{－2}(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}[解析](1)方程x2－x－2＝0的解为x＝－1或2，∴B＝{－1，2}，∴A∩B＝∅.故选A.(2)在数轴上表示出集合A与B，如图所示，则由交集的定义知，A∩B＝{x|0≤x≤2}．[答案](1)A(2)A求两个集合的交集的方法(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可；(2)对于元素是连续实数的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．并集的运算[例2](x≤5}，N＝{x|x ＜－5或x＞5}，则M∪N＝()A．{x|x＜－5或x＞－3} B．{x|－5＜x＜5}C．{x|－3＜x＜5} D．{x|x＜－3或x＞5}(2)已知集合M＝{0，1}，则满足M∪N＝{0，1，2}的集合N的个数是()A．2 B．3C．4 D．8[解析](1)在数轴上表示出集合M，N(图略)，可知M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．故选A.(2)依题意，可知满足M∪N＝{0，1，2}的集合N有{2}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，共4个．故选C.[答案](1)A(2)C求集合并集的2种基本方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．交集、并集、补集的综合运算[例3](1)若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{x|x2－4x＋3＝0}，N＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U(M∩N)＝()A．{4} B．{1，2} C．{1，2，4} D．{1，3，4}(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}[解析](1)∵M＝{1，3}，N＝{2，3}，∴M∩N＝{3}，∴∁U(M∩N)＝{1，2，4}，故选C.(2)由已知，得A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，故∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}，故选D.[答案](1)C(2)D解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解；(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．由集合的并集、交集求参数[例A∪B ＝A，试求k的取值范围．[解](1)当B＝∅，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.(2)当B≠∅时，要使A∪B＝A，只需⎩⎨⎧－3<k ＋1，4≥2k －1，k ＋1≤2k －1，解得2≤k ≤52. 综合(1)(2)可知，k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52. [母题探究]1．(变条件)把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∩B ＝A ”，试求k 的取值范围． 解：由A ∩B ＝A 可知A ⊆B .所以⎩⎨⎧－3≥k ＋1，2k －1≥4，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤－4，k ≥52， 所以k ∈∅.所以k 的取值范围为∅.2．(变条件)把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∪B ＝{x |－3<x ≤5}”，求k 的值．解：由题意可知⎩⎨⎧－3<k ＋1≤4，2k －1＝5，解得k ＝3. 所以k 的值为3.利用集合交集、并集的性质解题的方法(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B 等，解答时应灵活处理；(2)当集合B ⊆A 时，如果集合A 是一个确定的集合，而集合B 不确定，运算时一定要考虑B ＝∅的情况，切不可漏掉．1.2常用逻辑用语1.2.1命题知识点一命题的定义及分类1．逻辑用语：在数学乃至科学中常用于引入概念、表述规律、推导定理法则或交流信息的词语，经过规范化使之意义更为清楚严谨，这类词语叫做逻辑用语．2．命题的定义：可判断真假的陈述句叫做命题．3．命题的分类：判断为真(成立)的命题叫作真命题，判断为假(不成立)的命题叫作假命题．4．猜想：数学中暂时不知道真假的命题可以叫作猜想．知识点二命题及其否定的结构形式1．数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论．2．命题的否定：如果p是一个命题，则“p不成立”也是一个命题，叫作p 的否定，记作綈p，读作“非p”．对一般命题若p，则q的否定为若p，则綈q．3．命题的否定与原命题的真假性.命题p 綈p真假假真命题的概念[例1](1)π3是有理数；(2)3x2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)一个数的算术平方根一定是负数．[解] (1)“π3是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(2)因为无法判断“3x 2≤5”的真假，所以它不是命题．(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．(4)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．判断语句是否是命题的策略(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题；(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．判断命题的真假[例2] (链接教科书第14页例1)判断下列命题的真假，并说明理由．(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当x ＝4时，2x ＋1<0；(3)若x ＝3或x ＝7，则(x －3)(x －7)＝0.[解] (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．(2)是假命题，x ＝4不满足2x ＋1<0.(3)是真命题，x ＝3或x ＝7能得到(x －3)(x －7)＝0.命题真假的判定方法(1)真命题的判断方法：要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证；(2)假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．命题的结构形式[例3](1)6是12和18的公约数的否定；(2)当a >－1时，方程ax 2＋2x －1＝0有两个不等实根；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.[解](1)若一个数是6，则它不是12和18的公约数，是假命题．(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题．(4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则[注意]若判断一个命题的真假性时，从原命题入手不易判断时，可以考虑判断该命题的否定的真假性，根据p与綈p的真假关系得出结论．由命题的真假求参数的范围[例4](2021·苏州检测)已知集合A＝[－3，6)，B＝(－∞，a)，若A∩B＝∅是假命题，则实数a的取值范围是________．[解析]法一：若A∩B＝∅是真命题，则a≤－3，∴A∩B＝∅是假命题时，a>－3.法二：若A∩B＝∅是假命题，则A∩B≠∅是真命题，即集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，易得a>－3.[答案](－3，＋∞)由命题的真假求参数的取值范围的基本步骤第一步，明确命题的条件和结论；第二步，根据所学知识写出命题为真时参数所满足的条件；第三步，化简相应的条件，求出参数的取值范围．[注意]若求命题为假时参数的取值范围，可求命题为真时参数取值范围对应的补集．1.2.2充分条件和必要条件知识点一充分条件和必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p q条件关系p叫作q的充分条件；q叫作p的必要条件p不是q的充分条件；q不是p的必要条件1．判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．2．充分条件、必要条件的理解p⇒q可以理解为若p成立，则q一定也成立，即p对于q的成立是充分的；反过来，若q不成立，则p必不成立，即q对于p的成立是必要的．1．p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？提示：相同，都是p⇒q.2．以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？提示：这五种表述形式是等价的．知识点二充分必要条件(充要条件)1．定义：如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．即p既是q的充分条件，又是q的必要条件，此时我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件．当然，此时q也是p的充分必要条件．2．记法：如果p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”，或“p等价于q”．3．传递性：“⇒”和“⇔”都具有传递性，即(1)如果p⇒q，q⇒s，那么p⇒s；(2)如果p⇔q，q⇔s，那么p⇔s．对充分必要条件的再理解(1)如果一个命题和它的逆命题都成立，则此命题的条件和结论互为充分必要条件；(2)p是q的充分必要条件⇔p成立当且仅当q成立．1．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？提示：正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.2．“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示：p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；p的充要条件是q说明q 是条件，p是结论．充分、必要、充要条件的判断[例1]下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(2)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；(3)p：xy>0，q：x>0，y>0；(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．[解](1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1，x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．(2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即p⇒q.反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即q p.所以p 是q 的充分不必要条件．(3)因为xy >0时，x >0，y >0或x <0，y <0.故p q ，但q ⇒p .所以p 是q 的必要不充分条件．(4)因为⎩⎨⎧四边形的对角线相等⇒/ 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形⇒/ 四边形的对角线相等， 所以p 是q 的既不充分也不必要条件．充分、必要、充要条件的判断方法(1)定义法若p ⇒q ，q p ，则p 是q 的充分不必要条件；若p q ，q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；若p q ，q p ，则p 是q 的既不充分又不必要条件．(2)集合法对于集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }，具体情况如下： 若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若AB ，则p 是q 的充分不必要条件； 若A B ，则p 是q 的必要不充分条件． 充分条件与必要条件的应用[例2] 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．[解] p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎨⎧1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎨⎧1－m >－2，1＋m ≤10， 解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．[母题探究]1．(变条件)若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解：p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解得m ≥9，故实数m 的取值范围是{m |m ≥9}．2．(变设问)本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解：p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎨⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，方程组无解． 故不存在实数m ，使得p 是q 的充要条件．充分条件与必要条件的应用技巧及求解步骤(1)应用技巧：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题；(2)求解步骤：先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 充要条件的证明[例3] (相等实根的充要条件是－13<m <0.[证明] (1)充分性：∵－13<m <0，∴方程x 2－2x －3m ＝0的判别式Δ＝4＋12m >0，且－3m >0，∴方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等的实根．(2)必要性：若方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎨⎧Δ＝4＋12m >0，x 1x 2＝－3m >0，解得－13<m <0. 综合(1)(2)知，方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－13<m <0.充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p 的充要条件是q ”，那么“充分性”是q ⇒p ，“必要性”是p ⇒q ；若证明“p 是q 的充要条件”，则与之相反； (2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．[注意] 证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．充分条件、必要条件、充要条件的探求( )A ．m <12B ．m <14C ．m <－12D ．m <－14(2)若a ，b 都是实数，试从①ab ＝0；②a ＋b ＝0；③ab >0中分别选出适合下列条件者，用序号填空．(ⅰ)a ，b 都为0的必要条件是________；(ⅱ)使a ，b 都不为0的充分条件是________．[解析] (1)由题意可得Δ＝b 2－4ac ＝1－4×1×m ≥0，解得m ≤14.四个选项中，只有m <12是m ≤14的必要条件，故选A.。
湘教版高中数学必修第一册第1章1-1-1第1课时集合与元素课件
[解] 由题意可知，a＝1或a2＝a， (1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1． (2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0， 满足集合中元素的互异性，符合题意． 综上可知，实数a的值为0．
三个元素．]
5
题号
1
√
2
3
D [由题意可知，a∈R且a∉Q，所以a是无理数．故选D．]
4
5
题号
4．若1∈A，且集合A与集合B相等，则1___∈_____B(填“∈”或 1
“∉”)．
2
∈ [由集合相等的定义可知，1∈B．]
3
4
5
5．已知集合A由a2－a＋1，|a＋1|两个元素构成，若3∈A，则a的 值为___－__1_或__－__4___．
√A．一切很大的数
√B．好心人
题号
√C．漂亮的小女孩
D．不小于3的自然数
1 2
ABC [“很大”“好”“漂亮”等词没有严格的标准，故选项A，3
4
B，C中的元素均不能构成集合．故选ABC．]
5
2．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为( )
题号
A．1
B．2
1
√C．3
D．4
2
3
C [由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k” 4
[母题探究] 本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围． [解] 由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1．
反思领悟 根据集合中元素的基本属性求值的3个步骤
[跟进训练] 3．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x． (1)求实数x应满足的条件； (2)若－2∈A，求实数x的值．
1.1.1集合 2023-2024学年高一上学期数学湘教版 必修第一册
1−a
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素． (2)集合A不可能是单元素集．
变式探究 本例前提条件不变，求证以下两个问题：
(1)若3∈A，则A中必还有另外两个元素．
(2)若a∈A，则1－1∈A.
a
证明：(1)因为3∈A，
所以 1 ＝－1∈A，
所以B＝{－3，3}．
(3)由ቊy
y==−x2x++2，5，得ቊyx
= =
1， 3，
所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的交点为(1，3)，所以D＝{(1，3)}．
题型2 描述法表示集合 例2 用描述法表示下列集合： (1)小于10的所有非负整数构成的集合； (2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合； (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合； (4)集合{1，3，5，7，…}．
要点四 常用数集及表示符号
名称 记法
自然数集 ___N____
_
正整数集 _N_*_或_N__＋_
_
整数集 ___Z____
_
有理数集 ___Q____
_
实数集 ___R____
_
要点五 集合的分类 (1)有限集：元素个数__有__限____的集合叫有限集(或有穷集)． (2)无限集：元素__无__限_多___的集合叫无限集(或无穷集)． (3)空集： 没有元素的集合叫空集，记作___∅_____．
方法归纳 判断一组对象能否组成集合的策略 (1)注意集合中元素的确定性，看是否给出一个明确的标准，使得对 于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素，若具 有此“标准”，就可以组成集合；否则，不能组成集合． (2)注意集合中元素的互异性、无序性．
高中数学湘教版必修一知识点
高中数学必修1知识点第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念：1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性； （2）元素的互异性； （3）元素的无序性3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。
（Ⅰ）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
（Ⅱ）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x ∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} （3）图示法4、常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R 5、“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集合A 记作 a ∉A 6、集合的分类：1．有限集 含有有限个元素的集合2．无限集 含有无限个元素的集合3．空集 不含任何元素的集合二、集合间的基本关系 1.“包含”关系———子集对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B注意： 有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。
反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ⊄B 或B ⊄ A 集合A 中有n 个元素,则集合A 子集个数为2n . 2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x 2-1=0} B={-1,1} “元素相同”结论：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时,集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，即：A=B A B B A ⇔⊆⊆且 ① 任何一个集合是它本身的子集。
1-1-1集合-22-23高一上学期数学湘教版必修第一册
5.集合的表示方法.
作业：
温故知新
借水行舟
激流勇进
乘风破浪
回头望月
谢谢大家
我们知道方程 2 = 2在有理数范围内无解，但在实数范围内有解.
在平面内，所有到定点距离等于定长的点组成了一个圆.
在空间中，所有到定点的距离等于定长的点组成了一个球面.
明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础.
为了简洁、准确地表述数学对象及研究范围，我们需要使用集合的语言和工具.
温故知新
借水行舟
激流勇进
乘风破浪
回头望月
1.集合与元素的含义
在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个集
合或集。给这些对象的总的名称就是这个集合的名字。
这些对象中的每一个都叫做这个集合的一个元素。
我们通常用大写拉丁字母,,,…表示集合,用小写拉丁字母,,,…表
示元素.
集合和元素的归属关系：
不是，不能；因为集合的元素具有确定性.
思考2：集合 = {0,1,2}和集合 = {2,1,0}一样吗？
一样，因为集合的元素具有无序性.
思考3：1,2,1,3,4这五个数组成的集合中有几个元素？
4个，因为集合的元素具有互异性.
温故知新
借水行舟
激流勇进
乘风破浪
回头望月
2.集合中元素的特性
集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性.
无穷大”(或“正无穷”)．有了符号∞，我们就可以把满足条件x≥a，
定义
区间
数轴表示
x＞a，x≤b，x＜b的实数x组成的集合用区间的形式分别表示为［a，
[a，＋∞)
{x|x≥a}
________
高中数学湘教版必修一知识点
高中数学必修 1 知识点第一章集合与函数概念一、集合有关概念：1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：（ 1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性3、集合的表示：{ ⋯ } 如{我校的篮球队员} ， { 太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 }（1）用拉丁字母表示集合： A={ 我校的篮球队员 },B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
（Ⅰ）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
（Ⅱ）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：{ 不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式 x-3>2 的解集是 {x ∈R| x-3>2} 或 {x| x-3>2} （ 3）图示法4、常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N* 或 N+整数集Z有理数集Q实数集R5、“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如： a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A 记作a∈A ，相反， a 不属于集合 A 记作a A6、集合的分类：1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系1.“包含”关系———子集对于两个集合 A 与 B ，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作 A B注意：有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；（2） A 与 B 是同一集合。
反之 : 集合 A 不包含于集合B,或集合 B 不包含集合 A, 记作 A B 或 B A集合 A 中有 n 个元素 ,则集合 A 子集个数为 2n.2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x 2 -1=0}B={-1,1}“元素相同”结论：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时 ,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，我们就说集合 A 等于集合 B ，即： A=B AB且BA①任何一个集合是它本身的子集。
1.1.1集合(第1课时集合与元素)课件高一上学期数学
其中正确的个数是( A )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 N中最小的数为0,所以①错误;由-(-2)∈N,而-2∉N可知②错误;
若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为0,所以③错误;
“小的正数”没有明确的标准,所以④错误.故选A.
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知识点一
集合与元素
1.集合的概念
在数学语言中,把一些对象放在一起考虑时,就说这些对象组成了一个集合
或者集.给这些对象的总的名称,就是这个集合的名字.这些对象中的每一
个,都叫作这个集合的一个元素.
2.元素与集合的关系
知识点 关系
概念
元素
与集
合的
归属
关系
S是一个集合,a是
S的一个元素
属于
不属于 a不是S的元素
A.2
B.3
C.4
D.5
解析 因为 x,-x,|x|,
3
2
=|x|,-
3 =-x 中,至多有 2 个不同的实数,
所以组成的集合最多含有元素的个数是 2.
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10.(多选题)已知集合A中有3个元素2,4,6,且当a∈A时,6-a∈A,则a可能为
D.0或2或3
解析 由题意,知m=2或m2-3m+2=2,解得m=2或m=0或m=3.经检验,当m=0
或m=2时,不满足集合A中元素的互异性;当m=3时,满足题意.综上可知,m=3.
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5.有下列说法:
①N中最小的数为1;②若-a∈N,则a∈N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为
湘教版数学高一第一章知识点总结
湘教版数学高一第一章知识点总结数学作为一门理科学科，对于绝大多数人而言，似乎充满了神秘和难以捉摸的色彩。
然而，只要我们掌握了一些基本的知识点和技巧，就能够轻松应对各种数学问题。
在湘教版数学高一的第一章中，我们学习了一些重要的数学知识点，下面我将对这些知识点进行总结和归纳。
第一节：集合与函数集合是数学中一个非常重要的概念，它是由一些元素组成的整体。
我们可以用各种符号和方法表示集合，例如用列举法、描述法、集合的运算等。
在集合的基础上，我们引入了函数的概念。
函数可以理解为一种特殊的关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
我们学习了函数的定义、性质和表示方法，以及函数的四种特殊类型：一对一函数、满射函数、多对一函数和映射关系。
通过学习集合和函数的知识，我们能够更好地理解数学中的抽象概念和各种数学问题。
第二节：数列与数列的表示数列是一些按照特定规律排列的数的组合。
数列常常出现在数学问题中，它可以用来描述各种变化和规律。
我们学习了数列的定义、性质和表示方法，并重点研究了等差数列和等比数列。
等差数列是一种常见的数列，它的相邻两项之间的差值是恒定的；而等比数列则是一种比值恒定的数列。
通过掌握数列的知识，我们可以更好地解决与数列相关的问题，进一步提高解题能力。
第三节：不等式与不等式求解不等式是数学中的一种重要的数值关系，它描述了一些数之间的大小关系。
我们学习了不等式的定义、性质和基本的运算规则，并掌握了不等式的求解方法。
在不等式求解中，我们需要根据不等式的特点选择不同的解法，例如分段讨论法、绝对值法、平方法等。
通过不等式的学习，我们培养了判断、分析和推理的能力，提高了解决实际问题的能力。
第四节：函数的图像与性质函数的图像是函数在坐标平面上的几何表示，它能够直观地反映函数的特点和性质。
我们学习了函数的图像与性质的关系，并通过函数的图像来分析和解决问题。
在函数的图像中，我们研究了函数的奇偶性、单调性、最值等性质，并通过这些性质来进行问题的求解。
高一数学湖南出版社必修一知识点梳理
高一数学湖南出版社必修一知识点梳理集合
集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合”。
理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。
求函数值域的方法
①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；
②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；
③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且∈R的分式；
④分离常数：适合分子分母皆为一次式；
⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；
⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；
⑦利用对号函数；
⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。
函数零点
对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即：方程有实数
根函数的图象与轴有交点函数有零点。
函数的单调性
1、函数单调性的定义。
2、函数单调性的判断和证明：
(1)定义法；
(2)复合函数分析法；
(3)导数证明法；
(4)图象法。
函数的奇偶性和周期性
1、函数的奇偶性和周期性的定义；
2、函数的奇偶性的判定和证明方法；
3、函数的周期性的判定方法。
函数的图象
1、函数图象的作法。
(1)描点法；
(2)图象变换法。
2、图象变换包括图象：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。
1.1.1集合课件(1)-2023-2024学年高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
点拨精讲
例1：设L（A,B）表示直线AB上全体点组成的集合，P∈L（A,B）的 含义是什么？
答： P∈L（A,B）表示“点P是直线AB上的一个点”．
概念形成
问题8：数学的符号语言简单明了，我们要用一些符号来表示常用的集 合．数学中常用的集合是哪些？
问题1：试问上面这段话提到的“高一新生”是全体的高一学 生还是个别学生？“数学1的全体学生”又指的是谁？ 这两个概 念有什么共性？
探究活动
问题2：能不能根据自己的理解说说什么是集合，什么是元素?
在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了 一个集合或集，给这些对象的总的名字，就是这个集合的名字．这 些对象中的每一个，都叫做这个集合的一个元素．
探究活动
问题3：能不能根据自己的理解，说说集合和元素的关系．
返 回 目 录
பைடு நூலகம்
探究活动 问题4： 所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？ 问题5： 由1、3、0、5、|-3|构成的集合中有几个元素？
问题6： 高一（2）班全体学生构成一个集合，调换座位后 这个集合有没有变化？
探究活动
问题7：集合是数学中最基本的概念，能不能根据自己的理解，分析 一下集合中元素的性质． 集合中元素具有以下基本属性： （1）同一集合中的元素是互不相同的． （2）集合中的元素是确定的，亦即给定一个集合，
概念形成
问题9：我们根据集合中元素的个数对集合加以划分． 元素个数有限的集合叫有限集（或有穷集）； 元素无限多的集合叫无限集（或无穷集）． 没有元素的集合叫空集，记作Φ；空集也是有限集．
问题10：你能举出一个空集的例子么？
湘教版高一数学第一册知识点归纳
湘教版高一数学第一册知识点归纳高中数学是一门重要的科目，也是一门对学生思维发展和逻辑推理能力提升有着重要影响的学科。
湘教版高一数学第一册作为高中数学的起始教材，对学生的基础知识进行了系统的讲解与归纳。
在这一册中，有许多重要的数学知识点，下面我们来进行一一归纳：1.函数与方程1.1 函数的概念函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了两个变量之间的依赖关系。
函数可以表示为一个映射关系，即对于每一个自变量的取值，都有一个唯一确定的因变量的取值与之对应。
1.2 一次函数一次函数是最简单的函数之一，它可以表示为y = kx + b的形式，其中k和b是常数。
一次函数的图像通常是一条直线，其斜率k表示了直线的倾斜程度，而截距b表示了直线与y轴的交点。
1.3 二次函数二次函数是一类形式为y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c都是常数，且a不等于0。
二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口的方向由a的正负决定，而顶点的坐标可以通过-b/2a来求得。
2.数列与数列极限2.1 数列的概念数列是一系列有序的数按照一定规律排列而成的，数列中的每一个数称为项。
2.2 等差数列等差数列是一种数列，其中相邻两项之间的差是一个常数。
等差数列可以表示为a_n = a_1 + (n-1)d的形式，其中a_n表示第n项，a_1表示首项，d表示公差。
2.3 等比数列等比数列是一种数列，其中相邻两项之间的比是一个常数。
等比数列可以表示为a_n = a_1 * q^(n-1)的形式，其中a_n表示第n项，a_1表示首项，q表示公比。
3.平面解析几何3.1 直线与圆的方程在平面解析几何中，直线和圆的方程是非常重要的。
直线的方程可以使用斜截式、截距式、点斜式等形式表示，而圆的方程则可以使用标准方程或者一般方程来表示。
3.2 直线与直线的位置关系直线与直线之间有多种位置关系，比如平行、垂直、相交等。
可以通过直线的斜率来判断两条直线是否平行，斜率的乘积是否为-1来判断两条直线是否垂直。
湘教版高中数学必修一集合八项注意文字素材
集 合 学 习 的 八 项 注 意集合是中学数学中的最基本的概念之一，然而由于其知识新、符号多、信息量大，初学者往往顾此失彼．本文总结了集合学习中的八项注意，希望能够帮助同学们进一步理解集合的概念，从本质上把握集合的内涵，少走弯路、提高学习效率．1．注意集合的“三性”集合的“三性”指的是：确定性、互异性、无序性，它们是集合的最基本特征．要注意弄清它们的含义，才能在解题时正确运用．例1 以方程2560x x -+=和方程220x x --=的解为元素构成集合M ，则M 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析：对于涉及集合元素的问题，首先应想到其确定性、互异性、无序性．由集合元素的互异性可知，两个相同的对象中能算作集合中的一个元素．方程2560x x -+=的解为1223x x ==，；方程220x x --=的解为1212x x =-=，，所以{123}M =-，，，故选（Ｃ）． 例2 已知集合A={a ，a+b ，a+2b}，B={a ，ac ，ac 2}，若A=B ，求实数c 的值． 分析：集合A=B ，说明A ，B 中元素相同但顺序可以不同，因此要分两种情况讨论． 解：（1）若,02222=-+⇒⎩⎨⎧=+=+ac ac a acb a ac b a ∴a=0或c=1 当a=0时，集合B 中三元素都是0，舍去；当c=1时，集合B 中三元素也都相同，舍去．（2）若02222=--⇒⎩⎨⎧=+=+a ac ac acb a ac b a ∵a ≠0，∴2c2-c-1=0，∴(c-1)(2c-1)=0又∵c ≠1，∴c=21-．经检验，符合题意． 综上，c=21-．2．注意0，{0}，Φ，{Φ}的关系数0是元素，{0}是含一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合，{Φ}是以Φ作为元素的集合．要注意它们的区别与联系．例3下列关系错误的是…………………………（ ）A Φ}0{⊆B 0∈{0}C 0∈ΦD 0∉{Φ}解：A 、B 、D 均正确，C 是错误的．3．注意空集的特殊性空集是不含有任何元素的集合，它是一种非常特殊的集合．我们要注意“空集是任何集合的子集”这一重要结论的运用．例4设集合A={x|-2≤x ≤5}，B={x|m+1≤x ≤2m-1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．误解：依题意，B ⊆A ，∴⎩⎨⎧≤--≥+51221m m ∴⎩⎨⎧≤-≥33m m 即33≤≤-m ．剖析：以上解法忽视了B=Φ的情形，此时m+1>2m-1，∴m<2，也符合B ⊆A ．因此所求实数m 的范围应为m<2或2≤m ≤3，即m ≤3．例5已知A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|ax-2=0}，并且A ∪B=A ，求实数a 组成的集合C ．分析：因为A ∪B=A A B ⊆⇔，可据此求a 的值，但要注意B=Φ的情形．解：（1）当a=0时，B=Φ符合题意；（2）当a ≠0时，B={a 2}，而A={1，2}，∵A ∪B=A A B ⊆⇔ ∴a 2=1或a 2=2 ，∴a=2或a=1．综上，C ={0，1，2} ．4．注意符号“∈”与“⊆”的区别符号“∈”用在元素和集合间表示从属关系；符号“⊆”用在两集合间表示包含关系．特别需要指出的是，“a ，b ∈A ”与“{a ，b}A ⊆”之间既有区别又有联系．例6设M={x ∈R |x ≤10}，a=3，则下列关系正确的是………（ ）A a ∈MB a ∉MC {a}∈MD {a}⊆M解：a 是元素，{a}与M 是集合，由于310≤，故选（D ）．例7（1）若a ，b ∈{3，4，5}，则函数f(x)=ax 2+bx 有多少条不同的对称轴？（2）若{a ，b}⊆{3，4，5}，则函数f(x)=ax 2+bx 有多少条不同的对称轴？分析：二次函数图象的对称轴为x=-a b 2 ，故只要研究有多少个不同的a b的值即可，但要注意两小题的区别．第（1）小题中a ，b ∈{3，4，5}，当a ，b 不同时有6个不同的a b的值，当a ，b 相同时a b=1，因此共有7条不同的对称轴；第（2）小题中{a ，b}⊆{3，4，5}，说明a ，b 只能不相等，因此只有6条不同的对称轴．5．注意数集与点集的区别容易出现两方面的错误．一是书写上的错误，如把点集{（2，3）}误写为{2，3}或{x=2，y=3}等；二是理解上的错误，如把数集{y|y=x 2+1，x ∈R }误为{（x ，y ）|y=x 2+1，x ∈R }或{x|y=x 2+1，x ∈R }等．例8（1）已知A={(x ，y)|y=x 2-1，x ∈R}，B={(x ，y)|y=7-x 2，x ∈R}， 则A ∩B=______；（2）已知A={y|y=x 2-1，x ∈R}，B={y|y=7-x 2，x ∈R}， 则A ∩B=________． 分析：解方程组⎩⎨⎧-=-=2271xy x y 得，⎩⎨⎧=-=32y x 或⎩⎨⎧==32y x ，曲线y=x 2-1和y=7-x 2的两交点为（-2，3）和（2，3），第（1）题中A 、B 为点集，A ∩B={（-2，3），（2，3）}．而第（2）题如果理解为A ∩B={3}那就错了，因为A 、B 都表示数集，它们分别表示函数y=x 2-1，x ∈R 和y=7-x 2，x ∈R 的值域，从整体上把握，应该有A={y|y ≥-1}，B={y|y ≤7}，因此A ∩B={y|-1≤y ≤7}．6．注意求补集的前提——全集在求补集时，不能忽略全集，因为同一集合在不同全集中补集是不相同的．例9全集U 是函数7-=x y 的定义域，A={x|x ≥10}，求C U A ．误解：C U A={x|x<10}剖析：误解将全集默认为实数集R ，显然不对．其实U ={x|x ≥7}，故C U A={x|7≤x<10}． ７．注意选取集合的表示法当集合为有限集时，一般用列举法．当集合为无限集时，一般不采用列举法，因为不能将其一一列出，这时宜用描述法．对于同一集合，有时既可用列举法又可用描述法，这时应择优选用．例10 已知集合6|1C x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭Z N ，求集合C ． 解析：对于本题集合C 中元素应是61x +，而不是x ，满足的条件是61x∈+Z 且x ∈N ． x ∈N Q ，11x ∴+≥，又61x ∈+Z ，11236x ∴+=，，，． 663211x∴=+，，，，即{}6321C =，，，．8．注意用好容斥原理和Venn 图与集合元素有关的计数问题牵涉因素较多，看上去错综复杂．若能利用容斥原理和韦恩图，则可使问题具体化而顺利解决． 例11高一（1）班有45人．其中有30人订阅了《起跑线》 这种杂志，有25人订阅了《数学专页》这种报纸．问这个班至少有多少人这种杂志和这种报纸全订阅了？分析：集合A 中元素的个数常记作card(A)．本题中设高一（1）班全体同学组成全集U ，订阅了《起跑线》杂志的人组成集合A ，订阅了《数学专页》的人组成集合B ．这样杂志和报纸都订阅的人就组成了A ∩B ．可借助容斥原理和韦恩图来解题．解：依题意，card(A)=30，card(B)=25，而card(U)=45，∴card(A ∩B)≥30+25-45=10即至少有10人杂志和报纸都订阅了．注：本题中card(U)=45，∴card(A ∪B)≤45．根据容斥原理card(A ∪B)=card(A) +card(B)-card(A ∩B)和韦恩图可得， 至少有10人杂志和报纸都订阅了．注：容斥原理card(A ∪B)=card(A)+card(B)-card(A ∩B)和韦恩图是解决“至多”、“至少”问题的有力工具．UA B。
湘教版高一数学集合核心知识
湘教版高一数学集合核心知识
1.集合的含义
一般地，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合;
集合中的每个对象称为这个集合的元素。
集合常用大写字母表示，如A, B, C……
元素常用小写字母表示，如a, b, c ……
2.集合中元素的性质
(1)确定性：集合中的元素必须是确定的
若a是集合A中的元素，就说a属于集合A,记作a∈A
若a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A,记作a不属于A
(2)互异性：集合中的元素必须是互不相同的
(3)无序性：集合中的元素是无先后顺序的
3.常见的数集
(1) N: 自然数集(含0)
即非负整数集
(2) N*或N+: 正整数集(不含0)
(3) Z：整数集
(4) Q：有理数集
(5) R：实数集
4.集合的表示方法
(1)列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于大括号内。
如：{北京，天津，上海，重庆}
注：元素之间要用逗号分隔，列举时与元素次序无关
(2)描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足条件)表示出来，写成{x ︳p(x) }
如：{x ︳x为中国的直辖市}
(3)图示法：常常画一条封闭的曲线，用其内部表示一个集合。
5.集合的分类
(1) 有限集：含有有限个元素的集合
(2) 无限集：含有无限个元素的集合
(3) 空集：不含任何元素的集合，记作Ø。
湘教版高一集合知识点讲解
湘教版高一集合知识点讲解高中阶段是学生学习的关键时期，科目繁多，考试内容广泛。
在湘教版高一教材中，集合是数学课程中的重要知识点之一。
在本文中，将对湘教版高一集合的知识点进行详细讲解，帮助学生更好地理解和掌握相关概念和技巧。
一、集合的基本概念集合是数学中研究对象的概念。
集合中的元素可以是各种事物，如数字、字母、图形等。
数学中常用大写字母表示集合，用大括号{}将元素括起来表示一个集合。
二、集合的表示方式1. 列举法：将集合中的元素逐个列举出来，放在大括号内。
例如，集合A={1, 2, 3, 4}表示由1、2、3、4组成的集合A。
2. 描述法：通过描述集合中的元素的特征或者性质来表示。
例如，集合B={x|x是正整数，且x<5}表示由小于5的正整数组成的集合B。
三、基本运算集合的基本运算有并运算、交运算、差运算和补运算。
1. 并运算：将两个或多个集合中所有的元素合并在一起。
记作A∪B，表示A和B的并集。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
2. 交运算：将两个或多个集合中相同的元素选出来，组成一个新的集合。
记作A∩B，表示A和B的交集。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。
3. 差运算：将一个集合中去掉另一个集合中相同的元素，剩下的元素组成一个新的集合。
记作A-B，表示A和B的差集。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A-B={1, 2}。
4. 补运算：两个集合中互为补集，即两个集合的并集是全集。
记作A'，表示A的补集。
例如，集合A={1, 2, 3}，全集U={1, 2, 3, 4, 5}，则A'={4, 5}。
四、集合的关系与特性1. 包含关系：一个集合的所有元素都是另一个集合的元素时，可以说前者包含于后者。
记作A⊆B，表示A包含于B。
例如，集合A={1, 2}，集合B={1, 2, 3}，则A⊆B。
高中数学第1章集合与函数1.2函数的图象和性质素材湘教版必修1
(4)若
1 f(a＋x)＝－f(x)或fa＋x＝ (a≠0)，则函数 fx
y＝f(x)是以 2|a|为周期的
周期性函数． (5)若 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a，x＝b(a≠b)对称，则函数 y＝f(x)是以 2|b －a|为周期的周期性函数.
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2017版高三二轮复习与策略
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提炼 1 函数的奇偶性 (1)若函数 y＝f(x)为奇(偶)函数，则 f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))． (2)奇函数 y＝f(x)若在 x＝0 处有意义，则必有 f(0)＝0. (3)判断函数的奇偶性需注意：一是判断定义域是否关于原点对称；二是若所 给函数的解析式较为复杂，应先化简；三是判断 f(－x)＝－f(x)，还是 f(－x)＝f(x)， 有时需用其等价形式 f(－x)± f(x)＝0 来判断．
(4)奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于 y 轴对称． (5)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的 区间上的单调性相反.
提炼 2 函数的周期性 (1)若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(x－a)(a≠0)，则函数 y＝f(x)是以 2|a|为周期 的周期性函数． (2)若奇函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)(a≠0)，则函数 y＝f(x)是以 4|a|为周 期的周期性函数． (3)若偶函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)(a≠0)，则函数 y＝f(x)是以 2|a|为周 期的周期性函数．
内部文件，请勿外传
提炼 3 函数的图象 (1)由解析式确定函数图象．此类问题往往需要化简函数解析式，利用函数的 性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断，常用排除法． (2)已知函数图象确定相关函数的图象． 此类问题主要考查函数图象的变换(如 平移变换、对称变换等)，要注意函数 y＝f(x)与 y＝f(－x)、y＝－f(x)、y＝－f(－x)、 y＝f(|x|)、y＝|f(x)|等的相互关系． (3)借助动点探究函数图象．解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式 后再判断函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处 考察图象的变化特征，从而作出选择．
1.1.1 集合 课件(共24张PPT) (2024)高一数学湘教版必修第一册
《三国志》记Βιβλιοθήκη ：“布有良马名曰赤兔。”据《三国演义》描述，这匹宝马
后来跟随关羽并大展神威。
思考：下面三句话里的“是”各自的含义是什么?
A.关羽千里走单骑的坐骑是赤兔马
B.赤兔马是红马
C.红马是马
第一个“是”的含义相当于“＝”；
第二个和第三个“是”的含义是前者是后者中的一部分，表示“属于”。
{x|x具有性质p}。
二、表示集合的方法
a
b
思考一下：如何用集合表示上图数轴所示的范围呢？
数学中常用的一类集合叫区间；
如图所示，设a, b是两个实数，a < b，所有大于a并且小于b的实数组成的集合
叫作开区间，记作（a, b），实数a, b 分别叫作上述区间的左端点和右端点；
用符号表示就是（ a, b ）={x ∈ R|a < x < b}。
全体自然数组成的集合叫自然数集，记作N；
全体整数组成的集合叫整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合叫有理数集，记作Q；
全体实数组成的集合叫实数集，记作R.
二、表示集合的方法
表示一个集合，就是把它有哪些元素交代清楚。
在生活中，其实会遇到很多类似表示集合元素的方法，你能想到哪些呢？
可以把集合中的元素一一列举出来，比如菜单、花名册等；
（1）一元二次方程x 2 + 1 = 0的全体实根之集；
（2）所有素数之集；
（3）满足条件x + y = 0和xy ≠ 0的所有实数组（x，y）之集；
（4）满足条件x 2 + y 2 = 0和xy ≠ 0的所有实数组（x，y）之集。
答案：（1）和（4）是空集，（2）和（3）是无限集。
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集合学习中的五大误区
集合是高中数学的基本概念，同时也是最难以理解的概念之一，尤其在解题时容易出现以下五个误区．
1、符号意义不清晰
例1 在①{}∅∈∅；②{}∅⊂∅；③若{}{}A x x B A ⊆==|,1,0，则B A ∈中，正确的叙述有几个？
误解：1个（或2个）．
正解：{}∅是含有一个元素“∅”的非空集合，按规定∅是任何非空集合的真子集，
从而①②均正确，对于③，{}{}{}{}1,0,1,0,∅=B ，故B A ∈正确．综上，正确的叙述有3个．
2、忽略“互异”致增解
例2 {}{}
A B a B a A ⊆==,,1,,4,12，求a ． 误解：由102422，
或得：或±===a a a a ． 正解：1=a 时，B A ，中分别出现相同元素，应舍去，故02或±=a ．
3、忽略空集漏特例
例3 {}{}A B ax x B A ⊂=-=-=,01|,1,3,求a ．
误解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=a B 1,从而311或
-=a ． 正解：当B ≠∅时，311或
-=a ； 当B =∅时，0=a ． 故3
11或-=a ． 例4 {}{}
m B B A mx x x B x x x A ，求，若，==+-==+-=I 02|023|22． 误解：{}，，，A B A ⊆=21从而{}{
}{}2121，，B 或=．其中{}21，=B 时，符合题意，得：3=m ．
正解：当∅≠B 时，3=m ；
当∅=B 时，2222,082<<-<-=∆m m ．
4、代表元素误理解
例5 已知{}{}
B A x y x B x y y A I 求,1|,1|22-==-==．
误解：由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2211x y x y 得：
{}）
，），（，（0101-=B A I ． 正解：集合A 表示12
-=x y 的值域），∞+-1[，集合B 表示21x y -=的定义域]11[，-，从而=B A I ]11[，-．
5、集合转化不等价
例6已知集合{}012|2=++=x ax x A 为一元集，求a 的值．
误解：集合A 为一元集，即方程0122=++x ax 有两等根，由044=-=∆a 得1=a ． 正解：当0≠a 时，由044=-=∆a 得1=a ；
当0=a 时，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-=21A 也符合题意． 例7已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧
=-+=11|
2x a x x A 为一元集，求a 的值． 误解：由A 得：0=∆得：-
=a 45． 正解：当012≠-x 时，-=a 4
5； 当1=x 时，由012=---a x x 得1-=a ，此时{}0111|
2=⎭⎬⎫⎩⎨⎧
=--=x x x A 符合题意； 同理1-=x 时，1=a 也符合题意．
综上，a 145
±-=或．。