均值定理PPT教学课件
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《均值》课件
为随机变量X的均值或数学期望.
Baidu Nhomakorabea
思考
★★★★
1、随机变量的均值与相应数值的算术平均数 有何区别与联系？ 2、随机变量的均值与样本的平均值有何区别 与联系？
均值的性质
★★★★
若Y=aX+b(a，b是常数)，X是随机变量，则
Y也是随机变量，它们的分布列为：
X Y P
x1 p1
于是，
x2 p2
… … …
高中选修《数学2-3》
2.3.1离散型随机变量的均值
临江市第二中学 王晶
复习回顾 ★★★ 1、离散型随机变量的分布列: 设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,…, xi,…,xn,X取每一个值xi（i=1,2,…,n）的概率 为P（X=xi）=pi，则称表 … … X x1 x2 xi xn
P p1 p2 … pi … pn 为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列. 2、分布列的两个性质: n （1）pi≥0，i=1,2,…,n；（2） pi 1.
例3 某商场计划在国庆节开展一次促销活 动.已知商场内的促销活动可获得经济效益2万 元；商场外的促销活动，如果不遇雨天则带来 经济效益10万元，如果遇到雨天则带来经济损 失4万元.假设国庆节有雨的概率是40%，请问商 场应该选择哪种促销方式较好？
家庭作业
必做题：教材P68-习题2.3—1题前两问(C)，2题(B). 选做题：教材P68-习题2.3—4题(A).
三个数的均值定理ppt课件
16
32
A.0
B.1
C. 27 D. 27
14
归纳延伸
通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一 些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定 理的适用条件。
15
课后作业
1．教材 10 页 10、11、12、13 提示：11 题条件两边平方解决
2
4．设 x，y 为正实数
s2
(1)若 x＋y＝s(和 s 为定值)，则当 x＝y 时，积 xy 有最 大 值为 4 . (2)若 xy＝p(积 p 为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 有最 小 值 为2 p. 5．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足： (1)x，y 必须是正数； (2)求积 xy 的最大值时，应看和 x＋y 是否为定值；求和 x＋y 的最小值时，应看积 xy 是否为 定值． (3)等号成立的条件是否满足．利用基本不等式求最值时，一 定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、
三相等”． 3
热身训练
1.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求
1 x
1 y
的最小值；
32 2
(2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0.求x+y的最小值.
18
2.已知x 1, y 2,且x y 15,求D ( x 1)( y 2) 的最大值.
2.2 均值定理课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第二章不等式
当x＝y＝9时，x＋y的最大小值是18，故选B.
2．如果 a＞0，b＞0，a＋b＝9，那么 ab 的最大值是( C )
A．18
B．20
C.841
D．81
【解析】∵ a＞0，b＞0，∴ 根据均值定理 a＋b≥2 ab⇒9≥2 ab⇒29≥2 ab
⇒841≥ab，当且仅当 a＝b＝29时，ab 的最大值是841，故选 C.
2．如果 a＞0，b＞0，3a＋2b＝12，则 ab 的最大值是( A )
A．6
B.841
C．12
D．81
【解析】a＞0，b＞0，根据均值定理：3a＋2b≥2 6ab⇒12≥2 6ab⇒6≥ 6ab
⇒36≥6ab⇒6≥ab，当且仅当 3a＝2b，即 a＝2，b＝3 时，ab 的最大值是 6，
故选 A.
(2)∵ x＞0，根据均值定理：2x＋8x≥2 故 10－2x＋8x有最大值为 10－8＝2.
2x·8x＝8，则 2x＋x8有最小值 8，
1．已知x＞0，y＞0且xy＝81，则x＋y的最小值为( B )
A．9
B．18
C．27
D．8
【解析】 ∵ x＞0，y＞0，∴ 根据均值定理得：x＋y≥2＝2＝18，当且仅
A．1
B．2
C．4
D．6
【解析】 ∵ 若 ab＞0，∴ ba＞0，ba＞0，根据均值定理：ba＋ba≥2
均值定理PPT课件
x y 2 xy 2 49 14.
等号成立当且仅当x此=时yx=+4y9 达=到7,最小值14，从而
2(x+y)达到最小值2×14=28。
答：至少要用28cm长的铁丝。
第20页/共21页
感谢您的欣赏
第21页/共21页
xy x y 10 5 22
等号成立当且仅当此x 时y 达5 到时,
xy
最大值5，从而 xy达到最大值25.
答：矩形的长与宽都等于5cm时，面积
最大，达到2c5m 2 。
第19页/共21页
演练 2答案
解：设围成的矩形的长与宽分别为xcm、 ycm由。已知条件得，xy= 49 。 据均值定理得
2
的算术平均值 。
我们要比较两个正方形面积的大小，只 需要比较两个正方形的边长哪个长。
第4页/共21页
由于对任意实数a、b,有
a b ab 1 (a b 2 ab)
2
2
因此
1 ( a b)2 0,
2
ab
2 ≥ ab
等号成立 ( a b)2 0 a b a b.
第5页/共21页
2
你又能得出什么结论？
和为定值， 积有最大值
答：a b有最大值。
第9页/共21页
例2.已知x>0,求 x 1 的最小值。 x
解：因为x>0,由均值定理知
等号成立当且仅当x此=时yx=+4y9 达=到7,最小值14，从而
2(x+y)达到最小值2×14=28。
答：至少要用28cm长的铁丝。
第20页/共21页
感谢您的欣赏
第21页/共21页
xy x y 10 5 22
等号成立当且仅当此x 时y 达5 到时,
xy
最大值5，从而 xy达到最大值25.
答：矩形的长与宽都等于5cm时，面积
最大，达到2c5m 2 。
第19页/共21页
演练 2答案
解：设围成的矩形的长与宽分别为xcm、 ycm由。已知条件得，xy= 49 。 据均值定理得
2
的算术平均值 。
我们要比较两个正方形面积的大小，只 需要比较两个正方形的边长哪个长。
第4页/共21页
由于对任意实数a、b,有
a b ab 1 (a b 2 ab)
2
2
因此
1 ( a b)2 0,
2
ab
2 ≥ ab
等号成立 ( a b)2 0 a b a b.
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2
你又能得出什么结论？
和为定值， 积有最大值
答：a b有最大值。
第9页/共21页
例2.已知x>0,求 x 1 的最小值。 x
解：因为x>0,由均值定理知
均值定理
2
感谢聆听
一正二定三相等
例2：（1）若x>0,求 x 1 1的最值。
x
（2）若x<0,求 x 1 1的最值。
x
小结:今天你学到了什么?
1.均值不等式（前提、公式、取等号） 2.利用均值不等式求最值（一正二定三相等）
1.已知x>3,求 x 1 的最小值，并求出此时x的值。
x3
2.已知 0 x 1，求 x(1 2x)的最值，并求此时x的值。
任意两个正数的 不小于它们的
当且仅当a b时，等号成立
例1：已知x、y都是正数， （1）如果xy是定值9，求x+y的最值，并求出此时x,y的值。
（2）如果x+y是定值2，求xy的最值，并求出此时x,y的值。
用均值定理求最值的几点注意事项： 1.要用均值定理，必先有两正数 2.要求最值，先有定值 3.要取最值，一定相等
均值不等式
1706.朱明星
1.对于任意实数，证明a2+b2≥2ab
2.用 a与 b 分别代替上面的不等式中的a和Βιβλιοθήκη Baidub。会怎么样呢？
( a)2 ( b)2 2 a b
即a b 2 ab
所以a b ab 2
思考：此时的a与b要 满足什么条件呢？
若a 0,b 0,
则 a b ab 2
感谢聆听
一正二定三相等
例2：（1）若x>0,求 x 1 1的最值。
x
（2）若x<0,求 x 1 1的最值。
x
小结:今天你学到了什么?
1.均值不等式（前提、公式、取等号） 2.利用均值不等式求最值（一正二定三相等）
1.已知x>3,求 x 1 的最小值，并求出此时x的值。
x3
2.已知 0 x 1，求 x(1 2x)的最值，并求此时x的值。
任意两个正数的 不小于它们的
当且仅当a b时，等号成立
例1：已知x、y都是正数， （1）如果xy是定值9，求x+y的最值，并求出此时x,y的值。
（2）如果x+y是定值2，求xy的最值，并求出此时x,y的值。
用均值定理求最值的几点注意事项： 1.要用均值定理，必先有两正数 2.要求最值，先有定值 3.要取最值，一定相等
均值不等式
1706.朱明星
1.对于任意实数，证明a2+b2≥2ab
2.用 a与 b 分别代替上面的不等式中的a和Βιβλιοθήκη Baidub。会怎么样呢？
( a)2 ( b)2 2 a b
即a b 2 ab
所以a b ab 2
思考：此时的a与b要 满足什么条件呢？
若a 0,b 0,
则 a b ab 2
均值不等式课件.完美版PPT
号．
• 2．算术平均值和几何平均值
• (1)定义
a＋b (3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑用均值不等式，当均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性
；
• 2 叫做正实数a，b的算术平均值． 两个正实数的算术平均值
它们的几何平均值．
(1)各项均为正数，特别是出现对数式、三角函数式等形式时，要认真判断．
最小 值． • ②若和x＋y是定值S，那么当 x＝y 时，积xy有
最大 值．
• 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积 最大．
• 1．基本不等式中的a，b可以是值为任意 正数的代数式吗？
2．因为 sin x 与sin4 x，x∈(0，π)，两个都是正数，乘积
为定值，所以由均值定理得 sin x＋sin4 x≥2
∴ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc－3≥3， 即b＋ac－a＋c＋ab－b＋a＋bc－c≥3.
多次使用 a＋b≥2 ab时，要注意等号能否成立，叠加 法是不等式性质的应用，也是一种常用方法，对不能直接使 用均值不等式的证明需重新组合，形成均值不等式模型，再 使用．
2.已知 a、b、c∈{正实数}，且 a＋b＋c＝1. 求证：1a＋1b＋1c≥9. 【证明】 ∵a，b，c∈{正实数}． ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc ＋c ＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9. 即1a＋1b＋1c≥9(当且仅当 a＝b＝c 时取等号)．
• 2．算术平均值和几何平均值
• (1)定义
a＋b (3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑用均值不等式，当均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性
；
• 2 叫做正实数a，b的算术平均值． 两个正实数的算术平均值
它们的几何平均值．
(1)各项均为正数，特别是出现对数式、三角函数式等形式时，要认真判断．
最小 值． • ②若和x＋y是定值S，那么当 x＝y 时，积xy有
最大 值．
• 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积 最大．
• 1．基本不等式中的a，b可以是值为任意 正数的代数式吗？
2．因为 sin x 与sin4 x，x∈(0，π)，两个都是正数，乘积
为定值，所以由均值定理得 sin x＋sin4 x≥2
∴ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc－3≥3， 即b＋ac－a＋c＋ab－b＋a＋bc－c≥3.
多次使用 a＋b≥2 ab时，要注意等号能否成立，叠加 法是不等式性质的应用，也是一种常用方法，对不能直接使 用均值不等式的证明需重新组合，形成均值不等式模型，再 使用．
2.已知 a、b、c∈{正实数}，且 a＋b＋c＝1. 求证：1a＋1b＋1c≥9. 【证明】 ∵a，b，c∈{正实数}． ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc ＋c ＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9. 即1a＋1b＋1c≥9(当且仅当 a＝b＝c 时取等号)．
三个数的均值定理优秀课件
三相等”．
热身训练
1.源自文库1)若正数x、y满足x+2y＝1.求
1 x
1 y
的最小值；
32 2
(2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0.求x+y的最小值.
18
2 .已 x 1 ,知 y 2 ,且 x y 1,求 5 D (x 1 )y ( 2 ) 的 .最 大 值
36
自主学习教8材 --9页的内容 解决下列问题
三个数的均值定理优秀课件
复习回顾
1．如果 a，b∈R，那么 a2＋b2 ≥ 2ab(当且仅当 a＝b 时取
“＝”号)． 2．若 a，b 都为 正 数，那么a＋b ≥ ab(当且仅当 a ＝ b 时，
2
等号成立)，称上述不等式为 基本
a＋b
不等式，其中 2
称
为 a，b 的算术平均数， ab 称为 a，b 的几何平均数．
推广
对于 n 个正数 a1, a2 , a3, an，它们的算术
平均值不小于它们的几何平均值，
即 a1 a2 a3 n
an ≥ n a1a2a3
an
(当且仅当 a1 a2 a3 an 时取等号.)
探究二 三个正数的均值不等式的应用
设 x, y , z 都是正数，则有
⑴若 xyz S （定值），
则当 x y z 时， x y z 有最__小___值_3_3__S_.
热身训练
1.源自文库1)若正数x、y满足x+2y＝1.求
1 x
1 y
的最小值；
32 2
(2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0.求x+y的最小值.
18
2 .已 x 1 ,知 y 2 ,且 x y 1,求 5 D (x 1 )y ( 2 ) 的 .最 大 值
36
自主学习教8材 --9页的内容 解决下列问题
三个数的均值定理优秀课件
复习回顾
1．如果 a，b∈R，那么 a2＋b2 ≥ 2ab(当且仅当 a＝b 时取
“＝”号)． 2．若 a，b 都为 正 数，那么a＋b ≥ ab(当且仅当 a ＝ b 时，
2
等号成立)，称上述不等式为 基本
a＋b
不等式，其中 2
称
为 a，b 的算术平均数， ab 称为 a，b 的几何平均数．
推广
对于 n 个正数 a1, a2 , a3, an，它们的算术
平均值不小于它们的几何平均值，
即 a1 a2 a3 n
an ≥ n a1a2a3
an
(当且仅当 a1 a2 a3 an 时取等号.)
探究二 三个正数的均值不等式的应用
设 x, y , z 都是正数，则有
⑴若 xyz S （定值），
则当 x y z 时， x y z 有最__小___值_3_3__S_.
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敬师之情 • 初步学习细致观察的作用
以及实际应用
拓展阅读 《父亲的爱》
• 概括说明本文写了有 关爹的哪几件事
• 通过这些具体的事例， 说明父亲的爱具有怎 样的特点
证明：由a，b，c，d都是正数，得
ab+cd 2
≥ √ab·cd＞0 ，ac+2bd≥
√ac·bd＞0
∴
(ab+cd)(ac+bd) 4
≥abcd，
即(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd
引申：若a，b，c，d都是正数 求证：(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc
（1）知识上 a＋b≥2√ab 积定和小，和定积大
式子a2+b2≥2ab表明两个实数的平方和不小于 它们的积的2倍
这就是本节要介绍的一个重要不等式，它是一 个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都 成立，由于取“=”这种情况，在以后有广泛的 应用，因此通常要指出等号“=”成立的充要条 件
式子 a2+b2≥2ab中取等号的充要条件是什么呢？
充要条件通常用“当且仅当”来表示，“当” 表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要 的，所以a2+b2≥2ab可以表述为：
竹 竹鸟图
山寺松泉
教学目标
• 了解回忆性叙事文的主要 特点
• 初步学会按照内容划分文 章的段落层次概括中心
• 感受作者对老师的真切感 情
检测预习
• 呵斥 敷衍 懊丧 蕴寓 癖好 临摹 寥寥 揶揄 悚然 悼念 伫立 鞭策
• 灵柩 疾言厉色 络绎不绝 语重心长
• 娓娓动听 茅塞顿开 • 促膝长谈 一瓣心香
由此例我们能发现什么？具体的说，要求 两个正数和的最小值，只要什么是定值呢？
例2（1）已知x，y都是正数，求证：如果积xy是 定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2√p 。
证明：因为x，y都是正数，所以 x+y ≥√xy ，积
x+y
2
xy为定值p时，有 2 ≥√P ， ∴x+y≥2√P .
上式当x=y时取“=”号，因此，当x=y时，和x+y
初步感知
• 这是一篇回忆性的记叙 文
研
• 事情发生的地点在寄园
读
• “情”是文章的中心内
课
深容入感知
题
关于“寄园”
为何难忘
是怎样的一种感情
我在童年和少年时代曾
在寄园求学，得到钱名 山先生的教诲，令我终 生难忘，迄今对他充满 感恩和怀念
作文马虎 找我谈话
寄 夜幕降临 促膝长谈
园 读
欣赏书画
书 先生评画
该定理是否还有另外的表述？
如果把 a+2b看作是正数a、b的等差中项， √ab 看作是正数a、b的等比中项，那么该定 理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于 它们的等比中项。
现给出这一定理的一种几何解释（演示）
定理有何特征？ 一边是和，一边是积。
现在有谁能快速地求出函数y=x2+
1 x2
的最小值。
如果a、b∈R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当 a=b时取“=”号）
例1：已知a＞0，b＞0 求证：a+b≥2√ab 这里要注意代换法的应用
(当且定仅理当：a=如b时果取a、“b=是”号正)数。，那么a+2b≥√ab
称 a+2b为a、b的算术平均数，称 √ab为a、 b的几何平均数
这一定理又可叙述为：两个正数的算术平 均数不小于它们的几何平均数。
（2）方法上 换元法
a-b代a a2+b2≥2ab
a2≥0
√a—√b代a a+b≥2 √ab
（3）思想上 渗透数形结合思想
定理表现形式 a2+b2≥(a+b)2／2≥2ab
(a、b∈R)
a2+b2 2
／≥(
a+b 2
)2≥ab
(a、b∈R)
a2+b2 ≥ a+b ≥(
2
2
(a、b∈R+ )
a+ b )2 ≥ ab ≥ 2
有最小值2√P 。
如果两正数的和为定值，你能获得怎样的结果呢？
（2）x，y都是正数,如果和x+y是定值S，那么当
x=y时，积xy有最大值
1 4
S2。
证明：和x+y为定值S时，有√xy ≤ S，
∴ xy≤ 1S2。
2
4
上式当x=y时取“=”号，因此x=y时，积xy有最
大值 1 S2。 4
总结：
1）两个正数，积定和小，和定积大。
炫耀诗才 先生批评
第二课时
教学目标
• 了解回忆性文章的特点 • 初步学习细致观察的作用
以及实际应用
• 体会先生爱生之心、作者 敬师之情
回忆性叙事文的特点
• 选择典型事例 • 挖掘重点词语 • 体悟真挚情感
作文马虎 找我谈话
寄 园
夜幕降临 促膝长谈
读 熟谙癖好 给予培养
书 先生评画 终生受益
炫耀诗才 先生批评
问题：将一张正方形的纸片，裁剪成四个 全等的三角形纸片，要求以正方形的边作为直 三角形的斜边，如何剪？
图
b a
c
图①
a b
c
图②
从上面实例可知，若a＞0，b＞0则a2+b2≥2ab （当a=b时取等号），那么a2+b2≥2ab是否对于a、 b∈R都成立呢？
由于不等式复杂多样，仅有实数大小比较法则 是不够的，我们还需要学习一些有关不等式的 定理及证明不等式的方法
2
1 a
+
1 b
推广形式: 1.若.a、b、c∈R+则a3+b3+c3≥3abc
2.若a、b、c∈R+
则
a+b+c 3≥
3
aΒιβλιοθήκη Baiduc
3.若a1，a2 …an∈R + 则
a1+a2+…+an ≥ n
n a1a2…an
第一课时
谢稚柳几乎是一位全
能的艺术家，他精通 书画鉴定、美术理论、 绘画、书法、诗词等 各个艺术领域。就以 绘画而论，山水、花 鸟、人物、鞍马，他 无所不能，且均有独 到的艺术成就，可谓 博大精深。
看 沉思 寥寥数语 一针见血
茅塞顿开 精益求精
见识独到 修养深厚
炫耀诗才 先生批评
劝戒警勉 育我成人
淡淡地笑道 警勉而略带揶揄
惶恐不安 发人深省 鞭策至今
五件小事是从课内写到课外， 表现钱先生在课内对学生— ———，在课外对学生—— ——。
教学目标
• 了解回忆性文章的特点 • 体会先生爱生之心、作者
2）运用定理时，可以进行灵活变形，如
判断下列命题的真假
（1）若a，b∈R 则 b + a ≥2√
ab
（2）若ab＞0
则b a
+
a b
≥2
b· a=2
ab
（3）若x＞0 则x+ 1 ≥2√x · 1=2
x
x
（4）若x＞0 则sinx+ 1 ≥2√sinx · 1=2
sinx
sinx
例3： 已知a，b，c，d都是正数 求证：（ab+cd）(ac+bd)≥4abcd。
作文马虎 找我谈话
严格要求 教育有方
（轻轻地）抚摸 （温和地）问 （语重心长地）说
惭愧 后悔 懊丧 从 此不敢怠慢
夜幕降临 促膝长谈
学识渊博 寄教于乐
上下五千年
纵横九万里 娓娓动听
络绎不绝 新奇愉快
熟谙癖好 给予培养
激发兴趣 因材施教
熟谙学生 奉献珍藏
迷上了画画 爱上了文艺
先生评画 终生受益
以及实际应用
拓展阅读 《父亲的爱》
• 概括说明本文写了有 关爹的哪几件事
• 通过这些具体的事例， 说明父亲的爱具有怎 样的特点
证明：由a，b，c，d都是正数，得
ab+cd 2
≥ √ab·cd＞0 ，ac+2bd≥
√ac·bd＞0
∴
(ab+cd)(ac+bd) 4
≥abcd，
即(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd
引申：若a，b，c，d都是正数 求证：(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc
（1）知识上 a＋b≥2√ab 积定和小，和定积大
式子a2+b2≥2ab表明两个实数的平方和不小于 它们的积的2倍
这就是本节要介绍的一个重要不等式，它是一 个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都 成立，由于取“=”这种情况，在以后有广泛的 应用，因此通常要指出等号“=”成立的充要条 件
式子 a2+b2≥2ab中取等号的充要条件是什么呢？
充要条件通常用“当且仅当”来表示，“当” 表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要 的，所以a2+b2≥2ab可以表述为：
竹 竹鸟图
山寺松泉
教学目标
• 了解回忆性叙事文的主要 特点
• 初步学会按照内容划分文 章的段落层次概括中心
• 感受作者对老师的真切感 情
检测预习
• 呵斥 敷衍 懊丧 蕴寓 癖好 临摹 寥寥 揶揄 悚然 悼念 伫立 鞭策
• 灵柩 疾言厉色 络绎不绝 语重心长
• 娓娓动听 茅塞顿开 • 促膝长谈 一瓣心香
由此例我们能发现什么？具体的说，要求 两个正数和的最小值，只要什么是定值呢？
例2（1）已知x，y都是正数，求证：如果积xy是 定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2√p 。
证明：因为x，y都是正数，所以 x+y ≥√xy ，积
x+y
2
xy为定值p时，有 2 ≥√P ， ∴x+y≥2√P .
上式当x=y时取“=”号，因此，当x=y时，和x+y
初步感知
• 这是一篇回忆性的记叙 文
研
• 事情发生的地点在寄园
读
• “情”是文章的中心内
课
深容入感知
题
关于“寄园”
为何难忘
是怎样的一种感情
我在童年和少年时代曾
在寄园求学，得到钱名 山先生的教诲，令我终 生难忘，迄今对他充满 感恩和怀念
作文马虎 找我谈话
寄 夜幕降临 促膝长谈
园 读
欣赏书画
书 先生评画
该定理是否还有另外的表述？
如果把 a+2b看作是正数a、b的等差中项， √ab 看作是正数a、b的等比中项，那么该定 理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于 它们的等比中项。
现给出这一定理的一种几何解释（演示）
定理有何特征？ 一边是和，一边是积。
现在有谁能快速地求出函数y=x2+
1 x2
的最小值。
如果a、b∈R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当 a=b时取“=”号）
例1：已知a＞0，b＞0 求证：a+b≥2√ab 这里要注意代换法的应用
(当且定仅理当：a=如b时果取a、“b=是”号正)数。，那么a+2b≥√ab
称 a+2b为a、b的算术平均数，称 √ab为a、 b的几何平均数
这一定理又可叙述为：两个正数的算术平 均数不小于它们的几何平均数。
（2）方法上 换元法
a-b代a a2+b2≥2ab
a2≥0
√a—√b代a a+b≥2 √ab
（3）思想上 渗透数形结合思想
定理表现形式 a2+b2≥(a+b)2／2≥2ab
(a、b∈R)
a2+b2 2
／≥(
a+b 2
)2≥ab
(a、b∈R)
a2+b2 ≥ a+b ≥(
2
2
(a、b∈R+ )
a+ b )2 ≥ ab ≥ 2
有最小值2√P 。
如果两正数的和为定值，你能获得怎样的结果呢？
（2）x，y都是正数,如果和x+y是定值S，那么当
x=y时，积xy有最大值
1 4
S2。
证明：和x+y为定值S时，有√xy ≤ S，
∴ xy≤ 1S2。
2
4
上式当x=y时取“=”号，因此x=y时，积xy有最
大值 1 S2。 4
总结：
1）两个正数，积定和小，和定积大。
炫耀诗才 先生批评
第二课时
教学目标
• 了解回忆性文章的特点 • 初步学习细致观察的作用
以及实际应用
• 体会先生爱生之心、作者 敬师之情
回忆性叙事文的特点
• 选择典型事例 • 挖掘重点词语 • 体悟真挚情感
作文马虎 找我谈话
寄 园
夜幕降临 促膝长谈
读 熟谙癖好 给予培养
书 先生评画 终生受益
炫耀诗才 先生批评
问题：将一张正方形的纸片，裁剪成四个 全等的三角形纸片，要求以正方形的边作为直 三角形的斜边，如何剪？
图
b a
c
图①
a b
c
图②
从上面实例可知，若a＞0，b＞0则a2+b2≥2ab （当a=b时取等号），那么a2+b2≥2ab是否对于a、 b∈R都成立呢？
由于不等式复杂多样，仅有实数大小比较法则 是不够的，我们还需要学习一些有关不等式的 定理及证明不等式的方法
2
1 a
+
1 b
推广形式: 1.若.a、b、c∈R+则a3+b3+c3≥3abc
2.若a、b、c∈R+
则
a+b+c 3≥
3
aΒιβλιοθήκη Baiduc
3.若a1，a2 …an∈R + 则
a1+a2+…+an ≥ n
n a1a2…an
第一课时
谢稚柳几乎是一位全
能的艺术家，他精通 书画鉴定、美术理论、 绘画、书法、诗词等 各个艺术领域。就以 绘画而论，山水、花 鸟、人物、鞍马，他 无所不能，且均有独 到的艺术成就，可谓 博大精深。
看 沉思 寥寥数语 一针见血
茅塞顿开 精益求精
见识独到 修养深厚
炫耀诗才 先生批评
劝戒警勉 育我成人
淡淡地笑道 警勉而略带揶揄
惶恐不安 发人深省 鞭策至今
五件小事是从课内写到课外， 表现钱先生在课内对学生— ———，在课外对学生—— ——。
教学目标
• 了解回忆性文章的特点 • 体会先生爱生之心、作者
2）运用定理时，可以进行灵活变形，如
判断下列命题的真假
（1）若a，b∈R 则 b + a ≥2√
ab
（2）若ab＞0
则b a
+
a b
≥2
b· a=2
ab
（3）若x＞0 则x+ 1 ≥2√x · 1=2
x
x
（4）若x＞0 则sinx+ 1 ≥2√sinx · 1=2
sinx
sinx
例3： 已知a，b，c，d都是正数 求证：（ab+cd）(ac+bd)≥4abcd。
作文马虎 找我谈话
严格要求 教育有方
（轻轻地）抚摸 （温和地）问 （语重心长地）说
惭愧 后悔 懊丧 从 此不敢怠慢
夜幕降临 促膝长谈
学识渊博 寄教于乐
上下五千年
纵横九万里 娓娓动听
络绎不绝 新奇愉快
熟谙癖好 给予培养
激发兴趣 因材施教
熟谙学生 奉献珍藏
迷上了画画 爱上了文艺
先生评画 终生受益