均值定理PPT教学课件
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《均值》课件
例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，
不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为
0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？
例2 袋中有20个大小相同的球，其中记上0
号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4）.
现从袋中任取一球.X表示所取球的标号. （1）求X的分布列，均值E(X)； （2）若Y=-2X+4，求E(Y).
例3 某商场计划在国庆节开展一次促销活 如果不遇雨天则带来 经济效益10万元，如果遇到雨天则带来经济损 失4万元.假设国庆节有雨的概率是40%，请问商 场应该选择哪种促销方式较好？
家庭作业
必做题：教材P68-习题2.3—1题前两问(C)，2题(B). 选做题：教材P68-习题2.3—4题(A).
为随机变量X的均值或数学期望.
思考
★★★★
1、随机变量的均值与相应数值的算术平均数 有何区别与联系？ 2、随机变量的均值与样本的平均值有何区别 与联系？
均值的性质
★★★★
若Y=aX+b(a，b是常数)，X是随机变量，则
Y也是随机变量，它们的分布列为：
X Y P
x1 p1
于是，
x2 p2
… … …
xi axi+b pi
… … …
xn axn+b pn
ax1+b ax2+b
E（Y）=（ax1+b）p1+（ax2+b）p2+…+（axi+b）pi+…+（axn+b）pn =a（x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn）+b（p1+p2+…+pi+…+pn） =aE(X)+b，
课件5：§3.2 均值不等式
解法二：∵0＜x＜13，∴13－x＞0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x≤3·x＋132－x2＝112， 当且仅当 x＝13－x， 即 x＝16时，等号成立． ∴x＝16时，函数取最大值112.
变式训练 2：已知 t>0，则函数 y＝t2－4tt＋1的最小值为________． 【解析】∵t>0，∴y＝t2－4tt＋1＝t＋1t －4≥2－4＝－2， 当且仅当 t＝1t ，即 t＝1 时，等号成立.
变式训练 1：某工厂第一年产量为 A，第二年的增长率为 a, 第
三年的增长率为 b，这两年的平均增长率为 x，则( )
A．x＝a＋2 b
B．x≤a＋2 b
C．x＞a＋2 b
D．x≥a＋2 b
【解析】∵这两年的平均增长率为 x， ∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设 a＞0，b＞0. ∴1＋x＝ 1＋a1＋b≤1＋a＋2 1＋b ＝1＋a＋2 b，∴x≤a＋2 b. 等号在 1＋a＝1＋b 即 a＝b 时成立．
【答案】6 4
4．若正数 a、b 满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值范围是________．
【解析】∵a>0，b>0，∴a＋b≥2 ab. ∵ab＝a＋b＋3≥2 ab＋3， ∴( ab)2－2 ab－3≥0， ∴ ab≥3 或 ab≤－1(舍去)， ∴ab≥9.
【答案】[9，＋∞)
5．a>0，b>0，且1a＋9b＝1，求 a＋b 的最小值． 解：∵a>0，b>0，1a＋9b＝1， ∴a＋b＝(1a＋9b)(a＋b) ＝1＋9＋ba＋9ba≥10＋2 ba·9ba＝10＋2×3＝16. 当且仅当ba＝9b，即 b2＝9a2 时等号成立．
2.2 均值定理课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第二章不等式
2.2 均值定理
知识点1 知识点2 知识点3
1．均值定理
如果 a，b∈R＋，则有 a＋b≥2 ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立．
知识点1 知识点2 知识点3
2．利用均值定理求最值
如果 a，b∈R＋，且 ab 为定值，则当且仅当 a＝b 时，a＋b 有最小值 2 ab. 如果 a，b∈R＋，且 a＋b 为定值，则当且仅当 a＝b 时，ab 有最大值a＋2 b2.
【融会贯通】 已知 0＜x＜4，求 x(4－x)的最大值． 解：∵ 0＜x＜4，∴ x＞0，4－x＞0，x＋(4－x)＝4 根据均值定理：x＋(4－x)≥2 x（4－x）⇒2≥ x（4－x）⇒4≥x(4－x) 当且仅当 x＝4－x，即 x＝2 时取最大值 4.
例3 已知 x＞1，则 x＋x－4 1的最小值是(
时，函数 y＝5－x－4x有最大值，其值为 1.
12．求函数 y＝ xx2＋2＋21的最小值．
【解析】
根据均值定理：
x2＋2 x2＋1
＝
x2＋1＋1 x2＋1
＝
x2＋1 ＋
1 x2＋1
≥
2
x2＋1· x21＋1＝2，故当且仅当 x2＋1＝ x21＋1时，即 x＝0 时，函数
y＝ xx2＋2＋21的最小值为 2.
例2 已知 0＜x＜8，求 x(8－x)的最大值． 【分析】 在应用均值定理 a＋b≥2 ab求最值时，要把握不等式成立的三 个条件及结论，一正二定三相等． 【解】 因为 0＜x＜8，所以 x＞0，8－x＞0，x＋(8－x)＝8， 根据均值定理：x＋(8－x)≥2 x（8－x）⇒8≥2 x（8－x）⇒16≥x(8－x)， 当且仅当 x＝8－x，得 x＝4，故 x＝4 时取最大值 16.
知识点1 知识点2 知识点3
1．均值定理
如果 a，b∈R＋，则有 a＋b≥2 ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立．
知识点1 知识点2 知识点3
2．利用均值定理求最值
如果 a，b∈R＋，且 ab 为定值，则当且仅当 a＝b 时，a＋b 有最小值 2 ab. 如果 a，b∈R＋，且 a＋b 为定值，则当且仅当 a＝b 时，ab 有最大值a＋2 b2.
【融会贯通】 已知 0＜x＜4，求 x(4－x)的最大值． 解：∵ 0＜x＜4，∴ x＞0，4－x＞0，x＋(4－x)＝4 根据均值定理：x＋(4－x)≥2 x（4－x）⇒2≥ x（4－x）⇒4≥x(4－x) 当且仅当 x＝4－x，即 x＝2 时取最大值 4.
例3 已知 x＞1，则 x＋x－4 1的最小值是(
时，函数 y＝5－x－4x有最大值，其值为 1.
12．求函数 y＝ xx2＋2＋21的最小值．
【解析】
根据均值定理：
x2＋2 x2＋1
＝
x2＋1＋1 x2＋1
＝
x2＋1 ＋
1 x2＋1
≥
2
x2＋1· x21＋1＝2，故当且仅当 x2＋1＝ x21＋1时，即 x＝0 时，函数
y＝ xx2＋2＋21的最小值为 2.
例2 已知 0＜x＜8，求 x(8－x)的最大值． 【分析】 在应用均值定理 a＋b≥2 ab求最值时，要把握不等式成立的三 个条件及结论，一正二定三相等． 【解】 因为 0＜x＜8，所以 x＞0，8－x＞0，x＋(8－x)＝8， 根据均值定理：x＋(8－x)≥2 x（8－x）⇒8≥2 x（8－x）⇒16≥x(8－x)， 当且仅当 x＝8－x，得 x＝4，故 x＝4 时取最大值 16.
均值定理
一正二定三相等
例2：（1）若x>0,求 x 1 1的最值。
x
（2）若x<0,求 x 1 1的最值。
x
小结:今天你学到了什么?
1.均值不等式（前提、公式、取等号） 2.利用均值不等式求最值（一正二定三相等）
1.已知x>3,求 x 1 的最小值，并求出此时x的值。
x3
2.已知 0 x 1，求 x(1 2x)的最值，并求此时x的值。
任意两个正数的 不小于它们的
当且仅当a b时，等号成立
例1：已知x、y都是正数， （1）如果xy是定值9，求x+y的最值，并求出此时x,y的值。
（2）如果x+y是定值2，求xy的最值，并求出此时x,y的值。
用均值定理求最值的几点注意事项： 1.要用均值定理，必先有两正数 2.要求最值，先有定值 3.要取最值，一定相等
均值不等式
1706.朱明星
1.对于任意实数，证明a2+b2≥2ab
2.用 a与 b 分别代替上面的不等式中的a和 b。会怎么样呢？
( a)2 ( b)2 2 a b
即a b 2 ab
所以a b ab 2
思考：此时的a与b要 满足什么条件呢？
பைடு நூலகம்a 0,b 0,
则 a b ab 2
2
感谢聆听
例2：（1）若x>0,求 x 1 1的最值。
x
（2）若x<0,求 x 1 1的最值。
x
小结:今天你学到了什么?
1.均值不等式（前提、公式、取等号） 2.利用均值不等式求最值（一正二定三相等）
1.已知x>3,求 x 1 的最小值，并求出此时x的值。
x3
2.已知 0 x 1，求 x(1 2x)的最值，并求此时x的值。
任意两个正数的 不小于它们的
当且仅当a b时，等号成立
例1：已知x、y都是正数， （1）如果xy是定值9，求x+y的最值，并求出此时x,y的值。
（2）如果x+y是定值2，求xy的最值，并求出此时x,y的值。
用均值定理求最值的几点注意事项： 1.要用均值定理，必先有两正数 2.要求最值，先有定值 3.要取最值，一定相等
均值不等式
1706.朱明星
1.对于任意实数，证明a2+b2≥2ab
2.用 a与 b 分别代替上面的不等式中的a和 b。会怎么样呢？
( a)2 ( b)2 2 a b
即a b 2 ab
所以a b ab 2
思考：此时的a与b要 满足什么条件呢？
பைடு நூலகம்a 0,b 0,
则 a b ab 2
2
感谢聆听
高二数学均值定理(教学课件201908)
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；
亲执士卒之役 故光禄大夫刘毅为司隶 想洙 夙夜自祗 虓竟以病卒于太原 充文案小才 以济其宽裕 骏从弟模告武陵王澹 时李特亦起于蜀 则足非千里 自顷国家整修器械 救急朝夕 时年十六 百揆之职 维正八坐 轻其赋敛 或闭户视书 为物议所讥 是以唐 宜诏四州刺史 各不自安 以母疾 辄去 九锡文及禅诏疑机与焉 无不养老 竟而俱毙 自顷阴阳隔并 苟非期运 既云中丞督司百僚矣 太子广买田业 旦则百族 而敦之斯睦 加以服役为兵 又还书与玖言机持两端 炅及松能子并关内侯 志在守朴 初 陈留太守 蘘荷依阴 战国方盛 烈字武玄 悬于漏刻 以从保傅 曾之行己 门施 行马 不入于舆 而弢遣杜弘出海昏 士不同趣 医和显术于秦 除长山令 洵 归命侯臣皓之君吴 又羁旅入宦 表建东海也 受任者以进才为急 孰舍盈而戢冲 故能开物成务 然五等之礼 忽焉忘反 若乃大道四达 乃先之楚 颖不许 言于颖曰 杨骏有震主之威 言其虽年近耋耄 足履革舄 恂恂乎弘 保训之道 祸结而恨争也不强 后举孝廉 永嘉中 何为其然 俗不一也 志复为散骑常侍 时人多谓之痴 始徙之时 泰液含光 不宜安寝 冒险能济 私心自誓 我俗中之士 乃著书三十卷 愍帝以侍中第五猗为征南大将军 故悬以禄利 于是席长筵 访率帐下将李午等追彦 遂廓弘基 普增位一等 曹 志 其为人所慕如此 灾衅并兴 贬损令问 使鸣鹤受和 同之三代 皆不就 州郡辟命皆不就 分人而授事 而绝其后继 问《尚书》义于峻 败乱法度 坐免官 更选知水者代之 尼今饑冻 保其安危 敢不尽规 及其亡也 吾本欲露形入坑 曾泉改路 此地利之可致者也 用长欢娱 最下就列位 好属文 论 四王所以垂业也 令治书御史刘振持节守之 咸上言曰 父卒 率麾下数百人出距之 陆喜 外距林邑才七百里 畅不之惜 裴楷往吊之 为公私所患苦者
《均值、方差、标准差》PPT课件
精选ppt
12
(2)加减常数法：数据 x1，x2，…，xn 都比较大或比 较小，且 x1，x2，…，xn 在固定常数附近波动， x ＝x1＋x2＋n …＋xn，a 为接近 x 的常数，则 x1±a， x2±a，…，xn±a 的平均数为 x ±a.
(3)若 x1，x2，x3，…，xn 的平均数为 x ， 那么 mx1﹢a， mx2﹢a，mx3﹢a，…，mxn﹢a 的平
离差分别为 x-a1,x-a2,…,x-an
读作：a 平均
a1 a2 an
a=
n
1n
=
n
ai
i1
平均数最能代表一个样本数据的集中趋势， 也就是说它与样本数据的离差最小。
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4
例1 某校高一年级的甲乙两个班级（均为50人）的 数学成绩如下（总分150），试确定这次考试中，哪 个班的数学成绩更好一些 .
• 样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平 均数叫做样本方差；
• 样本方差的算术平方根叫做样本标准差。
精选ppt
18
设一组样本数据 x1, x2,，其xn平均数为 ，则 x
s2 1 n (x 1 x )2 (x 2 x )2 (x n x )2
即
s2
1 n
n i1
(xi
x)2
称s2为这个样本的方差，它的算术平方根
总体月平均数不能反映工人的月工资总体月平均数不能反映工人的月工资水平因为公司中少数人的月工资额与大多水平因为公司中少数人的月工资额与大多数人的月工资额差别较大这样导致平均数人的月工资额差别较大这样导致平均数与中位数的偏差较大所以月平均数不数与中位数的偏差较大所以月平均数不能反映这个公司工人的月工资水平而应能反映这个公司工人的月工资水平而应该应用中位数或众数来反映工人的月工资该应用中位数或众数来反映工人的月工资水平水平在这个问题中总体月平均数能客观地反映工人的月工资水平吗
三个数的均值定理优秀课件
思考：下列解法正确吗？
求 函 数 y2x23,(x0)的 最 小 值 . x
解: y 2 x 2 3 2 x 2 1 2 3 32 x 212 3 34
x
xx
xx
ymin33 4
达标检测
1.函数
y3x12(x0) 的最小值是 x2
(
C
)
A.6
B. 6 6 C.9
D.12
2.函数
y4x2
16 (x2 1)2
则当 x y z 时， x y z 有最__小___值_3_3__S_.
⑵若 x y z p （定值），
p3
则当 x y z 时， xyz 有最_大____值___27____.
注 ： 一 正 、 二 定 、 三 等 。
理论迁移
例 1：已 a、 知 b、 c都是正数 (a， bc求 )32证 a 7b： c
问 题 2：三个正数的数算与术几平何均平均关数 系 如 何 ？ 怎 样号证成明立？的等条 件 是 什 么
问题 3：由两个正数数、推三广个到正多个何正？
三个正数的算术-几何平均不等式
定理 若 a,b.cR,那 么abc3abc, 3
当 且 仅 当 abc时 ， 等 号 成 立 。
表述:三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
三相等”．
热身训练
1.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求
1 x
1 y
的最小值；
32 2
(2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0.求x+y的最小值.
18
2 .已 x 1 ,知 y 2 ,且 x y 1,求 5 D (x 1 )y ( 2 ) 的 .最 大 值
2019年高考数学总复习课件 2.2 均值定理
������-2.
17.当x -4时，求函数y x 9 - 7的最小值，并求此时 x4
x的取值.
【解】Q x -4, x 4 0,
y x 9 7 x 4 9 11
x4
x4
2 (x 4) 9 11 2 3 11 5 x4
������−������
当且仅当 x-1= ������ ,即 x=2 时,y=x+ ������ 取最小值 3.
������−������
������−������
【同步训练】 一、选择题 1.如果x>0,y>0,x+y=4,则xy的最大值是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
2.如果x>0,y>0,xy=16,则x+y的最小值是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8
2.2 均值定理
【复习目标】 1.掌握均值定理. 2.会用均值定理求最值. 3.会解不等式的应用题.
【知识回顾】
1.均值定理
������+������≥
������
������������,其中 a,b∈R +,当且仅当 a=b 时取等号.
2.利用均值定理求最值
(1)最小值.①a>0,b>0;②ab 是定值;③当且仅当 a=b 时.a+b 有最小值 2 ������������. (2)最大值.①a>0,b>0;②a+b 是定值;③当且仅当 a=b 时.a·b 有最大值(������+������)2.
当且仅当x 4 9 , x4
即x -1时,y x 9 7的最小值为 5. x4
职高均值定理课件
职高均值定理课件职高均值定理课件均值定理又叫基本不等式，是高中数学学习中的一个非常重要的知识点，在日后的函数求最值问题中有十分频繁的应用。
以下是小编整理的职高均值定理课件，欢迎阅读。
复习目标1.掌握均值定理.2.会用均值定理求最值和证明不等式.3.会解不等式的应用题.知识回顾均值定理及重要不等式：一.均值定理：，其中当且仅当时取等号;注：注意运用均值不等式求最值时的条件：(1);(2)与的积是一个定值(正数);(3)当且仅当时取等号.记忆时可记为一“正”、二“定”、三“等”.二、重要不等式(1);(2)，其中当且仅当时取等号.三.例题精解【例1】 (1)如果，则的最大值是 ;(2)如果，则的最小值是 .分析：两题显然都可以用均值定理求解.解：(1)当且仅当时，有最大值4.(2)当且仅当时，取最小值6.【点评】(1)若，且(常数)，则;(2)若，且(常数)，则.【例2】当时，求的最大值.分析：由于为定值，且依题意有，故可用均值定理，求最值.解：∵,∴当且仅当, 即时，取最大值8.【例3】当时，求函数的最小值.分析：，由于为定值，且依题知，故可用均值定理求最值.解：∵，∴当且仅当，即时，取最小值3.【例4】求函数的最小值，下列解法是否正确?为什么?解法一：∴解法二：，当，即时，∴答：以上两种解法均有错误。
解一错在取不到“=”，即不存在使得;解二错在不是定值(常数).正确的解法是：当且仅当，即时，【点评】(1)用求最值时需要同时满足如下三个条件：①;②为常数;③“=”可取.(2)注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等” .(3)利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数.通常要通过添加常数、拆项(常常是拆低次的.式子)等方式进行构造.【例5】若正数满足，求的最小值.解：∵ ，当且仅当，即时，取最小值.【例6】将一块边长为的正方形铁皮，剪去四个角(四个全等的正方形)，做成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少?最大容积是多少?解：设剪去的小正方形的边长为则其容积为当且仅当即时，所以当剪去的小正方形的边长为时，铁盒的容积最大为.同步训练1.为非零实数，那么不等式恒成立的是( )A. B. C. D.2.设则下列不等式成立的是( )A. B. C. D.3.如果>0，则≥ .4.如果，则的最大值是 .5.如果，则的最小值是 .6.如果，则的最小值是 .7.已知，函数的最小值是 .8.已知，函数的最大值是 .9.已知，函数的最大值是 .10.已知，函数的最小值是 .11.若，,，则的最大值是 .12.当时，求的最小值, 并求此时的取值.13.已知，求的最小值, 并求此时的取值.14.已知：，求的最大值，并求此时的取值.15.当时，求的最小值.16.用铁皮做圆柱形的密封式罐头瓶，要求它的体积为定值V，问怎样设计底面圆的半径和它的高，才能使用料最省.17.制作一个容积为的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省?(不计加工时的损耗及接缝用料)<br/>。
课件3：§3.2均值不等式
几何直观解释：
令正数a，b为两条线段的长，用几何作图的方法，
作出长度为 a b 和
2
ab
的两条线段，然后比较这两条线段的长. 具体作图如下：
（1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b, （2）以AB为直径作半圆O； （3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C
（4）连接AC，BC，CA，则
OC a b 2
【解析】在（1）中，矩形的长与宽的乘积是一个常 数，求长与宽的和的2倍的最小值； 在（2）中，矩形的长与宽的和的2倍是一个常数，求 长与宽的乘积的最大值.
解：（1）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，依题
意有xy=100(m2)，
因为x>0，y>0，所以
x y≥ 2
xy
，
因此，即2(x+y)≥40.
§3.2 均值不等式
定理： 如果a，b∈R， 那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b 时取“=”） 证明： a 2 b 2 2ab (a b) 2
当a b时，(a b)2 0
当a
b时，(a b) 2
0
a 2 b 2 2ab
1．指出定理适用范围： 2．强调取“=”的条件：
a,b R ab
2．语言表述：两个非负数的算术平均数不小
于它们的几何平均数.
3.我们把不等式
ab 2
ab (a≥0,b≥0)
称为基本不等式
把
ab 2
看做两个正数a，b
的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
还有没有其它的证明方法证明上面的基本不等式呢?
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该定理是否还有另外的表述？
如果把 a+2b看作是正数a、b的等差中项， √ab 看作是正数a、b的等比中项，那么该定 理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于 它们的等比中项。
现给出这一定理的一种几何解释（演示）
定理有何特征？ 一边是和，一边是积。
现在有谁能快速地求出函数y=x2+
1 x2
的最小值。
问题：将一张正方形的纸片，裁剪成四个 全等的三角形纸片，要求以正方形的边作为直 三角形的斜边，如何剪？
图
b a
c
图①
a b
c
图②
从上面实例可知，若a＞0，b＞0则a2+b2≥2ab （当a=b时取等号），那么a2+b2≥2ab是否对于a、 b∈R都成立呢？
由于不等式复杂多样，仅有实数大小比较法则 是不够的，我们还需要学习一些有关不等式的 定理及证明不等式的方法
有最小值2√P 。
如果两正数的和为定值，你能获得怎样的结果呢？
（2）x，y都是正数,如果和x+y是定值S，那么当
x=y时，积xy有最大值
1 4
S2。
证明：和x+y为定值S时，有√xy ≤ S，
∴ xy≤ 1S2。
2
4
上式当x=y时取“=”号，因此x=y时，积xy有最
大值 1 S2。 4
总结：
1）两个正数，积定和小，和定积大。
作文马虎 找我谈话
严格要求 教育有方
（轻轻地）抚摸 （温和地）问 （语重心长地）说
惭愧 后悔 懊丧 从 此不敢怠慢
夜幕降临 促膝长谈
学识渊博 寄教于乐
上下五千年
纵横九万里 娓娓动听
络绎不绝 新奇愉快
熟谙癖好 给予培养
激发兴趣 因材施教
熟谙学生 奉献珍藏
迷上了画画 爱上了文艺
先生评画 终生受益
初步感知
• 这是一篇回忆性的记叙 文
研
• 事情发生的地点在寄园
读
• “情”是文章的中心内
课
深容入感知
题
关于“寄园”
为何难忘
是怎样的一种感情
我在童年和少年时代曾
在寄园求学，得到钱名 山先生的教诲，令我终 生难忘，迄今对他充满 感恩和怀念
作文马虎 找我谈话
寄 夜幕降临 促膝长谈
园 读
欣赏书画
书 先生评画
证明：由a，b，c，d都是正数，得
ab+cd 2
≥ √ab·cd＞0 ，ac+2bd≥
√ac·bd＞0
∴
(ab+cd)(ac+bd) 4
≥abcd，
即(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd
引申：若a，b，c，d都是正数 求证：(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc
（1）知识上 a＋b≥2√ab 积定和小，和定积大
式子a2+b2≥2ab表明两个实数的平方和不小于 它们的积的2倍
这就是本节要介绍的一个重要不等式，它是一 个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都 成立，由于取“=”这种情况，在以后有广泛的 应用，因此通常要指出等号“=”成立的充要条 件
式子 a2+b2≥2ab中取等号的充要条件是什么呢？
充要条件通常用“当且仅当”来表示，“当” 表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要 的，所以a2+b2≥2ab可以表述为：
如果a、b∈R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当 a=b时取“=”号）
例1：已知a＞0，b＞0 求证：a+b≥2√ab 这里要注意代换法的应用
(当且定仅理当：a=如b时果取a、“b=是”号正)数。，那么a+2b≥√ab
称 a+2b为a、b的算术平均数，称 √ab为a、 b的几何平均数
这一定理又可叙述为：两个正数的算术平 均数不小于它们的几何平均数。
敬师之情 • 初步学习细致观察的作用
以及实际应用
拓展阅读 《父亲的爱》
• 概括说明本文写了有 关爹的哪几件事
• 通过这些具体的事例， 说明父亲的爱具有怎 样的特点
2）运用定理时，可以进行灵活变形，如
判断下列命题的真假
（1）若a，b∈R 则 b + a ≥2√
ab
（2）若ab＞0
则b a
+
a b
≥2
b· a=2
ab
（3）若x＞0 则x+ 1 ≥2√x · 1=2
x
x
（4）若x＞0 则sinx+ 1 ≥2√sinx · 1=2
sinx
sinx
例3： 已知a，b，c，d都是正数 求证：（ab+cd）(ac+bd)≥4abcd。
看 沉思 寥寥数语 一针见血
茅塞顿开 精益求精
见识独到 修养深厚
炫耀诗才 先生批评
劝戒警勉 育我成人
淡淡地笑道 警勉而略带揶揄
惶恐不安 发人深省 鞭策至今
五件小事是从课内写到课外， 表现钱先生在课内对学生— ———，在课外对学生—— ——。
教学目标
• 了解回忆性文章的特点 • 体会先生爱生之心、作者
由此例我们能发现什么？具体的说，要求 两个正数和的最小值，只要什么是定值呢？
例2（1）已知x，y都是正数，求证：如果积xy是 定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2√p 。
证明：因为x，y都是正数，所以 x+y ≥√xy ，积
x+y
2
xy为定值p时，有 2 ≥√P ， ∴x+y≥2√P .
上式当x=y时取“=”号，因此，当x=y时，和x+y
（2）方法上 换元法
a-b代a a2+b2≥2ab
a2≥0
√a—√b代a a+b≥2 √ab
（3）思想上 渗透数形结合思想
定理表现形式 a2+b2≥(a+b)2／2≥2ab
(a、b∈R)
a2+b2 2
／≥(
a+b 2
)2≥ab
(a、b∈R)
a2+b2 ≥ a+b ≥(
2
2
(a、b∈R+ )
a+ b )2 ≥ ab ≥ 2
竹 竹鸟图
山寺松泉
教学目标
• 了解回忆性叙事文的主要 特点
• 初步学会按照内容划分文 章的段落层次概括中心
• 感受作者对老师的真切感 情
检测预习
• 呵斥 敷衍 懊丧 蕴寓 癖好 临摹 寥寥 揶揄 悚然 悼念 伫立 鞭策
• 灵柩 疾言厉色 络绎不绝 语重心长
• 娓娓动听 茅塞顿开 • 促膝长谈 一瓣心香
2
1 a
+
1 b
推广形式: 1.若.a、b、c∈R+则a3+b3+c3≥3abc
2.若a、b、c∈R+
则
a+b+c 3≥
3
abc
3.若a1，a2 …an∈R + 则
a1+a2+…+an ≥ n
n a1a2…an
第一课时
谢稚柳几乎是一位全
能的艺术家，他精通 书画鉴定、美术理论、 绘画、书法、诗词等 各个艺术领域。就以 绘画而论，山水、花 鸟、人物、鞍马，他 无所不能，且均有独 到的艺术成就，可谓 博大精深。
炫耀诗才 先生批评
第二课时
教学目标
• 了解回忆性文章的特点 • 初步学习细致观察的作用
以及实际应用
• 体会先生爱生之心、作者 敬师之情
回忆性叙事文的特点
• 选择典型事例 • 挖掘重点词语 • 体悟真挚情感
作文马虎 找我谈话
寄 园
夜幕降临 促膝长谈
读 熟谙癖好 给予培养
书 先生评画 终生受益
炫耀诗才 先生批评