人教版九年级数学上册21.2解一元二次方程：《因式分解法》课后作业练习

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人教版九年级数学 21.2 解一元二次方程课后训练(含答案)

人教版九年级数学 21.2 解一元二次方程课后训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 关于x 的一元二次方程x 2＋4kx －1＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断2. 方程x 2－2020x ＝0的根是( )A ．x ＝2020B ．x ＝0C ．x 1＝2020，x 2＝0D ．x ＝－20203. 用配方法解方程x 2－6x －8＝0时，配方结果正确的是( )A ．(x －3)2＝17B ．(x －3)2＝14C ．(x －6)2＝44D ．(x －3)2＝14. 若x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个根，则x 21－x 1＋x 2的值为( ) A. －1 B. 0 C. 2 D. 35. 若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋x ＋1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是( )A ．k≤54B ．k>54C ．k<54且k≠1D ．k≤54且k≠16. 若x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x －5＝0的两根，则x 1·x 2的值为( )A ．－5B ．5C ．－4D ．47. 关于x 的一元二次方程x 2＋mx －1＝0根的判别式的值为( )A ．1－m 2B ．m 2－4C ．m 2＋4D ．m 2＋18. 代数式x 2－4x －2020的最小值是( )A．－2018 B．－2020 C．－2022 D．－20249. 下列关于多项式－2x2＋8x＋5的说法正确的是()A．有最大值13 B．有最小值－3C．有最大值37 D．有最小值110. 一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5的根的情况是()A．无实数根B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3D．有两个正根，且有一根大于3二、填空题（本大题共8道小题）11. 若关于x的方程kx2－4x－4＝0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为________．12. 一元二次方程4x2＋12x＋9＝0的解为__________．13. 小明在解方程x2－2x－1＝0时出现了错误，其解答过程如下：x2－2x＝－1.(第一步)x2－2x＋1＝－1＋1.(第二步)(x－1)2＝0.(第三步)x1＝x2＝1.(第四步)(1)小明的解答过程是从第________步开始出现错误，其错误原因是________________；(2)请写出此题正确的解答过程．14. 2018·内江已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为________．15. 已知关于x的一元二次方程ax2＋2x＋2－c＝0有两个相等的实数根，则1a＋c的值为________．16. 若一元二次方程x2－2x－3599＝0的两根分别为a，b，且a＞b，则2a－b的值为________．17. 已知关于x的方程ax2－bx＋c＝0(a≠0)的一个根是12，且b2－4ac＝0，则此方程的另一个根是________．18. 已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为________．三、解答题（本大题共4道小题）19. 解一元二次方程3x2=4-2x.20. 解方程:5x(3x-12)=10(3x-12).21. 解下列方程：(1)4x2－25＝0；(2)49(x＋1)2＝64.22. 已知xy＞0，且x2－8y2＝2xy，求5x－2yx＋2y的值．人教版九年级数学21.2 解一元二次方程课后训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A[解析] 在方程x2＋4kx－1＝0中，Δ＝b2－4ac＝(4k)2－4×1×(－1)＝16k2＋4.∵16k2＋4＞0，∴方程x2＋4kx－1＝0有两个不相等的实数根．故选A.2. 【答案】C3. 【答案】A4. 【答案】D【解析】由题意可得x21－2x1－1＝0，x1＋x2＝2，即x21－2x1＝1，所以原式＝x21－2x1＋()x1＋x2＝1＋2＝3.5. 【答案】D[解析] ∵关于x的一元二次方程(k－1)x2＋x＋1＝0有两个实数根，∴Δ≥0，即12－4×(k－1)×1≥0，解得k≤5 4.又∵k－1≠0，∴k≠1，∴k的取值范围为k≤54且k≠1.故选D.6. 【答案】A7. 【答案】C8. 【答案】D[解析] x2－4x－2020＝x2－4x＋4－4－2020＝(x－2)2－2024.∵(x－2)2≥0，∴(x－2)2－2024≥－2024，即代数式x2－4x－2020的最小值是－2024.9. 【答案】A10. 【答案】D[解析] 将一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5化简为x2－4x＋2＝0.其判别式Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×2＝8＞0，∴方程的两根为x＝－（－4）±82，即x 1＝2＋2，x 2＝2－ 2.∵2＋2＞3，2－2＞0，∴该方程有两个正根，且有一根大于3.故选D.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】1 [解析] ∵关于x 的方程kx 2－4x －4＝0有两个不相等的实数根， ∴k≠0且Δ＝b 2－4ac ＞0，即⎩⎨⎧k≠0，16＋16k>0，解得k ＞－1且k≠0，∴k 的最小整数值为1.12. 【答案】x 1＝x 2＝－32 [解析] 原方程可化为(2x ＋3)2＝0，所以x 1＝x 2＝－32.13. 【答案】解：(1)一移项时没有变号(2)x 2－2x ＝1.x 2－2x ＋1＝1＋1.(x －1)2＝2.x －1＝±2.所以x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.14. 【答案】1 [解析] 设x ＋1＝t ，方程a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1＝0的两根分别是x 3，x 4，∴at 2＋bt ＋1＝0.由题意可知：t 1＝1，t 2＝2，∴t 1＋t 2＝3，∴x 3＋x 4＋2＝3，∴x 3＋x 4＝1.15. 【答案】2 [解析] 根据题意，得Δ＝4－4a(2－c)＝0，整理，得4ac －8a ＝－4，即4a(c －2)＝－4.∵方程ax 2＋2x ＋2－c ＝0是一元二次方程，∴a≠0.等式两边同时除以4a ，得c －2＝－1a ，则1a ＋c ＝2.故答案为2.16. 【答案】181 [解析] x 2－2x －3599＝0，x 2－2x ＝3599，x 2－2x ＋1＝3599＋1，(x －1)2＝3600，所以x －1＝60或x －1＝－60，所以x ＝61或x ＝－59.又因为a ＞b ，所以a ＝61，b ＝－59，所以2a －b ＝2×61－(－59)＝181.17. 【答案】12[解析] 由b 2－4ac ＝0知原方程根的判别式为0，因此原方程有两个相等的实数根．故原方程的另一个根也是12.18. 【答案】1 [解析] 设方程a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝0的两根为x 3，x 4，则x 3＋1＝x 1，x 4＋1＝x 2，∴x 3＝0，x 4＝1，∴x 3＋x 4＝1.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解:3x 2=4-2x ，即3x 2+2x -4=0，Δ=b 2-4ac=4-4×3×(-4)=52>0，∴x=， ∴x 1=，x 2=.20. 【答案】解:由5x (3x -12)=10(3x -12)，得5x (3x -12)-10(3x -12)=0，∴(3x -12)(5x -10)=0，∴5x -10=0或3x -12=0，解得x 1=2，x 2=4.21. 【答案】解：(1)移项，得4x 2＝25.系数化为1，得x 2＝254.所以x 1＝52，x 2＝－52.(2)系数化为1，得(x ＋1)2＝6449. 开方，得x ＋1＝±87.所以x 1＝17，x 2＝－157.22. 【答案】解：由已知，得x 2－2xy －8y 2＝0. 左边分解因式，得(x －4y)(x ＋2y)＝0. ∵xy ＞0，∴x ，y 同号，可见x ＋2y≠0. ∴x －4y ＝0，即x ＝4y.∴原式＝5×4y －2y 4y ＋2y＝18y 6y ＝3.。

人教版九年级数学上册《21.2 公式法、因式分解法》训练题-附带答案

人教版九年级数学上册《21.2 公式法、因式分解法》训练题-附带答案一元二次方程的求根公式一元二次方程当时.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．①当时原方程有两个不等的实数根；②当时原方程有两个相等的实数根；③当时原方程没有实数根.题型1：利用△判断根的情况1.一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【答案】C【解析】【解答】解：∵a=1 b=-4 c=5∴∆=b2-4ac=（-4）2-4×1×5=-4＜0∴方程没有实数根.故答案为：C.【分析】根据一元二次方程根的判别式进行解答即可.【解析】【解答】解：原方程中a=−3b=−4c=1∴Δ=b2−4ac=(−4)2−4×(−3)×1=28故答案为：28．【分析】利用根的判别式求解即可。

【变式1-2】下列方程没有实数根的是（）A．x2﹣1＝0B．x2﹣x﹣3＝0C．x2﹣4x＋4＝0D．x2﹣x＋2＝0【答案】D【解析】【解答】解：A.∵Δ=02-4×1×（-1）=0+4=4＞0 ∴方程有两个不相等实数根故本选项不符合题意；B.∵Δ=（-1）2-4×1×（-3）=1+12=13＞0 ∴方程有两个相等的实数根故本选项不符合题意；C.∵Δ=（-4）2-4×1×4=0 ∴方程有两个相等的实数根故本选项符合题意；D.∵Δ=（-1）2-4×1×2=1-8=-7<0 ∴方程没有实数根故本选项符合题意．故答案为：D．【分析】利用根的判别式进行判断即可得到结论。

【变式1-3】判断关于x的方程(x−3)(x−2)=p2根的情况并说明理由.【答案】解：方程有两个不相等的实数根.理由如下：方程整理为一般式得x2−5x+6−p2=0∵Δ=b2−4ac=25−4(6−p2)=25−24+4p2=4p2+1而4p2≥0∴1+4p2＞0 即Δ＞0∴方程有两个不相等的实数根.【解析】【分析】先将方程化为一般形式再求出判别式△的值根据一元二次方程“ax2+bx+c=0(a、b、c是常数且a≠0）”中△＞0时方程有两个不相等的实数根△=0时方程有两个相等的实数根△＜0时方程没有实数根据此判断即可.题型2：利用根的情况确定字母取值范围2.若关于x的一元二次方程x2−2x−k=0有两个不相等的实数根则k的取值范围是（）A．k≤1B．k<1C．k≥−1D．k>−1【解析】【分析】因为方程有两个不相等的实数根所以△=b-4ac>0 把a、b、c代入求出k的值。

（人教版）数学九年级上册21.2解一元二次方程同步习题（有答案）

（⼈教版）数学九年级上册21.2解⼀元⼆次⽅程同步习题（有答案）21．2解⼀元⼆次⽅程21．2.1配⽅法第1课时直接开平⽅法1．若x2＝a(a≥0)，则x就叫做a的平⽅根，记为x＝≥0)，由平⽅根的意义降次来解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫做直接开平⽅法．2．直接开平⽅，把⼀元⼆次⽅程“降次”转化为__两个⼀元⼀次⽅程___．3．如果⽅程能化为x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么x＝或mx＋n＝．知识点1：可化为x2＝p(p≥0)型⽅程的解法1．⽅程x2－16＝0的根为( C)A．x＝4B．x＝16C．x＝±4 D．x＝±82．⽅程x2＋m＝0有实数根的条件是( D)A．m＞0 B．m≥0C．m＜0 D．m≤03．⽅程5y2－3＝y2＋3的实数根的个数是( C)A．0个B．1个C．2个D．3个4．若4x2－8＝0成⽴，则x的值是．5．解下列⽅程：(1)3x2＝27；解：x1＝3，x2＝－3(2)2x2＋4＝12；解：x1＝2，x2＝－2(3)5x2＋8＝3.解：没有实数根知识点2：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的解法6．⼀元⼆次⽅程(x＋6)2＝16可转化为两个⼀元⼀次⽅程，其中⼀个⼀元⼀次⽅程是x ＋6＝4，则另⼀个⼀元⼀次⽅程是( D)A．x－6＝－4 B．x－6＝4C．x＋6＝4 D．x＋6＝－47．若关于x的⽅程(x＋1)2＝1－k没有实数根，则k的取值范围是( D)A．k＜1 B．k＜－1C．k≥1 D．k＞18．⼀元⼆次⽅程(x－3)2＝8的解为．9．解下列⽅程：(1)(x－3)2－9＝0；解：x1＝6，x2＝0(2)2(x－2)2－6＝0；解：x1＝2＋3，x2＝2－ 3(3)x2－2x＋1＝2.解：x1＝1＋2，x2＝1－ 210．(2014·⽩银)⼀元⼆次⽅程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的⼀个根为0，则a ＝__1___．11．若x 2－4x ＋2的值为0，则x ＝__2___．12．由x 2＝y 2得x ＝±y ，利⽤它解⽅程(3x －4)2＝(4x －3)2，其根为__x ＝±1___．13．在实数范围内定义⼀种运算“*”，其规则为a*b ＝a 2－b 2，根据这个规则，⽅程(x ＋2)*5＝0的根为__x 1＝3，x 2＝－7___．14．( C ) A ．x 2－3＝0 B ．(x －1)2－4＝0C ．x 2＋2x ＝0D ．(x －1)2＝(2x ＋1)2 15．(2014·枣庄)x 1，x 2是⼀元⼆次⽅程3(x －1)2＝15的两个解，且x 1＜x 2，下列说法正确的是( A )A ．x 1⼩于－1，x 2⼤于3B ．x 1⼩于－2，x 2⼤于3C ．x 1，x 2在－1和3之间D ．x 1，x 2都⼩于316．若(x 2＋y 2－3)2＝16，则x 2＋y 2的值为( A ) A ．7 B ．7或－1 C ．－1 D ．19 17．解下列⽅程： (1)3(2x ＋1)2－27＝0；解：x 1＝1，x 2＝－2(2)(x －2)(x ＋2)＝10；解：x 1＝23，x 2＝－2 3(3)x 2－4x ＋4＝(3－2x)2；解：x 1＝1，x 2＝5(4)4(2x －1)2＝9(2x ＋1)2.解：x 1＝－52，x 2＝－11018．若2(x 2＋3)的值与3(1－x 2)的值互为相反数，求x ＋3x2的值．解：由题意得2(x 2＋3)＋3(1－x 2)＝0，∴x ＝±3.当x ＝3时，x ＋3x 2＝23；当x ＝－3时，x ＋3x2＝019．如图，在长和宽分别是a，b的矩形纸⽚的四个⾓都剪去⼀个边长为x的正⽅形．(1)⽤a，b，x表⽰纸⽚剩余部分的⾯积；(2)当a＝6，b＝4，且剪去部分的⾯积等于剩余部分的⾯积时，求正⽅形的边长．解：(1)ab－4x2(2)依题意有ab－4x2＝4x2，将a＝6，b＝4代⼊，得x2＝3，解得x1＝3，x2＝－3(舍去)，即正⽅形的边长为3第2课时配⽅法1．通过配成__完全平⽅形式___来解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫做配⽅法．2．配⽅法的⼀般步骤：(1)化⼆次项系数为1，并将含有未知数的项放在⽅程的左边，常数项放在⽅程的右边；(2)配⽅：⽅程两边同时加上__⼀次项系数的⼀半的平⽅___，使左边配成⼀个完全平⽅式，写成__(mx＋n)2＝p___的形式；(3)若p__≥___0，则可直接开平⽅求出⽅程的解；若p__＜___0，则⽅程⽆解．知识点1：配⽅1．下列⼆次三项式是完全平⽅式的是( B)A．x2－8x－16B．x2＋8x＋16C．x2－4x－16 D．x2＋4x＋162．若x2－6x＋m2是⼀个完全平⽅式，则m的值是( C)A．3 B．－3C．±3 D．以上都不对3．⽤适当的数填空：x2－4x＋__4___＝(x－__2___)2；m2__±3___m＋94＝(m__±2___)2.知识点2：⽤配⽅法解x2＋px＋q＝0型的⽅程4．⽤配⽅法解⼀元⼆次⽅程x2－4x＝5时，此⽅程可变形为( D) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝95．下列配⽅有错误的是( D)A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5D．x2－2x－124＝0化为(x－1)2＝1246．(2014·宁夏)⼀元⼆次⽅程x2－2x－1＝0的解是( C)A．x1＝x2＝1B．x1＝1＋2，x2＝－1－ 2C．x1＝1＋2，x2＝1－ 2D．x1＝－1＋2，x2＝－1－ 27．解下列⽅程：(1)x2－4x＋2＝0；解：x1＝2＋2，x2＝2－ 2(2)x2＋6x－5＝0.解：x1＝－3＋14，x2＝－3－14知识点3：⽤配⽅法解ax2＋bx＋c＝0(a≠0)型的⽅程8．解⽅程3x 2－9x ＋1＝0，两边都除以3得__x 2－3x ＋13＝0___，配⽅后得__(x －32)2＝2312___．9．⽅程3x 2－4x －2＝0配⽅后正确的是( D ) A ．(3x －2)2＝6 B ．3(x －2)2＝7C ．3(x －6)2＝7D ．3(x －23)2＝10310．解下列⽅程： (1)3x 2－5x ＝－2；解：x 1＝23，x 2＝1(2)2x 2＋3x ＝－1.解：x 1＝－1，x 2＝－1211．对于任意实数x ，多项式x 2－4x ＋5的值⼀定是( B ) A ．⾮负数 B ．正数 C ．负数 D ．⽆法确定12．⽅程3x 2＋2x ＝6，左边配⽅得到的⽅程是( B )A ．(x ＋26)2＝－3718B ．(x ＋26)2＝3718C ．(x ＋26)2＝3518D ．(x ＋26)2＝611813．已知⽅程x 2－6x ＋q ＝0可以配⽅成(x －p)2＝7的形式，那么x 2－6x ＋q ＝2可以配⽅成下列的( B )A ．(x －p)2＝5B ．(x －p)2＝9C ．(x －p ＋2)2＝9D ．(x －p ＋2)2＝514．已知三⾓形⼀边长为12，另两边长是⽅程x 2－18x ＋65＝0的两个实数根，那么其另两边长分别为__5和13___，这个三⾓形的⾯积为__30___．15．当x ＝__2___时，式⼦200－(x －2)2有最⼤值，最⼤值为__200___；当y ＝__－1___时，式⼦y 2＋2y ＋5有最__⼩___值为__4___．16．⽤配⽅法解⽅程： (1)23x 2＝2－13x ；解：x 1＝32，x 2＝－2(2)3y 2＋1＝23y.解：y 1＝y 2＝3317．把⽅程x 2－3x ＋p ＝0配⽅得到(x ＋m)2＝12，求常数m 与p 的值．解：m ＝－32，p ＝7418．试证明关于x 的⽅程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0，⽆论a 为何值，该⽅程都是⼀元⼆次⽅程．解：∵a 2－8a ＋20＝(a －4)2＋4≠0，∴⽆论a 取何值，该⽅程都是⼀元⼆次⽅程19．选取⼆次三项式ax 2＋bx ＋c(a ≠0)中的两项，配成完全平⽅式的过程叫做配⽅．例如：①选取⼆次项和⼀次项配⽅：x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2；②选取⼆次项和常数项配⽅：x 2－4x ＋2＝(x －2)2＋(22－4)x ，或x 2－4x ＋2＝(x ＋2)2－(4＋22)x ；③选取⼀次项和常数项配⽅：x 2－4x ＋2＝(2x －2)2－x 2.根据上述材料，解决下列问题：(1)写出x 2－8x ＋4的两种不同形式的配⽅； (2)已知x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，求x y 的值．解：(1)x 2－8x ＋4＝x 2－8x ＋16－16＋4＝(x －4)2－12；x 2－8x ＋4＝(x －2)2＋4x －8x ＝(x－2)2－4x (2)x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，(x 2＋xy ＋14y 2)＋(34y 2－3y ＋3)＝0，(x ＋12y)2＋34(y －2)2＝0，⼜∵(x ＋12y)2≥0，34(y －2)2≥0，∴x ＋12y ＝0，y －2＝0，∴x ＝－1，y ＝2，则x y ＝(－1)2＝121．2.2 公式法1．⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当__b 2－4ac ≥0___时，x ＝－b±b 2－4ac2a，这个式⼦叫做⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0的__求根公式___．2．式⼦__b 2－4ac___叫做⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0根的判别式，常⽤Δ表⽰，Δ＞0?ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有__有两个不等的实数根___；Δ＝0?ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有__两个相等的实数根___；Δ＜0?ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__没有实数根___．知识点1：根的判别式1．下列关于x 的⽅程有实数根的是( C )A ．x 2－x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝0D ．(x －1)2＋1＝0 2．(2014·兰州)⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，下列选项中正确的是( B )A ．b 2－4ac ＝0B ．b 2－4ac ＞0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac ≥03．⼀元⼆次⽅程x 2－4x ＋5＝0的根的情况是( D ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有⼀个实数根D ．没有实数根4．利⽤判别式判断下列⽅程的根的情况： (1)9x 2－6x ＋1＝0；解：∵a ＝9，b ＝－6，c ＝1，∴Δ＝(－6)2－4×9×1＝0，∴此⽅程有两个相等的实数根(2)8x 2＋4x ＝－3；解：化为⼀般形式为8x 2＋4x ＋3＝0，∵a ＝8，b ＝4，c ＝3，∴Δ＝42－4×8×3＝－80＜0，∴此⽅程没有实数根(3)2(x 2－1)＋5x ＝0.解：化为⼀般形式为2x 2＋5x －2＝0，∵a ＝2，b ＝5，c ＝－2，∴Δ＝52－4×2×(－2)＝41＞0，∴此⽅程有两个不相等的实数根知识点2：⽤公式法解⼀元⼆次⽅程5．⽅程5x ＝2x 2－3中，a ＝__2___，b ＝__－5___，c ＝__－3___，b 2－4ac ＝__49___．6．⼀元⼆次⽅程x 2－x －6＝0中，b 2－4ac ＝__25___，可得x 1＝__3___，x 2＝__－2___．7．⽅程x 2－x －1＝0的⼀个根是( B )A ．1－ 5B .1－52C ．－1＋ 5D .－1＋528．⽤公式法解下列⽅程： (1)x 2－3x －2＝0；解：x 1＝3＋172，x 2＝3－172(2)8x 2－8x ＋1＝0；解：x 1＝2＋24，x 2＝2－24(3)2x 2－2x ＝5.解：x 1＝1＋112，x 2＝1－1129．(2014·⼴东)关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( B )A ．m ＞94B ．m ＜94C ．m ＝94D ．m ＜－9410．若关于x 的⼀元⼆次⽅程kx 2－2x －1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是( C ) A ．k ＞－1 B ．k ＜1且k ≠0C ．k ≥－1且k ≠0D ．k ＞－1且k ≠011．已知关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2＋bx ＋b －1＝0有两个相等的实数根，则b 的值是__2___．12．关于x 的⽅程(a ＋1)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满⾜的条件是__a ≥－5___． 13．⽤公式法解下列⽅程： (1)x(2x －4)＝5－8x ；解：x 1＝－2＋142，x 2＝－2－142(2)(3y －1)(y ＋2)＝11y －4.解：y 1＝3＋33，y 2＝3－3314．当x 满⾜条件x ＋1＜3x －3，12（x －4）＜13（x －4）时，求出⽅程x 2－2x －4＝0的根．解：解不等式组得215．(2014·梅州)已知关于x 的⽅程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)若该⽅程的⼀个根为1，求a 的值及该⽅程的另⼀根；(2)求证：不论a 取何实数，该⽅程都有两个不相等的实数根．解：(1)a ＝12，另⼀个根为x ＝－32(2)∵Δ＝a 2－4(a －2)＝(a －2)2＋4＞0，∴⽆论a 取何实数，该⽅程都有两个不相等的实数根16．关于x 的⼀元⼆次⽅程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实数根． (1)求a 的最⼤整数值；(2)当a 取最⼤整数值时，求出该⽅程的根．解：(1)∵关于x 的⼀元⼆次⽅程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实根，∴a －6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a－6)×9≥0，解得a≤709且a≠6，∴a的最⼤整数值为7(2)当a＝7时，原⼀元⼆次⽅程变为x2－8x＋9＝0.∵a＝1，b＝－8，c＝9，∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28，∴x＝－（－8）±282＝4±7，即x1＝4＋7，x2＝4－717．(2014·株洲)已知关于x的⼀元⼆次⽅程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是⽅程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果⽅程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三⾓形，试求这个⼀元⼆次⽅程的根．解：(1)△ABC是等腰三⾓形．理由：∵x＝－1是⽅程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a －c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三⾓形(2)∵⽅程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直⾓三⾓形(3)当a＝b＝c时，可整理为2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－121．2.3 因式分解法1．当⼀元⼆次⽅程的⼀边为0，另⼀边可以分解成两个⼀次因式的乘积时，通常将⼀元⼆次⽅程化为__两个⼀次因式___的乘积等于0的形式，再使这两个⼀次式分别等于0，从⽽实现降次，这种解法叫做__因式分解___法．2．解⼀元⼆次⽅程，⾸先看能否⽤__直接开平⽅法___；再看能否⽤__因式分解法___；否则就⽤__公式法___；若⼆次项系数为1，⼀次项系数为偶数可先⽤__配⽅法___．知识点1：⽤因式分解法解⼀元⼆次⽅程 1．⽅程(x ＋2)(x －3)＝0的解是( C ) A ．x ＝2 B ．x ＝－3 C ．x 1＝－2，x 2＝3 D ．x 1＝2，x 2＝－32．⼀元⼆次⽅程x(x －5)＝5－x 的根是( D ) A ．－1 B ．5C ．1和5D ．－1和5 3．(2014·永州)⽅程x 2－2x ＝0的解为__x 1＝0，x 2＝2___． 4．⽅程x 2－2x ＋1＝0的根是__x 1＝x 2＝1___5．⽤因式分解法解下列⽅程： (1)x 2－4＝0；解：x 1＝2，x 2＝－2(2)x 2－23x ＝0；解：x 1＝0，x 2＝2 3(3)(3－x)2－9＝0；解：x 1＝0，x 2＝6(4)x 2－4x ＋4＝(3－2x)2.解：x 1＝1，x 2＝53知识点2：⽤适当的⽅法解⼀元⼆次⽅程6．解⽅程(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6＝0时，我们可以将x ＋1看成⼀个整体，设x ＋1＝y ，则原⽅程可化为y 2－5y ＋6＝0，解得y 1＝2，y 2＝3.当y ＝2时，即x ＋1＝2，解得x ＝1；当y ＝3时，即x ＋1＝3，解得x ＝2，所以原⽅程的解为x 1＝1，x 2＝2.利⽤这种⽅法求⽅程(2x －1)2－4(2x －1)＋3＝0的解为( C )A ．x 1＝1，x 2＝3B ．x 1＝－1，x 2＝－3C ．x 1＝1，x 2＝2D ．x 1＝0，x 2＝－1 7．⽤适当的⽅法解⽅程： (1)2(x －1)2＝12.5；解：⽤直接开平⽅法解，x 1＝3.5，x 2＝－1.5(2)x 2＋2x －168＝0；解：⽤配⽅法解，x 1＝12，x 2＝－14(3)2x 2＝2x ；解：⽤因式分解法解，x 1＝0，x 2＝ 2(4)4x 2－3x －2＝0.解：⽤公式法解，x 1＝3＋418，x 2＝3－4188．⽅程x(x －1)＝－x ＋1的解为( D ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1C ．x 1＝0，x 2＝－1D ．x 1＝1，x 2＝－19．⽤因式分解法解⽅程，下列⽅法中正确的是( A ) A ．(2x ＋2)(3x ＋4)＝0化为2x ＋2＝0或3x ＋4＝0 B ．(x －3)(x ＋1)＝1化为x －3＝1或x ＋1＝1 C ．(x －2)(x －3)＝2×3化为x －2＝2或x －3＝3 D ．x(x －2)＝0化为x －2＝010．⼀个三⾓形的两边长分别为3和6，第三边的边长是⽅程(x －2)(x －4)＝0的根，则这个三⾓形的周长是( C )A ．11B ．11或13C ．13D ．以上都不对11．(2014·陕西)若x ＝－2是关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2－52ax ＋a 2＝0的⼀个根，则a 的值是( B )A ．1或4B ．－1或－4C ．－1或4D ．1或－4 12．已知x ＝1是关于x 的⽅程(1－k)x 2＋k 2x －1＝0的根，则常数k 的值为__0或1___．13．已知(x 2＋2x －3)0＝x 2－3x ＋3，则x ＝__2___． 14．⽤因式分解法解下列⽅程： (1)x 2－3x ＝x －4；解：x 1＝x 2＝2(2)(x －3)2＝3(x －3)．解：x 1＝3，x 2＝615．⽤适当的⽅法解下列⽅程： (1)4(x －1)2＝2；解：x 1＝2＋22，x 2＝－2＋22(2)x 2－6x ＋4＝0；解：x 1＝3＋5，x 2＝3－ 5(3)x 2－4＝3x －6；解：x 1＝1，x 2＝2(4)(x ＋5)2＋x 2＝25. 解：x 1＝－5，x 2＝016．⼀跳⽔运动员从10 m ⾼台上跳下，他离⽔⾯的⾼度h(单位：m )与所⽤时间t(单位：s)的关系是h＝－5(t－2)(t＋1)，那么运动员从起跳到⼊⽔所⽤的时间是多少？解：依题意，得－5(t－2)(t＋1)＝0，解得t1＝－1(不合题意，舍去)，t2＝2，故运动员从起跳到⼊⽔所⽤的时间为2 s17．先阅读下列材料，然后解决后⾯的问题：材料：因为⼆次三项式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)，所以⽅程x2＋(a＋b)x＋ab＝0可以这样解：∵(x＋a)(x＋b)＝0，∴x＋a＝0或x＋b＝0，∴x1＝－a，x2＝－b.问题：(1)⽤因式分解法解⽅程x2－kx－16＝0时，得到的两根均为整数，则k的值可以为__－15，－6，0，6，15___；(2)已知实数x满⾜(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1的值为__7___．专题训练(⼀) ⼀元⼆次⽅程的解法及配⽅法的应⽤⼀、⼀元⼆次⽅程的解法 1．⽤直接开平⽅法解⽅程： (1)(4x －1)2＝225；解：x 1＝4，x 2＝－72(2)13(x －2)2＝8；解：x 1＝2＋26，x 2＝2－2 6(3)9x 2－6x ＋1＝9；解：x 1＝43，x 2＝－23(4)3(2x ＋1)2－2＝0.解：x 1＝－12＋66，x 2＝－12－662．⽤配⽅法解⽅程： (1)2t 2－3t ＝－1；解：t 1＝12，t 2＝1(2)2x 2＋5x －1＝0；解：x 1＝－5＋334，x 2＝－5－334(3)(2x －1)(3x －1)＝3－6x ；解：x 1＝12，x 2＝－23(4)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7. 解：x 1＝4，x 2＝23．⽤公式法解⽅程： (1)x 2＝6x ＋1;解：x 1＝3＋10，x 2＝3－10(2)0.2x 2－0.1＝0.4x ；解：x 1＝2＋62，x 2＝2－62(3)2x －2＝2x 2.解：原⽅程⽆实数根4．⽤因式分解法解⽅程： (1)(x －1)2－2(x －1)＝0；解：x 1＝3，x 2＝1(2)5x(x －3)＝(x －3)(x ＋1)；解：x 1＝3，x 2＝14(3)(x ＋2)2－10(x ＋2)＋25＝0. 解：x 1＝x 2＝35．⽤适当的⽅法解⽅程： (1)2(x －3)2＝x 2－9；解：x 1＝3，x 2＝9(2)(2x ＋1)(4x －2)＝(2x －1)2＋2；解：x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62(3)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝8. 解：x 1＝1，x 2＝－3⼆、配⽅法的应⽤ (⼀)最⼤(⼩)值6．利⽤配⽅法证明：⽆论x 取何实数值，代数式－x 2－x －1的值总是负数，并求出它的最⼤值．解：－x 2－x －1＝－(x ＋12)2－34，∵－(x ＋12)2≤0，∴－(x ＋12)2－34＜0，故结论成⽴．当x ＝－12时，－x 2－x －1有最⼤值－347．对关于x的⼆次三项式x2＋4x＋9进⾏配⽅得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.(1)求m，n的值；(2)求x为何值时，x2＋4x＋9有最⼩值，并求出最⼩值为多少？解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，∴2m＝4，m2＋n＝9，∴m＝2，n＝5(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有最⼩值是5(⼆)⾮负数的和为08．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值．解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝129．若a，b，c是△ABC的三边长且满⾜a2－6a＋b2－8b＋c－5＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．解：等式变形为a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c－5＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋c－5＝0，由⾮负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0，c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直⾓三⾓形。

人教版数学九年级上册解一元二次方程因式分解法同步练习题含答案与解析

21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法一、单项选择题1. 一元二次方程x 2－x ＋＝0的根是( ) A ．， B ．x 1＝2，x 2＝－2 C ．x 1＝x 2＝ D ．x 1＝x 2＝2. 方程3x 2=0与方程3x 2=3x 的解（）A ．都是x=0B ．有一个相同的解x=0C ．都不相同D ．无法确定3．解方程(x ＋5)2－3(x ＋5)＝0，较为简便的方法是( )A ．直接开平方法B ．因式分解法C ．配方法D ．公式法4．方程x(x －4)＝32－8x 的解是( )A ．x ＝－8B ．x 1＝4，x 2＝－8C ．x 1＝－4，x 2＝8D ．x 1＝2，x 2＝－85. 一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程（x-3）（x-4）=0的根，则这个三角形的周长（）A ．13B ．11或13C ．11D ．11和136、要使4452-+-x x x 的值为0，x 的值为（）A ．4或1B ．4C ．1D ．-4或-114112x =21=2x -12-127、已知x2-5xy+6y2=0，那么x与y的关系是（）A．2x=y或3x=y B．2x=y或3y=xC．x=2y或x=3y D．x=2y或y=3x8、已知（a2+b2）2-2（a2+b2）+1=0，则a2+b2的值为（）A．0 B．-1 C．1 D．±1二、填空题9．方程(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)的根是__________．10．如果代数式3x2－6的值为21，那么x的值为__________．11．已知x＝2是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值是______．12. 一元二次方程x(x－1)＝0的解是__________．13. 一元二次方程x2-3x=0的根是__________．14. 方程（x+1）（3x-2）=0的根是15. 请写出一个根为x=1，另一个根满足-1＜x＜1的一元二次方程：16. 已知一元二次方程（m-1）x2+7mx+m2+3m-4=0有一根为0，则m=y=17. 若2x2+9xy-5y2=0，则x三、解答题18. 用因式分解法解下列一元二次方程：(1)(x－1)(x＋3)＝－3；(2)(3x－1)2＝4(2x＋3)2.19. 如果方程x2＋mx－2m＝0的一个根为－1，求方程x2－6mx ＝0的根.20. 用因式分解法解方程x2－mx－7＝0时，将左边分解后有一个因式为x＋1，求m的值.21. 若m是关于x的方程x2+nx+m=0的根，切m≠0，则m+n的值是多少？22. 有一大一小两个正方形，小正方形的边长比大正方形边长的一半多4cm，大正方形的面积比小正方形面积的2倍少32cm2，求这两个正方形的边长．23. 阅读材料：为解方程（x 2-1）2-5（x 2-1）+4=0，我们可以将x 2-1看作一个整体，然后设x 2-1=y ①，那么原方程可化为y 2-5y+4=0，解得y 1=1，y 2=4，当y=1时，x 2-1=1，∴x 2=2，∴x=±2；当y=4时，x 2-1=4，∴x 2=5，∴x=±5，故原方程的解为x 1=2，x 2= -2，x 3=5，x 4= -5解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想。

九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法作业_1

(4)用因式分解法解方程x2－kx－16＝0时，得到(dédào)的两根均为整数，则k的值可以为______－_1_5_，__－__6_，__0__，__6_，__1_5____； (5)如果x2－x－1＝(x＋1)0，那么x的值为___． 2
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内容总结 (nèiróng)
No 第二十一章一元二次方程(fāngchéng)。解：x1＝0，x2＝3。解：x1＝x2＝－2。解：x1＝－5，x2＝1。7．请
选择你认为适当的方法解下列方程(fāngchéng)．。10．若一元二次方程(fāngchéng)式x2－8x－3×11＝0的两根为a， b，。x2－4x－5＝0。解：x1＝0，x2＝4。∴x1＝－a，x2＝－b.。(4)用因式分解法解方程(fāngchéng)x2－kx－16＝0 时，得到的两根均为整数，。2
问题：
(1)方程x2－3x＋2＝0的两个根是( ) C A．x1＝－1，x2＝1 B．x1＝x2＝－1 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝x2＝2
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(2)(2019·通辽)一个菱形的边长是方程(fāngchéng)x2－8x＋15＝0的一个根，
其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为( )
解：直接开平方法，x1＝1＋ 3 ，x2＝1－ 3 解：公式法，x1＝－12 ，x2＝1
(2)x2＝2x＋4；
(4)3(2x－5)＝2x(2x－5).
解：配方法，x1＝1＋ 5 ，x2＝1－ 5
解：因式分解法，x1＝52，共十九页。
8．方程(fāngchéng)3x(x＋1)＝3x＋3的解为(D ) A．x＝1 B．x＝－1 C．x1＝0，x2＝－1 D．x1＝1，x2＝－1
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人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》同步练习题(附带答案)

人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》同步练习题(附带答案)姓名班级学号成绩一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．方程的实数根的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．无法确定2．以3，4为两实数根的一元二次方程为（）A．B．C．D．3．用配方法解方程，下列配方正确的是（）A．B．C．D．4．若是方程的一个根，则此方程的另一个根是（）A．B．C．D．5．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．且D．且6．若是一元二次方程的两根，则的值是（）A．B．1 C．5 D．7．亮亮在解一元二次方程＋▢＝0时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（）A．7 B．12 C．16 D．188．已知是关于x的方程的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当时，一定有；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（）A．①②B．②③C．①③D．③④二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．方程x2-4x=5的根是.10．关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．11．一元二次方程的两根为和，则的值为.12．已知一元二次方程▢＋2＝0，在▢中添加一个合适的数字，使该方程没有实数根，则添加的数字可以是.13．已知关于x的一元二次方程，当的斜边长a为，且两条直角边的长b、c恰好是这个方程的两个根，的周长为．三、解答题：（本题共5题，共45分）14．（1）（2）15．（1）；（2） .16．当x满足条件时，求出方程x2﹣2x﹣4=0的根．17．已知有关于x的一元二次方程．（1）求k的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况；（2）若方程有一个根为-2，求k的值及方程的另一个根；（3）若方程的一个根是另一个根3倍，求k的值．18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根. （1）求m的取值范围；（2）若两实数根分别为和，且，求m的值.参考答案：1．B 2．B 3．B 4．A 5．D 6．B 7．C 8．C 9．5或-110．m＞-111．912．大于就行13．14．（1）解：．（2）解：或．15．（1）解：因式分解，得于是得或解得：；（2）解：∵∴∴∴解得： .16．解：由求得，则2＜x＜4．解方程x2﹣2x﹣4=0可得x1=1+ ，x2=1﹣，∵2＜＜3，∴3＜1+ ＜4，符合题意∴x=1+ ．17．（1）解：∵关于x的一元二次方程∴∴；而∴原方程方程有两个实数根（2）解：∵方程有一个根为∴解得：∴方程为：∴∴解得：∴方程的另一个解为1．（3）解：∵∴∴解得：∵方程的一个根是另一个根3倍当时，解得：，经检验符合题意；当时，解得：，经检验符合题意；综上：或．18．（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根∴Δ＞0，即，解得；∴m的取值范围为.（2）解：∵方程的两个实数根分别为x1和x2∴x1＋x2＝，x1x2＝∴∵∴解得m＝1或-3∵∴。

2022年人教版九年级数学上册第二十一章练习题及答案因式分解法

21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法1.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+（k²﹣2）x+2k+4=0的一个根,则k的值为．2. 解方程:2（x﹣3）=3x（x﹣3）．3.解下列方程:（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12.4.小华在解一元二次方程 x2－x＝0 时,只得出一个根 x＝1,则被漏掉的一个根是（）A．x＝4 B．x＝3C．x＝2 D．x＝05.我们已经学习了一元二次方程的四种解法:直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中任选一个,并选择你认为适当的方法解这个方程．①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.我选择______________________.6.解方程:(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0.参考答案:1.-32.解:2（x﹣3）=3x（x﹣3）,移项得 2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0, 因式分解得（x﹣3）（2﹣3x）=0, x﹣3=0或2﹣3x=0,解得:x1=3,x2=32．3.解:⑴x2+2x+2=0, (x+1)2=-1.此方程无解.⑵x2-4x-12=0,(x-2)2=16.x 1=6,x2=-2.4.D5.解:答案不唯一．若选择①,①适合公式法,x2－3x＋1＝0,∵a＝1,b＝－3,c＝1,∴b2－4ac＝9－4＝5＞0.∴x＝3±52.∴x1＝3＋52,x2＝3－52.若选择②,②适合直接开平方法,∵(x－1)2＝3,x－1＝±3,∴x1＝1＋3,x2＝1－ 3. 若选择③ ,③适合因式分解法,x2－3x＝0,因式分解,得 x(x－3)＝0.解得 x1＝0,x2＝3.若选择④,④适合配方法,x2－2x＝4,x2－2x＋1＝4＋1＝5,即(x－1)2＝5.开方,得x－1＝± 5.∴x1＝1＋5,x2＝1－ 5.5.提示:把(x2＋3)看作一个整体来提公因式,再利用平方差公式,因式分解. 解:设 x2＋3＝y,则原方程化为 y2－4y＝0.分解因式,得 y(y－4)＝0,解得 y＝0,或 y＝4.①当 y＝0 时,x2＋3＝0,原方程无解；②当 y＝4 时,x2＋3＝4,即 x2＝1.解得 x＝±1.所以原方程的解为 x1＝1,x2＝－1.。

人教版九年级上数学21.2.3一元二次方程----因式分解法练习(含答案)

一元二次方程----因式分解法知识要点：1.把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法．2.因式分解法的详细步骤：①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式、完全平方公式以及十字相乘法等；③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； ④解一元一次方程，即可得到原方程的解（1）3x 2-9x=0 （2）4x 2-3x-1=0（3）2680x x -+= （4）4(2)3(2)x x x +=+（5）x 2﹣4＝3（x ﹣2）（6）1)(3)0x x ++=（（7）()()2232x x +=+ （8）（1-3y ）2+2（3y-1）=0．（9）x 2﹣4x ﹣5＝0 （10）x 2﹣5x ＝0（11）26x x += （12）()2x x x =－（13）32())2(2x x x =-－（14）24120x x --=（15）2210x x --= （16）x 2 -5x+6=0（17）()()22y 1312y 4-=-+ （18）x 2+8x =9（19）（x-1）2=2x（1-x）（20）()() 3121 x x x-=-（21）x2﹣6x+5＝0 （22）x2﹣x＝0 （23）x2﹣2x﹣3＝0 （24）x2﹣4x-21＝0 （25）3x（x﹣1）＝2﹣2x （26）x2＝x+56答案（1）x 1=0，x 2=3；（2）x 1=1，x 2=-41 （3）X 1=2,x 2=4 （4）X=-2，34x =．（5）x 1＝2，x 2＝1（6）11x =-23x =-（7）12x =-，21x =（8）1211,33y y ==-（9）x ＝﹣1或x ＝5 （10）x 1＝0，x 2＝5．（11）123,2x x ==-（12）1203x x ==，（13）212,23x x =-=（14）x=6或-2 （15）x=21-或1. （16）x 1=2,x 2=3 （17）1x 23x =-=或（18）x 1=-9，x 2=1 （19）x 1=1，x 2=31。

人教版九年级数学上册解一元二次方程测试题

人教版九年级数学考试题测试题人教版初中数学21.2专题训练一元二次方程的解法及配方法的应用一、一元二次方程的解法1．用直接开平方法解方程：(1)(4x －1)2＝225；解：x 1＝4，x 2＝－72(2)13(x －2)2＝8；解：x 1＝2＋26，x 2＝2－2 6(3)9x 2－6x ＋1＝9；解：x 1＝43，x 2＝－23(4)3(2x ＋1)2－2＝0.解：x 1＝－12＋66，x 2＝－12－662．用配方法解方程：(1)2t 2－3t ＝－1；解：t 1＝12，t 2＝1(2)2x 2＋5x －1＝0；解：x 1＝－5＋334，x 2＝－5－334(3)(2x －1)(3x －1)＝3－6x ；解：x 1＝12，x 2＝－23(4)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7.解：x 1＝4，x 2＝23．用公式法解方程：(1)x 2＝6x ＋1;解：x 1＝3＋10，x 2＝3－10(2)0.2x 2－0.1＝0.4x ；解：x 1＝2＋62，x 2＝2－62(3)2x －2＝2x 2.解：原方程无实数根4．用因式分解法解方程：(1)(x －1)2－2(x －1)＝0；解：x 1＝3，x 2＝1(2)5x(x －3)＝(x －3)(x ＋1)；解：x 1＝3，x 2＝14(3)(x ＋2)2－10(x ＋2)＋25＝0.解：x 1＝x 2＝35．用适当的方法解方程：(1)2(x －3)2＝x 2－9；解：x 1＝3，x 2＝9(2)(2x ＋1)(4x －2)＝(2x －1)2＋2；解：x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62(3)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝8.解：x 1＝1，x 2＝－3二、配方法的应用(一)最大(小)值 6．利用配方法证明：无论x 取何实数值，代数式－x 2－x －1的值总是负数，并求出它的最大值．解：－x 2－x －1＝－(x ＋12)2－34，∵－(x ＋12)2≤0，∴－(x ＋12)2－34＜0，故结论成立．当x ＝－12时，－x 2－x －1有最大值－347．对关于x的二次三项式x2＋4x＋9进行配方得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.(1)求m，n的值；(2)求x为何值时，x2＋4x＋9有最小值，并求出最小值为多少？解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，∴2m＝4，m2＋n＝9，∴m＝2，n＝5(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有最小值是5(二)非负数的和为08．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值．解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝129．若a，b，c是△ABC的三边长且满足a2－6a＋b2－8b＋c－5＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．解：等式变形为a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c－5＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋c－5＝0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0，c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形附赠材料：以学生为第一要务目标我们教育工作的最终目标只有一个:学生。

人教版九年级数学上册 21.2 解一元二次方程专题训练题 (含解析)

解一元二次方程专题训练题一、一元二次方程的解法１．一元二次方程的解法：⑴直接开平方法：适用于解形如2()(0)x a b b +=≥的一元二次方程．⑵配方法：解形如20(0)ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①二次项系数化1．②常数项右移．③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）．④化成2()x m n +=的形式．⑤若0n ≥，选用直接开平方法得出方程的解．⑶公式法：设一元二次方程为()200ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-，12,x x 是方程的两根，则：⑴ 0∆>⇔方程()200ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b ac x -±-． ⑵ 0∆=⇔方程()200ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ⑶ 0∆<⇔方程()200ax bx c a ++=≠没有实数根．若a 、b 、c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时24b b ac --2a 的整数倍，则方程的根为整数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：①把方程化为一般形式②确定a 、b 、c 的值．③计算24b ac -的值．④若240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤若240b ac -<，则方程无解．⑷因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．2．一元二次方程解法的灵活运用直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．⑴ 因式分解法：适用于右边为0（或可化为0），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法． ⑵ 公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算24b ac -的值．⑶ 直接开平方法：用于缺少一次项以及形如2ax b =或()()20x a b b +=≥或()2ax b +=()2cx d +的方程，能利用平方根的意义得到方程的解． ⑷ 配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ≠）转化为它的简单形式2Ax B =，知识点睛这种转化方法就是配方，具体方法为：2ax bx c ++22222244424b b b b ac b a x x c a x a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=+++-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ≠）就转化为22424b ac b a x a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭的形式，即222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．一．解一元二次方程-直接开平方法（共10小题）1．解方程：2(1)4x -=．2．解方程：2(5)16x -=．3．解方程：2(61)250x --=4．解方程：23(2)480x --=．5．解方程：22(32)180x --=．6．解方程：24(21)360x --=．7．解方程：21(31)644x +=8．解方程：21(2)94x -=．9．解方程：21(23)2503x --=．10．解方程：224(3)25(2)x x +=-．二．解一元二次方程-配方法（共10小题）11．用配方法解方程：2691x x -=．12．用配方法解方程：22410x x --=13．用配方法解方程：22610x x --=14．用配方法解方程：22810x x --=15．用配方法解方程：22410x x --=．16．用配方法解方程：2120122x x +=．17．用配方法解方程：23620x x -+=．18．用配方法解方程：2334022x x --=19．用配方法解方程：212302x x -+=．20．用配方法解方程：212302x x -+=．三．解一元二次方程-公式法（共10小题）21．用公式法解方程：2530x x -+=．22．用公式法解方程：2530.21x x -+=．23．用公式法解方程：210x -+=．24．用公式法解方程：2210x x -+-=．25．用公式法解方程：23220x x --=．26．用公式法解方程：213502x x --=．27．用公式法解方程：231650x x -+=28．用公式法解方程：235(21)0x x ++=．29．用公式法解方程：231x +=．30．用公式法解方程：21202x --=．四．解一元二次方程-因式分解法（共10小题）31．解方程：2280x x --=32．解方程：23540x x --=33．解方程：25140x x +-=．34．解方程：223140x x --=35．解方程：2(21)(21)x x x -=-36．解方程：2(23)(32)x x x -=-37．解方程：2(4)4(4)x x x -=-．38．解方程：(3)5(3)0x x x ---=．39．解方程：2(1)2(1)15x x ---=．40．解方程：2(32)(32)(3)0x x x -+-+=．参考答案一．解一元二次方程-直接开平方法（共10小题）1．解方程：2(1)4x -=．解：两边直接开平方得：12x -=±，12x ∴-=或12x -=-，解得：13x =，21x =-．2．解方程：2(5)16x -=．解：54x -=±，所以11x =，29x =．3．解方程：2(61)250x --=解：2(61)250x --=则：2(61)25x -=，故615x -=±，解得：11x =，223x =-．4．解方程：23(2)480x --=．解：2(2)16x -=，24x -=±，所以16x =，22x =-．5．解方程：22(32)180x --=．解：22(32)180x --=，2(32)9x ∴-=，323x ∴-=±，53x ∴=或13x =-6．解方程：24(21)360x --=．2(21)9x ∴-=，213x ∴-=±，2x ∴=或1-7．解方程：21(31)644x += 解：21(31)644x +=，则：2(31)256x +=，故3116x +=±，解得：1173x =-，25x =．8．解方程：21(2)94x -=．解：21(2)94x -=，2(2)36x -=，两边直接开平方得：26x -=±，则26x -=，26x -=-，解得：18x =，24x =-．9．解方程：21(23)2503x --=．解：21(23)2503x --=2(23)750x --=，2(23)75x -=，23x -=±23x =±解得：1x =2x = 10．解方程：224(3)25(2)x x +=-．开方得：2(3)5(2)x x +=±-，解得：1163x =，247x =．二．解一元二次方程-配方法（共10小题）11．用配方法解方程：2691x x -=．解：2691x x -=．2(3)100x ∴-=，310x ∴-=±，13x ∴=或7x =-；12．用配方法解方程：22410x x --= 解：22410x x --=21202x x --=212112x x -+=+23(1)2x -=11x ∴=+，21x =-13．用配方法解方程：22610x x --= 解：2261x x -=，2132x x ∴-=，29193424x x ∴-+=+，即2311()24x -=，32x ∴-=则1x =2x =．14．用配方法解方程：22810x x --= 解：22810x x --=，2142x x ∴-=29(2)2x ∴-=，2x ∴-=2x ∴=±15．用配方法解方程：22410x x --=．解：22410x x --=， 2241x x -=， 2122x x -=，配方得：212112x x -+=+，23(1)2x -=，开方得：1x -=，解得：1x =，2x =16．用配方法解方程：2120122x x +=．解：原方程化为：231540x x +=，239235100200x x ∴++=， 2323()10200x ∴+=，x ∴=17．用配方法解方程：23620x x -+=．解：移项，得 2362x x -=-，二次项系数化为1，得 2223x x -=-，配方，得21(1)3x -=，开方，得1x =2x = 18．用配方法解方程：2334022x x --= 解：方程整理得：2813x x -=，配方得：228416()1339x x -+=+，即2425()39x -=， 4533x ∴-=或4533x -=-， 13x ∴=，213x =-． 19．用配方法解方程：212302x x -+=．解：239912()0216162x x -+-+=， 23912()0482x --+=， 2352()48x -= 235()416x -=34x -=x = 20．用配方法解方程：212302x x -+=．解：21232x x -=-， 23124x x -=-， 2223313()()2444x x -+=-+， 235()416x -=∴34x -=，∴x =．∴原方程的根是：12x x ==．三．解一元二次方程-公式法（共10小题）21．用公式法解方程：2530x x -+=．解：2530x x -+=，1a ∴=，5b =-，3c =，∴△224(5)413130b ac =-=--⨯⨯=>，∴x ===，∴12x x ==． 22．用公式法解方程：2530.21x x -+=．解：2530.21x x -+=，25 2.790x x ∴-+=，1a ∴=，5b =-， 2.79c =，△224(5)41 2.7913.840b ac =-=--⨯⨯=>，x ∴====，∴1x =，2x =．23．解方程：210x -+=．解：210x -+=，1a =，b =-，1c =，1x ∴===；11x ∴=+，21x =-．24．用公式法解方程：2210x x -+-=．解：2210x x -+-=2210x x --=，224(2)41(1)8b ac -=--⨯⨯-=，x =，11x =+，21x =．25．解方程：23220x x --=．解：x ==即1x =，2x =∴原方程的解为1x =，2x = 26．解方程：213502x x --=．解：213502x x --=， 2610x x ∴-=，26919x x ∴-+=，2(3)19x ∴-=，3x ∴=±27．解方程：231650x x -+=解：(31)(5)0x x --=，310x -=，50x -=，113x =，25x =． 28．解方程：235(21)0x x ++=．解：235(21)0x x ++=，整理得：231050x x ++=，3a =，10b =，5c =，2410060400b ac ∴-=-=>，x ∴==，则原方程的解为1x =2x =29．解方程：231x +=．解：方程整理得：2310x -+=，这里3a=，b=-1c=，△20128=-=，x∴==．30．用公式法解方程：21202x--=．解：21202x--=2a=，b=，12c=-，∴△21(42()602=-⨯⨯-=>，x=．四．解一元二次方程-因式分解法（共10小题）31．解方程：2280x x--=解：2280x x--=，(2)(4)0x x∴+-=，则20x+=或40x-=，解得12x=-，24x=．32．解方程：23540x x--=解：由原方程，得(9)(6)0x x-+=，所以90x-=或60x+=，解得19x=，26x=-．33．解方程：25140x x+-=．解：原方程可化为(2)(7)0x x-+=．（2分）得20x-=或70x+=，（1分）解得2x=或7x=-．（1分）所以，原方程的根为12x=，27x=-．（1分）34．解方程：223140x x--=解：223140x x--=，(27)(2)0x x∴-+=，270x ∴-=或20x +=，解得：72x =或2x =-． 35．解方程：2(21)(21)x x x -=-解：2(21)(21)0x x x ---=，(21)(21)0x x x ∴---=，即(21)(1)0x x --=，则210x -=或10x -=，解得0.5x =或1x =．36．解方程：2(23)(32)x x x -=-解：将方程整理为一般式，得：21090x x -+=，则(1)(9)0x x --=，10x ∴-=或90x -=，解得1x =或9x =．37．解方程：2(4)4(4)x x x -=-．解：2(4)4(4)x x x -=-2(4)4(4)0x x x -+-=，(4)(44)0x x x ∴--+=，则40x -=或540x -=，解得：14x =，45x =． 38．解方程：(3)5(3)0x x x ---=．解：(3)5(3)0x x x ---=，(3)5(3)0x x x ∴-+-=，(3)(5)0x x ∴-+=，3x ∴=或5x =-，39．解方程：2(1)2(1)15x x ---=．解：2(1)2(1)150x x ----=，[(1)5][(1)3]0x x ---+=，(1)50x --=或(1)30x -+=，所以16x =，22x =-．40．解方程：2(32)(32)(3)0x x x -+-+=．解：(32)(23)0x x -++=，320x ∴-=或50x +=123x ∴=，25x =-．五．换元法解一元二次方程（共8小题）41．解方程：2(1)3(1)10x x ---=．解：方程整理可得：2(1)3(1)100x x ----=，左边因式分解可得：(12)(15)0x x -+--=，即(1)(6)0x x +-=， 1x ∴=-或6x =．42．解方程：2(1)(1)12x x ---=解：设1t x =-，原方程转化为212t t -=，整理，得(4)(3)0t t -+=，解得4t =或3t =-，故14x -=或13x -=-，解得15x =，22x =-．43．解方程：2(1)2(1)15x x ---=解：2(1)2(1)15x x ---=，2(1)2(1)150x x ∴-+--=，(15)(13)0x x ∴-+--=，40x ∴+=或40x -=，14x ∴=-，24x =．44．解方程2(3)3(3)x x +=+．解：设3x y +=，∴原式可化为23y y =，230y y ∴-=，10y ∴=，23y =，30x ∴+=或33x +=，3x ∴=-或0．45．解方程：2(3)2(3)240x x -+--=．解：2(3)2(3)240x x -+--=，(36)(34)0x x -+--=，360x -+=，340x --=，13x =-，27x =．46．解方程：2(2)10(2)90x x +-++=．解：设2t x =+，则原方程可化为：21090t t -+=，即(1)(9)0t t --=，解得，1t =或9t =．当1t =时，21x +=，则1x =．当9t =时，29x +=，则7x =，综上所述，原方程的解为1x =或7x =．47．解方程：2(41)10(41)240x x ----=．解：令41x y -=，得210240y y --=， (12)(2)0y y -+=，120y ∴-=或20y +=，112y ∴=，22y =-，当12y =时，4112x -=，134x =；当2y =-时，412x -=-，14x =-， ∴方程的解为1134x =，214x =-． 48．解方程：2(21)3(21)20x x ++++=．解：设21x y +=，则原方程可化为：2320y y ++=，(1)(2)0y y ∴++=，解得：1y =-或2y =-，即211x +=-或212x +=-，解得11x =-，232x =-．。

2020九年级数学上册第二十一1.2.3 因式分解法解一元二次方程课后作业新人教版

21.2.3 因式分解法解一元二次方程1．方程x(x－2)＝2(2－x)的根为( )．A.x＝－2B.x＝2C.x1＝2，x2＝－2D.x1＝x2＝22．方程(x－1)2＝1－x的根为( )．A.0B.－1和0C.1D.1和03．若实数x、y满足(x－y)(x－y＋3)＝0，则x－y的值是( )．A.－1或－2B.－1或2C.0或3D.0或－34.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（）A．7m B．8mC．9m D．10m5.已知三角形的两边长是方程x2－5x+6＝0的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（）A．1<L<5 B．2<L<6C．5<L<9 D．6<L<106.在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2－b2，根据这个规则，知方程(x－2)*1＝0的解为_____________.7.如果x2－x－1＝（x+1）0，那么x的值为_____________.三、解下列方程8．3x(x－2)＝2(x－2)．9．x2－4x＋4＝(2－3x)2．10. (2y－1)2＝3(1－2y).11.阅读下面材料：把方程x2－4x+3＝0写成x2－4x+4－4+3＝0，(x－2)2－1＝0.因式分解，得(x－2+1)(x－2－1)＝0，(x－1)(x－3)＝0.发现：(－1)+(－3)＝－4，(－1)×(－3)＝3.结论：方程x2－(p+q)x+pq＝0可变形为(x－p)·(x－q)＝0.应用上面的解题方法，解下列方程：（1）x2+5x+6＝0；（2）x2－7x+10＝0；（3）x2－5x－6＝0；（4）x2+3x－4＝0.12.已知：关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根. （1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数值时，用合适的方法求该方程的解.参考答案1．C ．2．D ．3．D ．4.A5.D6.7. 28．x 1＝2，⋅=322x 9．x 1＝0，x 2＝1． 10.解：原方程可化为(2y －1)2－3(1－2y)＝0，因式分解，得(2y －1)(2y+2)＝0.∴112y =，y 2＝－1. 11.解：（1）方程变形为(x+2)(x+3)＝0，∴x 1＝－2，x 2＝－3.（2）方程变形为(x －2)(x －5)＝0，∴x 1＝2，x 2＝5.（3）方程变形为(x －6)(x+1)＝0，∴x 1＝6，x 2＝－1.（4）方程变形为(x+4)(x －1)＝0，∴x 1＝－4，x 2＝1.12.解：（1）由题意可得∆＝22－4k>0，解得k<1.（2）由（1）中的k<1得k 取的最大整数值为0，即k ＝0，当k ＝0时，原方程可化为x 2+2x ＝0，∴x(x+2)＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2.。

人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》练习题-带参考答案

人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》练习题-带参考答案一、选择题1．解方程x2=9的结果为（）A．x=3B．x=−3C．x1=3，x2=−3D．x1=62．将一元二次方程x2+4x+1=0变形为(x+m)2=k的形式，正确的是（）A．(x+2)2=1B．(x+2)2=3C．(x+2)2=4D．(x+2)2=53．用公式法解方程x2−6x+1=0所得的解正确的是（）A．x=−3±√10B．x=3±√10C．x=−3±2√2D．x=3±2√24．若关于x的方程kx2−2x−1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥−1B．k≥−1且k≠0C．k≤1D．k≤1且k≠05．方程x2=4x的根是（）.A．x=0B．x=4C．x1=4，x2=0D．x1=−4，x2=0 6．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2−13x+36=0的两根，则该三角形的周长为（）A．4 B．13 C．4或9 D．13或187．若x1，x2是方程x2−6x−7=0的两个根，则（）D．x1·x2=7A．x1+x2=6B．x1+x2=−6C．x1·x2=768．若关于x的一元二次方程x2−8x+m=0两根为x1、x2，且x1=3x2，则m的值为（）A．4 B．8 C．12 D．16二、填空题9．若将方程x2+mx+8＝0用配方法化为（x﹣3）2＝n，则m+n的值是.10．方程3x（x﹣1）=6（x﹣1）的根为.11．一元二次方程(k+1)x2−3x+2=0有实数根，则k的取值范围是．12．已知关于x的一元二次方程x2−3x+k=0的一个根是3+√2，则另一个根是.13．若一元二次方程x2+5x−6=0的两个根是x1，x2，则x1x2的值是．三、解答题14．解方程：（1）（2）15．若关于x的一元二次方程(m−1)x2−4mx+4m+6=0有实数根，求m能取的正整数值．16.若关于x的一元二次方程x2-2（2-k）x+k2+12=0有实数根α、β．（1）求实数k的取值范围；（2）设，求t的最小值．17．已知关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是直角三角形时，求的值．18．已知关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若a为正整数，求a的值；（2）若x1，x2满足x21+x22−x1x2=16，求a的值.参考答案1．C2．B3．D4．A5．C6．B7．A8．C9．-510．x1=1，x2=2且k≠−111．k≤1812．−√213．-614．（1）解：所以（2）解：这里∴∴15．解：∵关于x的一元二次方程(m−1)x2−4mx+4m+6=0有实数根∴Δ=b2−4ac=16m2−4(m−1)(4m+6)≥0，m−1≠0整理得：−8m+24≥0解得：m≤3∵m−1≠0∴m≠1∴m能取的正整数值有2 3．16.（1）解：∵关于x的一元二次方程x2-2（2-k）x+k2+12=0有两实数根∴△=[-2（2-k）]2-4（k2+12）=-16k-32≥0∴k≤-2∴实数k的取值范围为k≤-2（2）解：∵α、β为方程x2-2（2-k）x+k2+12=0的两实数根∴α+β=2（2-k）∴t= = = -2．∵k≤-2∴t≥ -2=-4．∴t的最小值为-4．17．（1）证明：∵∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：∵∴∴∴可以假设当BC为斜边时，由勾股定理可得∴，即解得或（舍去）；当BC为直角边时，由勾股定理可得∴，即解得；∴综上所述，当△ABC时直角三角形时，或18．（1）解：∵关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根∴△=[2(a-1)]2-4(a2-a-2)>0解得：a<3∵a为正整数，∴a=1，2；（2）解：∵x1+x2=2(a-1)，x1x2=a2-a-2∵x12+x22-x1x2=16∴(x1+x2)2-3x1x2=16∴[2(a-1)]2-3(a2-a-2)=16解得，a1=-1，a2=6∵a<3，∴a=1．。

人教版九年级上册数学 21.2.3 解一元二次方程(因式分解法)同步练习(含答案)

21.2.3 解一元二次方程（因式分解法）一、填空题(填出下列一元二次方程的根) 1．x (x －3)=0．______ 2．(2x －7)(x ＋2)=0．______ 3．3x 2=2x ．______4．x 2＋6x ＋9=0．______5．______ 6．______7．(x －1)2－2(x －1)=0．______． 8．(x －1)2－2(x －1)=－1．______二、选择题9．方程(x －a )(x ＋b )=0的两根是( )． A ．x 1=a ，x 2=b B ．x 1=a ，x 2=－b C ．x 1=－a ，x 2=bD ．x 1=－a ，x 2=－b10．下列解方程的过程，正确的是( )．A ．x 2=x ．两边同除以x ，得x =1．B ．x 2＋4=0．直接开平方法，可得x =±2．C ．(x －2)(x ＋1)=3×2．∵x －2=3，x ＋1=2， ∴x 1=5， x 2=1．D ．(2－3x )＋(3x －2)2=0．整理得3(3x －2)(x －1)=0，三、解答题(用因式分解法解下列方程，*题用十字相乘法因式分解解方程) 11．3x (x －2)=2(x －2)．12．*13．x 2－3x －28=0．14．x 2－bx －2b 2=0．.03222=-x x .)21()21(2x x -=+.1,3221==∴x x .32x x =*15．(2x －1)2－2(2x －1)=3． *16．2x 2－x －15=0．四、解答题17．x 取什么值时，代数式x 2＋8x －12的值等于2x 2＋x 的值．综合、运用、诊断一、写出下列一元二次方程的根18．．______________________． 19．(x －2)2=(2x ＋5)2．______________________．二、选择题20．方程x (x －2)=2(2－x )的根为( )．A ．－2B ．2C ．±2D ．2，221．方程(x －1)2=1－x 的根为( )．A ．0B ．－1和0C ．1D ．1和022．方程的较小的根为( )．A ．B ．C ．D ．三、用因式分解法解下列关于x 的方程0222=-x x 0)43)(21()43(2=--+-x x x 43-21854323． 24．4(x ＋3)2－(x －2)2=0．25． 26．abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab =0．(ab ≠0)四、解答题27．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m 2＋2)x ＋2m =0．(1)求证：当m 取非零实数时，此方程有两个实数根； (2)若此方程有两个整数根，求m 的值．.2152x x =-.04222=-+-b a ax x参考答案1．x ＝0，x 2＝3． 2． 3．4．x 1＝x 2＝－3． 5． 6． 7．x ＝1，x 2＝3． 8．x 1＝x 2＝2． 9． B ． 10． D ．11． 12． 13．x 1＝7，x 2＝－4. 14．x 1＝2b ，x 2＝－b ．15．x 1＝0，x 2＝2．16．17．x 1＝3，x 2＝4． 18．19．x 1＝－1，x 2＝－7．20．C ． 21．D ． 22．C ． 23．x 1＝0，x 2＝－10.24．25． 26．.2,2721-==x x ⋅==32,021x x .6,021==x x .322,021-==x x ⋅==32,221x x ⋅==33,021x x .3,2521=-=x x .2,021==x x ⋅-=-=34,821x x .2,221b a x b a x +=-=⋅==b a x a b x 21,27．(1)∆＝(m2－2)2．当m≠0时，∆≥0；(2)(mx－2)(x－m)＝0，m＝±1或m＝±2．。

人教版2020年九年级上册：21.2 《解一元二次方程》课时训练含答案

九年级上册21.2 解一元二次方程课时训练一．选择题1．方程x2＝16的解是（）A．4B．±4C．﹣4D．82．一元二次方程（x﹣1）2﹣2＝0的根是（）A．x＝B．x1＝﹣1，x2＝3C．x＝﹣D．x1＝1+，x2＝1﹣3．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0时，下列配方正确的是（）A．（x﹣1）2+1＝0B．（x+1）2+1＝0C．（x﹣1）2﹣1＝0D．（x﹣1）2﹣2＝0 4．用配方法解下列方程时，配方错误的是（）A．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100B．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25C．2x2﹣7x﹣4＝0化为（x﹣）2＝D．3x2﹣4x﹣2＝0化为（x﹣）2＝5．x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．2x2+4x+1＝0B．2x2﹣4x+1＝0C．2x2﹣4x﹣1＝0D．2x2+4x﹣1＝0 6．用公式法解方程x2+4x＝2，其中求得b2﹣4ac的值是（）A．16B．±4C．32D．647．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（）A．x1＝2，x2＝﹣3B．x1＝﹣2，x2＝3C．x1＝﹣2，x2＝﹣3D．x1＝2，x2＝38．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A．2B．4C．8D．2或49．已知（a2+b2+2）（a2+b2）＝8，那么a2+b2的值是（）A．2B．﹣4C．2或﹣4D．不确定10．对于任意实数x，多项式x2﹣2x+3的值是一个（）A．正数B．负数C．非负数D．不能确定11．一元二次方程x2+4x+5＝0的根的情况是（）A．无实数根B．有一个实根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根12．若关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞B．k≥C．k＜D．k≤13．设方程x2+x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α+β﹣αβ的值等于（）A．﹣3B．﹣1C．1D．314．已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则＝（）A．3B．﹣3C．D．﹣二．填空题15．x2﹣25＝0的根为．16．用公式法解一元二次方程﹣x2+3x＝1时，应求出a，b，c的值，则：a＝；b ＝；c＝．17．将一元二次方程x2﹣6x+5＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则ab＝．18．填空：x2﹣2x+3＝（x﹣）2+2．19．一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝x﹣2的根是．20．已知（x2+3x）2+5（x2+3x）+6＝0，则x2+3x值为．21．若关于x的一元二次方程kx2﹣3x+2＝0无实数根，则k的取值范围是．22．已知方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根分别为α、β，则（α﹣1）（β﹣1）＝．三．解答题23．（1）2y2+4y＝y+2（用因式分解法）（2）x2﹣7x﹣18＝0（用公式法）（3）4x2﹣8x﹣3＝0（用配方法）24．解方程：x2﹣2x﹣3＝0．方法一：（因式分解法）方法二：（配方法）方法三：（公式法）25．关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）已知等腰△ABC的底边长为4，另两边的长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．26．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣1）x+k﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若这个方程的两根为x1，x2，且满足x12﹣3x1x2+x22＝1，求k的值．27．基本事实：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”．方程x2﹣x﹣6＝0可通过因式分解化为（x﹣3）（x+2）＝0，由基本事实得x﹣3＝0或x+2＝0，即方程的解为x＝3或x＝﹣2．（1）试利用上述基本事实，解方程：3x2﹣x＝0；（2）若实数m、n满足（m2+n2）（m2+n2﹣1）﹣6＝0，求m2+n2的值．28．阅读下内容，再解决问题．在把多项式m2﹣4mn﹣12n2进行因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但是经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：m2﹣4mn﹣12n2＝m2﹣4mn+4n2﹣4n2﹣12n2＝（m﹣2n）2﹣16n2＝（m﹣6n）（m+2n），像这样构造完全平方式的方法我们称之为“配方法”，利用这种方法解决下面问题．（1）把多项式因式分解：a2﹣6ab+5b2；（2）已知a、b、c为△ABC的三条边长，且满足4a2﹣4ab+2b2+3c2﹣4b﹣12c+16＝0，试判断△ABC的形状．参考答案一．选择题1．解：∵x2＝16，∴x＝±4，故选：B．2．解：（x﹣1）2＝2，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．故选：D．3．解：x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝2，（x﹣1）2＝2．故选：D．4．解：A、x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100，故本选项正确；B、x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝7，故本选项错误；C、2x2﹣7x﹣4＝0化为（x﹣）2＝，故本选项正确；D、3x2﹣4x﹣2＝0化为（x﹣）2＝，故本选项正确；故选：B．5．解：解一元二次方程的公式为x＝．所以a＝2，b＝4，c＝1．所以方程为2x2+4x+1＝0故选：A．6．解：∵x2+4x＝2，∴x2+4x﹣2＝0，∴a＝，b＝4，c＝﹣2，∴b2﹣4ac＝（4）2﹣4××（﹣2）＝64；故选：D．7．解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，x﹣2＝0或x﹣3＝0，所以x1＝2，x2＝3．故选：D．8．解：x2﹣6x+8＝0（x﹣4）（x﹣2）＝0解得：x＝4或x＝2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，故选：A．9．解：设a2+b2＝y，则原方程可化为：（y+2）y＝8，解得：y1＝﹣4，y2＝2，∵a2+b2＞0，∴a2+b2＝2．故选：A．10．解：多项式x2﹣2x+3变形得x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2，任意实数的平方都是非负数，其最小值是0，所以（x﹣1）2+2的最小值是2，故多项式x2﹣2x+3的值是一个正数，故选：A．11．解：∵△＝42﹣4×5＝﹣4＜0，∴方程无实数根．故选：A．12．解：根据题意得△＝32﹣4（k﹣2）＞0，解得k＜．故选：C．13．解：∵α，β是方程x2+x﹣2＝0的两个根，∴α+β＝﹣1，αβ＝﹣2，∴原式＝﹣1﹣（﹣2）＝1．故选：C．14．解：根据题意得m+n＝3，mn＝﹣1，所以＝．故选：B．二．填空题15．解：移项得x2＝25，∴x＝±5．故答案是：±5．16．解：﹣x2+3x＝1，﹣x2+3x﹣1＝0，a＝﹣1，b＝3，c＝﹣1，故答案为：﹣1，3，﹣1．17．解：x2﹣6x+5＝0，x2﹣6x＝﹣5，x2﹣6x+9＝﹣5+9，（x﹣3）2＝4，所以a＝3，b＝4，ab＝12，故答案为：12．18．解：x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2．故答案为：1．19．解：（x﹣3）（x﹣2）＝x﹣2，（x﹣3）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣3﹣1）＝0，x﹣2＝0或x﹣3﹣1＝0，所以x1＝2，x2＝4．故答案为：x1＝2，x2＝4．20．解：设x2+3x＝t，则原方程变形为t2+5t+6＝0，（t+2）（t+3）＝0，所以t1＝﹣2，t2＝﹣3，当t＝﹣2时，x2+3x＝﹣2，此方程有实数解；当t＝﹣3时，x2+3x＝﹣3，此方程没有实数解；所以x2+3x＝﹣2．故答案为﹣2．21．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+2＝0无实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×k×2＜0且k≠0，解得k＞，故答案为：k＞．22．解：∵α、β是方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，∴α+β＝﹣3，αβ＝﹣1，∴（α﹣1）（β﹣1）＝αβ﹣（α+β）+1＝﹣1﹣（﹣3）+1＝3．故答案为：3．三．解答题23．解：（1）2y（y+2）﹣（y+2）＝0，（y+2）（2y﹣1）＝0，y+2＝0或2y﹣1＝0，所以y1＝﹣2，y2＝；（2）a＝1，b＝﹣7，c＝﹣18，△＝（﹣7）2﹣4×（﹣18）＝121，x＝，所以x1＝9，x2＝﹣2；（3）x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝+1，（x﹣1）2＝，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．24．解：故答案为：方法一：（x+1）（x﹣3）＝0，∴x＝﹣1或x＝3；方法二：x2﹣2x+1＝4，（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，x＝﹣1或x＝3；方法三：a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，△＝4+12＝16，x＝x＝﹣1或x＝3；25．解：（1）根据题意得△＝4（m+1）2﹣4（m2+5）≥0，解得m≥2；（2）∵等腰△ABC的底边长为4，另两边的长恰好是方程的两个根，∴方程有两个相等的实数解，∴△＝4（m+1）2﹣4（m2+5）＝0，解得m＝2，此时方程为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，∴△ABC的周长＝3+3+4＝10．26．解：（1）△＝（k﹣1）2﹣4（k﹣2）＝（k﹣3）2，∵（k﹣3）2≥0，∴△≥0，∴此方程总有两个实数根．（2）由根与系数关系得x1+x2＝1﹣k，x1x2＝k﹣2，∵x12﹣3x1x2+x22＝1，∴（x1+x2）2﹣5x1x2＝1，∴（1﹣k ）2﹣5（k ﹣2）＝1，解得k 1＝2，k 2＝5．由（1）得无论k 取何值方程总有两个实数根， ∴k 的值为2或5．27．解：（1）由原方程，得x （3x ﹣1）＝0 ∴x ＝0或3x ﹣1＝0 解得：x 1＝0，x 2＝；（2）t ＝m 2+n 2（t ≥0），则由原方程，得t （t ﹣1）﹣6＝0．整理，得（t ﹣3）（t +2）＝0．所以t ＝3或t ＝﹣2（舍去）．即m 2+n 2的值是3． 28．解：（1）a 2﹣6ab +5b 2 ＝a 2﹣6ab +9b 2﹣4b 2 ＝（a ﹣3b ）2﹣（2b ）2 ＝（a ﹣3b +2b ）（a ﹣3b ﹣2b ）＝（a ﹣b ）（a ﹣5b ）；（2）4a 2﹣4ab +2b 2+3c 2﹣4b ﹣12c +16＝0 4a 2﹣4ab +b 2+b 2﹣4b +4+3c 2﹣12c +12＝0 （2a ﹣b ）2+（b ﹣2）2+3（c ﹣2）2＝0 解得，a ＝1，b ＝2，c ＝2， ∴△ABC 为等腰三角形．1、在最软入的时候，你会想起谁。

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程 21.2.3 因式分解法课后练习

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程 21.2.3因式分解法课后练习一、选择题1．一元二次方程 (1)x x x -= 的解是（）A ．1或－1B ．2C ．0或2D ．02．2(3)5(3)x x x --- 因式分解结果为（）A ．221115x x -+B ．(5)(23)x x --C ．(25)(3)x x +-D ．(25)(3)x x --3．经计算整式 x+1与 x -4的积为 234x x -- ，则 234x x --=0的所有根为（）A ．121,4x x =-=-B ．x 1=-1 x 2=4C ．,12x 1x 4==D ．121,4x x ==-4．方程 2(1)1x x +=+ 的正确解法是（）A ．化为 10x +=B ．11x +=C ．化为 (1)(11)0x x ++-=D ．化为 2320x x ++=5．下面一元二次方程的解法中，正确的是（）.A ．(3)(5)102x x --=⨯ ）∴ x -3=10,x -5=2）∴ 1213,7x x == ;B ．2(25)(52)0x x -+-= ）∴ (52)(53)0x x --= ）∴ 1223,55x x == ） C ．2(2)40x x ++= ）∴ 122,2x x ==- ）D ．2x x =两边同除以x ，得x）1.6．若关于 x 的方程 250x x k -+= 的一个根是0，则另一个根是（）A ．1B ．）1C ．5D ．127．若 2222()(3)40a b a b ++--=，则 22a b + 的值为（）.A ．）3B ．）1或4C ．4D ．无法计算8．下列命题：①关于x 的方程 220kx x --= 是一元二次方程；② x=1与方程 21x = 是同解方程；③方程 2x x = 与方程 x=1是同解方程；④由 (1)(1)3x x +-= 可得 x+1=3或 x -1=3．其中正确的命题有（）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．关于的一元二次方程 250x x p -+= 的两实根都是整数，则整数 p 的取值可以有（）A ．2个B ．4个C ．6个D ．无数个10．下列方程适合用因式分解法解的是（）A ．x 2+x+1=0B ．2x 2﹣3x+5=0C ．x 2+（）=0D ．x 2+6x+7=0二、填空题11．一小球以15 m/s 的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系h）15t）5t 2，则小球经过____s 达到10 m 高．12．当x =__________时，代数式41x +与24x 的值互为相反数．13．22096x x +-因式分解结果为________，方程 220960x x +-= 的根为________）14．方程 2(2)256x -= 的解是________）15．已知(a+b)2-2(a+b)-3=0，则a+b=_______________.三、解答题16．用因式分解法解下列方程：(1)212350x x -+= ）(2) 23(23)2(23)0x x ---=）(3) 229(2)16(25)x x +=-）(4) 2(3)5(3)60x x +-++=）17．如果方程 260ax bx --= 与方程 22150ax bx +-=有一个公共根是3，求 a）b 的值，并分别求出两个方程的另一个根．18．用适当的方法解方程 2(23)3(23)t t +=+ ）19．按指定的方法解方程：（1）9（x ﹣1）2﹣5=0（直接开平方法）（2）2x 2﹣4x ﹣8=0（配方法）（3）6x 2﹣5x ﹣2=0（公式法）（4）（x+1）2=2x+2（因式分解法）20．解方程：(x -1)2-2(x 2-1)=0.(因式分解法)21．解方程：(x －2 013)(x －2 014)＝2 015×2 016．22．用因式分解法解下列方程：（1）（4x ﹣1）（5x+7）=0．（2）3x （x ﹣1）=2﹣2x ．（3）（2x+3）2=4（2x+3）．（4）2（x ﹣3）2=x 2﹣9．23．关于x 的一元二次方程为（ｍ－1）x 2－2ｍx ＋ｍ＋1＝0（1）求出方程的根；（2）ｍ为何整数时，此方程的两个根都为正整数？。

2019九年级数学上册第二十一1.2.3 因式分解法解一元二次方程课后作业新人教版

201921.2.3 因式分解法解一元二次方程1．方程x(x－2)＝2(2－x)的根为( )．A.x＝－2B.x＝2C.x1＝2，x2＝－2D.x1＝x2＝22．方程(x－1)2＝1－x的根为( )．A.0B.－1和0C.1D.1和03．若实数x、y满足(x－y)(x－y＋3)＝0，则x－y的值是( )．A.－1或－2B.－1或2C.0或3D.0或－34.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（）A．7m B．8mC．9m D．10m5.已知三角形的两边长是方程x2－5x+6＝0的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（）A．1<L<5 B．2<L<6C．5<L<9 D．6<L<106.在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2－b2，根据这个规则，知方程(x－2)*1＝0的解为_____________.7.如果x2－x－1＝（x+1）0，那么x的值为_____________.三、解下列方程8．3x(x－2)＝2(x－2)．9．x2－4x＋4＝(2－3x)2．10. (2y－1)2＝3(1－2y).201911.阅读下面材料：把方程x2－4x+3＝0写成x2－4x+4－4+3＝0，(x－2)2－1＝0.因式分解，得(x－2+1)(x－2－1)＝0，(x－1)(x－3)＝0.发现：(－1)+(－3)＝－4，(－1)×(－3)＝3.结论：方程x2－(p+q)x+pq＝0可变形为(x－p)·(x－q)＝0.应用上面的解题方法，解下列方程：（1）x2+5x+6＝0；（2）x2－7x+10＝0；（3）x2－5x－6＝0；（4）x2+3x－4＝0.12.已知：关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数值时，用合适的方法求该方程的解.2019参考答案1．C ．2．D ．3．D ．4.A5.D6.7. 28．x 1＝2，⋅=322x9．x 1＝0，x 2＝1．10.解：原方程可化为(2y －1)2－3(1－2y)＝0，因式分解，得(2y －1)(2y+2)＝0.∴112y =，y 2＝－1.11.解：（1）方程变形为(x+2)(x+3)＝0，∴x 1＝－2，x 2＝－3.（2）方程变形为(x －2)(x －5)＝0，∴x 1＝2，x 2＝5.（3）方程变形为(x －6)(x+1)＝0，∴x 1＝6，x 2＝－1.（4）方程变形为(x+4)(x －1)＝0，∴x 1＝－4，x 2＝1.12.解：（1）由题意可得∆＝22－4k>0，解得k<1.（2）由（1）中的k<1得k 取的最大整数值为0，即k ＝0，当k ＝0时，原方程可化为x 2+2x ＝0，∴x(x+2)＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2.。

人教版九年级数学上册21.2解一元二次方程：《因式分解法》课后作业练习

人教版 九年级数学 21.2 解一元二次方程 课后训练(含答案)

人教版九年级数学上册《21.2 公式法、因式分解法》训练题-附带答案

（人教版）数学九年级上册21.2解一元二次方程同步习题（有答案）

人教版数学九年级上册解一元二次方程因式分解法同步练习题含答案与解析

九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法作业_1

人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》同步练习题(附带答案)

2022年人教版九年级数学上册第二十一章练习题及答案 因式分解法