第6章_采样qxm_2014

XI’AN JIAOTONG UNIVERSITY
信号与系统-Signals & Systems
Xueming Qian-钱学明
电信学院信通系 西一楼539 qianxm@mail.xjtu.edu.cn SMILES LAB, XJTU http://smiles.xjtu.edu.cn/
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连续时间信号的时域抽样
x(t ) xp (t ) h(t )

Sin c t h(t ) T t
x(t )
n
n
x(nT )h(t nT )
x(nT ) T Sin c (t nT ) t nT
时 x(t )
n


当 c
s
2


T


x p (t )
x(2T )
x(2T ) x ( T ) x(0)
t
2T
T
0
T
2T
4
用样本表示连续时间信号：采样定理
采样的频域表示
2 1 p ( t ) P ( j ) 而 X ( j ) X ( j ) P ( j ) 由相乘性质: p T 2
1 X ( j ) P ( j ) 2 1 2 X ( j ) ( ks ) 2 T k X p ( j ) 1 T
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xr (t ) cos[(s 0 )t ]
X r ( j ) [ (s 0 )] e j [ (s 0 )] e j
表明恢复的信号不仅频率降低，而且相位相反。
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欠采样导致的后果—频谱混叠
频谱混叠的一种特例
x(nT )
Sin c (t nT ) c (t nT )
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这种内插称为理想内插或时域中的带限内插。 理想内插以理想低通滤波器的单位冲激响应作为内插函数。
欠采样导致的后果—频谱混叠
欠采样导致的后果—频谱混叠（一）
出现频谱混叠的现象。
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如果采样时，不满足采样定理的要求，就一定会在 x(t ) 的频谱周期延拓时，
p(t )
n
x(t )
(t nT )
p(t )
2T
T
x(T )

t
0
上述过程称为冲激串采样
p(t ) 为采样函数， T 为采样周期， s 2 / T 为采样频率。
t
0
T
2T
x p (t ) x(t ) p(t ) x(nT ) (t nT )

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用样本表示连续时间信号：采样定理
用样本表示连续时间信号的示例
在某些离散的时间点上提取连续时间信号值的过程称为采样。 是否任何信号都可以由它的离散时间样本来表示？ 对一维连续时间信号采样的例子：
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★在没有任何条件限制的情况下，从连续时间信号采样所得到的样本序列不 能唯一地代表原来的连续时间信号。 此外，对同一个连续时间信号，当采样间隔不同时也会 得到不同的样本序列。
k
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n
(

2 k) T
X ( j ( k ))
s

在时域对连续时间信号进 行理想采样，就相当于在 频域将连续时间信号的频 谱以 s 为周期进行延拓。
s
2 T
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用样本表示连续时间信号：采样定理
奈奎斯特采样定理
M c (s M )
为了补偿采样时频谱幅度的减小， 滤波器应具有 T倍的通带增益。
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用样本表示连续时间信号：采样定理
奈奎斯特采样定理的时域解释
内插：由样本值重建某一函数过程的时域表示。 若 h(t )为理想低通的单位冲激响应，则
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通过连续时间傅里叶变换，建立了将连续时间信号(包括周期、非周期 信号)分解为复指数信号分量的线性组合的方法。 通过讨论傅里叶变换的性质，揭示了信号时域特性与频域特性的关系。 卷积特性是LTI系统频域分析方法的理论基础，相乘特性则是通信和信 号传输领域各种调制解调技术的理论基础。 对LTI系统建立了频域分析的方法。
工程应用时，如果采样频率
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s 2M 将不足以从样本恢复原信号。 2 在 20 时 例如 x(t ) cos(0t ) s
T
x(t ) cos cos 0t sin 0t sin
x(nT ) cos cos 0nT
0
X p ( j )

s


s 0
0
0
0
s

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欠采样导致的后果—频谱混叠
欠采样导致的后果—频谱混叠（二）
恢复的信号为
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xr (t ) cos( s 0 )t
显然当 t
nT 时有
s s 0 0 0 s 0 s 0
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用样本表示连续时间信号：采样定理
采样的数学模型及其时域表示
(t )具有提取连续时间信号样本的作用。
x(t ) (t t0 ) x(t0 ) (t t0 )
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x(t )
x p (t )
p(t )
x p (t ) x(t ) p(t )



应用频域分析的方法，讨论了通信中的幅度调制。
作为连续时间与离散时间信号的桥梁，讨论了信号的时域和频域采样。
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作业 http://yunpan.cn/csVmDEwXk7YJ3 提取码 e530

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5.1 5.2 5.4 6.2 6.3 6.6 7.4 7.5 7.6
2. 采样间隔(周期)不能是任意的，必须保证采样频率
s 2M
。
在满足上述要求时，可以通过理想低通滤波器从 X p ( j ) 中不失真地分离 出 X ( j ) 。 X p ( j )
1 T
T
s M 0 M
对带限于最高频率 M 的连续时间信号 进行理想采样，则
c
s

x(t ) ,如果以 s 2M 的频率
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x(t ) 可以唯一的由其样本 x(nT ) 来确定。
用样本表示连续时间信号：采样定理
奈奎斯特采样定理的频域解释
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在工程实际应用中，理想滤波器 是不可能实现的。而非理想滤波 器一定有过渡带，因此，实际采 样时, s 必须大于2 M 。 低通滤波器的截止频率必须满足:
几个有趣的示例及带来的问题: 1. 一个连续时间信号被其离散时间样本完全表示的示例。 问题1：连续时间信号被其离散时间样本完全表示的条件是什么？ 2. 卡片电影的示例。 问题2：图象是如何动起来的？眼睛是如何重建卡片电影的图象的？ 3. 电影中倒转的车轮。 问题3：何时会发生倒转？原理是什么？ 主要内容: 1. 用离散时间样本来完全表示连续时间信号的条件——采样定理。 2. 如何从采样所得到的样本重建连续时间信号。 3. 欠采样导致的后果——频谱混叠，带通采样。
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1. x(t ) 必须是带限的，最高频率分量为 M
要想使采样后的信号样本能完全代表原来的信号，就意味着要能够从X p ( j ) 中不失真地分离出 X ( j ) 。这就要求 X p ( j ) 在周期性延拓时不能发生频谱 的混叠。为此必须要求: 。

X r ( j )


xr (nT ) cos( s 0 )nT cos s nT cos 0nT Sin s nT Sin 0nT s 2 / T cos 0 nT x(nT )
如果 x(t ) cos(0t )，则在上述情况下:
这和对
x1 (t ) cos cos 0t
采样的结果一样。
请给出上述现象的时域解释和频域解释。
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欠采样导致的后果—频谱混叠
欠采样在工程实际中的应用
1. 采样示波器:
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2. 频闪测速:
s
频闪器
3. 带通采样
0
旋转圆盘
讨论：在发生频谱混叠的情况下，信号谱结构仍能保持的条件？
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1
2
3
4
s 40
s 20
4 s 0 3
பைடு நூலகம் 0
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X ( j )
20
0
0
0
P( j )
20

3s 2s s
0
s 2s 3 s
X p ( j)

20 0
0
0 20

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2 T T
本章小结

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此时，即使通过理想内插也得不到原信号。但是无论怎样，恢复所得的信 号 xr (t )与原信号x(t ) 在采样点上将具有相同的值。（为什么？）
xr (nT ) x(nT )
例:
x(t ) cos 0t

0
0
X ( j )

x(t ) 的频谱 X ( j )
当 0 s 20 时,产生频谱混叠。