青海师范大学附属第二中学高中选修1-2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算 练习题
青海师范大学附属第二中学高中数学 3.2.2 复数代数形式的乘除运算导学案2 新人教B版选修1-2
青海师范大学附属第二中学高中数学 3.2.2 复数代数形式的乘除运算导学案2新人教B 版选修1-2【学习要求】1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3．理解共轭复数的概念．【学法指导】复数的乘法可类比多项式的乘法，不必专门记公式；复数的除法是乘法的逆运算，可先写成分数形式，分母“实数化”.1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝__________________.2．复数乘法的运算律 对任意复数z 1、z 2、z 3∈C ，有3．共轭复数如果两个复数满足_________________________时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝________.4．复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i≠0)，则z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝_____________________. 探究点一 复数乘除法的运算问题1 怎样进行复数的乘法？问题2 如何理解复数的乘除法运算法则？例1 计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2； (3)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i.跟踪1 (1)i 是虚数单位，复数－1＋3i 1＋2i等于 ( ) A ．1＋i B ．5＋5i C ．－5－5iD ．－1－i (2)复数i 2＋i 3＋i 41－i等于 ( ) A ．－12－12i B ．－12＋12I C ． 12－12i D ．12＋12i 探究点二 共轭复数及其应用问题 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？例2 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .跟踪2 已知复数z 满足：z ·z ＋2i z ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和．【达标检测】1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．－i B ．i C ．－1 D ．12．若复数z ＝1＋i ，i 为虚数单位，则(1＋z )z 等于( ) A ．1＋3i B ．3＋3i C ．3－i D ．33．复数i －21＋2i等于 ( ) A ．i B ．－I C ．－45－35i D ．－45＋35i 4．复数z ＝2－i 2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 ( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限。
高中数学 3.2.2复数代数形式的乘除运算课件 新人教A版选修1-2 (2)
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16
(2)设纯虚数 z＝bi(b∈R)， 则z1－＋2i＝b1i＋－i2＝b1i＋－i211－－ii＝b－2＋2 b＋2i. 由于z1－＋2i是实数，所以 b＋2＝0，即 b＝－2，所以 z＝－2i.
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17
共轭复数
[例 2] (1)若 z＝1＋i 2i，则复数 z ＝
A．－2－i
用公式计算．
(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的 共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”
类似．
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[活学活用] (1)已知复数 z1＝4＋8i，z2＝6＋9i，求复数(z1－z2)i 的实部与虚 部； (2)已知 z 是纯虚数，z1－＋2i是实数，求 z. 解：(1)由题意得 z1－z2＝(4＋8i)－(6＋9i)＝(4－6)＋(8i－9i)＝－ 2－i，则(z1－z2)i＝(－2－i)i＝－2i－i2＝1－2i.于是复数(z1－z2)i 的实部是 1，虚部是－2.
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12
[解] (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)
＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.
(2)－12＋ 23i 23＋12i(1＋i)
＝－ 43－ 43＋34－14i(1＋i)
＝－ 23＋12i(1＋i)
＝－ 23－12＋12－ 23i
＝－1＋2
3＋1－2
3 i.
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B．－2＋i
C．2－i
D．2＋i
()
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(2)(四川高考)如图，在复平面
内，点 A 表示复数 z，则图中表示
z 的共轭复数的点是
()
A．A
B．B
人教版A版高中数学选修1-2课件3.2.2《复数代数形式的乘除运算》课件
1 2i 1
【练习 1】 若复数 z1＝1＋i，z2＝3－i，则 z1· z2＝( A．4＋2i B．2＋i C．2＋2i D．3＋4i
解析：z1· z2＝(1＋i)· (3－i)＝3－i＋3i－i2＝4＋2i. 答案：A
)
知识点（二） 共轭复数 1.定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复 数叫做互为共轭复数．通常复数 z 的共轭复数用 z 来表示．虚部不等 于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
• 例3.计算
1 2i 3 4i
1 2i 3 4i 3 4i 3 4i
3 8 6i 4i 32 42 5 10i 25 1 2 i 5 5
• 解： •
1 2i 1 2i 3 4i 3 4i
• 容易验证，复数的乘法运算满足交换律、结合律、乘 法对加法的分配律，即对于 任意 z1 , z2 , z3 C,
1 z1 z2 z2 z; 2 z1 z2 z3 z1 z2 z3 ; 3 z1 z2 z3 z1 z2 z1 z3
• 例1：计算 1 2i 3 4i 2 i • 解：1 2i 3 4i 2 i • (11 2i) 2 i
•
i 【练习 3】 若 i 是虚数单位，则 ＝( 3＋3i 1 3 1 3 A.4－ 12 i B.4＋ 12 i 1 3 1 3 C.2＋ 6 i D.2－ 6 i
)
i 3－3i 3i＋3 1 i 3 解析： ＝ ＝ ＝ ＋ i，故选 B. 12 4 12 3＋9 3＋3i 答案：B
二． 新课堂· 互动探究 考点（一） 复数代数形式的乘法运算 例 1 (1)已知 i 是虚数单位，若复数(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，则实 数 a 等于( ) 1 1 A．2 B.2 C．－2 D．－2 ＋ (2)已知 x，y∈R，i 为虚数单位，且 xi－y＝－1＋i，则(1＋i)x y 的值为( ) A ．2 (1)(1 B．－ 2i ＋C 4 a＋ D(1 ． 2i2a)i，要使复数为纯虚数，所 解析： ＋ai)(2 i)．－ ＝2－ ＋
高中数学人教B版选修1-2 第三章3.2.2 复数的乘法和除法
六复数的除法法则
(abi)(cdi)abi cdi
(a bi)(c (c di)(c
di) di)
(acbd )(bcad )i c2d2
复数除法法则分母实数化，
和分母有理化类似。
复数除法解题步骤：
1、把除式写成分式的形式
2、分子与分母都乘以分母的共轭复数
3、化简后写成 a+bi 形式
例1：计算（2+i）(3-4i) 例2：计算（1-2i）2
复数的乘法与除法
学习目标：
1．掌握复数乘法与除法的运算法, 并能熟练 地进行乘除运算；
2．理解共轭复数的概念； 3．知道复数乘法法则满足交换律、结合律， 乘法对加法的分配律以及正整数幂的运算律．
学习重点：复数乘法与除法的运算; 学习难点: 复数的除法运算;
学案完成情况
存在问题： （1）计算结果不彻底，没化成 a+bi形式 （2）对除法是乘法的逆运算没理解到位。 （3）解题不规范，步骤不完整。
▲与两个多项式相乘类似 ▲结果要化简成a+bi形式
三:复数乘法法则的深化
乘法运算律 设 z 1 , z2 ,z3 ∈C,有
交换律： 乘法结合律： 加法分配律
复数乘法法则的深化
乘法运算律 设 z 1 , z2 ,z3 ∈C,有
正整数指数幂运算律
，
实数中的完全平方公式，平方差 公式，立方差公式，立方和公式 在复数中仍适用，请大胆使用
计算
(ab)ia(b)i
实部一样，虚 部互为相反数
a2a bai bb2ii2
a2 b2 实数
四：共轭复数
实部相等，虚部互为相反数的两个复数
叫做互为共轭复Байду номын сангаас.
3.2.2复数代数形式的乘除运算教案2新人教A版选修2_2
§ 322复数代数形式的乘除运算教学目标: 知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教学过程设计(一)、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2, 3, 4等数以及表示“没有”的数 0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展(二)、探究新知，揭示概念1 •乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z i=a+bi , Z2=c+di (a、b、c、d€ R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)( c+di)=( ac-bd)+( bc+ad)i .其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2.乘法运算律：(1)z 1(Z2Z3)=(Z 1Z2)Z 3证明：设Z1=a1+b1i , Z2=a2+b2i , Z3=a3+b3i (a1, a2, a3, b, b2, 上€R».T Z1Z2=( a1+b1i)( a2+b2i )=( a1a2- bb2)+( ba+ab) i ,Z2Z1=( a2+b2i)( a+d i )=( a2a仁b2b"+( b2a+a2b1)i.又a©- b1b2=a2a1- b2b, b aa+a1b2=b2a1+a2b.二Z1Z2=Z2Z1.(2)Z 1(z 2+Z3)=z 1Z2+Z1Z3证明：设Z1=a1+b1i , Z2=a2+b2i , Z3=a3+b3i (a1 , a2 , a3 , b , b2 , R).■/ (Z1Z2) Z3= [ (a1+b1i)( a2+b2i) ] (a3+b3i )= [ (ao-bb2)+( bb+ab) i ] (a3+b3i)=[(a1a2-bb2)a3-( ba2+a1b2)b s] + [( ba2+a1b2)a3+(a1ar bb2)b3] i=(a1a2a3-bb2a3-b1a2b3- ab2b3)+( ba2a3+a1b2b3+a1a2b3- bbb s) i,同理可证：Z1(Z2Z3)=( aa2a3-mb2a3-b1a2b3-a1b2b3)+( ba2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i ,/• ( Z1Z2) Z3=Z1( Z2Z3).(3)Z1(Z2+Z3)= Z1Z2+Z1Z3.证明：设Z1=a1+b1i , Z2=a2+b2i , Z3=a3+b3i (a1 , a2 , a3 , b , b2 , R).■/ Z1 (Z2+Z3)=( a1+b1 i) [ (a2+b2i)+( a s+thi) ] =( a1+b i) [ (a2+a3)+( b2+b) i ]点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法,=[a(a 2+a 3)- b i (b 2+b)] + [ b i (a 2+a3)+a(b 2+b 3)] i =(a i a 2+a i a 3- bb-b i b 3)+( ba 2+b i a s +a i b 2+a i b 3)i .z i Z 2+z i Z 3=(a 计b i i )( a 2+b 2i )+( a i +b i i )( a 3+b 3i )=(a i a 2-b i b 2)+( bo+ab) i +(a i a 3- bb 3)+( bo+ab) i=(a i a 2- b i b 2+a i a 3- b i b 3)+( b i a 2+a i b+b i a 3+a i b 3)i=(a i a 2+a i a 3- bb- b i b 3)+( ba 2+b i a s +a i b 2+a i b 3)i z i ( Z 2+Z 3)= Z 1Z 2+Z 1Z 3.3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为 0的两个共轭复数也叫做 共轭虚数+ 通常记复数Z 的共轭复数为Z 。
人教版高中数学选修1-2教案：3.2.2 复数的代数形式的乘除运算
编写时间：2020年 月 日 2020-2021学年 第一学期 编写人：马安山 课 题3.2.2 复数的代数形式的乘除运算授课班级高二(17)授课时间2020年 月 日学习目标 一、知识与技能：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
二、过程与方法：通过例题和习题的训练，引导学生从实数的运算入手，由具体到抽象总结出运算规律，提高学生的运算能力。
三、情感,态度与价值观：培养学生良好的思维品质，感受为真理而执著追求的精神，进行辩证唯物注意教育。
教学重点 复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念 教学难点 复数的代数形式的乘除运算 课 型新 课主要教学方法自主学习、思考、交流、讨论、讲解教学模式 合作探究，归纳总结 教学手段与教具几何画板、智慧黑板．教 学 过 程 设 计各环节教学反思一、复习准备：1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1）(1+4i)+(7-2i) （2）(5-2i)+(-1+4i)-(2-3i) （3）(3-2i)-[(-4+3i)-(5+i)]3. 计算：（1）)32()31(-⨯+ （2）)()(d c b a +⨯+ （类比多项式的乘法引入复数的乘法） 二、讲授新课：1.复数代数形式的乘法运算 ①.复数的乘法法则：i bc ad bd ac bdi adi bci ac di c bi a )()())((2++-=+++=++。
例1．计算（1）)27()41(i i -⨯+ （2）)41()27(i i +⨯-（3）[(3-2i)×(-4+3i)]×(5+i) （4）(3-2i)×[(-4+3i)×(5+i)] 探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？ 例2．1、计算（1）(1+4i)×(1-4i) （2）(1-4i)×(7-2i)×(1+4i ）（3）2)23(i +2、已知复数Z ，若(2+3i)Z ≥8，试求Z 的值。
人教高中数学选修1-2第三章 3.2.2复数的乘除法运算 课件
练习：计算 （ 1） (ab)ia (b)i
a 2 a bai bb 2 ii2
a2 b2
3、共轭复数的定义
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时， 这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于０的 两个共轭复数也叫做共轭虚数。
特别地，实数的共轭复数是实数本身。
Z的共轭复数记作Ｚ 思考：若z1 、 z2 ，是共轭复数，那么
设 z1 a b,iz2 c di
(a ， b ， c ， d R )
则 z• z （ a b ） (c i d )i 12 a c a d b ic b2 id
(a c b) d(a d b)ic
显然，两个复数的乘积仍为复数
2.复数运算满足交换律、结合律、分配 律。
••
12
21
（ • ） • • （ • ） 12 3 1 23
（１）在复平面内，它们所对应的点有怎样 的位置关系？
（２） z1 、z2是一个怎样的数？
两个互为共轭的复数的乘积等于这个复数 （或其共轭复数）模的平方
结论 •： 22
练习：
求(1i)2 (1i)2
(ab)2ia22a bb2 i2
a22abbi2
4【思考探究】 i 的指数变化规律
i1 i,i2 1,i3 i,i4 1
18 、每当我们在做人与处世中有了疏忽和遗漏时，请不要灰心和失望，关键是要记住：走错一步不算什么，路还很长呢，别忘了，还有下一 步呢! 3 、行动是通向成功的唯一途径。 12 、怕吃苦的人苦一i)(cdi)
(acbcd )2 (db2cad )i
分母实数化
例4.计算 (12i)(34i)
解:
四、【巩固新知】
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》优质课教案_3
<<复数代数形式的乘除运算>>教学设计
复数代数形式的四则运算,即复数代数形式的加法,减法,乘法和除法,重点是加法和乘法.复数加法和乘法的法则是规定的,其合理性表现在与实数加法,乘法的法则是一致的,而且实数加法,乘法的有关运算律在这里仍然成立.减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算的规定也与实数运算是一致的.所以对于高中生来说,法则易于理解和接受,只需采用类比的思想方法,再利用1
2-
i,就可以将复数的四
=
则运算归结为实数的四则运算了.
鉴于以上分析,本堂课的教学宜教师少讲,学生多练,练悟结合,从而达到熟能生巧的效果.。
高中数学选修1-2精品课件7：3.2.2 复数代数形式的乘除运算
2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题． 3．复数问题实数化思想． 复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其 桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充 要条件转化．
B．D．21＋21i
【解析】i2＋1－i3＋i i4＝－11－－ii＋1＝1－－ii ＝(1－－ii()1(＋1＋i)i)＝－i2＋1＝21－21i.
探究点二 共轭复数及其应用 问题 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？ 答 (1)在复平面上,两个共轭复数对应的点关于实轴对称． (2)实数的共轭复数是它本身，即 z＝ z ⇔z∈R，利用 这个性质可证明一个复数为实数． (3)若 z≠0 且 z＋ z ＝0，则 z 为纯虚数，利用这个性质， 可证明一个复数为纯虚数．
例 2 已知复数 z 满足|z|＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数， 求 z 的共轭复数 z .
解：设 z＝a＋bi(a，b∈R)， 则 z ＝a－bi 且|z|＝ a2＋b2＝1，即 a2＋b2＝1. ①
因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，
而(3＋4i)z 是纯虚数，
所以 3a－4b＝0，且 3b＋4a≠0.
②
由①②联立，解得a＝54， b＝35，
或a＝－45， b＝－35.
所以 z ＝45－35i，或 z ＝－45＋35i.
小结 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定 系数法，化解了问题的难点．
跟踪训练 2 已知复数 z 满足：z·z ＋2iz＝8＋6i，求 复数 z 的实部与虚部的和． 解：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z·z ＝a2＋b2， ∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i， 即 a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，
数学3.2.2复数代数形式的乘除运算课件(人教A版选修1-2)
z1＝－1＋i， z2＝－1－i；
z1＝－1－i， z2＝－1＋i.
做一做
1.设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，若z1·z2为 实数，则x等于( )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
解析：选A.∵z1·z2＝(1＋i)(x＋2i)＝x＋2i＋xi －2＝x－2＋(x＋2)i是实数，∴x＋2＝0，x＝
－2.
z z
3.共轭复数 如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反
3．2.2 复数代数形式的乘除运算
学习目标
学习导航
重点难点 重点：复数代数形式的乘、除运算 法则、运算律． 难点：复数除法的运算法则．
新知初探思维启动
1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ ac－bd＋__(_a_d_＋__b_c_)i__________________． 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1、z2、z3∈C，有
(3)(11＋－ii)6＋
2＋ 3－
3i 2i.
【解】 (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)
＝1－i2＋(－1＋i)
＝2－1＋i＝1＋i.
(2)(－12＋ 23i)( 23＋12i)(1＋i)
＝[(－ 43－ 43)＋(34－14)i](1＋i)
＝(－ 23＋12i)(1＋i)
＝(－
23－12)＋(12－
4.复数的除法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， 则zz21＝ac＋＋dbii＝
acc2＋＋bdd2 ＋_bc_c2_－ ＋__ad_2d_i(_c_＋__d_i≠__0_)______________________．
青海师范大学附属第二中学高中数学 3.2.2 复数代数形式的乘除运算练习题 新人教B版选修1-2
青海师范大学附属第二中学高中数学 3.2.2 复数代数形式的乘除运算练习题新人教B 版选修1-2一、基础过关1． 复数－i ＋1i 等于 ( ) A ．－2i B.12I C ．0 D ．2i2． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于 ( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i3． 若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则 ( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－14． 在复平面内，复数i1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于() A.34 B.43 C ．－43 D ．－346． 若z ＝1＋2ii ，则复数z 等于 ( )A ．－2－iB ．－2＋IC ．2－iD ．2＋i二、能力提升7．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．8．复数2i－1＋3i 的虚部是________．9．已知z 是纯虚数，z ＋21－i 是实数，那么z=________．10．计算：(1)2＋2i 1－i 2＋(21＋i )2 010； (2)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．11．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z2.12．已知复数z的共轭复数为z，且z·z－3i z＝101－3i，求z.。
人教A版高中数学选修1-2课件3.2.2复数代数形式的乘除运算
O
x
z
思考4：若 z = z ，则复数z具有什么特
征？反之成立吗？
z = z 畚z R
10
思考5：若复数z1＝z2·z，则称复数z为复
数z1除以z2所得的商，即z＝z1÷z2. 一般地，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di （c＋di≠0），如何求z1÷z2？
a + bi (a + bi)(c - di) ac + bd bc - ad
c + di
=
(c + di)(c -
= di)
c2 + d2
+
c2 + d2 i
11
思考6：(a + bi) ? (c
ac + bd bc - ad di) = c2 + d 2 + c2 + d 2 i
就是复数的除法法则，并且两个复数相
除（除数不为0），所得的商还是一个复
数，那么如何计算 a + bi ？
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
7
思考5：对于复数z1，z2，|z1·z2|与 |z1|·|z2|相等吗？
|z1·z2|＝|z1|·|z2|
8
探究（一）：复数的除法法则
思考1：对于分式 1 + 2 ，一般怎样
运算？
2+ 3
分母有理化.
思考2：在实数中，2 + 3与 2 - 3
互称为有理化因式，在复数中，a＋bi与
b - ai
a + bi = i(- ai + b) = i
b - ai b - ai
思考7：怎样理解 | z1 |= | z1 | ？
高中数学人教版选修1-2同课异构教学课件：3.2.2 复数代数形式的乘除运算 探究导学课型
3.复数除法的实质是怎样的？ 提示：复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先 把它们的商写成分数的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复 数，再把结果化简即可.
➡根据以上探究过程，试着写出共轭复数的定义以及复数的除法法则.
1.共轭复数
(1)条件：两个复数实部_____，虚部互为_______.
【拓展延伸】虚数单位i的周期性 (1)i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1(n∈N). (2)in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N). n也可以推广到整数集.
4.若z，z1，z2∈C，m，n∈N，则zmzn=zm+n，(zm)n=zmn，(z1·z2)m= 成立吗？
z
2.两个互为共轭复数的复数乘积是一个怎样的数？与复数的模的关系 是什么？
提示：当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个实数.事实
上，若z=a+bi(a，b∈R)，那么z· =(a+bi)·(a-bi)=a2+b2，且
有z· =|z|2=| |2.
z
z
z
【过关小练】
1.若x-2+yi和3x-i互为共轭复数，则实数x与y的值是( )
A.x=3，y=3
B.x=5，y=1
C.x=-1，y=-1
D.x=-1，y=1
【解析】选D.由题意得
x y
2 1，
3x，所以xy
1， 1.
2.复数 5 等于( ) 2i
A.2 iB. 2 1 iC.10 5iD.10 5 i
55
33
【解析】选A.
5 2
i
高中数学人教B版选修1-2 第三章3.2.2 复数的乘法和除法
三:复数乘法法则的深化
乘法运算律 设 z 1 , z2 ,z3 ∈C,有
交换律： 乘法结合律： 加法分配律
复数乘法法则的深化
乘法运算律 设 z 1 , z2 ,z3 ∈C,有
正整数指数幂运算律
，
实数中的完全平方公式，平方差 公式，立方差公式，立方和公式 在复数中仍适用，请大胆使用
一：复习
复数的加减法
设 z 1 a b ,z 2 ic d ( a ,b i ,c ,d R )
z1z2 (a c) (b d)i
z1z2(ac)(bd)i
与合并同类项类似
二：乘法运算
(a b)• i(c d) ia c a d b ic bi2 di
acadibcibd (acbd)(adb)ci
学习进步！ 你没那么多观众，别那么累。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想，更不庸人自扰。
身体健康， 只有在人群中间，才能认识自己。——德国
春花不红不如草，少年不美不如老。 福报不够的人，就会常常听到是非；福报够的人，从来就没听到过是非。 肯承认错误则错已改了一半。 懂得感恩，感谢帮助你的每一个人。 一个人的个人能力再强也无法战胜一个团队。 生命在闪光中显出灿烂，在平凡中显出真实。 每天告诉自己一次，“我真的很不错”。
六复数的除法法则
(abi)(cdi)abi cdi
(a bi)(c (c di)(c
di) di)
(acbd )(bcad )i c2d2
复数除法法则分母实数化，
和分母有理化类似。
复数除法解题步骤：
1、把除式写成分式的形式
2、分子与分母都乘以分母的共轭复数
高中数学选修1-2教学设计-复数代数形式的乘除运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算【问题导思】1．如何规定两个复数相乘？【提示】 两个复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．2．复数乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律吗？ 【提示】 满足．(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.(2)对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有【问题导思】如何规定两个复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i≠0)相除？ 【提示】z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋b c －dc ＋d c －d＝ac ＋bd ＋bc －adc 2＋d 2.(1)z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d 为实数，c ＋d i≠0)，z 1，z 2进行除法运算时，通常先把(a ＋b i)÷(c ＋d i)写成a ＋b ic ＋d i的形式再把分子与分母都乘以c －d i 化简后可得结果：ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i.(2)共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.复数代数形式的乘除法运算(1)(2013·课标全国卷Ⅱ)设复数z 满足(1－i)·z ＝2i ，则z ＝( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i (2)(2013·大纲全国卷)(1＋3i)3＝( ) A ．－8 B ．8 C ．－8iD ．8i(3)计算(1＋i 1－i )6＋2＋3i3－2i＝________.【思路探究】 (1)先设出复数z ＝a ＋b i ，然后运用复数相等的充要条件求出a ，b 的值．(2)直接利用复数的乘法运算法则计算．(3)先计算1＋i 1－i 再乘方，且将2＋3i3－2i的分母实数化后再合并．【自主解答】 (1)设z ＝a ＋b i ，则(1－i)(a ＋b i)＝2i ，即(a ＋b )＋(b －a )i ＝2i.根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，b －a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1， ∴z ＝－1＋i.故选A.(2)原式＝(1＋3i)(1＋3i)2＝(1＋3i)(－2＋23i)＝－2＋6i 2＝－8. (3)法一 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋226＋2＋33＋25＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.法二 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋226＋2＋33－2＝i 6＋2＋32＋3i＝－1＋i.【答案】 (1)A (2)A (3)－1＋i1．复数的乘法类比多项式相乘进行运算，复数除法要先写成分式形式后，再将分母实数化，注意最后结果要写成a ＋b i(a ，b ∈R )的形式．2．记住以下结论可以提高运算速度 (1)(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ； (2)1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ； (3)1i＝－i.计算： (1)(1－i)2；(2)(－12＋32i)(32＋12i)(1＋i)；(3)2i 2＋i . 【解】 (1)(1－i)2＝1－2i ＋i 2＝－2i. (2)(－12＋32i)(32＋12i)(1＋i)＝(－34－14i ＋34i ＋34i 2)(1＋i)＝(－34＋12i －34)(1＋i)＝(－32＋12i)(1＋i)＝－32－32i ＋12i －12＝－1＋32＋1－32i.(3)2i＝－＝2＋4i ＝2＋4i.(2)若复数z ＝1－i，求1＋z ＋z 2＋…＋z 2 013的值．【思路探究】 将式子进行适当的化简、变形，使之出现i n 的形式，然后再根据i n的值的特点计算求解．【自主解答】 (1)原式＝＋231＋23i＋[(21－i )2]1 006·(21－i ) ＝i ＋(2－2i)1 006·2＋2＝i ＋i 1 006·2＋2＝－22＋2－22i(2)1＋z ＋z 2＋…＋z 2 013＝1－z2 0141－z ，而z ＝1＋i 1－i ＝＋2－＋＝2i 2＝i ，所以1＋z ＋z 2＋…＋z 2 013＝1－i 2 0141－i ＝1－i 21－i＝1＋i.1．要熟记i n的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与i n联系起来以便计算求值．2．如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解．在本例(2)中若z＝i，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值．【解】由题意知1＋z＋z2＋…＋z2 013＝1＋i＋i2＋…＋i2 013＝－i2 0141－i＝1－i4×503＋21－i＝1－i21－i＝1＋i.∴原式＝1＋i.设z1，z2∈C，A＝z1·z2＋z2·z1，B＝z1·z1＋z2·z2，问A与B是否可以比较大小？为什么？【思路探究】设出z1，z2的代数形式→化简A，B→判断A，B是否同为实数→结论【自主解答】设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＝a－b i，z2＝c－d i，∴A＝z1·z2＋z2·z1＝(a＋b i)(c－d i)＋(c＋d i)(a－b i)＝ac－ad i＋bc i－bd i2＋ac－bc i＋ad i－bd i2＝2ac＋2bd∈R，B＝z1·z1＋z2·z2＝|z1|2＋|z2|2＝a2＋b2＋c2＋d2∈R，∴A与B可以比较大小．1．z·z＝|z|2＝|z|2是共轭复数的常用性质．2．实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝z，利用此性质可以证明一个复数是实数．3．若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i(a ，b ∈R )， 由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.记错i 2值而致误设复数z 满足1＋2i z＝i ，则z ＝( )A ．－2＋iB ．－2－iC ．2－iD ．2＋i【错解】 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )满足1＋2i z＝i ，所以1＋2i ＝a i ＋b .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i ，故选D 项． 【答案】 D【错因分析】 将i 2＝－1当成i 2＝1来运算漏掉负号．【防范措施】 在进行乘除法运算时，灵活运用i 的性质，并注意一些重要结论的灵活应用．【正解】 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )满足1＋2i z＝i ，所以1＋2i ＝a i －b .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，所以z ＝2－i ，故选C 项． 【答案】 C1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题． 3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化.1．(2012·北京高考)在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1)【解析】10i3＋i＝－32＋12＝－10＝1＋3i ，∴其对应点的坐标为(1,3)，选A. 【答案】 A2．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 【解析】 因为a －103－i ＝a －＋－＋＝a －＋10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.【答案】 D3．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x ＝________，y ＝________.【解析】 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3x ，y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1. 【答案】 －1 1 4．计算：(1)(1－i)(－12＋32i)(1＋i)；(2)2＋3i 3－2i ；(3)(2－i)2.【解】 (1)法一 (1－i)(－12＋32i)(1＋i)＝(－12＋32i ＋12i －32i 2)(1＋i)＝(3－12＋3＋12i)(1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二 原式＝(1－i)(1＋i)(－12＋32i)＝(1－i 2)(－12＋32i)＝2(－12＋32i)＝－1＋3i.(2)2＋3i3－2i ＝2＋3i 3＋2i 3－2i 3＋2i＝2＋3i3＋2i32＋22＝6＋2i ＋3i －65＝5i5＝i. (3)(2－i)2＝(2－i)(2－i) ＝4－4i ＋i 2＝3－4i.一、选择题1．复数(2＋i)2等于( ) A ．3＋4i B ．5＋4i C ．3＋2iD ．5＋2i【解析】 (2＋i)2＝4＋4i ＋i 2＝4＋4i －1＝3＋4i.故选A. 【答案】 A2．i 是虚数单位，复数5＋3i4－i＝( )A ．1－iB ．－1＋iC ．1＋iD ．－1－i【解析】5＋3i4－i＝＋＋42＋1＝17＋17i 17＝1＋i.【答案】 C3．(2013·课标全国卷Ⅰ)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45C ．4D ．45【解析】 ∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝42＋323－4i ＝＋25＝35＋45i ，∴z 的虚部为45.【答案】 D4．若z ＋z ＝6，z ·z ＝10，则z ＝( ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6a 2＋b 2＝10，解得a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i. 【答案】 B5．(2013·湖北高考)在复平面内，复数z ＝2i1＋i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 z ＝2i1＋i＝－＋－＝1＋i ，所以z ＝1－i ，故复数z 的共轭复数对应的点位于第四象限．【答案】 D 二、填空题6．(2013·江苏高考)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________． 【解析】 z ＝(2－i)2＝3－4i ，所以|z |＝|3－4i|＝32＋－2＝5.【答案】 57．若3＋b i 1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.【解析】 3＋b i 1－i ＝＋b ＋2＝12[(3－b )＋(3＋b )i]＝3－b 2＋3＋b 2i. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3－b 2，3＋b 2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3.【答案】3 8．当z ＝－1－i 2时，z 2 012＋z 2 014＝________.【解析】 z ＝－1－i 2，∴z 2＝－2i 2＝－i ，∴z2 012＝(－i)2 012＝1，z 2 014＝(－i)2 014＝－1，∴z2 012＋z2 014＝1－1＝0.【答案】 0 三、解答题 9．计算下列各题：(1)＋71－i＋－71＋i －－＋34＋3i；(2)1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i)7； (3)(－32－12i)12＋(2＋2i 1－3i)8.【解】 (1)原式＝[(1＋i)2]31＋i1－i ＋[(1－i)2]3·1－i 1＋i－－＋2＋－＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－＋i＝8＋8－16－16i ＝－16i.(2)1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i )7 ＝－i·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋[1＋2]2＋i 7＝162(－1＋i)－14－i＝－(162＋14)＋(162－1)i.(3)(－32－12i)12＋(2＋2i 1－3i)8＝(－i)12·(－32－12i)12＋(1＋i 12－32i )8 ＝(－12＋32i)12＋[1＋i 2]4·12－32i[12－32i 3]3＝[(－12＋32i)3]4＋(－8＋83i)＝1－8＋83i ＝－7＋83i. 10．复数z ＝＋2＋－2＋i ，若z 2＋a z<0，求纯虚数a .【解】 z ＝2i ＋3－3i2＋i＝1－i ，∵a 为纯虚数，设a ＝m i(m ∈R ，m ≠0)， 则z 2＋az＝(1－i)2＋m i 1－i＝－2i ＋m i －m2＝－m2＋(m2－2)i<0， ⎩⎪⎨⎪⎧－m 2<0m2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.11．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2i 1－i 1＋i ＝0的复数z 所对应的点在第几象限？【解】 结合⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc 可知⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2i 1－i 1＋i ＝z (1＋i)－(1－i)(1＋2i)＝0， ∴z ＝－＋1＋i ＝－2＋＋－＝2－i ，∴复数z 所对应的点在第四象限.。