高中数学几种常见的平面变换逆变换与逆矩阵旋转变换课件苏教版

2.2.4 旋转 变换
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应用创新 演练
考点一 考点二
2．2.4 旋转变换
1．旋转变换
将一个图形 F 绕某个定点 O 旋转角度 θ 所得图形 F′的变
换称为_旋__转__变__换__．其中点 O 称为旋转中心，角度 θ 称为_旋__转__角__．
2．旋转变换矩阵
像scions
所以点 A(4,8)在这个旋转变换作用下的象为
A′(－6 2，－2 2)．
由旋转角
θ
的大小，写出旋转变换矩阵scions
θ θ
－sin cos
θθ是
解决这类问题的关键．逆时针旋转时，θ 为正值，顺时针方向
旋转时，θ 为负值．
1．求出△ABC 分别在 M1＝－10
－01，M2＝01
－1 0
，M3＝
图形分别为
2．在直角坐标系 xOy 内，将每个点绕坐标原点 O 按顺时针方 向旋转 60°的变换称为旋转角为－60°的旋转变换，求点 A(－ 1,0)在这个旋转变换作用下得到的点 A′的坐标．
解：由题意得旋转变换矩阵为
cos－60° sin－60°
1 3
－csoins－ －6600°°＝－223
2
，
1
2
故对应的坐标变换公式为x′＝12x＋ 23y
.
y′＝－ 23x＋12y
令
x＝－1，y＝0
得x′＝－12
y′＝
3 2
.
所以所求的点 A′的坐标为－12， 23.
曲线在旋转变换作用下的象
[例 2] 已知曲线 C：x2＋y2＝2，将曲线 C 绕坐标原点逆时 针旋转 60°后，求得到的曲线 C′的方程．
2 2 2
－
2
2
对应的变换作用下的图形这里
2
A(0,0)，B(2,0)，
2
2
C(1,1)．
解析：在 M1 下，A→A′(0,0)，B→B′(－2,0)，C→C′(－
1，－1)．
在 M2 下，A→A″(0,0)，B→B″(0,2)，C→C″(－1,1)．
在 M3 下，A→A
，B→B 2， 2)，C→C ， 2)．
∴αα－ ＋ππ44＝ ＝－ kππ2. ＋2kπ，
(k∈Z)
∴αα＝ ＝－ －ππ44＋ ＋2kkππ. ，
(k∈Z)
∴α＝－π4＋2kπ(k∈Z)．
2．设点 P 的坐标为(1，－2)，T 是绕原点逆时针旋转π3的旋转变 换，求旋转变换 T 对应的矩阵 A，并求点 P 在旋转变换 T 作 用下得到的点 P′的坐标．
[精解详析] (1)该变换的坐标变换公式为：
x′＝xcos 135°－ysin y′＝xsin 135°＋ycos
135° 135°
，该变换对应的矩阵为：
cos 135° sin 135°
－sin cos
113355°°＝－
2 2
2
2
－
2 2
－
2. 2
(2)由(1)知，当 x＝4，y＝8 时，
x′＝－6 2，y′＝－2 2，
1．若点
A
22，
22在矩阵csions
α α
－sin cos
αα对应的变换作用下得
到的点为(1,0)，求 α.
解：由csions
α α
2
－sin α cos α
22＝10，
2
得
22cos
α－
22sin
α＝1，
22sin
α＋
22cos
α＝0.
∴sinα－π4＝－1， sinα＋π4＝0.
因为绕原点逆时针旋转 90°的变换所对应的矩阵为
M＝csions
90° 90°
－sin cos
9900°°＝01
－10.
所以10
－1 0
－02＝－20，
0 1
－1 0
0 －
3＝
03，
0 1
－1 0
20＝02，01
－1 0
0
3＝－0
3 .
故点 A，B，C，D 在旋转变换 M 的作用下分别变为点 A′(0， －2)，B′( 3，0)，C′(0,2)，D′(－ 3，0)，从而椭圆曲线 Γ： x42＋y32＝1 在逆时针旋转 90°后所成的曲线为椭圆曲线 Γ ′：x32＋ y42＝1.
理解与掌握旋转变换对应的变换矩阵和坐标变换公式是解 答该类问题的关键，对于特殊图形的旋转变换，也可根据数形 结合直接得出，如本例中，曲线 C 是以原点为圆心的圆，所以 它不管旋转多少度，所得的图形仍是其自身．
3．将双曲线 C：x2－y2＝1 上的点绕原点逆时针旋转 45°，得到 新图形 C′，试求 C′的方程． 解：根据题意，得旋转变换矩阵
所以 x20－y20＝1， 即有12(x＋y)2－12(y－x)2＝1，
整理可得 2xy＝1，
所以所求 C′的方程为 xy＝12.
4．已知椭圆 Γ：x42＋y32＝1，试求该曲线绕逆时针方向旋转 90° 后所得到的曲线，画出示意图． 解：设椭圆与坐标轴的交点分别为 A(－2,0)，B(0，－ 3)， C(2,0)，D(0， 3)(如图所示)．
－
3 2
3 1
yx00＝xy′0′0 ，
2 2
故x0＝12x′0 ＋ 3y′0 ， y0＝12y′0 － 3x′0 .
因为点 P(x0，y0)在曲线 C：x2＋y2＝2 上， 所以 x0 2＋y0 2＝2， 即 12x′0 ＋ 3y0′2＋12y′0 － 3x0′2＝2， ∴x′0 2＋y′0 2＝2. 从而曲线 C′的方程为 x2＋y2＝2.
θ θ
－sin cos
θθ这样的矩阵，称为旋转变换矩阵．
旋转变换只改变几何图形的_相__对__位__置___，不会改变几何图形
的_形__状___．
点在旋转变换作用下的象
[例 1] 在直角坐标系 xOy 内，将每个点绕原点 O 按逆 时针方向旋转 135°的变换称为旋转角是 135°的旋转变换．
(1)试写出这个旋转变换的坐标变换公式和相应的矩阵； (2)求点 A(4,8)在这个旋转变换作用下的象 A′. [思路点拨] 根据其坐标变换公式写出旋转变换对应的 矩阵后求解．
[思路点拨] 先求出旋转变换矩阵，再根据变换公式求曲线 方程．
[精解详析] 旋转变换对应的矩阵
M＝csions
60° 60°
－sin cos
1 6600°°＝2
3
－
3
2
，
1
2 2
设 P(x0，y0)为曲线 C 上任意的一点，它在矩阵 M 对应的变
换作用下变为 P′(x′0 ，y′0 )．
1 则有2ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
M＝scions
45° 45°
－sin cos
4455°°＝
2 2
2
－
2
2
，
2
2
任意选取双曲线 x2－y2＝1 上的一点 P(x0，y0)，它在变换作
用下变为 P′(x，y)，
x＝ 则有
22x0－
22y0，
y＝ 22x0＋ 22y0，
那么
x0＝
22x＋y，
y0＝ 22y－x，
又因为点 P 在曲线 x2－y2＝1 上，