高三数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第二节四种命题和充要条件课时跟踪检测理

课时跟踪检测（二） 四种命题和充要条件
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．
解析：若(2x －1)x ＝0，则x ＝1
2或x ＝0，即不一定是x ＝0；若x ＝0，则一定能推出
(2x －1)x ＝0.故“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
2．(2015·苏州模拟)已知p ：|x |<2；q ：x 2
－x －2<0，则p 是q 的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．
解析：由x 2
－x －2<0，得(x －2)(x ＋1)<0，解得－1<x <2；由|x |<2得－2<x <2.注意到由－2<x <2不能得－1<x <2，即由p 不能得q ；反过来，由－1<x <2可知－2<x <2，即由q 可得p .因此，p 是q 的必要不充分条件．
答案：必要不充分
3．原命题p ：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2
>bc 2
”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
解析：当c ＝0时，ac 2
＝bc 2
，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a ，b ，c ∈R ，若ac 2
>bc 2
，则a >b ”，它是正确的；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．
答案：2
4．设命题p ：2x －1≤1，命题q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．
解析：解不等式2x －1≤1，得12≤x ≤1，故满足命题p 的集合P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.解不等式(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，得a ≤x ≤a ＋1，故满足命题q 的集合Q ＝[a ，a ＋1]．又q 是p 的必要不充分条件，则P 是Q 的真子集，即a ≤12且a ＋1≥1，解得0≤a ≤1
2
，故实数a 的取值
范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12.
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12 5．(2016·南通、扬州、泰州、淮安三调)给出下列三个命题： ①“a >b ”是“3a
>3b
”的充分不必要条件；
②“α>β ”是“cos α<cos β ”的必要不充分条件；
③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2
(x ∈R)为奇函数”的充要条件．其中真命题的序号为________．
解析：①是充要条件，故①错误；②是既不充分又不必要条件，故②错误；③正确． 答案：③
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1．已知复数z ＝a ＋3i
i (a ∈R ，i 为虚数单位)，则“a >0”是“z 在复平面内对应的点
位于第四象限”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．
解析：z ＝a ＋3i
i ＝－(a ＋3i)i ＝3－a i ，若z 位于第四象限，则a >0，反之也成立，所
以“a >0”是“z 在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件．
答案：充要
2．命题“a ，b ∈R ，若a 2
＋b 2
＝0，则a ＝b ＝0”的逆否命题是______________． 解析：a ＝b ＝0的否定为a ≠0或b ≠0；a 2
＋b 2
＝0的否定为a 2
＋b 2
≠0. 答案：a ，b ∈R ，若a ≠0或b ≠0，则a 2
＋b 2≠0
3．(2016·南京、盐城一模)设向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，则“a ∥b ”是“tan θ＝1
2”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不
充分又不必要”)．
解析：若a ∥b ，则cos 2
θ－sin 2θ＝0，
即cos 2
θ－2sin θcos θ＝0，解得cos θ＝0或tan θ＝12，
所以“a ∥b ”是“tan θ＝1
2”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
4．命题p ：“若ac ＝b ，则a ，b ，c 成等比数列”，则命题p 的否命题是________(填“真”或“假”)命题．
解析：命题p 的否命题是“若ac ≠b ，则a ，b ，c 不成等比数列”． 答案：假
5．(2016·镇江五校联考)若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．
解析：因为|x |≤2，则p ：－2≤x ≤2，q ：x ≤a ， 由于p 是q 的充分不必要条件，
则p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，
所以a ≥2. 答案：[2，＋∞)
6．在命题“若m ＞－n ，则m 2
＞n 2
”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．
解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22
<32
， 所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题， 若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2
>(－2)2，
但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题． 故假命题的个数为3. 答案：3
7．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．
解析：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，又S 4＝2S 2， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 1＋a 2)，∴a 3＋a 4＝a 1＋a 2，
∴q 2
＝1⇔|q |＝1，∴“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的充要条件． 答案：充要
8．已知p (x )：x 2
＋2x －m ＞0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．
解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3； 又p (2)是真命题，所以4＋4－m ＞0， 解得m ＜8.故实数m 的取值范围是[3,8)． 答案：[3,8)
9．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x mx －1x <0，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，C ＝{x |log 12
x >1}，命题p ：实数m 为小于6的正整数，q ：A 是B 成立的充分不必要条件，r ：A 是C 成立的必要不充分条
件．若命题p ，q ，r 都是真命题，求实数m 的值．
解：∵命题p 是真命题， ∴0<m <6，m ∈N ，① ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x
mx －1
x <0＝⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x0<x<1m . 由题意知，B ＝{x |x 2
－3x －4≤0}＝{x |－1≤x ≤4}，
C ＝⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x|log 12x>1＝
⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x0<x<12. ∵命题q ，r 都是真命题，∴A B ，C A ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
1m ≤4，1m >12.
②
由①②得m ＝1.
10．设p ：－1≤4x －3≤1；q ：x 2
－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
解：法一：设A ＝{x |－1≤4x －3≤1}，
B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}，
由－1≤4x －3≤1，得1
2≤x ≤1，故A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x 12≤x≤1；
由x 2
－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1，故B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，
所以綈p 所对应的集合为∁R A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x|x<1
2或x>1，綈q 所对应的集合为∁R B ＝
{}x|x<a 或x>a ＋1.
由綈p 是綈q 的必要不充分条件，知∁R B ∁R A ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤12
，
a ＋1≥1，
解得0≤a ≤1
2
.
故所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12. 法二：设A ＝{x |－1≤4x －3≤1}，
B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}．
由－1≤4x －3≤1，得1
2≤x ≤1，故A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x 12≤x≤1；
由x 2
－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1， 故B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．
由綈p 是綈q 的必要不充分条件，可知p 是q 的充分不必要条件，所以A B . 所以⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤12
，
a ＋1≥1，
解得0≤a ≤1
2
.
故所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．给出下列命题：
①已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，则该三角形是等边三角形的充要条件为a 2
＋b 2
＋
c 2＝ab ＋ac ＋bc ；
②数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝An 2
＋Bn 是数列{a n }为等差数列的必要不充分条件；
③在△ABC 中，A ＝B 是sin A ＝sin B 的充要条件；
④已知a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2都是不等于零的实数，关于x 的不等式a 1x 2
＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2
＋b 2x ＋c 2>0的解集分别为P ，Q ，则a1a2＝b1b2＝c1c2
是P ＝Q 的充要条件．
其中正确的命题的序号是________．
解析：对于①，a 2
＋b 2
＋c 2
＝ab ＋ac ＋bc ⇔2(a 2
＋b 2
＋c 2
)＝2(ab ＋ac ＋bc )⇔(a －b )2
＋(b －c )2
＋(a －c )2
＝0⇔a ＝b ＝c ⇔△ABC 是等边三角形，故①正确；对于②，由S n ＝An 2
＋
Bn ，得a 1＝A ＋B ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2An －A ＋B ，
显然n ＝1时适合该式，易知数列{a n }是等差数列，满足充分性，故②不正确；对于③，记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则A ＝B ⇔a ＝b ，由正弦定理得
a
sin A ＝
b
sin B
，则a ＝b ⇔sin A ＝sin B ，所以A ＝B ⇔sin A ＝sin B ，故③正确；对于④，例如：x 2＋x ＋5>0与x 2
＋x ＋2>0的解集都是R ，但是11＝11≠52，故不满足必要性，故④不正
确．
答案：①③
2．(2015·南京三模)记不等式x 2
＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．
解析：由x 2
＋x －6<0，得－3<x <2，即A ＝(－3,2)，又由x －a >0，得x >a ，即B ＝(a ，＋∞)，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以(－3,2)⊆(a ，＋∞)，故a ≤－3.
答案：(－∞，－3]
3．已知集合A ＝{x |x 2
－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．
解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅. 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，
则U ＝⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
m | m≤－1或m ≥32.
假设方程x 2
－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧
m∈U，x1＋x2≥0，
x1x2≥0，
即
⎩⎪⎨⎪
⎧
m∈U，4m≥0，2m ＋6≥0
解得m ≥3
2
.
又集合⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
m | m ≥32关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，
所以实数m 的取值范围是(－∞，－1]．。