人教A版选修2-2函数的单调性与导数检测题

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新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用检测A(1)

第一章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1解析∵y'=2x+a,∴曲线y=x2+ax+b在(0,b)处的切线的斜率为a,切线方程为y-b=ax,即ax-y+b=0.∴a=1,b=1.答案A2若函数f(x)=ax5+bx3+c满足f'(1)=2,则f'(-1)等于()A.-1B.-2C.2D.0解析f'(x)=5ax4+3bx2为偶函数,∴f'(-1)=f'(1)=2.答案C3若函数f(x)=a ln x+x在x=1处取得极值,则a的值为()A.12B.-1 C.0 D.-12解析f'(x)=ax+1,令f'(x)=0,得x=-a, 易知函数f(x)在x=-a处取得极值.所以a=-1.答案B4已知函数f(x)的导数f'(x)=a(x+1)(x-a),且f(x)在x=a处取得极大值,则实数a的取值范围是() A.(-1,+∞) B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)答案B5设f(x)={x2,x∈[0,1],1x,x∈(1,e],则∫ef(x)d x等于()A.43B.54C.65D.76解析∫e0f(x)d x=∫1x2d x+∫e11xd x=13x3|1+ln x|e1=43.故选A.答案A6已知点P在曲线y=4e x+1上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()A.[0,π4) B.[π4,π2)C.(π2,3π4] D.[3π4,π)解析因为0>y'=-4e x(e x+1)2=-4e x+2+1e x≥-1,当且仅当x=0时取等号.即-1≤tan α<0,所以3π4≤α<π.答案D7∫1(e x+2x)d x等于() A.1 B.e-1C.eD.e+1解析∵(e x+x2)'=e x+2x,∴∫10(e x+2x)d x=(e x+x2)|1=(e1+12)-(e0+0)=e.答案C8设a∈R,若函数y=e ax+3x,x∈R有大于零的极值点,则() A.a>-3 B.a<-3C.a>-13D.a<-13解析令y'=a e ax+3=0,∴e ax=-3a.设x=x0为大于0的极值点,∴e ax0=-3a.∴a<0,ax0<0.∴0<e ax0<1,即0<-3a<1.∴a<-3.答案B9设a<b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是()解析y'=2(x-a)(x-b)+(x-a)2=(x-a)(3x-a-2b),令y'=0,得x=a或x=a+2b3.∵a<b ,∴a<a+2b3. ∴当x=a 时,y 取极大值0;当x=a+2b3时,y 取极小值,且极小值小于零.故选C . 答案C10若函数f (x ),g (x )满足∫ 1-1f (x )g (x )d x=0,则称f (x ),g (x )为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f (x )=sin 12x ,g (x )=cos 12x ;②f (x )=x+1,g (x )=x-1;③f (x )=x ,g (x )=x 2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( ) A.0B.1C.2D.3解析对于①,∫ 1-1sin 12x ·cos 12x d x=∫ 1-112sin x d x=12∫ 1-1sin x d x=12(-cos x )|-11=12{-cos 1-[-cos(-1)]}=12(-cos 1+cos 1) =0.故①为一组正交函数;对于②,∫ 1-1(x+1)(x-1)d x=∫ 1-1(x 2-1)d x=(13x 3-x)|-11=13-1-(-13+1)=23-2=-43≠0,故②不是一组正交函数;对于③,∫1-1x·x2d x=∫1-1x3d x=(14x4)|-11=0.故③为一组正交函数,故选C.答案C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11∫-1-21(11+5x)3d x=.解析取F(x)=-110(5x+11)2,从而F'(x)=1(11+5x)3.则∫-1-21(11+5x)3d x=F(-1)-F(-2)=-110×62+110×12=110−1360=772.答案77212若函数f(x)在x=a处的导数为A(aA≠0),函数F(x)=f(x)-A2x2满足F'(a)=0,则A=.解析由题知f'(a)=A,又F'(x)=f'(x)-2A2x,且F'(a)=f'(a)-2aA2=A-2aA2=0.∵aA≠0,∴A=12a.答案12a13已知函数f (x )在(0,+∞)内可导,且f (e x )=x+e x ,则f'(1)= . 解析令e x =t ,则x=ln t ,∴f (t )=ln t+t ,∴f'(t )=1t +1,∴f'(1)=2.答案214设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点P 处的切线垂直,则点P 的坐标为 .解析曲线y=e x 在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x |x=0=1;由y=1x,可得y'=-1x2,因为曲线y=1x(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,所以-1x P2=-1,解得x P =1,由y=1x,得y P =1,故所求点P 的坐标为(1,1). 答案(1,1)15已知函数f (x )为一次函数,其图象经过点(3,4),且∫ 10f (x )d x=1,则函数f (x )的解析式为 .解析设函数f (x )=ax+b (a ≠0).∵函数f (x )的图象经过点(3,4),∴b=4-3a.∴∫ 10f (x )d x=∫10(ax+4-3a )d x =[12ax 2+(4-3a )x]|01=12a+4-3a=1, ∴a=65.∴b=25.∴f (x )=65x+25.答案f (x )=65x+25三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)求定积分∫0-1x2x2+2xd x的值.解∫0-1x2x2+2xd x=∫0-1x2+2x-2xx2+2xd x=∫0-1(1-2x+2)d x=∫0-11d x-∫0-12x+2d x=1-2∫0-11x+2d x=1-2ln(x+2)|-10=1-2ln 2.17(8分)已知曲线f(x)=2x3-3x,过点M(0,32)作曲线f(x)的切线,求切线的方程.解设切点坐标为N(x0,2x03-3x0),由导数的几何意义知切线的斜率k就是切点处的导数值,而f'(x)=6x2-3,所以切线的斜率k=f'(x0)=6x02-3.所以切线方程为y=(6x02-3)x+32.又点N在切线上,所以2x03-3x0=(6x02-3)x0+32,解得x0=-2.故切线方程为y=21x+32.18(9分)求函数y=13x3+3-ln x的单调区间.解函数的定义域为(0,+∞),y'=x2-1x =(x-1)(x2+x+1)x.令y'>0,则{(x-1)(x2+x+1)x>0,x>0,解得x>1;令y'<0,则{(x-1)(x2+x+1)x<0, x>0,解得0<x<1.故函数的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).19(10分)设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)确定a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解(1)因f(x)=a(x-5)2+6ln x,故f'(x)=2a(x-5)+6x.令x=1,得f(1)=16a,f'(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=12.(2)由(1)知,f(x)=12(x-5)2+6ln x(x>0),f'(x)=x-5+6x =(x-2)(x-3)x.令f'(x)=0,解得x1=2,x2=3.当0<x<2或x>3时,f'(x)>0,故f(x)的单调递增区间为(0,2),(3,+∞);当2<x<3时,f'(x)<0,故f(x)的单调递减区间为(2,3).由此可知f(x)在x=2处取得极大值f(2)=92+6ln 2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln 3.20(10分)已知f(x)=a(x-ln x)+2x-1x2,a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a=1时,证明f(x)>f'(x)+32对于任意的x∈[1,2]成立.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞).f'(x )=a-a x −2x 2+2x 3=(ax 2-2)(x -1)x 3. 当a ≤0时,x ∈(0,1)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,x ∈(1,+∞)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.当a>0时,f'(x )=a (x -1)x 3(x -√2a )(x +√2a ).①0<a<2时,√2a >1,当x ∈(0,1)或x ∈(√2a ,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,当x ∈(1,√2a)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.②a=2时,√2a =1,在x ∈(0,+∞)内,f'(x )≥0,f (x )单调递增.③a>2时,0<√2a <1,当x ∈(0,√2a )或x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,当x ∈(√2a ,1)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.综上所述,当a ≤0时,f (x )在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减;当0<a<2时,f (x )在(0,1)内单调递增,在(1,√2a)内单调递减,在(√2a,+∞)内单调递增;当a=2时,f (x )在(0,+∞)内单调递增;当a>2时,f (x )在(0,√2a )内单调递增,在(√2a ,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增. (2)由(1)知,a=1时,f (x )-f'(x )=x-ln x+2x -1x 2−(1-1x −2x 2+2x 3)=x-ln x+3x +1x 2−2x 3-1,x ∈[1,2].设g (x )=x-ln x ,h (x )=3x +1x 2−2x 3-1,x ∈[1,2].则f (x )-f'(x )=g (x )+h (x ).由g'(x )=x -1x≥0, 可得g (x )≥g (1)=1, 当且仅当x=1时取得等号.又h'(x )=-3x 2-2x+6x 4, 设φ(x )=-3x 2-2x+6,则φ(x )在x ∈[1,2]单调递减, 因为φ(1)=1,φ(2)=-10,所以∃x 0∈(1,2),使得x ∈(1,x 0)时,φ(x )>0,x ∈(x 0,2)时,φ(x )<0. 所以h (x )在(1,x 0)内单调递增,在(x 0,2)内单调递减.由h (1)=1,h (2)=12,可得h (x )≥h (2)=12, 当且仅当x=2时取得等号.所以f (x )-f'(x )>g (1)+h (2)=32,即f (x )>f'(x )+32对于任意的x ∈[1,2]成立.。

高中数学综合测试题3 新人教A版选修2-2

高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题1．函数2y x =在区间[12]，上的平均变化率为（）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5 答案：Ｂ2．已知直线y kx =是ln y x =的切线，则k 的值为（）Ａ．1eＢ．1e - Ｃ．2e Ｄ．2e -答案：Ａ 3．如果1N 的力能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm （在弹性限度内）所耗费的功为（）答案：Ａ4．方程2(4)40()x i x ai a ++++=∈R 有实根b ，且z a bi =+，则z =（）Ａ．22i - Ｂ．22i + Ｃ．22i -+ Ｄ．22i -- 答案：Ａ5．ABC △内有任意三点不共线的2002个点，加上A B C ，，三个顶点，共2005个点，把这2005个点连线形成不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（）Ａ．4005 Ｂ．4002 Ｃ．4007 Ｄ．4000 答案：Ａ6．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的第50项（）Ａ．8 Ｂ．9 Ｃ．10 Ｄ．11 答案：Ｃ7．在证明()21f x x =+为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数()21f x x =+满足增函数的定义是大前提；④函数()21f x x =+满足增函数的定义是大前提．其中正确的命题是（）Ａ．①②Ｂ．②④Ｃ．①③Ｄ．②③答案：Ｃ8．若a b ∈R ，，则复数22(45)(26)a a b b i -++-+-表示的点在（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｄ9．一圆的面积以210πcm /s 速度增加，那么当圆半径20cm r =时，其半径r 的增加速率u 为（）Ａ．12cm/s Ｂ．13cm/sＣ．14 cm/s Ｄ．15cm/s答案：Ｃ10．用数学归纳法证明不等式“11113(2)12224n n n n +++>>++”时的过程中，由n k =到1n k =+时，不等式的左边（）Ａ．增加了一项12(1)k +Ｂ．增加了两项11212(1)k k +++ Ｃ．增加了两项11212(1)k k +++，又减少了一项11k + Ｄ．增加了一项12(1)k +，又减少了一项11k +答案：Ｃ11．在下列各函数中，值域不是[的函数共有（）（1）(sin )(cos )y x x ''=+（2）(sin )cos y x x '=+ （3）sin (cos )y x x '=+（4）(sin )(cos )y x x ''=· Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个答案：Ｃ12．如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +等于（）Ａ．23 Ｂ．43 Ｃ．83Ｄ．123答案：Ｃ二、填空题13．函数3()31f x x x =-+在闭区间[30]-，上的最大值与最小值分别为．答案：3，17-14．若113z i =-，268z i =-，且12111z z z +=，则z 的值为．答案：42255i -+15．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数n a 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是．答案：21n a n =+16．物体A 的运动速度v 与时间t 之间的关系为21v t =-（v 的单位是m/s ，t 的单位是s ），物体B 的运动速度v 与时间t 之间的关系为18v t =+，两个物体在相距为405m 的同一直线上同时相向运动．则它们相遇时，A 物体的运动路程为．答案：72m 三、解答题17．已知复数1z ，2z 满足2212121052z z z z +=，且122z z +为纯虚数，求证：123z z -为实数．证明：由2212121052z z z z +=，得22112210250z z z z -+=，即221212(3)(2)0z z z z -++=，那么222121212(3)(2)[(2)]z z z z z z i -=-+=+，由于，122z z +为纯虚数，可设122(0)z z bi b b ==∈≠R ，且，所以2212(3)z z b -=，从而123z z b -=±，故123z z -为实数．解：设该容器底面矩形的短边长为x cm ，则另一边长为(0.5)x +m ，此容器的高为14.8(0.5) 3.224y x x x =--+=-，于是，此容器的容积为：32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V x x x x x x x =+-=-++，其中0 1.6x <<，即2()6 4.4 1.60V x x x '=-++=，得11x =，2415x =-（舍去），因为，()V x '在(01.6)，内只有一个极值点，且(01)x ∈，时，()0V x '>，函数()V x 递增； (11.6)x ∈，时，()0V x '<，函数()V x 递减；所以，当1x =时，函数()V x 有最大值3(1)1(10.5)(3.221) 1.8m V =⨯+⨯-⨯=， 31.8m ．19．如图所示，已知直线a 与b 不共面，直线c a M =，直线b c N =，又a 平面A α=，b 平面B α=，c 平面C α=，求证：A B C ，，三点不共线．证明：用反证法，假设A B C ，，三点共线于直线l ， A B C α∈，，∵，l α⊂∴．c l C =∵，c ∴与l 可确定一个平面β． c a M =∵，M β∈∴．又A l ∈，a β⊂∴，同理b β⊂，∴直线a ，b 共面，与a ，b 不共面矛盾．所以AB C ，，三点不共线． 20．已知函数32()31f x ax x x =+-+在R 上是减函数，求a 的取值范围．解：求函数()f x 的导数：2()361f x ax x '=+-．（1）当()0()f x x '<∈R 时，()f x 是减函数．23610()0ax x x a +-<∈⇔<R 且36120a ∆=+<3a ⇔<-．所以，当3a <-时，由()0f x '<，知()()f x x ∈R 是减函数；（2）当3a =-时，33218()331339f x x x x x ⎛⎫=-+-+=--+ ⎪⎝⎭，由函数3y x =在R 上的单调性，可知当3a =-时，()()f x x ∈R 是减函数；（3）当3a >-时，在R 上存在使()0f x '>的区间，所以，当3a >-时，函数()()f x x ∈R 不是减函数．综上，所求a 的取值范围是(3)--，∞．21．若0(123)i x i n >=，，，，，观察下列不等式：121211()4x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥，123123111()9x x x x x x ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭≥，，请你猜测1212111()n nx x x x x x ⎛⎫++++++⎪⎝⎭满足的不等式，并用数学归纳法加以证明．解：满足的不等式为21212111()(2)n nx x x n n x x x ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭≥≥，证明如下： 1．当2n =时，结论成立；2．假设当n k =时，结论成立，即21212111()k kx x x k x x x ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭2221(1)k k k ++=+≥．显然，当1n k =+时，结论成立．22．设曲线2(0)y ax bx c a =++<过点(11)-，，(11)，．（1）用a 表示曲线与x 轴所围成的图形面积()S a ；（2）求()S a 的最小值．解：（1）曲线过点(11)-，及(11)，，故有1a b c a b c =-+=++，于是0b =且1c a =-，令0y =，即2(1)0ax a +-=，得x = 记α=，β=，由曲线关于y 轴对称，有2300()2[(1)]2(1)3a S aax a dx x a xββ⎡⎤=+-=+-⎢⎥⎣⎦⎰|2(13a a⎡=-=⎢⎣· （2）()S a =3(1)()(0)a f a a a-=<，则223221(1)()[3(1)(1)](21)a f a a a a a a a -'=---=+．令()0f a '=，得12a =-或1a =（舍去）．又12a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，∞时，()0f x '<；102a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()0f x '>．所以，当12a =-时，()f a 有最小值274，此时()S a高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数cos sin y x x x =-的导数为（）（A ）cos x x （B ）sin x x - （C ）sin x x （D ）cos x x -2．下列说法正确的是（）（A ）当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极大值（B ）当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极小值（C ）当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极值（D ）当0()f x 为()f x 的极值时， 0()0f x '=3．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是（）（A ）1 （B （C （D ）54．若函数3()y a x x =-的递减区间为(，则a 的取值范围是（）（A ）(0,)+∞ （B ）(1,0)- （C ）(1,)+∞ （D ）(0,1)5．下列四条曲线（直线）所围成的区域的面积是（） (1)sin y x =;(2) s y co x =; (3)4x π=-;(4) 4x π=(B)26．由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，叫（）（A ）合情推理（B ）演绎推理（C ）类比推理（D ）归纳推理7．复数a bi -与c di +的积是实数的充要条件是（）（A ）0ad bc += （B ）0ac bd += （C ）0ad bc -= （D ）0ac bd -= 8．已知函数1sin 2sin 2y x x =+，那么y '是（）（A ）仅有最小值的奇函数（B ）既有最大值又有最小值的偶函数（C ）仅有最大值的偶函数（D ）非奇非偶函数 9．用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒。

11-12学年高中数学第一章导数及其应用综合检测新人教A版选修2-2

导数及其应用综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1[答案] A[解析] y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.2．一物体的运动方程为s＝2t sin t＋t，则它的速度方程为( )A．v＝2sin t＋2t cos t＋1B．v＝2sin t＋2t cos tC．v＝2sin tD．v＝2sin t＋2cos t＋1[答案] A[解析] 因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，S′＝2sin t＋2t cos t＋1，故选A.3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是( )A．4B．5C．6D．7[答案] D[解析] 由导数的几何意义知，曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x ＝2时的导数，y′|x＝2＝7，故选D.4．函数y＝x|x(x－3)|＋1( )A．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝1B．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1C．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝f(3)＝1D．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1，f(－1)＝－3[答案] B[解析] y ＝x |x (x －3)|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x 2＋1 (x <0或x >3)－x 3＋3x 2＋1 (0≤x ≤3)∴y ′＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－6x (x <0或x >3)－3x 2＋6x (0≤x ≤3)x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋＋－＋f (x )无极值极大值5极小值1f x 极大f f x 极小f 故应选B.5．(2009·安徽理，9)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3 [答案] A[解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式． ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8， ∴f (2－x )＝2f (x )－x 2－4x ＋4， ∴f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，切线方程为y －1＝2(x －1)，∴y ＝2x －1. 6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 [答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3， ∵f (x )在x ＝－3时取得极值， ∴x ＝－3是方程3x 2＋2ax ＋3＝0的根， ∴a ＝5，故选D.7．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)[答案] D[解析] 令F(x)＝f(x)·g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即F′(x)>0，知F(x)在(－∞，0)内单调递增，又F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)内也单调递增，且由奇函数知f(0)＝0，∴F(0)＝0.又由g(－3)＝0，知g(3)＝0∴F(－3)＝0，进而F(3)＝0于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示∴F(x)＝f(x)·g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故应选D.8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )A．①②B．③④C．①③D．①④[答案] B[解析] ③不正确；导函数过原点，但三次函数在x ＝0不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选B.9．(2010·湖南理，5)⎠⎛241xd x 等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2 [答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x，所以 ⎠⎛241xdx ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2.10．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确 [答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.11．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( ) A ．有最大值152B ．有最大值－152C ．有最小值152D ．有最小值－152[答案] B[解析] 由题意f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在[－1,2]上，f ′(x )≤0恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0f ′(2)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c －3≥04b ＋c ＋12≤0令b ＋c ＝z ，b ＝－c ＋z ，如图过A ⎝⎛⎭⎪⎫－6，－32得z 最大，最大值为b ＋c ＝－6－32＝－152.故应选B.12．设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (x ) [答案] C [解析] 令F (x )＝f (x )g (x )则F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0f (x )、g (x )是定义域为R 恒大于零的实数∴F (x )在R 上为递减函数，当x ∈(a ，b )时，f (x )g (x )>f (b )g (b )∴f (x )g (b )>f (b )g (x )．故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13.⎠⎛－2－1d x(11＋5x )3＝________.[答案]772[解析] 取F (x )＝－110(5x ＋11)2，从而F ′(x )＝1(11＋5x )3则⎠⎛－2－1d x(11＋5x )3＝F (－1)－F (－2)＝－110×62＋110×12＝110－1360＝772. 14．若函数f (x )＝ax 2－1x的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x ′＝a ＋1x2，由题意得，a ＋1x2≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥－1x2，x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥0.15．(2009·陕西理，16)设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．[答案] －2[解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线l ：y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，x ＝n n ＋1，∴a n ＝lg nn ＋1， ∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg 12×23×…×99100＝lg 1100＝－2.16．如图阴影部分是由曲线y ＝1x，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0围成，则其面积为________．[答案] 23＋ln2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x ，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1x得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12.故所求面积S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛121xd x＝23x 32| 10＋ln x | 21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2010·江西理，19)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)求曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 得x 1＝0，x 2＝2.由图可知，所求图形的面积为S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＋|⎠⎛02(2x 2－4x )d x |＝⎠⎛02(2x －x 2)d x －⎠⎛02(2x 2－4x )d x .因为⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3′＝2x －x 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2′＝2x 2－4x ，所以S ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20－⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2⎪⎪⎪2＝4.19．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．[分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )没有极值点．当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点． 20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.[解析] (1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝x ＋1x，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． (2)设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (x )>g (1)＝16>0，∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.21．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．[分析] 本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)．f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立．所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时f ′(x )>0. 所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >52.22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋1(a ∈R )．(1)若函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上递减，求a 的值； (2)当x ∈[0,1]时，设函数y ＝f (x )图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，求θ的取值范围；(3)在(1)的条件下，是否存在实数m ，使得函数g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象与函数y ＝f (x )的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m 的值；若不存在，试说明理由．[解析] (1)依题意f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，由f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，得－3⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ·23＝0，即a ＝1.(2)当x ∈[0,1]时，tan θ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a23.由a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，得a 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. ①当a 3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，即a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3时，f ′(x )max ＝a 23，f (x )min ＝f ′(0)＝0.此时0≤ta n θ≤a 23.②当a3∈(1，＋∞)，即a ∈(3，＋∞)时，f ′(x )max ＝f ′(1)＝2a －3，f ′(x )min ＝f ′(0)＝0，此时，0≤tan θ≤2a －3.又∵θ∈[0，π)，∴当32<a ≤3时，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，arctan a 23，当a >3时，θ∈[0，arctan(2a －3)]．(3)函数y ＝f (x )与g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象恰有3个交点，等价于方程－x 3＋x 2＋1＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1恰有3个不等实根，∴x 4－4x 3＋(1－m )x 2＝0，显然x ＝0是其中一个根(二重根)，方程x 2－4x ＋(1－m )＝0有两个非零不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16－4(1－m )>01－m ≠0∴m >－3且m ≠1故当m >－3且m ≠1时，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象恰有3个交点．。

选修2-2《导数》检测(有详细答案)

选修2-2《导数》检测共同体姓名一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知函数y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )<f ′(x B ) C ．f ′(x A )＝f ′(x B ) D ．不能确定 2．已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是3．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点(a ，3)，则该曲线在该点处的切线方程为( ) A ．y ＝－4x －1 B ．y ＝4x －1 C ．y ＝4x －11 D ．y ＝－4x ＋74．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( ) A [0,2π ]. B [0,2π ]∪[23π,π). C [23π,π). D. [0, 23π ] 5．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[－3，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3) 6．下列等式成立的是( )A ．ʃb a 0d x ＝b －aB ．ʃb a x d x ＝12C ．ʃ1－1|x |d x ＝2ʃ10|x |d xD ．ʃb a (x ＋1)d x ＝ʃba x d x 7．已知a >0，函数f (x )＝－x 3＋ax 在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．若函数f (x )＝a sin x ＋13cos x 在x ＝π3处有最值，那么a 等于( )A.33 B ．－33 C.36 D ．－369．已知ʃ20f (x )d x ＝3，则ʃ20[f (x )＋6]d x 等于( ) A ．9 B ．12 C ．15 D ．1810．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )A ．a >－3B ．a <－3C ．a >－13D ．a <－1311．函数f (x )＝x1－x的单调增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)，(1，＋∞)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞) 12．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0,0.048))，则存款利率为多少时，银行可获得最大利益( ) A ．0.012 B ．0.024 C ．0.032 D ．0.036二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是__________．14．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0，则实数a 的值为______．15.如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A 、B 在抛物线上运动，C 、D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________． 16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的倾斜角均为34π，有以下命题：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]． ②f (x )的极值点有且只有一个． ③f (x )的最大值与最小值之和等于零．其中正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值．(1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围．19.(12分)一艘渔艇停泊在距海岸线BC 9 km的A处，今需派人送信给距渔艇334km处的海岸渔站，如果送信人步行速度为5 km/h，渔船为4 km/h，问：应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最短？20．(12分)某大型商厦一年内需要购进电脑5 000台，每台电脑的价格为4 000元，每次订购电脑的其它费用为1 600元，年保管费用率为10%(例如，一年内平均库存量为150台，一年付出的保管费用60 000元，则60 000150×4 000＝10%为年保管费用率)，求每次订购多少台电脑，才能使订购电脑的其它费用及保管费用之和最小？21.(12分)设a 为实数，函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.22．(12分) （2015潍坊一模）已知函数x a xx x f ln 1)(--=．（Ⅰ）若)(x f 无极值点，求a 的取值范围；（Ⅱ）设a x xx x g )(ln 1)(-+=，当a 取（Ⅰ）中的最大值时，求)(x g 的最小值；（Ⅲ）证明不等式：∑=+∈+>+ni nn i i N n 11*)(122ln)12(21．．答案1．B [f ′(xA)和f ′(xB)分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率，故f ′(xA)<f ′(xB)．] 2．答案A ，本题可用排除法，∵f （x ）=14x 2+sin(π2+x )，∴()f x '=12x +cos(π2+x )= 12x ﹣sin x ．∴函数()f x ' 为奇函数，故B 、D 错误；又ππ()1024f '=-<，故C 错误；故选A ．3．B ∵过点(a ，3)，∴3＝2a 2＋1，∴a ＝1，∴切点为(1,3)．y ′＝4ax ＝4x ，∴k ＝4，∴ y ＝4x －1.]4．B5．B [f ′(x )＝3x 2＋a .令3x 2＋a ≥0，则a ≥－3x 2，x ∈(1，＋∞)，∴a ≥－3.] 6．C [由积分的几何意义及性质得ʃb a 0d x ＝0，y ＝|x |是偶函数，故C 显然正确．] 7．C8．A [f ′(x )＝a cos x －13sin x ，即a ·12－13×32＝0，∴a ＝33.]9．C [ʃ20[f (x )＋6]d x ＝ʃ20f (x )d x ＋ʃ206d x ＝3＋12＝15.]10．B [由y ′＝a ·e ax ＋3＝0，得e ax ＝－3a >0，∴a <0，∴0<e ax <1，∴0<－3a<1，∴a <－3.]11．C [∵f ′(x )＝x ′(1－x )－x (1－x )′(1－x )2＝1(1－x )2>0，又x ≠1，∴f (x )的单调增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．]12．B [由题意知，存款量g (x )＝kx (k >0)，银行应支付的利息h (x )＝xg (x )＝kx 2，x ∈(0,0.048)．设银行可获得收益为y ，则y ＝0.048kx －kx 2.于是y ′＝0.048k －2kx ，令y ′＝0，解得x ＝0.024，依题意知y 在x ＝0.024处取得最大值．故当存款利率为0.024时，银行可获得最大利益．]13．(－∞，－1] 解析 ∵f ′(x )＝－x ＋bx ＋2＝－x (x ＋2)＋b x ＋2＝－x 2－2x ＋b x ＋2，又f (x )在(－1，＋∞)上是减函数，即f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立，又x ＋2>0，故－x 2－2x ＋b ≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即x 2＋2x －b ≥0在(－1，＋∞)上恒成立．又函数y ＝x 2＋2x －b 的对称轴为x ＝－1，故要满足条件只需(－1)2＋2×(－1)－b ≥0，即b ≤－1.14．4解析若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0，显然成立；当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可转化为a ≥3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x <0，即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可转化为a ≤3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间[－1,0)上单调递增．因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上所述，a ＝4. 15.439解析设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，0.点B 坐标为⎝⎛⎭⎫x2，1－⎝⎛⎭⎫x 22， ∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫x 22 ＝－x34＋x (x ∈(0,2))．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍)，x 2＝23，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，23时，f ′(x )>0，f (x )是递增的， x ∈⎝⎛⎭⎫23，2时，f ′(x )<0，f (x )是递减的，当x ＝23时，f (x )取最大值439.16．①③解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意得f (0)＝0，f ′(－1)＝f ′(1)＝tan 3π4＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝03－2a ＋b ＝－13＋2a ＋b ＝－1，∴a ＝0，b ＝－4，c ＝0.∴f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]．故①正确．由f ′(x )＝3x 2－4＝0得x 1＝－233，x 2＝233.根据x 1，x 2分析f ′(x )的符号、f (x )的单调性和极值点. Z] Z x ＝233是极小值点也是最小值点．f (x )min ＋f (x )max ＝0.∴②错，③正确．17．解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，由题意知f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立，且f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立． ①由f ′(x )≤0得x 2－ax ＋a －1≤0，即x 2－1≤a (x －1)．∵x ∈(1,4)，∴x －1∈(0,3)，∴a ≥x 2－1x －1＝x ＋1.又∵x ＋1∈(2,5)，∴a ≥5，②由f ′(x )≥0得x 2－ax ＋a －1≥0，即x 2－1≥a (x －1)．∵x ∈(6，＋∞)，∴x －1>0，∴a ≤x 2－1x －1＝x ＋1.又∵x ＋1∈(7，＋∞)，∴a ≤7，∵①②同时成立，∴5≤a ≤7.经检验a ＝5或a ＝7都符合题意，∴所求a 的取值范围为5≤a ≤7. 18．解 (1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由f ′⎝⎛⎭⎫－23＝129－43a ＋b ＝0， f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝－12，b ＝－2.f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，令f ′(x )>0，得x <－23或x >1，令f ′(x )<0，得－23<x <1.所以函数f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间是⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，由(1)知，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值，而f (2)＝2＋c ，则f (2)＝2＋c 为最大值，要使f (x )<c 2，x ∈[－1,2]恒成立，则只需要c 2>f (2)＝2＋c ，得c <－1或c >2.19．解如图所示，设BC 为海岸线，A 为渔艇停泊处，C 为海岸渔站，D 为海岸上一点． ∵AB ＝9，AC ＝334， ∴BC ＝AC 2－AB 2＝15.设由A 到C 所需时间为t ，CD 的长为x ，则t ＝15x ＋14(15－x )2＋81 (0≤x ≤15)，∴t ′＝15－15－x 4(15－x )2＋81令t ′＝0，解得x ＝3，x ＝27(舍)．在x ＝3附近，t ′由负到正，因此在x ＝3处取得极小值．又t (0)＝3344，t (15)＝214，t (3)＝8720，比较可知t (3)最小．∴在距渔站3 km 处登岸可使抵达渔站的时间最短．20．解设每次订购电脑的台数为x ，则开始库存量为x 台，经过一个周期的正常均匀销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为12x 台，所以每年的保管费用为12x ·4000·10%元，而每年的订货电脑的其它费用为5 000x ·1 600元，这样每年的总费用为5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%元．令y ＝5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%，y ′＝－1x 2·5 000·1 600＋12·4 000·10%.令y ′＝0，解得x ＝200(台)． y ′<0 y ′>0也就是当x ＝200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值为80 000元．21．(1)解由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2. 于是当] Z故f (x )极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )． (2)证明设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ，于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )取最小值为 g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0.于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增．于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0，即e x－x2＋2ax－1>0，故e x>x2－2ax＋1.22．（I）解：求导函数，可得∵函数f（x）无极值，∴方程x2﹣ax+1=0在（0，+∞）上无根或有唯一根∴方程在（0，+∞）上无根或有唯一根∴a≤2；（II）解：a=2时，f（x）=x﹣﹣2lnx，g（x）=x+﹣（lnx）2，由（I）知，f（x）在（0，+∞）上是增函数当x∈（0，1）时，f（x）=x﹣﹣2lnx＜f（1）=0，即x﹣＜2lnx＜0；当x∈（1，+∞）时，f（x）=x﹣﹣2lnx＞f（1）=0，即x﹣＞2lnx＞0；∴x＞0时，|x﹣|≥|2lnx|=|lnx2|令x2=t＞0，∴|平方得∴t＞0时，成立，当且仅当t=1时取等号∴当x=1时，函数g（x）取最小值2；（III）证明：由上知，x＞1时，x+﹣（lnx）2＞2，即∴x＞1时，成立，令，得，即∴不等式＞==即．11。

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选修 2-2 第一章 1.3 1.3.1一、选择题1．函数 y ＝ x 4－ 2x 2＋ 5 的单调递减区间为 ( )A ． (－∞，－ 1]和[0,1]B ． [－ 1,0] 和 [1，＋∞ )C ．[ －1,1]D ． (－∞，－ 1]和 [1，＋∞ )[答案 ]A[解析 ]y ′ ＝ 4x 3－ 4x ，令 y ′ <0，即 4x 3－ 4x<0，解得 x<－1 或 0<x<1 ，所以函数的单调减区间为 ( －∞ ，－ 1)和 (0,1)，故应选 A. 2．函数 f(x)＝ ax 3－ x 在 R 上为减函数，则 ( )A ． a ≤ 0B ． a<1C ．a<2D ． a ≤ 13[答案 ] A[解析 ]f ′ (x)＝ 3ax 2－ 1≤0 恒成立，∴ a ≤ 0.3．已知对任意实数 x ，有 f(－x)＝－ f(x)，g(－ x)＝ g(x)，且 x>0 时，f ′ (x)>0 ，g ′ (x)> 0 ，则 x<0 时 ()A ． f ′ ( x)>0 ，g ′ (x)>0B ． f ′ (x)>0 ， g ′ (x)<0C ．f ′ (x)<0 ，g ′ (x)>0D ． f ′ (x)<0， g ′ (x)<0[答案 ] B[解析 ]f(x)为奇函数， g(x)为偶函数，奇 (偶 )函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同 (反 )，∴ x<0 时， f ′ (x)>0， g ′ (x)<0.4． (2013 武·汉市实验中学高二期末 )设 p ： f(x)＝ x 3＋2x 2＋ mx ＋ 1 在 (－∞，＋∞ )内单调递增， q ：m>4，则 p 是 q 的 ()3A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案 ]B[解析 ]f ′ (x)＝ 3x 2＋ 4x ＋m ，∵ f(x)在 R 上单调递增，∴ f ′ (x)≥0 在 R 上恒成立，∴＝ 16－ 12m ≤ 0，∴ m ≥43，故 p 是 q 的必要不充分条件．5．设 f ′(x)是函数 f(x)的导函数， y ＝ f ′ (x)的图象如图所示，则y ＝f(x)的图象最有可能的是 ()[答案 ] C[分析 ]由导函数 f ′ (x)的图象位于 x 轴上方 (下方 )，确定 f(x)的单调性，对比 f(x)的图象，用排除法求解．[解析 ]由 f ′ (x) 的图象知， x ∈ (－ ∞， 0)时， f ′( x)>0 ， f(x)为增函数， x ∈ (0,2)时，f ′ (x)<0 ， f(x)为减函数， x ∈ (2，＋ ∞ )时， f ′( x)>0， f(x)为增函数．只有 C 符合题意，故选 C.6．(2014 福·建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数 F(x) ＝f xx 是定e义在 R 上的函数，其中 f(x)的导函数 f ′ (x)满足 f ′ (x)<f( x)对于 x ∈ R 恒成立，则 ()A ． f(2)>e 2f(0) ， f(2012)>e 2012f(0)B ． f(2)<e 2f(0) ， f(2012)>e 2012f(0)C ．f(2)<e 2f(0)， f(2012)<e 2012f(0)D ． f(2)>e 2f(0) ， f(2012)<e 2012f(0)[答案 ]Cf x的导数[解析 ]∵函数 F(x)＝ e xf ′ x e x － f x e x f ′ x － f xF ′ (x)＝ e x 2 ＝<0，e xf x∴函数 F(x)＝x 是定义在R 上的减函数，∴ F(2)< F(0) ，即f 2 <f 0，故有 f(2)<e 2 f(0)． e 2 e 0同理可得 f(2012)<e 2012f(0)．故选 C. 二、填空题7．函数 y ＝ ln(x 2 － x － 2)的单调递减区间为 ________．[答案 ] (－∞，－ 1)[解析 ]函数 y ＝ ln( x 2－ x －2)的定义域为(2，＋ ∞ )∪ (－∞ ，－ 1)，令 f(x) ＝x 2－ x － 2， f ′ (x)＝ 2x － 1<0，得 x<1，2∴函数 y ＝ ln( x 2－ x －2)的单调减区间为 (－ ∞ ，－ 1)．8．(2014 ·建省闽侯二中、福永泰二中、连江侨中、长乐二中联考 )已知函数 f(x)＝ x 3－ ax 2－3x 在区间 [1 ，＋∞ )上是增函数，则实数a 的取值范围是 ________．[答案 ](－∞， 0][解析 ]∵ f(x)＝ x 3 －ax 2－ 3x ，∴ f ′ (x)＝ 3x 2－ 2ax － 3，又因为 f(x)＝ x 3－ ax 2－ 3x 在区间 [1，＋ ∞)上是增函数， f ′ (x) ＝3x 2－2ax － 3≥0 在区间 [1，＋ ∞ )上恒成立，a≤1，解得 a ≤0，∴3f ′ 1 ＝ 3× 12－ 2a － 3≥ 0，故答案为 (－ ∞ ， 0]．9． (2014 郑·州网校期中联考 )若 f(x)＝－ 1 22 x ＋ bln(x ＋ 2)在 (－ 1，＋∞ )上是减函数，则 b的取值范围是 __________________ ．[答案 ] b ≤－ 1[解析 ]f( x)在 (－1，＋ ∞ )上为减函数，∴ f ′( x)≤ 0 在 (－ 1，＋ ∞) 上恒成立，∵ f ′( x)＝－ x ＋ b ，∴－ x ＋ b≤ 0，∵ b ≤ x(x ＋ 2)在 (－ 1，＋ ∞ )上恒成立，∴ b ≤－ 1.x ＋ 2 x ＋ 2三、解答题10． (2014 甘·肃省金昌市二中期中 )已知函数 f(x)＝ x 3 ＋ ax 2＋ bx(a 、 b ∈ R )的图象过点P(1,2)，且在点 P 处的切线斜率为 8.(1)求 a 、 b 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间．[解析 ] (1)∵函数 f(x)的图象过点 P(1,2)，∴ f(1) ＝ 2.∴ a ＋ b ＝ 1.①又函数图象在点 P 处的切线斜率为 8，∴ f ′ (1) ＝ 8，又 f ′ (x)＝ 3x 2＋ 2ax ＋ b ，∴ 2a ＋b ＝ 5.②解由①②组成的方程组，可得a ＝ 4，b ＝－ 3.(2)由 (1) 得 f ′ (x)＝ 3x 2＋8x － 3，令 f ′ (x)>0，可得 x<－ 3 或 x>13；令 f ′ (x)<0，可得－ 3<x<1.3∴函数 f(x)的单调增区间为(－∞ ，－ 3)， (13，＋ ∞ )，单调减区间为(－3， 13)．一、选择题11． (2012 ·津理，天 4)函数 f(x)＝ 2x ＋x 3 － 2 在区间 (0,1)内的零点个数是( )A ． 0B ． 1C ．2D ． 3[答案 ]B[解析 ]本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．∵ f(x)＝2x ＋ x 3－ 2,0<x<1，∴ f ′ (x)＝ 2x ln2 ＋3x 2>0 在 (0,1) 上恒成立， ∴ f(x)在 (0,1)上单调递增．又 f(0)＝ 20＋ 0－2＝－ 1<0， f(1) ＝ 2＋1－ 2＝ 1>0， f(0)f(1)<0 ，则 f(x)在 (0,1)内至少有一个零点，又函数 y ＝ f(x)在 (0,1)上单调递增，则函数 f(x)在 (0,1)内有且仅有一个零点．12．(2014 北·京西城区期末 ) 已知函数 f(x)及其导数 f ′(x)，若存在 x ，使得 f(x )＝ f ′ (x )，则称 x 0 是 f(x)的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是()① f(x)＝x 2，② f(x)＝ e －x，③ f(x)＝ lnx ，④ f(x)＝ tanx ，⑤ f(x)＝ x ＋1xA ． 2B ． 3C ．4D ． 5[答案 ] B[解析 ]①中的函数 f(x)＝ x 2， f ′ (x)＝ 2x ，要使 f(x)＝ f ′( x)，则 x 2＝ 2x ，解得 x ＝ 0 或2，可见函数有巧值点；对于②中的函数，要使－－x ，f(x) ＝f ′( x)，则 e x ＝－ e x ，由对任意的有 e －x >0，可知方程无解，原函数没有巧值点；对于③中的函数，要使f(x)＝ f ′ (x)，则 lnx＝1x ，由函数 f( x)＝ lnx 与 y ＝ 1x 的图象有交点知方程有解，所以原函数有巧值点；对于④中的数，要使f(x)＝ f ′ (x)，则 tanx ＝ 12 ，即 sinxcosx ＝ 1，显然无解，所以原函数没有巧值cos x点；对于⑤中的函数，要使f(x) ＝f ′(x)，则 x ＋1x ＝ 1－ x 12 ，即 x 3－ x 2＋ x ＋ 1＝ 0，设函数 g( x)＝x 3－x 2＋x ＋ 1，g ′ (x) ＝3x 2－ 2x ＋ 1>0 且 g(－ 1)<0 ，g(0)>0 ，显然函数 g( x)在 (－ 1,0)上有零点，原函数有巧值点，故①③⑤正确，选C.13． (2014·门市调研天)已知函数f(x)是定义在R 上的可导函数，其导函数记为f ′ (x)，若对于任意实数 x ，有 f(x)>f ′ (x)，且 y ＝ f(x)－ 1 为奇函数，则不等式 f(x)<e x 的解集为 ()A ． (－∞， 0)B ． (0，＋∞ )C ．( －∞， e 4)D ． (e 4，＋∞ )[答案 ] B[解析 ]令 g(x)＝ f xx，则ef ′ x ·e x － f x ·e x f ′ x － f xg ′ (x)＝ e x 2 ＝<0，e x 所以 g(x)在 R 上是减函数，又 y ＝f(x)－ 1 为奇函数，所以 f(0) － 1＝ 0，所以 f(0) ＝1，g(0)f x＝ 1，所以原不等式可化为 g(x)＝ e x <1＝ g(0) ，所以 x>0，故选 B.14．已知函数 y ＝xf ′ (x)的图象如图 (1)所示 (其中 f ′ (x)是函数 f(x)的导函数 )，下面四个图象中， y ＝ f(x)的图象大致是 ()[答案 ] C[解析 ]当 0<x<1 时 xf ′ (x)<0 ，∴ f ′ (x)<0 ，故 y ＝ f(x)在 (0,1)上为减函数．当 x>1 时 xf ′ (x)>0，∴ f ′ (x)>0 ，故 y ＝ f(x)在 (1，＋ ∞ )上为增函数，因此否定A 、B 、D 故选 C.二、填空题15． (2014 衡·阳六校联考 )在区间 [－ a ， a]( a>0)内图象不间断的函数 f( x)满足 f(－ x)－ f(x)＝ 0，函数 g( x)＝ e x ·f(x)，且 g(0) g(a)<0·，又当 0<x<a 时，有 f ′ (x)＋ f(x)>0 ，则函数 f(x)在区间[ －a ， a] 内零点的个数是 ________．[答案 ] 2[解析 ]∵ f(－x)－f( x)＝0，∴f(x)为偶函数，∵g(x)＝ e x·f(x)，∴ g′ (x)＝ e x[f ′ (x)＋f(x)]>0 ，∴ g(x)在 [0， a] 上为单调增函数，又∵ g(0) ·g(a)<0，∴函数 g(x)＝ e x·f(x)在 [0， a]上只有一个零点，又∵ e x≠ 0，∴ f(x)在[0 ， a] 上有且仅有一个零点，∵ f(x)是偶函数，且f(0)≠ 0，∴ f( x)在 [－ a，a]上有且仅有两个零点．三、解答题16．设函数 f(x)＝x3－ 3ax2＋ 3bx 的图象与直线12x＋ y－ 1＝0 相切于点 (1，－ 11)．(1)求 a、 b 的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．[解析 ](1)求导得 f ′ (x)＝ 3x2－ 6ax＋ 3b.由于 f(x)的图象与直线12x＋y－ 1＝ 0 相切于点 (1，－ 11)，所以 f(1) ＝－ 11， f ′ (1)＝－12，1－ 3a＋ 3b＝－ 11即，3－ 6a＋ 3b＝－ 12解得 a＝ 1， b＝－ 3.(2)由 a＝ 1， b＝－ 3 得f ′ (x) ＝3x2－6ax＋ 3b＝ 3(x2－2x－ 3)＝3(x＋ 1)(x－ 3)．令f ′ (x)>0，解得 x<－ 1 或 x>3；又令 f ′(x)<0，解得－ 1<x<3.所以当 x∈ (－∞，－ 1)时， f(x) 是增函数；当x∈ (3，＋∞ )时， f(x)也是增函数；当x∈ (－ 1,3)时， f(x)是减函数．17． (2014 山·师附中学分认定考试2a2 ＋x(a>0)．若函数 y＝f(x)在)已知函数 f(x)＝ alnx＋x点(1 ， f(1)) 处的切线与直线x－ 2y＝ 0 垂直．(1)求实数 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间．(1)f ′(x)＝a 2[解析 ] －2a2＋ 1，x x∵f ′ (1) ＝－ 2，∴ 2a2－ a－ 3＝0，3∵ a>0 ，∴ a ＝ 2.39(2) f ′ (x)＝ 2x－2x 2 ＋1＝ 2x 2＋ 3x － 9 2x － 3 x ＋ 3 ， 2x 2 ＝ 2x 2∵当 x ∈(0， 3)时， f ′ (x)<0；当 x ∈( 3，＋ ∞ )时， f ′ (x)>0 ，2 2∴ f(x)的单调递减区间为 33 ，＋ ∞ ) ．(0， )，单调递增区间为 ( 2 2。

高中数学人教A版选修2-2 第一章1.3.1函数的单调性与导

1.3.1 函数的单调性与导数一、选择题1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是( )A．b2－4ac>0 B．b>0，c>0C．b＝0，c>0 D．b2－3ac<0【答案】 D【解析】∵a>0，f(x)为增函数，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立，∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0.2．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)【答案】 D【解析】f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝(x－2)e x，令f′(x)>0，解得x>2，故选D.3．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为( )A．C．(－∞，－1)和(1,2) D．．4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )【答案】 C【解析】当0<x <1时xf ′(x )<0∴f ′(x )<0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数当x >1时xf ′(x )>0，∴f ′(x )>0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A 、B 、D 故选C.5．已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0 【答案】 B【解析】 f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x <0时，f ′(x )>0，g ′(x )<0.6．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)<2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)>2f (1) 【答案】 C【解析】由(x －1)f ′(x )≥0得f (x )在上单调递减或f (x )恒为常数，故f (0)＋f (2)≥2f (1)．故应选C.二、填空题7．函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为__________．【答案】 (－∞，－1)【解析】函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f (x )＝x 2－x －2，f ′(x )＝2x －1<0，得x <12， ∴函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞，－1)．8．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a 的取值范围为________．【答案】 a ≥1【解析】由已知a ＞1＋ln x x在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝－ln x x 2＜0 (x ＞1)， ∴g (x )＝1＋ln x x在区间(1，＋∞)内单调递减， ∴g (x )＜g (1)，∵g (1)＝1，∴1＋ln x x＜1在区间(1，＋∞)内恒成立， ∴a ≥1.三、解答题9．求证：方程x －12sin x ＝0只有一个根x ＝0. 【解析】设f (x )＝x －12sin x ，x ∈(－∞，＋∞)，则f ′(x )＝1－12cos x ＞0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．而当x ＝0时，f (x )＝0，∴方程x －12sin x ＝0有唯一的根x ＝0. 10．设函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2.(1)若a ＝12，求f (x )的单调区间； (2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围．【解析】 (1)a ＝12时，f (x )＝x (e x －1)－12x 2， f ′(x )＝e x －1＋xe x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，－1]，上单调递减．(2)f (x )＝x (e x －1－ax )．令g (x )＝e x －1－ax ，则g ′(x )＝e x －a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，从而当x ≥0时g (x )≥0，即f (x )≥0.当a >1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，而g (0)＝0，从而当x ∈(0，ln a )时g (x )<0，即f (x )<0.综合得a 的取值范围为(－∞，1]．。

高中数学专题1.3.1 函数的单调性与导数练习(含解析)新人教A版选修22

函数的单调性与导数1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 【答案】 D【解析】 f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x，令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.2．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝(x 0－2)(x 0＋1)2，则该函数的单调递减区间为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)和(1,2)D ．[2，＋∞)【答案】 B 【解析】令k ≤0得x 0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．3．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在(12，＋∞)是增函数，则a 的取值范围是 ( ) A ．[－1,0]B ．[－1，＋∞)C ．[0,3]D ．[3，＋∞)【答案】 D所以2x ＋a －1x 2≥0对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞恒成立，分离参数得a ≥1x2－2x ，若满足题意，需a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－2x max . 令h (x )＝1x 2－2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 因为h ′(x )＝－2x3－2，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，h ′(x )＜0，即h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，所以h (x )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3，故a ≥3. 4．设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a <x g (x )B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )>g (x )＋f (b )【答案】 C【解析】 ∵f ′(x )－g ′(x )>0，∴(f (x )－g (x ))′>0，∴f (x )－g (x )在[a ，b ]上是单调增函数，∴当a <x f (a )－g (a )，∴f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )．5．已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0 【答案】 B【解析】 f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x <0时，f ′(x )>0，g ′(x )<0.6．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a 、b ，若a <b ，则必有( )A ．af (a )≤f (b )B ．bf (b )≤f (a )C ．af (b )≤bf (a )D ．bf (a )≤af (b ) 【答案】 C7．函数f (x )＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为________．【答案】 (－∞，－1)【解析】 f ′(x )＝2x －1x 2－x －2，令f ′(x )<0得x <－1或12<x <2，注意到函数定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故单调递减区间为(－∞，－1)．8．函数y ＝f (x )在其定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2,3) 9．求证：方程x －12sin x ＝0只有一个根x ＝0. 【证明】设f (x )＝x －12sin x ，x ∈(－∞，＋∞)，则f ′(x )＝1－12cos x ＞0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．而当x ＝0时，f (x )＝0，∴方程x －12sin x ＝0有唯一的根x ＝0. 10．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2(m 、n ∈R ，m ≠0)，函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行．(1)用关于m 的代数式表示n ；(2)求函数f (x )的单调增区间．当m >0时，解得x <0或x >2，则函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m <0时，解得0<x <2，则函数f (x )的单调增区间是(0,2)．综上，当m >0时，函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m <0时，函数f (x )的单调增区间是(0,2).。

人教A版选修2-2(五) 函数的单调性与导数作业

课时跟踪检测（五）函数的单调性与导数一、题组对点训练对点练一函数与导函数图象间的关系1．f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是下列选项中的( )解析：选C 题目所给出的是导函数的图象，导函数的图象在x轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在x轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由x∈(－∞，0)时导函数图象在x轴的上方，表示在此区间上，原函数的图象呈上升趋势，可排除B、D两选项．由x∈(0,2)时导函数图象在x轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除A选项．故选C.2．若函数y＝f′(x)在区间(x1，x2)内是单调递减函数，则函数y＝f(x)在区间(x1，x2)内的图象可以是( )解析：选B 选项A 中，f ′(x )>0且为常数函数；选项C 中，f ′(x )>0且f ′(x )在(x 1，x 2)内单调递增；选项D 中，f ′(x )>0且f ′(x )在(x 1，x 2)内先增后减．故选B.3．如图所示的是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则在[－2,5]上函数f (x )的递增区间为________．解析：因为在(－1,2)和(4,5]上f ′(x )>0，所以f (x )在[－2,5]上的单调递增区间为(－1,2)和(4,5]．答案：(－1,2)和(4,5]对点练二判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间 4．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝e x (x －2)．由f ′(x )>0得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．5．函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：选C 由题意得，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x＝(2x ＋1)(2x －1)x ，令f ′(x )＝(2x ＋1)(2x －1)x >0，解得x >12，故函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.故选C.6．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1)，且在x ＝1处的切线方程是y ＝x . (1)求y ＝f (x )的解析式； (2)求y ＝f (x )的单调递增区间．解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1)，∴c ＝1，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，f ′(1)＝3a ＋2b ＝1，切点为(1,1)，则f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(1,1)，得a ＋b ＋c ＝1，解得a ＝1，b ＝－1，即f (x )＝x 3－x 2＋1.(2)由f ′(x )＝3x 2－2x >0得x <0或x >23，所以单调递增区间为(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.对点练三与参数有关的函数单调性问题7．若函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．5解析：选C 函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减，只需f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立即可，令f ′(x )＝1－12ax －12≤0，解得a ≥2x ，则a ≥4.∴a min ＝4.8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2)，则b ＝________，c ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解，即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1,2分别代入方程，解得b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－69．已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2.讨论f (x )的单调性．解：f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)·(e x ＋2a )．(1)设a ≥0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．①若a ＝－e2，则f ′(x )＝(x －1)(e x －e)，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；②若－e2<a <0，则ln(－2a )<1，故当x ∈(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(ln(－2a )，1)时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a )，1)上单调递减；③若a <－e2，则ln(－2a )>1，故当x ∈(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a ))上单调递减．二、综合过关训练1．若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x解析：选A 对于选项A ，f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则e xf (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，∵e 2＞1，∴e x f (x )在R 上单调递增，∴f (x )＝2－x 具有M 性质．对于选项B ，f (x )＝x 2，e x f (x )＝e x x 2，[e x f (x )]′＝e x (x 2＋2x )，令e x (x 2＋2x )＞0，得x ＞0或x ＜－2；令e x (x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，∴函数e x f (x )在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，∴f (x )＝x 2不具有M 性质．对于选项C ，f (x )＝3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则e x f (x )＝e x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x ，∵e3＜1， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x 在R 上单调递减，∴f(x)＝3－x不具有M性质．对于选项D，f(x)＝cos x，e x f(x)＝e x cos x，则[e x f(x)]′＝e x(cos x－sin x)≥0在R上不恒成立，故e x f(x)＝e x cos x在R上不是单调递增的，∴f(x)＝cos x不具有M性质．故选A.2．若函数f(x)＝x－eln x,0<a<e<b，则下列说法一定正确的是( )A．f(a)<f(b) B．f(a)>f(b)C．f(a)>f(e) D．f(e)>f(b)解析：选C f′(x)＝1－ex＝x－ex，x>0，令f′(x)＝0，得x＝e，f(x)在(0，e)上为减函数，在(e，＋∞)上为增函数，所以f(a)>f(e)，f(b)>f(e)，f(a)与f(b)的大小不确定．3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )解析：选D 对于选项A，若曲线C1为y＝f(x)的图象，曲线C2为y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f′(x)<0；y＝f(x)在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f′(x)>0.因此，选项A可能正确．同理，选项B、C也可能正确．对于选项D，若曲线C1为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C2不相符；若曲线C2为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C1不相符．因此，选项D不可能正确．4．设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )解析：选C 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2，又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，所以f (x )g (x )在R 上为减函数．又因为a <x f (x )g (x )>f (b )g (b )，又因为f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．5．(2019·北京高考)设函数f (x )＝e x ＋a e －x (a 为常数)．若f (x )为奇函数，则a ＝________；若f (x )是R 上的增函数，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝e x ＋a e －x (a 为常数)的定义域为R ， ∴f (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0，∴a ＝－1. ∵f (x )＝e x＋a e －x，∴f ′(x )＝e x －a e －x ＝e x－aex .∵f (x )是R 上的增函数，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立，即e x ≥ae x 在R 上恒成立，∴a ≤e 2x 在R 上恒成立．又e 2x >0，∴a ≤0，即a 的取值范围是(－∞，0]．答案：－1 (－∞，0]6．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎨⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0.解得：1≤k <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，327．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)讨论函数f (x )在区间(0，t ](t >0)上的单调性．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1. 曲线f (x )在x ＝1处的切线的斜率为k ＝f ′(1)＝1.把x ＝1代入f (x )＝x ln x 中得f (1)＝0，即切点坐标为(1,0)．所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －1.(2)令f ′(x )＝1＋ln x ＝0，得x ＝1e.①当0<t <1e时，在区间(0，t ]上，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数．②当t >1e 时，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上，f ′(x )<0，f (x )为减函数；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，t 上，f ′(x )>0，f (x )为增函数．8．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围．解：h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立，令G (x )＝1x 2－2x，则a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1.因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x ＝(7x －4)(x －4)16x .因为x ∈[1,4]，所以h ′(x )＝(7x －4)(x －4)16x ≤0，即h (x )在[1,4]上为减函数．故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.。

2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：1.3.1.1函数的单调性与导数(1)

基础达标
一、选择题 1．命题甲：对任意 x∈(a，b)，有 f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：对任意 x∈(a，b)，有 f′(x)>0，则函数 f(x)在(a，b)内单调递增，充分性正确；但若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，则对任意 x∈(a，b)，有 f′(x)≥0，必要性不成立，所以甲是乙的充分不必要条件，故选 A. 答案：A 2．已知定义在 R 上的函数 f(x)，其导函数 f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
答案：A
知识点一 1
导数与函数图象的关系
1.已知 f(x)＝4x2＋cos x，f′(x)为 f(x)的导函数，则 f′(x)的图象是( )
1
1
解析：∵f(x)＝4x2＋cos x，∴f′(x)＝2x－sin x，
1
1
∵f′(x)＝2x－sin x 为奇函数，∴图象关于原点对称，排除 B、D，又∵f′(1)＝2－sin 1<0，∴可排除 C，故选 A.
( )1
0，的单调递增区间为 2 和(2，＋∞)，故选 C.
答案：C
4．设函数在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象可能是( )
解析：由函数 y＝f(x)的图象知，f(x)在(－∞，0)上为增函数，所以 f′(x)的图象在 (－∞，0)上均为正，排除 C、D 选项；又 f(x)在(0，＋∞)上的图象的变化规律为减—增—减，所以 f′(x)的图象在(0，＋∞)上符号的变化规律为负—正—负，排除 B 选项，故选 A.
因为 1<a<2，结合图象，可知函数 y＝f(x)－a 的零点的个数为 4 个，故选 D.

高中数学专题1.3.1 函数的单调性与导数测试(含解析)新人教A版选修2-2(2021年整理)

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函数的单调性与导数（时间：25分,满分50分）班级姓名得分1．(5分）函数f(x）＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数,当a2－3b<0时,f（x）是( ）A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数【答案】A2．（5分）下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是（）A．y＝sin x B．y＝x e2C．y＝x3－x D．y＝ln x－x【答案】B【解析】显然y＝sin x在（0，＋∞）上既有增又有减，故排除A；对于函数y＝x e2，因e2为大于零的常数，不用求导就知y＝x e2在（0，＋∞）内为单调增函数；对于C，y′＝3x2－1＝3（x＋错误!)（x－错误!），故函数在（－∞，－错误!)，（错误!，＋∞)上为单调增函数，在（－错误!，错误!）上为单调减函数；对于D，y′＝错误!－1 (x〉0)．故函数在（1,＋∞)上为单调减函数，在(0,1)上为单调增函数．故选B.3．(5分）如果函数f(x）的图象如图，那么导函数y＝f′(x）的图象可能是（）【答案】A【解析】由f(x）与f′（x)关系可选A。

4．（5分）设f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是（) A．b2－4ac〉0 B．b>0,c>0C．b＝0，c>0 D．b2－3ac〈0【答案】D5。

人教A版数学高二选修2-2课后提升训练1.3.1函数的单调性与导数

课后提升训练五函数的单调性与导数(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017·广州高二检测)函数f(x)=x2-lnx的单调递减区间为( )A.(-1,1]B.(0,1]C.[1,+∞)D.(0,+∞)【解析】选B.由题意知,函数的定义域为(0,+∞),又由f′(x)=x-≤0,解得0<x≤1,所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1].2.函数f(x)=1+x-sinx在(0,2π)上是( )A.增函数B.减函数C.在(0,π)上递增,在(π,2π)上递减D.在(0,π)上递减,在(π,2π)上递增【解析】选A.f′(x)=1-cosx,因为x∈(0,2π),所以cosx∈[-1,1),所以1-cosx>0恒成立,即f′(x)>0在x∈(0,2π)上恒成立,所以f(x)在(0,2π)上是增函数.3.下列函数中,在区间(-1,1)上是减函数的是( )A.y=2-3x2B.y=lnxC.y=D.y=sinx【解析】选C.A中,y′=-6x,当-1<x<0时,y′>0,当0<x<1时,y′<0,故函数y=2-3x2在区间(-1,1)上不是减函数,B中,y=lnx在x≤0处无意义;C中,y′=-<0对x∈(-1,1)恒成立,所以函数y=在区间(-1,1)上是减函数;D中,y′=cosx>0对x∈(-1,1)恒成立,所以函数y=sinx在(-1,1)上是增函数.4.设f(x),g(x)在(a,b)上可导,且f′(x)>g′(x),则当a<x<b时有( )A.f(x)>g(x)B.f(x)<g(x)C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a)D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)【解析】选C.令φ(x)=f(x)-g(x),则φ′(x)=f′(x)-g′(x),因为f′(x)>g′(x),所以φ′(x)>0,即函数φ(x)为(a,b)上的增函数.又a<x<b,所以φ(a)<φ(x),即f(a)-g(a)<f(x)-g(x),从而得f(x)+g(a)>g(x)+f(a).5.(2016·全国卷Ⅰ)若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )A.[-1,1]B.C. D.【解析】选C.方法一:用特殊值法:取a=-1,f(x)=x-sin2x-sinx,f′(x)=1-cos2x-cosx,但f′(0)=1--1=-<0,不具备在(-∞,+∞)上单调递增,排除A,B,D. 方法二:f′(x)=1-cos2x+acosx≥0对x∈R恒成立,故1-(2cos2x-1)+acosx≥0,即acosx-cos2x+≥0恒成立,令t=cosx,所以-t2+at+≥0对t∈[-1,1]恒成立,构造函数g(t)=-t2+at+,开口向下的二次函数g(t)的最小值的可能值为端点值,故只需解得-≤a≤.6.(2017·烟台高二检测)设函数f(x)=ax3-x2(a>0)在(0,3)内不单调,则实数a的取值范围是( )A.a>B.0<a<C.0<a<D.<a<1【解题指南】f(x)在(0,3)内不单调,所以f′(x)在(0,3)内有零点.【解析】选A.因为f(x)=ax3-x2,所以f′(x)=ax2-2x,又f(x)=ax3-x2(a>0)在(0,3)内不单调,所以f′(x)在(0,3)内有零点.而f′(x)=ax2-2x有零点0,(a>0),所以0<<3,解得a>.7.已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4-x),且当x≠2时,导函数f′(x)满足(x-2)f′(x)>0.若2<a<4,则( )A.f(2a)<f(3)<f(log2a)B.f(3)<f(log2a)<f(2a)C.f(log2a)<f(3)<f (2a)D.f(log2a)<f(2a)<f(3)【解析】选C.由(x-2)f′(x)>0可得x>2时f′(x)>0,所以f(x)在(2,+∞)是增函数.因为2<a<4,所以2a>4,2<4-log2a<3,即2a>3>4-log2a>2,所以f(4-log2a)<f(3)<f(2a),又f(x)=f(4-x),所以f(log2a)<f(3)<f(2a).【补偿训练】对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( ) A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1)C.f(0)+f(2)≥2f(1)D.f(0)+f(2)>2f(1)【解析】选C.因为(x-1)f′(x)≥0,所以当x>1时,f′(x)>0;当x<1时,f′(x)<0,所以f(x)在(1,+∞)上为增函数,在(-∞,1)上为减函数,所以f(2)≥f(1),f(0)≥f(1),所以f(0)+f(2)≥2f(1).8.已知偶函数y=f(x)对于任意的x∈满足f′(x)cosx+f(x)sinx>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式中成立的有( )①f<f②f>f③f(0)<f④f<fA.①②③B.②③④C.①②④D.①③④【解析】选B.因为偶函数y=f(x)对于任意的x∈满足f′(x)cosx+f(x)sinx>0,且f′(x)cosx+f(x)sinx=f′(x)cosx-f(x)(cosx)′,所以可构造函数g(x)=,则g′(x)=>0,所以g(x)为偶函数且在上单调递增,所以有g=g==2f,g=g==f,g==f.由函数单调性可知g<g<g,即f<f<2f,所以②④正确,①错.对于③,g=g=f>g(0)=f(0),所以③正确.答案:②③④二、填空题(每小题5分,共10分)9.已知f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,则a的取值范围是________.【解析】f′(x)=3ax2+6x-1.(1)当f′(x)<0(x∈R)时,f(x)是减函数.3ax2+6x-1<0(x∈R)⇔a<0且Δ=36+12a<0⇔a<-3.所以,当a<-3时,由f′(x)<0,知f(x)在R上是减函数;(2)当a=-3时,f(x)=-3x3+3x2-x+1=-3+,由函数y=x3在R上的单调性,可知当a=-3时,f(x)在R上是减函数;(3)当a>-3时,在R上存在一个区间,其上有f′(x)>0,所以,当a>-3时,函数f(x)在R上不是减函数.综上,所求a的取值范围是(-∞,-3].答案:(-∞,-3]10.(2017·江苏高考)已知函数f(x)=x3-2x+e x-,其中e是自然对数的底数,若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是________________.【解析】因为f(-x)=-x3+2x+-e x=-f(x),f′(x)=3x2-2+e x+e-x≥3x2-2+2≥0,所以函数f(x)在R上单调递增,f(a-1)+f(2a2)≤0,f(2a2)≤-f(a-1)=f(1-a),所以2a2≤1-a,即2a2+a-1≤0,解得-1≤a≤,故实数a的取值范围为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知函数f(x)=-x3+x2+3x+a(a∈R),(1)求函数f(x)的单调增区间.(2)若函数f(x)在区间[-4,4]上的最大值为26,求a的值.【解析】(1)f(x)=-x3+x2+3x+a,则f′(x)=-x2+2x+3,令f′(x)>0,即-x2+2x+3>0,解得-1<x<3,所以函数f(x)的单调增区间为(-1,3).(2)由函数在区间[-4,4]内的列表可知:x -4 (-4,-1) -1 (-1,3) 3 (3,4) 4f′(x) - 0 + 0 -f(x) 递减极小值递增极大值递减函数f(x)在(-4,-1)和(3,4)上分别是减函数,在(-1,3)上是增函数,又因为f(-4)=a+,f(3)=a+9,所以f(-4) >f(3),所以f(-4)是f(x)在[-4,4]上的最大值,所以a+=26,即a=.12.(2017·天津高二检测)已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围.(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知,得f′(x)=3x2-a.因为f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,所以f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2对x∈(-∞,+∞)恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0.又a=0时,f′(x)=3x2≥0,f(x)在实数集R上单调递增,所以a≤0.(2)假设f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,则a≥3x2在x∈(-1,1)时恒成立.因为-1<x<1,所以3x2<3,所以只需a≥3.当a=3时,在x∈(-1,1)上,f′(x)=3(x2-1)<0,即f(x)在(-1,1)上为减函数,所以a≥3.故存在实数a≥3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.【能力挑战题】已知函数f(x)=lnx-ax+-1,a∈R.(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间.(2)当0≤a<时,讨论f(x)的单调性.【解析】(1)当a=-1时,f(x)=lnx+x+-1,x∈(0,+∞),所以f′(x)=,x∈(0,+∞).由f′(x)=0,得x=1或x=-2(舍去),所以当x∈(0,1)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.故当a=-1时,函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).(2)因为f(x)=lnx-ax+-1,所以f′(x)=-a+=-,x∈(0,+∞).令g(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞).①当a=0时,g(x)=-x+1,x∈(0,+∞),当x∈(0,1)时,g(x)>0,此时f′(x)<0,函数f(x)单调递减;高中数学-打印版当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时f′(x)>0,函数f(x)单调递增.②当0<a<时,由f′(x)=0,即ax 2-x+1-a=0,解得x=1或-1,此时-1>1>0,所以当x∈(0,1)时,g(x)>0,此时f′(x)<0,函数f(x)单调递减;x∈时,g(x)<0,此时f′(x)>0,函数f(x)单调递增;x∈时,g(x)>0,此时f′(x)<0,函数f(x)单调递减.综上所述,当a=0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当0<a<时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.精心校对完整版。

2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：1.3.1.2函数的单调性与导数(2)

1.3.1　函数的单调性与导数(2)填一填1.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．2．导数法判断和证明函数f (x )在区间(a ，b )内的单调性的步骤：(1)求f ′(x )；(2)确定f ′(x )在区间(a ，b )内的符号(如果含有参数，则依据参数的取值讨论符号)；(3)得出结论：f ′(x )>0时函数f (x )为增函数，f ′(x )<0时函数f (x )为减函数．3．函数单调性与导数正负的关系单调递增若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0单调递减若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0“函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上的导数大(小)于0”是“其在(a ，b )上单调递增(减)”的充分不必要条件.判一判1.若函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则f ′(x )>0.(×)2．若f ′(x )>0在区间[a ，b ]上恒成立，则f (x )在区间[a ，b ]上单调递增．(√)3．若函数f (x )＝ax 3－1在R 上是减函数，则a ≤0.(×)4．已知函数f (x )＝＋ln x ，则f (2.7)<f (e)<f (π)．(√)x 5．当a ≥1时，函数y ＝sin x ＋ax 在R 上单调递增．(√)6．当1<k <2时，函数f (x )＝2x 2－ln x 在区间(k －1，k ＋1)上不单调．(×)7．2ax ＋e x ≥x ＋1恒成立，可转化为a ≥恒成立．(×)x ＋1－e x2x8．在区间(0，π)上，sin x 与x 的大小关系是sin x <x .(√)想一想1.如果函数在某区间上单调递增，那么在该区间上是否必有导数大于零？由函数在某区间上单调递增可知f ′(x )≥0在该区间上恒成立．2．在判断含参数函数的单调性时，需注意哪些问题？破解此类题的关键是过好“三关”：一是“定义域关”，即求函数的定义域；二是“求导关”，即利用导数的四则运算与基本初等函数的导数公式求导；三是“分类讨论关”，即对参数进行分类讨论，判断出导数的符号，从而得到函数的单调性，进而得出单调区间．3．已知函数的单调性，求参数范围的常见思路有哪几种？已知函数的单调性，求参数范围的常见思路有两种：(1)利用集合间的包含关系处理，y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”．感悟体会　练一练1.已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( )12A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵f (x )＝x 3＋ax ＋4，∴f ′(x )＝x 2＋a ，若a >0，则f ′(x )>0恒成立，∴f (x )在R 1232上单调递增，充分性成立；反之，a ＝0时，f (x )在R 上单调递增，∴必要性不成立，故选A.答案：A2．函数f (x )＝(a >0)的单调递增区间是( )axx 2＋1A ．(－∞，－1) B ．(－1,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)或(1，＋∞)解析：∵f (x )＝(a >0)，axx 2＋1∴f ′(x )＝＝＝，a (x 2＋1)－ax ·2x (x 2＋1)2a －ax 2(x 2＋1)2－a (x 2－1)(x 2＋1)2由f ′(x )>0，得x 2－1<0，∴－1<x <1，∴函数f (x )的单调递增区间为(－1,1)，故选B.答案：B3．已知f (x )＝，则( )ln x x A ．f (2)>f (e)>f (3)B ．f (3)>f (e)>f (2)C ．f (3)>f (2)>f (e)D ．f (e)>f (3)>f (2)解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝，得f ′(x )＝，由f ′(x )>0，得ln x x 1－ln xx 20<x <e ；由f ′(x )<0，得x >e ，∴函数f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，∴f (x )max ＝f (e)，又f (2)－f (3)＝－＝＝<0，ln 22ln 333ln 2－2ln 36ln 8－ln 96∴f (2)<f (3)，∴f (e)>f (3)>f (2)，故选D.答案：D4．若函数f (x )＝2ax 3－6x 2＋7在(0,2]内是减函数，是实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝2ax 3－6x 2＋7在(0,2]内是减函数，∴f ′(x )＝6ax 2－12x ≤0在(0,2]内恒成立，即a ≤在(0,2]内恒成立，2x 又min ＝1，∴a ≤1，(2x )即实数a 的取值范围是(－∞，1]．答案：(－∞，1]知识点一利用单调性比较大小1.定义在R 上的函数f (x )，g (x )的导函数分别为f ′(x )，g ′(x )且f ′(x )<g ′(x )．则下列结论一定成立的是( )A ．f (1)＋g (0)<g (1)＋f (0)B ．f (1)＋g (0)>g (1)＋f (0)C ．f (1)－g (0)>g (1)－f (0)D ．f (1)－g (0)<g (1)－f (0)解析：令h (x )＝f (x )－g (x )，∵f ′(x )<g ′(x )，∴h ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，∴h (x )是R 上的减函数，∴h (1)<h (0)，即f (1)－g (1)<f (0)－g (0)，∴f (1)＋g (0)<g (1)＋f (0)，故选A.答案：A2．已知函数f (x )＝x，若f (x 1)<f (x 2)，则( )(e x －1e x )A ．x 1>x 2 B ．x 1＋x 2＝0C ．x 1<x 2D ．x <x 212解析：函数f (x )＝x的定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝(－x )(e x －1e x )＝x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，又f ′(x )＝e x －＋x ，当x >0时，(e －x －1e －x )(e x －1e x )1e x (e x ＋1e x )f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∵f (x 1)<f (x 2)，∴f (|x 1|)<f (|x 2|)，∴|x 1|<|x 2|，∴x <x ，故选D.212答案：D 知识点二已知函数的单调性求参数的值(或取值范围)3.若函数f (x )＝x 2－a ln x 的增区间为(2，＋∞)，则实数a 的值是( )12A ．2 B ．－2C ．4D ．－4解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －＝，当a ≤0时，f ′(x )>0在a x x 2－ax (0，＋∞)上均成立，∴f (x )的增区间为 (0，＋∞)，不符合题意，所以a >0，由Error!得x >，即函数f (x )的增区间为(，＋∞)，所以＝2，解得a ＝4，故选C.a a a 答案：C4．若函数f (x )＝e x －ax 在[0,1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝e x －ax 在[0,1]上单调递减，∴f ′(x )＝e x －a ≤0在[0,1]上恒成立，∴a ≥e x 在[0,1]上恒成立，∴a ≥(e x )max ，又函数y ＝e x 在[0,1]上单调递增，∴(e x )max ＝e ，∴a ≥e ，即实数a 的取值范围是[e ，＋∞)．答案：[e ，＋∞)知识点三含参函数的函数的单调性5.若函数f (x )＝x ＋(b ∈R )的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递增b x 的是( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：∵f (x )＝x ＋，∴f ′(x )＝1－，∵函数f (x )＝x ＋(b ∈R )的导函数在区间(1,2)上b x b x 2bx 有零点，∴当1－＝0时，b ＝x 2，又x ∈(1,2)，∴b ∈(1,4)．bx 2由f ′(x )>0得x <－或x >，即函数f (x )的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)．b b b b ∵b ∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意，故选D.答案：D6．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x ，讨论f (x )的单调性．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝－2ax ＋(2－a )＝－.1x (2x ＋1)(ax －1)x (1)当a ≤0时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)当a >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝，1a 当x ∈时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在上单调递增；(0，1a )(0，1a )当x ∈时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在上单调递减．(1a ，＋∞)(1a ，＋∞)综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，函数f (x )在上(0，1a )单调递增，在上单调递减.(1a ，＋∞)综合知识函数单调性的综合应用7.已知定义在R 上的可导函数f (x )满足f ′(x )<3x 2－1，不等式x 3－x ＋1≤f (x )≤x 3－x ＋2的解集为{x |－1≤x ≤1}，则f (－1)＋f (1)＝________.解析：令g (x )＝f (x )－x 3＋x ，则g ′(x )＝f ′(x )－3x 2＋1，∵f ′(x )<3x 2－1，∴g ′(x )<0，∴g (x )在R 上单调递减，不等式x 3－x ＋1≤f (x )≤x 3－x ＋2可化为1≤f (x )－x 3＋x ≤2，即1≤g (x )≤2，又不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}，∴Error!即Error!∴Error!∴f (－1)＋f (1)＝3.答案：38．当x >0时，证明不等式ln(x ＋1)>x －x 2.12证明：令f (x )＝ln(x ＋1)－x ＋x 2，则f ′(x )＝－1＋x ＝.121x ＋1x 2x ＋1∵x >0，∴>0，即f ′(x )>0，x 2x ＋1∴当x >0时，函数f (x )单调递增，∴f (x )>f (0)＝0，∴当x >0时，ln(x ＋1)>x －x 2.12基础达标一、选择题1．“a >1”是“函数f (x )＝ax －sin x 在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由函数f (x )＝ax －sin x 是增函数，得f ′(x )＝a －cos x ≥0恒成立，∴a ≥(cos x )max ，又(cos x )max ＝1，∴a ≥1，∴“a >1”是“函数f (x )＝ax －sin x 在R 上是增函数”的充分不必要条件，故选A.答案：A2．已知函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )为其导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为( )A ．(－3，－2)∪(2,3)B ．(－，)22C ．(2,3)D ．(－∞，－)∪(，＋∞)22解析：由导函数y ＝f ′(x )的图象知，当x <0时，f ′(x )>0；当x >0时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又f (－2)＝1，f (3)＝1；不等式f (x 2－6)>1可化为－2<x 2－6<3，解得－3<x <－2或2<x <3，故选A.答案：A3．已知函数f (x )＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为( )ax ＋1x ＋2A. B.(－∞，12)(12，＋∞)C. D.(－∞，12][12，＋∞)解析：∵函数f (x )＝在(－2，＋∞)内单调递减，ax ＋1x ＋2∴f ′(x )＝≤0在(－2，＋∞)上恒成立，∴2a －1≤0，解得a ≤，又当a ＝时，2a －1(x ＋2)21212f ′(x )＝0恒成立，不符合题意，舍掉，∴a <，故选A.124．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－]∪[，＋∞)33B ．[－，]33C ．(－∞，－)∪(，＋∞)33D ．(－，)33解析：∵函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，∴f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，且不恒等于0，∴Δ＝4a 2－12≤0，解得－≤a ≤，故选B.33答案：B5．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调递减函数，f ′(x )是其导数，若>x ，则下列f (x )f ′(x )关系成立的是( )A ．f (2)<2f (1)B ．3f (2)<2f (3)C ．e f (e)<f (e 2)D ．e f (e 2)>f (e 3)解析：∵函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，∴f ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立，∵>x ，f (x )f ′(x )∴f (x )<xf ′(x )，令g (x )＝(x >0)，f (x )x 则g ′(x )＝>0，xf ′(x )－f (x )x 2∴g (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，∴g (e)<g (e 2)，即<，f (e )e f (e2)e2∴e f (e)<f (e 2)，故选C.答案：C6．已知函数f (x )＝x －sin x ，则不等式f (x ＋1)＋f (2－2x )>0的解集是( )A.B.(－∞，－13)(－13，＋∞)C ．(－∞，3) D ．(3，＋∞)解析：∵f (x )＝x －sin x ，∴f (－x )＝－x －sin(－x )＝－x ＋sin x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，又f ′(x )＝1－cos x ≥0，∴函数f (x )为增函数，又不等式f (x ＋1)＋f (2－2x )>0可化为f (x ＋1)>－f (2－2x )＝f (2x －2)，∴x ＋1>2x －2，解得x <3，∴不等式f (x ＋1)＋f (2－2x )>0的解集是(－∞，3)，故选C.答案：C7．已知函数f (x )＝Error!在定义域(－∞，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围是( )A. B.(－∞，e 2][e 3，＋∞)C. D.[e 3，e 2](e 3，e 2)解析：由于函数f (x )＝Error!在定义域(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以2a ≥e －a ，解得a ≥，排除A ，D ，e 3当a ＝2时，x ＝1可得e x －2x 2＝e －2；2a ＋ln x ＝4>e －2，显然不成立，排除B ，故选C.二、填空题8．若函数f (x )＝x 3＋ax ＋5的单调递减区间是(－2,2)，则实数a 的值为________．解析：f ′(x )＝3x 2＋a ，依题意3x 2＋a <0的解集为(－2,2)，所以a ＝－12.答案：－129．若函数y ＝－x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．43解析：因为y ′＝－4x 2＋a ，且函数有三个单调区间，所以方程－4x 2＋a ＝0有两个不等的实数，所以Δ＝02－4×(－4)×a >0，所以a >0.∴a 的取值范围是(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)10．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为________．解析：令g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2，∵f ′(x )>2，∴g ′(x )>0，∴函数g (x )是R 上的增函数，∵f (－1)＝2，∴g (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝0，由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0，即g (x )>0＝g (－1)，∴x >－1，故f (x )>2x ＋4的解集为{x |x >－1}．答案：{x |x >－1}11．若函数f (x )＝ln x －ax 2－2x 存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是________．12解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－ax －2，∵函数f (x )存在单调递减区间，1x ∴f ′(x )≤0在(0，＋∞)上有解，即－ax －2≤0在(0，＋∞)上有解，∴a ≥－在(0，＋∞)1x 1x 22x 上有解，∴a ≥min ，又－＝2－1≥－1，当a ＝－1时，f ′(x )＝＋x －2＝(1x 2－2x )1x 22x (1x－1)1x ≥0恒成立，不符合题意，舍去，∴实数a 的取值范围是(－1，＋∞)．(x －1)2x 答案：(－1，＋∞)12．已知函数f (x )＝ax ＋(b >0)的图象在点P (1，f (1))处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，b x 且函数f (x )在区间上是单调递增的，则b 的最大值等于________．[12，＋∞)解析：函数f (x )＝ax ＋(b >0)的导数为f ′(x )＝a －，在点P (1，f (1))处的切线斜率为b x b x 2k ＝a －b ，由切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，可得k ＝a －b ＝2，即a ＝b ＋2，由函数f (x )在区间上单调递增可得a －≥0在区间上恒成立，即有≤(x 2)min ，由x ≥可得[12，＋∞)b x 2[12，＋∞)b a 12x 2的最小值为，即有≤，由b >0，可得b ≤，则b 的最大值为.14b b ＋2142323答案：23三、解答题13．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为(－1,3)，求b 和c 的值．解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∵函数f (x )的单调区间为(－1,3)，∴－1和3是f ′(x )＝0的两根，由根与系数的关系，得Error!解得Error!14．讨论函数f (x )＝(－1<x <1，b ≠0)的单调性．bxx 2－1解析：依题意，函数f (x )＝的定义域为(－1,1)，且函数f (x )是奇函数，所以只需讨bxx 2－1论函数在(0,1)上的单调性，因为f ′(x )＝－b (x 2＋1)(x 2－1)2当0<x <1时，1－x 2>0，(x 2－1)2>0，所以当b >0时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(0,1)上单调递减；当b <0时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0,1)上单调递增．又函数f (x )是奇函数，且f (0)＝0，结合奇函数的图象关于原点对称，可知：当b >0时，函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当b <0时，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．能力提升15.已知函数y ＝ax 与y ＝－在区间(0，＋∞)内都是减函数，确定函数y ＝ax 3＋bx 2＋5b x 的单调区间．解析：∵函数y ＝ax 与y ＝－在区间(0，＋∞)内都是减函数，b x ∴a <0，b <0，由y ＝ax 3＋bx 2＋5，得y ′＝3ax 2＋2bx ，由y ′＝0得x 1＝－<0，x 2＝0，2b3a ∵a <0，∴二次函数y ′＝3ax 2＋2bx 是开口向下的抛物线，由二次函数的图象知，当x ∈时，y ′>0；(－2b 3a ，0)当x ∈∪(0，＋∞)时，y ′<0，(－∞，－2b 3a )∴函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调递增区间为，单调递减区间为，(－2b 3a ，0)(－∞，－2b 3a )(0，＋∞)．16．已知f (x )＝a e x －x －1.(1)求f (x )的单调区间；(2)是否存在a ，使f (x )在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求在a 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)因为f ′(x )＝a e x －1，当a ≤0时，有f ′(x )<0在R 上恒成立；当a >0时，令f ′(x )≥0，得e x ≥，有x ≥－ln1a a ．f ′(x )<0，得e x <，解得x <－ln a .1a 综上，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间是(－∞，＋∞)，当a >0时，f (x )的单调递增区间是[－ln a ，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－ln a )．(2)f ′(x )＝a e x －1.若f (x )在(－∞，0]上单调递减，则a e x －1≤0在(－∞，0]上恒成立，即a ≤，1e x 而当x ∈(－∞，0]时，≥1，所以a ≤1；1e x 若f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以a e x －1≥0在[0，＋∞)上恒成立．即a ≥，而当x ∈[0，＋∞)时，≤1，所以a ≥1.1e x 1e x 综上可得a ＝1，故存在a ＝1满足条件．。

人教A版选修2-21.3.1函数的单调性与导数基础达标(含答案解析)

1．(2013·马鞍山质检)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x，令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.2．y ＝x ln x 在(0,5)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上单调递增D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上单调递减解析：选C.y ′＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，令y ′＞0，解得x ＞1e ，∵5＞1e ，∴y ＝x ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上为增函数，同理可求在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上为减函数． 3．下列区间中，使函数y ＝x ·cos x －sin x 为增函数的区间是( )A ．(π2，3π2)B ．(π，2π)C ．(3π2，5π2) D ．(2π，3π)解析：选B.f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x ·sin x ，当x ∈(π，2π)时，f ′(x )>0.4．(2013·高考课标全国卷)若存在正数x 使2x(x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞)解析：选D.∵2x(x －a )＜1，∴a ＞x －12x .令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－xln2＞0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )＞f (0)＝0－1＝－1，∴a 的取值范围为(－1，＋∞)，故选D.5．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0对任意正数a 、b ，若a ＜b ，则必有( )A ．af (a )≤f (b )B ．bf (b )≤f (a )C ．af (b )≤bf (a )D ．bf (a )≤af (b ) 解析：选C.设g (x )＝xf (x )，则由g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )≤0，知g (x )在(0，＋∞)上递减．又0＜a ＜b ，f (x )≥0，∴bf (b )＜af (a )，∴af (b )＜bf (b )＜af (a )＜bf (a )．当f (x )＝0时，f (b )＝f (a )＝0，∴af (b )≤bf (a )．故选C.6．若函数y ＝a (x 3－x )的单调减区间为(－33，33)，则a 的取值范围是________．解析：由f ′(x )＝a (3x 2－1)＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，知a ＞0. 答案：(0，＋∞)7．(2013·武汉调研)若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间，∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a >0， ∴a >0.答案：(0，＋∞)8．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，那么实数k 的取值范围是________．解析：显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，y ′＝4x －1x ＝4x 2－1x.由y ′＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由y ′＜0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k －1≥0，k －1＜12，k ＋1＞12，解得：1≤k ＜32.答案：[1，32)9．求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝－x 2＋ln(x ＋1)；(2)f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x ≤2π)．解：(1)∵函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，且f ′(x )＝－2x ＋1x ＋1(x ＋1)′＝－2x ＋1x ＋1＝－2x 2－2x ＋1x ＋1(x ＞－1)，由－2x 2－2x ＋1＞0，即2x 2＋2x －1＜0得－1＋32＜x ＜－1＋32，又x ＞－1，∴f (x )的单调增区间是(－1，－1＋32)，类似可得f (x )的单调减区间是⎝⎛⎭⎪⎫－1＋32，＋∞.(2)f ′(x )＝cos x (1＋cos x )＋sin x (－sin x )＝2cos 2x ＋cos x －1＝(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵0≤x ≤2π，∴由f ′(x )＝0得x 1＝π3，x 2＝π，x 3＝53π，↗↘↘∴f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x ≤2π)的单调递增区间为[0，3]，[3，2π]，单调递减区间为[π3，5π3]．10．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x.设f (x )在区间[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x＝e x [x 2＋2(1－a )x －2a ]．令f ′(x )＝0，即x 2＋2(1－a )x －2a ＝0.解得x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2，其中x 1<x 2.当∵∴x 1<－1，x 2≥0，f (x )在(x 1，x 2)上单调递减．由此可得f (x )在[－1,1]上是单调函数的充要条件为x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1，解得a ≥34.故所求a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。

人教版高中数学A版选修2-2导数与函数的单调性练习(一)

1．若函数y ＝f(x)在R 上可导，且满足不等式xf ′(x)>－f(x)恒成立，且常数a ，b 满足a>b ，则下列不等式一定成立的是________．①af(b)>bf(a);②af(a)>bf(b)；③af(a)<bf(b);④af(b)<bf(a)2．函数f(x)的定义域为(0，π2)，f ′(x)是它的导函数，且f(x)<f ′(x)tanx 恒成立，则下列结论正确的是________． ①3f(π4)>2f(π3);②f(1)<2f(π6)sin1；③2f(π6)>f(π4);④3f(π6)<f(π3)．3．函数f(x)在定义域R 内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x)<0，设a ＝f(0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f(3)，则( ) A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<b D ．b<c<a4．若函数f(x)＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0]B ．[－1，＋∞)C ．[0,3]D ．[3，＋∞)5．已知函数f(x)＝x 2＋mx ＋lnx 是单调递增函数，则m 的取值范围是________．6．若函数f(x)＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a 的值为________． 7．已知函数f(x)＝ln x ＋k e x (k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f(x)的单调区间．8．函数f(x)＝ax 3＋3x 2＋3x(a ≠0)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1,2)是增函数，求a 的取值范围．9．已知a ∈R ，函数f(x)＝(－x 2＋ax)e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)函数f(x)是否为R 上的单调函数？若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由．10．已知函数f(x)＝a x ＋x 2－xlna －b(a ，b ∈R ，a>1)，e 是自然对数的底数．(1)试判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)当a ＝e ，b ＝4时，求整数k 的值，使得函数f(x)在区间(k ，k ＋1)上存在零点．11．已知函数f(x)＝lnx ＋mx 2(m ∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若A ，B 是函数f(x)图像上不同的两点，且直线AB 的斜率恒大于1，求实数m 的取值范围．1．答案 ②解析令F(x)＝xf(x)，则F ′(x)＝xf ′(x)＋f(x)，由xf ′(x)>－f(x)，得xf ′(x)＋f(x)>0 即F ′(x)>0，所以F(x)在R 上为递增函数．因为a>b ，所以af(a)>bf(b)．2．答案 ④解析 f(x)<f ′(x)tanx ⇔f(x)cosx<f ′(x)sinx ，构造函数g(x)＝f(x)sin x，则g ′(x)＝f ′(x)sin x －f(x)cos x sin 2x，根据已知f(x)cosx<f ′(x)sinx ，5．答案 [－22，＋∞)解析依题意知，x>0，f ′(x)＝2x 2＋mx ＋1x，令g(x)＝2x 2＋mx ＋1，x ∈(0，＋∞)，当－m 4≤0时，g(0)＝1>0恒成立，∴m ≥0成立，当－m 4>0时，则Δ＝m 2－8≤0，∴－22≤m<0，综上，m 的取值范围是m ≥－2 2.6．解析：∵f(x)＝13x 3－32x 2＋ax ＋4， ∴f ′(x)＝x 2－3x ＋a ，又函数f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f ′(x)＝0的两根，∴a ＝(－1)×4＝－4.7．解：(1)由题意得f ′(x)＝1x －ln x －k e x 又f ′(1)＝1－k e＝0，故k ＝1.(2)由(1)知，f ′(x)＝1x －ln x －1e x .设h(x)＝1x －lnx －1(x>0)，则h ′(x)＝－1x 2－1x<0，即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)>0，从而f ′(x)>0；当x>1时，h(x)<0，从而f ′(x)<0. 综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．8.解 (1)f ′(x)＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x)＝0的判别式Δ＝36(1－a)．①若a ≥1，则f ′(x)≥0，且f ′(x)＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1，故此时f(x)在R 上是增函数．②由于a ≠0，故当a<1时，f ′(x)＝0有两个根x 1＝－1＋1－a a ，x 2＝－1－1－a a. 若0<a<1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x)>0，故f(x)分别在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)是增函数；当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x)<0，故f(x)在(x 2，x 1)是减函数；若a<0，则当x ∈(－∞，x 1)或x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x)<0，故f(x)分别在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)是减函数；当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x)>0，故f(x)在(x 1，x 2)是增函数．(2)当a>0，x>0时，f ′(x)＝3ax 2＋6x ＋3>0，故当a>0时，f(x)在区间(1,2)是增函数．当a<0时，f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－54≤a<0. 综上，a 的取值范围是[－54，0)∪(0，＋∞)．9．解：(1)当a ＝2时，f(x)＝(－x 2＋2x)e x ，∴f ′(x)＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x)e x ＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x)>0，即(－x 2＋2)e x >0， ∵e x >0，∴－x 2＋2>0，解得－2<x<2，∴函数f(x)的单调递增区间是(－2，2)．(2)若函数f(x)在R 上单调递减，则f ′(x)≤0对任意x ∈R 都成立．即[－x 2＋(a －2)x ＋a]e x ≤0对任意x ∈R 都成立．∵e x >0，∴x 2－(a －2)x －a ≥0对任意x ∈R 都成立．∴Δ＝(a －2)2＋4a ≤0，即a 2＋4≤0，这是不可能的．故函数f(x)不可能在R 上单调递减．若函数f(x)在R 上单调递增，则f ′(x)≥0对任意x ∈R 都成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a]e x ≥0对任意x ∈R 都成立．∵e x >0，∴x 2－(a －2)x －a ≤0对任意x ∈R 都成立．而Δ＝(a －2)2＋4a ＝a 2＋4>0，故函数f(x)不可能在R 上单调递增．综上可知函数f(x)不是R 上的单调函数．10．解：(1)f ′(x)＝a x lna ＋2x －lna ＝2x ＋(a x －1)lna.∵a>1，∴当x ∈(0，＋∞)时， lna>0，a x －1>0，∴f ′(x)>0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(2)∵f(x)＝e x ＋x 2－x －4，∴f ′(x)＝e x ＋2x －1，∴f ′(0)＝0，当x>0时，e x >1，∴f ′(x)>0，∴f(x)是(0，＋∞)上的增函数；同理，f(x)是(－∞，0)上的减函数．又f(0)＝－3<0，f(1)＝e －4<0，f(2)＝e 2－2>0，当x>2时，f(x)>0，∴当x>0时，函数f(x)的零点在(1,2)内，∴k ＝1满足条件；f(0)＝－3<0，f(－1)＝1e －2<0，f(－2)＝1e 2＋2>0，当x<－2时，f(x)>0，∴当x<0时，函数f(x)的零点在(－2，－1)内，∴k ＝－2满足条件．综上所述，k＝1或－2.11．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，。

人教版高中数学A版选修22导数与函数单调性练习(二)

高中数学学习资料金戈铁骑整理制作基础牢固题：1.函数 f(x)= ax1在区间（ -2， +∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（）x 2A.0<a< 1B.a<-1 或 a>1C.a>1D.a>-2222答案： C解析： ∵ f(x)=a+12a在 (-2,+ ∞ )递加，∴ 1-2a<0,即 a>1.x 2 22．已知函数 f(x)＝ x 2＋ 2x ＋aln x ，若函数 f(x)在 (0,1) 上单一，则实数 a 的取值范围是 ()A ． a ≥ 0B ． a<－4C ． a ≥0 或 a ≤－ 4D ． a>0 或 a<－ 4答案：C 解析：∵ f ′ (x)＝ 2x ＋ 2＋ a，f( x)在 (0,1)上单一， ∴ f ′ (x)≥0 或 f ′ (x)≤ 0 在 (0,1)x上恒成立，即 2x 2＋ 2x ＋ a ≥ 0 或 2x 2＋ 2x ＋ a ≤0 在 (0,1) 上恒成立，因此 a ≥－ (2x 2＋ 2x)或 a ≤－ (2x 2＋ 2x)在(0,1)上恒成立．记 g(x)＝－ (2x 2＋ 2x),0<x<1，可知－ 4<g(x)<0 ， ∴ a ≥0 或 a ≤－ 4，应选 C.9的单一区间为 ________．3．函数 f(x)＝x ＋ x答案：(－3,0)，(0,3)解析：f ′ (x)＝ 1－ 9x 2－9x 2＝ x2 ，令 f ′ (x)<0，解得－ 3< x<0 或 0<x<3，故单一减区间为 (－ 3,0)和 (0,3)．4 函数 yx 2 x 3 的单一增区间为，单一减区间为 ___________________答案： (0, 2) ； ( ,0),(2, ) 解析：y '3x 22x 0, x 0, 或 x233(2)y=3x － x 3 35．确定以下函数的单一区间:(1) y=x 3－ 9x 2+24x 3－ 9x 2 2－ 18x+24=3( x －2)(x －4)(1) 解： y ′ =(x+24x) ′ =3x令 3(x － 2)(x － 4)＞ 0，解得 x ＞ 4 或 x ＜ 2.∴ y=x 3－ 9x 2+24x 的单一增区间是 (4， +∞)和 (－ ∞， 2) 令 3(x － 2)(x － 4)＜ 0，解得 2＜x ＜ 4.∴ y=x 3－ 9x 2+24x 的单一减区间是 (2， 4)3 ′=3－ 3x 2 2(2) 解： y ′ =(3x － x ) = － 3(x － 1)=－ 3(x+1)( x － 1)令－ 3(x+1)( x － 1)＞ 0，解得－ 1＜ x ＜ 1.∴ y=3x －x 3 的单一增区间是 ( － 1， 1). 令－ 3(x+1)( x － 1)＜ 0，解得 x ＞1 或 x ＜－ 1.∴ y=3x －x 3 的单一减区间是 ( － ∞，－ 1)和 (1， +∞)6．函数 y ＝ln( x 2－ x － 2)的单一递减区间为 __________ ．[答案 ] (－∞，－ 1)[解析 ] 函数 y ＝ ln( x 2－ x －2)的定义域为 (2，＋ ∞ )∪ (－∞ ，－1)，令 f(x)＝ x 2－ x － 2， f ′( x)＝ 2x －1<0 ，得 x<1，2∴ 函数 y ＝ ln( x 2－ x －2)的单一减区间为 (－ ∞ ，－ 1)1 327．已知 y ＝x ＋ bx ＋ ( b ＋ 2)x ＋ 3 在 R 上不是单一增函数，则 b 的范围为 ________．3[答案 ] b<－1 或 b>2[解析 ] 若 y ′＝ x 2＋ 2bx ＋ b ＋ 2≥ 0 恒成立，则＝4b 2－ 4(b ＋2)≤ 0， ∴ － 1≤b ≤ 2，由题意 b ＜－ 1 或 b ＞2. 8.已知 x ∈ R ,求证： e x ≥ x+1．证明 :设 f （x ） =e x －x － 1,则 f ′（ x ） =e x －1．∴当 x=0 时， f ′（ x ）=0,f （ x ） =0．当 x ＞ 0 时， f ′（ x ）＞ 0,∴ f （ x ）在（ 0,+ ∞）上是增函数．∴ f （ x ）＞ f （ 0） =0．当 x ＜ 0 时， f ′（ x ）＜ 0,f （ x ）在（－∞ ,0）上是减函数，∴ f （ x ）＞ f （ 0）=0 ． 9．已知函数 y=x+1，试谈论出此函数的单一区间 .x1)′ =1－－ 2x 21 (x 1)( x 1) (x 1)( x 1)解： y ′ =( x+1· x =x 2x 2令2＞0. 解xx得 x ＞ 1 或 x ＜－ 1.∴ y=x+1的单一增区间 ;是 (－∞，－ 1)和 (1， +∞ ).令( x1)( x1)＜0，xx 2解得－ 1＜ x ＜ 0 或 0＜x ＜ 1. ∴y=x+1的单一减区间是 (－1， 0)和 (0， 1)x 3bx 2x10．已知函数 f ( x)cx d 的图象过点 P （ 0，2），且在点 M （－ 1， f （－ 1））处的切线方程为 6x y 7 0 ．（Ⅰ）求函数 y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数 y=f(x)的单一区间．解：（Ⅰ）由 f(x) 的图象经过 P （ 0， 2），知 d=2，因此 f (x) x 3bx 2 cx 2,f ( x) 3x 22bx c.由在 M(-1,f(-1)) 处的切线方程是 6x y 7，知6f (1) 70, 即 f ( 1) 1, f ( 1)6.3 2b c 6, 即 2b c c 0, 3,1 b c2 1. b解得 b c 3.故所求的解析式是f ( ) x 33 x2 3x 2.x（Ⅱ） f(x)3x 26 x 3. 令 3x 26 x 30,即 x 2 2x1 0.解得 x 112, x 21 2.当 x 1 2, 或x 1 2时, f ( x) 0; 当 12 x 12时, f ( x) 0.故 f ( x)在 ( ,1 2 ) 内是增函数，在(1 2,1 2)内是减函数，在 (1 2, ) 内是增函数．点拨：本题观察函数的单一性、导数的应用等知识，观察运用数学知识解析问题和解决问题的能力．11. 已知函数f(x)=x3-1x2若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围; 2解（ 1）f (x ) =3x2-x+b, 因 f(x) 在（ - ∞， +∞）上是增函数，则 f ( x) ≥0.即3x2-∴b≥x-3x 2在（ - ∞， +∞）恒成立. 设 g(x)=x-3x2当x=1时，g(x)max=1,∴b≥ 1.61212 12. 已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数 a 的取值范围 .解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x3-(a+1)x2 f ( x) =3x2-要使函数f(x)=x(x-1)(x-a)f( x) ≥0即可∴a的取值应满足：在（ 2,+ ∞) 上是增函数，只需 f ( x) =3x2-2(a+1)x+a在（ 2，+∞）上满足f( x) =3x2-2(a+1)x+a的对称轴是 x=a 13a1a12288 3或3解得 :a ≤. ∴a的取值范围是 a≤.(a 1)33 f(2)0f0313．已知函数 f ( x) 4 x ax 22x3 ( x R) 在区间1,1 上是增函数，求实数a的取值3范围．解： f ' ( x)42ax2x2，由于 f x 在区间1,1 上是增函数，因此 f ' ( x) 0 对x1,1 恒成立，即x2ax20 对x1,1 恒成立，解之得： 1 a1因此实数 a 的取值范围为1,1．点拨：已知函数的单一性求参数的取值范围是一种常有的题型，常利用导数与函数单一性关系：即“若函数单一递加，则 f ' ( x)0 ；若函数单一递减，则 f ' ( x) 0 ”来求解，注意此时公式中的等号不能够省略，否则漏解．14.已知函数的切线方程f ( x)x3bx 2ax d 的图象过点P（0，2），且在点M（－1， f ( 1) ）处6x y70 ，（1）求函数 y f (x) 的解析式；（2）求函数 y f ( x) 的单一区间。

人教A版选修2-21.3.1函数的单调性与导数能力提升(含答案解析).docx

1. 向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )解析：选B.结合图象分析可知，刚开始时，水的体积随深度h增加较快，后来较慢．符合此种情况的水瓶为B.本题也可以利用取中思想，我们可取水的高度为H 2，此时水的注入量(体积)要超过一半；观察符合这种情况的只有B.2．(2012·高考福建卷改编)已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论：①f (0)·f (1)＞0；②f (0)f (1)＜0；③f (0)f (3)＞0；④f (0)f (3)＜0.其中正确结论的序号是________．解析：∵f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，由f ′(x )＜0，得1＜x ＜3，由f ′(x )＞0，得x ＜1或x ＞3，∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．又a ＜b ＜c ，f (a )＝f (b )＝f (c )＝0，∴y 极大值＝f (1)＝4－abc ＞0，y 极小值＝f (3)＝－abc ＜0，∴0＜abc ＜4.∴a ，b ，c 均大于零，或者a ＜0，b ＜0，c ＞0.又x ＝1，x ＝3为函数f (x )的极值点，后一种情况不可能成立，如图，∴f (0)＜0，∴f (0)f (1)＜0，f (0)f (3)＞0，∴正确结论的序号是②③.答案：②③3．(2013·高考重庆卷节选)设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ．其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x. 令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)．由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)， f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故f (x )在(2,3)上为减函数．4．(1)当x ＞0时，证明不等式ln(x ＋1)＞x －12x 2； (2)设x ＞－2，n ∈N *，试证明(1＋x )n ≥1＋nx .证明：(1)设f (x )＝ln(x ＋1)－x ＋12x 2，则f ′(x )＝11＋x －1＋x ＝x 21＋x. 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．于是当x ＞0时，f (x )＞f (0)＝0，∴当x ＞0时，不等式ln(x ＋1)＞x －12x 2成立． (2)先构造函数：设f (x )＝(1＋x )n －1－nx .当n ＝1时，f (x )＝0，∴(1＋x )n ＝1＋nx .当n ≥2，n ∈N *时，f ′(x )＝n (1＋x )n －1－n ＝n [(1＋x )n －1－1]，令f ′(x )＝0，得x ＝0.当－2＜x ＜0时，f ′(x )＜0，∴f (x )在(－2,0]上为减函数．当x ＞0时，f ′(x )＞0.∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数．∴当x ＞－2时，f (x )≥f (0)＝0.∴(1＋x )n ≥1＋nx .综上，得(1＋x )n ≥1＋nx .。

人教A版高二数学选修2-2导数检测题

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作高二数学选修2-2导数检测题一、选择题 1．函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（） A ．(]1,1- B ．(]0,1 C ．[)1,+∞ D ．()0,+∞ 2．若f ′(x )＝3，则 f （x 0－m ）－f （x 0）3m等于（）A ．3B ．13C ．－1D ．13．若曲线2y x ax b =++在点(1,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（）A ．1,2a b =-=B ．1,2a b ==C ．1,2a b ==-D ．1,2a b =-=- 4．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为 ( )A ．e 2B ．eC ．ln 22D ．ln 25．已知ax x x f -=3)(在[1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是（）A ．0B ．1C ．2D ．36．已知函数f (x )＝x －sin x ，若x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，且f (x 1)＋f (x 2)>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．x 1>x 2 B ．x 1<x 2 C ．x 1＋x 2>0 D ．x 1＋x 2<07．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( )A ．0≤a <1B ．0<a <1C ．－1<a <1D ．0<a <128．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数y ＝(1－x )()f x '的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 ( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)9．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''>，且()()xf x ag x =(0a >，且1)a ≠，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-．若数列(){}()f ng n 的前n 项和大于62，则n 的最小值为（）A ．6B ．7C ．8D ．910．已知函数1(),()ln 22x x f x e g x ==+的图象分别与直线y m =交于,A B 两点,则||AB 的最小值为( ) A ．2 B ．2ln2+ C ．212e + D ．32ln 2e -二、填空题11．()2321d xx -+=⎰ .12．已知函数()x x f x f cos sin 2+⎪⎭⎫⎝⎛'=π，则⎪⎭⎫⎝⎛4πf =_____ 13．已知函数)(x f 是R 上的偶函数，且在（0，+∞）上有()x f '>0，若0)1(=-f ，那么关于x 的不等式()0<x xf 的解集是_________14．函数2()ln(1)f x x a x =++有两个不同的极值点12,x x ，且12x x <，则实数a 的范围是15．已知函数()f x 的定义域为[]15,-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示.下列关于()f x 的命题：①函数()f x 的极大值点为 0与4； ②函数()f x 在[]02,上是减函数；③如果当[]1x ,t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点； ⑤函数a x f y -=)(零点的个数可能为0、1、2、3、4个. 其中正确命题的序号是．三、解答题16．已知函数a x x x x f +++-=93)(23. （1）求)(x f 的单调递减区间；（2）若)(x f 在区间]2,2[-上的最大值是20，求它在该区间上的最小值。