2017-2018学年河北省保定市涞水县波峰中学高二上学期期中数学试卷与解析(理科)
河北省涞水波峰中学2018届高三上学期联考数学(文)试题
2017-2018学年高三（上）质量检测数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|4},{,1}M x x N m m =≤=+，若M N M = ，则m 的取值范围是（ ） A ．[]2,2- B ．[]3,1- C ．[]1,0- D ．[]2,1-2. 已知,a R i ∈为虚数单位，复数4zi a i =+，且5z =，则a =（ ） A ．3 B ．3或1 C ．3± D ．3-3.下表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温()C 的数据一览表已知该城市的各月最低温与最高温具有线性相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是 （ ）A ．最低温与最高温为正相关B ．每月最高温与最低温的平均值前8个月逐月增加C ．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D ．1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大4. 设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，公差70,21d S <=，且265a a ⋅=，则19a =（ ） A ．12- B ．14- C ．10- D ．11-5. 设,x y 满足约束条件22026020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z y =的取值范围是（ ）A ．1[,1]4B ．2[,1]7C ．[1,4]D ．7[1,]26.已知12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过12,F F 分别作垂直于x 轴的直线交双曲线,,,A B C D 四点，顺次连接四个点正好构成一个正方形，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2 B ．2 C ．12D ．127. 某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）A ．8+．8+．8+．8+8. 已知函数()2sin()(0,[,])2f x wx w πϕϕπ=+>∈的部分图象如图所示，其中5(0)1,2f MN ==，将()f x 的图象向右平移1个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式是（ ） A ．2cos3y x π= B ．22sin()33y x ππ=+C ．22sin()33y x ππ=+111111 D ．2cos3y x π=-9. 如图，E 是正方体1111ABCD A BC D -的棱11C D 上的一点（不与端点重合），1//BD 平面1BCE ，则（ ） A ．1//BD CE B ．11AC BD ⊥ C ．112D E EC = D ．11D E EC =10. 执行如图所示的程序框图，若输入4t =，则输出的i =（ ） A ．16 B ．13 C ．10 D ．711、函数()28(sin )2x x f x x x -=+-的部分图象大致是（ ）12、已知函数()ln (2)24(0)f x x a x a a =+--+>，若有且只有两个整数12,x x ，使得()10f x >且()20f x >，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,2ln 3)-B ．(0,2ln 3]-C ．[2ln 3,2)-D ．(ln 3,2)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13、已知向量(5,3),(,6)a b m ==-，若//a b ，则实数m =14、已知各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为2864,16,24q a a a a =-=，则q = 15.若3tan()cos(2),222ππθπθθ-=-<，则sin 2θ= ． 16.已知抛物线2:4C y x =的焦点为1122,(,),(,)F M x y N x y 是抛物线C 上的两个动点， 若1222x x MN ++=，则MFN ∠的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（一）必考题：共60分17. 在ABC ∆，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知223sin 3sin ,2sin cos 2cos A CA AB C==.（1）求A 的大小； （2）求bc的值. 18. 共享单车是指企业的校园，地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是一种分时租赁模式，某共享单车企业为更好服务社会，随机调查了100人，统计了这100人每日平均骑行共享单车的时间（单位：分钟），由统计数据得到如下频率分布直方图，已知骑行时间在[)[)[)60,80,20,40,40,60三组对应的人数依次成等差数列（1）求频率分布直方图中,a b 的值.（2）若将日平均骑行时间不少于80分钟的用户定义为“忠实用户”，将日平均骑行时间少于40分钟的用户为“潜力用户”，现从上述“忠实用户”与“潜力用户”的人中按分层抽样选出5人，再从这5人中任取3人，求恰好1人为“忠实用户”的概率.19、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为060,BAD PD ∠=⊥平面ABCD ，PD E =是棱PD 上的一个点，DE F =为PC 的中点. （1）证明：//BF 平面ACE ； （2）求三棱锥F EAC -的体积.20、已知双曲线221x y -=的焦点是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的顶点，1F 为椭圆C 的左焦点，且椭圆C 经过点. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右顶点A 作斜率为(0)k k <的直线交椭圆C 于另一点，结1BF 并延长1BF 交椭圆C 于点M ，当AOB ∆的面积取得最大值时，求ABM ∆的面积. 21.已知函数()2()xf x ax e a R =-∈.（1）若曲线()y f x =在1x = 处的切线与y 轴垂直，求()y f x '=的最大值； （2）证明：当12ea <≤时，在()f x 上(0,)a 是单调函数. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为cos (2sin x t t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩为参数0)ϕπ≤<，曲线C 的极坐标方程为2cos 8sin ρθθ=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，当ϕ变化时，求AB 的最小值. 23、已知函数()1,(1)1f x x a x a a =-++>-+. （1）证明：()1f x ≥；（2）若()12f <，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DCBAC 6-10: CBADA 11、D 12：B二、填空题13.10- 14.23π三、解答题17.解：（1）因为23sin 6sin cos ,cos 02222A A A A A ==≠，所以tan 23A =， 所以26A π==，所以3A π=. （2）由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，又23sin 2sin cos cos C A B C =，所以222222234022c a b c a b c ab ab+-=⇒+-=， 消去a 得22230b bc c --=，方程两边同时除以2c ，得22()30b bcc--=， 则32b c =. 18.解：（1）由(0.002520.00753)2010.00125a a ⨯++⨯=⇒=， 又0.016520.0025b a +==，所以0.0085b =.（2）“忠实用户”“潜力用户”的人数之比为：(0.00750.0025):(0.01250.0025)2:3++=， 所以“忠实用户”抽取2525⨯=人， “潜力用户”抽取3535⨯=人， 记事件：从5人中任取3人恰有1人为“忠实用户”设两名“忠实用户”的人记为：12,B B ，三名“潜力用户”的人记为：123,,b b b ，则这5人中任选3人有：121122123112113(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)B B b B B b B B b B b b B b b123212213123123(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)B b b B b b B b b B b b b b b ，共10种情形，符合题设条件有：112113123212213123(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)B b b B b b B b b B b b B b b B b b 共有6种，因此概率为63()105P A ==. 19.解：（1）证明：连接BD ，设BD AC O = ，取PE 的中点，连接,,BG OE FG ， 在BDC ∆中，因为,O E 分别为,BD DG 的中点，所以//OE BG ， 又BG ⊄平面AEC ，所以//BG 平面AEC ， 同理，在PEC ∆中，//,//FG CE FG 平面AEC ， 因为BF ⊂平面AEC ，所以//BF 平面AEC .(2)由（1）知//BF 平面AEC ，所以F EAC B EAC V V --= ， 又F EAC B EAC V V --=，所以F EAC E ABC V V --=，因为02sin 606,AC AB OB DE ====，所以123F EAC E ABC V V --===.20.解：（1）由已知22131241a a b a b ⎧=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎪⎩2212x y +=. （2）由已知结合（1）得1(1,0)A F -,所以设直线:(AB y k x =，联立2212x y +=，得222(12)4220k x k +-+-= ，得B ，21122(0)122(12)()(2)AOB B k S OA y k k k k ∆-=⨯===<+-+，当且仅当12k k -=-，即k =时，AOB ∆的面积取得最大值.所以2k =-，此时(0,1)B ， 所以直线1:1BF y x =+，联立2212x y +=，解得41(,)33M --，所以3BM =A 到直线1:1BF y x =+的距离为12d =+所以112(11)223ABM S BM d ∆=⨯==. 21.解：（1）由()2x f x ax e '=-，得()120f a e '=-=，解得2ea =， 令()()xg x f x ex e '==-，则()xg x e e '=-，可知函数()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 所以()()max 10f x f ''==.（2）设()x e h x x =，则()2(1)x e x h x x-'=，因为12e a <≥，所以1(0,)a ∈， 令()0h x '>得1x a <<；令()0h x '<得01x <<， 所以()()min 1h x h e ==，又2(2,]a e ∈，所以2x e a x≤，所以20xax e -≤，即()0f x '≤，所以()f x 在(0,)a 上递减，从而命题得证.22.解：（1）由cos 2sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩消去t 得sin cos 2cos 0x y ϕϕϕ-+=，所以直线l 的普通方程为sin cos 2cos 0x y ϕϕϕ-+=， 由2cos 8sin ρθθ=，得2(cos )8sin ρθρθ=，得28x y =， 所以曲线C 的直角坐标方程为28x y =.（2）将直线l 的参数方程代入28x y =，得22cos 8sin 160t t ϕϕ--=， 设,A B 零点对应的参数分别为12,t t ， 则1212228sin 16,cos cos t t t t ϕϕϕ+==-，所以1228cos AB t t ϕ=-===， 当0ϕ=时，AB 的最小值为8.23.解：（1）证明：因为()111111f x x a x a a a =-++≥++-++， 又1a >-，所以1112111a a ++-≥-=+， 所以()1f x ≥.（2）由()12f <可化为11121a a -++<+， 因为10a +>，所以11aa a-<+， ①当10a -<<时，不等式无解； ②当0a >时，不等式，可化为111a a a a a-<-<++，即221010a a a a ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩，解得1122a <<，a <<。
化学---河北省保定市涞水波峰中学2017-2018学年高二上学期期中考试试题
河北省保定市涞水波峰中学2017-2018学年高二上学期期中考试试题可能用到的相对原子质量H 1 O 16 C 12 Cu 64第Ⅰ卷（46分）选择题（每题只有一个选项正确，每小题2分，共23个小题）1.符合下列条件的化学反应一定能自发进行的是( )A. ΔH<0,ΔS<0B. ΔH<0,ΔS>0C. ΔH>0,ΔS>0D. ΔH>0,ΔS<02.用铂电极电解CuSO4和KNO3的混合液500mL,经过一段时间后,两极均得到标况下11.2L 气体,则原混合液中CuSO4的物质的量浓度为：（）A.0.5mol·L-1B.0.8mol·L-1C.1.0mol·L-1D.1.5mol·L-13.(原创）用铂电极(惰性)电解下列溶液时,阴极和阳极上的主要产物分别是H2和O2的是：（）A.稀NaOH和Na2SO4的混合液B.Na2SO3和NaCl的混合溶液C.CuSO4和H2SO4的混合液D.AgNO3与HNO3的混合液4.合成氨反应为N2+3H22NH3，其反应速率可以分别用v(N2)、v(H2)和v(NH3)表示，正确的关系是（）A．v (H2) ＝v (N2) ＝v (NH3) B．v (N2)＝v (H2)C．v (NH3) ＝3/2 v (H2) D．v (H2)＝3 v (N2)5.对A + 3B 2C + 2D来说，下列四种不同情况下的反应速率最快的是（）A．v(A)=0.15mol/(L•min) B．v(B)=0.3mol/(L•min)C. v(C)=0.1mol/(L•min) D．v(A)=0.01mol/(L•s)6.反应在A+3B==2C+2D在四种不同情况下的反应速率分别为①ν(A) = 0.15 mol·L-1·s-1②ν(B) = 0.6 mol·L-1·s-1③ν(C) = 0.4 mol·L-1·s-1④ν(D) = 0.45 mol·L-1·s-1该反应进行的快慢顺序为（）A．④＞③＝②＞①B．④＜③＝②＜①C．①＞②＞③＞④D．④＞③＞②＞①7．氢气是人类最理想的能源。
河北省涞水波峰中学高二数学上学期期中试题
波峰中学2016--2017学年度第一学期期中考试高二数学试题（考试时间：120分钟；分值：150分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列给出的赋值语句中正确的是（ ）A. 5=MB. x=﹣xC. B=A=3D. x+y=02．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是( )a ＝1b ＝3 a ＝a ＋b b ＝a －b PRINT a ，bA ．1，3B ．4，1C ．0，0D ．6，0 3．在下列各量之间，存在相关关系的是 （ ）①正方体的体积与棱长之间的关系； ②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系； ④家庭的支出与收入之间的关系； ⑤某户家庭用电量与电价之间的关系。
A. ②③④B.②③C.④⑤D.③④4．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A 、B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差5．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别是0.2，0.1，0.3，0.4，则下列说法正确的是（ ）A ．A+B 与C 是互斥事件，也是对立事件 B ．A 与B+C+D 是互斥事件，也是对立事件 C ．A+C 与B+D 是互斥事件，但不是对立事件 D ．B+C 与D 是互斥事件，也是对立事件6. 圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A ．34-B ．2 C． 43-7. 用秦九韶算法计算函数f (x )＝2x 5＋3x 4＋2x 3－4x ＋5当x ＝2时的函数值为（ ）．A.100 B 64 C.60 D. 125 8.在下列各数中，最大的数是（ ）A ．)9(85 B.(5)210 C.(8)68 D.)2(111119. 某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的回归直线方程为y =6.5x +17.5，那么表中t 的值为( ) A ．40 B ．50 C ．60 D ．70 10．执行下面的程序框图，如果输出的是341a =，那么判断框（ ）A ．4?k <B ．5?k <C ．6?k <D ．7?k <11. 设a 、b 分别是甲、乙各抛掷一枚骰子得到的点数，已知乙所得的点数为2，则方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根的概率为( )A. 12B.13C. 23D.51212.已知点),(y x P 满足222≤+y x ，则满足到直线022=+-y x 的距离[]3,1∈d 的点P 概率为（ ）A .π121+ B .π121- C . π2141-D .π2141+ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案直接答在答题纸上） 13.将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001,0002,0003，，1000，若从中抽取一个容量为50的样本，按照系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001,0002,0003，……，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则抽取的第3个号码为 .14.在两个袋内，分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片（卡片大小形状均相同），今从每个袋中任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为 .15.在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点关于点(1,2)P 成中心对称，则直线AB 的方程为 .16. 已知ABCD 为矩形，AB=3，BC=2，在矩形ABCD 内随机取一点P ，点P 到矩形四个顶点的的距离都大于1的概率为_____________ 三．解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分）如图，给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 的值．（1）请指出该程序框图所使用的逻辑结构；（2）若要使输入的x 的值是输出的y 的值的一半，则输入x 的值为多少？18.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）求两位学生预赛成绩的平均数和方差；（3）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．19.某车间为了规定工时定额，需要确定加工某零件所花费的时间，为此作了四次实验，得到的数据如下：(1)(2)求出y 关于x 的线性回归方程； (3)试预测加工10个零件需要多少时间？注：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====xb y a x n x yxn yx x x y y x x b n i i ni ii ni i ni i i ,)())((122112120．（本题满分12分）设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线:20l x y -=21. （本小题满分12分）某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于60分到140分之间(满分150分)，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图； （2）估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分(可用中值代替各组数据平均值)；（3）若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差小于10分的概率．22.已知圆C 经过点A(－2,0)，B(0,2)，且圆心C 在直线y x =上，又直线:1l y kx =+与圆C 相交于P 、Q 两点． (1)求圆C 的方程； (2)若OP →·OQ →＝－2，求实数k 的值； (3)过点(0,1)作直线1l 与l 垂直，且直线1l 与圆C 交于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．高二数学试题答题纸一、选择题：二、填空题：13. 14. 15. 16.三、解答题：17.18.19.20.21.22.2016-2017高二期中考试数学答案一、选择题1—12 BBADC DDACC CA二、填空题13．0055 14．16 15. x+ y﹣3=0 16.61π-三、解答题17.（1）该程序框图所使用的逻辑结构有：条件结构和顺序结构；（2）x=0，或x=218.解：（1）作出茎叶图如下：（2）派甲参赛比较合适，理由如下：=（70×2+80×4+90×2+8+9+1+2+4+8+3+5）=85，甲=（70×1+80×4+90×3+5+0+0+3+5+0+2+5）=85，乙= [（78﹣85）2+（79﹣85）2+（81﹣85）2+（82﹣85）2+（84﹣85）2+（88﹣85）2+（93﹣85）2+（95﹣85）2]=35.5，= [（75﹣85）2+（80﹣85）2+（80﹣85）2+（83﹣85）2+（85﹣85）2+（90﹣85）2+（92﹣85）2+（95﹣85）2]=41，∵甲=乙，＜，（3）结合（2）甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．19. 解：(1)散点图如图所示．………3分(2)由表中数据得：x ＝3.5， y ＝3.5，……5分∴b ^＝52.5－4×3.5254－4×3.52＝3.55＝0.7 ……7分 ∴a ^＝3.5－0.7×3.5＝1.05，……8分 ∴y ^＝0.7x ＋1.05.……9分(3)将x ＝10代入回归直线方程，得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)． ∴预测加工10个零件需要8.05小时．………12分 20、22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y +++= 【解析】试题分析：求圆的方程关键就是要找到三个条件，求出相应的a ，b ，r .由①利用常用的半弦长、半径、弦心距三者构成的三角形可得221r a =+，由②条件可得劣弧所对的圆心角为2π，所以可得222r b =|2|15a b =⇒-=.通过解方程可求出a ，b ，r . 试题解析：设圆心为(,)a b ，半径为r ，圆的方程为222()()x a y b r -+-= 由条件①：221r a =+， 由条件②：222r b =，从而有：2221b a -=|2|1a b =⇒-=， 解方程组2221|2|1b a a b ⎧-=⎨-=⎩可得：11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩，所以2222r b ==．故所求圆的方程是22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y +++=． 考点：1.圆中的重要三角形.2.点到直线的距离.3.弧长与圆心角的关系. 21.解： (1)由频率分布直方图知第七组的频率f 7＝1－(0.004＋0.012＋0.016＋0.03＋0.02＋0.006＋0.004)×10＝0.08. 直方图如图． --- 2分(2)估计该校的2 000名学生这次考试的平均成绩为：65×0.04＋75×0.12＋85×0.16＋95×0.3＋105×0.2＋1 15×0.06＋125×0.08＋135×0.04 ＝97(分)． --- 5分(3)第六组有学生3人，分别记作A 1，A 2，A 3，第一组有学生2人，分别记作B 1，B 2，则从中任取2人的所有基本事件为(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(B 1，B 2)，共10个． ----------8分 分差大于10分表示所选2人来自不同组，其基本事件有6个：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)， 所以从中任意抽取2人，分差小于10分的概率P ＝410＝25。
河北省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷(二)
河北省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（二）（理科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（每小题5分，共60分）1．垂直于同一条直线的两条直线一定（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能2．若直线l经过点A（1，2），B（4，2+），则直线l的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°3．已知，，若∥，则（）A．x=6，y=15 B．x=3，y=C．x=3，y=15 D．x=6，y=4．已知=（﹣3，2，5），=（1，x，﹣1），且•=2，则x的值是（）A．6 B．5 C．4 D．35．设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是（）A．B．C．D．或6．已知向量，则与的夹角为（）A．0°B．45°C．90°D．180°7．设=（1，1，﹣2），=（3，2，8），=（0，1，0），则线段AB的中点P 到点C的距离为（）A．B．C．D．8．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π9．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°10．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为（）A．B．C．D．11．点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC=BD，且AC与BD成90°，则四边形EFGH是（）A．菱形B．梯形C．正方形D．空间四边形12．在直角坐标系xOy中，设A（﹣2，3），B（3，﹣2），沿x轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时，则θ的大小为（）A．120°B．60°C．30°D．45°二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．直线l1⊥l2，若l1的倾斜角为30°，则l2的倾斜角为．14．已知A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），则平面ABC的法向量的坐标为．15．如图，若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则点C到平面A1BD的距离为．16．已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若，则实数λ=．三、解答题（共70分）17．如图：ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，M、N分别是PC、AB中点，请选择适当的坐标系证明：MN⊥平面PCD．18．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（1）PA∥平面BDE；（2）BD⊥平面PAC．19．如图四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥AD，SD⊥CD，E是SC的中点，O是底面正方形ABCD的中心，AB=SD=6．（1）求异面直线EO与BC所成的角．（2）求点E到平面SAB距离．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求PB和平面PAD所成角的正弦值．（2）求面PAD和面PBC所成二面角的大小．21．已知：正四面体ABCD（所有棱长均相等）的棱长为1，E、F、G、H分别是四面体ABCD中各棱的中点，设：，试采用向量法解决下列问题（1）求的模长；（2）求，的夹角．22．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥PD；（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．参考答案一、单项选择题1．D2．A．3．D4．B5．C．6．C7．B．8．D．9．D10．D．11．C．12．A．二、填空题13．答案为：120°．14．答案为：（1，1，1）．15．答案为．16．答案为：3三、解答题17．证明：根据题意，分别以AB、AD、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系O ﹣xyz，如图所示；则O（0，0，0），N（1，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），M（1，，）；∴=（0，，），=（﹣2，0，0），=（0，1，﹣1），∴•=0×（﹣2）+×0+×0=0，∴⊥，•=0×0+×1+×（﹣1）=0，∴⊥，即MN⊥CD，MN⊥PD，且PD∩CD=D，又PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD．18．证明（1）连接OE，在△CAP中，CO=OA，CE=EP，∴PA∥EO，又∵PA⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，∴PA∥平面BDE．（2）∵PO⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PO又∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC∵AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC∴BD⊥平面PAC19．解：（1）∵四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥AD，SD⊥CD，E是SC的中点，O是底面正方形ABCD的中心，又AD∩CD=D，∴SD⊥平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=SD=6，∴S（0，0，6），C（0，6，0），E（0，3，3），O（3，3，0），B（6，6，0），=（3，0，﹣3），=（﹣6，0，0），设异面直线EO与BC所成的角为θ，则cosθ===，∴θ=45°．∴异面直线EO与BC所成的角为45°．（2）S（0，0，6），E（0，3，3），A（6，0，0），B（6，6，0），=（6，0，﹣6），=（6，6，﹣6），=（0，3，﹣3），设平面SAB的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），∴点E到平面SAB距离d===．20．解：（1）：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），D（0，0，0），（0，1，0），P（0，0，1），∴=（1，﹣1，﹣1），=（1，1，﹣1），=（0，0，﹣1），设平面PAD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，0），设PB和平面PAD所成角为θ，则sinθ===，∴PB和平面PAD所成角的正弦值为．（2）平面PAD的法向量=（1，1，0），C（0，1，0），=（0，1，﹣1），平面PBC的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（0，1，1），设面PAD和面PBC所成二面角为α，则cosα===，∴α=60°，∴面PAD和面PBC所成二面角的大小为60°．21．解：（1）如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，E、F、G、H分别是四面体ABCD中各棱的中点，，∴==（﹣）=（﹣），==；∴=++=﹣（﹣）﹣+=（﹣﹣），∴||====；（2）正四面体ABCD中，=（﹣﹣），||=；同理，=（+﹣），||=；∴cos＜，＞=== [﹣]= [+﹣2•﹣]= [1+1﹣2×1×1cos60°﹣1]=0，∴与的夹角为90°．22．证明：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE．而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD．又PD⊂平面PAD，所以AE⊥PD．解：（Ⅱ）设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH．由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，，所以当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大．此时，因此．又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2．因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD．过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E﹣AF﹣C的平面角，在Rt△AOE中，，，又F是PC的中点，在Rt△ASO中，，又，在Rt△ESO中，，即所求二面角的余弦值为．。
河北省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷(三)
河北省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（三）（文科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．垂直于同一条直线的两条直线一定（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能2．直线l过点（0，1），且倾斜角为450，则直线l的方程是（）A．x+y+1=0 B．x﹣y+1=0 C．x﹣y﹣1=0 D．x+y﹣1=03．若直线ax+（1﹣a）y=3与（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则a等于（）A．3 B．1 C．0或D．1或﹣34．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（）A．2 B．4 C．4 D．85．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．A，B，C，D四点都在一个球面上，AB=AC=AD=，且AB，AC，AD两两垂直，则该球的表面积为（）A．6πB．C．12πD．7．已知点A（﹣1，2），B（3，1），若直线ax﹣y﹣2=0与线段AB相交，则a的范围是（ ）A ．[﹣4，1]B ．[1，4]C ．（﹣∞，﹣4]∪[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）8．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为+π，则a=（ ）A ．B ．1C ．2D ．39．在△ABC 中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若使该三角形绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．10．设m ，n 是不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，有以下四个命题： ①若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ；②若α∩γ=m ，β∩γ=n ，m ∥n 则α∥β；③若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β．其中正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④11．已知实数x ，y 满足方程x 2+y 2=1，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 12．已知点A （﹣2，0），B （0，4），点P 在圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=5上，则使∠APB=90°的点P 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．14．过点P（，1）且与圆x2+y2=4相切的直线方程．15．已知两点A（﹣2，0），B（0，2），点C是圆x2+y2﹣2x=0上的任意一点，则△ABC的面积最小值是．16．在正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，则下列命题正确的序号是①异面直线AB与CD所成角为90°；②直线AB与平面BCD所成角为60°；③直线EF∥平面ACD④平面AFD⊥平面BCD．三、解答题（共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将所选答案写在答题卷上）17．（10分）已知△ABC三个顶点A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（1）求BC边中线AD所在的直线方程（2）求△ABC的面积．18．（12分）已知圆C经过抛物线y=x2﹣4x+3与坐标轴的三个交点．（1）求圆C的方程；（2）设直线2x﹣y+2=0与圆C交于A，B两点，求|AB|．19．（12分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为a．（1）求证：平面BDC1∥平面AB1D1（2）求证：平面A1C⊥平面AB1D1．20．（12分）已知O为坐标原点，方程x2+y2+x﹣6y+c=0（1）若此方程表示圆，求c的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线l：x+2y﹣3=0交于P、Q两点．若以PQ为直径的圆过原点O求c值．21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA ⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积V；（2）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF．22．（12分）已知直线L被两平行直线L1：2x﹣5y+9=0与L2：2x﹣5y﹣7=0所截线段AB的中点恰在直线x﹣4y﹣1=0上，圆C：（x+4）2+（y﹣1）2=25．（1）证明直线L与圆C恒有两个交点；（2）当直线L被圆C截得的弦最短时，求出直线方程和最小弦长．参考答案一、单项选择题1．D2．B．3．D．4．C5．C．6．A．7．C．8．B．9．A．10．A．11．C．12．B二、填空题13．答案为：2x﹣y=0或x+y﹣3=014．答案为．15．答案为：．16．答案为：①③④．三、解答题17．解：（1）∵B（﹣2，﹣1），C（2，3）．∴BC中点D（0，1），∴k AD=﹣3∴AD直线方程为3x+y﹣1=0；，，．18．解：（1）抛物线y=x2﹣4x+3与坐标轴的交点分别是（1，0），（3，0），（0，3）…（3分）所求圆的圆心是直线y=x与x=2的交点（2，2），圆的半径是，于是圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=5．…（6分）（2）圆心C到直线2x﹣y+2=0的距离d=…（9分）|AB|=2=…（12分）19．证明：（1）BC1∥AD1，BC1⊂平面BDC1，AD1⊄平面BDC1，所以以AD1∥平面BDC1同理可证B1D1∥平面BDC1，AD1∩B1D1=D1，AD1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面BDC1…（6分）（2）∵B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，A1C1∩AA1=A1，A1C1⊂平面A1C，AA1⊂平面A1C∴B1D1⊥平面A1C，B1D1⊂平面AB1D1，∴平面A1C⊥平面AB1D1．…（12分）20．解：（1）若方程x2+y2+x﹣6y+c=0表示圆，则D2+E2﹣4F=1+36﹣4c＞0，解得c＜；…（3分）（2）法一：PQ为直径的圆过原点O，设PQ中点为（m，n），则以PQ为直径的圆为（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2…（6分）∵PQ为圆C：x2+y2+x﹣6y+c=0与（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2的公共弦，∴PQ方程为（1+2m）x+（﹣6+2n）y+c=0，…（8分）它与直线l：x+2y﹣3=0为同一条直线，∴，解得；…（10分）∵（m，n）在直线l：x+2y﹣3=0上，∴将代入，解得c=3即为所求．…（12分）法二：设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ为直径的圆过原点O，∴OP⊥OQ，∴k OP k OQ=﹣1，即x1x2+y1y2=0①；…（6分）由，消去x得5y2﹣20y+12+c=0，∴y1+y2=4，②；…（8分）又x1x2=（3﹣2y1）（3﹣2y2）=9﹣6（y1+y2）+4y1y2③；…（10分）将②③代入①，解得c=3即为所求．…（12分）21．解：（1）∵在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴BC=，AC=2．在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，∴CD=2，AD=4．∴S ABCD==．则V=．…．（6分）（2）∵PA=CA，F为PC的中点，∴AF⊥PC．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．∵E为PD中点，F为PC中点，∴EF∥CD．则EF⊥PC．∵AF∩EF=F，∴PC⊥平面AEF．…（12分）22．解：（1）证明：设线段AB的中点为M（a，b），依题意，…（2分）解得a=﹣3，b=﹣1；…（3分）∵圆C：（x+4）2+（y﹣1）2=25圆心为C（﹣4，1），半径r=5；…（4分）且|MC|==＜r，∴直线L与圆C恒有两个交点；…（6分）（2）∵当直线L被圆C截得的弦最短时直线L⊥MC，…（8分）∴k L=﹣=﹣=，则直线L为，即x﹣2y+1=0，…（10分）最小弦长为|EF|=．…（12分）。
河北省高二上学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1的倾斜角是（ ）30y --=A ．B ．C ．D ．30°60︒120︒150︒【答案】B【分析】根据直线一般方程得直线的斜率，结合直线倾斜角与斜率得关系可得倾斜角的大小.【详解】得直线的斜率30y --=k =又直线的倾斜角为，且，所以α[)0,180α∈︒︒tan α=60α=︒故选：B. 2．已知向量，且，那么（ ）(1,2,1),(3,,)a b x y =-= //a b ||b =A ．B ．C ．D ．6918【答案】A【分析】根据题意，设，即，，，2，，分析可得、的值，进而由向量模b ka = (3x )(1y k =-1)x y 的计算公式计算可得答案．【详解】根据题意，向量，2，，，，，且， (1a =- 1)(3b = x )y //a b 则设，即，，，2，，b ka = (3x )(1y k =-1)则有，则，，3k =-6x =-3y =-则，，，故(3b = 6-3)-||b = 故选：A ．3．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是，的中点，则ABCD BC AD 的值为（ ） AE AF ⋅A ．1B ．C ．D 1214【答案】C【分析】先得到该空间四边形及其对角线构成的几何体为正四面体，再根据空间向量的基本定理得到，利用空间向量的数量积运算法则计算出答案. 1122AE AB AC =+ 【详解】此空间四边形及其对角线构成的几何体为正四面体，棱长为1，因为点E ，F 分别是，的中点，BC AD 所以， 1122AE AB AC =+ 所以 11112222AE AF AB AC AF AB AF AC AF ⎛⎫⋅=+⋅=⋅+⋅ ⎪⎝⎭. 111111111cos 60cos 60222222224AB AF AC AF =⋅︒+⋅︒=⨯⨯+⨯⨯=故选：C4．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为2:4D y x =F l P D P l A ，若，则（ ）PA AF =PF =A ．2B ．C ．D ．4【答案】D【分析】画出图像，利用抛物线的定义求解即可.【详解】由题知，准线，设与轴的交点为，点在上，()1,0F :1l x =-x C P D 由抛物线的定义及已知得，则为等边三角形， PA AF PF ==PAF △解法1：因为轴，所以直线斜率，,3APF π∠=AP A x PF k =):1PF y x =-由解得，舍去， 241)y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩(3,P 1,3P ⎛ ⎝所以. 3142P p PF x =+=+=解法2：在中，，则.Rt ACF A 2,60CF AFC ∠== 4AF =解法3：过作于点，则为的中点，因为，则.F FB AP ⊥B B AP 2AB =4AP =故选：D.5．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，1111ABCD A B C D -O ABCD ,E F 11,BB DD 则下列结论正确的是（ ）A ．//1AO EF B ．1A O EF ⊥C ．//平面1AO 1EFB D ．平面1A O ⊥1EFB 【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.【详解】在正四棱柱中，以点D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，1111ABCD A B C D -令，是底面的中心，分别是的中点，12,2(0,0)AB a DD b a b ==>>O ABCD ,E F 11,BB DD 则，，11(,,0),(2,0,2),(2,2,),(2,2,2),(0,0,)O a a A a b E a a b B a a b F b 1(,,2)OA a a b =- ，1(2,2,0),(0,0,)FE a a EB b == 对于A ，显然与不共线，即与不平行，A 不正确；1OA FE 1AO EF 对于B ，因，则，即，B 正确；12()2020OA FE a a a a b ⋅=⋅+-⋅+⋅= 1OA FE ⊥ 1A O EF ⊥对于C ，设平面的法向量为，则，令，得， 1EFB (,,)n x y z = 12200n EF ax ay n EB bz ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 1x =(1,1,0)n =- ，因此与不垂直，即不平行于平面，C 不正确；120OA n a ⋅=> 1OA n 1AO 1EFB 对于D ，由选项C 知，与不共线，即不垂直于平面，D 不正确.1OA n 1AO 1EFB 故选：B6．若实数满足，则的最大值为（ ） ,x y 2220x y x ++=1y x -A． B CD ．212【答案】B【分析】设，当直线与圆相切时取得最值，然后可建立方1y k x =-0kx y k --=()2211x y ++=1y x -程求解.【详解】由可得，其表示的是圆心在，半径为的圆， 2220x y x ++=()2211x y ++=()1,0-1设，其表示的是点与点连线的斜率， 1y k x =-(),x y ()1,0由可得， 1y k x =-0kx y k --=当直线与圆相切时取得最值， 0kx y k --=()2211x y ++=1y x-，解得k =所以 1y x -故选：B7．某班为了了解学生每周购买零食的支出情况，利用分层随机抽样抽取了一个15人的样本统计如下： 学生数 平均支出（元） 方差男生 9 406 女生 635 4据此估计该班学生每周购买零食的支出的总体方差为（ ）A ．10 B ．11.2 C ．23D ．11.5【答案】B【分析】由均值和方差公式直接计算．【详解】全班学生每周购买零食的平均费用为， ()94063538115x ⨯⨯+⨯==方差. ()()22296640384353811.21515s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦故选：B.8．2021年4月12日，四川省三星堆遗址考古发据3号坑出土一件完整的圆口方尊，这是经科学考古发据出土的首件完整圆口方尊（图1）.北京冬奥会火种台“承天载物”的设计理念正是来源于此，它的基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开翩，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种，一种圆口方尊的上部（图2）外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴所在的直线旋转形成的曲面，该曲面的高为50cm ，上口直径为cm ，下口直径为25cm ，最小横截面的直径为20cm ，则该双曲线的离心率1003为（ ）A ．B ．2C ．D ． 7473135【答案】D【分析】设双曲线的标准方程为，利用已知条件确定的值，即可求解 ()222210,0x y a b a b -=>>,a b 【详解】设双曲线的标准方程为， ()222210,0x y a b a b-=>>则由题意最小横截面的直径为20cm ，可知，10a =设点， ()5025,,,50,032A t B t t ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则 ()22225025006251,1,900400t b tb --=-=解得，32,24t b ==所以， 135e ===故选：D二、多选题9．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是（ ）A ．“至少有一个红球”和“至少有一个黑球”是互斥事件B ．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件C ．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件D ．“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件【答案】BD【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．【详解】解：从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，可能结果有：二个红球，一个红球一个黑球，二个黑球；对于，“至少一个红球”和“至少有一个黑球”能同时发生，不是互斥事件，故错误； A A 对于，“恰有一个黑球”和“都是黑球”不能同时发生，是互斥事件，故正确；B B 对于，“恰有一个红球”和“都是红球”不能同时发生，但是可以同时都不发生，是互斥事件，C 但不是对立事件，故错误；C 对于，“至少一个黑球”和“都是红球”不能同时发生，但是一定有一个要发生，是对立事件，D 故正确．D 故选：．BD 10．若曲线C 的方程为，则（ ） ()2222102x y m m m +=>-A ．当时，曲线C 表示椭圆，离心率为 m =12B ．当时，曲线C 表示双曲线，渐近线方程为m =y =C ．当时，曲线C 表示圆，半径为1 1m =D ．当曲线C 表示椭圆时，焦距的最大值为4【答案】BC【分析】根据方程研究曲线的性质，由方程确定曲线形状，然后求出椭圆的得离心率，得焦,,a b c 距判断AD ，双曲线方程中只要把常数1改为0，化简即可得渐近线方程，判断B ，由圆的标准方程判断C ．【详解】选项A ，时，曲线方程为，表示椭圆，其中，，则m 2211322x y +=232a=212b =，离心率为，A 错； 2221c a b =-=c e a ===选项B ，时曲线方程为表示双曲线，渐近线方程为，即，B m 2213x y -=2203x y -=y =正确；选项C ，时，曲线方程为，表示圆，半径为1，C 正确；1m =221x y +=选项D ，曲线C 表示椭圆时，或，22222002m m m m ⎧->⎪>⎨⎪≠-⎩201m <<212m <<时，，，，201m <<222a m =-22b m =222222(0,2)c a b m =-=-∈时，，，，212m <<22a m =222b m =-222222(0,2)c a b m =-=-∈所以，即，无最大值．D 错．2(0,2)c ∈c∈故选：BC ．11．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的1111ABCD A B C D -夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）A ．1AC =B ．平面BD ⊥1ACCC ．向量与的夹角是60°1B C 1AA D ．直线与AC1BD 【答案】AC【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可．【详解】解：对于， 111:A AC AB BC CC AB AD AA =++=++∴22221111222AC AB AD AA AB AD AD AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅， 363636266cos60266cos60266cos60216=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=所以错误；1||AC A 对于:B 11()()AC BD AB AD AA AD AB ⋅=++⋅- ，所以，即， 22110AB AD AB AD AB AD AA AD AA AB =⋅-+⋅+⋅--⋅= 10AC DB ⋅= 1AC DB ⊥，所以，即，因为2222()()0AC BD AB AD AD AB AD AB AD AB ⋅=+⋅-==--= 0AC BD ⋅= AC BD ⊥，平面，所以平面，选项正确；1AC AC A ⋂=1,AC AC ⊂1ACC BD ⊥1ACC B 对于：向量与 的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项C 1B C 1BB 18060120︒-︒=︒1B C 1AA 120︒C错误；对于，11:D BD AD AA AB =+- AC AB AD =+ 所以，()2222211111222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-=+++⋅-⋅-⋅1||BD ∴=同理，可得||AC = ，11()()18183636181836AC BD AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+=+-++-=所以，所以选项正确．111cos ||||AC BD BD AC AC BD ⋅<⋅>==⋅ D 故选：AC ．12．已知的左，右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆C ()2222:10x y C a ba b+=>>1F 2F )P 外，点Q 在椭圆C 上，则下列说法中正确的有（ ）A ．椭圆C 的离心率的取值范围是⎫⎪⎪⎭B ．已知，当椭圆C时，的最大值为3 ()0,2E -QE C ．存在点Q 使得120QF QF ⋅= D ．的最小值为11212QF QF QFQF +⋅【答案】ACD【分析】易得，再根据点在椭圆C 外，可得，从而可求得的范围，再根=2a )P 22114b +>2b 据离心率公式即可判断A ；根据离心率求出椭圆方程，设点，根据两点的距离公式结合椭(),Q x y 圆的有界性即可判断B ；当点Q 位于椭圆的上下顶点时取得最大值，结合余弦定理判断12F QF ∠是否大于等于即可判断C ；根据12F QF ∠90︒结合基本不等式即可判断D. ()1212121212111114QF QF QF QF QF QF QF QF QF QF ⎛⎫+=+=++ ⎪ ⎪⋅⎝⎭【详解】解：根据题意可知，=2a 则椭圆方程为， 22214x y b+=因为点在椭圆C 外， )P 所以，所以， 22114b+>22b <所以，22102b a <<则离心率，故A 正确；c ea ⎫==⎪⎪⎭对于B ，当椭圆C2c c a ==所以， 21c b ==所以椭圆方程为，2214x y+=设点，(),Q x y 则， )11QE y ==-≤≤当时，，故B 错误；23y =max QE =对于C ，当点Q 位于椭圆的上下顶点时取得最大值， 12F QF ∠此时，1212,2QF QF a F F c ===， 2222222212121222122442cos 102222QF QF F F a c b a b F QF QF QF a a +---∠====-<即当点Q 位于椭圆的上下顶点时为钝角， 12F QF ∠所以存在点Q 使得为直角， 12F QF ∠所以存在点Q 使得，故C 正确；120QF QF ⋅= 对于D ，， 1224QF QF a +==则 ()1212121212111114QF QF QF QF QF QF QF QF QF QF ⎛⎫+=+=++ ⎪ ⎪⋅⎝⎭， 12211122144QF QF QF QF ⎛⎛⎫ =++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝当且仅当，即时，取等号， 1221QF QF QF QF =122QF QF ==所以的最小值为1，故D 正确.1212QF QF QF QF +⋅故选：ACD.三、填空题13．某校高二年级共有学生1000人，其中男生480人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高二全体学生中抽出一个容量为100的样本，若样本按比例分配，则女生应抽取的人数为___________. 【答案】52【分析】利用分层抽样的性质直接求解． 【详解】解：由分层抽样的性质得： 女生应该抽取：．1000480100521000-⨯=故答案为：52．14．已知两直线，．若直线与，不能构成三1:240l x y -+=2:4350l x y ++=3:260l ax y +-=1l 2l 角形，求实数__________． =a 【答案】或或1-832-【分析】分别讨论或或过与的交点时，即可求解.31l l ∥32l l ∥3l 1l 2l 【详解】由题意可得，①当时，不能构成三角形，此时：，解得：；31l l ∥()212a ⨯-=⨯1a =-②当时，不能构成三角形，此时：，解得：；32l l ∥342a ⨯=⨯83a =③当过与的交点时，不能构成三角形，此时：3l 1l 2l 联立与，得，解得，1l 2l 2+4=04+3+5=0x y x y -⎧⎨⎩=2=1x y -⎧⎨⎩所以与过点，将代入得：，解得； 1l 2l ()2,1-()2,1-3l (2)2160a ⨯-+⨯-=2a =-综上：当或或时，不能构成三角形.1a =-832-故答案为：或或.1-832-15．已知圆，圆.动圆与外切，与内切，则动圆的221:(1)1C x y -+=222:(1)25C x y ++=M 1C 2C M 圆心的轨迹方程为___________.【答案】22198x y +=【分析】根据题意得到动圆圆心到两个定圆圆心的距离之和为常数，且大于两个定点的距离，故轨迹为椭圆，根据条件计算得到答案.【详解】圆的圆心为，半径为1，221:(1)1C x y -+=1(1,0)C 圆的圆心为，半径为5，222:(1)25C x y ++=2(1,0)C -设动圆圆心为，半径为， (,)M x y r 则，， 1||1MC r =+2||5MC r =-于是，1212||||6||2MC MC C C +=>=动圆圆心的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆，∴M 1(1,0)C 2(1,0)C -，，， 3a ∴==1c 2228b a c =-=的轨迹方程为，M ∴22198x y +=故答案为：22198x y +=16．如图，已知抛物线：的焦点为，过且斜率为1的直线交于，两E ()220y px p =>F F E A B 点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点，轴于点．若四边形的面AB M x C MN y ⊥N CMNF积等于7，则的方程为________.E【答案】24y x =【分析】作出辅助线，根据直线的斜率表达出梯形的上底和下底以及高，列出方程，求AB CMNF 出，得到抛物线方程.2p =【详解】易知，直线的方程为，四边形为梯形，且．,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭AB 2p y x =-CMNF FC NM ∥设，，，则， ()11,A x y ()22,B x y 00(,)M x y 1212221212122122AB y y y y p k y y x x y y p p --====-+-所以，所以． 122y y p +=0y p =作轴于点，则．MK x ⊥K MK p =因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形，故，所以AB FMC A FK MK KC p ===，， 32pMN OF FK =+=2FC p =所以四边形的面积为， CMNF 132722p p p ⎛⎫⨯+⨯=⎪⎝⎭解得，2p =故抛物线的方程为.E 24y x =故答案为：24y x =四、解答题17．已知直线：与直线：，. 1l ()280m x my ++-=2l 40mx y +-=m ∈R (1)若，求m 的值；12l l ⊥(2)若点在直线上，直线l 过点P ，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的方程. ()1,P m 2l 【答案】(1)或0； 3-(2)或. 20x y -=10x y -+=【分析】（1）根据两直线垂直得到方程，求出m 的值；（2）先将点代入中求出，再分截距为0和截距不为0两种情况进行求解. ()1,P m 2l =2m 【详解】（1）由题意得：，解得：或0， ()20m m m ++=3m =-经检验，均满足要求，所以或0；3m =-（2）将点代入中，，解得：， ()1,P m 2l 40m m +-==2m 因为直线l 过点P ，且在两坐标轴上的截距之和为0，当两截距均为0时，设直线l 为，代入，可得， =y kx ()1,2P =2k 此时直线l 为；20x y -=当两截距不为0时，设直线l 为，代入，可得， 1x yn n+=-()1,2P 1n =-故此时直线l 为；10x y -+=综上：直线l 的方程为或.20x y -=10x y -+=18．在某社区举办的《“环保我参与”有奖问答比赛》活动中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是34，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．11214(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中恰有2个家庭回答正确这道题的概率．【答案】(1)；3283、(2). 1532【分析】（1）记“甲家庭回答正确这道题”，“乙家庭回答正确这道题”，“丙家庭回答正确这道题”分别为事件，根据独立事件概率的求法列方程组计算即可；,,A B C （2）由（1）结合题意可知所求事件为，其概率利用互斥事件与独立事件的概ABC ABC ABC ++率求法计算即可.【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”，“乙家庭回答正确这道题”，“丙家庭回答正确=A =B =C 这道题”，由于相互独立，所以和相互独立，,,A B C A C 则，解得，()()()()()()()()()()()3=41==11=121==4P A P AC P A P C P A P C P BC P B P C ⋅--⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩()()3=82=3P B P C ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为.32,83（2）因为相互独立，且相互互斥， ,,A B C ,,ABC ABC ABC 所以()()()()P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ++=++()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++， 3333232151114834834833223⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以恰有2个家庭回答正确这道题的概率为． 153219．已知圆心为C 的圆经过两点，且圆心C 在直线上 ()()1,1,2,2A B -:10l x y -+=(1)求圆C 的标准方程．(2)若直线PQ 的端点P 的坐标是，端点Q 在圆C 上运动，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程()5,6【答案】(1) ()()222325x y +++=(2) ()()2225122x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【分析】（1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求AB l 得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程.C （2）设出点的坐标，求得点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹M Q Q C M 方程.【详解】（1）线段的中点的坐标为，AB D 31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭直线的斜率为， AB 21321--=--所以线段的垂直平分线的斜率为，AB 13所以线段的垂直平分线的方程为，AB 1131,12323y x y x ⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由解得，所以， 11310y x x y ⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩3,2x y =-=-()3,2C --,5=所以圆的标准方程为.C ()()222325x y +++=（2）设，由于是线段的中点，， (),M x y M PQ ()5,6P 所以，()25,26Q x y --将点的坐标代入原的方程得， Q C ()()2222532625x y -++-+=整理得点的轨迹方程为：. M ()()2225122x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭20．某校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将2021100分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示[)30,50[)50,70[)70,90[)90,110[)110,130[]130,1506的频率分布直方图：(1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均分； (2)估计该校高一期中数学考试成绩的第百分位数；80(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组[)50,70[)70,90中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取．名学生进552行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率． 21[)50,70【答案】(1)分； 93(2)分； 115(3). 710【分析】先利用频率之和为，计算出，进而求出平均值即可；()110.01a =利用百分位数的运算方法，求出成绩的第百分位数；()280利用分层抽样取样方法，算出需在分数段内抽人，分别记为，，需在分()3[)50,7021A 2A [)70,90数段内抽人，分别记为，，，写出样本空间和符合条件样本点数，即可求出相应概率. 31B 2B 3B 【详解】（1）解：由， 0.005200.005200.0075200.0220200.0025201a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=得. 0.01a =数学成绩在：频率， [)30,500.0050200.1⨯=频率，[)50,700.0050200.1⨯=频率， [)70,900.0075200.15⨯=频率，[)90,1100.0200200.4⨯=频率，[)110,1300.0100200.2⨯=频率，[]130,1500.00252000.5⨯=样本平均值为：， 400.1600.1800.151000.41200.21400.0593⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=可以估计样本数据中数学成绩均值为分，93据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计分．93（2）解：由知样本数据中数学考试成绩在分以下所占比例为， ()11100.10.10.150.40.75+++=在分以下所占比例为1300.750.20.95+=因此，第百分位数一定位于内，由，80[)110,1300.80.75110201150.950.75-+⨯=-可以估计样本数据的第百分位数约为分，80115据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第百分位数约为分. 80115（3）解：由题意可知，分数段的人数为 (人)，[)50,701000.110⨯=分数段的人数为 (人)．[)70,901000.1515⨯=用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，则需在分数段内抽人，分别记为，5[)50,7021A ，需在分数段内抽人，分别记为，，，2A [)70,9031B 2B 3B 设“从样本中任取人，至少有人在分数段内”为事件，21[)50,70A 则样本空间共包含个样本点 {}12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B Ω=10而的对立事件包含个样本点 A {}121323,,A B B B B B B =3所以，所以，即抽取的这名学生至少有人在内的概率为()310P A =()()7110P A P A =-=21[)50,70． 71021．如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点．111ABC A B C -ABC 2O AB（1）证明：平面；CO ⊥11ABB A（2）若直线与平面与平面夹角的余弦1B C 11ABB A 11A BC 1ABC 值．【答案】（1）证明见解析；（2）． 57【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）连接，由（1）知⊥平面，又直线与平面1OB CO 11ABB A 1B C 11ABB A ，可得，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用二面角的坐标公12BB =O 式计算大小可得答案．【详解】（1）是正三角形，为的中点，ABC O AB ．CO AB ∴⊥又是直三棱柱，111ABC A B C - 平面ABC ，1AA ∴⊥． 1AA CO ∴⊥又，1AB AA A ⋂=平面．CO ∴⊥11ABB A （2）连接，由（1）知平面， 1OB CO ⊥11ABB A ∴直线与平面所成的角为， 1B C 11ABB A 1CB O ∠1tan CB O ∴∠=是边长为2的正三角形，则ABC A CO =．1OB ∴=在直角中，， 1B BO A 1OB =1OB =．12BB ∴=建立如图所示坐标系，则，，，，．()1,0,0B ()1,0,0A -()11,2,0A -()11,2,0B (10,C ，，设平面的法向量为，则，即()12,2,0BA ∴=- (11,BC =- 11A BC (),,m x y z = 11·0·0m BA m BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得平面的法向量为．22020x y x y -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩11ABC )1m =- ，，设平面的法向量为，则，即()2,0,0AB = ()11,2,3AC = 1ABC (),,n x y z = 1·0·0n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，解得平面的法向量为． 20230x x y z =⎧⎨++=⎩1ABC ()0,2n = 设平面与平面夹角为，则11A BC 1ABC θ．5cos 7m n m n θ⋅==⋅平面与平面夹角的余弦值为．11A BC 1ABC 5722．已知椭圆C ：的右焦点为F ，过点F 作一条直线交C 于R ，S 两点，线段22221x y a b +=()0a b >>RS ，C． (1)求C 的标准方程；(2)斜率不为0的直线l 与C 相交于A ，B 两点，，且总存在实数，使得(2,0)P R λ∈，问：l 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明PA PB PF PA PB λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭理由．【答案】(1)；2212x y +=(2)l 恒过定点. ()1,0【分析】（1）线段RS 为通径时最短，再根据的关系即可求解；,,a b c （2）联立直线AB 的方程与椭圆方程，利用根与系数的关系表示出，整理式子即得结0PA PB k k +=果.【详解】（1）由线段RS，22b a=又，所以，解得 c a =22212a b a -=222,1,a b ⎧=⎨=⎩所以C 的标准方程为．2212x y +=（2）由， PA PB PF PA PB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭可知PF 平分，∴．APB ∠0PA PB k k +=设直线AB 的方程为，，，x my t =+()11,A my t y +()22,B my t y +由得， 2222x my t x y =+⎧⎨+=⎩()2222220m y mty t +++-=，即，()22820m t ∆=-+>222m t >-∴，，12222mt y y m -+=+212222t y y m -=+∴， 1212022PA PBy y k k my t my t +=+=+-+-∴，∴，()()1212220my y t y y +-+=()()222220m t t mt ---⋅=整理得，∴当时，上式恒为0， ()410m t -=1t =即直线l 恒过定点．()1,0Q 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、定点定值、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
河北省涞水波峰中学2017-2018学年高三12月模拟考试(二)数学(文)试题 Word版含答案
波峰中学2017-2018学年度第一学期期末模拟卷（二）高三数学试题（文科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，∁U B={4，5，6}，则集合A∩B=（）A．{1，2}B．{5}C．{1，2，3}D．{3，4，6}2．设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，若z=1+i，则=（）A．﹣2﹣5i B．﹣2+5i C．2+5i D．2﹣5i3．设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值（）A．1 B．3 C．4 D．86．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B．C．D．7．若直线l1：x+ay+6=0与l2：（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则l1与l2间的距离为（）A．B．C．D．8．在面积为S的△ABC内部任取一点P，则△PBC的面积大于的概率为（）A．B．C．D．9．若对任意正数x，不等式≤恒成立，则实数a的最小值为（）A．1 B．C．D．10．已知数列{a n}满足：•…=（n∈N*），则a10=（）A．e26B．e29C．e32D．e3511．一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（）A．2 B． C．D．12．已知函数f（x）=x2﹣ax，g（x）=b+aln（x﹣1），存在实数a（a≥1），使y=f（x）的图象与y=g（x）的图象无公共点，则实数b的取值范围为（）A．[1，+∞）B．[1，）C．[）D．（﹣）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上．13．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为．14．已知等差数列{a n}中，a2+a7=6，则3a4+a6=．15．已知球O的表面积为25π，长方体的八个顶点都在球O的球面上，则这个长方体的表面积的最大值等于．16．给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解； ②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解； ④若x 0是该方程的实数解，则x 0＞﹣1． 则正确命题是 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17）（本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有324n n a S =+成立． （1）记2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式； （2）设11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18. 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．19. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足csinA=acosC ． （1）求角C 的大小；（2）求√3sinA -cos （B+π/4）的最大值，并求取得最大值时角A 、B 的大小．20．已知是一几何体的直观图和三视图如图． （1）若F 为PD 的中点，求证：AF ⊥面PCD ； （2）求此几何体BEC ﹣APD 的体积．21.已知椭圆C ：22221+=x y a b （0a b >>），(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值.22. 设函数f(x)=2x3+ax2+bx+m的导函数为f′(x)，若函数y=f′(x)的图象关于直线对称，且f′(1)=0．(1)求实数a、b的值；(2)若函数f(x)恰有三个零点，求实数m的取值范围．波峰中学2016-2017学年度第一学期期末模拟卷（二）高三数学试题文科答案1、【考点】交集及其运算．【分析】由题意全集U={1，2，3，4，5，6}，C U B={4，5，6}，可以求出集合B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，又∵∁U B={4，5，6}，∴B={1，2，3}，∵A={1，2，5}，∴A∩B={1，2}，故选：A．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把z=1+i代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z=1+i，∴=．故选：A．3、【考点】充要条件．【分析】求解：|x﹣2|＜1，得出“1＜x＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：∵|x﹣2|＜1，∴1＜x＜3，∵“1＜x＜2”∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的充分不必要条件．故选：A4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，解得=．故选：D．5．【考点】简单线性规划．【分析】画出可行域，数形结合求得目标函数z=2x+y的最大值．【解答】解：由变量x，y满足约束条件，可得可行域为如图所示的图形为三角形ABO及其内部区域，故当直线y=﹣2x+z 经过点B（1，1）时，z=2x+y取得最大值为3，故选：B．6．【考点】程序框图．【分析】模拟程序图框的运行过程，得出当n=8时，不再运行循环体，直接输出S值．【解答】解：模拟程序图框的运行过程，得；该程序运行后输出的是计算S=++=．故选：D．7．【考点】两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】先由两直线平行可求a得值，再根据两平行线间的距离公式，求出距离d即可．【解答】解：由l1∥l2得：=≠，解得：a=﹣1，∴l1与l2间的距离d==，故选：B．8．【考点】几何概型．【分析】在三角形ABC内部取一点P，要满足得到的三角形PBC的面积是原三角形面积的，P点应位于图中DE的下方，然后用阴影部分的面积除以原三角形的面积即可得到答案【解答】解：记事件A={△PBC的面积超过}，基本事件是三角形ABC的面积，（如图）事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（DE∥BC并且AD：AB=3：4），因为阴影部分的面积是整个三角形面积的（）2=，所以P（A）=．故选：D．9．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；其他不等式的解法．【分析】由题意可得a≥恒成立，利用基本不等式求得的最大值为，从而求得实数a的最小值．【解答】解：由题意可得a≥恒成立．由于=≤（当且仅当x=1时，取等号），故的最大值为，∴a≥，即a得最小值为，故选：C．10．【考点】数列递推式．【分析】利用作差法求出lna n=（3n+2），n≥2，进行求解即可．【解答】解：∵•…=（n∈N*），∴当n≥2时，•…==，两式作商得=÷=，则lna n=（3n+2），n≥2，则lna10=3×10+2=32，则a10=e32，故选：C11．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图，得到四面体的直观图，然后判断四个面中的最大面积即可．【解答】解：将该几何体放入边长为2的正方体中，由三视图可知该四面体为D﹣BD1C1，由直观图可知，最大的面为BDC1．在正三角形BDC1中，BD=，所以面积S=．故选：D．12．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点与方程根的关系．【分析】若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象无公共点，则等价为f（x）﹣g（x）＞0或f （x）﹣g（x）＜0恒成立，利用参数分离法，转化为求函数的最值，构造函数，求函数的导数，利用导数进行求解即可．【解答】解：若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象无公共点，则等价为f（x）﹣g（x）＞0或f（x）﹣g（x）＜0恒成立，即x2﹣ax﹣b﹣aln（x﹣1）＞0或，x2﹣ax﹣b﹣aln（x﹣1）＜0恒成立，即x2﹣ax﹣aln（x﹣1）＞b或x2﹣ax﹣aln（x﹣1）＜b恒成立，设h（x）=x2﹣ax﹣aln（x﹣1），则函数h（x）的定义域为（1，+∞），函数的导数h′（x）=2x﹣a﹣=，当a≥1时，≥，故x∈（1，）时，h′（x）＜0，x∈（，+∞）时，h′（x）＞0，即当x=时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值h（）=，设G（a）=h（）=，则G（a）在[1，+∞）上为减函数，∴G（a）的最大值为G（1）=，故h（x）的最小值h（）≤，则若x2﹣ax﹣aln（x﹣1）＞b，则b＜，若x2﹣ax﹣aln（x﹣1）＜b恒成立，则不成立，综上b＜，故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上．13．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出应抽取的男生人数．【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则应抽取的男生人数是500×=25人，故答案为：25．14【考点】等差数列的性质．【分析】先根据已知条件求得a1和d的关系，进代入3a4+a6即可．【解答】解：a2+a7=2a1+7d=6，∴3a4+a6=4a1+14d=2×6=12，故答案为：12．15．【考点】球内接多面体．【分析】求出球半径，设出长方体的三度，求出长方体的对角线的长就是确定直径，推出长方体的表面积的表达式，然后求出最大值．【解答】解：∵球O的表面积为25π=4πR2，∴球O的半径R=2.5，设长方体的三度为：a，b，c，球的直径就是长方体的对角线的长，由题意可知a2+b2+c2=52=25，长方体的表面积为：2ab+2ac+2bc≤2a2+2b2+2c2=50；当a=b=c时取得最大值，也就是长方体为正方体时表面积最大．故答案为：50．16．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．【解答】解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1且用无穷多个x 满足﹣sinx=﹣1，因此函数y=（）x ﹣1与y=﹣sinx 的图象在[0，+∞）上有无穷多个交点因此方程（）x +sinx ﹣1=0有无数个实数解，故②正确； 对于③，当x ＜0时，由于x ≤﹣1时（）x ﹣1≥1，函数y=（）x ﹣1与y=﹣sinx 的图象不可能有交点当﹣1＜x ＜0时，存在唯一的x 满足（）x =1﹣sinx ， 因此该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，得③正确； 对于④，由上面的分析知，当x ≤﹣1时（）x ﹣1≥1，而﹣sinx ≤1且x=﹣1不是方程的解∴函数y=（）x ﹣1与y=﹣sinx 的图象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交点 因此只要x 0是该方程的实数解，则x 0＞﹣1． 故答案为：②③④17．解：（1）在324n n a S =+中令1n =得18a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 因为对任意正整数n ，都有324n n a S =+成立，所以11324n n a S ++=+，两式相减得1134n n n a a a ++-=，所以14n n a a +=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分又10a ≠，所以数列{}n a 为等比数列，所以121842n n n a -+== ，所以212log 221n n b n +==+．．．．．5分 （2）()()1111212322123n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 所以()11111111112355721232323323n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ．．．．．．．．．．．10分18. 解：（1）∵调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助， ∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为=14%．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，K 2=9.967．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．20.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明PD⊥AF，CD⊥DA，CD⊥PA，即可证明CD⊥面ADP，推出CD⊥AF．证明AF⊥面PCD．（2）几何体的体积转化为两个三棱锥的体积，求解即可．【解答】解：（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥面ABCD，∵PA=AD，F为PD的中点，∴PD⊥AF，又∵CD⊥DA，CD⊥PA，PA∩DA=A，∴CD⊥面ADP，∴CD⊥AF．又CD∩DP=D，∴AF⊥面PCD．（2）易知PA ⊥面ABCD ，CB ⊥面ABEP ，故此几何体的体积为=．21.【解析】⑴由已知，112c ab a ==，又222a b c =+，解得2,1,a b c ===∴椭圆的方程为2214x y +=.⑵方法一：设椭圆上一点()00,P x y ，则220014x y +=.直线PA ：()0022y y x x =--,令0x =，得0022M y y x -=-. ∴00212y BM x =+- 直线PB ：0011y y x x -=+,令0y =，得001N x x y -=-. ∴0021x AN y =+- 0000000000220000000000221122222214448422x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=+⋅+--+-+-=⋅--++--+=--+将220014x y +=代入上式得=4AN BM ⋅故AN BM ⋅为定值. 方法二：设椭圆 上一点()2cos ,sin P θθ， 直线PA:()sin 22cos 2y x θθ=--,令0x =，得sin 1cos M y θθ=-. ∴sin cos 11cos BM θθθ+-=-直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =，得2cos 1sin N x θθ=-. ∴2sin 2cos 21sin AN θθθ+-=-2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM θθθθθθθθθθθθθθ+-+-⋅=⋅----+=--+=故AN BM⋅为定值.22. 解：（1）由f （x ）=2x 3+ax 2+bx+m ， 得：f'（x ）=6x 2+2ax+b 则其对称轴为，因为函数y=f′（x ）的图象关于直线对称，所以，，所以a=3则f ′（x ）=6x 2+6x+b ， 又由f'（1）=0可得，b=-12．（2）由（1）得：f （x ）=2x 3+3x 2-12x+m 所以，f ′（x ）=6x 2+6x-12=6（x-1）（x+2）当x ∈（-∞，-2）时，f ′（x ）＞0，x ∈（-2，1）时，f ′（x ）＜0，x ∈（1，+∝）时，f ′（x ）＞0．故函数f （x ）在（-∞，-2），（1，+∞）上是增函数，在（-2，1）上是减函数，所以，函数f（x）的极大值为f（-2）=20+m，极小值为f（1）=m-7．而函数f（x）恰有三个零点，故必有，解得：-20＜m＜7．所以，使函数f（x）恰有三个零点的实数m的取值范围是（-20，7）．高三数学试题试题答题纸一、选择题：二、填空题：13. 14. 15. 16.三、解答题：17.18.19.20.21.22.。
2018年河北省保定市涞水县波峰中学高二上学期数学期中试卷与解析(文科)
2017-2018学年河北省保定市涞水县波峰中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、单项选择（共60分）1．（5分）设U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（∁u A）∪（∁u B）等于（）A．{1}B．{0，1}C．{0，1，4}D．{0，1，2，3，4}2．（5分）从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，甲被选中的概率是（）A．B．C．D．3．（5分）为了了解某社区居民是否准备收看奥运会开幕式，某记者分别从社区的60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的160，240，X人中，采用分层抽样的方法共抽出了30人进行调查，若60～70岁这个年龄段中抽查了8人，那么x为（）A．90 B．120 C．180 D．2004．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．24﹣πD．24+π5．（5分）用系统抽样的方法从一个个体总数为1000的总体中抽取一个容量为20的样本．若抽出的其中一个编号为15，则下列编号中也将被抽取的是（）A．35 B．65 C．75 D．1056．（5分）若命题p：∀x∈R，2x2﹣1＞0，则该命题的否定是（）A．∀x∈R，2x2﹣1＜0 B．∀x∈R，2x2﹣1≤0 C．∃x∈R，2x2﹣1≤0 D．∃x ∈R，2x2﹣1＞07．（5分）下列说法错误的是（）A．若a，b∈R，且a+b＞4，则a，b至少有一个大于2B．“∃x0∈R，”的否定是“∀x∈R，2x≠1”C．a＞1，b＞1是ab＞1的必要条件D．△ABC中，A是最大角，则sin2A＞sin2B+sin2C是△ABC为钝角三角形的充要条件8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出s的值为70，则判断框内可填入的条件是（）A．i≤5 B．i＜5 C．i＞5 D．i≥59．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以CD为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是（）A．B．﹣ C．或﹣D．11．（5分）已知命题p：∃x∈R，使sinx﹣cosx=，命题q：集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}有2个子集，下列结论：①“p∧q”真命题；②命题“p∧￢q”是假命题；③命题“￢p∨￢q”真命题，正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．312．（5分）小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：00至7：30之间把报纸送到小明家，小明离开家去上学的时间在早上7：00至8：30之间，问小明在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？（）A．B．C．D．二、填空题（共20分）13．（5分）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员比赛得分的中位数之和是．14．（5分）已知统计某化妆品的广告费用x（千元）与利润y（万元）所得的数据如表所示：从散点图分析，y与x有较强的线性相关关系，且y=0.95x+a，若投入广告费用为6千元，预计利润为万元．15．（5分）已知点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，则a 的取值范围是．16．（5分）函数f（x）按照下列方式定义：当x≤2时，f（x）=﹣x2+2x；当x ＞2时，f（x）=f（x﹣2）．方程f（x）=的所有实数根之和是．三、解答题（共70分）17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，命题q：实数x满足|x﹣3|＜1．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若a＞0，且¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y关于x的线性回归方程=x+，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？（注：=，=﹣）19．（12分）共享单车的出现方便了人们的出行，深受市民的喜爱，为调查某校大学生对共享单车的使用情况，从该校8000名学生随机抽取了100位同学进行调查，得到这100名同学每周使用共享单车的时间（单位：小时）频率分布直方图．（1）已知该校大一学生有2400人，求抽取的100名学生中大一学生人数；（2）根据频率分布直方图求该校大学生每周使用共享单车的平均时间；（3）从抽取的100个样本中，用分层抽样的方法抽取使用共享单车时间超过6小时同学5人，再从这5人中任选2人，求这2人使用共享单车时间都不超过8小时的概率．20．（12分）不透明袋中有3个白球，3个黑球，从中任意摸出3个球，求下列事件发生的概率：（1）摸出1个或2个白球；（2）至少摸出1个白球．21．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，且满足a1=6，a2，a6，a14成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=，求数列{b n}的前n项和S n．22．（12分）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+），求函数g（x）在[﹣，]上的值域．2017-2018学年河北省保定市涞水县波峰中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、单项选择（共60分）1．（5分）设U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（∁u A）∪（∁u B）等于（）A．{1}B．{0，1}C．{0，1，4}D．{0，1，2，3，4}【解答】解：∵U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，∴∁u A={4}，∁u B={0，1}，则（∁u A）∪（∁u B）={0，1，4}．故选：C．2．（5分）从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，甲被选中的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，基本事件总数n==6，甲选中包含的基本事件个数m==3，∴甲被选中的概率p==．故选：B．3．（5分）为了了解某社区居民是否准备收看奥运会开幕式，某记者分别从社区的60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的160，240，X人中，采用分层抽样的方法共抽出了30人进行调查，若60～70岁这个年龄段中抽查了8人，那么x为（）A．90 B．120 C．180 D．200【解答】解：60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的160，240，X人中可以抽取30人，每个个体被抽到的概率等于：，∵在60～70岁这个年龄段中抽查了8人，可知×160=8，解得x=200，故选：D．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．24﹣πD．24+π【解答】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为一个正方体在一个角去掉一个球的．∴该几何体的体积=23﹣=8﹣．故选：A．5．（5分）用系统抽样的方法从一个个体总数为1000的总体中抽取一个容量为20的样本．若抽出的其中一个编号为15，则下列编号中也将被抽取的是（）A．35 B．65 C．75 D．105【解答】解：系统抽样的抽样间隔为1000÷20=50，故样本中个体编号相差50的整数倍，其中一个编号为15，故选：B．6．（5分）若命题p：∀x∈R，2x2﹣1＞0，则该命题的否定是（）A．∀x∈R，2x2﹣1＜0 B．∀x∈R，2x2﹣1≤0 C．∃x∈R，2x2﹣1≤0 D．∃x ∈R，2x2﹣1＞0【解答】解：命题p：∀x∈R，2x2﹣1＞0，则其否命题为：∃x∈R，2x2﹣1≤0，故选：C．7．（5分）下列说法错误的是（）A．若a，b∈R，且a+b＞4，则a，b至少有一个大于2B．“∃x0∈R，”的否定是“∀x∈R，2x≠1”C．a＞1，b＞1是ab＞1的必要条件D．△ABC中，A是最大角，则sin2A＞sin2B+sin2C是△ABC为钝角三角形的充要条件【解答】解：A．若a，b都小于等于2，则a≤2，b≤2，则a+b≤4，与a+b＞4矛盾，∴假设不成立，即a，b至少有一个大于2成立，故A正确，B．“∃x0∈R，”的否定是“∀x∈R，2x≠1”，正确，C．当a＜﹣2，b＜﹣2满足ab＞1，但a＞1，b＞1不成立，即必要性不成立，故a＞1，b＞1是ab＞1的必要条件错误，D．由sin2A＞sin2B+sin2C得a2＞b2+c2，则a为最大值，则cosA=，则角A是钝角，故sin2A＞sin2B+sin2C是△ABC为钝角三角形的充要条件，故D 正确，故选：C．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出s的值为70，则判断框内可填入的条件是（）A．i≤5 B．i＜5 C．i＞5 D．i≥5【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，s=0满足条件，s=2，i=2满足条件，s=8，i=3满足条件，s=20，i=4满足条件，s=40，i=5满足条件，s=70，i=6由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出s的值为70．结合选项可知，判断框内可填入的条件是i≤5．故选：A．9．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以CD为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵AB=2，BC=1，∴长方体的ABCD的面积S=1×2=2，圆的半径r=1，半圆的面积S=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是=，故选：C．10．（5分）已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是（）A．B．﹣ C．或﹣D．【解答】解：∵1，a1，a2，4成等差数列，∴3d=4﹣1=3，即d=1，∴a2﹣a1=d=1，又1，b1，b2，b3，4成等比数列，∴b22=b1b3=1×4=4，解得b2=±2，又b12=b2＞0，∴b2=2，则=．故选：A．11．（5分）已知命题p：∃x∈R，使sinx﹣cosx=，命题q：集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}有2个子集，下列结论：①“p∧q”真命题；②命题“p∧￢q”是假命题；③命题“￢p∨￢q”真命题，正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵sinx﹣cosx=sin（x﹣）∈[﹣，]∴sinx﹣cosx=∉[﹣，]∴命题p是假命题又∵集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}={1}，那么{1}的子集有两个：{1}、φ，∴命题q是真命题由复合命题判定真假可知．（1）命题“p∧q”是真命题，错误（2）命题“p∧（￢q）”是假命题，正确（3）命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题，正确故选：C．12．（5分）小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：00至7：30之间把报纸送到小明家，小明离开家去上学的时间在早上7：00至8：30之间，问小明在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？（）A．B．C．D．【解答】解：设送报人到达的时间为x，小明离开家的时间为y，（x，y）可以看成是平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y）|6≤x≤7.5，7≤y≤8.5}，是一个正方形区域，面积SΩ=1.5×1.5=2.25，事件A所构成的区域为A={（x，y）|y≥x，6≤x≤7.5，7≤y≤8.5}，S A=2.25﹣×0.5×0.5=2.125，∴P（A）===，∴小明在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是．故选：B．二、填空题（共20分）13．（5分）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员比赛得分的中位数之和是32．【解答】解：由题意知，∵甲运动员的得分按照从小到大排列是7，8，9，15，17，19，23，24，26，32，41共有11 个数字，最中间一个是19，乙运动员得分按照从小到大的顺序排列是5，7，8，11，11，13，20，22，30，31，40，共有11个数据，最中间一个是13，∴甲、乙两名运动员比赛得分的中位数之和是19+13=32，故答案为：3214．（5分）已知统计某化妆品的广告费用x（千元）与利润y（万元）所得的数据如表所示：从散点图分析，y与x有较强的线性相关关系，且y=0.95x+a，若投入广告费用为6千元，预计利润为8.3万元．【解答】解：由题意，==2，==4.5，∴样本中心点为（2，4.5），∵数据的样本中心点在线性回归直线上，=0.95x+，∴4.5=0.95×2+，∴=2.6，∴x=6时，=0.95×6+2.6=8.3万元．故答案为：8.3．15．（5分）已知点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，则a 的取值范围是﹣7＜a＜24．【解答】解：因为点（﹣3，﹣1）和点（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，所以，（﹣3×3+2×1﹣a）[3×4+2×6﹣a]＜0，即：（a+7）（a﹣24）＜0，解得﹣7＜a＜24故答案为：﹣7＜a＜24．16．（5分）函数f（x）按照下列方式定义：当x≤2时，f（x）=﹣x2+2x；当x ＞2时，f（x）=f（x﹣2）．方程f（x）=的所有实数根之和是18．【解答】解：由题意，可得函数f（x）的图象如图所示，与f（x）有6个交点，从小到大依次设为x1，x2，x3，x4，x5，x6，根据图象的对称性可知x1+x2=2，x3+x4=6，x5+x6=10，所以方程的所有根之和为2+6+10=18．故答案为：18．三、解答题（共70分）17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，命题q：实数x满足|x﹣3|＜1．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若a＞0，且¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由|x﹣3|≤1，得﹣1≤x﹣3≤1，得2≤x≤4，即q为真时实数x的取值范围是2≤x≤4，若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2≤x＜3．（Ⅱ）¬p是¬q的充分不必要条件，即¬p⇒¬q，且¬q⇏¬p，设A={x|¬p}，B={x|¬q}，则A⊊B，又A={x|¬p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|¬q}={x≤2或x＞3}，则0＜a≤2，且3a＞3，所以实数a的取值范围是1＜a≤2．18．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y关于x的线性回归方程=x+，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？（注：=，=﹣）【解答】解（1）散点图如图所示．（2）由表中数据得：x i y i=52.5，=3.5，=3.5，=54，∴b=0.7，a=1.05．∴回归直线方程为y=0.7x+1.05．（3）将x=10代入回归直线方程，得y=0.7×10+1.05=8.05（小时），∴预测加工10个零件需要8.05小时．19．（12分）共享单车的出现方便了人们的出行，深受市民的喜爱，为调查某校大学生对共享单车的使用情况，从该校8000名学生随机抽取了100位同学进行调查，得到这100名同学每周使用共享单车的时间（单位：小时）频率分布直方图．（1）已知该校大一学生有2400人，求抽取的100名学生中大一学生人数；（2）根据频率分布直方图求该校大学生每周使用共享单车的平均时间；（3）从抽取的100个样本中，用分层抽样的方法抽取使用共享单车时间超过6小时同学5人，再从这5人中任选2人，求这2人使用共享单车时间都不超过8小时的概率．【解答】解：（1）设抽取的100名学生中大一学生有x人，则，解得x=30，∴抽取的100名学生中大一学生有30人．（2）根据频率分布直方图知该校大学生每周使用共享单车的平均时间为：=1×0.050×2+3×0.200×2+5×0.125×2+7×0.100×2+9×0.025×2=4.4，∴该校大学生每周使用共享单车的平均时间为4.4小时．（3）在100个样本中，任意抽取5人，使用共享单车时间在（6，8]小时内的有4人，记为A、B、C、D，在（8，10]小时的有1人，记为X，从这5人中任选2人，不同的选法有10种，分别为：（A、B），（A、C），（A，D），（A，X），（B，C），（B，D），（B，X），（C，D），（C，X），（D，X），这2人使用共享单车时间都不超过8小时的选法有6种，分别为：（A、B），（A、C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），∴这2人使用共享单车时间都不超过8小时的概率p=．20．（12分）不透明袋中有3个白球，3个黑球，从中任意摸出3个球，求下列事件发生的概率：（1）摸出1个或2个白球；（2）至少摸出1个白球．【解答】解：（1）将白球分别编号为1，2，3，黑球分别编号为4，5，6，则从6个球中任意摸出3个球，结果如下：三白为（1，2，3）；两白一黑为（1，2，4），（1，2，5），（1，2，6），（1，3，4），（1，3，5），（1，3，6），（2，3，4），（2，3，5），（2，3，6）；一白两黑为（1，4，5），（1，4，6），（1，5，6），（2，4，5），（2，4，6），（2，5，6），（3，4，5），（3，4，6），（3，5，6）；三黑为（4，5，6）．共有20种不同的结果．从6个球中任取3个，记“恰有1个白球”为事件A1，“恰有2个白球”为事件A2，“恰有3个黑球”为事件B，事件A1与A2为互斥事件，则摸出1个或2个白球的概率P1=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=+=．…（8分）（2）“至少摸出一个白球”的对立事件为“摸出的3个球都是黑球”，所以至少摸出1个白球的概率P2=1﹣P（B）=1﹣=．…（12分）21．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，且满足a1=6，a2，a6，a14成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d≠0，∵a2，a6，a14成等比数列．∴=a2•a14，∴（6+5d）2=（6+d）（6+13d），化为d2﹣2d=0，d≠0，解得d=2．所以a n=6+2（n﹣1）=2n+4．（2）b n===，∴数列{b n}的前n项和S n═++…+==．22．（12分）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+），求函数g（x）在[﹣，]上的值域．【解答】解：（1）f（x）=sin（2x+）+sin2x==sin2x+cos2x+sin2x=sin2x+=sin2x+1﹣=sin2x+，∴f（x）的最小正周期T=；（2）∵函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+），∴g（x）=sin2（x+）+=sin（2x+）+，当x∈[﹣，]时，则2x+∈，则≤sin（2x+）≤1，即×≤g（x），解得≤g（x）≤1．综上所述，函数g（x）在[﹣，]上的值域为：[，1]．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
河北省涞水波峰中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
波峰中学2017-2018学年度第一学期期中调研考试高二数学理科试题命题人：荆冀彬 审核人：刚秋香 张立平注意事项：1. 本试卷总分150分，考试时间120分钟。
2. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.3. 请将答案正确填写在答题卡上。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一：选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、【原创】已知全集U Z =，集合{}3,1,0,1,2A =--， {}|21, B x x k k N ==-∈，则A ∩B （ ）A. {}0,1,2B. {-3,-1,1}C. {}1,0,2-D. {}3,0,2-2、【原创】集合A={-1,0,1,2}的真子集的个数为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．163、【原创】下列函数中，在（-∞，0）内单调递减，并且是偶函数的是（ ）A ．2y x = B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2xy =4、运行下面程序：当输入168， 72时，输出的结果是（ ）A. 168B. 72C. 36D. 245、1337与382的最大公约数是( ) A. 201 B. 191 C. 382 D. 36、下列给出的赋值语句中正确的是（ ）A ．4M =B ．M M =-C ．3B A ==D ．0x y +=7、对于简单随机抽样,下列说法中正确的命题为（ ）①它要求被抽取样本的总体的个数有限,以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析； ②它是从总体中逐个地进行抽取,以便在抽取实践中进行操作； ③它是一种不放回抽样；④它是一种等概率抽样,不仅每次从总体中抽取一个个体时,各个个体被抽取的概率相等,而且在整个抽样检查过程中,各个个体被抽取的概率也相等,从而保证了这种方法抽样的公平性．A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④ 8、执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A. 1009B. -1009C. -1007D. 10089、已知菱形ABCD 的边长为4，0051ABC =∠，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（ ）10、[原创]某班有男生18人，女生36人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为12的样本，则抽取的女生人数为（ ） （A ）8 （B ）4 （C ）6 （D ）211、某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为( ) A ．2000个 B ．4096个 C ．5904个D ．8320个12、()()512x x -+的展开式中3x 的系数为( ) A. 40- B. 40 C. 15- D. 15第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.） 13、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是______14、【原创】}八进制数2017（8）转化为10进制为__________（10）15、【原创】}将某高二年级的600名学生编号为：01，02，03，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是__________．16、两位同学约定下午5：30-6：00在图书馆见面，且他们在5：30-6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，15分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是__________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本大题满分10分） 等差数列的前项和记为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次实验，得到的数据如下：(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并在坐标系中画出回归直线；(3)试预测加工10个零件需要多少小时？19．（本题满分12分）某校从参加高二年级期中考试的学生中随机抽出60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)、[50,60)、…、[90,100)后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:(Ⅰ)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;(Ⅱ)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分; (Ⅲ)若从60名学生中随机抽取2人,抽到的学生成绩在[40,60)记0分,在[60,80)记1分,在[80,100)记2分,求抽取结束后的总记分至少为2分的概率.有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求：（1）5位同学站成一排，有多少种不同的方法？（2）5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的方法？ （3）将5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？21、（本小题满分12分）已知函数f （x ）=lg （1+x ）﹣lg （1﹣x ）． （1）求函数f （x ）的定义域；（2）判断函数f （x ）的奇偶性，并说明理由； （3）若f （x ）＞0，求x 的取值范围． 22. （本小题满分12分）已知()cos sin ,sin a x x x =+，()cos sin ,2cos b x x x =-，设()f x a b =⋅. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）由sin y x =的图象经过怎样变换得到()y f x =的图象？试写出变换过程； （3）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值及最小值.波峰中学2017-2018学年度第一学期期中调研考试高二数学理科试题答案1、 B2、 C3、 A4、 D5、 B6、 B7、 D8、 B9、 D10、 A11、 C12、 A13、2 314、103915、16,28,40,521617、【答案】(1);(2).试题分析：（1）由题意布列首项与公差的方程组，从而易得数列通项公式；（2）根据，易得. 试题解析：（1）由题意，故；（2）18、【答案】(1)散点图如图：(2)由表中数据得：i y i＝52.5，＝3.5，＝3.5，＝54，∴＝0.7，∴＝1.05，∴＝0.7x＋1.05，回归直线如图所示：(3)将x＝10代入回归直线方程，得＝0.7×10＋1.05＝8.05，∴预测加工10个零件需要8.05小时．19、20、【答案】（1）120（2）24（3）150试题分析：（1）5位同学站成一排，全排列即可；（2）利用捆绑和插空法排列即可；（3）分组（3，1，1），（2，2，1）两组，计算即可试题解析：（1）55A ＝120.（2）5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻故有22A 22A 2324A =．（3）人数分配方式有①311++有335360C A =种方法②221++有2235332290C C A A =种方法 所以，所有方法总数为6090150+=种方法 考点：排列组合问题21、【答案】（1）（﹣1，1）（2）奇函数（3）（0，1） 试题分析：（Ⅰ）由1010x x +>⎧⎨->⎩，求得x 的范围，可得函数的定义域；（Ⅱ）根据函数的定义域关于原点对称，且f （-x ）=-f （x ），可得f （x ）为奇函数；（Ⅲ）由f （x ）＞0，可得log a （1+x ）＞log a （1-x ），分当0＜a ＜1和a ＞1时两种情况，分别利用函数的定义域和单调性求出不等式的解集试题解析：函数f （x ）=lg （1+x ）﹣lg （1﹣x ）．（1）∵﹣1＜x ＜1∴函数f （x ）的定义域（﹣1，1） （2）函数f （x ）=lg （1+x ）﹣lg （1﹣x ）． ∵f （﹣x ）=lg （1﹣x ）﹣lg （1+x ）=﹣f （x ）． ∴f （x ）为奇函数 （3）∵f （x ）＞0，∴求解得出：0＜x ＜1故x 的取值范围：（0，1）【考点】函数单调性的性质；函数的定义域及其求法；函数奇偶性的判断 22、【答案】（1）T π=；（2）见解析；（3）()f x，最小值1-. 试题分析：（1）利用向量的数量积的坐标运算可求得()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，…，于是可求函数f （x ）的最小正周期；（2）利用三角函数的图象变换，即可写出变换过程； （3）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故52444x πππ≤+≤，利用正弦函数的单调性及可求得答案． 试题解析：（1）解：∵()f x a b =⋅()()cos sin cos sin 2sin cos x x x x x x =+-+22cos sin 22224x x sinxcosx cso x sin xx π=-+=+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴()f x 的最小正周期T π=.（2）把sin y x =的图象上所有点向左平移4π个单位得到sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；再把sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变得到sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；再把sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭倍，横坐标不变得到24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（3）∵02x π≤≤，∴52444x πππ≤+≤.∴当242x ππ+=，即8x π=时，()f x ，当5244x ππ+=，即2x π=时，()f x 有最小值1-. 点睛：形如()sin y x ϖϕ=+的性质可以利用sin y x =的性质，将x ϖϕ+看作一个整体，通过换元，令t x ϖϕ=+，得到sin y t =，只需研究关于t 的函数的取值即可.。
2017-2018年河北省保定市高二(上)期中数学试卷及参考答案(文科)
2017-2018学年河北省保定市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）双曲线x2﹣y2=3的焦距为（）A．2 B．4 C．2 D．122．（5分）命题“∀x＞5，log5x＞1”的否定是（）A．∃x0≤5，log5x0＞1 B．∃x0≤5，log5x0≤1C．∀x＞5，log5x≤1 D．∃x0＞5，log5x0≤13．（5分）变量x，y之间的一组相关数据如表所示：x4567y8.27.8 6.6 5.4若x，y之间的线性回归方程为=x+12.28，则的值为（）A．﹣0.96 B．﹣0.94 C．﹣0.92 D．﹣0.984．（5分）设P为双曲线=1上一点F1，F2，分别为左、右焦点，若|PF1|=5，则|PF2|=（）A．1 B．1或9 C．3或7 D．95．（5分）“a＞log23”是“a＞log210”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）抛物线x2=2py（p＞0）上一点（4，1）到其焦点的距离d=（）A．4 B．5 C．7 D．87．（5分）在一次53.5公里的自行车个人赛中，25名参赛选手的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示：现将参赛选手按成绩由好到差编为1﹣25号，再用系统抽样方法从中选取5人，一张纸选手甲的成绩为85分，若甲被选取，则被选取的其余4名选手的成绩的最小值为（）A．89 B．90 C．86 D．888．（5分）设双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，给出下列两个命题：p：若点（1，2）在C的一条渐近线上，则e=，q：若点（1，2）在C 上，则e的取值范围为（1，），那么，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出S的值为﹣18，则输入的S值为（）A．﹣4 B．﹣7 C．﹣22 D．﹣3210．（5分）据全球权威票房网站Mojo数据统计，截至8月20日14时，《战狼2》国内累计票房50亿，截至目前，《战狼2》中国市场观影人次达1.4亿，这一数字也创造了全球影史“单一市场观影人次”的新记录，为了解《战狼2》观影人的年龄分布情况，某调查小组随机统计了100个此片的观影人的年龄（他们的年龄都在区间[10，60]内），并绘制了如图所示的频率分布直方图，则由图可知，这100人年龄的中位数为（）A．33 B．34 C．35 D．3611．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，），B（0，﹣），P为函数y=图象上一点，若|PB|=2|PA|，则cos∠APB=（）A．B．C．D．12．（5分）已知P为椭圆C：=1上任意一点，A（，0），动点M满足|MA|=，且PM⊥AM，则|PM|的最小值为（）A．3 B．4 C． D．2二、填空题：苯大题共4个小题，每小题5分，共20分，吧答案填在答题卡中的横线上（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）命题“若x＞1，则x2＞1”的逆否命题是．14．（5分）已知A（1，1），B（3，m），若m为区间[2，9]上任意选取的一个实数，则直线AB的斜率大于2的概率为．15．（5分）P为椭圆=1上一点，F1，F2分别为左右焦点，若|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则△PF1F2的面积为．16．（5分）直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且抛物线交于A，B两点，若=5，则直线l的斜率为．三、解答题：苯大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共6小题，满分70分）17．（10分）设命题p：∃x0∈（1，+∞），sin2x0=1，q：∀x∈（0，+∞），+81x ≥a．（1）若a=10，判断命题￢p，p∨q，p∧q的真假，并说明理由；（2）设命题r：：∃x0∈R，x02+2x0+a﹣9≤0，判断r成立是q成立的什么条件，并说明理由．18．（12分）已知椭圆M与椭圆N：=1有相同的焦点，且椭圆M过点（0，2）（1）求M的长轴长（2）设直线y=x+2与M交于A，B两点（A在B的右侧），O为原点，求．19．（12分）为了了解甲、一两个工厂生产的轮胎的宽度说法达标，分别从两厂随机个选取了10个轮胎，经每个轮胎的宽度（单位mm）记录下来并绘制出如下的折线图：（1）分别计算甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值（2）轮胎的宽度在[194，196]内，则称这个轮胎是标准轮胎（i）若从甲厂提供的10个轮胎中随机选取1个，求所选的轮胎是标准轮胎的概率？（ii）试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点（4，﹣4）．（1）若抛物线C上一动点M到准线的距离为d，D（﹣1，3），求d+|MD|的最小值；（2）若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点为N（2，），求直线l的方程．21．（12分）已知动点P（x，y）的轨迹为曲线C，且•=0，其中Q（﹣4，y），O（0，0）（1）若直线x=4交曲线C于P1，P2两点，求△P1OP2的面积（2）点M为曲线C上一点，国点M分别作倾斜角互补的直线MA，MB与曲线C分别交于A，B两点（A，B都异于M），过点F（1，0）且与AB垂直的直线l 与曲线C交于D，E两点，若|DE|=8，求点M的坐标．22．（12分）如图所示，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆E经过点（，1），已知点Q（0，2），过点P（0，1）的动直线l与椭圆E相交于A，B两点，B′与B关于y轴对称．（1）求椭圆E的方程；（2）求证：Q，A，B′三点共线．2017-2018学年河北省保定市高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）双曲线x2﹣y2=3的焦距为（）A．2 B．4 C．2 D．12【解答】解：根据题意，双曲线x2﹣y2=3的标准方程为﹣=1，其中a=b=，则c==，其焦距2c=2；故选：C．2．（5分）命题“∀x＞5，log5x＞1”的否定是（）A．∃x0≤5，log5x0＞1 B．∃x0≤5，log5x0≤1C．∀x＞5，log5x≤1 D．∃x0＞5，log5x0≤1【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x＞5，log5x＞1”的否定是：“∃x0＞5，log5x0≤1”．故选：D．3．（5分）变量x，y之间的一组相关数据如表所示：x4567y8.27.8 6.6 5.4若x，y之间的线性回归方程为=x+12.28，则的值为（）A．﹣0.96 B．﹣0.94 C．﹣0.92 D．﹣0.98【解答】解：由题意得：=5.5，=7，故样本中心点是（5.5，7），故7=5.5+12.28，解得：=﹣0.96，故选：A．4．（5分）设P为双曲线=1上一点F1，F2，分别为左、右焦点，若|PF1|=5，则|PF2|=（）A．1 B．1或9 C．3或7 D．9【解答】解：根据题意，双曲线的方程为=1，其中a==2，c==又由P是双曲线上一点，则有||PF1|﹣|PF2||=2a=4，又由|PF1|=5，则|PF2|=1或9，又由|PF2|＞c﹣a=﹣2，故||PF2|=9；故选：D．5．（5分）“a＞log23”是“a＞log210”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵log23＜log210”∴“a＞log23”是“a＞log210”必要不充分条件，故选：B．6．（5分）抛物线x2=2py（p＞0）上一点（4，1）到其焦点的距离d=（）A．4 B．5 C．7 D．8【解答】解：根据题意，抛物线x2=2py（p＞0）经过点（4，1），则有16=2p，解可得p=8，则抛物线的标准方程为：x2=16y，其焦点坐标为（0，4），点（4，1）到其焦点的距离d==5；故选：B．7．（5分）在一次53.5公里的自行车个人赛中，25名参赛选手的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示：现将参赛选手按成绩由好到差编为1﹣25号，再用系统抽样方法从中选取5人，一张纸选手甲的成绩为85分，若甲被选取，则被选取的其余4名选手的成绩的最小值为（）A．89 B．90 C．86 D．88【解答】解：将参赛选手按成绩由好到差分为5组，第一组（80，81，82，83，85），第二组（86，86，86，86，88），第三组（89，90，92，93，94），第四组（95，95，95，97，99），第五组（100，100，105，106，107），甲的编号为第一组的第5个，则其余4名选手的成绩分别为88、94、99、107；所以被选取的其余4名选手成绩的最小值为88．故选：D．8．（5分）设双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，给出下列两个命题：p：若点（1，2）在C的一条渐近线上，则e=，q：若点（1，2）在C 上，则e的取值范围为（1，），那么，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）【解答】解：若点（1，2）在C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，则b=2a，c=a，e=，故p是真命题；若点（1，2）在C：=1（a＞0，b＞0）上，则b＞2a，c＞a，e＞，故q是假命题；故命题p∧q，（￢p）∧q，（￢p）∧（￢q）均为假，p∧（￢q）为真，故选：C．9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出S的值为﹣18，则输入的S值为（）A．﹣4 B．﹣7 C．﹣22 D．﹣32【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得i=2，满足条件i＜6，满足条件i是偶数，S=S+4，i=3满足条件i＜6，不满足条件i是偶数，S=S+4﹣9，i=4满足条件i＜6，满足条件i是偶数，S=S+4﹣9+16，i=5满足条件i＜6，不满足条件i是偶数，S=S+4﹣9+16﹣25，i=6不满足条件i＜6，退出循环，输出S的值为S+4﹣9+16﹣25=﹣18，故解得：S=﹣4．故选：A．10．（5分）据全球权威票房网站Mojo数据统计，截至8月20日14时，《战狼2》国内累计票房50亿，截至目前，《战狼2》中国市场观影人次达1.4亿，这一数字也创造了全球影史“单一市场观影人次”的新记录，为了解《战狼2》观影人的年龄分布情况，某调查小组随机统计了100个此片的观影人的年龄（他们的年龄都在区间[10，60]内），并绘制了如图所示的频率分布直方图，则由图可知，这100人年龄的中位数为（）A．33 B．34 C．35 D．36【解答】解：由已知中的频率分布直方图可得：前两组的频率为（0.014+0.024）×10=0.38，前三组的频率为（0.014+0.024+0.028）×10=0.66，故数据的中位数在第三组，其值为：30+×10≈34，故选：B．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，），B（0，﹣），P为函数y=图象上一点，若|PB|=2|PA|，则cos∠APB=（）A．B．C．D．【解答】解：∵P为函数y=图象上一点，∴P是双曲线y2﹣x2=1（y≥1）上一点，∴A（0，），B（0，﹣）是双曲线y2﹣x2=1的焦点，∵|PB|=2|PA|，∴|PB|﹣|PA|=|PA|=2，∴|PB|=4，|PA|=2，|AB|=2，∴cos∠APB===．故选：C．12．（5分）已知P为椭圆C：=1上任意一点，A（，0），动点M满足|MA|=，且PM⊥AM，则|PM|的最小值为（）A．3 B．4 C． D．2【解答】解：∵A（，0），动点M满足|MA|=，∴点M的轨迹为以点A为圆心，为半径的圆，∵PM⊥AM，即PM为圆的切线，∴当PA最小时，切线长PM最小，设P（x，y），则有=1PA2=（x﹣）2+y2=，当x=时，PA2最小为此时|PM|=，故选：B．二、填空题：苯大题共4个小题，每小题5分，共20分，吧答案填在答题卡中的横线上（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）命题“若x＞1，则x2＞1”的逆否命题是若x2≤1，则x≤1．【解答】解：命题“若x＞1，则x2＞1”的逆否命题是命题“若x2≤1，则x≤1”，故答案为：若x2≤1，则x≤114．（5分）已知A（1，1），B（3，m），若m为区间[2，9]上任意选取的一个实数，则直线AB的斜率大于2的概率为．【解答】解：A（1，1），B（3，m），∴直线AB的斜率为k==；令＞2，解得m＞5；又m∈[2，9]，∴直线AB的斜率大于2的概率为P==．故答案为：．15．（5分）P为椭圆=1上一点，F1，F2分别为左右焦点，若|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则△PF1F2的面积为4．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为=1，其中a==4，b==2，c==2，则|F1F2|=2c=4，P为椭圆=1上一点，则|PF1|+|PF2|=2a=8，若|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则|PF1||PF2|=16，解可得：|PF1|=|PF2|=4，即△PF1F2为周长为4的等边三角形，其面积S=×4×4×=4；故答案为：4．16．（5分）直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且抛物线交于A，B两点，若=5，则直线l的斜率为±．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），设直线l为x=my+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得y2﹣4my﹣4=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，由若=5，可得y1=﹣5y2，解得或，∴m=（﹣+）=﹣，或（﹣）=，即斜率为±故答案为：±．三、解答题：苯大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共6小题，满分70分）17．（10分）设命题p：∃x0∈（1，+∞），sin2x0=1，q：∀x∈（0，+∞），+81x ≥a．（1）若a=10，判断命题￢p，p∨q，p∧q的真假，并说明理由；（2）设命题r：：∃x0∈R，x02+2x0+a﹣9≤0，判断r成立是q成立的什么条件，并说明理由．【解答】解：（1）命题p：∃x0∈（1，+∞），sin2x0=1，则p为真命题，则￢p为假命题，q：∀x∈（0，+∞），+81x≥2=9，当且仅当x=时取等号，故a≤9，故q：∀x∈（0，+∞），+81x≥10为假命题，∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，（2）∃x0∈R，x02+2x0+a﹣9≤0，则4﹣4（a﹣9）≥0，解得a≤10，故r成立是q成立的必要不充分条件18．（12分）已知椭圆M与椭圆N：=1有相同的焦点，且椭圆M过点（0，2）（1）求M的长轴长（2）设直线y=x+2与M交于A，B两点（A在B的右侧），O为原点，求．【解答】解：（1）由椭圆N：=1，得c=，即椭圆M的两焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），又椭圆M过点（0，2），∴椭圆M的短半轴长b=2，则长半轴长a=，∴M的长轴长2a=；（2）由（1）知椭圆M：．如图：联立，解得A（0，2），B（）．∴=0×．19．（12分）为了了解甲、一两个工厂生产的轮胎的宽度说法达标，分别从两厂随机个选取了10个轮胎，经每个轮胎的宽度（单位mm）记录下来并绘制出如下的折线图：（1）分别计算甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值（2）轮胎的宽度在[194，196]内，则称这个轮胎是标准轮胎（i）若从甲厂提供的10个轮胎中随机选取1个，求所选的轮胎是标准轮胎的概率？（ii）试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？【解答】解：（1）甲厂这批轮胎宽度的平均值为：=（195+194+196+193+194+197+196+195+193+197）=195（cm），乙厂这批轮胎宽度的平均值为：=（195+196+193+192+195+194+195+192+195+193）=194（cm）．（2）①从甲厂提供的10个轮胎中有6个轮胎是标准轮胎，从中随机选取1个，所选的轮胎是标准轮胎的概率p=．②甲厂这批轮胎宽度都在[194，196]内的数据为195，194，196，194，196，195，平均数为=（195+194+196+194+196+195）=195，方差为：=[（195﹣195）2+（194﹣195）2+（196﹣195）2+（194﹣195）2+（196﹣195）2+（195﹣195）2]=，乙厂这批轮胎宽度都在[194，196]内的数据为195，196，195，194，195，195，平均数为=（195+196+195+194+195+195）=195，方差为：=[（195﹣195）2+（196﹣195）2+（195﹣195）2+（194﹣195）2+（195﹣195）2+（195﹣195）2]=，∵两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙厂的方差更小，∴乙厂的轮胎相对相对更好．20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点（4，﹣4）．（1）若抛物线C上一动点M到准线的距离为d，D（﹣1，3），求d+|MD|的最小值；（2）若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点为N（2，），求直线l的方程．【解答】解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点（4，﹣4），可得p=2，抛物线的准线方程为x=﹣1，d+|MD|=|MF|+|MD|≥|DF|==，∴d+|MD|的最小值为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程，两式相减得：（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），∴直线l的斜率k==6，故直线l的方程为y﹣=6（x﹣2），即18x﹣3y﹣35=0．21．（12分）已知动点P（x，y）的轨迹为曲线C，且•=0，其中Q（﹣4，y），O（0，0）（1）若直线x=4交曲线C于P1，P2两点，求△P1OP2的面积（2）点M为曲线C上一点，国点M分别作倾斜角互补的直线MA，MB与曲线C分别交于A，B两点（A，B都异于M），过点F（1，0）且与AB垂直的直线l 与曲线C交于D，E两点，若|DE|=8，求点M的坐标．【解答】解：（1）由•=0，可得：﹣4x+y2=0，化为：y2=4x．联立，解得x=4，y=±4．∴|P1P2|=8，∴△P1OP2的面积S==16．（2）设直线l的方程为：my=x﹣1，D（x1，y1），E（x2，y2）．联立，可得：y2﹣4my﹣4=0，△＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4，∴|DE|=8==，解得：m=±1．设A（x3，y3），B（x4，y4），M（x0，y0）．则=±1，+=0，=4x0，=4x3，=4x4．联立化为：y3+y4=±4，y3+y4=﹣2y0，解得，．∴M（1，±2）．22．（12分）如图所示，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆E经过点（，1），已知点Q（0，2），过点P（0，1）的动直线l与椭圆E相交于A，B两点，B′与B关于y轴对称．（1）求椭圆E的方程；（2）求证：Q，A，B′三点共线．【解答】（1）解：由题意可得，解得a2=4，b2=2．∴椭圆E的方程为；（2）证明：当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，B′三点共线．当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=kx+1，联立，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则B′（﹣x2，y2），，，，，∵x1（y2﹣2）+x2（y1﹣2）=x1（kx2﹣1）+x2（kx1﹣1）=2kx1x2﹣（x1+x2）=．∴与共线，则Q，A，B′三点共线．第21页（共21页）。
河北省涞水波峰中学2018-2019学年高二8月月考数学试题(解析版)
2018-2019学年度第一学期波峰中学高二第一次月考数学试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、选择结构、循环结构，下列说法正确的是( )A. 一个算法最多可以包含两种逻辑结构B. 一个算法只能含有一种逻辑结构C. 一个算法必须含有上述三种逻辑结构D. 一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合【答案】D【解析】【分析】根据算法中三种逻辑结构的定义，顺序结构是最基本的结构，每个算法一定包含顺序结构；选择结构是算法中出现分类讨论时使用的逻辑结构，循环结构一定包含一个选择结构；分析四个答案，即可得到结论．【详解】算法有三种逻辑结构最基本的是顺序结构一个算法一定包含有顺序结构，但是可以含有上述三种逻辑结构的任意组合，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是算法的概念及算法的特点，是对概念的直接考查，属基础题，熟练掌握相关概念是解答本题的关键．2.下列赋值语句正确的是( )A. a＋b＝5B. 5＝aC. a＝2，b＝2D. a＝a＋1【答案】D【解析】【分析】根据赋值语句的定义进行判断即可．【详解】对于A，左侧为代数式，不是赋值语句；对于B，左侧为数字，不是赋值语句；对于C，左侧为用逗号隔开的式子，故不是赋值语句对于D，赋值语句，把a+1的值赋给a．故选：D．【点睛】本题考查了赋值语句的定义与应用问题，属于基础题．3.用辗转相除法求72与120的最大公约数时，需要做除法次数为( )A. 4B. 3C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】利用辗转相除法即可得出．【详解】120=72+48，72=48+24，48=2×24．∴需要做的除法的次数是3．故选：B．【点睛】辗转相除法和更相减损术是求两个正整数的最大公约数的方法，辗转相除法是当大数被小数除尽时，结束除法运算，较小的数就是最大公约数；更相减损术是当大数减去小数的差等于小数时停止减法运算.较小的数就是最大公约数.一般情况下，用辗转相除法得到最大公约数的步骤较少，而用更相减相术步骤较多.但运算简易.解题时要灵活运用.4. 某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是（）A. 简单随机抽样法B. 抽签法C. 随机数表法D. 分层抽样法【答案】D【解析】试题分析：符合分层抽样法的定义，故选D.考点：分层抽样．5.某校期末考试后，为了分析该校高一年级1000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法中正确的是( )A. 1000名学生是总体B. 每名学生是个体C. 每名学生的成绩是所抽取的一个样本D. 样本的容量是100【答案】D【解析】根据有关的概念可得：此题的总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生，再结合题中选项即可得到答案．【详解】根据有关的概念并且集合题意可得：此题的总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生，根据答案可得：而选项（A）（B）表达的对象都是学生，而不是成绩，所以A、B都错误．（C）每名学生的成绩是所抽取的一个样本也是错的，应是每名学生的成绩是一个个体．D：样本的容量是100正确．故选：D．【点睛】本题主要考查总体、个体与样本的概念，解决成立问题的关键是明确考查的对象，根据有关的概念可得总体、个体与样本的考查对象是相同的，此题属于基础题．6.运行如图所示的程序框图，则输出的数是5的倍数的概率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据已知的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出100以内的正奇数，求出输出的奇数个数及5的倍数的个数，代入古典概型概率公式，可得答案．【详解】根据已知的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出100以内的正奇数：由于1，3，5，…，99中共有50个数其中5的倍数有5，15，…，95共10个故输出的数是5的倍数的概率P==【点睛】本题以程序框图为载体考查了古典概型概率公式，求出输出的奇数个数及5的倍数的个数，是解答的关键．7.下列各数中最小的数为( )A. 101011(2)B. 1210(3)C. 110(8)D. 68(12)【答案】B【解析】A．101011（2）=1×20+0×21+1×22+0×23+1×24+1×25=53．B.1210（3）=0×30+1×31+2×32+1×33=3+18+27=48C.110（8）=0×80+1×81+1×82=8+64=72D.68（12）=8×120+6×121=80比较可得：1210（3）最小．故选：B．点睛：本题以进位制的转换为背景考查算法的多样性，解题的关键是熟练掌握进位制的转化规则，将各数都转化为十进制数，属于基础题.8.用秦九韶算法求多项式f（x）＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6的值，当x＝－4时，v4的值为（）A. －57B. 124C. －845D. 220【答案】D【解析】试题分析：设，则；；；，所以选D考点：1．秦九韶算法；9.有如下两个程序( )A. 两个程序输出结果相同B. 程序(1)输出的结果比程序(2)输出的结果大C. 程序(2)输出的结果比程序(1)输出的结果大D. 两个程序输出结果的大小不能确定，【答案】B【解析】【分析】模拟程序（1）、（2）的运行过程，得出该程序运行后输出的是什么，从而得出正确的结果．【详解】模拟程序（1）的运行过程，得出该程序运行后输出的是s=1×3×5×…×97×99；模拟程序（2）的运行过程，得出该程序运行后输出的是s=1×3×5× (97)∴程序（1）输出的结果比程序（2）输出的结果大．故选：B．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为( )A. B. C. 或－ D. 和－【答案】C【解析】【分析】直线过定点，直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），可以发现∠QOx的大小，求得结果．【详解】如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°，∴k=±．故选：C．【点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．11.圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为( )A. 9πB. πC. 2πD. 由m的值而定【答案】B【解析】【分析】由圆的方程求出圆心坐标，代入直线方程求出m的值，求出圆的方程后并配方求圆的半径，代入圆的面积求解即可．【详解】∵圆的方程是：x2+y2﹣（4m+2）x﹣2my+4m2+4m+1=0，∴圆心坐标是（2m+1，m），∵圆心在直线x+y﹣4=0上，∴2m+1+m﹣4=0，解得m=1，则圆的方程是：x2+y2﹣6x﹣2y+9=0，即（x﹣3）2+（y﹣1）2=1，∴半径r=1，圆的面积S=πr2=π，故选：B．【点睛】本题考查由圆的一般式方程求圆心和半径的方法：公式法和配方法，属于基础题．12.（2015•郑州一模）如图所示的程序框图中，若f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4，且h（x）≥m恒成立，则m 的最大值是（）A. 0B. 1C. 3D. 4【答案】C【解析】试题分析：由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数：h（x）=的值，数形结合求出h（x）的最小值，可得答案．解：由已知中的程序框图可得该程序的功能是：计算并输出分段函数：h（x）=的值，在同一坐标系，画出f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4的图象如下图所示：由图可知：当x=﹣1时，h（x）取最小值3，又∵h（x）≥m恒成立，∴m的最大值是3，故选：C点评：本题考查的知识点是程序框图，分段函数的应用，函数恒成立，难度中档．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上)13.有如下算法：第一步，输入x的值．第二步，若x≥0成立，则y＝x.否则，y＝x2.第三步，输出y的值．若输出y的结果是4，则输入的x的值是________．【答案】-2或4【解析】【分析】算法功能是分段函数求值，由y求x即可.【详解】由算法可知，其功能是求分段函数的值，，当y=4时，若，则x=4；若x，则x2=4，即x=-2故答案为：-2或4【点睛】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．14.为了了解某次数学竞赛中1 000名学生的成绩,从中抽取一个容量为100的样本,则每名学生成绩入样的机会是_________________________。
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．103．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=04．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=16．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．2017-2018学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：根据空间中直线与平面的位置关系可得答案．解答：解：根据空间中直线与平面的位置关系可得：b可能与平面α相交，也可能b与平面相交α，故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中点、直线以及平面之间的位置关系．2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10考点：斜率的计算公式．专题：计算题．分析：因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答：解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2， m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选 B．点评：本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．3．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=0考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：首先讨论斜率不存在的情况，直线方程为x=﹣1满足条件．当斜率存在时，设直线方程为：y﹣5=k （x+1）．利用圆心到直线的距离等于半径解得k的值，从而确定圆的切线方程．解答：解：①斜率不存在时，过点M（﹣1，5）的直线方程为x=﹣1．此时，圆心（1，2）到直线x=﹣1的距离d=2=r．∴x=﹣1是圆的切线方程．②斜率存在时，设直线斜率为k，则直线方程为：y﹣5=k（x+1）．即kx﹣y+k+5=0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离．解得，．∴直线方程为5x+12y﹣55=0．∴过点M（﹣1，5）且与圆相切的直线方程为x=﹣1或5x+12y﹣55=0．故选：C．点评：本题考查直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的运用．做题时容易忽略斜率不存在的情况．属于中档题．4．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：充分利用线面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个选项逐一解答．A选项用垂直于同一条直线的两个平面平行判断即可；B选项用两个平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；C选项用线面垂直的性质定理判断即可；D选项由线面平行的性质定理判断即可．解答：解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．点评：本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．解答：解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．6．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：将△ABC绕直线BC旋转一周，得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，故所形成的几何体的体积V=×π×42×3=16π，故选：D点评：本题考查的知识点是旋转体，其中分析出旋转得到的几何体形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图的数据，直接求解三棱柱的表面积．解答：解：因为正三棱柱的三视图，其中正（主）视图是边长为2的正方形，棱柱的侧棱长为2，底面三角形的边长为2，所以表面积为：2×+2×3×2=12+2．故选C．点评：本题考查几何体的三视图的应用，几何体的表面积的求法，考查计算能力．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：抛物线的应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．解答：解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A点评：本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为11cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：利用面积之比是相似比的平方，求出截取棱锥的高，然后求出截面与底面的距离．解答：解：设截取棱锥的高为：h，则，∴h=5，所以截面与底面的距离：16﹣5=11cm故答案为：11cm点评：本题是基础题，考查面积之比是选上比的平方，考查计算能力，空间想象能力．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．解答：解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．点评：本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，利用余弦函数，即可求出cosα：cosβ．解答：解：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，∴cosα==，cosβ=，∴cosα：cosβ=，故答案为：．点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=±．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：圆心C（2，2），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=±，故答案为：±．点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，建立关于D、E、F的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆E的方程；（II）化圆E为标准方程，得圆心为E（1，2），半径r=1．设直线l方程为y=kx，由点到直线的距离公式和垂径定理建立关于k的方程，解之得到k=1或7，由此即可得到直线l的方程．解答：解：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上∴，解之得因此，圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4=0；（II）将圆E化成标准方程，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2=1∴圆心为E（1，2），半径r=1设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=∵直线l与圆E相交所得弦的长为，∴由垂径定理，得d2+（）2=r2=1可得d2=，即=，解之得k=1或7∴直线l的方程是y=x或y=7x．点评：本题给出三角形ABC三个顶点，求它的外接圆E的方程，并求截圆所得弦长为的直线方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB ⊥PE；（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积．解答：解：（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高又∵PD=，S△BEC=S△ABC=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC=S△BEC×PD=点评：本题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直，并求锥体的体积．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先根据线面垂直的性质证明出BB1⊥A1C1．进而根据菱形的性质证明出A1C1⊥B1D1．最后根据线面垂直的判定定理证明出A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．先证明OC1∥AE和OC1=AE，推断出AOC1E为平行四边形，进而推断AO∥C1E，最后利用线面平行的判定定理证明出AO∥平面BC1D．（Ⅲ）先由E为BD中点，推断出BD⊥C1E，进而根据C1D=C1B，推断出ME⊥BD，进而根据OM⊥BD，推断出BD∥B1D1．直角三角形OC1E中利用射影定理求得OM．解答：解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在展开式的通项公式，令x的指数为3，利用（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，即可实数a的值．解答：解：（ax+1）5的展开式的通项公式为T r+1=，则∵（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，∴=10，∴a=1．故答案为：1．点评：二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题的重要方法．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为4．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据侧面展开图求解得出，再利用直角三角形求解．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，∴侧面展开为下图连接AA得：RT△中，长度为4，∴△AEF的周长的最小值为4，故答案为：4，点评：本题考查了空间几何体中的最小距离问题，属于中档题．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是（0，]．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：运用图形得||=||，再根据向量求解．解答：解：0为BD中点，∵AB=BC=CD=DA=BD=1，∴|OA|=|OB|=，||=||==，θ∈（0°，180°]∴AC的取值范围是（0，]故答案为：（0，]点评：本题考查了向量的运用求解距离，属于中档题．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．考点：直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．（III）由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．解答：（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，（2分）∵AB⊥AC，A1A∩AC=A，∴AB⊥面A1CC1．（4分）（II）解：∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC1=AB，∴AB∥DE，（7分）∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．（8分）（III）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，（9分）由（Ⅰ）得AB⊥A1C，∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥面ABC1，（11分）∴A1C⊥BC1．（12分）又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，（13分）∴EF⊥AC1．（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（Ⅱ）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（Ⅲ）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．解答：解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得．所以直线方程为，即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（Ⅱ）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（Ⅲ）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，而，所以．由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线C1C2的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C2的方程即可；（Ⅱ）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C2的圆心在定直线上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C2所表示的一系列圆的公切线方程，这样得到所有C2所表示的一系列圆的公切线方程．解答：解：（Ⅰ）∵圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，∴圆心为（2，3m），设它关于直线l：y=x+m﹣1的对称点为（a，b），则，解得a=2m+1，b=m+1，∴圆C2的圆心为（2m+1，m+1），∴圆C2的方程为：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2，∴C1关于l对称的圆C2的方程：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2．（Ⅱ）根据（Ⅰ）得圆C2的圆心为（2m+1，m+1），令，消去m得x﹣2y+1=0，它表示一条直线，故C2的圆心在一条定直线上，①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，∴=2|m|，即：（1﹣4k）m2+2（2k﹣1）（k+b﹣1）m+（k+b﹣1）2=0∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，∴所以有：，解得，∴C2所表示的一系列圆的公切线方程为：y=，∴故所求圆的公切线为x=0或y=．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（Ⅱ）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C2所表示的一系列圆的公切线方程．。
河北省保定市高二上学期数学期中考试试卷
河北省保定市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2018高二上·宁波期末) 直线的倾斜角为A .B .C .D .2. （1分）下列命题中正确的个数是（）(1) 角的水平放置的直观图一定是角.(2) 相等的角在直观图中仍然相等.(3) 相等的线段在直观图中仍然相等.(4) 若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行.A . 1B . 2C . 3D . 43. （1分） (2017高一下·牡丹江期末) 在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，记与平面所成的角为，下列说法正确的是个数是（）①点F的轨迹是一条线段② 与不可能平行③ 与是异面直线④ ⑤当与不重合时，平面不可能与平面平行A . 2B . 3C . 4D . 54. （1分）下列判断正确的是（）A . “”是“x<y”的充要条件B . 命题“”的否定是“”C . 若P,q均为假命题，则为真命题D . 一个命题连同它的逆命题、否命题、逆否命题，这四个命题中不可能恰有一个真命题5. （1分）曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x-1，则点P0的坐标可为（）A . (0,1)B . (1,0)C . (-1,0)D . (1,4)6. （1分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .7. （1分） (2016高二上·镇雄期中) 过点P（4，﹣1）且与直线3x﹣4y+6=0垂直的直线方程是（）A . 4x+3y﹣13=0B . 4x﹣3y﹣19=0C . 3x﹣4y﹣16=0D . 3x+4y﹣8=08. （1分） (2018高二上·鹤岗期中) 过点且与圆，相切的直线有几条（）A . 0条B . 1条C . 2 条D . 不确定9. （1分）直线y=2x+10，y=x+1，y=ax-2交于一点，则a的值为（）A .B .D .10. （1分） (2016高二上·宜昌期中) 如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈（0，1），给出以下四个命题：①四边形MENF为平行四边形；②若四边形MENF面积s=f（x），x∈（0，1），则f（x）有最小值；③若四棱锥A﹣MENF的体积V=p（x），x∈（0，1），则p（x）为常函数；④若多面体ABCD﹣MENF的体积V=h（x），x∈（，1），则h（x）为单调函数；其中假命题为（）A . ①B . ②C . ③D . ④11. （1分） (2019高一上·汪清月考) 一个球内有一内接长方体,其长、宽、高分别为5、4、3，则球的直径为（）A .B .D .12. （1分） (2016高二上·青岛期中) 直线2x+3y﹣6=0分别交x轴和y轴于A，B两点，P是直线y=﹣x上的一点，要使|PA|+|PB|最小，则点P的坐标是（）A . （﹣1，1）B . （0，0）C . （1，﹣1）D . （，﹣）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知点M(m，-1)，N(5，m)，且|MN|=2 ，则实数m=________.14. （1分） (2018高二上·嘉兴月考) 已知点A(2,1)，B(－2,3)，C(0,1)，则△ABC中，BC边上中线所在的直线方程为________．15. （1分） (2020高一上·黄陵期末) 若直线平面，直线，则与的位置关系是________16. （1分） (2017高一下·穆棱期末) 若圆与圆相交于点，则 ________．三、解答题 (共6题；共12分)17. （2分）一直线过点P（﹣5，﹣4），求：（1）与两坐标轴围成的三角形面积为5，求此直线方程．（2）过点P，且与原点的距离等于5的直线方程．18. （2分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为6的等边三角形，点A1在底面△ABC内的射影为△ABC的中心O，D，E分别为A1B1 ， BC的中点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）若AA1=4 ，求四棱锥A1﹣CBB1C1的表面积．19. （2分）(2019·大庆模拟) 已知函数 .（Ⅰ）当时，点在函数的图象上运动，直线与函数的图象不相交，求点到直线距离的最小值；（Ⅱ）讨论函数零点的个数，并说明理由.20. （2分） (2018高二下·长春开学考) 如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45，点E、F分别为棱AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求三棱锥C－BEP的体积．21. （1分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1 ， D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．22. （3分）(2018·长沙模拟) 已知椭圆 :（）的离心率为，，分别是它的左、右焦点，且存在直线，使，关于的对称点恰好是圆：（，）的一条直径的两个端点．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与抛物线相交于、两点，射线、与椭圆分别相交于、．试探究：是否存在数集，当且仅当时，总存在，使点在以线段为直径的圆内？若存在，求出数集；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共12分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
河北省涞水波峰中学2017-2018学年高二5月月考(理)数学试题及答案解析
河北省涞水波峰中学2017-2018学年高二5月月考（理）一、选择题(每小题5分，共60分)1、已知为复数的共轭复数， ，则（ ） A. B. C. D.2、函数y=f （x ）的导函数y=f′（x ）的图象如图所示，则函数y=f （x ）的图象可能是（ ）A. B.C. D.3、已知随机变量服从二项分布，则（ ）．A.B. C. D. 4、甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子，若丙的年龄比知识分子大，甲的年龄和农民不同，农民的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是( ) A.甲是工人，乙是知识分子，丙是农民 B.甲是知识分子，乙是农民，丙是工人 C.甲是知识分子，乙是工人，丙是农民 D.甲是知识分子，乙是农民，丙是工人 5、在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（ ） A. B. C. D.6、点的直角坐标为，则它的极坐标为（ ）z z ()12i z i -=z =1i --1i -+1i -1i +ξ14,3B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()3P ξ==3281168124818812cos ρθ=-1,2π⎛⎫⎪⎝⎭1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,0()1,πp 1,1-（）A. B. C. D. 7、下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8、从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（ ）A. 108种B. 186种C. 216种D. 270种9、从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有( )种. A. 36 B. 30 C. 12 D. 610、已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．11、曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）A. B. C. D.12、已知函数，若对任意的， 在上总有唯一的零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题(每小题5分，共20分)13、已知函数,则曲线在点处的切线倾斜角是 _________32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭32,4π⎛⎫-⎪⎝⎭32,4π⎛⎫⎪⎝⎭32,4π⎛⎫-⎪⎝⎭'1(2)=2x x x -⋅2'211()2x x x x -=-'(3)3x xe e =()'2cos sin ()cos cos x x x x x x -=X ()3,1N ()240.6826P X ≤≤=()4P X >=0.15880.15870.15860.1585()ln t f x x x e a =+-[]01t ∈，()f x ()0e ，a 1e e e⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，[)11e +，[)1e e +，11e e e⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()cos2f x x x =()y f x =,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭14、的值等于____________．15、在二项式的展开式中，含的项系数等于 16、已知函数，则_______________.三、解答题(17题10分，其余各题每小题12分，共70分)17、若是函数的极值点.（1）求值；（2）求的极小值.18、从6名男生和4名女生中任选4人参加比赛，设被选中女生的人数为随机变量，求：(1)的分布列；(2)所选女生不少于2人的概率.19、在信息时代的今天，随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成的人数如下表：（注：年龄单位：岁） 年龄 频数赞成人数（1））若以“年龄岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的列联表，并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”？年龄不低于岁的年龄低于岁的人合计3209x dx -⎰51()x x -3x ()()2ln 134f x x f x x '=-+-()1f '=2x =-()()211x f x x ax e -=--a ()f x ξξ100[)1525，[)2535，[)3545，[)4555，[)5565，[)6575，10303020558252410214522⨯0.0014545人数数 赞成 不赞成 合计（2））若从年龄在，的别调查的人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的人中赞成“使用微信交流”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望. （3）附：参考数据如下：参考公式：，其中.20、在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，分别为与轴，轴的交点. （1）写出的直角坐标方程，并求的极坐标； （2）设的中点为，求直线的极坐标方程.21、在直角坐标系中，圆的方程为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.[)5565，[)6575，4X X ()20P K k ≥0.0250.0100.0050.0010k 5.024 6.6357.87910.828()()()()()22n ad be K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++xOy O x C cos 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,M N C x y C ,M N MN P OP xOy C ()()22319x y -++=O x（1）求圆的极坐标方程； （2）直线与圆交于点，求线段的长.22、已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性； (3)若函数在处取得极小值，设此时函数的极大值为，证明：.参考答案一、单项选择 1、【答案】AC ():R 6OP πθρ=∈C ,M N MN【解析】则故选 2、【答案】D【解析】由当f′（x ）＜0时，函数f （x ）单调递减，当f′（x ）＞0时，函数f （x ）单调递增，则由导函数y=f′（x ）的图象可知：f （x ）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A ，C ，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x 轴上的右侧，排除B ， 故选D 3、【答案】D【解析】表示做了次独立实验，每次试验成功概率为， 则．选． 4、【答案】C【解析】“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人.故选C. 5、【答案】D【解析】圆ρ=﹣2cosθ 即ρ2=﹣2ρcosθ，即 x 2+y 2+2x=0，即 （x+1）2+y 2=1， 表示以（﹣1，0）为圆心，半径等于1的圆． 而点（﹣1，0）的极坐标为（1，π）， 故选D ． 6、【答案】A 【解析】点的直角坐标为， ，所以， 的极坐标为，故选A. 7、【答案】C【解析】由题意结合导函数的运算法则和导数计算公式可得：()12i z i -=()()()2121111i i i z i i i i +===-+--+1z i =--A 14,3B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭413()3134122834338181P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D P ()1,1-32,tan 1,tan 14ρθπ∴==-=-34πθ=()1,1-32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭， ， ，. 本题选择C 选项. 8、【答案】B【解析】选派方案共有 ,选B. 9、【答案】A【解析】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员， 其中甲、乙二人不能担任文娱委员，因为先从其余3人中选出1人担任文艺委员， 再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，所以不同的选法共有种. 本题选择A 选项. 10、【答案】B【解析】依题意，故. 考点：正态分布. 11、【答案】B 【解析】试题分析：，则切线方程为，切线与坐标轴的交点为，故所以求面积为，故选B.考点：导数的几何意义. 12、【答案】C【解析】 函数，可得，所以由， 当时， ，所以在上单调递减，在上单调递增， 在坐标系中画出和的图象，如图所示，()2'2ln2xx=⨯2211'2x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭()3'3x x e e =()2cos sin 'cos cos x x x xx x +⎛⎫= ⎪⎝⎭337421024186A A -=-=123436C A =3μ=()0.682640.50.15872P X >=-=()ln tf x x x e a =+-()ln 1f x x ='+()10ln 10f x x x e=⇒+=⇒='1x e >()0f x '>()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ln y x x =ty a e =-对任意的， 在上总唯一的零点，可得， 可得，可得，即，故选C.二、填空题13、【答案】【解析】∵，∴。
河北省涞水波峰中学高三第一次调研考试数学(理)试题Word版含答案
波峰中学2017-2018学年度第一学期第一次调研考试（7月）高三数学试卷（理）注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·（第Ⅰ卷选择题共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图象可以表示以M={x|0≤x ≤1}为定义域,以N={x|0≤x ≤1}为值域的函数的是( )2. 已知集合，，则M N 为( )A.B.C.D.3. 设命题；.给出以下3个命题:①;②;③.其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 4.下列函数与y x =有相同图象的一个函数是（ ）A ．2y =B ．2x y x= C ．log a x y a =（0a >且1a ≠） D ．log x a y a =5. 已知函数()23,2x f x x x ⎧≥⎪=⎨-≤⎪⎩，则()()1f f -的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．26. 设在内单调递增, ,则的( )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 7．命题“”的否定为（ ） A ． B ．C ．D ．8. 已知函数是R 上的偶函数，且满足，当x ∈时，，则的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．39. 已知奇函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，且(2)0f =，则不等式()()02f x f x x--≥的解集为A ．[2,0)(0,2]-B ．[2,0)[2,)-+∞C ．(,2](0,2]-∞D ．(,2][2,)-∞-+∞10.将函数的图象上每一点向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的图象，则的解析式是（ ） A ．B ．C ．D ．11..奇函数()f x 的定义域为R ，若()2f x +为偶函数，且()11f =，则()()89f f +=（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．1 12．已知是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称，若对任意的，等式恒成立，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(第Ⅱ卷 非选择题共90分) 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分。
(优辅资源)河北省涞水波峰中学高三第一次调研考试数学(理)试题Word版含答案
波峰中学2017-2018学年度第一学期第一次调研考试（7月）高三数学试卷（理）注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·（第Ⅰ卷选择题共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图象可以表示以M={x|0≤x ≤1}为定义域,以N={x|0≤x ≤1}为值域的函数的是( )2. 已知集合，，则M N 为( )A.B.C.D.3. 设命题；.给出以下3个命题:①;②;③.其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 4.下列函数与y x =有相同图象的一个函数是（ ）A ．2y =B ．2x y x= C ．log a x y a =（0a >且1a ≠） D ．log x a y a =5. 已知函数()23,2x f x x x ⎧≥⎪=⎨-≤⎪⎩，则()()1f f -的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．26. 设在内单调递增, ,则的( )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 7．命题“”的否定为（ ） A ． B ．C ．D ．8. 已知函数是R 上的偶函数，且满足，当x ∈时，，则的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．39. 已知奇函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，且(2)0f =，则不等式()()02f x f x x--≥的解集为A ．[2,0)(0,2]-B ．[2,0)[2,)-+∞C ．(,2](0,2]-∞D ．(,2][2,)-∞-+∞10.将函数的图象上每一点向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的图象，则的解析式是（ ） A ．B ．C ．D ．11..奇函数()f x 的定义域为R ，若()2f x +为偶函数，且()11f =，则()()89f f +=（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．1 12．已知是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称，若对任意的，等式恒成立，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(第Ⅱ卷 非选择题共90分) 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分。
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2017-2018学年河北省保定市涞水县波峰中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集U=Z，集合A={﹣3，﹣1，0，1，2}，B={x|x=2k﹣1，k∈N}，则A∩∁u B=（）A．{0，1，2}B．{﹣3，﹣1，0}C．{﹣1，0，2}D．{﹣3，0，2} 2．（5分）集合A={﹣1，0，1，2}的真子集的个数为（）A．13 B．14 C．15 D．163．（5分）下列函数中，在（﹣∞，0）内单调递减，并且是偶函数的是（）A．y=x2 B．y=x+1 C．y=﹣lg|x|D．y=2x4．（5分）运行如下的程序：当输入168，72时，输出的结果是（）A．168 B．72 C．36 D．245．（5分）1337与382的最大公约数是（）A．201 B．191 C．382 D．36．（5分）下列给出的赋值语句中正确的是（）A．4=M B．M=﹣M C．B=A=3 D．x+y=07．（5分）对于简单随机抽样，下列说法中正确的命题为（）①它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析；②它是从总体中逐个地进行抽取，以便在抽取实践中进行操作；③它是一种不放回抽样；④它是一种等概率抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的概率相等，而且在整个抽样检查过程中，各个个体被抽取的概率也相等，从而保证了这种方法抽样的公平性．A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．1009 B．﹣1009 C．﹣1007 D．10089．（5分）已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC=150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（）A．B．C．D．10．（5分）某班有男生18人，女生36人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为12的样本，则抽取的女生人数为（）A．8 B．4 C．6 D．211．（5分）某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码、公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（）A．2000 B．4096 C．5904 D．832012．（5分）（1﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数为（）A．﹣40 B．40 C．﹣15 D．15二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是．14．（5分）八进制数2017（8）转化为10进制为（10）15．（5分）将某班的60名学生编号为：01，02，03，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是．16．（5分）两位同学约定下午5：30﹣6：00在图书馆见面，且他们在5：30﹣6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，15分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）等差数列{a n}的前n项和记为S n，已知a5=15，a10=5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S n的最大值．18．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y关于x的线性回归方程=x+，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？（注：=，=﹣）19．（12分）某校从参加高三化学得分训练的学生中随机抽出60名学生，将其化学成绩（均为整数）分成六段[40，50）、[50，60）、…、[90，100]后得到部分频率分布直方图（如图）．观察图形中的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全频率分布直方图；（2）据此估计本次考试的平均分；（3）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，60）内记0分，在[60，80）内记1分，在[80，100]内记2分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列．20．（12分）有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求：（1）5位同学站成一排，有多少种不同的方法？（2）5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的方法？（3）将5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？21．（12分）已知函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若f（x）＞0，求x的取值范围．22．（12分）已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx﹣sinx，2cosx），设f（x）=（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）由y=sinx的图象经过怎样变换得到y=f（x）的图象，试写出变换过程；（3）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值及最小值．2017-2018学年河北省保定市涞水县波峰中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集U=Z，集合A={﹣3，﹣1，0，1，2}，B={x|x=2k﹣1，k∈N}，则A∩∁u B=（）A．{0，1，2}B．{﹣3，﹣1，0}C．{﹣1，0，2}D．{﹣3，0，2}【解答】解：全集U=Z，集合A={﹣3，﹣1，0，1，2}，B={x|x=2k﹣1，k∈N}={﹣1，1，3，5，7，…}则A∩∁u B={﹣3，﹣1，0，1，2}∩（{﹣3，﹣5，﹣7，…}∪{0，±2，±4，…}）={﹣3，0，2}．故选：D．2．（5分）集合A={﹣1，0，1，2}的真子集的个数为（）A．13 B．14 C．15 D．16【解答】解：集合A={﹣1，0，1，2}的真子集的个数为：24﹣1=15．故选：C．3．（5分）下列函数中，在（﹣∞，0）内单调递减，并且是偶函数的是（）A．y=x2 B．y=x+1 C．y=﹣lg|x|D．y=2x【解答】解：A，y=x2为偶函数，且在（﹣∞，0）单调递减，故A正确；B，y=x+1为非奇非偶函数，故B不正确；C，y=f（x）=﹣lg|x|有f（﹣x）=f（x），即为偶函数，且在（﹣∞，0）递增，故C正确；D，y=2x为指数函数，且为非奇非偶函数，故D不正确．故选：A．4．（5分）运行如下的程序：当输入168，72时，输出的结果是（）A．168 B．72 C．36 D．24【解答】解：此程序功能是辗转相除法求最大公约数，故168÷72的商是2，余数是2472÷24的商是3，余数是0由此可知，168与74两数的最大公约数是24．故选D．5．（5分）1337与382的最大公约数是（）A．201 B．191 C．382 D．3【解答】解：1337=382×3+191．382=191×2．故1337与382的最大公约数为191．故选：B．6．（5分）下列给出的赋值语句中正确的是（）A．4=M B．M=﹣M C．B=A=3 D．x+y=0【解答】解：根据赋值语句的一般格式是：变量=表达式，赋值语句的左边只能是变量名称而不能是表达式，右边可以是数也可以是表达式，左右两边不能互换，A中，4=M，赋值符号左边不是变量，故A不正确；C中，B=A=3，赋值语句不能连续赋值，故C不正确；D中，x+y=0，赋值语句的左边只能是变量名称而不能是表达式，故D不正确；故选：B．7．（5分）对于简单随机抽样，下列说法中正确的命题为（）①它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析；②它是从总体中逐个地进行抽取，以便在抽取实践中进行操作；③它是一种不放回抽样；④它是一种等概率抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的概率相等，而且在整个抽样检查过程中，各个个体被抽取的概率也相等，从而保证了这种方法抽样的公平性．A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【解答】解：①简单随机抽样要求样本的总体个数有项，这样才能保证样本能够很好地代表总体，所以①正确．②由于总体数量是有限的，所以为了让数据具有代表性需要从总体中逐个地进行抽取，以便在抽取实践中进行操作，所以②正确．③在抽样过程中，为了保证抽取的公平性，样本数据是一种不放回的抽样，所以③正确．④在随机抽样的出发点是使每个个体都有相同的机会被抽中，这是基于对样本数据代表性的考虑，所以④正确．故选：D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．1009 B．﹣1009 C．﹣1007 D．1008【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+2sin+3sin+…+2018sin的值，由于S=sin+2sin+3sin+…+2018sin=（1﹣2）+（3﹣4）+…+（2017﹣2018）=1009×（﹣1）=﹣1009．故选：B．9．（5分）已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC=150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（）A．B．C．D．【解答】解：分别以菱形ABCD的各个顶点为圆心，作半径为1的圆，如图所示．在菱形ABCD内任取一点P，则点P位于四个圆的外部或在圆上时，满足点P到四个顶点的距离均不小于1，即图中的阴影部分区域∵S菱形ABCD=AB•BCsin30°=4×4×=8，∴S阴影=S菱形ABCD﹣S空白=8﹣π×12=8﹣π．因此，该点到四个顶点的距离均不小于1的概率P===1﹣．故选：D．10．（5分）某班有男生18人，女生36人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为12的样本，则抽取的女生人数为（）A．8 B．4 C．6 D．2【解答】解：根据题意，抽样比例为=，则抽取的女生人数为36×=8（人）．故选：A．11．（5分）某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码、公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（）A．2000 B．4096 C．5904 D．8320【解答】解：∵10000个号码中不含4、7的有84=4096，∴“优惠卡”的个数为10000﹣4096=5904，故选：C．12．（5分）（1﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数为（）A．﹣40 B．40 C．﹣15 D．15【解答】解：∵（2+x）5的展开式的通项公式为T r=•25﹣r•x r，+1∴（1﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数为•4﹣•8=﹣40，故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体底面为等腰三角形，侧棱PA⊥底面ABC，，∴．故答案为：．14．（5分）八进制数2017（8）转化为10进制为1039（10）【解答】解：由于：2017=2×83+0×82+1×81+7×80=1039（10），（8）故答案为：1039．15．（5分）将某班的60名学生编号为：01，02，03，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是16、28、40、52．【解答】解：用系统抽样抽出的5个学生的号码从小到大成等差数列，随机抽得的一个号码为04则剩下的四个号码依次是16、28、40、52．故答案为：16、28、40、5216．（5分）两位同学约定下午5：30﹣6：00在图书馆见面，且他们在5：30﹣6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，15分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是．【解答】解：如图，设两位同学到达的时刻分别为x，y．则（x，y）可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30}，是一个正方形区域，面积为SΩ=30×30=900，设两位同学能够见面为事件A，则事件A所构成的区域为A={（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30，|x﹣y|≤15}，即图中的阴影部分，则阴影部分的面积S A=900﹣2××15×15=675．∴两位同学能够见面的概率为P=．故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）等差数列{a n}的前n项和记为S n，已知a5=15，a10=5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S n的最大值．【解答】解：（1）由题意，解得：a1=23，d=﹣2故得数列{a n}的通项公式为：a n=25﹣2n（2）由通项公式：a12=1，a13=﹣1∴S12的最大值．即S12==144．18．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y关于x的线性回归方程=x+，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？（注：=，=﹣）【解答】解（1）散点图如图所示．（2）由表中数据得：x i y i=52.5，=3.5，=3.5，=54，∴b=0.7，a=1.05．∴回归直线方程为y=0.7x+1.05．（3）将x=10代入回归直线方程，得y=0.7×10+1.05=8.05（小时），∴预测加工10个零件需要8.05小时．19．（12分）某校从参加高三化学得分训练的学生中随机抽出60名学生，将其化学成绩（均为整数）分成六段[40，50）、[50，60）、…、[90，100]后得到部分频率分布直方图（如图）．观察图形中的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全频率分布直方图；（2）据此估计本次考试的平均分；（3）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，60）内记0分，在[60，80）内记1分，在[80，100]内记2分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列．【解答】解：（1）设分数在[70，80）内的频率为x，根据频率分布直方图，有（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，解得x=0.3；（2）根据频率分布直方图，计算平均分为；（3）成绩在[40，60）内的有0.25×60=15人，在[60，80）内的有0.45×60=27人，在[80，100]内的有0.3×60=18人，易知X的可能取值是0，1，2，3，4；则，，，，，所以X的分布列为：20．（12分）有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求：（1）5位同学站成一排，有多少种不同的方法？（2）5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的方法？（3）将5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？【解答】解：（1）5位同学站成一排共有=120．（2）5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，先用捆绑排甲乙，再和戊全排，形成3个空，插入丙丁即可．故有=24．（3）人数分配方式有①3，1，1有=60种方法②2，2，1有=90种方法所以，所有方法总数为60+90=150种方法．21．（12分）已知函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若f（x）＞0，求x的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴﹣1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域（﹣1，1）；（2）函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．∵f（﹣x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x）．∴f（x）为奇函数（3）∵f（x）＞0，∴，求解得出：0＜x＜1故x的取值范围：（0，1）．22．（12分）已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx﹣sinx，2cosx），设f（x）=（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）由y=sinx的图象经过怎样变换得到y=f（x）的图象，试写出变换过程；（3）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值及最小值．【解答】解：∵f（x）==（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）+2sinxcosx=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T=π；（2）把y=sinx的图象上所有点向左平移个单位得到y=sin（x+）的图象，再把y=sin（x+）图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到y=sin（2x+）的图象，再把y=sin（2x+）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变得到y=sin（2x+）的图象；（3）∵0≤x≤，故≤2x+≤，∴当2x+=，即x=时，f（x）有最大值，当2x+=，即x=时，f（x）有最小值﹣1．。