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概率论与数理统计总复习知识点归纳

概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。

-频率和概率的关系，概率的基本性质。

-古典概型和几何概型的概念。

-条件概率和乘法定理。

-全概率公式和贝叶斯公式。

-随机变量和概率分布函数的概念。

-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。

2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。

-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。

-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。

3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。

-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。

4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。

-样本统计量和抽样分布的概念。

-点估计和区间估计的概念。

-假设检验的基本思想和步骤。

-正态总体的参数的假设检验和区间估计。

5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。

-矩估计的原理和方法。

-最小二乘估计的原理和方法。

-一般参数的假设检验和区间估计。

6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。

-回归分析的一般原理。

-简单线性回归的估计和检验。

7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。

-秩相关系数的计算和检验。

8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。

-正态总体参数的拟合优度检验。

-贝叶斯估计的基本思想和方法。

9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。

-时间序列预测的方法和模型。

-质量控制的基本概念和控制图的应用。

以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。

概率论与数理统计总复习资料

fY
(
y)
2
1
y
e
y,y 0
0,
y 0.
1.联合分布律分布函数定义性质
第三
2. 边缘分布条件分布
章
3. 随机变量的独立性
4计算和随机变量的独立性
2.难点
条件概率分布
随机变量函数的分布
2. 连续型随机变量函数的分布
由于 X 与 Y 对称, 当X, Y独立时,
这里X,Y相互独立。
例设随机变量( X ,Y )的联合概率密度为
cxe y , 0 x y ,
f (x, y) (1) 求常数 c; 0,
其他.
(2) X 与 Y 是否独立?为什么?
(3) 求 f X Y ( x y), fY X ( y x); (4) 求 P{ X 1Y 2}, P{ X 1Y 2};
f (x, y) fX (x)
ex y , 0 x y ,
0,
其他.
(4) 求 P{ X 1 Y 2}, P{ X 1 Y 2};
(4) P{ X 1Y 2} P{ X 1,Y 2} P{Y 2}
12
f (x, y) d ydx
1
dx
2 xe y d y
2 fY ( y) d y
0
0
20
2
c 1.
(2)
fX ( x)
f (x, y)d y
xe y d y,
x
0,
x 0, x 0.
xex , x 0,
0, x 0.
fY ( y)
f (x, y)d x
y 0
xe y d x,
y 0,
0,
y 0.

概率论与数理统计要点复习

概率论与数理统计复习资料第一章随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A(1) 包含：若事件A 发生，一定导致事件B 发生，那么，称事件B 包含事件A ，记作A B ⊂(或B A ⊃)．(2) 相等：若两事件A 与B 相互包含，即A B ⊃且B A ⊃，那么，称事件A 与B 相等，记作A B =． (3) 和事件：“事件A 与事件B 中至少有一个发生”这一事件称为A 与B 的和事件，记作A B ⋃；“n 个事件1,2,,n A A A 中至少有一事件发生”这一事件称为1,2,,n A A A 的和，记作12n A A A ⋃⋃⋃（简记为1ni i A=）．(4) 积事件：“事件A 与事件B 同时发生”这一事件称为A 与B 的积事件，记作A B ⋂(简记为AB )；“n 个事件1,2,,n A A A 同时发生”这一事件称为1,2,,n A A A 的积事件，记作12n A A A ⋂⋂⋂（简记为12n A A A 或1nii A =)．(5) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生，即AB φ=，那么称事件A 与B 互不相容(或互斥)，若n 个事件1,2,,n A A A 中任意两个事件不能同时发生，即i j A A φ=(1≤i<j ≤几)，那么，称事件 1,2,,n A A A 互不相容．(6) 对立事件：若事件A 和B 互不相容、且它们中必有一事件发生，即AB φ=且A B ⋃=Ω，那么，称A 与B 是对立的．事件A 的对立事件(或逆事件)记作A ． (7) 差事件：若事件A 发生且事件B 不发生，那么，称这个事件为事件A 与B 的差事件，记作A B -(或AB ) ．2．运算规则（1）交换律：BA AB A B B A =⋃=⋃（2）结合律：)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃ （3）分配律))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）德摩根（De Morgan ）法则：B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质：（1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率：如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件Ａ的概率为()A P A =的长度（或面积、体积）样本空间的的长度（或面积、体积）·6．条件概率（1）定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2）乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有（3）全概率公式： ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式： ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(（5）贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件Ａ发生的概率()(01)P A p p =<<，则在n 次重复独立试验中．，事件Ａ恰发生k 次的概率为()(1),0,1,,k n k n n P k p p k nk -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）下列四个命题是等价的：(i) 事件A 与B 相互独立； (ii) 事件A 与B 相互独立； (iii) 事件A 与B 相互独立；(iv) 事件A 与B 相互独立．8、思考题１．一个人在口袋里放2盒火柴，每盒n 支，每次抽烟时从口袋中随机拿出一盒（即每次每盒有同等机会被拿到）并用掉一支，到某次他迟早会发现：取出的那一盒已空了．问：“这时另一盒中恰好有m 支火柴”的概率是多少？２．设一个居民区有n 个人，设有一个邮局，开c 个窗口，设每个窗口都办理所有业务．c 太小，经常排长队；c 太大又不经济．现设在每一指定时刻，这n 个人中每一个是否在邮局是独立的，每个人在邮局的概率是p ．设计要求：“在每一时刻每窗口排队人数（包括正在被服务的那个人）不超过m ”这个事件的概率要不小于a （例如，0.8,0.9.95a o =或），问至少须设多少窗口？３．设机器正常时，生产合格品的概率为９５％，当机器有故障时，生产合格品的概率为５０％，而机器无故障的概率为９５％．某天上班时，工人生产的第一件产品是合格品，问能以多大的把握判断该机器是正常的？第二章随机变量与概率分布1．离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2．连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P 3．几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差0—1分布两点分布 ),1(p B p X P ==)1(，p q X P -===1)0(p pq二项式分布),(p n Bn k q p C k X P kn k k n ,2,1,0,)(===-，np npq泊松分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλλλ 几何分布)(p G,2,1 ,)(1===-k p qk X P kp12p q均匀分布),(b a Ub x a a b x f ≤≤-= ,1)(，2ba + 12)(2a b - 指数分布)(λE 0 ,)(≥=-x e x f x λλλ121λ 正态分布),(2σμN222)(21)(σμσπ--=x ex fμ2σ标准正态分布的分布函数记作()x Φ，即()x Φ221()2t xx e dtπ--∞Φ=⎰，当出0x ≥时，()x Φ可查表得到；当0x <时，()x Φ可由下面性质得到()1()x x Φ-=-Φ．设2~(,)X N μσ，则有()()x F x μσ-=Φ； ()()()b a P a X b μμσσ--<≤=Φ-Φ．4．分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续；（4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>；特别的 ()()(0)P X a F a F a ==-- （5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F = 5．正态分布的概率计算以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有（1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6．随机变量的函数 )(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。

概率统计复习资料

第一部分、复习纲要1、随机事件：掌握事件的表示，掌握事件之间的关系与运算，特别是事件的并、事件的交、差事件、逆事件以及对偶律。

2、事件的概率：会计算简单古典概型中的相关概率，理解概率的公理化定义，掌握概率的基本性质。

3、条件概率与事件的独立性：理解条件概率的概念，掌握乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式，并会应用它们解决较简单的问题，理解事件的独立性定义，知道互不相容与相互独立的区别．4、随机变量及其分布：掌握分布函数的概念及性质，会用分布函数求有关概率，理解离散型随机变量的分布律与性质，会求简单离散型随机变量的分布律和分布函数；理解连续型随机变量的概率密度，掌握概率密度的性质，熟练掌握几种重要的分布：0—1分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布，会求这些分布的相关概率．5、二维随机变量及其分布：理解二维随机变量的分布函数的概念，掌握概率密度的性质及有关计算，能根据联合分布求边际分布，会利用随机变量的独立性进行相关计算，知道有限个独立正态随机变量的线性组合仍是正态分布．6、随机变量的函数及其分布：会求随机变量的简单函数的分布．7、随机变量的数学特征：掌握随机变量的期望及方差的计算，熟记期望及方差的性质，熟记常用分布的期望与方差，知道协方差及相关系数的定义及计算性质．第二部分、典型题型一、填空题1、设事件A 、B 互不相容，且q B P p A P ==)(,)(，则=)(B A P2、设A, B, C 为三个事件，则事件A, B, C 中不多于两个发生表示为3、已知事件A,B 满足)()(B A P AB P =，记p A P =)(，则=)(B P4、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它只是被甲射中的概率为5、两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲射中目标的概率是0.9，乙射中目标的概率是0.8，则目标被射中的概率是6、3个人独立破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为111,,543，则此密码被译出的概率是 7、随机变量T 在[1，6]上服从均匀分布，则方程 210x T x ++=有实根的概率为8、随机变量X 服从参数为λ的泊松分布（0λ>），且[(2)(3)]2E X X --=，则=λ9、设随机变量X 与Y 的相关系数为ρ，则121X X =+与132Y Y =+的相关系数为10、设~(1,3),~(2,4)X N Y N ，且X 与Y 相互独立，则~Y X +11、设随机变量),(~p n b X ，已知E (X )=2.4，D (X )=1.44，则n = ，=p12、设1()X P λ:，2()Y P λ:，且X 与Y 相互独立，则X Y +:13、设），Y X (的联合分布律为：且Y X 、相互独立，则α= ，β= ．二、选择题1、已知)|()(),|()(B A P A P B A P A P ==，则下列说法正确的有（）（A ）A 与B 相互独立（B ）A 与B 互逆（C ）A 与B 互斥（D ）)()(B P A P =2、设事件A ,B 互不相容，且()0P B >，则下列选项正确的是（）（A ）()1()P A P B =- （B ）(|)0P A B = （C ）(|)1P A B = （D ）()0P AB =3、将3个人随机地分配到4个房间去，每个房间所住人数不限，则每个房间里最多只有一个人的概率为（）（A ）323 （B ）83 （C ）161 （D ）81 4、有人打靶击中的概率为8.0，求他打了10枪，直到第十枪击中的概率为（）（A ）2.08.09⨯ （B ）8.02.09⨯ （C ）91102.08.0⨯⨯C （D ）91108.02.0⨯⨯C5、一盒产品中有a 只正品，b 只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为（）（A ）11a a b -+- （B ）(1)()(1)a a a b a b -++- （C ）a a b+ （D ）2()a a b + 6、设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列说法正确的是（）（A ）)(x F 取值为),(+∞-∞ （B ）)(x F 为连续函数（C ）1F(x) 1≤≤- (D) 1F(x) 0≤≤7、设()sin f x x =是某个连续型随机变量X 的密度函数，则X 的取值范围是（）（A ）[0,]2π （B ）[0,]π （C ）[,]22ππ- （D ）3[,]2ππ 8、设随机变量X 的分布函数为()X F x ，则35Y X =-的分布函数()Y F y 为（）（A ）(53)X F y - （B ）5()3X F y - （C ）3()5X y F + （D ）31()5X y F -- 9、设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（）（A ）X 与Y 独立（B ）()D X Y DX DY -=+ （C ）()D X Y DX DY -=- （D ）()D XY DXDY =10、设相互独立的两个随机变量X 与Y 具有同一分布律，且X 的分布律为 1(0)(1)2P X P X ==== 则随机变量max(,)Z X Y =的分布律为（）（A ）1(0)2P Z ==，1(1)2P Z == （B ）(0)1P Z ==，(1)0P Z == （C ）1(0)4P Z ==，3(1)4P Z == （D ）3(0)4P Z ==，1(1)4P Z == 三、解答题 1、设2~(3,2)X N ，求(25)P X <≤，(||2)P X >．（其中(1)0.8413;Φ=(0.5)0.6915;(2.5)0.9938Φ=Φ=）2、设随机变量2~(108,3)X N ，试求：（1）(102117)P X <<；（2）常数a ，使得()0.95P X a <=．（其中(1.64)0.9495Φ=；(1.65)0.9505Φ=；(2)0.9772Φ=；(3)0.99876Φ=）3、设2~(8,4)X N ，求(0),(1220).P X P X ≤<≤（其中(1)0.8413;Φ=(0.5)0.6915;(2.5)0.9938Φ=Φ=）4、已知()0.5,()0.7,()0.8P A P B P A B ===U ，试求()P A B -与()P B A -．5、将3个球随机地放入4个杯子中去，每个杯子所放球数不限，以X 表示杯子中球的最大个数，求X 的分布律与分布函数．6、口袋中有5个球，编号分别为1、2、3、4、5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中的最大号码。

非常全面的《概率论与数理统计》复习材料

《概率论与数理统计》复习大纲第一章随机事件与概率事件与集合论的对应关系表古典概型古典概型的前提是Ω={ω1, ω2,ω3,…, ωn,}, n为有限正整数，且每个样本点ωi出现的可能性相等。

例1设3个球任意投到四个杯中去，问杯中球的个数最多为1个的事件A1，最多为2个的事件A2的概率。

[解]：每个球有4种放入法，3个球共有43种放入法，所以|Ω|=43=64。

(1)当杯中球的个数最多为1个时，相当于四个杯中取3个杯子，每个杯子恰有一个球，所以|A1|= C433！=24；则P(A1)=24/64 =3/8. (2) 当杯中球的个数最多为2个时，相当于四个杯中有1个杯子恰有2个球(C41C32)，另有一个杯子恰有1个球(C31C11)，所以|A2|= C41C32C31C11=36；则P(A2)=36/64 =9/16例2从1,2,…,9，这九个数中任取三个数，求：(1)三数之和为10的概率p1；(2)三数之积为21的倍数的概率p2。

[解]：p1=4C93=121, p2=C31C51+C32C93=314P(A)=A包含样本总个数样本点总数=|A||Ω|几何概型前提是如果在某一区域Ω任取一点，而所取的点落在Ω中任意两个度量相等的子区域的可能性是一样的。

若A⊂Ω，则P(A)=A的度量Ω的度量例1把长度为a的棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。

[解]：设折得的三段长度分别为x,y和a-x-y，那么，样本空间，S={(x,y)|0≤x≤a,0≤y≤a,0≤a-x-y≤a}。

而随机事件A：”三段构成三角形”相应的区域G应满足两边之和大于第三边的原则，得到联立方程组，⎩⎪⎨⎪⎧a-x-y<x+yx<a-x-y+yy<a-x-y+x解得0<x<a2, 0<y<a2,a2<x+y<a 。

即G={(x,y)| 0<x<a2, 0<y<a2,a2<x+y<a }由图中计算面积之比，可得到相应的几何概率P(A)=1/4。

概率论与数理统计复习资料

概率论与数理统计复习资料### 概率论与数理统计复习资料#### 第一章：概率论基础1. 概率的定义与性质- 事件的概率定义- 概率的公理化体系- 概率的加法和乘法规则2. 条件概率与事件独立性- 条件概率的计算- 事件独立性的定义与性质- 贝叶斯定理3. 随机变量及其分布- 离散型随机变量及其分布律- 连续型随机变量及其概率密度函数- 随机变量的期望值与方差4. 多维随机变量及其分布- 联合分布函数- 边缘分布函数- 协方差与相关系数5. 大数定律与中心极限定理- 切比雪夫不等式- 伯努利大数定律- 中心极限定理的应用#### 第二章：数理统计基础1. 样本与统计量- 样本均值、方差与标准差- 样本矩- 顺序统计量2. 参数估计- 点估计与区间估计- 估计量的优良性准则- 极大似然估计3. 假设检验- 假设检验的基本原理- 单样本假设检验- 双样本假设检验4. 方差分析- 单因素方差分析- 双因素方差分析- 方差分析的计算步骤5. 回归分析- 一元线性回归- 多元线性回归- 回归模型的诊断#### 第三章：概率分布与随机过程1. 常见概率分布- 二项分布- 泊松分布- 正态分布2. 随机过程的基本概念- 随机过程的定义- 马尔可夫链- 泊松过程3. 随机过程的参数估计- 随机过程的均值与方差估计- 随机过程的回归分析4. 随机过程的模拟- 蒙特卡洛方法- 随机模拟的应用5. 随机过程的统计推断- 随机过程的假设检验- 随机过程的参数估计#### 第四章：统计决策与贝叶斯统计1. 统计决策理论- 损失函数- 风险函数- 决策规则2. 贝叶斯统计- 贝叶斯后验概率- 贝叶斯估计- 贝叶斯决策3. 贝叶斯网络- 贝叶斯网络的结构- 贝叶斯网络的推理- 贝叶斯网络的应用4. 统计推断的贝叶斯方法- 贝叶斯假设检验- 贝叶斯参数估计5. 贝叶斯模型选择- 贝叶斯信息准则- 交叉验证通过以上内容的复习，可以对概率论与数理统计的基本概念、理论及其应用有一个系统的理解。

《概率论与统计原理》复习资料

《概率论与统计原理》复习资料一、填空题1、设A，B，C为三个事件，则下列事件“B发生而A与C至少有一个发生”，“A，B，C中至少有两个发生”，“A，B，C中至少有一个发生”，“A，B，C中不多于一个发生”，“A，B，C中恰好有一个发生”，“A，B，C中恰好有两个发生”分别可表示为、、、、、。

参考答案：B（A+C，AB+AC+BC，A +B+C，CA，AB C+AC B+A BC，A+CB+BABA+CBCA+CB考核知识点：事件的关系及运算2、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为、、。

参考答案：0.04，0.02，0.1考核知识点：古典型概率3、同时抛掷3枚均匀的硬币，则3枚正面都向上的概率为，恰好有2枚正面向上的概率为。

参考答案：1/8，3/8考核知识点：古典型概率4、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k个球，则第k次取出黑球的概率为。

参考答案：0.6考核知识点：古典型概率5、假设某商店获利15万元以下的概率为0.9，获利10万元以下的概率为0.5，获利5万元以下的概率为0.3，则该商店获利5~10万元的概率为，获利10~15万元的概率为。

参考答案：0.2，0.4考核知识点：概率的性质6、设袋中有6个球，其中4白2黑。

用不放回两种方法取球，则取到的两个球都是白球的概率为；取到的两个球颜色相同的概率为；取到的两个球中至少有一个是白球的概率为。

参考答案：0.4，7/15，14/15考核知识点：古典型概率和概率的性质7、设事件A，B互不相容，已知P（A）= 0.6，P（B）= 0.3，则P （A+B）= ；P（A+B）= ；P（A B）= ；P（BA）= 。

参考答案：0.9，0.4，0.3，0.1考核知识点：概率的性质8、甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为0.5，0.6，0.8，则恰有一人中靶的概率为；至少有一人中靶的概率为。

概率论与数理统计复习资料要点总结

《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则（1）BA AB A B B A =⋃=⋃（2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质：（1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2）乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有（3）全概率公式： ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式： ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分布1．离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2．连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P4．分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续；（4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>；（5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5．正态分布的概率计算以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有（1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6．随机变量的函数 )(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。

(完整版),概率论与数理统计知识点总复习,推荐文档

随机事件和概率第一节基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。

)!(!n m m P n m-=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。

)!(!!n m n m C nm -=(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。

(4)一些常见排列①特殊排列相邻彼此隔开顺序一定和不可分辨②重复排列和非重复排列（有序）③对立事件④顺序问题2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

（2）事件的关系与运算①关系：如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）：BA ⊂如果同时有，，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于B A ⊂A B ⊃B ：A=B 。

A 、B 中至少有一个发生的事件：A B ，或者A +B 。

属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也可表示为A-AB 或者，它表示A 发生而B 不发生的事件。

B A A 、B 同时发生：A B ，或者AB 。

A B=Ø，则表示A 与B 不可能同时发生，称事件A 与事件B 互不相容或者互斥。

基本事件是互不相容的。

Ω-A 称为事件A 的逆事件，或称A 的对立事件，记为A 。

它表示A 不发生的事件。

互斥未必对立。

②运算：结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率：∞=∞==11i ii i AA，B A B A =BA B A =3、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义设Ω为样本空间，A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =13° 对于两两互不相容的事件1A ，2A ，…有∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11)(i i i i A P A P 常称为可列（完全）可加性。

概率论与数理统计期末复习资料

《概率统计》、《概率论与数理统计》、《随机数学》课程期末复习资料注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。

1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。

5、理解随机变量的概念，能熟练写出(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。

6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。

7、掌握指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。

9、会求分布中的待定参数。

10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数，会判别随机变量的独立性。

11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。

12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。

13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。

14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。

会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。

15、较熟练地求协方差与相关系数.16、了解矩与协方差矩阵概念。

会用独立正态随机变量线性组合性质解题。

17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。

18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握χ2分布(及性质)、t分布、F分布及其分位点概念。

19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。

概率统计每章知识点总结

概率统计每章知识点总结第一章：基本概念1.1 概率的概念1.2 随机变量及其分布1.3 大数定律和中心极限定理第一章主要介绍了概率统计的基本概念，包括概率的定义、随机变量的概念以及大数定律和中心极限定律。

概率是描述事物发生可能性的数学工具，是对随机事件发生规律的度量和描述。

随机变量是描述随机现象的数学模型，可以用来描述随机现象的特征和规律。

大数定律和中心极限定律则是概率统计中重要的两个定律，它们描述了大量独立随机变量的和的分布规律。

第二章：随机事件的概率计算2.1 古典概型2.2 几何概型2.3 等可能概型2.4 条件概率2.5 独立性第二章主要介绍了随机事件的概率计算方法，包括古典概型、几何概型、等可能概型、条件概率和独立性。

古典概型是指实验的样本空间是有限的且每个样本点的概率相等的情形，可以直接计算出随机事件的概率。

几何概型是指随机事件的概率与其所在的几何形状有关，需要通过几何方法来计算。

等可能概型是指实验的样本空间是有限的，但不同样本点的概率不一定相等，需要通过计算总体概率来计算随机事件的概率。

第三章：随机变量及其分布3.1 随机变量及其分布3.2 数学期望3.3 方差3.4 常用离散型随机变量的分布3.5 常用连续型随机变量的分布第三章主要介绍了随机变量及其分布的知识，包括随机变量的概念、数学期望、方差以及常用的离散型和连续型随机变量的分布。

随机变量是描述随机现象的数学模型，可以是离散型的也可以是连续性的。

数学期望和方差是描述随机变量分布特征的重要指标，它们能够描述随机变量的集中程度和离散程度。

离散型随机变量常用的分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布；连续型随机变量常用的分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。

第四章：多维随机变量及其分布4.1 二维随机变量4.2 多维随机变量4.3 边际分布4.4 条件分布4.5 独立性第四章主要介绍了多维随机变量及其分布的知识，包括二维随机变量、多维随机变量、边际分布、条件分布和独立性。

概率论与统计原理复习资料全

参考答案：B（A+C，AB+AC+BC，A +B+C，CB+BA+CA，AB C+AC B+A BC，ABA+CBCA+CB考核知识点：事件的关系及运算2、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为、、。

参考答案：0.04，0.02，0.1考核知识点：古典型概率3、同时抛掷3枚均匀的硬币，则3枚正面都向上的概率为，恰好有2枚正面向上的概率为。

参考答案：1/8，3/8考核知识点：古典型概率4、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k个球，则第k次取出黑球的概率为。

参考答案：0.2，0.4考核知识点：概率的性质6、设袋中有6个球，其中4白2黑。

用不放回两种方法取球，则取到的两个球都是白球的概率为；取到的两个球颜色相同的概率为；取到的两个球中至少有一个是白球的概率为。

《概率论与数理统计》总复习资料

《概率论与数理统计》总复习资料概率论部分1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。

例1：袋中有4个白球，5个黑球，6个红球，从中任意取出9个球，求取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球的概率.解：设B ＝｛取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球｝样本空间的样本点总数：915C n ==5005事件B 包含的样本点：563514C C C r ==240，则P (B )=240/5005=0.048例2：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：考虑次序.基本事件总数为：410A =5040，设B ={能排成一个四位偶数}。

若允许千位数为0，此时个位数可在0、2、4、6、8这五个数字中任选其一，共有5种选法；其余三位数则在余下的九个数字中任选，有39A 种选法；从而共有539A =2520个。

其中，千位数为0的“四位偶数”有多少个？此时个位数只能在2、4、6、8这四个数字中任选其一，有4种选法；十位数与百位数在余下的八个数字中任选两个，有28A 种选法；从而共有428A =224个。

因此410283945)(A A A B P -==2296/5040=0.4562．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。

例1：事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.5，P (B )=0.6，求：P (AB )，P (A －B )，P (A B )解：P (AB )=P (A )P (B )=0.3，P (A －B )=P (A )－P (AB )=0.2，P (A B )=P (A )＋P (B )－P (AB )=0.8例2：若P (A )=0.4，P (B )=0.7，P (AB )=0.3，求：P (A －B )，P (A B )，)|(B A P ，)|(B A P ，)|(B A P 解：P (A －B )=0.1，P (A B )=0.8，)|(B A P =)()(B P AB P =3/7，)|(B A P =)()()()()(B P AB P B P B P B A P -==4/7，|(B A P =)(1)()()(B P B A P B P B A P -==2/33．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。

概率与统计的复习知识点

概率与统计的复习知识点概率与统计是数学中的重要分支，在我们的日常生活和众多领域中都有着广泛的应用。

从预测天气变化到评估股票市场的风险，从医学研究中的临床试验到质量控制中的抽样检测，概率与统计无处不在。

下面让我们一起来复习一下这部分的重要知识点。

一、概率的基本概念1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。

比如抛硬币，正面朝上或者反面朝上就是随机事件。

2、样本空间样本空间是随机试验中所有可能结果组成的集合。

还是以抛硬币为例，样本空间就是{正面，反面}。

3、概率的定义概率是对随机事件发生可能性大小的度量。

通常用 0 到 1 之间的数值来表示。

概率为 0 表示事件不可能发生，概率为 1 表示事件必然发生。

4、古典概型如果一个随机试验具有以下两个特征：（1）试验的样本空间只包含有限个元素；（2）试验中每个基本事件发生的可能性相同。

那么这种概率模型就称为古典概型。

二、概率的计算方法1、加法公式如果事件 A 和事件 B 互斥（即 A 和 B 不可能同时发生），那么 A或 B 发生的概率等于 A 发生的概率加上 B 发生的概率，即 P(A∪B) ＝P(A) ＋ P(B) 。

2、乘法公式如果事件 A 和事件 B 相互独立（即事件 A 的发生不影响事件 B 发生的概率，反之亦然），那么 A 和 B 同时发生的概率等于 A 发生的概率乘以 B 发生的概率，即P(A∩B) ＝ P(A) × P(B) 。

3、条件概率条件概率是在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

记为 P(B|A)，表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率。

计算公式为 P(B|A) ＝P(A∩B) ／ P(A) 。

三、概率分布1、离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量的取值是有限个或可列无限个。

常见的离散型概率分布有：（1）二项分布：在 n 次独立重复试验中，每次试验中某事件发生的概率为 p ，则恰好发生 k 次的概率为 P(X ＝ k) ＝ C(n, k) × p^k ×（1 p)＾（n k) 。

概率论复习资料大全

出现的次数，则
P(X k)Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
称r.v X服从参数为n和p的二项分布，记作 X ~ b(n,p)
9
4.泊松分布
定义：设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：
P( X k) e k , k0,1,2,,
称的钟形曲线.
特点是“两头小，中间大，左右对称”.
正态分布表
15
9.连续型随机变量函数的分布
定理设 r.v X具有概率密度 f(x), x , 又设g(x)处处可导，且恒有g(x) 0(或 g(x) 0) 则Y=g(X)是连续型r.v，其概率密度为
fY
(
y)

计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-[E(X)]2
26
6.方差的性质
1. 设C是常数,则D(C)=0; 2. 若C是常数X是随机变量,则D(CX)=C2 D(X);
3. 设X与Y 是两个随机变量，则有 D(X+Y)= D(X)+D(Y) + 2E{(X-E(X))(Y-E(Y))}. 特别，若X与Y 相互独立，则有 D(X+Y)= D(X)+D(Y)
p
B(n,p)
π()
P( X k) Cnk pk (1 p)nk k 0,1,2,,n
np
P( X k) ke

k!
k 0,1,2,
23
分布
概率密度
期望
区间(a,b)上的均匀分布
f
(
x)

b
1
a
,
0,
a x b, 其它

非常全面的《概率论与数理统计》复习材料

非常全面的《概率论与数理统计》复习材料一、基本概念1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。

例如，掷一枚骰子，出现点数为 6 就是一个随机事件。

2、样本空间样本空间是指随机试验中所有可能结果组成的集合。

例如，掷一枚骰子的样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。

3、事件的关系与运算包括事件的包含、相等、和事件、积事件、差事件、互斥事件、对立事件等。

4、概率概率是衡量随机事件发生可能性大小的数值。

概率的定义有古典概型、几何概型和统计概率等。

二、概率的基本性质1、非负性：对于任意事件 A，P(A) ≥ 0。

2、规范性：P(Ω) ＝ 1，其中Ω表示样本空间。

3、可加性：若 A 与 B 互斥，则 P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B)。

三、条件概率与乘法公式1、条件概率条件概率是指在已知某事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

记作 P(B|A)，其计算公式为 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) （P(A) ＞ 0）。

2、乘法公式P(AB) ＝ P(A)P(B|A) （P(A) ＞ 0）；P(AB) ＝ P(B)P(A|B) （P(B) ＞0）。

四、全概率公式与贝叶斯公式1、全概率公式设 B1, B2,， Bn 是样本空间Ω的一个划分，且 P(Bi) ＞ 0（i ＝ 1, 2,，n），A 是任意一个事件，则 P(A) ＝ΣP(Bi)P(A|Bi) （i ＝ 1, 2,， n）。

2、贝叶斯公式在全概率公式的基础上，如果已知 P(A) 以及 P(Bi) 和 P(A|Bi) ，则可以计算在事件 A 发生的条件下，事件 Bi 发生的概率，即 P(Bi|A) ＝P(Bi)P(A|Bi) ／ΣP(Bj)P(A|Bj) （i ＝ 1, 2,， n）。

五、随机变量及其分布1、随机变量随机变量是定义在样本空间上的实值函数。

2、离散型随机变量常见的离散型随机变量有二项分布、泊松分布等。

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