第二章随机变量及其分布第3节随机变量的分布函数

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《概率论与数理统计》课件-第2章随机变量及其分布 (1)

则称X服从参数为λ的泊松分布, 记为 X ~ P() .
HAINAN UNIVERSITY
概率论与数理统计
第二五章基随本机极变限量定及理其分布
泊松分布的应用
“稠密性”问题(一段时间内,电话交换中心接到的呼叫次数,公共汽车车站候车的乘客数,售票窗口买票的人数，原子放射的粒子数，保险公司在一定时期内被索赔的次数等)都服从泊松分布.
随机变量的分布函数
1.定义: 设X为一随机变量, x为任意实数, 称函数 F(x)=P{X≤x}为X的分布函数.
注: ① F(x)是一普通函数, 其定义域为 ,; ② F x的值为事件X x的概率; ③ F x可以完全地描述随机变量取值的规律性.
例如: Pa X b PX b PX a
连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F(x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x) 称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
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概率论与数理统计
第二五章基随本机极变限量定及理其分布
二、随机变量的概念
定义：设试验E的样本空间为 , 若对于每个样本
点 , 均有一个实数 X ()与之对应, 这样就得
到一个定义在上的单值函数 X X () , 称X为随
机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
x 1
x0
0 x x
不是 (不满足规范性)

第二章随机变量及其分布 - 浙江大学邮件系统

例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯为红灯的概率为p，0<p<1，以X表示首次停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。
解：设Ai={第i个灯为红灯}，则P(Ai)=p， i=1,2,3 且A1,A2,A3相互独立。
P( X 0) P( A1) p ； P( X 1) P( A1A2 ) (1 p) p ；
例：有一大批产品，其验收方案如下：先作第一次检验,从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于2 拒收；否则作第二次检验，从中任取5 件，仅当5件中无次品便接受这批产品，设产品的次品率为p．求这批产品能被接受的概率.
解：设A={接受该批产品}。设X为第一次得的次品数，Y为第2次抽得的次品数.
求常数c.
12
解：
1 P{X k}
k 0
k
c
ce
k0 k !
c e
几个重要的离散型随机变量
一、0－1分布
若X的分布律为：
X 01 P qp
随机变量只可能取0、1 两个值
(p+q=1,p>0,q>0)
则称X服从参数为p的0-1分布，或两点分布.
记为
X ~ 0 1( p) 或 B(1, p)
则X～B(10,p)，Y～B(5,p)，且{X=i}与{Y=j}独立。
P( A) P(X 0) P(1 X 2且Y＝0)
P(X 0) P(1 X 2) P(Y 0)
P(X 0) (P(X 1) P(X 2)) P(Y 0)
(1 p)10 [10 p(1 p)9 45 p2 (1 p)8] (1 p)5
X 解1：) 设P该(社X区10200)人中0有.8X7个60人患病，则 X ~ B(1000, p),其中

概率论与数理统计第二章随机变量及其分布

15
例4: 甲、乙两名棋手约定进行10盘比赛，以赢的盘数较多者为胜. 假设每盘棋甲赢的概率都为0.6，乙赢的概率为0.4，且各盘比赛相互独立，问甲、乙获胜的概率各为多少？解每一盘棋可看作0-1试验. 设X为10盘棋赛中甲赢的盘数，则 X ～ b(10, 0.6) . 按约定，甲只要赢6盘或6盘以上即可获胜. 所以
定义：若随机变量X所有可能的取值为x1，x2，…，xi，…，且 X 取这些值的概率为 P(X=xi)= pi , i=1, 2, ... (*)
则称(*)式为离散型随机变量X 的分布律。分布律的基本性质： (1) 表格形式表示: pi 0, i=1，2，... (2)

i
pi 1
X pk
x1 p1
这里n=500值较大，直接计算比较麻烦. 利用泊松定理作近似计算: n =500, np = 500/365=1.3699>0 ，用 =1.3699 的泊松分布作近似计算：
(1.3669) 5 1.3669 P{ X 5} e 0.01 5!
23
例2: 某人进行射击，其命中率为0.02，独立射击400次，试求击中的次数大于等于2的概率。解将每次射击看成是一次贝努里试验，X表示在400次射击中击的次数，则X~B(400, 0.02)其分布律为
k 0,1
14
(2) 二项分布设在一次伯努利试验中有两个可能的结果，且有 P(A)=p 。则在 n 重伯努利试验中事件 A发生的次数 X是一个离散型随机变量，其分布为
P ( X k ) C nk p k q n k
k =0, 1, 2 ,, n
称X 服从参数为n，p的二项分布，记为 X~b(n, p) 对于n次重复一个0-1试验. 随机变量X表示: n次试验中, A发生的次数. 如：掷一枚硬币100次, 正面出现的次数X服从二项分布. b(100, 1/2) 事件 X～

随机变量及其分布

第2章随机变量及其分布 20
例3
设随机变量 X 的概率密度函数为
2 3x , 0x1,
f x
0,
其他
求（1） P X 0.5 （2） X 的分布函数 F x
解（1） P( X 0.5)= 0.5 f xdx 0.5 3x2dx=0.125
-0.5
0
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第2章随机变量及其分布 11
综上, 随机变量的分布函数为 F x P X x
0
0.5 0.8
1
x 1 1 x 2 2 x3
x3
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二、随机变量的分布函数
分布函数的性质
设 F X 是随机变量 X 的分布函数，则有
第2章随机变量及其分布 12
1
0 F x 1; lim F x 0, lim F x 1
e3 30 =
e3 31
e3 32
17 e3 。
0!
1!
2! 2
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二、泊松分布
第2章随机变量及其分布 31
例 6 已知一购物网站每周销售的某款手表的数量X服从参数为6的泊松分布.问周初
至少预备多少货源才能保证该周不脱销的概率不小于0.9.假定上周没有库存,
对照一下离散型随机变量的概率函数所满足的两个条件,
1 pi 0
2 pi 1
i
这两个条件同样刻划了密度函数的特征性质, 即如果有实值函数具备这两条性质, 那么它必定是某个连续型随机变量的概率密度函数.
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四、连续型随机变量及其密度函数

概率论与数理统计课件：随机变量及其分布

随机变量及其分布
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§2.2 离散型随机变量及其分布律
定义设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk , k = 1, 2,
X 取各个可能值的概率,即事件{ X xk } 的概率，为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
称此为离散型随机变量 X 的分布律.
随机变量及其分布
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定义2.1 设随机试验E, 其样本空间S, 若对样本
空间每一个样本点e, 都有唯一一个实数X(e)与之对
应，那么就把这个定义域为S的单值实值函数X=X(e),
称为随机变量。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z 或希腊字母 ξ,η等表示.
而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.
量方面，如，投掷一枚均匀骰子，我们观察出现的点
数。
记X=“出现的点数”
则X的可能取1, 2, …, 6中任一个数，可见X是变量；
又X取那个值不能事先确定，故此X的取值又带有随机
性.
有了随机变量，有关事件的表示也方便了，如
{X=2}, {X≤2}, ……
随机变量及其分布
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这样的例子还有很多. 又如，研究手机的使用寿命
或写成
随机变量及其分布
5
P( X k )
6
k 1
1
, k 1, 2,
6
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常见离散型随机变量
（一）“0-1”分布
设随机变量 X 只可能取 0 和1 两个值，它的分布律
为
k
P X k p（
1 p)1k k 0,1
(0 p 1)

概率统计第二章随机变量及其分布

引入适当的随机变量描述下列事件：例1：引入适当的随机变量描述下列事件：个球随机地放入三个格子中， ①将3个球随机地放入三个格子中，事件 A={有个空格} B={有个空格} A={有1个空格}，B={有2个空格}， C={全有球全有球} C={全有球}。进行5次试验， D={试验成功一次试验成功一次} ②进行5次试验，事件 D={试验成功一次}， F={试验至少成功一次试验至少成功一次} G={至多成功至多成功3 F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}
例2
xi ∈( a ,b )
∑
P( X = xi )
设随机变量X的分布律为设随机变量X
0 1 2 3 4 5 6 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03
试求: 试求:
P( X ≤ 4), P (2 ≤ X ≤ 5), P ( X ≠ 3)
0.72 0.7
F ( x) = P{ X ≤ x} =
k : xk ≤ x
∑p
k
离散型随机变量的分布函数是阶梯函数, 离散型随机变量的分布函数是阶梯函数分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的可能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应可能取值点跳跃高度对应随机变量取对应值的概率;反之反之,如果某随机变量的分布函数值的概率反之如果某随机变量的分布函数是阶梯函数,则该随机变量必为离散型则该随机变量必为离散型. 是阶梯函数则该随机变量必为离散型
X
x
易知，对任意实数a, 易知，对任意实数 b (a<b), P {a<X≤b}＝P{X≤b}－P{X≤a}＝ F(b)－F(a) ≤ ＝ ≤ － ≤ ＝－
P( X > a) = 1 − F (a)

《概率论》第2章§3随机变量的分布函数

面积成正比,且射击都能中靶,记表示弹X 着
X
点与圆心的距离.求的分布X函数.
显然当 x 时0 ,{X 故x} , 称这样的随机变量
F(x) P{X x} 0 为连续型随机变量
若 0 x 由2题, 意有 P{0 X为常x}数 kx2 , k
Q P{0 X 2} k22 1 k 1/ 4
O
第二章
随机1 变量2及其分3布x
§3 随机变量的分布函数 3/5
r.v X的分布函数
F(x) P{X x } , x
F ( x)是单调不减函数
0 F(x) 1且
F () lim F(xx)10x,2 F() lim F(x) 1
F
(
x)
x Q {X
右连续函数即F ( x1 )
x1} {X P{X
x x2 } x1 }
当
x
时F
(
x
0)
lim
tx
F(t)P{XF
(x)x当2} x
F(x2) 时
{X x性} 质
是分布函数的本质{特X 征x} S
满r.v足的性分质布函PP{{数XX 必 xx满的}}关关足F于于(性x)质必xx 右左是连连某续续r.v的分布函数
第二章随机变量及其分布
F(0x)当x0Px{X20,, xP时x}{X2P{存xXF0}在(0x}) P{0,令X
x}
x2 4
即 X的则若分x布由函2F, 题数(xF意)为(处有xf)F处(Ft()(x连x){)xPX续12{002/tPEX4,,,,,(N故,0xxS0x其xD})fx(t它0tx201S})d,,怎故2t第2,0,样二章理F随解(tO机1)这y变(t一量F1(x及)结0其2,t论分3布？2)x

概率论与数理统计第二章

k =0
k 1− k
n
服从参数为n和的二项分布的二项分布，称 r.v X 服从参数为和p的二项分布，记作 X~b(n,p) 显然，当 n=1 时 X ~ B(1， p) 此时有 P {X = k } = p (1 − p )
, k = 0,1
(0 <
p < 1)
即（0-1）分布是二项分布的一个特例. ）
第二章随机变量及其分布
Random Variable and Distribution 在前面的学习中,我们用字母A 在前面的学习中,我们用字母A、B、 C...表示事件并视之为样本空间S 表示事件， C...表示事件，并视之为样本空间S的子针对等可能概型主要研究了用排可能概型，集；针对等可能概型，主要研究了用排列组合手段计算事件的概率手段计算事件的概率。列组合手段计算事件的概率。本章，将引入随机变量表示随机事件，本章，将引入随机变量表示随机事件，随机变量表示随机事件以便采用高等数学的方法描述、高等数学的方法描述以便采用高等数学的方法描述、研究随机现象。机现象。
设 P { A} = p , 则 P { A} = 1 − p
抛硬币：出现正面” 抛硬币：“出现正面”，“出现反面” 出现反面”
例如: 例如
抽验产品：是正品” 抽验产品：“是正品”，“是次品” 是次品”
将伯努利试验E独立地重复地进行次将伯努利试验E独立地重复地进行n次 ,则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验重复的独立试验为一串重复的独立试验为重伯努利试验 . 次试验中P(A)= p 保持不变保持不变. “重复”是指这 n 次试验中重复” 独立” “独立”是指各次试验的结果互不影响 .
依题意, 可取值可取值0, 解: 依题意 X可取值 1, 2, 3,4.以p表示每组信号以表示每组信号灯禁止汽车通过的概率设 Ai={第i个信号灯禁止汽车通过 i=1,2,3,4 个信号灯禁止汽车通过}, 第个信号灯禁止汽车通过

第二章随机变量及其分布

来表示。
2. 二项分布的推导过程与说明
3. 举例（例2，例3，例4 ）
C. 泊松分布
1. 定义：如果随机变量X的概率密度如下：
P(X k)
λ k k!
e
λ
,
k =0,1,2,… ( >0) ,
(2.4)
则称X服从参数为的泊松分布，记作：
X ~ ()
2. 说明
3. 举例
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§3 随机变量的分布函数
P{X=4}=0.218 P{X=5}=0.175 P{X=6}=0.109 P{X=7}=0.055
P{X=k} < 0.001 , 当 k ≥ 11时
P{ X=8 }=0.022 P{ X=9 }=0.007 P{X=10}=0.02
例3：
某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。
解：以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，
X所有可能取值为0，1，2，3，4。得X的分布律为：P{X= k}= (1-p)k p , k=0,1,2,3, P{X= 4}= (1-p)4。用表格表示如下：
X
01
2
34
pk
p (1-p) p (1-p)2 p (1-p)3 p (1-p)4
代入p=1/2可得结果，可验证此结果满足分布律两性质。
• 而有的实验结果与数值无直接关系，我们可以把它映射为数值来表示，如：硬币抛掷中出现正面用“0”来表示，出现反面用“1”来表示。
例1：在一袋中装有编号分别为1，2，3的3只球，
在袋中任取一只球，放回，再取一只球，记录它们的编号。考察两只球的编号之和。则实验的样本空间S={e}={(i,j)} i,j=1,2,3。 i,j分别为第一，第二次取到球的号码。以X表示两球号码之和，得到样本空间的每一个样本点e， X都有一值与之对应，如图2-1。

概率论第二章随机变量与概率分布

(2)P{0 X 2}, P{0 X 2}.
解 (1)X的分布函数为
0,
x 1
F
(
x)
1313,
1 2
5 6
,
1 x 1 1 x 2
1
1
1
1,
2 x
3 2 6
解 (2)P{0 X 2} F (2) F (0) 1 1 2 ,
33 P{0 X 2} P{0 X 2} P{X 2} 21 1.
a－b ab
2
0 1
x
2
解得：a=1/2 b=1/
X的密度为: f(x) = F(x) =
1 (1+ x2 )
(-<x<)
P{X2>1}=1－P{－1X 1}
＝1－{F(1)－F(－1)}＝1/ 2
例6. 设随机变量X的密度函数为：
ke－3x x>0
事件：{取到2白、1黑}＝{X=2}={Y=1}
4. 随机变量的分类通常分为两类：
所有取值可以逐个一一列举
离散型随机变量
随机变量
全部可能取值不仅
如“取到次品的个数”，无穷多，而且还不能
一一列举，而是充满
“收到的呼叫数”等. 满一个或几个区间.
连续型随机变量非离散型随机变量
非离散型非连续型
§4. 连续型随机变量的概率密度 1. 定义：对于随机变量X的分布函数F(x)，如果存在非负函数f(x),使对于任意实数x有：
F( x) x f (t)dt
则称X为连续型随机变量；称f(x)为X的概率密度函数。简称概率密度。
概率密度的性质：
(1). f(x)0;
(2).
f
(
x)dx

重点!!第二章随机变量及其分布

例如：◆ 掷一颗骰子面上出现的点数；
◆ 昆虫的产卵数； ◆五月份北京的最高温度； ◆ 每天进入上海站的旅客数；
（2）在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化。
例如：裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码，名字与号码之间建立了一种
0 X ~ 1 2 1 1 4 2 1 8 3 1 8
即
例2.7 一骰子掷两次，用X表示所得点数之和，求X取可能
值的概率。
解 X的所有可能取值为2，3,4，…，12,其分布律为
二、常用的离散型随机变量及其分布
（1） (0—1)分布
如果随机变量X的分布律为
P X = k = p 1 - p , k = 0,1, 0 < p < 1 .
它是一个随机变量。
事件{收到不少于1次呼叫} {没有收到呼叫} {X= 0}
{ X 1}
三、随机变量的分类
离散型随机变量随机变量非离散型随机变量混合型随机变量我们将研究两类随机变量：（1）离散型随机变量（2）连续型随机变量连续型随机变量
例2.1 对一均匀硬币抛一次，观察正反面情况。 =>样本空间 {H , T }, 定义随机变量
注：若将本例中的“有放回”改为”无放回”, 那么各次试验条件就不同了, 不在是伯努利试验, 只能用古典概型求解。
1 C95 C52 P( X 2) 3 0.00618 C100
定理2.3泊松(Poisson) 设>0，n是正整数，若npn=，则对任
一固定的非负整数k，有
n k k lim C n pn (1 pn ) n k

2013第二章随机变量及其分布-3

( x)
f (t )dt ,
F ( x) f [ ( x)] ( x) f [ ( x)] ( x).
y 8 32 , 8 y 16, 得 Y =2X +8 的概率密度为 fY ( y ) 0, 其它.
例5 已知 X ~ N (0,1) , Y = X 2 , 求 fY (y)
概率论与数理统计
周圣武
第二章随机变量及其分布
一、随机变量二、离散型随机变量及其分布三、随机变量的分布函数四、连续型随机变量及其分布五、随机变量的函数的分布
第七节随机变量的函数的分布
一、离散型随机变量的函数的分布
二、连续型随机变量的函数的分布
本节的任务：已知随机变量X的分布，并且已知Y=g(X),
1 FY ( y ) P X ( y b) a 1 ( y b) FX a
1 1 f Y ( y ) f X ( y b) a a
当a < 0 时，
X 1 ( y b) FY ( y ) P a 1 ( y b) 1 FX a 1 1 f Y ( y ) f X ( y b) a a
2
ln y 4 , 1 y e ' fY ( y) FY ( y ) 8 y 0 , 其它
Ⅱ. 公式法（只适用于单调函数）
定理设⑴ 随机变量X具有概率密度 f X ( x)
（） y g ( x) 处处可导,且是严格单调函数 2
则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为
y = g(x)
y
x1
x2
x3
xn

概率论第二章随机变量以其分布第3节随机变量的分布函数

F () 1, 知 1 P{ X 2}
2 (a b) (2 a) 3 2a b 2 , 3
且 a b 1.
由此解得 a 1 , b 5 . 66
27
因此有
0,
1 ,
F
(
x
)
6 1
,
2
1,
从而 X 的分布律为
X 1
1
P
6
x 1, 1 x 1,
1 x 2, x 2.
分别观察离散型、连续型分布函数的图象，可以看出，分布函数 F(x) 具有以下基本性质：
10 F (x) 是一个不减的函数．F(x)
即当x2 x1时， 1 F(x2 ) F(x1).
01 2 3
x
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证明由 x1 x2 { X x1} { X x2 },
得 P{X x1} P{X x2}, 又 F ( x1) P{X x1}, F ( x2 ) P{X x2}, 故 F ( x1) F ( x2 ).
（3）若 x 2 , 则 {X x} 是必然事件，于是
F(x) P{X x} 1.
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§3 随机变量的分布函数
0,
F ( x)
x2 4
,
1,
x 0, 0 x 2,
x 2.
F(x) 1
01 2 3
x
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§3 随机变量的分布函数
3. 分布函数的性质
x
x
o
x
同样,当 x 增大时 P{ X x}的值也不会减小,而
X (, x), 当 x 时, X 必然落在 (,)内.
o
x
16
§3 随机变量的分布函数
30 F(x 0) F(x), 即 F(x)是右连续的.

概率与数理统计第二章-3-随机变量的分布函数

则X的分布函数为： 0
x x1
p1
x1 x x2
F ( x)
PX
x
p1 p2 p1 p2
p3
x2 x x3 x3 x x4
L
L
分布函数F(x)是一个右连续的函数,在
x=xk(k=1,2…)处有跳跃值 pk=P{X=xk},如下图所示
例5 随机变量X的概率分布为：
X 1 2 4
在概率论的研究中发现：无论是何种类型的随机变量，如果对任意的实数x , 事件{X≤x}的概率P{X≤x}已知时，随机变量X取任何值及任何区间的概率都可以由概率P{X≤x} 求出。如
{a<X≤b}= {X≤b} —{X≤a}
(]
a
b
事件{X≤x}的概率P{X≤x}随 x 的不同而变化，
是x的实函数，称此函数为随机变量X的分布函数。
（1） 0 F(x) 1
（2）单调非减：若a < b, 则F(a)≤F(b)；
（3） lim F (x) F () 0, x lim F (x) F () 1; x
F(x)在任一点x处至少
（4）右连续性：即
右连续
lim
xx0
F
(x)
F
(x0
)
F(x0 0)
证明: (2) 对a<b,
(2)
对任意的x1< x2 P{x1 <X≤ x2}=
, 有： F(x2) －
( F(x1).x1
] x2
此因：{x1 <X≤ x2}= {X≤x2}－ {X≤ x1}
(3) P{X x1} F(x1 0)
此因：P{X
<
x1
}=

2.4 随机变量函数的分布

从而Z 的概率密度
fZ (z)
dFZ (z) dz
d
1
dy
z
e2
fX
x dx
f
X
e
z 2
d dz
e
z 2
z
e2 2
1,
z
0e 2 1 0 , else
z
e
2
2
,
0,
z0 else
22. X ~ N 5, 22 ,
FY ( y) P{Y y} P{3X 5 y}
0.3 3 2
Y1 pk
2 0.2
1 0 1 2 0.1 0.1 0.3 0.3
Y2 2 0 2 4 6 Y2 6 4 2 0 2
Y3 1 0 1 4 9 pk 0.3 0.3 0.1 0.1 0.2
Y3 X 2 中
P X 2 1 PX 1 PX 1 0.2 0.1 0.3
Y3 0 1 4 9
FX ( y ) FX ( y )
fX ( y )( y ) fX ( y )( y )
2
1
y
e
y 2
,
y
0,
0,
y 0.
P18:*24.设随机变量 X ~ E( ) .试求随机变量
的分布律.
Y
g(X )
1
1
, ,
X X
0 0
解 Y 仅取离散值－1与1, 故为离散型随机变量.
Q X ~ E(),
解先根据 X 的分布律, 列出下表:
pi 1/5
xi -1 2 xi -2
1/10 1/10 3/10 3/10 0 1 2 5/2 0245
xi2 1 0 1 4 25/4

概率论第二章

将 p = 0.5 代入，得
1 0 X ~ 0 .5 0.25 2 0.125 3 0 .0625 0 .0625 4
下面，重点介绍三种离散型随机变量的概率分布。（一）0-1分布分布若X 的分布律为 k 1− k P { X = k } = p (1 − p ) , k = 0 ,1 或者 0 1 X p pk 1− p 则称随机变量 X 服从参数为的0-1分布参数为p的分布. 参数为如果试验的结果只有两个：成功与失败，并且成功的概率为p，则成功的次数 X 服从参数为p的0-1 分布。
P{ X ≥ 2} = 1 − P{ X = 0} − P{ X = 1}
P{ X ≥ 2} = 1 − P{ X = 0} − P{ X = 1}
= 1 − (0.99) − 20(0.01)(0.99) = 0.0169 设A为“四个人中至少有一个人来不及维修”这一事件，则有
20 19
P( A) ≥ P{ X ≥ 2} = 0.0169
P{ X ≥ 2} = 1 − P{ X = 0} − P{ X = 1}
= 1 − (0.98)
400
− 400(0.02)(0.98)
399
直接计算上式比较麻烦，为此需要一个近似计算公式。我们先引入一个重要的分布。
(三) 泊松分布三泊松分布(Poisson Distribution) 如果随机变量 X 的分布律为：
例6 社会上定期发行某种奖券,中奖率为p.某人每次购买一张奖券,如果没有中奖则下次继续购买1 张,直至中奖为止.求该人购买次数的分布律. 解设该人购买的次数为X ,则X的可能取值为
1, 2 , L .
{X = 1} 表示第一次购买就中奖,其概率为p.

随机变量的分布函数

y
1
O
1
2
x
3
P{0 X 2} k 2 2 1 k 1/ 4 2 x 当时存在 , 令 F ( x ) x X 2P F (0 x) P { X x} X 0} P{0 X x} x0 20, ,x P { {x 0} 4 t ,0 {X x } 故 tS , 2, 若 x 2, F由题意有 ( x) 处处连续 , 故 f (t ) 2 F (t ) (t 0, t 2) F ( x) P {P (S )x 01 X } 0 其它 0, 即 X 的分布函数为 F ( x) 则 0 , x x 0, 怎样理解这一结论？ 2 x) x F ( x) F ( ,0 f (t x)dt 2, / 4 , x2 1 END
例一个半径为 2 米的圆盘靶子 , 设 R2m 击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该 X 圆盘的面积成正比 , 且射击都能中靶 , 记 X表示弹着点与圆心的距离.求X的分布函数. 显然当 x 0时 ,{ X x} , 故称这样的随机变量 F ( x) P{ X x} 0 为连续型随机变量若 0 x 2, 由题意有 P{0 X x} kx 2 , k 为常数
3、F ( x)在R上右连续：
F ( x 0) F ( x)；
4、F () 0，F () 1.
三、离散型随机变量的分布函数与分布律之间的关系 (1)已知分布律 pk 求 F ( x);
F ( x ) P{ X x}
xi x
P{ X x } p
第二章随机变量及其分布 2.3 随机变量分布函数
一、定义设X为随机变量，对于任意实数x，称函数 F(x)=P{X ≤ x} ( -∞< x <+∞ ) 为பைடு நூலகம்机变量X的分布函数。

精品若离散型随机变量X的分布律为课件

例1：设随机变量X具有概率密度求：（1）常数a；（2）
解：（3）X的分布函数F（x）
（1）由概率密度的性质可知
所以 a＝1/2
均匀分布设连续型随机变量X的概率密度函数为
则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为X~U(a,b)， X的分布函数为：
概率密度函数f(x)与分布函数F(x)的图形可用图示
第二章随机变量
第一节随机变量及其分布函数第二节离散型随机变量及其分布第三节连续型随机变量及其分布第四节随机变量函数的分布
第一节随机变量及其分布函数
定义1:
定义2:设X是一随机变量，x为任意实数，函数称为随机变量X的分布函数。
证明：
由概率的连续性得：
例1：口袋里装有3个白球2个红球，从中任取三个球，求取出的三个球中的白球数的分布函数
f (x)
O
h h 1
x
f (x)
1
0.5 1
2
O
x
越小，X落在附近的概率越大。
参数 =0，=1的正态分布称为标准正态分布，记为
X~N(0,1)。其概率密度函数和分布函数分别用
和
表示，即
和的图形如图所示。
由正态密度函数的几何特性易知
函数写不出它的解析表达式，人们已编制了它
的函数表，可供查用。一般的正态分布，其分布函数F(x)可用标准正态分布
则称X为连续型随机变量，称f(t)为X的概率密度函数，简称概率密度或分布密度。概率密度f(x)具有以下性质：
（4）若x为f(x)的连续点，则有
由性质（2）知：
介于曲线y=f(x)与Ox轴之间的面积等于1（见图1）。由性质（3）知：
X落在区间（x1,x2）的概率等于区间（x1,x2）上曲线

第二章随机变量及其分布作业册习题解答

第二章随机变量及其分布
§1 随机变量一、单项选择题
§2 随机变量的分布函数
§3 离散性随机变量及其分布律
（1）解应选（B）。
方法一由于在选项（A）中， F(+) = 0 1，在选项（C）中， F (+) = 1 1，在选项（D） 2
−1, 中，取 f (x) = 2,
0,
1 x 2
+
3 x 4 ，则 f (x)dx = 1，但当1 x 2 时， F(x) =1− x 0 ，因此选 −
~19~
此所求的概率为
P
1 2
X
2
=
2
f (x)dx =
1 2
21
5
xdx =
6 1
2
16
（3）当 x 0 时， F(x) = 0 ；当 0 x 2
3 时， F(x) =
x
f (t)dt =
x 1 xdx = x2 ；当
−
06
12
x 2 3 时， F(x) = 1，即 X 的分布函数为
= P( −4) + P( 4) = + 2e−2xdx = e−8 4
故填 e−8 。
三、解（1）由
+
f (x)dx = 1 ，得1 =
2
3
3Cxdx = 18C ，故 C =
1
。
−
0
18
（2）由（1）知
X
的概率密度为
f
(x)
=
1 6
x,
0 x2
3 ，由于 X 是连续型随机变量，因
0, 其他
a
+
+
a
F(−a) = − (−t)dt = (t)dt = (t)dt − (t)dt