2019版高考数学(文)人教A版(全国)一轮复习课件第三章导数及其应用第3讲

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高考数学(文)一轮复习课件：1-9函数与方程(人教A版)

高考考点预览
■ ·考点梳理· ■ 1. 函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数 y＝f(x)的零点． (2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
思考：上述等价关系在研究函数零点、方程的根及图象交点问题时有什么作用？
思考：若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则y＝ f(x)在区间[a，b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0呢？
提示：不一定．由图(1)、(2)可知．
3．二分法 (1)二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且ff((aa))··ff((bb)<0 的函数y＝ f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二 , 使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法． (2)用二分法求函数零点近似解的步骤第一步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0 ，给定精确度ε；
观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－ log3|x|有4个零点．
3. [2012·徐州模拟]根据下面表格中的数据，可以判
定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为________．
x
－1 0 1 2
3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4
5
答案：(1，2)
3. 二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法．其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值．
4. 要熟练掌握二分法的解题步骤，尤其是初始区间的选取和最后精确度的判断.

2019届高考数学(文科)一轮复习课件(人教A版)第三章导数及其应用 3.2

+ �� =
π 3
1 2 x +cos 4 π 3
x,
1 2
∴f'(x)=2x-sin x,它是一个奇函数,其图象关于原点对称,故排除 B,D.
又 [f'(x)]'= -cos x,当 - <x< 时 ,cos x> ,∴[f'(x)]'<0,故函数 y=f' (x)在区间 A - 3 , 3 内单调递减,排除 C.故选 A.
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1
解析答案
-11知识梳理双基自测自测点评
1.若函数f(x)在区间(a,b)内递增,则f‘(x)≥0;“f’(x)>0在(a,b)内恒成立”是“f(x)在(a,b)内单调递增”的充分不必要条件. 2.对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.如函数y=x3在x=0处导数为零,但x=0不是函数 y=x3的极值点. 3.求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值. 4.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
∴a=1,b=1 或 a=-3,b=-9. ∵当 a=1,b=1 时 ,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,函数没有极值, 2 1 7 7 ∴ a= 1, b= 1 不成立 . ∴ a=, b=, 故答案为 . 3 9 9
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-9知识梳理双基自测自测点评
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2019版高考数学一轮复习第三章函数、导数及其应用第一节函数及其表示课件

映射
非空的集合设A，B是两个___________
设A，B是两个非空 ____ ________ 的数集
如果按照某种确定的对应关系 f，使对对应于集合A中的任意 ____一关系个数 x，在集合B中 f：A→B 唯一确定的数都有_________ f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B _____ 唯一确定的元素y与中都有_________ 之对应
)
解析：选项 A 中，f(x)＝x2 与 g(x)＝ x2的定义域相同，但对应关系不同；选项 B 中，二者的定义域都为{x|x>0}，对应关系也相同；选项 C 中，f(x)＝1 的定义域为 R，g(x)＝(x－1)0 的定义 x2－9 域为{x|x≠1}；选项 D 中，f(x)＝的定义域为{x|x≠－3}， x＋3 g(x)＝x－3 的定义域为 R.
5x＋1 答案： 2 (x≠0) x
课堂考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
考点一函数的定义域
[题组练透]
1．函数 f(x)＝ln(x2－x)的定义域为 A．(0,1) C．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．[0,1] D．(－∞，0]∪[1，＋∞) ( )
解析：由题意知，x2－x>0，即 x<0 或 x>1. 则函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选 C.
3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
[小题体验]Βιβλιοθήκη 1． (2018· 台州模拟 )下列四组函数中，表示相等函数的是( A． f(x)＝ x2， g(x)＝ x2 x2 x B． f(x)＝， g(x)＝ x x 2 C． f(x)＝ 1， g(x)＝ (x－ 1)0 x2－ 9 D． f(x)＝， g(x)＝ x－ 3 x＋ 3

2019届高考数学人教A版理科第一轮复习课件：3.1 导数的概念及运算

1
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答案
考点1
考点2
考点 1
导数的运算
例 1 分别求下列函数的导数: (1)y=ex· sin x; (2)y=x ��
(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线切线的斜率 y=f(x)上点 (x0,f(x0)) 处的 ,切线方程为 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) .
-5-
知识梳理
双基自测
1 2 3 4 5 6
3.函数f(x)的导函数一般地,如果函数y=f(x)在区间(a,b)上的每一点处都有导数,导数
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率. ( ) (2)求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0). ( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. ( ) (5)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同. ( )
-11解析关闭
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答案
知识梳理
双基自测
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ln�� 3.(2017 吉林长春二模)若函数 f(x)= ,则 f'(2)= ��
.
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由 f'(x)=
1-ln2 4
1-ln �� 2
,得 f'(2)=
1-ln2 4
.
关闭
-12解析
答案
知识梳理
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知识梳理
双基自测
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2019届高考数学一轮复习第三章导数及其应用考点规范练14导数的概念及运算文新人教B版

考点规范练14 导数的概念及运算基础巩固1.已知函数f (x )=√x 3+1,则lim Δx →0f (1-Δx )-f (1)Δx 的值为 ()A.-13 B.13 C.23D.02.已知曲线y=ln x 的切线过原点,则此切线的斜率为() A.e B.-e C.1eD.-1e3.已知奇函数y=f (x )在区间(-∞,0]上的解析式为f (x )=x 2+x ,则切点横坐标为1的切线方程是() A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.3x-y-1=0 D.3x-y+1=04.(2017江西上饶模拟)若点P 是曲线y=x 2-ln x 上任意一点,则点P 到直线y=x-2的距离的最小值为() A.1 B.√2 C.√22D.√35.曲线f (x )=x 3-x+3在点P 处的切线平行于直线y=2x-1,则点P 的坐标为() A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)和(-1,3)D.(1,-3)6.已知直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点A (1,2),则a b等于() A.-8B.-6C.-1D.57.若函数y=f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是() A.y=sin x B.y=ln x C.y=e xD.y=x 38.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+154x-9都相切,则a 等于() A.-1或-2564B.-1或214C.-74或-2564D.-74或79.(2017吉林长春二模)若函数f (x )=lnx x,则f'(2)=.10.(2017山西太原模拟)函数f (x )=x e x的图象在点(1,f (1))处的切线方程是. 11.曲线y=log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于. 12.若函数f (x )=12x 2-ax+ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是.能力提升13.函数y=f (x ),y=g (x )的导函数的图象如图所示,则y=f (x ),y=g (x )的图象可能是()14.(2017广州深圳调研)如图,y=f (x )是可导函数,直线l :y=kx+2是曲线y=f (x )在x=3处的切线,令g (x )=xf (x ),g'(x )是g (x )的导函数,则g'(3)=()A.-1B.0C.2D.415.设直线l 1,l 2分别是函数f (x )={-lnx ,0<x <1,lnx ,x >1图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是() A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞)D.(1,+∞)16.已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且f (x )-g (x )=e x+x 2+1,则函数h (x )=2f (x )-g (x )在点(0,h (0))处的切线方程是.高考预测17.若函数f (x )=ln x-f'(1)x 2+5x-4,则f'(12)=.参考答案考点规范练14 导数的概念及运算1.A 解析limΔx →0f (1-Δx )-f (1)Δx =-lim Δx →0f (1-Δx )-f (1)-Δx=-f'(1)=-(13×1-23)=-13.2.C 解析由题意可得y=ln x 的定义域为(0,+∞),且y'=1x.设切点为(x 0,ln x 0),则切线方程为y-ln x 0=1x 0(x-x 0).因为切线过点(0,0),所以-ln x 0=-1,解得x 0=e,故此切线的斜率为1e.3.B 解析由函数y=f (x )为奇函数,可得f (x )在[0,+∞)内的解析式为f (x )=-x 2+x ,故切点为(1,0).因为y'=-2x+1,所以y'|x=1=-1, 故切线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.4.B 解析因为定义域为(0,+∞),所以y'=2x-1x ,令2x-1x=1,解得x=1,则曲线在点P (1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d=√2=√2.故所求的最小值为√2.5.C 解析∵f (x )=x 3-x+3,∴f'(x )=3x 2-1.设点P (x ,y ),则f'(x )=2,即3x 2-1=2,解得x=1或x=-1, 故P (1,3)或(-1,3).经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,符合题意.故选C . 6.A 解析由题意得y=kx+1过点A (1,2),故2=k+1,即k=1.∵y'=3x 2+a ,且直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点A (1,2),∴k=3+a ,即1=3+a ,∴a=-2.将点A (1,2)代入曲线方程y=x 3+ax+b ,可解得b=3, 即a b=(-2)3=-8.故选A .7.A 解析设曲线上两点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k 1=f'(x 1),k 2=f'(x 2). 若函数具有T 性质,则k 1·k 2=f'(x 1)·f'(x 2)=-1.A 项,f'(x )=cos x ,显然k 1·k 2=cos x 1·cos x 2=-1有无数组解,所以该函数具有性质T;B 项,f'(x )=1x(x>0),显然k 1·k 2=1x 1·1x 2=-1无解,故该函数不具有性质T;C 项,f'(x )=e x>0,显然k 1·k 2=e x 1·e x 2=-1无解,故该函数不具有性质T;D 项,f'(x )=3x 2≥0,显然k 1·k 2=3x 12×3x 22=-1无解,故该函数不具有性质T .综上,选A .8.A 解析因为y=x 3,所以y'=3x 2.设过点(1,0)的直线与y=x 3相切于点(x 0,x 03),则在该点处的切线斜率为k=3x 02,所以切线方程为y-x 03=3x 02(x-x 0),即y=3x 02x-2x 03.又点(1,0)在切线上,则x 0=0或x 0=32.当x 0=0时,由y=0与y=ax 2+154x-9相切,可得a=-2564; 当x 0=32时,由y=274x-274与y=ax 2+154x-9相切,可得a=-1. 9.1-ln24解析由f'(x )=1-lnxx 2,得f'(2)=1-ln24. 10.y=2e x-e 解析∵f (x )=x e x,∴f (1)=e,f'(x )=e x+x e x,∴f'(1)=2e,∴f (x )的图象在点(1,f (1))处的切线方程为y-e =2e(x-1),即y=2e x-e .11.12log 2e 解析∵y'=1xln2,∴k=1ln2, ∴切线方程为y=1ln2(x-1),∴所围三角形的面积为S=12×1×1ln2=12ln2=12log 2e .12.[2,+∞)解析∵f (x )=12x 2-ax+ln x ,∴f'(x )=x-a+1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线, ∴f'(x )存在零点,∴x+1x -a=0有解, ∴a=x+1x ≥2(x>0).13.D 解析由y=f'(x )的图象知y=f'(x )在(0,+∞)内单调递减,说明函数y=f (x )的切线的斜率在(0,+∞)内也单调递减,故可排除A,C .又由图象知y=f'(x )与y=g'(x )的图象在x=x 0处相交,说明y=f (x )与y=g (x )的图象在x=x 0处的切线的斜率相同,故可排除B .故选D . 14.B 解析由题图可知曲线y=f (x )在x=3处的切线斜率等于-13,即f'(3)=-13.又g (x )=xf (x ),g'(x )=f (x )+xf'(x ),g'(3)=f (3)+3f'(3).由题图可知f (3)=1,所以g'(3)=1+3×(-13)=0. 15.A 解析由题意得P 1,P 2分别位于两段函数的图象上.设P 1(x 1,ln x 1),P 2(x 2,-ln x 2)(不妨设x 1>1,0<x 2<1),则由导数的几何意义易得切线l 1,l 2的斜率分别为k 1=1x 1,k 2=-1x 2.由已知得k 1k 2=-1,所以x 1x 2=1.所以x 2=1x 1.所以切线l 1的方程为y-ln x 1=1x 1(x-x 1),切线l 2的方程为y+ln x 2=-1x 2(x-x 2), 即y-ln x 1=-x 1(x -1x 1). 分别令x=0得A (0,-1+ln x 1),B (0,1+ln x 1). 又l 1与l 2的交点为P (2x11+x 12,lnx 1+1-x 121+x 12). ∵x 1>1,∴S △PAB =12|y A -y B |·|x P |=2x 11+x 12<1+x 121+x 12=1. ∴0<S △PAB <1,故选A .16.x-y+4=0解析∵f (x )-g (x )=e x+x 2+1,且f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,∴f (-x )-g (-x )=f (x )+g (x )=e -x +x 2+1.∴f (x )=e x +e -x +2x 2+22,g (x )=e -x -e x2.∴h (x )=2f (x )-g (x )=e x +e -x +2x 2+2-e -x -e x2=32e x +12e -x +2x 2+2.∴h'(x )=32e x -12e -x +4x ,即h'(0)=32−12=1.又h(0)=4,∴切线方程为x-y+4=0.-2f'(1)x+5,17.5解析∵f'(x)=1x∴f'(1)=1-2f'(1)+5,解得f'(1)=2,)=2-2+5=5.∴f'(12。

2019届高考数学一轮复习第三章导数及其应用考点规范练15导数与函数的单调性极值最值文新人教B版

考点规范练15 导数与函数的单调性、极值、最值基础巩固1.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是()A.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)2.(2017山东烟台一模)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是()A.a>0,b>0,c>0,d<0B.a>0,b>0,c<0,d<0C.a<0,b<0,c>0,d>0D.a>0,b>0,c>0,d>03.定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f'(x),满足f(x)<f'(x),且f(0)=2,则不等式f(x)>2e x 的解集为()A.(-∞,0)B.(-∞,2)C.(0,+∞)D.(2,+∞)4.(2017河南濮阳一模)设f'(x)是函数f(x)定义在(0,+∞)上的导函数,满足xf'(x)+2f(x)=1x2,则下列不等式一定成立的是()A.f(e)e2>f(e2)eB.f(2)9<f(3)4C.f(2)e2>f(e)4D.f(e)e2<f(3)95.已知函数f(x)=-12x2+4x-3ln x在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是.6.若函数g(x)=ln x+ax2+bx,且g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线与x轴平行.(1)确定a与b的关系;(2)若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性.7.已知函数f(x)=ax 2+bx+ce x(a>0)的导函数y=f'(x)的两个零点为-3和0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)的极大值及f(x)在区间[-5,+∞)内的最大值.8.设a>0,函数f (x )=e xx 2+a .(1)若a=59,求函数f (x )的单调区间;(2)当x=12时,函数f (x )取得极值,证明:对于任意的x 1,x 2∈[12,32],|f (x 1)-f (x 2)|≤3-e3√e .9.设函数f (x )=3x 2+axe x(a ∈R ).(1)若f (x )在x=0处取得极值,确定a 的值,并求此时曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)若f (x )在[3,+∞)内为减函数,求a 的取值范围.能力提升10.(2017广西南宁一模)已知函数f(x)=-x2-6x-3,g(x)=2x3+3x2-12x+9,m<-2,若∀x1∈[m,-2),∃x2∈(0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,则m的最小值为()A.-5B.-4C.-2√5D.-311.(2017河北邯郸二模)若函数f(x)=(x2-ax+a+1)e x(a∈N)在区间(1,3)内只有1个极值点,则曲线f(x)在点(0,f(0))处切线的方程为.12.设函数f(x)=x 2-1lnx.(1)求证:f(x)在(0,1)和(1,+∞)内都是增函数;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.13.设函数f(x)=x3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=0;.(3)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[-1,1]上的最大值不小于14高考预测14.已知函数f(x)=a ln x-ax-3(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数]在区间(t,3)内总不是单调函数,求m的取值范围.g(x)=x3+x2·[f'(x)+m2参考答案考点规范练15 导数与函数的单调性、极值、最值1.D 解析函数f (x )=(x-3)e x 的导数为f'(x )=[(x-3)e x ]'=e x +(x-3)e x =(x-2)e x.由函数导数与函数单调性的关系,得当f'(x )>0时,函数f (x )单调递增,此时由不等式f'(x )=(x-2)e x>0,解得x>2. 2.C 解析由题图可知f (0)=d>0,排除选项A,B;由f'(x )=3ax 2+2bx+c ,且由题图知(-∞,x 1),(x 2,+∞)是函数的单调递减区间,可知a<0,排除D .故选C . 3.C 解析设g (x )=f (x )e x,则g'(x )=f '(x )-f (x )e x. ∵f (x )<f'(x ),∴g'(x )>0,即函数g (x )在定义域内单调递增. ∵f (0)=2,∴g (0)=f (0)=2,∴不等式f (x )>2e x 等价于g (x )>g (0). ∵函数g (x )在定义域内单调递增. ∴x>0,∴不等式的解集为(0,+∞),故选C .4.B 解析∵xf'(x )+2f (x )=1x2,∴x 2f'(x )+2xf (x )=1x ,令g (x )=x 2f (x ),则g'(x )=2xf (x )+x 2f'(x )=1x>0,∴函数g (x )在(0,+∞)内单调递增. ∴g (2)=4f (2)<g (e)=e 2f (e)<g (3)=9f (3), ∴f (2)9<f (3)4.故选B .5.(0,1)∪(2,3)解析由题意知f'(x )=-x+4-3x=-x 2+4x -3x=-(x -1)(x -3)x .由f'(x )=0得x 1=1,x 2=3,可知1,3是函数f (x )的两个极值点.则只要这两个极值点有一个在区间(t ,t+1)内,函数f (x )在区间[t ,t+1]上就不单调,由t<1<t+1或t<3<t+1,得0<t<1或2<t<3.6.解(1)因为g (x )=ln x+ax 2+bx ,所以g'(x )=1x+2ax+b ,由题意,得g'(1)=1+2a+b=0,所以2a+b=-1. (2)当a=0时,g'(x )=-x -1x, 由g'(x )>0解得0<x<1,由g'(x )<0解得x>1,即函数g (x )在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减.当a>0时,令g'(x )=0,得x=1或x=12a ,若12a<1,即a>12,则由g'(x )>0解得x>1或0<x<12a,由g'(x )<0解得12a <x<1,即函数g (x )在(0,12a ),(1,+∞)内单调递增,在(12a ,1)内单调递减;若12a>1,即0<a<12,则由g'(x )>0解得x>12a或0<x<1,由g'(x )<0解得1<x<12a,即函数g (x )在(0,1),(12a ,+∞)内单调递增,在(1,12a)内单调递减; 若12a=1,即a=12,则在(0,+∞)上恒有g'(x )≥0, 即函数g (x )在(0,+∞)内单调递增.综上可得:当a=0时,函数g (x )在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减; 当0<a<12时,函数g (x )在(0,1)内单调递增,在(1,12a )内单调递减,在(12a,+∞)内单调递增; 当a=12时,函数g (x )在(0,+∞)内单调递增; 当a>12时,函数g (x )在(0,12a )内单调递增,在(12a,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增. 7.解(1)因为f (x )=ax 2+bx+ce x,所以f'(x )=-ax 2+(2a -b )x+b -ce x,设g (x )=-ax 2+(2a-b )x+b-c.因为a>0,所以由题意知:当-3<x<0时,g (x )>0,即f'(x )>0; 当x<-3或x>0时,g (x )<0,即f'(x )<0.所以f (x )的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞). (2)由(1)知,x=-3是f (x )的极小值点,故有9a -3b+c e -3=-e 3.结合g (0)=b-c=0,g (-3)=-9a-3(2a-b )+b-c=0,解得a=1,b=5,c=5,所以f (x )=x 2+5x+5e x.因为f (x )的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞), 所以f (0)=5为函数f (x )的极大值,且f (x )在区间[-5,+∞)内的最大值为f (-5)和f (0)中的最大者. 而f (-5)=5e-5=5e 5>5=f (0),所以函数f (x )在区间[-5,+∞)内的最大值是5e 5.8.(1)解当a=59时,f'(x )=e x (x 2+a -2x )(x 2+a )2=e x [(x -1)2+a -1](x 2+a )2=e x [(x -1)2-49](x 2+59)2.令f'(x )>0,即(x-1)2-49>0,解得x<13或x>53.因此,函数f (x )在区间(-∞,13),(53,+∞)内单调递增. 令f'(x )<0,即(x-1)2-49<0,解得13<x<53. 因此,函数f (x )在区间(13,53)内单调递减. (2)证明当x=12时,函数f (x )取得极值,即f'(12)=0,所以(12)2+a-2×12=0.所以a=34.同理,由(1)易知,f (x )在区间(-∞,12),(32,+∞)内单调递增,在区间(12,32)内单调递减. 所以f (x )在x=12时取得极大值f (12)=√e ,在x=32时取得极小值f (32)=e √e3. 所以在区间[12,32]上,f (x )的最大值是f (12)=√e ,最小值是f (32)=e √e3. 所以对于任意的x 1,x 2∈[12,32],|f (x 1)-f (x 2)|≤√e −e3√e ,即|f (x 1)-f (x 2)|≤3-e3√e .9.解(1)对f (x )求导得f'(x )=(6x+a )e x -(3x 2+ax )e x(e x )2=-3x 2+(6-a )x+ae x.因为f (x )在x=0处取得极值,所以f'(0)=0,即a=0. 当a=0时,f (x )=3x 2e x ,f'(x )=-3x 2+6xe x ,故f (1)=3e ,f'(1)=3e ,从而f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y-3e=3e(x-1),化简,得3x-e y=0.(2)由(1)知f'(x )=-3x 2+(6-a )x+ae x.令g (x )=-3x 2+(6-a )x+a , 由g (x )=0解得x 1=6-a -√a 2+366,x 2=6-a+√a 2+366. 当x<x 1时,g (x )<0,即f'(x )<0,故f (x )为减函数; 当x 1<x<x 2时,g (x )>0,即f'(x )>0,故f (x )为增函数; 当x>x 2时,g (x )<0,即f'(x )<0,故f (x )为减函数. 由f (x )在[3,+∞)内为减函数,知x 2=6-a+√a 2+366≤3,解得a ≥-92,故a 的取值范围为[-92,+∞).10.A 解析∵g (x )=2x 3+3x 2-12x+9,∴g'(x )=6x 2+6x-12=6(x+2)(x-1),则当0<x<1时,g'(x )<0,函数g (x )递减,当x>1时,g'(x )>0,函数g (x )递增,∴当x>0时,g (x )min =g (1)=2.∵f (x )=-x 2-6x-3=-(x+3)2+6≤6,作函数y=(x )的图象,如图所示,当f (x )=2时,方程两根分别为-5和-1,则m 的最小值为-5,故选A . 11.x-y+6=0解析∵f'(x )=e x[x 2+(2-a )x+1],若f (x )在(1,3)内只有1个极值点,∴f'(1)·f'(3)<0,即(a-4)(3a-16)<0,解得4<a<163.∵a ∈N ,∴a=5.故f (x )=e x (x 2-5x+6),f'(x )=e x (x 2-3x+1),故f (0)=6,f'(0)=1,故切线方程是y-6=x ,故答案为x-y+6=0. 12.(1)证明f'(x )=2xlnx -x 2-1x(lnx )2=x(lnx )2(2lnx -x 2-1x 2)(x>0,x ≠1). 令g (x )=2ln x-x 2-1x 2,则g'(x )=2(x+1)(x -1)x 3. 当0<x<1时,g'(x )<0,g (x )是减函数,g (x )>g (1)=0. 于是f'(x )=x (lnx )2g (x )>0,故f (x )在(0,1)内为增函数.当x>1时,g'(x )>0,g (x )是增函数,g (x )>g (1)=0,于是f'(x )=x(lnx )2g (x )>0,故f (x )在(1,+∞)内为增函数.(2)解af (x )-x=a (x 2-1)lnx-x=x lnx [a (x 2-1)x -lnx].令h (x )=a (x 2-1)x-ln x (x>0),则h'(x )=ax 2-x+ax 2. 令φ(x )=ax 2-x+a ,当a>0,且Δ=1-4a 2≤0,即a ≥12时,此时φ(x )=ax 2-x+a>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a ≥12时h'(x )≥0,故h (x )在(0,1),(1,+∞)内为增函数,若0<x<1时,h (x )<h (1)=0, 所以af (x )-x=xlnx h (x )>0; 若x>1时,h (x )>h (1)=0,所以af (x )-x=xlnxh (x )>0, 所以当x>0,x ≠1时都有af (x )>x 成立,当0<a<12时,h'(x )<0,解得1-√1-4a 22a <x<1+√1-4a 22a,所以h (x )在(1,1+√1-4a 22a)内是减函数,h (x )<h (1)=0. 故af (x )-x=xlnxh (x )<0,不符合题意. 当a ≤0时,x ∈(0,1)∪(1,+∞),都有h'(x )<0,故h (x )在(0,1),(1,+∞)内为减函数,同理可知,在(0,1),(1,+∞)内af (x )-x=xlnxh (x )<0,不符合题意. 综上所述,a 的取值范围是a ≥12. 13.(1)解由f (x )=x 3-ax-b ,可得f'(x )=3x 2-a.下面分两种情况讨论:①当a ≤0时,有f'(x )=3x 2-a ≥0恒成立.所以f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞).②当a>0时,令f'(x )=0,解得x=√3a3,或x=-√3a3.当x 变化时,f'(x ),f (x )的变化情况如下表:所以f (x )的单调递减区间为(-√3a 3,√3a3),单调递增区间为(-∞,-√3a3),(√3a3,+∞).(2)证明因为f (x )存在极值点,所以由(1)知a>0,且x 0≠0.由题意,得f'(x 0)=3x 02-a=0,即x 02=a 3,进而f (x 0)=x 03-ax 0-b=-2a 3x 0-b.又f (-2x 0)=-8x 03+2ax 0-b=-8a 3x 0+2ax 0-b=-2a 3x 0-b=f (x 0),且-2x 0≠x 0,由题意及(1)知,存在唯一实数x 1满足f (x 1)=f (x 0),且x 1≠x 0,因此x 1=-2x 0.所以x 1+2x 0=0.(3)证明设g (x )在区间[-1,1]上的最大值为M ,max{x ,y }表示x ,y 两数的最大值.下面分三种情况讨论:①当a ≥3时,-√3a 3≤-1<1≤√3a 3,由(1)知,f (x )在区间[-1,1]上单调递减,所以f (x )在区间[-1,1]上的取值范围为[f (1),f (-1)],因此M=max{|f (1)|,|f (-1)|}=max{|1-a-b|,|-1+a-b|}=max{|a-1+b|,|a-1-b|}={a -1+b ,b ≥0,a -1-b ,b <0.所以M=a-1+|b|≥2.②当34≤a<3时,-2√3a 3≤-1<-√3a 3<√3a 3<1≤2√3a 3,由(1)和(2)知f (-1)≥f (-2√3a 3)=f (√3a 3),f (1)≤f (2√3a 3)=f (-√3a 3), 所以f (x )在区间[-1,1]上的取值范围为[f (√3a 3),f (-√3a 3)],因此M=max {|f (√3a 3)|,|f (-√3a 3)|}=max {|-2a 9√3a -b|,|2a 9√3a -b|} =max {|2a 9√3a +b|,|2a 9√3a -b|}=2a 9√3a +|b|≥29×34×√3×34=14.③当0<a<34时,-1<-2√3a 3<2√3a 3<1,由(1)和(2)知f (-1)<f (-2√3a 3)=f (√3a 3),f (1)>f (2√3a 3)=f (-√3a 3),所以f (x )在区间[-1,1]上的取值范围为[f (-1),f (1)],因此M=max{|f (-1)|,|f (1)|}=max{|-1+a-b|,|1-a-b|}=max{|1-a+b|,|1-a-b|}=1-a+|b|>14.综上所述,当a>0时,g (x )在区间[-1,1]上的最大值不小于14.14.解(1)函数f (x )的定义域为(0,+∞),且f'(x )=a (1-x )x. 当a>0时,f (x )的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞); 当a<0时,f (x )的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1); 当a=0时,f (x )不是单调函数.(2)由(1)及题意得f'(2)=-a 2=1,即a=-2. ∴f (x )=-2ln x+2x-3,f'(x )=2x -2x. ∴g (x )=x 3+(m 2+2)x 2-2x ,∴g'(x )=3x 2+(m+4)x-2. ∵g (x )在区间(t ,3)内总不是单调函数,∴g'(x )=0在区间(t ,3)内有变号零点.∵g'(0)=-2,∴{g '(t )<0,g '(3)>0.∴g'(t )<0,即3t 2+(m+4)t-2<0对任意t ∈[1,2]恒成立, ∵g'(0)<0,∴只需g'(1)<0且g'(2)<0,即m<-5且m<-9,即m<-9;由g'(3)>0,即m>-373.∴-373<m<-9.即实数m 的取值范围是(-373,-9).。

高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算

小题速解由题意得y'=2cos x-sin x,则y'|x=π=-2.计算A、B、C、D选项中直线的斜率,可知只有 C符合.故选C.
3.(2018课标全国Ⅰ,6,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 ( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x

2
ln
x
.
当0<x<1时,x2-1<0,ln x<0,所以g'(x)<0,故g(x)单调递减;
当x>1时,x2-1>0,ln x>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调递增.
所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1). 所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.
思路分析 (1)先求导,再求切线斜率,进而得出切线方程; (2)令g(x)=x-1-f(x),待证等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1),再利用函数单调性和最值解决问题.
又g(e)=0,∴ln x= ex 有唯一解x=e.∴x0=e.
∴点A的坐标为(e,1).
方法总结求曲线y=f(x)过点(x1,y1)的切线问题的一般步骤: ①设切点为(x0, f(x0)); ②求k=f '(x0); ③得出切线的方程为y-f(x0)=f '(x0)(x-x0); ④由切线经过已知点(x1,y1)求得x0,进而得出切线方程.

= 2
.
(2)设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0),
则y0=2 x03 -3x0,且切线斜率为k=6 x02-3,所以切线方程为y-y0=(6 -3)(x-x0), 因此t-y0=(6 x02 -3)(1-x0).整x理02 得4 x03 -6 x02 +t+3=0. 设g(x)=4x3-6x2+t+3,则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”.

高考数学异构异模复习第三章导数及其应用3.2.2函数的极值与最值课件理

e 内是减函数．又 h(1)＝0，所以当 x∈34，1时，h(x)>0，从而 f′(x)>0，这时 f(x)单调递增，当 x∈(1,2)时， h(x)<0，从而 f′(x)<0，这时 f(x)单调递减，所以 f(x)在34，2内的极大值是 f(1)＝1.
(2)由题可知 g(x)＝(x2－a)e1－x，则 g′(x)＝(2x－x2＋a)e1－x＝(－x2＋2x＋a)e1－x. 根据题意，方程－x2＋2x＋a＝0 有两个不同的实根 x1，x2(x1<x2)，所以 Δ＝4＋4a>0，即 a>－1，且 x1＋x2＝2，
注意点极值点的含义及极值与最值的关系 (1)“极值点”不是点，若函数 f(x)在 x1 处取得极大值，则 x1 即为极大值点，极大值为 f(x1)；在 x2 处取得极小值，则 x2 为极小值点，极小值为 f(x2)． (2)极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.
第三章导数及其应用
第2讲导数的应用
考点二函数的极值与最值
撬点·基础点重难点
1 判断函数极值的方法一般地，当函数 f(x)在点 x0 处连续时， (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f(x0)是极大值； (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么 f(x0)是极小值． 2 求可导函数 f(x)的极值的步骤 (1)求导函数 f′(x)； (2)求方程 f′(x)＝0 的根； (3)检验 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根的左右两侧的函数值的符号，如果左正右负，那么函数 y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数 y＝f(x)在这个根处取得极小值，可列表完成． 3 函数的最值在闭区间[a，b]上的连续函数 y＝f(x)，在[a，b]上必有最大值与最小值．在区间(a，b)上的连续函数 y ＝f(x)，若有唯一的极值点，则这个极值点就是最值点．

2019版高考数学理科课标A版一轮复习习题：第三章导数

第三章导数及其应用命题探究解答过程 (解法一) (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f '(x)=2ae 2x+(a-2)e x-1=(ae x-1)(2e x+1).其中2e x+1>0恒成立.(i)若a≤0,则f '(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递减.(ii)若a>0,则由f '(x)=0得x=-ln a.当x∈(-∞,-ln a)时, f '(x)<0;当x∈(-ln a,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增.(2)(i)若a≤0,由(1)知, f(x)至多有一个零点. (ii)若a>0,由(1)知,当x=-ln a 时, f(x)取得最小值,最小值为f(-ln a)=1-+ln a.①当a=1时,由于f(-ln a)=0,故f(x)只有一个零点; ②当a∈(1,+∞)时,由于1-+ln a>0,即f(-ln a)>0,故f(x)没有零点;③当a∈(0,1)时,1-+ln a<0,即f(-ln a)<0.又f(-2)=ae -4+(a-2)e -2+2>-2e -2+2>0,故f(x)在(-∞,-ln a)有一个零点. 设正整数n 0满足n 0>ln,则f(n 0)=(a+a-2)-n 0>-n 0>-n 0>0.由于ln>-ln a,因此f(x)在(-ln a,+∞)有一个零点. 综上,a 的取值范围为(0,1). (解法二) (1)同解法一(1).(2)若a≤0,则f(x)在R 上单调递减,至多只有一个零点,不符,舍去; 若a>0,当x→+∞时,f(x)→+∞;当x→-∞时,f(x)→+∞,要使f(x)有两个零点,只要f min (x)=f(-ln a)<0即可,即a·+(a -2)·-ln <0,即1--ln <0,令t=>0,则g(t)=1-t-ln t,且g(t)在(0,+∞)上单调递减,又g(1)=0,∴当t=>1,即0<a<1时,g(t)<0,即f(-ln a)<0.即f(x)有两个零点时,a的取值范围为(0,1)§3.1导数的概念及其运算考纲解读分析解读 1.理解导数概念,会求过曲线上某点的切线的斜率与切线方程,能将平行或垂直直线间的关系转化为导数关系.2.熟记常见基本初等函数的导数公式并结合导数的运算法则求简单函数的导数,会求简单复合函数的导数.3.利用导数的几何意义求曲线的切线斜率是高考热点,分值为5分左右,属于中低档题.五年高考考点一导数的概念及其几何意义1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x3答案 A2.(2014课标Ⅱ,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( )A.0B.1C.2D.3答案 D3.(2014大纲全国,7,5分)曲线y=xe x-1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A.2eB.eC.2D.1答案 C4.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .答案1-ln 25.(2015陕西,15,5分)设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P 的坐标为.答案(1,1)教师用书专用(6—8)6.(2014江西,13,5分)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.答案(-ln 2,2)7.(2013福建,17,13分)已知函数f(x)=x-aln x(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.解析函数f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=1-.(1)当a=2时, f(x)=x-2ln x, f '(x)=1-(x>0),因而f(1)=1, f '(1)=-1,所以曲线y=f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)由f '(x)=1-=,x>0知:①当a≤0时, f '(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;②当a>0时,由f '(x)=0,解得x=a.又当x∈(0,a)时, f '(x)<0,则f(x)在(0,a)上单调递减;当x∈(a,+∞)时, f '(x)>0,则f(x)在(a,+∞)上单调递增,从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.8.(2013北京,18,13分)设L为曲线C:y=在点(1,0)处的切线.(1)求L的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.解析(1)设f(x)=,则f '(x)=.所以f '(1)=1.所以L的方程为y=x-1.(2)证明:令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1).g(x)满足g(1)=0,且g'(x)=1-f '(x)=.当0<x<1时,x2-1<0,ln x<0,所以g'(x)<0,故g(x)单调递减;当x>1时,x2-1>0,ln x>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调递增.所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1).所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.考点二导数的运算1.(2013江西,13,5分)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,则f '(1)= .答案 22.(2017北京,19,13分)已知函数f(x)=e x cos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.解析(1)因为f(x)=e x cos x-x,所以f '(x)=e x(cos x-sin x)-1, f '(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=e x(cos x-sin x)-1,则h'(x)=e x(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2e x sin x.当x∈时,h'(x)<0,所以h(x)在区间上单调递减.所以对任意x∈有h(x)<h(0)=0,即f '(x)<0.所以函数f(x)在区间上单调递减.因此f(x)在区间上的最大值为f(0)=1,最小值为f =-.教师用书专用(3—4)3.(2016北京,18,13分)设函数f(x)=xe a-x+bx,曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.解析(1)因为f(x)=xe a-x+bx,所以f '(x)=(1-x)e a-x+b.依题设,知即解得a=2,b=e.(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.由f '(x)=e2-x(1-x+e x-1)及e2-x>0知, f '(x)与1-x+e x-1同号.令g(x)=1-x+e x-1,则g'(x)=-1+e x-1.所以,当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值,从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).综上可知, f '(x)>0,x∈(-∞,+∞).故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).4.(2015北京,18,13分)已知函数f(x)=ln.(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;(2)求证:当x∈(0,1)时, f(x)>2;(3)设实数k使得f(x)>k对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.解析(1)因为f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),所以f '(x)=+, f '(0)=2.又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.(2)证明:令g(x)=f(x)-2,则g'(x)=f '(x)-2(1+x2)=.因为g'(x)>0(0<x<1),所以g(x)在区间(0,1)上单调递增.所以g(x)>g(0)=0,x∈(0,1),即当x∈(0,1)时, f(x)>2.(3)由(2)知,当k≤2时, f(x)>k对x∈(0,1)恒成立.当k>2时,令h(x)=f(x)-k,则h'(x)=f '(x)-k(1+x2)=.所以当0<x<时,h'(x)<0,因此h(x)在区间上单调递减.当0<x<时,h(x)<h(0)=0,即f(x)<k.所以当k>2时, f(x)>k并非对x∈(0,1)恒成立.综上可知,k的最大值为2.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一导数的概念及其几何意义1.(2018福建闽侯第六中学月考,8)设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导数为f '(x),且f '(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为( )A.6x+y-12=0B.9x+y-16=0C.6x-y-12=0D.9x-y-16=0答案 D2.(2017湖北百所重点高中联考,4)已知函数f(x+1)=,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为( )A.1B.-1C.2D.-2答案 A3.(2017广东惠州第二次调研,14)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为. 答案 24.(人教A选2—2,一,1-2A,7,变式)已知函数f(x)=ax+1-e x(a∈R,e为自然对数的底数),若函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,则a= .答案 e考点二导数的运算5.(2018甘肃武威第六中学第二阶段过关考试,4)已知函数f(x)的导函数为 f '(x),且满足f(x)=2xf '(1)+ln x,则f '(1)=( )A.-eB.-1C.1D.e答案 B6.(2017山西名校联考,3)若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为( )A.f(x)=3cos xB.f(x)=x3+x2C.f(x)=1+sin 2xD.f(x)=e x+x答案 C7.(2016安徽安庆二模,7)给出定义:设f '(x)是函数y=f(x)的导函数, f ″(x)是函数y=f '(x)的导函数,若方程f ″(x)=0有实数解x0,则称点(x0, f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=3x+4sin x-cos x的拐点是M(x0, f(x0)),则点M( )A.在直线y=-3x上B.在直线y=3x上C.在直线y=-4x上D.在直线y=4x上答案 BB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:25分钟)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2018广东阳春第一中学月考,9)丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人,特别是在函数的凹凸性与不等式方向留下了很多宝贵的成果,设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f '(x),f '(x)在(a,b)上的导函数为f ″(x),若在(a,b)上,f ″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”,已知f(x)=-x3+x2在(1,4)上为“凸函数”,则实数t的取值范围是( )A.[3,+∞)B.(3,+∞)C. D.答案 C2.(2017广东惠州模拟,12)设曲线f(x)=-e x-x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1,总存在曲线g(x)=3ax+2cos x上某点处的切线l2,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围为( )A.[-1,2]B.(3,+∞)C. D.答案 D3.(2017江西新余第二次模拟,9)将函数g(x)=2cos x-·cos图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)后得到函数h(x)的图象,设f(x)=x2+h(x),则f '(x)的图象大致为()答案 A4.(2017河南洛阳期中,12)设点P,Q分别是曲线y=xe-x(e是自然对数的底数)和直线y=x+3上的动点,则P,Q两点间距离的最小值为( )A. B.C. D.答案 C二、填空题(每小题5分,共15分)5.(2018重庆梁平二调,15)曲线y=a(a>0)与曲线y=ln有公共点,且在公共点处的切线相同,则a 的值为.答案6.(2018河南联考,16)已知过点(0,-1)且与曲线y=f(x)=-x3+x2-6x(x>0)相切的直线有且仅有两条,则实数a的取值范围是.答案(2,+∞)7.(2017天津红桥期中,16)若在曲线f(x)=ax5+ln x上存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.答案(-∞,0)C组2016—2018年模拟·方法题组方法利用导数的几何意义求曲线的切线方程1.(2018江苏丹阳高级中学期中,10)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1,f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2,f(x2)),记f '(x)为函数f(x)的导数,则的值为.答案2.(2017河南百校联盟模拟,16)已知函数f(x)=-f '(0)e x+2x,点P为曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线l上的一点,点Q在曲线y=e x上,则|PQ|的最小值为.答案3.(2016江西百所重点高中阶段性诊断,14)若曲线f(x)=在点(1,1)处的切线经过点A(a,0),B(0,b),则a与b的等差中项为.答案。

2019届高考数学一轮复习课件(文科)：第三章导数及其应用 3.3 导数的综合应用课件文新人教A版

相加得:
1 ln(��+1)
+
ln(��1��+2)+…+ln(��+12
015)
>
1 ��
-
1 ��+1
+
1 ��+1
-
1 ��+2
+…+
1 ��+2 014
-
1 ��+2 015
=
1 ��
−
��+21015=��(��2+0210515).
2 3
= 247.
(2)∵f(x)+g(x)≥-x3+(a+2)x,
∴a(ln x-x)≥2x-x2.
由 y=x-ln x 的导数 y'=1-1��,可得函数 y 在(1,+∞)内单调递增, 在(0,1)内单调递减.
考点1
考点2
考点3
-13-
故函数 y 在 x=1 处取得极小值,也是最小值 1,即有 x-ln x>0, 即 ln x<x,即有 a≤��2-l-n2��. 设 φ(x)=��2-l-n2��,
考点1
考点2
考点3
-15-
解题心得利用导数解决不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,然后求出最值,进而得出相应的含参不等式,最后求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
考点1

2024年高考数学总复习第三章《导数及其应用》测试卷及答案解析

2024年高考数学总复习第三章《导数及其应用》测试卷及答案解析(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋5，则f(5)与f′(5)分别为() A．5，－1B．－1,5C．－1,0D．0，－1答案D解析由题意可得f(5)＝－5＋5＝0，f′(5)＝－1，故选D.2．已知函数f(x)＝x sin x＋ax，且f1，则a等于()A．0B．1C．2D．4答案A解析∵f′(x)＝sin x＋x cos x＋a，且f1，∴sin π2＋π2cosπ2＋a＝1，即a＝0.3．若曲线y＝mx＋ln x在点(1，m)处的切线垂直于y轴，则实数m等于() A．－1B．0C．1D．2答案A解析f(x)的导数为f′(x)＝m＋1x，曲线y＝f(x)在点(1，m)处的切线斜率为k＝m＋1＝0，可得m＝－1.故选A.4．已知f1(x)＝sin x＋cos x，f n＋1(x)是f n(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N*，则f2020(x)等于()A．－sin x－cos x B．sin x－cos xC．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x答案B解析∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x＝f1(x)，∴f n(x)是以4为周期的函数，∴f2020(x)＝f4(x)＝sin x－cos x，故选B.5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x(其中e为自然对数的底数)，则f′(e)等于()A ．1B ．－1C ．－eD ．－e －1答案D解析已知f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，其导数f ′(x )＝2f ′(e)＋1x，令x ＝e ，可得f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，变形可得f ′(e)＝－1e ，故选D.6．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为()A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)答案B解析由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y ′＝x －1x≤0，解得0<x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．7．(2019·沈阳东北育才学校模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝x 2＋m ，g (x )＝6ln x －4x ，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在公共点处的切线相同，则m 值等于()A ．5B ．3C ．－3D ．－5答案D解析f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝6x －4，令2x ＝6x－4，解得x ＝1，这就是切点的横坐标，代入g (x )求得切点的纵坐标为－4，将(1，－4)代入f (x )得1＋m ＝－4，m ＝－5.故选D.8．(2019·新乡模拟)若函数f (x )＝a e x ＋sin x 在－π2，0上单调递增，则a 的取值范围为()B ．[－1,1]C ．[－1，＋∞)D ．[0，＋∞)答案D解析依题意得，f ′(x )＝a e x ＋cos x ≥0，即a ≥－cos xe x 对x ∈－π2，0恒成立，设g (x )＝－cos xe x ，x ∈－π2，0，g ′(x )g ′(x )＝0，则x ＝－π4，当x ∈－π2，－g ′(x )<0；当x －π4，0时，g ′(x )>0，故g (x )max ＝g (0，则a ≥0.故选D.9.(2019·河北衡水中学调研)如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为()A.2000π9B.4000π27C ．81πD ．128π答案B解析小圆柱的高分为上下两部分，上部分同大圆柱一样为5，下部分深入底部半球内设为h (0<h <5)，小圆柱的底面半径设为r (0<r <5)，由于r ，h 和球的半径5满足勾股定理，即r 2＋h 2＝52，所以小圆柱体积V ＝πr 2(h ＋5)＝π(25－h 2)(h ＋5)(0<h <5)，求导V ′＝－π(3h －5)·(h ＋5)，当0<h ≤53时，体积V 单调递增，当53<h <5时，体积V 单调递减．所以当h ＝53时，小圆柱体积取得最大值，V max ＝＝4000π27，故选B.10．(2019·凉山诊断)若对任意的0<x 1<x 2<a 都有x 2ln x 1－x 1ln x 2<x 1－x 2成立，则a 的最大值为()A.12B ．1C ．eD ．2e答案B解析原不等式可转化为1＋ln x 1x 1<1＋ln x 2x 2，构造函数f (x )＝1＋ln x x ，f ′(x )＝－ln xx2，故函数在(0,1)上导数大于零，单调递增，在(1，＋∞)上导数小于零，单调递减．由于x 1<x 2且f (x 1)<f (x 2)，故x 1，x 2在区间(0,1)上，故a 的最大值为1，故选B.11．(2019·洛阳、许昌质检)设函数y ＝f (x )，x ∈R 的导函数为f ′(x )，且f (x )＝f (－x ),f ′(x )<f (x )，则下列不等式成立的是(注：e 为自然对数的底数)()A ．f (0)<e －1f (1)<e 2f (2)B ．e －1f (1)<f (0)<e 2f (2)C ．e 2f (2)<e －1f (1)<f (0)D ．e 2f (2)<f (0)<e －1f (1)答案B解析设g (x )＝e －x f (x )，∴g ′(x )＝－e －x f (x )＋e －x f ′(x )＝e －x (f ′(x )－f (x ))，∵f ′(x )<f (x )，∴g ′(x )<0，∴g (x )为减函数．∵g (0)＝e 0f (0)＝f (0)，g (1)＝e －1f (1),g (－2)＝e 2f (－2)＝e 2f (2)，且g (－2)>g (0)>g (1)，∴e －1f (1)<f (0)<e 2f (2)，故选B.12．(2019·廊坊省级示范高中联考)已知函数f (x )＝－13x 3－12x 2＋ax －b 的图象在x ＝0处的切线方程为2x －y －a ＝0，若关于x 的方程f (x 2)＝m 有四个不同的实数解，则m 的取值范围为()A.－323，－B.－2－323，－2答案D解析由函数f (x )＝－13x 3－12x 2＋ax －b ，可得f ′(x )＝－x 2－x ＋a ，则f (0)＝－b ＝－a ，f ′(0)＝a ＝2，则b ＝2，即f (x )＝－13x 3－12x 2＋2x －2，f ′(x )＝－x 2－x ＋2＝－(x －1)(x ＋2)，所以函数f (x )在(－2,1)上单调递增，在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，又由关于x 的方程f (x 2)＝m 有四个不同的实数解，等价于函数f (x )的图象与直线y ＝m 在x ∈(0，＋∞)，上有两个交点，又f (0)＝－2，f (1)＝－56，所以－2<m <－56，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·陕西四校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为________________．答案x －y －3＝0解析∵f (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，∴f ′(x )＝1x ＋4x －4，∴f ′(1)＝1，又f (1)＝－2，∴所求切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.14．已知函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R )，若函数f (x )存在三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．答案－1e2，解析f ′(x )＝ln x ＋1x (x －a )＝ln x ＋1－ax，函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R )，若函数f (x )存在三个单调区间，则f ′(x )有两个变号零点，即f ′(x )＝0有两个不等实根，即a ＝x (ln x ＋1)有两个不等实根，转化为y ＝a 与y ＝x (ln x ＋1)的图象有两个不同的交点．令g (x )＝x (ln x ＋1)，则g ′(x )＝ln x ＋2，令ln x ＋2＝0，则x ＝1e 2，即g (x )＝x (ln x ＋1)[g (x )]min ＝－1e 2，当x →0时，g (x )→0，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以结合f (x )的图象(图略)可知a －1e 2，15．(2019·山师大附中模拟)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．答案－1，12解析由函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥－2＋e x ＋1ex ≥－2＋2e x ·1e x＝0，当且仅当x ＝0时等号成立，可得f (x )在R 上递增，又f (－x )＋f (x )＝(－x )3＋2x ＋e －x －e x ＋x 3－2x ＋e x －1e x 0，可得f (x )为奇函数，则f (a －1)＋f (2a 2)≤0，即有f (2a 2)≤0－f (a －1)＝f (1－a )，即有2a 2≤1－a ，解得－1≤a ≤12.16．(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且对任意的不相等的实数x 1，x 2∈[0，＋∞)有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，若关于x 的不等式f (2mx －ln x－3)≥2f (3)－f (－2mx ＋ln x ＋3)在x ∈[1,3]上恒成立，则实数m 的取值范围是______________．答案12e ，1＋ln 36解析∵函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数．又f (2mx －ln x －3)≥2f (3)－f (－2mx ＋ln x ＋3)＝2f (3)－f (2mx －ln x －3)，∴f (2mx －ln x －3)≥f (3)．由题意可得函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．∴|2mx －ln x －3|≤3对x ∈[1,3]恒成立，∴－3≤2mx －ln x －3≤3对x ∈[1,3]恒成立，即ln x2x ≤m ≤ln x ＋62x对x ∈[1,3]恒成立．令g (x )＝ln x2x ，x ∈[1,3]，则g ′(x )＝1－ln x 2x 2∴g (x )在[1，e ]上单调递增，在(e,3]上单调递减，∴g (x )max ＝g (e)＝12e .令h (x )＝ln x ＋62x ，x ∈[1,3]，则h ′(x )＝－5－ln x2x 2<0，∴h (x )在[1,3]上单调递减，∴h (x )min ＝h (3)＝6＋ln 36＝1＋ln 36.综上可得实数m 的取值范围为12e ，1＋ln 36.三、解答题(本大题共70分)17．(10分)(2019·辽宁重点高中联考)已知函数f (x )＝x 3＋mx 2－m 2x ＋1(m 为常数，且m >0)有极大值9.(1)求m 的值；(2)若斜率为－5的直线是曲线y ＝f (x )的切线，求此直线方程．解(1)f ′(x )＝3x 2＋2mx －m 2＝(x ＋m )(3x －m )＝0，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝13m ，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：f ′(x )＋0－0＋f (x )增极大值减极小值增从而可知，当x ＝－m 时，函数f (x )取得极大值9，即f (－m )＝－m 3＋m 3＋m 3＋1＝9，∴m ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋1，依题意知f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝－5，∴x ＝－1或x ＝－13，又f (－1)＝6，＝6827，所以切线方程为y －6＝－5(x ＋1)或y －6827＝－即5x ＋y －1＝0或135x ＋27y －23＝0.18．(12分)(2019·成都七中诊断)已知函数f (x )＝x sin x ＋2cos x ＋ax ＋2，其中a 为常数．(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝π2处的切线斜率为－2，求该切线的方程；(2)求函数f (x )在x ∈[0，π]上的最小值．解(1)求导得f ′(x )＝x cos x －sin x ＋a ，由f a －1＝－2，解得a ＝－1.此时2，所以该切线的方程为y －2＝－2x ＋y －2－π＝0.(2)对任意x ∈[0，π]，f ″(x )＝－x sin x ≤0，所以f ′(x )在[0，π]内单调递减．当a ≤0时，f ′(x )≤f ′(0)＝a ≤0，∴f (x )在区间[0，π]上单调递减，故f (x )min ＝f (π)＝a π.当a ≥π时，f ′(x )≥f ′(π)＝a －π≥0，∴f (x )在区间[0，π]上单调递增，故f (x )min ＝f (0)＝4.当0<a <π时，因为f ′(0)＝a >0，f ′(π)＝a －π<0，且f ′(x )在区间[0，π]上单调递减，结合零点存在定理可知，存在唯一x 0∈(0，π)，使得f ′(x 0)＝0，且f (x )在[0，x 0]上单调递增，在[x 0，π]上单调递减．故f (x )的最小值等于f (0)＝4和f (π)＝a π中较小的一个值．①当4π≤a <π时，f (0)≤f (π)，故f (x )的最小值为f (0)＝4.②当0<a <4π时，f (π)≤f (0)，故f (x )的最小值为f (π)＝a π.综上所述，函数f (x )的最小值f (x )min，a ≥4π，π，a <4π.19．(12分)(2019·武汉示范高中联考)已知函数f (x )＝4ln x －mx 2＋1(m ∈R )．(1)若函数f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y －1＝0平行，求实数m 的值；(2)若对于任意x ∈[1，e ]，f (x )≤0恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)∵f (x )＝4ln x －mx 2＋1，∴f ′(x )＝4x －2mx ，∴f ′(1)＝4－2m ，∵函数f (x )在(1，f (1))处的切线与直线2x －y －1＝0平行，∴f ′(1)＝4－2m ＝2，∴m ＝1.(2)∵对于任意x ∈[1，e ]，f (x )≤0恒成立，∴4ln x －mx 2＋1≤0，在x ∈[1，e ]上恒成立，即对于任意x ∈[1，e ]，m ≥4ln x ＋1x 2恒成立，令g (x )＝4ln x ＋1x 2，x ∈[1，e ]，g ′(x )＝2(1－4ln x )x 3，令g ′(x )>0，得1<x <14e ，令g ′(x )<0，得14e <x <e ，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化如下表：x 14(1,e )14e14(e ,e)g ′(x )＋0－g (x )极大值∴函数g (x )在区间[1，e ]上的最大值g (x )max ＝g (14e )＝141244ln e 1(e )+＝2e e ，∴m ≥2ee，即实数m 的取值范围是2ee ，＋20．(12分)已知函数f (x )＝ln x －ax (ax ＋1)，其中a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在(0,1]内至少有1个零点，求实数a 的取值范围．解(1)依题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x －2a 2x －a ＝2a 2x 2＋ax －1－x ＝(2ax －1)(ax ＋1)－x，当a ＝0时，f (x )＝ln x ，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，由f ′(x )>0，得0<x <12a，由f ′(x )<0，得x >12a，函数f (x )当a <0时，由f ′(x )>0，得0<x <－1a ，由f ′(x )<0，得x >－1a ，函数f (x )－1a，＋.(2)①当a ＝0时，函数f (x )在(0，1]内有1个零点x 0＝1;②当a >0时，由(1)知函数f (x )若12a ≥1，即0<a ≤12时，f (x )在(0,1]上单调递增，由于当x →0时，f (x )→－∞且f (1)＝－a 2－a <0知，函数f (x )在(0,1]内无零点；若0<12a <1，即当a >12时，f (x )1上单调递减，要使函数f (x )在(0,1]内至少有1个零点，只需满足0，即ln 12a ≥34，又∵a >12，∴ln 12a <0，∴不等式不成立．∴f (x )在(0,1]内无零点；③当a <0时，由(1)知函数f (x )－1a，＋若－1a ≥1，即－1≤a <0时，f (x )在(0,1]上单调递增，由于当x →0时，f (x )→－∞，且f (1)＝－a 2－a >0，知函数f (x )在(0,1]内有1个零点；若0<－1a <1，即a <－1时，函数f (x )－1a，1上单调递减，由于当x →0时，f (x )→－∞，且当a <－1时，，知函数f (x )在(0,1]内无零点．综上可得a 的取值范围是[－1,0]．21．(12分)(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)在工业生产中，对一正三角形薄钢板(厚度不计)进行裁剪可以得到一种梯形钢板零件，现有一边长为3(单位：米)的正三角形钢板(如图)，沿平行于边BC 的直线DE 将△ADE 剪去，得到所需的梯形钢板BCED ，记这个梯形钢板的周长为x (单位：米)，面积为S (单位：平方米)．(1)求梯形BCED 的面积S 关于它的周长x 的函数关系式；(2)若在生产中，梯形BCED 试确定这个梯形的周长x 为多少时，该零件才可以在生产中使用？解(1)∵DE ∥BC ，△ABC 是正三角形，∴△ADE 是正三角形，AD ＝DE ＝AE ，BD ＝CE ＝3－AD ，则DE ＋2(3－AD )＋3＝9－AD ＝x ，S ＝(3＋AD )·(3－AD )·sin 60°2＝3(12－x )(x －6)4(6<x <9)，化简得S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)．故梯形BCED 的面积S 关于它的周长x 的函数关系式为S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)．(2)∵由(1)得S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)，令f (x )＝S x ＝x －72x ＋x <9)，∴f ′(x )1令f ′(x )＝0，得x ＝62或x ＝－62(舍去)，f (x )，f ′(x )随x 的变化如下表：x(6,62)62(62，9)f ′(x )＋0－f (x )单调递增极大值单调递减∴当x ＝62时，函数f (x )＝S x有最大值，为f (62)＝923－36.∴当x ＝62米时，该零件才可以在生产中使用．22．(12分)(2019·衡水中学调研)已知函数f (x )＝k e x －x 2(其中k ∈R ，e 是自然对数的底数)．(1)若k ＝2，当x ∈(0，＋∞)时，试比较f (x )与2的大小；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，求k 的取值范围，并证明：0<f (x 1)<1.解(1)当k ＝2时，f (x )＝2e x －x 2，则f ′(x )＝2e x －2x ，令h (x )＝2e x －2x ，h ′(x )＝2e x －2，由于x ∈(0，＋∞)，故h ′(x )＝2e x －2>0，于是h (x )＝2e x －2x 在(0，＋∞)上为增函数，所以h (x )＝2e x －2x >h (0)＝2>0，即f ′(x )＝2e x －2x >0在(0，＋∞)上恒成立，从而f (x )＝2e x －x 2在(0，＋∞)上为增函数，故f (x )＝2e x －x 2>f (0)＝2.(2)函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是f ′(x )＝k e x －2x ＝0的两个根，即方程k ＝2x ex 有两个根，设φ(x )＝2x e x ，则φ′(x )＝2－2x ex ，当x <0时，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增且φ(x )<0；当0<x <1时，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增且φ(x )>0；当x >1时，φ′(x )<0，函数φ(x )单调递减且φ(x )>0.作出函数φ(x )的图象如图所示，要使方程k ＝2x e x 有两个根，只需0<k <φ(1)＝2e，故实数k f (x )的两个极值点x 1，x 2满足0<x 1<1<x 2，由f ′(x 1)＝1e x k －2x 1＝0得k ＝112e x x ，所以f (x 1)＝1e x k －x 21＝112e x x 1e x －x 21＝－x 21＋2x 1＝－(x 1－1)2＋1，由于x 1∈(0,1)，所以0<－(x 1－1)2＋1<1，所以0<f (x 1)<1.。

2019年高考文科数学考点梳理之导数的概念及计算和导数的应用汇编

2019年高考文科数学考点梳理之导数的概念及计算和导数的应用汇编考点11 导数的概念及计算1．导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景. （2）理解导数的几何意义. 2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数y =C （C 为常数），21,,y x y x y x===的导数. （2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. • 常见基本初等函数的导数公式：1()0();(),n n C C x nx n -+''==∈N 为常数； (sin )cos ;(cos )sin x x x x ''==-；(e )e ;()ln (0,1)x x x x a a a a a ''==>≠且；11(ln );(log )log e(0,1)a a x x a a x x''==>≠且. • 常用的导数运算法则：法则1：()()()()u x v x u x v x ±'⎡⎦'⎤±⎣'＝.法则2：()()()()()()·u x v x u x v x u x v x ⎡⎤⎣⎦'''＝＋.法则3：2()()()()()[](()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ''-'=≠.一、导数的概念 1．平均变化率函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率为2121()()f x f x x x --，若21x x x ∆=-，2()y f x ∆=-1()f x ，则平均变化率可表示为y x∆∆.2．瞬时速度一般地，如果物体的运动规律可以用函数()s s t =来描述，那么，物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t +∆这段时间内，当t ∆无限趋近于0时，st∆∆无限趋近的常数. 3．瞬时变化率4．导数的概念一般地，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlim x x f x +x f x yx x∆→∆→∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即00()l i mx yf x x ∆→∆'==∆000()()lim x f x +x f x x∆→∆-∆.【注】函数()y f x =在0x x =处的导数是()y f x =在0x x =处的瞬时变化率. 5．导函数的概念如果函数()y f x =在开区间(a ，b )内的每一点都是可导的，则称()f x 在区间(a ，b )内可导．这样，对开区间(a ，b )内的每一个值x ，都对应一个确定的导数()f x '，于是在区间(a ，b )内()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数(简称导数)，记为()f x '或y '，即()f x y ''==0()()li mx f x +x f x x∆→∆-∆.二、导数的几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k ，即0000()()()limx f x +x f x k f x x∆→∆-'==∆.【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．（1）当点P (x 0，y 0)是切点时，切线方程为y −y 0=f ′(x 0)(x −x 0)；（2）当点P (x 0，y 0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y −f (x 1)=f ′ (x 1)(x −x 1)；第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y −f (x 1)=f ′(x 1)(x −x 1)，可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．三、导数的计算1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则（1）()()()()u x v x u x v x ±'⎡⎦'⎤±⎣'＝.（2）()()()()()()·u x v x u x v x u x v x ⎡⎤⎣⎦'''＝＋.（3）2()()()()()[](()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ''-'=≠. 3．复合函数的导数复合函数y=f (g (x ))的导数和函数y=f (u )，u=g (x )的导数间的关系为y x ′=y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．考向一导数的计算1．导数计算的原则和方法（1）原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．（2）方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导. 2．求复合函数的导数的关键环节和方法步骤（1）关键环节：①中间变量的选择应是基本函数结构； ②正确分析出复合过程；③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； ④善于把一部分表达式作为一个整体； ⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数. （2）方法步骤：①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量； ②求每一层基本初等函数的导数；③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.典例1 求下列函数的导函数：（1）42356y x x x --=+；（2）21y x x=+；（3）2cos y x x =；（4）tan y x =.【名师点睛】熟记基本初等函数的求导公式，导数的四则运算法则是正确求导数的基础.（1）运用基本初等函数求导公式和运算法则求函数()y f x =在开区间(a ,b )内的导数的基本步骤： ①分析函数()y f x =的结构和特征；②选择恰当的求导公式和运算法则求导；③整理得结果.（2）对较复杂的函数求导数时，先化简再求导.如对数函数的真数是根式或分式时，可用对数的性质将真数转化为有理式或整式求解更为方便；对于三角函数，往往需要利用三角恒等变换公式，将函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导.1．已知函数2()22(1(1))f x x x f f ++'=，则()2f '的值为A ．2-B ．0C ．4-D ．6-考向二导数的几何意义求曲线y =f (x )的切线方程的类型及方法（1）已知切点P (x 0, y 0)，求y =f (x )过点P 的切线方程：求出切线的斜率f ′(x 0)，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k ，求y =f (x )的切线方程：设切点P (x 0, y 0)，通过方程k =f ′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求y =f (x )的切线方程：设切点P (x 0, y 0)，利用导数求得切线斜率f ′(x 0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k =f ′(x 0)求出切点坐标(x 0, y 0)，最后写出切线方程．（5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上.②过点P 的切线即切线过点P ，P 不一定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是否在已知曲线上．典例2 已知函数2ln y x x =.（1）求这个函数的图象在1x =处的切线方程；（2）若过点()0,0的直线l 与这个函数图象相切，求直线l 的方程. 【解析】（1）2ln y x x x '=+，当1x =时，0,1y y '==，∴这个函数的图象在1x =处的切线方程为1y x =-.【规律总结】求切线方程的步骤： (1)利用导数公式求导数． (2)求斜率． (3)写出切线方程．注意导数为0和导数不存在的情形．2．已知函数，则函数的图象在处的切线方程为A ．B ．C ．D ．1．函数在处的导数是A ．0B ．1C ．D ．2．已知函数的导函数是，且，则实数的值为A ．B ．C ．D ．13．设函数的导函数记为，若，则A ．-1B ．C ．1D ．34．已知函数的图象如图，是的导函数，则下列数值排序正确的是A ．B ．C ．D ．5．已知过曲线e xy =上一点()00,P x y 作曲线的切线，若切线在y 轴上的截距小于0，则0x 的取值范围是A ．()0,+∞BC ．()1,+∞D ．()2,+∞6．已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，则A ．B ．C ．D ．7．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：300()2t M t M -=，其中0M 为0t =时铯137的含量，已知30t =时，铯137含量的变化率为10ln 2-(太贝克/年)，则(60)M = A ．5太贝克 B ．75ln 2太贝克 C ．150ln 2太贝克 D ．150太贝克8．设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为 A ． B ． C ．D ．9，则(1)f '=__________． 10．已知函数的导函数为，且满足，则_________．11．曲线的切线方程为，则实数的值为_________．12．曲线250xy x y -+-=在点()1,2A 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为_________． 13．求下列函数的导数：（1）21cos xy x +=；（2）()3ln xy x x =⋅-.14．已知函数()32f x x bx cx d =+++的图象过点()0,2P ，且在点()()1,1M f --处的切线方程为670x y -+=．（1）求()1f -和()1f '-的值；（2）求函数()f x 的解析式．1．（2018新课标全国Ⅰ文科）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =2．（2016山东文科）若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 A ．y =sin x B ．y =ln x C ．y =e xD ．y =x 33．（2016四川文科）设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln 01,ln ,1x x x x -<<⎧⎨>⎩，图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,+∞)D ．(1,+ ∞)4．（2018天津文科）已知函数f (x )=e xln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′（1）的值为__________． 5．（2018新课标全国Ⅱ文科）曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为__________．6．（2017天津文科）已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为___________．7．（2017北京文科节选）已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；8．（2017山东文科节选）已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R . （Ⅰ）当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；9．（2017天津文科节选）设,a b ∈R ，||1a ≤.已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()e ()x g x f x =. （Ⅱ）已知函数()y g x =和e x y =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；10．（2017浙江节选）已知函数f (x )=(x e x -(12x ≥)．（Ⅰ）求f (x )的导函数；2．【答案】C【解析】∵，∴，∴，又，∴所求切线方程为，即．故选C．1．【答案】C【解析】因为，故选C．2．【答案】B【解析】，选B．3．【答案】D【解析】根据题意，得，由，得，化简可得，即，故选D．4．【答案】C【解析】结合函数的图象可知过点的切线的倾斜角较大，过点的切线的倾斜角较小，又因为过点的切线的斜率，过点的切线的斜率，直线的斜率，故，应选C.5．【答案】C【解析】因为()0e xk f x'==，所以切线方程为()00e xy y x x-=-，即()00e ex xy x x-=-，令0x=得()01e xy x=-，截距小于0时，()01e0xy x=-<，解得1x>，故选C．6．【答案】D【解析】令G （x ）=()exf x ，则G ′（x ）==2x -2，可设G （x ）=x 2+c ，∵G （0）=f （0）=1，∴c =1．∴f （x ）=（x 2+1）ex故选D.8．【答案】C【解析】因为切线，的切点分别为而，所以.因为，所以(.因为，所以，因此，选C ．9．【答案】12.【解析】 1x =，得()()111f f ='-'，解得 10．【答案】【解析】求导得，把代入得，解得．11．【答案】212．【答案】496【解析】由250xy x y -+-=，得()52x y f x x +==+，∴()()232f x x -='+，∴()113f '=-， ∴曲线在点()1,2A 处的切线方程为()1213y x -=--．令0x =，得73y =；令0y =，得7x =． ∴切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为17497236S =⨯⨯=． 13．【解析】（1()()()24sin 1cos 2x x x x x --+⋅=3sin 2cos 2x x x x++=-. （2）()()()3ln 3ln xxy x x x x '⋅⋅''=-+-()13ln3ln 31x x x x x ⎛⎫=⋅⋅-+⋅- ⎪⎝⎭13ln3ln ln31x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.14．【解析】（1）∵()f x 在点()()1,1M f --处的切线方程为670x y -+=，故点()()1,1f --在切线670x y -+=上，且切线斜率为6，得()11f -=且()16f '-=．（2）∵()f x 过点()0,2P ，∴2d =，∵()32f x x bx cx d =+++，∴2()32f x x bx c '=++，由()16f '-=得326b c -+=，又由()11f -=，得11b c d -+-+=，联立方程得232611d b c b c d =-+==-+-+⎧⎪⎨⎪⎩，解得332b c d ⎧=-=-=⎪⎨⎪⎩，故()32332f x x x x =--+．1．【答案】D 【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.【名师点睛】该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 2．【答案】A【解析】当sin y x =时，cos y x '=，cos 0cos 1⋅π=-，所以在函数sin y x =的图象上存在两点，使条件成立，故A 正确；函数3ln ,e ,x y x y y x ===的导数值分别为10,e 0,x y y y x'''=>=>=230x ≥，不符合题意，故选A ． 3．【答案】A【解析】设111222(,ln ),(,ln )P x x P x x -(不妨设121,01x x ><<)，则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程为1111ln ()y x x x x -=-，切线2l 的方程为2221ln ()y x x x x +=--，即1111ln ()y x x x x -=--.分别令0x =得11(0,1ln ),(0,1ln ).A x B x -++又1l 与2l 的交点为2111221121(,ln ).11x x P x x x -+++211122112111,||||1,01211PABA B P PABx x x S y y x S x x +>∴=-⋅=<=∴<<++△△，故选A.4．【答案】e【解析】由函数的解析式可得，则.即的值为e.【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．【答案】y =2x –2 【解析】由，得.则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理. 6．【答案】1【解析】由题可得(1)f a =，则切点为(1,)a ，因为1()f x a x'=-，所以切线l 的斜率为(1)1f a '=-，切线l 的方程为(1)(1)y a a x -=--，令0x =可得1y =，故l 在y 轴上的截距为1．【名师点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题型，函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '的几何意义是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率，切线方程为000()()y y f x x x '-=-．解题时应注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同，没切点应设出切点坐标，建立方程组进行求解．7．【解析】（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0x f x x x f ''=--=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.9．【解析】（II ）（i ）因为()e (()())xx x g'f f 'x =+，由题意知000()e ()exx x x g g'⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以0000000()e e e (()())ex x xx f f f x 'x x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得00()1()0f 'x x f =⎧⎨=⎩. 所以，()f x 在0x x =处的导数等于0. 10．【解析】（Ⅰ）因为(1x '=，(e )e x x '--=-，所以()(1(x xf x x --'=-1)2xx -=>．考点12 导数的应用1．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 2．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.一、导数与函数的单调性一般地，在某个区间(a ,b )内：（1）如果()0f x '>，函数f (x )在这个区间内单调递增; （2）如果()0f x '<，函数f (x )在这个区间内单调递减; （3）如果()=0f x '，函数f (x )在这个区间内是常数函数．注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；（2）在某个区间内，()0f x '>(()0f x '<)是函数f (x )在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数3()f x x =在定义域(,)-∞+∞上是增函数，但2()30f x x '=≥.（3）函数f (x )在(a ,b )内单调递增(减)的充要条件是()0f x '≥(()0f x '≤)在(a ,b )内恒成立，且()f x '在(a ,b )的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有()0f x '=,不影响函数f (x )在区间内的单调性. 二、利用导数研究函数的极值和最值 1．函数的极值一般地，对于函数y =f (x )，（1）若在点x =a 处有f ′(a )=0，且在点x =a 附近的左侧()0f 'x <，右侧()0f 'x >，则称x=a 为f (x )的极小值点，()f a 叫做函数f (x )的极小值.（2）若在点x =b 处有()f 'b =0，且在点x=b 附近的左侧()0f 'x >，右侧()0f 'x <，则称x=b 为f (x )的极大值点，()f b 叫做函数f (x )的极大值．（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 2．函数的最值函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，求()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤为：（1）求()f x 在(,)a b 内的极值；（2）将函数()f x 的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3．函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[,]a b 的整体而言；（2）在函数的定义区间[,]a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数f (x )的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 三、生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有力工具.解决优化问题的基本思路是：考向一利用导数研究函数的单调性1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式()0f x '>（()0f x '<）在给定区间上恒成立．一般步骤为：（1）求f ′(x )；（2）确认f ′(x )在(a ,b )内的符号；（3）作出结论，()0f x '>时为增函数，()0f x '<时为减函数．注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R 可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.3．由函数()f x 的单调性求参数的取值范围的方法（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤)(()f x '在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是()0f x '>(或()0f x '<)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；（3）若已知()f x 在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出()f x 的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.典例1 已知函数，其中.（1）函数的图象能否与轴相切?若能，求出实数，若不能，请说明理由；（2）讨论函数的单调性.（2）由于，当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减；当时，由得或，①当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当，，单调递增；②当时，，单调递增；③当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增.综上，当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数；当时，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数.典例2 设函数2()e ln x f x a x =-.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（2）证明：当0a >时，2()2lnf x a a a≥+. 【解析】（1）()f x 的定义域为(0+)，¥，2()=2e (0)x af x x x¢->. 当0a £时,()0f x ¢>，()f x ¢没有零点；当0a >时，因为2=e x y 单调递增，ay x=-单调递增，所以()f x ¢在(0+)，¥上单调递增. 又()0f a ¢>,当b 满足04a b <<且14b <时，()0f b ¢<,故当0a >时，()f x ¢存在唯一零点.（2）由（1），可设()f x ¢在(0+)，¥上的唯一零点为0x . 当0(0)x x ,Î时，()0f x ¢<;当0(+)x x ，违时，()0f x ¢>. 故()f x 在0(0)x ,上单调递减，在0(+)x ，¥上单调递增，所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x . 由于0202e=0x a x -，所以02000022()=e ln 2ln 2ln 2xa f x a x ax a a a x a a -=++?（当且仅当0022aax x =，即012x =时，等号成立）.故当0a >时，2()2lnf x a a a?.1（1）当1a =时，求()y f x =在0x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在[]1,1-上单调递减，求实数a 的取值范围.考向二利用导数研究函数的极值和最值1．函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．（2）求函数()f x 极值的方法： ①确定函数()f x 的定义域． ②求导函数()f x '． ③求方程()0f x '=的根．④检查()f x '在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果()f x '在这个根的左、右两侧符号不变，则()f x 在这个根处没有极值．（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f x '，求方程()0f x '=的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围. 2．求函数f (x )在[a ,b ]上最值的方法（1）若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．（2）若函数f (x )在区间(a ,b )内有极值，先求出函数f (x )在区间(a ,b )上的极值，与f (a )、f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（3）函数f (x )在区间(a ,b )上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定. 3．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，()f x a ≥恒成立，只需min ()f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.典例3 已知函数21()e 2xf x ax x =-+．（1）当1a >-时，试判断函数()f x 的单调性；（2）若1e a <-，求证：函数()f x 在[1,)+∞上的最小值小于12．（2）由（1）知()f 'x 在[1,)+∞上单调递增，因为1e a <-，所以()e 110f 'a =-+<，所以存在(1,)t ∈+∞，使得()0f 't =，即e 0t t a -+=，即e t a t =-，所以函数()f x 在[1,)t 上单调递减，在(,)t +∞上单调递增，所以当[1,)x ∈+∞时222min 111()()e e (e )e (1)222t t t t f f t at t t t t t x t ==-+=-+-=-+，令21()e (1)2x h x x x =-+，1x >，则()(1e )0x h'x x =-<恒成立，所以函数()h x 在(1,)+∞上单调递减，所以211()e(11)122h x <-+⨯=，所以211e (1)22tt t -+<，即当[1,)x ∈+∞时min 1()2x f <，故函数()f x 在[1,)+∞上的最小值小于12．典例4 已知函数，.（1）若曲线与曲线在它们的交点处的公共切线为，求，，的值；（2）当时，若，，求的取值范围.【解析】（1）设它们的公共交点的横坐标为，则.，则，①；，则，②.由②得，由①得.将，代入得，∴，.（2）由，得，即在上恒成立，令，则，其中在上恒成立，∴在上单调递增，在上单调递减，则，∴.故的取值范围是.2．已知函数()1 lnf x a x xx=+-，其中a为实常数.（1）若12x=是()f x的极大值点，求()f x的极小值；（2）若不等式1lna xb xx-≤-对任意52a-≤≤，122x≤≤恒成立，求的最小值.考向三（导）函数图象与单调性、极值、最值的关系1．导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些.2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x 轴的交点的横坐标为函数的极值点.典例 5 设函数2()f x ax bx c =++（a ，b ，c ∈R ），若函数()e x y f x =在1x =-处取得极值，则下列图象不可能为()y f x =的图象是【答案】D【解析】2()e ()e e [(2)]x x x y f x f x ax a b x b c ''=+=++++，因为函数()e x y f x =在1x =-处取得极值，所以1x =-是2(2)0ax a b x b c ++++=的一个根，整理可得c a =，所以2()f x ax bx a =++，对称轴对于A,由图可得0,(0)0,(1)0a f f >>-=，适合题意；对于B,由图可得0,(0)0,(1)0a f f <<-=，适合题意；对于C, 对于D, D.3．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数A ．有极大值，没有最大值B ．没有极大值，没有最大值C ．有极大值，有最大值D ．没有极大值，有最大值考向四生活中的优化问题1．实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值.若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值. 2．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．典例 6 如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线CP PQ-，其中为上异于的一点，与平行，设.（1）证明：观光专线CP PQ-的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路CP的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线CP PQ-的修建总成本最低？请说明理由.【解析】（1）由题意，，所以π3CPθ=-，又，所以观光专线的总长度为，，因为当时，，所以在上单调递减，即观光专线CP PQ-的总长度随的增大而减小.（2）设翻新道路的单位成本为，则总成本，，，令，得，因为，所以，当时，；当时，.所以，当时，最小.答：当时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低.4．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（1）将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；（2）讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．1．已知函数()()2e e ln exf x f x '=-（e 是自然对数的底数），则()f x 的极大值为 A ．2e-1 B ．C ．1D ．2ln22．已知函数，则的单调递减区间为A ．B ．C ．和D ．和3．函数在闭区间上的最大值，最小值分别是A ．B ．C ．D ．4．设定义在上的函数的导函数满足，则 A ．B ．C ．D ．5．若函数在上有最小值，则的取值范围为A ．B ．C ．D ．6．已知函数()22,2e 2,2x x xx f x x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，函数有两个零点，则实数的取值范围为A ．B ．C ．D ．7．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的序号是________．①当x ＝时函数取得极小值； ②f (x )有两个极值点； ③当x ＝2时函数取得极小值；④当x ＝1时函数取得极大值．8．已知函数．若函数在定义域内不是单调函数，则实数的取值范围是__________． 9．定义在上的函数满足，则当时，与的大小关系为__________.(其中为自然对数的底数)10．用一张16cm 10cm ⨯的长方形纸片，经过折叠以后，糊成了一个无盖的长方体形纸盒，则这个纸盒的最大容积是_________3cm .11．已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值16c -. （1）求a 、b 的值；（2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[3,3]-上的最小值.12．如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD 及其矩形附属设施EFGH ，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为O ，半径为R ，矩形的一边AB 在直径上，点C 、D 、G 、H 在圆周上，E 、F 在边CD BOC θ∠=.（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为()fθ，求()f θ的表达式；（2）当cos θ为何值时，能符合园林局的要求？13．设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，且在区间上恒成立，求的取值范围.14．设.（1）在上单调，求的取值范围；（2）已知在处取得极小值，求的取值范围.15．已知函数．（1）若曲线的切线经过点，求的方程；（2）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．1．（2016四川文科）已知a 为函数()3–12f x x x =的极小值点，则a =A ．–4B ．–2C ．4D ．22．（2017浙江）函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是3．（2016新课标全国Ⅰ文科）若函数1()sin2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是 A ．[1,1]-B ．1[1,]3-C ．11[,]33-D ．1[1,]3--4．（2017浙江）已知函数f (x )=（x e x -（12x ≥）．（1）求f (x )的导函数；。

备战2024年高考数学大一轮老教材人教A版理第三章培优课隐零点与极值点偏移问题

1 a2
.
由题设知ln ln
x1－ax1＋b＝0， x2－ax2＋b＝0，
两式相减得 ln xx12－a(x1－x2)＝0，即 a＝xl1n－xxx122，
故要证 x1x2<a12，
即证 x1x2<xl1n－xxx1222＝xx12－2＋xx21，
12
当 a＝12时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当 0<a<12时，f(x)的单调递增区间为(0,2)，1a，＋∞.
12
(2)当a＝0时，证明：f(x)<2ex－x－4 .(其中e为自然对数的底数)
12
当a＝0时，由f(x)<2ex－x－4化简得ex－ln x－2>0，构造函数h(x)＝ex－ln x－2(x>0)， h′(x)＝ex－1x，令 g(x)＝h′(x)，则 g′(x)＝ex＋x12>0，h′(x)在 (0，＋∞)上单调递增， h′12＝ e－2<0，h′(1)＝e－1>0，
故存在 x0∈12，1，使得 h′(x0)＝0，即 ex0 ＝x10.
当x∈(0，x0)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
12
当x∈(x0，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增.
所以当x＝x0时，h(x)取得极小值，也是最小值.
h(x)min＝h(x0)＝
e x0
－ln
x0－2＝x10－ln
当x∈(0，x0)时，φ(x)<0，h′(x)<0，h(x)在(0，x0)上单调递减；当x∈(x0，＋∞)时，φ(x)>0，h′(x)>0，h(x)在(x0，＋∞)上单调递增，故h(x)min＝h(x0)＝x0ex01－ln x0－x0－2，又因为φ(x0)＝0，即ex0 1＝x10，所以h(x0)＝－ln x0－x0－1＝(x0＋1)－x0－1＝0，从而h(x)≥h(x0)＝0，即f(x)≥g(x).

高考数学一轮复习第3章导数及其应用第13节导数的概念与运算课件文

∴y′|x＝x0＝－12＋x10. 依题意，知－12＋x10＝12，∴x0＝1，则 P1，－12. 又切点 P1，－12在直线 y＝12x＋b 上，故－12＝12＋b，得 b＝－1.
2021/12/13
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命题角度 3 导数与函数图象
(2018 许昌模拟)已知函数 y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
C．y＝2x
D．y＝x
【答案】D
2021/12/13
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【解析】∵ f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax， ∴ f ′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a. 又 f(x)为奇函数， ∴ f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax 恒成立， ∴ a＝1，∴ f ′(x)＝3x2＋1， ∴ f ′(0)＝1， ∴ 曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y＝x. 故选 D.
2.(2018 江西南昌六校联考)若曲线 y＝ax2＋bx(a，b 为常数)过点 P(2，－5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 2x－7y＋3＝0 垂直，则 a＋b 的值等于________．
【答案】－3
2021/12/13
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【解析】∵直线 2x－7y＋3＝0 的斜率 k＝27， ∴切线的斜率为－72， ∵曲线 y＝ax2＋bx(a，b 为常数)过点 P(2，－5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 2x－7y＋3＝0 垂直，
【答案】0
2021/12/13
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【解析】由题意可知，直线 y＝kx＋2 与曲线 y＝f(x)的切点为(3,1)，则可得1f＝3＝3k＋1，2

版高考数学一轮复习第三章导数及其应用 3.2 利用导数研究函数的单调性练习理北师大版试题

3.2 利用导数研究函数的单调性核心考点·精准研析考点一不含参数的函数的单调性1.函数y=xlnx的单调递减区间是( )A.(-∞,e-1)B.(e-1,+∞)C.(e,+∞)D.(0,e-1)2.函数f(x)=的单调递增区间为.3.(2019·某某高考改编)函数f(x)=-lnx+的单调递减区间为________________.4.(2019·某某高考改编)函数f(x)=e x cosx的单调递增区间为___________.【解析】1.选D.函数y=xlnx的定义域为(0,+∞),因为y=xlnx,所以y′=lnx+1,令y′<0得0<x<e-1,所以减区间为(0,e-1).2.因为f(x)=,所以f′(x)=,由f′(x)>0,解得x<-1-或x>-1+.所以f(x)的递增区间为(-∞,-1-)和(-1+,+∞).答案:(-∞,-1-)和(-1+,+∞)3.f(x)=-lnx+的定义域为(0,+∞).f′(x)=-+=,由x>0知>0,2+1>0,所以由f′(x)<0得-2<0,解得0<x<3,所以函数f(x)的单调递减区间为(0,3).答案:(0,3)4.由已知,有f′(x)=e x(cosx-sinx).因此,当x∈(k∈Z)时,有sinx<cosx,得f′(x)>0,则f(x)单调递增.所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).答案:(k∈Z)题2中,若将“f(x)=”改为“f(x)=x2e x”,则函数f(x)的单调递减区间是________________. 【解析】因为f(x)=x2e x,所以f′(x)=2xe x+x2e x=(x2+2x)e x.由f′(x)<0,解得-2<x<0,所以函数f(x)=x2e x的单调递减区间是(-2,0).答案:(-2,0)确定函数单调区间的步骤(1)确定函数y=f(x)的定义域.(2)求f′(x).(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间.(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.【秒杀绝招】排除法解T1,根据函数的定义域排除A,已知当x∈(1,+∞)时,y=x和y=lnx都是增函数且为正数,所以y=xlnx也是增函数,从而排除B,C.考点二含参数的函数的单调性【典例】已知函数f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x.若a>0,试讨论函数f(x)的单调性.【解题导思】序号题目拆解(1)求f′(x),解方程f′(x)=0求f(x)的定义域,求f′(x)并进行恰当的因式分解,求出方程f′(x)=0的根(2)由f′(x)的符号确定f(x)的单调性用导数为零的实数分割定义域,逐个区间分析导数的符号,确定单调性【解析】因为f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x,所以f′(x)==,由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞),令f′(x)=0得x=1或x=,(1)若<1,即a>,由f′(x)>0得x>1或0<x<,由f′(x)<0得<x<1,即函数f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在上单调递减;(2)若>1,即0<a<, 由f′(x)>0得x>或0<x<1,由f′(x)<0得1<x<, 即函数f(x)在(0,1),上单调递增, 在上单调递减;(3)若=1,即a=,则在(0,+∞)上恒有f′(x)≥0,即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.综上可得:当0<a<时,函数f(x)在(0,1)上单调递增, 在上单调递减,在上单调递增;当a=时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>时,函数f(x)在上单调递增, 在上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.解决含参数的函数的单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性问题,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.(2018·全国卷I改编)已知函数f=-x+alnx,讨论f的单调性.【解析】f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=--1+=-.(1)若a≤2,则f′(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时f′(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.(2)若a>2,令f′(x)=0得,x=或x=.当x ∈∪时,f′(x)<0;当x∈时,f′(x)>0.所以f(x)在,上单调递减,在上单调递增.考点三利用导数解决函数单调性的应用问题命题精解读1.考什么:(1)考查函数图像的识别、比较大小或解不等式、根据函数的单调性求参数等问题.(2)考查直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养及数形结合、转化与化归的思想方法.2.怎么考:与基本初等函数、不等式等综合考查函数的图像及函数的单调性的应用等问题.3.新趋势:以导数法研究函数单调性为基础,综合考查利用单调性比较大小、解不等式及知单调性求参数的X围.学霸好方法由函数的单调性求参数的取值X围的方法(1)可导函数在区间D上单调,实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,从而构建不等式, 求出参数的取值X围,要注意“=”是否可以取到. (2)可导函数在区间D 上存在单调区间,实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集,即f′(x)max>0(或f′(x)min <0)在该区间上有解,从而转化为不等式问题,求出参数的取值X 围.(3)若已知f(x)在区间D 上的单调性,区间D上含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令D 是其单调区间的子集,从而求出参数的取值X围.函数图像的识别【典例】函数f(x)=x2+xsinx的图像大致为( )【解析】选A.因为f(-x)=x2-xsin(-x)=x2+xsinx=f(x),所以f(x)为偶函数,B不符合题意,f(x)=x2+xsinx=x(x+sinx),令g(x)=x+sinx,则g′(x)=1+cosx≥0恒成立,所以g(x)是单调递增函数,则当x>0时,g(x)>g(0)=0,故x>0时,f(x)=xg(x),f′(x)=g(x)+xg′(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,故只有A符合题意.辨别函数的图像主要从哪几个角度分析?提示:从函数奇偶性、单调性、最值及函数图像所过的特殊点等角度分析.比较大小或解不等式【典例】(2019·某某模拟)函数f(x)在定义域R内可导,f(x)=f(4-x),且(x-2)f′(x)>0.若a=f(0),b=f,c=f(3),则a,b,c的大小关系是( )A.c>b>aB.c>a>bC.a>b>cD.b>a>c【解析】选C.由f(x)=f(4-x)可知,f(x)的图像关于直线x=2对称,根据题意知,当x∈(-∞,2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.所以f(3)=f(1)<f<f(0),即c<b<a.单调性比较大小或解不等式,实际上是自变量的大小与相应函数值的大小关系的互推,比较大小时对自变量的取值X围有什么要求?提示:必须在同一个单调区间内.根据函数的单调性求参数【典例】(2019·高考)设函数f(x)=e x+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=________________;若f(x)是R上的增函数,则a的取值X围是__________.【解析】①显然f(0)有意义,又f(x)为奇函数,所以f(0)=0,得a=-1.②因为f(x)是R上的增函数,所以f′(x)=e x-ae-x=≥0恒成立,即g(x)=(e x)2≥a恒成立,又因为g(x)>0,且当x趋向于-∞时,g(x)趋向于0,所以0≥a,即a的取值X围是(-∞,0].答案:-1 (-∞,0]函数f(x)在某区间上是增函数,推出f′(x)>0还是f′(x)≥0?提示:推出f′(x)≥0.1.设函数y=f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图像如图所示,则导函数y=f′(x)可能为( )【解析】选D.由题意得,当x<0时,函数y=f(x)单调递增,故f′(x)>0;当x>0时,函数y=f(x)先增再减然后再增,故导函数的符号为先正再负然后再正.结合所给选项可得D符合题意.2.已知函数f′(x)是函数f(x)的导函数,f(1)=,对任意实数都有f(x)-f′(x)>0,设F(x)=,则不等式F(x)<的解集为 ( )A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(1,e)D.(e,+∞)【解析】选B.根据题意,F(x)=,其导数F′(x)==,又由f(x)-f′(x)>0,则有F′(x)<0,即函数F(x)在R上为减函数,又由f(1)=,则F(1)==,不等式F(x)<等价于F(x)<F(1),则有x>1,则不等式的解集为(1,+∞).3.若f(x)=2x3-3x2-12x+3在区间[m,m+4]上是单调函数,则实数m的取值X围是________________.【解析】因为f(x)=2x3-3x2-12x+3,所以f′(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),令f′(x)>0,得x<-1或x>2;令f′(x)<0,得-1<x<2,f(x)在(-∞,-1]和[2,+∞)上单调递增,在(-1,2)上单调递减.若f(x)在区间[m,m+4]上是单调函数,则m+4≤-1或或m≥2.所以m≤-5或m≥2,则m的取值X围是(-∞,-5]∪[2,+∞).答案:(-∞,-5]∪[2,+∞)(2020·内江模拟)若函数f(x)=ax2+xlnx-x存在单调递增区间,则a的取值X围是( ) A. B.C.(-1,+∞)D.【解析】选B.因为f(x)=ax2+xlnx-x存在单调递增区间,则f′(x)=ax+lnx≥0在(0,+∞)上有解, 即a≥-在(0,+∞)上有解,令g(x)=-,x>0,则g′(x)=,当x>e时,g′(x)>0,g(x)单调递增,当0<x<e时,g′(x)<0,g(x)单调递减,又x→0,g(x)→+∞,x→+∞,g(x)<0且g(x)➝0,因为g(e)=-,所以a≥-,当a=-时,f′(x)=-x+lnx,令h(x)=-x+lnx,则h′(x)=-,当x>e时,h′(x)<0,函数单调递减,当0<x<e时,h′(x)>0,函数单调递增,h(x)≤h(e)=0,即f′(x)≤0恒成立,此时不满足题意,所以a的取值X围是.。

高考数学大一轮复习第三章导数及其应用2第2讲导数与函数的单调性课件文新人教A版

利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式 f′(x)＞0 或 f′(x)＜0 求出单调区间． (2)当方程 f′(x)＝0 可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间 f′(x)的符号，从而确定单调区间． (3)当导函数的方程、不等式都不可解时，根据 f′(x)结构特征，利用图象与性质确定 f′(x)的符号，从而确定单调区间． [提醒] 所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．
1．函数 f(x)的定义域为 R，f(－1)＝2，对任意 x∈R，f′(x)＞
2，则 f(x)＞2x＋4 的解集为( )
A．(－1，1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，＋∞)
解析：选 B.由 f(x)＞2x＋4，得 f(x)－2x－4＞0，设 F(x)＝f(x)
－2x－4，则 F′(x)＝f′(x)－2，因为 f′(x)＞2，所以 F′(x)＞0 在
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)＞0.( ) (2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在此区间内没有单调性．( )
答案：(1)× (2)√
函数 f(x)＝cos x－x 在(0，π)上的单调性是( )
2.由函数的单调性与导数的关系可得的结论 (1)函数 f(x)在(a，b)内可导，且 f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于 0，当 x∈(a，b)时： f′(x)≥0⇔函数 f(x)在(a，b)上单调递增； f′(x)≤0⇔函数 f(x)在(a，b)上单调递减． (2)f′(x)＞0(<0)在(a，b)上成立是 f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充分条件． [提醒] 利用导数研究函数的单调性，要在定义域内讨论导数的符号．

2018版高考数学人教A版(全国)一轮复习课件第三章导数及其应用第1讲

轴的切线，则实数 a 的取值范围是________.
基础诊断
考点突破第二十三页，编辑于星课期堂六：总二十结二点三十分。
解析Βιβλιοθήκη y0＝x0＋1， (1)设切点为(x0，y0)，y′＝x＋1 a，所以有x0＋1 a＝1，
y0＝ln（x0＋a），
x0＝－1，解得y0＝0，
a＝2.
(2)∵f(x)＝12x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋1x.
∵f(x)存在垂直于 y 轴的切线，∴f′(x)存在零点，∴x＋1x－a
＝0 有解，∴a＝x＋1x≥2(x>0). 答案 (1)B (2)[2，＋∞)
基础诊断
考点突破第二十四页，编辑于星课期堂六：总二十结二点三十分。
命题角度三公切线问题【例2－3】 (2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的
基础诊断
考点突破第十三页，编辑于星期课六堂：二总十结二点三十分。
5.(2017·西安月考)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为 y＝2x，则a＝________.
解析 y′＝a－x＋1 1，由题意得 y′|x＝0＝2，即 a－1＝2，所以 a＝3. 答案 3
基础诊断
考点突破第十四页，编辑于星期课六堂：二总十结二点三十分。
________.
(2)(2017·威海质检)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)
，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为( )
A.x＋y－1＝0
B.x－y－1＝0
C.x＋y＋1＝0
D.x－y＋1＝0
基础诊断
考点突破第二十页，编辑于星期课六堂：二总十结二点三十分。
解析 (1)设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x. 又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x. 因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2. 则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.

高考数学一轮复习第三章导数及其应用1导数的概念及运算课件新人教A版文

-24考点1
考点2
考向三已知切线方程(或斜率)求参数的值
例4已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则
(
)
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1
思考已知切线方程(或斜率)求参数的值的关键是什么?
关闭
∵y'=aex+ln x+1,
1
双基自测
2
3
4
5
3.函数f(x)的导函数
一般地,如果函数y=f(x)在区间(a,b)上的每一点处都有导数,导数
f(x+x)-f(x)
,则
x
Δ→0
值记为 f'(x),且 f'(x)= lim
为f(x)的
导函数
f'(x)是关于 x 的函数,称 f'(x)
,通常也简称为导数.
-7知识梳理
双基自测
知点在切线上求解.
2.已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,
再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入
函数解析式求出切点的纵坐标.
3.已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等
于切线斜率的方程.
-26考点1
考点2
对点训练 2(1)已知曲线
3π
,则实数
∴f'(x)=sin x,∴f'
π
6
1
= 2.
(2)解:①y'=(x2)'sin x+x2(sin x)'=2xsin x+x2cos x.
②y'= ln +