命题的形式及其等价关系
4命题的形式及等价关系--学生
精锐教育学科教师辅导教案学员编号：年级：高一课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：桂阳阳课程主题：命题的形式及等价关系授课时间：学习目标命题的形式及等价关系教学内容内容回顾知识精讲知识点一命题的形式及等价关系【知识梳理】1.命题的概念：可以判断真假的语句叫做命题；2.四种命题形式：原命题，逆命题，否命题，逆否命题；原命题：若α，则β；逆命题：若β，则α；否命题：若α，则β；（α表示α的否定，β表示β的否定）逆否命题：若β，则α；3.等价命题：如果B A 、是两个命题，A B B A ⇒⇒,，那么B A 、叫等价命题。
4.四种命题形式及其相互关系:的图像经过第一、二、三象限；知BA B中，若|AC6、已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7、已知命题甲：4a b +≠,命题乙:1≠a 且3≠a ，则命题甲是命题乙的条件8、1122123639x x x x x x >+>⎧⎧⎨⎨>>⎩⎩是的条件总结回顾课后作业1.05x <<是|2|3x -<的条件．2.方程20x x m -+=有根的一个充分非必要条件是.14.写出=0ab的一个充要条件、一个充分非必要条件、一个必要非充分条件..15.已知命题:p方程2220-上有解；命题:q只有一个实数满足不等式+-=在[1,1]a x ax2220++≤.若,p q都是假命题，求a的取值范围.x ax a预习内容。
命题的形式及等价关系
根据命题正确与否，我们将命题分为真命题和假命题
一. 命题的概念 1. 命题是表示判断的语句.
基本形式：A是B，或A不是B；
通常用陈述句表示.
注意：“是”和“不是”不一定出现在
句中 2.
命题可以由条件和结论两部分组成
可以表示成：如果……，那么…… 若…… ，则……
反证法的证明思路： 证明命题p是真命题 要证明命题p成立，即证明非p不成立 理论依据
反证法的证明过程： 先假设非p成立，依据已经学过的公理、定理进行推理，推 出与已知或公理矛盾，这样就说明假设不成立，即p成立
反证法的证明过程：
先假设非p成立，依据已经学过的公理、定理进行推理，推 出与已知或公理矛盾，这样就说明假设不成立，即p成立
判断下列命题的真假并说明理由：
1.如果一元二次方程 ax2 bx c 0a 0满足 ac 0 ，
那么这个方程有实数根。
由ac 0 ac 0 4ac 0 b2 4ac 0 这个方程有实数根 所以该命题是真命题
2.如果一元二次方程 ax2 bx c 0a 0有实根，
§1.4 命题的形式及等价关系
一. 命题的概念 命题是表示判断的语句.
基本形式：A是B，或A不是B； 通常用陈述句表示.
注意：“是”和“不是”不一定出现在 句中
判断下列语句哪些是命题，哪些不是命题
（1）个位数为5的自然数能被5整除； （2）凡直角三角形都相似； （3）上课请不要讲话； （4）互为补角的两个角不相等； （5）你是高一学生吗？ （6）奇数和奇数相加是偶数
1. 命题是表示判断的语句.
2. 命题可以由条件和结论两部分组成 3. 命题的分类 4. 推出关系
沪教版高一上册数学高一上册教案命题的形式及等价关系
1.4 (2)命题的形式及等价关系一、教学内容分析教材介绍了四种命题的构成及等价命题的概念，这给我们今后证明一个命题为真（假）命题可转化该命题的等价命题（通常是逆否命题）为真（假）命题提供了理论依据。
本小节由命题条件的改变、结论的改变，构成四种命题形式：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。
接着，通过具体的例题练习讲述四种命题的关系，最后，给出等价命题的定义，提供了一种证明的方法，并通过具体的例题给出反证法。
二、教学目标设计（1）理解四种命题的概念；（2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；（3）理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；（4）初步掌握反证法的概念，进一步领会分类、判断、推理的思想方法。
三、教学重点及难点理解四种命题的关系；体会反证法的理论依据。
四、教学用具准备多媒体教室五、教学流程设计六、教学过程设计一．复习提问：（1）什么是命题？什么是真命题 ？什么是假命题？（2）语句“内接于圆的四边形对角互补”是否是命题？（3）命题 “内接于圆的四边形对角互补”的条件与结论各是什么？二．讲授新课：关于四种命题1、概念引入在命题“内接于圆的四边形对角互补”中，条件是“内接于圆的四边形”，结论是“四边形的对角互补”。
如果我们把以上命题作以下变化：（1）如果把命题中的结论“四边形的对角互补”作为条件，把命题中的条件“内接于圆的四边形” 作为结论，则得到了新命题“对角互补的四边形内接于圆”。
我们把原来命题中的结论作为条件，原来命题中的条件作为结论所组成的新命题叫做原来命题的逆命题。
并且它们互为逆命题。
（2）如果将命题的条件和结论都换成它们的否定形式，即条件是“四边形不内接于圆”，结论是“四边形对角不互补”，那么就可得到一个新命题：“不内接于圆四边形对角不互补”。
像这种将命题的条件与结论同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题。
并且新命题与原来的命题互为否命题。
（3）如果将命题的条件和结论互换并取原来的否定形式，即条件是“四边形对角不互补”，结论是“四边形不内接于圆”，那么就可得到一个新命题：“对角不互补的四边形不内接于圆”。
浦东新王牌暑假班高一数学暑假班晋s老师命题的形式及等价关系
1.4命题的形式及等价关系 教学目的：：1.理解四种命题之间的互相关系，能由原命题写出其他三种形式；2.知道推出关系的概念，理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；3.掌握等价关系的概念，初步掌握反证法。
4.理解充分、必要条件的概念；5.掌握充分、必要条件的判断方法。
6.掌握集合的包含关系和推出关系、充分必要条件之间的联络。
教学内容：1、命题：可以判断对错的语句。
真命题：判断为正确的命题。
假命题：判断为错误的命题。
通常可以化简为：,αβ若则的形式。
2、推出关系：一般地，假设α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号α⇒β表示，读作“α推出β〞。
换言之，α⇒β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题。
3、传递性：α⇒β，β⇒γ，那么α⇒γ4、命题的四种形式：假设把命题：,αβ若则称为原命题；那么我们把命题：,βα若则，称为原命题的逆命题，简称逆命题。
命题：,αβ若则称为原命题的否命题，简称否命题。
命题：,βα若则成为原命题的逆否命题，简称逆否命题。
其中αβ和分别是αβ和的否认形式。
5、充分条件：一般地，用α、β分别表示两件事，假设α成立，可以推出β也成立，即α⇒β，那么α叫做β的充分条件。
[说明]：①可以解释为：为了使β成立，具备条件α就足够了；②可进一步解释为：有它即行，无它也未必不行；③结合实例解释为：x = 0 是xy = 0 的充分条件，xy = 0不一定要 x = 0.6、必要条件：假设β⇒α，那么α叫做β的必要条件。
[说明]：①可以解释为假设β⇒α，那么α叫做β的必要条件，β是α的充分条件；②无它不行，有它也不一定行；③结合实例解释为：如 xy = 0是x = 0的必要条件，假设xy ≠0，那么一定有 x ≠0；假设xy = 0也不一定有 x = 0。
注：根据子集的定义，我们可以发现，将符合具有性质α的元素的集合记为A ，将符合具有性质β元素的集合记为B ，假设A B ⊆，那么αβ⇒,即αβ是的充分条件；反之，假设αβ⇒，那么A B ⊆，也即αβ若是的充分条件，那么由满足条件α的元素组成的集合是由满足条件β的元素组成的集合的子集。
四种命题形式和等价命题
若(X Y )2 (Y Z)2 (X Z)2 0,则X Y或Y Z或X Z 真
“且”的否定形式是“或”
“全相等”否定“不全相等(至少有一个不等)”
原命题：
如果两个三角形都是正三角形，那么这两个三角形相似 真
逆命题：
如果两个三角形相似，那么这两个三角形都是正三角形 假
否命题：
逆否命题
原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。真
逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。假
否命题：若四边形不是正方形，则 四边形两对角线不垂直。
否定条件，否定结论
假
逆否命题：
Hale Waihona Puke 若四边形两对角线不垂直，则四边形不是正方形。 真
原命题：若a>b，则a+c>b+c . 真 逆命题：若a+c>b+c，则a>b. 真
且 ，记作： ，叫做与等价。
推出关系具有传递性：
， ，则 ，
利用推出关系证明例1（5）
练习：P16、1、2、3。 练习册：P5（A）、1、2、3；P6（B）1、2（1）
3、四种命题形式：
原命题： 如果 ，那么
逆命题： 如果 ，那么 否命题： 如果 ，那么 逆否命题： 如果 ，那么
逆否命题： 若a、b不都是偶数，则a+b不是偶数。假
原命题： 能被4整除的数，一定能被2整除
真
逆命题： 如果一个数能被2整除，那么一定能被4整除 假
否命题：不能被4整除的数，一定不能被2整除
假
逆否命题：如果一个数不能被2整除，那么一定不能被4整除
真
“一定是”否定“一定不是”
等价命题
1、定义：甲命题 乙命题
命题的四种形式
（1）原命题的真假和逆命题的真假没有关系； （2）原命题的真假和否命题的真假没有关系。 说明：对于命题在判断真假时，如果直接判断有难度可 以利用原命题与逆否命题、逆命题与否命题的等价性， 先判断等价命题的真假，再确定原来命题的真假。
变式：若将例2中的命题改为:
2 2
若关于x的不等式x (2a 1) x a 2 0的解集为空集， 则a 2, 其余不变，应如何作答？
1.3.2 命题的四种形式
一、命题的四种形式
如果p ,则 q， 其中p为命题的条件，q为命题的结论，
若p为原命题条件，q为原命题结论，则：
原命题： 如果p ,则 q 逆命题： 如果q, 则 p （条件和结论“换位”所得）
即分别否定
否命题： 如果 p,则 q（条件和结论“换质”所得） 逆否命题：如果q ,则 p （条件和结论“换位”又 “换质”所得）
二、四种命题之间的关系:
原命题 若p则q 逆命题 若q则p
Hale Waihona Puke 互逆互 否互为
逆否
互 否
否命题 若﹁ p则﹁ q
互逆
逆否命题 若﹁ q则﹁p
题型一 命题的四种形式的转换及真假判断 练习：试写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题。并分别判断它们的真 假： 1、 原命题： a 与 b 是两向量，如果 a 垂直于 b ，则 a b 0 （真） 逆命题： a与b 是两向量， （真） 如果a b 0, 则a垂直于b.
否命题： a与b 是两向量，如果a不垂直于b , 则a b 0. 如果 a b 0 ，则 a 不垂直于 b 。 逆否命题： a与b 是两向量，
（真）
（真）
1.4.3 命题的形式及等价关系
如果 x A或 x B ，那么 x A B . 假
例3.若 x 3xy 2 y 3x 4 y 2 0, 求证： x y 1 0 2 2 证：x 3xy 2 y 3x 4 y 2 0
2 2
( x y 1)( x 2 y 2) 0 ( x y 1) 0 且 ( x 2 y 2) 0 x y 1 0 证毕
第一章 集合和命题
1.4.2 命题的形式及等价关系
1.4.3 命题的形式及等价关系
等价命题与命题的证明
一、等价命题 如果 A, B 是两个命题，且满足 A B 和 B A
那么 A, B 叫做等价命题，记作 A B .
例 A ：“正三角形是三边等长的三角形”
B ：“正三角形是三内角都为 60 的三角形”
证法二：试证原命题的逆否命题 x y 1 0 y x 1 代入原表达式中
x 3x( x 1) 2( x 1) 3x 4( x 1) 2 2 2 2 ( x 3x 2x ) (3x 4x 3x 4x) (2 4 2) 0 因此原命题也成立. 证毕
因此假设不成立，即
1 a, b, c 中至少有一个不小于 . 证毕 3
例4.(2)求证： 2 是无理数.
(2)证：假设 2 是有理数，那么 2 可以用两个整 数的商表示，且这两个整数不可再约分. m 设 2 ，其中 m, n 互质. n 平方得 m2 2n 2 ，
m2 2n2 m 是偶数 m2 能被4整除 2 2 m 2n 2 n 是偶数 n 是偶数 与所设矛盾
2 2
二、反证法 反证法是一种间接证明的方法，一般步骤如下： (1)假设要证的结论不成立，即结论的否定成立； (2)经过正确的推导发现推出的结论与已知条件、 定理、公理等矛盾； (3) 假设不成立，即结论的否定不成立，故原结论 成立. 例 求证： 3 2 证：假设 3 2 ， 3 2 ( 3)2 22 3 4 与已知矛盾 因此假设不成立，即 3 2 证毕
1.4 命题的形式及等价关系
1.4 命题的形式及等价关系考点诠释1.命题：可以判断真假的语句叫做命题。
2.四种命题（1）四种命题：原命题：如果p ，那么q （或若p 则q ）；逆命题：若q 则p ； 否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p 。
（2）四种命题之间的相互关系若 则否命题原命题若 则若 则逆否命题互 逆互 逆互 为互为逆 否逆否互 否互 否q p 若 则逆命题q p q p q p这里，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题。
3.原命题与它的逆否命题同为真假，原命题的逆命题与否命题同为真假，所以对一些命题的真假判断（或推证），我们可通过对与它同真假的（具有逆否关系的）命题来判断（或推证）。
例题精析例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。
（1）若1≤q ，则方程022=++q x x 有实根； （2）若y x ,都是奇数，则y x +是偶数； （3）若0=xy ，则00==y x 或思维引领本题考查四种命题及其真假判断。
.精辟分析（1）原命题是真命题；逆命题：若方程022=++q x x 有实根，则1≤q 是真命题； 否命题：若1>q ，则方程022=++q x x 无实根，是真命题； 逆否命题：若方程022=++q x x 无实根，则1>q 是真命题； （2）原命题是真命题；逆命题：若y x +是偶数，则y x ,都是奇数，是假命题； 否命题：若y x ,不都是奇数，则y x +不是偶数，是假命题； 逆否命题：若y x +不是偶数，则y x ,不都是奇数，是真命题； （3）原命题为真命题；逆命题：若00==y x 或，则0=xy ，是真命题； 否命题：若0≠xy ，则00≠≠y x 且，是真命题； 逆否命题：若00≠≠y x 且，则0≠xy ，是真命题；方法规律总结（1）“原命题”与“逆否命题”同真同假．．．．，“逆命题”与“否命题”同真同假．．．．，但“互逆”或“互否”的命题真假性未必相同。
1.4命题的形式及等价关系
3.四种命题形式
原命题：若，则； 逆命题：若，则；
否命题：若 ，则 ； 逆否命题：若 ，则 ．
例 2.写出命题：“一组对边平行 且两对角线相等的四边形是平 行四边形”的逆命题、否命题 和逆否命题．
例 3.下列词语的否定形式是什么？ 大于，一定是，且，都是， 都不是，至少有一个， 至多有一个．
1.4 命题的形式及等价关系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1.命题
可以判断真假的语句叫做命 题，命题通常用陈述句表述．正确 的命题叫做真命题，错误的命题叫 做假命题．
1.命题
一般地，命题是由题设(条件) 和结论两部分组成的，常写成“如
果 ，那么 ”的形式． 是题设， 是已知事项； 是结论，是由已知
事项推出的事项．
例如： “对顶角相等”．请把这个命
4.等价命题
一般地，原命题与它的逆否命题是同
真或同假的，即如果，那么 ；
如果 ，那么 ．
对于命题 A 与 B 来说，如果有 AB， 且 BA，那么，命题 A、B 叫做等价命 题．原命题与其逆否命题就是等价命题．
4.等价命题
例 5.判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)若实数 a、b 满足 a+b≠3，
则 a≠1 且 b≠2； (2)若实数 a 与 b 的积不是有理数，
则 a，b 至少有一个不是有理数．
例 6.写出命题：“若 a b 4， 则 a 1且 b 2 ”的逆命题、
否命题和逆否命题，并判断它
们的真假．
例 7.请写出 A B 的等价命题.
小结
1、命题； 2、推出关系； 3、四种命题形式； 4、等价命题.
xy
3.四种命题形式 一个命题由条件和结论两部分组成，
命题的形式及等价关系
1.4 命题的形式及等价关系基础热身：(1)命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） .A 若2x ≥1，则x ≥1或x ≤1-.B 若11x -<<，则21x < .C 若1x >或1x <-，则21x > .D 若x ≥1或x ≤1-，则2x ≥1(2)命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在定义域内是减函数,则log 20a <”的逆否命题是（ ）A 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数B 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数C 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数D 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数知识梳理：1.命题：可以判断真假的语句叫做命题。
说明:(1)命题通常用陈述句表述。
数学中的定义、公理、定理等, 都是数学命题。
在数学中，一般只研究数学命题。
(2)命题一般地由条件、结论两部分组成。
命题常写成“如果α，那么β”的形式。
对于这样的命题，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论。
注意:α、β也都是命题，可能是简单命题，也可能是复合命题。
简单命题：不含逻辑联结词的命题。
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。
逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。
如：(1)3是12的约数.(2)3是12的约数且3是15的约数.2．判断命题的真假：正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。
（1） 确定一个命题是真命题必须作出证明；①直接证明；②间接证明（同一法、反证法）直接法：即从已知条件出发，依据所学过的公理，定理，公式进行逐步推理，从而得出结论。
1.4 命题的形式及等价关系
1.4 命题的形式及等价关系1.命题与推出关系在初中，我们已经知道，可以判断真假的语句叫做命题，命题常用陈述句表述.正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题.【例题】判断下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？（1）个位数是5的自然数都能被5整除；（2）凡直角三角形都相似；（3）上课请不要讲话；（4）互为补角的两个角不相等；（5）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等；（6）你是高一学生吗？在数学中常见的命题由条件与结论两部分组成.要确定一个命题是假命题，只要举出一个满足命题条件，而不满足命题结论的例子就可以了，这在数学中称为举反例.如果命题α成立可以退出命题β也成立，那么就说由α可以退出β，并用记号α⟹β表示，读作“α推出β”.换言之，α⟹β表示以α为条件、β为结论的命题是真命题.如果α成立不能推出β成立，可记作α⇏β.换言之，α⇏β表示以α为条件，β为结论的命题是一个假命题.如果α⟹β，并且β⟹α，那么记作α⟺β，叫做α与β等价.推出关系具有传递性【例题】用符号⇒、⇐、⟺表示下列事件的推出关系；（1）α：△ABC是等边三角形，β：△ABC是轴对称图形，αβ；（2）α：一次函数y=kx+b的图像经过第一、二、三象限，β：一次函数y=kx+b中，k>0，b>0,αβ；（3）α：实数x适合x2=1，β：x=1，αβ.2. 四种命题形式逆命题：“如果α，那么β”把结论与条件互换，就得到一个新命题“如果β，那么α”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题.例如：平行四边形的对角线互相平分→对角线互相平分的四边形是平行四边形否命题：把原命题的条件和结论都换成它们的否定形式，那么另一个命题就叫做原命题的否命题.例如：平行四边形的对角线互相平分→如果四边形不是平行四边形，那么它的对角线不互相平分【例题】请写出下列命题的逆命题和否命题，并判断其真假.命题A：如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；命题B：如果一个三角形两边相等，那么这两边所对的角也相等.逆否命题：如果把原命题“如果α，那么β”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可得到原命题的逆否命题.例如：平行四边形的对角线互相平分→如果一个四边形的对角线不互相平分，那么这个四边形不是平行四边形.3.等价命题逆命题与否命题互为逆否命题互为逆否命题的两个命题是同真同假的【例题】原命题、逆命题、否命题、逆否命题，这四种命题中真命题的个数可能是【例题】证明：若a2−4b2−2a+1≠0，则a≠2b+1..【例题】已知a，b，c∈R，证明：若a+b+c<1，则a，b，c中至少有一个小于13当我们证明某个命题有困难时，就可尝试用证明它的逆否命题来代替证明原命题.1.5 充分条件，必要条件“三角形有两个内角相等”“三角形是等腰三角形”“某个整数能够被4整除”“某个整数是偶数”一般地，用α、β分别表示两个命题，如果命题α成立，可以推出命题β也成立，即α⟹β，那么α叫做β的充分条件，β叫做α的必要条件.对于α、β两件事而言，α与β之间不一定有充分条件或者必要条件的关系，例如a+b>0与ab>0，是非充分非必要条件【例题】已知四边形ABCD是凸四边形，那么“AC=BD”是“四边形ABCD是矩形”的什么条件？为什么？如果α⟹β，那么α是β的充分条件；如果β⟹α，那么α是β的必要条件.如果既有α⟹β，又有β⟹α，即α⟺β，那么α既是β的充分条件，又是β的必要条件.这时我们就说α是β的充分必要条件，简称充要条件.“三角形两个内角相等”“三角形是等腰三角形”思考：x,y不都为0x,y都不为0的充分条件1.6 子集与推出关系设A、B是非空集合，A={a|a具有性质α}，B={b|b具有性质β}，则A⊆B与α⟹β等价。
命题的四种形式及关系
命题的四种形式及关系1. 什么是命题？在逻辑学中，命题是一个陈述句，它可以被判断为真或假。
命题是逻辑推理的基本单位，通过对命题的分析和组合，我们可以进行有效的推理和论证。
2. 命题的四种形式2.1 简单命题简单命题是最基本的命题形式，它不能再被分解为更小的命题。
简单命题通常用一个字母或一个词来表示，例如：P、Q、R等。
简单命题可以是真（True）或假（False）。
例如，“太阳从东方升起”这个陈述就是一个简单命题，它可以被判断为真。
2.2 复合命题复合命题由多个简单命题通过逻辑运算符连接而成。
常见的逻辑运算符有：•否定（Negation）：表示取反关系，用符号”¬“表示。
•合取（Conjunction）：表示与关系，用符号”∧“表示。
•析取（Disjunction）：表示或关系，用符号”∨“表示。
•条件（Implication）：表示蕴含关系，用符号”→“表示。
•双条件（Biconditional）：表示等价关系，用符号”↔“表示。
例如，命题”P并且Q”可以表示为P∧Q，命题”P或者Q”可以表示为P∨Q。
2.3 合取范式合取范式是一种复合命题的标准形式，它由多个简单命题的合取构成。
合取范式通常用括号和逻辑运算符来表示。
例如，命题”(P∨Q)并且(¬R)“就是一个合取范式。
在合取范式中，每个简单命题都是一个子命题，并通过逻辑运算符连接起来。
2.4 析取范式析取范式是另一种复合命题的标准形式，它由多个简单命题的析取构成。
析取范式通常用括号和逻辑运算符来表示。
例如，命题”(P∧¬Q)或者R”就是一个析取范式。
在析取范式中，每个简单命题都是一个子命题，并通过逻辑运算符连接起来。
3. 命题的关系3.1 等价关系两个命题被称为等价关系，如果它们具有相同的真值表。
换句话说，两个等价的命题在所有情况下都具有相同的真假值。
等价关系可以用双条件符号”↔“来表示。
例如，命题”P并且Q”和命题”Q并且P”是等价命题，可以表示为P∧Q ↔ Q∧P。
2019-2020年高一数学上册必修11.4《命题的形式及等价关系》教案4篇
2019-2020年高一数学上册必修11.4《命题的形式及等价关系》教案4篇教学过程设计逆命题：若 x = 0或 y = 0 则 xy = 0否命题：若 xy0 则 x0且 y 0逆否命题：若 x0且 y 0 则xy0.常见词的否定词语是都是大于所有的任一个至少一个至多一个 P或q P且q词语的否定不是至少有一个（不都是不大于某些某一个一个也没有至少两个 P 且q P或 q若⌝p 则q逆否命题若⌝q 则⌝p4、四种命题及其形式原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题若┑p则┑q；逆否命题若┑q则┑p.5、若pq成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件★当证明“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若┑则┑”成立，6、反证法：步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。
矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。
命题一、选择：1、≥（ A ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D即不充分也不必要条件2、给出如下的命题：①对角线互相垂直且相等的平面四边形是正方形；②00=1；③如果x+y是整数，那么x,y都是整数；④<3或>3.其中真命题的个数是……( D )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 .3、已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件．那么是成立的：（ A ）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件4、一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ C ）（A）（B）（C）（D）二、填空：5、写出“a,b均不为零”的（1）充分非必要条件是（2）必要非充分条件是：＿＿（3）充要条件是（4）非充分非必要条件是 06、在以下空格内填入“充分非必要条件”，“必要非充分条件”，“充要条件”，“非充分非必要条件”（1）“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的充要条件（2）“a＞2且b＞2”是“a+b＞4且ab＞4”的充分非必要条件（3）的_______必要非充分________条件7、的一个充分不必要条件是_______________8、指出下列各题中甲是乙的什么条件？（1）甲：a、b、c成等比数列；乙：b2=ac______充分非必要条件_________________.（2）甲：______必要非充分________（3）甲：直线l1∥l2，乙：直线l1与l2的斜率相等______非必要非充分_____三、解答9、已知命题P：方程x2＋mx＋1=0有两个不相等的负根；Q：方程4x2＋4(m－2)x＋1=0无实根.若P或Q为真，P且Q为假，求m的取值范围.答案：10、试写出一元二次方程，①有两个正根②两个小于的根③一个正根一个负根的一个充要条件。
§1.4 (1)命题的形式及等价关系
说明：本系列教案,学案，经多次使用，修改，其中有部分来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。
为了一个课件，我们仔细研磨；为了一个习题，我们精挑细选；为了一点进步，我们竭尽全力；没有最好，只有更好！制作水平有限，错误难免，请多指教：28275061@【教学内容的课时安排】本章总共15课时，其中§1.4 (1)命题的形式及等价关系一、教学目标设计理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；知道推出关系的概念，理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；掌握等价关系的概念.二、教学重点及难点了解命题的构成；会用举反例法说明一个命题为假命题；知道真命题需要证明.三、教学用具准备多媒体四、学过程设计(一)、复习回顾在初中，我们已学过命题，真命题，假命题.命题：表示判断的语句.真命题：正确的命题.假命题：错误的命题.命题“全等三角形的面积相等”的条件与结论各是什么？本节将进一步研究命题与其有关的命题的概念.[说明]通过学生回顾以前的知识，唤起他们原有认知结构中的知识结点，从而为下面的要学习的一些下位概念的同化和顺应提供最近发展区.(二)、讲授新课1．命题例1：下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？（1）个位数是5的自然数能被5整除；（2）凡直角三角形都相似；（3）上课请不要讲话；（4）互为补角的两个角不相等；（5）你是高一学生吗？结论：①命题必定由条件与结论两部分组成.②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可）.③真命题必须证明.2、推出关系：一般地，如果α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号α⇒β表示，读作“α推出β”.换言之，α⇒β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题.例2：设α表示“两个角是对顶角”，β表示为“两个角相等”，问能用“⇒”表示α、β之间关系吗？例3：在下列各题中，用符号“⇒”或“⇔”把α、β这两件事联系起来.(1).α：实数x 满足92=x ，β：3=x 或3-=x ；(2).α：U B A = ，β：U B U A ==或（U 为全集）； (3).α：B A ⊆，β：A B A = ； (4).α：0=ab ，β：0=a3、α与β等价：如果α⇒β，β⇒α，那么记作βα⇔，叫做α与β等价4、传递性：α⇒β，β⇒γ，则α⇒γ（类比推出关系的传递性，你能再举一些具有传递关系的关系吗？说说看）三、巩固练习：课本P/17 练习1.4（1）——1，2，3四、课堂小结：本节课主要介绍了真假命题判断的方法及命题的推出关系.五、教学反思（1）命题的有关概念在初中平面几何中已经学过,因此可以通过具体的例子帮助学生回顾旧知,为以后进一步研究命题做好铺垫.在推出关系的教学中,要强调命题的条件和结论,要结合并集的概念强调“或”的三层含义.（2）理解推出关系具有传递性，为以后学习充要条件做好准备. （3）要明确有关数学符号、记号的意义，正确加以使用.本单元中引进的数学符号、记号比较多，初学者往往不善于使用，对此教学中必须在每一符号引进时，说明其意义，配备适当的例题、习题，逐步让学生熟悉这些符号，正确地运用这些符号.导学案§1.4 (1)命题的形式及等价关系学习目标⒈知道“命题”、“推出”的意义；知道命题的结构“如果α，那么β”．⒉．掌握真假命题判断的方法及命题的推出关系；理解“证明“的意义学习重点：学会找一个命题的条件和结论，了解推出关系的定义.学习难点：判断命题的真假并说明理由学习过程：一、知识回顾1、_________________语句叫做命题，命题通常用_______________表述._________________叫做真命题._________________假命题.2、在数学中常见的命题由_______与________两部分组成.二、新知导学1、推出关系：一般地，如果α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号_______表示，读作“_______”.换言之，α⇒β表示以____为条件，____为结论的命题是真命题.2、α与β等价：如果α⇒β，β⇒α，那么记作________ ___，叫做α与β.3、传递性：α⇒β，β⇒γ，则_____________.三、问题探究例1：下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，请写出命题的条件与结论（1）如果两直线平行，那么同位角相等（2）全等三角形的面积相等（3）上课请不要讲话（4）你主动学习了吗？反思：命题必定由条件与结论两部分组成.例2：判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由.(1).个位数是5的自然数能被5整除；(2).凡直角三角形都相似；(3).互为补角的两个角不相等；说明：举反例，即：举出一个满足条件，不满足结论的例子.例3：设α表示“两个角是对顶角”，β表示为“两个角相等”，问能用“⇒”表示α、β之间关系吗？例4：在下列各题中，用符号“⇒”或“⇔”把α、β这两件事联系起来.(1). α：实数x 满足92=x ，β：3=x 或3-=x . __________(2). α：B A ⊆，β：A B A = .__________ (3). α：0=ab ，β：0=a .__________四、学习小结1. 用“或”、“且”、“非”填空：⑴ 若()()130x x -+=，则1x =_______3x =-； ⑵ 若0ab ≠，则0a ≠_______0b ≠； ⑶ 若0x ≥，则x 是_______负实数．2. 判断下列命题的真假（在题后括号中填“真”或“假”）：（1） 如果b a ,都是奇数，那么b a +是偶数……………………………（ ） （2） 一组对边平行且两对对角线相等的四边形是平行四边形…………（ ） （3） 如果2<a ，那么2<a ……………………………………………（ ） （4） 如果A B A = ，那么B B A = …………………………………（ ）3. 在下列各题中，用符号“⇒”或“⇐”或“⇔”把命题α与β联系起来．⑴ α：x 是方程2320x x -+=的根 β：2x =⑵ α：5x =- β：||5x =⑶ α：A B ⊆ β：A B A =（4）α：x 适合方程0652=+-x x ， β：3x 2==或x ；（5）α：B A ⊆， β：B B A = ；。
命题公式间的关系
命题公式间的关系
命题公式间的关系主要有以下几种：
1.等价关系：如果两个命题公式是等价的，那么它们具有相同的真
值表，即它们在所有输入下都有相同的真假结果。
2.蕴含关系：如果一个命题公式蕴含另一个命题公式，那么对于任
何输入，前者的真值都大于或等于后者的真值。
3.互斥关系：如果两个命题公式互斥，那么它们在任何输入下都不
能同时为真。
4.互补关系：如果两个命题公式互补，那么它们在任何输入下都能
互相推导出来，即它们具有相同的真值表。
5.矛盾关系：如果两个命题公式矛盾，那么它们在任何输入下都会
产生矛盾的结果。
这些关系可以根据命题公式的逻辑关系进行定义和判断。
例如，如果两个命题公式是等价的，那么它们之间存在等价关系；如果一个命题公式蕴含另一个命题公式，那么它们之间存在蕴含关系；如果两个命题公式互斥，那么它们之间存在互斥关系；如果两个命题公式互补，那么它们之间存在互补关系；如果两个命题公式矛盾，那么它们之间存在矛盾关系。
高一数学命题的形式及等价关系
满足命题的条件而不满足结论的例子叫做反例。
判断一个命题是假命题，只要举出反例即可，那么判 断(1),(5)都是真命题，接下去要怎么做？ 求证：个位数是5的自然数能被5整除。
证明：个位数是5的自然数能写成n=10k+5的形式。 n=10k+5=5(2k+1)是5的倍数，一定能被5整除。 ∴获证。
∴如果一个自然数的个位数是5，那么这个数一定能
被5整除。
二、什么是推出关系？
如果一个自然数的个位数是5，那么这个数一定能被 5整除。 命题α：一个自然数的个位数是5。
命题β：这个数一定能被5整除。
若命题α成立可以推出命题β成立，就记为α=>β
，读作“α推出β”。
α=>β也表示“如果α，那么β”是真命题。 若命题α成立不能推出命题β也成立，写成α≠>β， “如果α，那么β”是假命题。
命题α：两个三角形的三条边对应相等。 命题β：这两个三角形全等。 如果α，那么β。是真命题么？ 三、什么是等价关系？ 如果β，那么α。是真命题么？ α=>β并且 β=>α 所以， α<=>β，叫做α与β等价。 四、证明的基石：推出关系的传递性 书第16页第3行。 P16练习1.4(1)
1.4.2 四种命题形式
2、观察下列原命题的逆命题和否命题： 把“如果β，那么α”看成原命题，它的逆否命题是：
“如果 ，那么 ”
∴原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，它们也是 等价命题。
某些命题本身很难证明，我们利用它们的逆否命题来证
明。
例3、已知BD、CE分别是三角形ABC的∠B、∠C的平分线，
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教学资源信息表1.4 命题的形式及等价关系上市高桥中学一、教学内容分析：根据 1.4 命题的形式及等价关系的内容，教科书上分为三个课时.第一课时学习的内容是命题与推出关系；第二课时学习的内容是命题的四种形式；第三课时学习的内容是等价命题。
根据师训时黄老师提出的要求及考虑到本校学生的实际情况，我将这节课的内容分为了两课时，第一课时学习的内容是命题与推出关系及命题的四种形式，理解推出关系及命题证明的意义，会写出命题的四种形式.第二课时学习的内容先着重强调否命题的否定形式（既是新课，又是复习，同时也作为第二课时的引入部分），让学生发现命题的四种形式之间的相互关系，掌握等价命题的概念，能利用互为逆否命题的等价性来解决一些简单命题的证明。
命题的概念在初中已经出现，所以命题概念的教学不应是第一节课的重点，只须强调命题是一个可以判断真假的陈述句。
本节的教学重点是真命题与假命题证明的思想方法。
真命题的证明方法：可以从已知条件出发，根据已学的公理、定理、公式等应用推出关系，得出所要证明的结论。
也可应用间接证法，如反证法等证明方法。
假命题的证明方法：只需举反例，即举出一个满足命题的条件而不满足命题结论的例子。
在写命题的四种形式时。
学生有很难分清一个命题的条件与结论，此时可将给定的命题写成“如果…，那么…”的形式。
一个命题的否命题是将原命题的条件和结论都写成否定形式，这在教学中是一个难点，可多举一些例子进行说明。
“是”与“不是”是互相排斥的，用集合的观点看，两者的“并”是全集，两者的“交”是空集。
在第二课时中，注重学生通过实例发现互为逆否命题的两个命题是同真同假的。
学会在证明原命题困难的情况下，转而证明它的逆否命题。
如遇到“如果不…，那么不…”常可转化为证明它的逆否命题。
等价命题在数学上应用广泛，要知道两个互为逆否命题必等价，但等价命题不一定是互为逆否命题。
二、教学目标设计：能判断什么样的语句是命题，理解推出关系及命题证明的意义，掌握真命题与假命题证明的思想方法,理解命题的四种形式及其相互关系，能写出一个简单命题的逆命题、否命题与逆否命题，掌握等价命题的概念,通过利用互为逆否命题的等价性来解决一些简单命题的的证明。
通过学习，进一步领会分类、判断、推理的思想方法.通过证明命题的过程，让学生初步掌握逻辑推理的能力,同时体会到数学的严谨性。
三、教学重点及难点：真命题与假命题证明的思想方法,理解命题的四种形式及其相互关系。
写否命题时，将原命题的条件和结论采用否定形式表达。
四、教学流程设计：第一课时：第二课时：五、 教学过程设计：（第一课时）(一)教学引入问：我们在初中已经学过命题，那么什么是命题呢？答：可以判断真假的语句叫命题。
（二）新课1、命题及命题真假的证明命题的概念：可以判断真假的语句叫命题。
例１、下列语句那些不是命题，那些是命题？如果是命题，那么他们是真命题还是假命题？为什么？(1)个位数是5的自然数能被5整除；(2)凡直角三角形都相似；(3)上课请不要讲话；(4)互为补角的两个角不相等；(5)如果两个三角形的三条边对应相等，那么两个三角形全等；(6)你是高一学生吗？(解题过程见书P14例1)通过此例，使学生更清楚的认识什么是命题，以及掌握最简单的命题的真假的证明方法。
总结归纳：1)命题是一个表示判断的陈述句;2)在数学中常见的命题由条件和结论组成,命题的一般形式是 “如果…，那么…”;3) 证明假命题只需举反例，即举出一个满足命题的条件而不满足命题结论的例子。
2、推出关系一般的说,如果命题α成立可以推出命题β也成立,那么就说由α可以推出β,并用记号α⇒β表示,读做“α推出β”。
换言之，α⇒β表示以α为条件、以β为结论的命题是真命题。
α不可以推出β,用记号α⇒β表示。
换言之，α⇒β表示以α为条件、以β为结论的命题是假命题。
如果α⇒β，并且β⇒α，那么记做α⇔β，叫做α与β等价。
推出关系满足传递性：α⇒β，β⇒γ，那么α⇒γ。
说明例1(1)的证明过程就是利用了推出关系的传递性.归纳总结：命题的证明方法：可以从已知条件出发，根据已学的公理、定理、公式等应用推出关系，得出所要证明的结论。
例2、判断下列命题的真假，并给出证明。
(1)已知集合A 、B 、C ，如果B A ⊆，那么C B C A ⋂⊆⋂。
(2) 如果集合A 、B 、C 满足C B B A ⋂=⋂，那么C B =。
解：(1)是真命题.证:o 1若,∅≠⋂C A 设任意C A x ⋂∈,则A x ∈,且C x ∈.B A ⊆ B x ∈∴C B x ⋂∈∴由子集定义, C B C A ⋂⊆⋂.o 2若,∅=⋂C A 则C B C A ⋂⊆⋂综上,命题为真.(2)是假命题.举反例:},2{},1{,==∅=C B A 满足∅=⋂=⋂C B B A ,但不满足C B =.3、命题的四种形式：原命题：如果α，那么β。
逆命题：如果β，那么α。
否命题：如果α，那么β。
逆否命题：如果β，那么α。
同时讲清楚互为逆命题、互为否命题、互为逆否命题.四种命题的形式的联系否命题原命题逆命题互为逆否互为逆否互逆互逆互互否否逆否命题例3、试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假.命题A:如果两个三角形全等,那么它们的面积相等; (真)命题B:如果一个三角形两边相等,那么这两边所对的角也相等. (真)解: 命题A 的逆命题是: 如果两个三角形的面积相等,那么这两个三角形全等;(假)命题A 的否命题是: 如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等; (假)命题A 的逆否命题是: 如果两个三角形的面积不相等,那么这两个三角形不全等; (真) 命题B 的逆命题是: 如果一个三角形两边所对的角相等,那么这两边也相等. (真)命题B 的否命题是: 如果一个三角形两边不相等,那么这两边所对的角也不相等. (真) 命题B 的逆否命题是: 如果一个三角形两边所对的角不相等,那么这两边也不相等. (真)(三)练习反馈(1) 书P16. 练习1.4(1)(2) 书P18. 练习1.4(2)(四)小结(1)命题是一个可以判断真假的陈述句。
(2)证明真命题,可以从已知条件出发，根据已学的公理、定理、公式等应用推出关系，得出所要证明的结论。
证明假命题,只需举反例，即举出一个满足命题的条件而不满足命题结论的例子。
(3)命题的四种形式。
(五)作业教材练习部分 P5 习题1.4A 组 1、2、3、4、5、6教学过程设计：（第二课时）(一)复习引入在作业中发现,在写否命题时,将条件和结论写成否定形式比较困难.例4、写出下列判断的一个否定形式.(1)c b a 、、都是正数.(2) c b a 、、中至少有2个是正数.(3) c b a 、、中至多有2个是正数.(4)0>a 且0>b .解: (1)c b a 、、不都是正数.(2) c b a 、、中至多有1个是正数.(3) c b a 、、都是正数.(4)0≤a 或0≤b .归纳总结:写否定形式时,“是”与“不是”是互相排斥的，用集合的观点看，就象是取补集,两者的“并”是全集，两者的“交”是空集。
常见的否定形式: ①“是”与“不是”；②“都是”与“不都是”；③“一定是”与“一定不是”；④“且”与“或”； ⑤“正数”与“非正数”； ⑥“>”与“ ≤ ”； ⑦“至少一个”与“一个也没有”； ⑧“至多一个”与“至少两个”等等。
例5、已知一个命题的否命题是“a,b 都是实数，如果022≠+b a ，那么0≠a 且0≠b .”写出原命题、逆命题及逆否命题，并判断真假.解: 原命题：a,b 都是实数，如果022=+b a ，那么0=a 或0=b .(真)逆命题：a,b 都是实数，如果0=a 或0=b ，那么022=+b a .(假)逆否命题：a,b 都是实数，如果0≠a 且0≠b .，那么022≠+b a .(真)归纳总结:1)注意否定形式的书写.2)“或”的含义是两者只要成立其一即可，“且”的含义是两者都要成立.仔细观察例3和例5中各命题的真假,你会发现什么?小组讨论.会发现互为逆否命题同真同假.(二)新课1、命题的四种形式的联系:2、 等价命题:如果A 、B 是两个命题,A B B A ⇒⇒,,那么A 、B 叫做等价命题.原命题与逆否命题就是等价命题.例6、写出命题“两直线被第三条直线所截，如果两直线平行，那么所得同位角相等.”的等价命题。
解:可写出它的逆否命题,即: “两直线被第三条直线所截，如果同位角不相等，那么这两直线不平行.”你还能写出其他的等价命题吗?如“两直线被第三条直线所截，如果两直线平行，那么所得内错角相等.”说明: 等价命题在数学上应用广泛，两个互为逆否命题必等价，但等价命题不一定是互为逆否命题。
判断命题“437≠≠≠+x x y x 或则”的真假。
此时直接判断比较困难，不妨利用互为逆否命题的等价性，看它的逆否命题“743=+==y x x x 则且”，显然是真命题。
例7、已知BD 、CE 分别是∆ABC 的B ∠、C ∠的角平分线，CE BD ≠.求证AC AB ≠. (解题过程见书P18例3)(三)练习反馈书P19. 练习1.4(3)原命题逆命题互为逆否同真同假互为逆否同真同假互逆命题真假无关互逆命题真假无关互否命题真假无关互否命题真假无关否命题逆否命题(四)小结(1)注意否定形式的书写;(2)命题的四种形式的联系;(3)有时可利用等价命题来简化命题的证明.(五)作业教材练习部分 P5 习题1.4A组 7、8、9，习题1.4B组 1、2、3、4。