浙江省2004高等数学(微积分)竞赛试题
2004年高考数学(浙江卷理工类)
2004年普通高等学校招生全国统一考试数 学（浙江卷）(理工类)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则 =⋃)(N M （ ）(A) {1,2,3}(B) {2}(C) {1,3,4}(D) {4}(2) 点P 从(1,0)出发,沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点,则Q 的坐标为（ ）(A) )23,21(-(B) ()21,23--(C) ()23,21--(D) ()21,23-(3) 已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = （ ）(A) –4(B) –6 (C) –8 (D) –10 (4)曲线x y 42=关于直线x=2对称的曲线方程是（ ）(A) x y 482-= (B) 842-=x y (C) x y 4162-=(D) 1642-=x y(5) 设z=x —y ,式中变量x 和y 满足条件⎩⎨⎧≥-+≥-03,02y x y x 则z 的最小值为（ ）(A) 1(B) –1(C) 3(D) –3(6) 已知复数i t z i z +=+=21,43,且21z z ⋅是实数,则实数t= （ ）(A)43(B)34(C) --34(D) --43(7) 若n xx )2(3+展开式中存在常数项,则n 的值可以是（）(A) 8(B) 9(C) 10 (D) 12 (8)在ΔABC 中,“A>30º”是“sinA >21”的（ ）(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件(9)若椭圆)0(12222〉〉=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为 （ ）(A)1716（B ）17174 （C ）54（D ）552 （10）如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中已知AB=1，D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则α= （ ）(A)3π(B)4π(C)410arcsin(D)46arcsin（11）设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '= 的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能 的是（ ）（12）若)(x f 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可能．．．是 （A ）512-+x x （B ）512++x x（C ）512-x（D ）512+x 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.把答案填在题中横线上. （13）已知⎩⎨⎧≥〈-=,0,1,0,1)(x x x f 则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是 .（14）已知平面上三点A 、B 、C 满足,5,4,3CA 则AB· BC+BC ·CA+CA·AB 的值等于 .（15）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 种（用数字作答）. （16）已知平面α和平面β交于直线l ，P 是空间一点，PA ⊥α，垂足为A ，PB ⊥β，垂足为B ，且PA=1，PB=2，若点A 在β内的射影与点B 在α内的射影重合，则点P 到l 的距离为 .三、 解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本题满分12分） 在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且31cos =A . （Ⅰ）求A CB 2cos 2sin2++的值； （Ⅱ）若3=a ，求bc 的最大值.（18）（本题满分12分）盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后．．．第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）.记第一次与第二次取到球的标号之和为ξ.（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列；（Ⅱ）求随机变量ξ的期望ξE.（19）（本题满分12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M 是线段EF的中点.（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小；（Ⅲ）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60o．（20）（本题满分12分）设曲线x e y x(-=≥0）在点M （t,e --t ）处的切线l 与x 轴y 轴所围成的三角形面积为S （t ）. （Ⅰ）求切线l 的方程；（Ⅱ）求S （t ）的最大值.（21）（本题满分12分）已知双曲线的中心在原点，右顶点为A （1，0）点P 、Q 在双曲线的右支上，点M （m,0）到直线AP 的距离为1.（Ⅰ）若直线AP 的斜率为k ，且]3,33[∈k ，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）当12+=m 时，ΔAPQ 的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程.（22）（本题满分14分）如图，ΔOBC 的三个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P 1为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n 的坐标为(x n,y n ), .2121++++=n n n n y y y a （Ⅰ）求321,,a a a 及n a ; （Ⅱ）证明;,414*+∈-=N n y y nn (Ⅲ)若记,,444*+∈-=N n y y b n n n 证明{}n b 是等比数列.2004年普通高等学校招生全国统一考试数 学（浙江卷）参考答案一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.1. D2.A3.B4.C5.A6.A7.C8.B9.D 10.D 11.Ｃ 12.Ｂ 二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,满分16分.13. ]23,(-∞ 14. --25 15. 5 16. 5三.解答题:本大题共6小题,满分74分. 17. (本题满分12分)解: (Ⅰ)A CB 2cos 2sin2++ =)1cos 2()]cos(1[212-++-A C B=)1cos 2()cos 1(212-++A A=)192()311(21-++= 91-(Ⅱ) ∵31cos 2222==-+A bc a c b ∴2222232a bc a cb bc -≥-+=, 又∵3=a∴.49≤bc 当且仅当 b=c=23时,bc=49,故bc 的最大值是49. (18) (满分12分)解: (Ⅰ)由题意可得,随机变量ξ的取值是2、3、4、6、7、10. 随机变量ξ的概率分布列如下ξ2 3 4 6 7 10 P0.090.240.160.180.240.09随机变量ξ的数学期望ξE =2×0.09+3×0.24+4×0.16+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2.(19) (满分12分)方法一解: (Ⅰ)记AC 与BD 的交点为O,连接OE,∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是矩形， ∴四边形AOEM 是平行四边形， ∴AM ∥OE.∵⊂OE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE.(Ⅱ)在平面AFD 中过A 作AS ⊥DF 于S ，连结BS ， ∵AB ⊥AF ， AB ⊥AD ， ,A AF AD =I ∴AB ⊥平面ADF ，∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影， 由三垂线定理得BS ⊥DF.∴∠BSA 是二面角A —DF —B 的平面角. 在RtΔASB 中，,2,36==AB AS ∴,60,3tan ︒=∠=∠ASB ASB∴二面角A —DF —B 的大小为60º.（Ⅲ）设CP=t （0≤t≤2）,作PQ ⊥AB 于Q ，则PQ ∥AD ， ∵PQ ⊥AB ，PQ ⊥AF ，A AF AB =I ， ∴PQ ⊥平面ABF ，⊂QF 平面ABF ， ∴PQ ⊥QF.在RtΔPQF 中，∠FPQ=60º， PF=2PQ.∵ΔPAQ 为等腰直角三角形， ∴).2(22t PQ -=又∵ΔPAF 为直角三角形，∴1)2(2+-=t PF ， ∴).2(2221)2(2t t -⋅=+- 所以t=1或t=3(舍去)即点P 是AC 的中点.方法二（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系.设N BD AC =I ，连接NE ，则点N 、E 的坐标分别是（)0,22,22、（0,0,1）, ∴NE=()1,22,22--, 又点A 、M 的坐标分别是（0,2,2）、（)1,22,22 ∴ AM=（)1,22,22--∴且NE 与AM 不共线，∴NE ∥AM.又∵⊂NE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDF.（Ⅱ）∵AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF ,A AD =I∴AB ⊥平面ADF .∴)0,0,2(-=AB 为平面DAF 的法向量.∵NE·DB=（)1,22,22--·)0,2,2(-=0， ∴NE·DF=（)1,22,22--·)0,2,2(=0得 NE ⊥，⊥，∴为平面BDF 的法向量.∴cos<AB,NE>=21 ∴AB 与NE 的夹角是60º.即所求二面角A —DF —B 的大小是60º.（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤2)得),1,2,2(t t PF --=∴CD=（2，0，0）又∵PF 和CD 所成的角是60º.∴21)2()2(2)2(60cos 22⋅+-+-⋅-=︒t t t解得22=t 或223=t （舍去）， 即点P 是AC 的中点.（20）（满分12分）解：（Ⅰ）因为,)()(x x e ex f ---='=' 所以切线l 的斜率为,t e --故切线l 的方程为).(t x e ey t t --=---即0)1(=+-+--t e y x e t t .（Ⅱ）令y=0得x=t+1,又令x=0得)1(+=-t e y t 所以S （t ）=)1()1(21+⋅+-t e t t =t e t -+2)1(21 从而).1)(1(21)(t t e t S t +-='- ∵当∈t （0，1）时，)(t S '>0,当∈t （1,+∞）时,)(t S '<0,所以S(t)的最大值为S(1)=e 2(21) (满分12分)解: (Ⅰ)由条件得直线AP 的方程),1(-=x k y即.0=--k y kx因为点M 到直线AP 的距离为1, ∵,112=+-k k mk 即221111k k k m +=+=-. ∵],3,33[∈k ∴,21332≤-≤m 解得332+1≤m ≤3或--1≤m ≤1--332. ∴m 的取值范围是].3,3321[]3321,1[+--Y (Ⅱ)可设双曲线方程为),0(1222≠=-b by x 由),0,1(),0,12(A M + 得2=AM .又因为M 是ΔAPQ 的内心,M 到AP 的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM 是∠PAQ的角平分线,且M 到AQ 、PQ 的距离均为1.因此，1,1-==AQ AP k k （不妨设P 在第一象限）直线PQ 方程为22+=x .直线AP 的方程y=x-1, ∴解得P 的坐标是（2+2，1+2），将P 点坐标代入1222=-b y x 得，32122++=b 所以所求双曲线方程为,112)32(22=++-y x即.1)122(22=--y x （22）（满分14分）解：(Ⅰ)因为43,21,153421=====y y y y y ， 所以2321===a a a ，又由题意可知213+++=n n n y y y ∴321121++++++=n n n n y y y a =221121++++++n n n n y y y y =,2121n n n n a y y y =++++ ∴{}n a 为常数列. ∴.,21*∈==N n a a n (Ⅱ)将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2，得 ,124121=++++n n n y y y 又∵2214++++=n n n y y y ∴.414n n y y -=+ （Ⅲ）∵)41()41(44444841n n n n n y y y y b ---=-=+++-)(41444n n y y --=+ ,41n b -= 又∵,041431≠-=-=y y b ∴{}n b 是首项和公比都为41-的等比数列.。
2004年高考.浙江卷.理科数学试题及答案
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工类）（浙江卷）第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则C U (M ∪N)=(A) {1,2,3} (B) {2} (C) {1,3,4} (D) {4} (2) 点P 从(1,0)出发,沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点,则Q 的坐标为 (A) )23,21(-(B) ()21,23-- (C) ()23,21--(D) ()21,23- (3) 已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = (A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10 (4)曲线x y 42=关于直线x=2对称的曲线方程是(A) x y 482-= (B) 842-=x y (C) x y 4162-= (D) 1642-=x y(5) 设z=x —y ,式中变量x 和y 满足条件⎩⎨⎧≥-+≥-03,02y x y x 则z 的最小值为 (A) 1 (B) –1 (C) 3 (D) –3 (6) 已知复数i t z i z +=+=21,43,且21z z ⋅是实数,则实数t= (A)43 (B) 34 (C) --34 (D) --43 (7) 若n x )x2(3+展开式中存在常数项,则n 的值可以是(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12(8)在ΔABC 中,“A>30º”是“sinA>21”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也必要条件(9)若椭圆)0(12222〉〉=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为（A ）1716 （B ）17174 （C ）54（D ）552（10）如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中已知AB=1，D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则α=（A ）3π （B ）4π（C ）410arcsin（D ）46arcsin（11）设)(x f '是函数f(x)的导函数，y=)(x f '的图象 如图所示，则y= f(x)的图象最有可能的是（12）若)(x f 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可能．．．是 （A ）512-+x x （B ）512++x x （C ）512-x （D ）512+x 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二.填空题：三大题共4小题，每小题4分，满分16分。
高等数学(微积分)竞赛工科类试题整理1
浙江和江苏试题2007浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答)一.计算题（每小题12分，满分60分） 1、求9⎰.解: 9551155==⎰⎰⎰111111555u t u du=+-==-⎰⎰⎰312222155u u C=-+Cx x ++-+215235)1(52)1(152。
2、求1120(1)(12)limsin xxx x x x→+-+.解:1111220(1)(12)(1)(12)limlimsin x xx xx x x x x x xx→→+-++-+=11022201ln(1)1ln(12)lim (1)(12)(1)(21)2x xx x x x x x x x x x x →⎧⎫⎡⎤⎡⎤++=+--+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 0112220(1)ln(1)2(21)ln(12)lim (1)(12)(1)2(21)x xx x x x x x x x x x x x x →⎧⎫⎡⎤⎡⎤-++-++=+-+⎨⎬⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 1122200(1)ln(1)2(21)ln(12)lim (1)lim (12)(1)2(21)x x x x x x x x x x x x x x x x →→⎡⎤⎡⎤-++-++=+-+⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦22(1)ln(1)2(21)ln(12)limlim2x x x x x x x x e e xx→→-++-++=-00ln(1)2ln(12)lim lim24x x x x e e x x→→-+-+=-22e e e =-+=.3、求p 的值,使22007()()0b x p ax p edx ++=⎰.解: 222007()2007()t x pbb p x p ta a px p e dx te dt =+++++=⎰⎰被积函数是奇函数, 要积分为零, 当且仅当积分区间对称,即:a pb p +=--,解得:2a b p +=-.4、计算2222max{,}00,(0,0)abb x a y dx edy a b >>⎰⎰. 解: 22222222max{,}max{,}00abb xa yb x a y Ddx e dy ed σ=⎰⎰⎰⎰, 其中D 如右图2222222212max{,}max{,}b x a y b x a y D D ed ed σσ=+⎰⎰⎰⎰222212a yb xD D ed ed σσ=+⎰⎰⎰⎰2222ab b ya xa yb xb a dy edx dx edy=+⎰⎰⎰⎰2222b aa yb xa b yedy xedxba=+⎰⎰2222222211()()22b a a yb xed a y ed b x ab ab=+⎰⎰221(1)a beab=-.5、计算2()Sx y dS+⎰⎰,其中S 为圆柱面224,x y +=解: 2221()()2SSSx y dS x y dS ydS +=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰142SSdS ydS =+⎰⎰⎰⎰ 8yzD π=+⎰⎰8yzD π=+⎰⎰8π=被积函数关于y 是奇函数,积分区域关于z 对称,二、(20分)设1211211212345632313nun n n=+-++-+++--- ,111123n v n n n=+++++ ,求: (1)1010u v ;(2)lim n n u →∞.解: (1)111232313nn k u k k k=⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭∑ 1211211212345632313n n n=+-++-+++--- ,23111111nnnn k k k v n kkk=====-+∑∑∑111111111111123456323132n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+++++++++++-+++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭31111121132313nn nn n k k k u v k k k k k ===⎛⎫-=+--- ⎪--⎝⎭∑∑∑11211033nnk k k k k ==⎛⎫=---= ⎪⎝⎭∑∑ 1n vu v ⇒=;(2)111lim lim lim 123n n n n n u v n n n →∞→∞→∞⎛⎫==+++ ⎪++⎝⎭11111lim 1221111n k nn n n n n →∞⎛⎫⎪=+++ ⎪ ⎪++++⎪⎝⎭(图来说明积分上下)2111lim1nn k k nn→∞==+∑201ln 31dx x==+⎰.三、(满分20分)有一张边长为4π的正方形纸(如图),C 、D 分别为A A '、B B '的中点，E为D B '的中点，现将纸卷成圆柱形，使A 与A '重合，B与B '重合，并将圆柱垂直放在xOy 平面上，且B 与原点O 重合，D 若在y 轴正向上，求：（1） 通过C ，E 两点的直线绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程； （2） 此旋转曲面、xOy 平面和过A 点垂直于z 轴的平面所围成的立体体积.解:C EL :22224x y z π--==--旋转曲面上任意取一点(,,)M x y z则000(,,)N x y z 的坐标为：0002222z x z y z z ππ-⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩，(0,0,)Q zM Q N Q ===化简得：所求的旋转曲面方程为：222282zxy π+-=，（2）(0,0,4)A π，故过(0,0,4)A π垂直z 轴的平面方程为：4z π=BDB 'Ex令0x=，解得在坐标面yo z上的曲线方程为：22282zyπ-=，图中所求的旋转体的体积为：24V dzππ⎛=⎝⎰24282zdzπππ⎛⎫=+⎪⎝⎭⎰242322zdzπππ=+⎰222321283233πππ=+=.四、(20分) 求函数2222(,,)x yzf x y zx y z+=++,在222{(,,)14}D x y z x y z=≤++≤的最大值、最小值.解：222222222222222()2()222(,,)()()xx x y z x x yz xy xz xyzf x y zx y z x y z++-++-'==++++2222232222222222()2()2(,,)()()yz x y z y x yz zx z yx y zf x y zx y z x y z++-++--'==++++2222232222222222()2()2(,,)()()zy x y z z x yz yx y zx z yf x y zx y z x y z++-++--'==++++由于,x y具有轮换对称性,令x y=, 0x=或0y z==解得驻点: (0,,)y y或(,0,0)x对22221(0,,)2x yzf y yx y z+==++, 2222(,0,0)1x yzf xx y z+==++,在圆周2221x y z++=上,由条件极值得:令2222(,,)(1)F x y z x yz x y zλ=++++-(,,)220xF x y z x xλ'=+=8=(,,)20y F x y z z y λ'=+=(,,)20z F x y z y z λ'=+= 222(,,)10F x y z x y z λ'=++-=解得:(0,)22,(0,)22-,(0,22--,(0,22-,(1,0,0),(1,0,0)-1(0,,222f =,1(0,222f -=-,1(0,,222f --=,1(0,)222f -=-,(1,0,0)1f =,(1,0,0)1f -=;在圆周2224x y z ++=上,由条件极值得:令2222(,,)(4)F x y z x yz x y z λ=++++-(,,)220x F x y z x x λ'=+=(,,)20y F x y z z y λ'=+=(,,)20z F x y z y z λ'=+= 222(,,)40F x y z x y z λ'=++-=解得:(0,,(0,,(0,,(0, ,(2,0,0),(2,0,0)-12f =,1(0,2f =-,1(0,2f =,1(0,2f =-,(2,0,0)1f =,(2,0,0)1f -=;2222(,,)x yz f x y z x y z+=++,在222{(,,)14}D x y z x y z =≤++≤的最大值为1,最小值为12-.五、(15分)设幂级数0n n n a x ∞=∑的系数满足02a =,11n n na a n -=+-,1,2,3,n = ,求此幂级数的和函数.证明：0()nn n S x a x∞==∑1111111()(1)n n n nn n n n S x naxaxn x∞∞∞----==='⇒==+-∑∑∑()nnnnn n n ax nxS x nx ∞∞∞====+=+∑∑∑而()1200011(1)nn nn n n n n x nxx nxx xx x x x x ∞∞∞∞-====''⎛⎫⎛⎫'=====⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑,即:2()()(1)x S x S x x '-=- 一阶非齐次线性微分方程---常数变易法,求()()0S x S x '-=的通解:()xS x ce=,令()()x S x c x e =代入2()()(1)xS x S x x '-=-得:2()()()(1)xxxx c x e c x e c x e x '+-=-,即:()211()(1)111x x x x xxe c x dx xe dx xe dx x e xx x ---'⎛⎫'==⋅=-⎪----⎝⎭⎰⎰⎰()11xxxxxexee dx ec xx ----=+-=++--⎰故2()()(1)x S x S x x '-=-的通解为:1()11x x x xxe S x e c e ce x x --⎛⎫=++⋅=+ ⎪--⎝⎭,由于(0)0S =,解得1c =-, 故0n n n a x ∞=∑的和函数1()1xS x ex=--.六、(15分)已知()f x 二阶可导,且()0f x >,[]2()()()0f x f x f x '''-≥,x R ∈,(1) 证明:2121212()(),,2x x f x f x f x x R+⎛⎫≥∀∈ ⎪⎝⎭.(2) 若(0)1f =,证明(0)(),f x f x e x R'≥∈.证明: (1) 要证明2121212()(),,2x x f x f x f x x R+⎛⎫≥∀∈ ⎪⎝⎭,只需证明1212121111ln()ln ()ln ,,2222f x f x f x x x x R⎛⎫+≥+∀∈ ⎪⎝⎭,也即说明()ln()F x f x =是凹函数,[]()ln()()f x f x f x ''=,[][]22()()()()ln ()0()()f x f x f x f x f x f x f x ''''-'⎛⎫''==≥ ⎪⎝⎭, 故()ln ()F x f x =是凹函数, 即证.(2)2()()(0)(0)2F F x F F x xξ'''=++[]222()()()(0)ln (0)(0)2()x f x f x f x f f x x f f x ξ='''-'=++(0)f x'≥,即:(0)(),f xf x ex R'≥∈.2008浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答) *一.计算题1、求xxx x x ee e sin13203lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→.解:xxxxx xxx x x e e e e e e s i n1320s i n1320331lim 3lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→→xee e x xeee ee e xxxx xxxxxx xxxee e e sin 13sin 133320323232lim 3lim ⋅++→⋅++⋅++→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2cos 3320032lim e exeee x xxx==⋅++→。
【精品】浙江大学0104级微积分试卷
浙江大学2001级微积分(上）期终考试试卷系__________班级__________学号__________姓名__________考试教室__________一、选择题：(每小题2分，共8分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的代号填入空格中1.设()()()()()f x x a x b x c x d=----,其中a，b，c,d互不相等，且'()()()()f k k a k b k c=---,则k的值等于(）.（A).a（B).b（C）.c（D）。
d2.曲线y=x→-∞时，它有斜渐进线（）.(A)。
1y x=+(B）。
1y x=-+（C）.1y x=--(D）.1y x=-3。
下面的四个论述中正确的是（).（A).“函数()f x在[],a b上有界"是“()f x在[],a b上可积”的必要条件；（B）。
函数()f x在区间(),a b内可导，(),x a b∈，那末'()0f x=是()f x在x处取到极值的充分条件；(C ）.“函数()f x 在点0x 处可导”对于“函数()f x 在点0x 处可微”而言既非充分也非必要; （D)。
“函数()f x 在区间E 上连续”是“()f x 在区间E 上原函数存在”的充要条件. 4。
下面四个论述中正确的是（）. （A ）.若0n x ≥(1,2,)n =，且{}n x 单调递减，设lim n n x a →+∞=，则0a >;(B ）.若0n x >(1,2,)n =,且lim n n x →+∞极限存在，设lim n n x a →+∞=,则0a >；（C ）。
若lim 0n n x a →+∞=>,则0n x ≥(1,2,)n =；（D ）.若lim 0n n x a →+∞=>，则存在正整数N ，当n N >时，都有2n ax >。
二、填空题：（每空格2分，共12分）只填答案1.2lim(1)tgxxxπ→-=____________；2lim(1)tgxxxπ→--=____________.2。
2004浙江高等数学竞赛试题-答案
2004年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（工科类） 一． 计算题（每小题15分，满分60分） 1． 解: 原式()22cos 2limtan xt x e tdt x x x x x→--=-⋅⎰00202cos 22lim 2tan sec x x e x x x x x x →--=--00202cos 22lim tan tan x x e x xx x x x→--=--203332cos 22lim tan tan x x e x xx x x x x x x →--=⎛⎫-- ⎪⎝⎭其中223333000tan tan tan tan lim lim lim x x x x x x x x x x xx x x x →→→⎛⎫---=- ⎪⎝⎭ 2222232300001sec tan tan tan 4lim lim lim lim 333x x x x x x x x x x x x x x →→→→--=-=-=-原式00320032cos 223cos sin 1lim lim 423xx x x x e x x e x e x x x→→----=-=- 0001cos sin sin cos lim22x x x x x e x e x e x e xx →---= 00012sin 1lim 42x x e x x →-=-=.①30tan sin limx x xx→-在课堂上作为一个典型的例子; ②3tan ()x x O x =+2． 解: 原式22cos 200424x dx x ππππ+=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭⎰2222sin 20044x dx t ππππ--=-+⎰22222222sin 2004200444x dx dx t t πππππππ--=--+-+⎰⎰2221dπππ-=⎛⎫⎪+ ⎝==其他想法: 原式22202cos cos 20042004x xdx dx x x x x πππππππ++=+-+-+⎰⎰后者22222cos()cos 22004()()200422x t t xdx dt x x t t πππππππππππ-=+++=-++-++⎰⎰222sin 20044t dt t πππ-=-+⎰, 看来做不下去了!!!3． 解: ①在圆内(开集)(),2x f x y x '=, (),815y f x y y '=+, 解得驻点15(0,)8-, 但不在圆域内.②在圆周上2241x y +=, 求()22,415f x y x y y =++的极值, 是条件极值问题.()2222,415(41)F x y x y y x y λ=++++- (),280x F x y x x λ'=+= (),81520y F x y y y λ'=++=()22,410F x y x y λ'=+-= 解得: 驻点(0,1),(0,1)-(0,1)19f =,(0,1)11f -=-故最大值为(0,1)19f =, 最小值为(0,1)11f -=-.4． 解：()3max ,Dxy x d σ⎰⎰12333D D D xyd x d x d σσσ=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰16= 二．解: 21()1f x x '=-+, 则2(1)()1x f x '+=-,则两边对x 求(1)n -阶导数,由莱布尼茨公式得:2()(1)(2)(1)()2(1)()(1)()0n n n x f x n xf x n n f x --++-+-=,令0x =,得:()(2)(0)(1)(0)n n f n n f -=--,而(0)1,(0)0f f '''=-=,则()120,;(0)(1)!,;n n n f n n +⎧⎪=⎨⎪-⎩当为偶数当为奇数 .三．解: 方程22149x y +=两边对x 求导得:2029x yy '+=,则12x y ='=-,直线段l 的方程为: 02y x =-+ 令sin (,)1yP x y x =-+, ()(,)cos ln 1Q x y y x =++, 则cos 1P y y x ∂=-∂+ cos 1Q y x x ∂=+∂+()s i nc o s l n131lyd x y x d yx⎛⎫⎡-+++-⎪⎣+⎝⎭⎰D BC CAσ=--⎰⎰⎰⎰121Dd dxxσ⎛⎫=+--+⎪⎝⎭⎰93921ln2sin ln2sin422242=--⋅+=-⋅.四．证明: ①()1lim()nbi iaif x dx f xλξ→==∆∑⎰由于a b<, 故0ix∆>, 无论[],a b怎么分、[]1,i i ix xξ-∈怎么取，1lim()ni iif xλξ→=∆∑存在且相等，即1lim()0ni iif xλξ→=∆=∑，由于f连续，故()0f x≡，[],x a b∈；（理由说的不够充分）②假设存在[],x a b∈，使得()00f x≠，不妨设()00f x>，则()000,[,],0x x x f xδδδ∃>∀∈-+>都有，由于函数f连续，故在00[,]x xδδ-+内存在最大、最小值分别为00,M m，显然000,0M m>>，而()()20b xa xf x dx f x dx mδδδ+-≥≥>⎰⎰与()0baf x dx=⎰矛盾，故假设错误，即()0f x≡，[],x a b∈。
2004年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数学(理科)
数学(理科)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则 (A) {1,2,3} (B) {2} (C) {1,3,4} (D) {4} (2) 点P 从(1,0)出发,沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点,则Q 的坐标为 (A) )23,21(-(B) ()21,23-- (C) ()23,21--(D) ()21,23- (3) 已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = (A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10 (4)曲线x y 42=关于直线x=2对称的曲线方程是(A) x y 482-= (B) 842-=x y (C) x y 4162-= (D) 1642-=x y(5) 设z=x —y ,式中变量x 和y 满足条件⎩⎨⎧≥-+≥-03,02y x y x 则z 的最小值为 (A) 1 (B) –1 (C) 3 (D) –3 (6) 已知复数i t z i z +=+=21,43,且21z z ⋅是实数,则实数t= (A)43 (B) 34 (C) --34 (D) --43 (7) 若n xx )2(3+展开式中存在常数项,则n 的值可以是(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12 (8)在ΔABC 中,“A>30º”是“sinA>21”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也必要条件(9)若椭圆)0(12222〉〉=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为（A ）1716（B ）17174 （C ）54 （D ）552（10）如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中已知AB=1，D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则α=（A ）3π （B ）4π（C ）410arcsin（D ）46arcsin（11）设)(x f '是函数f(x)的导函数，y=)(x f '的图象如图所示，则y= f(x)的图象最有可能的是（12）若)(x f 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可能．．．是 （A ）512-+x x （B ）512++x x （C ）512-x （D ）512+x 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二.填空题：三大题共4小题，每小题4分，满分16分。
2004~2005年度高等数学竞赛试题
2004~2005年度高等数学竞赛试题一、填空题（每题4分，共20分）1．设当0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比nx x sin ⋅高阶的无穷小，而nx x sin ⋅是比12-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于 。
（2） 2．设)(sin 42x y =，则)(3x d dy = 。
（)sin()cos(3844x x x ） 3．两平面0218419:1=++-z y x π和0428419:2=++-z y x π之间的距离为 。
（1）4．=+⎰-xdx x x 22223cos )sin (ππ 。
（8π） 5． =⨯⋅⋅)(])([b a a b a。
（0）分析： a b a)(⋅与a 共线，而)(b a a⨯⊥，)()(b a a b a⨯⊥⋅∴，⇒0)(])([=⨯⋅⋅b a a b a。
二、（10分）已知2)5(lim 2=+--+∞→c bx ax x x ，求a 、b 。
解：cbx ax x c bx ax x c bx ax x x x +-+-+-=+--+∞→+∞→2222525lim)5(lim ，25)25(lim22=+-+-+-=+∞→cbx ax x c bx x a x ，25,025=⇒=-∴a a ，20)255(2=+=b 。
三、（10分）设)(x f 在),(∞+-∞内可导，且e x f x ='∞→)(lim ，)]1()([lim )(lim --=-+∞→∞→x f x f c x c x x xx ，求c 的值。
解：c xx e cx c x 2)(lim =-+∞→ ，而由拉格朗日中值定理有1)()1()(⋅'=--ξf x f x f e f x f x f x ='=--∴∞→∞→)(lim )]1()([lim ξξ，e e c =⇒2，21=c 。
四、（10分）设)(x f 在),0[∞+上可导，0)0(=f ，且其反函数为)(x g ，若⎰=)(02)(x f x e x dt t g ，求)(x f 。
浙江大学2003至2004学年第二学期微积分期末考试试题
浙江大学2003至2004学年第二学期微积分期末考试试题
浙江大学2003－2004学年第二学期期末考试《微积分》课程试卷开课学院：理学院任课教师：__________姓名：__________专业：__________学号：__________考试时间：120分钟题序一二三四五六总分评卷人
得分
一、填空题（每个空格5分，满分30分）
（1）点到直线的距离＝____________.
（2）设，则＝____________.
（3）幂级数的收敛范围是____________.
（4）设一矢量场，它在某点的矢量大小与该点到原点的距离平方成正
比（比例常数为），方向指向原点，则=____________.
（5）设，且是的傅里叶级数，则系数＝____________，＝____________.
二、（10分）求通过直线且与抛物面在的切平面垂直的平面方程。
2002年—2010年浙江省(经管类)高等数学竞赛试题
2002.12.7年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（经管类）题 号 一二三四五六总分得 分 评卷人一．计算题（每小题5分，满分30分）1． 1．1．求极限01cos lim (1)(11)x x xe x →--+-。
2．求积分|1|Dxy dxdy -⎰⎰，11{(,)2,2}22D x y x y =≤≤≤≤。
3．设2x y x e =是方程hx y ay by ce '''++=的一个解，求常数,,,a b c h 。
学校姓名准考证号 专业装订线4．设()f x 连续，且当1x >-时，2()[()1]2(1)xxxe f x f t dt x +=+⎰，求()f x 。
5．设211arctan 2nn k S k ==∑，求lim n n S →∞。
6．求积分12121(1)x xx e dx x++-⎰。
学校姓名准考证号专业装订线二．（本题满分15分）求平面221x y z +-=含在椭圆柱体22149x y +=内的面积。
三．（本题满分20分）证明：220sin()0x dx π>⎰。
四．（本题满分20分）设二元函数(,)f x y 有一阶连续偏导数，且(0,1)(1,0)f f =.证明：单位圆周上至少存在两点满足方程(,)(,)0yf x y x f x y x y∂∂-=∂∂。
学校姓名准考证号 专业装订线五．（本题满分15分）（非数学类做）设{},{}n n a b 为满足1,1n na b n ea e n +=+≥的两个实数列，已知0(1),n a n >≥且1n n a ∞=∑收敛.证明：1n nn b a ∞=∑也收敛。
六．（本题满分15分）已知函数)(x f 在[ 0, 1 ]上三阶可导，且1)0(-=f ，0)1(=f ，0)0(='f ，试证至少存在一点)1,0(∈ξ，使设11=a ，12=a ，n n n a a a 3212+=++，1≥n ，求n n n x a ∞=∑1的收敛半径、收敛域和函数。
浙江大学2004级微积分(上)期中试卷解答
浙江大学2004级微积分（上）期中测验试题解答一、填空（每小题4分，共32分）1． 判断下列函数的间断点的类型：0=x 是xx y 1sin=的 第一类（可去） 间断点；0=x 是 xx y sin =的 第一类（跳跃） 间断点；0=x 是x y 1sin =的 第二类 间断点。
2．若61sin 1lim 0-=⎪⎭⎫⎝⎛-→x b x a x x ，则1,1==b a 。
3．若 e x x ax x =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→121lim ，则=a 3/1。
4．设当0→x 时，)1(2++-bx ax e x 是比2x 高阶的无穷小，则1,2/1==b a 。
5．设x xe x f =)(，则其n 阶导数)()()(n x e x fx n +=在点)1(+-=n x 处取到极小值。
6．设点)3,1(是曲线23bx ax y +=的拐点，则参数2/9,2/3=-=b a 。
7．函数132-++=x x x y 的图形有铅垂渐近线 1=x 和斜渐近线2+=x y 。
8．已知x x xe e f -=')(，且0)1(=f ，则x x f 2ln 21)(=。
()⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+====⎰⎰⎰0,ln 2121)()(22c c x c t tdt dt e e f dx x f x f tt二、计算与证明（共68分）1． （6分）解： )1ln()1)((lim 2sin 0x e x x e e x xx x +-+-→613cos 1lim sin lim )1ln()1()1()1(lim 2030sin sin 0=-=-=+-+-=→→-→x x x x x x e x x e e x x x x x x x2． （6分）解1：42sin 21tan sec lim 42cos tan ln lim4tan ln 2tan lim 2tan 42444)(tan lim πππππππ--⋅→====→→→eeeex xx x xxxx x xx x x x x解2 ：4tan 1tan 21tan 14tan1tan 242tan 4))1(tan 1(lim ))1(tan 1(lim )(tan lim 2ππππ-+-⋅-→-→→=-+=-+=ex x x xxx x x xxx x xx x3． 设⎩⎨⎧>+≤-+=0,0),21ln(1)(x be a x x x f x，试确定a ，b ，使)(x f 在0=x 处可导，并求)(x f '。
微积分竞赛题目
∫∫ 4．计算： max(xy, x3 )dσ ，其中 D = {(x, y) | −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} 。 D
二．（本题满分 20 分）设 f (x) = arctan 1 − x ，求 f (n) (0) 。 1+ x
三．（本题满分 20 分）设椭圆 x 2 + y 2 = 1在 A (1, 3 3 ) 点的切线交 y 轴于 B 点，
∑∞
五．（本题满分 15 分）判别级数
1 的敛散性。
n=1 n (n!) 2
六．（本题满分 15 分）设函数 f (x) 在[0, 1] 上连续，证明：
∫ ∫ ⎜⎛
⎝
1 0
f (x) t2 + x2
dx⎟⎞2 ≤ π ⎠ 2t
1 f 2 (x) dx
0 t2 + x2
,
(t > 0) 。
2004 年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（数学专业）
,
(t > 0) 。
∑∞
六．（本题满分 15 分）判别级数
1 的敛散性，其中α > 0 为常数。
n=1 n (n!)α
1．计算： lim 0
2。
x→0 (x − tan x)( x + 1 −1)
∫ 2．计算：
π 0
x2
π + cos x − π x + 2004
dx
。
3．求函数 f (x, y) = x 2 + 4 y 2 + 15 y 在 Ω = {(x, y) | 4x 2 + y 2 ≤ 1} 上的最大、小值。
1
∫ f (x) = t − x g(t)dt ，试讨论曲线 y = f (x) 在[−1, 1 ] 上的凹向。 −1
浙江省2004高等数学(微积分)竞赛试题(解答)
2004年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（工科类） 一． 计算题（每小题15分，满分60分）1． 计算：()()200cos 2lim tan 1xtx x e tdt x x x →----⎰。
解: 原式()22cos 2limtan xt x e tdt x x x x x→--=-⋅⎰00202cos 22lim 2tan sec x x e x xx x x x →--=--202cos 22lim tan tan x x e x xx x x x→--=-- 0203332cos 22lim tan tan x x e x xx x x x x x x →--=⎛⎫-- ⎪⎝⎭其中223333000tan tan tan tan lim lim lim x x x x x x x x x x xx x x x →→→⎛⎫---=- ⎪⎝⎭2222232300001sec tan tan tan 4lim lim lim lim 333x x x x x x x x x x x x x x →→→→--=-=-=-原式00320032cos 223cos sin 1lim lim 423xx x x x e x x e x e x x x→→----=-=- 0001cos sin sin cos lim 22x x x x x e x e x e x e xx →---=0012sin 1lim 42x x e x x →-=-=.①30tan sin limx x xx→-在课堂上作为一个典型的例子; ②3tan ()x x O x =+2． 计算：2cos 2004xdx x x πππ+-+⎰。
解: 原式22cos 200424x dx x ππππ+=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭⎰2222sin 20044x dx t ππππ--=-+⎰22222222sin 2004200444x dx dx t t πππππππ--=--+-+⎰⎰2221dπππ-=⎛⎫⎪+⎰==其他想法: 原式22202cos cos 20042004x x dx dx x x x x πππππππ++=+-+-+⎰⎰后者22222cos()cos 22004()()200422x t t xdx dt x x t t πππππππππππ-=+++=-++-++⎰⎰222sin 20044t dt t πππ-=-+⎰, 看来做不下去了!!!3． 求函数()22,415f x y x y y =++在(){}22,41x y x y Ω=+≤上的最大、小值。
历年浙江省高等数学微积分竞赛工科类试题
04年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题（工科类) 一． 计算题（每小题15分，满分60分)1． 计算:()()200cos 2lim tan 1xtx x e tdt x x x →----⎰.解: 原式()22cos 2limtan xt x e tdt x x x x x→--=-⋅⎰00202cos 22lim 2tan sec x x e x xx x x x →--=--202cos 22lim tan tan x x e x xx x x x→--=-- 0203332cos 22lim tan tan x x e x xx x x x x x x →--=⎛⎫-- ⎪⎝⎭其中223333000tan tan tan tan lim lim lim x x x x x x x x x x xx x x x →→→⎛⎫---=- ⎪⎝⎭2222232300001sec tan tan tan 4lim lim lim lim 333x x x x x x x x x x x x x x →→→→--=-=-=-原式00320032cos 223cos sin 1lim lim 423xx x x x e x x e x e x x x→→----=-=- 0001cos sin sin cos lim 22x x x x x e x e x e x e xx →---=0012sin 1lim 42x x e x x →-=-=。
①30tan sin limx x xx→-在课堂上作为一个典型的例子； ②3tan ()x x O x =+2． 计算：2cos 2004xdx x x πππ+-+⎰. 解: 原式22cos 200424x dx x ππππ+=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭⎰2222sin 20044x dx t ππππ--=-+⎰22222222sin 2004200444x dx dx t t πππππππ--=--+-+⎰⎰2221dπππ-=⎛⎫⎪+⎰arctan==其他想法： 原式22202cos cos 20042004x x dx dx x x x x πππππππ++=+-+-+⎰⎰后者22222cos()cos 22004()()200422x t t xdx dt x x t t πππππππππππ-=+++=-++-++⎰⎰222sin 20044t dt t πππ-=-+⎰, 看来做不下去了！!!3． 求函数()22,415f x y x y y =++在(){}22,41x y xy Ω=+≤上的最大、小值。
04普通高等学校招生全国统一考试浙江卷理科数学试题及答案(Word最新版)
04普通高等学校招生全国统一考试浙江卷理科数学试题及答案通过整理的04普通高等学校招生全国统一考试浙江卷理科数学试题及答案相关文档，希望对大家有所帮助，谢谢观看！2004年普通高等学校招生浙江卷理工类数学试题第Ⅰ卷(选择题共60分) 一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则= (A) {1,2,3} (B) {2} (C) {1,3,4} (D) {4} (2) 点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q的坐标为(A) (B) ( (C) ( (D) ( (3) 已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则= (A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10 (4)曲线关于直线x=2对称的曲线方程是(A) (B) (C) (D) (5) 设z=x—y ,式中变量x和y满足条件则z 的最小值为(A) 1 (B) –1 (C) 3 (D) –3 (6) 已知复数,且是实数,则实数t= (A) (B) (C) -- (D) -- (7) 若展开式中存在常数项,则n的值可以是(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12 (8)在ΔABC中,“A>30º”是“sinA>”的(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也必要条件(9)若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为（A）（B）（C）（D）（10）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD 与平面AA1C1C所成的角为α，则α= （A）（B）（C）（D）（11）设是函数f(x)的导函数，y=的图象如图所示，则y= f(x)的图象最有可能的是（12）若和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程有实数解，则不可能是（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：三大题共4小题，每小题4分，满分16分把答案填在题中横线上（13）已知则不等式≤5的解集是（14）已知平面上三点A、B、C满足则的值等于（15）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有种（用数字作答）（16）已知平面α和平面交于直线，P是空间一点，PA⊥α，垂足为A，PB⊥β，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在β内的射影与点B在α内的射影重合，则点P到的距离为三. 解答题：本大题共6小题，满分74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本题满分12分）在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求bc的最大值（18）（本题满分12分）盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）记第一次与第二次取到球的标号之和为ε （Ⅰ）求随机变量ε的分布列；（Ⅱ）求随机变量ε的期望Eε （19）（本题满分12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小；（20）（本题满分12分）设曲线≥0）在点M（t,c--1）处的切线与x轴y轴所围成的三角表面积为S（t）（Ⅰ）求切线的方程；（Ⅱ）求S（t）的最大值（21）（本题满分12分）已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双曲线的右支上，支M（m,0）到直线AP的距离为1 （Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程（22）（本题满分14分）如图，ΔOBC 的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P为线段BC的中点,P 为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标为(xn,yn), （Ⅰ）求及; （Ⅱ）证明(Ⅲ)若记证明是等比数列. 2004年普通高等学校招生浙江卷理工类数学试题参考答案一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1. D 2.A 3.B 4.C 5.A 6.A 7.C 8.B 9.D 10.D 11.C 12.B 二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,满分16分. 13. 14. --25 15. 5 16. 三.解答题:本大题共6小题,满分74分. 17. (本题满分12分) 解: (Ⅰ) = = = = (Ⅱ) ∵ ∴, 又∵ ∴ 当且仅当b=c=时,bc=,故bc的最大值是. (18) (满分12分) 解: (Ⅰ)由题意可得,随机变量ε的取值是2、3、4、6、7、10 随机变量ε的概率分布列如下ε 2 3 4 6 7 10 P 0.09 0.24 0.16 0.18 0.24 0.09 随机变量ε的数学期望Eε=2×0.09+3×0.24+4×0.13+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2. (19) (满分12分) 方法一解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE, ∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE ∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDE (Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，∵AB⊥AF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理得BS⊥DF ∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角在RtΔASB中，∴ ∴二面角A—DF—B的大小为60º （Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF 在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ ∵ΔPAQ为等腰直角三角形，∴ 又∵ΔPAF为直角三角形，∴，∴ 所以t=1或t=3(舍去) 即点P是AC的中点方法二（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系设，连接NE，则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）, ∴ =(, 又点A、M的坐标分别是（）、（∴ =（∴=且NE与AM不共线，∴NE∥AM 又∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDF （Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF ∴AB⊥平面ADF ∴为平面DAF的法向量∵=（·=0，∴=（·=0得,∴NE为平面BDF的法向量∴cos<>= ∴的夹角是60º 即所求二面角A—DF—B的大小是60º （Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤)得∴=（，0，0）又∵PF和CD所成的角是60º ∴ 解得或（舍去），即点P是AC的中点（20）（满分12分）解：（Ⅰ）因为所以切线的斜率为故切线的方程为即（Ⅱ）令y=0得x=t+1, 又令x=0得所以S（t）= = 从而∵当（0，1）时，>0, 当（1,+∞）时,<0, 所以S(t)的最大值为S(1)= (21) (满分12分) 解: (Ⅰ)由条件得直线AP的方程即因为点M到直线AP的距离为1, ∵ 即. ∵ ∴解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--. ∴m的取值范围是(Ⅱ)可设双曲线方程为由得. 又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1因此，（不妨设P在第一象限）直线PQ方程为直线AP的方程y=x-1, ∴解得P的坐标是（2+，1+），将P点坐标代入得，所以所求双曲线方程为即（22）（满分14分）解：(Ⅰ)因为，所以，又由题意可知∴ = = ∴为常数列∴ (Ⅱ)将等式两边除以2，得又∵ ∴ （Ⅲ）∵ = = 又∵ ∴是公比为的等比数列。
2004年高考.浙江卷.理科数学试题及答案
2004年高考.浙江卷.理科数学试题及答案2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工类）（浙江卷）第Ⅰ卷 (选择题共60分)一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则C U (M ∪N)=(A) {1,2,3} (B) {2} (C) {1,3,4} (D) {4}(2) 点P 从(1,0)出发,沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点,则Q 的坐标为(A) )23,21(- (B) ()21,23-- (C) ()23,21-- (D) ()21,23- (3) 已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =(A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10(4)曲线x y 42=关于直线x=2对称的曲线方程是(A) x y 482-= (B) 842-=x y (C) x y 4162-= (D) 1642-=x y(5) 设z=x —y ,式中变量x 和y 满足条件≥-+≥-03,02y x y x 则z 的最小值为 (A) 1 (B) –1 (C) 3 (D) –3(6) 已知复数i t z i z +=+=21,43,且21z z ?是实数,则实数t=(A) 43 (B) 34 (C) --34 (D) --43 (7) 若n x )x2(3+展开式中存在常数项,则n 的值可以是 (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12(8)在ΔABC 中,“A>30o”是“sinA>21”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也必要条件(9)若椭圆)0(12222??=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为（A ）1716 （B ）17174 （C ）54 （D ）552 （10）如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中已知AB=1，D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则α=（A ）3π （B ）4π （C ）410arcsin （D ）46arcsin（11）设)(x f '是函数f(x)的导函数，y=)(x f '的图象如图所示，则y= f(x)的图象最有可能的是（12）若)(x f 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可能．．．是（A ）512-+x x （B ）512++x x （C ）512-x （D ）512+x 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：三大题共4小题，每小题4分，满分16分。