高中数学 第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题常见题型及其解法素材 新人教A版必修5
人教版高中数学必修5第三章不等式 3.3.2 简单的线性规划问题
钢板张数最少？
分
A规格 B规格 C规格 张数
析： 第一种钢板
2
1
1
x
列 第二种钢板
1
2
3
y
表 成品块数 2x y x 2y x 3y
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共需截
这两种钢板共z张，则
2x y 15,
x x
2y 3y
18, 27,
x 0,
分析：对应无数个点，即直线与边界线重合时. 作出可行域，结合图形，看直线 l : y ax z
与哪条边界线重合时，可取得最大值.
解：当直线 l : y ax z 与边界
线重合时，有无数个点，
使函数值取得最大值，
此时有 kl kAC .
3
3
k AC
5
, kl
a
ห้องสมุดไป่ตู้. 5
问题的最优解.
（1）在上述问题中，如果每生产一件甲产品
获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，
又当如何安排生产才能获得最大利润？
（2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关 系吗？
设生产甲产品x件乙产品y件时，工厂获得的利润为
z,则z=3x+2y.
把z 3x 2 y变形为y 3 x z ,这是斜率为 3 ,
利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案. 最优解一般在可行域的顶点处取得．
x 4 y 3, 例2 已知x, y满足 3x 5 y 25,设z ax y(a 0),
人教版高中数学必修5第三章不等式《3.3.2 简单的线性规划问题》教学PPT
思考5：作可行域，使目标函数取最小
值的最优解是什么？目标函数的最小值
为多少？ 28x＋21y=0
7x＋14y＝6
y
A最最优小解值1(671.,
4 7
)，
7x 7 x
7y 5 14 y 6
14x 7 y 6
x 0, y 0
x＝4
思考3：图中阴影区域内任意一点的坐
标都代表一种生产安排吗？
y
x 2y 8
0 x 4 0 y 3 x N , y N O
y＝3 x
x＋2y＝8 x＝4
阴影区域内的整点（坐标为整数的点） 代表所有可能的日生产安排.
思考4：若生产一件甲产品获利2万元， 生产一件乙产品获利3万元，设生产甲、 乙两种产品的总利润为z元，那么z与x、 y的关系是什么？
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时
问题提出
1.“直线定界，特殊点定域”是画二元 一次不等式表示的平面区域的操作要点， 怎样画二元一次不等式组表示的平面区 域？
2.在现实生产、生活中，经常会遇到资 源利用、人力调配、生产安排等问题， 如何利用数学知识、方法解决这些问题， 是我们需要研究的课题.
探究（一）：线性规划的实例分析 t
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【背景材料】某工厂用A、B两种配件 生产甲、乙两种产品，每生产一件甲 产品使用4个A配件耗时1h；每生产一 件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每 天最多可从配件厂获得16个A配件和12 个B配件，每天工作时间按8h计算.
思考1：设每天分别生产甲、乙两种产 品x、y件，则该厂所有可能的日生产 安排应满足的基本条件是什么？
2x y 15
高中数学 第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题常
线性规划的常见题型及其解法线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．求线性目标函数的最值． 2．求非线性目标函数的最值． 3．求线性规划中的参数． 4．线性规划的实际应用．本节主要讲解线性规划的常见基础类题型．【母题一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7，23]B ．[8，23]C ．[7，8]D ．[7，25]求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b，通过求直线的截距z b的最值，间接求出z 的最值．【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，表示的平面区域如图中阴影部分所示，由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3，平移直线y ＝－23x 知在点B 处目标函数取到最小值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，2x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，所以B (2,1)，z min ＝2×2＋3×1＝7，在点A 处目标函数取到最大值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，2x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，所以A (4,5)，z max ＝2×4＋3×5＝23．【答案】A【母题二】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．点(x ，y )在不等式组表示的平面区域内，y 2x －1＝12·y －0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12表示点(x ，y )和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0连线的斜率；x 2＋y 2表示点(x ，y )和原点距离的平方；x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2表示点(x ，y )和点(－3,2)的距离的平方．【解析】(1)由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．∵z ＝y 2x －1＝y －0x －12×12∴z 的值即是可行域中的点与⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0连线的斜率，观察图形可知z min ＝2－05－12×12＝29． (2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29．∴2≤z ≤29．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是： 可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝－3－2＋－2＝8∴16≤z ≤64．1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义． 2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b ，通过求直线的截距z b的最值，间接求出z 的最值．(2)距离型：形一：如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离；形二：z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z ＝y x ，z ＝ay －b cx －d ，z ＝y cx －d ，z ＝ay －bx，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线的斜率．【提醒】 注意转化的等价性及几何意义．角度一：求线性目标函数的最值1．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8．【答案】B2．(2015·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．40【解析】作出约束条件对应的平面区域如图所示 ，当目标函数经过点(0,3)时，z 取得最大值18．【答案】C3．(2013·高考陕西卷)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( )A ．－6B ．－2C ．0D ．2【解析】如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点(－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6．【答案】A角度二：求非线性目标的最值4．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－13．【解析】C5．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，则z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围 ．【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝2x ＋y －1x －1＝2＋y ＋1x －1的取值范围可转化为点(x ，y )与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A 点坐标为(2，1)，则点(1，－1)与(2，1)所在直线的斜率为22＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z 的取值范围为(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)．【答案】(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)6．(2015·郑州质检)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，4]C ．[2，2]D ．[2，4]【解析】如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 的内部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．【答案】B7．(2013·高考北京卷)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝|2×1－0|22＋1＝255，故最小距离为255． 【答案】2558．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A ．285B ．4C ．125D ．2【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示的平面区域如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1．点A (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3－4－9|5＝2，则|AB |的最小值为4．【答案】B角度三：求线性规划中的参数9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A ．73 B ．37 C ．43D ．34【解析】不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43．因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52．当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73．【解析】A10．(2014·高考北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12【解析】D 作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0的可行域．当k ＞0时，如图①所示，此时可行域为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1＜k ＜0时，如图②所示，此时可行域为点A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝－4⇒k ＝－12．【答案】D11．(2014·高考安徽卷)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A ．12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B ＞z C 或z A ＝z C ＞z B 或z B＝z C ＞z A ，解得a ＝－1或a ＝2．法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2．【答案】D12．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4.下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是( )A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8]【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s ，y ＝2s －4，，则交点为B (4－s,2s －4)，y ＋2x ＝4与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为C ′(0,4)，x ＋y ＝s 与y 轴的交点为C (0，s )．作出当s ＝3和s ＝5时约束条件表示的平面区域，即可行域，如图(1)(2)中阴影部分所示．(1) (2)当3≤s ＜4时，可行域是四边形OABC 及其内部，此时，7≤z max ＜8； 当4≤s ≤5时，可行域是△OAC ′及其内部，此时，z max ＝8． 综上所述，可得目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是[7，8]． 【答案】D13．(2015·通化一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．【解析】∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋y ＋x ＋1，而y ＋1x ＋1表示过点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率，易知a ＞0， ∴可作出可行域，由题意知y ＋1x ＋1的最小值是14，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0－－3a －－＝13a ＋1＝14⇒a ＝1．【答案】1角度四：线性规划的实际应用14．A ，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．【解析】 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤11，x ＋3y ≤9，x ∈N ，y ∈N ，生产利润为z＝300x ＋400y ．画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z ＝300x ＋400y 在点A 处取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，则z max ＝300×3＋400×2＝1 700．故最大利润是1 700元．【答案】1 70015．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300．(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋－x －y ，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300． 作出可行域．如图所示：初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)【解析】根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0．即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24． 【答案】B2．(2015·临沂检测)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0C ．32D ．3【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3表示的可行域(如图所示的△ABC 的边界及内部)．平移直线z ＝x －y ，易知当直线z ＝x －y 经过点C (0,3)时，目标函数z ＝x －y 取得最小值，即z min ＝－3．【答案】A3．(2015·泉州质检)已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP →的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【解析】如图作可行域，z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2．【答案】D4．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5B ．[0，5]C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5 【解析】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5．【答案】D5．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( ) A ．2 B ．1 C ．3D ．0【解析】由题意知(6－8b ＋1)(3－4b ＋5)＜0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b －78(b －2)＜0，∴78＜b ＜2，∴b 应取的整数为1．【答案】B6．(2014·郑州模拟)已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0，2)C ．(3－1，2)D ．(0，1＋3)【解析】如图，根据题意得C (1＋3，2)．作直线－x ＋y ＝0，并向左上或右下平移，过点B (1,3)和C (1＋3，2)时，z ＝－x ＋y 取范围的边界值，即－(1＋3)＋2<z <－1＋3，∴z ＝－x ＋y 的取值范围是(1－3，2)．【答案】A7．(2014·成都二诊)在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0，所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2B ．13C ．12D ．1【解析】作出可行域如图所示，当点P 位于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝1，的交点(1,1)时，(k OP )max ＝1．【答案】D8．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1C ．12D ．14【解析】不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0，所表示的可行域如图所示，设a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，则此两目标函数的范围分别为a ＝x ＋y ∈[0,1]，b ＝x －y ∈[－1,1]，又a ＋b ＝2x ∈[0,2]，a －b ＝2y ∈[0,2]，∴点坐标(x ＋y ，x －y )，即点(a ，b )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，－1≤b ≤1，0≤a ＋b ≤2，0≤a －b ≤2，作出该不等式组所表示的可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积S ＝12×2×1＝1．【答案】B9．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab 的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(0，4]C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)【解析】作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过点A (1,1)时取最大值，∴a ＋b ＝4，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4，∵a ＞0，b ＞0，∴ab ∈(0，4]．【答案】B10．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB 为直径的圆的面积的最大值S ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π．【答案】D11．(2015·东北三校联考)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3．【答案】B12．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3【解析】法一：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5，当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7．法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．图(1) 图(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)，则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项．当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．【答案】B13．若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则由点P (a ，b )所确定的平面区域的面积是( )A ．12 B ．π4C ．1D ．π2【解析】因为ax ＋by ≤1恒成立，则当x ＝0时，by ≤1恒成立，可得y ≤1b(b ≠0)恒成立，所以0≤b ≤1；同理0≤a ≤1．所以由点P (a ，b )所确定的平面区域是一个边长为1的正方形，面积为1．【答案】C14．(2013·高考北京卷)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2．求得m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13C ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53【解析】当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m ＜0．如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m＜－12m －1，解得m ＜－23．【答案】C15．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ．若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，3]B ．[2，3]C ．(1，2]D ．[3，＋∞)【解析】平面区域D 如图所示．要使指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，所以1＜a ≤3． 【解析】A16．(2014·高考福建卷)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49【解析】由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1．显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6．∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37．【解析】C17．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k x －－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】已知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示． 当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域．所以直线y ＝k (x －1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k 的取值范围是(－∞，－1)．当直线y ＝k (x －1)－1与y ＝x 平行时不能形成三角形，不平行时，由题意可得k ＞1时，也可形成三角形，综上可知k ＜－1或k ＞1．【答案】D18．(2016·武邑中学期中)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10【解析】区域如图所示，目标函数z ＝2x ＋y 在点A (3,2)处取得最大值，最大值为8．【答案】C19．(2016·衡水中学期末)当变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥m时，z ＝x －3y 的最大值为8，则实数m 的值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1【解析】画出可行域如图所示，目标函数z ＝x －3y 变形为y ＝x 3－z3，当直线过点C 时，z 取到最大值，又C (m ，m )，所以8＝m －3m ，解得m ＝－4． 【答案】A20．(2016·湖州质检)已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan∠AOB 的最大值等于( )A ．94 B ．47 C ．34D ．12【解析】如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，观察图形可知当A 为(1,2)，B 为(2,1)时，tan ∠AOB 取得最大值，此时由于tan α＝k BO ＝12，tan β＝k AO ＝2，故tan ∠AOB ＝tan (β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝2－121＋2×12＝34． 【解析】C 二、填空题21．(2014·高考安徽卷)不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4．【答案】422．(2014·高考浙江卷)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是________．【解析】作出可行域，如图，作直线x ＋y ＝0，向右上平移，过点B 时，x ＋y 取得最小值，过点A 时取得最大值．由B (1,0)，A (2,1)得(x ＋y )min ＝1，(x ＋y )max ＝3．所以1≤x ＋y ≤3． 【答案】[1,3]23．(2015·重庆一诊)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为____．【解析】根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4．【答案】424．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．【解析】目标函数w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x ，y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又|2＋2－1|2＝322，所以w min ＝92．【答案】9225．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．【解析】如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O 到直线x ＋y －2＝0的垂线段长是|OM |的最小值，∴|OM |min ＝|－2|12＋12＝2．【答案】 226．(2016·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．【解析】设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，利润z ＝5x ＋3y ，作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x＝3，y＝4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元．【答案】2727．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：________亩．【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，总利润为z万元，则目标函数为z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y．线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤50，1.2x＋0.9y≤54，x≥0，y≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤50，4x＋3y≤180，x≥0，y≥0.画出可行域，如图所示．作出直线l0：x＋0．9y＝0，向上平移至过点A时，z取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝50，4x＋3y＝180，解得A(30,20)．【答案】3028．(2015·日照调研)若A为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，y≥0，y－x≤2表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．【解析】平面区域A 如图所示，所求面积为S ＝12×2×2－12×22×22＝2－14＝74．【答案】7429．(2014·高考浙江卷)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32．所以a 的取值范围是1≤a ≤32．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3230．(2015·石家庄二检)已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 的值为________．【解析】由目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx ＋y ＝0的倾斜角为120°，于是有－k ＝tan 120°＝－3，所以k ＝3．【答案】 331．设m ＞1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围 ．【解析】变换目标函数为y ＝－1m x ＋z m ，由于m >1，所以－1<－1m<0，不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，只有直线y ＝－1m x ＋zm在y 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A 处取得最大值，由y ＝mx ，x ＋y ＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋m ，m 1＋m ，所以目标函数的最大值z max＝11＋m ＋m 21＋m<2，所以m 2－2m －1<0，解得1－2<m <1＋2，故m 的取值范围是(1,1＋2)．【答案】(1,1＋2)32．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．【解析】不等式组表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，目标函数可变形为y ＝x －z ，当z 最小时，直线y ＝x －z 在y 轴上的截距最大．当z 的最小值为－1，即直线为y ＝x ＋1时，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝2x －1，可得此时点A 的坐标为(2,3)，此时m ＝2＋3＝5；当z 的最小值为－2，即直线为y ＝x ＋2时，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝2x －1，可得此时点A 的坐标是(3,5)，此时m ＝3＋5＝8．故m 的取值范围是[5,8]．目标函数z ＝x －y 的最大值在点B (m －1,1)处取得，即z max ＝m －1－1＝m －2，故目标函数的最大值的取值范围是[3,6]．【答案】[3,6]33．(2013·高考广东卷)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．【解析】线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，点(0,1)与(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条 ，又(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)都在直线x ＋y ＝4上，故T 中的点共确定6条不同的直线． 【答案】634．(2011·湖北改编)已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ．若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为__________．【解析】∵a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，∴a ·b ＝2(x ＋z )＋3(y －z )＝0，即2x ＋3y －z ＝0．又|x |＋|y |≤1表示的区域为图中阴影部分，∴当2x ＋3y －z ＝0过点B (0，－1)时，z min ＝－3，当2x ＋3y －z ＝0过点A (0,1)时，z min ＝3． ∴z ∈[－3,3]． 【答案】[－3,3]35．(2016·衡水中学模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________．【解析】作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意． 若m ≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－1m 的动直线y ＝－1m x ＋zm，若m ＜0，则－1m＞0，由数形结合知，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m ＞0，则－1m＜0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y )在线段AB 上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－1m＝－1，则m ＝1．综上可知，m ＝1． 【答案】1。
高中数学 第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题(第
3.3.2《简单的线性规划问题》（第1课时）一、选择题：1．目标函数z ＝4x ＋y ，将其看成直线方程时，z 的几何意义是( )A ．该直线的截距B ．该直线的纵截距C ．该直线的横截距D ．该直线的纵截距的相反数 【答案】B【解析】把z ＝4x ＋y 变形为y ＝－4x ＋z ，则此方程为直线方程的斜截式，所以z 为该直线的纵截距． 2．在如下图所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x －y ，则使z 取得最小值的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(3,2)C ．(5,2)D ．(4,1) 【答案】A【解析】对直线y ＝x ＋b 进行平移，注意b 越大，z 越小．3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C.[]－1，6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32【答案】A【解析】利用线性规划的知识求解．作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x －y ＝0，并向上、下平移，又直线y ＝3x －z 的斜率为3. 由图象知当直线y ＝3x －z 经过点A (2,0)时z 取最大值6，当直线y ＝3x －z 经过点B (12，3)时，z 取最小值－32. ∴z ＝3x －y 的取值范围为[－32，6]．故选A.4．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55 【答案】D【解析】根据题意画出不等式组表示的平面区域，然后求值．不等式组表示的区域如图所示，所以过点A (5,15)时2x ＋3y 的值最大，此时2x ＋3y ＝55.5．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，则yx的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞) 【答案】C【解析】⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0所表示的可行域如下图．而y x表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，过点O 与直线AB 平行的直线l 的斜率为1，l 绕点O 逆时针转动必与AB 相交，直线OB 的倾斜角为90°，因此y x的范围为(1，＋∞)．6.已知以x ，y 为自变量的目标函数ω＝kx ＋y (k >0)的可行域如下图阴影部分(含边界)，若使ω取最大值时的最优解有无穷多个，则k 的值为( )A ．1 B.32 C ．2 D ．4【答案】A【解析】目标函数可变形为y ＝－kx ＋ω，又∵k >0，结合图象可知，当ω最大时，－k ＝k DC ＝4－22－4＝－1.即k ＝1.二、填空题：7．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤6，则目标函数z ＝x ＋3y 的取值范围是________．【答案】[8,14]【解析】画出可行域，如图所示．作直线x ＋3y ＝0，并平移，由图象可知当直线经过A (2,2)时，z 取最小值，则z min ＝2＋3×2＝8.当直线经过C (2,4)时，z 取最大值z max ＝2＋3×4＝14. 所以z ＝x ＋3y 的取值范围是[8,14]．8．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 取最大值时点的坐标为________．【答案】(2，－1)【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1所表示的可行域如图所示．当平行直线系z ＝2x ＋y 经过点A (2，－1)时，目标函数z ＝2x ＋y 取得最大值．9．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ＋k ≥0，且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k ＝________.【答案】0【解析】由条件作出可行域如下图．根据图象知，目标函数过x ＋y ＋k ＝0与x ＝3的交点(3，－3－k )时取最小值，代入目标函数得－6＝2×3＋4×(－3－k )，∴k ＝0. 三、解答题10．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，试求a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】 区域D 如下图所示，其中A (2,9)．当y ＝a x恰过点A 时，a ＝3.因此当1<a ≤3时，y ＝a x的图象上存在区域D 上的点．故a 的取值范围为(1,3]． 11．设z ＝2x ＋y ，式中变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y≤－3，3x ＋5y≤25，x≥1，求z 的最大值和最小值．【答案】见解析【解析】 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，随z 变化的一族平行直线． 由图可以看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0得B 点坐标为(1,1)，所以z max ＝2×5＋2＝12，z min ＝2×1＋1＝3.12．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，求目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围．【答案】见解析【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4，如图得交点为A (2,0)，B (4－s,2s －4)，C (0，s )，C ′(0,4)，令z ＝0，得l 0：3x ＋2y ＝0，当l 0向上平移时z 值逐渐增大．(1)当3≤s <4时可行域为四边形OABC ，此时l 0平移到B 点时z 取最大值，z max ＝3×(4－s )＋2(2s －4)＝s ＋4. ∵3≤s <4，∴7≤z max <8.(2)当4≤s <5时，可行域是△OAC ′，此时l 0过C ′点时z 取最大值，z max ＝3×0＋2×4＝8.综上所述，z max ∈[7,8]．。
2019年高中数学第三章不等式3.3.2简单的线性规划问题(第1课时)简单的线性规划问题课件
x≥1， 2．(2019·青岛模拟)已知 x，y 满足约束条件y4≥x＋－y1≤，9，若目
x＋y≤3，
标函数 z＝y－mx(m>0)的最大值为 1，则 m 的值是( )
A．－290
B．1
C．2
D．5
解析：选 B.作出可行域，如图所示的阴影部分．
化目标函数 z＝y－mx (m>0)为 y＝mx＋z，由图可知，当直线 y＝mx＋z 过 A 点时，直线在 y 轴上的截距最大，由xx＝ ＋1y＝，3， 解得xy＝＝21，，即 A(1，2)，所以 2－m＝1，解得 m＝1.故选 B.
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在线性约束条件下，最优解是唯一的．( ) (2)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解．( ) (3)线性规划问题一定存在最优解．( ) (4)目标函数 z＝ax＋by(b≠0)中，z 的几何意义是直线 ax＋by －z＝0 在 y 轴上的截距．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
x＋2y≤8， 3．设函数 z＝2x＋5y，其中 x，y 满足条件0≤x≤4， 求 z 的
0≤y≤3， 最大值与最小值．
解：先在平面直角坐标系 xOy 内 画出不等式组表示的平面区域， 即可行域(如图中阴影部分所示)． 把 z＝2x＋5y 变形为 y＝－25x＋15z， 得到斜率为－25，在 y 轴上的截距为15z，随 z 变化的一族平行 直线．由图可以看出，当直线 y＝－25x＋15z 经过可行域上的 点 M 时，截距15z 最大，即 z 最大．
【解析】 图所示，
(1)作出不等式组yx≤＋xy， ≤4，表示的平面区域，如 y≥k
由 z＝2x＋y 得 y＝－2x＋z，易知当直线 y＝－2x＋z 过点 A(k， k)时，z＝2x＋y 取得最小值，即 3k＝－6，所以 k＝－2.
高中数学第三章不等式3.3.2.1简单的线性规划问题练习含解析新人教A版必修50819317
高中数学第三章不等式3.3.2.1简单的线性规划问题练习含解析新人教A 版必修50819317知识点一 求线性目标函数的最值1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9B ．157C ．1D ．715答案 A解析 画出可行域如图．令z ＝x ＋y ，则当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (4，5)， ∴z max ＝4＋5＝9．2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11，3 答案 A解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3，5)，B (5，3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11．3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．答案 7解析 作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2，1)时，z 有最小值，z 的最小值为7．4．线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．解 如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3，3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9，1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1，9)，作一组与直线2x－y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时，－z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7．∴z max ＝17，z min ＝－7．知识点二 求非线性目标函数的最值5．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．10B ．8C ．16D ．10 答案 D解析 画出不等式组对应的可行域如图所示：易得A (1，1)，|OA |＝2，B (2，2)，|OB |＝22，C (1，3)，|OC |＝10． 则(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10．6．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则yx的最大值为________．答案 2解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0对应的平面区域Ω，y x ＝y －0x －0表示平面区域Ω上的点P (x ，y )与原点的连线的斜率．则点A (1，2)，B (3，0)，∴0≤yx≤2． 7．已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥0，3x －y －5≤0，x －2y ＋5≥0，求x 2＋y 2的最小值和最大值．解 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥0，3x －y －5≤0，x －2y ＋5≥0的可行域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0，2x ＋y －5＝0，得A (1，3)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝0，3x －y －5＝0，得B (3，4)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝0，2x ＋y －5＝0，得C (2，1)，设z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B 的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点C 的距离最小．故z max ＝|OB |2＝25，z min ＝|OC |2＝5．8．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则 (1)z ＝yx ＋1的最大值；(2)z ＝(x ＋1)2＋y 2的最小值． 解 (1)yx ＋1即过点(x ，y )与点(－1，0)的直线斜率．由图可知z ＝yx ＋1的最大值为点(0，1)与点(－1，0)的直线斜率，此时z ＝1－00＋1＝1． (2)z ＝(x ＋1)2＋y 2为点(－1，0)与点(x ，y )距离的平方．z 最小值为点(－1，0)与点(0，0)距离的平方．此时z ＝1．知识点三 线性规划中的参数问题9．已知点P (x ，y )的坐标满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0，若z ＝x ＋3y ＋m 的最小值为6，则m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D解析 根据题意，作出可行域(如下图)，由图可知目标函数在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12处取得最小值6，从而m ＝6－12－32＝4．故选D ．易错点 忽略最值与直线截距之间的关系10．如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，x ＋y ＋1≤0，那么z ＝2x －y 的最大值为________．易错分析 本题目标函数整理得y ＝2x －z ，当纵截距最大时z 最大，易错得z max ＝－3． 答案 1解析作出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知，平移直线2x －y ＝0，当其经过直线y ＋1＝0与直线x ＋y ＋1＝0的交点(0，－1)时目标函数取得最大值，即z max ＝2×0－(－1)＝1．一、选择题1．设变量x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥1，则目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值为( )A ．12B ．10C ．8D ．2 答案 B解析 如图，不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，当直线z ＝4x ＋2y 经过点A 时，z 的值最大，因为点A 的坐标是(2，1)，故z 的最大值是4×2＋2×1＝10．选B ．2．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，则z ＝x ＋y ( )A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值 答案 B解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2表示的可行域如下图所示：z ＝x ＋y 表示直线过可行域时，在y 轴上的截距，当目标函数平移至过可行域A 点时，z 有最小值．联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x －2y ＝2，解得A (2，0)．z 最小值＝2，z 无最大值．3．如图所示的坐标平面的可行域内(包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( )A ．14B ．35C ．4D ．53 答案 B解析 ∵z ＝ax ＋y ，∴y ＝－ax ＋z ，∴当－a ＝k AC 时，最优解有无穷多个． ∵k AC ＝－35，∴a ＝35．故选B ．4．在平面直角坐标系中，动点M (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ＋y －2≤0，y －1≥0，动点Q 在曲线(x －1)2＋y 2＝12上，则|MQ |的最小值为( )A ． 2B ．322C ．1－22 D ．5－12答案 A解析 圆(x －1)2＋y 2＝12的圆心坐标为(1，0)，半径r ＝22，则圆心到可行域的最小距离为到直线x －y ＋2＝0的距离，即d ＝|1－0＋2|2＝322，所以|MQ |的最小值为d －r ＝2．故选A ．5．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥a ，若x ＋2y ≥－5 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．[－1，1]D ．[－1，1) 答案 C解析由题意作出可行域，如图所示，由图易知a ≤1．x ＋2y ≥－5恒成立可化为图中的阴影部分恒在直线x ＋2y ＝－5的右上方，即点A 在直线x ＋2y ＝－5上或其右上方．易知A 点坐标为(a ，a －1)，所以a ＋2(a －1)≥－5，所以实数a 的取值范围为[－1，1]．故选C ．二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最小值为________．答案 －8解析 在坐标平面内画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2所表示的平面区域，作出直线x －3y ＝0，平移该直线，再结合图形不难得出当直线平移到经过该平面区域内的点(－2，2)时，z ＝x －3y 取得最小值等于－2－3×2＝－8．7．已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x －1≥0，点A (2，0)，则|OP →|sin ∠AOP (O 为坐标原点)的最大值为________．答案225解析 由于|OP →|sin ∠AOP ＝|OP →|×y P |OP →|＝y P ，故将不等式组表示的可行域作出如下图所示，如图易知直线3x ＋5y ＝25与直线x ＝1的交点P 的纵坐标取得最大值，解得y P ＝225．8．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3，1)处取得最大值，则a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 由变量x ，y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2，在坐标系中画出可行域，如图中的阴影部分所示，为四边形ABCD ，其中A (3，1)，k AD ＝1，k AB ＝－1．目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)中的z表示斜率为－a的一族平行直线在y轴上的截距的大小，若仅在点(3，1)处取得最大值，则斜率应小于k AB＝－1，即－a＜－1，所以a的取值范围是(1，＋∞)．三、解答题9．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋3≥0，x＋y≥0，x≤2表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x，y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解(1)画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(包括边界)，结合图形可知x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2，y∈[－2，5]．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－x≤y≤x＋3，－32≤x≤2，x∈Z，y∈Z，当x＝－1时，1≤y≤2，有2个整点；当x＝0时，0≤y≤3，有4个整点；当x＝1时，－1≤y≤4，有6个整点；当x＝2时，－2≤y≤5，有8个整点．所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＝20个．10．已知⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋2≥0，x＋y－4≥0，2x－y－5≤0，求：(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(2)z＝2y＋1x＋1的取值范围．解(1)作出可行域如下图，计算得点A(1，3)，B(3，1)，C(7，9)．- 1 - z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0，5)的距离的平方． 过点M 作AC 的垂线，易知垂足N 在AC 上，故|MN |＝|0－5＋2|1＋－12＝32＝322． ∴|MN |2＝3222＝92． ∴z 的最小值为92． (2)z ＝2·y －－12x －－1表示可行域内点(x ，y )与定点Q －1，－12连线斜率的2倍． ∵k QA ＝74，k QB ＝38． ∴z 的取值范围是34，72．。
高中数学第三章不等式3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.3.2第2课时简单线性规划的应
[知识提炼·梳理]
1．二元一次不等式的几何意义 对于任意的二元一次不等式 Ax＋By＋C＞0(或＜0)， 无论 B 为正值还是负值，我们都可以把 y 项的系数变形 为正数，当 B＞0 时， (1)Ax＋By＋C＞0 表示直线 Ax＋By＋C＝0_上__方__的 区域；
[典例 1] 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生 产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克；生产 乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克，B 原料 1 千克．每桶甲 产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元．公司 在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A，B 原料都 不超过 12 千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的 甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？
第三章 不等式
3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 3.3.2 简单的线性规划问题
第 2 课时 简单线性规划的应用
[学习目标] 1.从实际情境中抽象出简单的线性规划问 题，建立数学模型． 2.掌握线性规划问题的图解法，并能 应用它解决一些简单的实际问题． 3.线性规划的理论和方 法主要用于解决以下两类问题：一是在人力、物力、资金等 资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；
A．31 200 元 B．36 000 元 C．36 800 元 D．38 400 元
解析：设租用 A 型车 x 辆，B 型车 y 辆，租金为 z
36x＋60y≥900，
y－x≤7， 元，则
y＋x≤21，
画出可行域(如图中阴影部分内
x，y∈N
的整点)，则目标函数 z＝1 600x＋2 400y 在点(5，12)处取
高中数学 第三章 简单的线性规划问题知识汇总素材 北师大版必修5(1)
简单的线性规划问题
1.线性规划的有关概念：
①线性约束条件：
在上述问题中，不等式组是一组变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y 的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x，y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
2.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
3.解线性规划实际问题的步骤：
（1）将数据列成表格；
（2）列出约束条件与目标函数；
（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；
（4）验证.
4. 两类主要的目标函数的几何意义:
（1）-----直线的截距；
（2）-----两点的距离或圆的半径；
（3）-----直线的斜率。
高中数学第三章不等式3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.2简单的线性规划问题课件新人教A版必修5
表示的
当直线z＝3x＋y过点A时，z取得最大值9，故选C.
(2)由线性约束条件画出可行域(如图所示)．由 1 1 1 z＝x＋2y得y＝－ x＋ z， z的几何意义是直线 2 2 2 1 1 y＝－ x＋ z在y轴上的截距，要使z最小，需使 2 2 1 1 1 z最小，易知当直线y＝－ x＋ z过点A(1,1)时，z最小，最小值为3，故 2 2 2 选B.
B．(－1，－1)
1 1 D.2，2
解析：可以验证这四个点均是可行解，当x＝0，y＝1时，z＝－1； 1 1 当x＝－1，y＝－1时，z＝0；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝ ，y＝ 2 2 时，z＝0.排除选项A，B，D，故选C.
答案：C
4．若实数x，y满足
x＋y－2≥0， x≤4， y≤5，
(2)常见代数式的几何意义主要有： ① x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；
则S＝x＋y的最大值为
________．
解析：画出可行域，如图阴影部分所示，平移直线x＋y＝0，当过点 C(4,5)时，S有最大值，其最大值为S＝4＋5＝9.
答案：9
探究一 [典例1]
求线性目标函数的最值
(1)(2016· 高考天津卷)设变量x，y满足约束条件 )
x－y＋2≥0， 2x＋3y－6≥0， 则目标函数z＝2x＋5y的最小值为( 3x＋2y－9≤0， A．－4 C．10 B． 6 D．17
意义 所有 可行解组成的集合 使目标函数取得 最大值或 最小值 的可行解 在线性约束条件下，求线性目标函数的 最大值或
最小值 问题 _______
[双基自测] x≥1， 1．已知变量x、y满足条件y≤2， 则x＋y的最小值是( x－y≤0， A．4 C．2 B． 3 D．1
高中数学 第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题素材 新人教A版必修5(2021年最新整理)
高中数学第三章不等式3.3.2 简单的线性规划问题素材新人教A版必修5 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章不等式3.3.2 简单的线性规划问题素材新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.3.2 简单线性规划问题备用习题1.某糖果厂生产A、B两种糖果,A种糖果每箱获利润40元，B种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间:（单位：分钟）混合烹调包装A153B241每种糖果的生产过程中,混合的设备至多能用12小时，烹调的设备至多只能用30小时，包装的设备只能用15小时，试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？分析：找约束条件，建立目标函数.解:设生产A种糖果x箱，B种糖果y箱，可获得利润z元，则此问题的数学模式在约束条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+,0,9003,180045,7202yxyxyxyx下，求目标函数z=40x+50y的最大值，作出可行域，其边界O A:y=0，AB:3x+y-900=0，BC:5x+4y— 1 800=0，C D:x+2y-720=0，DO：x=0。
由z=40x+50y,得5054zxy+-=，它表示斜率为54-，截距为z［］50的平行直线系，50z越大，z越大,从而可知过C点时截距最大，z取得了最大值.解方程组⇒⎩⎨⎧=+=+1800457202yxyxC(120，300）。
∴z m a x=40×120+50×300=19 800,即生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱，可得最大利润19 800元.点评：由于生产A 种糖果120箱，生产B 种糖果300箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为120＋2×300＝720（分），烹调时间5×120＋4×300＝1 800(分），包装时间3×120＋300＝660（分）,这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有240分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松弛"部分,有待于改进研究。
高中数学第三章不等式3.3.2简单的线性规划问题练习新人教A版必修5
3.3.2简单的线性规划问题课后篇巩固探究A组1.已知某线性规划问题中的目标函数为z=3x-y,若将其看成直线方程,则z的几何意义是()A.该直线的截距B.该直线的纵截距C.该直线的纵截距的相反数D.该直线的横截距解析由z=3x-y,得y=3x-z,在该方程中-z表示直线的纵截距,因此z表示该直线的纵截距的相反数.答案C2.目标函数z=x-y在的线性约束条件下,取得最大值的可行解为()A.(0,1)B.(-1,-1)C.(1,0)D.解析可以验证这四个点均是可行解,当x=0,y=1时,z=-1;当x=-1,y=-1时,z=0;当x=1,y=0时,z=1;当x=,y=时,z=0.排除选项A,B,D,故选C.答案C3.若变量x,y满足约束条件目标函数为z=4x+2y,则有()A.z有最大值无最小值B.z有最小值无最大值C.z的最小值是8D.z的最大值是10解析由z=4x+2y,得y=-2x+.作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分所示.平移直线y=-2x,当直线y=-2x+经过点B(0,1)时,直线y=-2x+在y轴上的截距最小,此时z最小,且z min=2.当直线y=-2x+经过点C(2,1)时,直线y=-2x+在y轴上的截距最大,此时z最大,且z max=4×2+2×1=10.故选D.答案D4.若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为()A.-1B.1C. D.2解析满足约束条件的平面区域如图中的阴影部分所示,由得交点P(1,2).当直线x=m经过点P时,m取到最大值1.答案B5.已知实数x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值为.解析因为z=2x+y,所以y=-2x+z.不等式组满足的平面区域如图阴影部分所示.平移直线2x+y=0,由图形可求得z=2x+y的最小值是-2.答案-26.已知变量x,y满足则z=x+y-2的最大值为.解析作出可行域,如图阴影部分所示.由图知,目标函数z=x+y-2在点A处取得最大值.易知A(1,2),故z max=1+2-2=1.答案17.铁矿石A和B的含铁率a、冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c 如下表:ab/万吨c/百万元A 50% 1 3B 70% 0.5 6某冶炼厂至少要生产1.9万吨的铁,若要求CO2的排放量不超过2万吨,则购买铁矿石的最少费用为百万元.解析设需购买铁矿石A x万吨,铁矿石B y万吨,购买费用为z,则根据题意得到的约束条件为目标函数为z=3x+6y.画出约束条件表示的可行域,如图阴影部分所示.当直线3x+6y=z经过点(1,2)时,z取最小值,且z最小值=3×1+6×2=15.答案158.导学号04994076已知S为平面上以A(3,-1),B(-1,1),C(1,3)为顶点的三角形区域(含三角形内部及边界).若点(x,y)在区域S上移动.(1)求z=3x-2y的最值;(2)求z=y-x的最大值,并指出其最优解.解(1)z=3x-2y可化为y=x-x+b,故求z的最大值、最小值,相当于求直线y=x+b在y轴上的截距b的最小值、最大值,即b取最大值,z取最小值;反之亦然.①如图①,平移直线y=x,当y=x+b经过点B时,b max=,此时z min=-2b=-5;当y=x+b经过点A时,b min=-,此时z max=-2b=11.故z=3x-2y的最大值为11,最小值为-5.(2)z=y-x可化为y=x+z,故求z的最大值,相当于求直线y=x+z在y轴上的截距z的最大值.如图②,平行移动直线y=x,当直线y=x+z与直线BC重合时,z max=2,此时线段BC上任一点的坐标都是最优解.②9.甜柚和脐橙是赣州地区的两大水果特产,一农民有山地20亩,根据往年经验,若种脐橙,则每年每亩平均产量为1 000千克;若种甜柚,则每年每亩平均产量为1 500千克.已知脐橙成本每年每亩4 000元,甜柚成本较高,每年每亩12 000元,且脐橙每千克卖6元,甜柚每千克卖10元.现该农民有120 000元,那么两种水果的种植面积分别为多少,才能获得最大收益? 解设该农民种x亩脐橙,y亩甜柚时,能获得利润z元.则(1 000×6-4 000)x+(1 500×10-12 000)y=2 000x+3 000y,其中x,y满足条件作出可行域,如图中阴影部分所示.当直线y=-x+经过点A(15,5),即种15亩脐橙,5亩甜柚时,每年收益最大,为45 000元.B组1.若变量x,y满足约束条件且z=5y-x的最大值为a,最小值为b,则a-b的值是()A.48B.30C.24D.16解析画出可行域,如图阴影部分所示.由图可知,当直线y=经过点A时,z有最大值;经过点B时,z有最小值.联立方程组解得即A(4,4).对x+y=8,令y=0,则x=8,即B(8,0),所以a=5×4-4=16,b=5×0-8=-8,则a-b=16-(-8)=24,故选C.答案C2.已知正数x,y满足则z=22x+y的最大值为()A.8B.16C.32D.64解析设t=2x+y,可求得当直线t=2x+y经过2x-y=0与x-3y+5=0的交点(1,2)时,t取最大值4,故z=22x+y的最大值为16.答案B3.已知x,y满足约束条件若z=x-3y+m的最小值为4,则m=()A.6B.8C.10D.12解析作出满足约束条件的可行域,如图中的阴影部分所示.由z=x-3y+m,得y=x-,则由图可知z=x-3y+m在点A(-2,2)处取得最小值,则有z=-2-3×2+m=4,所以m=12,故选D.答案D4.已知变量x,y满足约束条件则z=3|x|+y的取值范围为()A.[-1,5]B.[1,11]C.[5,11]D.[-7,11]解析画出可行域,由可行域可知,当x≥0时,z=3x+y的取值范围是[1,11];当x<0时,z=-3x+y的取值范围是(1,5].综上,z=3|x|+y的取值范围为[1,11].答案B5.若变量x,y满足约束条件则z=x+的取值范围为.解析由题意知不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分(△OAB及其内部),其中O(0,0),A(1,2),B(2,-1),因此当直线z=x+经过点A时,z取得最大值,即z max=1+=2;当直线z=x+经过点O时,z取得最小值,即z min=0.所以z=x+的取值范围为[0,2].答案[0,2]6.某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是元.解析设生产甲产品x桶,乙产品y桶,每天利润为z元,则z=300x+400y.作出可行域,如图中的阴影部分所示.作直线300x+400y=0,向右上平移,当直线经过点A时,z=300x+400y取最大值.由所以A(4,4),故z max=300×4+400×4=2 800.答案2 8007.已知z=2y-2x+4,其中x,y满足条件求z的最大值和最小值.解作出不等式组表示的平面区域,如图中的阴影部分所示.令2y-2x=t,则当直线2y-2x=t经过点A(0,2)时,z max=2×2-2×0+4=8;当直线2y-2x=t经过点B(1,1)时,z min=2×1-2×1+4=4.故z的最大值为8,最小值为4.8.导学号04994077某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对甲项目的投资不小于对乙项目投资的,且对每个项目的投资不能低于5万元.对甲项目每投资1万元可获得0.4万元的利润,对乙项目每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上一共可获得的最大利润是多少?解设投资甲项目x万元,投资乙项目y万元,可获得利润为z万元,则目标函数为z=0.4x+0.6y.作出满足题意的可行域如图阴影部分所示.由z=0.4x+0.6y,得y=-x+z.由得A(24,36).由图知,当直线y=-x+z经过点A时, z取得最大值,即z取得最大值.故z max=0.4×24+0.6×36=31.2(万元),即一共可获得的最大利润为31.2万元.。
高中数学 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题素材 新人教A版必修5(2
高中数学第三章不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题素材新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题素材新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.3二元一次不等式(组）与简单的线性规划问题一、知识梳理1。
目标函数：Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．2.可行域：约束条件所表示的平面区域称为可行域。
3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4。
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科。
主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。
1。
对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2。
确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法"：任选一个不在直线上的点,检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验．3。
高中数学第三章不等式3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.3.2简单的线性规划问题优化
2017-2018学年高中数学第三章不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.2 简单的线性规划问题优化练习新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第三章不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.2 简单的线性规划问题优化练习新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
3。
2 简单的线性规划问题［课时作业］[A组基础巩固]1．在△ABC中,三顶点分别为A(2，4)，B(－1，2),C(1，0），点P(x，y)在△ABC内部及其边界上运动，则m＝y－x的取值范围为( )A．［1，3] B．[－3,1］C．［－1,3］D．［－3，－1]解析：直线m＝y－x的斜率k1＝1≥k AB＝错误!,且k1＝1＜k AC＝4,∴直线经过点C(1，0）时m最小，为－1,经过点B(－1,2)时m最大，为3。
答案：C2．若变量x、y满足约束条件错误!,则z＝2x－y的最小值为（)A．－1 B．0C．1 D．2解析:由约束条件作出可行域如图所示，由图可知，目标函数在点A处取得最小值．联立错误!，解得错误!，∴A（0，1)，所以z＝2x－y在点A处取得最小值为2×0－1＝－1。
答案：A3．已知x，y满足错误!且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝( )A．2 B．9C．3错误!D．0解析:由题意知，当直线z＝2x＋4y经过直线x＝3与x＋y＋k＝0的交点（3,－3－k）时，z 最小，所以－6＝2×3＋4×(－3－k)，解得k＝0.答案：D4．已知变量x，y满足错误!则x2＋y2的取值范围是（)A． [13，40] B．［13,40）C．（13，40）D．(13，40］解析：作出可行域如图阴影部分所示．x2＋y2可以看成点（0，0）与点（x，y）距离的平方,结合图形可知，点(0,0）与可行域内的点A(2,3)连线的距离最小，即x2＋y2最小,最小值为13；点(0，0)与可行域内的点B(2，6)连线的距离最大，即x2＋y2最大，最大值为40.所以x2＋y2的取值范围为［13,40］．答案：A5．已知▱ABCD的三个顶点为A(－1，2），B（3,4),C（4，－2)，点（x，y)在▱ABCD的内部，则z＝2x－5y的取值范围是（）A．（－14,16) B．（－14，20）C．(－12，18）D．（－12，20)解析：如图，由▱ABCD的三个顶点A（－1,2），B(3，4），C(4,－2）可知D点坐标为(0，－4），由z＝2x－5y知y＝错误!x－错误!，∴当直线y＝错误!x－错误!过点B(3，4)时,z＝－14。
高中数学 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简
3．3.2 简单的线性规划问题(二)学习目标 1.了解实际线性规划中的整数解求法.2.会求一些简单的非线性函数的最值．知识点一 非线性约束条件思考 类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件(x －a )2＋(y －b )2≤r 2的可行域．答案梳理 非线性约束条件的概念．约束条件不是二元一次不等式，这样的约束条件称为非线性约束条件．知识点二 非线性目标函数思考 在问题“若x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，x ≤4，y ≤4，求z ＝y －1x －1的最大值”中，你能仿照目标函数z ＝ax ＋by 的几何意义来解释z ＝y －1x －1的几何意义吗？ 答案 z ＝y －1x －1的几何意义是点(x ，y )与点(1,1)连线的斜率． 梳理 下表是一些常见的非线性目标函数.目标函数目标函数变形几何意义最优解求法 z ＝ax ＋by(ab ≠0)y ＝－a b x ＋z b在y 轴上的截距是z b平移直线y ＝－a bx ，使在y 轴上的截距最大(或最小)(x －a )2＋(y －b )2令m ＝(x －a )2＋(y －b )2，则目标函数为(m )2点(x ，y )与点(a ，b )距离的平方改变圆(x －a )2＋(y－b )2＝r 2的半径，寻求可行域最先(或最后)与圆的交点y －bx －a点(x ，y )与定点(a ，绕定点(a ，b )旋转直b)连线的斜率线，寻求与可行域最先(或最后)相交时的直线斜率|ax＋by＋c|(a2＋b2≠0)a2＋b2·|ax＋by＋c|a2＋b2点(x，y)到直线ax＋by＋c＝0距离的a2＋b2倍平移直线ax＋by＋c＝0，寻求与可行域最先(或最后)相交时的交点类型一生活实际中的线性规划问题例1 某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元．已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时．问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大？(每天制造的家电件数为整数)解设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x件、y件，获取的利润为z百元，则z＝2x＋y(百元)⎩⎪⎨⎪⎧6x＋2y≤24，x＋y≤5，5y≤15，x，y∈N，作出可行域如图阴影部分中的整点：由图可得O(0,0)，A(0,3)，B(2,3)，C⎝⎛⎭⎪⎫72，32，D(4,0)．平移直线y＝－2x＋z，又x，y∈N，所以当直线过点(3,2)或(4,0)时，z有最大值．所以工厂每天制造甲种家电3件，乙种家电2件或仅制造甲种家电4件，可获利最大．反思与感悟在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用列举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．跟踪训练1 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才是最好的选择？解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ∈N ，y ∈N .由⎩⎪⎨⎪⎧ 50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2007，2007. 由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点坐标为(25，752)．所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎪⎫2007，2007，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，752，O ()0，0为顶点的三角形区域(含边界)(如图)，由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内经过点B ⎝⎛⎭⎪⎫25，752时取得最大值，但注意到x ∈N ，y ∈N ，故取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择． 类型二 非线性目标函数的最值问题命题角度1 斜率型目标函数例2 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0.试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值． 解 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示， 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －－1x －－1， 故z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率， 因此y ＋1x ＋1的最值是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值， 由图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，又∵B (0,2)，C (1,0)， ∴z max ＝k MB ＝3，z min ＝k MC ＝12.∴z 的最大值为3，最小值为12.引申探究1．把目标函数改为z ＝3y ＋12x ＋1，求z 的取值范围．解 z ＝32·y ＋13x ＋12，其中k ＝y ＋13x ＋12的几何意义为点(x ，y )与点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－13连线的斜率．由图易知，k NC ≤k ≤k NB ，即29≤k ≤143，∴13≤32k ≤7，∴z 的取值范围是[13，7]． 2．把目标函数改为z ＝2x ＋y ＋1x ＋1，求z 的取值范围．解 z ＝2x ＋1＋y －1x ＋1＝y －1x ＋1＋2.设k ＝y －1x ＋1，仿例2解得－12≤k ≤1. ∴z ∈[32，3]．命题角度2 两点间距离型目标函数例3 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，试求z ＝x 2＋y 2的最大值和最小值．解 z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形(例2图)知，原点到点A 的距离最大，原点到直线BC 的距离最小． 故z max ＝|OA |2＝13，z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|OB |·|OC ||BC |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×152＝45.反思与感悟 (1)对于形如cx ＋dy ＋fax ＋b的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题．(2)当斜率k 、两点间的距离、点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用．跟踪训练2 变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围． 解由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)因为z ＝y x ＝y －0x －0，所以z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率． 观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29， 即2≤z ≤29.(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到点(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝－3－52＋2－22＝8.所以16≤z ≤64.1．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种 答案 C解析 设购买软件x 片，磁盘y 盒．则⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋70y ≤500，x ≥3，x ∈N *，y ≥2，y ∈N *，画出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示．落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点．即有7种选购方式．2．已知点P (x ，y )的坐标满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )A.10 B ．8 C ．16 D ．10 答案 D解析 画出不等式组对应的可行域如图所示，易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)，|OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10.3．若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，x ≤4，y ≤4，则z ＝y －1x －1的最大值是________． 答案 3解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．z ＝y －1x －1可看作可行域上的点(x ，y )与定点B (1,1)连线的斜率．由图可知z ＝y －1x －1的最大值为k AB ＝3.4．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为______．答案 12解析实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分(含边界)所示， 则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方，故z min ＝⎝⎛⎭⎪⎫122＝12.1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)应结合可行域与目标函数微调．3．对于非线性目标函数，应准确翻译其几何意义，如x 2＋y 2是点(x ，y )到点(0,0)的距离的平方，而非距离．40分钟课时作业一、选择题1．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2 800元答案 B解析 设需使用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，运输费用z 元， 根据题意，得线性约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≥100，0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤8，y ∈N .求线性目标函数z ＝400x ＋300y 的最小值， 可行域如图阴影部分(含边界)，解得当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2时，z 有最小值，且z min ＝2 200(元)．2．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( ) A ．36万元 B ．31.2万元 C ．30.4万元 D ．24万元答案 B解析 设投资甲项目x 万元，投资乙项目y 万元，可获得利润为z 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5，z ＝0.4x ＋0.6y .可行域如图阴影部分(含边界)，由图象知，目标函数z ＝0.4x ＋0.6y 在A 点取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝60，y＝32x ，得A (24,36)，∴y max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．3．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ) A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 答案 B解析 设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤70，10x ＋6y ≤480，x ≥0，y ≥0.甲、乙两车间每天总获利为z ＝280x ＋200y .画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．点M (15,55)为直线x ＋y ＝70和直线10x ＋6y ＝480的交点， 由图象知z 在点M (15,55)处取得最大值．4．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[0,2] D ．[－1,2]答案 C解析 作出可行域，如图所示，因为OA →·OM →＝－x ＋y .所以设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知过点P (1,1)时，z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0； 过点Q (0,2)时，z 有最大值，z max ＝0＋2＝2， 所以OA →·OM →的取值范围是[0,2]．5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则2y ＋2x ＋1的最大值是( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 答案 D解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，y ＋1x ＋1的几何意义是点M (－1，－1)与可行域内的点P (x ，y )连线的斜率，当点P 移动到点N (0,4)时，斜率最大，最大值为4－－10－－1＝5，∴(2y ＋2x ＋1)max ＝2×5＝10.故选D.6．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z 等于( ) A ．4 650元 B ．4 700元 C ．4 900元 D ．5 000元答案 C解析 设当天派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤19，x ＋y ≤12，10x ＋6y ≥72，0≤x ≤8，x ∈N ，0≤y ≤7，y ∈N .设每天的利润为z 元，则z ＝450x ＋350y . 画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．z ＝450x ＋350y ＝50(9x ＋7y )，由图可知直线9x ＋7y ＝0经过点A 时，z 取得最大值．又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12，2x ＋y ＝19，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝5，即A (7,5)．∴当x ＝7，y ＝5时，z 取到最大值，z max ＝450×7＋350×5＝4 900(元)．二、填空题7．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ，y ∈N *，则z ＝10x ＋10y 的最大值是________． 答案 90解析 先画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ＝－22，2x ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5.5，y ＝4.5，但x ∈N *，y ∈N *，结合图知当x ＝5，y ＝4时，z max ＝90.8．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13解析 如图，画出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0的解(x ，y )构成的可行域△ABO ，求得B (2,2)，根据目标函数的几何意义是可行域上一点(x ，y )与点(－1,1)连线的斜率， 可求得目标函数的最小值为－1，最大值为13.故ω的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13. 9．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．答案 5解析 令z ＝x 2＋y 2，画出可行域， 如图阴影部分(含边界)所示，令d ＝x2＋y 2，即可行域中的点到原点的距离， 由图得d min ＝1＋4＝5， ∴z min ＝d 2＝5. 三、解答题10．A ，B 两仓库各有麻袋50万个，30万个，现需调运到甲地40万个，乙地20万个，已知从A 仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个，180元/万个，从B 仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个，150元/万个，怎样安排调运，能使总运费最少？最少总运费为多少？解 设从A 仓库调运x 万个到甲地，y 万个到乙地，则从B 仓库调运(40－x )万个到甲地，(20－y )万个到乙地，总运费记为z 元，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，40－x ＋20－y ≤30，0≤x ≤40，0≤y ≤20，x ，y ∈N ，z ＝120x ＋180y ＋100(40－x )＋150(20－y )，即z ＝20x ＋30y ＋7 000，作出可行域及直线l 0：20x ＋30y ＝0(如图)，经平移知直线经可行域上点M (30,0)时，z 有最小值，即x ＝30，y ＝0时，z 有最小值，z min ＝20×30＋30×0＋7 000＝7 600(元)，即从A 仓库调运30万个到甲地， 从B 仓库调运10万个到甲地， 调运20万个到乙地时，总运费最小，其最小值为7 600元．11．某工厂要制造A 种电子装置45台，B 种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2 m 2，可做A 、B 的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3 m 2，可做A 、B 的外壳均为6个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小．解 设用甲种薄钢板x 张，乙种薄钢板y 张， 则可做A 种产品外壳(3x ＋6y )个，B 种产品外壳(5x ＋6y )个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ∈N ，y ∈N ，所有的薄钢板的总面积是z ＝2x ＋3y . 可行域为如图所示的阴影部分(含边界)，其中l 1：3x ＋6y ＝45；l 2：5x ＋6y ＝55，l 1与l 2的交点为A (5，5)，目标函数z ＝2x ＋3y 在可行域上的最小值在区域边界的A (5,5)处取得， 此时z 的最小值为2×5＋3×5＝25.即当甲、乙两种薄钢板各5张，即能保证制造A 、B 的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小．12．已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围．解 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方， 过M 作AC 的垂线，易知垂足N 在AC 上， 故|MN |＝|0－5＋2|1＋－12＝32＝322.∴|MN |2＝⎝⎛⎭⎪⎫3222＝92， ∴z 的最小值为92.(2)z ＝2·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －－1表示可行域内点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12连线斜率的2倍， ∵k QA ＝74，k QB ＝38，∴z 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，72.。
高中数学 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.3.1 二元一次不等
2017-2018学年高中数学第三章不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域（1）学案新人教A 版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第三章不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域（1）学案新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3．3。
1 二元一次不等式（组）与平面区域(一）学习目标 1.理解二元一次不等式的解、解集概念。
2.会画出二元一次不等式（组）表示的平面区域．知识点一二元一次不等式（组)的概念思考对于只含有一个未知数的不等式x〈6,它的一个解就是能满足不等式的x的一个值,比如x＝0。
那么对于含有两个未知数的不等式x－y<6，你能类似地举出一个解吗？答案含两个未知数的不等式的一个解，即满足不等式的一组x，y的取值,例如错误!也可写成(0,0）．梳理（1)含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式；(2)由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组;(3）满足二元一次不等式（组)的x和y的取值构成有序数对(x，y）称为二元一次不等式(组)的一个解;(4)所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集．知识点二二元一次不等式表示的平面区域思考一元一次不等式(组)的解集可以表示为数轴上的区间,例如错误!的解集为数轴上的一个区间（如图）．那么，在直角坐标系内，二元一次不等式x－y〈6的解集表示什么图形呢？答案二元一次不等式x－y〈6的解是一个有序数对（x,y），它在平面直角坐标系中对应一个点．显然不等式x－y〈6的解不止一个，且这些解不在直线x－y＝6上．经探索，以二元一次不等式x－y<6的解为坐标的点都在直线的左上方；反之,直线左上方点的坐标也满足不等式x－y<6。
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线性规划的常见题型及其解法线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．求线性目标函数的最值． 2．求非线性目标函数的最值． 3．求线性规划中的参数． 4．线性规划的实际应用．本节主要讲解线性规划的常见基础类题型．【母题一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y≥3，x －y≥－1，2x －y≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7，23]B ．[8，23]C ．[7，8]D ．[7，25]求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－abx ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值，间接求出z 的最值． 【解析】画出不等式组⎩⎨⎧x ＋y≥3，x －y≥－1，2x －y≤3，表示的平面区域如图中阴影部分所示，由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3，平移直线y ＝－23x 知在点B 处目标函数取到最小值，解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝3，2x －y ＝3，得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝1，所以B(2,1)，z min ＝2×2＋3×1＝7，在点A 处目标函数取到最大值，解方程组⎩⎨⎧x －y ＝－1，2x －y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝5，所以A(4,5)，z max ＝2×4＋3×5＝23．【答案】A【母题二】变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．点(x ，y)在不等式组表示的平面区域内，y 2x －1＝12·y －0⎝⎛⎭⎪⎫x －12表示点(x ，y)和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0连线的斜率；x 2＋y 2表示点(x ，y)和原点距离的平方；x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2表示点(x ，y)和点(－3,2)的距离的平方．【解析】(1)由约束条件⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x≥1，作出(x ，y)的可行域如图所示．由⎩⎨⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225．由⎩⎨⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C(1,1)．由⎩⎨⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B(5,2)．∵z ＝y 2x －1＝y －0x －12×12∴z 的值即是可行域中的点与⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0连线的斜率，观察图形可知z min ＝2－05－12×12＝29．(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， d min ＝|OC|＝2，d max ＝|OB|＝29． ∴2≤z≤29．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是： 可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中， d min ＝1－(－3)＝4， d max ＝－3－52＋2－22＝8∴16≤z≤64．1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb的最值，间接求出z 的最值．(2)距离型：形一：如z ＝(x －a)2＋(y －b)2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离；形二：z ＝(x －a)2＋(y －b)2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z ＝y x ，z ＝ay －b cx －d ，z ＝y cx －d ，z ＝ay －bx ，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点所在直线的斜率．【提醒】 注意转化的等价性及几何意义．角度一：求线性目标函数的最值1．(2020·新课标全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8．【答案】B2．(2020·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．40【解析】作出约束条件对应的平面区域如图所示 ，当目标函数经过点(0,3)时，z 取得最大值18．【答案】C3．(2020·高考陕西卷)若点(x ，y)位于曲线y ＝|x|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( )A ．－6B ．－2C ．0D ．2【解析】如图，曲线y ＝|x|与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点(－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6．【答案】A角度二：求非线性目标的最值4．(2020·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎨⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A(3，－1)，故OM斜率的最小值为－13．【解析】C5．已知实数x，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2，y≤2，x ≤2y ，则z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围 ． 【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝2x ＋y －1x －1＝2＋y ＋1x －1的取值范围可转化为点(x ，y)与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A 点坐标为(2，1)，则点(1，－1)与(2，1)所在直线的斜率为22＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z 的取值范围为(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)．【答案】(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)6．(2020·郑州质检)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y≤2y －x≤2，y≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，4]C ．[2，2]D ．[2，4]【解析】如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 的内部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域内的点(x ，y)到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．【答案】B7．(2020·高考北京卷)设D 为不等式组⎩⎨⎧x≥0，2x －y≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝|2×1－0|22＋1＝255，故最小距离为255． 【答案】2558．设不等式组⎩⎨⎧x≥1，x －2y ＋3≥0，y≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB|的最小值等于( )A ．285B ．4C ．125D ．2【解析】不等式组⎩⎨⎧x≥1x －2y ＋3≥0y≥x，所表示的平面区域如图所示，解方程组⎩⎨⎧x ＝1y ＝x，得⎩⎨⎧x ＝1y ＝1．点A(1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3－4－9|5＝2，则|AB|的最小值为4．【答案】B角度三：求线性规划中的参数9．若不等式组⎩⎨⎧x≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A ．73B ．37C ．43D ．34【解析】不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43．因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52．当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73．【解析】A10．(2020·高考北京卷)若x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12【解析】D作出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y≥0的可行域．当k ＞0时，如图①所示，此时可行域为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1＜k ＜0时，如图②所示，此时可行域为点A(2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0，C(0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝－4⇒k ＝－12．【答案】D11．(2020·高考安徽卷)x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－1【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A(0,2)，B(2,0)，C(－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B ＞z C 或z A ＝z C ＞z B 或z B ＝z C ＞z A ，解得a ＝－1或a ＝2．法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2．【答案】D12．在约束条件⎩⎨⎧x≥0，y≥0，x ＋y≤s，y ＋2x≤4.下，当3≤s≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是( )A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8]【解析】 由⎩⎨⎧x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4，得⎩⎨⎧x ＝4－s ，y ＝2s －4，，则交点为B(4－s,2s －4)，y ＋2x ＝4与x 轴的交点为A(2,0)，与y 轴的交点为C′(0,4)，x ＋y ＝s 与y 轴的交点为C(0，s)．作出当s ＝3和s ＝5时约束条件表示的平面区域，即可行域，如图(1)(2)中阴影部分所示．(1) (2)当3≤s＜4时，可行域是四边形OABC 及其内部，此时，7≤z max ＜8； 当4≤s≤5时，可行域是△OAC′及其内部，此时，z max ＝8． 综上所述，可得目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是[7，8]． 【答案】D13．(2020·通化一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．【解析】∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2y ＋1x ＋1，而y ＋1x ＋1表示过点(x ，y)与(－1，－1)连线的斜率，易知a ＞0，∴可作出可行域，由题意知y ＋1x ＋1的最小值是14，即⎝⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0－－13a －－1＝13a ＋1＝14⇒a ＝1．【答案】1角度四：线性规划的实际应用14．A ，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．【解析】设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋y≤11，x ＋3y≤9，x ∈N ，y ∈N ，生产利润为z ＝300x ＋400y ．画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z ＝300x ＋400y 在点A 处取得最大值，由方程组⎩⎨⎧3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，则z max ＝300×3＋400×2＝1 700．故最大利润是1 700元．【答案】1 70015．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y)＝2x ＋3y ＋300．(2)约束条件为⎩⎨⎧5x ＋7y ＋4100－x －y ≤600，100－x －y≥0，x≥0，y≥0，x ，y ∈N.整理得⎩⎨⎧x ＋3y≤200，x ＋y≤100，x≥0，y≥0，x ，y ∈N.目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300． 作出可行域．如图所示：初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w 有最大值．由⎩⎨⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A(50,50)，所以w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)【解析】根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)＜0．即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24．【答案】B2．(2020·临沂检测)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x≥0，x ＋2y≥3，2x ＋y≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0C ．32D ．3【解析】作出不等式组⎩⎨⎧x≥0，x ＋2y≥3，2x ＋y≤3表示的可行域(如图所示的△ABC 的边界及内部)．平移直线z ＝x －y ，易知当直线z ＝x －y 经过点C(0,3)时，目标函数z ＝x －y 取得最小值，即z min ＝－3．【答案】A3．(2020·泉州质检)已知O 为坐标原点，A(1,2)，点P 的坐标(x ，y)满足约束条件⎩⎨⎧x ＋|y|≤1，x≥0，则z ＝OA →·OP →的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【解析】如图作可行域，z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ，显然在B(0,1)处z max ＝2．【答案】D4．已知实数x ，y 满足：⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x<2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5B ．[0，5]C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5 【解析】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知2×13－2×23－1≤z<2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5．【答案】D5．如果点(1，b)在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( )A ．2B ．1C ．3D ．0【解析】由题意知(6－8b ＋1)(3－4b ＋5)＜0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b －78(b －2)＜0，∴78＜b ＜2，∴b 应取的整数为1．【答案】B6．(2020·郑州模拟)已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y)在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0，2)C ．(3－1，2)D ．(0，1＋3)【解析】如图，根据题意得C(1＋3，2)．作直线－x ＋y ＝0，并向左上或右下平移，过点B(1,3)和C(1＋3，2)时，z ＝－x ＋y 取范围的边界值，即－(1＋3)＋2<z<－1＋3，∴z ＝－x ＋y 的取值范围是(1－3，2)．【答案】A7．(2020·成都二诊)在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎨⎧y≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0，所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2B ．13C ．12D ．1【解析】作出可行域如图所示，当点P 位于⎩⎨⎧x ＋y ＝2，y ＝1，的交点(1,1)时，(k OP )max ＝1．【答案】D8．在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为( )A．2 B．1C．12D．14【解析】不等式⎩⎨⎧x＋y≤1，x≥0，y≥0，所表示的可行域如图所示，设a＝x＋y，b＝x－y，则此两目标函数的范围分别为a＝x＋y∈[0,1]，b＝x－y∈[－1,1]，又a＋b＝2x∈[0,2]，a－b＝2y∈[0,2]，∴点坐标(x＋y，x－y)，即点(a，b)满足约束条件⎩⎨⎧0≤a≤1，－1≤b≤1，0≤a＋b≤2，0≤a－b≤2，作出该不等式组所表示的可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积S＝12×2×1＝1．【答案】B9．设x，y满足约束条件⎩⎨⎧3x－y－2≤0，x－y≥0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为4，则ab的取值范围是( )A．(0，4) B．(0，4]C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)【解析】作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z ＝ax ＋by(a>0，b>0)过点A(1,1)时取最大值，∴a ＋b ＝4，ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4，∵a ＞0，b ＞0，∴ab ∈(0，4]．【答案】B10．设动点P(x ，y)在区域Ω：⎩⎨⎧x≥0，y≥x，x ＋y≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB 为直径的圆的面积的最大值S ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π．【答案】D11．(2020·东北三校联考)变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y≥－1，x －y≥2，3x ＋y≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3．【答案】B12．(2020·新课标全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y≥a，x －y≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3【解析】法一：联立方程⎩⎨⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5，当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7．法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．图(1) 图(2) 由⎩⎨⎧ x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A(－3，－2)，则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项．当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)． 由⎩⎨⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B(1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．【答案】B13．若a≥0，b≥0，且当⎩⎨⎧x≥0，y≥0，x ＋y≤1时，恒有ax ＋by≤1，则由点P(a ，b)所确定的平面区域的面积是( )A ．12 B ．π4 C ．1D ．π2【解析】因为ax ＋by≤1恒成立，则当x ＝0时，by≤1恒成立，可得y≤1b (b≠0)恒成立，所以0≤b≤1；同理0≤a≤1．所以由点P(a ，b)所确定的平面区域是一个边长为1的正方形，面积为1．【答案】C14．(2020·高考北京卷)设关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2．求得m 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13C ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53【解析】当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m ＜0．如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m)在直线y ＝12x －1的下方即可，即m ＜－12m －1，解得m ＜－23．【答案】C15．设不等式组⎩⎨⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ．若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，3]B ．[2，3]C ．(1，2]D ．[3，＋∞)【解析】平面区域D 如图所示．要使指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，所以1＜a≤3． 【解析】A16．(2020·高考福建卷)已知圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝1，平面区域Ω：⎩⎨⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49【解析】由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b＝1．显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6．∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37．【解析】C17．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎨⎧y≥0，y≤x，y≤k x －1－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】已知直线y ＝k(x －1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示．当直线y ＝k(x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域．所以直线y ＝k(x －1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k 的取值范围是(－∞，－1)．当直线y ＝k(x －1)－1与y ＝x 平行时不能形成三角形，不平行时，由题意可得k ＞1时，也可形成三角形，综上可知k ＜－1或k ＞1．【答案】D18．(2020·武邑中学期中)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，|x|－y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10【解析】区域如图所示，目标函数z ＝2x ＋y 在点A(3,2)处取得最大值，最大值为8．【答案】C19．(2020·衡水中学期末)当变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y≥xx ＋3y≤4x≥m时，z ＝x －3y 的最大值为8，则实数m 的值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1【解析】画出可行域如图所示，目标函数z ＝x －3y 变形为y ＝x 3－z3，当直线过点C 时，z取到最大值，又C(m ，m)，所以8＝m －3m ，解得m ＝－4． 【答案】A20．(2020·湖州质检)已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan ∠AOB 的最大值等于( )A ．94 B ．47 C ．34D ．12【解析】如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，观察图形可知当A 为(1,2)，B 为(2,1)时，tan ∠AOB 取得最大值，此时由于tan α＝k BO＝12，tan β＝kAO＝2，故tan∠AOB＝tan (β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝2－121＋2×12＝34．【解析】C二、填空题21．(2020·高考安徽卷)不等式组⎩⎨⎧x＋y－2≥0，x＋2y－4≤0，x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为________．【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S△ABC＝12×2×(2＋2)＝4．【答案】422．(2020·高考浙江卷)若实数x，y满足⎩⎨⎧x＋2y－4≤0，x－y－1≤0，x≥1，则x＋y的取值范围是________．【解析】作出可行域，如图，作直线x＋y＝0，向右上平移，过点B时，x＋y取得最小值，过点A时取得最大值．由B(1,0)，A(2,1)得(x＋y)min＝1，(x＋y)max＝3．所以1≤x＋y≤3．【答案】[1,3]23．(2020·重庆一诊)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x－y 的最大值为____．【解析】根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A(2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4．【答案】424．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．【解析】目标函数w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x ，y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又|2＋2－1|2＝322，所以w min ＝92．【答案】9225．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎨⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y≥0所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．【解析】如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O 到直线x ＋y －2＝0的垂线段长是|OM|的最小值，∴|OM|min ＝|－2|12＋12＝2．【答案】226．(2020·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．【解析】设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，由题意知⎩⎨⎧x≥0，y≥0，3x ＋y≤13，2x ＋3y≤18，利润z ＝5x ＋3y ，作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x ＝3，y ＝4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元．【答案】2727．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜 6吨0.9万元0.3万元________亩．【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，总利润为z 万元，则目标函数为z ＝(0.55×4x － 1.2x)＋(0.3×6y －0.9y)＝x ＋0.9y ．线性约束条件为⎩⎨⎧x ＋y≤50，1.2x ＋0.9y≤54，x≥0，y≥0，即⎩⎨⎧x ＋y≤50，4x ＋3y≤180，x≥0，y≥0.画出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋0．9y ＝0，向上平移至过点A 时，z 取得最大值，由⎩⎨⎧x ＋y ＝50，4x ＋3y ＝180，解得A(30,20)．【答案】3028．(2020·日照调研)若A 为不等式组⎩⎨⎧x≤0，y≥0，y －x≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．【解析】平面区域A 如图所示，所求面积为S ＝12×2×2－12×22×22＝2－14＝74．【答案】7429．(2020·高考浙江卷)当实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x≥1时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z≤4恒成立，则a>0，数形结合知，满足⎩⎨⎧1≤2a＋1≤4，1≤a≤4即可，解得1≤a≤32．所以a 的取值范围是1≤a≤32．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3230．(2020·石家庄二检)已知动点P(x ，y)在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 的值为________．【解析】由目标函数z ＝kx ＋y(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx ＋y ＝0的倾斜角为120°，于是有－k ＝tan 120°＝－3，所以k ＝3．【答案】 331．设m ＞1，在约束条件⎩⎨⎧y≥x，y≤mx，x ＋y≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m的取值范围 ．【解析】变换目标函数为y ＝－1m x ＋z m ，由于m>1，所以－1<－1m <0，不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，只有直线y ＝－1m x ＋zm在y 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A 处取得最大值，由y ＝mx ，x ＋y ＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋m ，m 1＋m ，所以目标函数的最大值z max ＝11＋m ＋m 21＋m <2，所以m 2－2m －1<0，解得1－2<m<1＋2，故m 的取值范围是(1,1＋2)．【答案】(1,1＋2)32．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y≥1，y≤2x－1，x ＋y≤m，若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．【解析】不等式组表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，目标函数可变形为y ＝x －z ，当z 最小时，直线y ＝x －z 在y 轴上的截距最大．当z 的最小值为－1，即直线为y ＝x ＋1时，联立方程⎩⎨⎧y ＝x ＋1，y ＝2x －1，可得此时点A 的坐标为(2,3)，此时m ＝2＋3＝5；当z 的最小值为－2，即直线为y ＝x ＋2时，联立方程⎩⎨⎧y ＝x ＋2，y ＝2x －1，可得此时点A 的坐标是(3,5)，此时m ＝3＋5＝8．故m 的取值范围是[5,8]．目标函数z ＝x －y 的最大值在点B(m －1,1)处取得，即z max ＝m －1－1＝m －2，故目标函数的最大值的取值范围是[3,6]．【答案】[3,6]33．(2020·高考广东卷)给定区域D ：⎩⎨⎧x ＋4y≥4，x ＋y≤4，x≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D|x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．【解析】线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，点(0,1)与(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条 ，又(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)都在直线x ＋y ＝4上，故T 中的点共确定6条不同的直线． 【答案】634．(2020·湖北改编)已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z)，且a⊥b．若x ，y 满足不等式|x|＋|y|≤1，则z 的取值范围为__________．【解析】∵a＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z)，且a⊥b，∴a·b＝2(x ＋z)＋3(y －z)＝0，即2x ＋3y －z ＝0．又|x|＋|y|≤1表示的区域为图中阴影部分，∴当2x ＋3y －z ＝0过点B(0，－1)时，z min ＝－3，当2x ＋3y －z ＝0过点A(0,1)时，z min＝3．∴z∈[－3,3]． 【答案】[－3,3]35．(2020·衡水中学模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0且有无穷多个点(x ，y)使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________．【解析】作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．若m＝0，则z＝x，目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解只有一个，不符合题意．若m≠0，则目标函数z＝x＋my可看作斜率为－1m的动直线y＝－1mx＋zm，若m＜0，则－1m＞0，由数形结合知，使目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m＞0，则－1m＜0，数形结合可知，当动直线与直线AB重合时，有无穷多个点(x，y)在线段AB上，使目标函数z＝x＋my取得最小值，即－1m＝－1，则m＝1．综上可知，m＝1．【答案】1。