重庆市第十一中学2016-2017学年高二3月月考数学(理)试题Word版含答案

重庆市第十一中学2016-2017学年高二3月月考试题
数学（理）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线24y x =的焦点坐标为（ ）
A ． (1,0)-
B ．(1,0)
C ．(0,1)-
D ．(0,1)
2．函数cos 2y x =的导数是（ ）
A ．sin 2x -
B ．sin 2x
C ．2sin 2x -
D ．2sin 2x
3． 3
2(21)x dx +=⎰（ ）
A ． 2
B ．6
C ．10
D ． 8
4．二项式210(x
的展开式的二项式系数和为（ ） A ． 1 B ． -1 C ． 102 D ．0
5．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，落地时朝上的点数之和为6的概率为（ ）
A ．536
B ．16
C ． 112
D ．19 6．函数32()2f x x ax x =-+在实数集R 上单调递增的一个充分不必要条件是（ ）
A ．[0,6]a ∈
B ．[a ∈
C ． [6,6]a ∈-
D ．[1,2]a ∈
7． ()f x 是集合A 到集合B 的一个函数，其中，{1,2,,}A n = ，{1,2,,2}B n = ，*n N ∈，则()f x 为单调递增函数的个数是（ ）
A ．2n n A
B ．2n n
C ． (2)n
n D ．3n n C 8．一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的内接正方体的表面积为（ ）
A ． 196
B ．383
C ． 578
D ．193 9．函数()f x 在实数集R 上连续可导，且'2()()0f x f x ->在R 上恒成立，则以下不等式一定成立的是（ ）
A ．2(2)(1)f f e >
B ．2(2)(1)f f e
< C ． 3(2)(1)f e f -> D ．3(2)(1)f e f -< 10．某转播商转播一场排球比赛，比赛采取五局三胜制，即一方先获得三局胜利比赛就结束，已知比赛双方实力相当，且每局比赛胜负都是相互独立的，若每局比赛转播商可以获得20万元的收益，则转播商获利不低于80万元的概率是（ ）
A ．34
B ．58
C ． 38
D ．916
11．已知椭圆2
21(0)1
x y m m +=>+的两个焦点是12,F F ，E 是直线2y x =+与椭圆的一个公共点，当12||||EF EF +取得最小值时椭圆的离心率为（ ）
A ． 23 B
C ．
D
12．已知函数2()2ln f x x x =-+的极大值是函数()a g x x x =+的极小值的12-倍，并且121,[,3]x x e
∀∈，不等式
12()()11
f x
g x k -≤-恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．40(,2ln 3](1,1)(1,)3-∞-+-+∞ B ．34(,2ln 3](1,)3
-∞-++∞ C ． 34(,2ln 3][1,1)(1,)3-∞-+-+∞ D ．40(,2ln 3](1,)3-∞-++∞ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．某种树苗成活的概率都为910
，现种植了1000棵该树苗，且每棵树苗成活与否相互无影响，记未成活的棵数记为X ，则X 的方差为 ．
14．设变量,x y 满足条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩
，则目标函数z x y =-的最小值为 ．
15．半径分别为5,6的两个圆相交于,A B 两点，8AB =，且两个圆所在平面相互垂直，则它们的圆心距为 ．
16．四位同学参加知识竞赛，每位同学须从甲乙两道题目中任选一道题目作答，答对甲可得60分，答错甲
得-60分，答对乙得180分，答错乙得-180分，结果是这四位同学的总得分为0分，那么不同的得分情况共计有 种．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17． 函数3()f x x x =+在1x =处的切线为m ．
（1）求切线m 的方程；
（2）若曲线()sin g x x ax =+在点(0,(0))A g 处的切线与m 垂直，求实数a 的取值．
18． 如图所示，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，3ABC π∠=
，4PA AB ==，AC 交BD 于O ，点N 是PC 的中点．
（1）求证：BD ⊥平面PAC ；
（2）求平面ANC 与平面ANB 所成的锐二面角的余弦值．
19． 甲、乙、丙三人每人有一张游泳比赛的门票，已知每张票可以观看指定的三场比赛中的任一场（三场比赛时间不冲突），甲乙二人约定他们会观看同一场比赛并且他俩观看每场比赛的可能性相同，又已知丙观看每一场比赛的可能性也相同，且甲乙的选择与丙的选择互不影响．
（1）求三人观看同一场比赛的概率；
（2）记观看第一场比赛的人数是X ，求X 的分布列和期望．
20． 已知函数3()ln f x x a x =-．
（1）当3a =，求()f x 的单调递增区间；
（2）若函数()()9g x f x x =-在区间1
[,2]2
上单调递减，求实数a 的取值范围．
21． 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2
e =，且过点(22．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）如图，过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线,AB DE 交椭圆分别于,,,A B D E ，且满足12AM AB = ，12
DN DE = ，求MNF ∆面积的最大值．
22．已知函数1()ln 1a f x x ax x
-=-+-． （1）若()f x 在2x =处取得极值，求a 的值；
（2）若1a =，函数22
22()ln()()221x x x h x mx f x x --+=++-+，且()h x 在(0,)+∞上的最小值为2，求实数m 的值．
重庆市第十一中学2016-2017学年高二3月月考试题
数学（理）答案
一、选择题
1-5: BCBCA 6-10:DDBAA 11、12：DB
二、填空题
13． 90 14． -2 15．． 44
三、解答题
17．（1）根据条件'2()31f x x =+，切点为(1,2)，斜率为'(1)4f =，所以m 的方程为420x y --=，
（2）根据条件'()cos g x x a =+，又()g x 图象上任意一点(0,(0))A g 处的切线与m 垂直，则有
'54(0)14g a ⨯=-⇒=-，所以a 的值为54
-． 18．（1）∵ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥，
又∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD PA ⊥，
而PA AC A = ，
∴BD ⊥平面PAC ．
（2）以O 为坐标原点，,,OC OB ON 所在直线分别为,,x y z 轴，方向如图所示，
根据条件有点(0,0,2),(2,0,0),N A B -，由（1）可知OB ⊥平面ANC ，所以可取OB 为平面ANC
的法向量1n ，1n OB == ，现设平面BAN 的法向量为2(,,)n x y z = ，则有
2200
AN n BN n ⎧=⎪⎨=⎪⎩
00x z z +=⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩，令1z =，
则2(1,3
n =- ，设平面ANC 与平面ANB 所成的锐二面角大小为θ，则
1212cos ||||||
n n n n θ== 19．（1）记事件A =“三人观看同一场比赛”，根据条件，由独立性可得，12311()()33
P A C ==
． （2）根据条件可得分布列如下：
4221012319999EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．（1）根据条件3'2
33(1)()3x f x x x x -=-=，又0x >，则'()0f x >解得1x >， 所以()f x 的单调递增区间是(1,)+∞；
（2）由于函数()g x 在区间1
[,2]2上单调递减，所以'2()390a g x x x
=--≤在[0,2]上恒成立， 即339x x a -≤在1
[,2]2上恒成立，则max [()]a h x ≥（1[,2]2
x ∈），其中3()39h x x x =-， '2()99h x x =-，则()h x 在1[,1]2
上单减，在[1,2]上单增， max 1[()]max{(),(2)}62
a h x h h ≥==，经检验，a 的取值范围是[6,)+∞． 21．（1）根据条件有22
22213124a b a b
⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得222,1a b ==，所以椭圆22:12x C y +=． （2）根据12AM AB = ，12
CN CD = 可知，,M N 分别为,AB DE 的中点，且直线,AB DE 斜率均存在且不为0，现设点1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为1x my =+，不妨设0m >，联立椭圆C 有22(2)210m y my ++-=，根据韦达定理得：12222m y y m +=-+，121224()22
x x m y y m +=++=+，
222(,)22m M m m -++
，||MF =
2||()2NF m
=-+， 所以MNF ∆面积211||||24()2MNF m m
S MF NF m m ∆+=
=++，现令12t m m =+≥， 那么2112429
4MNF t S t t t ∆==≤++，所以当2t =，1m =时，MNF ∆的面积取得最大值19．
22．（2）2'
21()ax x a f x x -++-=，又()f x 在2x =处取得极值，则'1(2)03f a =⇒=， 此时'
2(1)(2)()3x x f x x --=-，显然满足条件，所以a 的值为13
． （2）由条件12()ln()1221
h x mx x =++++，又()h x 在(0,)+∞上的最小值为2， 所以有(1)2h ≥，即1511ln()2ln()0ln12323m m ++≥⇒+≥>=12m ⇒> 又2'
2224824()21(21)(21)(21)m mx m h x mx x mx x +-=-=++++，当2m ≥时，可知()h x 在(0,)+∞上递增，无最小值，不合题意，故这样的m 必须满足122m <<，此时，函数()h x
的增区间为)+∞
，减区间为，
min 1()ln()122h x h ==+=
整理得0=（*）
若112m <<0>，且1ln()ln102
<=，无解
若12m ≤<0，将（*）变形为1ln()0
2+=．
即1ln()0
2=，设11(,1]22t =∈
则上式即为ln 0t +=，构造()ln F t t =()0F t =
'
()0F t =≤，故()F t 在1(,1]2上单调递减 又(1)0F =，故()0F t =等价于1t =，与之对应的1m =
综上，1m =．。