金融工程期权期货定价
金融学十大模型
金融学十大模型金融学是研究资金在时间和空间上的配置和交换的学科，它关注的是资源的配置和风险的管理。
在金融学中，有许多重要的模型被广泛应用于理论研究和实际应用。
本文将介绍金融学领域里的十大模型，并分别进行详细的解析。
1. 资本资产定价模型（CAPM）资本资产定价模型是描述资本市场证券价格与其预期收益之间关系的理论模型。
它将资产的预期收益与市场风险相关联，通过风险溢酬来衡量资产的预期收益。
2. 期权定价模型（Black-Scholes模型）期权定价模型是用来计算期权价格的数学模型。
Black-Scholes模型是最为著名的期权定价模型之一，它通过考虑股票价格、期权行权价格、波动率、无风险利率等因素，来估计期权的公平价格。
3. 资本结构理论（Modigliani-Miller定理）资本结构理论是研究公司资本结构选择和公司价值之间关系的模型。
Modigliani-Miller定理指出，在没有税收和破产成本的情况下，公司的价值与其资本结构无关。
4. 有效市场假说（EMH）有效市场假说认为市场价格已经充分反映了所有可得到的信息，投资者无法通过分析市场数据获得超额收益。
EMH对于投资者的决策和资产定价具有重要的指导意义。
5. 金融工程模型（Black-Scholes-Merton模型）金融工程模型是应用数学和计量经济学方法来研究金融市场的模型。
Black-Scholes-Merton模型是其中最为著名的模型之一，它被广泛应用于期权定价、风险管理和金融衍生品的设计与定价等领域。
6. 信息传播模型（Diffusion Model）信息传播模型用于解释市场中信息的传播和价格的形成过程。
它假设市场参与者根据自身的信息和观点进行交易，通过交易行为将信息传递给其他参与者，从而影响市场价格的变动。
7. 多因素模型（Multi-Factor Model）多因素模型是用来解释资产收益率与市场因素和其他因素之间关系的模型。
它考虑了多个因素对资产收益率的影响，有助于投资者理解资产价格波动的原因。
金融工程中的期权定价模型
金融工程中的期权定价模型一、期权定义期权是金融工具中的一种，是指在未来某个时间，按照约定的价格、数量和期限，有权买入或者卖出某种标的资产的一种金融合约。
通过买入期权，持有人可以在未来某个时间以约定的价格买进标的资产；通过卖出期权，交易人可以获得期权费用，承担未来某个时间按照约定价格进行买卖的义务。
期权的本质是对未来的权利，是一种寄予了未来的期望和信心。
二、期权定价方法期权定价是指通过计算期权价格，来实现期权交易的方法或模型。
期权定价的理论基础主要包括两个主流模型：布莱克-斯科尔斯模型和考克斯-鲁宾斯坦模型。
下面我们分别来介绍一下这两种期权定价模型。
1. 布莱克-斯科尔斯模型布莱克-斯科尔斯模型，是由弗兰克-布莱克和梅伦-斯科尔斯在1973年提出的一种期权定价模型。
这个模型的核心思想是将期权看作是一种债券和股票组成的投资组合，通过对这个投资组合的定价，来推导出期权的价格。
布莱克-斯科尔斯模型的核心公式如下：C = SN(d1) - Xe^(-rt)N(d2)P = Xe^(-rt)N(-d2) - SN(-d1)其中，C表示看涨期权的价格，P表示看跌期权的价格；S表示标的资产的价格，X表示行权价格；N()表示标准正态分布函数的值，其中d1和d2分别表示如下：d1 = [ln(S/X) + (r + σ^2/2)t] / σ√td2 = d1 - σ√t这个模型中，需要考虑的参数有标的资产的价格S、行权价格X、波动率σ、存续期t、无风险利率r。
其中，波动率是最重要的参数，它的大小决定了标的资产的风险水平，因此，布莱克-斯科尔斯模型中的波动率是需要通过历史数据或者其他方法进行计算和估算的。
2. 考克斯-鲁宾斯坦模型考克斯-鲁宾斯坦模型，是由约翰-考克斯和斯蒂芬-鲁宾斯坦在1979年提出的一种期权定价模型。
这个模型的最大特点是引入了离散时间的概念，将连续时间的布莱克-斯科尔斯模型离散化，以适应实际的市场需求。
金融工程3-远期与期货定价
随着市场的复杂性和风险的增加，风险管理成为研究的重点，如何有效地管理和控制风 险是当前研究的热点问题。
交易策略的研究
在交易过程中，如何制定有效的交易策略以提高投资回报是交易者关注的问题，学者们 正在研究更加科学和实用的交易策略。
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03
远期与期货的比较与联系
远期与期货的相似之处
基础资产
远期和期货合约都涉及某种基 础资产，如股票、外汇或商品
。
交割方式
两者通常都涉及在未来某一特 定日期交割基础资产。
价格变动
远期和期货价格都受到基础资 产价格变动的影响。
保证金制度
为了降低违约风险，两者都实 行保证金制度。
远期与期货的不同之处
标准化程度
期货合约的标的物可以是商品、金融 工具等，也可以是其他金融衍生品。
期货合约通常在交易所进行交易，具 有高流动性和低交易成本的特点。
期货合约的定价原理
无套利定价原则
期货合约的价格应与其标的物的价格变动趋势一 致，否则存在套利机会。
持有成本模型
期货合约的价格等于标的物的现货价格加上持有 成本（存储费用、资金成本等）。
动态调整
根据市场走势和投资目标，可以 灵活地买入或卖出远期或期货合 约，动态调整投资组合的风险和 收益。
远期与期货的实际交易案例
大豆远期合约交易
大豆种植者和加工商通过购买大豆远期合约，锁定未来大豆的采购和销售价格，规避价格 波动风险。
黄金期货交易
黄金期货合约在市场上交易活跃，投资者可以通过购买黄金期货合约，获得赚取收益的机 会，同时也可以对冲通货膨胀和货币贬值的风险。
远期合约的交易对手是确定的， 因为买卖双方在合约签订时已 经确定了对方的身份。
金融工程学：第十章-期权及其定价与应用
Miller 与 Modigliani
(1958)的 M-M 定理不但为
公司理财这门新学科奠定了
基础，并且首次在文献中明
确提出无套利假设。所谓无
套利假设是指在一个完善的
金融市场中，不存在套利机
会 (即确定的低买高卖之类 Franco Modigliani,
的机会)。
(1918-) 1985 年诺贝 尔经济奖获得者
波动是一个未知数：历史波动法估计，隐含波动 性估计
第二节 金融期权价格的构成
标的物的资产收益
期权购买者
买进看涨期权，行权前没有获利，买进看跌期权，获得 收益
期权出售者
卖出有担保的看涨期权，行权前获得该资产的收益，卖 出看跌期权，行权前没有获得收益
一般，标的物的资产收益越高，看涨期权的价格 越低，看跌期权的价格越高
现在要问，期权未到期时的价值。
第四节 BLACK模型
为解决这一问题，Black 和 Scholes先 把模型连续动态化。他们假定模型中有 两种证券，一种是债券，它是无风险证 券，其收益率是常数；另一种是股票， 它是风险证券，沿用 Markowitz 的传统， 它也可用证券收益率的期望和方差来刻 划，但是动态化以后，其价格的变化满 足一个随机微分方程，其含义是随时间 变化的随机收益率，其期望值和方差都 与时间间隔成正比。这种随机微分方程 称为几何布朗运动。
期权费
第一节 金融期权基本概念
权利与义务的对称性不同
金融期货交易权利与义务是对等的 金融期权交易不对等 买方只有权利没有义务 卖方只有义务没有权利
履约保证不同
金融期货都要交易保证金，履约保证金 金融期权无担保出售者缴纳金
第一节 金融期权基本概念
现金流转不同
《金融工程PPT》第十三章 期权定价模型
V0
e10%
e10% 1.25
0.75 0.75
25
0
16.07
则一份欧式看涨期权现在的价格为=16.07
6
二、看涨期权单步二叉树模型
金融工程课程
（二）风险中性定价机制
在风险中性的假定下，可以得到下面两个结论：
1. 所有可交易股票的期望收益率为无风险利率； 2. 未来资产的当前现金流可以根据其期望值按无风险利率贴现而得到。
S0u mi d i
i 0,1,2,3m
如果时刻m△t在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S0 (1 )u mi d i
i 0,1,2,3m
10
第二节 二叉树期权定价模型的扩展应用
金融工程课程
二、美式期权的二叉树定价模型
美式期权与欧式期权的区别是美式期权可以在期权合约到期前的任何时点执行 权利，而欧式期权则仅可在到期日执行权利。 事实上，在运用二叉树方法求当前的期权价格时，前提假设条件是期权的定价者 ，对于二叉树上所有节点上的信息是知道的。求美式期权的当前价格时，在每个 二叉树的节点上，期权持有者可以有两个价格选择，一个是立刻执行期权获得收 益，另一个选择是持有期权继续等待，继续等待相当于选择了与欧式期权一样的 期望价值。这样，美式期权的价格计算与欧式期权的价格计算的路径基本相同， 都是由期末的期权价值向后递推而来的。不同之处是在每一个节点处，期权的持 有者可以选择上述两种收益中的较大者作为向后递推的价格依据。
V0 ert p*Vu (1 p* )Vd
p* e rt d ud
5
二、看涨期权单步二叉树模型
金融工程课程
金融工程第9章 股票期权定价公式
0.17 0.22 / 2 0.15
标准差为 20%。因为一个正态分布的变量有 95%的可能性落在 其均值两侧 2 倍的标准差范围内，一年后我们得到的实际收益率每年 在-25%和+55%之间的可信度为 95%。
预期收益率
dS dt dz
1. 股票价格的对数正态性质
对数正态分布
如果变量的对数遵循标准正态分布，则变量本身遵循的是对数正态 分布
假设股票价格随时间的变化遵循的是对数正态分布
股票收益（股价的变动）的对数遵循的是正态分布 如果股价从100涨到110，收益率为10%，但是收益变动的对数为ln
（110/100）=0.0953 收益的对数表示的实际上就是连续复利收益率，100exp（0.0953）
1、股票价格的预期增长率会发生变化 2、用来计算衍生证券收益的折现率也发生变化
这两种变化是能够完全抵销的
风险中性定价在远期合约的应用
到期时合约价值： 期初合约的价值：
12.16 12.17
12.18 12.19
Black-Scholes定价公式
期初时，欧式看涨期权和看跌期权的Black-Scholes定价公式分别是：
S : 股票价格变化
c 欧式看涨期权的价格变化
c 0.4S
无风险证券组合应包括： 1、0.4单位的股票多头； 2、1单位的看涨期权的空头
BSM模型与二叉树模型的区别
1、B-S-M模型的时间间隔非常短； 2、套期比率必须随时调整； 3、必须保证每个时刻都能完全对冲风险
BSM微分方程的推导
股票价格运动模型：
40e0.160.5 43.33
方差为
402 e20.160.5 e0.20.20.5 1 37.93
金融工程PPT课件第8章 期权与期权定价-文档资料
-10 -5 0 5
10 15 20
-25
-4 -4 -4 1
6 11 16
-12.5 0
12.5 25 37.5 50
-100 -100
-100
25 150 275 400
8.1 期权的基本概念
（三）期权的特性
2、权利和义务的不对称性
期权具有非线性
8.1 期权的基本概念
（三）期权的特性
2、权利和义务的不对称性
• 对于期权的买者来说，期权合约赋予他的只有权利， 而没有任何义务。 • 作为给期权卖者承担义务的报酬，期权买者要支付给 期权卖者一定的费用，称为期权费（Premium）或期 权价格（Option Price）。期权费视期权种类、期限、 标的资产价格的易变程度不同而不同。
8.1 期权的基本概念
（四）期权交易与期货交易的区别
8.1 期权的基本概念
（五）期权合约的盈亏分布
(2）看跌期权的盈亏分布
payoff
stock price
(a) 看跌期权多头
8.1 期权的基本概念
（五）期权合约的盈亏分布
(2）看跌期权的盈亏分布
payoff
stock price
(b) 看跌期权空头
8.1 期权的基本概念
实值、平价和虚值期权
• 看跌期权卖者的盈利是有限的期权费，亏损 也是有限的，其最大限度为协议价格减期权 价格后再乘以每份期权合约所包括的标的资 产的数量。同样，我们把X>S时的看跌期权 称为实值期权，把 X=S的看跌期权称为平价 期权，把X<S的看跌期权称为虚值期权。
• 对于看跌期权，内在价值=Max（X-S，0）.
期权是实值期权，内在价值就是正的； 期权是虚值期权，内在价值就是零。
金融工程第2章 远期和期货定价和估值
交割价格（delivery price）
远期合约中指定的价格称为交割价格 交割价格的选择
在远期合约签署的时候，所选择的交割价格应该使得远期合约的 价值对双方都为0
远期价格（forward price）
某个远期合约的远期价格就是期初设定的交割价格
远期价格是使得期初该合约价值为零的交割价格 远期价格是有时间属性的，我们只能说某一远期合约在特定时间
的远期价格和期货价格，分别简称为远 期价格和期货价格 r ：对T时刻到期的一项投资而言，当前以连 续复利计算的无风险利率。
远期价格F 完全不同于远期合约的价值f
任何时刻的远期价格都是使得远期合约价值为0的交割价 格 （相当于重新签订新的远期合约）
合约开始生效时， F=K 且 f=0 随着时间的变化，f 和F 都在变化
率5%，当前股价为40元，不付红利。
套利机会 远期价格相对于当前股价偏高，套利者可以 1、借40元即期购买股票 2、持有3个月后卖出股票的远期合约（空头） 3个月后，套利者交割股票收到43元，偿还贷款所需40 e0.05×3/12 = 40.50元。
所以套利者在3个月后的盈利为 43元－40.5元=2.50元
产提供的收益为 0 （无红利）
投资者当前付出了S，在未来T 时刻得到无风险收益F F 必须等于如果将S 进行无风险投资而得到的收益
F SerT
F
远期合约定价的一般性方法
分析的目的
确定远期价格：
F
远期合约的价值： f0和ft
分析过程
在到期日，我们可以观测到到期时刻的现货价格 ST 。多头头寸的持有者可 以按照预先确定的价格 F 来购买标的资产。所以到期时刻合约的价值就是： ST F 。非如此，会有套利存在。
金融工程学之远期和期货的定价和估值
金融工程学之远期和期货的定价和估值远期合约和期货合约是金融工程学中重要的工具，用于定价和估值不同的金融资产。
它们在金融市场中被广泛使用，有助于提供价格发现和风险管理。
远期合约是一种承诺在未来某个特定日期以特定价格购买或销售某种资产的合约。
远期合约的定价取决于许多因素，包括资产的现价、利率、资产的可交易性以及市场上其他相关合约的定价情况。
远期合约的估值可以通过计算资产现在的市场价值和承诺的交付价格之间的差异来确定。
期货合约是标准化的远期合约，它们在交易所上交易，并且具有明确的规则和合约条件。
期货合约的定价同样受到资产的现价、利率和市场需求等因素的影响。
期货合约的估值可以通过比较合约的交易价格和市场上同一期限的现货价格来确定。
为了定价和估值远期和期货合约，金融工程师通常使用一些数学模型和技术。
最常用的方法是基于期货和现货价格之间的套利机会来确定合理的定价。
如果合约价格低于现货价格，投资者可以购买合约并立即卖出现货，从中获利。
另一方面，如果合约价格高于现货价格，投资者可以卖出合约并立即购买现货，同样可以获利。
这种套利机会将推动合约价格逐渐接近现货价格。
此外，金融工程师还使用一些模型来估计远期和期货合约的风险价值，包括价值-at-Risk (VaR) 和 Conditional Value-at-Risk (CVaR) 等。
这些模型考虑了市场波动性、资产的回报分布以及投资者的风险偏好，帮助投资者了解可能的损失范围。
总的来说，远期和期货合约的定价和估值是金融工程学中重要的研究领域。
金融工程师使用数学模型和技术来确定合理的合约价格，并评估合约的风险价值。
这些工具有助于投资者制定决策和进行风险管理，同时也为金融市场的价格形成和流动性提供了支持。
远期合约和期货合约在金融市场中扮演着重要的角色。
它们不仅帮助投资者进行定价和估值，还促进了市场的流动性和效率。
在金融工程学中，有多种方法和模型可以用来定价和估值远期和期货合约。
金融工程(6.14)第六章(一)
一、布莱克—斯科尔斯模型
• “布莱克—斯科尔斯模型”是一个对金融理论、 商业实践及经济运行及其他有关领域产生巨大影 响的模型。这在社会科学中是比较罕见的。
• 费谢尔·布莱克(Fisher Black)曾是芝加哥大学的 教授，后就职于高盛公司(Goldman Sachs)；迈 隆·斯科尔斯(Myron Scholes)原是斯坦福大学的 教 授 ， 后 加 盟 长 期 资 本 管 理 公 司 (Long-Term Capital Management, LTCM)。后者曾因此而获 得诺贝尔经济学奖。
且也不存在税收问题。
• 资产交易是连续的，价格变动也是连续的（连续 复利）
• 收益率呈对数正太分布 • 金融市场上的投资者都是风险中立者
4
C S N(d1 ) KerT N(d 2 )
d1
ln
S K
r T
2 2
T
d2
T
；d2
二、二叉树期权定价模型
• 二叉树期权定价模型就是将这一时期细分成 若干个时间区间，并假设在这一特定时段里 基础资产的价格运动将出现两种可能的结果， 然后在此基础上构筑现金流动的模式和推导 期权的价格。
12
二项式期权定价模型的假设
• 最基本的模型为不支付股利的欧式股票看 涨期权定价模型；
• 股票市场和期权市场是完全竞争的，市场 运行是非常具有效率的
d1
ln
S K
r T
2 2
T
ln
110 105
0.08 0.25
0.25 2
2 0.75
0.75
第七章期权定价(金融工程学-中央财大,李磊宁)
将
fu fd Su Sd
上式，可以得到：
代入
fer t pfu1pfd
p ert d ud
第七章 期权定价
在风险中性世界里： （1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； （2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。 在风险中性的条件下, 参数值满足条件：
Ser t pSu(1p)Sd ert pu(1p)d
上限
下限
内在
价值
时间价值
X e-r(T-t)
S
第七章 期权定价
第二节 看涨期权和看跌期权的平价关系
看涨期权与看跌期权虽然分属不 同的权利，但两者在价格上却有密切 的联系。利用这种联系，在确定了看 涨期权的价格以后，就能够推导出相 应的看跌期权的价格，而不必单独为 后者定价。
第七章 期权定价
为了推导c和p之间的关系，我们考虑两个组合：
第七章 期权定价
模型的推导
资产价格变动的特征：资产价格的自然对数服从正态 分布，我们称价格服从对数正态分布。
St
S 0e r
h
ln
S S
t 0
ln
St S0
N ( ,
2)
ln
St
ln
S0
N ( ,
2)
S t资产在 t时的价格
S 0资产在起初的价格
h : 资产收益率
N ( , 2 ) : 正态分布
组合A：一份欧式看涨期权加上金额为 的现金 Xer(Tt) 组合B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式 看跌期权加上一单位标的资产
第七章 期权定价
组合的表现
A组合： call价格 存款价值 总价值 B组合： put价格 1单位标的资产 总价值
金融工程_第11章_期权定价的BS公式.ppt
股票价格如何变化的假设
对数正态分布
对数正态分布和正态分布
未来股票价格分布
未来股票价格的期望值和方差
股票价格变化假设：连续时间模 型
股票价格的对数正态分布特性
dS Sdt Sdz
d ln S ( 2 )dt dz
2
ln
ST
ln
S
~
[(
2
2
)(T
t),
T t]
ln
ST
~ [ln
波动率的估计
波动率估计的注意事项
11.3 B-S公式的基本假设及推 导
BS模型推导
Black-Scholes微分方程的正式推导
dS Sdt Sdz
df ( f S f 1 2 f 2S 2 )dt f Sdz
S
t 2 S 2
S
S St Sz
f
( f S
S
f t
1 2
风险中性定价步骤
应用于股票远期合约
到期日远期合约的价值 ST K
f erT E(ST K )
f erT E(ST ) KerT
E(ST ) SerT f S KerT
应用风险中性定价推导B-S公式
欧式看涨期权到期日的期望价值为 E[max(ST X ,0)]
c er(T t) E[max(ST X ,0)]
S
(
2 )(T
2
t),
T t]
期望值
方差
E(ST ) Se(T t)
var(ST ) S e [e 2 2(Tt) 2 (Tt) 1]
例子
例子
练习
11.2 预期收益率和波动率及其估 计
A、预期收益率
第十二章 期权定价理论 《金融工程学》PPT课件
➢ 由于方程中不存在风险偏好，那么风险将不会对其解产生影响，因此 在对期权进行定价时，可以使用任何一种风险偏好，甚至可以提出一 个非常简单的假设：所有投资者都是风险中性的
12.2布莱克—斯科尔斯（B-S）模型
（6）Black－Scholes期权定价公式 Black－Scholes微分方程，对于不同的标的变量 S 的不同衍生证券，会 有许多解，解这个方程时得到的特定衍生证券的定价公式 f 取决于使用 的边界条件，对于股票的欧式看涨期权，关键的边界条件为： f=Max（ST－K，0） （12—28） 由风险中性可知，欧式看涨期权的价格Ｃ是期望值的无风险利率贴现的
第12章 期权定价理论
12.1 期权价格概述
➢ 12.1.1期权定价概述
➢ 在所有的金融工程工具中，期权是一种非常独特的工具。因为期 权给予买方一种权利，使买方既可以避免不利风险又可以保留有 利风险，所以期权是防范金融风险的最理想工具。但要获得期权 这种有利无弊的工具，就必须支付一定的费用，即期权价格
一定的假设条件下得到的，这些条件包括：股票价格满足布朗运动；
股票的收益率服从正态分布；期权的有效期内不付红利。该公式的不
足之处是它允许有负的股票价格和期权价格，这显然和实际是不相符
合的，而且该公式没有考虑货币的时间价值。由于其理论的不完备，
计算结果的不准确，再加上当时市场的不发达，因此该定价公式在当
N（d）=
1
d
e
x2
2
dx
2
（12—3）
这些公式都应有以下假设： （1）没有交易费。 （2）可以按无风险利率借入或贷出资金
12.2布莱克—斯科尔斯（B-S）模型
➢ 对期权的定价理论进行开创性研究的学者是法国的Bachelier。1900
郑振龙《金融工程》第06章 期权定价
第六章布莱克-舒尔斯期权定价模型期权定价是所有衍生金融工具定价中最复杂的，它涉及到随机过程等较为复杂的概念。
我们将由浅入深，尽量深入浅出地导出期权定价公式，并找出衍生证券定价的一般方法。
第一节证券价格的变化过程由于期权定价用的相对定价法，即相对于证券价格的价格，因此要为期权定价首先必须研究证券价格的变化过程。
目前，学术界普遍用随机过程来描述证券价格的变化过程。
本节将由浅入深地加以介绍。
一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说。
该假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的。
效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。
弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益。
半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。
强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是可能获得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕信息”）对挑选证券都没有用处。
效率市场假说提出后，许多学者运用各种数据对此进行了实证分析。
结果发现，发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。
弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）来表述。
所谓随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。
根据时间是否连续随机过程可分为离散时间和连续时间随机过程，前者是指变量只能在某些分离的时间点上变化的过程，后者指变量可以在连续的时间段变化的过程。
根据变量取值范围是否连续划分，随机过程可分为离散变量和连续变量过程，前者指变量只能取某些离散值，而后者指变量可以在某一范围内取任意值。
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• 课后作业
• 作业1：嘉定某只股票的年预期收益率为 16%，年波动率为30%。当股票的当前价格 为50美元时，问接下来一天
a) 该股票的预期价格是多少？
b) 该股票价格低于45美元的概率是多少？
• 作业2：令W(t)是维纳过程，利用伊藤引 理求d(W2(t))，d(tW2(t))和d(eW(t))
产品定价
第三部分：产 品 定 价
• 股价过程描述
• 描述股价的过程
– 描述股票价格的一个关键特性：投资者对股票的 预期百分比回报与股价独立
• 在无不确定性条件下的股票价格
SSt dS/Sdt ST S0eT
• 在有不确定性条件下的股票价格：连续情形
dS Sdt Sdz dS / S dt dz
dx a(x,t)dt b(x,t)dz
• 其中，dz是一个标准布朗运动 （维纳过程），a、b是变量x 和t的函数，变量x的漂移率为 a，方差率为b2。
产品定价
第三部分：产 品 定 价
• 股价过程描述 l 股票价格应该如何变化呢？
图：标准普尔500指数月度价格指数收益率时序的自相关函数图， 1970.01-2014.01
第三部分：产 品 定 价
• 随机过程
• 随机过程概念
– 如果某一变量的取值以某种不确 定的方式随时间变化
• 随机过程的类型
– 离散时间、连续时间 – 离散取值、连续取值
产品定价
第三部分：产 品 定 价
• 随机过程
• 马氏过程
– 定义：设{X(t), t ∈T}是一个随机
过程，如果{X(t), t ∈T} 在 t0 时刻
衍生证券的价格G应遵循如下过程：
•
dG
(
G S
S
G t
1 2
2G S 2
2S
2
) dt
G S
Sdz
产品定价
第三部分：产 品 定 价
• 伊藤引理
• 例1：已知证券价格过程为dS=uSdt+σSdz， 证明对数价格过程lnS是一个广义维纳过程。
• 例2：假定股票的当前价格为50，其预期收益 率和波动率分别为每年12%和每年30%。股 票价格在2年后低于80美元的概率是多少？
• 离散化：
SSt S t S/S~ (t,2t)
产品定价
第三部分：产 品 定 价
• 伊藤引理
• 若变量x遵循伊藤过程，则变量x
和t的函数G将遵循如下过程：
• dG
(
G x
a
G t
1 2
2G x 2
b 2 )dt
G x
bdz
• 由于 dS Sdt Sdz 根据伊藤引理，
– After graduating from Ayer High School in 1906 at 11 years of age, Wiener entered Tufts College. He was awarded a BA in mathematics in 1909 at the age of 14, whereupon he began graduate studies of zoology at Harvard. In 1910 he transferred to Cornell to study philosophy.
率分布是多少？ – 现金头寸在1个月、6个月和1年时有负的
现金头寸的概率是多少？ – 在将来什么时候公司具有负的现金头寸的
概率最大？
产品定价
第三部分：产 品 定 价
伊藤过程与伊藤引理
• 伊藤过程
• 普通布朗运动假定漂移率和方 差率为常数，若把变量x的漂 移率和方差率当作变量x和时 间t的函数，我们则得到伊藤 过程（Ito Process）：
N
z T z 0 i t i1
N T t – 增量的均值等于0 – 增量的标准差等于 T
产品定价
第三部分：产 品 定 价
• x是广义维纳运动，如果
dx adt bdz
– 漂移速度a是常数 – b是常数 – 单位时间内随机变量变化的期望值为漂移率，
方差称为波动率
课程小结及参考文献
第三部分：产 品 定 价
主要内容：连续时间的资产价格描述！
核心提要： 1. 马尔科夫过程 2. 维纳过程及伊藤过程 3. 伊藤引理
课程小结
参考资料：
1. 期权、期货及其他衍生产品 2. 网络资料 课后作业：请见下面的PPT！
下一讲内容：B-S期权定价公式
参考文献
第三部分：产 品 定 价
产品定价
第三部分：产 品 定 价
维纳过程与布朗运动பைடு நூலகம்
• 布朗运动与维纳过程
• 独立增量，在任意两个微小时间段内的改变量是独立的
• 每个区间上的增量满足正态分布
• Wiener过程是Markov过程
• 瞬时增量为 z t – 增量的均值等于 0 – 增量的标准差等于 t
• Wiener过程(长时间段内)的增量
其“将来”的条件分布不依赖于
“过去”，则称{X(t), t ∈T}具有
马尔可夫（Markov）性。
产品定价
第三部分：产 品 定 价
• 布朗运动:
图：花粉粒在水面上的运动——布朗运动
产品定价
第三部分：产 品 定 价
• 布朗运动与维纳过程
– Norbert Wiener (November 26, 1894 – March 18, 1964) was an American mathematician. He was Professor of Mathematics at MIT.
对外经济贸易大学金融学院 谢海滨 International Business School, UIBE
金融工程
电话：010-64492533 邮箱：hbxie@
产品定价
第三部分：产 品 定 价
•连续时间股价过程
I. 随机过程 II.描述股价的随机过程 III.伊藤引理
产品定价
所处的状态为已知时，它在时刻
P(X(tn) xn | X(t1) x1, X(t2) x2,L , X(tn1) xn1) t>t0 所处状态的条件分布与其在
P(X (tn) xn | X (tn1) xn1), xn R
t0 之前所处的状态无关. 通俗地说，
就是知道过程“现在”的条件下，
– A famous child prodigy, Wiener later became an early researcher in stochastic and noise processes, contributing work relevant to electronic engineering, electronic communication, and control systems.
• x是广义Wiener过程
– 增量 x T x0 为正态分布，均值等于aT
– 标准差为b T
维纳过程与布朗运动
产品定价
第三部分：产 品 定 价
• 广义维纳过程 • 例：假定一家公司现金头寸以百万计量，并
服从广义维纳过程，现金头寸的飘移率为每 月0.1，方差率为2.0，计算 – 现金头寸在1个月、6个月以及1年时的概