高中数学《垂直关系的性质》课件

提示：C 因为 l⊥AB，l⊥AC，AB α，AC α，且 AB∩AC＝A，所 以 l⊥α，同理可证 m⊥α，所以 l∥m.
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提示
3．若 m、n 表示直线，α 表示平面，则下列判断中，正确判断的个数为
()
① mm∥⊥nα⇒n⊥α； ② mn⊥⊥αα⇒m∥n；
(2)如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面
□09 垂直于另一个平面
(3)如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线
□10 平行于另一个平面或在另一个平面内
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【即时小测】 1．思考下列问题 (1)一般地，如果直线 a⊥α，直线 b⊥α，这时，a 和 b 平行吗？你能给 出证明吗？ 提示：a 和 b 平行．证明如下： 如图，假定 a 和 b 不平行．
平面角，因为平面 α⊥平面 β，所以∠ABC＝90°，即 AB⊥BC，
又已知 AB⊥MN，从而 AB⊥α.
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提示
2．△ABC 所在的平面为 α，直线 l⊥AB，l⊥AC，直线 m⊥BC，m⊥AC， 则直线 l，m 的位置关系是( )
A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定
作 DF⊥AC 于点 F，平面 PAC⊥平面 ABC，且交线为 AC，
∴DF⊥平面 PAC.又 PA 平面 PAC，∴DF⊥AP.
作 DG⊥AB 于点 G，
同理可证 DG⊥AP，DG、DF 都在平面 ABC 内且交点为 D，∴PA⊥平
面 ABC.
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答案
(2)连接 BE 并延长，交 PC 于点 H. ∵E 点是△PBC 的垂心，∴PC⊥BE. 又已知 AE 是平面 PBC 的垂线， ∴PC⊥AE. 又∵BE∩AE＝E，∴PC⊥平面 ABE.∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面 ABC，∴PA⊥AB. ∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面 PAC. ∴AB⊥AC，即△ABC 是直角三角形．
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2．平面与平面垂直的性质定理
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3．平面与平面垂直的其他性质
(1)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点□08 垂直于第二个平面
的直线在第一个平面内．
A．直线 AB 上 B．直线 BC 上 C．直线 AC 上 D．不能确定
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提示：A 由 AC⊥BC1，AC⊥AB， 得 AC⊥平面 ABC1，
又 AC 平面 ABC，∴平面 ABC1⊥平面 ABC. ∴C1 在底面 ABC 上的投影 H 必在交线 AB 上．
m⊥α
③
n∥α
⇒m⊥n;
m∥α ④ m⊥n⇒n⊥α.
A．1 B．2 C．3 D．4 提示：C ①②③正确，④中 n 与平面 α 可能有：n⊂α 或 n∥α 或相交(包 括 n⊥α)．
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提示
4．在斜三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点 C1 在 底面 ABC 上的投影 H 必在( )
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提示
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例 1 如图，已知平面 α∩平面 β＝l，EA⊥α，垂足为 A，EB⊥β，垂足 为 B，直线 a β，a⊥AB.求证：a∥l.
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[证明] 因为 EA⊥α，α∩β＝l，即 l α， 所以 l⊥EA.同理 l⊥EB.又 EA∩EB＝E， 所以 l⊥平面 EAB.
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提示
(2)一般地，平面 α⊥β，α∩β＝MN，AB β，AB⊥MN 于点 B，这时， 直线 AB 和平面 α 垂直吗？你能给出证明吗？
提示：直线 AB 和平面 α 垂直．证明如下：
如图，在平面 α 内作直线 BC⊥MN，则∠ABC 是二面角 α－MN－β 的
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答案
例 2 已知平面 PAB⊥平面 ABC，平面 PAC⊥平面 ABC，AE⊥平面 PBC， E 为垂足．
(1)求证：PA⊥平面 ABC； (2)当 E 为△PBC 的垂心时，求证：△ABC 是直角三角形．
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[证明] (1)如图，在平面 ABC 内取一点 D，
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随堂巩固为 A，B. 过点 B 作 a 的平行线 b′， 由异面直线垂直的定义，b′与平面 α 内过点 A 的任意直线都垂直，也 即有 b′⊥α，b∩b′＝B， 故直线 b 与 b′确定一个平面，记为 β，且记 α∩β＝l， 在平面 β 内，过点 B 有且仅有一条直线垂直于 l，故 b′与 b 重合，a 与 b 平行．
6.2 垂直关系的性质
[学习目标] 1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并 能用文字、符号和图形语言描述定理． 2.会用线面垂直、面面垂直的性质 定理证明相关问题． 3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.
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【主干自填】 1．直线与平面垂直的性质定理
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证明 如图所示，连接 AB1，B1C，BD.
∵DD1⊥平面 ABCD，AC 平面 ABCD，∴DD1⊥AC. 又∵AC⊥BD 且 BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面 BDD1B1.
∵BD1 平面 BDD1B1，∴BD1⊥AC.
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因为 EB⊥β，a β，所以 EB⊥a， 又 a⊥AB，EB∩AB＝B，所以 a⊥平面 EAB. 由线面垂直的性质定理，得 a∥l.
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[变式训练1] 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 E，F 分别在 A1D，AC 上，且 EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.