高中数学《垂直关系的性质》课件
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人教版高中数学必修2《平面与平面垂直的性质》PPT课件
【对点练清】 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAB⊥平面 ABCD，BC∥平 面 PAD，∠ABC＝90°，PA＝PB＝ 22AB.求证： (1)AD∥平面 PBC； (2)平面 PBC⊥平面 PAD. 证明：(1)∵BC∥平面 PAD，BC⊂平面 ABCD，平面 ABCD∩平面 PAD＝AD， ∴BC∥AD. ∵AD⊄平面 PBC，BC⊂平面 PBC，∴AD∥平面 PBC.
(2)在平面 ABC 内，作 AO⊥CB，交 CB 的延长线于 O，
如图所示．
∵△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，平面 ABC∩平面
BCD＝BC，且 AO⊂平面 ABC，∴AO⊥平面 BCD.
∵G 为 AD 的中点，∴G 到平面 BCD 的距离 h 是 AO 长度
Fra Baidu bibliotek
的一半．在△AOB 中，
AO＝AB·sin 60°＝
求证：BC⊥平面 PAB. [证明] 在平面 PAB 内，作 AD⊥PB 于点 D. ∵平面 PAB⊥平面 PBC， 且平面 PAB∩平面 PBC＝PB，AD⊂平面 PAB， ∴AD⊥平面 PBC.又 BC⊂平面 PBC，∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC， ∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面 PAB.
若①m⊥n，③n⊥β，④m⊥α 成立，则②α⊥β 一定成立； 若②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α 成立，则①m⊥n 一定成立． ∴①③④⇒②(或②③④⇒①)． 答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)
高中数学必修课件第一章垂直关系的性质
高中数学必修课件第 一章垂直关系的性质
汇报人：XX
20XX-01-30
目录
• 垂直关系基本概念与性质 • 平面内垂直关系判定与证明 • 空间中垂直关系判定与证明
目录
• 垂直关系在几何图形中应用 • 实际问题中垂直关系模型构建与求解 • 总结回顾与拓展延伸
01
垂直关系基本概念与性质
垂直线定义及表示方法
通过建立空间直角坐标系，利用向量的点积为零来判定两条异面直线垂 直。
空间中直线与平面垂直判定
定义法
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线就与这 个平面垂直。
判定定理
如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线 就与这个平面垂直。
向量法
通过建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量 平行来判定直线与平面垂直。
例题3
判断空间两直线是否垂直。解题思路：根据空间中两直线垂直的判定定理，判断一条直线 是否垂直于另一条直线所在的平面，或者判断两条直线是否都垂直于第三个平面。
拓展延伸题目挑战
挑战题1
在三维坐标系中，给定两条直线的方程，判断它们是否垂 直，并给出证明。
挑战题2
在平面内，给定三个点，求经过这三个点且与给定直线垂 直的圆的方程。
垂直角性质
两个垂直角的大小相等， 且都等于90度。
垂直角的判定
汇报人：XX
20XX-01-30
目录
• 垂直关系基本概念与性质 • 平面内垂直关系判定与证明 • 空间中垂直关系判定与证明
目录
• 垂直关系在几何图形中应用 • 实际问题中垂直关系模型构建与求解 • 总结回顾与拓展延伸
01
垂直关系基本概念与性质
垂直线定义及表示方法
通过建立空间直角坐标系，利用向量的点积为零来判定两条异面直线垂 直。
空间中直线与平面垂直判定
定义法
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线就与这 个平面垂直。
判定定理
如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线 就与这个平面垂直。
向量法
通过建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量 平行来判定直线与平面垂直。
例题3
判断空间两直线是否垂直。解题思路：根据空间中两直线垂直的判定定理，判断一条直线 是否垂直于另一条直线所在的平面，或者判断两条直线是否都垂直于第三个平面。
拓展延伸题目挑战
挑战题1
在三维坐标系中，给定两条直线的方程，判断它们是否垂 直，并给出证明。
挑战题2
在平面内，给定三个点，求经过这三个点且与给定直线垂 直的圆的方程。
垂直角性质
两个垂直角的大小相等， 且都等于90度。
垂直角的判定
8.6.3平面与平面垂直的性质定理(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第二册
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[解析] 如图，在平面 内，作 于点 .
∵平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ， 平面 .又 平面 ，
.又 平面 ， 平面 ， .又 ， 平面 .又 平面 ， .
课本例10
（1）定义法:
以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA,OB，则∠AOB就是此二面角的平面角.
在一个平面α内选一点A向另一平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角.
（3）垂面法:
过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角.
（2）三垂线法:
作二面角的平面角的常用方法
探究新知
α
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C
解析：C 如图，连接AC，∵底面ABCD为菱形，∴BD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴PA⊥BD.∵PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.当PC上的点M满足DM⊥PC时，有PC⊥平面MBD.又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.则当DM⊥PC时，平面MBD⊥平面PCD.故选C．
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[解析] 如图，在平面 内，作 于点 .
∵平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ， 平面 .又 平面 ，
.又 平面 ， 平面 ， .又 ， 平面 .又 平面 ， .
课本例10
（1）定义法:
以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA,OB，则∠AOB就是此二面角的平面角.
在一个平面α内选一点A向另一平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角.
（3）垂面法:
过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角.
（2）三垂线法:
作二面角的平面角的常用方法
探究新知
α
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C
解析：C 如图，连接AC，∵底面ABCD为菱形，∴BD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴PA⊥BD.∵PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.当PC上的点M满足DM⊥PC时，有PC⊥平面MBD.又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.则当DM⊥PC时，平面MBD⊥平面PCD.故选C．
8.6.3平面与平面垂直(第2课时性质定理)课件高一下学期数学人教A版
（1）如果平面 平面，那么平面内所有直线都垂直于平面.
（ ×）
（2）如果平面 平面，那么平面内一定存在直线平行于平面. （3）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 .
（√ ） （√）
巩固新知 练习：课本P162
2.若平面 平面，且 l，则下列命题中正确的个数是（ 来自百度文库 ）.
A
D
B
E
C
则∠ABE就是二面角 CD 的平面角.
∵ , ∴AB⊥BE.
又由题意知AB⊥CD,且BE CD=B
新知探究
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两 个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．
, l,a ,a l a
a l
面面垂直线面垂直
达标检测
2.已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则 ( C)
A.m∥l
B.m∥n
C.n⊥l
D.m⊥n
解析 因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.
达标检测
3.如图所示，三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC， 且PA＝PB＝PC，则△ABC是__直__角____三角形. 解析 设P在平面ABC上的射影为O， ∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB， ∴O∈AB. ∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC， ∴O是△ABC的外心，且是AB的中点， ∴△ABC是直角三角形.
北师大版6.2.1《直线与平面垂直的性质》课件
2、平面几何学过的证明两条直线平行的方法。
3、平行线的传递性
记：a // b, a // c b // c
4、线面平行的性质定理 记：a / / , a Ü , I b a / /b 5、面面平行的性质定理
记： / / , I a, I b a / /b
又四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD
又AA'∩AC=A,所以BD⊥平面A'AC,从而A'C⊥BD
(2)同理可证A'C ⊥DC',而BD∩DC'=D,
所以A'C⊥平面BDC'.
9
总结反思
一、直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行 二、两条直线平行的判定方法： 1、定义法：两直线共面且没有公共点。
α 证明：假设a和b不平行，设b与α交于点0,过O作a 的平行线b’ ∵a∥b’ 且 a⊥α
o
∴b’⊥ α ∵过一点作一平面的垂线有且只有一条 ∴b 与 b’重合 ∴a∥b
总结提练
直线和平面垂直的性质定理
如果两条直线同垂直于一个平面， 那么这两条直线平行。
a a / /b b
B l
A aห้องสมุดไป่ตู้
α
12
3
提出问题
问题 1. 在同平面内，垂直于同一条直 线的两条直线互相平行。在空间中上述结 论还成立吗？
人教版高中数学必修二.线面垂直、面面垂直的性质定理教学课件 共18张PP
B
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线 面垂直 、面面 垂直的 性质定 理教学 课件 共18张PP
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线 面垂直 、面面 垂直的 性质定 理教学 课件 共18张PP
例2 ,a ,a ,判 断 a 与 位 置 关 系
证明：设 l
在α内作直线b⊥l
六、作业 课本习题A组 1、2、3
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线 面垂直 、面面 垂直的 性质定 理教学 课件 共18张PP
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线 面垂直 、面面 垂直的 性质定 理教学 课件 共18张PP 人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线 面垂直 、面面 垂直的 性质定 理教学 课件 共18张PP
•
8.特点就是这件事物不同于其他的地 方，每 种物品 都有自 己明显 的特点 ，比如 外形、 用途等 ，所以 ，如果 要想让 自己的 物品与 众不同 ，就一 定要抓 住它的 特点。
•
9.有的时候，我遇到的字只知道拼音 ，可不 知道它 的写法 ，我就 用音序 查字法 从字典 里寻出 它的芳 踪，有 时候看 到不会 读的字 ，我就 用部首 查字法 在字典 中找到 它的倩 影。
(3 )a//,b ,则 b a(4 )a ,b ,则 b a
问题10：如何举反例？
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线 面垂直 、面面 垂直的 性质定 理教学 课件 共18张PP
高中数学 直线与平面垂直的判定及其性质课件 新人教版必修2
线不在多 相交就行
线线垂直 线面垂直
练习： ,来自百度文库
D1
A1
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中
C1 (1)请列举与平面ABCD垂直
B1
的直线 ；
(2)请列举与直线A1A垂直的
D
C 平面 ；
A
B (3)你还能找出一条与平面
D1DBB1垂直的直线吗?
梳理思维:
例2：已知PA 平面ABC，AB是圆O的直径，C是圆周上的一点
平面α
l
的垂线
直线l
的垂面
P
α
垂足
• 思考：
• 是否把平面中的直线一一找出，才能证明 直线与平面垂直？
探究1： 如果直线 a与平面内的一条直线垂直，
则直线 a和平面 互相垂直?
a
b
α
探究2：
互动思维:
如果直线 l与平面内的两条直线垂直，
则直线 l 和平面 互相垂直?
如果两条直线平行
如果两条直线相交
a
b
α
探究3：
互动思维:
如果直线 l与平面内的两条相交直线 垂直，则直线 l 和平面 互相垂直?
A A1 A1 互动思维:
A
准备一AD块作三为角B形C边的上纸的片高。时，AD α，这
时AD BC，A 即AD BD，AD CD，BD∩CD=D.
线线垂直 线面垂直
练习： ,来自百度文库
D1
A1
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中
C1 (1)请列举与平面ABCD垂直
B1
的直线 ；
(2)请列举与直线A1A垂直的
D
C 平面 ；
A
B (3)你还能找出一条与平面
D1DBB1垂直的直线吗?
梳理思维:
例2：已知PA 平面ABC，AB是圆O的直径，C是圆周上的一点
平面α
l
的垂线
直线l
的垂面
P
α
垂足
• 思考：
• 是否把平面中的直线一一找出，才能证明 直线与平面垂直？
探究1： 如果直线 a与平面内的一条直线垂直，
则直线 a和平面 互相垂直?
a
b
α
探究2：
互动思维:
如果直线 l与平面内的两条直线垂直，
则直线 l 和平面 互相垂直?
如果两条直线平行
如果两条直线相交
a
b
α
探究3：
互动思维:
如果直线 l与平面内的两条相交直线 垂直，则直线 l 和平面 互相垂直?
A A1 A1 互动思维:
A
准备一AD块作三为角B形C边的上纸的片高。时，AD α，这
时AD BC，A 即AD BD，AD CD，BD∩CD=D.
人教版人教高中数学3直线、平面垂直的判定与性质 -三垂线定理 (共16张PPT)教育课件
凡事都是多棱镜 ，不同的角度会
凡事都 是多棱镜，不同的角度会看 到不同的结果。若 能把一些事看淡了 ，就会有个好心境 ，若把很多事看开 了，就会 有个好心情。让聚散离合犹 如月缺月圆那样寻 常，让得失利弊犹 如花开花谢那样自 然，不计较，也不 刻意执着 ；让生命中各种的喜怒哀乐， 就像风儿一样，来了，不管 是清风拂面，还是寒风凛冽 ，都报以自然的微笑，坦 然的接受命运的馈赠，把是非曲折，都当 作是人生
三垂线定理
P O α
a
A
直线和平面垂直的定义是什么？有怎样的性质？
定义：一条直线和平面相交，且和平面内经过交点的所有直 线都垂直 性质定理：如果一条直线和平面垂直，那么它垂直于平面 内的任何直线
直线和平面垂直的判定定理是什么？
判定定理：如果平面外一条直线和平面内两条相交直 线都垂直，那么这条直线垂直于平面
有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
高一数学同步备课系列课件：直线与平面垂直的性质
在直线都垂直于平面ABCD, 它们之间具有什么位置关系?
(2) 如图8.6 17, 已知直线a, b和平面 , 如果a , b , 那么直线a, b
一定平行吗D ?
C
ab
A
B
D
C
A
B
图8.6-16
图8.6-17
可以发现, 这些直线相互平行, 不失一般性, 我们以(2)为例加以证明.
如图8.6 18, 假设b与a不平行, 且b O, 显然点O不在直线a上,
A, B与距离相等,即AC BD, 又AC , BD , AC / / BD, 四边形ABDC为平行四边形, AB / / CD, 又CD , AB / /
A
B
应用：求三棱锥的体积时，可以将三棱
锥的顶点沿着与底面平行的直线进行平
移。
Leabharlann Baidu
C
D
3. 如图, EA和DC都垂直于平面ABC , 且EA 2DC , F是EB的中点,
设截得棱台的棱锥的体积为V , 去掉的棱锥的体积为V ,
高为h, 则PO h. 于是V 1 Sh, V 1 S(h h)
所以棱台的体积
3
3
V棱台
V
V
1 3
S (h
h)
1 3
S h
1 [Sh 3
(S
S )h]
高中数学必修二课件：平面与平面垂直(第2课时)
②过点E作EH⊥BC于H，∵平面ABCD⊥平面EBC，平面ABCD∩平面EBC
＝BC，∴EH⊥平面ABCD，过H作HG⊥AD于G，连接EG.
∵AD⊂平面ABCD，∴EH⊥AD，又EH∩HG＝H，
∴AD⊥平面EHG，又EG⊂平面EHG，∴AD⊥EG，
∴∠EGH即为二面角E－AD－B的平面角．
在Rt△EHB中，EH＝EB×sin
题型二 平面与平面垂直的性质定理 例2 如图，P是边长为a的菱形ABCD所在平面外的一点，∠DAB＝60°.
侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB.
【思路】 由题目可获取以下主要信息： ①ABCD是边长为a的菱形； ②平面PAD⊥平面ABCD. 解答本题可先由面面垂直得线面垂直，再进一步得出线线垂直． 【证明】 (1)连接BD.∵四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，∴△ABD 为等边三角形，又G为AD的中点，∴BG⊥AD. 又∵平面PAD⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝ AD， ∴BG⊥平面PAD.
2．垂直于同一个平面的两个平面平行吗？ 答：可能平行，也可能相交．
3．面面垂直性质定理成立的条件有哪几个？
答：共3个条件． ①两个平面垂直；②有一条直线在其中一个平面内；③这条直线垂直于两 个平面的交线．
平面与平面垂直(第2课时)平面与平面垂直的性质 课件(2)-人教A版高中数学必修第二册
因为AP=PB,DQ=QC,所以AP
CQ.所以AQCP为平行四边形.所以CP∥AQ.
因为CP⊂平面CEP,AQ⊄平面CEP,所以AQ∥平面CEP.
当已知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化,要证线
面、面面垂直或平行时要用判定定理进行论证.
【跟踪训练2】
1、如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点, EP⊥平面
ABCD.
(1)求证:AQ∥平面CEP;
(2)求证:平面AEQ⊥平面DEP.
证明:(1)在矩形ABCD中,
人教2019版必修第一册
第八章 立体几何初步
8.6.3 平面与平面垂直
第2课时 平面与平面垂直的性质
课程目标
1．理解平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关
问题.
2．通过对性质定理的理解和应用,培养学生的空间转化能
力和逻辑推理能力．
数学学科素养
1.逻辑推理：探究归纳平面和平面垂直的性质定理,
线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化；
所以BC∥平面PDA.
(2)证明:取CD的中点H,连接PH,
因为PD=PC,所以PH⊥CD.
又因为平面PDC⊥平面ABCD,
平面PDC∩平面ABCD=CD,
所以PH⊥平面ABCD.
又因为BC⊂平面ABCD,所以PH⊥BC.
又因为长方形ABCD中,BC⊥CD,PH∩CD=H,
CQ.所以AQCP为平行四边形.所以CP∥AQ.
因为CP⊂平面CEP,AQ⊄平面CEP,所以AQ∥平面CEP.
当已知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化,要证线
面、面面垂直或平行时要用判定定理进行论证.
【跟踪训练2】
1、如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点, EP⊥平面
ABCD.
(1)求证:AQ∥平面CEP;
(2)求证:平面AEQ⊥平面DEP.
证明:(1)在矩形ABCD中,
人教2019版必修第一册
第八章 立体几何初步
8.6.3 平面与平面垂直
第2课时 平面与平面垂直的性质
课程目标
1．理解平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关
问题.
2．通过对性质定理的理解和应用,培养学生的空间转化能
力和逻辑推理能力．
数学学科素养
1.逻辑推理：探究归纳平面和平面垂直的性质定理,
线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化；
所以BC∥平面PDA.
(2)证明:取CD的中点H,连接PH,
因为PD=PC,所以PH⊥CD.
又因为平面PDC⊥平面ABCD,
平面PDC∩平面ABCD=CD,
所以PH⊥平面ABCD.
又因为BC⊂平面ABCD,所以PH⊥BC.
又因为长方形ABCD中,BC⊥CD,PH∩CD=H,
新高考数学直线、平面垂直的判定与性质精品课件
6. 如图7-40-2所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形,PA=a, PB=PD=a,则它的5个面中,互相垂直的面有 对.
课前基础巩固
[解析]由底面ABCD是边长为a的正方形,PA=a,PB=PD= a,得PA⊥AB,PA⊥AD,又AB∩AD=A,所以PA⊥底面ABCD,由PA⊂平面PAB,PA⊂平面PAD,可得平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD.又AB⊥AD,PA∩AD=A,故AB⊥平面PAD,又AB⊂平面PAB,可得平面PAB⊥平面PAD.由BC⊥AB,BC⊥PA,AB∩PA=A,得BC⊥平面PAB,又BC⊂平面PBC,可得平面PAB⊥平面PBC.由CD∥AB,得CD⊥平面PAD,又CD⊂平面PDC,可得平面PAD⊥平面PDC.故共有5对互相垂直的面.
来自百度文库
[解析]如图②,延长AO,BO,CO,分别交BC,AC,AB于点H,D,G.∵PC ⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,∴PC⊥平面PAB,又AB ⊂平面PAB,∴PC⊥AB,∵AB⊥PO,PO∩PC=P,PO,PC⊂平面POC, ∴AB⊥平面POC,又CG⊂平面POC,∴AB⊥CG,即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD,AH分别为△ABC边AC,BC上的高,即O为△ABC的垂心.
课堂考点探究
对于C,如图②,设α∩γ=a,β∩γ=b,在γ内直线a,b外任取一点O,作OA⊥a,因为平面α⊥平面γ,所以OA⊥α,所以OA⊥l,作OB⊥b,因为平面β⊥平面γ,所以OB⊥β,所以OB⊥l,又因为OA∩OB=O,所以l⊥平面γ,故C中说法正确;对于D,若平面α内存在直线垂直于平面β,则根据面面垂直的判定定理,有平面α垂直于平面β,与平面α不垂直于平面β矛盾,所以根据逆否命题可知,如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β,故D中说法正确.故选B.
课前基础巩固
[解析]由底面ABCD是边长为a的正方形,PA=a,PB=PD= a,得PA⊥AB,PA⊥AD,又AB∩AD=A,所以PA⊥底面ABCD,由PA⊂平面PAB,PA⊂平面PAD,可得平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD.又AB⊥AD,PA∩AD=A,故AB⊥平面PAD,又AB⊂平面PAB,可得平面PAB⊥平面PAD.由BC⊥AB,BC⊥PA,AB∩PA=A,得BC⊥平面PAB,又BC⊂平面PBC,可得平面PAB⊥平面PBC.由CD∥AB,得CD⊥平面PAD,又CD⊂平面PDC,可得平面PAD⊥平面PDC.故共有5对互相垂直的面.
来自百度文库
[解析]如图②,延长AO,BO,CO,分别交BC,AC,AB于点H,D,G.∵PC ⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,∴PC⊥平面PAB,又AB ⊂平面PAB,∴PC⊥AB,∵AB⊥PO,PO∩PC=P,PO,PC⊂平面POC, ∴AB⊥平面POC,又CG⊂平面POC,∴AB⊥CG,即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD,AH分别为△ABC边AC,BC上的高,即O为△ABC的垂心.
课堂考点探究
对于C,如图②,设α∩γ=a,β∩γ=b,在γ内直线a,b外任取一点O,作OA⊥a,因为平面α⊥平面γ,所以OA⊥α,所以OA⊥l,作OB⊥b,因为平面β⊥平面γ,所以OB⊥β,所以OB⊥l,又因为OA∩OB=O,所以l⊥平面γ,故C中说法正确;对于D,若平面α内存在直线垂直于平面β,则根据面面垂直的判定定理,有平面α垂直于平面β,与平面α不垂直于平面β矛盾,所以根据逆否命题可知,如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β,故D中说法正确.故选B.
高中数学必修2课件：第一章 6 垂直关系的性质
[点睛]
对面面垂直的性质定理的理解
(1)定理成立的条件有三个： ①两个平面互相垂直； ②直线在其中一个平面内； ③直线与两平面的交线垂直． (2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线 面垂直． (3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再 转化为线线垂直．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知直线a和直线c，a⊥α，若c∥a，则c⊥α. ( √ )
若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面 垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用 面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前 提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂 直于它们的交线．
[活学活用] 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点， 四边形ABCD是边长为a的菱形，G为AD的中点， 且∠DAB＝60°.侧面PAD为正三角形，其所在平 面垂直于底面ABCD. 求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB. 证明：
6．2 垂直关系的性质
预习课本P39～41，思考并完成以下问题
(1)线面垂直的性质定理的内容是什么？有什么作用？
(2)面面垂直的性质定理的内容是什么？Hale Waihona Puke Baidu什么作用？
(3)应用面面垂直性质定理时应注意什么？
1．直线与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直 线 平行 ． (2)图形语言：
2015高中数学北师大版必修二课件：《垂直关系的性质》
第十页，编辑于星期五：十二点 八分。
...
导学固思
线面垂直的性质定理的应用
如图,已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,EF 与异面直线 AC、
A1D 都垂直相交,求证:EF∥BD1.
【解析】连接 AB1,B1C,BD,
∵DD1⊥平面 ABCD,AC⊂平面 ABCD,∴DD1⊥AC.
又∵AC⊥BD,∴AC⊥平面 BDD1B1,∴AC⊥BD1.
β,D 为垂足.求证:CD⊥AB.
【解析】∵EC⊥α,AB⊂α,∴EC⊥AB,同理 ED⊥AB,
即 AB⊥EC,AB⊥ED,
又 EC∩ED=E,∴AB⊥面 ECD,
而 CD⊂面 ECD,∴AB⊥CD.
第十二页，编辑于星期五：十二点 八分。
...
导学固思
面面垂直的性质定理的应用
如图所示,△ABC 为正三角形,EC⊥平面 ABC,BD∥CE,且
的中点,求证:平面 EDB⊥平面 ABCD.
【解析】 连接 AC 交 BD 于点 O,连接 EO,
因为四边形 ABCD 是平行四边形,
所以 O 是 AC 的中点,且 E 是 SA 的中点,
所以 EO∥SC.
因为 SC⊥平面 ABCD,
所以 EO⊥平面 ABCD,且 EO⊂平面 EDB,
所以平面 EDB⊥平面 ABCD.
【解析】过点 A 作 AH⊥BE,H 为垂足.
人教高中数学必修二直线、平面垂直的判定与性质 三垂线定理 课件
应用举例
∵BC是AC的射影 且CD⊥BC ∴CD⊥AC(三垂线定理)
因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。
∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20m ∴BC=20m， 在直角三角形ABC中 AC2=AB2+BC2，AC= 152+202 =25(m) 答：电塔顶与道路的距离是25m。
A
“一垂二射三证”
5. 这是一篇托物言志的铭文，本文言 简义丰 、讲究 修辞。 文章骈 散结合 ，以骈 句为主 ，句式 整齐， 节奏分 明，音 韵和谐 。
6.了解和名著有关的作家作品及相关 的诗句 、名言 、成语 和歇后 语等， 能按要 求向他 人推介 某部文 学名著 。
7.能够根据所提供的有关文学名著的 相关语 言信息 推断作 品的作 者、作 品的名 称和人 物形象 ，分析 人物形 象的性 格和作 品的思 想内容 并进行 简要评 价。
B
人教高中数学必修二直线、平面垂直 的判定 与性质 三垂线定理 课件
90°
C
45°
D
人教高中数学必修二直线、平面垂直 的判定 与性质 三垂线定理 课件
三垂线定理及三垂线定理逆定理
P
定理
线射垂直
线斜垂直
逆定理
O α
a
A
定理和逆定理是证明线线垂直的重要方法！
人教高中数学必修二直线、平面垂直 的判定 与性质 三垂线定理 课件
人教版高中数学必修2《直线与直线垂直》PPT课件
[典例 1] 如图，在正方体 ABCD-EFGH 中，O 为侧 面 ADHE 的中心．
求：(1)BE 与 DH 所成的角； (2)FO 与 BD 所成的角．
[解] (1)如图，因为 DH∥AE. 所以∠AEB(或其补角)为异面直线 BE 与 DH 所成的 角．又在△AEB 中，∠AEB＝45°， 所以 BE 与 DH 所成的角为 45°.
•(二)基本知能小试
•1．判断正误：
源自文库
• (1)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么
另一条直线也与这条直线垂直．
√
()
•(2)异面直线所成的角的大小与点O的位置有关，即点O
位置不同时，这一角的大小也不同．
×
()
•(3)若∠AOB＝110°，则分别和边OA，OB平行的两条×异 面直线所成的角为110°.
(2)连接 FH，因为 HD∥EA，EA∥FB，所以 HD∥FB.又 HD＝FB，所 以四边形 HFBD 为平行四边形．所以 HF∥BD.
所以∠HFO(或其补角)为异面直线 FO 与 BD 所成的角． 连接 HA，AF，易得 FH＝HA＝AF， 所以△AFH 为等边三角形． 又知 O 为 AH 的中点，所以∠HFO＝30°， 即 FO 与 BD 所成的角为 30°.
【对点练清】 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，A1A＝AB，E，F 分别是 BD1 和 AD 的中点． 求证：CD1⊥EF. 证明：取 CD1 的中点 G，连接 EG，DG. ∵E 是 BD1 的中点，∴EG∥BC，EG＝12BC. ∵F 是 AD 的中点，且 AD∥BC，AD＝BC，
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答案
例 2 已知平面 PAB⊥平面 ABC，平面 PAC⊥平面 ABC，AE⊥平面 PBC， E 为垂足．
(1)求证：PA⊥平面 ABC； (2)当 E 为△PBC 的垂心时，求证：△ABC 是直角三角形．
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[证明] (1)如图，在平面 ABC 内取一点 D，
m⊥α
③
n∥α
⇒m⊥n;
m∥α ④ m⊥n⇒n⊥α.
A．1 B．2 C．3 D．4 提示：C ①②③正确，④中 n 与平面 α 可能有：n⊂α 或 n∥α 或相交(包 括 n⊥α)．
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提示
4．在斜三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点 C1 在 底面 ABC 上的投影 H 必在( )
Fra Baidu bibliotek
平面角，因为平面 α⊥平面 β，所以∠ABC＝90°，即 AB⊥BC，
又已知 AB⊥MN，从而 AB⊥α.
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提示
2．△ABC 所在的平面为 α，直线 l⊥AB，l⊥AC，直线 m⊥BC，m⊥AC， 则直线 l，m 的位置关系是( )
A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定
6.2 垂直关系的性质
[学习目标] 1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并 能用文字、符号和图形语言描述定理． 2.会用线面垂直、面面垂直的性质 定理证明相关问题． 3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.
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【主干自填】 1．直线与平面垂直的性质定理
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提示
设 a⊥α，b⊥α，垂足分别为 A，B. 过点 B 作 a 的平行线 b′， 由异面直线垂直的定义，b′与平面 α 内过点 A 的任意直线都垂直，也 即有 b′⊥α，b∩b′＝B， 故直线 b 与 b′确定一个平面，记为 β，且记 α∩β＝l， 在平面 β 内，过点 B 有且仅有一条直线垂直于 l，故 b′与 b 重合，a 与 b 平行．
A．直线 AB 上 B．直线 BC 上 C．直线 AC 上 D．不能确定
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提示：A 由 AC⊥BC1，AC⊥AB， 得 AC⊥平面 ABC1，
又 AC 平面 ABC，∴平面 ABC1⊥平面 ABC. ∴C1 在底面 ABC 上的投影 H 必在交线 AB 上．
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提示
(2)一般地，平面 α⊥β，α∩β＝MN，AB β，AB⊥MN 于点 B，这时， 直线 AB 和平面 α 垂直吗？你能给出证明吗？
提示：直线 AB 和平面 α 垂直．证明如下：
如图，在平面 α 内作直线 BC⊥MN，则∠ABC 是二面角 α－MN－β 的
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证明 如图所示，连接 AB1，B1C，BD.
∵DD1⊥平面 ABCD，AC 平面 ABCD，∴DD1⊥AC. 又∵AC⊥BD 且 BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面 BDD1B1.
∵BD1 平面 BDD1B1，∴BD1⊥AC.
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提示
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例 1 如图，已知平面 α∩平面 β＝l，EA⊥α，垂足为 A，EB⊥β，垂足 为 B，直线 a β，a⊥AB.求证：a∥l.
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[证明] 因为 EA⊥α，α∩β＝l，即 l α， 所以 l⊥EA.同理 l⊥EB.又 EA∩EB＝E， 所以 l⊥平面 EAB.
作 DF⊥AC 于点 F，平面 PAC⊥平面 ABC，且交线为 AC，
∴DF⊥平面 PAC.又 PA 平面 PAC，∴DF⊥AP.
作 DG⊥AB 于点 G，
同理可证 DG⊥AP，DG、DF 都在平面 ABC 内且交点为 D，∴PA⊥平
面 ABC.
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答案
(2)连接 BE 并延长，交 PC 于点 H. ∵E 点是△PBC 的垂心，∴PC⊥BE. 又已知 AE 是平面 PBC 的垂线， ∴PC⊥AE. 又∵BE∩AE＝E，∴PC⊥平面 ABE.∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面 ABC，∴PA⊥AB. ∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面 PAC. ∴AB⊥AC，即△ABC 是直角三角形．
(2)如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面
□09 垂直于另一个平面
(3)如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线
□10 平行于另一个平面或在另一个平面内
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【即时小测】 1．思考下列问题 (1)一般地，如果直线 a⊥α，直线 b⊥α，这时，a 和 b 平行吗？你能给 出证明吗？ 提示：a 和 b 平行．证明如下： 如图，假定 a 和 b 不平行．
因为 EB⊥β，a β，所以 EB⊥a， 又 a⊥AB，EB∩AB＝B，所以 a⊥平面 EAB. 由线面垂直的性质定理，得 a∥l.
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[变式训练1] 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 E，F 分别在 A1D，AC 上，且 EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.
提示：C 因为 l⊥AB，l⊥AC，AB α，AC α，且 AB∩AC＝A，所 以 l⊥α，同理可证 m⊥α，所以 l∥m.
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提示
3．若 m、n 表示直线，α 表示平面，则下列判断中，正确判断的个数为
()
① mm∥⊥nα⇒n⊥α； ② mn⊥⊥αα⇒m∥n；
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2．平面与平面垂直的性质定理
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3．平面与平面垂直的其他性质
(1)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点□08 垂直于第二个平面
的直线在第一个平面内．