难点突破：立体图形的外接球与内切球问题
几何体中的外接球与内切球解题捷径
解惑：同学们在研究空间几何体的外接球与内切球时，常常因缺乏空间想象能力而感到束手无策.事实上，有时无需画出球体，只需找出球心和半径即可，或者画出球的大圆转化为平面几何问题.本文举几个简单的例子，希望给同学们一些帮助。
一、外接球
在考查几何体的外接球时，常常以正方体、长方体、三棱锥为基本模型。
二、内切球
空间几何体的内切球问题，常常转化为球心到平面的距离为球的半径解答。
在高考中，对空间几何体的考查常常与球结合，以几何体的外接球和内切球为载体，考查几何体的三视图，柱、锥、台、球的体积与表面积的计算，考查考生的空间想象能力.有时采用割补法或转化为平面几何问题解答，也可能与正、余弦定理、基本不等式等知识相结合进行考查。
立体几何外接球和内切球十大题型
立体几何外接球和内切球十大题型
立体几何中的外接球和内切球是常见的题型，下面我将列举十个常见的题型并进行解答。
1. 求立方体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于立方体的对角线的一半，内切球的半径等于立方体的边长的一半。
2. 求正方体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于正方体的对角线的一半，内切球的半径等于正方体的边长的一半。
3. 求圆柱体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于圆柱体的底面半径，内切球的半径等于圆柱体的高的一半。
4. 求圆锥的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于圆锥的底面半径，内切球的半径等于圆锥的高的一半。
5. 求球的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于球的半径的根号3倍，内切球的半径等于球的半径的一半。
6. 求棱锥的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于棱锥的底面边长的一半，内切球的半径等于棱锥的高的一半。
7. 求棱柱的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于棱柱的底面边长的一半，内切球的半径等于棱柱的高的一半。
8. 求四面体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于四面体的外接圆的半径，内切球的半径等
于四面体的内切圆的半径。
9. 求正六面体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于正六面体的对角线的一半，内切球的半径等于正六面体的边长的一半。
10. 求正八面体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于正八面体的对角线的一半，内切球的半径等于正八面体的边长的一半。
以上是关于立体几何中外接球和内切球的十个常见题型及其解答。
希望能对你有所帮助。
高考必考重难点：立体几何的球(外切、内接)最核心方法汇总(教师版)
内切球与外接球半径求法思路破解（方法汇总） 先砍10刀试试！1. 已知一个正方体的所有顶点都在一个球面上，若球的体积为92π，则正方体的棱长为____。
2. 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α，则此球的体积为___3. 已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为___4. 若所有侧棱长均为1的正四面体的内切球与外接球半径分别为.r R ，求它们的比值为___5. 已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，时，其高的值为_____6. 已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为___7. 一个三棱柱的底面为正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为43π的球体与棱柱的所有面都相切，那么这个三棱柱的表面积为___8. 在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3,6,41====AA A AC AB π,则直三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积_____________。
9. 正四棱锥S ABCD -点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .10. 正四棱锥O ABCD -的体积2，则以O 为球心，为OA 半径的球的表面积___如果上述10道题你做的很不顺畅，那么下边的这些总结，可要收好了！有关于内切球、外接球的问题，应该说是一个比较困难的问题，几乎所有同学都会感到无从下手，这是正常的，因为这类问题需要强有力的想象力，同时方法性极强。
我们就这部分问题，尽量总结全面。
1．内切球和外接球的基本定义;立体图形的内切球是指：与该立体图形的所有面都相切的球，注意是与所有面都相切，因此，很多立体图形是不存在内切球的。
基本性质是：球心到所有面的距离相等，且为内切球半径。
立体图形的外接球是指：立体图形的所有顶点都在球面上。
基本性质是：球心到所有顶点的距离相等，且为外接球半径。
2.长方体的外接球：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2，长方体体对角线长l ，则2222c b a R ++=3.正方体的外接球：正方体的棱长为a ，则正方体的体对角线为a 3，其外接球的直径R 2为a 3。
外接球和内切球问题总结归纳
外接球和内切球问题总结归纳外接球和内切球问题总结归纳在几何学中，外接球和内切球问题是一个重要的概念。
它们不仅在数学领域有着重要的应用，同时也被广泛运用在物理学、工程学以及计算机科学等领域。
本文将对外接球和内切球问题进行深入探讨，从基础概念到应用实例，帮助读者全面理解这一主题。
一、外接球和内切球的定义1. 外接球外接球是指一个球与给定的多边形的所有顶点相切于球面的情况。
在数学中，外接球常常与三角形、四边形等几何图形相关联，其特点是与多边形的各个顶点相切，并且球心通常位于多边形的某个重要位置。
2. 内切球内切球则是指一个球完全被给定的多边形所包围，且球与多边形的边界相切。
在实际应用中，内切球往往能够最大化地利用多边形所包围的空间，因此在工程设计和优化问题中具有重要意义。
二、外接球和内切球的性质1. 外接球的性质外接球的半径通常与多边形的边或者角有着特定的关系。
以三角形为例，外接圆的半径等于三角形三条边的乘积除以其周长的两倍。
这一性质在计算三角形的外接圆时具有重要意义，同时也为几何问题的解决提供了基础。
2. 内切球的性质内切球的半径与多边形的边界有着紧密的联系。
以正方形为例，内切圆的半径等于正方形的边长的一半。
这一性质在优化问题中有着重要的应用，能够帮助设计者最大化地利用空间，提高效率和节约成本。
三、外接球和内切球的应用1. 工程设计外接球和内切球在工程设计中有着广泛的应用。
例如在建筑设计中，内切球可以帮助设计者合理利用建筑空间，提高使用效率；在机械设计中，外接球则可以帮助设计者确定零部件的匹配度和适用性。
2. 计算机科学外接球和内切球也在计算机科学领域有着重要的应用。
例如在计算机图形学中，外接球和内切球经常被用来描述物体的外形和几何特征，同时也可以用于物体的碰撞检测和三维建模。
个人观点和总结外接球和内切球作为一个基础的数学概念，在几何学、工程学和计算机科学等领域有着重要的应用。
通过对外接球和内切球的定义、性质和应用进行深入探讨，我们可以更好地理解其在实际问题中的作用和意义，进一步拓展其在更多领域的应用。
八个超强模型——彻底解决立体几何的外接球和内切球问题
八个超强模型——彻底解决立体几何的外接球和内切球问题摘要本文介绍了八个超强模型，这些模型可以用来彻底解决立体几何中的外接球和内切球问题。
每个模型都具有独特的特点和优势，能够有效地求解球的外接和内切问题，为立体几何的研究提供了有力的工具和方法。
引言在立体几何中，外接球和内切球问题是非常常见的问题。
求解这些问题通常需要借助一些数学模型和方法。
本文介绍了八个超强模型，这些模型在解决外接球和内切球问题方面表现出色。
模型一：球心法线模型该模型基于球的法线方程，通过求解法线方程的交点来得到球心坐标。
利用该模型可以快速准确地求解外接球和内切球的球心坐标。
模型二：点坐标向量模型该模型利用点的坐标向量来表示球心坐标，通过计算坐标向量的运算得到球心坐标。
该模型适用于各种类型的球体，求解效果良好。
模型三：坐标平移模型该模型基于坐标平移的概念，通过平移球心坐标来求解外接球和内切球的球心坐标。
该模型简单易懂，适用于多种立体几何结构。
模型四：线段接触模型该模型利用线段的接触点来求解外接球和内切球的球心坐标。
通过求解线段接触点的几何关系，可以得到球心坐标。
该模型适用于特定的立体几何结构。
模型五：平面交线模型该模型基于平面交线的概念，通过求解平面交线的方程来得到球心坐标。
该模型对于立体几何结构较复杂的情况下求解效果较好。
模型六：圆心半径模型该模型通过求解球的圆心和半径来得到球心坐标。
该模型适用于已知球的圆心和半径的情况下求解。
模型七：曲线拟合模型该模型通过对曲线进行拟合来得到球心坐标。
该模型适用于曲线较为复杂的情况下求解。
模型八：图像处理模型该模型利用图像处理的方法来得到球心坐标。
通过处理球体的图像，可以得到球心坐标。
该模型适用于图像处理技术较为成熟的情况下求解。
结论本文介绍了八个超强模型，这些模型可以用来彻底解决立体几何中的外接球和内切球问题。
每个模型都有其独特的特点和优势，能够有效地求解球的外接和内切问题。
这些模型为立体几何的研究提供了有力的工具和方法，有助于推动该领域的发展。
正方体的外接球与内切球问题
正方体的外接球与内切球问题简介
本文讨论正方体的外接球与内切球问题。
外接球问题
正方体的外接球是指一个球，它能够刚好与正方体的每个顶点接触，并且球心在正方体外部。
解决正方体的外接球问题可以采用以下步骤：
1. 首先找到正方体的对角线长度，记为d。
2. 外接球的直径等于正方体的对角线长度，即2d。
3. 外接球的半径等于直径的一半，即d。
因此，正方体的外接球的半径等于对角线长度的一半。
内切球问题
正方体的内切球是指一个球，它能够刚好与正方体的每个面接触，并且球心在正方体内部。
解决正方体的内切球问题可以采用以下步骤：
1. 首先找到正方体的边长，记为a。
2. 内切球的直径等于正方体的边长，即a。
3. 内切球的半径等于直径的一半，即a/2。
因此，正方体的内切球的半径等于边长的一半。
总结
通过上述讨论，我们得出了正方体的外接球和内切球的半径计算方法。
这些结果可以在几何学和物理学中得到应用。
希望本文能够帮助您理解正方体的外接球与内切球问题。
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以上为回答内容, 仅供参考。
难点突破：立体图形的外接球与内切球问题
2019届高三数学第一轮复习教学案18：难点突破：立体图形的外接球与内切球问题一、基础知识与概念：球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆.大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大） ；小圆：截面不过球心.球心和截面圆心的连线垂直于截面. 2 2 2 球心到截面的距离d 与球半径R 及截面圆半径r 的关系：R =d +r .几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各个面都相切. 二、多面体的外接球（球包体）模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱）1. 2. 3. 4. 球 包 直 柱球包正方体球 包 直 锥球包长方体球包四棱柱球包三棱柱球径公式：R =」（m +r 2杠2丿 （r 为底面外接圆半径）模型2: “顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线） 实例：正棱锥球径计算方程：（h -R ）2 +r 2 = R 2 =h 2-2hR + r 2=0二 R =42h（h 为棱锥的高，r 为底面外接圆半径） 特别地， （1） 边长为a 正四面体的外接球半径：（2） 底面边长为a ，高为h 的正三棱锥的外接球半径： R =（3） 底面边长为a ，高为h 的正四棱锥的外接球半径： R =例：1. （2017年全国卷III 第8题）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为兀 C. 2—二....... X y :r = ------- CJr = ------3■沁-2/工4买£ f"'I ™得*”心,V= R =A=5，所以球的体积—4 3三、定心大法：球心在过截面圆的圆心且垂直于截面圆所在平面的直线上.两圆定心法：如下图，过两个截面圆的圆心分别作相应截面圆的垂线，由两垂线的交点确定圆心.例2: 1•已知边长为2J 3的棱形ABCD 中，N =60。
立体几何外接球及内切球问题
立体几何外接球及内切球问题一、球与柱体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1球与正方体如图1所示，正方体1111D C B A ABCD -,设正方体的棱长为a ，G H F E ,,,为棱的中点，O 为球的球心。
常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFHG 和其内切圆，则2a r OJ ==； 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFHG 和其外接圆，则a R OG 22==； 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11A ACC 和其外接圆，则23'1a R O A ==. 例 1： 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ） A ．B ．C ． D1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为其体对角线为.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间1111ABCD A B C D -O E F ，1AA 1DD EF O 2112+,,,a b c l 2l R ==部分的体积为( ) A.10π3B.4πC.8π3D.7π31.3球与正棱柱：①结论：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点. ②球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.本类题目的解法：构造直角三角形法：设正三棱柱111C B A ABC -的高为h ，底面边长为a ； 如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心。
根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，a AD R AO h OD 33,,2===，借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求22332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a h R 。
立体几何中内切球和外接球问题
立体几何中内切球和外接球问题题目：探索立体几何中的内切球和外接球问题在立体几何中，内切球和外接球问题是一个引人深思的话题。
通过对这个主题的深入探讨，我们可以更好地理解立体几何的原理和性质。
本文将围绕内切球和外接球问题展开讨论，从基本概念到数学推导，深入剖析这一有趣而重要的话题。
1. 内切球和外接球的定义在立体几何中，内切球和外接球分别是指一个球体在一个立体图形内部与其接触，以及一个球体在一个立体图形外部与其接触。
这两个概念可以应用在各种几何图形中，如圆柱体、圆锥体甚至更为复杂的多面体。
内切球和外接球不仅在几何形状中具有重要意义，还在工程学、艺术设计等领域有着广泛的应用价值。
2. 内切球和外接球的性质内切球和外接球在几何中具有许多有趣的性质。
内切球和外接球的半径之比有一定的规律，可以通过数学推导得出。
内切球和外接球的位置关系也有一定的特点，可以通过几何推理进行证明。
这些性质的深入理解有助于我们更好地应用立体几何知识解决实际问题。
3. 内切球和外接球的数学推导从数学角度来看，内切球和外接球问题涉及到许多重要的数学定理和方法。
通过数学推导，我们可以得到内切球和外接球的半径之比、位置关系等具体数学表达式。
这些推导过程需要运用到圆、球体的性质，以及立体几何的相关知识，是一个不可或缺的数学推理过程。
4. 个人观点和理解在我看来，内切球和外接球问题是立体几何中的一个精彩而复杂的主题。
通过对这个问题的探讨，我深刻地感受到数学的美妙和奥妙。
数学不仅是一门实用的科学，更是一个充满乐趣和挑战的学科。
通过不断地学习和探索，我们可以更好地理解立体几何的原理和应用，为我们的工程、设计和科学研究提供有力的支持。
内切球和外接球问题是立体几何中的一个重要而有趣的话题。
通过深入探讨这个主题，我们可以更好地理解立体几何的原理和应用，为我们的学习和工作带来更多的乐趣和启发。
希望本文的内容能够对您有所帮助，也希望您能够对立体几何有着更深入的理解和探索。
高中数学立体几何中的外接球与内切球问题
高中数学立体几何中的外接球与内切球问题
在高中数学的立体几何中，外接球与内切球问题是一个重要的探讨点。
这个问
题涉及到如何在一个给定的立体图形中，找到一个外切于该图形的球和一个内切于该图形的球。
首先，让我们来看外接球问题。
在立体几何中，给定一个多面体，如正方体或
正四面体，我们想找到一个球，使得该球恰好外接于该多面体的每一个面上。
所谓外接，即球与每一个面都有且只有一个公共点，这个点是每个面的外接圆心。
以正方体为例，我们可以观察到正方体的每一个面都是正方形，而正方形的外
接圆心恰好位于该正方形的中心点。
因此，我们可以得出结论：正方体的外接球的圆心与该正方体的每个面的外接圆心重合。
接下来，让我们来看内切球问题。
在立体几何中，给定一个多面体，如正方体
或正四面体，我们想找到一个球，使得该球恰好内切于该多面体的每一个面上。
所谓内切，即球与每一个面都有且只有一个公共点，这个点是每个面的内切圆心。
以正方体为例，我们可以观察到正方体的每一个面都是正方形，而正方形的内
切圆心恰好位于该正方形的中心点。
因此，我们可以得出结论：正方体的内切球的圆心与该正方体的每个面的内切圆心重合。
总结起来，对于任何一个给定的多面体，我们可以找到一个外接球和一个内切球。
外接球的圆心与每个面的外接圆心重合，而内切球的圆心与每个面的内切圆心重合。
这个问题在高中数学的立体几何中十分重要，理解了外接球和内切球的性质，可以帮助我们更好地理解和解决相关的几何问题。
空间正方体的外接球和内切球问题
空间正方体的外接球和内切球问题外接球
外接球是一个与正方体相切于所有顶点的球体。
换句话说，外接球的球心与正方体的顶点相重合，并且球体的半径刚好与正方体的边长相等。
由于正方体的六个顶点之间的距离是相等的，所以外接球也是一个等边球体。
外接球的性质有以下几点：
1. 外接球的球心与正方体的中心重合。
2. 外接球的半径等于正方体的边长。
内切球
内切球是一个与正方体的六个面相切的球体。
换句话说，内切球的球心位于正方体的中心，并且球体的半径刚好与正方体的边长的一半相等。
内切球的性质有以下几点：
1. 内切球的球心与正方体的中心重合。
2. 内切球的半径等于正方体的边长的一半。
外接球和内切球的关系如下：
1. 外接球的半径等于内切球半径的两倍。
2. 外接球的球心和内切球的球心重合。
外接球和内切球的问题在几何学和工程学中具有一定的应用价值。
通过研究它们的性质和特点，可以帮助我们更好地理解立体几何和球体的关系。
本文只是简单介绍了空间正方体的外接球和内切球问题，希望能对您有所帮助。
如需深入了解此问题，还需进一步研究和探索。
立体几何中的外接球内切球棱切球问题
立体几何中的外接球内切球棱切球问题1. 概述在立体几何中，外接球、内切球和棱切球是常见的几何问题。
它们在工程、建筑、数学等领域都有重要的应用。
本文将围绕外接球、内切球和棱切球展开讨论，探究它们的性质和相关问题。
2. 外接球的定义和性质外接球是指一个球与一个或多个其他物体外接，外接球的半径等于所外接物体相应部分的长度，在立体几何中有着重要的应用。
外接球的性质1）外接球的圆心在被外接物体向外伸出的法线上。
2）外接球的半径等于被外接物体的相应部分的长度。
3）对于凸体而言，外接球存在且唯一。
3. 内切球的定义和性质内切球是指一个球恰好与另一个物体相切，内切球在立体几何中也有着重要的应用。
内切球的性质1）内切球的圆心在被内切物体向内伸出的法线上。
2）对于凸体而言，内切球存在且唯一。
3）内切球在不同物体中的位置可能不同，但其存在性是唯一的。
4. 棱切球的定义和性质棱切球是指一个球与多个物体之间棱切的情况，在立体几何中也有着重要的应用。
棱切球的性质1）棱切球的圆心在被棱切物体所在的平面上。
2）对于凸体而言，棱切球存在且唯一。
3）棱切球在不同物体中的位置可能不同，但其存在性是唯一的。
5. 实际应用举例外接、内切和棱切球在实际应用中有着广泛的应用。
比如在建筑工程中，常常需要计算建筑物的外接球、内切球和棱切球，以确定其结构和稳定性。
在数学建模中，外接、内切和棱切球也常常出现，用于解决各种数学问题。
6. 结论外接球、内切球和棱切球是立体几何中重要的概念，它们的性质和应用涉及到广泛的领域。
对这些几何问题的深入研究和应用可以帮助我们更好地理解立体几何的性质，并且为实际问题的解决提供理论支持。
希望本文能够帮助读者更好地理解外接球、内切球和棱切球的相关问题，并且激发更多人对立体几何的兴趣和研究。
外接球、内切球和棱切球作为立体几何中的重要概念，其性质和应用不仅仅局限于几何学。
它们的相关问题还涉及到数学建模、工程设计、建筑结构等领域，对于实际问题的解决提供了理论支持和指导。
立体几何中的外接球与内切球问题
立体几何中的外接球与内切球问题在我们的数学学习中，立体几何是非常重要的一部分。
在立体几何学习中，我们不仅需要掌握各种图形的形状和性质，也需要深入了解这些图形中的各种关系。
其中外接球和内切球是两个非常重要的概念，在立体几何中被广泛使用。
一、外接球外接球是指和一个多面体的所有顶点都相切的球。
在三维空间中，一个正四面体的外接球，就是四面体的四个顶点构成的球。
同理，其他多面体都有一组外接球。
外接球的性质可以帮助我们计算多面体的各种数据。
对于正四面体而言，我们可以得知，外接球的半径和棱长之间的关系为：外接球的半径等于正四面体棱长的一半。
这个特点可以应用于其他多面体中，为我们计算多面体提供更多帮助。
二、内切球内切球是指可以被一个多面体的所有面都切到的球。
在三维空间中，一个正四面体的内切球，就是以正四面体的每个面为切面所构成的球。
同理，其他多面体都有一组内切球。
内切球的性质可以帮助我们更好地了解多面体的各种性质。
对于正四面体而言，我们可以得知，内切球的半径和棱长之间的关系为：内切球的半径等于正四面体棱长的三分之一。
通过内切球的特点，我们可以更好地了解多面体的横截面形状，深入了解多面体的性质。
三、外接球与内切球的应用外接球和内切球在数学学科中非常重要。
在生活中，我们可以看到不少与这两个概念有关的例子。
例如，在搭建玩具拼图时，我们可以注意到玩具拼图中各个构件的外接球和内切球的关系。
同样的，建筑设计和工程规划中也常常涉及到多面体的外接球和内切球问题。
此外，街头艺术品和雕塑等艺术作品中也常常出现多面体和其相应的外接球或内切球。
总之，立体几何中的外接球和内切球是我们不能忽视的重要概念。
它们不仅仅是数学学科中的知识点，也与我们日常生活中的许多方面有着密不可分的关系。
因此，我们应该更加深入了解这两个概念，并将其应用在我们的学习和生活中，从而更好地了解和利用立体几何的基础知识。
高考数学专题突破：外接球和内切球问题【解析版】
高考数学专题突破：外接球模型模板一：222)2(r h R += 即422r h R +=一、题型描述几何体的外接球问题：题目中涉及几何体外接球体，或者球内接几何体，再或者说成球面上有几个点围成几何体，这类题型称之为几何体的外接球问题。
二、模法讲解以下这幅图，大家应该都能看明白吧！一个底面半径为，高为的圆柱，求它的外接球半径。
那么问题来了？422r h R +=这个式子怎么来的。
那么这个式子有何妙用？1、如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如图所示：我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型。
在这里棱柱的高就是公式中h 的，而棱柱底面外接圆的半径则是公式中的r （至于怎么求外接圆半径可以用正弦定理。
2、我们再继续进行，如果我把刚刚那个三棱柱上面的两点去掉，我将得到三棱锥，如图：这个三棱锥的特点是AA1⊥底面ABC，即有一根侧棱⊥底面的锥体，依然符合这个模型。
那条竖直棱AA1就是公式中的h，而底面ABC的外接圆半径是公式中的r。
3、题目还喜欢这么干：面PAD垂直面ABCD。
它非常符合圆柱外接球模型！我们知道，这里的r为PAD的外接圆半径，h为AB或者CD为的长。
接着看，当我对第二幅图中的三棱柱 ABC-A1B1C1只去掉C1这个点，会得到什么呢？没错！这就是刚刚那个四棱锥放倒了！它的特点是：底面A1B1AB⊥CAB侧面，出题的时候则不会这么仁慈，就会像上一幅图那样，有一个侧面⊥矩形底面的四棱锥！圆柱外接球模型——适用于：①圆柱-------r,h自带②直棱柱-------r:底面外接圆半径；h:直棱柱的高③一根侧棱⊥底面的锥体-------r:底面外接圆半径；h:垂直于底面的那条侧棱④一个侧面⊥矩形底面的四棱锥-------r:垂直底面的侧面的外接圆半径；h:垂直于那个侧面的底边长那么接下来第二步就是找到，求出，而又怎么求呢？用正弦定理。
专题讲解 立体几何中的外接球与内切球问题（学生版）
专题讲解立体几何中的外接球与内切球问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点。
考查学生的空间想象能力以及化归能力。
研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。
球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作。
当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径。
球与多面体的关系是高考考查的重点，但同学们又因为缺乏较强的空间想象能力，较难找到解题的切入点和突破口。
解决这类题目是要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置是关键。
常见题型有求对应外接球或内切球半径、表面积、体积或球内接几何体最值等问题。
本章节将对常见的关于内切球和外接球的模型作一总结，并附有针对性训练题，供教师和学生参考使用。
一.常见模型归纳1. 墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决。
外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a 2＋b2＋c2。
)，秒杀公式：R2＝a2＋b2＋c24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：【例1】已知二面角α－l－β的大小为π3，点P∈α，点P在β内的正投影为点A，过点A作AB⊥l，垂足为点B，点C∈l，BC＝22，P A＝23，点D∈β，且四边形ABCD满足∠BCD＋∠DAB＝π．若四面体P ACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．A BCDA1B1C1D1类型ⅠA BCDA1B1C1D1类型ⅡA BCDA1B1C1D1类型ⅢA BCDA1B1C1D1例外型【例2】已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为( )．A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π【变式练习1】在空间直角坐标系Oxyz 中，四面体ABCD 各顶点的坐标分别为A (2，2，1)，B (2，2，－1)，C (0，2， 1)，D (0，0，1)，则该四面体外接球的表面积是( )A ．16πB ．12πC ．43πD ．6π【变式练习2】在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为32的正方形，AA 1＝3，E 是线段A 1B 1上一点， 若二面角A －BD －E 的正切值为3，则三棱锥A －A 1D 1E 外接球的表面积为________．2. 对棱相等模型对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决。
立体几何外接圆球及内切圆球问题
立体几何外接圆球及内切圆球问题
立体几何是研究三维空间中的图形和体积的学科。
外接圆球和内切圆球问题是立体几何中常见的一个问题。
外接圆球问题
在立体几何中，外接圆球是指一个球能够刚好与一个多面体的所有顶点相切。
对于不规则多面体来说，外接圆球可能无法通过所有的顶点，但可以通过一部分顶点。
外接圆球的半径通常被称为外接球的半径，是从多面体的中心到多面体顶点的最远距离。
要计算外接球的半径，可以使用多面体的顶点坐标来求得多面体的边长和中心点的坐标，然后使用勾股定理来计算半径的长度。
内切圆球问题
内切圆球是指一个球刚好能够与多面体的所有面相切。
与外接
圆球问题类似，对于不规则多面体来说，内切圆球可能无法与所有
的面相切，但可以与一部分面相切。
内切圆球的半径通常被称为内切球的半径，是从多面体的中心
点到多面体的面的最短距离。
要计算内切球的半径，可以使用多面
体的面的法向量和距离公式来求得。
应用和意义
外接圆球和内切圆球问题在立体几何中具有重要的应用和意义。
它们可以用来解决很多实际问题，如计算多面体的体积、表面积，
以及优化多面体的设计。
外接圆球和内切圆球问题也被广泛应用于计算机图形学和计算
机辅助设计领域。
在三维建模和渲染中，可以使用外接圆球和内切
圆球来估计或近似多面体的几何特征，以便更高效地处理和渲染三
维模型。
结论
立体几何中的外接圆球和内切圆球问题是一个有趣且实用的领域。
通过计算外接球和内切球的半径，可以获得关于多面体的重要信息，并应用于多个领域，包括工程设计和计算机图形学。
几何体的外接球与内切球的有关问题
几何体的外接球与内切球的有关问题一、外接球的问题简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是计算球的半径或确定球心O 的位置问题，其中球心的确定是关键． （一） 由球的定义确定球心球的定义：在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论． 结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径.（在1BOO Rt ∆中，21212OO BO BO +=，即222)2(h r R +=.）结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过构造直角三角形利用勾股定理求得． （以正三棱锥为例：设正三棱锥的底面△ABC 的边长为a ，高为h ，外接球球心为O ，半径为R .在1AOO Rt ∆中，21212OO AO AO +=，即222)(33R h a R -+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=.）结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心，则公共斜32R a=2222a b c R ++=BC边的一半就是其外接球的半径．（二）构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处． 1.可构造正方体的类型：①正四面体：棱长对应正方体的面对角线.① ② ③②三条侧棱两两垂直的正三棱锥：底面棱长对应正方体的面对角线，侧棱对应正方体的棱长. ③四个面都是是直角三角形的三棱锥：最长的棱长对应正方体的体对角线. 2.可构造长方体和正方体的类型①同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体；②三个侧面两两垂直的三棱锥；③有三个面是直角三角形的三棱锥；①与②与③ ④④相对的棱相等的三棱锥：设对应长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则BC 2=a 2+b 2，AC 2=a 2+c 2，AB 2=b 2+c 2. 所以对应长方体的体对角线为2222222AB AC BC c b a ++=++.⑤含有其它线面垂直关系的棱锥. （三） 由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心O’的连线垂直于截面圆，确定球心． 记球的半径为R ，截面圆的半径为r ，球心O 与截面圆圆心O’A BCDABCPABCP的距离为d，则有R2=r2+d 2.（四） 圆柱外接球模型计算球的半径一个底面半径为r ，高为h 的圆柱，求它的外接球半径. 222)2(h r R +=（1） （2） （3）变形一：如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如图（1）所示.我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型. 在这里棱柱的高就是公式中的h ，而棱柱底面△ABC 外接圆的半径则是公式中的r .变形二：如果把三棱柱上面的C 1去掉，如图（2）所示，我们得到有一个侧面⊥矩形底面的四棱锥，其中r 为垂直底面的侧面△ABC 的外接圆半径，h 为垂直于那个侧面的底面边长AA 1.变形三：如果把上面的那个三棱柱上面的B 1,C 1两点去掉，如图（3）所示，我们得到一根侧棱⊥底面的三棱锥，其中r 为底面△ABC 外接圆半径，h 为垂直于底面的那条侧棱AA 1.二、内切球问题若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.结论1：内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等. 结论2：正多面体的内切球和外接球的球心重合.结论3：正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合. 结论4：基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理. 结论5：体积分割是求内切球半径的通用做法. （一）正方体的的内切球设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径.Rr2h A BC1A 1B 1C A BC1A 1B A BC1A（1）内切球：截面图为正方形的内切圆，得2a R =. （2）棱切球：切点为正方体各棱的中点，截面图为为正方形的外接圆，得22a R =. （二）棱锥的内切球(分割法)将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径的方程.设三棱锥的棱长为a ，内切球半径为r.V V V V VPAB O PBC O PAC O ABC O ABCP -----+++=r S r S r S r S PAB PBC PAC ABC 31313131+++= r S S S S PAB PBC PAC ABC )(31+++= 内切球r S ABC P -=31所以ABCP ABCP S V r --=3内切球一般地，记棱锥的体积为V ，表面积为S ，则内切球的半径为SV r 3=. （三）圆柱、圆锥的内切球(截面法)（1）圆柱的内切球：圆柱的轴截面为正方形，记圆柱的底面圆的半径r ，内切球的半径R ，则R =r . （2）圆锥的内切球：圆锥的轴截面为三角形的内切圆，记圆锥的底面圆的半径r ，内切球的半径R ，由于在△ABC 中，所以CS R 2=.备注：1.三角形内切圆的半径S S S S AOBAOC BOC ABC ∆∆∆∆++=r c b a cr br ar )(21212121++=++= 内切圆r C ABC ∆=21所以三角形内切圆的半径为CSr 2=，其中S 为△ABC 的面积，C 为△ABC 的周长. 2. 三角形外接圆的半径利用正弦定理R C c B b A a 2sin sin sin ===，C cB b A a R sin 2sin 2sin 2===. ①正三角形：a a R 3360sin 2=︒=，其中a 为正三角形的边长.②直角三角形：290sin 2cc R =︒=，其中c 为直角三角形的斜边.3. 正三角形的内切圆与外接圆的半径之比正三角形的内切圆与外接圆的两个圆心“二心合一”. 设正三角形的边长为a ，内切圆半径为r ，外接圆半径为R.由于a a R 3360sin 2=︒=，a a a a a a C S r 6360sin 2122=++︒⋅⋅⋅⨯==， 所以1:2:=r R ，即圆心O 为正三角形高h 的三等分点.4. 正四面体的内切球与外接球的半径之比正四面体的内切球与外接球的两个球心“二心合一”. 设正四面体A-BCD 的棱长为a ，内切球半径为r ，外接球 半径为R ，则OA=OB=R ，OE=r.∵底面△BCD 为正三角形，∴BE=a 33 在BEO Rt ∆中，222OE BE BO +=，即22233r a R +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，得a R 46= ∴1:3:=r R ，即球心O 为正四面体高h 的四等分点. 5.正三棱柱的内切球与外接球的半径之比正三棱柱的内切球与外接球的球心是重合的，过侧棱1AA 和它们的球心O 作截面如下图所示：设正三棱柱底面边长为a . 由于内切球投影到底面的圆是底面正三角形的内切圆，所以a R 632=，从而正三棱柱的高为a R h 3322==. 在O D A Rt 11∆中，得22222211211256333a a a R D A R =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=，a R 1251=∴因此1:5:21=R R .。
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18：难点突破：立体图形的外接球与内切球问题
一、基础知识与概念：
1．球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆． 大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大）；小圆：截面不过球心． 2．球心和截面圆心的连线垂直于截面．
3．球心到截面的距离d 与球半径R 及截面圆半径r 的关系：222R d r =+．
4．几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各个面都相切．
球包正方体
球包长方体
球包四棱柱
球包三棱柱
三棱锥
四棱锥
例：1．（2017年全国卷III 第8题）已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A ．
B ．
C ．
D ．
π34
π2
π4
π
【解析】模式辨识：“球包体”中的“垂底侧边棱（母线）”类型，1h =，1R =，底面半径为r ，
则由R =得：2
2
2213124r r ⎛⎫
=+⇒= ⎪⎝⎭
，234V r h ππ==．
2．（2010年全国新课标卷第10题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的
表面积为
A ．
B ．
C ．
D ．
【解析】“球包体”中的“垂底侧边棱”类型，h a =
，r =，2
22222724312h a a a R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭
， 所以该球的表面积22
2
7744123
a a S R ππ==⨯=．答案B ． 3．（2014年全国大纲卷第8题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积
为
A ．
B ．
C ．
D ．
【解析】模式辨识：“球包体”中的“顶点连心锥”，4h =
，2r =
=221629284
h r R h ++===， 所以2818144164
S R π
ππ==⨯
=
，答案：A ． 4．（2013年全国卷I 第6题）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球
放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则
球的体积为
A ．35003cm π
B ．38663cm π
C ．313723cm π
D ．320483
cm π
【解析】设水面与球的接触点（切点）为P ，球心为O ，则PO 垂直于正方体的上表面，依题意P 到正方体上表面的距离为2h =，球与正方体上表面相交圆的半径4r =，有：()2
222R r R -+=，
2454r R +⇒==，所以球的体积3450033
V R ππ
==
． 三、定心大法：球心在过截面圆的圆心且垂直于截面圆所在平面的直线上．
两圆定心法：如下图，过两个截面圆的圆心分别作相应截面圆的垂线，由两垂线的交点确定圆心．
例2：1
．已知边长为ABCD 中，60∠=︒，现沿对角线BD 折起，使得二面角A BD C --为120︒，此时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．20π B ．24π C ．28π
D ．32π
a 2
a π2
73
a π2
113
a π2
5a π814
π
16π9π274
π
2．在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为___________．
3．在边长为1的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线将菱形折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为_____________． 四、正多面体的内切球（体中球）
例3：1．一个球的外切正方体的全面积为，则球的体积为_________．
2．某圆锥的截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的内切球的表面积为_______．
3．（2016年全国卷III 第10题）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，
8BC =，13AA =，则V 的最大值是
A ．
B ．
C ．
D ．
【解析】考查直三棱柱中截面的内切圆为球的大圆的情景，有()13
681068222
AA R R ++=⨯⇒=>=，故当球半径
为
32时球的体积最大为344
273382
V R π
ππ9==⨯=．答案B ． 练习：
1．（2015年全国卷II 第9题）已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为 A ． B ． C ． D ．
2．（2016年福建漳州市5月质检）三棱锥S ABC -中，SB ⊥平面ABC ，SB =
ABC ∆形，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．3π B ．5π C ．9π D ．12π 3．（2014年湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．（2013年辽宁卷理10）已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，
111ABC A B C -4π92
π
6π323
π
A B O 90AOB ∠=︒C O ABC -O 36π64π144π256π
4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（
）
A
．
2
B
．
C ．
132
D
．
5．（2012年全国新课标卷第11题）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为
A ．
B
C
．
D
．
6．在正三棱锥P ABC -中，PA PB PC ===，侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60︒，则该三棱锥外接球的体积为（ ）
A ．π
B ．
3
π
C ．4π
D ．
43
π 7．已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A ．
323
π
B ．4π
C ．2π
D ．
43
π 8．（2017年福建省质检）．空间四边形ABCD 的四个顶点都在同一球面上，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且
,EF AB EF CD ⊥⊥，若8,4AB CD EF ===，则该球的半径等于
A B C
D 9．若三棱锥P ABC -的最长的棱2PA =，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是__________． 10．（2008年高考浙江卷理14）已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，
DA AB BC ===，则球O 的体积为____________．
11．（2016年东北三省三校联考）三棱柱111ABC A B C -各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，120ACB ∠=︒，
CA CB ==14AA =，则这个球的表面积为____________．
12．在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA 垂直底面，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =，且三棱柱111ABC A B C -的体积为3，则三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为_________．
13．在正三棱锥S ABC -中，M ，N 分别是棱SC 、BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧棱SA =，则正三棱锥
S ABC -外接球的表面积是____________．
14．在三棱锥A BCD -中，2AB CD ==，AD BC ==AC BD ==
，则三棱锥A BCD -外接球的表面
积为__________． 15．（2017年天津卷）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为______．
16．（2017年江苏卷）如图，在圆柱12O O 内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记
S ABC -O ABC ∆1SC O 2SC =6
3
2
圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则1
2
V V 的值是_____________．。