例析数学思想在集合题中的运用

例析数学思想在集合题中的运用
徐加生
(金湖县教师进修学校,江苏　211600)
集合是中学数学的重要内容之一,在很多数学分支中都有广泛的应用,是历年高考题中的必备题.而集合问题中蕴涵的数学思想,更值得我们去开发和领悟,下面举例谈谈这方面的知识.1　运用数形结合思想解集合题
有些集合题比较抽象,在求解时往往不知如何动手,如果能够以数形结合的思想为指导,将抽象的数学语言(符号语言)与直观的图形结合起来,通过数与形的双向联系与沟通来解决问题,可以起到好的效果.常用的图形有数轴与文氏图
.
图1　例1图
例1　已知集合A ={x |y =lg (15-7x -2x 2)},B ={x |x 2+ax +b ≤0},满足A ∩B = ,A ∪B ={x |
-5<x ≤2},求a ,b 的值.
解析　由y =lg (15-7x -2x 2)知15-7x -2x 2
>0,解得　-5<x <32,即A ={x |-5<x <3
2
},
又A ∩B = ,A ∪B ={x |-5<x ≤2},画数轴
如图1,得B ={x |3
2
≤x ≤2}.
又B ={x |x 2+ax +b ≤0},故a =-(2+3
2
)=
-72,b =32×2=3为所求.例2　设A ,B 是两个非空集合,定义A -B =
{x |x ∈A 且x |B},则A -(A -B )等于(
)(A ) B. (B )A ∩B.(C )A ∪B.(D ) A.
图2　例2图
解析　当A ∩B ≠ 时,由图2知A -B 为图中阴影部分,则A -(A -B )显然是A ∩B ,而当A ∩B = 时,A -(A -B )= ,综上所述,应选(B ).2　运用等价转化思想解集合题
数学的解题过程就是等价转化的过程,一般来说总是将复杂问题转化为简单问题,将新奇难解的问题转化为熟悉易解的问题.
例3　已知集合A ={(x ,y )|y =x 2+m x +2},B ={(x ,y )|y =x +1且0≤x ≤2},如果A ∩B ≠ ,求实数m 的取值范围.
解析　本题可转化为:已知两个函数y =x 2+m x +2与y =x +1(0≤x ≤2)的图象有交点,求m 的范围.将两个方程联立消去y 得
x 2+(m -1)x +1=0
(1)则问题转化为关于x 的方程(1)的区间[0,2]上至少
有一个实数解;由Δ=(m -1)2-4≥0得m ≥3或m ≤-1.当m ≥3时,由x 1+x 2=-(m -1)<0知方程(1)只有负根,不合题意;当m ≤-1时,由x 1+x 2=-(m -1)>0,又x 1x 2=1知方程(1)只有正根且必有一根在[0,1]内,故方程(1)至少有一个根在区间[0,2]内,故所求实数m 的范围是{m |m ≤-1}.3　运用分类讨论思想解集合题
分类指的是按照一定的标准,把问题分成几个部分或几种情况,采取的是“化整为零,各个击破”的策略,通过这种策略可将一个复杂问题分解成若干个简单问题,从而获得完整的解答.
例4　设集合A ={x |-1≤x ≤a ,a >-1},P ={y |y =x +1,x ∈A},Q ={y |y =x 2,x ∈A},若Q ΑP ,求实数a 的取值范围.
解析　∵A ={x |-1≤x ≤a ,a >-1},∴P ={y |y =x +1,x ∈A}={y |0≤y ≤a +1}.
1)若-1≤a ≤0,则Q ={y |a 2≤y ≤1}.由Q ΑP 知a 2
≥0且1≤a +1则a =0.
2)若0<a ≤1,则Q ={y |0≤y ≤1},由Q ΑP 知1≤a +1,得0<a ≤1.
3)若a >1,则Q ={y |0≤y ≤a 2},由Q ΑP 知a 2
≤a +1得1<a ≤1+5
2
.
综上所述,得{a |0≤a ≤1+5
2
}.
4　运用补集思想解集合题
在正面求解难度较大时,若其反面较为简单,可考虑从反面入手,便能获得简解,这是正难则反的解题策略.
例5　已知集合A ={x |x 2-4m x +2m +6=0},若A ∩{负实数}≠ ,求实数m 的取值范围.
解析　集合A 表示方程x 2-4m x +2m +6=0的实根组成的集合,A ∩{负实数}≠ ,说明方程至少有一个负实根,若分类讨论则比较麻烦,考虑其反面(没有负实根)则较容易,设全集U ={m |(-4m )2
-4(2m +6)≥0}={m |m ≤-1或m ≥3
2
},设方程
x 2
-4m x +2m +6=0有两个非负实根为x 1,x 2,由韦达定理得x 1+x 2=-(-4m )≥0,x 1・x 2=2m +
6≥0且Δ≥0,联立解得m ≥32,则{m |m ≥3
2
}
关于
全集U 的补集为{m |m ≤-1},此即为所求.
(收稿日期:2005-03-28)
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2005年第18期 数学通讯© 1995-2006 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.。