3.2一元二次不等式的解法(2)
§3.2.2一元二次不等式及其解法(二)
-1 0 1 答案：（-1，0）∪（1，+∞）
2013-8-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 13
§3.2.2一元二次不等式及其解法(二)
绝对值不等式的解法
例5.解不等式 | x2 5x 5 | 11
解：原不等式可化为
2
2
3
4
1 x 5x 5 1 x2 5x 5 1 x 2 5 x 4 0 (1) 2 即 2 x 5 x 5 1 x 5 x 6 0 (2) 解不等式（1），得解集 x |1 x 4 , 解不等式（2），得解集 x | x 2, 或x 3 ,
∴原不等式的解集是不等式(1)和不等式(2)的解集的 交集，即 x |1 x 4 x | x 2, 或x 3
x |1 x 2, 或3<x<4
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
2013-8-15
14
§3.2.2一元二次不等式及其解法(二)
b {x|x≠ } 2a
R Φ
2
Φ
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.2.2一元二次不等式及其解法(二)
温故知新 解一元二次不等式的步骤： ①把二次项系数化为正数； ②解对应的一元二次方程； ③根据方程的根，结合不等号方向及二次函数 y 图象； ④得出不等式的解集． x ● x2 ● 1 o x 记忆口诀：大于0取两边，小于 0取中间.(a>0且△>0)
0 4
15
-1
2013-8-15
3
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.2.2一元二次不等式及其解法(二)
3.2一元二次不等式及其解法第2课时精品教案
3.2 一元二次不等式及其解法【课题】 3.2.2 一元二次不等式及其解法【教课目的】1、知识与技术目标：（1）掌握一元二次不等式的解法；（2）知道一元二次不等式可转变为一元一次不等式组；（3）会利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，并理解它们三者之间的内在联系；2、过程与方法目标：经过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式，向学生浸透数形联合、等价变换、函数与方程等基本数学思想；3、感情、态度与价值观目标：经过研究函数、方程与不等式三者的内在联系，使学生认识到事物是互相联系、互相转变的，建立辨证唯物观。
．【教课要点】要点是一元二次不等式的解法．【教课难点】弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系．【课前准备】课件．【教课过程设计】教课环节教课活动设计企图（—）复习发问上节课我们只谈论了二次项系数 a 0 的一元二次不等式的求解问题。
一定有同学会问，二次项系数 a 0 的一元二次不等式怎样来求解？我们班上有谁能解答这个疑问呢？．(二 ) 研究与研究（学生谈论纷繁．有的说仍旧利用二次函数的图像，有的说将二次项的系数变为正数后再求解，．教师分别请持上述看法的学生代表进一步说明各自的看法．）创建情形生 1：只需将课本第87 页上表中的二次函数图像次依对于x 轴翻转变为张口向下的抛物线，再依据可得的图像即可求得二次项系数a0 的一元二次不等式的解集．生 2：我感觉先在不等式两边同乘以－ 1 将二次项系数变为正数后直接运用上节课所学的方法求解就能够了．师：这两种看法都是符合逻辑且可行的．可是按前一看法来操作的话，同学们则需再记着一张近似于第 87 页上的表格中的结论．这不只加重了记忆负担，并且两表中的结论简单混杂致使错误，按后一种看法来操作时则不存在这个问题.问题反馈探练习究[训练一 ]求解二次项系数a0 的一元二次不等式对于二次项系数 a 0 的一元二次不等式是将其经过同解变形化为a0 的一元二次不等式来求解的，所以只需掌握了上一节课所学过的方法。
第一部分第三章32第二课时一元二次不等式的解法(2)
返回
一元二次不等式 ax2＋bx＋c≥0， 它的解集为 R
a＞0， 的条件为 2 Δ ＝ b －4ac≤0；
一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集为∅的条
a＜ 0 ， 件为 Δ≤0.
返回
3．若关于x的不等式x2＋x＋k>0恒成立，则实数k的取 值范围是________．
∴a<0且Δ＝(a－1)2－4a(a－1)<0.
返回
a<0， 即 a－13a＋1>0.
1 ∴a<－3. 1 故 a 的取值范围为(－∞，－3)．
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[一点通]
不等式对任意实数 x 恒成立，就是不等式的
解集为 R，对于一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0，它的解集 为R
a＞0， 的条件为 2 Δ ＝ b －4ac＜0；
②
解①得 x≥5，解②得 x<2， ∴原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}．
返回
[一通]
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接
转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但 要注意分母不为零．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，
先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为
常见一元一次不等式、一元二次不等式上来．
2．有关不等式恒成立的问题，往往是求其中参数 的取值范围；常用解法有：①分离参变量，转化为函数 的最值问题；②构造函数法，利用基本函数求解．
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3．用一元二次不等式解决实际问题的步骤大致可分为 (1)理解题意，把条件进行转化，或者画出示意图，理 清各量满足的条件；
3.2 第 三 章 不 等 式 一 元 二 次 不 等 式 及 其 解 法
高中数学 第3章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第2课时 含参数一元二次不等式的解法课时作
第2课时 含参数一元二次不等式的解法A 级 基础巩固一、选择题1．若a ＜0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2＞0的解是( B ) A ．x ＞5a 或x ＜－a B ．x ＞－a 或x ＜5a C ．5a ＜x ＜－aD ．－a ＜x ＜5a[解析] 化为：(x ＋a )(x －5a )＞0，相应方程的两根x 1＝－a ，x 2＝5a ，∵a ＜0，∴x 1＞x 2.∴不等式解为x ＜5a 或x ＞－a . 2．不等式(x －2)2(x －3)x ＋1<0的解集为( A )A ．{x |－1<x <2或2<x <3}B ．{x |1<x <3}C ．{x |2<x <3}D ．{x |－1<x <3}[解析] 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x ＋1)<0x ＋1≠0(x －2)2≠0，解得－1<x <3，且x ≠2，故选A ．3．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是( A ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4＜a ＜4 C ．a ≤－4或a ≥4D ．a ＜－4或a ＞4[解析] 因不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则Δ＝a 2－16≤0，∴－4≤a ≤4. 4．函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为( D )A ．[－4,1]B ．[－4,0)C ．(0,1]D ．[－4,0)∪(0,1][解析] 要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0x ≠0，解得－4≤x ≤1且x ≠0，故定义域为[－4,0)∪(0,1]．5．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( A ) A ．m ＜－2或m ＞2B ．－2＜m ＜2C ．m ≠±2D ．1＜m ＜3[解析] ∵f (x )＝－x 2＋mx －1有正值， ∴Δ＝m 2－4＞0，∴m ＜－2或m ＞2.6．下列选项中，使不等式x ＜1x＜x 2成立的x 的取值范围是( A )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)[解析] 本题考查了分式不等式解法等．由1x >x 知1x －x >0，1－x 2x>0即x (1－x 2)>0，所以x <－1或0<x <1；由1x <x 2知1x －x 2<0，1－x 3x<0，即x (1－x 3)<0，所以x <0或x >1，所以不等式x <1x<x 2的解为x <－1，选A ．本题可也用特殊值代入法进行排除．二、填空题7．不等式x 2＋mx ＋m2>0恒成立的条件是__0<m <2__.[解析] x 2＋mx ＋m2>0恒成立，等价于Δ<0，即m 2－4×m2<0，解得0<m <2.8．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是__0≤a ≤4__. [解析] ①若a ＝0，则1<0不成立，此时解集为空．②若a ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a ≤0a >0，∴0<a ≤4.综上知0≤a ≤4. 三、解答题 9．解下列不等式： (1)2x －13x ＋1>0； (2)axx ＋1<0.[解析] (1)原不等式等价于(2x －1)(3x ＋1)>0， ∴x <－13或x >12.故原不等式的解集为{x |x <－13或x >12}．(2)axx ＋1<0⇔ax (x ＋1)<0.当a >0时，ax (x ＋1)<0⇔x (x ＋1)<0⇔－1<x <0， ∴解集为{x |－1<x <0}；当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a <0时，ax (x ＋1)<0⇔x (x ＋1)>0⇔x <－1或x >0， ∴解集为{x |x <－1，或x >0}．综上可知，当a >0时，原不等式的解集为{x |－1<x <0}；当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a <0时，原不等式的解集为{x |x <－1或x >0}．10．当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2＋(a －1)x －1<0的解集是R? [解析] 由a 2－1＝0，得a ＝±1. 当a ＝1时，原不等式化为－1<0恒成立， ∴当a ＝1时，满足题意．当a ＝－1时，原不等式化为－2x －1<0，∴x >－12，∴当a ＝－1时，不满足题意，故a ≠－1.当a ≠±1时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0Δ＝(a －1)2＋4(a 2－1)<0，解得－35<a <1.综上可知，实数a 的取值范围是－35<a ≤1.B 级 素养提升一、选择题1．已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则有( A ) A ．m ≤－3 B ．m ≥－3 C ．－3≤m <0D ．m ≥－4[解析] 令f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，因为f (x )在(0,1]上为减函数，所以当x ＝1时，f (x )取最小值－3，所以m ≤－3.2．如果不等式2x 2＋2mx ＋m4x 2＋6x ＋3<1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是( A )A ．(1,3)B ．(－∞，3)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，＋∞)[解析] 由4x 2＋6x ＋3＝(2x ＋32)2＋34>0对一切x ∈R 恒成立，从而原不等式等价于2x 2＋2mx ＋m <4x 2＋6x ＋3(x ∈R )⇔2x 2＋(6－2m )x ＋(3－m )>0对一切实数x 恒成立⇔Δ＝(6－2m )2－8(3－m )＝4(m －1)(m －3)<0，解得1<m <3.3．已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解只有－2，则实数k 的取值范围是( A )A ．[－3,2)B ．(－∞，2)C ．(－3,2]D ．(－∞，2][解析] 由x 2－x －2>0得x <－1或x >2，由2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0得(2x ＋5)(x ＋k )<0，依题意，结合数轴得－2<－k ≤3，即－3≤k <2.故选A ．4．已知不等式：(1)x 2－4x ＋3<0；(2)x 2－6x ＋8<0；(3)2x 2－9x ＋m <0.若同时满足(1)(2)的x 的值也满足(3)，则实数m 的取值范围是( C )A ．{m |m >9}B ．{m |m ＝9}C ．{m |m ≤9}D ．{m |0<m <9}[解析] 解不等式(1)得1<x <3.解不等式(2)得2<x <4，所以同时满足不等式(1)(2)的x 的取值范围是{x |2<x <3}．依题意，当2<x <3时2x 2－9x ＋m <0恒成立，即m <－2x 2＋9x 恒成立，而当x ∈(2,3)时，－2x 2＋9x ∈(9，818]．故当m ≤9时，m <－2x 2＋9x 恒成立．故选C ．二、填空题5．若关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根均大于1，则m 的取值范围是__{m |m ≥25}__.[解析] 令f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7. ∵方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根均大于1，∴由二次函数图象得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －1)2－32(m －7)≥0，m －116>1，f (1)>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m >17，m ∈R ，∴m 的取值范围是{m |m ≥25}．6．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋4)，则实数c 的值为__4__.[解析] 因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝a 2－4b ＝0，又f (x )<c 的解集为(m ，m ＋4)，即m ，m ＋4是方程x 2＋ax ＋a 24－c＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋m ＋4＝－a ，m (m ＋4)＝a 24－c ，将a ＝－2m －4代入m (m ＋4)＝a 24－c ，整理得c ＝4.三、解答题7．(2019·山东寿光现代中学高二月考)解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0. [解析] 原不等式可化为(x －a )(x －a 2)>0.则方程x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2， 由a 2－a ＝a (a －1)可知， (1)当a <0或a >1时，a 2>a . ∴原不等式的解为x >a 2或x <a . (2)当0<a <1时，a 2<a ， ∴原不等的解为x >a 或x <a 2.(3)当a ＝0时，原不等式为x 2>0，∴x ≠0. (4)当a ＝1时，原不等式为(x －1)2>0，∴x ≠1. 综上可知：当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠1}．8．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t %应在什么范围内变动？[解析] 由题意可列不等式如下：(20－52t )·24 000·t %≥9 000，整理得t 2－8t ＋15≤0，解得，3≤t ≤5.所以t %应控制在3%到5%范围内．。
3.2 一元二次不等式及其解法 第2课时 课件(人教A版必修5)
人
教
A
第三章
不等式
迁移变式1
若x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，则a的取
值范围是________．
人
教
A
第三章
不等式
解：原不等式可化为(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0， 当 a＋2＝0，即 a＝－2 时， 4x－3≥0 不恒成立， 当 a＋2≠0，即 a≠－2 时，
a＋2>0 Δ＝16－4a＋2a－1≤0
第三章
不等式
第2课时
一元二次不等式解法的应用
人
教
A
第三章
不等式
人
教
A
第三章
不等式
人
教
A
第三章
不等式
1．若ax2＋bx＋c≥0的解集是空集，则二次函数f(x)＝ax2＋bx
＋c的图象开口向 下 ，且与x轴 没有 交点．
2．若ax2 ＋bx＋c>0的解集是实数集R，则二次函数f(x)＝ax2 ＋bx＋c的图象开口向 上 ，且二次三项式的判别式Δ < 0.
人
教
A
人
教
A
第三章
不等式
1．下列不等式中，解集是R的是 A．x2＋2x＋1>0 1x C．(3) ＋1>0 B. x2>0 1 1 D. x－2<x
(
)
人
教
A
第三章
不等式
解析：∵x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，∴A不正确； ∵ x2＝|x|≥0，∴B不正确； 1x 1x ∵(3) >0，∴(3) ＋1>1>0(x∈R)，故C正确 ； 1 1 x－2<x⇒x>0或x<0，∴D不正确，故选C.
3.2 一元二次不等关系及其解法(二)
例1. 某种汽车在水泥路面上的刹车 距离S m和汽车车速x km/h有如下关 2 系： s 0.1x 0.01x . 在一次交通事故中，测得这种车的 刹车距离大于12m，那么这辆汽车 刹车前的车速为多少？
练习. 一个车辆制造厂引进一条摩托 车整车装配线，这条线生产的摩托 车数x(辆)与创造的价值y(元)之间有 如下的关系： y＝－2x2＋240x. 若这家工厂在某一个星期内利用这 条流水线创收超过7000元，那么它 在这个星期内大约生产了多少辆摩 托车？
题型二：求函数定义域. 例2. 求下列函数的定义域.
(1) y log x 1 ( x 3 x 4)
2
（2） y x 3 log2 ( x 4 x 3)
2
题型三：
已知不等式解集求不等式中的未知数
例3. 已知关于x的不等式x2－mx＋n≤0 的解集是{x| －5≤x≤1}，求实数m、n之
3.2一元二次不等式 及其解法(二)
复习引入
一元二次不等式的解法
方法一：先求出相应一元二次方程的根， 再根据函数图像与x轴的相关位置确定一 元二次不等式的解集。即
“一化→二判→三求→四画→五解集”
方法二：将不等式化为标准形式后，进 行因式分解，结合二次函数图象得出原 不等式的解，再写出解集。
题型一：关于一元二次不等式的应用题
值.
练习.
（1）已知不等式ax2＋bx＋1<0的解集 为{x| -1＜x＜2}，则 ab
(2)关于x的方程 ax bx c 0(a 0) 2 的两根为-2、3，那么 ax bx c 0 的解集为
2Leabharlann 小结三种题型 1.关于一元二次不等式的应用题； 2.求函数定义域. 3.已知不等式解集求不等式中的未
3.2一元二次不等式及其解法(2)
2
2
x的 取 值 范 围 为{ x | -1 7 x 1 3 }.
2
2
11分 12分
探究提高 （1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自 变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变 量，求谁的范围，谁就是参数. （2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应 的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒 小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全 部在x轴下方.
例3：已知 ax2 (1 a)x 1 0 恒成立，
求a的取值范围。
y
解：不等式恒成立，即解集为R
y ax2 (1 a)x 1的大致图像如图：
O
x
a 0, 0
由 (1 a)2 4a 0解得： 3 2 2 a 3 2 2
又a 0
解 （1）不等式mx2-2x-m+1<0恒成立，即函数f(x)=
mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方.
当m=0时，1-2x<0, 即当x> 1 时，不等式恒成立,不满足题意； 3分
2 当m≠0时，函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数，
需满足开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解，即
⊿>0
y
x1 x2 x
⊿=0
y
x1(x2) x
⊿<0
y
x
方程
有两个不等实 有两个相
x2+bx+c=0
根
等实根
的根
x1,x2(x1<x2)
x1=x2
ax2+bx+的c>解0（集a>0）﹛x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x≠x1﹜
3.2一元二次不等式及其解法_第2课时
综上所述：当
1 a<0，解集为xx< ，或x>1 a
；
当 a＝0 时，解集为{x|x>1}； 当 0<a<1
1 时，解集为 x 1<x< a ； .
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
－a＝1＋2， b＝1×2， a＝－3， 即 b＝2，
(6 分)
∴不等式 bx2＋ax＋1>0，就是 2x2－3x＋1>0. 1 由于 2x －3x＋1>0⇔(2x－1)(x－1)>0⇔x< 或 x>1. 2
2
(10 分) (12 分)
活页规范训练
∴bx ＋ax＋1>0
(iii)当 a<0 时，原不等式可化为(－ax＋2)(x－2)<0，对应方程 2 2 的两个根为 x1＝ ，x2＝2，则 <2，所以原不等式的解集为 a a
2 x <x<2 a
活页规范训练
题型三
三个“二次”间对应关系的应用
【例3】 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为(1,2)，试求 关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集． 审题指导 可知1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，故由根与 系数的关系可求出a，b的值，从而得解． [规范解答] 由根与系数的关系，可得
2 xx> ，或x<2 a ；
2 ②当 a＝1 时， ＝2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}； a
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
2 ③当 a>1 时， <2，所以原不等式的解集为 a
3.2一元二次不等式及其解法第2课时精品教案
3.2一元二次不等式及其解法【课题】3.2.2 一元二次不等式及其解法【教学目标】1、知识与技能目标：（1）掌握一元二次不等式的解法；（2）知道一元二次不等式可转化为一元一次不等式组；（3）会利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，并理解它们三者之间的内在联系；2 、过程与方法目标：通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式，向学生渗透数形结合、等价转换、函数与方程等基本数学思想；3 、情感、态度与价值观目标：通过研究函数、方程与不等式三者的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证唯物观。
．【教学重点】重点是一元二次不等式的解法．【教学难点】弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系．【课前准备】课件．【教学过程设计】1.不等式32-+x x x ）（＜0的解集为A.{x |x ＜－2或0＜x ＜3}B.{x |－2＜x ＜0或x ＞3}C.{x |x ＜－2或x ＞0}D.{x |x ＜0或x ＞3}解析：在数轴上标出各根.-2 03答案：A2. 下列不等式中与0)2lg(≤-x 同解的是 （A ）0)2)(3(≥--x x（B ）023≥--xx （C ）032≥--x x（D ）0)2)(3(>--x x 解析：0)2lg(≤-x 的解是2<x ≤30)2)(3(≥--x x 的解是2≤x ≤3023≥--x x 的解是2<x ≤3 032≥--x x的解是2≤x <3 0)2)(3(>--x x 的解是2<x <3答案.B 3．解不等式3252---x x x ＜－1.解析：原不等式变为3252---x x x ＋1＜0，即322322--+-x x x x ＜0⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-⇔0320230320232222x x x x x x x x 或，－1＜x ＜1或2＜x ＜3.∴原不等式的解集是｛x ｜－1＜x ＜1或2＜x ＜3｝.答案：原不等式的解集是｛x ｜－1＜x ＜1或2＜x ＜3｝. 4.不等式x +12+x ＞2的解集是 A.（－1，0）∪（1，+∞）B.（－∞，－1）∪（0，1）C.（－1，0）∪（0，1）D.（－∞，－1）∪（1，+∞）解法一：x +12+x ＞2⇔x －2+12+x ＞0⇔11+-x x x ）（＞0⇔x （x －1）（x +1）＞0⇔－1＜x ＜0或x ＞1.解法二：验证，x =－2、21不满足不等式，排除B 、C 、D. 答案：A5.（2004年浙江，13）已知f （x ）=⎩⎨⎧<-≥.0101x x ，则不等式x +（x +2）·f （x +2）≤5的解集是____________. 解析：当x +2≥0，即x ≥－2时. x +（x +2）f （x +2）≤5 ⇔2x +2≤5⇔x ≤23. ∴－2≤x ≤23. 当x +2＜0即x ＜－2时，x +（x +2）f （x +2）≤5 ⇔x +（x +2）·（－1）≤5⇔－2≤5， ∴x ＜－2. 综上x ≤23. 答案：（－∞，23］ 6.不等式043)4(2≥---x x x 的解集是____________． 13. {－1} [4，∞+)[解析]：043)4(2≥---x x x 1043042-=⎩⎨⎧≥--≥-⇔x x x x 或 ∴41≥-=x x 或 答案：原不等式的解集是｛x ｜41≥-=x x 或｝.。
一元二次不等式的解法(第二课时)
解: a(x2 5x 6) ax 2x 3 0 ∴(1)当 a 0时，原不等式变形为: x 2x 3 0
∴当 a 0时，原不等式解集为: x | x 2或x 3
∴(2)当 a 0时，原不等式变形为: x 2x 3 0
∴当 a 0时，原不等式解集为: x | 2 x 3
2－x (1)x＋3>1.
原不等式可化为
2－xx＋ －3x＋3>0，化简得－x2＋x－3 1>0，
即2xx＋＋31<0，
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3<x<－12.
∴原不等式的解集为x－3<x<－12
题型二 含参数的不等式的解法
对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不 同，其结果就不同，因此必须对参数进行讨论，即要 产生一个划分参数的标准。 一元一次不等式ax+b>0(<0) 参数划分标准： 一次项系数a>0,a=0,a<0 一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0) 参数划分标准：
；
x1 a
a 2 16 2
,
a a 2 16
x2
2
显然 x1 x2
∴原不等式的解集为：
x x a
a2 16 或x〈 a 2
a2 16
2
x 拓展:解关于 的不等式：ax 2 (a 1) x 1 0.
解:（一）当 a 0时, 原不等式即为 x 1 0 解集为：{x | x 1}.
x x1 x x2
R
{x|x=
b
}
2a
<0
y x
没有实根
R
R
复习回顾
高中数学必修5第三章3.2一元二次不等式式及其解法
≤
3 2
或x
≥1
1 x 3
因此1≤x<3，所求函数的定义域是[1，3).
思考题1
已知ax2 +2x
+c
>
0的解集为 禳镲睚x
-
1
<
x
<
1
,
镲铪 3 2
试求a, c的值，并解不等式 - cx2 +2x - a > 0。
解：对于任意实数x，
x2－2x+3=(x－1)2+2>0，
因此不等式（1）的解集为
实数集R，
y
3
不等式（2）无解，或说它 2
的解集为空集.
1
x
-1 O 1 2 3 -1
练习2．解不等式1－x－4x2>0.
解：原不等式可化为4x2+x－1<0，
因为△=12－4×4×(－1)>0，
方程4x2+x－1=0的根是
一元二次不等式及其解法
定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次 数是2的不等式，叫一元二次不等式。
一元二次不等式的一般表达式为 ax2+bx+c>0 (a≠0)，或ax2+bx+c<0 (a≠0)
其中a，b，c均为常数。
一元二次不等式一般表达式的左边，恰 是关于自变量x的二次函数f(x)的解析式，
2a
韦达定理
x1
x2
b a
,
x1x2
c a
(2)二次函数
y ax2 bx c(a 0)
开口方向；
b 对称轴 x
一元二次不等式及其解法2
§3.2一元二次不等式及其解法一、 教材分析（一） 教材的地位和作用一元二次不等式及其解法选自人教版A 版必修5第三章第二节。
一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合知识的巩固和运用具有重要的作用，也与后面的函数、数列、三角函数、线性规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容的巩固学习和延伸密切相关。
许多问题的解决都都会借助一元二次不等式的解法。
因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用。
（二） 教学重、难点重点：1、从实际问题中抽行出一元二次不等式的模型.2、一元二次不等式的解法，熟练掌握数形结合思想.难点：“三个二次”间的相互转化.二、 教学目标1、 理解一元二次不等式的定义，理解一元二次不等式、一元二次方程、一元二次函数间的相互转化，掌握一元二次不等式的解法，并从解法中归纳出解题的一般步骤。
2、 通过对一元二次不等式的解法的探究，渗透数形结合思想，提高学生运算和作图的能力。
体验数学从特殊到一般抽象出结论，在运用结论解决问题的思维过程。
3、通过对“三个二次”的相互转化的学习与探究，学生体会之间的有机联系，感受数学的系统性。
在教学过程中通过学生的交流、体验并理解一元二次不等式的解法，培养学生发现问题和解决问题的能力。
三、教学方法（一） 教法本节采用引导探究和类比探究的方法，通过提问引发学生的思考和兴趣，在探究“三个二次”间的关系，通过初中学习的“三个一次”间的关系，类比学习，学生对新旧知识的比较体验数学间的相互关系。
（二） 学法新课程提倡“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，紧紧围绕教师组织——启发引导学生探究——交流发现，指导学生形成运用数形结合的思想方法解决数学问题，培养思维的严谨性，使学那些生形成分析问题，由具体到抽象的意识，学会运用数学方法培养观察、比较、概括的能力。
2014-2015学年 高中数学 人教A版必修五 第三章 3.2(二)一元二次不等式及其解法(二)
§3.2（二）
【学习目标】 1．能运用三个“二次”的关系解决有关的数学问题． 2．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型， 并加以解决．
本 讲 栏 目 开 关
3．掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法． 【学法指导】 1．利用二次函数图象可以帮助我们迅速找到解题的切入点， 快速找到有效的解题途径． 2．解决有关一元二次不等式恒成立的问题，一方面，要充分 利用二次函数图象分析解决有关问题； 另一方面还应依具 体情况， 选择不同的字母作为自变量， 再利用图象分析解 决问题．
0<x1≤x2
Δ≥0 f0>0 b － >0 2a
研一研·问题探究、课堂更高效
§3.2（二）
x1<0<x2
Δ>0 x1x2<0
f(0)<0
本 讲 栏 目 开 关
x1≤x2<k
Δ≥0 x1＋x2<2k x1－k· x2－k>0
Δ≥0 fk>0 b － <k 2a
ax2＋bx＋c＝0 实根 x1，
填一填·知识要点、记下疑难点
§3.2（二）
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0
本 讲 栏 目 开 关
{x|x<x1 或 x>x2}
{x|x1<x<x2}
{x|x∈R 且 b x≠－ } 2a
R
(a>0)的解集
∅
∅
2．解一元二次不等式的一般步骤 (1)对不等式 变形 ，使一端为 0 且二次项系数大于 0，即 ax2＋bx＋c>0 (a>0)，ax2＋bx＋c<0 (a>0)； (2)计算相应的 判别式 ； (3)当 Δ ≥ 0 时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法3.2 一元二次不等式及其解法本课时的研究目标如下：1.掌握一元二次不等式的解法（重点）。
2.能够根据“三个二次”之间的关系解决简单问题（难点）。
基础·初探】1.一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。
2.一元二次不等式的一般形式1) ax^2 + bx + c。
0 (a ≠ 0)。
2) ax^2 + bx + c ≥ 0 (a ≠ 0)。
3) ax^2 + bx + c < 0 (a ≠ 0)。
4) ax^2 + bx + c ≤ 0 (a ≠ 0)。
3.一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集。
判断（正确的打“√”，错误的打“×”）1) mx^2 - 5x < 0 是一元二次不等式。
（×）解析：当 m = 0 时，是一元一次不等式；当m ≠ 0 时，它是一元二次不等式。
2) 若 a。
0，则一元二次不等式 ax^2 + 1.0 无解。
（×）解析：因为 a。
0，所以不等式 ax^2 + 1.0 恒成立，即原不等式的解集为 R。
3) x^2 - x。
0 为一元二次不等式。
（×）解析：因为一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有 x，故该说法错误。
答案】(1) × (2) × (3) ×二次函数与一元二次不等式的关系】考虑一元二次不等式 f(x)。
0（或 f(x)。
0）。
1.判别式Δ = b^2 - 4ac。
2.求出方程 f(x) = 0 的解集 {x | x1 < x < x2}，其中 x1 和x2 分别是 f(x) = 0 的两个实根。
3.画出函数 y = f(x) 的图像。
4.根据 f(x)。
0（或 f(x) < 0）的条件，得到一元二次不等式的解集。
§3.2一元二次不等式及其解法(第2课时)教案.doc
教师课时教案备课人授课时间课题§3.2一元二次不等式及其解法（第2课时）课标要求巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；教学目标知识目标巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；技能目标培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力情感态度价值观激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想重点熟练掌握一元二次不等式的解法难点理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动1.课题导入1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2．一元二次不等式的解法步骤2.讲授新课[范例讲解]例3 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x km/h有如下的关系：21120180s x x=+在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h，根据题意，我们得到21139.520180x x+>移项整理得：2971100x x+->显然0>V，方程2971100x x+-=有两个实数根，即1288.94,79.94x x≈-≈。
所以不等式的解集为{}|88.94,79.94x x x<->或在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.学生回答教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动例4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：22220y x x=-+若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到222206000x x-+>移项整理，得211030000x x-+<因为1000=>V，所以方程211030000x x-+=有两个实数根1250,60x x==由二次函数的图象，得不等式的解为：50<x<60因为x只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51—59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益。
3.2 一元二次不等式及其解法 (2)
例1.解不等式 2x2－3x－2 > 0 .
解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0,
先求方程的根
然后想像图象形状
方程的解2x2－3x－2 =0的解是
y
1 x1 2 , x2 2.
o
x
所以,原不等式的解集是
x
|
x
1 2
, 或x
2.
注:开口向上,大于0 取两边
例2.解不等式 x2＋x － 2 > 0 例3.解不等式 － x2－3x> 2
解:(1)当 x=-2, 或 x=3 时, y=0 即 x2x6=0;
-2 o
x
3
(2)当2<x<3 时, y<0 即 x2x6<0;
(3)当 x<;0 .
若一元二次方程x2-x-6=0
y
的解是x1=-2，x2=3. 则抛物线y=x2-x-6与x轴
的交点就是 (-2，0)与(3，0).
1.知识与技能：深刻理解二次函数，一元二次方程与一 元二次不等式的关系。
2.过程与方法：通过研究二次函数，一元二次方程与一 元二次不等式之间的内在联系，获得一元二次不等式 的解集。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的热情。
：掌握一元二次不等式的解法。 ：理解二次函数，一元二次方程与一元
二次不等式解集的关系。
判别式 △=b2- 4ac
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
△>0 y x1 O x2 x
△=0 y
O x1
x
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
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讲解范例:
例3. 一个车辆制造厂引进一条摩托车整车 装配线，这条线生产的摩托车数量x(辆)与 创造的价值y(元)之间有如下的关系： y＝－2x2＋220x. 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流 水线创6000元以上，那么它在一个星期内 大约应该生产多少辆摩托车？
课堂小结
运用不等式解实际问题时，要 注意：不大于、不小于、不超过等 字眼.
讲授新课
例2. 某种汽车在水泥路面上的刹车距离 sm和汽车车速xkm/h有如下关系：
1 1 2 s x x . 20 180
在一次交通事故中，测得这种车的刹车 距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前 的车速至少为多少？ 变式：若车速为80km/h，司机发现前方 50m的地方有人，问汽车是否会撞上人？
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课堂抢答
课堂抢答
课堂抢答
课后作业
1. 阅读教材P.76到P.78； 2.自主完成《课时训练十五》. 3. 在作业本上完成P.80 习题3.2A组第2题
3.2一元二次不等式 及其解法(二)
将下表填充完整:
＝b2－4ac ＞ 0
y
y
＝ 0
＜0
y
y=ax2+bx+c (a＞0)的图象 x1 O x x 2 ax2+bx+c＝0 (a＞0)的根 ax2+bx+c＞0 (a＞0)的解集 ax2+bx+c＜0 (a＞0)的解集
O x1=x2 x
O
x
没有实数根
b {x | x } 2a
讲解范例:
例1. 解不等式 4(2x2－2x＋1)＞x(4－x).
讲授新课
例2. 某种汽车在水泥路面上的刹车距离 sm和汽车车速xkm/h有如下关系：
1 1 2 s x x . 20 180
在一次交通事故中，测得这种车的刹车 距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前 的车速至少为多少？
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讲解范例:
例4. 解不等式
1 2 x 2 5 x 6 1 x2 x6 ( ) ( ) . 2 2
讲解范例:
例5. 求下列函数的定义域.
(1) y log x 1 ( x 3 x 4)
2
( 2) y x 2 x ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ6
2
课堂小结
1. 从实际问题中建立一元二次不等式， 解一元二次不等式； 2. 能把一元二次不等式的解的类型归 纳出来.