电磁场与电磁波 第1章矢量分析

• 1866年，德国的西门子发明了使用电磁铁的发电机， 为电力工业开辟了道路。
• 1876年，美国贝尔发明了电话，实现了电声通信。
• 1879年，美国发明家爱迪生发明了电灯，使电进入了 人们的日常生活。
• 1887年，德国的物理学家赫兹首次用人工的方法产生 了电磁波。随后，俄国的波波夫和意大利的马可尼，利 用电磁波通信获得成功，开创了人类无线通信的新时代。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
二、电磁学现代科学体系的建立 （文艺复兴之后，18世纪中-19世纪中,第一次工业革命）
1. 1745年，荷兰莱顿大学马森布罗克制成了莱顿瓶，可以将 电荷储存起来，供电学实验使用，为电学研究打下了基础。 2. 1752年7月，美国著名的科学家、文学家、政治家富兰克 林的风筝试验，证实了闪电式放电现象，从此拉开了人们研 究电学的序幕。 3. 1753年，俄国著名的电学家利赫曼在验证富兰克林的实验 时，被雷电击中，为科学探索献出了宝贵的生命。 4. 1771—1773，英国科学家卡文迪什进行了大量静电试验， 证明在静电情况下，导体上的电荷只分布在导体表面上。
•含义：
A
两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组
成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者
符合右手螺旋法则。
vv vv vv vv 推论1：不服从交换律： A B B A, A B B A
推论2：服从分配律：
v v v vvvv A(B C) A B AC
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
v vv (A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
vvv A (B C)
标量，标量三重积。
v vv A (B C)
矢量，矢量三重积。
a. 标量三重积
法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。
定义：Av
vv (B C)
求： rv4 arv1 brv2 crv3 中的标量 a、b、c。
解： 3aˆx 2aˆy 5aˆz a(2aˆx aˆy aˆz ) b(aˆx 3aˆy 2aˆz ) c(2aˆx aˆy 3aˆz ) (2a b 2c)aˆx (a 3b c)aˆy (a 2b 3c)aˆz
z
v Az
v A
根据矢量加法运算：
vv v v A Ax Ay Az
vo
Ax
x
其中：
v Ax

Axavx ,
v Ay

Ayavy ,
v Az

Az avz
v Ay
y
所以：
v A

Axavx

Ay avy

Az avz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量：
v A

Axavx

Ay avy

(AyBz AzBy )avx (AzBx AxBz )avy (AxBy AyBx )avz
两矢量的叉积又可表示为：
v v avx A B Ax
Bx
avy Ay By
avz Az Bz

Ay By
Az Bz
avx

Ax Bx
Az Bz
avy

Ax Bx
Ay By
avz
b.矢量三重积：
v v v vv v vv v A(BC) B(AC) C(A B)
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第1章 矢量分析
例2：设 rv1 2aˆx aˆy aˆz , rv2 aˆx 3aˆy 2aˆz rv3 2aˆx aˆy 3aˆz , rv4 3aˆx 2aˆy 5aˆz
推论3：不服从结合律：
v vv vv v A(BC) (A B)C
推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。
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第1章 矢量分析
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：
z
v A
v B

(
Ax
avx

Ayavy

Azavz
)

(Bx
avx

Byavy

Bz
avz
)
oy x
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o


Ay
y
x
cos Ax , cos Ay , cos Az
| A|
| A|
| A|
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
v A

v B

v C

( Ax

Bx

Cx
)avx

( Ay

By

Cy
)avy

( Az

Bz

Cz
)
avz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2.减法：换成加法运算
( Ax avx

Ayavy

Az avz
)
(Bxavx

Byavy

Bz avz
)
Ax Bx Ay By Az Bz
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
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第1章 矢量分析
b.矢量积（叉积）：
avc
v A
v B
|
v A||
v B|
sin
avc
B
• 8. 1825年，德国科学家欧姆得出了第一个电路定律：欧姆 定律。
• 9. 1831年，英国实验物理学家法拉第发现了电磁感应定律 并设计了世界上第一台感应发电机。
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第1章 矢量分析
• 10. 1840年，英国科学家焦耳提出了焦耳定律，揭示了电 磁现象的能量特性。
• 11. 1848年 ，德国科学家基尔霍夫提出了基尔霍夫电路理 论，使电路理论趋于完善。
A B | A| | B | cos
v B

v
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，
其结果是一标量。
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第1章 矢量分析
推论1：满足交换律
vv vv A B B A
推论2：满足分配律
v v v vv vv A(B C) A B AC
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第1章 矢量分析
五、场的基本概念
• 1.什么是场？
• a.从数学角度：场是给定区域内各点数值的集合，这 些数值规定了该区域内一个特定量的特性。
• b.从物理角度：场是遍及一个被界定的或无限扩展的空 间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具 有能量的。
温度场 T，重力场、电磁场、……
vvv A(BC) 0
v vv
h BC v
A

v C
v B
在直角坐标系中：
vvv A(BC)
( Axavx

Ay avy

Az avz
)
avx Bx
avy By
avz Bz
v v v Ax Ay Az A (B C) Bx By Bz
Cx Cy Cz
Cx Cy Cz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
电磁场与电磁波
张丹伟 （理6-502）
课程公邮：scnuphysics@126.com 密码：physics
华南师范大学
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
绪论
一、电磁现象的经验认识时代（18世纪之前）
• 1. 古希腊“七贤之一”的哲学家泰利斯（Thales）曾叙述过织衣者所 观察到的现象，那就是用毛织物摩擦过的琥珀能够吸引某些轻的物体。
|
v A
||
v B
||
v C
|
sin
cos
含义：标量三重积的大小为三矢量 构成的平行六面体的体积 。
v vv
h BC v
A

v C

0
v B
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第1章 矢量分析
vvv vvv vvv V A (BC) C (A B) B (C A)
注意：(A-B-C) 先后轮换次序。 推论：三个非零矢量共面:
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第1章 矢量分析
四、课程内容
• 第一章：电磁学的数学基础 ——矢量运算 • 第二章：电磁学的理论基础 ——麦克斯韦方程组 • 第三、四、五章：麦克斯韦方程组的应用
(媒质与边界，静态场，电路) • 第六章：（平面）电磁波的传输特性 • 第七章：电磁波在波导中的传播（光纤通信） • 第八章：电磁波的辐射
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第1章 矢量分析
2.场的分类
a. 按物理量的性质分：
标量场：描述场的物理量是标量。 矢量场：描述场的物理量是矢量。
b. 按场量与时间的关系分：
静态场：场量不随时间发生变化的场。 动态场：场量随时间的变化而变化的场。
动态场也称为时变场。
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第1章 矢量分析
第1章 矢量分析
一、矢量和标量的定义 二、矢量的运算法则 三、矢量微分元：线元，面元，体元 四、标量场的梯度 五、矢量场的散度 六、矢量场的旋度 七、重要的场论公式
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
•在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即
avx avy 0, avx avx 1,
avx avz 0, avy avy 1,
avy avz 0 avz avz 1
有两矢量点积：
v A
v B

v vvv v
D A B A (B)
逆矢量：Bv
和
v (B)
的模相等，方向相反，互为逆矢量。
v
vv
D
v
A
AD
v
v
v
B
B
B
v
v C
Bv v v
v
ABC 0
A
推论：
任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。
在直角坐标系中两矢量的减法运算：
v A

v B

( Ax
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第1章 矢量分析
• 5. 1785年，法国科学家库仑在实验规律的基础上，提出了 第一个电学定律：库仑定律。使电学研究走上了理论研究 的道路。
• 6. 1820年，由丹麦的科学家奥斯特在课堂上的一次试验中， 发现了电的磁效应，从此将电和磁联系在一起 。
• 7. 1822年，法国科学家安培提出了安培环路定律，将奥斯 特的发现上升为理论。

Bx
)avx

( Ay

By
)avy

( Az

Bz
)
avz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3.乘法：
（1）标量与矢量的乘积：
v kA

k
|
v A
|
av
k 0 方向不变，大小为|k|倍

k

0


k

0
方向相反，大小为|k|倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积（点积）： vv v v
• 12.奥斯特的电生磁和法拉第的磁生电实验奠定了电磁学 的基础。
电磁学理论的完成者——英国的物理学家麦克斯韦（18311879）。麦克斯韦方程组——用最完美的数学形式表达了宏 观电磁学的全部内容 ，从理论上预言了电磁波的存在。
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第1章 矢量分析
三、电磁学应用突飞猛进（2nd工业革命，19世纪中至今）
v
v
B
C
v
v vv C AB

C v B
v A
v A
a.满足交换律：
vv vv AB B A
vv vv vv vv
b.满足结合律： (A B) (C D) (A C) (B D)
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第1章 矢量分析
在直角坐标系下的矢量表示: 三个方向的单位矢量用 avx , avy , avz 表示。
• 2. 大约在春秋末期（约公元前四、五世纪）成书的《管子·地数篇》， 战国时期的《鬼谷子》，战国末期的《吕氏春秋》等，都留记述了天 然磁石及其吸铁现象，并且出现世界上最古老的指南针“司南”。
• 3. 1638年，我国建筑学书籍中对避雷的记载：屋顶的四角都被雕饰 成龙头的形状，仰头、张口，在它们的舌头上有一根金属芯子，其末 端伸到地下，如有雷电击中房顶，会顺着龙舌引入地下，不会对房屋 造成危险。
则： 2a b 2c 3 a 3b c 2 a 2b 3c 5
a 2 b 1 c 3
电磁场与电磁波
Az avz
模的计算：
v | A |
Ax2 Ay2 Az2
单位矢量： v
av

|
Av A
|

Avx |A
|
avx

Avy | A|
avy

|
Avz A|
avz
cos avx cos avy cos avz
方向角与方向余弦： , ,
z
v Az
v A

v
v Ax
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
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第1章 矢量分析
例1：在直角坐标系中，x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？
矢量的图示法： 力的图示法：
y
6avx
x
v
F
v
FN
v
Ff
vv v F FN Ff
v G
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第1章 矢量分析
二、矢量的运算法则
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
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第1章 矢量分析
一、矢量和标量的定义
1.标量：只有大小，没有方向的物理量。 如：温度 T、长度 L 等
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力Fv、速度 vv、电场 Ev等
矢量表示为：
v A
|
v A
|
av
其中：|
v A
|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
av 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。