高等数学性质定理

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高等数学第5章第二节定积分的性质中值定理

（2）记 f ( x) e x2 x , x 0,2 , 则 f ( x) e x2 x 2x 1 ,
令 f ( x) 0, 得唯一驻点 x 1 ,
2
又
f
(
1
)
e
1 4
,
f (0) 1, f (2) e 2 ,
2
1
所以 m e 4 , M e 2
1
e 4 2 0
y gx
推论1 若 f x gx, x a, b,
y
则
b
a
f xdx
b
a
g
x
dx
a b.
推论 2
b
a
f
xdx
b
a
f xdx
(a b).
性质6 (估值不等式)
y f x
O xa
xbx
设 M max f x, m min f x, 则
x[ a ,b ]
x[ a ,b ]
mb
a
b
a
f
xdx
加性
c
b
c
a f ( x)dx a f ( x)dx b f ( x)dx
b
a
f ( x)dx
c
a
c
f ( x)dx b
f ( x)dx
c
a
b
f ( x)dx c
f ( x)dx
1
性质4
b
b
1dx dx b a
a
a
性质5
若 f x 0, x a,b,
则
b
a
f
xdx
0
a b.
M b
a
a b.
如

高等数学第四讲一元函数积分的概念性质与基本定理

一、一元函数积分的概念、性质与基本定理1、原函数、不定积分在区间Ⅰ上，如()()x f x F /=，称()x f 为()x F 的导函数，称()x F 为()x f 的原函数，原函数与导函数是一种互逆关系。

如()x F 为()x f 的一个原函数，则()C x F +为()x f 的全体原函数。

记为⎰f(x)dx ，即⎰f(x)dx =()C x F + 不定积积分性质 (1) f(x))f(x)dx (/=⎰或 ()dx x f f(x)dx d =⎰(2) C F(x)(x)dx F /+=⎰ (3) ⎰⎰=f(x)dx k f(x)dx k(4) ⎰⎰⎰±=±g(x)dx f(x)dx g(x))dx f(x) (∵原函数与导函数有互逆关系,∴由导数表可得积分表。

例、P98 例3.1 已知()x F 是xxln 的一个原函数，求：()x sin dF 解：xlnx(x)F /=cosxdx sinxlnsinxdsinx dsinx dF(sinx)dF(sin x)==例、()x f 的导函数是x sin ，则()x f 的原函数21c x c x sin ++-，(1c 、2c 为任意常数)例、在下列等式中，正确的结果是 C A 、()⎰=x f (x)dx f /B 、⎰=f(x)df(x)C 、⎰=f(x)(x)dx f dxdD 、⎰=f(x)(x)dx f d 例、)dx x1(1x x )dx x 1(1x x 241212-⋅=-⎰⎰dx )x -(x 4543⎰-=C 4x x 744147++=-2、计算方法 10 换元法第一类换元法（凑微分法）常用凑微分形式kdx dkx = ()dx c x d =+xxde dx e = dlnx dx x1=x sin d x cos = x1d dx x 12=-x d dx x 21= x tan d xdx sec 2=sin x arc d dx x -112=22x 1d dx x 1x +=+22x 1d dx x -1x --= x sin d dx x 2sin 2=x cos d dx x 2sin 2-=-例、⎰⎰+--=---=-c 2x 3ln 212x)d(32x 3121dx 2x 317、⎰⎰+==c (lnx)32ln x d lnx dx x ln x 238、⎰⎰+==c x sin 41sin x d x sin xdx sin x cos 4339、⎰⎰+-=-=c x 1x -1d 21 x d x-1x22210、⎰⎰+-=-=c e 31d(-x)e 31dx e x 3x -33x -3x -211、⎰⎰+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+c a x tan arc a1a x d a x 11a1dx x a 1222 12、⎰⎰+=+=+c a2xarctan 61d2x (2x)3121 x d 4x 91222 13、⎰⎰+++=++c 1)d(x 41)(x 1x d 5x 2x 122 c 21x arctan 21++=14、⎰+=c a xarcsin x d x-a 122 15、⎰⎰--=+223x)(25dx 9x -2x 11dx 31-=c 53x 2sin arc +- 16、c 1tanx 21)d(tanx 1tan x 11tan x x sec 2++=++=+⎰⎰17、⎰⎰-=dx )1x (sec x tan xdx tan 224dx )1x (sec x tan xd tan 22⎰⎰--=C x x tan x tan 313++-=18、x arcsin d x arcsin dx x 1x arcsin 424⎰⎰=-C x arcsin 515+= 19、⎰⎰++=+)1e (d )1e sin(dx )1e sin(e xxxxC )1e cos(x ++-=20、⎰⎰=x d x cos 2ds xx cosC x sin 2+=21、x d x 1xarctan 2dx x)x 1(x arctan ⎰⎰+=+ ⎰=x arctan d x arctan 2 C x arctan 2+=22、dx e1e e 1dx e 11xxx x ⎰⎰+-+=+⎰+-=dx e1e 1xx()⎰++-=x x e1e 1d x ()C e1ln x x++-=23、⎰⎰⎰+-+=+-)4e (e de 4e de dx 4e 1e x 2x xx 2x x 2xxx 2x x x de 4e e e 1412e arctan 21⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=C )4e ln(814x 2e arctan 21x 2x +++-=P100, (9),(10), (14)21x -除了凑微分法外其它常用变量代换 (1)被积函数中含有二次根式22x a -，令t sin a x = 22x a +，令t tan a x = 22a x -，令t sec a x =如是C bx ax 2++配方221212212u a ,a u ,a u --+→例1、dx xx 122⎰- 令tdt cos dx ,t sin x ==解：原式 ⎰⋅=tdt cos tsin tcos 2⎰⎰-==dt )1t (csc tdt cot 22C t t cot +--=C x arcsin xx 12+---=例2、dx 4x x122⎰- P105例4 二种解法（2）被积函数中含一般根式例3、⎰++32x 1dxP106 （6）解：令dt t 3dx 2t x t2x 233=-==+原式⎰⎰++-=+=dt )t111t (3dt t 1t 32()C 2x 1ln 32x 32x 233332+++++-+=例4、⎰+dx x x 132令 dt t 6dx t x 56==原式⎰⎰⎰++-=+=+=dt )t111t (6dt t 1t 6dt t t t 62435 C t 1ln t 2t 62+⎪⎭⎫⎝⎛++-= C x 1ln 6x 6x 3663+++-=例5、⎰+dx 1e x解：令 1t e t1e 2x x-==+dt 1t t2dx )1t ln(x 22-=-= 原式 ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-⋅=dt 1t 112dt 1t t 2t 22 C 1t 1t lnt 2++-+=C)11e ln()11e ln(1e 2x x x +++--+++=20分部积分<定理> 如()x u 、()x v 均具有连续的导函数，则⎰⎰-=vdu uv dv u例1、⎰⎰=xdsin x dx x xcos⎰=dx sin x -sin x xc x cos sin x x ++=例2、⎰⎰---=xxxde dx xe⎰--+-=dx e xe x xC e xe x x+--=--例3、()⎰⎰⋅-=dx x-11sin x 2arc x sinx arc x dx sin x) (arc 222()⎰+=22x -1sinxd arc 2sinx arc x()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-+=⎰dx x 11x -1-sinx arc x 12sinx arc x 2222()C 2x -sinx arc x 12sinx arc x 22+-+=例4、⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=x 1d ln x dx x ln x 2 ⎰+-=dx x 1x lnx 2c x1-x lnx +-=例5、⎰⎰=ln x d ln x ln dx xlnxln ⎰⋅⋅⋅=dx x1ln x 1ln x -ln x ln ln xc ln x -ln x ln ln x +=例6、⎰⎰-=dx )1x (sec x xdx xtan 22⎰-=2x xdtanx 22x dx tan x xtanx 2--=⎰c 2x - x cos ln x tan x 2++=例7、⎰⎰+-+=+xdx arctan x111x dx x 1x arctan x 2222⎰+-=dx )x1xarctan x (arctan 2⎰⎰-=x arctan xd arctan xdx arctan22)x (arctan 21dx x 1x x arctan x -+-=⎰c )x (arctan 21)x 1ln(21x arctan x 22+-+-=例8、⎰⎰++-++=++c x 1dx )x 1xln(x )dx x 1ln(x 222 c x 1)x 1xln(x 22++-++=例9、⎰⎰=x x x 2x dsine e dx cose e⎰-=x x x x de sine sine ec cose sine e x x x ++=例10、⎰⎰-=dx )x 2cos 1(21x xdx sin x 222 ⎰-=dsin2x x 416x 23 ⎰+-=dx 2x xsin 21sin2x x 416x 23 ⎰--=x 2cos xd 41x 2sin 4x 6x 23c x 2sin 81x 2cos x 41sin2x x 416x 23++--=例11、⎰⎰--=-22x 1arcsinxd dx x 1xarcsinxc x arcsinx x 12++--=例12、P109 例3.5友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。

高等数学定理

1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。

函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于 a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。

定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。

函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。

一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。

如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。

4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。

高等数学定律全套整合(几乎包含了所有)

高等数学公式大全1、导数公式：2、基本积分表：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ3、三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμ·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

[理学]高等数学大二第二学期总复习

6. f (a )a dx;
f (arctan x ) 8. dx; 2 1 x
x
x
7. f (tan x ) sec xdx;
1 如： tan x 1 cos2 x dx;
2
3、第二类换元积分法
定理设 x ( t ) 是单调的、可导的函数，并
( t ) 具有原函数，且 ( t ) 0 ，又设 f [ ( t )]
u
kx
2 x
P ( x ) sin axdx, P ( x ) cos axdx, P ( x )e dx, Pn ( x)为n次多项式如： x e dx
u u
P ( x ) arcsin xdx, P ( x ) arctan xdx,
n
P ( x ) ln xdx
(2) (3)
设f ( x )在[a , b]上连续, 则f ( x )在[a , b]上可积. 设f ( x )在[a , b]上有界, 且只有有限个间断点,则f ( x )在[a , b]上可积.
3、定积分的性质
性质1
性质2
a [ f ( x ) g( x )]dx a f ( x )dx a g( x )dx
及直线 x a , x b 所围成的区域的面积A.
dA f ( x ) g( x ) dx
A [ f ( x ) g( x )]dx
a
b
y
y f ( x)
A
O a
y g( x )
x x dx b
x
(2) 由曲线 x f ( y ), x g( y ) ( f ( y ) g( y )) 和直线 y c , y d 所围成的区域的面积A.

高等数学基本概念,基本公式定理

目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。

如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作∅，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。

大学数学高等数学的基本概念与定理

大学数学高等数学的基本概念与定理数学作为一门基础学科，对于大学生而言，高等数学是他们学习数学的起点。

在大学的高等数学课程中，基本概念与定理是学生们必须掌握的内容。

本文将重点介绍大学数学高等数学的基本概念与定理。

第一章数列与极限数列是数学中一系列按照一定规律排列的数的集合。

数列中的每一个数称为数列的项，用一般的小写字母an表示。

在数学中，数列是研究极限的基础。

极限概念对于分析数列的性质和行为非常重要。

1.1 数列的定义与性质数列的定义：如果对于每一个整数n，都有唯一确定的一个实数an与之对应，那么称a1, a2, a3, ...为一个数列，简记为{an}。

数列的性质：1）数列的有界性：数列有界的意义是存在两个实数M和N，使得对于每一个正整数n，都有M≤an≤N。

2）数列的单调性：数列单调有两种情况，即递增和递减。

如果对于每一个正整数n，an≤an+1，则称数列递增；如果an≥an+1，则称数列递减。

3）数列的有界单调性：数列既有界又递增或递减。

1.2 数列的极限极限是数列中最重要的概念之一，它描述了数列中的项随着自变量趋于无穷大或无穷小时的行为。

数列收敛与发散的定义：1）数列的收敛性：如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，|an-a|<ε都成立，那么称数列{an}收敛于a，记作lim（n→∞）an=a。

如果数列不收敛，则称数列发散。

2）数列的无穷大：对于任意给定的正数M，总存在正整数N，使得当n>N时，an>M都成立。

如果数列有这样的性质，则称数列为无穷大数列。

第二章函数与极限函数是数学中研究量与量之间对应关系的一种映射关系。

在数学中，函数的极限是研究函数性质、行为和趋势的重要概念。

2.1 函数的基本概念函数的定义与性质：1）函数的定义：设A、B为非空数集，若对于每一个x∈A，都有唯一确定的确定用y表示的实数与之对应，那么就称y是x的函数，记作y=f(x)，称f(x)为从A到B的一个函数。

高等数学5.2 定积分的性质中值定理

a
y
y=f (x)
f ()
b
a f (x) dx =f ()(ba)
Oa
bx
定积分中值定理：性质7 (定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连
续，则在积分区间[a, b]上至少存在一个点，使下式成立：
b
f (x)dx f ()(ba)
--------积分中值公式．
a
a
c
值得注意的是，不论a，b，c的相对位置如何，总有此等式．注
注：不论a，b，c的相对位置如何，总有下述等式．
b
c
b
f (x) dx f (x) dx f (x) dx ．
a
a
c
例如，当a<b<c 时，由于
于是有
c
b
c
f (x) dx f (x) dx f (x) dx ，
a
b
b
| f (x)dx | |f (x)|dx
(a<b)．证明
a
a
设M 及m 分别是函数f(x)在外[a，b]上的最大值及最
b
m(ba) f (x)dx M (ba)
(a<b)．证明
a
推论1 如果在区间[a，b]上，f (x) g(x)，则
b
b
f (x) dx g (x) dx (a<b)．
(a<b)b]上的最大值及最
小值，则
b
m(ba) f (x)dx M (ba) (a<b)． a
证明因为 m f (x) M ，所以
从而
b
b
b
m dx f (x)dx M dx ，

(完整word版)高等数学性质定理

高等数学性质定理多元函数微分性质一☹(有界性和最大值最小值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数,必定在D 上有界,且能取得它的最大值和最小值.性质二☹(介值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.性质三☹(一致连续性定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数必定在D 上一致连续定理如果函数z=f(x,y)的二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2及xy z∂∂∂2在区域D 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。

（即二阶混合偏导数在连续条件下的求导与次序无关）全微分的定义如果函数z=f(x,y)在点（x,y ）全增量∆z=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y)可表示为)(ρo +∆+∆=∆y B x A z其中A.B 不依赖于y x ∆∆.，而仅与x.y 有关，22)()(y x ∆+∆=ρ，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，而y B x A ∆+∆称为函数z=f(x,y)在点（x,y ）的全微分，记作dz ，即dz=y B x A ∆+∆定理（全微分必要条件）如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数x z ∂∂，yz∂∂必定存在，且函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分为dz=y yzx x z ∆∂∂+∆∂∂ 定理（全微分充分条件）如果函数z=f(x,y)的偏导数x z ∂∂，yz∂∂在点(x,y)连续，则函数在该点可微分。

多元复合函数的求导法则1. 复合函数的中间便量均为一元函数的情形定理一如果函数u=ϕ(t)及v=ψ（t ）都在点t 可导，函数z=f(u,v)在对应点（u,v ）具有连续偏导数，则复合函数z=f[ϕ(t),ψ(t)]在点t 可导，且有vdtzdvudt zdu dt dz ∂∂+∂∂= 2. 复合函数的中间便量均为多元函数的情形定理二如果函数u=ϕ(x,y)及v=ψ（x,y ）都在点(x,y)具有对x 及对y 的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点（u,v ）具有连续偏导数，则复合函数z=f[ϕ(x,y),ψ(x,y)]在点(x,y)可导，且有xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 3. 复合函数的中间便量既有一元函数，又有多元函数的情形定理三如果函数u=ϕ(x,y)在点(x,y)具有对x 及对y 的偏导数，函数v=ψ（y ）在点y 可导，函数z=f(u,v)在对应点（u,v ）具有连续偏导数，则复合函数z=f[ϕ(x,y),ψ(y)]在点(x,y)的两个偏导数存在，且有xu uz x z ∂∂∂∂=∂∂，y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 全微分形势不变性设函数z=f(u ，v ）具有连续偏导数，则有全微分dz=dv vz dxu u z ∂∂+∂∂ 如果u 、v 又是x 、y 的函数数u=ϕ(x,y)及v=ψ（x,y ），且这两个函数也具有连续偏导数，则复合函数z=f[ϕ(x,y),ψ(x,y)]的全微分为dz=dy yz dx x z ∂∂+∂∂ 隐函数存在定理一设函数F(x,y)在点P （οοy x ,）的某一邻域内具有连续偏导数，且F （οοy x ,）=0，F y （οοy x ,）≠0，则方程F （x,y ）=0在点（οοy x ,）的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数y=f(x),它满足条件)(0o x f y =，并有yx F F dx dy-= 隐函数存在定理二设函数F(x,y,z)在点P （000,,z y x ）的某一邻域内具有连续偏导数，且F （000,,z y x ）=0，F y （000,,z y x ）≠0，则方程F （x,y,z ）=0在点（000,,z y x ）的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数y=f(x,y),它满足条件),(000y x f z =，并有zx F F x z-=∂∂,zy F F yz -=∂∂隐函数存在定理三设函数F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在点P （0000,,,v u y x ）的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，且F （0000,,,v u y x ）=0，G （0000,,,v u y x ）=0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi ）式）；vG u G v Fu F v u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),(),(则点P （0000,,,v u y x ）不等于零，则方程组F(x,y,u,v)=0、G(x,y,u,v)=0在点（0000,,,v u y x ）的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数u=u （x,y ）,v=v(x,y),它满足条件),(),,(000000y x v v y x u u ==，并有vu v u v x vx G G F F G G F F v x G F J x u -=∂∂-=∂∂),(),(1,vu v u xu xu G G F F G G F F x u G F J x v -=∂∂-=∂∂),(),(1,vu v u v y vy G G F F G G F F v y G F J y u -=∂∂-=∂∂),(),(1,vu v u y u yu G G F F G G F F y u G F J y v -=∂∂-=∂∂),(),(1,重积分二重积分定义设f(x,y)是有界闭区域D 上的有界函数，将闭区域D 任意分成n 各校闭区域,,,21n σσσ∆⋅⋅⋅∆∆其中i σ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积，在每个i σ∆上任取一点（i i ηε,），作乘积f （i i ηε,）i σ∆(i=1,2,3…,n)并作和∑=∆ni i i f 1),(σηε，如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D 上的二重积分，记作⎰⎰Dd y x f σ),(，即∑⎰⎰=→∆=ni iiDd y x f 1),(lim ),(σηεμσλ二重积分的性质性质一设βα.为常数，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+DDDd y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα),(),()],(),([性质二如果闭区域D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D 上的二重积分等于在个部分闭区域上的二重积分的和。

高等数学定积分定积分的性质

f ( x ) g ( x ) g ( x )
x, x Δ i
x , x Δ i
g i

Mif Mig .
于是
i T
fg
x i M i x i M x i
f
M i f xi M ig xi
i 1 i
n
i
J2

2

2
.
因此，f ± g 在 [ a, b ] 上可积, 且
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b
a
( f ( x ) g( x ))dx f ( x )dx g( x )dx .
a a
b
b
性质3 若 f , g 在 [a , b] 上可积，则 f g 在 [a , b] 上
c
b
注若规定 a b 时 a f ( x )dx b f ( x )dx , a b 时
i xi ix i i x i . T T T

因此, f 在 [a, b] 上可积. (必要性) 已知 f 在 [a , b ] 上可积, 则 0, T ,
使 i Δxi . 在T上加入分点 c 得到新的分割 T .
b
f ( )Δx f ( )Δx f ( )Δx .
i i T T i i T i i
令 T 0, 则 T 0, T 0, 即得

b a
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx .
a c b a
T T
T
T
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高数公式定理大全

高数公式定理大全一、导数和微分1.导数的定义：如果函数f(x)在点x0处可导，则函数f(x)在x0处的导数为：f'(x0) = lim(x→x0) (f(x) - f(x0))/(x - x0)。

2.常见函数的导数：（1）幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)。

（2）指数函数的导数：(a^x)' = a^x ln(a)，其中a是一个正实数。

（3）对数函数的导数：(ln x)' = 1/x。

（4）三角函数的导数：- (sin x)' = cos x。

- (cos x)' = -sin x。

- (tan x)' = sec^2 x。

- (cot x)' = -csc^2 x。

- (sec x)' = sec x tan x。

- (csc x)' = -csc x cot x。

3.高阶导数：函数f(x)的n阶导数可表示为：f^(n)(x) 或 d^n f / dx^n。

4.微分的定义：函数f(x)在点x0处的微分为：df = f'(x0) dx。

5.微分的性质：（1）微分与导数的关系：df = f'(x) dx。

（2）微分的加法性质：d(u + v) = du + dv。

（3）微分的乘法性质：d(uv) = u dv + v du。

（4）微分的链式法则：如果 y = f(u) 和 u = g(x)，则 dy/dx = dy/du * du/dx。

二、积分1.定积分的定义：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上有定义，且在[a, b]上可积，则记作∫(a→b) f(x) dx，表示从a到b的f(x)在x轴正方向的面积。

2.基本积分公式：（1）幂函数的积分：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数。

（2）三角函数的积分：- ∫sin x dx = -cos x + C。

高等数学定理及性质集锦

专升本高数定理及性质集锦1、数列极限的存在准则定理1（两面夹准则）若数列{x n},{y n},{z n}满足以下条件：（1），（2），则定理2 若数列{x n}单调有界，则它必有极限。

2、数列极限的四则运算定理（1）（2）（3）当时，推论：（1）（2），（3）3、当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是这就是说：如果当x→x0时，函数f（x）的极限等于A，则必定有左、右极限都等于A。

反之，如果左、右极限都等于A，则必有。

4、函数极限的定理定理1（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。

定理2（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）满足条件：（1），（2），则有。

5、无穷小量的基本性质性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。

性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。

性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。

6、等价无穷小量代换定理：如果当时，均为无穷小量，又有且存在，则。

7、重要极限Ⅰ8、重要极限Ⅱ是指下面的公式：9、（2）（3）10、函数在一点处连续的性质由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。

定理1（四则运算）设函数f（x），g（x）在x0处均连续，则（1）f（x）±g（x）在x0处连续，（2）f（x）·g（x）在x0处连续（3）若g（x0）≠0，则在x0处连续。

定理2（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x= x0处连续，y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=f[g（x）]在x= x0处连续。

定理3（反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f-1（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）11、闭区间上连续函数的性质在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。

高数介值定理的三个公式

高数介值定理的三个公式【提纲】一、高数介值定理简介高等数学中的介值定理是微积分学中的一个重要知识点，它揭示了函数在某一区间内的性质。

简单来说，高数介值定理是指如果一个函数在某个区间内满足某一条件，那么它在这个区间内就存在某一值，使得这个值满足我们所关注的性质。

这个定理在我们研究函数的性质和求解实际问题时具有重要意义。

二、高数介值定理三个公式详解1.布雷尔利（Bolzano）定理：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，并且f(a)与f(b)异号，则在(a, b)内至少存在一点c，使得f"(c) = 0。

2.拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在(a,b)内可导，则至少存在一点c∈(a, b)，使得f"(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。

3.罗尔（Rolle）定理：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，并且f(a) = f(b)，则在(a, b)内至少存在一点c，使得f"(c) = 0。

三、公式的应用实例1.利用布雷尔利定理求解函数的零点：给定函数f(x) = x^3 - 6x + 2，在区间[-2, 2]上连续，在(-2, 2)内可导。

由于f(-2) = -2 < 0，f(2) = 10 > 0，且f(-2)与f(2)异号，根据布雷尔利定理，可知函数在(-2, 2)内存在一点c，使得f"(c) = 0。

求解得到c ≈ 1.38，即函数在x ≈ 1.38处取得极小值。

2.利用拉格朗日中值定理求解函数的平均速度：设质点沿直线运动，从点A到点B的距离为d，用时为t。

若在这段时间内，质点运动的平均速度v = d/ t。

根据拉格朗日中值定理，在A、B两点之间存在一点C，使得v = (vA - vB) / (A - B)。

3.利用罗尔定理求解方程：给定函数f(x) = x^2 - 4x + 4，在区间[1, 3]上连续，在(1, 3)内可导。

高等数学概念定理推论公式

高等数学概念、定理、推论、公式※ 函数及图形·和的绝对值不大于各项绝对值的和； ·差的绝对值不小于各项绝对值的差； ·乘积的绝对值等于各项绝对值的乘积；·商的绝对值等于被除数及除数的绝对值的商。

·假设自变量x 在定义域X 内每获得一确定值时，函数只有一个确定值与之对应，这种函数叫单值函数；否那么就是多值函数。

·假设函数y=f(x)当x 改变符号时函数值也只改变符号，即F(-x)=-f(x)，此函数叫奇函数，奇函数对称于原点；假设x 改变符号，函数值不变，即f(-x)=f(x)，即为偶函数，偶函数对称于y 轴。

·反函数的图形与直接函数(原函数)的图形对称于直线y=x※ 数列的极限及函数的极限·假如数列收敛，必然是有界的； ·有界的数列不必然都是收敛的； ·无界数列必然是发散的。

·假如0lim ()x x f x A →=，而且A >0(或A <0)，那么就存在着点x 0的某一邻域，当x 在该领域内，但x ≠x 0时，f(x)>0(或f(x )<0)。

·假如f(x)≥0(或f(x)≥0)，而且0lim ()x x f x A →=，那么A ≥0(或A ≤0)。

·函数f(x)当x →x0时极限存在的充分必要前提是左右极限都存在且相等。

·假如函数()f x 为无穷大，那么1()f x 为无穷小；反之亦然(()f x ≠0)。

·具有极限的函数可表示为等于其极限的一个常数及无穷小的和；反之，假如函数可表示为常数及无穷小，那么该常数就是函数的极限。

·有限个无穷小的和(代数和)也是窥小。

·有界函数与无穷小的乘积是无穷小，(常数乘以无穷小为无穷小，有限个无穷小的积是无穷小)。

·以极限不为零的函数除无穷小所得的商是无穷小。