Strongart数学笔记：代数几何概型学习指南

Hartshorne代数几何概型部分学习指南(2014-04-1614:30:14)

在Hartshorne的著名教科书《代数几何》中，有这样一段话“对于代数几何来说，毋庸置疑，概型的引入是一种革命，给代数几何带来了巨大的进步。但是，跟概型打交道的人们必须背负相当沉重的技术包袱，例如层、Abel范畴、上同调、谱序列等等”，同时他的代数几何教科书只能说是瑕瑜互见，使得很多初学者对于代数几何的概型理论望而生畏，下面Strongart教授就来科普一下代数几何中概型理论。

约定：本文中的环指含有单位元1的交换环，k表示特征为零的域，必要时就作为基域。

首先，我们遇到的第一个障碍就是层（sheaf），实际上层这个概念并不难理解，但很多书都在预层与层之间做技术性讨论，就好比是学微积分之前就先钻研点集拓扑，自然会让初学者感觉一头雾水。实际上，层就是在拓扑空间的开集族上定义的到Abel群（或其他良好代数对象）的映射，可以视为拓扑流形上连续函数的公理化，后者不但说明了层这个

概念的直观来源，同时还反映从局部性质到整体行为的基本目的，

代数几何中对应的“拓扑流形”是交换环的局部环层空间（ringed space）.所谓环层空间，就是指拓扑空间X与其上的环层O_X组成的对(X,O_X)，其中O_X就是X上的结构层。假若O_X在各个茎上是局部环，那么它就称为局部环层空间。给定一个交换环R，其局部环层空间就是取X=Spec R，其环层由交换环R的素谱Spec R上给定，在各个茎上由环的局部化给出，这样对应的(Spec R,O_Spec R)又称为仿射概型，它在概型上起到了类似流形上坐标卡的作用。

X是概型，就是指局部环层空间，即对任何x∈X，存在X的邻域U，使得（U，O_U）同构于仿射概型。概型之间的态射可以通过局部环层空间的态射定义。环层空间的态射f：（X，O_X）→（Y，O_Y）则是包含着两个要求：首先f：X→Y是环同态；其次是环层映射f#：O_Y→f*O_X，它满足对任何x∈X，y=f(x)，则f#在各茎上诱导局部环之间的同态f_x：（O_(Y,y)，M_y)→（O_(X,x)，M_x).

下面我们看概型的若干性质，它们大都来自于环的代数或（Krull）拓扑。来自于代数的概念有：概型（X，O_X）是既约的（或整的），若对X的任何开集U，O_X（U）是

既约环（或整环）；来自于拓扑的概念有：概型（X，O_X）是不可约的，若X是不可约的。我们有概型是整的iff它是约化的且不可约的。这个命题可以直观的理解为：无零因子iff无aa=0型因子且无ab=0型因子。

拓扑空间是Noether的，若它满足闭集的降链条件，它使得Noether概型只有有限多个不可约分支。概型（X，O_X）是Noether的，若它由有限个仿射开集U_i=Spec A_i组成的开覆盖，其中各A_i是Noether环。仿射概型X=Spec R是Noether的iff R是Noether的，这正好是Noether概型的降链条件与Noether环的升链条件之间的转化。

一般情况下，Noether概型的底拓扑空间是Noether的，但反之不然，非Noether环也可能有Noether的仿射概型。典型的例子是R=k[x_1,x_2,…]/((x_1)^2,(x_2)^2,…）的仿射概型只有一点极大理想（x_1,x_2,…），但它却不是Noether环，这里的非Noether性是通过根基引入的。此外，在赋值维数＞1的赋值环都不是Noether的，但由于赋值环的谱是全序的，它所对应的仿射概型一定是Noether的。

约定：下文中的概型若无特殊声明，均为Noether概型。

拓扑空间X的Krull维数指使得X的不同不可约闭子集链Z_0≤Z_1≤…≤Z_n的最大的n.概型（X，O_X）的维

数就是指其底拓扑空间的维数。对于仿射概型而言，它是维数就是对应环的Krull维数。遗憾的是，概型维数的良好性质在一般只在域上的有限整概型中得到保持，超过这个范围就会出现一些奇怪的现象。比如令R是剩余域为k的DVR，其极大理想m=(u)，那么在概型X=Spec R[t]内就存在开集U=Spec R[t]_(u)，使得2=dim X≠dim U=1，这里的维数损失源于交换环的局部化。

从概型的拓扑空间，我们可以得到开子概型与闭子概型的概念。开子概型相对比较简单，就是把概型的拓扑空间与结构层限制在开集上。而概型Y是概型X的闭子概型，要求拓扑空间Y是X的闭子集，同时自然包含映射i：Y→X在X上的层诱导映射i#：O_X→i*O_Y是满的。若f：Y→X诱导出Y与X上闭子概型的同构，则f称为闭浸没。对X=Spec （R），I是R的理想，我们知道Spec(R/I)与包含I的素理想集V（I）一一对应，它可以由商映射R→R/I诱导，同时使得Spec(R/I)是Spec(R)的闭子概型。

比开与闭子概型更一般的结构，就是所谓概型上的概型。给定概型S，那么概型X与态射X→S称为S上的概型。若X→S与Y→S都是S上的概型，那么我们有X与Y在范畴意义下的纤维积X×_(S)Y→S。在仿射的情形下，纤维积对应于环的张量积，即若X=Spec A，Y=Spex B，S=Spec R，则X×_(S)Y=Spec（A⊙_(R)B）.概型的态射f：Y→S称为

闭的，若f（Y）在S内的闭的。若对任何基态射X→S，对应的纤维积映射X×_(S)Y→S都是闭的，则f称为万有闭的。

显然，万有闭态射一定是闭的，但反之不然，我们有著名的“双曲线反例”，就是说A^1映到一点{x}的态射是闭但不是万有闭的，这是因为投影A^1×_(k)A^1→{x}×A^1≌A^1就不是闭的，其闭集xy=1的像不是闭集。后面我们还会看到，这个例子实际上说明了有限型分离态射可以不是本征态射（proper morphism）。

下面我们看概型之间的态射，很多不同态射都有类似的典型性质，对此我们可以做一个系统的总结。由此出发，我们定义P是概型的好态射，若它满足：

1）闭浸没满足P

2）P在复合下稳定

3）P在基替换下稳定

在[2]的习题4.8说明了，好性质P还满足：

4）P在纤维积之下稳定

5）设f：X→Y，g：Y→Z是态射，其中g是分离的，若f·g满足P，则f满足P.

6）若f：X→Y有性质P，则对应约化概型的约化态射f_red：X_red→Y_red也有性质P.

典型的好态射家族包括有限态射、分离态射、本征态射