求有限域Fp上多项式周期的一种实用算法
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．
］ 若存在最小正整数 ｆ ， 使得－ Ｉｌ１ 厂 － ， ）Ｘ
则称 ｆ 厂 ） 为 （ 的周 期 ， Ｐ（ ） ｆ 即 厂 ＝． 事 实上 ， ） 厂 的周 期 总是存 在 的 ．
引理 １ 设 厂 是 ） ］ 常数项 不等 ０的多项 式 ， 中 则可 以经 过有 限步 彻底 分解 为 － 厂 ） （ ） （） ” ，
．
由此可知： 对不可约多项式－ ， 厂 ）满足／０ ≠０时， （ （） 不妨设 ｄｇ ）＝ ， ｅ ） 则从任一初始状态 （ 本文统一设
收 稿 日期 ：２ ０ — ８ １ ０８０—８ 基 金 项 目：国家 自然 科 学 基 金 资 助 （０ ０ ０ ３ １５ １５ ）
作者简介：王
鑫 （９ ３ ） 男， １ ８一 ， 陕西汉中人， 硕士， 研究方 向为代数学
加 上连 续 脉冲 ， 可输 出序 列 （ ｎ， ， ，ｋ…） 其 中 ａ＝ Ｃａ ， ｃ ∈ ， ≥ｎ ．称 厂 ： ＋ ＋ ｚ ＋ ，１ … ａ， ， ｋ ｉ （ ， ｋ ） ｋ ） １ ｃ Ｃ …＋ Ｘ Ｘ
ｃ ｎ＋ 为 该移位 寄存 器序 列 的 联接 多 项 式 ， －ｃ ， 也称 ＿ 产 生 该序 列 ．若 设 ． 为序 列 的全 部 联接 多项 厂 ） ， （
５， １ｓ， ， … ， （ … ０Ｓ，２… Ｓ， ．
必满足 （： 。且 Ｊ， ｌ ２… ， （ 两 两不 同 ． Ｊ， ｓ ．， ， 小。 ）ｓ ０ｓ Ｓ
反之 ， 若设 ｆ 是满 足 Ｓ Ｓ 的最 小 正整 数 ， 么 （） Ｉ。 ＝ 那 ０ 是周 期为 Ｚ 的周 期序 列 ．
式 构成 的集 合 ， ． 构成 则 ， （ ］ 的一 个 非零理 想 ， 其生成 元 ｍ （） 为序 列 ａ的极小 多项 式 ． ｏｘ 称
本文 中讨 论 的 多项式 的最 高项 系数 都约 定 为 １ ． 定 义 １ 给 定一 个 次数 ≥１且 常数 项 非 ０的多项 式 厂 ∈ … ）
引理 ４】 设 ｎ级 移位 寄存 器序 列 ＝（ ， 。 ， … ，ｋ…） ｔ ａ ａ，２ ａ， ．如 果其 周 期 为 Ｐ（） 记序 列 的连续 ｎ个 分 ｏ ａ， ，
量 构 成 的状 态 ＝ａ，ｋ，ｋ， ， （ｋａ＋ａ … ．
） ｋ ０ １２ … ， 么状 态序 列 ，＝ ，， ， 那
关键词 ： 多项式； 周期 ； 线性移位寄存器
中 图分 类 号 ：０ １４１ ７ ． ４ 文 献标 识 码 ：Ａ
在现 代密码 学 中 ， 多项 式 的周期性 质 对密 码 体制 的安全 至关 重要 ． 文献 ［］ 出 了 １给 出多项式 在准 确 高效分 解 的基础 之上 ， 避免 整数 分解 和模 运算 而得 到其 周 期 ． 可
］ ｔ 两 两 不 同的 不 可约 多项 式 ， ｅ是 整 中 个 而
Ｐ ） ＝
）Ｐ ） …， （ ］ ｒｎｐ ｌ ≥ ｉ１２ …， ． ， ， Ｐｆ ￣ ｉ（ ｐ ＝ ， ， ￡ ） ａ ）
定 义 ２ 给 定 上 的一 个无 限序列 ｎ （ｏ０， … ， …） 若存 在正 整 数 Ｚ使得 ＝ 对 一 切 非 负整 ＝ａ， 啦， 嘶， ， ， ，
妇所得结果即是厂的周期易得导数厂匕匕爿冉鬈矩阵则??国一行变换匕匕剐帆帆万方数据河南科学第卷第期且慨又因为戈计算后可得菇计算知对于其初始状态为而故对于正剐拟初始状态为而故对于石爿慨其初始状态为且故如计算故妒结束语本文通过检测多项式的不可约因式所产生的序列的状态得出了多项式的周期如果设多项式的最终分解式共有个不可约因式且平均每个不可约因式与初始状态每一次比较的运算时间为记厶为需要比较的次数则总的检测时间仅为实验表明相比文献中的算法本文给出的算法简单高效且计算量少用计算机语言实现也比较容易参考文献万哲先代数与编码北京科学出版社徐俊彪计算机实现多项式分解的一种实用算法福建电脑吴仕文移位寄存器序列郑州电子技术学院矗万方数据
２ 多项式周期 的计算方法 与实现
定理 对 上 的多项 式 ） 设 经 过彻 底 分解 后 有 厂 ＝ｌ（ ｚ ・ ， ）ｆ。 ）・ ， ） 其 中 ） Ｆ ］ ｔ ， 是 ｐ 中 个
第２ ６卷 第 １ 期 ２
２０ 年 １ ０８ ２月
河
南 科
学
Ｖ０ ．６ Ｎｏ １ １２ ．２
Ｈ ＥＮＡＮ Ｓ ＥＮＣＥ ＣＩ
Ｄｅ ． ０ ８ Ｃ ２ ０
文 章 编 号 ：０ ４ ３ １ （０ ８ １ — ４ ６ ０ １０ — ９ ８ ２ ０ ） ２ １５ — ３
求有 限域 上 多项式周期 的一种 实用算法
其 中 （） 是
］ ｔ 两 两不 同 的不可 约 多项式 ， ｅ是整 数 ， １２ … ，． 中 个 而 ｉ ，， ｔ ＝
具 体分解 方 法见 文献 ［］ ２．
引理 ２ 若 有 － 厂 ） （
数 ，＝ ， ， ，．那 么 ｉ１ ２ … ｔ
ｚ ・ （） 其 中 ） ）・ ， 是
］ 中零 次 项不 为
０的 多项式 周 期 的一种 计 算方 法 ， 中涉 及整 数 的标 准 分解 和 大量 的模 运算 ， 其 本文 对 该算 法 进行 了改进 ， 指
１ 预 备 知 识
Ｐ元 ｎ级线 性移 位寄存器 由 个 串联 的寄存器 、 乘法 器和 开关 电路构 成 ， 给一 个初态 （ ａ， 一， 任 ， ｚ…， ）
吴 仕义 （９ ４ ） 男 ， 西 九汀 人 ， 授 ． 】６ 一 ， 汀 教
２０ ０ ８年 １ ２月
王
鑫等 ：求有限域 上多项式周期的一种 实用算法
一１ ５ 一 ４７
为（， ， １出发， ） ００ … ） 以 为联接多项式的线性移位寄存器序列的周期就等于 ） 的周期．
数 ｋ 同时满足上述要求 的最小正整数 叫做序列 ａ的周期， ， 记作 Ｐ ， （ ＝ ｉ（ｌ ＝ｋ ＝ ， ， ． （ 即Ｐ ｎ ｒｎ ｆ ）ａ ａ， ｌ２ …） ｋ
引理 ３ ｌ 若 ） ＿ ３ 为 上 的不可约 多 项式 ） 次数 ｄｇ ）≥１ 则 任何 以 （） 的 ｅ ） ， 为联 接 多项式 的 非零 序 列 ａ的极小 多项 式为 厂 ， 且 Ｐ（） ｐ厂 ．鲁 晓斌 ， 贾利新
（ 息 工 程 大 学 电 子技 术 学 院 ，郑 州 信 ４００） ５ ０４
要 ：利用有 限域 上线 性移 位寄存 器序 列的状态转移 变换 ， 多项式周 期的计算方 法 ．计 算结果表 明， 求 算法
简单可行 ， 易于实现 ．
］ 若存在最小正整数 ｆ ， 使得－ Ｉｌ１ 厂 － ， ）Ｘ
则称 ｆ 厂 ） 为 （ 的周 期 ， Ｐ（ ） ｆ 即 厂 ＝． 事 实上 ， ） 厂 的周 期 总是存 在 的 ．
引理 １ 设 厂 是 ） ］ 常数项 不等 ０的多项 式 ， 中 则可 以经 过有 限步 彻底 分解 为 － 厂 ） （ ） （） ” ，
．
由此可知： 对不可约多项式－ ， 厂 ）满足／０ ≠０时， （ （） 不妨设 ｄｇ ）＝ ， ｅ ） 则从任一初始状态 （ 本文统一设
收 稿 日期 ：２ ０ — ８ １ ０８０—８ 基 金 项 目：国家 自然 科 学 基 金 资 助 （０ ０ ０ ３ １５ １５ ）
作者简介：王
鑫 （９ ３ ） 男， １ ８一 ， 陕西汉中人， 硕士， 研究方 向为代数学
加 上连 续 脉冲 ， 可输 出序 列 （ ｎ， ， ，ｋ…） 其 中 ａ＝ Ｃａ ， ｃ ∈ ， ≥ｎ ．称 厂 ： ＋ ＋ ｚ ＋ ，１ … ａ， ， ｋ ｉ （ ， ｋ ） ｋ ） １ ｃ Ｃ …＋ Ｘ Ｘ
ｃ ｎ＋ 为 该移位 寄存 器序 列 的 联接 多 项 式 ， －ｃ ， 也称 ＿ 产 生 该序 列 ．若 设 ． 为序 列 的全 部 联接 多项 厂 ） ， （
５， １ｓ， ， … ， （ … ０Ｓ，２… Ｓ， ．
必满足 （： 。且 Ｊ， ｌ ２… ， （ 两 两不 同 ． Ｊ， ｓ ．， ， 小。 ）ｓ ０ｓ Ｓ
反之 ， 若设 ｆ 是满 足 Ｓ Ｓ 的最 小 正整 数 ， 么 （） Ｉ。 ＝ 那 ０ 是周 期为 Ｚ 的周 期序 列 ．
式 构成 的集 合 ， ． 构成 则 ， （ ］ 的一 个 非零理 想 ， 其生成 元 ｍ （） 为序 列 ａ的极小 多项 式 ． ｏｘ 称
本文 中讨 论 的 多项式 的最 高项 系数 都约 定 为 １ ． 定 义 １ 给 定一 个 次数 ≥１且 常数 项 非 ０的多项 式 厂 ∈ … ）
引理 ４】 设 ｎ级 移位 寄存 器序 列 ＝（ ， 。 ， … ，ｋ…） ｔ ａ ａ，２ ａ， ．如 果其 周 期 为 Ｐ（） 记序 列 的连续 ｎ个 分 ｏ ａ， ，
量 构 成 的状 态 ＝ａ，ｋ，ｋ， ， （ｋａ＋ａ … ．
） ｋ ０ １２ … ， 么状 态序 列 ，＝ ，， ， 那
关键词 ： 多项式； 周期 ； 线性移位寄存器
中 图分 类 号 ：０ １４１ ７ ． ４ 文 献标 识 码 ：Ａ
在现 代密码 学 中 ， 多项 式 的周期性 质 对密 码 体制 的安全 至关 重要 ． 文献 ［］ 出 了 １给 出多项式 在准 确 高效分 解 的基础 之上 ， 避免 整数 分解 和模 运算 而得 到其 周 期 ． 可
］ ｔ 两 两 不 同的 不 可约 多项 式 ， ｅ是 整 中 个 而
Ｐ ） ＝
）Ｐ ） …， （ ］ ｒｎｐ ｌ ≥ ｉ１２ …， ． ， ， Ｐｆ ￣ ｉ（ ｐ ＝ ， ， ￡ ） ａ ）
定 义 ２ 给 定 上 的一 个无 限序列 ｎ （ｏ０， … ， …） 若存 在正 整 数 Ｚ使得 ＝ 对 一 切 非 负整 ＝ａ， 啦， 嘶， ， ， ，
妇所得结果即是厂的周期易得导数厂匕匕爿冉鬈矩阵则??国一行变换匕匕剐帆帆万方数据河南科学第卷第期且慨又因为戈计算后可得菇计算知对于其初始状态为而故对于正剐拟初始状态为而故对于石爿慨其初始状态为且故如计算故妒结束语本文通过检测多项式的不可约因式所产生的序列的状态得出了多项式的周期如果设多项式的最终分解式共有个不可约因式且平均每个不可约因式与初始状态每一次比较的运算时间为记厶为需要比较的次数则总的检测时间仅为实验表明相比文献中的算法本文给出的算法简单高效且计算量少用计算机语言实现也比较容易参考文献万哲先代数与编码北京科学出版社徐俊彪计算机实现多项式分解的一种实用算法福建电脑吴仕文移位寄存器序列郑州电子技术学院矗万方数据
２ 多项式周期 的计算方法 与实现
定理 对 上 的多项 式 ） 设 经 过彻 底 分解 后 有 厂 ＝ｌ（ ｚ ・ ， ）ｆ。 ）・ ， ） 其 中 ） Ｆ ］ ｔ ， 是 ｐ 中 个
第２ ６卷 第 １ 期 ２
２０ 年 １ ０８ ２月
河
南 科
学
Ｖ０ ．６ Ｎｏ １ １２ ．２
Ｈ ＥＮＡＮ Ｓ ＥＮＣＥ ＣＩ
Ｄｅ ． ０ ８ Ｃ ２ ０
文 章 编 号 ：０ ４ ３ １ （０ ８ １ — ４ ６ ０ １０ — ９ ８ ２ ０ ） ２ １５ — ３
求有 限域 上 多项式周期 的一种 实用算法
其 中 （） 是
］ ｔ 两 两不 同 的不可 约 多项式 ， ｅ是整 数 ， １２ … ，． 中 个 而 ｉ ，， ｔ ＝
具 体分解 方 法见 文献 ［］ ２．
引理 ２ 若 有 － 厂 ） （
数 ，＝ ， ， ，．那 么 ｉ１ ２ … ｔ
ｚ ・ （） 其 中 ） ）・ ， 是
］ 中零 次 项不 为
０的 多项式 周 期 的一种 计 算方 法 ， 中涉 及整 数 的标 准 分解 和 大量 的模 运算 ， 其 本文 对 该算 法 进行 了改进 ， 指
１ 预 备 知 识
Ｐ元 ｎ级线 性移 位寄存器 由 个 串联 的寄存器 、 乘法 器和 开关 电路构 成 ， 给一 个初态 （ ａ， 一， 任 ， ｚ…， ）
吴 仕义 （９ ４ ） 男 ， 西 九汀 人 ， 授 ． 】６ 一 ， 汀 教
２０ ０ ８年 １ ２月
王
鑫等 ：求有限域 上多项式周期的一种 实用算法
一１ ５ 一 ４７
为（， ， １出发， ） ００ … ） 以 为联接多项式的线性移位寄存器序列的周期就等于 ） 的周期．
数 ｋ 同时满足上述要求 的最小正整数 叫做序列 ａ的周期， ， 记作 Ｐ ， （ ＝ ｉ（ｌ ＝ｋ ＝ ， ， ． （ 即Ｐ ｎ ｒｎ ｆ ）ａ ａ， ｌ２ …） ｋ
引理 ３ ｌ 若 ） ＿ ３ 为 上 的不可约 多 项式 ） 次数 ｄｇ ）≥１ 则 任何 以 （） 的 ｅ ） ， 为联 接 多项式 的 非零 序 列 ａ的极小 多项 式为 厂 ， 且 Ｐ（） ｐ厂 ．鲁 晓斌 ， 贾利新
（ 息 工 程 大 学 电 子技 术 学 院 ，郑 州 信 ４００） ５ ０４
要 ：利用有 限域 上线 性移 位寄存 器序 列的状态转移 变换 ， 多项式周 期的计算方 法 ．计 算结果表 明， 求 算法
简单可行 ， 易于实现 ．