巧构椭圆模型妙解题
打破常规巧设元 妙解高考竞赛题
．④ ． ． ，垂 足 为 Ｄ ，可
一
在 ＲＡ Ｑ 中 ， 由 Ｏ ｔＯ ￣ Ｄ上
迹 方程 ．虽 然在 解法 二 中巧 妙 地 利 用 向量 的运 算 结 果直 接可 得 到直 线 Ｏ Ｄ和直 线 Ｑ ２ ｌ 的方程 ， 免 了解 Ｑ 避 法一 中 是否 为 ０的分 类 讨论 ，但 是 消元 的技巧 性
一
（ ｂ＞０ 的左 、右 焦 点分 别为 ， ， 是 椭 圆上 的 ａ＞ ）
１
一
点， 点０ 直 的 离 １， 原 到 线 距 为￣ Ｆ． ＯＩ
Ｊ
Ｏ ：０的充 要条 件 是 ： Ａ．
（： ． 口 ＜６ ）
１ ９。— ａ 一 —
（ ）证明日 √ ； Ｉ ：
２ １ 年第 １ 期 ００ １
福建 中学数学
４ ７
定 理 ２ 已知双 曲线 Ｃ：
一 ＝ｌ （ ａ＞０ ｂ ） ， ＞０ ，
１。 ９。
（ ０ ７ 高 考天 津 卷 理 科 ２ ） ２０ 年 ２ 设椭 圆 ＋ ＝
ｄ
ａ。 。
设直 线 ， 圆 ０ ：Ｘ ＋ ＝ｒ 上动 点 Ｐ ， ） Ｙ ≠０ 是 。 ｏ ） 处 的切 线 ，， 双 曲线 ｃ交于 不 同的 两点 Ａ ，Ｂ ． 与 则
还是 较 强 ，运 算量 还 是 很 大 ，解 题策 略还 是 摆 脱 不 了解 决 解 析 几何 问题 的思 维 模 式 ．更何 况 在 一 般 情 况 下 ， 我们 习惯 是 设 所 求 轨 迹 中动 点 Ｄ 的 坐 标 为 （ ），因此解 题 的实 际情 况 是 可想 而 知 ． ， 既然最 后一步 都 要利 用到 关系 式 ＋ＹＹ ：０， ｔ
巧构椭圆模型妙解题.
巧构椭圆妙解题江苏泰兴市第二高级中学 叶玉明数学模型是采用数学语言表达数量关系，近似地表达出一种数学结构，它是解决数学问题的一种重要途径，其中构造椭圆模型解题就是比较典型的一类解题方法。
一、巧借椭圆模型求三角函数值例1. 已知在ABC ∆中，存在条件10,8AC BC AB +==, 试求tan tan 22A B 的值。
解：由圆锥曲线的定义可知：C 的轨迹为椭圆。
如上图所示：设椭圆的长轴为 2a ，焦距为2c ，则由正弦定理知()sin sin sin BC AC AB A B A B ==+ 22sin sin sin()a c A B A B ∴=++(合比定理，椭圆定义)即sin()4sin sin 5A B c A B a +==+，2sincos 42252sin cos 22A B A B A B A B ++∴=+- 化简得tan tan 22A B 19=二、巧借椭圆模型求值域例2.求函数y =解：设u v ==(2221604,0u v u v +=≤≤≤≤y u v =+所给函数可化为以y 为参数的直线方程v u y =-+，它与椭圆22216u v+=在第一象限的部分（包括端点）有公共点如上图，min y =；当直线与椭圆相切时，y 取最大值，由2222342160216v u y u yu y u v =-+⎧⇒-+-=⎨+=⎩ 由0∆=得y =±，由题意知maxy =所以函数的值域为⎡⎣ 三、巧借椭圆模型解证不等式或恒等式例3. 设0a b >>,2a ≤ 分析：若考虑用分析法证此不等式，则显得较繁，不易证出。
但采用椭圆模型则简洁明了。
证明：构造椭圆()222210x y a b a b +=>>可设两点()()cos ,sin ,cos ,sin A a b B a b ααββ ，则所证不等式的左端为椭圆上A,B 两点间的距离，显然2AB a ≤恒成立。
高考数学椭圆大题技巧
高考数学椭圆大题技巧高考数学椭圆大题技巧一、设点或直线做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。
其中点可以设为等，如果是在椭圆上的点，还可以设为。
一般来说，如果题目中只涉及到唯一一个椭圆上的的动点，这个点可以设为。
还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。
对于一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式,如果不与x轴平行，可以设，如果只是过定点，可以设参数方程，其中是直线的倾斜角。
一般题目中涉及到唯一动直线时可以设直线的参数方程。
二、转化条件有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。
对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。
比如点在圆上可以转化为向量点乘得零，三点共线可以转化成两个向量平行，某个角的角平分线是一条水平或竖直直线则这个角的两条边斜率和是零。
有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单。
三、代数运算转化完条件就剩算数了。
很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都是这样。
有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式，设参数方程时，弦长公式可以简化为解析几何中有时要求面积，如果O是坐标原点，椭圆上两点A、B坐标分别为和，AB与x轴交于D，则(d是点O到AB的距离;第三个公式是我自己推的，教材上没有，解答题慎用)。
解析几何中很多题都有动点或动直线。
如果题目只涉及到一个动点时，可以考虑用参数设点。
若是只涉及一个过定点的动直线，题目中又涉及到求长度面积之类的东西，这时设直线的参数方程会简单一些。
在解析几何中还有一种方法叫点差法，设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，整理即可得到这两点的中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式。
四、能力要求做解析几何题，首先对人的耐心与信心是一种考验。
构建几何模型妙解最值问题
件考虑不周造成 的失误 ， 还有利于沟通教 圆心 Ｐ 一） Ｏ，２到切线 －ｙ ２ ＝ ４＋ ０ ０距离等
学 的各个分支 ， 深化思维 ， 全面提 高学生 于半径 ，１２ ｌ４ （２ ＋ ０ ｚ ￣ ｘ － ｘ － ）２ －ｌ 整理 可 ３ １ ５
，
厂Ｐ． Ｂ ｆ ＼
，
ｙ＝ ｉ Ｏ ５ｓｎ 一２
求点 Ｐ ． Ｖ￣ （ ３ ＋ ／ －）（ １一 从而 ＇ ｂ ） Ｎ（ ２＋ －） －！ ａ ２ｂ ２
的最小值为ｌＢ ￣—－ ）—－） ２ ／ 。 Ａ ［ ／２０％ １３ ＝ （ （ ｚ＝ 、 评 注： 代数中的二元二 次方程 ， 常管
） 助于建立圆锥 曲线模型转化 为几何 问题 ～＝ 解决 。在研究代数问题时 ， 立解析几何 建
告
构 建 几 何 模
赵 德 斌
置
数形结合多角度思维 ， 是开拓思路 提 最值 问题又成为 求这些平行线 中与已知
例２ ．已知 ｎ６满足 ４２８ ６，试求 ， ａ＝ — 。
高解题 能力的有效途径。 通过 挖掘问题 的 圆 有交点的直线 在 Ｙ轴上 的截距最 大或 、 ／ 几何意义 ， 构建出其 几何模型 ， 数形结合 ， 最小的问题。由图可观察到 ， 这一簇平行
、 ．
思路 １如 右图 ， ： 易知方程 ＋ ＋ 为 ３ ＋ ０ ５ ， 一 ０ １ ～厂 最小值为 ３— Ｏ 一 ０ １、 。 ４一 ０ ０表示以 Ｐ１一 ） ｙ２＝ （，２为圆心 ， 半径 为 ５
的圆。 因为 ； 满足方程 ｚ＋ 一 ｘ ４ 一 ０ ｙ ｚ ２ ＋ｙ ２ ＝
０则 ＋ ， ｚ 的最值即在圆上找到两个点到
ｒ／ —
一
原点的距离平方的最值 。 根据圆的相关性
活用椭圆的三种定义妙解题
特生""浬化解题篇经典题突破方法高二数学2020年12月活用椭圆的三种定义妙解题■湖北省黄冈中学蔡盛在高考中，对圆锥曲线的考查大多集中在定义、通性通法上，因此，活用圆锥曲线的定义、掌握圆锥曲线的通性通法是备考圆锥曲线章节的重中之重"定义是数学最本质、最基础的知识！旦又往往是最容易被同学们忽视的知识，下面从椭圆的定义出发，谈谈活用椭圆的三种定义妙解题°一、椭圆的第一定义及其应用椭圆的第一定义：平面内与两个定点=1=2的距离之和等于常数(大于|=1=2|&的点的轨迹是椭圆"根据椭圆的第一定义可得：若P为椭圆上的点，则有|P=1|+|P=2 =2&"应用第一定义可解决椭圆上的点与两个焦点的距离和问题，椭圆的第一定义在解题中应用十分广泛，值得研究、归纳"!!已知A(—1,0),并且点B是圆=：($—1)2+y2=8(=为圆心&上一动点，线段AB的垂直平分线交B=于点P,求动点P的轨迹方程°思路点拨：本题考查用定义求轨迹，关键是要得到动点P与定点A、=的距离和为定值"解析：由题意知A在圆=内部，则|B= >|A=|，故P在线段B=上°所以|PA|+|P=|=|PB|+|P=|= |B=|=22>|A=|"由椭圆的第一定义可知：点P的轨迹是以A,=为焦点的椭圆°设椭圆的标准方程为3+y—=1(&>/>&b0),则2&=2—,2c=2,&=—,：=1,/2=1"故点P的轨迹方程为2+y2=1°!2点p为椭圆=+12=1(&>b>&b0)上一点(P不为长轴端点&,=1、=2是椭圆的左、右焦点,且B=1P=2=",试用&,b,"表示△=1P=2的面积°思路点拨:在△=P=2中！#=1|+ |P=2|=2&,|=1=2|=2：,B=1P=2="°根据余弦定理易得|P=1||P=2|,由3卫严2= 1|P=1||P=2|sin"可得到面积°解析：不妨设|#=1|=—,|#=2|=”,则—+”=2&°在△=P=2中,由余弦定理可得：(2c)2=—2+”2一2—3cos a°整理得(2c)2=(—+3)2一2—3一2—”cos a=4&2一2—3(1+cos a)°”“2b b2解得—n==------------°丄十cos a2acos—1a 所以 S△=p==可—n sin a=b2tan—°12/乙!#椭圆$2+3=1的右焦点为a o=2,直线y=$+—与椭圆交于A,B两点,若△=2AB的周长的最大值是8,求—的值°思路点拨:△=2AB是与焦点有关的三角形,联想到第一定义,可以为求最值提供帮助,三角形中求最值一般利用三边关系就能顺利解决问题°解析：设左焦点为=1，连接A=1，B=1°显然|A=1|+|B=1|%|AB|(当且仅当A, B,=1共线时取等号),故厶=2AB的周长为|=2A|+|AB|+|=2B|$|=2A|+|A=1|+ |B=1|+|=2B|=4&,当且仅当直线AB经过点=1时取到等号,此时一—=—c,即—= :°△=2AB的周长的最大值是8,故4&=8, &2,—/&231°!$=1、=2分别是椭圆$2+y2=1a b (&>b>0)的左、右焦点,过原点的直线与椭圆交于A,B两点，且A=2丄B=2,记B AB=2 =a,若a0，寻,4-,求椭圆离心率的取值范围。
巧用椭圆定义解决数学问题
巧用椭圆定义,解决数学问题湖南省邵阳市第十一中学谢林宁尹阳鹏定义揭示了问题的本质属性，有些数学问题若能构造定义来解题，则可巧妙地化难为易，本文通过三个方面来说明椭圆定义在解题中的一些应用．一、利用椭圆定义来解方程、不等式若椭圆的方程22222221,(0,0,)x ya b a c a b ca b+=>>>>=+，设(,)P x y是椭圆是一2.a=故有：222221x yaa b=⇔+=,并由此可得：222221x yaa b≥⇔+≥222221x yaa b≤⇔+≤例1、4.=24.(1).y==由①式有2221,24,41 3.c a b a c===-=-=22211, 1.431633x y xx+=+==±则有即解得例28.≥28.(6).y≥=由②式可知，2222,28,16412.c a b a c===-=-=22261, 1.16121612[22,).x y xx x+≥+≥≥≤-∞-+∞则有即解得所以不等式的解集为(-,评析：以上两例都含有较为复杂的无理式，常规方法是两次平方去根号来解题，则较为繁杂，计算上难免不出错，但巧妙运用椭圆的定义，变无理式为有理式，使问题大大简化。
二、 利用椭圆定义来解三角问题例3、已知在ABC ∆A B 中,|AC|+|BC|=10,|AB|=8,试求tan tan 的值.22解：由题意，因为|AC|+|BC|=10,|AB|=8,所以可构建如右图所示的椭圆模型，设椭圆的长轴为2,a 焦距为2c ． 则||||||(sin sin sin BC AC AB A B C==正弦定理) 22(sin sin sin()sin()4.sin sin 52sin cos 4422,cos cos .52522sin cos 221sin sin [cos cos ]122222tan tan 1229cos cos [cos cos ]22222a c A B A B A B c A B a A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ∴=+++==++++-∴==+-++--===+++合比定理,椭圆定义).即即则 评析：对定义的熟练掌握和丰富的想象力是解决此题的前提，数形转化思想是数学中一种重要的思想．三、 椭圆定义在判断方程所表示曲线中的灵活运用例４、已知(,)P x y ，,,x y R ∈1|2|,2x y =+-试判断点P 的轨迹是怎样的曲线．解：注意式子结构的特点，左边可以看成点P 到点(2,0)的中距离，从而可联想到右边可化为点P 到直线20x y +-==所以点P 到点的距离与到直线的距离比为定值，由椭圆的第二定义，知点P 的轨迹是椭圆．评析：若将原方程平方，化简后并不能直接判断方程代表什么曲线，所以解题之前对题目结构特点的分析是非常重要的．此题用这种解法涉及到两点间的距离公式，点到直线的距离公式，椭圆的第二定义三个最基本的知识点．由此可以看出我们对基础知识点的掌握及灵活运用有助于我们有助于我们快捷地解题．。
解决椭圆问题的几个妙招
利 用 椭 圆 的 定 义 是 解 题 的关 键 。 （ ＋ ） ＝ ， 圆在 圆 Ｃ 内部 且 和 圆 Ｃ 相 内 切 ， ４ ＋Ｙ ９ 动 ，
二 、 而 不 求 设
．
和圆ｃ 相外切 ， 求动 圆圆心的轨迹 方程 。 例 ２ 如 图 ２ 若椭 圆 ， ＋ｂ ｙ ＝１与直线 ｘ＋ Ｙ＝１
定值 。
例 ３ 已知 常 数 ａ ０， 矩 形 Ａ Ｃ 中 ，Ｂ： ， Ｃ ＞ 在 ＢＤ Ａ ４Ｂ
： ａ ０为 Ａ ４， Ｂ的中点 ， Ｅ、 Ｇ分别在 Ｂ Ｃ Ｄ 点 Ｆ、 Ｃ、Ｄ、Ａ上
分析 ： 动圆满足的条件为 ： 与圆 ｃ 相 内切 ； ① ， ②与
交 于 、 点 ， 为 Ａ 的 中 点 ， 线 Ｏ ０ 为 原 点 ） 曰两 Ｂ 直 Ｍ（ 圆 Ｃ 相 外 切 。 依 据 两 圆 相 切 的 充 要 条 件 建 立 关 系式 。 ：
解 ： 图 １所 示 ， 动 圆 如 设
Ｙ 、：Ｙ ， 、 而是 借 助 于 一 元 二 次方 程根 与 系数 的关 系 来
解决 问题 。由 ｏ 上０ Ａ Ｂ得 ２＋Ｙ ：０是 解决 本题 ｌ
的关 键 。 三 、 类讨 论 分
（√ ＝ 。， ＿ 。的 离 和 一 ＿ ）√ ＝ ）距 之 为 ＝ （ ＝ ， ，
， ＋Ｙ １
在， 请说明理 由。
由｛
ｌ ＋２
２
， ｎ ６ 一 ｂ＋ 一 ： 。 得（ ＋ ） ２ ｂ １ ０ ｘ
分 析 ： 据 题 设 条 件 首 先 求 根 ＋２ ｏ
２ —０＋ｂ 。
【 ＋ ： 一 １
ｂ Ｙ＋ ｚ ． ｌ Ｙ
一
方程。
解 ： Ａ ，。 ， ｘ ，２ ， （ 设 （ ｌｙ ）Ｂ（２Ｙ ） ｘ ｊ
分式最值巧求解,配凑方法妙拓展——一道江苏椭圆的探究学习
" " " " 3 #4+(256-8 )#3 _ 3 #4+(256-8
& ) 8-3#+#+#+# 4
16
3当且仅当8-3#=#3
+4=8,当且仅当"=2,#=3时等号成立.
故填答案:8. 探究2：保留题目条件，改变相应的分式表达式，分 别借助三次基本不等式的应用，以及引入常数进行“单
变量”的巧妙配凑,从而得到以下变式.
9（#+2$）2
=
9（#+2$）2 = （*+ 4）2
36（#+2y）—3（3#2+4$2） = 36（#+2$）-3x48 = 4（+4）-16 =
V ―+―+2%2 - x— +2=4.
4*
4*
当且仅当_#=工
= 色 且2=仝
16一24‘ 9（4#-#2） 一 12（6$-$） 4 - *'
即#=2,$=3时等号成立.
) & 9-2"+"+" 3
27
"3即"=3时等号成立.
" " " --2-5--6- 一"=_
3 #+256-8" _
=
3 #4+ (256-8 )#3
:-------- : ------
!
8-3#------------------ 8-3#-------------------- (8-3#)#3
2019年6月
=> 解法探穷一.
分式最值巧求解，配凑方法妙拓展
三种思维巧突破,七招方法解椭圆--2019年全国卷Ⅲ第15题
x02 36
+
y02 20
蓸 蔀 =1，即 y02=20
1- x02 36
=20-
5 9
x02，MF2 的中点
N
的坐标为
蓸 蔀 x0+4 ，y0 22
.
由于 F（1 -4，0），F（2 4，0），由三角形性质知 F1N彝MF2，
y0
则有
kF1N·kMF2 =-1，即
2 x0+4
· y0 +4 x0-4
36 20
6，b=2 姨 5 ，则有 c= 姨a2-b2 =4.
由 于 M 为 C 上 一 点 且 在 第 一 象 限 ，所 以 在 等 腰
代入椭圆
C：x2 36
+
y2 20
=1，可得
y0=
姨15（由于
y0跃0，负值舍去）.
所以 M 的坐标为（3，姨15）.
答案：（3，姨15）. 方法 4院（直线垂直关系法）由椭圆 C：x2 + y2 =1，可
36 20
知 a=6，b=2 姨 5 ，则有 c= 姨a2-b2 =4.
设点
M
的坐标为
M（x0，y0）（x0跃0，y0跃0），则有
=-1，整 理 可 得
y02=
2
48 -x02-8x0，则 有
20 -
5 9
x02=48 -x02-8x0，解 得
x0=3（由 于
x0跃0，负值舍去）.
将
x0=3
代入椭圆
C：x2 36
+
y2 20
=1，可得
y0=
姨15（由于
y0跃0，负值舍去）.
所以 M 的坐标为（3，姨15）.
专题06 椭圆模型-2022年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破(全国通用)(解析版)
专题06 椭圆模型椭圆秒杀小题常用结论(1)椭圆定义：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)．如图(1)图(1) 图(2) 图(3) 图(4)(2)点P (x 0，y 0)和椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的关系P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1．(3)如图(5)，椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为|AB |＝2b 2a，通径是最短的焦点弦．过焦点最长弦为长轴．过原点最长弦为长轴长2a ，最短弦为短轴长2b ．图(5) 图(6) 图(7)(4)焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．若r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中如图(6)：①△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )．②S ＝b 2tan θ2．(5)如图(7)P 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的动点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，当椭圆上点P 在短轴端点时与两焦点连线的夹角最大．(6)P 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则P 到焦点的最长距离为a＋c ，最短距离为a －c ．(7)如图(8)设P ，A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上不同的三点，其中A ，B 关于原点对称，则k PA ·k PB＝－b 2a2＝e 2－1．图(8) 图(9)(8)如图(9)设A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上不同的两点，P 为弦AB 的中点，则k AB ·k OP ＝－b 2a2＝e 2－1．【例题选讲】[例1] (1)(2019·全国Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为____________．答案 (3，15) 解析 设F 1为椭圆的左焦点，分析可知M 在以F 1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋42＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15)．(2)已知椭圆E ：x 29＋y 24＝1，直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫－12，1，则l 的方程为( )A ．2x ＋9y －10＝0B ．2x －9y －10＝0C ．2x ＋9y ＋10＝0D ．2x －9y ＋10＝0答案 D 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 219＋y 214＝1，x 229＋y 224＝1，两式作差并化简整理得y 2－y 1x 2－x 1＝－49×x 1＋x 2y 1＋y 2，而x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 2＝2，所以y 2－y 1x 2－x 1＝－49×x 1＋x 2y 1＋y 2＝29，直线l 的方程为y －1＝29⎝⎛⎭⎫x ＋12，即2x －9y ＋10＝0.经验证可知符合题意．故选D ．(3)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，上下顶点分别为A 、B ，直线AF 2与该椭圆交于A 、M 两点．若∠F 1AF 2＝120°，则直线BM 的斜率为( )A ．14B ．34C ．32 D ．3答案 B 解析 由题意，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且满足∠F 1AF 2＝120°，如图所示，则在△AF 2O 中，|OA |＝b ，|AF 2|＝a ，且∠OAF 2＝60°，所以a ＝2b ，不妨设b ＝1，则a ＝2，所以c ＝a 2－c 2＝3，则椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，又由A (0,1)，F 2(3，0)，所以kAF 2 ＝－33，所以直线AF 2的方程为y＝－33x ＋1，联立方程组⎩⎨⎧y ＝－33x ＋1x24＋y 2＝1，整理得7x 2－83x ＝0，解得x ＝0或x ＝837，把x ＝837代入直线y ＝－33x ＋1，解得y ＝－17，即M ⎝⎛⎭⎫837，－17 ，又由点B (0，－1)，所以BM 的斜率为k BM＝－17－(－1)837－0＝34，故选B ． (4)已知P 为椭圆C ：x 24＋y 23＝1上的一个动点，F 1，F 2是椭圆C 的左、右焦点，O 为坐标原点，O 到椭圆C 在P 点处的切线距离为d ，若|PF 1|·|PF 2|＝247，则d ＝________． 答案142 解析 法一：因为点P 在椭圆上，所以有|PF 1|＋|PF 2|＝4，又因为|PF 1|·|PF 2|＝247，由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝34，所以有sin ∠F 1PF 2＝74，所以△F 1PF 2的面积为S ＝12×247×74＝12×2×y p ，解得y p ＝37，因为点P 在椭圆上，所以x p ＝47．所以过该点的椭圆的切线方程为47x4＋37y 3＝1，即为x ＋y ＝7．所以原点O 到直线的距离为d ＝72＝142．法二：设P (m ，n )，则切线方程为mx 4＋ny3＝1，即3mx ＋4ny －12＝0．所以原点O 到该切线的距离d＝129m 2＋16n 2．因为点P (m ，n )在椭圆上，所以m 24＋n 23＝1，所以有n 2＝3－3m 24，所以d ＝4316－m 2．因为|PF 1||PF 2|＝247，所以有(m ＋1)2＋n 2 (m －1)2＋n 2＝247，即有⎝⎛⎭⎫4＋14m 2＋2m ⎝⎛⎭⎫4＋14m 2－2m ＝4－14m 2＝247，解得16－m 2＝967，所以d ＝4316－m 2＝142．(5)已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点，直线PQ 过原点O 与MN 平行，且与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2|MN |＝________．答案 22 解析 方法一特殊化，设MN ⊥x 轴，则|MN |＝2b 2a ＝22＝2，|PQ |2＝4，|PQ |2|MN |＝42＝22．方法二 由题意知F (－1，0)，当直线MN 的斜率不存在时，|MN |＝2b 2a ＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝22；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的斜率为k ，则MN 的方程为y ＝k (x ＋1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＝8k 2＋8>0．由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，则|MN |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 2＋1)2k 2＋1．直线PQ 的方程为y ＝kx ，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 22＋y 2＝1，解得x 2＝21＋2k 2，y 2＝2k 21＋2k 2，则|OP |2＝x 23＋y 23＝2(1＋k 2)1＋2k 2，又|PQ |＝2|OP |，所以|PQ |2＝4|OP |2＝8(1＋k 2)1＋2k 2，所以|PQ |2|MN |＝22．综上，|PQ |2|MN |＝22．(6)已知点P (x ，y )在椭圆x 236＋y 2100＝1上，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的面积为18，则∠F 1PF 2的余弦值为________．答案 35 解析 椭圆x 236＋y 2100＝1的两个焦点为F 1(0，－8)，F 2(0，8)，由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝20，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝202，由余弦定理得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos ∠F 1PF 2＝162，两式相减得2|PF 1||PF 2|(1＋cos ∠F 1PF 2)＝144．又S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝18，所以1＋cos∠F 1PF 2＝2sin ∠F 1PF 2，解得cos ∠F 1PF 2＝35．(7)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －22＝0与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相切，且椭圆C 的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝cbx 的对称点E 在椭圆C 上，则△OEF 的面积为( )A ．12B ．32C ．1D ．2答案 C 解析 联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －22＝0，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去x ，化简得(a 2＋2b 2)y 2－8b 2y ＋b 2(8－a 2)＝0，由Δ＝0得2b 2＋a 2－8＝0．设F ′为椭圆C 的左焦点，连接F ′E ，易知F ′E ∥l ，所以F ′E ⊥EF ，又点F 到直线l 的距离d ＝c 2c 2＋b 2＝c 2a ，所以|EF |＝2c 2a ，|F ′E |＝2a －|EF |＝2b 2a ，在Rt △F ′EF 中，|F ′E |2＋|EF |2＝|F ′F |2，化简得2b 2＝a 2，代入2b 2＋a 2－8＝0得b 2＝2，a ＝2，所以|EF |＝|F ′E |＝2，所以S △OEF ＝12S △F ′EF ＝1．(8)如图所示，A 1，A 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的短轴端点，点M 在椭圆上运动，且点M 不与A 1，A 2重合，点N 满足NA 1⊥MA 1，NA 2⊥MA 2，则1212MA A NA A S S＝( )A ．32B ．23C ．94D ．49答案 C 解析 由题意以及选项的值可知：1212MA A NA A S S是常数，取M 为椭圆的左顶点，由椭圆的性质可知N 在x 的正半轴上，如图：则A 1(0，2)，A 2是(0，－2)，M (－3，0)，由OM ·ON ＝OA 21，可得ON ＝43，则1212MA A NA A S S＝12|OM |·|A 1A 2|12|ON |·|A 1A 2|＝|OM ||ON |＝343＝94，故选C ．【对点训练】1．已知椭圆x 216＋y 24＝1上的两点A ，B 关于直线2x －2y －3＝0对称，则弦AB 的中点坐标为________．1．答案 ⎝⎛⎭⎫2，12 解析 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点M (x 0，y 0)，由题意得⎩⎨⎧x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减得2x 0(x 1－x 2)16＋2y 0(y 1－y 2)4＝0，因为点A ，B 关于直线2x －2y －3＝0对称，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 08－y 02＝0，即x 0＝4y 0.又点M (x 0，y 0)在直线2x －2y －3＝0上，所以x 0＝2，y 0＝12，即弦AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫2，12. 2．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段 AB 的中点为M ，则直线OM 与直线l 的斜率之积为( )A ．－9B ．－92C ．－19D ．－32．答案 A 解析 设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代 入9x 2＋y 2＝m 2，得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9，故直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k，所以k OM ·k ＝－9，即直线OM 与直线l 的斜率之积为－9．3．P 为椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，过P 点作PH ⊥F 1F 2于点H ，若PF 1⊥PF 2，则|PH |＝( )A ．254B ．83C ．8D ．943．答案 D 解析 由椭圆x 225＋y 29＝1得a 2＝25，b 2＝9，则c ＝a 2－b 2＝25－9＝4，∴|F 1F 2|＝2c ＝8．由椭圆的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝64．∴2|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝100－64＝36，∴|PF 1|·|PF 2|＝18．又S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12|F 1F 2|·|PH |，∴|PH |＝|PF 1|·|PF 2||F 1F 2|＝94．故选D ．4．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC 的周长是( )A ．23B ．6C ．43D ．124．答案 C 解析 依题意，记椭圆的另一个焦点为F ，则△ABC 的周长等于|AB |＋|AC |＋|BC |＝|AB |＋|AC |＋|BF |＋|CF |＝(|AB |＋|BF |)＋(|AC |＋|CF |)＝43，故选C ．5．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A ．514B ．513C ．49D ．595．答案 B 解析 由题意知a ＝3，b ＝5．由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝6．在△PF 1F 2中，因为PF 1的中 点在y 轴上，O 为F 1F 2的中点，由三角形中位线的性质可推得PF 2⊥x 轴，所以由x ＝c 时可得|PF 2|＝b 2a ＝53，所以|PF 1|＝6－|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝513，故选B ． 6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)及点B (0，a )，过点B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ，F 为椭圆的右焦点，则∠ABF ＝( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°6．答案 B 解析 由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y ＝kx ＋a (k >0)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 整理得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2ka 3x ＋a 4－a 2b 2＝0，由Δ＝(2ka 3)2－4(b 2＋a 2k 2)(a 4－a 2b 2)＝0，得k ＝ca ，从而y ＝c ax ＋a 交x 轴于点A ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，0，又F (c ，0)，易知BA →·BF →＝0，故∠ABF ＝90°．7．已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是( )A ．2B ．2C ．22D ．37．答案 A 解析 由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以|PF 1| ＝3，|PF 2|＝1．又|F 1F 2|＝2c ＝22，所以有|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 1为直角，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||PF 2|＝12×22×1＝2．8．设P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF 1F 2的重心为G ，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△GPF 1的面积为( )A ．24B ．12C ．8D ．68．答案 C 解析 ∵P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，又∵|F 1F 2|＝2c ＝249－24＝10，∴易知△PF 1F 2是直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24，∵△PF 1F 2的重心为点G ，∴S △PF 1F 2＝3S △GPF 1，∴△GPF 1的面积为8，故选C ．。
图形视角下一道椭圆题的解法探究——探析２０２２年高考浙江卷第２１题
讲题比赛特等奖获奖论文之十七:图形视角下一道椭圆题的解法探究探析２０２２年高考浙江卷第２１题◉杭州第七中学㊀方心怡㊀㊀摘要:时隔一年,高考浙江卷的解析几何题再次考查圆锥曲线中的距离最值问题．此类问题知识应用性强,可从多角度进行探究,是解析几何中追根溯源㊁巧妙思维㊁多维拓展的良好载体．本文中针对２０２２年一道高考题,围绕图形给出多种解法,从动点动直线和仿射变换等多角度切入,选择合适的参数进行求解,同时利用韦达定理㊁换元㊁整体运算㊁分离常数等方法简化运算．所展现的解题思路,有助于学生在解决同类问题时形成从多维探究的良好数学品质,提升数学核心素养．关键词:椭圆;最值;韦达定理;计算的对称性;消元图１１试题呈现(２０２２浙江高考卷第２１题)如图,已知椭圆x ２１２＋y ２＝１．设A ,B 是椭圆上异于P (０,１)的两点,且点Q (０,１２)在线段A B上,直线P A ,P B 分别交直线y ＝－１２x ＋３于C ,D 两点．(１)求点P 到椭圆上点的距离的最大值;(２)求C D 的最小值．２试题分析与思维导图根据题目条件,分析题中所给信息后,先明确本题求解的思路是设合适的参数,表示出所求目标,再利用函数或者不等式求得最值．接下来,我们围绕图形,从不同角度切入来解决这道题．第(１)小题,求动点到定点距离的最大值．设动点坐标,直接用两点间的距离公式,为了避免根式,则可先表示出距离的平方．因为动点在椭圆上,所以其坐标满足椭圆方程,可通过消元,将问题转化成求函数最值问题．另外,对于椭圆上的动点,在设点的坐标时,也可利用三角换元从而直接得到函数式,省去消元的过程．第(２)小题,求线段C D 的最小值．我们从图１的动点㊁动直线等从不同角度切入,并结合思维导图(如图２)进行求解．图２当直线A B 的斜率变化时,A ,B 两点随之而变,引起直线P A ,P B 的变化,从而线段C D 也在变．所以,设直线A B 的斜率为参数,利用直线过定点写出直线方程,再与椭圆方程联立．为了减少运算,不用求出A ,B 两点的坐标,而是设出两点坐标,用韦达定理表示出两横坐标间的关系．再利用A ,P 两点的坐标写出直线P A 的方程,与定直线方程联立,可求交点C 的横坐标,接着利用计算的对称性直接写出点D 的横坐标．由两点间距离公式,即可用A ,B 两点的横坐标表示C D ,再代入韦达定理进行消元,得到一个关于直线A B 斜率的函数式．最后,通过换元法求得C D 的最小值．直线A B 的变化,也可看作是点A 的变化,导致点B 发生变化,从而引起C ,D 两点变化,所以也可设点A 坐标来表示C D ．利用A ,Q 两点的坐标写出直线A B 的方程,与椭圆方程联立,求解时可利用整体运算和韦达定理来简化运算,求出点B 的横坐标,再代入直线A B 的方程得到点B 的纵坐标．再写出直线P A 的方程,与定直线方程联立,求出点C 的横坐标．同样,由计算的对称性利用点B 的坐标直接写出点D的横坐标,这样就可以用点A 的坐标表示出C D ．接着先化简,利用点A 在椭圆上进行消元约分．最后,为了求C D 的最小值,再用三角换元化单参,则可利用三角函数的有界性求得范围．另外,化简后的式子其实也能继续化简成与椭圆上的动点到定点斜率相关的结构,那么,就可以设直线的斜率写出直线方程,与椭圆方程联立,利用Δ大于等于０,得到斜率的范围,从而求得C D 的范围．都说解析几何巧在 设 ,难在 算 ．为了减少部分运算,也可以设两个参数表示出C D ,再找到两个参数之间的等量关系,从而求得最值．回到图形,点A ,B 在动,也可以看成是由直线P A ,P B 的斜率发生变化导致的．所以,可设直线P A ,P B 的斜率,写出直线P A ,P B 的方程,分别与定直线方程进行联立,可求得C ,D 两点的横坐标,从而表示C D ．接下来,有四种方法去寻找两直线斜率之间的等量关系．方法一:设直线A B 的斜率并写出直线方程,由斜率定义,可以把直线P A ,P B 的斜率转化成A ,B 两点的横坐标．再把直线A B 的方程与椭圆方程联立,利用韦达定理消元化双参为单参,同解法１,直接得到C D 的函数表达式．方法二:为了避免引入新的参数,把点A 看成是直线P A 与椭圆的交点,将直线P A 的方程与椭圆方程进行联立．因为点P 的坐标也是它的解,易求得点A 的横坐标,再代入直线方程求得点A 的纵坐标．同样,利用计算的对称性直接写出点B 的坐标．再利用A ,Q ,B 三点共线的向量公式,整理可得直线P A ,P B斜率之积为定值．方法三:还可把A ,B 两点看作是直线A B 与过点P 的直线系的交点．把直线P A ,P B 的方程统一写成直线系的形式,与定直线方程联立,得到交点A ,B 坐标的一般式．再利用交点在椭圆上,将坐标代入椭圆方程．最后,利用韦达定理,可得直线P A ,P B 斜率之间的等量关系．以上三个方法都是利用A ,B 两点是线线交点的位置关系,两两联立方程都得到直线P A ,P B 的斜率之积为定值,这也是一个基本事实．如果能提前知道这个结论,那么,求解时方向可以更明确,由此想到方法四．方法四:设A ,B 两点的坐标,利用A ,Q ,B 三点共线,由向量公式引入新的参数,可以得到两个关于坐标的等式;再利用A ,B 两点在椭圆上,坐标满足椭圆方程,又得到两个等式．利用这四个等式及其变式,再将直线P A ,P B 的斜率之积进行化简．有了直线P A ,P B 斜率之积为定值,要求C D 的最小值,可消元化单参,整理后可结合基本不等式,或者利用权方和不等式,求得最小值．另外,也可不消元,由C D 的表达式,利用斜率之积为常数,则可把斜率之和作为一个整体来表示C D ,再结合柯西不等式,也可得到C D 的范围．以上分析都是由已知进行推导,其实也要注意所求目标．直线P A ,P B 的变化也可看作是C ,D 两点在定直线上运动引起的,所以可引入两个参数表示出两点坐标,再找关于两参数的等式．由P ,C 两点坐标写出直线P A 的方程,与椭圆方程联立,可求出点A 的坐标,再由计算的对称性可直接写出点B 的坐标．由A ,Q ,B 三点共线即可得到仅关于两个参数的等式,最后,对所求目标C D 进行消元化简,利用基本不等式,可求得C D 的最小值．图３由于圆的性质已知得更多,还可以通过仿射变换把椭圆变成圆再求解．在变换后的图形中,利用点P ᶄ到定直线的距离是定值,如图３,作辅助线,设两个角为参数,即可表示C ᶄD ᶄ．根据已知条件,利用对顶角和圆周角等角的性质,用所设角表示出图中各角,就会发现,由于Q ᶄP ᶄ和Q ᶄE 的长度已知,利用正弦定理,可得到两个等式,再消去A ᶄQ ᶄ,即可得仅关于所设角的等式．再由两角之和为９０ʎ,可利用诱导公式化同角,从而得两角正切之积为定值．最后,利用两角和差的正切公式进行整理,为了书写简洁,也可换元,再结合基本不等式,即可求得C ᶄD ᶄ的最小值,从而得到C D 的最小值．３解答第(１)小题,求椭圆上的动点到定点距离的最大值的两种解法如下．解法１:设动点A (x ,y ),则x ２１２＋y ２＝１．记点P (０,１)到点A 的距离为d ,则d ２＝x ２＋(y －１)２＝－１１y ２－２y ＋１３,y ɪ[－１,１]．所以,当y ＝－１１１时,d m a x ＝１２１１１１．解法２:设动点A (２３c o s θ,s i n θ),记点P (０,１)到点A 的距离为d ,则d ２＝(２３c o s θ)２＋(s i n θ－１)２＝１２(１－s i n ２θ)＋(s i n θ－１)２＝－１１s i n ２θ－２s i n θ＋１３,θɪ[－π,π]．所以,当s i n θ＝－１１１时,d m a x ＝１２１１１１．第(２)小题,求|C D |的最小值的五种解法如下．解法１:设直线A B 的方程为y ＝k x ＋１２,A (x １,y １),B (x ２,y ２)．由y ＝k x ＋１２,x ２１２＋y ２＝１,ìîíïïïï得(１２k ２＋１)x ２＋１２k x －９＝０．易知Δ＞０,且有x １＋x ２＝－１２k １２k ２＋１,x １x ２＝－９１２k ２＋１,从而得x １－x ２＝６１６k ２＋１１２k ２＋１．由直线P A :y ＝y １－１x １x ＋１与直线y ＝－１２x ＋３联立,可得x C ＝４x １(２k ＋１)x １－１．同理,可得x D ＝４x ２(２k ＋１)x ２－１．故C D ＝１＋１４x C －x D＝５２４(x １－x ２)(２k ＋１)２x １x ２－(２k ＋１)(x １＋x ２)＋１＝３５２ １６k ２＋１３k ＋１．令t ＝３k ＋１ɪR ,则㊀C D ＝３５２ １６９(t －１)２＋１t＝５２(５t －１６５)２＋１４４２５ȡ６５５,当t ＝３k ＋１＝２５１６,即k ＝３１６时,上式等号成立．解法２:设A (x ０,y ０),则直线P A 的方程为y ＝y ０－１x ０x ＋１．联立y ＝y ０－１x ０x ＋１,y ＝－１２x ＋３,ìîíïïïï可得x C ＝４x ０x ０＋２y ０－２．将直线A B :y ＝y ０－１２x ０x ＋１２代入x ２１２＋y ２＝１,可得x ２＋１２æèçççy ０－１２x ０x ＋１２öø÷÷÷２＝１２(易知Δ＞０)．即１＋１２(y ０－１２)２x ２０éëêêêùûúúúx ２＋１２y ０－１２x ０x －９＝０．故x ０x B ＝－９x ２０x ２０＋１２(y ０－１２)２．所以x B ＝３x ０４y ０－５．由直线A B :y ＝y ０－１２x ０x ＋１２,得B (３x ０４y ０－５,５y ０－４４y ０－５)．由计算的对称性,可得x D ＝１２x ０３x ０＋２y ０＋２．故C D ＝５２x C －x D＝５２４x ０(４y ０－８)３x ２０＋x ０(８y ０－４)＋４(y ２０－１)＝５２４(y ０－２)２３x ０＋２y ０－１．接下来,有两个方法去求C D 的最小值．方法１:令x ０＝２３c o s θ,y ０＝si n θ,{则C D ＝５２４(s i n θ－２)２３ˑ２３c o s θ＋２s i n θ－１．记t ＝４(s i n θ－２)２３ˑ２３c o s θ＋２s i n θ－１,则有(２t －４)s i n θ＋４３t c o s θ＝t －８,(２t －４)２＋１６３t ２s i n (θ＋φ)＝t －８,s i n (θ＋φ)＝t －８２８３t ２－１６t ＋１６．因此,由t －８２８３t ２－１６t ＋１６ɤ１,得１４４２５ɤt ２,从而C D ＝５２t ȡ６５５．方法２:C D ＝５２４(y ０－２)２３x ０＋２y ０－１＝５２４２３ x ０＋９２y ０－２＋２．设过点A (x ０,y ０)和点M (－９２,２)的直线斜率为a ,则直线A M :y ＝a (x ＋９２)＋２,将其与方程x ２１２＋y ２＝１联立．由Δȡ０,得１１a ２＋２４a ＋４ɤ０,即－２ɤa ɤ－２１１．所以０ɤ２３ １a＋２ɤ５３,由此可得C D ＝５２４２３ １a ＋２ȡ６５５．解法３:设直线P A 的方程为y ＝k １x ＋１,直线P B 的方程为y ＝k ２x ＋１．联立y ＝k １x ＋１,y ＝－１２x ＋３,{可得x C ＝４２k １＋１．同理,可得x D ＝４２k ２＋１,所以,可得C D ＝１＋１４x C －x D ＝５２２k １＋１２－２k ２＋１２＝４５k １－k ２４k １k ２＋２(k １＋k ２)＋１．接下来,有四种方法求k １k ２的值．方法１:设直线A B 的方程为y ＝k x ＋１２,A (x １,y １),B (x ２,y ２)．由解法１,可得x １＋x ２＝－１２k １２k ２＋１,x １x ２＝－９１２k ２＋１．故k １＋k ２＝y １－１x １＋y ２－１x ２＝k x １－１２x １＋k x ２－１２x ２＝２k x １x ２－１２(x １＋x ２)x １x ２＝４k３,k １k ２＝y １－１x １ y ２－１x ２＝k ２x １x ２－k ２(x １＋x ２)＋１４x １x ２＝－１３６,k １－k ２＝(k １＋k ２)２－４k １k ２＝１３１６k ２＋１．于是C D ＝４５ˑ１３１６k ２＋１－１９＋８k ３＋１＝３５２ˑ１６k ２＋１３k ＋１,下同解法１的部分．方法２:由y ＝k １x ＋１,x ２１２＋y ２＝１,{得(１２k ２１＋１)x ２＋２４k １x ＝０,解得x ＝０,或x ＝－２４k １１２k ２１＋１．由直线P A 的方程y ＝k １x ＋１,可得A (－２４k １１２k ２１＋１,１－１２k ２１１２k ２１＋１)．同理,可得B (－２４k ２１２k ２２＋１,１－１２k ２２１２k ２２＋１)．由A ,Q ,B 三点共线,得１－１２k ２１１２k ２１＋１－１２－２４k １１２k ２１＋１＝１－１２k ２２１２k ２２＋１－１２－２４k ２１２k ２２＋１．整理,得(k １－k ２)(３６k １k ２＋１)＝０．显然k １ʂk ２,所以k １k ２＝－１３６．方法３:设直线A B 的方程为y ＝k x ＋１２,过点P 的直线系方程为y ＝t x ＋１．由y ＝t x ＋１,y ＝k x ＋１２,{得x ＝１２(k －t ),y ＝２k －t２(k －t )．由于交点在椭圆上,因此坐标(x ,y )满足椭圆方程,则１４(k －t )２＋１２ˑ(２k －t )２４(k －t )２－１２＝０．即t ２－４k ３t －１３６＝０(Δ＝１９(１６k ２＋１)＞０)．设k １,k ２是此方程的解,则k １＋k ２＝４k ３,k １k ２＝－１３６．ìîíïïïï方法４:由A ,Q ,B 三点共线,可设A Q ң＝λQ B ң,则(－x １,１２－y １)＝λ(x ２,y ２－１２),即㊀㊀㊀㊀㊀x １＋λx ２＝０,㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀①y １＋λy ２＝１２(１＋λ)．②{将A ,B 两点坐标分别代入椭圆方程,整理得㊀㊀㊀㊀㊀x ２１１２＋y ２１＝１,㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀③λ２x ２２１２＋λ２y ２２＝λ２．④ìîíïïïï③－④,结合①,得㊀㊀㊀(y １＋λy ２)(y １－λy ２)＝１－λ２．⑤联立式②⑤,解得y １＝５－３λ４,y ２＝５λ－３４λ．ìîíïïïï故k １ k ２＝y １－１x １ y ２－１x ２＝(y １－１)(y ２－１)－λx ２２＝y １－１１２λ(y ２＋１)＝５－３λ４－１１２λ(５λ－３４λ＋１)＝－１３６．接下来,利用k １k ２＝－１３６,求C D 的最值,有以下三个方法．方法１:C D ＝２５１２k １＋１－１２k ２＋１＝２５１２k １＋１－－１８k １－１８k １＋１＝２５９１８k １＋９＋１－１８k １＋１－１．由９１８k １＋９＋１－１８k １＋１＝１１０(９１８k １＋９＋１－１８k １＋１)[(１８k １＋９)＋(－１８k １＋１)]＝１１０(９(－１８k １＋１)１８k １＋９＋１８k １＋９－１８k １＋１)＋１ȡ３５＋１＝８５,得C D ȡ２５ˑ８５－１＝６５５,当且仅当k １＝１３,k ２＝－１１２时,等号成立．方法２:同上消元整理后,直接利用权方和不等式,可得C D ＝２５９１８k １＋９＋１－１８k １＋１－１ȡ２５(３＋１)２１８k １＋９－１８k １＋１－１ȡ６５５,当且仅当k １＝１３,k ２＝－１１２时,上式等号成立．方法３:由解法３,结合k １k ２＝－１３６,可得C D ＝２５k ２－k １k １＋k ２＋４９＝２５(k １＋k ２)２＋１９|k １＋k ２＋４９|．由柯西不等式,可得(k １＋k ２)２＋(１３)２éëêêùûúú １２＋(４３)２éëêêùûúúȡ(k １＋k ２＋４９)２,则有C D ＝２５(k １＋k ２)２＋１９|k １＋k ２＋４９|ȡ６５５,当且仅当k １＝１３,k ２＝－１１２时,上式等号成立．解法４:设C (２c ,３－c ),D (２d ,３－d ),则C D ＝５c －d ,直线P A 的方程为y ＝２－c２cx ＋１．联立y ＝２－c ２cx ＋１,x ２１２＋y ２＝１,ìîíïïïï求解交点坐标,可得A æèççç３c ２－６c c ２－３c ＋３,－c ２２＋３c －３c ２－３c ＋３öø÷÷÷．同理,可得B æèççç３d ２－６d d ２－３d ＋３,－d ２２＋３d －３d ２－３d ＋３öø÷÷÷．由A ,Q ,B 三点共线,可得－d ２＋９２d －９２d ２－２d ＝－c ２＋９２c －９２c ２－２c．整理,得５c d －９(c ＋d )＋１８＝０,即d ＝９c －１８５c －９．故c －d ＝(c －９５)＋９５ˑ１５c －９ȡ６５,当且仅当c －９５＝３５时,等号成立．解法５:令x ᶄ＝x ,y ᶄ＝２３y,{得圆x ᶄ２＋y ᶄ２＝１２,则定直线方程为y ᶄ＝－３x ᶄ＋６３,P ᶄ(０,２３),Q ᶄ(０,３)．如图３,过点P ᶄ作C ᶄD ᶄ的垂线,垂足为I ,易得P ᶄI ＝２３．设øC ᶄP ᶄI ＝α,øD ᶄP ᶄI ＝β,则øA ᶄP ᶄQ ᶄ＝６０ʎ－α,øA ᶄE Q ᶄ＝α＋３０ʎ,øE A ᶄQ ᶄ＝１２０ʎ－β,øP ᶄA ᶄQ ᶄ＝β－３０ʎ．在әA ᶄQ ᶄP ᶄ和әA ᶄQ ᶄE 中,由正弦定理,得A ᶄQ ᶄ＝３s i n (６０ʎ－α)s i n (β－３０ʎ),A ᶄQ ᶄ＝３３s i n (α＋３０ʎ)s i n (１２０ʎ－β),所以３s i n (６０ʎ－α)s i n (β－３０ʎ)＝３３s i n (α＋３０ʎ)s i n (１２０ʎ－β),s i n (６０ʎ－α)s i n (β－３０ʎ)s i n (１２０ʎ－β)s i n (α＋３０ʎ)＝３,s i n (６０ʎ－α)c o s (１２０ʎ－β)s i n (１２０ʎ－β)c o s (６０ʎ－α)＝３．即t a n (６０ʎ－α)t a n (１２０ʎ－β)＝３,整理得６＋２３t a n α－２３t a n β－１０t a n αt a n β＝０．令t a n α＝m ,t a n β＝n ,则６＋２３m －２３n －１０m n ＝０,得n ＝６＋２３m １０m ＋２３＝３５＋２４５１０m ＋２３．又C ᶄD ᶄ＝C ᶄI ＋D ᶄI ＝３３t a n α＋２３t a n β,则C ᶄD ᶄ＝２３(m ＋n )＝２３æèççm ＋３５＋２４５１０m ＋２３öø÷÷＝２３１１０(１０m ＋２３)＋２４５１０m ＋２３éëêêêùûúúúȡ２４５．故C D ＝５４C ᶄD ᶄȡ６５５．４试题研究小结圆锥曲线中与动点㊁动直线有关的最值问题是常考的题型,本题涉及的方法也都很典型,可简洁地总结为 最值问题需设参,设点设线来实现;韦达定理搭桥是关键,换元消参助化简 ．Z。
专题相似椭圆的几种基本模型及练习
专题相似椭圆的几种基本模型及练习
本文介绍了几种相似椭圆的基本模型，并提供了相关练。
1. 圆的相似椭圆模型
在几何学中，圆可以看作是一种特殊的相似椭圆，其长轴和短轴长度相等。
圆的相似椭圆模型常用于描述与圆有关的问题，如行星轨道等。
练题：
1. 已知一个圆的半径为5cm，求其相似椭圆的长轴长度和短轴长度。
2. 等轴相似椭圆模型
等轴相似椭圆模型中，长轴和短轴长度相等，只是位置和方向不同。
这种模型常用于解决涉及旋转或平移的问题。
练题：
1. 已知一个椭圆的长轴长度为8cm，短轴长度为4cm，若将该椭圆绕其中心逆时针旋转45度后，求新椭圆的长轴和短轴长度。
3. 比例相似椭圆模型
比例相似椭圆模型中，相似椭圆的长轴和短轴长度成一定的比例关系。
这种模型常用于描述物体在不同尺度下的变化。
练题：
1. 一个相似椭圆的长轴长度为12cm，短轴长度为6cm。
若将该椭圆的长轴和短轴分别缩小到原来的一半，求新椭圆的长轴和短轴长度。
总结
相似椭圆的几种基本模型包括圆的相似椭圆模型、等轴相似椭圆模型和比例相似椭圆模型。
这些模型可以帮助我们更好地理解椭圆的特性和变化规律。
希望本文对你有所帮助！。
一些好用的高中数学椭圆解题方法
一些好用的高中数学椭圆解题方法一些好用的高中数学椭圆解题方法一、设点或直线做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。
其中点可以设为等，如果是在椭圆上的点，还可以设为。
一般来说，如果题目中只涉及到唯一一个椭圆上的的动点，这个点可以设为。
还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。
对于一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式,如果不与x轴平行，可以设，如果只是过定点，可以设参数方程，其中是直线的倾斜角。
一般题目中涉及到唯一动直线时可以设直线的参数方程。
二、转化条件有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。
对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。
比如点在圆上可以转化为向量点乘得零，三点共线可以转化成两个向量平行，某个角的角平分线是一条水平或竖直直线则这个角的两条边斜率和是零。
有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单。
三、代数运算转化完条件就剩算数了。
很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都是这样。
有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式，设参数方程时，弦长公式可以简化为解析几何中有时要求面积，如果O是坐标原点，椭圆上两点A、B坐标分别为和，AB与x轴交于D，则(d是点O到AB的距离；第三个公式是我自己推的，教材上没有，解答题慎用)。
解析几何中很多题都有动点或动直线。
如果题目只涉及到一个动点时，可以考虑用参数设点。
若是只涉及一个过定点的动直线，题目中又涉及到求长度面积之类的东西，这时设直线的参数方程会简单一些。
在解析几何中还有一种方法叫点差法，设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，整理即可得到这两点的中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式。
四、能力要求做解析几何题，首先对人的耐心与信心是一种考验。
构造椭圆模型巧解题
⎩ 构造椭圆模型巧解题数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表达出来的一种数学结构，它是数学中解决问题的一种重要途径．其中构造椭圆模型解题就是比较典型的题型．一、巧借椭圆模型求最值【调研1】求函数f(u)= 2t + 4 + 6 -t 的最值.解：设x= 2t + 4 ，y= 6 -t ，则f(u)=x+y；且x2+2y2=16(0≤x≤4，0≤y≤2 2 )所给函数化为以u 为参数的直线方程y= -x+u，它与椭圆x2+2y2=16 在第一象限的部分(包括端点)有公共点，如图所示，f(u)min= 2 2 ，相切于第一象限时，f(u)取最大值⎧⎪y=-x+u，⟹3x2-4ux+2u2-16=0．⎰⎪x2 +2y2 =16，由∆=(-4u)2-4×3×(2u2-16)=0，解得u=±2 6 ，取u= 2 6 ，∴函数f(u)max= 2 6 .【调研2】已知+(x - 8)2 + ( y - 6)2x2 +y2=20，则|3x-4y-100|的最小值为.解：满足题设的点的轨迹是到定点A(0，0)，B(8，6)的距离之和为定长20 的椭圆，此椭圆的长半轴a 满足2a=20，即a=10，线段AB 的长为82 + 62又椭圆长轴所在直线方程为y= 3 x.4=10，即c=5，所以椭圆的短半轴长b= 5 3 .因此，由图知，使得椭圆与直线y= 3 x+m 有公共点的m 的取值范围是原点到直线y= 3 x+m 的距离不超4 4过5 3 .即 | 3 ⨯ 0 - 4 ⨯ 0 + 4m | ≤ 5 3 ，解得-25 3 ≤m≤ 25 3 .5 4 4椭圆上任意一点P(x，y)均满足-25 3 ≤y-3 x≤ 25 3 ，4 4 4整理为-100-25 3 ≤3x-4y-100≤25 3 -100<0.得100-25 3 ≤|3x-4y-100|≤100+25 3 ，最小值为100-25 3 .【调研3】求f(x)=x+解：令y=⎧ x = cos θ 2 ⎪ y = 3 sin θ 2 2 ，∴ x 2 + y 2 =1(y ≥0)，即椭圆上半部分，1 12 3求 f (x )=x +y 问题转化为点 M (x ，y )在椭圆 x + y =1 上半部分，求 f (x )=x +y 最值， ⎜⎪ 2 ⎨ ⎛⎪ 3 (0 ≤ θ ≤ π ) ，f (x )=x +y = 221 - 2x2 3令12 cosθ+133 sinθ=330 6sin(θ+φ)，∴f(x)=30 ，f(x)= 30 ，即f(x)=x+的值域为 ⎡-30 ．max6min630 ⎥6 ⎢， ⎥ ⎣ 6 ⎦ 三、巧借椭圆模型求三角函数值【调研 4】已知在∆ABC 中，存在条件|AC |+|BC |=10，|AB |=8, 试求 tan A ·tan B的值.2 2 解：由圆锥曲线的定义可知：C 的轨迹为椭圆。
巧用椭圆定义求解最值问题
巧用椭圆定义求解最值问题椭圆是中学数学中至关重要的内容，教学中经常会遇到这样的问题，即在圆锥曲线上探寻一点，使之到某一定点及到焦点(或可转化为到准线)的距离之和(或差)具有最大值（或最小值），这也是历届高考的热点.解决这些问题，若是通过设立动点的坐标，建立目标函数来处理，则会因运算量大而最终无功而返。
若能根据题目的实际条件，紧扣曲线定义，结合曲线的几何性质，能起到简化运算利用圆锥曲线的定义进行求解就能起到化难为易、事半功倍的效果.因此，在平常的教学中，可以通过解题训练，提高学生问题解决的能力.例1 已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，M(0，4)，N（1,0），P是椭圆上的动点，（1）求的最大值和最小值，（2）求的最大值和最小值.解：（1）因为在三角形PMF1中，；又因为，P、M、F1可以共线，所以，即所求最大值为；因图3为，，所以因为在三角形PMF2中，；又因为，P、M、F2可以共线，，所以，即所求最小值为 .（2）因为，，所以，又，所以，因此 .即所求最大值为，最小值为 .评注：例1涉及椭圆上一动点与两定点(其中一个为焦点)距离之和(差)的最值问题．此类问题的求解通常可分两种类型：(1)先利用定义，将动点到一个焦点的距离与其到另一个焦点的距离进行转化，然后利用几何最值法最终解决(如例2(1)中差的最小值和例2（2）中和的最大值和最小值)；(2)在求和的最小值或差的最值时，有时可不经定义转化，直接使用几何最值法(如例2(1)中差的最大值)．具体属于哪一类型，应视定点在椭圆内、外的给定情况而定．例2 如图3，点P在曲线C1：上，点A在曲线C2：上，点B在曲线C3：上，则的最小值是 .解由于P，A，B三点均为自由动点，所以先将P点“固定”(暂时看做定点)，则当点A在圆C2上运动时，易知；同理，所以 .注意到两圆的圆心C2，C3，恰为椭圆C1的左、右焦点，由椭圆第一定义知：(不论点P如何运动)，所以的最小值是18．评注例2涉及到椭圆上的动点与两个定圆上的动点距离之和的最小值问题，通过将椭圆上的动点与圆上的动点问题转化为其与圆心的距离减半径，可以将问题转化成椭圆上的动点与两个定点（即圆心，也就是椭圆的两个焦点）距离之和的最小值问题，从而应用椭圆的定义得出最小值.。
人教版数学高二数学选修2-1 2.2利用椭圆模型巧解题
利用椭圆模型巧解题河南省滑县第六高级中学（456400）王红敢有些代数或三角问题，若能根据已知式的结构，挖掘出它的几何背景，通过构造圆锥曲线模型，化数为形，利用数学模型的直观性，简捷地求得问题的解．这里我们举例说明椭圆模型的四个妙用．一、利用椭圆模型解方程例1．解方程842++x x．解：将原方程配方，得4)2(2++x．令y 2= 4，即有22)2(y x ++．根据椭圆定义，它表示以(－2，0)、(2，0)为焦点，长、短半轴分别为4、圆216x +212y =1，将y 2= 4代入椭圆方程中，解得3x =±．经检验，x = 点评：对此方程的解决如果采用两边平方的方法显然非常繁琐不易，但我们注意到方程的结构特点而构造椭圆方程，使代数问题具有几何背景，这样直观、形象，迎刃而解．二、利用椭圆模型证明等式例2．已知βα24sin cos +βα24cos sin =1 ，求证：42cos sin βα+42sin cos βα =1． 证明:由已知点A(cos 2α，sin 2α)、B( sin 2β ，cos 2β)都在椭圆β22sin x +β22cos y =1 上,又都在直线 x + y = 1上. 由22221sin cos 1x y x y ββ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,得2242sin sin 0x x ββ-+=,△=224(2sin )4sin 0ββ--=,知椭圆β22sin x +β22cos y =1与直线 x + y = 1相切. 由切点的唯一性知,点A 与点B 重合.∴cos 2α= sin 2β ，且sin 2α= cos 2β， ∴42cos sin βα+44422222sin sin cos sin cos 1cos sin cos βααααααα=+=+=点评：已知条件和所证结论都给我们对称的感觉，再联想两式的结构特点，构造椭圆再利用点重合法使问题得到解决．当然此题还可以构造圆去解决,方法基本相似．三、利用椭圆模型解不等式例3．解不等式：842++x x 6≤．解：将原不等式左边配方，得4)2(2++x 6≤．令y 2= 4，即有22)2(y x ++6≤．根据椭圆定义，上述不等式表示以(－2，0)、(2，0)为焦点，长、短半轴分别为3的椭圆29x +25y =1及其内部区域，即29x +215y ≤，将y 2= 4代入此不等式中，解得{}55x x -≤≤为所求． 点评：此问题与例1结构基本一致，所以解决方法自然差别不大．四、利用椭圆模型解应用题例4．已知岛B 、C 分别在灯塔O 的正西和正东方向且与灯塔O 的距离都是2海里，岛A 在岛B PQ ）上任意一点到B 、C 的距离和是8海里，若岛C 上的人口数与岛A 上的人口数相等，要在海岸线（曲线PQ ）上建一个码头，使由该码头运往岛A 、岛C 的给养运费最少，问码头应建在何处？解：建立如图的直角坐标系，BC 所在直线为x 轴， BC 的垂直平分线为y 轴,易知曲线PQ 是椭圆弧,其方程为2211612x y +=,(2,2)A -,用椭圆的定义转化为平几最值. 设海岸线上任意一点为M,即求MA MC +的最小值.∵(8)8()88MA MC MA MB MB MA AB +=+-=--≥-=.当A 、B 、M 三点共线时取等号,此时,点M 的横坐标为-2,解2x =-与2211612x y +=得交点M 为(2,3)-,即码头应建在A 岛正北(3-海里处(即B 岛正北3海里处).点评：本题是根据题设条件巧妙的建立椭圆方程，然后根据椭圆的定义将实际问题转化为平面几何问题求解,简单又有风趣.。
构造椭圆模型巧解题
构造椭圆模型巧解题笛卡尔在大家心目中是一个颇有成就的人，他是一个很有魅力的人，那么这样的人在爱情当中会不会也很有魅力呢?其实有很多的伟人都曾经做过很多浪漫的事情，不知道笛卡尔是不是也曾经做过浪漫的事情呢?笛卡尔还真的为自己所爱之人做过浪漫的事情。
笛卡尔在五十多岁的时候爱上了瑞典的小公主，那个小公主还只有18岁，笛卡尔后来还给这个小公主写过一封情书，用情书来对小公主表白。
笛卡尔的情书就成为了一个流传的故事，那么这究竟是一个怎样的浪漫的故事呢? 其实笛卡尔的情书要从欧洲的一场传染性疾病开始说起，欧洲地区曾经出现过有种叫做黑死病的疾病，这样的一种疾病还在瑞典出现过。
就是在这个时候，笛卡尔偶遇了瑞典的小公主克里斯丁。
后来，笛卡尔就成为这个公主的数学老师。
他们产生了真挚的感情，但是当时的笛卡尔已经50多岁了，这段感情并没有得到瑞典的国王的认可。
因此笛卡尔因为这件事情而被迫离开他的公主，离开瑞典前往法国。
在离开法国之后，笛卡尔还是非常思念瑞典的小公主，他便开始给小公主写情书。
但是之前的封封情书都被国王所拦截下来了。
这个时候，笛卡尔就发挥出数学家的聪慧了，他给公主写了一封只有一句公式的情书。
笛卡尔的情书最终还是被带给公主了，但是笛卡尔却在之后离开这个世界了。
笛卡尔的故事很多人都对笛卡尔这个传奇人物很感兴趣，很多人都想要知道笛卡尔的故事。
图片来源于网络笛卡尔是1596年出生的法国人，他的父亲是议会的会员，而他也算是出生在一个贵族的家庭。
笛卡尔的故事就开始于幸福的氛围当中，他有一个好的家庭背景，父亲的社会地位也比较高，因此年少的笛卡尔几乎没有任何的烦恼。
他享受的是贵族一般的豪华生活，如果非要说年少的笛卡尔有什么烦恼的话，那就是笛卡尔从小就身体虚弱，他在年幼的时候经常生病。
在笛卡尔年幼的时候，陪伴他的主要还是他的保姆，他的母亲也早就离开人世了。
笛卡尔在年幼的时候总是抱有很丰富的好奇心。
正是因为这种好奇心，笛卡尔在八岁那年就已经成为知名的神童了。
高考数学复习点拨 结合平面几何性质巧解椭圆问题
结合平面几何性质巧解椭圆问题 在椭圆的学习中，常遇到椭圆上的点与两焦点或顶点构成直角三角形问题，这类题目除用解析几何知识求解，也可利用平面几何的性质结合几何法求解。
几何法拓宽了解题思路，使得计算更加简捷。
一、在求解椭圆方程中 例1、如图，点A 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的下顶点，过A 作斜率为1的直 线交椭圆C 于点B ，点P 在y 轴上，且BP//x 轴，.9=⋅AP AB 若P （0，1），求椭圆C 的方程。
解法一：设B （x ，1），A （0，y ）所以).1,0(),1,(y AP y x AB -=-=因为.9=⋅AP AB 所以9)1(2=-y ，所以31±=-y所以y ＝－2（4舍去），因为直线AB 的斜率为1，所以11=-xy ， 所以x ＝1－y ，所以x ＝3或x ＝－3（舍去），所以x ＝3，y ＝－2.将A （0，－2），B （3，1）代入12222=+by a x 可得方程为：.141222=+y x 解法二：已知得045=∠BAP ，▲ABP 为等腰直角三角形，则||2||AP AB = 于是=⋅AP AB 3||945cos ||||0=⇒=⋅AB AP AB ，又P （0，1），所以OA ＝2，即b ＝2，所以B （3，1），代入14222=+y ax 得122=a ， 故椭圆的方程为.141222=+y x 点评：解法二抓住k ＝1和▲APB 为等腰直角三角形运用几何法的关键，比设为直线方程计算起来要简单的多。
二、在求解离心率中例2、A 、B 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的两个顶点，F 是右焦点，若BF AB ⊥， 求椭圆的离心率。
解法一：（代数法）设A （－a ，0），B （0，b ），F （c ，0），所以a b k AB =，c b k BF -=，因为BF AB ⊥，所以1-=-⋅cb a b ，所以ac b =2，即ac c a =-22，所以a c 215-=，所以.215-=e 解法二：（几何法）由于▲ABF 为直角三角形，由平面几何知识知▲ BOF ～▲ABF ，所以ca a a c +=，即22c ac a +=， 同除以2a 得21e e +=，所以.215-=e 通过以上两道小题可以看出解决椭圆问题结合平面几何的知识可以巧妙、简解的解出。
构建椭圆模型解物理题
构建椭圆模型解物理题
任伟
【期刊名称】《数理天地：高中版》
【年(卷),期】2012(000)010
【摘要】题如图1所示，一根轻质细绳拴在两悬崖间，悬点等高，特种兵利用动滑轮在细线上从一端滑向另一端，已知特种兵的质量为m，特种兵滑到最低点时绳子与水平方向的夹角为θ，
【总页数】1页(P47-47)
【作者】任伟
【作者单位】浙江省台州市黄岩第二高级中学,318020
【正文语种】中文
【中图分类】G633.7
【相关文献】
1.巧用圆模型妙解物理题
2.高维抛物-椭圆型Keller-Segel模型古典解的存在性及衰减估计
3.高维抛物-椭圆型Keller-Segel模型古典解的存在性及衰减估计
4.利用平移模型解一类直线和椭圆问题
5.学生解物理题时漏解的分析
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专题相似椭圆的几种基本模型及练习
专题相似椭圆的几种基本模型及练习引言椭圆是一种在数学中常见的几何形状，具有广泛的应用。
在研究椭圆时，我们经常会遇到相似椭圆的情况，即具有相似形状但大小不同的椭圆。
本文将介绍几种相似椭圆的基本模型和相关练。
模型一：同心相似椭圆同心相似椭圆是指具有相同中心但不同长轴和短轴长度的椭圆群。
在绘制同心相似椭圆时，我们可以固定中心点，然后根据不同的长轴和短轴长度绘制多个椭圆。
练一：绘制三个同心相似椭圆，分别具有长轴长度为5、8、10，短轴长度为3、6、7。
绘制同心相似椭圆的代码示例import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as np设置中心点center = [0, 0]设置长轴长度和短轴长度a_values = [5, 8, 10]b_values = [3, 6, 7]绘制椭圆theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)for a, b in zip(a_values, b_values):x = a * np.cos(theta)y = b * np.sin(theta)plt.plot(x, y)设置坐标轴范围plt.axis('equal')显示图形plt.show()模型二：相似比例椭圆相似比例椭圆是指具有相似形状但大小按比例缩放的椭圆。
在绘制相似比例椭圆时，我们可以通过调整椭圆的长轴和短轴长度的比例来实现。
练二：绘制一个相似比例椭圆，长轴长度为10，短轴长度为5。
绘制相似比例椭圆的代码示例import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as np设置长轴长度和短轴长度a = 10b = 5绘制椭圆theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)x = a * np.cos(theta)y = b * np.sin(theta)plt.plot(x, y)设置坐标轴范围plt.axis('equal')显示图形plt.show()模型三：旋转相似椭圆旋转相似椭圆是指具有相似形状但相对于原点旋转一定角度的椭圆。
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巧构椭圆妙解题
江苏泰兴市第二高级中学 叶玉明
数学模型是采用数学语言表达数量关系，近似地表达出一种数学结构，它是解决数学问题的一种重要途径，其中构造椭圆模型解题就是比较典型的一类解题方法。
一、巧借椭圆模型求三角函数值
例1. 已知在ABC ∆中，存在条件10,8AC BC AB +==, 试求tan tan 22A B 的值。
解：由圆锥曲线的定义可知：
C 的轨迹为椭圆。
如上图所示：设椭圆的长轴为 2a ，焦
距为2c ，则由正弦定理知()sin sin sin BC
AC
AB
A B A B ==+
22sin sin sin()
a c A B A B ∴=++(合比定理，椭圆定义)即sin()4sin sin 5A B c A B a +==+，2sin
cos 42252sin cos 22
A B A B A B A B ++∴=+- 化简得tan tan 22A B 19=
二、巧借椭圆模型求值域
例2.
求函数y
解：设u v
(2221604,0u v u v +=≤≤≤≤
y u v =+
所给函数可化为以y 为参数的直线方程v u y =-+，它与椭圆22216u v
+=在第一象限的
部分（包括端点）有公共点如上图，min y =；当直线与椭圆相切时，y 取最大值，由2222342160216
v u y u yu y u v =-+⎧⇒-+-=⎨+=⎩ 由0
∆=得y =±，由
题意知max
y =
所以函数的值域为⎡⎣ 三、巧借椭圆模型解证不等式或恒等式
例3. 设0a b >>,
2a 分析：若考虑用分析法证此不等式，则显得较繁，不易证出。
但采用椭圆模型则简洁明了。
证明：构造椭圆()22
2210x y a b a b +=>>可设两点
()()cos ,sin ,cos ,sin A a b B a b ααββ ，则所证不等式的左端为椭圆上A,B 两点间的距离，显然2AB a ≤恒成立。
例4. 已知4422cos sin 1cos sin A A B B += 求证:4422cos sin 1cos sin B B A A += 分析：由题中条件等式的特征可联想到构造一个椭圆方程。
证明：设椭圆:C 22
221cos sin x y B B
+=由题设知点()22cos ,sin M A A 在椭圆C 上，又点()22cos ,sin N B B 也满足椭圆C ，可知点N 也在椭圆C 上。
过点N 与椭圆C 相切的直线
方程为2222cos sin 1cos sin x B y B B B
+=即1x y +=。
又点M 也满足1x y +=，所以点M 也在切线上，故点M 与点N 重合。
即2222cos cos ,sin sin A B A B ==所以
4444
222222cos sin cos sin cos sin 1cos sin cos sin B B A A A A A A A A
+=+=+= 四、巧借椭圆模型求解应用题
例5. 已知大西北某荒漠上A,B 两点相距2km,现准备在荒漠上开垦出一片以A,B 为一条对
角线的平行四边形区域建成农艺园，围墙总长为8km,问农艺园的最大面积能达到多少？
解：因为平行四边形ADBC 中，2,4AB km AC BC km =+=，所以由定义可知动点C 的轨迹为椭圆。
如上图建立平面直角坐标系，则椭圆的长轴长为24,2a a ==，焦距为22,1c c ==
，所以短半轴长为b ==C 为短轴的一个端点时，ABC S ∆的面积最大，此时平行四边形ADBC
的面积也最大，且最大为21222⨯
⨯=。