高中数学审题策略
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高中数学审题策略
余锦银
【专题名称】中学数学教与学(高中读本)
【专题号】G35
【复印期号】2009年06期
【原文出处】《中学数学研究》(广州)2009年3期第44~47页
【作者简介】余锦银,湖北大冶市第一中学(435100)。
审题是解题的第一步,细致深入的审题是解题成功的必要前提。著名数学教育家波利亚说“最糟糕的情况是学生没有弄清问题就进行演算和作图。”事实上,学生常常对此掉以轻心,致使解题失误或陷入繁冗之中。如何全面地、正确地把握问题的已知、所求、领悟问题的条件与结论提供的信息,是解题迅速的必要条件,审题宜从以下几个方面进行。
一、明确问题的条件与结论
要明确问题的条件与结论,需做到以下五点:Ⅰ.全面、深刻、确切地理解题目的明显条件;Ⅱ.不要遗漏题目中的“次要”条件;Ⅲ.要尽可能把已知条件直观化、形象化;Ⅳ.善于把已知条件作适合解题需要的转换;Ⅴ.要充分挖掘隐含条件。具体例析如下:
1.审视条件。条件是解题的主要材料,充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路。审视条件要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息,发挥隐含条件的解题功能。
点评:定义域是建立函数关系、研究函数性质的基础,忽略函数定义域的存在与作用,就有可能出现错解。
2.审视结论。结论是解题的最终目标,解决问题的思维很多情形下都是在目标意识下启动和定向的。审视结论要探索已知条件和结论间的联系与转化规律,善于从结论中捕捉解题信息,确定解题方向。
点评:有条件等式、不等式证明题的基本思路是盯住目标,消灭条件等式与结论等式之间的差异,达到使两等式之间的“异”转化为“同”。常用方法有:代入法、消去法、综合法、分析法等。
3.审视结构。结构是数学问题的搭配形式,某些问题已知的数式结构中常常隐含着某种特殊的关系。审视结构要对结构进行分析、加工和转化,以实现解题突破。很多数学难题的思路就隐藏在数式结构中。
点评:当已知条件中的结构类似于向量数量积的结构时,可用构造向量的思想来求解,要注意对所构造向量的模为常数的处理。
4.审视数值。数值是数学运算中最基本的单元,特殊的数值往往能暗示解题的方向。审视数值要善于观察、分析数值,从数值本身的变化,数字与数字之间的联系去寻找解题的思路,获得优美的解法。
分析:解此题的关键是能否抓住题中各角之间的内在联系。如题中的含有角7°、15°、8°,发现它们之间的关系是15°=7°+8°,故可将7°拆成15°-8°。
5.审视范围。范围是对数学概念、公式、定理中涉及的一些量以及相关解析式的限制条件。审视范围要适时利用相关量的约束范围,从整体上把握问题的解决方向。
点评:对于给值求角的问题,我们要特别小心,要根据题目要求尽可能紧缩角的范围。
二、灵活地进行符号语言、图形语言、日常用语的转换
数学有三种语言:符号语言、图形语言、日常用语,它们是数学知识,数学思维的载体,
在解题过程中选择哪一种语言进行思维又是因题而异,因人而异,而且各种语言之间又是互相渗透,如果各种语言不能熟练掌握或者不能灵活运用,就会使本来不难的变难、变繁。
由于数学语言的高度概括性使抽象程度提高,或者有时信息或问题表述及比较含蓄,应通过思考将其转译为自己熟悉的便于理解和应用的问题或信息。可试图将问题换个说法,说给你自己听,做到:Ⅰ.隐晦的语言说得明确些;Ⅱ.繁复的问题说得简要些;Ⅲ.抽象的问题说得具体些;Ⅳ.表象的问题说得深实些;Ⅴ.难于正面说的问题从反面去说。
结合右图可知,当图象向右平移,且当右半部分第一次经过点(1,1),继续向右平移时,才会出现x∈[1,m],f(x+t)≤x成立,继续向右平移;
当f(x)图象左半部分经过点(1,1),再向右平移时,有f(x+t)≤x恒成立,所以,m
的最大值应为f(x+t)与y=x的除点(1,1)外的交点的横坐标。由
,解得t=-1(舍去)或t=-3,再由f(x-3)=x,解得x=1或x=4。
故m的最大值为4。
点评:每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系;反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述,数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路;或者在研究图形时,利用代数的性质,解决几何的问题。实现抽象概念与具体形象的联系和转化,化难为易,化抽象为直观。思考问题时要善于从条件的结构特征中寻找一些和图象相关联的信息源,以便为解决问题作好形的铺垫。
三、关键字句的斟酌
为了考核学生观察能力、分析能力,检查学生对概念中各项条件的理解,了解学生对基本技能和逻辑推理的掌握程度,在数学题编拟时,往往要变换概念的表现形式,精简命题从条件到结论的中间环节,肢解命题的各项条件之间的联系,隐去问题涉及的数学思想及背景,审题时需透过字句发掘这些本质与规律。所谓关键字句,主要包括以下五个方面:Ⅰ.概念中容易疏忽的限定词(如椭圆的定义中2a>2c);Ⅱ.问题中比较陌生的抽象的词语、记号,理解它们成为关键;Ⅲ.问题中易疏忽的特殊位置和可能情况;Ⅳ.相近的基本概念之间的细微差异;Ⅴ.定理、公式成立的每一项前提或条件。
例8 在△ABC中,3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1,则∠C的大小为______。
点评:本题将m隐含在反比例函数的系数之中,能否挖掘出至关重要,解题时若忽略这一点,则会出现错解。
四、对问题整体性的理解及结构的把握
审题的成功与否要求我们能摆脱问题的外表的特征、细节、具体的数字,重点审明它的结构的内在联系,注重对问题整体性的联想与考察。
1.整体思维。人们在研究某些数学问题时,往往不是着眼于问题的各个组成部分,而是有意识地放大考察问题的“视角”,将需要解决的问题看做一个整体,通过研究问题的整体形式、整体结构或作种种整体处理后,达到顺利而又简洁地处理问题的目的。像这种从整体观点出发研究问题的心理活动过程,心理学上就叫做整体思维。它是一种较高级的思维活动,具有思维的简约性和跳跃性。
2.审视方法。方法是解题的手段,数学思想方法是问题的主线。审视方法,选择适当的解题方法,往往使问题解决事半功倍。审题的过程还是一个解题方法的抉择过程,开拓的解题思路能使我们心涌如潮,适宜的解题方法则帮助我们事半功倍。