2016-2017学年四川省绵阳南山中学高一下学期3月月考试卷 数学(扫描版)
四川省绵阳南山中学2017届高三下学期3月月考试卷 数学
绵阳南山中学2017年春季高2017届3月月考理科数学试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设U R =，{3,2,1,0,1,2}A =---，(1)B x x =≥，则U A C B = （ ） A ．{1,2} B ．{1,0,1,2}- C ．{3,2,1,0}--- D ．{2}2.在复平面中，复数421(1)1i i +++对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“sin sin A B >”是“a b >”的（ ）条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分又不必要 4.若1sin()3πα-=，且2παπ≤≤，则sin 2α=（ ）A ．9-B ．9-C ．9D ．95.执行下图的程序框图，则输出k 的值为（ ）A ．98B ．99C ．100D ．1016.李冶（1192-1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩.若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长为分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（ ）A ．10步，50步B ．20步，60步C ．30步，70步D ．40步，80步 7.某几何体三视如下图，则该几何体体积是（ ）A ．16B ．20C ．52D ．60 8.若332()a x x dx -=+⎰，则在a的展开式中，x 的幂指数不是整数的项共有（ ） A ．13项 B ．14项 C ．15项 D ．16项 9. 已知函数()sin(2)12f x x π=+，'()f x 是()f x 的导函数，则函数'2()()y f x f x =+的一个单调递减区间是（ ） A ．7[,]1212ππB ．5[,]1212ππ-C ．2[,]33ππ-D ．5[,]66ππ- 10. 在平面直角坐标系中，不等式组22200x y x y x y r ⎧+≤⎪-≤⎨⎪+≤⎩（r 为常数）表示的平面区域的面积为π，若,x y 满足上述约束条件，则13x y z x ++=+的最小值为（ ）A ．1- B．17-C ．13D ．75-11. 双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于,A B 两点，2AF ，2BF 分别交y 轴于,P Q 两点，若2PQF ∆的周长为12，则ab 取得最大值时双曲线的离心率为（ ）A ．．312.函数22()1x f x e ax bx =-+-，其中,a b R ∈，e 为自然对数的底数，若(1)0f =，'()f x 是()f x 的导函数，函数'()f x 在区间(0,1)内有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．22(3,1)e e -+ B ．2(3,)e -+∞ C ．2(,22)e -∞+ D ．22(26,22)e e -+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.设样本数据122017,,,x x x 的方差是4，若21i i y x =-（1,2,,2017i = ），则122017,,,y y y 的方差是 ．14.在平面内将点(2,1)A 绕原点按逆时针方向旋转34π，得到点B ，则点B 的坐标是 ．15.设二面角CD αβ--的大小为045，A 点在平面α内，B 点在CD 上，且045ABC ∠=，则AB 与平面β所成角的大小为 ．16.非零向量,m n 的夹角为3π，且满足n m λ= （0λ>），向量组123,,x x x 由一个m 和两个n 排列而成，向量组123,,y y y 由两个m 和一个n 排列而成，若112233x y x y x y ∙+∙+∙ 所有可能的最小值为24m ，则λ= ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14m S -=-，0m S =，214m S +=（*2,m m N ≥∈）. （1）求m 的值； （2）若数列{}n b 满足*2log ()2nn a b n N =∈，求数列{(6)}n n a b +∙的前n 项和n T . 18. 如图，三棱柱ABC DEF -中，侧面ABED 是边长为2的菱形，且3ABE π∠=，BC =四棱锥F ABED -的体积为2，点F 在平面ABED 内的正投影为G ，且G 在AE 上，点M 是在线段CF 上，且14CM CF =.（1）证明:直线//GM 平面DEF ； （2）求二面角M AB F --的余弦值.19. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率 1A 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10% 2A上两个年度未发生责任道路交通事故 下浮20% 3A 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30% 4A上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 0% 5A 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮10% 6A上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%某机购为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型 1A2A3A4A5A6A数量105520155以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题： （1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，950a =，记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X 的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数学）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事用户车盈利10000元； ①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值.20. 设,,M N T 是椭圆2211612x y +=上三个点，,M N 在直线8x =上的射影分别为11,M N . （1）若直线MN 过原点O ，直线,MT NT 斜率分别为12,k k ，求证12k k 为定值；（2）若,M N 都不是椭圆长轴的端点，点()3,0L ，11M N L ∆与MNL ∆面积之比为5，求MN 中点K 的轨迹方程.21. 已知函数()ln(1)f x m x =+，()1xg x x =+（1x >-）. （1）讨论函数()()()F x f x g x =-在(1,)-+∞上的单调性；（2）若()y f x =与()y g x =的图象有且仅有一条公切线，试求实数m 的值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x a a y a ββ=+⎧⎨=⎩，（0a >，β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程3cos()32πρθ-=.（1）若曲线C 与l 只有一个公共点，求a 的值； （2）,A B 为曲线C 上的两点，且3AOB π∠=，求OAB ∆的面积最大值.23.选修4-5：不等式选讲设函数()121f x x x =--+的最大值为m . （1）作出()f x 的图象；（2）若22223a c b m ++=，求2ab bc +的最大值.试卷答案一、选择题1-5: CDCAB 6-10:BBCAD 11、12：DA 二、填空题13. 16 14. ( 15. 030 16. 83三、解答题 17.解：（1）由已知得14m m m a S S -=-=，且12214m m m m a a S S ++++=-=， 设数列{}n a 的公差为d ，则有2314m a d +=，∴2d =， 由0m S =得1(1)202m m ma -+⨯=，即11a m =-， ∴12(1)14m a a m m =+-=-=，∴5m =.（2）由（1）知14a =-，2d =，∴26n a n =-，∴32n n b -=，∴32(6)222n n n n a b n n --+∙=⨯=⨯.∴10132122232(1)22n n n T n n ---=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ① ∴0132121222(2)2(1)22n n n n T n n n ---=⨯+⨯++-⨯+-⨯+⨯ ② ①-②得1210121111222122222222122n n n n n n n T n n n ---------⨯-=++++-⨯=-⨯=--⨯- ，∴11(1)22n n T n -=-∙+（*n N ∈）. 18.证明：（1）因为四棱锥F ABED -的体积为2，即14223F ABED V FG -=⨯⨯=，∴FG =.又BC EF ==，∴32EG =，即点G 是靠近点A 的四等分点，过点G 作//GK AD 交DE 于点K ，则3344GK AD CF ==， 又34MF CF =，∴MF GK =且//MF GK ，∴MFKG 是平行四边形， ∴//GM FK ，又GM ⊄面DEF ，FK ⊂面DEF ，∴//GM 平面DEF（2）设,AE BD 相交于点O ，则OB OE ⊥，以点O 为原点，,OB OE分别为,x y 轴的正方向建立如图空间直角坐标系，则(0,1,0)A -，B，1(0,2F -，5(44M -，∴(1,0)BA =-，5(44BM =--，1(2BF =- ，设面ABM 法向量1111(,,)n x y z = ，则由1100n BA n BM ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩得111110504y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩取1(1n =-；面ABF 法向量1222(,,)n x y z = ，则由2200n BA n BM ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩得22222012y y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩取2(2,n =-；∴121212cos ,85n n n n n n ∙==-； 又二面角M AB F --的平面角锐角，故二面角M AB F --19.解：（1）由题意可知X 的可能取值为0.9a ，0.8a ，0.7a ，a ，1.1a ，1.3a ， 由统计数据可知：1(0.9)6P X a ==；1(0.8)12P X a ==；1(0.7)12P X a ==；1()3P X a ==1( 1.1)4P X a ==；1( 1.3)12P X a ==；故X 的分布列为：X 0.9a 0.8a 0.7aa1.1a 1.3aP16 112 112 13 1411211111111911305()0.90.80.7 1.1 1.394261212341212012a E X a a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==≈.（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为13，故三辆车中至多有一辆事故车的概率313311220(1)()33327P C =-+=. ②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为-5000，10000. 所以Y 的分布列：Y -5000 10000P1323Y 的数学期望12()500010000500033E Y =-⨯+⨯=.故销售商一次购进100辆车龄已满三年二手车获得利润期望值为100()50E Y =万元. 20.解：（1）设(,)M p q ，(,)N p q --，00(,)T x y ，则22012220y q k k x p -=-，又2222001161211612p q x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22220001612x p y q --+=，即22022034y q x p -=--，∴1234k k =-. （2）设直线MN 与x 轴相交于点(,0)R r ，132MNL M N S r y y ∆=-∙-，1111152M N L M N S y y ∆=⨯-，由于115M N L MNL S S ∆∆=且11M N M N y y y y -=-，得31r -=，4r =（舍去）或2r =. 即直线MN 经过点(2,0)F ，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，00(,)K x y ， ①当直线MN 垂直于x 轴时，弦MN 中点为(2,0)F ； ②当直线MN 与x 轴不垂直时，设MN 方程为(2)y k x =-，则由22(2)3448y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(34)1616480k x k x k +-+-=，21221634k x x k +=+，2122164834k x x k-=+， 202834k x k =+，02634k y k -=+，消去k 整理得22004(1)13y x -+=（00y ≠） 综上，MN 中点K 的轨迹方程224(1)13y x -+= （0x >）或223460x y x +-=（0x >）. 21.解：（1）'''221(1)1()()()1(1)(1)m m x F x f x g x x x x +-=-=-=+++，（1x >-）， 当0m ≤时，'()0F x <，函数()F x 在(1,)-+∞上单调递减；当0m >时，令'()0F x <，得111x m -<<-+，函数()F x 在1(1,1)m--+上单调递减；'()0F x >，得11x m >-+，函数()F x 在1(1,)m-++∞上单调递增.综上：当0m ≤时，函数()F x 的单调递减区间是(1,)-+∞； 当0m >时，函数()F x 的单调递减区间是1(1,1)m --+；单调递增区间是1(1,)m-++∞. （2）函数()ln(1)f x m x =+在点(,ln(1))a m a +处的切线方程为ln(1)()1my m a x a a -+=-+， 即ln(1)11m ma y m a a a =++-++； ()1x g x x =+（1x >-）在点(,)1b b b +处切线为21()1(1)b y x b b b -=-++，即2221(1)(1)b y x b b =+++； 因为()y f x =与()y g x =的图象有且仅有一条公切线，所以22211(1)ln(1)1(1)m a b ma bm a a b ⎧=⎪++⎪⎨⎪+-=⎪++⎩①②有唯一一对(,)a b 满足这个方程组，且0m >. 由①得：21(1)a m b +=+，代入②消去a 整理得：22ln(1)ln 101m b m m m b +++--=+，关于(1)b b >-的方程有唯一解. 令2()2ln(1)ln 11b m b m m m b ϕ=+++--+，则'22222[(1)1]()1(1)(1)m m b b b b b ϕ+-=-=+++， 方程组有解时，0m >，所以()b ϕ在1(1,1)m --+单调递减，在1(1,)m-++∞单调递增； 所以min 1()(1)ln 1b m m m mϕϕ=-+=--， 因为b →+∞，()b ϕ→+∞；1b →-，()b ϕ→+∞，所以只需ln 10m m m --=， 令()ln 1m m m m ϑ=--，'()ln m m ϑ=-，又'(1)0ϑ=，所以()m ϑ在(0,1)单增，在(1,)+∞单减，所以max ()(1)0m ϑϑ==，所以1m =时，ln 10m m m --=，此时关于b 的方程22ln(1)ln 101m b m m m b +++--=+有唯一解0b =，0a b ==，公切线方程为y x =. 故m 的值为1. 22.解：（1）曲线C 是以(,0)a 为圆心，以a 为关径的圆；直线l的直角坐标方程：30x -=；由直线l 与圆C 只有一个公共点，则可得32a a -=，解得：3a =-（舍去）或1a =，故1a =. （2）因为曲线C 是以(,0)a 为圆心，以a 为半径的圆，且3AOB π∠=，由正弦定理得：2sin3AB a π=，所以AB =.由余弦定理得22223AB a OA OB OA OB OA OB ==+-∙≥∙，所以211sin 3232OABS OA OB a π∆=∙≤⨯=OA OB =时取“=”故OAB ∆的面积的最大值是24. 23. 解：（1）12()21()3(1)22(1)x x f x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪--≥⎪⎪⎩，图象如图： （没有()f x 的解析式，需要在图中标示出12x =-，1x =对应的关键点坐标，否则扣分）（2）由（1）知32m =∵2222222323()2()242m a c b a b c b ab bc ==++=+++≥+ ∴324ab bc +≤，当且仅当a b c ==时，取“=”， 故2ab bc +的最大值为34.。
南山中学2016-2017学年高一(下)入学数学试卷(解析版)
2016-2017学年四川省绵阳市南山中学高一（下）入学数学试卷一.选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．设全集U=R，A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|2x＞1}，则A∩（∁U B）=（）A．（0，1） B．（﹣2，0）C．（﹣2，0]D．（﹣2，+∞）2．扇形的半径为1，周长为4，则扇形的圆心角弧度数的绝对值为（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知AD为△ABC的中线，则=（）A． +B．﹣C．﹣D．+4．已知函数f（x）=，则=（）A．B．C．D．﹣5．函数f（x）=e x+3x的零点所在的一个区间是（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣，0）C．（0，﹣）D．（，1）6．已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f （x）是递减的，则m的值为（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．37．若函数f（x）=x2﹣4x+a对于一切x∈[0，1]时，恒有f（x）≥0成立，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，3）8．若函数，则f（x）（）A．图象关于对称B．图象关于对称C．在上单调递减D．单调递增区间是9．函数y=log a x （x ＞0）且a ≠1）的图象经过点（2，﹣1），函数y=b x （b ＞0）且b ≠1）的图象经过点（1，2），则下列关系式中正确的是（ ）A ．a 2＞b 2B ．2a ＞2bC ．（）a ＞（）bD ．a＞b10．根据统计，一名工人组装第x 件产品所用的时间（单位：分钟）为f （x ）=（a ，c 为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a件产品用时5分钟，那么c 和a 的值分别是（ ） A ．75，25 B ．75，16 C ．60，144 D ．60，1611．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a 满足f （lga ）+f （lg ）≤2f （1），则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，10]B ．[，10] C ．（0，10] D ．[，1]12．函数f （x ）=（）|x ﹣1|+2cosπx （﹣2≤x ≤4）的所有零点之和等于（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8二.填空题：（本题共4小题，每小题3分，共12分）13．已知=（2，1），=（2，﹣2），则2﹣= ．14．（）+log 3+log 3= ．15．若函数f （x ）=的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ．16．近年来青海玉树多次发生地震，给当地居民带来了不少灾难，其中以2010年4月1号的7.1级地震和2016年10月17号的6.2级地震带来的灾难较大；早在20世纪30年代，美国加州理工学院的地震物理学家里克特就制定了我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M=lgA ﹣lgA 0（其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅），那么7.1级地震的最大振幅是6.2级地震的最大振幅的 倍．三.解答题：（本题共4小题，共40分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为偶函数，且函数图象的相邻两条对称轴间的距离为（1）求f（）（2）求函数f（x）的单调减区间．18．已知函数f（x）=x2+ax+4（1）若f（x）在[1，+∞）上递增，求实数a的范围；（2）求f（x）在[﹣2，1]上的最小值．19．已知函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x+1（1）求f（x）的最小正周期；（2）将f（x）的图象沿x轴向左平移m（m＞0）个单位，所得函数g（x）的图象关于直线x=对称，求m的最小值及m最小时g（x）在[0，]上的值域．20．已知函数f（x）=a+（a∈R）是奇函数（1）利用函数单调性定义证明：f（x）在（0，+∞）上是减函数；（2）若f（|x|）＞k+log2•log2对任意的m∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．2016-2017学年四川省绵阳市南山中学高一（下）入学数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．设全集U=R，A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|2x＞1}，则A∩（∁U B）=（）A．（0，1） B．（﹣2，0）C．（﹣2，0]D．（﹣2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】解不等式求出集合B，根据补集与交集的定义计算即可．【解答】解：全集U=R，A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|2x＞1}={x|x＞0}，∴∁U B={x|x≤0}，∴A∩（∁U B）={x|﹣2＜x≤0}=（﹣2，0]．故选：C．2．扇形的半径为1，周长为4，则扇形的圆心角弧度数的绝对值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】弧长公式．【分析】利用扇形的周长及半径，可求弧长，利用弧长公式即可求得扇形的圆心角的弧度数，从而得解．【解答】解：设扇形的圆心角的弧度数为α，扇形弧长为l，周长为L，圆的半径为r，由题意可得：r=1，L=4，可得：l=L﹣2r=4﹣2×1=2，则由l=αr，可得：α==2．故选：B．3．已知AD为△ABC的中线，则=（）A． +B．﹣C．﹣D．+【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】由AD为△ABC的中线，利用平行四边形法则能求出．【解答】解：∵AD为△ABC的中线，∴由平行四边形法则得：=（）=．故选：D．4．已知函数f（x）=，则=（）A．B．C．D．﹣【考点】函数的值．【分析】先求出f（）=sin=﹣sin=﹣，从而=f（﹣），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）=sin=﹣sin=﹣，=f（﹣）==．故选：B．5．函数f（x）=e x+3x的零点所在的一个区间是（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣，0）C．（0，﹣）D．（，1）【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据函数f（x）=e x+3x是R上的连续函数，且单调递增，f（﹣）f（0）＜0，结合函数零点的判定定理，可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=e x+3x是R上的连续函数，且单调递增，f（﹣）=e﹣+3×（﹣）=﹣＜0，f（0）=e0+0=1＞0，∴f（﹣）f（0）＜0，∴f（x）=e x+3x的零点所在的一个区间为（﹣，0），故选：B．6．已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f （x）是递减的，则m的值为（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．3【考点】幂函数的性质．【分析】根据幂函数的定义求出m的值，代入检验即可．【解答】解：由题意得：m2﹣m﹣1=1，解得：m=2或m=﹣1，m=2时，f（x）=x3，递增，不合题意，m=﹣1时，f（x）=x﹣3，递减，符合题意，故选：A．7．若函数f（x）=x2﹣4x+a对于一切x∈[0，1]时，恒有f（x）≥0成立，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，3）【考点】二次函数的性质．【分析】由题意可得a≥﹣（x2﹣4x）对一切x∈[0，1]恒成立，由由g（x）=﹣（x2﹣4x）=﹣（x﹣2）2+4，当且仅当x=1时取得最大值3，即可得到a的范围．【解答】解：函数f（x）=x2﹣4x+a对于一切x∈[0，1]时，恒有f（x）≥0成立，即有a≥﹣（x2﹣4x）对一切x∈[0，1]恒成立，由g（x）=﹣（x2﹣4x）=﹣（x﹣2）2+4，当且仅当x=1时取得最大值3，∴a≥3．故选A．8．若函数，则f（x）（）A．图象关于对称B．图象关于对称C．在上单调递减D．单调递增区间是【考点】正弦函数的图象．【分析】根据正弦函数的图象和性质依次判断即可．【解答】解：函数，对于A：函数的对称轴方程为：=，得x=，（k∈Z），A 不对．对于B：当x=时，即f（）=sin（）=1，∴图象不关于对称．B不对．对于C：由，可得：≤x≤4kπ，（k ∈Z），C对．对于D：由，可得：≤x≤4kπ，（k ∈Z），D不对．故选C．9．函数y=log a x（x＞0）且a≠1）的图象经过点（2，﹣1），函数y=b x（b＞0）且b≠1）的图象经过点（1，2），则下列关系式中正确的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．（）a＞（）b D．a＞b【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由已知条件，把点的坐标代入对应的函数解析式，求出a=、b=2，从而可得结论．【解答】解：∵函数y=log a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，﹣1），∴log a 2=﹣1，∴a=．由于函数y=b x（b＞0且b≠1）的图象经过点（1，2），故有b1=2，即b=2．故有b＞a＞0，∴（）a＞（）b，故选：C．10．根据统计，一名工人组装第x件产品所用的时间（单位：分钟）为f（x）=（a，c为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a件产品用时5分钟，那么c和a的值分别是（）A．75，25 B．75，16 C．60，144 D．60，16【考点】分段函数的应用．【分析】首先，x=a的函数值可由表达式直接得出，再根据x=4与x=a的函数值不相等，说明求f（4）要用x＜a对应的表达式，将方程组联解，可以求出c、a 的值【解答】解：由题意可得：f（a）==5，所以c=5，而f（4）==30，可得出=30，故c=60，a=144，故选：C11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（lga）+f（lg）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，10]B．[，10]C．（0，10] D．[，1]【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（lga）+f（lg）≤2f（1），等价为f（lga）+f（﹣lga）=2f（lga）≤2f（1），即f（lga）≤f（1）．∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增，∴f（lga）≤f（1）等价为f（|lga|）≤f（1）．即|lga|≤1，∴﹣1≤lga≤1，解得≤a≤10，故选：B．12．函数f（x）=（）|x﹣1|+2cosπx（﹣2≤x≤4）的所有零点之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】构造函数，确定函数图象关于直线x=1对称，利用﹣2≤x≤4时，函数图象的交点共有6个，即可得到函数的所有零点之和．【解答】解：构造函数∵﹣2≤x≤4时，函数图象都关于直线x=1对称∴函数图象关于直线x=1对称∵﹣2≤x≤4时，函数图象的交点共有6个∴函数的所有零点之和等于3×2=6故选C．二.填空题：（本题共4小题，每小题3分，共12分）13．已知=（2，1），=（2，﹣2），则2﹣=（2，4）．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】据条件即可得出，，进行向量坐标的数乘和减法运算即可得出答案．【解答】解：．故答案为：（2，4）．14．（）+log3+log3=．【考点】对数的运算性质．【分析】利用指数、对数的性质、运算法则求解．【解答】解：（）+log3+log3=+=．故答案为：．15．若函数f（x）=的值域为R，则实数a的取值范围是（1，4] ．【考点】分段函数的应用．【分析】f（x）是分段函数，在每一区间内求f（x）的取值范围，再求它们的并集得出值域；由f（x）的值域为R，得出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=，当8＞a＞1时，f（x）=a x，在（1，+∞）上为增函数，f（x）∈（a，+∞）；当x≤1时，f（x）=（4﹣）x+2，在（﹣∞，1]上的值域，f（x）∈（﹣∞，6﹣]；若f（x）的值域为R，则（﹣∞，6]∪（a，+∞）=R，则6﹣≥a，即1＜a≤4；当a∈（0，1）时，指数函数是减函数，一次函数是增函数，值域不可能为R．当a≥8时，指数函数是增函数，一次函数是减函数，函数的值域不可能为R．则实数a的取值范围是（1，4]．故答案为：（1，4]．16．近年来青海玉树多次发生地震，给当地居民带来了不少灾难，其中以2010年4月1号的7.1级地震和2016年10月17号的6.2级地震带来的灾难较大；早在20世纪30年代，美国加州理工学院的地震物理学家里克特就制定了我们常说的里氏震级M，其计算公式为M=lgA﹣lgA0（其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅），那么7.1级地震的最大振幅是6.2级地震的最大振幅的100.9倍．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】由题意，设7.1级地震的最大振幅是A，6.2级地震的最大振幅是B，则7.1﹣6.2=lgA﹣lgB，即可得出结论．【解答】解：由题意，设7.1级地震的最大振幅是A，6.2级地震的最大振幅是B，则7.1﹣6.2=lgA﹣lgB，∴=100.9；故答案为100.9．三.解答题：（本题共4小题，共40分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为偶函数，且函数图象的相邻两条对称轴间的距离为（1）求f（）（2）求函数f（x）的单调减区间．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）根据f（x）为偶函数求得φ的值，再根据图象的相邻两条对称轴间的距离为，求得ω的值，可得函数的解析式，从而求得f（）．（2）利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调减区间．【解答】解：（1）∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为偶函数，∴φ=，∵函数图象的相邻两条对称轴间的距离为，∴==，∴ω=2，f（x）=2cos2x，∴f（）=2cos=．（2）令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+，可得函数的减区间为[kπ，kπ+]，k∈Z．18．已知函数f（x）=x2+ax+4（1）若f（x）在[1，+∞）上递增，求实数a的范围；（2）求f（x）在[﹣2，1]上的最小值．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）求出函数f（x）的对称轴，得到关于a的不等式，解出即可；（2）通过讨论a的范围，求出函数的最小值即可．【解答】解：（1）若f（x）在[1，+∞）上递增，则对称轴x=﹣≤1，∴a≥﹣2；（2）f（x）的对称轴是：x=﹣，﹣≤﹣2时，即a≥4时，f（x）在[﹣2，1]递增，故f（x）min=f（﹣2）=8﹣2a，﹣≥1时，即a≤﹣2时，f（x）在[﹣2，1]递减，故f（x）min=f（1）=5+a，﹣2≤a≤4时，f（x）在[﹣2，﹣）递减，在（﹣，1]递增，f（x）min=f（﹣）=4﹣，综上：f（x）min=．19．已知函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x+1（1）求f（x）的最小正周期；（2）将f（x）的图象沿x轴向左平移m（m＞0）个单位，所得函数g（x）的图象关于直线x=对称，求m的最小值及m最小时g（x）在[0，]上的值域．【考点】三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x﹣），利用正弦函数的周期公式即可计算得解．（2）利用三角函数的图象变换规律可求g（x）=2sin（2x+2m﹣），由于题意，可求+2m﹣=+2kπ，k∈Z，结合m＞0，可求m的最小值，进而结合x 的范围，利用正弦函数的图象和性质可求其值域．【解答】解：（1）f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），∴T==π，（2）∵g（x）=2sin（2x+2m﹣），图象关于直线x=对称，∴+2m﹣=+2kπ，k∈Z，∴m=kπ+，k∈Z，∴m min=，此时，g（x）=2sin（2x+），又∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴g（x）∈[，2]．20．已知函数f（x）=a+（a∈R）是奇函数（1）利用函数单调性定义证明：f（x）在（0，+∞）上是减函数；（2）若f（|x|）＞k+log2•log2对任意的m∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）得到f（|x|）＞k+（t﹣1）（2﹣t），根据函数f（x）的单调性得到1≥k+（t ﹣1）（2﹣t），求出k的范围即可．【解答】解：（1）证明：任意x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a+﹣a﹣=﹣=，∵0＜x1＜x2，∴﹣＞0，﹣1＞0，﹣1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即：f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，+∞）递减；（2）∵f（x）是定义域上的奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），故a=1，∵f（|x|）＞k+（log2m﹣1）（log24﹣log2m）=k+（log2m﹣1）（2﹣log2m），令t=log2m，m＞0，故t∈R，∴f（|x|）＞k+（t﹣1）（2﹣t），又∵f（x）在（0，+∞）是减函数，∴f（x）＞1，（当x＞0时）∴1≥k+（t﹣1）（2﹣t），∴k≤+，∴k≤．2017年4月15日。
四川省绵阳市南山中学实验学校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题
D．
f
( x)
关于直线
x
=
π 12
对称
11．关于函数 f ( x) = cos x + sin x 的下述四个结论中，正确的有（ ）
A． f ( x) 是偶函数
B． f ( x) 的最大值为 2
C． f ( x) 在[-π,π ] 有3 个零点
D．
f
(x)
在区间
æ çè
0,
π 4
ö ÷ø
单调递增
12．已知函数
14．在
VABC
中，若 sin
A+ 2
B
=
sin
C
，则 C
=
.
15．若
x
Î
éêë0,
ππö 2 ø÷
U
æ èç
2
,π
ö ø÷
，则不等式
tan
x
³
-1的解集为
.
16．函数 f (x) = 3sin x - 3 cos x - 2 ( x Î[0, 2p ]) 的所有零点之和为 .
试卷第31 页，共33 页
3π 2
且
x
¹
π 2
）的图像是（
）.
A．
B．
C．
D．
5．已知
a
=
sin
6π 7
，
b
=
sin
4π 7
，
c
=
sin
2π 7
，则（
）
试卷第11 页，共33 页
A． a > b > c
B． c > b > a
C． c > a > b
D． b > c > a
四川省绵阳南山中学高一数学下学期期中试题
绵阳南山中学高2016届2014年春季半期考数学试题(共100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.︒-︒5.22tan 15.22tan 2的值是( )A.21B.21- C.1 D.-1 2.已知a 、b 、c 为△ABC 的三边,且2()()a c a c b bc +-=+,则角A 等于( )A.150︒B.120︒C.60︒D.30︒3.已知等差数列{n a }中208732=+++a a a a ,则该数列前9项和S 9等于( )A.18B.27C.36D.45 4.设)3,1(A ，)3,2(--B ，)7,(x C ，若则x 的取值是( )A.18B.15C.3D.05.若||2sin15,||4cos15,a b a ==o o r r r 与b r 的夹角为30o，则a b ⋅r r 的值为( )A.32B.3C.23 D.21 6.已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =( )A.9B.8C.7D.67.在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别是c b a 、、，已知c B a =cos 2,那么△ABC 一定是 ( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.正三角形 8.2cos10°－sin20°sin70°的值是( )A.12B.32C. 3D. 2 9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，150,114106==s s ，则使得n s 取最大值时n 的值 为( )A.11或12B.12C.13 D12或13 10.在△ABC 中，已知C BA sin 2tan=+，则以下四个命题中正确的是( )①1tan 1tan =⋅BA ②2sin sin 1≤+<B A ③12cos 2sin =+B A ④C B A 2sin 2cos 2cos =+A.①③B.①④C.②③D.②④ 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11.=︒-︒15cos 15sin 44_________.12.已知||4,||1,a b a ==r r r 与b r 的夹角为θ，且|2|4,a b -=r r则cos θ的值为 __.13.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ．14.港口A 北偏东︒30方向的C 处有一观测站，港口正东方向的B 处有一轮船，测得BC 为31nmile,该轮船从B 处沿正西方向航行20nmile 后到D 处，测得CD 为21nmile,此时轮船离港口还有________nmile. 15.设32)2sin(,91)2cos(=--=-βαβα ，且20,2πβπαπ<<<<，则=+)cos(βα__________.三、解答题(本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且4cos 5B =,2=b . (1)当o 30=A 时，求a 的值；(2)当ABC ∆的面积为3时，求c a +的值.17.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=b a 若存在不同时为零的实数k 和t,使 y x b t a k y b t a x ρρρρρρρρ⊥+-=-+=且,)3(2.（1）试求函数关系式)(t f k =； （2）若()+∞∈,0t 时，不等式mt t k 41212+≥恒成立，求实数m 的取值范围.18.已知()()x x b x x a ωωωωcos ,cos 3,cos ,sin ==ρρ.设23)(+⋅=b a x f ρρ且它的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx 时，求函数)(x f 的值域.19.设等差数列{n a }的前n 项和n s ,且12,4224+==n n a a s s . (1)求数列{n a }的通项公式； (2)若数列{n b }满足)(2112211+∈-=++++N n a b a b a b n n n Λ,求{n b }的前n 项和n T .绵阳南山中学高2016届2014年春季半期考试数学试题(答案)一、选择题：1～5.ABDCB 6～10.BACDD 二、填空题：11.23- 12.41 13.31 14.15 15.729239- 三、解答题：16.解：(1)∵在ABC ∆中54cos =B ，则53sin =B -------------(2分) 由正弦定理B b A a sin sin =可得10sin 303a =o ,则35=a --------(5分) (2)∵ABC ∆的面积1sin 2S ac B =且53sin =B∴3310ac =即10=ac ------------------------------------(7分) 由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=可得: 36)(518)(5842222-+=-+=-+=c a ac c a ac c a ∴102,40)(2=+=+c a c a 即---------------------------(10分)17.解：(1)由题知:∣｜=2,｜｜=1,0=⋅a -----------------------(2分)∵⊥,则[]0)()3(2=+-⋅-+=⋅t k t 整理可得：)3(4)3()3()3(22222222=-+-=-+-=-+⋅--⋅+-t t k t t k t t t k t k ∴)0)(3(412≠-=t t t k -------------------------------------(5分)(2)∵当恒成立时，不等式mt t k t 4121),0(2+≥+∞∈∴上恒成立在),0(4121)3(4122+∞∈+≥-t mt t t t即上恒成立在),0(4)1(3222+∞∈--=--≤t t t t m ------------(7分)∴(]4,,4-∞--≤的取值范围是即实数m m --------------------(10分)18.解:(1)由题知：23cos cos sin 323)(2++=+⋅=x x x x f ωωω 22cos 212sin 23++=x x ωω 2)62sin(++=πωx -----------(4分)∵函数)(x f 的最小正周期为π ∴1,22====ωπωπωπ则T -------------------------------(5分) (2)由(1)知:2)62sin()(,1++==πωx x f 则∵67626),2,0(ππππ<+<∈x x 则------------------------(7分) ∴32)62sin(23,1)62sin(21≤++<≤+<-ππx x 即---------(9分) ∴函数)(x f 在)2,0(π∈x 上的值域是⎥⎦⎤⎝⎛3,23----------------(10分) 19.解(1):设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 4＝4S 2, a 2n ＝2a n ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋（2n －1）d ＝2a 1＋2（n －1）d ＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.---------------(2分) ∴a n ＝2n －1，n ∈N *.----------------------------------------------------------(4分)(2)由已知b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *，当n ＝1时，b 1a 1＝12；当n ≥2时，b n a n ＝1－12n －(1－12n －1)＝12n .---------------------------------------(5分)经验证2111=a b 满足nn ab ，所以 b n a n ＝12n ，n ∈N *------------------------------(6分)由(1)知a n ＝2n －1，n ∈N *，则b n ＝2n －12n ，n ∈N *-------------------------(7分)∴T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n .………①12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1.……② 由①-②可得：12T n ＝12＋(222＋223＋…＋22n )－2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1------------------(9分) ∴T n ＝3－2n ＋32n--------------------------------------------------------------------(10分)绵阳南山中学高2016届2014年春季半期考试班级 姓 考数学试题答卷二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，将答案直接填写在题中横线上．11. ; 12 ； 13．；14． _； 15． ;三、解答题：每小题10分，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本题满分10分）17.（本题满分10分）18.（本题满分10分）19.（本题满分10分）---密--------------------------------------封--------------------------------------------线-------------------------------------------------------------。
2016届四川省绵阳南山中学高三下三诊考试数学(文)试题(解析版)
2016届四川省绵阳南山中学高三下三诊考试数学（文）试题一、选择题1．已知集合{0,1,2}A =,{,3,4}B m =.若}2{=B A ,则实数m =（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C【解析】试题分析：若}2{=B A ,那么B ∈2，则2=m ，故选C. 【考点】集合的运算2．复平面内,复数2z i i =+,则复数z 对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B【解析】试题分析：i i i z +-==12，复数z 在复平面内的点是()1,1-，为第二象限，故选B.【考点】复数3．下列函数中,在定义域内是奇函数,且在区间(-1,1)内仅有一个零点的函数是（ ） A.sin y x = B.2log ||y x =C.212y x =-D.1y x= 【答案】A【解析】试题分析：x y 2log =是偶函数，212-=x y 也是偶函数，xy 1=是奇函数，但在区间)1,1(-内没有零点，并且在定义域内没有零点，只有x y sin =是奇函数，且在区间)1,1(-内只有一个零点，当0=x 时，0=y ，满足条件，故选A. 【考点】函数的性质4．为了得到sin 2y x =的图象,只需将cos 2y x =的图象沿x 轴( )A.向左平移4π个单位B.向右平移4π个单位 C.向左平移2π个单位 D.向右平移2π个单位【答案】B【解析】试题分析：根据诱导公式，)22sin(2cos π+==x x y ，所以为了得到sin 2y x=的图象,只需将cos 2y x =的图象沿x 轴向右平移4π个单位长度，故选B. 【考点】三角函数的图像变换【方法点睛】对于三角函数的图像变换：如果变换前后两个函数是同名三角函数，只需考虑变换，“左＋右－”是相对于自变量x 来说，如果变换之前是x ω，向左或向右平移ϕ个单位，注意要提出ω，即变换为()ϕω±x ，如果是横向伸缩，如果是伸长或缩短到原来的ω倍，那x 要变为x ω1，如果是纵向变换，就是“上＋下－”，向上或向下平移h 个单位，变换为()h x f y ±=，纵向伸长或缩短到原来的A 倍，就变换为()x Af y =，如果前后两个函数不同名，就要先根据诱导公式化为同名三角函数，再变换.5．执行如图所示的程序框图,如果输入的3x t ==,则输出的M 等于（ ）A.3B.113C.196D.376【答案】C【解析】试题分析：第一次进入循环得到3=M 32311=-=x ，332≥否，第二次进入循环，311323=+=M ,21231-=-=x ，321≥-否，第三次进入循环，61921311=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=M ,321=+=x ，33≥是，推出循环，输出值是619，故选C. 【考点】循环结构6．若(),(),22x x x xe e e ef xg x --+-==则下列等式不正确的是（ ） A.2(2)2()1f x g x =+ B.22()()1f x g x -=C.22()()(2)f x g x f x += D.()()()()()f x y f x f y g x g y +=- 【答案】D 【解析】试题分析：22(22xx e e x f -+=），21221)(22222xx x x e e e e x g --+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=+,即()12)2(2+=x g x f ，A 正确；1)()(22=-x g x f ,B 成立；)2(2)()(2222x f e e x g x f xx =+=+-，C 成立；x xy yx x yyx yxy x y yxe e e e e e e ee e ee e ef (x )f (y )g (x )g (y )222222--------++--++-=⨯-⨯==，()2yx y x e e y x f --++=+，显然不等，所以D 不正确，故选D.【考点】指数运算7．已知点A 为抛物线C:x 2=4y 上的动点(不含原点),过点A 的切线交x 轴于点B,设抛物线C 的焦点为F,则∠ABF 一定是( ) A.钝角 B.锐角C.直角D.上述三种情况都可能 【答案】C【解析】试题分析：由y x 42=可得，241x y =，所以x y 21='，设⎪⎪⎭⎫⎝⎛4,200x x A ，则过A 的切线方程为：()0020214x x x x y -=-，令0=y ，可得021x x =所以⎪⎭⎫⎝⎛0,210x B ，()10，F ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4,2120x x ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,210x ，所以0=⋅,即090=∠ABF ,故选C.【考点】1.抛物线的几何性质；2.向量数量积.8．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,其俯视图如下所示：则下列命题中正确的是( )A.四棱锥四个侧面中不存在两组侧面互相垂直B.四棱锥的四个侧面可能全是直角三角形C.若该四棱锥的左视图为直角三角形,则体积为43D.若该四棱锥的正视图为正方形,则四棱锥的侧面积为6+俯视图【答案】C【解析】试题分析：⊥EF 底面ABCD ,底面是正方形，所以BC AB ⊥,EF AB ⊥,那么⊥AB 平面BCF ,所以平面⊥ABF 平面BCF ,同理平面⊥DCF 平面BCF ,所以存在两组侧面互相垂直，A 不正确；ABF ∆，DCF ∆是直角三角形，若BCF ∆是直角三角形，那就是等腰直角三角形，090,2=∠==BFC FC BF ,这样6==DF AF ,2=AD ,这样ADF ∆不是直角三角形，故B 不正确；左视图若是直角三角形，那么090,2=∠==BFC FC BF ，1=FE ,3412231=⨯⨯⨯=-ABCD F V ,C 不正确；若正视图是正方形，那么2=FE ,5==CF BF ,3==DF AF ,这样四棱锥的侧视图的面积就是()2252213252222212++=-⨯+⨯⨯+⨯=S ,D 不正确，故选C.【考点】1.三视图；2.几何体的体积和表面积. 9．已知0<a<b,函数1()2f x x=+,则对于任意12,[,]x x a b ∈且12x x ≠,使1212()()()()g x g x f b f a x x -≤≤-恒成立的函数g(x)可以是（ ）A.21()1g x x =-+ B.()ln 2g x x x =+ C.1()2g x x =-- D.1()(2)x g x e x=+ 【答案】B【解析】试题分析：由于对于任意[]b a x x ,,21∈且21x x ≠，使()()()()a f x x x g x g b f ≤--≤2121恒成立，则对于任意[]b a x ,∈，恒有()()()a f x g b f ≤'≤，由于b a <<0，函数xx f 12)(+=在[]b a ,上单调减函数，则只需使()()x f x g ='即可，若()xx g 12+='，那么可能的()x x x g ln 2+=，故选B. 【考点】导数的应用【思路点睛】导数的应用问题，属于中档题型，问题的关键是弄明白()()2121x x x g x g --表示什么，如何转化，表示曲线上任两点连线的斜率，曲线存在在某点处的切线斜率等于曲线两点连线的斜率，转化为()()()a f x g b f ≤'≤，也就是说()x g '满足单调递减函数就可以，而()x f 本身就是单调递减函数，所以令()()x f x g ='就可以，得到选项. 10．如图,曲线Γ在顶点为O 的角α的内部,A 、B 是曲线Γ上任意相异两点,且α≥∠AOB,我们把满足条件的最小角叫做曲线Γ相对于点O 的“确界角”.已知O 为坐标原点,曲线C的方程为2(0)232(0)x y x x x ≤=-+>⎩,那么它相对于点O 的“确界角”等于（ ）A.3π B.23π C.512π D.712π 【答案】D【解析】试题分析：如图得到函数的图像，当0≤x 时，曲线的渐近线是x y 33-=，与y 轴正半轴的夹角是3π，当0>x 时，设过原点的直线与曲线切于点()232,0200+-x x x A ，那么需满足，解得10=x ，即1=OA k ,切线与y 轴正半轴的夹角是4π，那么曲线相对于原点的“确界角”等于πππ12743=+，故选D.【考点】1.函数图像的应用；2.导数.【思路点睛】本题是函数图像的应用问题，属于中档题型，本题的两个关键，一个是审题清楚，能读懂题，二是正确画图，通过图像确定曲线相对于原点的“确界角”是哪两条直线的夹角，弄清这两点，就好入手答题了，问题的重点是求过原点的曲线的切线，对于求曲线的切线问题，首先要设切点，根据导数的几何意义，先求出切点，就好求切线了，弄清楚这三步，问题就迎刃而解了.二、填空题 11．34log log 2+=________. 【答案】0【解析】试题分析：原式=02121-=+,故填：0. 【考点】对数12．在边长为2的菱形ABCD 中,∠ABC=3π,点P 是线段BD 上的一点,则AC AP ⋅等于 . 【答案】2【解析】试题分析：+=,+=,所以()()⋅+⋅+⋅+=+⋅+=⋅2()202424120cos 22202=+-=⋅+-=+⋅+⨯⨯+=AC BP BC AB BP ，故填：2.【考点】向量数量积13．已知由不等式组401x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩所确定的平面区域为Ω,则能够覆盖区域Ω的最小圆的方程为 .【答案】22(1)(2)1x y -+-= 【解析】试题分析：如图，画出可行域，可行域为等腰直角三角形，所以三角形的外接圆的圆心在斜边中点，半径是斜边的一半，即以点()2,1为圆心，半径为1的圆，所以填：22(1)(2)1x y -+-=. 【考点】1.线性规划；2.圆的方程.14．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.MN ABC DA【答案】300【解析】试题分析：由条件，15=∠MAD ,所以075=∠NMA ,45=∠CMA ,00604515=+=∠MAC ,所以0000754560180=--=∠ACM ,045=∠ACB ,这样在ACB ∆中，2200=AC ,在ACM ∆中，060sin 45sin MCAC =，解得3200=MC ,MNC ∆中，30023320060sin 0=⨯==MC MN ，故填：300. 【考点】解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.15．设1122(,),(,)M x y N x y 为两个不同的点,直线l:ax+by+c=0,1122ax by cax by cδ++=++.有下列命题：①不论δ为何值,点N 都不在直线l 上； ②若直线l 垂直平分线段MN,则δ=1；③若δ=-1,则直线l 经过线段MN 的中点；④若δ>1,则点M 、N 在直线l 的同侧且l 与线段MN 的延长线相交. 其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）. 【答案】①③④【解析】试题分析：①因为cby ax cby ax ++++=2211δ中，022≠++c by ax ，所以点()22,y x N 不在直线l 上，本选项正确； ②当0≠b 时，根据1=δ，得到12211=++++=c by ax c by ax δ，化简得abx x y y -=--1212，即直线MN 的斜率为a b -，又直线l 的斜率为ab-，①知点N 不在直线l 上，得到直线MN 与直线l 平行，当0=b 时，根据1=δ，得到12211=++++=cby ax cby ax δ，化简得：21x x =，直线MN 与直线l 的斜率不存在，都与y 轴平行，①知点N 不在直线l 上，得到直线MN 与直线l 平行，综上，当1=δ时，直线MN 与直线l 平行，本选项错误；③当1-=δ时，1-2211=++++=cby ax cby ax δ，化简得：0222121=++⋅++⋅c y y b x x a ，而线段MN 的中点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x ，所以直线l 经过线段MN 的中点，本选项正确；④当1>δ时，12211>++++=cby ax cby ax δ，即()()02211>++++c by ax c by ax ，所以点N M ,在直线l 的同侧，且c by ax c by ax ++>++2211，得到点N M ,到直线l 的距离不等，所以延长线于直线l 相交，本选项正确，所以命题正确的是①③④，故填：①③④.【考点】1.命题；2.直线.【方法点睛】主要考察了直线的相关问题，属于中档题型，问题是涉及比较新颖，所以需正确转化每个选项与题干的关系，问题的出发点就是条件1122ax by cax by cδ++=++的变形，每一次等价变形就是对每一个题干的正确理解，并且能正确转化为直线的相关性质的几何意义，设计的比较巧妙，但考察的还是基础问题.三、解答题16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足3548a a a +=+. （Ⅰ）求7S 的值；（Ⅱ）若12a =且31,,k k a a S +成等比数列,求正整数k 的值. 【答案】（Ⅰ）567=S ;(Ⅱ)2=k .【解析】试题分析：（Ⅰ）运用等差数列的性质，4532a a a =+计算4a ，然后再根据()4717727a a a S =+⨯=，代入即可求得结果；（Ⅱ）根据1a 和4a ，求得等差数列的公差，进而求得等差数列的通项公式，和前n 项和公式，根据所给三项成等比数列，得到k k S a a ⋅=+321，整理为关于k 的方程，求得正整数k 的值. 试题解析：(Ⅰ)因为在等差数列{}n a 中有3544a a a a +=+，48a ∴=. 所以174747()7275622a a a S a +⨯====. (Ⅱ)由(Ⅰ)知48a =，且12a =，所以2n a n =， 于是2(22)2n n n S n n +==+，所以2k S k k =+.又3236a =⨯=，12(1)k a k +=+，由已知可得213k ka a S +=，即22(22)6()k k k +=+， 整理得220k k --=，*k N ∈.解得1k =-(舍去)或2k =.故2k =.【考点】1.等差数列的性质；2.等比数列的性质. 17．设关于x 的方程2440x mx n ++=.（Ⅰ）若m ∈{1,2,3}，n ∈{0,1,2}，求方程有实根的概率；（Ⅱ）若m 、n ∈{-2,-1,1,2}，求当方程有实根时，两根异号的概率. 【答案】（Ⅰ）98=P ；（Ⅱ）21=P .【解析】试题分析：（Ⅰ）所有m 与n 的组合情况有933=⨯种，其中满足方程有实根，需要0≥∆，计算其中满足条件的情况种数，根据古典概型计算概率；（Ⅱ）若方程有实根，需满足0≥∆，所以首先计算满足0≥∆的情况种数，若两根异号，还需满足0421<=n x x ，计算有实根的条件下，满足0<n 的情况种数，再根据古典概型计算概率.试题解析：方程有实根016162≥-=∆n m ，即n m ≥2， （Ⅰ）m 与n 的所有可能结果为9种. 为使2m n ≥，则当m=3时，n=0，1，2； 当m=2时，n=0，1，2； 当m=1时，n=0，1. 共有8种结果. 方程有实根的概率98=P (Ⅱ)由条件知，在2m n ≥的条件下，求n<0的概率. 当m=-2时，n=-2，-1，1， 2； 当m=-1时，n=-1，1； 当m=1时，n=-1，1；当m=2时，n=-2，-1，1，2. 共有12种结果. ……9分其中使n 为负数的，只的6种情况，故所求概率等于61122p == 【考点】1.古典概型；2.二次方程. 18．已知函数12sin sin 2)(2-+=x x x f . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间； （Ⅱ）设20()cos()cos()sin 266x f ππααα=+-+，求0sin 2x 的值.【答案】(Ⅰ)Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++,83,8-ππππ;(Ⅱ)167.【解析】试题分析：(Ⅰ)首先化简函数，用到的公式包括x x 2cos sin 2-12=，和辅助角公式，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-42sin 22cos 2sin πx x x ，最后根据三角函数的性质得到不等式222,242k x k πππππ-+<-<+即求得函数的单调递增区间；（Ⅱ）根据上一问的计算结果x x x f cos sin 2-=⎪⎭⎫⎝⎛，然后根据两角和和差的余弦公式计算等号右边的式子，得到43cos sin 00=-x x ，最后两边平方即可求得结果.试题解析：(Ⅰ)()sin 2cos 2)4f x x x x π=-=-由222,242k x k πππππ-+<-<+得388k x k ππππ-+<<+ 3(,),,()88x k k k Z f x ππππ∈-++∈单増(Ⅱ)2220031())cos sin sin 2444x f x πααα=-=-+2233(sin cos )44αα=+= 003sin cos 4x x ∴-=00072sin cos sin 216x x x ==【考点】1.三角函数的恒等变形；2.辅助角公式；3.三角函数的性质.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，14AA =.C 1B 1A 1CBA（Ⅰ ）过BC 的截面交1A A 于P 点,若PBC ∆为等边三角形,求出点P 的位置；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，求四棱锥11P BCC B -与三棱柱111ABC A B C -的体积比.【答案】(Ⅰ) P 为1AA 的中点;(Ⅱ)31：. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据等边三角形，可计算PB 的长度，进而计算PA 是长度，可求得点P 的位置，(Ⅱ)四棱锥11B BCC P -的体积计算，其中点P 到底面的距离等于点A 到BC 的距离，根据等腰直角三角形的计算公式，得到点到线的距离就是斜边的一半，最后分别计算体积，得到体积比. 试题解析：(Ⅰ)22===BC PB PC ,()222222=-=PA即P 为1AA 的中点时， PBC ∆为等边三角形 (Ⅱ)1118=4=33P BCC B V -⨯1111=224=82ABC A C B V -⨯⨯⨯11P BCC B V -111:1:3ABC AC B V -= PC 1B 1A 1CBA【考点】1.平面；2.几何体的体积.20．已知离心率为2的椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>经过点(0,-1),且F 1、F 2分别是椭圆C 的左、右焦点,不经过F 1的斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如果直线AF 1、l 、BF 1的斜率依次成等差数列,求k 的取值范围,并证明AB 的中垂线过定点.【答案】（Ⅰ）1222=+y x ；（Ⅱ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∈,2222, k ，直线过定点），（021-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据条件22=a c ，1=b 和椭圆的性质222c b a +=，得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线l 的方程：m k m kx y ≠+=,，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并且0>∆，用坐标表示k k k BF AF 211=+，结合根与系数的关系，得到kk m 21+=，最后代入0>∆得到k 的取值范围；根据以上所求关系得到线段AB的中点，并且设出直线AB 的方程，经过整理得到)21(1+-=x k y ，得到定点. 试题解析：（Ⅰ）由条件知222112c b a a =-=（），且b=1，解得a 2=2， 椭圆C 的方程为2212x y +=. （Ⅱ）令直线l 的方程为()y kx m m k =+≠，代入椭圆方程2212x y +=得:222(12)42(1)0k x kmx m +++-=. 由>0∆得2222168(12)(1)0k m k m -+->，解之得2212m k <+.令A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则122412kmx x k-+=+. 由条件得112FAF B k k k +=，即121212121222()(2)01111y y kx m kx mk k m k x x x x x x +++=⇒+=⇒-++=++++. 因为m k ≠，1220x x ++=，即24120,122km m k k k-+=∴=++. 将12m k k=+代入2212m k <+中，得22211()12,(,)()2222k k k k k +<+⇔>∴∈-∞-+∞U .. 由上知，1212x x +=-，于是得AB 中点坐标为(1,)m k --， 中垂线方程为:1(1)y m k x k -+=-+.将12m k k=+代入得:11()(1)2y k k x k k -++=-+， 整理得:11()2y x k =-+.故AB 的中垂线过定点1(,0)2-.【考点】1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.【思路点睛】本题第二问考察是否过定点问题，一般考察直线过定点问题，首先是设直线，斜率存在时设b kx y +=，然后通过方程发现b k ,的等量关系，代入后即得到直线所过定点，或是通过特殊情况先发现定点，然后通过条件证明点B A ,和定点，三点共线；而本题所采用就是第一种方法，根据直线方程与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，和将本题所给的三个斜率成等差数列的等式转化为坐标的关系，就会得到b k ,的等量关系和中点坐标，最后代入中垂线方程，问题就迎刃而解了. 21．函数21()ln 22f x x ax x =--. （Ⅰ）当3a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1a >-，对任意的a 有()0((0,1])f x b x -<∈恒成立，求实数b 的取值范围.【答案】（Ⅰ）单调递增区间：⎪⎭⎫⎝⎛310，；单调递减区间：⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，31；（Ⅱ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，23-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）第一步求函数的导数，注意定义域，通分后解导数大于零和导数小于零的不等式，得到不等式的结果就是函数的单调增和减区间；（Ⅱ）将问题转化为()ma xx f b >，将函数max )(x f 转化为max )(a h ，根据单调性得到x x x h a h ln 221)1()(2+-=-<，再令x x x x g ln 221)(2+-=，根据导数求函数的最大值，根据恒成立的关系求得b 的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）2321()(0)x x f x x x +-'=->， 10,()0,()3x f x f x ⎛⎫'∈> ⎪⎝⎭时，单增。
2020届四川省绵阳南山中学2017级高三下学期3月线上月考数学(理)试卷及解析
2020届四川省绵阳南山中学2017级高三下学期3月线上月考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的.1.已知集合{}13A x x =-<<,{}0,1,2,3B =,则A B =（ ）A. {}1,2B. 1,0,1,2C. {}0,1,2,3D. {}0,1,2 【答案】D【解析】根据集合交集的定义直接求解即可. 【详解】因为集合{}13A x x =-<<,{}0,1,2,3B =,所以{}0,1,2A B =.故选：D2.若复数z 满足z （1+2i ）=10,则复数z 在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D【解析】根据复数除法的运算法则化简复数z ,最后确定复数z 在复平面内对应的点的位置即可.【详解】因为z （1+2i ）=10,所以1010(12)2412(12)(12)i zi i i i ,因此复数z 在复平面内对应的点在第四象限.故选：D3.已知a ,b 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且a β⊂,b αβ=,则“//a α”是“//a b ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据线面平行的性质定理和判定定理判断//a α与//b α的关系即可得到答案.【详解】若//a α,根据线面平行的性质定理,可得//a b ；若//a b ,根据线面平行的判定定理,可得//a α.故选：C.4.函数()()23ln 1x f x x +=的大致图象是A. B. C. D.【答案】A【解析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数,可排除B 选项；当x 0<时,()0f x ＜,可排除D 选项；当x 1=时,()12f ln =,当x 3=时,ln10ln10(3),ln 22727f =>, 即()()1?3f f ＞,可排除C 选项, 故选A5.我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数,三三数之剩一,五五数之剩三,七七数之剩六,问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n,则记为N ≡n （modm ）,例如10≡2（mod4）．现将该问题以程序框图给出,执行该程序框图,则输出的n 等于（ ）。
2016届四川省绵阳南山中学高三下三诊考试数学(理)试题(解析版)
2016届四川省绵阳南山中学高三下三诊考试数学（理）试题一、选择题1．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i +=，复数z 所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A【解析】试题分析：因为()i i z =+1，所以()()()i i i i i i i z 21211111+=-+-=+=，对应的点位⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，，在第一象限，故选项为A. 【考点】复数的代数表示及其几何意义.2．已知{{},2,1x U x y M y y x ====≥，则U C M =（ ）A ． [)1,2B ．()0,+∞C ．[)2,+∞D ．(]0,1 【答案】A【解析】试题分析：因为{}{}1l o g2≥===x x x y x U ，{}{}21,2≥=≥==y y x y y M x ，所以[)2,1=M C U ，故选项为A.【考点】集合的运算.3．执行如图所示程序框图，则输出的n 为（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8 【答案】D【解析】试题分析：模拟执行程序，可得0=S ,1=n 执行循环体后，2,1==n S ,不满足条件3≥S ，执行循环体后，3log 23log 122=+=S ，3=n 不满足条件3≥S ，执行循环体后，4,234log 3l 22==+=n og S 不满足条件3≥S ，执行循环体后，5,45log 22=+=n S 不满足条件3≥S ，执行循环体后，6,6log 2==n S 不满足条件3≥S ，执行循环体后，7,7log 2==n S 不满足条件3≥S ，执行循环体后，8,8log 2==n S此时，满足条件3≥S ，退出循环，输出n 的值为8．故选：D ． 【考点】程序框图. 4．“0x ∃>，使a x b +<” 是“a b <” 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 【答案】C【解析】试题分析：“0>∃x ，使b x a <+”⇔“b a <”，∴“0>∃x ，使b x a <+”是“b a <”成立的充要条件．故选：C ． 【考点】充要条件的判定.5．已知实数[][]1,1,0,2x y ∈-∈，则点(),P x y 落在区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，内的概率为（ ） A ．34 B ．14 C ．18 D ．38【答案】D【解析】试题分析：不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为()231121221=+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯,则所求的概率为83，故选D.【考点】（1）几何概型；（2）不等式组所表示的区域.6．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1 名至第5名（没有重名次）. 已知甲、乙均未得到第1 名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况可能有（ ）A ．27种B ．48种C ．54种D ．72种【答案】C【解析】试题分析：由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有33A 种排法．故共有543333=⋅⋅A 种不同的情况,故选C.【考点】排列组合.【思路点晴】本题主要考查排列、组合与简单的计数问题，解决此类问题的关键是弄清完成一件事，是分类完成还是分步完成，是有顺序还是没有顺序，像这种特殊元素与特殊位置的要优先考虑．甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．7．若函数()f x 同时满足以下三个性质；①()f x 的最小正周期为π；②对任意的x R ∈，都有()4f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；③()f x 在3,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数， 则()f x 的解析式可能是（ ） A ．()cos 8f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 2cos2f x x x =-C ．()sin cos f x x x =D ．()sin 2cos2f x x x =+ 【答案】D【解析】试题分析：根据题意，函数应满足：①()x f 的最小正周期为π；②对任意的R x ∈，都有()04=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f x f π，用8π+x 替换式中的x 可得088=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππx f x f ，即函数的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,8π对称；③()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,83ππ上是减函数；对于A,()⎪⎭⎫⎝⎛+=8cos πx x f 的周期为π2=T ，不符合①，故不满足题意；对于B ，()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=42sin 22cos 2sin πx x x x f ，不符合②，故不满足题意；对于C ，()x x x x f 2sin 21cos sin ==，不符合②，故不满足题意；对于D ，()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=42sin 22cos 2sin πx x x x f ，符合①②③，满足题意,故选D.【考点】正弦与余弦函数的性质.8．在长方体ABCD -1111A B C D 中，1,AB BC P ==、Q 分别是棱CD 、1CC 上的动点，如图, 当1BQ QD +的长度取得最小值时，二面角11B PQ D --的余弦值的取值范围为（ ）A ．10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B．0,10⎡⎢⎣⎦ C．1,510⎡⎢⎣⎦D．,110⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】试题分析：设11=AA ，则2==BC AB ,设x CQ =，则x Q C -=11，2222x CQ BC BQ +=+=，()21221211+-=+=x Q C DC QD ，则()()()()()2222221201200212-+-+++-=+-++=+x x x x QD BQ ，设()()()2,1,2,0,0,K N x M -，则1QD BQ +的几何意义是MK MN +的距离，则当三点K N M ,,共线时，1QD BQ +的长度取得最小值，此时2212=-x，得21=x ，即Q 是1CC 的中点，建立以1D 为坐标原点，11A D ,11C D ,D D 1分别为z y x ,,轴的空间直角坐标系如图，则⎪⎭⎫ ⎝⎛21,2,0Q ,()0,2,21B ,设()1,,0t P ，20≤≤t ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,2,01B ，()1,2,21--=t B ，则平面1PDQ 的法向量为()0,0,1=，设平面PQ B 1的法向量为()z y x ,,=，当2=t 时，二面角11D PQ B --的为直二面角，此时二面角11D PQ B --的余弦值为0，当20≤≤t 时，由1100n B Q n B P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则()⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=+-0220212z y t x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧-==x t y x z 2222，令2=x ，则4,22=-=z t y ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4,22,2t ，设面角11D PQ B --的余弦值θcos ，则()()2224182241622cos tt-+=-++==θ，因为20≤≤t ，所以()224182cos t-+=θ为减函数，则当0=t 时，函数取得最大值10102182cos =+=θ，故二面角11D PQ B --的余弦值的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡10100，,故选B.【考点】二面角的平面角及求法.【思路点晴】本题主要考查二面角的求解，综合性较强，难度较大.根据1QD BQ +的长度取得最小值时，利用求出1QD BQ +的几何意义是MK MN +的距离,其中()()()2,1,2,0,0,K N x M -，得到Q 是1CC 的中点，建立坐标系求出平面的法向量,向量法求出二面角的取值范围是解决本题的关键,再结合函数的单调性进行求解即可．9．设M 、N 是拋物线24y x =上分别位于x 轴两侧的两个动点，且0OM ON ⋅=，过点()4,0A 作MN 的垂线与拋物线交于P 、Q 两点，则四边形MPNQ 的面积的最小值为（ ）A ．80B ．100C ．120D ．160 【答案】A【解析】试题分析：设直线MN ：t my x +=，⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222121,4,,4y y N y y M ，联立抛物线方程可得0442=--t my y ，则t y y m y y 4,42121-=⋅=+，又0=⋅,即有()01621221=⋅+⋅y yy y ，得16421-=-=⋅t y y ，即4=t ，得到直线MN 过点()0,4A ,易得1146416112222212++=++=-+=m m m m y y m MN ,同理411146411611112222212+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=m m m m y y m PQ ，则四边形MPNQ 面积⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⋅=2222141712821m m m m PQ MN S ，令221mm u +=，则2≥u ，则3425482++=u u S 是关于u 的增函数，则当2=u 时，有最小值803450168=++=S ,故选项为A. 【考点】抛物线的简单性质.10．已知函数()x e f x x=，关于x 的方程()()()2210f x af x a m R -+-=∈有四个相异的实数根，则a 的取值范围是（ ）A.211,21e e ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭ B ．()1,+∞ C ．21,221e e ⎛⎫- ⎪-⎝⎭D ．21,21e e ⎛⎫-+∞ ⎪-⎝⎭【答案】D【解析】试题分析：当0>x 时，()x e x f x =，函数的导数()()221xx e x e x e x f x x x -=-⋅='，当1>x 时，()0>'x f ，当10<<x 时，()0<'x f ，则当1=x 时 函数取得极小值()e f =1；当0<x 时，()x e x f x -=，()()221xx e x e x e x f x x x --=-⋅-='，此时()0>'x f 恒成立，此时函数为增函数，作出函数()x f 的图象如图，设()x f t =，则e t >时，()x f t =有3个根，当e t =时，()x f t =有2个根，当e t <<0时，()x f t =有1个根，当0≤t 时，()x f t =有0个根，则()()()R m a x af x f ∈=-+-0122有四个相异的实数根，等价为0122=-+-a at t 有2个相异的实数根，其中e t <<0，e t >，设()122-+-=a at t t h ，则()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=--<>022000a a e h h ，即⎪⎩⎪⎨⎧><-+->-0012012a a ae e a ，即⎪⎩⎪⎨⎧-->>12112e e a a ，即1212-->e e a ，故选D.【考点】根的存在性及根的个数判断.【思路点晴】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次函数，利用数形结合以及根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．将函数()x f 表示为分段函数形式，判断函数的单调性和极值，利用换元法将方程转化为一元二次方程，利用一元二次函数根与系数之间的关系进行求解即可．二、填空题11．已知向量(),1a t = 与()4,b t =共线且方向相同，则t = ．【答案】2.【解析】试题分析：()1,t =，()t ,4=，∵与共线，∴042=-t ，解得2±=t ．又a 与b 同向，∴2=t ．故答案为：2．【考点】平面向量的坐标表示.12．若n⎛⎝展开式各项系数之和为64，则展开式的常数项为 ．【答案】540-【解析】试题分析：若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-13的展开式中各项系数之和为642=n ，解得6=n ，则展开式的常数项为()540133336-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅x x C ，故答案为540-.【考点】二次项系数的性质.13．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示.请根据以上数据分析，这个经营部定价在 元/桶才能获得最大利润. 【答案】5.11.【解析】试题分析：设每桶水的价格为()x +6元，公司日利润y 元，则：()()2804404020040480562++-=---+=x x x x y ,∵040<-，∴当5.52=-=abx 时函数有最大值，因此，每桶水的价格为11.5元，公司日利润最大． 【考点】二次函数的应用.14．在平面直角坐标系xOy 中，点()()0,1,0,4A B 若直线20x y m -+=上存在点P ，使得12PA PB =，则实数m 的取值范围是 ．【答案】5252≤≤-m 【解析】试题分析：设⎪⎭⎫⎝⎛-y m y P ,2，∵PB PA 21=,∴224PB PA =,∴()()22214PA-+-=y m y ，()()22244PB-+-=y m y ，化简可得()22416y m y -=-，故242y y m -±=，∴042≥-y ，解得[]2,2-∈y ，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=2,2,si n 2ππθθy ，则()ϕθθθ±=±=s i n 52c o s 4s i n 2m ，其中()2t a n =ϕ，故实数m 的取值范围是[]52,52-.【考点】两点间距离公式的应用.【方法点晴】本题考查了两点之间的距离公式、和差化积、三角函数的求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由于点P 在直线上，故可设⎪⎭⎫⎝⎛-y m y P ,2，因为点A 的横坐标为0，故设y ，由PB PA 21=，可得224PB PA =，利用两点之间的距离公式化为：()22416y m y -=-，可得：242y y m -±=，[]2,2-∈y ，．通过三角函数代换即可得出．15．已知函数(),0,0a x a x f x x a a x ⎧-≥⎪=⎨+-<⎪⎩，其中常数0a >，给出下列结论：①()f x 是R 上的奇函数；②当4a ≥时，()()2f x a f x -≥对任意x R ∈恒成立； ③()f x 的图象关于x a =和x a =-对称；④若对()()12,2,,1x x ∀∈-∞-∃∈-∞-，使得()()121f x f x =，则1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 其中正确的结论是 ．（请填上你认为所有正确结论的序号）【答案】①②【解析】试题分析：∵()⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥--=0,0,x a a x x a x a x f ,∴()⎪⎩⎪⎨⎧-≤--<<-≥-=a x x a a x a x ax x a x f ,2,,2,其图象如下图所示，由于图象关于原点对称，故①正确；∵4≥a 时，a a 42≥，故可得()2a x f y -=的图象是由()x f y =向右平移2a 个单位，故可得②正确；观察图可知③错误；对于④当2-≤-a ，即2≥a 时()[)+∞-∈,1a x f ，()[)+∞-∈,2a x f ，故当()1x f 从负方向接近于0时，()2x f 不满足题意，当12-<-<-a ，即21<<a 时，()()+∞-∈,221a x f ，()()+∞-∈,2a x f ，同上可知不满足题意，当1->-a ，即1<a 时，()()+∞-∈,221a x f ，()()+∞-∈,212a x f 要使得和()+∞→1x f 时相对应时，需满足021≤-a ,即21≥a ，故④错误.【考点】(1)分段函数的图象；（2）分段函数的性质.【方法点晴】本题考查分段函数的图象，单调性，奇偶性等知识，综合性较强，考查利用所学知识解决问题的能力，属于难题.作出()x f 的图象，由图象对各选项进行判断即可．当a x ≥时，()x a x f -=2，当a x a <<-时，()x x f =，当a x -≤时，()x a x f --=2，由图易知①正确，③错误；()2a x f y -=的图象是由()x f y =向右平移2a 个单位，故可得②正确；对于④主要需注意求()()21,x f x f 范围，考虑在0附近的值以及临界值的取舍.三、解答题16．体育课上，李老师对初三（1）班50名学生进行跳绳测试，现测得他们的成绩（单位：个）全部介于20与70之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：(]20,30，第二组：(]30,40，……，第五组：(]60,70），并绘制成如右图所示的频率分布直方图．（1）求成绩在第四组的人数和这50名同学跳绳成绩的中位数；（2）从成绩在第一组和第五组的同学中随机取出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望． 【答案】（1）47.5；（2）分布列见解析，1=ζE .【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图可得第四组的频率，即()0.281004.0016.0008.0004.01=⨯+++-，即可得其人数，由图可估算该组数据的中位数落在第三个矩形中，前两个面积和为0.28，第三个矩形的面积为0.4，按其平均分布可得结果；（2）由图可得第二组有2人，第五组有4人，故ζ的可能取值为2,1,0,结合古典概型求得，列出分布列即可.试题解析：（1）第四组的人数为()[]16501004.0016.0008.0004.01=⨯⨯+++- ， 中位数为()[]5.4704.010016.0004.00.540=÷⨯+-+．（2）据题意，第一组有250100.004=⨯⨯人，第五组有450100.008=⨯⨯人，于是210，，=ζ，()5103634===∴C C P ζ,()531362412===C C C P ζ,()512361422===C C C P ζ， ζ∴的分布列为1512531510=⨯+⨯+⨯=∴ζE ．【考点】（1）频率分布直方图；（2）离散型随机变量及其分布列.17．已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c 且满足cos csin b a C A =+． （1）求A 的大小；（2）若21cos ,5,57B BC BD BA === ，求CD 的长．【答案】（1）4π=A ；（2）52=CD .【解析】试题分析：（1）首先利用正弦定理把化为角，即原式中的条件转化为A C C AB sin sin cos sin sin +=，再根据()C A B +=sin sin ，可得A A sin cos =，即求出A 的值；（2）首先利用正弦定理解出ABC ∆，可得24=AC ，再利用余弦定理求出7=AB ，可得1=BD ，在BCD ∆利用余弦定理求出CD 即可.试题解析：（1）在三角形ABC 中，由正弦定理得，A R a sin 2=,B R b sin 2=,C R c sin 2=带入A c C a b sin cos +=中，即得A C R C A R B R sin sin 2cos sin 2sin 2+=，即A C C A B sin sin cos sin sin +=，()[]()C A C A B +=+-=sin sin sin π ,()A C C A C A sin sin cos sin sin +=+∴，即A C C A A C C A sin sin cos sin cos sin cos sin +=+，整理得 A C A C sin sin cos sin =由0sin ≠C 可得A A sin cos =4π=∴A .（2）在ABC ∆中，54cos 1sin 2=-=B B ， 由22554sin sin =⇒=AC A BC B AC ，解得24=AC ，又()102sin sin cos cos cos cos =+-=+-=B A B A B A C 4910252422532cos 2222=⨯⨯⨯-+=⋅⋅-+=∴C BC AC BC AC AB ， 7=AB ， 于是由BA BD 71=可得1=BD ， 2053512251cos 2222=⨯⨯⨯-+=⋅⋅-+=∴B BC BD BC BD CD ，52=∴CD【考点】（1）正弦定理；（2）两角和与差公式；（3）余弦定理.18．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项n S 满足()212nn a S n N *+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭．（1）求数列{}n a 通项公式；（2）设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若1n n T a λ+≤对n N *∀∈恒成立，求实数λ的最小值．【答案】（1）12-=n a n ；（2）91. 【解析】试题分析：（1）本题中主要利用⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n S a n nn ，再分解因式，可得数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，故可得其通项公式；（2）由（1）易得()()⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=⋅+121121*********n n n n a a n n ，运用数列的求和方法：裂项相消法，可得n T ，再由参数分离和数列的单调性，即可得到所求的范围，可得最小值.试题解析：（1）当1=n 时，()442111+==a S a ，解得11=a .当2≥n 时，()()44442121+-+=-=--n n n n n a a S S a ，整理得()()011212=----n n a a ,()()0211=--+∴--n n n n a a a a0>n a ,01>+-n n a a ，21=-∴-n n a a ，{}n a ∴是首项为1，公差为2的等差数列.12-=∴n a n（2）()()⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=⋅+121121*********n n n n a a n n1212112112112151313112111113221+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=+n n n n n a a a a a a T n n n . 由题意知()1212+≤+n n nλ对*∈∀N n 恒成立， 即()212+≥n n λ对*∈∀N n 恒成立， 令()212+=n n b n ，则()()()()()222221123221212321++++-=+-++=-+n n n n n n n b b n n ， 因为对于*∈∀N n ，312≥+n 所以()02122<++-n ,01<-+n n b b 可得n n b b <+1.即数列{}n b 是单调递减数列， 即数列{}n b 的最大值是911=b ，91≥∴λ，即λ的最小值为91【考点】（1）数列的通项公式；（2）数列求和.【方法点晴】本题考察数列的通项公式和裂项相消法求数列的前n 项和，同时考查不等式恒成立的问题，主要利用参数分离和数列的单调性求最值，属于中档题.在（1）中利用1--=n n n S S a 时需注意分为1=n 和2≥n 两种情况，在（2）问中根据通项公式的特征，利用裂项相消求其前n 项和n T ，代入()1212+≤+n n nλ，运用参数分离得()212+≥n nλ，结合数列单调性可得解.19．如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形，在图①中，设平面BEF 与平面ABCD 相关交于直线l ．（1）求证：l ⊥面CDE ；（2）在图①中，线段DE 上是石存在点M ，使得直线MC 与平面BEF 所成角的正弦M 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；（2）存在，M 的位置在线段DE 的32处. 【解析】试题分析：（1）由图易得//AD 面BEF ，利用线面平行性质定理，得l AD //，利用线面垂直判定定理易得⊥AD 面CDE ，故可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出面BEF 的空间法向量，由此利用向量法可求得点M 的位置. 试题解析：（1）证明：由题意//EF AD ， ⊂EF 面BEF ，⊄AD 面BEF ， //AD ∴面BEF .又⊂AD 面ABCD ，面⋂ABCD 面l BEF =， l AD //∴，由主视图可知CD AD ⊥，由侧视图可知AD DE ⊥， D AD CD = ,⊥∴AD 面CDE .⊥∴l 面CDE . （2）如图，建立空间直角坐标系xyz D -， 则()0,0,1A ,()0,1,1B ,()0,2,0C ,()1,0,0E ,()1,0,1F ，()0,0,1=∴,()1,1,0-=设面BEF 的一个法向量()z y x ,,=，则由0=⋅,0=⋅,可得⎩⎨⎧=+-=0z y x ，令1=y ，则1=z ，()1,1,0=∴n 设()m M ,0,0，则()m -=,2,0，55422cos 2=+⋅->=⋅<∴m m ， 解得32=m 或6=m （舍）， 即存在满足点M ，此时M 的位置在线段DE 的32处（靠近E 点）.【考点】（1）线面垂直的判定；（2）直线与平面所成的角.20．已知椭圆()2222:1x y E a b c a b+=>>，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的线段长为2．（1）求椭圆E 的方程；（2）直线1y kx =+与椭圆E 交于,A B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴正半轴交于点C ．是否存在实数k ，使得ABC ∆的内切圆的圆心在y 轴上？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）12422=+y x ；（2）21±=k 或0=k . 【解析】试题分析：（1）由椭圆E ：12222=+b y a x ()0>>b a 的离心率为22，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的线段长为2，求出b a ,，由此能求出椭圆方程；（2）依题意知AC BC ⊥，设()11,y x A ，()22,y x B ，()00y C ，，则122=-=x y y k BC ，111-=-=x y y k AC 由此能求出存在满足条件的k 值． 试题解析：（1）设焦点()0,c F ，则22=a c ，从而222c a =， 由题意有1122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛ba c ，即11212=+b ，解得22=b ，又由222c b a +=，于是2222c c +=，解得4,222==a c ，∴椭圆E 的方程为12422=+y x . （2）依题意可知AC BC ⊥，且45=∠=∠ACO BCO ，于是直线BC 的斜率为1=BC k ，直线AC 的斜率为1-=AC k ，则1101-=-=x y y k AC ,111-=-=x y y k AC ， ()011011y x k y y x +--=-=∴，()020221y x k y y x -+=-=，相加得()1221x x k x x -=+.联立⎩⎨⎧=++=42122y x kx y 消去y ，整理得()0242122=-++kx x k ，221214k k x x +-=+∴，221212k x x +-=⋅. 把()1221x x k x x -=+两边同时平方，可得()()[]211222214x x x x k x x ⋅-+=+，代入可得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2222222124214214k k k k k k ， 化简可得2142=+k ，或02=k ，解得21±=k ，或0=k ， 即存在满足条件的k 值，21±=k ，或0=k . 【考点】椭圆的简单性质. 【方法点晴】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，在第一问中利用离心率以及过焦点且与x 轴垂直的弦长求出椭圆的方程，也是在高考中常见的表达形式；在第二问中利用设而不求的思想设出C B A ,,三点的坐标，先利用内切圆的圆心在y 轴上，即等价于直角ABC 的角平分线y 轴上，得45=∠=∠ACO BCO ，转化为斜率，联立直线的方程与椭圆的方程结合维达定理，代入求解.21．设()()()()ln ,1g x x f x g x a g x λλλ==+--⎡⎤⎣⎦，其中,a λ是正常数，且01λ<<．（1）求函数()f x 的最值；（2）对任意的正数m ，是否存在正数0x ，使不等式()0011g x m x +-<成立？并说明理由；（3）设120,0,λλ>>且121λλ+=，证明：对任意正数12,a a 都有121122a a a a λλλλ≤+．【答案】（1）()x f 有最小值()()a a f ln 1λ-=，没有最大值；（2）存在，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）首先对函数求导并令导数等于0，解出x 的值，研究单调性，求出最值．（2）当0>x 时,令()()x x x h -+=1ln ，利用导数可判断函数()x h 的符号恒为负，可将原不等式化为()()011ln >-++x m x ，令()()()x m x x 11ln -++=ϕ，利用导数研究此函数的最值，使原不等式成立．（3）主要还是借助于指数运算的知识构造出能够利用（1）的结论，变成两个函数（值）间的大小比较，从而最终化为函数的单调性问题．试题解析：（1）()()()()()[]xa x a x xax x f λλλλλλλλ-+--=--+='111，0>a ，01>-λ，0,0>>x λ,∴当x a >时，()0;0f x x a '><<时,()0f x '<.()x f ∴在()a ,0上单调递减，在()+∞,a 上单调递增， ()x f ∴有最小值()()a a f ln 1λ-=，没有最大值.（2）对0,00>∃>∀x m ，使得()m x x g <-+110成立. 其理由如下：令()()x x x h -+=1ln ，则()1+-='x x x h 显然当0≥x 时，()0≤'x h ，所以()x h 在[)∞+，0上单调递减， ()()00=≤∴h x h ，即()01ln ≤-+x x ，于是可以得当0>x 时，()x x <+1ln ，则()011ln <-+xx ， 故()m xx g <-+11等价于()()011ln >-++x m x . 设()()()0,0,11ln >>-++=x m x m x x ϕ 则()()11111++-=-++='x m x m m x x ϕ 当1≥m 时，()0>'x ϕ，()x ϕ在()∞+，0上单调递增， ∴对00>∀x 均有()()00=>ϕϕx 恒成立，当 10<<m 时，由()0>'x ϕ 可得 mm x -<<10，由()0<'x ϕ可得 m mx ->1，于是()x ϕ在⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m 10，上是增函数，在⎪⎭⎫⎝⎛∞+-，m m 1 是减函数， ∴ 对⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∀m m x 100，均有()()000=>ϕϕx 恒成立． 综上，对任意正数m ，都存在正数0x 满足条件． （3）证明：由（1）知，对10,0,0<<>>∀λa x 时， 都有()[]()a x a x ln 1ln 1ln λλλλ-≥--+． 即()[]a x a x λλλ-+≤+-1ln ln ln 12，令λλλλ-==121，，a a x a ==21, 则()()221121ln ln 21λλλλa a a a +≤，x y ln = 在()∞+，0上是增函数， ∴22112121λλλλa a a a +≤【考点】（1）利用导数研究函数的最值；（2）函数与导数的综合应用.。
四川省绵阳市2016-2017学年高一3月月考数学试卷Word版含答案
四川省绵阳市2016-2017学年高一3月月考数学试卷(第Ⅰ卷)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 000015sin 45cos 15cos 45sin -的值为( ) A.21 B. 21- C. 23 D.23-2. 在△ABC 中,3=a ，7=b ，2=c ，那么B 等于（ ）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120°3.等比数列{}为则中已知153,9,1a a a a n ==( ) A.31 B.13- C.91 D.19-4. 函数22()cos sin f x x x =-是（ ）A.周期为π的偶函数B.周期为π的奇函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数 5.已知）（则A A A +=+-4tan ,5tan 1tan 1π的值为（ ） A.5- B.5 C.55-D.556.在等差数列{}n a 中，已知则该数列的前,1684=+a a 11项的和11S =（ ） A.58 B.88 C.143 D.1767.在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．45°或135° 8.已知等差数列5，247，437，…的前n 项和为n S ，当n S 取最大值时，n=（ ） A.6 B.6或7 C. 7 D. 7或8 9. 在ABC ∆中，cos cos a c A a C =+,则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形 10. 函数()sin cos()6f x x x π=-+的值域为（ ）A.[—2 ,2]B.[] C.[—1,1] D.[]11.已知{}()n b n N *∈是单调递减数列,{}n a 是等差数列，{}n b 通项公式为27n b n a n λ=+⋅．若311,a a 是方程220x x --=的两根，则实数λ的取值范围是( ) A.1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C.1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D.1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭12.设ABC ∆的角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 成等比数列，则B CBA C Acostan sin cos tan sin ++的取值范围是（ ） A. B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-215,215 C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+215,0 D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,215（第Ⅱ卷）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上.） 13.sin15cos15= ． 14.已知数列{}n a 满足()111111,4n n a n a a -=->=-,则2016a = . 15.钝角ABC ∆的面积是12，1,AB BC ==则AC = . 16. 如图所示，第n 行首尾两数均为n ，中间每个数等于上一行 “肩上”两个数的和，则第n 行（n>1）的第二个数是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17．(本题满分10分) （I ）已知1sin cos sin 5ααα=—,求2的值 （II ）设数列{}n a 的前n n a n n S n ，求项和22-+=12 23 4 34 7 7 45 11 14 11 56 16 25 25 16 6 …………18、（本题满分12分）（I ）化简：01sin10（II ）已知x x x 2sin ,1312)602cos(,10560求-=+<<O O O 的值。
四川省南充市2016-2017学年高一下学期3月月考数学试卷(理科)Word版含解析
四川省南充市2016-2017学年高一下学期3月月考数学试卷（理科）一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．请将答案写到答题卡规定的位置上．）1．化简cos（α+β）•cosβ+sin（α+β）•sinβ为（）A．cos（α+2β）B．cosαC．sinαD．sin（α+2β）2．已知D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中不正确的是（）A．B．C．D．3．sin275°+sin215°+sin75°•sin15°的值是（）A．B．C．D．4．已知向量=（3，4），=（sinα，cosα），且，则tanα=（）A．B．﹣C．D．﹣5．在△ABC中，∠C=90°，，则k的值是（）A．5 B．﹣5 C．D．6．设s，t是非零实数，，是单位向量，当两向量s+t，t﹣s的模相等时，，的夹角是（）A．B．C．D．7．如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的所在边的中点，若，则四边形EFGH是（）A．平行四边形但不是矩形B．正方形C．菱形D．矩形8．已知α为第二象限的角，sinα=，β为第一象限的角，cosβ=．则tan（2α﹣β）的值为（）A．B．C．D．9．已知O为原点，点A、B的坐标分别为（a，0），（0，a）其中常数a＞0，点P在线段AB上，且=t（0≤t≤1），则•的最大值为（）A ．aB ．2aC ．3aD ．a 210．已知P 1（2，﹣1），P 2（0，5），点P 在线段P 1P 2的延长线上，且||=2||，则点P的坐标（ ）A ．（4，﹣7）B ．（﹣2，11）C ．（4，﹣7）和（﹣2，11）D ．（﹣2，11）和（1，2）11． =（ ）A ．2B ．C ．D ．12．设向量，，满足||=||=1， •=，（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．1二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC 中，若cosBcosC ﹣sinBsinC ≥0，则这个三角形的形状一定不会是 三角形（填“锐角”，或“直角”，或“钝角”）．14．已知||=||=2，与的夹角为60°，则+在方向上的投影为 ．15．已知函数，则f （x ）的最小正周期为 ．16．若函数f （x ）=sinx+cosx+2，x ∈[0，2π]，且关于x 的方程f （x ）=m 有两个不等实数根α，β，则sin （α+β）= ．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．已知||=1，||=2，与的夹角为60°．（1）求•，（﹣）•（+）；（2）求|﹣|．18．已知向量且．（1）求函数f （x ）的解析式．（2）若函数f （x ）的图象向下方平移1个单位，然后保持纵坐标不变，横坐标缩小到原来的一半，得到函数g （x ）的图象．求函数g （x ）在上的最大值及相应的x 值．19．已知向量 =（cos α，sin α），=（cos β，sin β），|﹣|=1．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若，且，求sinα的值．20．已知﹣π＜x＜0，．（1）求sinx﹣cosx的值；（2）求的值．21．如图，已知△ABC的面积为14，D、E分别为边AB、BC上的点，且AD：DB=BE：EC=2：1，AE与CD交于P．设存在λ和μ使，，，．（1）求λ及μ；（2）用，表示；（3）求△PAC的面积．22．在锐角△ABC中，A=60°．（1）求sinA+sinB+sinC的取值范围；（2）求sinAsinBsinC的取值范围．四川省南充市2016-2017学年高一下学期3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．请将答案写到答题卡规定的位置上．）1．化简cos（α+β）•cosβ+sin（α+β）•sinβ为（）A．cos（α+2β）B．cosαC．sinαD．sin（α+2β）【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由两角差的余弦公式化简式子即可．【解答】解：由题意得，cos（α+β）•cosβ+sin（α+β）•sinβ=cos[（α+β）﹣β]=cosα，故选B．2．已知D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中不正确的是（）A．B．C．D．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】由向量加法的三角形法则知选项A、B 正确．由三角形的中位线性质得选项C正确．由+==≠，可知选项D不正确．【解答】解：由向量加法的法则得+=， ++=+=﹣=，故选项A、B 正确．∵D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，∴+=+===，故选项C正确．由上知+==≠，故选项D不正确，故选D．3．sin275°+sin215°+sin75°•sin15°的值是（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【分析】先将75°表示成90°﹣15°再由诱导公式化简，再利用平方关系和倍角的正弦公式化简求值．【解答】解：由题意得，式子=sin2（90°﹣15°）+sin215°+sin（90°﹣15°）•sin15°=cos215°+sin215°+cos15°•sin15°=1+sin30°=，故选C．4．已知向量=（3，4），=（sinα，cosα），且，则tanα=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出tanα的值．【解答】解：∵向量=（3，4），=（sinα，cosα），且，∴3cosα﹣4sinα=0，∴=；即tanα=．故选：A．5．在△ABC中，∠C=90°，，则k的值是（）A．5 B．﹣5 C．D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】利用向量的加法写出直角边上的另一个向量，根据两个向量的夹角是直角，得到两个向量的数量积为零，列出关于未知数k的方程，解方程即可．【解答】解：∵，则∵∠C=90°∴故选：A．6．设s，t是非零实数，，是单位向量，当两向量s+t，t﹣s的模相等时，，的夹角是（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由题意可得（s+t）2=（t﹣s）2，由数量积的定义化简可得cosθ的值，可得答案．【解答】解：设，的夹角为θ，由题意可得向量s+t，t﹣s的模相等，∴（s+t）2=（t﹣s）2，化简可得s2+t2+2stcosθ=s2+t2﹣2stcosθ，解得cosθ=0，∴θ=故选：D7．如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的所在边的中点，若，则四边形EFGH是（）A．平行四边形但不是矩形B．正方形C．菱形D．矩形【考点】平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】利用E，F，G，H分别是四边形ABCD的所在边的中点，确定四边形EFGH是平行四边形，利用，可得，从而EF⊥FG，即可判断四边形EFGH是矩形．【解答】解：连接AC，BD，∵E，F，G，H分别是四边形ABCD的所在边的中点，∴EF∥GH∥AC，EF=GH=AC，∴四边形EFGH是平行四边形．∵，∴=0，∴AC⊥BD．∵EF∥AC，FG∥BD，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形，故选D．8．已知α为第二象限的角，sinα=，β为第一象限的角，cosβ=．则tan（2α﹣β）的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得tanα、tanβ的值，利用二倍角公式求得tan2α的值，再利用两角差的正切公式求得tan（2α﹣β）的值．【解答】解：∵α为第二象限的角，sinα=，∴cosα=﹣=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=﹣，cos2α=2cos2α﹣1=，tan2α==﹣．∵β为第一象限的角，cosβ=，∴sinβ==，∴tanβ=，则tan（2α﹣β）===，故选：A．9．已知O为原点，点A、B的坐标分别为（a，0），（0，a）其中常数a＞0，点P在线段AB上，且=t（0≤t≤1），则•的最大值为（）A．a B．2a C．3a D．a2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先分析题目已知A 、B 的坐标，点P 在线段AB 上，且=t （0≤t ≤1），求•的最大值．故可考虑根据向量的坐标及加减运算表示出与．然后根据平面向量的数量乘积运算求出结果即可．【解答】解：因为点A 、B 的坐标分别为（a ，0），（0，a ）所以，=（a ，0）又由点P 在线段AB 上，且=t=（﹣at ，at ）所以=+=（a ，0）+（﹣at ，at ）=（﹣at+a ，at ）则•=（a ，0）•（﹣at+a ，at ）=﹣a 2t+a 2，当t=0时候取最大为a 2． 故选D ．10．已知P 1（2，﹣1），P 2（0，5），点P 在线段P 1P 2的延长线上，且||=2||，则点P的坐标（ ）A ．（4，﹣7）B ．（﹣2，11）C ．（4，﹣7）和（﹣2，11）D ．（﹣2，11）和（1，2）【考点】两点间的距离公式．【分析】设P （m ，n ），根据题意得=﹣2，由此建立关于m 、n 的方程组，解之即可得到点P 的坐标．【解答】解：∵P 在线段P 1P 2的延长线上，且||=2||，∴=﹣2，∵P 1（2，﹣1），P 2（0，5），∴设P （m ，n ），可得=（m ﹣2，n+1），=（﹣m ，5﹣n ）由此可得，解之得m=﹣2，n=11所以点P 的坐标为（﹣2，11）． 故选：B ．11．=（ ）A．2 B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用三角函数的恒等变换化简所给的式子，可得结果．【解答】解：====2，故选：A．12．设向量，，满足||=||=1，•=，（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值为（）A．B．C．D．1【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】建立坐标系，以，的角平分线所在直线为x轴，使得的坐标为（，），的坐标为（，﹣），设的坐标为（x，y），由条件可得得+y2=，表示以（，0）为圆心，半径等于的圆．求出圆心到原点的距离，再加上半径，即得所求．【解答】解：建立坐标系，以，的角平分线所在直线为x轴，使得的坐标为（，），的坐标为（，﹣），设的坐标为（x，y），则由已知（﹣）•（﹣）=0，可得（，）•（，）=0．化简可得+y2=，表示以（，0）为圆心，半径等于的圆．本题即求圆上的点到原点的距离的最大值，由于圆心到原点的距离等于，故圆上的点到原点的距离的最大值为+，故选A．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC 中，若cosBcosC ﹣sinBsinC ≥0，则这个三角形的形状一定不会是 锐角 三角形（填“锐角”，或“直角”，或“钝角”）． 【考点】三角形的形状判断．【分析】由题意利用两角和的余弦公式可得 cos （B+C ）≥0，故B+C 为锐角或直角，故角A 为钝角或直角，从而可得此三角形为钝角三角形或直角三角形，由此得出结论． 【解答】解：在△ABC 中，若cosBcosC ﹣sinBsinC ≥0， 则有 cos （B+C ）≥0， 故B+C 为锐角或直角， 故角A 为钝角或直角，从而可得此三角形为钝角三角形或直角三角形，故一定不是锐角三角形， 故答案为：锐角．14．已知||=||=2，与的夹角为60°，则+在方向上的投影为 3 ． 【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意求出数量积•，计算模长|+|，再根据投影的定义计算+在方向上的投影．【解答】解：||=||=2，与的夹角为60°，∴•=||×||×cos60°=2×2×=2，∴（+）2=||2+2•+||2=22+2×2+22=12，∴|+|=2；设+与的夹角为θ，则（+）•=||2+•=22+2=6，∴cos θ===；可得向量+在方向上的投影为|+|cos θ=2×=3．故答案为：3．15．已知函数，则f（x）的最小正周期为π．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角恒等变换化简函数f（x），求出它的最小正周期．【解答】解：函数=cos2xcos﹣sin2xsin+=﹣sin2x+，∴f（x）的最小正周期为：T==π．故答案为：π．16．若函数f（x）=sinx+cosx+2，x∈[0，2π]，且关于x的方程f（x）=m有两个不等实数根α，β，则sin（α+β）= ．【考点】三角函数的最值．【分析】利用两角和的正弦公式化简函数的解析式为f（x）=2sin（x+）+2，由题意可得2sin（x+）+2=m有两个不等实数根α，β．且这两个实数根关于直线x+=或直线x+=对称，求出α+β的值，可得sin（α+β）的值．【解答】解：函数f（x）=sinx+cosx+2=2（sinx+cosx ）+2=2sin（x+）+2．再由x∈[0，2π]，可得≤x+≤2π+，∴﹣1≤sin（x+）≤1，故0≤f（x）≤4．由题意可得：2sin（x+）+2=m有两个不等实数根α，β，且这两个实数根关于直线x+=或直线x+=对称，∴或，即α+β=或α+β=，∴sin（α+β）=，故答案为：．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．已知||=1，||=2，与的夹角为60°．（1）求•，（﹣）•（+）；（2）求|﹣|．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】（1）直接利用向量的数量积的定义：•=||||cos60°即可求解，由向量的数量积的性质，（﹣）•（）=2﹣2可求（2）由于||==代入可求【解答】解：（1）=||||cos60°=1×=1（﹣）•（）=2﹣2=1﹣4=﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣…（2）||====18．已知向量且．（1）求函数f（x）的解析式．（2）若函数f（x）的图象向下方平移1个单位，然后保持纵坐标不变，横坐标缩小到原来的一半，得到函数g（x）的图象．求函数g（x）在上的最大值及相应的x值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）利用向量平行的结论，可得函数f（x）的解析式．（2）利用图象变换，求出g（x），再求函数g（x）在上的最大值及相应的x值．【解答】解：（1）由题意，f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+cos2x+1=sin（2x+）+1；（2）若函数f（x）的图象向下方平移1个单位，然后保持纵坐标不变，横坐标缩小到原来的一半，得到函数g（x）=sin（4x+），，则4x+∈[，]，∴函数g（x）在上的最大值为，此时x=．19．已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=1．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若，且，求sinα的值．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】（1）根据求向量的模的方法，同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式，求得cos（α﹣β）的值．（2）利用同角三角函数的基本关系求得cosβ、sin（α﹣β）的值，再利用两角和差的三角公式求得sinα=sin[（α﹣β）+β]的值．【解答】解：（1）∵向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=1，﹣=（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ），∴（cosα﹣cosβ）2+（sinα﹣sinβ）2=2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2﹣2cos（α﹣β）=1，∴cos（α﹣β）=．（2）若，且，∴cosβ==．∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）=，∴sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=•+•=．20．已知﹣π＜x＜0，．（1）求sinx﹣cosx的值；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．（1）利用同角三角函数的基本关系求得x为第四象限角，2sinxcosx=﹣，再根据 sinx 【分析】﹣cosx=﹣，计算求得结果．（2）由条件求得sinx+cosx和sinx﹣cosx的值，可得sinx和cosx、tanx的值，从而求得要求式子的值．【解答】解：（1）∵﹣π＜x＜0，，∴1+2sinxcosx=，∴2sinxcosx=﹣，故x为第四象限角，sinx＜0，cosx＞0，∴sinx﹣cosx=﹣=﹣=﹣．（2）由（1）可得sinx﹣cosx=﹣，，∴sinx=﹣，cosx=，tanx=﹣，====﹣．21．如图，已知△ABC的面积为14，D、E分别为边AB、BC上的点，且AD：DB=BE：EC=2：1，AE与CD交于P．设存在λ和μ使，，，．（1）求λ及μ；（2）用，表示；（3）求△PAC的面积．【考点】向量数乘的运算及其几何意义；向量在几何中的应用．【分析】（1）根据，用基底、表示出．再根据，用基底、表示出．这两种表示方式是相同的，由此求出λ及μ．（2）把用来表示，把（1）中的结果代入可得用基底、表示的．（3）根据面积之比等于对应的向量的长度比求出△PAB和△PBC 的面积，用△ABC的面积减去△PAB和△PBC 的面积即得△PAC的面积．【解答】解：（1）由于，，则，，，，，，∴①，②，由①②得，．（2）．（3）设△ABC，△PAB，△PBC的高分别为h，h1，h2，，，，，S△PAC=4．22．在锐角△ABC中，A=60°．（1）求sinA+sinB+sinC的取值范围；（2）求sinAsinBsinC的取值范围．【考点】三角形中的几何计算．【分析】（1）由锐角△ABC中，A=60°．推导出sinA+sinB+sinC=sin60°+sinB+sinC=3sin（B+60°）+，由此能求出sinA+sinB+sinC的取值范围．（2）推导出sinAsinBsinC==sin （2B ﹣30°）+，由此能求出sinAsinBsinC 的取值范围．【解答】解：（1）∵在锐角△ABC 中，A=60°． ∴sinA+sinB+sinC=sin60°+sinB+sinC=+sinB+sin===3sin （B+60°）+，∵0°＜B ＜90°，∴60°＜B+60°＜150°，∴3sin （B+60°）+∈（，]．∴sinA+sinB+sinC 的取值范围是（，]．（2）sinAsinBsinC=======sin （2B ﹣30°）+，∵0°＜B ＜90°，∴﹣30°＜2B ﹣30°＜150°，∴sin （2B ﹣30°）+∈（0，]，∴sinAsinBsinC 的取值范围是（0，]． 高考资源网 高考资源网。
四川绵阳南山中学16-17学年高一下2月月考--数学
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
19.函数 在一个周期内的图象如图所示， 为图象的最高点， 为图象与 轴的交点，且 为正三角形.(1)求函数 的值域及 的值；
(2)将函数 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，求函数 在区间 上的最小值.
1.设集合A＝{x|x≤ }，a＝ ，那么()
A.a AB.a∉AC.{a}∉AD.{a} A
2.已知 是角终边上一点,则 的值等于( )
A. B. C. D.
3.下列各组函数中，表示同一个函数的是()
A.y＝x－1和y＝ B.y＝x0和y＝1
C.f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2D.f(x)＝ 和g(x)＝
故当t＝ 时，S矩形PQCR有最小值950 m2.
三.解答题(本大题共4小题,每小题10分，共40分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.)
17.解: ……………………2分
(1) ，又 是第三象限角， .……………………6分
(2) ，
.…………………10分
18.解:(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝ a，即(1－x)10＝ ，
解得x＝1－ .…………3分
(2)设经过m年剩余面积为原来的 ，则a(1－x)m＝ a，即 ， ＝ ，
解得m＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．…………6分
(3)设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为 a(1－x)n.
令 a(1－x)n≥ a，即(1－x)n≥ ， ， ≤ ，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．…………10分
19.解:(1) ….1分
人教新课标版-数学-高一-四川省绵阳市三台中学2016-2017学年高一(下)3月月考数学试卷
2016-2017学年四川省绵阳市三台中学高一（下）3月月考数学试卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2．下列向量中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的一组基底的是（）A．B．C． D．3．设，且，则锐角α为（）A．B．C．D．4．已知向量与的夹角为60°，||=2，||=5，则2﹣在方向上的投影为（）A．B．2 C．D．35．由公差为d的等差数列a1、a2、a3…组成的新数列a1+a4，a2+a5，a3+a6…是（）A．公差为d的等差数列B．公差为2d的等差数列C．公差为3d的等差数列D．非等差数列6．已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．7．已知向量=（2，x），=（x，8），若•=||•||，则x的值是（）A．﹣4 B．4 C．0 D．4或﹣48．在△ABC中，B=45°，c=，b=，则A等于（）A．60°B．75°C．15°或75°D．75°或105°9．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．C．2 D．110．正方形ABCD的边长为1，记，，=，则下列结论错误的是（）A．（﹣）•=0 B．（+﹣）•=0 C．（|﹣|﹣||）= D．|++|=11．在△ABC中，有命题①；②；③若，则△ABC为等腰三角形；④若，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．②③④12．已知向量≠，||=1，对任意t∈R，恒有|﹣t|≥|﹣|，则（）A．⊥B．⊥（﹣）C．⊥（﹣）D．（+）⊥（﹣）二．填空题：每小题5分，共20分.把答案填在答卷的相应位置．13．已知P1（2，﹣1），P2（0，5），且点P在线段P1P2的延长线上，且，则点P的坐标是．14．数列{a n}中，a1=2，a n=，则a2017=．+115．在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是．16．平面内有，且，则△P1P2P3的形状是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9的值为．18．已知在直角坐标系中（O为坐标原点），=（2，5），=（3，1），=（x，3）．（1）若A、B、C共线，求x的值；（2）当x=6时，直线OC上存在点M，且⊥，求点M的坐标．19．已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c，0 ）（1）若c=5，求sin∠A的值；（2）若∠A是钝角，求c的取值范围．20．△ABC中，点E为AB边的中点，点F为AC边的中点，BF交CE于点G，若=x+y，则x+y等于．21．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2csinA．（Ⅰ）确定角C的大小；（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．22．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（﹣1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．2016-2017学年四川省绵阳市三台中学高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】A、由向量相等的定义判断出A不正确；B、根据向量不能比较大小推断出B不正确；C、由向量相等的定义判断出C正确；D、举特例，时，不正确【解答】解：A、由，得到大小相等，方向相同或相反，故A不正确；B、向量不能比较大小，B不正确；C、若，则大小相等且方向相同，则，C正确；D、时，不正确．故答案为C2．下列向量中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的一组基底的是（）A．B．C． D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】本题考查平面向量基本定理，由定理知可作为平面内所有向量的一组基底的两个向量必是不共线的，由此关系对四个选项作出判断，得出正确选项【解答】解：A选项不正确，由于是零向量，选项中的两个向量一定共线，故不对；B选项正确，由于2×5+7=17≠0，故两向量不共线，可以作为平面内所有向量的一组基底；C选项不正确，由于，故两向量共线，不能作为基底；D选项不正确，由于，故两向量共线，不能作为基底综上，B选项正确故选B3．设，且，则锐角α为（）A．B．C．D．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示；9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量共线的充要条件列出关于角x的方程，利用三角函数的二倍角公式化简求出值．【解答】解：∵∴sin2x=1∵x是锐角∴x=故选B．4．已知向量与的夹角为60°，||=2，||=5，则2﹣在方向上的投影为（）A．B．2 C．D．3【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可．【解答】解：∵向量与的夹角为60°，且||=2，||=5，∴（2﹣）•=2﹣•=2×22﹣5×2×cos60°=3，∴向量2﹣在方向上的投影为=．故选：A．5．由公差为d的等差数列a1、a2、a3…组成的新数列a1+a4，a2+a5，a3+a6…是（）A．公差为d的等差数列B．公差为2d的等差数列C．公差为3d的等差数列D．非等差数列【考点】8F：等差数列的性质．【分析】利用等差数列{a n}的首项及公差，表示出新数列的通项公式b n，再求出b n﹣+1b n=2d，即判断出新数列是公差为2d的等差数列．【解答】解：设新数列a1+a4，a2+a5，a3+a6…的第n项是b n，=2a1+（n﹣1）d+（n+2）d=2a1+（2n+1）d，则b n=a n+a n+3﹣b n=2d，∴b n+1∴此新数列是以2d为公差的等差数列，故选B．6．已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量坐标关系，求出=（﹣3，4），=（5，﹣12），再利用cosθ=求解即可．【解答】解：由向量，，得=（﹣3，4），=（5，﹣12），所以||=5，||=13，=﹣63，即与夹角的余弦值cosθ==．故选：B．7．已知向量=（2，x），=（x，8），若•=||•||，则x的值是（）A．﹣4 B．4 C．0 D．4或﹣4【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由已知条件，利用向量的数量积的坐标标运算和向量的模的计算公式能求出x 的值．【解答】解：∵•=||•||=||•||cos＜，＞=||•||，∴cos＜，＞=1，即＜，＞=π，即向量=（2，x），=（x，8）共线且方向相反，即设=m，m＜0，则，解得，故选：A8．在△ABC中，B=45°，c=，b=，则A等于（）A．60°B．75°C．15°或75°D．75°或105°【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可求sinC，结合范围C∈（0°，180°），可求C的值，利用三角形内角和定理可求A的值．【解答】解：∵B=45°，c=，b=，∴sinC===，∵C∈（0°，180°），∴C=60°或120°，∴A=180°﹣B﹣C=15°或75°．故选：C．9．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．C．2 D．1【考点】HR：余弦定理．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB 的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．10．正方形ABCD的边长为1，记，，=，则下列结论错误的是（）A．（﹣）•=0 B．（+﹣）•=0 C．（|﹣|﹣||）= D．|++|=【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】画出正方形ABCD，结合题意，逐一验证选项的正误，选出错误的选项．【解答】解：由题意画出正方形ABCD，（﹣）•=0显然正确；（+﹣）•=﹣=0，正确；（|﹣|﹣||）=0=，正确；|++|=2≠，错误．故选D．11．在△ABC中，有命题①；②；③若，则△ABC为等腰三角形；④若，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．②③④【考点】9R：平面向量数量积的运算；94：零向量；9B：向量加减混合运算及其几何意义．【分析】利用向量的运算法则；锐角三角形需要三个角全为锐角．【解答】解：由向量的运算法则知；故①错②对又∵∴即AB=AC∴△ABC为等腰三角形故③对∵∴∠A为锐角但三角形不是锐角三角形故选项为C12．已知向量≠，||=1，对任意t∈R，恒有|﹣t|≥|﹣|，则（）A．⊥B．⊥（﹣）C．⊥（﹣）D．（+）⊥（﹣）【考点】93：向量的模．【分析】对|﹣t|≥|﹣|两边平方可得关于t的一元二次不等式，为使得不等式恒成立，则一定有△≤0．【解答】解：已知向量≠，||=1，对任意t∈R，恒有|﹣t|≥|﹣|即|﹣t|2≥|﹣|2∴即故选C．二．填空题：每小题5分，共20分.把答案填在答卷的相应位置．13．已知P1（2，﹣1），P2（0，5），且点P在线段P1P2的延长线上，且，则点P的坐标是（﹣1，8）．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据题意，设P的坐标为（x，y），分析可得=2，由向量的坐标运算公式可得（﹣2，6）=2（x，y﹣5），解可得x、y的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设P的坐标为（x，y），点P在线段P1P2的延长线上，且，则有=2，则有（﹣2，6）=2（x，y﹣5），解可得x=﹣1，y=8；即点P的坐标是（﹣1，8）；故答案为：（﹣1，8）．=，则a2017=．14．数列{a n}中，a1=2，a n+1【考点】8H：数列递推式．【分析】求关系式的倒数，得到新数列是等差数列，然后求解通项公式，求解即可．=，【解答】解：数列{a n}中，a1=2，a n+1可得，所以{}是以为首项，1为公差的等差数列，所以，可得a n=，则a2017=．故答案为：．15．在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是﹣2．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的运算法则：平行四边形法则作出，判断出共线，得到的夹角，利用向量的数量积公式将转化成二次函数求出最小值，【解答】解：以OB和OC做平行四边形OBNC．则因为M为BC的中点所以且反向∴=，设OA=x，（0≤x≤2）OM=2﹣x，ON=4﹣2x∴=2x2﹣4x（0≤x≤2）其对称轴x=1所以当x=1时有最小值﹣2故答案为﹣216．平面内有，且，则△P1P2P3的形状是等边三角形．【考点】GZ：三角形的形状判断．【分析】设出坐标，根据坐标运算得到P1P2=P1P3=P2P3，即可判断三角形的形状．【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），∵，∴，∵，∴，∴，∴（x1+x2）2+（y1+y2）2=x32+y32，∴2x1 x2+2y1 y2=﹣1，∴p1p2==，P1P3=P2P3=，∴P1P2=P1P3=P2P3，∴△P1P2P3是等边三角形．故答案为：等边三角形．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9的值为27．【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【分析】法一：由等差数列的性质可得a4=13，a5=11，进而可得a6，而a3+a6+a9=3a6代入可得答案；法二：由{a n}为等差数列可知，a1+a4+a7，a2+a5+a8，a3+a6+a9也成等差数列，由等差中项可求．【解答】解：法一：因为a1，a4，a7成等差数列，所以a1+a7=2a4，得a4=13．同理a2+a8=2a5，得a5=11，从而a6=a5+（a5﹣a4）=9，故a3+a6+a9=3a6=27．法二：由{a n}为等差数列可知，三个数a1+a4+a7，a2+a5+a8，a3+a6+a9也成等差数列，且公差d=33﹣39=﹣6，因而a3+a6+a9=33+（﹣6）=27．故答案为：2718．已知在直角坐标系中（O为坐标原点），=（2，5），=（3，1），=（x，3）．（1）若A、B、C共线，求x的值；（2）当x=6时，直线OC上存在点M，且⊥，求点M的坐标．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示；9J：平面向量的坐标运算．【分析】（1）由A、B、C共线，即与共线，利用向量共线定理即可得出．（2）与共线，故设=λ=（6λ，3λ）．又⊥，可得•=0．即45λ2﹣48λ+11=0，解得或．即可得出．【解答】解：（1）∵A、B、C共线，即与共线，而=（1，﹣4），=（x﹣3，2），则有1×2+4×（x﹣3）=0．即x的值是x=．（2）∵与共线，故设=λ=（6λ，3λ）．又∵⊥，∴•=0．即45λ2﹣48λ+11=0，解得或．∴=（2，1）或=（）．∴点M坐标为（2，1）或（）．19．已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c，0 ）（1）若c=5，求sin∠A的值；（2）若∠A是钝角，求c的取值范围．【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】（1）通过向量的数量积求出角A的余弦，利用平方关系求出A角的正弦．（2）据向量数量积的公式知向量的夹角为钝角等价于数量积小于0，列出不等式解．【解答】解：（1）根据题意，，，若c=5，则，∴，∴sin∠A=；（2）若∠A为钝角，则解得，∴c的取值范围是；20．△ABC中，点E为AB边的中点，点F为AC边的中点，BF交CE于点G，若=x+y，则x+y等于．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示，由点E为AB边的中点，点F为AC边的中点，可得G为△ABC 的重心．因此=．即可得出．【解答】解：如图所示，∵点E为AB边的中点，点F为AC边的中点，∴G为△ABC的重心．∴=．∴x+y=．故答案为：．21．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2csinA．（Ⅰ）确定角C的大小；（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】HS：余弦定理的应用；HP：正弦定理．【分析】（1）通过正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C．（2）先利用面积公式求得ab的值，进而利用余弦定理求得a2+b2﹣ab，最后联立变形求得a+b的值．【解答】解：（1）由及正弦定理得：，∵sinA≠0，∴在锐角△ABC中，．（2）∵，，由面积公式得，即ab=6①由余弦定理得，即a2+b2﹣ab=7②由②变形得（a+b）2=25，故a+b=5．22．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（﹣1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】设缉私船追上走私船需t小时，进而可表示出CD和BD，进而在△ABC中利用余弦定理求得BC，进而在△BCD中，根据正弦定理可求得sin∠BCD的值，进而求得∠BDC=∠BCD=30°进而求得BD，进而利用BD=10t求得t．【解答】解：如图所示，设缉私船追上走私船需t小时，则有CD=，BD=10t．在△ABC中，∵AB=﹣1，AC=2，∠BAC=45°+75°=120°．根据余弦定理可求得BC=．∠CBD=90°+30°=120°．在△BCD中，根据正弦定理可得sin∠BCD=，∵∠CBD=120°，∴∠BCD=30°，∠BDC=30°，∴BD=BC=，则有10t=，t==0.245（小时）=14.7（分钟）．所以缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船．2017年5月26日。
四川省绵阳南山中学2016-2017学年高一下学期3月月考数学试卷含答案
绵阳南山中学高2019届2017春季3月月考数学试题一、选择题：每题4分，共48分1．点C 在线段AB 上，且35AC AB =，则AC 等于（ ）A ．23BC B ．32BC C ．23BC - D ．32BC -2．已知向量,a b 满足1a b •=，且22a b ==，则向量,a b 的夹角为( ) A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π3．已知ABC ∆中，1a =，b =045B =，则角A 等于（ ）A ．030B ．060C ．0150D ．030或0150 4．已知向量(1,)a n =,(1,)b n =-，若2a b -与b 垂直，则a 等于（ ）A ．1BC ． 2D ．55．下列说法正确的是（ ）A ．若a b b c •=•，则a c =B ．若//a b ，//b c ，则//a cC ． 与向量a 共线的单位向量为aa ± D ．若//ab ，则存在唯一实数λ使得a b λ=6．在ABC ∆中，已知,,A B C 成等差数列，且b =sin sin a bA B +=+（ )A ．2B ．12C ． ．37．已知平面上不重合的四点,,,P A B C 满足0PA PB PC ++=且0AB AC mAP ++=,那么实数m 的值为（）A ．2B ．—3C ． 4D ．58．已知,a b 为单位向量，且a b ⊥，向量c 满足3c a b ++=,则c 的取值范围为（ )A ．[1,1+B ．[22+C ．D ．[39．在ABC ∆中,角090C =，且2CA =,3CB =，点M 满足2BM MA =，则CM CB •=（ ）A ．1B ．2C ． 3D ．410．如下图，,A B 两点都在河的对岸（不可到达)，为了测量,A B 两点间的距离，选取一条基张CD ，测得：200CD m =，030ADB ACB ∠=∠=，060CBD ∠=,则AB =（ )A ．33m B ．3． 1002m D ．数据不够,无法计算 11．设,,a b c 为三角形ABC 三边长,1a ≠，b c <,若log log 2log log c b c b c b c b a a a a +-+-+=,则三角形ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ． 钝角三角形D ．无法确定12．设G 为等边ABC ∆的重心，过G 作直线l 分别交,AB AC （不与端点重合）于,P Q ，若AP AB λ=，AQ AC μ=，若PAG ∆与QAG ∆的面积之比为23,则μ=( ） A ．13 B ．23 C ． 34 D ．56 二、填空题（每题3分，共12分)13．已知{}n a 是等差数列，且2581148a a a a +++=，则67a a += ．14．向量(3,4)a =在向量(7,24)b =-上的投影是 ．15．“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现,数列中的一系列数字常被人们称 之为神奇数，具体数列为：1,1，2，3,5，8，13，……已知数列{}n a 为“斐波那契”数列，数列{}n a 的前n 项和12n n S a a a =+++,观察规律:若2017a m =，则20162014S S -= ．16．已知ABC ∆的内角,,A B C 成等差数列,且,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则下列结论正确的是 ． ①3B π=②若2b ac =,则ABC ∆为等边三角形③若2a c =，则ABC ∆为锐角三角形④若2AB AB AC BA BC CA CB =•+•+•，则3a c = ⑤若tan tan 30A C ++>，则ABC ∆为锐角三角形 三、解答题 （每题10分,共40分）17． 已知等差数列{}n a 满足37a =，3726a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式;(2）令28n n n b a =-(*n N ∈）,求数列{}n b 的最大项和最小项． 18． 已知锐角ABC ∆中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足32sin a b A =（1）求角B 的大小；(2）若7b =，4a c +=,求ABC ∆的面积．19． 在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知向量(,)m a c a b =+-与向量(,)n b a c =-互相平行，且3c =．（1）求角C ;（2）求a b +的取值范围．20． 随着节假日外出旅游人数增多，倡导文明旅游的同时，生活垃圾处理也面临新的挑战,某海滨城市沿海有,,A B C 三个旅游景点，在岸边BC 两地的中点处设有一个垃圾回收站点O （如图）,,A B 两地相距10km ，从回收站O 观望A 地和B 地所成的视角为060，且224OA OB OA OB +≥•,设AC x =km ；(1）用x 分别表示22OA OB +和OA OB •，并求出x 的取值范围；（2)某一时刻太阳与,A C 三点在同一直线，此时B 地到直线AC 的距离为BD ，求BD 的最大值．。
2016-2017年四川省绵阳市南山中学高三(下)3月月考数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年四川省绵阳市南山中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设U＝R，A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x≥1}，则A∩∁U B＝（）A．{1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣3，﹣2，﹣1，0}D．{2}2．（5分）在复平面中，复数+i4对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，则“sin A＞sin B”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若sin（π﹣α）＝，且≤α≤π，则sin2α的值为（）A．﹣B．﹣C．D．5．（5分）执行如图的程序框图，则输出K的值为（）A．98B．99C．100D．1016．（5分）李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步B．20步、60步C．30步、70步D．40步、80步7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．16B．20C．52D．608．（5分）若a＝2（x+|x|）dx，则在的展开式中，x的幂指数不是整数的项共有（）A．13项B．14项C．15项D．16项9．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+），f′（x）是f（x）的导函数，则函数y＝2f（x）+f′（x）的一个单调递减区间是（）A．[，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，] 10．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组（r为常数）表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z＝的最小值为（）A．﹣1B．﹣C．D．﹣11．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点，AF2、BF2分别交y轴于P、Q 两点，若△PQF2的周长为12，则ab取得最大值时该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．12．（5分）已知函数f（x）＝e2x﹣ax2+bx﹣1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，若f（1）＝0，f′（x）是f（x）的导函数，函数f′（x）在区间（0，1）内有两个零点，则a的取值范围是（）A．（e2﹣3，e2+1）B．（e2﹣3，+∞）C．（﹣∞，2e2+2）D．（2e2﹣6，2e2+2）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）设样本数据x1，x2，…，x2017的方差是4，若y i＝2x i﹣1（i＝1，2，…，2017），则y1，y2，…y2017的方差为．14．（5分）在平面内将点A（2，1）绕原点按逆时针方向旋转，得到点B，则点B的坐标为．15．（5分）设二面角α﹣CD﹣β的大小为45°，A点在平面α内，B点在CD上，且∠ABC ＝45°，则AB与平面β所成角的大小为．16．（5分）非零向量，的夹角为，且满足||＝λ||（λ＞0），向量组，，由一个和两个排列而成，向量组，，由两个和一个排列而成，若•+•+•所有可能值中的最小值为42，则λ＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1＝﹣4，S m＝0，S m+2＝14（m≥2，且m∈N*）（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若数列{b n}满足＝log2b n（n∈N+），求数列{（a n+6）•b n}的前n项和．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣DEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE＝，BC＝，四棱锥F﹣ABED的体积为2，点F在平面ABED内的正投影为G，且G在AE上，点M是在线段CF上，且CM＝CF．（Ⅰ）证明：直线GM∥平面DEF；（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣F的余弦值．19．（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（Ⅰ）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定a＝950．记X 为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）（Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．20．（12分）设M、N、T是椭圆+＝1上三个点，M、N在直线x＝8上的射影分别为M1、N1．（Ⅰ）若直线MN过原点O，直线MT、NT斜率分别为k1，k2，求证k1k2为定值．（Ⅱ）若M、N不是椭圆长轴的端点，点L坐标为（3，0），△M1N1L与△MNL面积之比为5，求MN中点K的轨迹方程．21．（12分）已知函数f（x）＝mln（x+1），g（x）＝（x＞﹣1）．（Ⅰ）讨论函数F（x）＝f（x）﹣g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若y＝f（x）与y＝g（x）的图象有且仅有一条公切线，试求实数m的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a＞0，β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程ρcos（θ﹣）＝．（Ⅰ）若曲线C与l只有一个公共点，求a的值；（Ⅱ）A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求△OAB的面积最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m．（1）作出函数f（x）的图象；（2）若a2+2c2+3b2＝m，求ab+2bc的最大值．2016-2017学年四川省绵阳市南山中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设U＝R，A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x≥1}，则A∩∁U B＝（）A．{1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣3，﹣2，﹣1，0}D．{2}【解答】解：因为全集U＝R，集合B＝{x|x≥1}，所以∁U B＝{x|x＜1}＝（﹣∞，1），且集合A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，所以A∩∁U B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0}故选：C．2．（5分）在复平面中，复数+i4对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数+i4＝+1＝+1＝﹣i对应的点（，﹣）在第四象限．故选：D．3．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，则“sin A＞sin B”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：在三角形中，若a＞b，由正弦定理＝，得sin A＞sin B．若sin A＞sin B，则正弦定理＝，得a＞b，则“sin A＞sin B”是“a＞b”的充要条件．故选：C．4．（5分）若sin（π﹣α）＝，且≤α≤π，则sin2α的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵sin（π﹣α）＝，∴sinα＝，又∵≤α≤π，∴cosα＝﹣＝﹣，∴sin2α＝2sinαcosα＝2×（﹣）＝﹣．故选：A．5．（5分）执行如图的程序框图，则输出K的值为（）A．98B．99C．100D．101【解答】解：模拟程序的运行，可得K＝1，S＝0S＝lg2不满足条件S≥2，执行循环体，K＝2，S＝lg2+lg＝lg3不满足条件S≥2，执行循环体，K＝3，S＝lg3+lg＝lg4…观察规律，可得：不满足条件S≥2，执行循环体，K＝99，S＝lg99+lg＝lg100＝2满足条件S≥2，退出循环，输出K的值为99．故选：B．6．（5分）李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步B．20步、60步C．30步、70步D．40步、80步【解答】解：由题意，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．方田面积减去水池面积为13.75亩，∴（40+m）2﹣＝13.75×240．解得：m＝20．即圆池直径20步那么：方田边长为40步+20步＝60步．故选：B．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．16B．20C．52D．60【解答】解：由题意，几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如图体积为＝20；故选：B．8．（5分）若a＝2（x+|x|）dx，则在的展开式中，x的幂指数不是整数的项共有（）A．13项B．14项C．15项D．16项【解答】解：a＝2（x+|x|）dx＝+2＝18．则在的通项公式：T r+1＝＝（﹣1）r．（r ＝0，1，2，…，18）．只有r＝0，6，12，18时x的幂指数是整数，因此x的幂指数不是整数的项共有19﹣4＝15．故选：C．9．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+），f′（x）是f（x）的导函数，则函数y＝2f（x）+f′（x）的一个单调递减区间是（）A．[，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【解答】解：函数f（x）＝sin（2x+），f′（x）是f（x）的导函数，则函数y＝2f（x）+f′（x）＝2sin（2x+）+2cos（2x+）＝sin（2x++）＝2sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，可得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，所以函数的一个单调减区间为：[，]．故选：A．10．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组（r为常数）表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z＝的最小值为（）A．﹣1B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵不等式组（r为常数）表示的平面区域的面积为π，∴圆x2+y2＝r2的面积为4π，则r＝2．由约束条件作出可行域如图，z＝＝1+，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率．设过P的圆的切线的斜率为k，则切线方程为y﹣2＝k（x+3），即kx﹣y+3k+2＝0．由，解得k＝0或k＝﹣．∴z＝的最小值为1﹣．故选：D．11．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点，AF2、BF2分别交y轴于P、Q 两点，若△PQF2的周长为12，则ab取得最大值时该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：由题意，△ABF2的周长为24，∵|AF2|+|BF2|+|AB|＝24，∵|AF2|+|BF2|﹣|AB|＝4a，|AB|＝，∴＝24﹣4a，∴b2＝a（6﹣a），∴y＝a2b2＝a3（6﹣a），∴y′＝2a2（9﹣2a），0＜a＜4.5，y′＞0，a＞4.5，y′＜0，∴a＝4.5时，y＝a2b2取得最大值，此时ab取得最大值，b＝，∴c＝3，∴e＝＝，故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝e2x﹣ax2+bx﹣1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，若f（1）＝0，f′（x）是f（x）的导函数，函数f′（x）在区间（0，1）内有两个零点，则a的取值范围是（）A．（e2﹣3，e2+1）B．（e2﹣3，+∞）C．（﹣∞，2e2+2）D．（2e2﹣6，2e2+2）【解答】解：∵f（1）＝0，∴e2﹣a+b﹣1＝0，∴b＝﹣e2+a+1，∴f（x）＝e2x﹣ax2+（﹣e2+a+1）x﹣1，∴f′（x）＝2e2x﹣2ax﹣e2+a+1，令f′（x）＝0得2e2x＝2ax﹣a﹣1+e2，∵函数f′（x）在区间（0，1）内有两个零点，∴y＝2e2x与y＝2ax﹣a﹣1+e2的函数图象在（0，1）上有两个交点，作出y＝2e2x与y＝2ax﹣a﹣1+e2＝a（2x﹣1）+e2﹣1函数图象，如图所示：若直线y＝2ax﹣a﹣1+e2经过点（1，2e2），则a＝e2+1，若直线y＝2ax﹣a﹣1+e2经过点（0，2），则a＝e2﹣3，∴e2﹣3＜a＜e2+1．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）设样本数据x1，x2，…，x2017的方差是4，若y i＝2x i﹣1（i＝1，2，…，2017），则y1，y2，…y2017的方差为16．【解答】解：根据题意，设样本数据x1，x2，…，x2017的平均数为，又由其方差为4，则有＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x2017﹣）2]＝4，对于数据y i＝2x i﹣1（i＝1，2，…，2017），其平均数＝（y1+y2+…+y2017）＝[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）+…+（2x2017﹣1）]＝2﹣1，其方差＝[（y1﹣）2+（y2﹣）2+（y3﹣）2+…+（y2017﹣）2]＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x2017﹣）2]＝16，故答案为：16．14．（5分）在平面内将点A（2，1）绕原点按逆时针方向旋转，得到点B，则点B的坐标为（﹣，）．【解答】解：如图，作AC⊥x轴于C点，BD⊥x轴于D点，∵点A的坐标为（2，1），∴AC＝1，OC＝2，∴OA＝＝，∴sin∠AOC＝，cos∠AOC＝，∵OA绕原点按逆时针方向旋转得OB，∴∠AOB＝，OA＝OB＝，∴∠BOC＝∠AOC+，∴sin∠BOC＝sin（∠AOC+）＝sin∠AOC cos+cos∠AOC sin＝×（﹣）+×＝，cos∠BOC＝cos（∠AOC+）＝cos∠AOC cos﹣sin∠AOC sin＝×（﹣）﹣×＝﹣，∴DB＝OB sin∠BOC＝×＝，OD＝OB cos∠BOC＝×（﹣）＝﹣，∴B点坐标为：（﹣，）．故答案为：（﹣，）．15．（5分）设二面角α﹣CD﹣β的大小为45°，A点在平面α内，B点在CD上，且∠ABC ＝45°，则AB与平面β所成角的大小为30°．【解答】解：根据题意先画出图形作AD⊥β交面β于O，由题意可知∠ABC＝45°，∠ACO＝45°，设AO＝1，则CO＝1，AC＝，BC＝，AB＝2，而AO＝1，三角形ABO为直角三角形，∴∠ABO＝30°．故答案为：30°．16．（5分）非零向量，的夹角为，且满足||＝λ||（λ＞0），向量组，，由一个和两个排列而成，向量组，，由两个和一个排列而成，若•+•+•所有可能值中的最小值为42，则λ＝．【解答】解：＝||×λ||×cos＝2，＝λ22，向量组，，共有3种情况，即（，，），（），（），向量组，，共有3种情况，即（），（），（，），∴•+•+•所有可能值有2种情况，即++＝（λ2+λ+1），3＝，∵•+•+•所有可能值中的最小值为42，∴或．解得λ＝．故答案为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1＝﹣4，S m＝0，S m+2＝14（m≥2，且m∈N*）（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若数列{b n}满足＝log2b n（n∈N+），求数列{（a n+6）•b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵S m﹣1＝﹣4，S m＝0，S m+2＝14，∴a m＝S m﹣S m﹣1＝4，a m+1+a m+2＝S m+2﹣S m＝14，设数列{a n}的公差为d，则2a m+3d＝14，∴d＝2．∵S m＝×m＝0，∴a1＝﹣a m＝﹣4，∴a m＝﹣4+2（m﹣1）＝4，解得m＝5．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n＝﹣4+2（n﹣1）＝2n﹣6，∴n﹣3＝log2b n，即b n＝2n﹣3．∴（a n+6）•b n＝2n•2n﹣3＝n•2n﹣2．设数列{（a n+6）•b n}的前n项和为T n，∴T n＝1×+2×1+3×2+…+…n•2n﹣2，①∴2T n＝1×1+2×2+3×22+…+n•2n﹣1，②①﹣②，得﹣T n＝+1+2+…+2n﹣2﹣n•2n﹣1＝﹣n•2n﹣1＝（1﹣n）•2n﹣1﹣．∴T n＝（n﹣1）•2n﹣1+．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣DEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE＝，BC＝，四棱锥F﹣ABED的体积为2，点F在平面ABED内的正投影为G，且G在AE上，点M是在线段CF上，且CM＝CF．（Ⅰ）证明：直线GM∥平面DEF；（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣F的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵四棱锥锥F﹣ABED的体积为2，即V F﹣ABCD＝，∴FG＝．又BC＝EF＝，∴EG＝，即点G是靠近点A的四等分点．过点G作GK∥AD交DE于点K，∴GK＝．又MF＝，∴MF＝GK且MF∥GK．四边形MFKG为平行四边形，∴GM∥FK，∴直线GM∥平面DEF；（Ⅱ）设AE、BD的交点为O，OB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，过点O作平面ABED的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：A（0，﹣1，0），B（，0，0），F（0，﹣，），M（）．，，．设平面ABM，ABF的法向量分别为，．由，则，取y＝﹣，得，同理求得．∴cos＜＞＝，∴二面角M﹣AB﹣F的余弦值为．19．（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（Ⅰ）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定a＝950．记X 为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）（Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a．…（2分）由统计数据可知：P（X＝0.9a）＝，P（X＝0.8a）＝，P（X＝0.7a）＝，P（X＝a）＝，P（X＝1.1a）＝，P（X＝1.3a）＝．所以X的分布列为：…（4分）所以EX＝0.9a×+0.8a×+0.7a×+a×+1.1a×+1.3a×＝＝≈942．（5分）（Ⅱ）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为P＝+＝．…（8分）②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为﹣5000，10000．所以Y的分布列为：所以EY＝﹣5000×+10000×＝5000．…（10分）所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100EY＝50万元．…（12分）20．（12分）设M、N、T是椭圆+＝1上三个点，M、N在直线x＝8上的射影分别为M1、N1．（Ⅰ）若直线MN过原点O，直线MT、NT斜率分别为k1，k2，求证k1k2为定值．（Ⅱ）若M、N不是椭圆长轴的端点，点L坐标为（3，0），△M1N1L与△MNL面积之比为5，求MN中点K的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）设M（p，q），N（﹣p，﹣q），T（x0，y0），则k1k2＝，…（2分）又两式相减得，即k1k2＝＝﹣，…（…（5分）（Ⅱ）设直线MN与x轴相交于点R（r，0），s△MNL＝×|r﹣3|•|y M﹣y N|＝||yM1﹣y N1|由于△M 1N1L与△MNL面积之比为5且|y M﹣y N|＝||得r＝4（舍去）或r＝2．…（8分）即直线MN经过点F（2，0）．设M（x1，y1），N（x2，y2），K（x0，y0）①当直线MN垂直于x轴时，弦MN中点为F（2，0）；…（9分）②当直线MN与x轴不垂直时，设MN的方程为y＝k（x﹣2），则联立．⇒（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48＝0．…（10分）x0＝．消去k，整理得（x0﹣1）2+＝1（y0≠0）．∵MN的中点不能为原点，∴x＞0综上所述，点K的轨迹方程为（x﹣1）2+＝1（x＞0）．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝mln（x+1），g（x）＝（x＞﹣1）．（Ⅰ）讨论函数F（x）＝f（x）﹣g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若y＝f（x）与y＝g（x）的图象有且仅有一条公切线，试求实数m的值．【解答】解：（Ⅰ）F′（x）＝f′（x）﹣g′（x）＝﹣＝（x＞﹣1），当m≤0时，F′（x）＜0，函数F（x）在（﹣1，+∞）上单调递减；…（2分）当m＞0时，令F′（x）＜0，可得x＜﹣1+，函数F（x）在（﹣1，﹣1+）上单调递减；F′（x）＞0，可得＞﹣1+，函数F（x）在（﹣1+，+∞）上单调递增．综上所述，当m≤0时，F（x）的减区间是（﹣1，+∞）；当m＞0时，F（x）的减区间是（﹣1，﹣1+），增区间是（﹣1+，+∞）…（4分）（Ⅱ）函数f（x）＝mln（x+1）在点（a，mln（a+1））处的切线方程为y﹣mln（a+1）＝（x﹣a），即y＝x+mln（a+1）﹣，函数g（x）＝在点（b，）处的切线方程为y﹣＝（x﹣b），即y＝x+．y＝f（x）与y＝g（x）的图象有且仅有一条公切线所以＝（1），mln（a+1）﹣＝（2），有唯一一对（a，b）满足这个方程组，且m＞0…（6分）由（1）得：a+1＝m（b+1）2代入（2）消去a，整理得：2mln（b+1）++mlnm﹣m﹣1＝0，关于b（b＞﹣1）的方程有唯一解…（8分）令t（b）＝2mln（b+1）++mlnm﹣m﹣1，t′（b）＝﹣＝，方程组有解时，m＞0，所以t（b）在（﹣1，﹣1+）单调递减，在（﹣1+，+∞）上单调递增．所以t（b）min＝t（（﹣1+）＝m﹣mlnm﹣1．由b→+∞，t（b）→+∞；b→﹣1，t（b）→+∞，只需m﹣mlnm﹣1＝0…（10分）令u（m）＝m﹣mlnm﹣1，u′（m）＝﹣lnm在m＞0为单减函数，且m＝1时，u′（m）＝0，即u（m）min＝u（1）＝0，所以m＝1时，关于b的方程2mln（b+1）++mlnm﹣m﹣1＝0有唯一解．此时a＝b＝0，公切线方程为y＝x…（12分）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a＞0，β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程ρcos（θ﹣）＝．（Ⅰ）若曲线C与l只有一个公共点，求a的值；（Ⅱ）A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求△OAB的面积最大值．【解答】（Ⅰ）曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；直线l的直角坐标方程为由直线l与圆C只有一个公共点，则可得解得：a＝﹣3（舍）或a＝1所以：a＝1．（Ⅱ）由题意，曲线C的极坐标方程为ρ＝2a cosθ（a＞0）设A的极角为θ，B的极角为则：＝＝∵cos＝所以当时，取得最大值∴△OAB的面积最大值为．解法二：因为曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆，且由正弦定理得：，所以|AB＝由余弦定理得：|AB2＝3a2＝|0A|2+|OB|2﹣|OA||OB|≥|OA||OB|则：≤×＝．∴△OAB的面积最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m．（1）作出函数f（x）的图象；（2）若a2+2c2+3b2＝m，求ab+2bc的最大值．【解答】解：（1）当x≤﹣时，f（x）＝（1﹣x）+2x+1＝x+2；当﹣＜x＜1时，f（x）＝（1﹣x）﹣2x﹣1＝﹣3x：当x≥1时，f（x）＝（x﹣1）﹣2x﹣1＝﹣x﹣2，函数f（x）的图象，如图所示；（2）由题意，当x＝﹣时，f（x）取得最大值m＝1.5，∴a2+2c2+3b2＝1.5，∴ab+2bc≤（a2+2c2+3b2）＝，即ab+2bc的最大值为．第31页（共31页）。
2016-2017年四川省绵阳市三台中学高一(下)第三次月考数学试卷(解析版)
2016-2017学年四川省绵阳市三台中学高一（下）第三次月考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）三角形ABC中，﹣＝（）A．2B．2C．D．2．（4分）已知a，b∈R，下列结论成立的是（）A．若a＜b，则ac＜bcB．若a＜b，c＜d，则ac＜bdC．若a＜b＜0，则＞D．若a＜b，则a n＜b n（n∈N*，n≥2）3．（4分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a2+10a1，a5＝34，则a1＝（）A．1B．2C．3D．44．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是（）A．60°B．45°C．30°D．90°5．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥αD．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α6．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．8+2B．11+2C．14+2D．157．（4分）在△ABC中，已知A＝30°，C＝45°，a＝2，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．8．（4分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏9．（4分）在锐角三角形ABC中，BC＝3，AB＝4，则AC的取值范围是（）A．B．C．D．10．（4分）如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2．若二面角C﹣AB﹣C1的大小为45°，则点C到平面C1AB的距离为（）A．1B．C．D．11．（4分）设O为坐标原点，第一象限内的点M（x，y）的坐标满足约束条件，，若的最大值为40，的最小值为（）A．B．C．1D．412．（4分）在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和为S n满足S n2＝a n（S n﹣1），设b n＝log2，数列{b n}的前n项和为T n，则满足T n≥6的最小正整数n是（）A．10B．11C．12D．9二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）13．（3分）已知向量，，∥（+），则m＝．14．（3分）已知向量，，其中，，且，则＝．15．（3分）如图是正方形的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED是异面直线；②CN与面BEM平行；③BN与面ADNE所成角的正切值是；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是．16．（3分）在△ABC中，AB＝，点D在边BC上，BD＝2DC，cos∠DAC＝，cos ∠C＝，则AC+BC＝三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知，，函数．（Ⅰ）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若锐角A满足，求∠A的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a＝7，且，求△ABC的面积．18．（10分）如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积．19．（10分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点，F为AB的中点．证明：（1）EE1∥平面FCC1．（2）平面D1AC⊥平面BB1C1C．20．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（n﹣1）（S n+2）﹣T n ＜t+对任意n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．2016-2017学年四川省绵阳市三台中学高一（下）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）三角形ABC中，﹣＝（）A．2B．2C．D．【解答】解：三角形ABC中，﹣＝．故选：C．2．（4分）已知a，b∈R，下列结论成立的是（）A．若a＜b，则ac＜bcB．若a＜b，c＜d，则ac＜bdC．若a＜b＜0，则＞D．若a＜b，则a n＜b n（n∈N*，n≥2）【解答】解：对于A，当c≤0时，不成立，对于B，当a＝﹣2，b＝1，c＝﹣3，d＝2，时，则不成立，对于C．根据不等式的性质，a＜b＜0，两边同时除以ab，即可得到＞，即则成立，对于D，当a＝﹣2，b＝1，n＝2时，则不成立，故选：C．3．（4分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a2+10a1，a5＝34，则a1＝（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S3＝a2+10a1，a5＝34，∴3a1+3d＝11a1+d，a1+4d＝34，则a1＝2．故选：B．4．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是（）A．60°B．45°C．30°D．90°【解答】解：连接AB1∵E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，∴EF∥AB1∵AB∥CD∴∠B1AB为EF和CD所成的角，为45°故选：B．5．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥αD．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α【解答】解：对于A，由n∥α可知存在直线a⊂α，使得a∥n，故当m为α内与a垂直的直线时，显然m⊥n，m⊂α，故A错误；对于B，设α∩β＝a，则当m为α内与a平行的直线时，m∥β，m⊂α，故B错误；对于C，设α∩β＝a，则当m为β内与与a平行的直线时，m∥α，故C错误；对于D，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，故m⊥α，故D正确．故选：D．6．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．8+2B．11+2C．14+2D．15【解答】解：根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，底面的梯形上底1，下底2，高为1，∴侧面为（4）×2＝8，底面为（2+1）×1＝，故几何体的表面积为8＝11，故选：B．7．（4分）在△ABC中，已知A＝30°，C＝45°，a＝2，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．【解答】解：因为△ABC中，已知A＝30°，C＝45°，所以B＝180°﹣30°﹣45°＝105°．因为a＝2，也由正弦定理，c＝＝＝2．所以△ABC的面积，S＝＝＝2＝2（）＝1+．故选：B．8．（4分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【解答】解：设塔顶的a1盏灯，由题意{a n}是公比为2的等比数列，∴S7＝＝381，解得a1＝3．故选：B．9．（4分）在锐角三角形ABC中，BC＝3，AB＝4，则AC的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：BC＝3，AB＝4，由于A，B，C均为锐角，当AC为最大边时，cos B＝＝＞0，可得：AC＜5，当AB为最大边时，cos C＝＝＞0，可得：AC＞，∴AC∈（，5），故选：B．10．（4分）如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2．若二面角C﹣AB﹣C1的大小为45°，则点C到平面C1AB的距离为（）A．1B．C．D．【解答】解：不妨设AB＝2，取AB的中点O，连接CO，OC1．则OC⊥AB．∵CC1⊥平面ABC，∴AB⊥OC1．∴∠COC1是二面角C﹣AB﹣C1的平面角，大小为45°．则OC＝＝CC1．设点C到平面C1AB的距离为h，则＝＝，解得h＝＝．故选：D．11．（4分）设O为坐标原点，第一象限内的点M（x，y）的坐标满足约束条件，，若的最大值为40，的最小值为（）A．B．C．1D．4【解答】解：∵＝ax+by，∴设z＝ax+by，则z的最大值为40．作出不等式组的对应的平面区域如图：（阴影部分）由z＝ax+by，得y＝，由图象可知当直线y＝，经过点A时，直线y＝的截距最大，此时z最大（∵b＞0），由，解得，即A（8，10），代入z＝ax+by，得40＝8a+10b，即，∴＝（）（）＝1+，当且仅当，即4a2＝25b2，2a＝5b时取等号，∴的最小值为，故选：B．12．（4分）在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和为S n满足S n2＝a n（S n﹣1），设b n＝log2，数列{b n}的前n项和为T n，则满足T n≥6的最小正整数n是（）A．10B．11C．12D．9【解答】解：在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和为S n满足S n2＝a n（S n﹣1），∴S n2＝（S n﹣S n﹣1）（S n﹣1），化为：﹣＝1．∴数列是等差数列，首项为1，公差为1．∴＝1+（n﹣1）＝n，解得：S n＝．∴b n＝log2＝，数列{b n}的前n项和为T n＝+++…++＝＝．由T n≥6，即≥6，解得（n+1）（n+2）≥27，令f（x）＝x2+3x﹣126＝﹣128﹣，可得：f（x）在[1，+∞）上单调递增．而f（9）＝﹣19＜0，f（10）＝4＞0，若x∈N*，则n≥10．则满足T n≥6的最小正整数n是10．故选：A．二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）13．（3分）已知向量，，∥（+），则m＝3．【解答】解：＝（4，1+m），∵∥（+），∴1+m＝4，解得m＝3．故答案为：3．14．（3分）已知向量，，其中，，且，则＝．【解答】解：∵向量，，其中，，且，∴（+）•＝+＝0，∴＝﹣＝﹣1．∴（）2＝＝1﹣4×（﹣1）+4×4＝21．∴＝．故答案为：．15．（3分）如图是正方形的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED是异面直线；②CN与面BEM平行；③BN与面ADNE所成角的正切值是；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是①②③④．【解答】解：将展开图还原成立体图形，可得如图所示的正方体对于①，BM与ED是位于正方体的左、右侧面内的异面的面对角线，故正确；对于②，CN与面BEM内的直线BE平行，根据判定可得CN与面BEM平行，故正确对于③，∠BNA就是BN与面ADNE所成角，其正切值为＝，故正确对于④，DM⊥平面BCNE，所以DM与BN垂直，故正确；故答案为：①②③④．16．（3分）在△ABC中，AB＝，点D在边BC上，BD＝2DC，cos∠DAC＝，cos∠C＝，则AC+BC＝3【解答】解：∵BD＝2DC，∴设CD＝x，AD＝y，则BD＝2x，∵cos∠DAC＝，cos∠C＝，∴sin∠DAC＝，sin∠C＝，则由正弦定理得，即，即y＝，sin∠ADB＝sin（∠DAC+∠C）＝×+×＝，则∠ADB＝，，在△ABD中，，即2＝4x2+2x2﹣2×＝2x2，即x2＝1，解得x＝1，即BD＝2，CD＝1，AD＝在△ACD中，AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD cos＝2+1﹣2×＝5，即AC＝，则AC+BC＝3，故答案为：3三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知，，函数．（Ⅰ）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若锐角A满足，求∠A的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a＝7，且，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）＝＝＝，由，又∵A为锐角，∴，（Ⅱ）由正弦定理可得，，则，由余弦定理可知，，可求得bc＝40．则．18．（10分）如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积．【解答】解：设矩形休闲广场的长为x米，∵矩形休闲广场的占地面积为2400平方米故矩形休闲广场的宽为米由于道路的宽度均为2米故绿化区域的面积y＝（x﹣6）（﹣4）＝2424﹣（4x+）≤2424﹣2＝2424﹣480＝1944当且仅当4x＝，即x＝60时取等，此时＝40即矩形休闲广场的长和宽分别为60米和40米时，才能使绿化区域的总面积最大，最大面积为1944平方米．19．（10分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点，F为AB的中点．证明：（1）EE1∥平面FCC1．（2）平面D1AC⊥平面BB1C1C．【解答】证明：（1）证法一：取A1B1的中点为F1，连接FF1，C1F1，由于FF1∥BB1∥CC1，所以F1∈平面FCC1F1，因为平面FCC1F1即为平面C1CFF1，连接A1D，F1C，由于A1F1和D1C1和CD平行且相等．所以四边形A1DCF1为平行四边形，因为A1D∥F1C．又EE1∥A1D，得EE1∥F1C，而EE1⊄平面FCC1F1，F1C⊂平面FCC1F1，故EE1∥平面FCC1F1．证法二：因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，所以CD∥AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC．又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1F1，所以平面ADD1A1∥平面FCC1F1，又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1．（2）证明：连接AC，连△FBC中，FC＝BC＝FB，又F为AB的中点，所以AF＝FC＝FB，因此∠ACB＝90°，即AC⊥BC．又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C，所以AC⊥平面BB1C1C，而AC⊂平面D1AC，故平面D1AC⊥平面BB1C1C．20．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（n﹣1）（S n+2）﹣T n ＜t+对任意n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当n＝1时，a1＝2a1﹣2，解得a1＝2；当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2）＝2a n﹣2a n﹣1，∴a n＝2a n﹣1，故数列{a n}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列，故．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∴T n＝b1+b2+…+b n＝（2+2•22+3•23+…+n•2n）﹣（1+2+…+n）令，则，两式相减得＝，∴，故T n＝b1+b2+…+b n＝，又由（Ⅰ）得，，不等式即为（n﹣1）2n+1﹣（n﹣1）2n+1﹣2+，即为对任意n∈N*恒成立．设，则，∵n∈N*，∴，故实数t的取值范围是．。
精品解析：【全国百强校】四川省绵阳南山中学2017-2018学年高一3月月考数学试题(解析版)
绵阳南山中学2018年春季高2017级3月月考数学试题一、选择题:本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.如图，点是平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为平行四边形所在平面一组基底的向量组是( )A. ① ②B. ③ ④C. ① ③D. ① ④【答案】D【解析】【分析】根据基底的定义进行判断，即判断两个向量是否共线即可．【详解】对于①，由于与不共线，所以可以作为平面的一组基底；对于②，由于与共线，所以不可以作为平面的一组基底；对于③，由于与共线，所以不可以作为平面的一组基底；对于④，由于与不共线，所以可以作为平面的一组基底．由分析可得① ④中的向量可作为平面的一组基底．故选D．【点睛】本题考查平面基底的概念和理解，解题的关键是判断两个向量是否共线，属于基础题．2.在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、 c。
若bcosB=acosA，则△ABC的形状是( )A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理把边化为角后再进行判断．【详解】由bcosB=acosA及正弦定理得，∴，又A、B是三角形的内角，∴或，∴或，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D．【点睛】用正弦定理、余弦定理判断三角形形状的两种思路：（1）把边化为角进行判断，（2）把角化为边进行判断，解题时要结合条件灵活选择解题的方法．3.已知，则一定共线的三点是( )A. A、B、CB. A、B、DC. A、C、DD. B、C、D【答案】B【解析】【分析】先判断向量共线，然后再判断三点共线．【详解】对于A，由于向量不共线，所以A、B、C三点不共线，故A不正确．对于B，由题意得，又，所以共线，从而得到A、B、D三点共线，故B正确．对于C，由题意得，又，所以不共线，故A、C、D三点不共线，所以C 不正确．对于D，由题意得不共线，所以B、C、D三点不共线．故选B．【点睛】本题考查三点共线的判定，解题时可通过证明向量共线的方法得到点共线，但要注意向量共线和点共线的区别，在得到向量共线后，还要说明两向量有公共点，才能得到三点共线．4.在边长为4的菱形ABCD中∠BAD=120°，则在方向上的投影为( )A. B. - C. -2 D. 2【答案】C【解析】【分析】根据向量数量积的几何意义求解．【详解】由题意得，向量和的夹角为120°，所以在方向上的投影为.故选C．【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，解题时根据定义求解即可，属于基础题．5.两个非零向量、满足，则向量与夹角为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得，画出图形后结合向量加减法的法则分析、求解可得所求角的大小．【详解】由得，画出图形如图所示．由图形得，在矩形ABCD中，即为向量与的夹角．在中，由，即得，所以，即向量与的夹角为．故选B．【点睛】由于向量具有“数”、“形”二重性，因此在研究向量的有关问题时，可借助于图形的直观形象性进行求解，同时利用数形结合也能简化解题过程，这也是解答本题的关键所在．6.在△ABC中，已知sin A:sinB:sinC=4:3:2，则cosA=( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意设三角形的三边分别为，然后根据余弦定理求解即可．【详解】∵，∴设分别为，由余弦定理得．故选C．【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的简单应用，解题的关键是由正弦定理将三内角的正弦比转化为三边的比，同时也考查运算能力，属于简单题．7.AB是⊙O的直径，点C、D是半圆弧AB上的两个三等分点，设，则=( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意得到，然后根据向量加法的三角形法则求解即可．【详解】∵AB是⊙O的直径，点C、D是半圆弧AB上的两个三等分点，∴且，∴，∴．故选A．【点睛】解答本题的关键是根据几何图形的特点得到与的位置关系和数量关系，然后再根据向量加法的法则求解，考查转化和理解能力．8.在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在水平地面上前进1200米后测得仰角为，继续在水平地面上前进400米后，测得山峰的仰角为，则该山峰的高度为( )A. 300米B. 450 米C. 300 米D. 600米【答案】D【解析】【分析】作出符合题意的图形，利用三角函数、解三角形等知识即可得到结论．【详解】根据题意画出图形如下图所示．则由题意得，，，∴，，设山峰的高度为，则，∴，由题意得为锐角，∴，∴．故该山峰的高度为600米．故选D．【点睛】本题考查解三角形在实际问题中的应用，解题的关键是根据题意画出图形，然后结合图形根据解三角形的知识求解，考查理解和运用知识解决问题的能力．9.函数的部分图象如图所示，则=( )A. 6B. 14C. 3D. 6【答案】D【解析】【分析】首先结合正切函数图象得到点A与点B的坐标，进而表示出，然后利用向量数量积的坐标运算法则进行解答即可．【详解】在中，令，得，所以点A的坐标为；令，得，所以点B的坐标为．∴，∴，∴.故选D．【点睛】本题考查数量积的运算和正切函数的性质，求解的关键是根据正切函数的图象得到点的坐标，然后根据向量数量积的坐标运算求解，考查转化能力和计算能力．10.已知是等边三角形，且,那么四边形ABCD的面积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设AD的中点为E，以为邻边作平行四边形AECB，画出对应的图形，利用E为中点，得到为平行四边形，再根据可得四边形为矩形，于是得到四边形ABCD为直角梯形，进而可得所求的面积．【详解】取AD的中点E，以为邻边作平行四边形AECB，如图所示，则有，又，∴，∴四边形为平行四边形，又BE为等边的中线，∴，∴平行四边形BCDE是矩形，∴四边形ABCD是直角梯形．又，∴，∴四边形ABCD的面积为．故选A．【点睛】解答本题的关键是对式子的理解，然后结合向量加法的平行四边形法则构造平行四边形，然后通过分析得到四边形ABCD的形状，体现了向量具有数和形的双重性质的特点，考查分析问题和解决问题的能力．11.点G为△ABC的重心，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，则=( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据余弦定理求得，于是得到△ABC为直角三角形，然后建立平面直角坐标系，根据重心得到点G 的坐标，然后根据数量积的坐标运算得到所求．【详解】在△ABC中，由余弦定理得，∴，∴，∴△ABC为直角三角形，且C=90°．以点C为原点，边CA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则又G为△ABC的重心，∴点G的坐标为．∴，∴．故选A．【点睛】解答本题的关键是判断出三角形的形状，然后通过建立平面直角坐标系，根据几何图形得到三角形的重心坐标，将问题转化为向量的坐标运算处理．解题时要注意已知三角形三个顶点的坐标求重心坐标的方法．12.如图，A、B、C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若，则λ+μ的取值范围是( )A. (-∞,-1)B. (-1,0)C. (0,1)D. (1,+∞)【答案】B【解析】【分析】首先由C,O,D三点共线且点D在圆外可设，再由B,A,D三点共线且点D在圆外可得，然后结合三角形法则可得，进而可得，所以得到，从而，最后将其与已知向量式对比即可求出λ与μ，据此问题即可解答．【详解】由点D是圆O外一点且C,O,D三点共线，可设，由B,A,D三点共线且点D在圆外可得，又，∴，∴，∴．又，∴，∴．故选B．【点睛】本题难度较大，解题的关键是根据题意将向量再次用基底表示，然后根据平面向量基本定理得到λ与μ的表达式，进而转化成一个变量的问题，体现了“算两次”的思想方法的利用，考查转化能力和处理数据的能力．二.填空题:本大题共4个小题，每小题3分，共12分13.已知，若，则实数=__________；=__________。
四川省绵阳中学高一下学期第三次月考(数学文)
绵阳中学高第二学期第三学月考试数 学 试 题一、选择题：（每小题4分，共48分）1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A.12(0,0),(1,2)e e ==-B.12(1,2),(5,7)e e =-=C.12(3,5),(6,10)e e ==D.1213(2,3),(,)24e e =-=-2．由11,3a d ==确定的等差数列{}n a ，当298n a =时，序号n 等于（ ）A. 99B.100C.96D.101 3．三个平面可将空间分成n 个部分，则n 的最小最大值分别是（ ）A.4，7B.6，7C.4，8D.6，8 4．下列命题中，正确的个数是（ ）①垂直于同一直线的两个平面互相平行； ②垂直于同一平面的两条直线互相平行③平行于同一直线的两个平面互相平行； ④平行于同一平面的两条直线互相平行 A. 1 B. 2 C. 3 D. 45．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，过A 1，C 1，B 作一截面，则截得的棱锥的体积占剩下的几何体体积的比是（ ）A.13B.14C.15D.166．把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份 之和，则最小1份是（ ） A.53B.103C.56D.1167．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718,a a a a +=则3132310log log log a a a +++=（ ）A. 12B. 10C. 8D. 32log 5+8．过△AB 所在平面α外一点P ，作PO ⊥α，垂足为O ，连接PA 、PB 、PC 且PA 、PB 、PC 两两垂直，则点O 是△ABC 的（ ）A.内心B.外心C.垂心D. 垂心 9．设M 是□ABCD 的对角线的交点，O 是任意一点，则OA OB OC OD +++等于（ ） A.OMB. 2OMC. 3OMD. 4OM10．与直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线方程为（ ） A. 3450x y +-=B. 3450x y ++=C. 3450x y -+=D. 3450x y --=11形的直角边的长为1A.16B.12B.C.13D.112．等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A、B、C，则（）A.A+B=CB.B2=ACC.(A+B)－C=B2D.A2+.B2=A(B+C)二、填空题：（每小题3分，共12分）13．若向量,,a b c两两所成的角相等，且||1,||1,||3a b c===，则|a b c++|= .14．在△ABC中，如果有性质cos cosa Ab B=，则这个三角形的形状是三角形15．已知圆台的上、下底面半径分别是,r R，且侧面面积等于两底面积之和，则圆台的母线长等于.16．如果AB＞0，BC＞0，则直线0Ax By C--=，不经过第象限.三、解答题：（每题10分，共40分）17．（本题10分）在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AD和BC所成的角。
绵阳南山中学高一年级秋季月考数学试题(含答案)
绵阳南山中学高一年级秋季月考数学试题(含答案)高一在整个高中是一个打基础的阶段，下面是绵阳南山中学高一年级春季月考数学试题，协助大家查缺补漏。
一.选择题(每题4分，共40分)1.集合，那么 ( )A. B. C. D.2.函数是 ( )A.周期为1的奇函数B.周期为的奇函数C.周期为1的偶函数D.周期为的偶函数3.幂函数f(x)满足，那么的图象所散布的象限是 ( )A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.只在第一象限4.函数，的局部图象如下图，那么 ( )A.=1，6B.=2，6C.=1，6D.=2，65.2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是 ( )A.2B.C.D.6.方程有解，那么实数k的取值范围为 ( )A. B.C. D.7.f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，+)上是增函数，设a= ，b= ,c= ，那么a，b，c的大小关系是 ( )A.a8.函数的大致图象为 ( )9.函数假定是的最小值，那么的取值范围为( )A. [0，2]B. [1，2]C. [-1，0]D. [-1,2]10.假设函数上存在两个不同点A、B关于原点对称，那么称A 、B两点为一对友好点，记作，规则和是同一对，，那么函数上共存在友好点 ( )A.1对B.3对C.5对D.7对二.填空题(每题4分，共20分)11.当时，那么不等式：的解集是12.角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边落在第三象限,与圆心在原点的单位圆交于点P ，那么=________13.函数在区间上恒有，那么实数a的取值范围是________14. 那么的值________15.函数图象与中国汉字囧字相似，因此我们把函数称之为囧函数。
当时，请同窗们研讨如下命题：①函数的定义域是： ;②函数的对称中心是和 ;③函数在上单调;④函数的值域是： ;⑤方程有三个不同的实数根，那么或 ;其中正确命题是三.解答题(每题10分，共40分)16. (此题共10分)不等式: 的解集为A,函数: 的值域为B;(1)求集合A和B;(2) ,求a的取值范围;17. (此题共10分)函数(1)求函数的最小正周期及单减区间;(2)假定将函数先左平移个单位，再将其纵坐标伸长到原来的2倍失掉函数，当时，的值域恰恰为，求的取值范围;18. (此题共10分)某桶装水运营部每天的房租，人员工资等固定本钱为200元，每桶水的进价是5元，销售价 (元)与日均销售量 (桶)的关系如下表，为了收费方便，运营部将销售价定为整数，并坚持运营部每天盈利。
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绵阳南山中学高2019届2017年春季3月月考
数学答案
一、选择题
1-6: DBACCA 7-12: BDCABD
二、填空题
13．24 14.3- 15. m 16. ①②⑤
三、解答题
17.（1）由题意315711272210263a a d d a a a d a =+==⎧⎧⇒⎨⎨+=+==⎩⎩………………4分
所以21n a n =+…………………………………………………………5分
（2）由（1）知：2712727
n n b n n =
=+--………………6分 又因为当1,2,3n =时，数列{}n b 递减且7027
n <-； 当4n ≥时，数列{}n b 递减且7027n >-，………………8分 所以，数列{}n b 的最大项为48b = ，最小项为36b =-………………10分
18.解：
2sin b A =，根据正弦定理得
A B A sin sin 2sin 3=，………………………………………………………………2分 ∴ sin B =2
3， 则由△ABC 为锐角三角形，得B =
3π．（此处考查表述严谨性）…………………4分 （Ⅱ）∵ b =7，a +c =4，B =
3π， ∴ 由余弦定理有b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，…………………………………………………6分
得b 2=(a +c )2-2ac -2ac cos B ，
即7=16-2ac (1+
2
1)，解得ac =3．………………………………………………………9分 ∴ △ABC 的面积S =21ac sin B =43323321=⨯⨯． ………………………………10分 19.解：（1）由题意知：()()()0a c a c b b a +-+-=；即2222cos a b c ab ab C +-==； 所以，1cos ,.23
C C π==……………………………………………………………4分 ()22,,33C A B π
π=∴+=
………………………………………………………………5分 2222sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin 333a b A B A A A A A πππ⎛⎫+=+=+-=+- ⎪⎝⎭
312(sin )cos 226A A A A A π⎫⎛⎫==+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
………………8分 2510,sin 1366626A A A πππππ⎛⎫<<∴<+<⇒<+≤ ⎪⎝
⎭ 所以B A sin sin +的取值范围是
(]
323，.………………………………………………10分
20.解：（1）在OAC ∆中，120AOC ∠=︒，AC x =，
由余弦定理得，2222cos120OA OC OA OC x +-⋅⋅︒=，
又OC BO =，所以2222cos120OA OB OA OB x +-⋅⋅︒= ①， ……1分 在OAB ∆中，10AB =，60AOB ∠=︒
由余弦定理得，
222cos60100OA OB OA OB +-⋅⋅︒=②， ………3分 ①+②得222100
2x OA OB ++=，
①-②得24cos60100OA OB x ⋅⋅︒=-，2100
2x OA OB -⋅=， …………4分
又OB OA OB OA ⋅≥+422得：222OA OB OA OB +⋅≥，
所以222100
100
22x x ⨯+-≥，即2300x ≤，
又2100
02x OA OB -⋅=＞，即2100x ＞， 所以10x ＜≤………………………5分
（2）易知OAB OAC S S ∆∆=，
故1
22sin 602ABC OAB S S OA OB ∆∆==⋅⋅⋅︒= ………………………7分
又1ABC S AC BD ∆=⋅⋅，设()BD f x =，
所以()(10f x x =∈，， ……………………………8分
又100())f x x x =-，100
,y x y x ==-在(10，上都是增函数；
所以，()f x 在(10，上是增函数，
所以()f x 的最大值为10f =，即BD 的最大值为10． ……………………10分
（利用单调性定义证明()f x 在(10，上是增函数，同样给满分；如果直接说出()f x (10，上是增函数，但未给出证明或讨论，扣1分．）。