第二章系统可靠性模型
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《可靠性模型》课件
维护等
可靠性模型的参数设定
失效率：描述设备或系统在单位时间内发生故障的概率
维修率：描述设备或系统在单位时间内被修复的概率
平均修复时间：描述设备或系统从发生故障到被修复所 需的平均时间
平均无故障时间：描述设备或系统在两次故障之间的平 均时间
失效模式：描述设备或系统可能出现的故障类型和原因
维修策略：描述设备或系统在发生故障后的维修方式和 方法
添加标题
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应用：广泛应用于航空航天、汽 车、电子等领域，用于提高产品 的可靠性和安全性。
故障树分析法
基本概念：一种 系统安全分析方 法，用于识别和 评估系统中的故 障和失效
应用领域：广泛 应用于航空航天、 核能、化工、电 子等领域
主要步骤：建立 故障树、分析故 障原因、评估故 障概率、提出改 进措施
优点：可靠性框图法具有直观、易于理解的特点，可以帮助分析人员快 速了解系统的可靠性。
局限性：可靠性框图法只能提供系统的可靠性信息，不能提供系统的详 细性能信息。
可靠性模型的应用实例
电子产品可靠性模型应用实例
手机：电池寿命 预测、屏幕故障 率分析等
电脑：硬盘寿命 预测、主板故障 率分析等
家电：冰箱压缩 机寿命预测、洗 衣机电机故障率 分析等
电子设备：评估电子设备的可靠性， 如手机、电脑等
机械设备：评估机械设备的可靠性， 如汽车、飞机等
建筑工程：评估建筑工程的可靠性， 如桥梁、隧道等
医疗设备：评估医疗设备的可靠性， 如医疗器械、药品等
软件系统：评估软件系统的可靠性， 如操作系统、应用软件等
环境监测：评估环境监测设备的可靠 性，如空气质量监测、水质监测等
靠性和寿命
电力系统：用于 评估电力系统的 可靠性和稳定性
可靠性模型的参数设定
失效率：描述设备或系统在单位时间内发生故障的概率
维修率：描述设备或系统在单位时间内被修复的概率
平均修复时间：描述设备或系统从发生故障到被修复所 需的平均时间
平均无故障时间：描述设备或系统在两次故障之间的平 均时间
失效模式：描述设备或系统可能出现的故障类型和原因
维修策略：描述设备或系统在发生故障后的维修方式和 方法
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应用：广泛应用于航空航天、汽 车、电子等领域，用于提高产品 的可靠性和安全性。
故障树分析法
基本概念：一种 系统安全分析方 法，用于识别和 评估系统中的故 障和失效
应用领域：广泛 应用于航空航天、 核能、化工、电 子等领域
主要步骤：建立 故障树、分析故 障原因、评估故 障概率、提出改 进措施
优点：可靠性框图法具有直观、易于理解的特点，可以帮助分析人员快 速了解系统的可靠性。
局限性：可靠性框图法只能提供系统的可靠性信息，不能提供系统的详 细性能信息。
可靠性模型的应用实例
电子产品可靠性模型应用实例
手机：电池寿命 预测、屏幕故障 率分析等
电脑：硬盘寿命 预测、主板故障 率分析等
家电：冰箱压缩 机寿命预测、洗 衣机电机故障率 分析等
电子设备：评估电子设备的可靠性， 如手机、电脑等
机械设备：评估机械设备的可靠性， 如汽车、飞机等
建筑工程：评估建筑工程的可靠性， 如桥梁、隧道等
医疗设备：评估医疗设备的可靠性， 如医疗器械、药品等
软件系统：评估软件系统的可靠性， 如操作系统、应用软件等
环境监测：评估环境监测设备的可靠 性，如空气质量监测、水质监测等
靠性和寿命
电力系统：用于 评估电力系统的 可靠性和稳定性
05第二章系统可靠性模型03
第 二 章 系统可靠性模型
1
内容提要
§ 2—3 串联系统的可靠性模型 一、定义和特点 二、可靠性框图 三、数学模型 四、提高串联系统可靠性的措施
§2—4 并联系统的可靠性模型 一. 定义和特点 二、可靠性框图 三、数学模型 四、提高并联系统可靠性的措施
§2-5 混联系统的可靠性模型 一、 串并联系统(附加单元系统) 二、并串联系统(附加通路系统) 三、较复杂的混联系统
一、 串并联系统(附加单元系统)，图2—20。 27
20
上图串联了n个组成单元，而每个组 成单元由m个基本单元并联。
28
设每个组成单元的可靠度为Ri(t)，则 RS1(t)：
n
Rs1(t) 1 (1 Ri (t))m (2-18) i1
（括号里为每个并联系统的可靠性）
二、并串联系统(附加通路系统),图2-21
17
求： (1) 滤网堵塞时的可靠度、失效率、
21
平均寿命；
(2) 滤网破损时的可靠度、失效率、 平均寿命。
解 ：(1 ) 滤网堵塞时系统的可靠性框图2-18， 为串联系统。
18
由于 λ = 常数，所以其为指数分布。
22
故有：
2
s i 5105 1105 i1
6 10 5 h-1
RS (1000) est e61051000 e0.06 0.94176
1 2 1 2
1 5 105
1 1105
1 (5 1) 105
10333.3h
25
S
(t)
e1t 1
e2t 2
e1t e2t
(1 2 )e(12 )t
e(12 )t
5105
e51051000 1105 e11051000 (5 1) 105 e e e 51051000 11051000 61051000
1
内容提要
§ 2—3 串联系统的可靠性模型 一、定义和特点 二、可靠性框图 三、数学模型 四、提高串联系统可靠性的措施
§2—4 并联系统的可靠性模型 一. 定义和特点 二、可靠性框图 三、数学模型 四、提高并联系统可靠性的措施
§2-5 混联系统的可靠性模型 一、 串并联系统(附加单元系统) 二、并串联系统(附加通路系统) 三、较复杂的混联系统
一、 串并联系统(附加单元系统)，图2—20。 27
20
上图串联了n个组成单元，而每个组 成单元由m个基本单元并联。
28
设每个组成单元的可靠度为Ri(t)，则 RS1(t)：
n
Rs1(t) 1 (1 Ri (t))m (2-18) i1
（括号里为每个并联系统的可靠性）
二、并串联系统(附加通路系统),图2-21
17
求： (1) 滤网堵塞时的可靠度、失效率、
21
平均寿命；
(2) 滤网破损时的可靠度、失效率、 平均寿命。
解 ：(1 ) 滤网堵塞时系统的可靠性框图2-18， 为串联系统。
18
由于 λ = 常数，所以其为指数分布。
22
故有：
2
s i 5105 1105 i1
6 10 5 h-1
RS (1000) est e61051000 e0.06 0.94176
1 2 1 2
1 5 105
1 1105
1 (5 1) 105
10333.3h
25
S
(t)
e1t 1
e2t 2
e1t e2t
(1 2 )e(12 )t
e(12 )t
5105
e51051000 1105 e11051000 (5 1) 105 e e e 51051000 11051000 61051000
06第二章系统可靠性模型04
的可靠度 Rs 甚至不如一个单元的系统，因 此为了改善2/3[G]系统的可靠度特性，必须采 取措施。 可见表决系统在可靠性方面的优越性不大， 但表决系统往往是从功能的需要建立 从功能的需要建立的，所以 从功能的需要建立 也要掌握该系统的可靠度计算方法。
§2—7 贮备系统的可靠性模型
为了提高系统的 可靠性，还可以 贮 备 一些单元 ， 以便当工 作单元失效时 ， 立即 能由贮备单元接替， 能由贮备单元接替 这种系统称为 贮备 系 统 ，其可靠性框图如 图2—29所示。
7
RS (t ) = R1 (t ) R2 (t ) R3 (t ) + R1 (t ) R2 (t ) F3 (t ) + R1 (t ) F2 (t ) R3 (t ) + F1 (t ) R2 (t ) R3 (t )
∵ 各单元寿命为指数分布： 将 Ri (t ) = e 代入上式得：
− λi t
16
图2-29 贮备系统 可靠性框图
17
贮备系统一般有冷贮备（无载贮备）、热 贮备（满载贮备）和所谓温贮备（轻载贮备） 之分。 热贮备单元在贮备中的失效率和在工作时的 热贮备 失效率一样。 冷贮备单元在贮备中不会失效。 而温贮备 温贮备单元的贮备失效率大于零而小于工 温贮备 作失效率。
18
一、冷贮备系统 冷贮备系统通常用n+1个单元和一个高可靠转 一个单元在工作， 个单元作贮备。 换开关组成，一个单元在工作，n 个单元作贮备 一个单元在工作 当工作单元失效时，转换开关把一个贮备单 元接入，系统继续工作。这样直到所有单元都失 效时，系统才失效。
6
As = A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 '∪ A1 A2 ' A3 ∪ A1 ' A2 A3
§2—7 贮备系统的可靠性模型
为了提高系统的 可靠性，还可以 贮 备 一些单元 ， 以便当工 作单元失效时 ， 立即 能由贮备单元接替， 能由贮备单元接替 这种系统称为 贮备 系 统 ，其可靠性框图如 图2—29所示。
7
RS (t ) = R1 (t ) R2 (t ) R3 (t ) + R1 (t ) R2 (t ) F3 (t ) + R1 (t ) F2 (t ) R3 (t ) + F1 (t ) R2 (t ) R3 (t )
∵ 各单元寿命为指数分布： 将 Ri (t ) = e 代入上式得：
− λi t
16
图2-29 贮备系统 可靠性框图
17
贮备系统一般有冷贮备（无载贮备）、热 贮备（满载贮备）和所谓温贮备（轻载贮备） 之分。 热贮备单元在贮备中的失效率和在工作时的 热贮备 失效率一样。 冷贮备单元在贮备中不会失效。 而温贮备 温贮备单元的贮备失效率大于零而小于工 温贮备 作失效率。
18
一、冷贮备系统 冷贮备系统通常用n+1个单元和一个高可靠转 一个单元在工作， 个单元作贮备。 换开关组成，一个单元在工作，n 个单元作贮备 一个单元在工作 当工作单元失效时，转换开关把一个贮备单 元接入，系统继续工作。这样直到所有单元都失 效时，系统才失效。
6
As = A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 '∪ A1 A2 ' A3 ∪ A1 ' A2 A3
可靠性模型汇总
环境控 制系统
超高频 通信 雷达 甚高频 通信
武器控 制系统
大气数 据系统 备用 罗盘 固定 增稳
武器
机体
起落架
图3-5 F/A-18任务可靠性框图
2019/1/18 13
可靠性逻辑关系
K
双开关系统原理图
K1 K1 K2 K2
K
2
1
(a) 电路导通
(b)电路断开
双开关系统可靠性框图
2019/1/18 14
2019/产品的可靠性所建立的可靠性方 框图和数学模型。
方框：产品或功能 逻辑关系：功能布局 连线：系统功能流程的方向 无向的连线意味着是双向的。 节点（节点可以在需要时才加以标注） 输入节点：系统功能流程的起点 输出节点：系统功能流程的终点 中间节点
建立系统任务可靠性模型的程序
建模步骤 （1）确定任务和功能 （2）确定工作模式 （3）规定性能参数及范围 1、规定产 （4）确定物理界限与功能接口 品定义 （5）确定故障判据
功能分析 故障定义
时间及环境条件 （6）确定寿命剖面及任务剖面 分析 2.建立可靠 （7）明确建模任务并确定限制条件 性框图 （8）建立系统可靠性框图 3.确定数学 （9）确定未列入模型的单元 模型 （10）系统可靠性数学模型
不可修系统可靠性模型
虚单元 不含桥联的复杂系统任务可靠性模型 含桥联的复杂系统任务可靠性模型
建模实例：某卫星过渡轨道、同步及准同步轨道任务可靠性 系统任务可靠性建模的注意事项
2019/1/18
3
系统、单元——产品
系统
由相互作用和相互依赖的若干单元结合成的具有 特定功能的有机整体。 “系统”、“单元” 相对概念 可以是按产品层次划分：零部件、组件、 设备、分系统、系统、装备中任何相对的 两层 “系统”包含“单元”，其层次高于“单元”
系统可靠性模型
第二节 布尔代数，容斥原理和不交型 算法简介
► 二 容斥原理 ► 容斥原理是集合数学中的一个命题。从生
活中的实例可以知道，容斥原理算法，通俗 地说，就是一种加加减减，逐项逼近问题的 正确解答的算法。
► 为方便解决这类问题，我们介绍下容斥原 理公式
第二节 布尔代数，容斥原理和不交型 算法简介
► 1 集合相容和不相容 ► 若集合A与集合B有公共元素，则称为A与B
参照书中实例2－1，2－2
第二节 布尔代数，容斥原理和不交型 算法简介
► 三，不交型算法 ► 1 不交型布尔代数及其运算规则 ► 对于一般情况(若有n个变量)的不交并计
算公式如下：
► 同上述的集合代数及布尔代数一样，不交 型布尔代数也有以下规律及定理
第二节 布尔代数，容斥原理和不交型 算法简介
►
► 学习书中例子2-3
第四节 并联系统的可靠性模型
► 一个系统由n个单元A1，A2，…An组成，如 果只要有一个单元工作，系统就能工作，或 者说只有当所有单元都失效时，系统猜失效， 我们称为并联系统。
► 由于公式较多，所以希望认真看看书本内容 以及例子2－4
第五节 混联系统的可靠性模型
► 1 串并联系统（附加单元系统）
第八节 一般网络的可靠性模型
► 五 不交最小路集法 ► 不交最小路法，即是首先枚举任意网络的
所有最小路集，列出系统工作的最小路集表 达式，利用概率论和布尔代数有关公式求系 统的可靠度。 ► 见书中例2－11
第三章 可靠性预计和分配
► 第一节 可靠性预计概述 ► 第二节 元器件失效率的预计 ► 第三节 系统的可靠性预计 ► 第四节 可靠性分配
第四节 可靠性分配
► 一 串联系统的可靠性分配 ► 1 等分配法 ► 2 利用预计值的分配法 ► 3 阿林斯分配法 ► 4 代数分配法 ► 5 “努力最小算法”分配法
第二章系统可靠性模型-4
2§2—6 n 中取k 的表决系统的可靠性模型一、定义和特点n中取k表决系统分两类：n中取k好系统k/n [G]；n中取k 坏系统k/n [F]。
1. 定义：k/n[G]：组成系统的n个单元中有k个或k个以上完好，系统才能正常工作的系统称之。
k/n[F]：组成系统的n个单元中有k个或k个以上失效，系统就不能正常工作的系统称之。
3R s 串联< R s < R s 并联n / n [G ]为n 个单元组成的串联系统；1 / n [G ]为n 个单元组成的并联系统。
（2）k / n [G ] 系统的可靠性R S条件：三种系统均由可靠性相同的相同数目的单元组成。
（3）表决系统是由功能需要建立的——如计算机软件2.特点：（1）k /n [G ] = (n -k +1)/n [F ]；4二、可靠性框图（k/ n[G] 系统的）见图2—26265三、数学模型(以2／3［G］为例)1. 2 / 3 [G]系统其可靠性框图见2—272761()R t 2()R t 3()R t 123,,A A A 设系统处于正常工作的事件为A s ，每个单元的可靠性分别为、、，各单元处于正常工作的事件分别为。
根据2/3[G]的定义有123123123123'''s A A A A A A A A A A A A A =U U U 根据该公式求出该系统的及MTBF 。
()s R t 当各单元的寿命分布均为指数分布时，求系统和MTBF的公式。
()it i R t e λ−=()s R t 2. 数学模型7(1) 可靠度)()()()()()( )()()()()()()(321321321321t R t R t F t R t F t R t F t R t R t R t R t R t R S +++=将代入上式得：)(1)(,)(t R t F et R i i t i i −==−λ[][][]tt t t t t t t t t t S e e e e e e e ee e et R )()()()()()()()(3213132211322313213212 11 1)(λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ++−+−+−+−−+−−+−−+−++−−++=−+−+−+=∵各单元寿命为指数分布：10例2—5 设每个单元的可靠度，且，求t =100h 时：（1）一个单元的系统；（2）二单元串联系统；（3）二单元并联系统；（4）2/3 [G]表决系统的。
08-系统可靠性框图模型
2013-11-17
6
可靠性模型与预测
可靠性模型最理想的状态是对产品的可靠性规律从整体 上进行描述
统一建模——难！ 客观世界的复杂性
依据还原论的思想，基于产品的分解结构：
首先获得单个组成部分（单元）的故障规律 然后根据组成部分之间的关系，去推测系统的故障规律
1. 首先建立产品组成单元的可靠性模型
功能分析 确定特定任务或功能下产品的工作模式以及是否存在替代工作模
（2）确定工
式。例如，通常超高频发射机可以用于替代甚高频发射机
作模式
发射信息，是一种替代工作模式。如果某项任务需要甚高
频与超高频发射机同时工作，则不存在替代工作模式。
1.
规定
（3）规定性 能参数
产
及范围
规定产品及其分系统的性能参数及容许上、下限。如输出功率、 信道容量的上下限等。
可靠性模型
从对系统故障规律认知的角度，对系统及其组成单元的故障特征规 律进行描述
图形 数学
2013-1类繁多：
可靠性框图模型 网络可靠性模型 故障树模型 事件树模型 马尔可夫模型 Petri网模型 GO图模型
可靠性建模是开展可靠性设计分析的基础，也是 进行系统维修性和保障性设计分析的前提。
2013-11-17
8
任务可靠性模型
任务可靠性模型
用以估计产品在执行任务过程中完成规 定功能的概率（在规定任务剖面中完成 规定任务功能的能力），描述完成任务 过程中产品各单元的预定作用，用以度 量工作有效性的一种可靠性模型。
系统中储备单元越多，则其任务可靠 性越高。
2013-11-17
2.建立 可
依照产品定义，采用方框图的形式直观地表示出在
可靠性模型Reliability Model
通过自上而下的功能分解过程，可以得到系统功能
的层次结构
功能的逐层分解可以细分到可以获得明确的技术 要求的最低层次（如部件）为止。
进行系统功能分解可以使系统的功能层次更加清晰， 同时也产生了许多低层次功能的接口问题。
对系统功能的层次性以及功能接口的分析，是建立 可靠性模型的重要一步。
2020/7/4
17
功能的分解
系统
1
2
4
3
1.1
1.2
2.1
2.2
1.4
1.3
4.1
4.2
2.4
2.3
3.1
3.2
4.4
4.3
3.4
3.3
图3-6 功能分解示意图
2020/7/4
18
功能的分类
在系统功能分解的基础上，可以按照给定的任务，对系 统的功能进行整理。
按重 要程 度分
按用 户要 求分
分类 基本功能
辅助功能
可靠性模型
Reliability Model
北京航空航天大学工程系统工程系
2020/7/4
1
系统可靠性模型建立-1
可靠性模型有关术语及定义 基本可靠性模型－任务可靠性模型 建立系统任务可靠性模型的程序 系统功能分析 典型的可靠性模型
2020/7/4
2
系统可靠性模型建立-2
不可修系统可靠性模型
2020/7/4
15
系统功能分析
对系统的构成、原理、功能、接口等各方面深 入的分析是建立正确的系统任务可靠性模型的 前导。
前导工作的主要任务就是进行系统的功能分析
功能的分解与分类 功能框图与功能流程图 时间分析 任务定义及故障判据
2020/7/4
的层次结构
功能的逐层分解可以细分到可以获得明确的技术 要求的最低层次（如部件）为止。
进行系统功能分解可以使系统的功能层次更加清晰， 同时也产生了许多低层次功能的接口问题。
对系统功能的层次性以及功能接口的分析，是建立 可靠性模型的重要一步。
2020/7/4
17
功能的分解
系统
1
2
4
3
1.1
1.2
2.1
2.2
1.4
1.3
4.1
4.2
2.4
2.3
3.1
3.2
4.4
4.3
3.4
3.3
图3-6 功能分解示意图
2020/7/4
18
功能的分类
在系统功能分解的基础上，可以按照给定的任务，对系 统的功能进行整理。
按重 要程 度分
按用 户要 求分
分类 基本功能
辅助功能
可靠性模型
Reliability Model
北京航空航天大学工程系统工程系
2020/7/4
1
系统可靠性模型建立-1
可靠性模型有关术语及定义 基本可靠性模型－任务可靠性模型 建立系统任务可靠性模型的程序 系统功能分析 典型的可靠性模型
2020/7/4
2
系统可靠性模型建立-2
不可修系统可靠性模型
2020/7/4
15
系统功能分析
对系统的构成、原理、功能、接口等各方面深 入的分析是建立正确的系统任务可靠性模型的 前导。
前导工作的主要任务就是进行系统的功能分析
功能的分解与分类 功能框图与功能流程图 时间分析 任务定义及故障判据
2020/7/4
可靠性建模分析
目录系统可靠性建模分析 (2)摘要 (2)关键词 (2)1.可靠性框图 (2)2.典型的可靠性模型 (3)2.1串联模型 (3)2.2并联模型 (4)2.3旁联模型 (4)2.4r/n(G)模型 (5)2.5复杂系统/桥联模型 (6)图1：自行车的基本可靠性与任务可靠性框图 (3)图2：典型可靠性模型 (3)图3：串联可靠性框图 (4)图4：并联可靠性框图 (4)图5：旁联可靠性框图 (5)图6：r/n(G)系统可靠性框图 (5)图7：桥联系统示例原理图及可靠性框图 (6)图8：复杂系统实例 (7)表1：复杂系统完全列举 (7)系统可靠性建模分析[摘要] 为了设计、分析和评价一个系统的可靠性和维修性特征，就必须明系统和它所有的子系统、组件和部件的关系。
很多情况下这种关系可以通过系统逻辑和数学模型来实现，这些模型显示了所有部件、子系统和整个系统函数关系。
系统的可靠性是它的部件或系统最底层结构单元可靠性的函数。
一个系统的可靠性模型由可靠性框图或原因——后果图表、对所有系统和设备故障和维修的分布定义、以及对备件或维修策略的表述等联合组成。
所有的可靠性分析和优化都是在系统概念数据模型的基础上进行的。
[关键词]可靠性框图，串联，并联，表决，复杂系统，可靠度系统是由相互作用和相互依赖的若干个单元结合成的具有特定功能的有机整体。
对于系统管理者而言，系统完成预期任务可靠性以及对系统维修特征等因素的分析是必不可少的。
这时就需要借助于系统逻辑及数学模型德理论进行评价分析。
本文就是基于可靠性框图（RBD）理论对系统可靠性建立常见的数学分析模型，并结合一些实际例子予以解释说明。
1.可靠性框图可靠性框图（RBD）是用一种图形的方式显示了系统所有成功或故障的组合，因此系统的可靠性框图显示了系统、子系统和部件的逻辑关系。
目前跟据建模目的可分为基本可靠性模型和任务可靠性模型，并用RBD表示出来。
基本可靠性模型是用以估计产品及其组成单元可能发生的故障引起的维修以及保障要求的可靠性模型。
《系统可靠性模型》课件
1 可能存在误差
系统可靠性模型在实际应用中可能存在一定的误差，需要注意评估和修正。
2
对于一些极端情况不适用
3
需要不断地更新和改进
总结
系统可靠性模型是描述系统可靠性的重要数学模型。不同的可靠性模型适用于不同的系统结构和情况。在实际 应用中需要不断改进和更新系统可靠性模型。
可靠性连通模型
可靠性冗余模型
动态可靠性/X模型
一种常用的系统可靠性模型。
2
Weibull模型
3
Rayleigh模型
系统可靠性模型在实际应用中的应用
可靠性的分析与设计
通过系统可靠性模型进行系统 的可靠性分析和设计，提高系 统的可靠性。
风险管理
故障检测与诊断
系统可靠性模型的局限性和改进
系统可靠性模型
系统可靠性模型是一种描述系统在一定时间内正常运行的可能性的数学模型。 它是研究系统可靠性的重要工具。
什么是系统可靠性模型
系统可靠性模型用于描述系统在一定时间内正常运行的可能性。它包括可靠 性、失效率、寿命分布等核心概念。
系统可靠性模型的分类
按系统结构
可靠性均衡模型
按时间
静态可靠性模型
可靠性模型_图文
（c）就故障概率来说，用不同方框表示的不同功能或单 元其故障概率是相互独立的。
（d）系统的所有输入在规定极限之内，即不考虑由于输 入错误而引起系统故障的情况；
（e）当软件可靠性没有纳入系统可靠性模型时，应假设 整个软件是完全可靠的；
（f）当人员可靠性没有纳入系统可靠性模型时，应假设 人员是完全可靠的，而且人员与系统之间没有相互作 用问题。
*
28
典型可靠性模型
串联模型 并联模型 表决模型(r/n(G)模型) 非工作贮备模型（旁联模型） 桥联模型
*
29
串联模型
定义
组成系统的所有单元中任一单元的故障都会导致整 个系统故障的称为串联系统。 串联系统是最常用和最简单的模型之一。 串联系统的逻辑图如下图所示：
时间特性是可靠性分析中不可缺少的一个要素
*
23
时间分析-2
复杂系统一般具有两方面的特点：
（1）系统具有多功能，各功能的执行时机是有时序的 ，各功能的执行时间长短不一
（2）在系统工作的过程中，系统的结构是可以随时间 而变化
需要进行时间分析
确定时间基准 通过与该时间基准对应，可以得到系统功能流程图
*
44
2/3(G)表决模型
其可靠性数学模型为（表决器可靠度为1，组成单元的故障率均为 常值λ ）：
*
45
表决系统特例
若表决器的可靠度为1：
当r=1时，1/n(G)即为并联系统， 当r=n时，n/n(G)即为串联系统：
系统的MTBCFS比并联系统小，比串联系统大 。
*
46
非工作贮备模型（旁联、冷贮备）
进行系统功能分解可以使系统的功能层次更加清晰 ，同时也产生了许多低层次功能的接口问题。
（d）系统的所有输入在规定极限之内，即不考虑由于输 入错误而引起系统故障的情况；
（e）当软件可靠性没有纳入系统可靠性模型时，应假设 整个软件是完全可靠的；
（f）当人员可靠性没有纳入系统可靠性模型时，应假设 人员是完全可靠的，而且人员与系统之间没有相互作 用问题。
*
28
典型可靠性模型
串联模型 并联模型 表决模型(r/n(G)模型) 非工作贮备模型（旁联模型） 桥联模型
*
29
串联模型
定义
组成系统的所有单元中任一单元的故障都会导致整 个系统故障的称为串联系统。 串联系统是最常用和最简单的模型之一。 串联系统的逻辑图如下图所示：
时间特性是可靠性分析中不可缺少的一个要素
*
23
时间分析-2
复杂系统一般具有两方面的特点：
（1）系统具有多功能，各功能的执行时机是有时序的 ，各功能的执行时间长短不一
（2）在系统工作的过程中，系统的结构是可以随时间 而变化
需要进行时间分析
确定时间基准 通过与该时间基准对应，可以得到系统功能流程图
*
44
2/3(G)表决模型
其可靠性数学模型为（表决器可靠度为1，组成单元的故障率均为 常值λ ）：
*
45
表决系统特例
若表决器的可靠度为1：
当r=1时，1/n(G)即为并联系统， 当r=n时，n/n(G)即为串联系统：
系统的MTBCFS比并联系统小，比串联系统大 。
*
46
非工作贮备模型（旁联、冷贮备）
进行系统功能分解可以使系统的功能层次更加清晰 ，同时也产生了许多低层次功能的接口问题。
第二章可靠性的数学基础及系统可靠性
∑ σˆ
2
=
1 n −1
n i =1
(ti
− t)2
∑ σ =
命的数学期望E（T），记作θ。
可靠性特征量-寿命特征量
不可修复产品
设N个不可维修产品在同样条件下试验，测得全部寿命数 据（每次失效时间）为t1，t2，… tn，则平均寿命为：
∑ t = MTTF
=
1 N
n
ti
i =1
4. 寿命特征量
若子样比较大，即N很大，则将数据分成ti为中值的 m组，每组的失效数为 ∆ri ，则
产品的可靠度是时间的函数，随着时间的增长， 产品的可靠度会越来越低，它介于1与0之间，即0≤ R(t) ≤ 1。
R(t) 1
t
0
对于不可修复的产品，可靠度的观测值的计算：
Rˆ (t) = ns (t) = 1 − nf (t)
n
n
♦ 式中，n——开始投入工作产品总数；
♦ ns(t)——到t时刻完成规定功能的产品数，即残存数； ♦ nf(t)——到t时刻未完成规定功能的产品数，即失效
♦ （1）定义的对象 “产品”的具体含义（范围）——零件、元器 件、部件、设备或系统。
♦ （2）规定的条件
规定的条件是指： ① 使用和维护条件，动力、负载条件，使用方法，使
用频次，操作人员的技术水平，维修方法；
② 环境条件；
③ 贮存条件包括运输、保管条件等。
♦ （3）规定的时间
♦ 规定的时间是以时间为尺度度量产品的可靠性 特性，它是可靠性区别于产品其他特性的重要 特征。
♦ 寿命是可靠性的基本概念，对不可修复的产品 指失效前的工作时间，而对可修复的产品而言 指相邻两故障间的工作时间。
系统的可靠性分析方法
系统的可靠性分析方法
系统的可靠性分析方法有以下几种：
1. 故障树分析（FTA）：将系统故障分解为基本事件，通过逻辑关系进行组合分析，找出导致系统故障的根本原因。
2. 事件树分析（ETA）：根据系统的运行情况，将各个事件按时间顺序排列，通过逻辑关系进行组合分析，评估系统的可靠性。
3. 可靠性块图（RBD）：将系统分解为各个可靠性块，并将它们之间的关系以图形的形式进行表示，通过计算各个可靠性块之间的联合概率，评估系统的可靠性。
4. 可靠度增长图（RCG）：通过观察系统的运行历史数据，分析和建立系统的可靠性增长模型，预测系统未来的可靠性。
5. 可靠性概念模型分析（RCM）：通过分析系统的功能、故障模式和可用性需求等，建立可靠性概念模型，并基于模型对系统进行可靠性分析。
6. 蒙特卡洛模拟：通过随机模拟系统的运行过程，统计各种故障模式和事件发生的概率，从而评估系统的可靠性。
以上是一些常用的系统可靠性分析方法，根据系统的具体情况和要求，可以选择
合适的方法进行分析。
《可靠性模型》课件
参数法是根据已知的设备参数、性能指标和故障率等数据，通过数学建模的方式建立可靠性模型。这种方法需要大量的历史 数据和准确的参数信息，适用于有充足数据支持的场景。
统计法
基于大量数据进行统计分析
统计法是通过收集大量的设备运行数据，进行统计分析，找出设备失效的规律，进而建立可靠性模型 。这种方法适用于有长期、稳定运行数据的场景，能够反映设备的长期可靠性。
CHAPTER
02
可靠性模型的分类
概率可靠性模型
总结词：基于概率论的可靠性模型，用于描述随 机事件的不确定性。
概率可靠性模型通常用于描述复杂系统或产品的 失效行为，以及评估其可靠性指标，如可靠度、 故障概率等。
详细描述：概率可靠性模型使用概率论和随机过 程理论，对产品或系统的可靠性进行定量描述。 它考虑了各种可能性和不确定性，能够预测产品 或系统在不同条件下的性能表现。
模糊可靠性模型的建立需要 专业的模糊数学知识和经验 ，以及对具体问题的深入了 解。
灰色可靠性模型
01
总结词：基于灰色系统的可 靠性模型，用于处理不完全 信息的情况。
02
详细描述：灰色可靠性模型 是一种处理不完全信息或不 确定性的模型。它使用灰色 系统理论，通过已知信息来 推导未知信息，从而评估产 品或系统的可靠性。
可靠性模型的重要性
提高产品质量
通过可靠性模型评估产品或系统的可靠性，可以发现潜在 的问题和薄弱环节，从而针对性地进行改进和优化，提高 产品质量。
降低维护成本
通过可靠性模型预测产品或系统的性能和寿命，可以制定 合理的维护计划，减少不必要的维修和更换，降低维护成 本。
提高竞争力
可靠性是产品或系统的重要性能指标之一，通过建立可靠 性模型可以提高产品或系统的竞争力，赢得市场份额。
统计法
基于大量数据进行统计分析
统计法是通过收集大量的设备运行数据，进行统计分析，找出设备失效的规律，进而建立可靠性模型 。这种方法适用于有长期、稳定运行数据的场景，能够反映设备的长期可靠性。
CHAPTER
02
可靠性模型的分类
概率可靠性模型
总结词：基于概率论的可靠性模型，用于描述随 机事件的不确定性。
概率可靠性模型通常用于描述复杂系统或产品的 失效行为，以及评估其可靠性指标，如可靠度、 故障概率等。
详细描述：概率可靠性模型使用概率论和随机过 程理论，对产品或系统的可靠性进行定量描述。 它考虑了各种可能性和不确定性，能够预测产品 或系统在不同条件下的性能表现。
模糊可靠性模型的建立需要 专业的模糊数学知识和经验 ，以及对具体问题的深入了 解。
灰色可靠性模型
01
总结词：基于灰色系统的可 靠性模型，用于处理不完全 信息的情况。
02
详细描述：灰色可靠性模型 是一种处理不完全信息或不 确定性的模型。它使用灰色 系统理论，通过已知信息来 推导未知信息，从而评估产 品或系统的可靠性。
可靠性模型的重要性
提高产品质量
通过可靠性模型评估产品或系统的可靠性，可以发现潜在 的问题和薄弱环节，从而针对性地进行改进和优化，提高 产品质量。
降低维护成本
通过可靠性模型预测产品或系统的性能和寿命，可以制定 合理的维护计划，减少不必要的维修和更换，降低维护成 本。
提高竞争力
可靠性是产品或系统的重要性能指标之一，通过建立可靠 性模型可以提高产品或系统的竞争力，赢得市场份额。
《可靠性模型》课件
确定失效后果和影响
评估每种失效模式可能导致的后果和影响，以便在 可靠性模型中考虑相应的可靠性参数和指标。
进行失效模式和影响分析 （FMEA）
通过FMEA方法，对每种失效模式进行风险 优先度评估，以便优先处理对系统可靠性影 响较大的失效模式。
确定可靠性参数和模型假设
选择合适的可靠性参数
根据系统特性和需求，选择适合的可靠性参数，如平均故 障间隔时间（MTBF）、故障率等。
模型评估指标
准确率
衡量模型正确预测的比例。
召回率
衡量模型发现真正正例的能力。
F1分数
准确率和召回率的调和平均数，综合衡量模型性能。
AUC-ROC
衡量模型在所有可能阈值下的性能，常用于分类问题。
04 可靠性模型的应用
在产品设计中的应用
故障模式影响分析（FMEA）
通过分析产品中潜在的故障模式，评估其对产品可靠性的影响，从而在设计阶段预防和减少故障。
在维修决策中的应用
维修计划制定
根据可靠性模型预测设备或系统的故障 率，制定合理的维修计划，降低维修成 本。
VS
维修策略优化
通过分析设备或系统的可靠性数据，优化 维修策略，提高维修效率和设备可用性。
在可靠性预测和评估中的应用
可靠性评估
通过可靠性模型对产品或系统的可靠性进行 评估，为产品设计、生产和维修提供依据。
确定系统的边界和约束条件
02 确定系统的边界和约束条件有助于将可靠性模型的范
围和限制条件明确化。
建立系统结构图
03
通过建立系统结构图，可以直观地表示系统中各组成
部分之间的连接和依赖关系。
确定失效模式和影响分析
分析可能的失效模式
分析系统可能出现的各种失效模式，包括硬 件故障、软件错误、人为操作失误等。
07第二章系统可靠性模型05
1,3 得路集为： 2,3 最小路集为二阶 1,2,3
（2）路集和割集共有23=8个。根据割集、
8
最小割集及其阶的定义和逻辑框图：
【割集是在该子集以外所有单元均工作的情 况下，当子集中所有单元失效时系统必然失效。 最小割集（ MCS ）是指其中任何一个单元工作 时系统工作的割集。最小割集的阶数是指最小 割集中含单元状态变量的个数】
1 3 2
图 例 1图
1,3 2,3 得割集为 1,2 3 1,2,3
最小割集为二阶 最小割集为一阶
简明判断：可见含有任何子集全部单元的的路集和割集 均不是最小路集和最小割集，即可用排除法判之。
例2 判断三个单元组成串联及并联系统的路集、割集， 最小路集，最小割集及其阶数。 解：（1）根据路集、最 小路集、割集、最小割集定 义得 ，路集+割集= 23 = 8 个。 串联时 其中 ： 路集 ｛1，2，3｝
10
1
2 3
图 例2并联图
路集：｛1｝、｛2｝、｛3｝、｛1,2｝、 ｛2,3｝、｛1,3｝、｛1,2,3｝ 共7个。
割集 ：｛1,2,3｝ 共1个。
其中： ｛1｝ 、 ｛2｝ 、 ｛3｝ 最小路集均为一阶。 ｛1 , 2 , 3｝ 最小割集为三阶。
例 2-6 为一般网络系统的例子，其系统逻辑框图如图 2—30所示。试求该系统所有的路集、割集、最小路集和最 小割集，并指出各最小路集和最小割集的阶数。
1 3 2
图 例 1图
( X ) j (X ) , j (X ) x j
j 1 j j
p
x1 x3 x2 x3 x1 x3 ( x1 x2 ) x2 x3
x1 x3 (1 x1 )1 x2 x3 x1 x3 x2 x3 x1x2 x3
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① I
② I
[0 1 1 0]
（2）双补律
( A') ' A
（3）等幂律
①A A A ②A
A A
（4）德摩根(De Morgan)律
14
① (A B) A·B
其文氏图为
② (A·B) A B
图 De Morgan 律 ① 文氏图
其文氏图为
② 集合不相容:若集合A与集合B没有公共元素，则称为
A和B不相容，或称为不相交，如图2—13所示。
图2-12A集与B集相交的文氏图
图2-13A集与B集不相交的文氏图
A、B公共元素
2. 容斥原理计算公式
27
设有n个任意集合A1、A2、...、An , 用数学归纳法可以
证得容斥原理计算公式为
A1 A2... An
22 二、容斥原理
容斥原理是集合数学中的一个基本概念。在生活和工作 中有许多问题可以用容斥原理得到正确的解决。
因为可靠性主要是研究产品失效或可靠的概率，而产品 失效或可靠是由於组成该产品的某些零部件失效或可靠这些 事件形成的。
设一产品失效事件为M，形成其的事件由A、B、C组成。 则这产品失效的概率为：
① Φ∪A = A ,
I∪A = I
② Φ∩A = Φ ,
I∩A = A
（6）补元律
A A I A A Φ
注意：集合代数运算也应先∩后∪运算，（即先 乘除后加减）。
3.布尔代数的有关基本定理
12
在数学系统中，如果变量只能取0 或 1（失效或不失 效），上述定义的并、交、补，且满足以上6条基本规律， 该系统叫布尔代数，“∪” 、“∩”、“′ ” 叫布尔运算。 交这算符号∩可简化为“ ·”，而且可以省略，如
n
Ai
Ai Aj
Ai Aj Ak -... A1A2...An
i 1
1i jn
1i jk n
n (1)i1
Aj1 Aj2 ...Aji
i1
1 j1 j2 ... ji n
(2 -1)
式（2—1）中符号|A|表示集合A内的元素数目，（假设 它是可数的、有限的），或表示文氏图中集合A的“面积” （假设其元素是不可数的）。
上面等式成立吗？不一定，根据概率论理论，只有当A、 B、C互斥（即不相容）时，上式才能成立。
当A、B、C事件相容时，如何求P（M）？ 下面举例说明。
24 例如某研究室订《人民日报》有2人，订《北京日报》2 人，订《参考消息》5人，订《广播电视》3人。同时又知有1 人订了2种报，有3人订了3种报。请确定该单位有多少人订报？
√√
参考消息 √ √ √ √ √
广播电视报 √
√
√
订报人 甲 乙 丙 丁 戊
由此例可见，相容事件的算法，通俗地说，是一种 “加加减减”、逐项逼近的算法。
为了方便地解决这类问题，这里介绍容斥原理的计 算公式。
1.集合相容和不相容
26
① 集合相容:若集合A与集合B有公共元素，则称为 A和B相容，或称为相交，如图2—12所示。
分配律的文氏图见图2—9所示 。
图2-9
图2-9
10 （4）吸收律
① A∪（A∩B）=A
［（A+AB）= A ］
② A∩（A∪B）=A
［（A（A+B）= A）］
吸收律的文氏图见图2—10所示
图2-10
图2-10
（5）基元律
11
设Φ为空集：不可能事件，无元素的集合；
I为全集：必然事件，一切可能元素的集合。则有
Pr (x1x2 x3)
i1
1 j1 j2 j3 3
(1)11 Pr (x1) pr (x2 ) P(x3)
(1)21 Pr (x1x2 ) Pr (x1x3) Pr (x2x3) (1)31 Pr (x1x2x3)
Pr (x1) Pr (x2 ) Pr (x3) Pr (x1x2 ) Pr (x1x3) Pr (x2x3) Pr (x1x2x3)
图 De Morgan 律 ② 文氏图
（5）覆盖律
①A∪A'B＝A∪B
覆盖律文氏图为。 ② A（A'∪B）= AB
覆盖律文氏图为。
15
图 覆盖律 ① 文氏图 图 覆盖律②文氏图
16 ③ AB∪A'C∪CB = AB∪A'C
覆盖律文氏图见下图
图 覆盖律③文氏图
17
④ （A∪B）(A'∪C）(C∪B） = （A∪B）(A'∪C）
28
同理可以证明任意事件 x1、x2、... 、xn 的并事件
发生的概率为
Pr (x1 x2 ... xn )
n (1)i1
Pr (x j1 x j2 ...x ji )
i1
1 j1 j2 ... ji n
(2 - 2)
29 下面举例说明以上容斥原理计算公式的应用。
换，补（“ˊ”）不变所得到新的表达式，就叫做原表
达式的对偶式。
②对偶定理—可以证明布尔代数的任何一个定理的对 偶式都成立，并是一条定理，称原定理的对偶性定理。
如果能证明原定理成立，则其对偶定理必定成立。
上述集合代数的6个基本规律和布尔代数的7个基本定
理（除双补律外—因为双补律只有1个式子），它们的①
Pr (AC) Pr (BC) Pr (ABC)
31 例2—2 求1、2、…、500中能被3或被5除尽的数的个数。
解：设 A1为1～500中能被 3 除尽的数的集合，A2为 1～500中能被 5 除尽的数的集合。
1
第 二 章 系统可靠性模型(2)
第二节 集合代数、布尔代数、容斥 原理及不交型算法--------------（2）
一、布尔代数---------------------------（2） 二、容斥原理 -------------------------（22） 三、不交型算法-----------------------（34） 四、例题--------------------------------（46）
式和②式，或③式和④式都是对偶定理。
20 例1：写出下列布尔表达式的对偶式 。
ABCD AB(A BC)
解： 将上式中的∪→∩（式中省略“∩”标注）， ∩→∪和补“ ′ ”不变，得上式的对偶式为：
A B (C D)( A B) A(B C)
注意：布尔代数的运算时也应先∩后∪运算， （即先乘除后加减）。
(我们希望能用下式求出产品的失效概率)
P(M ) P(A B C)
P( A) P(B) P(C)
23 若己知P(A )、P(B )、P(C )，则 A、B、C事件和的概率等 于A、B、C事件概率的和,即
P(M ) P(A B C)
P( A) P(B) P(C)
A∩B = A·B = AB
书中讲了布尔代数的七个定理 : (1) 基元互补律、(2) 双 补律、(3)德·摩根定律（Ｄｅ Ｍｏｒｇａｎ律）、(4) 等 幂律、(5) 复盖律、（6）归并律和（7）对偶性定理。
13 （1）基元互补律
设Φ为空集：不可能事件，无元素的集合；
I为全集：必然事件，一切可能元素的集合。则有
例2—1 求并事件A∪B∪C 的发生概率。
解：设A=x1，B=x2，C=x3 。
由式（2 - 2）Pr (x1 x2 ... xn n (1)i1
Pr (x j1 x j2 ...x ji )
i1
1 j1 j2 ... ji n
3
Pr (x1 x2 x3) 1i1
覆盖律文氏图见下图 所示。
图覆盖律④文氏图
18 （6）归并律
① AB AB A ② (A B)(A B) A
归并律的文氏图如图2-11所示。
图 2-11 归并律的文氏图
（7）对偶性定理
19
① 对偶式—设在任一布尔表达式中，如果把其中的
并与交（即∪与∩）互换，空集与全集（即Φ与 I ）互
7 2. 集合代数的基本规律 设 A、B、C 3个集合。Φ 为空集：是没有任何元素的集合。
I 为全集：是在所讨论的一定范围内包含一切可能元素 的集合。
（1）交换律
① A∪B = B∪A , [A+B = B+A ] ② A∩B = B∩A , ［A·B =B·A]
（2）结合律 ①（A∪B）∪C = A∪（B∪C）
显然，C3的元素只能由 集合B以外的元素所组成。
图2-7（c)集合的补B'
6 并、交、补是集合代数中3个最基本的运算。它们用文
氏图（Venn Diagram）表示为：
① 图2-7（a）为A与B的并集; ③ （c）为B的补集。
② （b）为A与B的交集;
图2-7（a)集合的并A ∪B
图2-7（b)集合的交A ∩B 图2-7（c)集合的补B'
Байду номын сангаас0
即 Pr (x1 x2 x3 )
Pr (x1) Pr (x2 ) Pr (x3) Pr (x1x2 ) Pr (x1x3) Pr (x2x3) Pr (x1x2x3)
因为设A=x1，B=x2，C=x3,所以A∪B∪C 的并事件 发生概率为
Pr ( A B C) Pr (A) Pr (B) Pr (C) Pr (AB)
∪+
2
第二节 集合代数、布尔代数、容斥原理及 不交型算法
为了便于下面进行系统可靠性的特征量的计算，需要布 尔代数这方面的数学知识，因此，首先介绍布尔代数。