扩展有限元法及其在结构开裂研究中的应用

* 国家自然科学基金项目（ 11372113 ） 。 1975 年出生， 第一作者： 杨怡， 男， 副教授。 电子信箱： yiyang@ scut． edu． cn 收稿日期： 2016 － 04 － 30
工业建筑 2016 年第 46 卷增刊 251
网格重划， 这样会带来大量的网格划分工作 ， 以及新 旧网格之间状态变量的映射等问题 。 随着断裂力学的发展， 为了解决网格依赖性等 问题， 学者们提出了不少的新方法， 其中被认为最具 应用前景的是 Belytschko 等基于单位分解法思想提 ［7 － 9 ］ 。 它是以传统的有 出的扩展有限元法 （ XFEM ） 在非裂缝区域采用标准的有限元法 ， 限元法为基础， 在不连续的裂缝区对位移函数进行修改 ， 位移插值 函数在裂纹面引入阶跃函数和在裂纹尖端引入渐进 位移场附加函数， 克服了弥散裂纹模型和分离裂纹 模型的网格依赖问题， 能够很好地模拟宏观裂纹的 萌生和扩展。 扩展有限元法的快速发展和广泛应用与其本身 ［10 ］ 的优越性密不可分， 可以概括为以下几点 ： 1 ） 克 裂纹扩展时不需要考虑网格重新 服了网格依赖性， 剖分， 允许裂纹贯穿单元， 并与连续剖分的有限元相 在剖分的不同单元之间不需要太多的映射； 2 ） 比， 引入两类特定的增强函数来构造非线性 ， 对裂纹面 满足 和裂纹尖端附近的单元节点增加附加自由度 ， 适当性质的形函数来捕捉裂纹尖端的奇异场 ， 网格 尺寸很大同样能获得较精确的解； 3 ） 它适用于各种 性质的材料和多介质问题以及空隙夹杂等 ， 同样适 应于几何非线性和接触非线性； 4 ） 可以在有限元框 目前在大型商业软件如 ABAQUS、 架内并行计算， ANSYS、 LSDYNA 等 中 已 经 嵌 入 了 XFEM 分 析 模 块， 而边界元法和无网格法没有成熟的软件包 ， 相比 较而言扩展有限元法具有更大的优势 。 1 扩展有限元法的基本思想 扩展有限元法是基于单位分解法思想发展而 成， 在传统有限元框架下引入能反应位移间断性的 ［11 ］ 增强项， 并使用水平集法 （ LSM ） 或快速推进法 （ FMM） ［12］描述几何间断性。 对于混凝土材料， 计 算时通常还要加入相应的裂缝模型 。 1. 1 单位分解法 单位分解法
*
型
［23 ］
。使用扩展有限元对混凝土裂缝模拟时 ， 被学
者们普遍认可的是基于虚拟裂缝模型的黏聚裂缝模 ［24 － 26 ］ ， 型 这类模型在混凝土断裂过程区引进了软化 把裂 本构关系以及关于非线性变形局部化的假定 ， 纹区分为虚拟裂缝区和完全开裂区， 前者对应于混 后者为实际的宏观裂缝， 裂缝区以 凝土的微裂缝区， 外的混凝土处于弹性变形状态。 该模型的基本思想为： 1 ） 当裂缝尖端拉应力达 到混凝土的抗拉极限强度 f t 时， 虚拟裂缝开始产生； 2 ） 虚拟裂缝张开时， 裂缝面上的黏聚力不会马上降 ， 为 零 会 随 着 裂 缝 的 张 开 度 w 增 加 而 减 小， 即 σ = σ（ w ） ， 且 σ － w 的关系曲线满足混凝土张拉 软化行为； 3 ） 在新裂缝形成的过程中， 外力克服黏 聚力所做功完全用于虚拟裂缝张开和扩展 。在形成 单位面积新裂缝的过程中， 所吸收的能量叫断裂能 Gf ， 表达式为： Gf =
A ＲEVIEW OF THE EXTENDED FINITE ELEMENT METHOD AND ITS APPLICATIONS IN STＲUCTUＲAL CＲACKING ANALYSIS
Yang Yi Lei Zhipeng Wang Yushuang Dong Wenqi
（ School of Civil Engineering and Transportation，South China University of Technology，Guangzhou 510640 ，China） Abstract： The extended finite element，which is based on the partition of unity method combined with conventional finite element method，is an approach to solve the discrete problems including cracks，inclusions and voids． Because of its mesh independence and suitability，this method is developing rapidly in the numerical simulation study of structural cracking problem． This paper reviews applications of XFEM in numerical analysis of concrete structures， and briefly introduces the partition of unity finite element method，the displacement mode of XFEM，the level set method and concrete crack model using XFEM，subsequently，the paper presents research progresses of XFEM from three respects： concrete cracks in mesolevel，the fracture toughness and destruction process of concrete，different crack model． Finally，its future research prospects are recommended． Keywords： XFEM； concrete structure； crack； numerical analysis
［13 － 15 ］
h 近似函数， 则函数 u （ x） 在整个求解域内的近似值 可取为： M
u h （ x） = 1. 2
φi （ x） G i （ x） ∑ i =1
（ 2）
扩展有限元位移模式
在传 统 有 限 元 法 的 框 架 下， 以位移形函数 N i （ x） 来作为单位分解法中的 φ i （ x） 函数， 单元节 点的位移 u i 作为单位分解法中的近似函数 G i （ x） ， 便得到了标准有限元法的位移模式 ：
M
φi （ x） G（ x） ∑ i =1
= G（ x）
（ 1）
阶跃函数 H（ x） 的具体表达式如下：
*
假设函数 G i （ x） 为函数 u（ x） 在子区域 Ω i 内的 252
H（ x） =
－ X ） ·n 0 {1－ 1（ X其他
（ 5）
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X * 为 X 在裂纹面 式中： X 为单元上的高斯积分点， * 上距离最近的点，n 为裂纹面上 X 处的单位外法 线。图 2 描述的为裂纹尖端的坐标系和单元高斯积 分点 X 与 X 的关系。
用一些以 x i 为中心的子域 Ω i
覆盖整个求解区域， 在每个子区域 Ω i 上定义一个仅 在该子区域内不为零的函数 φ i （ x） ，并且满足单位
M
分解条件：
φi （ x） ∑ i =1
= 1 。则称函数集 ｛ φ i （ x） ｝ M i =1
图1 二维裂纹网格
为求解域 { Ω i }M 中的单位分解函数， 对任意函数 i =1 G（ x） ， 有：
图2
裂纹尖端坐标系
F α （ x） 是建立在以裂纹尖端为原点的 （ r， θ） 的 极坐标系上， 裂尖切线方向对应 θ = 0 ， 并由四个基 函数组成， 其表达式为 θ θ θ F α （ x） = ［ r sin ， r cos ， r sinθsin ， 槡 2 槡 2 槡 2 θ r sinθcos ］ 槡 2 1. 3 水平集法 2， 3， 4 α = 1， （ 5）
0
引
言
混凝土是土木工程中被大量使用的材料， 其抗压 ， ， 强度高 但抗拉强度低 在很小的拉力作用小就会产 生裂缝， 在役或在建的混凝土结构基本上都处于带裂 裂缝前期的发 缝工作的状态。对于混凝土结构本身， 展对结构的破坏有一定警示作用， 并随着荷载的变化 裂缝会不断发展， 最终会导致结构的破坏， 因此混凝 土结构的裂缝研究具有巨大的工程意义和经济价值。 目前断裂力学中常用的数值分析方法有： 有限 元法、 边 界 元 法、 流 形 元 法、 无 网 格 法、 离散元法 ［1 － 4 ］ 。应用最广的是有限元法， 等 并且在传统有限 元框架内不断有特定的方法和模型加入 ， 其中包括： 自适应网格、 节点力释放法、 单元间内聚力模型及嵌 但是传统有限元处理复杂裂纹时 入不连续模型等， 有很大的不足和局限性， 例如裂纹只能沿单元边界 扩展、 网格需不断细化、 扩展路径必须预先给定、 计 算成本偏高等。
M ［16 ］
： Ni （ x） u i ∑ i ∈M +
u（ x） =
Ni （ x） ［ ui ∑ i =1
+ a i φi （ x） ］ =
4
∑ N j （ x） H（ x） a j j∈ M
Γ
+
F α （ x） b α ∑ N k （ x） ∑ k k∈M α =1
Λ
（ 4）
式中： N i （ x） 为标准有限元位移形函数，u i 为连续 单元节点 i 的位移，φ i （ x） 为能反应实际间断特性 a i 为相应的附加自由度。a j 为裂纹贯 的增强函数， 穿单元的改进自由度，b α k 为裂尖单元的改进自由 N j （ x） 、 N k （ x） 为用于扩充单位分解的形函数， 度， H（ x） 为裂纹面处阶跃函数，F α （ x） 为裂尖渐进位 移场附加函数，M Γ 为裂纹贯穿单元的节点集，M Λ 为裂尖单元的节点集。 当节点全部为裂纹节点时， 式（ 3 ） 不包括第三项； 当节点全部为裂尖节点时， 式 （ 3 ） 不包括第二项。 给出如图 1 所示二维 裂 纹 网 格， 曲线代表裂纹， 填充的小方形代表裂尖节点， 填 充的小圆形代表裂纹面贯穿节点 。